c11-12. REZISTENTA SI RIGIDITATEAELEMENTELOR DE TIP BARA.
ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE/INTINDERE
EXCENTRICA
REZISTENTA MATERIALELOR
DEFINITIE:
Compresiunea (întinderea) excentrică este osolicitare compusă, în prezenţa căreia, pesecţiunea transversală, interacţiunea estereprezentată de o forţă axială şi un momentîncovoietor (vector cuplu cuprins în planul
secţiunii).
In funcţie de:
direcţia vectorului moment încovoietor faţă deaxele principale de inerţie ale secţiuniitransversale, se deosebesc următoarele douăcazuri:
- încovoiere oblică cu forţa axială (cazul generalde compresiune sau întindere excentrică), cânddirecţia vectorului cuplu este oarecare faţă dedirecţia axelor;
- încovoiere simplă cu forţă axială (cazulparticular), când direcţia vectorului cuplucoincide cu direcţia uneia din axe.
O pereche de forţe echilibrate aplicate pe o bară dreaptă de-a lungul unui suport paralel cu axa barei generează, între punctul de aplicaţie,
compresiune (întindere) excentrică. In aria secţiuni transversală, măsura
interacţiunii este o forţă normală R=P, aplicată excentric, de-a lungul suportului.
Ea se reduce în centrul de greutate al secţiunii la o forţă axială N = P si un cuplu M = P•e, unde e = excentricitatea punctului de aplicaţie a forţei interioare.
Când punctul de aplicaţie se află pe una din axele principale de inerţie se generează cazul particular de compresiune excentrică -încovoierea simplă cu forţa axială.
In practică, compresiunea excentrică este solicitarea caracteristică a stâlpilor de cadru în regim gravitaţional de solicitare.
INCOVOIEREA SIMPLA CU FORTE AXIALEDeterminarea eforturilor unitare pe secţiuneatransversală se face prin suprapunerea efectelor celordouă solicitări (simple) componente:- compresiunea (întinderea) centrică şi- încovoierea pură.Ambele generează pe secţiunea transversală eforturiunitare normale σ.
Intr-un punct curent al secţiunii, efortul unitar corespunzător solicitării compuse se obţine prin însumarea eforturilor unitare corespunzătoare fiecărei solicitări simple.
σ = σN + σM
La distanţa y de axa Ox, cu semnelecorespunzătoare sensului eforturilor unitare:
σ = yIx
MxAN+
Eforturile unitare însumate pot avea acelaşi semn (când domină efectul forţei axiale) sau semne diferite (când domină efectul momentului încovoietor).
Dacă elementele supuse la compresiune excentrică (stâlpi, arce etc) sunt alcătuite din materiale nerezistente la întindere (piatră, cărămidă, etc.) se urmăreşte ca secţiunea să fie comprimată în totalitatea ei.
Pentru aceasta este necesar ca (în valoare absolută) :
de undeWxMx
AN
≥A
WxN
Mx≤
• La o secţiune dreptunghiulară, indiferent de proporţiile ei,
Pentru excentricităţi inferioare valorii h/6,adică pentru poziţii ale forţei de compresiune cuprinse în treimea mijlocie a secţiunii dreptunghiulare, eforturile vor avea acelaşi semn (compresiuni).
6h
bh6/bh
AW 2
==
Incovoiere oblica cu forta axiala
Descompunerea solicitarii compuse in solicitari simple
Forţa P aplicată în punctul P (xo,yo) se reduce în centrul de greutate al
secţiunii la o forţă axială N = P şi două momenteîncovoietoare: Mx = P•yo şi My = P•xo.
Celor trei eforturi secţionale (N, Mx, My) lecorespund eforturi unitare normale σ.
Intr-un punct curent al secţiunii, efortul unitar σcorespunzător solicitării compuse se obţine prin însumarea eforturilor unitare corespunzătoare fiecărei solicitări simple:
σ = σN + σMx + σMy
In punctul M (x,y),
σ = +
σ = -
σ = -
raza de giratie:
xIy
MyyIx
MxAN
++
xI
PxoyI
PyoAP
yx
−−
);i
xxi
yyo1(AP
2y
o2x
++
AIi x
x =
AXA NEUTRĂ
Ecuaţia axei neutre
Axa neutră este locul geometric al punctelor cu eforturi unitare nule.
Din condiţia σ = 0 rezultă ecuaţia axei neutre:
1 + = 0
= 1
yixxo
iyy
x
o22 +
o
2x
o
2y
yiy
xix
−+
−
Ecuaţia axei neutre
Axa neutră este o dreaptă care taie axele dereferinţă la distanţele a şi b de originea aflatăîn centrul de greutate al secţiunii.
Proprietăţile axei neutre
A. Intrucât, la valori pozitive ale coordonatelor xo, yo,corespund valori negative ale distanţelor a şi b, faţă depunctul de aplicaţie a forţei, axa neutră se află decealaltă parte a centrului de greutate.
B. Punctelor de aplicaţie a forţei aflate pe o dreaptăce trece prin centrul de greutate le corespund axeneutre paralele, căci:
= 1
! Axa neutră se apropie de centrul
de greutate când punctul de aplicaţie
se depărtează !
Proprietăţile axei neutre
o
o
x
y
o
xx
o
y
xy
ii
yixi
ba .2
2
2
=−
−=
C. Punctelor de aplicaţie ale forţei aflate pe odreaptă care nu trece prin centrul de greutate lecorespund axe neutre concurente.
Proprietăţile axei neutre
Samburele central – Definitie (1)
Sâmburele central al unei secţiuni este domeniulpunctelor de aplicatie a fortelor decompresiune/intindere corespunzator carora, pesectiunea transversala, toate eforturile unitareau acelasi semn (compresiune/intindere).
Este o zona restransa in jurul centrului degreutate al sectiunii.
Punctelor de aplicatie de pe conturul sambureluicentral le corespund axe neutre tangente lasectiune si eforturi nule pe conturul ei.
Samburele central – Definitie (2)
Punctelor de aplicatie aflate in afara sambureluicentral le corespund axe neutre secante careimpart sectiunea in zone cu eforturi de semnediferite.
Constructia samburelui central se facedeterminand coordonatele xo si yo ale punctelorde aplicatie a fortei carora le corespund diferiteaxe neutre tangente la sectiune.
Sîmburele central al unei secţiuni dreptungiulare
Poziţiei (1) a axei neutru, tangentă la una din laturile mici ale secţiunii (cu a = ∞ şi b = - H/2), îi corespunde punctul 1 de aplicaţie a forţei, cu coordonatele.
xo = 0
yo = - 6H
2H
BH12
BH3
=−
Sîmburele central al unei secţiuni dreptungiulare
Poziţiei (2) a axei neutre, tangentă la una din laturile mariale secţiunii, îi corespunde punctul 2 cu coordonatele
xo =
yo = 0
6B
Sîmburele central al unei secţiuni dreptungiulare
Când axa neutră se roteşte în jurul punctului A, punctul deaplicaţie a forţei parcurge segmentul 1-2. Prin anologie, sededuce şi poziţia punctelor simetrice 3 şi 4 şi segmentele 2-3,3-4 şi 4-1 care închid sâmburile central. Acesta este un rombcu diagonalele egale cu o treime din lungimea laturilordreptunghiului.
Sîmburele central al unei secţiuni circulare
Sâmburele central al unei secţiuni circulare este un cerc cudiametrul egal cu un sfert din diametrul secţiunii.
82
4
642
4
DD
D
D
=
π
π
yo =
Eforturi unitare pe talpa unei fundaţii
Pământul este un material nerezistent la întindere. Deaceea, la contractul dintre fundaţie şi teren,interacţiunea nu poate fi realizată decât prin eforturi decompresiune.
Dacă forţa este aplicată în interiorul sâmburelui central,distribuţia presiunilor se face pe toată suprafaţa tălpii,după legea trapezoidală precizată anterior.
Eforturi unitare pe talpa unei fundaţii
Dacă forţa este aplicată în afara sâmburelui central,distribuţia presiunilor se face pe o zonă limitată asuprafeţei tălpii, numită zona activă.
c
Eforturi unitare pe talpa unei fundaţii
Suprafaţa zonei active şi valoarea efortului unitarmaxim se determină din condiţia ca forţa P, aplicatăexentric şi rezultanta R a volumului de presiuni săformeze un sistem echilibrat.
Dacă P calcă pe una din axele de simetrie ale uneifundaţii dreptunghiulare, la distanţa “c” de margineafundaţiei, lăţimea zonei active este d = 3 c, iar efortulunitar maxim, de două ori mai mare decât efortulmediu:
σmax = 2 bdP