7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
1/20
Metode de descompunere n factori
1. Metoda factoru lu i comun
Aceast metod se bazeaz pe proprietatea de distributivitate a nmulirii fa de adunarea/scdereanumerelor naturale : .Exemple:1.3x6 =3(x2) ;2. 5 1 0 5 2;. 2 72 2 2 7 2 2 3 7 .2.Util izarea formulelor de calcul prescurtat
( ) ( ) ( . . ), , 3.Metode combinate
Exemple:
1. 2 2 2 2 2. 1 2 1 1 1 1 3. Metoda I: 3+ 2 2 2 1 2 1 1 2
Metoda II: 3 2 [ 2 ] 2 2 32 12 32 12 1 2
Sume remarcabile
1 2 3 . . 12 ;= 1 2 = 12 16 ; 12 = Modulul unui numr real
Modulul unui numr real x , notat
||, este distana de la origine la punctul ce l reprezint pe o ax a
numerelor. | | 0
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
2/20
pg. 2 Algebr-Geometrie-Analiz
1)|| 0 , ;2|| 0 0 ; 3| | || ||;4|: | ||: ||, , , 0 ;5| | || ||, , ; 0;6|| ,; 7|| , ,, 0Parte ntreaga unui numr real x , notat , este cel mai mare numr ntreg mai mic sau egal cu x. Diferena se numetepartea fracionara lui x.
Progresii
Aritmetice:
irul este o progresie aritmetic de raie r dac + , 1.( n acest caz scriem
)
Proprieti : 1) progresie aritmetic + , 22)progresie aritmetic 1 , 13)progresie aritmetic . + Geometrice:
irul este o progresie geometric de raie q(q nenul) dac + , 1.( n acest caz scriem
)Proprieti : 1) progresie geometric +, 22)progresie geometric 0 , 13)progresie geometric .
Ecuaia de gradul II cu coeficieni reali 0,. . , 0, 4 - dac
0,
+
- dac 0, : + - dac 0, ,
Soluiile ecuaiei de gradul II verific relaiile lui Viete : Dac numerele, ,
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
3/20
pg. 3 Algebr-Geometrie-Analiz
0Funcii definiii, proprieti
Graficul i imaginea unei funcii:Numim graficul unei funcii:
,|.
Dac f este o funcie numeric (adic A,B R), atunci are o reprezentare geometric ntr-un plan pentru caream ales un reper cartezian. Aceast reprezentare geometric se numete, de obicei, tot graficul funciei f.Imaginea funciei: | Funcii injective, surjective, bijective:
Funcia: este injectiv dac : , , , ,
Funcia: este surjectiv dac: , , , .O funcie se numete bijectiv dac este att injectiv ct i surjectiv.Compunerea funciilor:
Dac: : sunt dou funcii , compusa lor este funcia : () , .Dac notm cu 1: , 1 , funcia identic a mulimii A, atunci 1 , pentru oricefuncie
: i
1 ,pentru orice funcie
: .
Funcii inversabile:
Funcia: se numete inversabil dac exist : , astfel nct 1.Dac exist funcia geste unic ; ea se numete inversa lui f i se noteaz.Pentru , , .O funcie este inversabil dac i numai dac este bijectiv.Simetrii ale graficului:
O funcie: se numetepardac .Graficul unei funcii pare este simetric fa de axa Oy.
O funcie
: se numeteimpardac
.Graficul unei funcii pare este simetric fa de
originea sistemului de coordonate.
O funcie: se numeteperiodicdac exist un numr (numit perioad a lui f) astfel nctf(x+T)=f(x).Cea mai mic perioad strict pozitiv, dac exist, se numete perioad principala a lui f.
Monotonie:
Funcia: se numetefuncie cresctoare(strict cresctoare) dac , , .
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
4/20
pg. 4 Algebr-Geometrie-Analiz
Funcia: se numetefuncie descresctoare(strict descresctoare) dac , , .Funcia se numete monoton (strict monoton )daceste sau cresctoare (strict cresctoare) saudescresctoare (strict descresctoare).
Funcia de gradul II
: , , . . , 0Forma canonic a funciei de gradul II este .Graficul unei funcii de gradul II este o parabol .Coordonatele vrfului parabolei sunt , .Dac >0 graficul funciei intersecteaz axa Ox n dou puncte A1(x1,0) i A2(x2,0), unde x1,x2sunt soluiileecuaiei f(x)=0.
Dac =0 , parabola este tangent a axei Ox , atingnd axa doar cu vrful.
Dac 0parabola admite un minim( este convex) iar dac a < 0 parabola admite un maxim (este concav).
Funcia este monoton pe fiecare din intervalele , , Operaii cu puteri i radicali:
Puterea nti a numrului a este prin definiie a; notm i citim a la puterea nti este egal cu a.Dac n este numr natural cu n2 atunci puterea a-n-a a numrului natural a , se notez (citim a la puterea n) este prin definiie :
.
n ori
Obs .1. a se numete baza puterii iar n se numete exponentul puterii.
2. operaia 0nu are sens.Exemplu:2 2 2 4 ; 3 3 3 3 3 8 1
REGULI DE CALCUL CU PUTERI
1. +2. 3. : 4. 5. : : 6. REGULI DE CALCUL CU RADICALI
1) , a,b0, mN,m22) : : ,a0,b>0, , nN,n2
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
5/20
pg. 5 Algebr-Geometrie-Analiz
3) , a>0 , , m,n,pZ,m,n24) , a,b >0 , , m,n,p,qZ,m,n25) ||
Logaritmul unui numr real pozitiv
def.Fie a,b >0, a1.Soluia unic a ecuaiei , se numete logaritm n baz a din b , i se noteaz log .Proprieti:1) log , , 0 , 12)log 1 0 , log 1 , 0, 13)log 0 , 0,1 , 1, 4)log l o g l o g , , , 0 , 1
5)log : l o g l o g , , , 0 , 16)log l o g , , 0 , 1 , 7)
log , , , 0 , , 18)log , , 0 , , 1
Numere complexe
Mulimea numerelor complexe este |,, 1.Dac atunci partea real a lui z este Rez=a, iar partea imaginar esteImz = b.Dou numere complexe z1=a1+b1i i z2=a2+b2i sunt egaledac a1=a2i b1=b2.
Dac ntr-un plan
alegem un sistem cartezian ortogonal , atunci putem defini o funcie pe C cu valori n
,
care asociaz oricrui numr z=a+bi punctul M de coordonate (a,b).Aceast funcie este bijectiv .Punctul M senumete imaginea lui z iar z se numete afixul lui M.
Puterile unitii imaginare, i: 1 , + , + 1 , + , Conjugatul unui numr complex/: Dac , atunci conjugatul su este . Proprieti:
1) 2 3) : : 4) , 5) 6) Modulul unui numr complex: Dac , atunci modulul su este || .Proprieti:
1) || +, 2)|| 0 0 3) | | || || 4)|: | ||: ||5)|| ||, 6)| | || || 7) ||
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
6/20
pg. 6 Algebr-Geometrie-Analiz
Forma trigonimetric a unui numr complex :Orice numr , se poate scrie : c o s s in , unde r este modulul su , iar 0,2este argumentu l redus. Dac M esteimaginea lui z, iar unghiul t este orientat trigonometric, atunci : , unde: k 0 dac M este n primul cadran 1
2
Operaii cu numere complexe n form trigonometric :
1) cos s in 2): : cos sin 3) cossin, 4) soluiile ecuaiei c o s s in , ( , 2, + , 0,2) cos + s in + , 0 , 1
Permutri.Aranjamente.Combinri.
Fie A o mulime finit cu n elemente i un numr k natural astfel nct 1 k n. Se numete permutare amulimii A orice mulime ordonatcare se poate forma cu elementele sale. Se numete aranjament de nelemente luate cte k ( ale mulimii A) orice mulime ordonat alctuit din k elemente ale lui A. Se numetecombinare de n elemente luate cte k ( a mulimii A ) orice submulime (neordonat) a lui A format din kelemente.
Numere combinatoriale.
Numrul permutrilor de n obiecte este ! 1 2 . , ; 0 ! 1.Numrul aranjamentelor de n obiecte, late cte k este
!! , , , .
Numrul combinrilor de n obiecte, luate cte k este !!! , , , .Proprieti:
1) 2) 3) . . 2Formula binimu lui l ui Newton 0( ) .... .....
n n k n k k n n
n n na b C a C a b C b
Termenul general al dezvoltrii este knkknk
baCT
1, numit i termen de rang k+1.
Probabiliti:n cazul experienelor aleatoare cu un numr finit de cazuri posibile, egal posibile, probabilitatea unui
eveniment A se calculeaz dup regula .Proprieti:1) 1 ;2) Dac evenimentele A i B sunt incompatibile (nu se pot realiza simultan), atunci .n caz de compatibilitate , ;
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
7/20
pg. 7 Algebr-Geometrie-Analiz
3)Evenimentele A i B sunt independente dac .Determinani :
Def.Fie matricea ptratic de ordinul doi .Numrul se numetedeterminantul de ordinul doi sau determinantul matricei A de ordinul doi.
det Proprietate:det(AB)=det(A)det(B)
Inversa unei matrici :
O matrice A este inversabil dac i numai dac det(A)
0. Spunem c A este inversabil dac exist A-1,
numit inversa lui A, astfel nct , este matricea unitate de ordin n. 1det , .Adjuncta se construiete astfel:
1. se scrie transpusa matricii A ( se inverseaz linii cu coloanele)
2. se calculeaz numrul 1+, complementul algebric al elementului aij, dij fiind determinantulobinut prin eliminarea liniei i i a coloanei j,
Rangul unei matriciSe numete minor de ordinul r al matricei A determinantul unei matrice formate cu elementele situate lainterseciile a r linii i r coloane ale matricei A. Numrul natural r este rangul matricei A dac exist un minornenul de ordinul r al lui A, iar toi minorii deordin mai mare dect r, dac exist, sunt nuli.
Sisteme liniare
Forma general a unui sistem liniar de m ecuaii cu n necunoscute este : . . . . . . Forma general a unui sistem liniar cu 3 ecuaii i e necunoscute este :
A= -matricea sistemului B=-matricea termenilor liberi X=
- matriceanecunoscutelor
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
8/20
pg. 8 Algebr-Geometrie-Analiz
Teorema lu i Cramer. Dac m=n i det 0 ,atunci sistemul AX=B este compatibil determinat, iarsoluia sa unic are componentele , unde se obine nlocuind n coloana i cu coloana termenilorliberi.
Teorema Kronecker-Capell i. Un sistem de ecuaii liniare este compatibil dac i numai dac rangul matriceisistemului este egal cu rangul matricei extinse.
Teorema lu i Rouche.Un sistem de ecuaii liniar este compatibil dac i numai dac toi minorii caracteristicisunt nuli.
Def.un sistem de ecuaii liniare n care toi termenii liberi sunt 0 se numete sistem liniar omogen . 0 0 0Un sistem liniar omogen este ntotdeauna compatibil avnd mcar soluia banal x=y=z=0.Metode de rezolvare a sistemelor liniareMetoda lui Cramer Se urmresc urmtorii pai:
1.se calculeaz determinantul matricii associate .Dac det A0 atunci sistemul este compatibil determinat .Dacdet A = 0 atunci sistemul este compatibil nedeterminat.2.se calculeaz , , )care se obine prin nlocuirea coloanei coeficienilor lui x cu coloana termenilorliberi .Avnd n vedere c sistemele liniare omogene au termenii liberi egali cu 0 vom obine 0 0 0 0 analog dy=0 i dz=03.se calculeaz ; ; Deci sistemul va avea soluia banal x=y=z=0Exemplu :
S se rezolve prin metoda Cramer sistemul 2 3 3 02 4 5 05 2 0 Fie A= 2 3 32 4 55 1 2matricea asociat sistemuluid=detA= 2 3 32 4 5
5 1 2 4 2 2 2 3 1 3 5 5 5 4 3 5 1 2 2 3 2 2 3
d0 sistem compatibil determinat cu sol banal x=y=z=0I. Metoda lui Gauss sau metoda eliminrii succesiveConst n eliminarea cte unei necunoscute din ecuaiile sistemului astfel nct sistemuls aib o formtriunghiular sau trapezoidal.Transformrile care se pot face asupra unui sistem i care duc la sisteme echivalente cu sistemul dat sunt:-nmulirea unei ecuaii cu un numr nenul-adunarea unei ecuaii la alt ecuaie nmulit eventual cu un numr nenul-schimbarea ordinii de scriere a 2 ecuaii n sistem.Exemplu :S se rezolve prin metoda lui Gauss sistemul:
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
9/20
pg. 9 Algebr-Geometrie-Analiz
4 3 0 2 3 02 3 0Matricea asociat este A= 4 3 11 2 32 1 3Matricea extins este
4 3 11 2 32 1 3000
1 2 34 3 12 1 3000
++ 1 2 30 11 130 5 9 000
+ 1 2 30 11 130 0 1911 000
1 2 30 11 130 0 1 000
Rescriem sistemul asociat matricei extinse n form liniar :
2 3 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0
Precizare Dac ultima ecuaie a sistemului adus la form triunghiular (trapezoidal) are dou sau mai multenecunoscute se pstreaz una dintre acestea ca necunoscut principal , iar celelalte vor fi consideratenecunoscute secundare i se vor nota cu parametri .
Exemplu
3 0 02 4 0dac calculm det A vom observa ca acesta este 0 deci am sistem compatibil nedeterminat.Matricea extins este
3 1 11 1 12 4 1
000
1 1 13 1 12 4 1
000
++ 1 1 10 4 20 6 3
000
1 1 10 2 10 2 1 000 + 1 1 10 2 10 0 0 000Rescriem sistemul 02 0 notez z=i obinem
Legi de compoziie
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
10/20
pg. 10 Algebr-Geometrie-Analiz
Se numete lege de compoziie (operaie)pe mulimea M orice funcie : .O submulime nevid H alui M se numeteparte stabil a lui M n raport cu operaia * dac , .Operaia * se numete asociativ dac (x*y)*z=x*(y*z).
Operaia * se numete comutativ dac x*y=y*x.
Operaia * admite element neutru dac
.
Operaia *admite simetric dac M are element neutru i exist x-1 astfel nct x*x-1=x-1*x=e. ( x se numeteelement simetrizabil).
Structuri algebrice:
1. (M,*) monoid dac: . Dac n plus , M4)- * este comutativ , atuncimonoidul se numete monoid comutativ.
2. (G,*) grup dac: . Dac n plus , G5)- * este comutativ ,atunci grupul se numete grup comutativ sau abelian.
Fie (G,*) i (G,,) dou grupuri. O funcie: ,cu proprietatea , , senumete morfism de grupuri .Dac n plus f bijectiv atunci f se numete izomorfism, caz n care scriem ,.3. , ,inel dac: , ,
. Dac n plus
atunci inelul este comutativ.Inelele Zn. 0 , 1 , 2 , n 1 }se structureaz ca inel n raport cu adunarea i nmulirea modulo n .Restur i modulo n.
Fie a Z inN*.
Conform teoremei de mprire cu rest () i sunt unice dou numere ntregi c,r astfel nct a=nc+r, 0r
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
11/20
pg. 11 Algebr-Geometrie-Analiz
Inele de polinoame.
Fie A un inel comutativ.Expresiile formale de tipul X . . , unde se numesc polinoame n nedeterminata X cu coeficieni n A. Mulimea lor se noteaz A. Dacpolinomul X . . are cel puin un coeficient ainenul , atunci cel maimare n pentru care an
0 , se numete gradul polinomului f; Dac ns toi coeficieni sunt nuli, adic f=0
(polinomul nul ) atunci gradul su este -
.
Dou polinoame X . . X . . sunt egale dac ai=bidef. Fie, ( K corp comutativ). Spunem c:{
1. divide 2. 3 . , , , , , , Teorema lui Bezout. Dac
, atunci :1) restul mpririi lui f la X a este f(a). 2) a este
rdcin pentru f dac i numai dac X a divide pe f.
Relaiile lui Viete.
Dac , , sunt rdacinile polinomului ,an0, atunci au loc relaiile luiViete:
. .
. Dac numerele complexe , , verific relaiile , , atunci ele sunt rdcinile polinomului .
GEOMETRIE
Punctul n plan.
Se consider un reper cartezian .Pentru orice punct A din plan notm cu (xA,yB) coordonatele sale n raport cusistemul ales.
Lungimea AB este egal cu .Coordonatele mijlocului M al segmentului AB sunt : + ; + Coordonatele punctului P , de pe segmentul AB, cu proprietatea c
, sunt ++ ; ++ .Coordonatele centrului de greutate G a triunghiului ABC sunt ++ ; ++ .Vectori n plan:
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
12/20
pg. 12 Algebr-Geometrie-Analiz
Fie ,, o baz ortonormat asociat unui reper cartezian ortogonal din plan. Vectorul de poziie al punctuluiA(xA,yA) este .Coordonatele vectorului , , .Suma vectorilor , ,, , ,, ,.Panta direciei vectorului , este , iar a vectorul este .Condiii de paralelism (coliniaritate) pentru vectorii , ,, ,: , , .Produsul scalar a doi vectori este numrul real | ||| cos, , 0 00, 0 0 .Dac , , , ,.Condiiile de perpendicularitate pentru vectorii
, ,
, ,
0 ,
,
0.
Msura unghiului dintre doi vectori nenuli se poate afla cu ajutorul formulei :cos , | || | ,+,+,+,.Funciitrigonometrice:
sin: 1,1, cos: 1,1, 2 1 , : | .Ele sunt periodice , funciile sinus i cosinus au perioada principal 2, iar funciile tangent i cotangent auperioada principal .
Funciile sinus, tangent i cotangent sunt impare iar cosinus este par.Formule:
1; t g s in c o s 2 , cossin2 Sume i diferene: cos cos cossinsin
sin sin cossincos 1 Formulele pentru unghiul dublu:sin22sin coscos2 2 1 1 2 2 21
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
13/20
pg. 13 Algebr-Geometrie-Analiz
1cos22 ; 1cos22 Substituii universale : +, c o s + , .Funcii trigonometrice inverse :
arcsin: 1,1 , , este strict cresctoare i impar.arccos: 1,1 0, este strict descresctoare. , este strict cresctoare i impar. 0, este strict descresctoare.Proprieti:
1.sin(arcsin x)=x,
1,1. arcsin(sin x)=x, ,
,
2. cos(arccos x) =x, , 1,1 arccos(cos x)=x , , 0, 3.tg(arctg x)=xEcuaii trigonometrice:
1. sin x = a , a 1,1 1 arcsin| 2. cos x =a, a 1,1 arccos2| 3. tg x =a, a | 4. ctg x = a , a
|
Aplicaii ale trigonometriei n geometrie:
Teorema cosinusului: 2cos.Teorema sinusurilor:
2.Teorema medianei: (+) Exprimarea unghiurilor funcie de laturi: sin ;cos ; Formule pentru aria triunghiului: .
R raza cercului circumscris; p semiperimetrul
Dreapta n plan:
Forme pentru ecuaia dreptei:
Forma canonic : unde M(x0,y0) este un punct al dreptei , iar (a,b) este un vector director.
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
14/20
pg. 14 Algebr-Geometrie-Analiz
Forma parametric: , , unde M(x0,y0) este un punct al dreptei , iar (a,b) este un vectordirector.
Forma redus (pentru drepte neverticale): y=mx+n , unde m=, este panta direciei lui .
Dreptele paralele cu axele : drepte verticale au ecuaii de forma x=a , iar cele orizontale de forma y=a.
Forma general: ax+by+c=0 unde , , , 0Dreapta determinat de punctele A i B :
,(un vector director este )Dreapta care trece printr-un punct M(x0,y0) de pant m dat : .Drepte paralele, drepte perpendiculare:
Fie dreptele : : . Avem:
1
Distane , arii :
Distana de la punctul M(x0,y0) la dreapta d: ax+by+c=0 este: , |++|+ .Aria triunghiului ABC: ||, 1 1 1.Punctele A, B i C sunt coliniare dac i numai dac
1 1 1 0
.
ANALIZMATEMATIC
iruri monotone, mrginite, convergente:
irul se numete cresctor (descresctor) dac +, +, .irul
se numete mrginit dac exist
, astfel nct
, .
Un ir se numete convergent dac are limit finit; n caz contrar irul se numete divergent.
Dreapta real ncheiat : ;Pentru orice numr realxconsiderm :
, 0 , 0
0
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
15/20
pg. 15 Algebr-Geometrie-Analiz
; ; ; ; Nu definim i nu au sens urmtoarele( nedeterminri) : ; ; 0 ; 0 ; ; ;1; 0; .
Calculul limitelor funciilor elementareFuncia constant :
: , ,
lim , Funcia identic : : , lim , ; lim ; lim .Funcia putere :1.cu exponent natural : , , , 2lim , ; l im lim , 2 , 2 1 2.cu exponent real
: 0 ; 0 ; ,
,
lim , 0 ;
lim + , 00 , 0 lim 0 , 0 , 0Funcia radical1. : 0 , 0 ,, , , 2 , lim , 0; ; lim 2.: , , , 2 , lim
, ; lim
; lim
3.Funcia exponenial
: 0 ; , , 0 , 1
lim , ; lim , 10, 0 1; lim 0 , 1 ,0 14.Funcia logaritmic : 0 ; , , 0, 1,lim log l o g , 0; Dac a>1 lim log ; lim> log Dac 0< a log 5.Funcii trigonometrice1. Funcia sinus :
: 1;1, s in
lim sin sin ,
Nu exist lim sini lim sin2.Funcia cosinus: 1;1, c o s lim cos cos , Nu exist lim cosi lim cos3. Funcia tangent : , , lim , 2
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
16/20
pg. 16 Algebr-Geometrie-Analiz
lim++
.Nu exist limit la din tg x.4. Funcia cotangent: , ,
lim ,
lim .Nu exist limit la din ctg x.5. Funcia arcsinus: 1;1 ; , arcsinlim arcsin arcsin , 1;16Funcia arccosinus: 1;1 0; , arccos lim arccos arccos , 1;17.Funcia arctangent
:
;
, lim , lim 2 ; lim 28.Funcia arccotantent: 0; , lim , lim 0; lim Limite fundamentale:
lim 1 1 ; lim1 ;
lim sin 1; lim tg 1; lim arcsin 1;lim arctg 1;lim + 1; lim ln , 0, 1;
Asimptote:
Asimptota orizontal: Fie: o funcie astfel nct +este punct de acumulare al domeniului.Dreaptay=l este asimptot orizontal spre +pentru graficul funciei f dac lim .Analog se definete noiuneade asimptot orizontal spre - .
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
17/20
pg. 17 Algebr-Geometrie-Analiz
Asimptot oblic : : Fie: o funcie astfel nct +este punct de acumulare al domeniului. Dreaptay=mx+n, m 0, este asimptot oblic spre +la graficul lui f dac l i m lim .Analog se definete noiunea de asimptot oblic spre - .O funcie nu poate avea simultan asimptot orizontal i oblic.
Asimptot vertical: Fie
: , iar a un punct de acumularea al domeniului.Dreapta x=a este asimptot
vertical la stnga pentru graficul funciei f dac lim . Analog se definete noiunea de asimptotvertical la dreapt.Continuitatea, derivabilitate:
O funie f estecontinu n x0dac .O funcie estederivabil pe (a,b) dac i numai dac este derivabil n orice punct din (a,b).
O funcie f estederivabil n x0dac ,
exist i este finit.
Dac o funcie f este derivabil n x0, atunci ea este continu n x0.
Dac o funcie f este derivabil n x0, graficul funciei f admite tangent n punctul M0(x0,f(x0)).Panta tangenteieste ,, iar ecuaia sa este , .Funcia f este derivabil n x0, dac i numai dac fs,(x0)=fd,(x0) aparine lui R.
Punct unghiular: este un punct , punct de acumulare pentru D, astfel nct este continu n i arederivate laterale diferite n , cel puin una finit.Punct de ntoarcere : este un punct , punct de acumulare pentru D, astfel nct f continu n i arederivate laterale n
, una egal cu
, iar cealalt cu
.
Derivatele funciilor elementare: , 0 , , , , ; , ln , ln , 1 ; log , 1 l n , 0, sin, cos; cos, s i n , , 1 , 2 ; , 1 , | arcsin, 1 1 ; arccos, 1 1 , 1,1 , 11 ; , 11 , Reguli de derivare: , , , , , , , ,
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
18/20
pg. 18 Algebr-Geometrie-Analiz
, ,, ; (), ,() ,; , , , Teorema lu i F ermat
Fie: , , ,un punct de extrem al funciei f .Dac f derivabil n punctul
, ,
0.
Teorema lui Rolle
Fie: , , .Dac :a) f continu pe [a,b]
b)f derivabil pe (a,b)
c) , atunci exis cel puin un punct , astfel nct , 0.Teorema lui Lagrange
Fie
: , , .Dac :
a) f continu pe [a,b]
b)f derivabil pe (a,b) , atunci exist cel puin un , astfel nct ,.Teorema lui Darboux
Dac: este o funcie derivabil pe un interval I, atunci derivata sa ,are proprietatea lui Darboux pe I.Reguli le lu i l H ospital
Cazul.
Fie I un interval, x0punct de acumulare al lui I i f,g dou funcii definite pe
. Dac:
lim l i m 0 0 , , 0 , lim ,, , lim , .
Cazul. Fie I un interval, x0punct de acumulare al lui I i f,g dou funcii definite pe . Dac: lim l i m
, 0 , lim ,, , lim , .
Rolul derivatei n studiul funciilor:
Derivata nti :
. a) Dac. 0 , 0 atunci x0punct de minim(local) al funciei.
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
19/20
pg. 19 Algebr-Geometrie-Analiz
b) Dac. 0 , 0 atunci x0punct de maxim(local) al funcieiDerivata a doua:
a) Dac ,, 0, atunci f este convexpe I.b) Dac
,,
0, atunci f este concav pe I.
PRIMITIVE
Def. Fie I un interval de numere reale i: . Funcia : se numete oprimitiva funciei f dac Feste derivabil pe I i , , . Spunem atunci c f admite (are)primiti ve pe I .Obs.
funcie care admite o primitiv are o infinitate de primitivei oricare 2 primitive diferprintr-o constant, respectiv dac F este o primitiv a lui f , atunci orice primitiv a lui f este deforma:F(x)+c, unde .
mulimea primitivelor funciei f se noteaz cu
i, ntruct
: | folosim scrierea
.
Primiti ve uzuale:
xdx x+ 1 c, pt 1 i 1x d x l n|x| c adx aln a c, pt a 0, a 1 ; n particular ed x e c sin x dx c os x c ; cos x dx sin x c ;
dx tg x c;
dx ctg x c;
d x a rc s in x c; + dx arctg c; 1x a d x l n x x a c , a R ; d x l n x x a c , a R; dx ln + c , a R;
Reguli de calcul cu primiti ve.Dac I un ienterval de numere reale i f,g:IR admit primitive pe I , atunci
,R , funcia f+g:IR admite primitive i .
Formula de integrare prin pri.Dac I interval de numere reale i f.g:IR sunt funcii derivabile pe I , iarfuncia f,g admite primitive , atunci funcia fg,admite primitive i exist relaia numit metoda integrriiprin pri : , , .
Teorema schimbrii de variabil.Dac I,J R sunt interval iu:IJ este o funcie derivabil , iar f:JRadmite o primitive F:JR atunci :
7/25/2019 Breviar Teoretic Bac
20/20
() ,() Obs. Prin abuz de notaie se scrie formal () , Teorema Leibniz-Newton
Dac
: , este o funcie integrabil care admite primitive, atunci pentru orice primitiv F a lui f are loc
egalitatea . Aplicaii ale integralei Riemann
Aria mulimii a punctelor din plan mrginit de dreptele x=a, x=b,y=0 i graficul funciei continue: , ||. Volumul corpului de rotaie obinut prin rotirea graficului continue: , n jurul axei Ox este
() Calculul unor limite de iruri.Dac 0,1, atunci lim = .