DƯƠNG VĂN QUANG – ITSPIRITCLUB.NET [] May 5, 2011

1

tính gradf(Xo) có 2 trường hợp: - Trường hợp 1: nếu Gradf(Xo) không tồn tại → f không khả vi tại Xo. - Trường hợp 2: có Gradf(Xo) (được 40% bài toán ) thì làm tiếp bước 2.

1. Tìm biểu thức của 휑( ) (20% của bài toán) , hàm số 휑 nếu có phải có biểu thức 휑( ) thỏa:

푓( ) − 푓( ) = ∇푓( ) × 퐻 + ‖퐻‖ × 휑( ) 푐ℎ표 퐻⃑ = 0⃑ để 푐ℎ푖푎 ℎế푡 푐ℎ표 푐ℎ푢ẩ푛 ‖퐻‖ > 0 → 휑( ) = ( ) ( ) ( )×

‖ ‖ 2. Kiểm ,xác nhận:

lim → ⃗ 휑( ) = 0 đú푛푔 ℎ푎푦 푠푎푖 Nếu đúng thì f khả vi tại X0 Nếu sai thì f không khả vi tại X0

Câu 1/ 풇(ퟎ⃗) = ퟎ⃗

풇(푿⃗) = (풙ퟐ + 풚ퟐ) × 풔풊풏 ퟏ풙ퟐ 풚ퟐ ∀푿 ≠ ퟎ⃗

Giải:

푅 \{0} :(phần này hầu hết các bài giống nhau , chỉ khác tí ở chỗ loại hàm ) // xét trường hợp X thuộc khoảng Ta có: trong khoảng 푅 \{0} f là hàm 2 biến hợp giữa hàm hữu tỉ và hàm lượng giác → 퐷 푓 푣à 퐷 푓 cũng là hàm 2 biến có mẫu ≠ 0 Áp dụng qui tắc : → 퐷 푓 푣à 퐷 푓 liên tục trên 푅 \{0} Áp dụng định lí : → f khả vi liên tục trên 푅 \{0} và có vi phân toàn phần là: 푑푓( ) = 푑푥 + 푑y

DƯƠNG VĂN QUANG – ITSPIRITCLUB.NET [] May 5, 2011

2

X= 0⃗ : // xét trường hợp

Tại X= 0⃗ : Cho ℎ = 푥 ≠ 0 có :

( , ) ( , ) =( )×

= 푥 × 푠푖푛 → 0 푘ℎ푖 푥 → 0 → 퐷 푓( ⃗) = 0 Cho ℎ = 푦 ≠ 0 có : ( , ) ( , ) = 푦 × 푠푖푛 → 0 푘ℎ푖 푦 → 0 → 퐷 푓( ⃗) = 0 → 퐺푟푎푑푓( ⃗) = 0⃗ 풇 푿⃗ − 풇 ퟎ⃗ = 퐺푟푎푑푓 ⃗ × 푋 + ‖푋‖ × 휑( )

→ 휑( ) = 풇 푿⃗ − 풇 ퟎ⃗ − 퐺푟푎푑푓 ⃗ × 푋

‖푋‖ = 풇 푿⃗

‖푋‖ = ‖푋‖ × sin (1

푥 + 푦 ) ≤ ‖푋‖ × 1

Có 푋 → 0⃗ → ‖푋‖ → 0⃗ → lim → ⃗ 휑( ) = 0 → hàm số f khả vi tại 0⃗

→hàmfkhả vi trên R2

Câu 2/ 풇(ퟎ⃗) = ퟎ⃗

풇(푿⃗) = 풙풚풙ퟐ 풚ퟐ ∀푿 ≠ ퟎ⃗

Giải:

푅 \{0} : // xét trường hợp X thuộc khoảng Ta có: trong khoảng 푅 \{0} f là hàm 2 biến vô tỉ → 퐷 푓 푣à 퐷 푓 cũng là hàm 2 biến vô tỉ có mẫu ≠ 0 Áp dụng qui tắc : → 퐷 푓 푣à 퐷 푓 liên tục trên 푅 \{0} Áp dụng định lí : → f khả vi liên tục trên 푅 \{0} và có vi phân toàn phần là: 푑푓( ) = 푑푥 + 푑y

X= 0⃗ : // xét trường hợp Tại X= 0⃗ : Cho ℎ = 푥 ≠ 0 có : ( , ) ( , ) = 0 → 0 푘ℎ푖 푥 → 0

DƯƠNG VĂN QUANG – ITSPIRITCLUB.NET [] May 5, 2011

3

→ 퐷 푓( ⃗) = 0 Cho ℎ = 푦 ≠ 0 có : ( , ) ( , ) = 0 → 0 푘ℎ푖 푦 → 0 → 퐷 푓( ⃗) = 0 → 퐺푟푎푑푓( ⃗) = 0⃗ Cho 퐻 = 푋 − 푋 = 푋(푋 = 0⃗) 풇 푿⃗ − 풇 ퟎ⃗ = 퐺푟푎푑푓 ⃗ × 푋 + ‖푋‖ × 휑( )

→ 휑( ) = 풇 푿⃗ − 풇 ퟎ⃗ − 퐺푟푎푑푓 ⃗ × 푋

‖푋‖ = 풇 푿⃗

‖푋‖ =

풙풚풙ퟐ + 풚ퟐ

‖푋‖ ≤풙풚

‖푋‖ : 푡ℎ푢ộ푐 푑ạ푛푔 00

Đặt 푥 = ‖푋‖ × cos 푡 푦 = ‖푋‖ × sin 푡 → 휑( ) = ‖ ‖. ×‖ ‖.

‖ ‖= cos 푡 × sin 푡 ∀푡

Cho 푋 = 퐻 = , ≠ 0⃗ lim → 푋 = 0⃗

→ 휑( ) =×

= → lim → ⃗ 휑( ) =

→ lim → ⃗ 휑( ) = 0 푙à 푠푎푖 Hàm số không khả vi tại 0⃗

→ hàm số không khả vi trên R2

(Trên đó là 2 bài tập mình làm mẫu cho 2 trường hợp khả vi và không khả vi)

các bạn làm theo sườn bài ở trên)

풇(ퟎ⃗) = ퟎ⃗

풇(푿⃗) = 풙ퟒ

풙ퟐ 풚ퟐ ∀푿 ≠ ퟎ⃗khả vi) (ĐA:

풇(ퟎ⃗) = ퟎ⃗

풇(푿⃗) = 풙풚 × 풙ퟐ 풚ퟐ

풙ퟐ 풚ퟐ ∀푿 ≠ ퟎ⃗khả vi) (ĐA:

Các bạn có thể tham khảo và làm thêm một số bài tập ở các nguồn khác .

(đâylàlầnđầu tiên mình viết bài , có gì sai sót mong các bạngópýđể lần sau mình viếtthànhcônghơn)

Mọi thắc mắc xin liên hệ :DươngVănQuang– y!m: hero_vq109 – site: www.itspritclub.net