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Bildrekonstruktion
als Studentenprojekt
DIETER SCHOTT
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Logiker Mathematiker
Professor in Jena
Begründer der modernen Logik
Aristoteles II.
TRADITION Gottlob Frege
*1848 Wismar
†1925 Bad Kleinen
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Mathematiklehre - Dilemma
• Wissensexplosion – Stofffülle
• Innovation – neue Hilfsmittel
• große Streuung der Eingangskenntnisse
• begrenzter Stundenumfang
• begrenztes Lehrpersonal
• Geldmangel - Imageproblem
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Mathematiklehre - Anspruch
• modern (Kenntnisstand, Hilfsmittel, Methoden)
• wissenschaftlich (Theorie, Hochschule)
• anwendungsorientiert (Praxis, Wirtschaft)
• motivierend (Anwendungen, Interesse, Spannung)
• international (Globalisierung, Austausch, Kooperation)
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Mathematiklehre - Struktur
Eingangs-prüfung
Grundlagenallg. Prinzipien
und Denkweisen
ProblemlösenSelbststudium
kleine Auswahlaktueller Gebiete
Projekte
Literatur-Quellen
InternetkurseFachliteratur
WerkzeugeHilfsmittelComputerSoftware
KritikfähigkeitKerncurriculum
interdisziplinärkooperativangewandt
PraxisproblemeZusatzangebote
Modellieren
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Praxis-Problem
ModellModell
Mathematisches Modell
Mathematisches Modell
Algebra
Analysis
Algebra
Analysis
Numerische
Methoden
Numerische
Methoden
mathematische Lösung
mathematische Lösung
INFORMATIKINFORMATIK
VerifikationVerifikationComputer Software
Expertensystem Expertensystem
LösungLösung VerifikationVerifikation
Anwendung
in der Praxis
Anwendung
in der Praxis
• Fehler-Analyse
• Fallstudien
• Experimente
• Wechsel der Verfahren
• Interpretation
• Fehler-Analyse
• Fallstudien
• Experimente
• Wechsel der Verfahren
• Interpretation
Modellkorrekturen Modellkorrekturen
Grafik
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Interdisziplinäre Vernetzung
• Mathematik – Lösungsmethoden
• Physik – naturwissenschaftliche Modelle
• Informatik – Software, Grafik
• Technik – Apparate, Geräte
• Design – Gestaltung, Aussehen, Funktion
• Wirtschaft – Ökonomie, Vermarktung
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Projekte - Funktionen
• Praxisrelevanz
• Interdisziplinarität
• Modellierung
• Kooperation, Kreativität, Konkurrenz
• Computer, Software, Programmierung
• Präsentation (Text, Vortrag, Verteidigung)
• Selbststudium (Quellen)
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Projekte - Beispiele
• Bildrekonstruktion (CT)
• Schwingungen (Pendel)
• Ökologische Modelle (Räuber-Beute)
• Strategische Spiele
• Graphenalgorithmen (Kürzeste Wege, Rundreisen)
• Fraktale Geometrie
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Computermathematik
• Computeralgebra, Numerik, Grafik• Softwarekenntnisse (MATLAB)• Standardfunktionen (Expertensystem)• Programmierung (Funktionen,
Oberflächen)• grafische Schnittstelle (Nutzerinteraktion)• Experimente, Simulationen (Strategie)• anspruchsvolle Beispiele aus der Praxis
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Computertomographie - Modell
• Strahl geometrisch (Geraden, Streifen, Zylinder, Kegel)
• Strahlenergie (monoenergetisch, Spektrum)
• Objektstruktur – Schwächungsverteilung – Funktion
• Objekt 3D – parallele Objektschnitte 2D
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Computertomographie - Modell
Objektschnitt mit StrahlI0
I
Q
f(x,y)
L
0 exp( )I I f l 0 exp( ( , ) )L
I I f x y dl
0( , ) ln : ( )L
If x y dl g L
I RADON - Integralgleichung
Physikalisches
Gesetz
Mathematisches
Modell
L: Gerade
: Objekt
Q: Quadrat
f: Dichte
I: Intensität
Schwächung
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Calculating projections
s perpendicular distance from origin to line L(, s) angle of the normal of the line L(, s)
( , ) ( , ) L
P s f x y dl
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Calculating projections
Rotate the x-y axis by angle
cos sinsin cos
xsyt
cos sinsin cos
x sy t
[0, )
( , ) ( , ) ( cos sin , sin cos ) P s f x y dl f s t s t dt
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Bildrekonstruktion - ein interdisziplinäres Problem
• Wissenschaftstheorie (Abstraktion, Modell, Simulation)• Physik (Röntgen-Strahlung und ihre Schwächung)• Mathematik (Radonsche Integralgleichung)
– Analysis, Numerik, Wissenschaftliches Rechnen• Informatik (Implementierung der Algorithmen)
– Komplexität, Algorithmen, Datenstrukturen, Programme
• Ingenieurwissenschaften (Computertomograph)• Medizin (Diagnostik, Bilddarstellung, Strahlenbelastung)• Wirtschaft (Aufwand und Nutzen)
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Diskretisierung der Integralgleichung
Li
aij Schnittlänge von Li in Qj, oft aij=0
Q
Q1
Qj
m = p q Geraden Li mit Daten gi := g(Li)
Quadrat Q mit
n = k2 Pixeln Qj
Funktion f
konstant über Qj:
f | Qj=: fj
Wert - Farbe f1
Wert - Farbe fj
Strahlennetz
Pixelraster
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Numerisches Modell:Lineares Gleichungssystem
( , ) ( )L
f x y dl g L
1
( 1,..., )
.
n
ij j ii
a f g i m
bzw A f g
Diskretisierung, Approximation
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Lineares Gleichungssystem (LGS)
LGS
Defekt- Min.Kleinste-Quadrate-Lösungen
eine Lösung
mod. LGS
viele Lösungen keine Lösung
allgemeine Lösung
(Struktur, Parameter)
spezielle Lösung
(Zusatzbedingungen)
Lösungen
Computer-
LösungVerfälschung von Werten und Struktur
Geometrische
Bedeutung
Fehler!!!Regularisierung
Verfahren
Pseudoinverse
Größe
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Lösungskonzept
• A f = g LGS mit A = ( aij ) vom Format (m,n)– m Messdaten, n Pixel– m < n : LGS unterbestimmt (mehr Pixel)– m > n : LGS überbestimmt (weniger Pixel)
• A f = g schwach besetzt und i. Allg. nicht lösbar– spezielle Speichertechniken– verallgemeinerte Lösungen (KQL, Pseudoinverse)
• Vor-Bedingung: f >= 0 (koordinatenweise)• Regularisierung:
(AT A + E) f = AT g (Parameter > 0 klein)
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Lösungsverfahren: spezielle Iteration
H1
H2
Projektion auf Hyperebenen (KACZMARZ 1937)
Auswahlstrategie der Hyperebenen: zyklisch, größter Abstand,...
Spezialfall
m=n=2
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Lösungsverfahren:Modifikationen
Über-Relaxation
Unter-Relaxation
Algebraic reconstruction technique (ART): HERMAN 1970
A-priori-Information: Null-Setzen der negativen Koordinaten
HParameter-Optimierung
Konvergenz- Beschleunigung
Regularisierung
Kleinste-Quadrate-Lösungen
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Methodologie
Rekonstruktionsproblem
Radonsche Integralgleichung
Lineares Gleichungssystem
Lösungskonzept
Lösungsverfahren
Implementierung
Berechnung einer Lösung
UntersuchungenExperimente
UntersuchungenExperimente
InterpretationVerifikation
InterpretationVerifikation
Physikalische Gesetze
Computer Software
ProgrammierungProgrammierung
math. Modell
ApproximationDiskretisierung
Kleinste QuadrateRegularisierung
Gauss, Konj. Grad., ART
Messdaten
Fehler
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Teilprogramme
Messgeometrie Messdaten
Matrix Vektor
Datengenerator
Phantom-Modell
Matrixgenerator
Lineares Gleichungssystem
Lösungsverfahren
Vektor Skelett Funktion
Interpolation
Grafik
SkelettFunktion
2D3D
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Bedienoberfläche - Wand
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Bedienoberfläche - Dose
Cylindric rise
2 2 2 1 for ( ) ( )( , ) 0 elsewhere
x a y b rf x y
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Bedienoberfläche - Maus
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Objekt Kopfschnitt
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Objekt Autobild
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Untersuchungen - Experimente
• Strahlen L - Strahlenmodell, Strahlennetz• Approximation von f - Raum für Lösungen • Strahlennetz - Lösungsbasis (Relation)• Bestimmung von A (Effizienz, Fehler)• Berechnung von g (Pseudo-Messdaten)• Lösungsverfahren A f = g (PSH, BART, Opt.)• Q-Erweiterung von f, Grafik, Effekte• Gütemaß Original – Rekonstruktion• Bedienoberfläche• Objekte 2D - 3D (Funktion, Bild, stetig-diskret)
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Parallel beams Fan beams
Strahlennetze
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Strahlen als Streifen
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Struktur von Strahlennetzen
p = 32q= 32
m = 1024
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Besetztheit von B = A‘A
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ISSN
ISBN 3-446-22043-7
Dieter Schott
Mit diesem Buch
meistern Sie
die Herausforderungen!
Auf Ihre Zukunft!
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Doppelspitze
Rekonstruktion
Bremen, Oktober 2005 36
Wellen mit Spitze
Rekonstruktion