İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
BÖLÜM IV
Düzlem Kafesler
En çok kullanılan köprü kafesleri
En çok kullanılan çatı kafesleri
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Mühendislik olaylarında genel olarak birden çok katı cisim birbirine çeşitli yöntemlerle bağlanarak bir katı cisim sistemi oluştururlar. Bu sistemlere TAŞIYICI SİSTEMLER denir. Taşıyıcı Sistemler, *Kafes sistemler (Trusses) *Çerçeveler (Frames) *Makinalar (Machines) *Kirişler (Beams) * Halat ve zincir (Cables and chains) olmak üzere sınıflandırılırlar. Bu bölümde yukarıdaki sistemlerin analizini yaparak sistemin parçalarına etkiyen kuvvetleri elde edeceğiz. Sistemin statik olarak çözülebilir (izostatik) olduğunu varsayıyoruz. Öncelikle Kafes Sistemlerini inceleyeceğiz. Tanım: Uçları birbirine bağlanan düzgün katı cisimlerin (çubukların) oluşturduğu rijid cisme KAFES SİSTEM denir. 1) Düzlemsel kafes sistem 2) Uzaysal kafes sistem
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
En küçük rijid ve rijid olmayan kafes elemanları
Kafesi oluşturan çubuk elemanlar
Üçgen bazlı kafes sisteme Basit Kafes denir
Rijit (şeklini koruyan)
Rijit olmayan kafes sistem AD veya BC elemanlarının ilavesi ile Rijit yapılabilir.
Geliştirme, iki eleman ve bir düğüm noktası ile yapılır.
DE CE veya DF, AF BC elemanlarının ilavesi ile kafes sistem geliştirilebilir.
Çekme Baskı-Basınç
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Çubukların düğüm noktalarında birleşmeleri
Düğüm Dengesi Yöntemi
A Düğümüne etki eden kuvvetler
Çubuklar kaynak, perçin yada cıvata ile birleştirilse bile çubukların eksenleri birleşme noktasında kesişiyorsa mafsallı (pin-joint) olduğu varsayılır.
Tüm dış kuvvetler mafsala etkiyor varsayılır çubukların ağırlığı ihmal edilir. Edilmiyorsa ½ oranında mafsallara uygulanır.
Önce: Tüm sistemin serbest cisim diyagramı reaksiyonları elde etmekte kullanılır. Sonra en çok iki bilinmeyeni olan düğümden başlanarak tüm düğümlerin dengesi incelenir. Ve düğümlerdeki reaksiyonlar bulunur.
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Değişik düğüm noktalarına etki eden kuvvetler
m+3=2j; j: Düğüm sayısı, m eleman sayısı.
m+3> 2j ise fazla iç bağ vardır, çözülemez. m+3<2j ise eksik dış bağlı, yük altında çöker.
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Özel Düğüm Noktaları
θ dan bağımsız. Yük yok (F3=0) Yük yok Yük yok Özel Çapraz Elemanlar (Çapraz Gergi)
Özel Düğüm Noktalarında Uygun Eksen Takımı Seçimi
Bel vermeyi önler
Basınç ve çekme halinde geçerli y doğrultusunda yük var ise 0≠3F dır.
Katı ve çapraz bağlamada sistem çözümsüz. (Yük taşıyorsa)
İki bilinmeyen halinde uygun eksen seçilerek bilinmeyenin biri elimine edilebilir.
ve ′⇒ ⇒∑ ∑x x2 1F F F F
Elastik bağ ise asimetrik yükte yamulma olur. DC iptal, AB kalır. AB çekme yükü taşır. Hesap sonunda, AB çekme çubuğu çıkmaz ise iptal edilir. DC çekme yükü taşır.
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Kesim Yöntemi
KESİM YÖNTEMİ 1) 0, 0, `ın yanı sıra 0, avantajını sağlar.x xF F M= = =∑ ∑ ∑
2) İstenen elemanlardaki kuvveti hemen her zaman direkt olarak hesaplamayı sağlar. 3) İstenen kuvveti bulmak için düğüm yöntemiyle ilerlemeye gerek kalmaz. 4) Kesimi yaparken en çok üç bilinmeyen kuvvet olmalı. 5) Bağ kuvvetleri yine tüm sistemin serbest cisim diyagramından öncelikle elde edilir. 6) İstenen kuvvetlerden biri BE yi içine alacak hayali bir kesim yapılır. EF ve BC de bilinmeyen olarak çıkar. 7) Kesimin her ikisi de dengededir. 8) Kesilen çubuklardaki kuvvetler ister çekme ister baskı olsun daima çubuğun doğrultusundadır.
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
9) Bilinmeyen kuvvetlerin yönü sezgisel olarak işaretlenebilir, ancak hesaplarla kontrol edilmelidir. 10)Moment alınan noktanın iyi seçimi bilinmeyen iki kuvveti elimine eder, biri doğrudan elde edilir. (B noktası) 11) Gerektiğinde birden fazla noktaya göre moment yazılabilir (B ve E gibi). 12)Momentin yanısıra 0 ve 0 kullanılır.x yF F= =∑ ∑
13) Kesimin serbest cisim diyagramında iç kuvvetler(elemanlar) çizilmez. 14) Kesimi düğümlerden geçmeyecek şekilde çizersek çubuk kuvvetlerini serbest cisim diyagramında açıkça gösterebiliriz.
15)Her iki kesim de kullanılabilir. Ancak az kuvvet taşıyan çözüm daha kolay çözüm verir.
16) Düğüm yöntemi ile kesim yöntemi beraber kullanılabilir. Daha iyi sonuç verir. 17) Moment merkezi kesimin üzerinde veya dışında seçilebilir. Önemli olan bilinmeyen kuvvetlerin çoğunun geçtiği nokta olmasıdır.
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Örnek Problem 4/1 : Şekildeki çıkma çatı (konsol makas) kafes sisteminin her elemanının kuvvetlerini DÜĞÜM yöntemi ile hesaplayınız. Tüm Sistem:
30kN 20kN
5m
5m
5m
5m
A
B D
C E
.030
060
30 kN
20kN
5m
5m
5m
5m
5m
xF
yE
T
y
x
5m 5m
AB
ACA060
30kN
060060
BD
ABBC
B
5 20(5) 30(10) 0 80
0 80cos30 0
0 80sin30 30 20 0 10
x x
y y
T T kN
E E
E E kN
= ⇒ = ⇒− + + = ⇒ =
= ⇒ − = ⇒
= ⇒ + − − = ⇒ =
∑ ∑
∑
∑
E
x
y
M 0 M 0
F
F
0 0.866 30 0 34.6 ,
0 0.5(34.6) 0 17.32 ,
AB AB kN çekme
AC AC kN basınç
= ⇒ − = ⇒ =
= ⇒ + = ⇒ = −∑
∑
y
x
F
F
0 0.866 0.866(34.6) 0
0 (34.6)(0.5) (34.6)(0.5) 0
34.6 ,
34.6 ,
BC
BD
BD kN çekme
BC kN basınç
= ⇒ − − =
= ⇒ − − =
⇒ =
⇒ = −∑
∑
y
x
F
F
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
O düğümünü kontrol olarak kullanırız. Hesaplar doğru ise denge denklemleri sağlanır.
060 060
CDBC
CEAC=17.32
20kN
ED
EC
yE
69.3=xEE
0 0.866 20 0.866(34.6) 0
57.7 ,
0 17.32 57.7(0.5) 34.6(0.5) 0
63.5 ,
CD
CD kN çekme
CE
CE kN çekme
= ⇒ − − =
=
= ⇒ + + + =
= −
∑
∑
y
x
F
F
10 (0.866) 0 11.55 ,
0 69.3 63.5 (11.5)(0.5) 0
69.3 63.5 (11.5)(0.5) 0 sağlanır.
ED ED kN basınç= + = ⇒ = −
= ⇒ − + + =
− + + ≅
∑
∑
y
x
F
F
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Örnek Problem 4/2: Şekildeki çıkma çatı sisteminde KL, CL ve CB elemanlarının kuvvetlerini kesim yöntemi ile hesaplayınız. Tüm sistem:
0 200 0
0 0
y y
x x
A M
A M
= ⇒ − + + =
= ⇒ + =∑
∑
y
x
F
F
Reaksiyonlar çözülemez. MA elemanı statik olarak çözülemez. Doğrudan ilgili kısmın sol kesitine geçelim.
200kN
6.5m
18m
4m
H I J K
L
M
G F E D C B A3 33 3 33
1
3tan cot (90 )
5.253
tan 29.745.25
CBg
LBβ β
β β−
= − = =
= ⇒ =
( ) 200( ) 0
1[4 (6.5 4) )] 200(15) 0
23000
571 ,5.25
200(12) ( cos )4 0
2400 2400(0.923)(4) 3.6923
650 ,
200( ) ( ) 0, 12
6cos 9.6
6.5 4 4
CB BL GB
CB
CB kN basınç
KL
KL
KL kN çekme
PG CL PH PG CP
PCPC m
θ
θ
− + =
− + − + =
= =
= ⇒ − =
= =
=
= ⇒ − = = −
= = ⇒ =−
= ⇒
∑
∑
∑
C
P
M 0
M 0
M 0
PH sin60.23= sin 60.23
PC200(12 9.6 (0.868)(9.6) 0 0.868
57.6 ,
PH PC
CL PH PC
CL kN basınç
⇒ =
− − = ==
2
2.5tan 0.4166
61
cos 0.9231 tan
θ
θθ
= =
= =+
CL
BG
C
K
L
.
KLθ
βCB
α
H
P
200kN
60.23 90α β= = −
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Örnek problem 4/3: Şekildeki Howe çatı kafesinin D-J elamanının kuvvetini hesaplayınız. Mesnetlerdeki yatay reaksiyonları ihmal ediniz. Tüm sistem:
24 10(20) 10(16) 10(18) 0
44018.33
24
y
y
A
A
= ⇒− + + + =
= =
∑ GM 0
1. Kesimi:
10(4) 10(8) 12( sin ) 0
6tan 0.5 26.56
12
tan 0.5 4 458
40 80 12(0.707 ) 0
14.1 ,
18.33(12) 10(8) 10(4) 0.894 (6) 0
18.6 ,
CJ
hh
CJ
CJ k basınç
CD
CD kN basınç
α
θ θ
θ α
= ⇒− − + =
= = ⇒ =
= = ⇒ = ⇒ =
− − + ==
= ⇒− + + − =
= −
∑
∑
A
J
M 0
M 0
2. Kesim:
12( ) 10(16) 10(20)
18.3(24) 14.1(0.707)(12) 0
16.6 ,
DJ
DJ kN çekme
= ⇒ + +
− − ==
∑ GM 0
Not: CJ nin momenti hesaplanırken Bileşenlerinin yine J´ye etkidiği kabul edildi.
B
C
10kN10kN
A
D
E
F
G
L K J I4m 4m 4m 4m 4m 4m
1 2
B
C
DCD
CJ
J
θ
θ αJK
10kN10kN
18.33kN=yA
yA
10kN10kN
D
GJK
JC=14.1
DGDJ
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Uzay Kafes Sistemleri
Düğüm Dengesi Yöntemi …… ….. 0=ΣF
Kesim Yöntemi ...................... 0............0 =Σ=Σ MF
z
x
y
yM
xMzM
yR
zR
xR
Küresel Mafsal (Ball and socket joint)
yR
zRxR
z
x
y
Sabit Küresel Mafsal (Gömme veya kaymalı)
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
UZAY KAFES SİSTEMLER 1) Düzlemleri aynı olmayan üç düzlemsel kafes sisteminin KÜRESEL MAFSAL ile birbirlerine bağlanmaları ile oluşur. 2) Düzgün bir dörtyüzlü Rijid bir UZAY kafestir. 3) Uzay kafes sistemde üç çubuk ve bir düğüm ilavesi ile geliştirilebilir. (AF, BF, ve CF çubukları ve F düğümü) 4) Düğüm sayısı j ve çubuk sayısı m olan bir uzay kafes sistemde a) m + 6 = 3j ise izostatiktir. b) m + 6 > 3j ise fazla eleman var. Statik olarak hesaplanamaz. c) m + 6 < 3j ise iç bağ (eleman) eksikliği var. Sistem çöker. 5) ΣΣΣΣF = 0 her düğüme uygulanarak düğüm yöntemi ile çözüm yapılabilir. 6) ΣΣΣΣF = 0 ve ΣΣΣΣM= 0 denklemleri kullanılarak kesim yöntemi ile de çözüm yapılabilir. 7) ΣΣΣΣF = 0 , ΣΣΣΣM= 0 ⇒ 6 skaler denklem yazılacağından kesim de en çok 6 bilinmeyen ortaya çıkmalı. Pratik değildir.
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Çerçeve ve Makinalar Rijit ve Oynak Sistemler
Mafsal Bağlantısı
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
ÇERÇEVE VE MAKİNALAR
Tanım: En az bir elemanına üç veya daha fazla kuvvet etkiyen taşıyıcı sisteme
ÇERÇEVE veya Makina denir. (Üç kuvvet veya iki kuvvet + bir çift)
1) Çerçeveler sabit konumda yük taşımak için dizayn edilirler.
2) Makinelerin hareketli kısımları vardır. Kuvvetleri ve çiftleri girişten – çıkışa
taşımak için dizayn edilirler (input - output)
3) Kuvvet genelinde elemanların doğrultusunda değildir.
4) Çoğunlukla iki boyutlu olmalarına rağmen üçboyutlu (UZAYSAL) çerçeve
ve makinalarda oldukça fazladır.
5) Her parçaya gelen kuvvetler, o parçanın sistemden izole edilmesiyle çizilen
serbest cisim diyagramına ΣF=0 ve ΣM=0 denge denklemlerinin uygulanması
ile elde edilir.
6) İzole etmede ETKİ-TEPKİ prensibi geçerlidir.
7) Ele aldığımız sistemler statik çözülebilirdirler.
8) Mesnetten ayırınca sistem şeklini koruyorsa sistemi tek bir rijid cisim olarak
alabiliriz. [a]
9) Sistemi elemanlarına ayırarak her parçaya denge denklemlerini uygularız.
10) Mesnetten ayrılan sistem şeklini koruyamıyorsa, mesnet reaksiyonlarını da
sistemin parçaları üzerindeki hesaplarla elde ederiz.
11) Parçalara etkiyen kuvvetlerin yönünü sezgisel olarak koyarız ve hesaplarla
kontrol ederiz. (a), (b)
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
)(66.5
045cos80
)(8
066.545cos0
basıaskNBD
BDF
çekmekNBC
BCF
y
x
=
=−→=Σ
=
=−→=Σ
UYGULAMA PROBLEMLERİ
Problem : 1 (4/3) Şekildeki kafes sisteminde BE ve BD çubuklarına gelen kuvvetleri bulunuz. A Düğümü :
E Düğümü: B Düğümü:
0 sin 45 4 0
5.66
0 5.66cos 45 0
4 ( )
y
x
F AB
AB kN
F AE
AE kN basınç
Σ = → − =
=
Σ = → − =
=
AB
AE x
y
4kN
00 =→=Σ BEFy
0 4 0
4 kN (Basınç)xF BE
ED
Σ = → =
=
-
BEED4kN
y x
BC
BD
BE
5.66 kN
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
5/4sin
5/3cos
00
2
0860
6
0)6(8)4(6120
=
=
=→=Σ
=
=−+→=Σ
=
=−−→=Σ
θ
θAxx
Ay
Ayy
Dy
DyA
FF
kNF
FF
kNF
FM
)(5.7
0)5/3(5.260
)(5.2
02)5/4(0
çekmekNF
FF
basıaskNF
FF
AE
AEx
AB
ABy
=
=−−→=Σ
=
=−→=Σ
Problem : 2 (4/6) Bütün üçgenlerin eşkenar olduğu şekildeki kafes sisteminde bütün çubuklara gelen kuvvetleri bulunuz.
A Düğümü:
B Düğümü:
y BE
BE
BC
BC
F 0 F (4 / 5) 2.5(4 / 5) 0
F 2.5 kN (çekme)
ΣF 0 F 6 2.5(3 / 5) 2.5(3 / 5) 0
F 9 kN (basınç)x
Σ = → − =
=
= → − + + + =
=
AE6 kN
AB
2 kN
6 kN BC
BE2.5 kN
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
C Düğümü:
D Düğümü:
)(5.7
)(5.7
09)5/3()5/3(0
0)5/4()5/4(0
baskNF
çekmekNF
FFF
FF
FFF
CD
CE
CECEx
CDCE
CDCEy
=
=
=−+→=Σ
=
=−→=Σ
)(5.4
0)5/3(5.70
çekmekNF
FF
DE
DEx
=
=−→=Σ
9 kN
2,5 kN CD
DE
7,5 kN
6 kN
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Problem : 3 (4/18)
Şekildeki kafes sisteminde AF, BE ve BF ve CE çubuklarına gelen kuvvetleri bulunuz.
kNF
FF
kNF
FFF
kNF
FM
Ax
Axx
Ay
GyAyy
Gy
GyA
15
04560
3.21
00
3.21
0)2(4)4(5)6(60
=
=−++→=Σ
=
=+−→=Σ
=
=+−−−→=Σ
G Düğümü: FG α AG 21.3 kN
A Düğümü: AB AF 10.67 kN 15 kN 21.3 kN
)(67.10
0sin9.230
)(9.23
0cos3.210
çekmeF
FF
baskNF
FF
AG
AGx
FG
FGy
=
=−→=Σ
=
=−→=Σ
α
α
)(17
03.2145sin13.60
)(13.6
045cos1567.100
çekmekNF
FF
çekmekNF
FF
AB
ABy
AF
AFx
=
=−+→=Σ
=
=+−→=Σ
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
F Düğümü:
B Düğümü: BC BE α 6.5 kN 4 kN 17 kN
)(50.6
0sin9.2345cos13.6sin01.19
0
)(01.19
045sin13.6cos9.23cos0
baskNF
F
F
baskNF
FF
BF
BF
x
EF
EFy
=
=−−+
→=Σ
=
=−+−→=Σ
αα
αα
)(59.5
050.64sin0
çekmekNF
FF
BE
BEx=++→=Σ α
EF
15 kN
6,13 kN45°°°°
αααα
αααα
23,9 kN
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Problem : 4 (4/21) Şekildeki kafes sisteminde AB. BH ve BG çubuklarına gelen kuvvetleri bulunuz. BF ve CG elemanları sadece çekme kuv- veti taşıyabilmektedirler.
kNF
FF
kNF
FM
Ay
Ayy
Dy
DyA
67.4
033.5640
33.5
0)6(6)3(40
=
=++−−→=Σ
=
=+−−→=Σ
A Düğümü:
H Düğümü: Çapraz elemanlardan BF elemanının yük taşıdığını ve BG nin yük taşımadığı kabul edilsin. Bu durumda;
)(69.2
060cos39.50
)(39.5
067.460sin0
baskNF
FF
çekmekNF
FF
AB
ABx
AH
AHy
=
=−→=Σ
=
=+−→=Σy
AB
4,67 kN
0 5.39cos30 sin 60 0
5.39 ( )
y BH
BH
F F
F kN bas
Σ = → − =
= BH
GH
5,39 kN
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
B Düğümü: Problem : 5 (4/30) Şekildeki kafes sisteminde BE çubuğuna gelen kuvveti kesim yöntemi ile bulunuz.
Kafes sistemini, CB, EB ve EF çubuklarından geçecek şekilde kesip, üst kısmın serbest cisim diyagramı çizilecek olursa;
D
BE
BE
BE
0
5 (-2 ) 0
10 ( 4 ) F ( sin cos ) 0
10 4sin 26.6.F . 0
α α
Σ =
× + × =
+ − × − − =
− =
M
i j OB F
k j i j
k k
2 m
1 m
1
0 5.39sin 60 4 sin 0
1.018 ( )
2.60tan ( ) 40.9
3
y BF
BF
o
F F
F kN çekme
α
α −
Σ = → − − =
=
= =
E
D
C
F
FEFFBEFBC
2 m
6 kN
5 kN
2 mα
1 m
α
yx
1
BE
BE
tan (1/ 2) 26.6
0 5(2) sin 26.6(4) 0
5.59 ( )
o
D F
F kN çekme
α −= =
Σ = → − =
=
M
α
4 kN
2,69 kN
5,39 kN BF
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Problem : 6 (4/33) Şekildeki kafes sisteminde CH ve CF çubuklarına gelen kuvvetleri kesim yöntemi ile bulunuz. Kafes sistemi CB, CH ve GH çubuklarından kesilerek ikiye ayrılıp, sağ tarafın serbest cisim diyagramı çizilecek olursa;
)(8.101
0)24(345sin0
baskNF
FF
CH
CHy
=
=−→=Σ
1.ci kesim
2.ci kesim
D E
F
24 kN
24 kN
FCDC
G
1 m
2 m
FGF
FCF
α
G
D E
F
CFCB
FCH
FGH
45°24 kN
24 kN
x
yH
24 kN
E
CF
CF
CF
CF
0
( 24 ) ( ) =0
2 ( 24 ) ( 4 ) =0
48 4 (cos sin )=0
48 (4) sin 26.6 =0
α α
Σ =
× − + ×
− − + − ×
+ − × +
−
M
ED j EC F
i j i F
k i F i j
k F k
o6.26)2/1(tan 1 == −α
E CF
CF
0 24(2) sin 26.6(4) 0
26.8kN ( )
F
F çekme
Σ = → − =
=
M
1 2
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Problem 7 : 4/39 Şekildeki kafes sisteminde bütün üçgenler ikizkenar dik üçgendir. Ortadaki çapraz elemanların kablo gibi basınç kuvveti taşıyamayan elemanlar olduğu bilindiğine göre, bu çapraz elemanlara ve MN çubuğuna etkiyen kuvvetleri bulunuz.
B noktasındaki tepki kuvvetini bulmak için;
0 (6 ) 100(4 ) 80(2 ) 0
40
A B
B
M F a a a
F kN
Σ = → − + =
= ↑
Çapraz elemanların olduğu kısımdan alınan kesitte, serbest cisim diyagramı;
)(8.84
0100402
0
çekmekNF
FF
FN
FN
y
=
=−+→=Σ
)(20
0)()2
(8.84)2(400
çekmekNF
aFa
aM
MN
MNE
=
=−−→=Σ
Orta kısımdaki çapraz elemanlardan geçen kesim alınarak, serbest cisim diyagramı çizildiğinde;
0 84.8 ( )y GMF F kN çekmeΣ = → =
a
a
a
x
y
E D C
B
O
N
FFN
FEF
FMN
F
100 kN
.M
40 kN
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Problem : 8 (4/54) Şekildeki uzay kafes sisteminde AB, AC ve AD çubuklarına etkiyen kuvvetleri b ulunuz. M noktası BCD üçgeninin geometrik merkezidir. B(-0.577, -1, 0) C(1.155, 0, 0) D(-0.577, 1, 0) A düğümünün dengesi için serbest cisim diyagramı çizilecek olursa; AB, AC ve AD çubuklarına etkiyen kuvvet vektörleri;
222 31577.0
3577.0
++
−−−=
kjiT
ABABT
)933.0311.01796.0( kjiT −−−=ABAB
T
)933.0359.0(
3155.1
3155.122
kiT
kiT
−=+
−=
ACAC
ACAC
T
T
)933.0311.01796.0(
31577.0
3577.0222
kjiT
kjiT
−+−=++
−+−=
ADAD
ADAD
T
T
şeklinde yazılabilir. Üç doğrultudaki kuvvet dengesi yazılırsa;
0933.0933.0933.0(0
0311.04(0
01796.0359.01796.0(0
=−−−→=Σ
=+−→=Σ
=−+−→=Σ
ADACABz
ADABy
ADACABx
TTTF
TTF
TTTF
)(43.6
0
)(43.6
baskNT
T
çekmekNT
AD
AC
AB
−=
=
=
TAC
TADTAB
(0, 0, 3)
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Problem : 9 (4/71) Şekildeki sistemde, BC parçası, 60 N’luk kuvvet çifti etkisinde ACD parçasının dönmesini engelle- mektedir. A mesnetine etki eden kuvvetin (R) büyüklüğünü bulunuz. BC elemanına etki eden kuvvetler incelendiğinde, B ve C deki kuvvet- lerin BC doğrultusunda olduğu gö- rülür. ACD elemanının serbest cisim diyagramı çizildiğinde, denge için A mafsalındaki R kuvvetinin C’deki kuvvete eşit ve AC doğrultusuna paralel olacağı görülür. Ayrıca A ve C’deki paralel kuvvetlerin oluşturacağı kuvvet çiftinin D noktasına uygulanan 60 N.m’lik kuvvet çiftine eşit ama zıt yönde olması gerekir.
Şekildeki açılar ;
oo
o
o
1.3990
04.1420.0
15.02.0tan
9.3620.0
15.0tan
1
1
=−−=
=−
=
==
−
−
βθγ
β
θ
.375
060)206.0)(04.149.36sin(0
.206.02.0)15.02.0( 22
NR
RM
mAC
=
=−+→=Σ
=+−=
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Problem : 10 (4/79)
Şekildeki sistemde, parçaların ağırlıklarını ihmal ederek, her iki parçaya etki eden parçaların x ve y bileşenlerini bulunuz.
Sistemin bütününde ve parçalarında serbest cisim diyagramları çizilirse;
I no’lu serbest cisim diyagramından;
00
8.153
050)325.0(0
=→=Σ
==
=−→=Σ
xx
yy
yA
AF
NAC
CM
III no’lu parçanın serbest cisim diyagramından;
NBBF
NBBF
ND
DM
yyy
xxx
x
xB
8.15308.1530
20502050
205
0150.0)200.0(8.1530
=→=−→=Σ
=→=−→=Σ
=
=−→=Σ
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Problem : 11 (4/89) Şekildeki küçük baskı makinasında, uygulanan P kuvveti sonucunda, E noktasında F cismine etki eden baskı kuvvetini bulunuz.
Parçaların serbest cisim diyagramları çizilecek olursa;
CD elemanına etki eden kuvvetlerin denge için aynı doğrultu ve zıt yönde olmaları sonucuna varılır. Bu durumda;
xyDD
4
3=
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
BD parçasının dengesinden;
5
22
0)5
36(
4
30
5
360
5
36
0)4
3(90302700
PB
PPBF
PDBF
PD
DDPM
y
yy
xxx
x
xxB
=
=−+→=Σ
==→=Σ
=
=−+→=Σ
ABE parçasının dengesinden;
PP
E
PEM
A
2.75
36
0)120(5
361200
==
=−→=Σ
bulunur.
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Soru 1 : Şekildeki mile dört kuvvet ve üç çift etkimektedir. Bileşenlerin Rx, Ry, Rz koordinatlarını ve toplam momentin Mx, My, Mz koordinatlarını hesaplayınız. Sistemin invariyantını elde ediniz. Sistem nasıl indirgenebilir? Açıklayınız. Bileşke SIFIR, Moment≠0 olduğundan Sistem;
780 290 200= − + +AM i j k ÇİFTİNE İNDİRGENİR.
1 m
0,8 m
1 m
1 m
y
x
3
4
200 N
z
80 N.m
F 3
F 4
F 2140 N
.200 N.m
50 N.m
300 N
120 N
A
B
F1
1 m
0,8 m
1 m
1 m
y
x
200 N
z
80 N.m
F 3
F 4
F 2 140 N
200 N.m
50 N.m
300 N
120 N
A
B
F1
C
D
E
1
2
4
3 4200.( )
5 5140
120
300
= − −
= −
=
=3
F i j
F j
F i
F j
(120 120) ( 160 140 300)
0 0
= − + − − +
= ⇒ = = =�
x y zR R R
R i j
R
80 50 200
( 140 ) 2 (120 )
2,8 300 80 50 200
140 240 840
80 50 200
( 780 290 200 ) .
− + +
= × − + ×
+ × − + +
= + −
− + +
= − + + N m
A 2 3 4
A
A
A
M = AC×F + AD×F + AE×F
i j k
M k j k i
k j i j k
M i j i
i j k
M i j k
780 . , 290 . , 200 .
....... İnvariant 0. 0
= − = =
= = = = ⇒ ≡�
x y zM N m M N m M N m
A B Q AR.M R.M R.M M
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Soru 2: Şekildeki AOB dirseği O noktasında sabit mafsallı olup maksimum 3,5 kN yük taşıyabilmektedir. Dirseğin A ucuna tatbik edebileceğimiz maksimum yük ne olmalıdır.
O
350 mm
250
mm
60°
F
A
B.
N
F M
350 mm
250
mm
60°
Ox
yx
30°B
A
Oy
O
0 .cos30 0
0 .sin 30 0
0 0
350 ( ) 250(cos 60 sin 60 ) ( cos30 sin 30 ) 0
350 250 ( cos 60 .sin 30 sin 60 cos30 ) 0
350 250 ( 0, 25 0,75) 0
3501, 4
250
cos30
Σ = ⇒ − + =
Σ = ⇒ − − =
= ⇒ × + × =
− × − + + × − =
+ − − =
+ − − =
= =
=
�
�
� � � �
� � � �
�
x x
y y
x
F O N
F O F N
F N N
F N
F N
FN F
O N
OM OA F OB N
i j i j i j
k k
2 2 2 2
0,866 0,866(1, 4 ) 1,212
1,4 sin 30 1,4(0,5) 0,7 1,7
(1,212 ) (1,7 ) 3,5
3,51,68
2,08
= = =
= + = + = + =
= + = + =
= =
�
y
x y
N F F
O F F F F F F F
O O F F kN
F kN kN
O
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Soru 3: Şekildeki kafes sistemde A merkezî mesnedinin verilen düşey yüklerin yarısını taşıyabildiği bilindiğine göre BF elemanındaki FBC kuvvetini hesaplayınız.
G H
.
B
A
F
C D E... Her biri 12m olan 6 panel
16 m
12 m8 kN 8 kN 8 kN 8 kN10 kN10 kN
x
FAB FAF
A
26 kN
D E
F H45
A
FFB
12m 12m 12m
10kN 8kN 8kN
16m
FFB=18,38 kN
A
G H y
G H A G G H
1 1F = (Toplam düşey yük) (52)=26 kN
2 2Simetri var F =F , ΣF 0
F +F +F 52 0 2F =52-26 F =F =13 kN
=
⇒ =
− = ⇒ ⇒
FAB FAF
26 kN
45° 45°
A düğümü: 0 0
2 20 26 0
2 2
226( ) 13 2 18,38 Basınç
218,38 kN Basınç
x AB AF AB AF
y AF AF
AF
AB
F F F F F
F F F
F
F
Σ = ⇒ − + = ⇒ =
Σ = ⇒ + + =
= − = − = −
= −
Şekildeki kesimi yapalım 0
( )(16) 10(12) (8)(24) (8)36 13(48)
2 218,38( )(12) (18,38)( )(16) 0
2 2388
24, 25 kN Çekme16
D
B
FB
M
F
F
Σ =
− − − − +
+ + =
−= =
−
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Soru 4: Şekildeki mengene, kıskaçlarının arasındaki metal çubuğa 200N büyüklüğünde bir çift basınç kuvveti üretecek şekilde ayarlanmıştır. BC dişli milindeki kuvveti ve D mafsalındaki bağ kuvvetinin büyüklüğünü hesaplayınız. Uzunluklar (mm) dir.
E
F1010
C
D
AB
35 35 40
30
y
x
DF
200 NFD
α
35 40
C.FC
40
( )( )
D C
D
C
C
D C
D
1
D
0 F cos F 0 1
0 F sin 200 0 2
0 ( 40)(F ) (200)(75) 0
1500F 375 N Basınç
40(1) F cos F 375
(2) F sin 200
200tan 0,533 tan (0,533)
375
28,1
375F 425,17 N
cos 28,1
α
α
α
α
α α
α
−
= ⇒ − + =
= ⇒ − =
= ⇒ + − =
= =
⇒ = =
⇒ =
= = ⇒ =
=
= =
x
y
b
ΣF
ΣF
ΣM
�
�
İ.T.Ü. Makina Fakültesi STATİK Mekanik Ana Bilim Dalı Bölüm 4
Soru 5: Şekildeki tekerlek mekanizması BC çubuğuna uygulanan moment yardımıyla yükseltilebiliyor. AO çubuğu ve tekerleğin toplam kütlesi 50 kg ve ortak kütle merkezi G olduğuna göre, verilen konumda sistemi dengede tutmak için gerekli M momentini hesaplayınız. BC ve CD çubuklarının ağırlıkları ihmal ediliyor. θθθθ=30°°°° dir.
.
800 mm
200 mm
C.
O
D
θθθθ
B
A
400 mm
M
500 mm
G
500 mm
L
400
.30°
30°α=30°
h
Ay
Ax
FDCD
30°
WO
G
800
200
α
0, 4sin
0,8
1sin
2
30
α
α
α
=
=
= �
A DC
DC
DC
B
CD
y x x y
ΣM 0 h.F -LW 0
h 800cos30 L 1000sin 30
(800cos30 )F (1000sin 30 )(50)(9,81) 0
F 353,969 N 354 N
BC Kolu: M 0
M-hF 0
M (500cos30 )(353,869) 0
M 153, 268 N.m
B ve B istenmiyor.ΣF 0, ΣF 0 kullanılabilir.
= ⇒ =
= =
− =
= ≅
Σ =
=
− =
=
= =
� �
� �
�
.30°°°° 30°°°°
30°°°° 30°°°°
MBx
B y
B
C
h
FCD
500