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Buchi Neri

Wednesday, November 30, 2011

G. Risaliti Fisica delle galassie (2011/2012)

I concetti della relativita’ generale

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In relativita’ speciale:

Invariante: ds2 = c2d2=c2dt2-dx2-dy2-dz2

d2: tempo proprio (tempo misurato da un osservatore solidale con il corpo in moto)

Legge di moto di una particella: md2 �X

dt2= �F

Nel sistema di riferimento della particella: d2 �X

ds2= 0




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Tempo proprio in relativita’ generale: ds2 = gµνxµxν

gµν : coefficienti della metrica

In relativita’ speciale: gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

Problema fondamentale: in presenza di massa-energia, la metrica dello spazio - tempo e’ diversa in ogni punto. Quindi nel calcolare la variazione di una grandezza spostandosi da un punto A ad un punto B, e’ necessario considerare anche il cambio di metrica da A a B.




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PRINCIPIO DI EQUIVALENZA:

Vari enunciati: - Massa gravitazionale = massa inerziale- Le leggi della fisica sono le sesse in tutti i sistemi uniformementi accelerati

- In un labatorio in caduta libera (che occupi una regione piccola dello spazio-tempo) le leggi della fisica sono quelle della relativita’ speciale.

Conseguenze generali: - La gravita’ non e’ considerata una forza esterna, ma una curvatura dello spazio tempo. (La curvatura e’ indotta dalla presenza di materia-energia)- Una particella libera in un campo gravitazionale si muove lungo una geodetica dello spazio-tempo curvo

Conseguenza “particolare”: i fotoni risentono della presenza di un campogravitazionale




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Esempio: la derivata di un vettore spostamento, e’ la variazione del vettore in un intervallo infinitesimo di tempo. In altre parole, devo misurare il vettore al tempo t, misurarlo ancora al tempo t+dt, e poi calcolare la differenza. Ma al tempo t+dt il vettore si trova in un altro punto dello spazio-tempo, quindi con un’altra metrica. Quale metrica uso per misurare la variazione?Soluzione: devo calcolare la variazione dopo aver riportato il vettore all’istante t+dt nello stesso punto dello spazio-tempo del vettore all’istante t. Nel fare questo, la misura del vettore cambiera’ per effetto della variazione della metrica.

In pratica:

Posso ottenere l’equazione che descrive il moto di una particella in un campo gravitazionale dalla (banale) equazione geodetica nel sistema solidale con la particella mediante un cambio di coordinate nel sistema dell’osservatore.




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Sistema della particella: coordinate

Sistema dell’ osservatore: coordinate

ξµ

xµ

Moltiplicando per e usando l’identita‘

si ottiene l’ EQUAZIONE GEODETICA:

dxk

dξµ

dxk

dxν= δk

ν

d2xk

ds2+ Γk

νµdxµ

ds

dxν

ds= 0 Γk

νµ : coefficienti della connessione affine, o “simboli di Christoffel”: contengono l’infomazione sulle variazioni dovute alla metrica.

d2ξµ

ds2= 0 =

d

ds(dξµ

dxν

dxν

ds) =

dξµ

dxν

d2xν

ds2+

∂2ξµ

∂xν∂xk

dxν

ds

dxk

ds




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Nota: finora abbiamo solo accennato ad un formalismo: l’equazione geodetica e‘ semplicemente un modo per “fattorizzare” tutta la dipendenza dalla metrica nei coefficienti di Christoffel.

Passaggi fondamentali:

- Calcolo tensoriale: espressione dei simboli di Christoffel in funzione dei coefficienti della metrica

- “Fisica”: calcolo dei coefficienti della metrica in base alle equazioni del campo gravitazionale.

- Calcolo delle equazioni di moto in uno spazio-tempo curvo:nei calcoli pratici si sfruttano 1) le equazioni di Eulero-Lagrange;2) L’integrale primo dell’equazione geodetica




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Lagrangiana in relativita’ generale:

L = gµν xµxν(in assenza di potenziali esterni)

Equazioni di Eulero-Lagrange:d

du(

∂L

∂xν)− ∂L

∂xµ= 0

u: parametro rispetto a cui si esprime la traiettoria della particella.Per geodetiche non-nulle (cioe’ per particelle con massa) la scelta naturale per parametrizzare la traiettoria e’ il tempo proprio.Per geodetiche nulle ds=0 per definizione, edeve essere scelta un’altra parametrizzazione.

Integrale primo dell’equazione geodetica:

gµν xµxν = 0 (fotoni) gµν xµxν = c2 (particelle con massa)



Geometria di Schwarzschild

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Caso interessante: spazio-tempo isotropo e STATICO :

1) i coefficienti della metrica non dipendono dal tempo2) la metrica e’ invariante per trasformazioni t --> -t

(se e’ verificata solo la 1) si parla di spazio-tempo STAZIONARIO)

In pratica: descrizione dello spazio-tempo all’esterno di una distribuzione di massa statica con simmetria sferica

Dalla richiesta di isotropia e staticita’ si ottiene:

ds2 = A(r)dt2 −B(r)dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

dove i coefficienti A(r) e B(r) devono essere ricavati dalle equazioni del campogravitazionale.




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Si ha:

A(r) = c2(1− 2GM

c2r) B(r) = (1− 2GM

c2r)−1

La Metrica di Schwarzschild (1917) e’ quindi:

dove µ =GM

c2

Si nota immediatamente che i coefficienti metricidivergono per (“raggio di Schwarzschild”) r → 2µ

gµν =

c2(1− 2µr ) 0 0 0

0 −(1− 2µr )−1 0 0

0 0 −1 00 0 0 −1




Spostamento verso il rosso (redshift) gravitazionale:

consideriamo un emettitore (E) ed un ricevitore (R) fissi in un campo gravitazionale isotropo e statico, che emettono due impulsi:

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dr = 0; dθ = 0; dφ = 0; ds2 = c2(1− 2µ

r)dt2

I fotoni si muovono su geodetiche nulle, per cui ds=0 e:

D’altra parte, le coordinate spaziali rimangono costanti (perche’ E ed R sonofissi). Quindi considerando due impulsi a due istanti diversi, la differenza fra la coordinata temporale nel sistema dell’emettitore e’ la stessa che nel sistema del ricevitore:

c2(1− 2µ

r)dt2 = (1− 2µ

r)−1dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

∆tE = ∆tR →dsR

dsE=

�1− 2µ/rR

1− 2µ/rE


G. Risaliti Fisica delle galassie (2011/2012) 12

Geometria di SchwarzschildIl tempo proprio ds/c e’ identificabile come il periodo della radiazione emessa.Quindi la frequenza della radiazione emessa misurata dal ricevitore e’ minore di quella misurata dall’emettitore.

In generale, per ogni spazio-tempo STAZIONARIO:

νR

νE=

�g00(�xE)g00(�xR)

�

dove la notazione sottolinea l’indipendanza della metrica dalla coordinata temporale (per l’ipotesi di stazionarieta’)

NOTA: Il redshift gravitazionale deriva direttamente dal principio di equivalenza:

se una radiazione di lunghezza d’onda e’ emessa dalla parete di un

laboratorio che si sta spostando nella stessa direzione con moto accelerato,essa verra’ misurata alla parete opposta con una lunghezza d’onda modificata per effetto doppler: / v/c




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CALCOLO DELLE ORBITE: Equazioni di Eulero:

d

dσ

�∂L

∂xµ

�− ∂L

∂xµ= 0

Si ottiene: �1− 2µ

r

�t = K

�1− 2µ

r

�−1

r +µc2

r2t2 −

�1− 2µ

r

�−2 µ

r2r2 − r(θ2 + sin2 θφ2) = 0

θ +2rrθ − sin θ cos θφ2 = 0

r2 sin2 θφ = h

L = c2

�1− 2µ

r

�t2 −

�1− 2ν

r

�r2 − r2(θ2 + sin2 θ)φ2




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Posso considerare orbite sul piano equatoriale e assumere =/2�

1− 2µ

r

�t = K

�1− 2µ

r

�−1

r +µc2

r2t2 −

�1− 2µ

r

�−2 µ

r2r2 − rφ2 = 0

r2φ = h

Questo e’ il set di equazioni che definiscono le orbite.K = energia totaleh = momento angolare

La seconda equazione e’ complessa. Conviene, per semplicita’ di calcoli, usare al suo posto l’integrale primo dell’equazione geodetica




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gµν xµxν = c2

da cui:

Sostituendo la terza e la prima equazione nella seconda:

r2 +h2

r2

�1− 2GM

c2r

�− 2GM

r= c2(k2 − 1)

Termine aggiuntivo rispetto al casoNewtoniano

�1− 2µ

r

�t = K

c2

�1− 2µ

r

�t2 −

�1− 2µ

r

�−1

r2 − r2φ2 = c2

r2φ = h




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Stabilita’ delle orbite:L’equazione precedente puo’ essere riscritta, in analogia al caso Newtoniano, come:

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�dr

dt

�2

+ Veff(r) = E

Veff(r) e’ il potenziale efficace. Nel caso Newtoniano:

Veff = −GM

r+

h2

2r2

In relativita’ generale:

Veff = −µc2

r+

h2

2r2− µh2

r3--> Facile studio di funzione




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Newton GR

Estremi:

µc2r2 − h2r + 3µh2 = 0→ r =h

2µc(h±

�h2 − 12µ2c2)

dVeff

dr=

µc2

r2− h2

r3+

3µh2

r4= 0




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All’ultima orbita stabile:

Una particella che parte da R>> µ e arriva all’ultima orbita stabile puo’irradiare fino al 5.7% della sua massa a riposo (reazioni nucleari: 0.7%)

Veff

c2= 1− 2

√2

3= 5.7%

Esempio: particella che parte dar=20GM/c2 e h=3.5 GM/c

(per avere un’orbita stabile servirebbe un momento angolare maggiore: esercizio




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TRAIETTORIE DEI FOTONI

- stesso trattamento, ma con equazione geodetica gµν xµxν = c2

�1− 2µ

r

�t = K

c2

�1− 2µ

r

�t2 −

�1− 2µ

r

�−1

r2 − r2φ2 = 0

r2φ = h

da cui:

r2 +h2

r2

�1− 2GM

c2r

�= c2k2




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Esiste un’orbita circolare, a r=3µ ma e’ instabile.Nota: questo non vieta a un fotone di avere una traiettoria che passa da r<3µ NON circolare, purche’ r>2µ



Geometria di Kerr

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Generalizzazione: metrica STAZIONARIA assisimmetrica

ds2 = Adt2 −B(dφ− ωdt)2 − Cdr2 −Ddθ2

Risolvendo le equazioni del campo gravitazionale:

ds2 = c2

�1− 2µr

ρ2

�dt2 +

4µacr sin2 θ

ρ2dtdφ− ρ2

∆dr2 − ρ2dθ2−

�r2 + a2 +

2µra2 sin2 θ

ρ2

�sin2 θdφ2

ρ2 = r2 + a2 cos2 θ ∆ = r2 − 2µr + a2

a: momento angolare. La metrica si riduce al caso di Schwarzschild per a-->0



Geometria di Kerr

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∆ = r2 − 2µr + a2 = 0← r± = µ±�

µ2 − a2

Ci sono due orizzonti degli eventi. Nota: se a2 > µ2 non ci sono orizzonti.In questo caso =0 e’ una singolarita’ visibile all’esterno (singolarita’ NUDA)

Caratteristica “nuova”:consideriamo un fotone emesso da un punto fisso (r,,) in direzione ±.Dunque =costante; r=costante

- essendo un fotone: ds=0 gttdt2 + 2gtθdtdφ + gφφdφ2 = 0

dφ

dt= − gtφ

gφφ±

��gtφ

gφφ

�2

− gtt

gφφ

Due soluzioni, a seconda che il fotone si muova nella direzionedi rotazione del BH o in quella contraria.



Geometria di Kerr

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Situazione interessante: se gtt=0�

dφ

dt

�

1

= −2gtφ

gφφ;�

dφ

dt

�

2

= 0

Si puo’ dimostrare facilmente che la prima soluzione e’ pari a 2 (frequenza di rotazione del BH)

La seconda soluzione e’ sorprendente: il fotone rimane inizialmente fermo, per l’effetto di “trascinamento delle orbite.Dato che qualsiasi particella massiva si muove piu’ lentamente di un fotone, se ne deduce che sara’ impossibile per essa avere orbite stazionarie. Esiste cioe’ una ERGOSFERA, regione in cui non e’ possibile avere osservatori a riposo rispetto ad un sistema di riferimento all’infinito.



Geometria di Kerr

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Dalla metrica di Kerr:

gtt = c2 r2 − 2µr + a2 cos2 θ

ρ2

gtt = 0→ rS = µ±�

µ2 − a2 cos2 θ

Struttura dello spazio-tempo intorno a un buco nero rotante:

r-

r+

Ergosfera



Geometria di Kerr

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Moto circolare (particelle massive e fotoni):stesso approccio del caso non rotante (piu’ calcoli!)

r2 = c2(k2 − 1) +2µc2

r+

a2c2(k2 − 1)− h2

r2+

2µ(h− ack)2

r3

o:12r2 + Veff =

12c2(k2 − 1),

Veff = −µc2

r+

h2 − a2c2(k2 − 1)2r2

− µ(h− ack)2

r3

Stessa struttura del potenziale efficace del caso a=0.Studio della funzione Veff:

r2 − 6µr − 3a2 ±√µr = 0 a = µ→ r = µ; r = 9µ(orbita rotante / controrotante)

1− Veff(a = µ; r = µ) = 0.43c2



Effetti Osservabili

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1) Effetto Blandford-Znajek:estrazione dell’energia rotazionale del BH, tramite campi magneticipoloidali “ancorati” all’ergosfera

LEM < B2φ

�r

µ

�2 �a

µ

�2

c



Effetti Osservabili

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2) Emissione dalle regioni interne di un disco di accrescimento

Effetti “facilmente” osservabili:riga di emissione.La riga di emissione piu’ intensa attesa dalle regioni interne del disco e’ la K del ferro a ~6.4 keV
