3a SRIE ENSINO MDIOCaderno do ProfessorVolume 1
MATEMTICA
MATERIAL DE APOIO AOCURRCULO DO ESTADO DE SO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR
MATEMTICAENSINO MDIO
3a SRIEVOLUME 1
Nova edio
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAO
So Paulo
Governo do Estado de So Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Af Domingos
Secretrio da Educao
Herman Voorwald
Secretrio-Adjunto
Joo Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretria de Articulao Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formao e Aperfeioamento dos Professores EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gesto da Educao Bsica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gesto de Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informao, Monitoramento e Avaliao
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assuno
Coordenadora de Infraestrutura e Servios Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Oramento e Finanas
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundao para o Desenvolvimento da Educao FDE
Barjas Negri
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educao do Estado de So Paulo sente-se honrada em t-los como colabo-
radores nesta nova edio do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e anlises que
permitiram consolidar a articulao do currculo proposto com aquele em ao nas salas de aula
de todo o Estado de So Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analtico e crtico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currculo. Essa ao, efetivada por meio do programa Educao
Compromisso de So Paulo, de fundamental importncia para a Pasta, que despende, neste
programa, seus maiores esforos ao intensificar aes de avaliao e monitoramento da utilizao
dos diferentes materiais de apoio implementao do currculo e ao empregar o Caderno nas aes
de formao de professores e gestores da rede de ensino. Alm disso, firma seu dever com a busca
por uma educao paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso
do material do So Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa So Paulo Faz Escola, apresenta orien-
taes didtico-pedaggicas e traz como base o contedo do Currculo Oficial do Estado de So
Paulo, que pode ser utilizado como complemento Matriz Curricular. Observem que as atividades
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessrias,
dependendo do seu planejamento e da adequao da proposta de ensino deste material realidade
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposio de apoi-los no planejamento de suas
aulas para que explorem em seus alunos as competncias e habilidades necessrias que comportam
a construo do saber e a apropriao dos contedos das disciplinas, alm de permitir uma avalia-
o constante, por parte dos docentes, das prticas metodolgicas em sala de aula, objetivando a
diversificao do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedaggico.
Revigoram-se assim os esforos desta Secretaria no sentido de apoi-los e mobiliz-los em seu
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofcio de ensinar
e elevar nossos discentes categoria de protagonistas de sua histria.
Contamos com nosso Magistrio para a efetiva, contnua e renovada implementao do currculo.
Bom trabalho!
Herman VoorwaldSecretrio da Educao do Estado de So Paulo
SUMRIO
Orientao geral sobre os Cadernos 5
Situaes de Aprendizagem 12
Situao de Aprendizagem 1 A Geometria e o mtodo das coordenadas 12
Situao de Aprendizagem 2 A reta, a inclinao constante e a proporcionalidade 22
Situao de Aprendizagem 3 Problemas lineares mximos e mnimos 33
Situao de Aprendizagem 4 Circunferncias e cnicas: significados, equaes, aplicaes 43
Situao de Aprendizagem 5 A equao de 3o grau e o aparecimento natural dos nmeros complexos 60
Situao de Aprendizagem 6 Das frmulas anlise qualitativa: relaes entre coeficientes e razes 69
Situao de Aprendizagem 7 Equaes e polinmios: diviso por x k e reduo do grau da equao 75
Situao de Aprendizagem 8 Nmeros complexos: representao no plano e significado das operaes (translaes, rotaes, ampliaes) 83
Orientaes para Recuperao 101
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreenso do tema 103
Consideraes finais 105
Quadro de contedos do Ensino Mdio 107
5Matemtica 3 srie Volume 1
ORIENTAO GERAL SOBRE OS CADERNOSOs temas escolhidos para compor o con-
tedo disciplinar de cada volume no se afas-
tam, de maneira geral, do que usualmente
ensinado nas escolas ou do que apresentado
nos livros didticos. As inovaes pretendidas
referem-se abordagem desses temas, sugeri-
da ao longo dos Cadernos. Em tal abordagem,
busca-se evidenciar os princpios norteadores
do presente currculo, destacando-se a con-
textualizao dos contedos, as competncias
pessoais envolvidas, especialmente as relacio-
nadas com a leitura e a escrita matemticas,
bem como os elementos culturais internos e
externos Matemtica.
Em todos os Cadernos, os contedos esto
organizados em 16 unidades mais ou menos
do mesmo tamanho, que podem corresponder
a oito semanas de trabalho letivo. De acordo
com o nmero de aulas disponveis por sema-
na, o professor explorar cada assunto com
maior ou menor aprofundamento, ou seja,
escolher uma escala adequada para o tra-
tamento dos temas escolhidos. A critrio do
professor, em cada situao especfica, o tema
correspondente a uma das unidades pode ser
estendido para mais de uma semana, enquan-
to o de outra unidade pode ser tratado de
modo mais simplificado.
desejvel que o professor tente contem-
plar todas as oito unidades, uma vez que,
juntas, compem um panorama do contedo
do volume, e, muitas vezes, uma das unidades
contribui para a compreenso das outras. In-
sistimos, no entanto, no fato de que somente
o professor, em sua circunstncia particular,
e levando em considerao seu interesse e o
dos alunos pelos temas apresentados, pode
determinar adequadamente quanto tempo
dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos so apresentadas,
alm de uma viso panormica do contedo do
volume, oito Situaes de Aprendizagem, que
pretendem ilustrar a abordagem sugerida, orien-
tando a ao do professor na sala de aula. As
atividades so independentes e podem ser explo-
radas pelos professores com maior ou menor in-
tensidade, segundo seu interesse e de sua classe.
Naturalmente, em razo das limitaes de espa-
o dos Cadernos, nem todas as unidades foram
contempladas com Situaes de Aprendizagem,
mas a expectativa de que a abordagem dos te-
mas seja explicitada nas atividades oferecidas.
So apresentados tambm em cada Cader-
no, sempre que possvel, materiais diversos
(textos, softwares, sites e vdeos, entre outros),
que estejam em sintonia com a abordagem pro-
posta, e que possam ser utilizados pelo profes-
sor para o enriquecimento de suas aulas.
Compem o Caderno ainda algumas con-
sideraes sobre a avaliao a ser realizada,
bem como o contedo considerado indispen-
svel ao desenvolvimento das competncias
enunciadas no presente volume.
6Contedos bsicos do volume
Um dos contedos bsico do volume 1 da
3a srie Geometria Analtica Plana. Mesmo
quando o professor dispe de poucas aulas por
semana, tal tema costuma ser contemplado nes-
sa srie. E ainda que seja apenas parcialmente
ensinado, a equao da reta apresentada aos
alunos. Neste Caderno, sugerimos uma abor-
dagem da Geometria Analtica que privilegia a
equao da reta, apresentada de um modo pe-
culiar e que destaca certa classe de problemas
cuja soluo depende apenas de uma compre-
enso adequada da ideia de proporcionalidade
subjacente. So os chamados problemas linea-
res, entre os quais esto alguns problemas de
mximos e mnimos muito interessantes.
De acordo com os princpios gerais que
norteiam todos os Cadernos, espera-se que os
demais assuntos sejam contemplados, com
maior ou menor nfase, segundo o interesse
do professor e as condies efetivas da turma.
Mas consideramos que o tema das retas, com
suas equaes, propriedades e aplicaes pode
ser especialmente representativa do significa-
do da Geometria Analtica como um mtodo
de abordagem dos problemas geomtricos que
contempla o ideal cartesiano ou o plano
de Descartes, que buscava uma aproximao
efetiva entre a Geometria e a lgebra.
Para o tratamento dos temas, este primei-
ro tpico est organizado em oito unidades.
O primeiro passo, na Unidade 1, seria a con-
solidao do uso do sistema de coordenadas
cartesianas XOY, j iniciado em sries ante-
riores, tanto no Ensino Fundamental quanto
no Ensino Mdio. Tal sistema ser utilizado
para representar pontos do plano, determi-
nando-se, por exemplo, a distncia entre dois
pontos, o ponto mdio e a inclinao do seg-
mento determinado pelos dois pontos.
A ideia de inclinao de um segmento pode
ser explorada de modo muito fecundo, tan-
to na caracterizao de segmentos paralelos
quanto na condio de alinhamento de trs
pontos, uma vez que para trs pontos (A, B e
C) estarem alinhados, as inclinaes das retas
AB, BC e AC devem ser iguais. Com base nes-
sas noes iniciais, possvel propor e resolver
uma srie de problemas geomtricos simples,
em que a aprendizagem do mtodo analtico
situa-se no centro das atenes. Uma ativi-
dade para a sala de aula, incluindo questes
cujas respostas podem depender ou no do
sistema de coordenadas escolhido, ser apre-
sentada na Situao de Aprendizagem 1.
Em seguida, na Unidade 2, procura-se ex-
plorar a representao de curvas por equaes,
iniciando-se com a reta. Os casos particulares
das retas paralelas aos eixos coordenados so
tratados diretamente, de modo simples. Para
as retas inclinadas em relao aos eixos OX e
OY, a qualidade comum a todos os seus pon-
tos o fato de que, qualquer que seja o par
de representantes que escolhamos, a inclina-
o do segmento correspondente sempre a
mesma: tal inclinao constante a inclinao
da reta. Assim, facilmente se chega equao
y = mx + h, em que o coeficiente m representa a inclinao da reta, e h representa o ponto
7Matemtica 3 srie Volume 1
em que a reta corta o eixo OY. A caracteri-
zao de retas concorrentes e paralelas, com
base nas inclinaes correspondentes, uma
consequncia natural.
Na Unidade 3, o passo seguinte a ser dado
o estudo da condio de perpendicularidade de
duas retas, com base em suas inclinaes m1 e
m2. Neste Caderno, ser apresentada uma ma-
neira simples de compreender que se as inclina-
es so tais que m1 u m2 = 1, ento as retas se-ro perpendiculares. A forma geral da equao
da reta, bem como a representao de regies
do plano por meio de desigualdades, servir de
concluso dessa etapa. Uma atividade referente
equao da reta e representao de regies
por meio de inequaes ser apresentada na
Situao de Aprendizagem 2.
Na Unidade 4, o foco do estudo so as re-
tas, tendo em vista a resoluo de alguns pro-
blemas lineares, ou seja, problemas que, em
ltima instncia, envolvem apenas relaes de
proporcionalidade direta. Um conjunto deles,
incluindo-se alguns problemas de mximos
e mnimos, ser apresentada na Situao de
Aprendizagem 3. Apesar de problemas como
esses no serem usualmente apresentados no
Ensino Mdio, pedimos ao professor que os
leia com ateno, pois certamente perceber
que constituem situaes simples em contex-
tos interessantes.
Na Unidade 5, apresentada a equao da
circunferncia com centro na origem do sistema
de coordenadas. O tempo disponvel pelo pro-
fessor dever determinar o nvel de explorao
de tal equao, deixando-se escolha do profes-
sor o estudo das translaes da equao ou da
forma geral da equao da circunferncia, que
pode ser apenas sugerido ou transferido para o
estudo das funes, no volume 2.
y
x
P
O
ry
x
C: x2 + y2 = r2
A Unidade 6 poderia ser utilizada para a
apresentao de uma maneira simples de efe-
tuar o clculo da distncia de um ponto a uma
reta, baseado apenas na inclinao m da reta. Complementando tal clculo, poder ser feito
um estudo simplificado das posies relativas
entre retas e circunferncias.
Na Unidade 7, as cnicas so apresenta-
das e caracterizadas por meio de propriedades
de diversas maneiras. Alm de constiturem
intersees de um plano com uma superfcie
cnica, o que lhes garante a denominao, a
elipse uma circunferncia achatada; a hi-
prbole surge na representao de grandezas
inversamente proporcionais; e a parbola, na
representao de uma grandeza que propor-
cional ao quadrado de outra. Complementar-
mente, as cnicas tambm so apresentadas
8pelas suas importantes propriedades caracte-
rsticas em relao aos focos.
Na Unidade 8 so apresentadas as equaes
da elipse, da hiprbole e da parbola, em posi-
es convenientes em relao aos eixos de coor-
denadas, de modo a simplificar os clculos. Uma
extenso de tal estudo, conduzindo a equaes
mais gerais, pode ser dispensada ou adiada para
o momento em que sero tratadas as funes
(volume 2). Uma atividade exploratria das
caracterizaes das cnicas, de suas equaes
em situaes simples e de algumas aplicaes
apresentada na Situao de Aprendizagem 4.
Alm da Geometria Analtica Plana, este Vo-
lume tambm aborda as equaes algbricas, po-
linmios e nmeros complexos. Os trs temas, em
muitos casos, entrelaam-se ao longo da Histria.
Como se sabe, uma equao sempre corresponde
a uma pergunta, sempre envolve algo desconhe-
cido, uma incgnita, e sempre est associada
soluo de algum problema. Equacionar um pro-
blema justamente traduzir a pergunta que ele
representa por meio de uma equao.
No Ensino Fundamental, sobretudo nas
sries/anos finais, j foram apresentados aos alu-
nos diversos problemas, em diferentes contextos,
cuja soluo conduz a equaes do primeiro e
do segundo graus. O aluno j est acostumado
a resolver equaes de 1o grau (ax + b = 0, com
a 0) e de 2o grau (ax2 + bx + c = 0, com a 0).
Trata-se agora de enfrentar equaes corres-
pondentes a situaes um pouco mais enre-
dadas, que conduzem a equaes de 3o grau
(ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a 0), de 4o grau
(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, com a 0), de
5o grau (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0, com
a 0), e assim por diante. Tal o contedo das
Unidades 9 e 10.
A histria da busca de solues para tais
equaes, chamadas equaes algbricas, mui-
to instrutiva, pois, com base nela, compreende-
mos mais facilmente as sucessivas ampliaes
nos conjuntos numricos, dos nmeros natu-
rais at os nmeros complexos, que viabilizam
a atribuio de significado raiz quadrada de
um nmero negativo. Aprendemos tambm
com a histria que, com as equaes de 3o grau,
a busca por uma frmula envolvendo radicais
que nos fornea as razes, do mesmo tipo da que
nos d as solues de uma equao de 2o grau
(xb b ac
a=
2 42
), no costuma ser o me-
lhor caminho para resolver as equaes de graus
3 e 4, e um caminho impossvel de ser trilhado
para equaes de grau maior ou igual a 5.
O caminho mais conveniente, nesses casos,
uma anlise qualitativa da pergunta que cada
equao representa, extraindo da prpria per-
gunta informaes relevantes sobre as razes.
Portanto, muito importante sempre, e deci-
sivo em muitos casos, pensar efetivamente em
um problema como se pensa em uma pergunta,
aprendendo a examin-la criticamente para se
chegar sua resposta. Mais do que mera in-
teno de ensinar tcnicas de soluo, nosso
objetivo aqui a plena compreenso desse fato.
Uma apresentao das ideias fundamentais da
histria das equaes algbricas ser feita na
Situao de Aprendizagem 5.
9Matemtica 3 srie Volume 1
Mais adiante, o significado da anlise quali-
tativa de uma equao algbrica estar presen-
te nas Unidades 11 e 12. Tanto as relaes entre
os coeficientes do polinmio P(x) e as razes da
equao P(x) = 0, quanto o fato de que, conhe-
cendo-se uma raiz x = k da equao P(x) = 0,
conseguimos reduzir sua soluo de uma
equao de grau uma unidade menor, assunto
explorado nas Situaes de Aprendizagem 6 e
7. Sero entrelaados em atividades os dois re-
sultados a seguir, que expressam basicamente o
mesmo fato: x = k raiz da equao P(x) = 0
equivalente a o polinmio P(x) pode ser
fatorado e escrito na forma (x k) u Q(x), em que Q(x) um polinmio de grau uma unidade
menor que P(x). At esse ponto, vrios fatos
tero sido reunidos a respeito das razes da
equao P(x) = 0, sendo P(x) um polinmio.
Relaes entre coeficientes e razes, possveis
razes inteiras, fatorao de P(x) e diminuio
no grau da equao, entre outros, podero ser
sistematizados na Unidade 13.
A partir da Unidade 14, os nmeros com-
plexos so abordados mais diretamente. Como
no caso das equaes, a nfase tambm no
ser posta nos clculos algbricos, mas sim no
significado de tais nmeros responsvel por
uma notvel expanso dos conjuntos numri-
cos j conhecidos. As mltiplas possibilidades
da representao geomtrica de um nmero
complexo z, que tem como imagem um pon-
to no plano, como um par (x; y) de nmeros
reais, ou pode escrito na forma z = x + yi.
Assim, como a reta foi necessria e sufi-
ciente para se incluir todos os nmeros reais,
racionais e irracionais, veremos que, com a
incluso de nmeros que possam ser razes
quadradas de negativos, ser necessrio (e
suficiente) todo o plano cartesiano, que ser-
vir de inspirao para a construo do pla-
no complexo, suporte para a representao
de todos os nmeros complexos. A unidade
imaginria i, que representa o novo nmero
cujo quadrado d 1, serve de padro para
a representao no eixo vertical de nmeros
como 2i, 6i, 7i, 4i etc.
Em sintonia com tal representao, vere-
mos que o valor absoluto de um complexo | z |
|z| = x y2 2+ , e mede a distncia, no plano
complexo, da imagem de z origem do siste-
ma de coordenadas. O ngulo que a reta de-
terminada pela origem e a imagem de z forma
com o eixo x (medido no sentido anti-horrio)
o argumento de z, representado por e. As aproximaes com a Geometria Analtica Pla-
na sero comuns: por exemplo, o conjunto de
pontos do plano que representam complexos
de mdulo constante, digamos, |z| = 5, for-
mam a circunferncia x2 + y2 = 25.
Plano Cartesiano
eixo Y
eixo X
y
x
P (x;y)
x2 + y2 = 25
1
1
10
Plano Complexo
eixo Imaginrio
eixo Real
y
x
i
z = x + yi
|z| = 5
|z|
1
O significado das operaes com nmeros
complexos ser explicitado nas Unidades 15
e 16. Veremos, em tais unidades, que as ope-
raes com complexos correspondem rea-
lizao de certos movimentos no plano. Por
exemplo, se a um complexo z for somado o
nmero real 4, sua representao no plano
ser deslocada na direo do eixo x de 4 uni-
dades; se a z for somado o nmero imaginrio
3i, sua representao ser deslocada na dire-
o do eixo y de 3 unidades; se a z for soma-
do o nmero 4 + 3i, sua representao sofrer
um deslocamento horizontal (eixo Real) de
4 unidades, seguido de um vertical (eixo Imagi-
nrio) de 3 unidades, ou seja, o deslocamento
de z ter valor igual ao mdulo do complexo
4 + 3i, que igual a 5, na direo determinada
pela origem e a representao deste comple-
xo. Ao multiplicar o complexo z pelo real 5,
mostraremos que z permanece com o mesmo
argumento (ngulo com o eixo x), mas a dis-
tncia de z at a origem fica multiplicada por
5; se multiplicarmos z por i, o mdulo de z
permanecer o mesmo e seu argumento au-
mentar de 2
; j se multiplicarmos z por
5i, os dois efeitos so combinados: aumenta a
distncia at a origem, ao mesmo tempo que
o argumento aumenta de 2
.
eixo Imaginrio
eixo Real
z + 4 + 3i
z + 4
3z
z u i
|z|
|z|
z
z + 3i
11
Matemtica 3 srie Volume 1
O estudo de tais movimentos na imagem de
z, decorrentes de operaes realizadas sobre z,
torna o estudo dos nmeros complexos espe-
cialmente significativo, abrindo caminho para
um grande nmero de aplicaes prticas na
Situao de Aprendizagem 8.
De modo geral, ao longo das oito ltimas
unidades do volume, a nfase ser dada ao
significado de cada equao como uma per-
gunta, de cada raiz como uma resposta, de
cada complexo como um ponto do plano, de
cada operao realizada sobre ele como uma
transformao em sua imagem no plano.
Desde as sees iniciais, o exerccio da
compreenso leitora encontra-se presente em
todas as etapas do texto. Os clculos a serem
efetuados ao longo da resoluo das equa-
es so sempre acompanhados de um texto
explicativo, o que pode alongar um pouco o
percurso, mas esperamos que o torne mais
significativo. Afinal, aprender Matemtica
tambm significa desenvolver a capacidade de
expresso na leitura e na escrita, ao lado das
habilidades de clculo.
Sinteticamente, as 16 unidades que compem
o presente Caderno so apresentadas a seguir.
Quadro geral de contedos do volume 1 da 3a srie do Ensino Mdio
Unidade 1 O plano cartesiano; distncia entre dois pontos; ponto mdio de um segmento; condio de alinhamento de trs pontos.
Unidade 2 A equao da reta; significado dos coeficientes; retas paralelas.
Unidade 3 Retas perpendiculares; regies do plano.
Unidade 4 Problemas lineares.
Unidade 5 A equao da circunferncia.
Unidade 6 Distncia de ponto reta; posies relativas entre reta e circunferncia.
Unidade 7 Cnicas; apresentao e propriedades da elipse, da hiprbole e da parbola.
Unidade 8 Equaes da elipse, da hiprbole e da parbola.
Unidade 9 Equaes algbricas de graus 1, 2, 3, 4, 5, ...; histria, frmulas.
Unidade 10 A raiz quadrada de um nmero negativo e o conjunto dos complexos.
Unidade 11 Das frmulas abordagem qualitativa: relaes entre coeficientes e razes.
Unidade 12 Equaes e polinmios; operaes com polinmios; diviso de um polinmio por x k.
Unidade 13 Sntese de resultados sobre a resoluo de equaes algbricas de qualquer grau.
Unidade 14 Nmeros complexos; representao no plano; relaes com Geometria Analtica.
Unidade 15 Significado das operaes com nmeros complexos; translaes, rotaes, ampliaes.
Unidade 16 Transformaes no plano complexo; exerccios simples.
12
SITUAES DE APRENDIZAGEMSITUAO DE APRENDIZAGEM 1
A GEOMETRIA E O MTODO DAS COORDENADAS
Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 1
1. Na Geometria Analtica Plana, representamos os pontos de um
plano por coordenadas (x; y) e fa-
zemos clculos relativos a figuras geomtricas
por meio de operaes algbricas sobre os pa-
res de coordenadas. Partindo dessa ideia, consi-
dere os pontos A (2; 3) e B (5; 7), e calcule:
a) A distncia entre esses dois pontos.dAB = (52)2 + (7 3)2 = 9 + 16 = 25 = 5u
b) A inclinao do segmento AB.
m = 6y6x
= 7 3
5 2 =
4
3
2. Como voc escreveria a equao da reta paralela ao eixo x que cruza o eixo y no ponto (0; 5)?
y = 5
3. Qual a equao da reta paralela ao eixo y, que cruza o eixo x no ponto (2; 0)?x = 2
O clculo de distncia entre dois pontos
da inclinao de um segmento, por exemplo,
pode ser realizado conforme as expresses in-
dicadas a seguir.
4. Compare se o que voc fez nas trs primei-ras atividades corresponde ao apresentado
a seguir:
Contedos e temas: coordenadas cartesianas no plano; clculo de distncias, coordenadas do ponto mdio, inclinao de segmentos usando coordenadas; escolha de sistemas de coorde-nadas convenientes para a soluo de problemas geomtricos.
Competncias e habilidades: compreenso da linguagem algbrica na representao de situaes e problemas geomtricos; expresso de resultados geomtricos por meio da linguagem algbrica.
Sugesto de estratgias: retomada do uso de sistemas de coordenadas j iniciado na 6a srie/ 7o ano do Ensino Fundamental e apresentao de problemas geomtricos simples, que podem ser resolvidos por meio da linguagem das coordenadas.
13
Matemtica 3 srie Volume 1
y
0
yB
xA xB x
yA
B
A
dAB
dAB = distncia entre A e B
dAB = (xB xA)2 + (yB yA)
2
y
0
yB
xA xB x
yA
B
A
1
mAB
mAB = inclinao de AB
mAB = yB yAxB xA
y
0 x
A D
E
B
C
A, B, C no alinhados: mAB mBC
BC paralelo a DE: mBC = mDE
y
0
y = h (h > 0)
y = h (h < 0)
x
h
h
y
0
(h < 0)
x = h
(h > 0)
x
x = h
Registre as semelhanas e as diferenas en-tre as solues que voc props e as figuras apresentadas.Resposta pessoal. Professor, discuta com os alunos as frmulas
e as propriedades que foram envolvidas nas atividades de 1 a 3.
5. Observe os grficos a seguir e busque uma equao que represente a reta r, em cada item:
a)r
y
x0
3
21
54
6
7
21 3 54
y = x + 3
14
b)
y
0
3
4
5
x
r
6
7
2
1
21 3 54
y = 1
2 x + 5
6. De forma geral, para as retas inclinadas em relao aos eixos, lembrando dos grficos das funes de 1o grau, temos as equaes indicadas a seguir:
a)
0
y = mx + h (m > 0)
m
h
1
x
y
b)
0
y = mx + h (m < 0)
m
h
1
x
y
Compare-as com as equaes encontradas na atividade 5 e identifique, em cada uma, os valores de m e h.a) m = 1 e h = 3
b) m = 1
2 e h = 5
7. Comparando as inclinaes das retas, podemos identificar as que so paralelas e as que so concorrentes e, particular-mente, a relao entre as inclinaes de retas perpendiculares:
y
x
r1: y = m1x + h1
m1 m2 r1 e r2 concorrentes
r2: y = m2x + h2
r1: y = m1x + h1
r2: y = m2x + h2
x
y
m1 = m2 r1 e r2 paralelas
Considerando isso, responda s questes
seguintes:
a) Qual a posio relativa entre as retas y = 2x + 5 e y = 4x + 1?
As retas so concorrentes (m1 m2).
b) Qual a posio relativa entre as retas y = 3x + 4 e y = 3x 2?
As retas so paralelas (m1 = m2).
15
Matemtica 3 srie Volume 1
desafio!
Para calcular a distncia de um ponto a uma reta, deixando de lado o caso mais simples, em que a reta paralela a um dos eixos, podemos explorar a semelhana de tringulos indi-cada na figura a seguir:
yPy P
yr
h
xP x
(yr = mxP + h)
r: y = mx + h
yP yr
dPr
1
m1
2
+ m
dy y mP r
Pr
=
+
11 2
dy y
mP r
Pr
=+1 2
dy m x h
mP p
Pr
=
+1 2
No sistema cartesiano a seguir foram re-
presentadas retas de equaes:
r: y = 3; s: x = 4; t: y = 3x + 1
Localize nesse sistema o ponto (2;15) e
determine a distncia desse ponto a cada
uma das retas indicadas anteriormente.Por observao direta, notamos que a distncia de P at
a reta y = 3 igual a 15 3 = 12. Da mesma maneira, no-
tamos que a distncia de P at a reta x = 4 4 2 = 2. Para
calcular a distncia de P at a reta y = 3x + 1, observando
na figura a semelhana entre os tringulos PAB e MNQ,
y ts
x
16
14
12
10
8
4
2
0 2 64 82468
r
temos: PB
QM =
PA
QN
d
1 =
8
32 + 12 d = 8
10 =
8 10
10 d = 4 10
5 . Logo,
N
3
MQ
P
y
A
x
B
d
15
7
3
1
0 2
15 7 = 8
y2 = 3 2 + 1 = 7
y = 3
x = 4
y = 3x + 1
1
10
10
4
dy y mP r
Pr
=
+
11 2
dy y mP r
Pr
=
+
11 2
BOOK_MAT-SPFE-2014_3S_CP_VOL1.indb 15 25/11/13 17:43
16
Para aplicar informaes citadas anterior-
mente, so apresentadas as atividades a seguir.
8. O hexgono regular ABCDEF tem centro M, como mostra a figura a seguir, e cada
lado tem 10 unidades de comprimento.
Utilizando os sistemas de coordenadas
XOY e XMY, determine:y
F
D
B
E
Ax
M C
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, M;
b) a inclinao dos segmentos FE, DC, BC, AM, FA, ED, AC e FB;
c) as coordenadas do ponto mdio dos seg-mentos AB, FC, FM, AE, BC, DC e AD.
Ser necessrio calcular a altura de um tringulo equiltero
de lado 10, que igual a 5 3 .
10
5
h
h2 + 52 = 102
h2 = 75
h = 5 3
A partir desse resultado, para o sistema XOY, temos:
a) A (5; 0); B (15; 0); C (20; 5 3); D (15; 10 3); E (5; 10 3);
Para continuar nosso estudo de Geometria
Analtica, trs lembretes so importantes.
Em primeiro lugar, trata-se de uma retoma-
da de modo mais sistemtico de um uso dos sis-
temas de coordenadas que, de fato, j se iniciou
bem anteriormente, na soluo de sistemas de
equaes lineares e no estudo das funes.
Em segundo lugar, o que aqui se pretende
desenvolver um novo mtodo de abordar pro-
blemas geomtricos j conhecidos, ou seja, a
novidade est na forma de tratamento dos pro-
blemas, no no seu contedo.
E em terceiro lugar, importante lembrar
que, muitas vezes, temos a liberdade de escolher
o sistema de coordenadas que ser utilizado na
resoluo dos problemas. Nesses casos, convm
notar que, embora as coordenadas dos pontos
representados dependam do sistema escolhido,
existem informaes relativas aos pontos que
podem depender ou no do sistema. Por exem-
plo, dados trs pontos A, B, C, a escolha de um
sistema de coordenadas deve considerar os se-
guintes aspectos:
f as coordenadas dos pontos A, B e C de-pendem do sistema XOY escolhido;
f a distncia entre dois desses pontos no depende do sistema escolhido;
f a inclinao do segmento AB depende do sistema escolhido;
f a rea do tringulo ABC no depende do sistema escolhido;
f a medida do ngulo BAC no depende do sistema escolhido, e assim por diante.
Y
X
17
Matemtica 3 srie Volume 1
F (0; 5 3); M (10; 5 3).
b) FE: 3; DC: 3; BC: 3; AM: 3; FA: 3; ED: 0; AC: 3
3 ;
FB: 3
3 .
c) AB: (10; 0); FC: (10; 5 3); FM: (5; 5 3); AE: (5; 5 3); BC:
(17,5; 5 3
2); DC: (17,5; 7,5 3); AD: (10; 5 3).
Professor!
importante notar que os segmentos FE e BC so paralelos, assim como tambm o so os segmentos FA e DC, AB e ED, AM e FE etc. Esse o sig-nificado da igualdade das inclinaes, nesses casos.
Para o sistema X'MY', as coordenadas so as seguintes:
a) A (5; 5 3); B (5; 5 3;) C (10; 0); D (5; 5 3); E (5; 5 3);
F (10; 0); M (0; 0).
b) FE: 3; DC: 3; BC: 3; AM: 3; FA: 3; ED: 0; AC: 3
3;
FB: 3
3 .
c) AB: (0; 5 3); FC: (0; 0); FM: (5; 0); AE: (5; 0); BC: (7,5; 2,5 3);
DC: (7,5; 2,5 3); AD: (0; 0).
Muitos outros exerccios semelhantes
atividade 1 podem ser apresentados aos alu-
nos, a fim de recordar fatos e relaes da
Geometria Plana, expressando-os por meio das
coordenadas cartesianas. Tringulos, quadra-
dos, losangos, retngulos, pentgonos, entre
outros, poderiam ser representados no plano
por meio de coordenadas, calculando-se com-
primentos de lados, de medianas, baricentro
etc. Vale ressaltar que muitos dos problemas
de Geometria Plana j conhecidos podem ser
abordados em outra perspectiva, com a parce-
ria entre a lgebra e a Geometria. A escolha do
sistema de coordenadas mais simples em cada
situao tambm pode ser explorada. As ativi-
dades a seguir ilustram o que se sugere.
9. Observe o hexgono regular ABCDEF, apresentado na atividade anterior, agora
com o vrtice F coincidente com um ponto
do eixo das ordenadas, e com o lado AB
apoiado sobre o eixo das abscissas.Y
F
O B
DE
A X
M C
Determine:
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F;
A (5; 0), B (15; 0), C(20; 5 3), D(15; 10 3), E(5; 10 3), F(0; 5 3).
b) as coordenadas do ponto M, centro do hexgono;
M(10; 5 3).
c) a inclinao dos segmentos AD e BE;mAD= 3, mBE = 3.
d) as coordenadas do ponto mdio dos segmentos: AE e BD;
AE: (5; 5 3), BD: (15; 5 3).
18
e) as medidas AD, BE e FC, diagonais do hexgono.
dAD = dBE = dFC = (515)2 + (0 10 3)2 = 100 + 300 = 20u
10. No sistema de coordenadas desenhado no papel quadriculado, represente os
pontos: A (1; 2), B (3; 8), C (2; 8) e
D ( 4; 2).
a) Mostre que os pontos A, B, C e D so os vrtices de um paralelogramo.
b) Calcule o comprimento do lado maior do paralelogramo ABCD.
c) Calcule o comprimento da diagonal menor de ABCD.
d) Trace, em seu desenho, as diagonais do paralelogramo ABCD. Identifique pela
letra M o ponto em que as diagonais se
cruzam. Determine as coordenadas do
ponto M.
e) Calcule a rea do tringulo AMD.
yC
DA
M
B
x0
2
-2-4 1 3
8
Vamos representar os pontos indicados para orientar a res-
posta aos diversos itens. No entanto, vale lembrar que pode-
ramos responder a cada uma das questes apenas com as
informaes do enunciado, sem qualquer gura.
a) Calculando as inclinaes dos segmentos AB e CD, nota-
mos que elas so iguais:
mAB = 8 2
3 1 = 3
mCD = 2 8
4 (2) =
6
2 = 3
Logo, AB e CD so paralelos. De modo anlogo, mostramos
que AD e BC tambm so paralelos. Resulta, ento, que o
quadriltero ABCD um paralelogramo.
b) Calculando as distncias entre A e B, e entre B e C, obtemos:
dAB = (8 2)2 + (3 1)2 = 40;
dBC= (8 8)2 + (2 3)2 = 5
Logo, o lado AB maior, valendo 2 10.
c) Calculando as distncias entre A e C e entre B e D, obte-
mos as diagonais:
dAC = (8 2)2 + (2 1)2 = 45;
dBD= (2 8)2 + (4 3)2 = 85.
Logo, a diagonal menor AC.
d) Basta lembrar que as diagonais do paralelogramo se cru-
zam no ponto mdio de cada uma delas e achar o ponto
mdio de AC, que 1
2; 5 .
e) Por inspeo direta, a base do tringulo AMD tem compri-
mento 5 e a altura mede 3; logo, a rea de AMD igual a 7,5.
11. Represente os pontos A (0; 0), B (3; 7) e C (2; 13) em um siste-
ma de coordenadas, sendo M o
ponto mdio de AC e N o ponto mdio
de BC:
a) Determine as coordenadas de M e N.
b) Calcule as inclinaes dos segmentos AB e MN, verificando que tais segmen-
tos so paralelos.
19
Matemtica 3 srie Volume 1
c) Calcule as distncias dAB e dMN, verifi-cando que dAB = 2 dMN.
Como no exerccio anterior, vamos fazer um esboo da gura
que oriente soluo.
yC
B
x
13
N
M
A0
7
-2 3
a) As coordenadas de M, ponto mdio de AC, so a mdia
aritmtica das coordenadas correspondentes de A e C:
xM = xA + xC
2 =
0 2
2 = 1 yM =
yA + yC
2 =
0 + 13
2 = 13
2
M = 1; 132
. Analogamente, N = 12
; 10.
b) Calculando a inclinao de AB, temos:
mAB = yB yA
xb xA =
7
3Do mesmo modo, mMN =
yM yN
xM xN = 7
3
Como as inclinaes so iguais, conclumos que os segmen-
tos AB e MN so paralelos.
c) Calculando as distncias entre A e B e entre M e N, obtemos:
dAB = 58 e dMN = 58
2
ou seja, dMN = dAB
2
12. Para que trs pontos A, B e C estejam alinhados, necess-
rio e suficiente que as inclinaes dos seg-
mentos AB, BC (e, consequentemente, AC)
sejam iguais, isto , que os trs pontos
constituam uma nica rampa ABC.
0 x
y
yC
yB
yA
xA xB xC
A
B
C
mAB mBC
C
0 x
y
yB
yC
yA
xA xB xC
A
B
C
mAB = mBC = mAc
Dados os pontos A (1; 3), B (3; 7) e C (4; k):
a) Determine o valor de k para que esses pontos estejam alinhados.
Devemos ter mAB = mBC ; resulta da que 7 3
3 1 =
k 7
4 3 , e,
ento, k = 9.
b) Determine o valor de k para que a rea do tringulo ABC seja igual a zero.
A rea de ABC ser nula quando os trs pontos estiverem ali-
nhados, ou seja, quando k = 9. interessante aproximar essas
20
duas informaes: sempre que trs pontos esto alinhados, a
rea do tringulo formado por eles nula e vice-versa.
c) Sendo k = 3, desenhe o triangulo ABC e calcule sua rea.
Vamos construir uma figura para orientar a soluo.
Observando a figura, verificamos que a base AC mede 3 e
a altura relativa mede 4; logo, a rea igual a 6.
yB
C
x
43
A
7
3
1
13. No sistema de coordenadas a seguir, repre-sente quatro pontos de modo a formar um
quadriltero ABCD. Escolha as coordena-
das vontade.
y
x
6
4
14 3 2 1 1 32 4 5
2
3
4
2
5
3
1
0
Analisando o quadriltero formado:
a) calcule os pontos mdios dos lados AB, BC, CD e DA;
b) mostre que os quatro pontos mdios obtidos formam um paralelogramo.
Basta seguir os passos do enunciado: calcular os pontos
mdios dos quatro segmentos determinados pelos pon-
tos escolhidos arbitrariamente, calcular as inclinaes dos
segmentos determinados por esses quatro pontos mdios
e vericar que elas so iguais duas a duas. Procure vericar
que isso vale para qualquer quadriltero. Em outras palavras,
os pontos mdios dos lados de um quadriltero qualquer
sempre formam um paralelogramo.
D
A
B
C
interessante associar esse fato ao resulta-
do da atividade 11, notando que os lados do
paralelogramo so os segmentos que unem os
pontos mdios dos lados dos tringulos em
que o quadriltero inicial se divide quando
so traadas as suas diagonais.
14. Com base na figura, calcule a distncia do ponto P de coordenadas (2; 15) reta r nos casos indicados a seguir:
a) r: y = 3 b) r: x = 9 c) y = 3x + 1Vamos fazer uma figura para orientar a
soluo:
21
Matemtica 3 srie Volume 1
N
3
MQ
P
y
A
x
B
d
15
7
3
1
0 2 9
15 7 = 8
y2 = 3 . 2 + 1 = 7
y = 3
x = 9
y = 3x + 1
1
W10
a) Por observao direta, notamos que a distncia de P at a reta
y = 3 igual a 15 3 = 12.
b) Da mesma maneira, notamos que a distncia de P at a reta
x = 9 9 2 = 7.
c) Para calcular a distncia d de P at a reta y = 3 u x + 1, ob-
servando na gura a semelhana entre os tringulos PAB e
MNQ, temos: PB
QM =
PA
QN.
Logo, d
1 =
8
10, ou seja, d =
8 10
10.
Consideraes sobre a avaliao
Ao final desta primeira unidade, a expec-
tativa que a Geometria Analtica tenha
sido assimilada como um novo mtodo novo
para a abordagem de problemas j conhe-
cidos, como foi registrado anteriormente.
Nos exerccios apresentados, o dilogo entre
a lgebra e a Geometria pode ser observa-
do e, a partir disso, ela deve ser ampliada
continuamente.
Considera-se que o desenvolvimento da
Situao de Aprendizagem foi bem-sucedido
se os alunos consolidaram o uso do sistema
de coordenadas cartesianas, tendo aprendido
a determinar o ponto mdio de um segmen-
to, calcular a distncia entre dois pontos e a
inclinao de um segmento, bem como veri-
ficar se dois segmentos dados pelas coorde-
nadas de seus pontos so ou no paralelos,
alm de outros resultados que o professor
considerar viveis no contexto de sua aula,
sempre associados representao de pontos
por coordenadas.
22
SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 A RETA, A INCLINAO CONSTANTE E A
PROPORCIONALIDADE
Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 2
A partir de agora, vamos procurar repre-
sentar curvas por equaes com base na ex-
presso algbrica das propriedades que tais
curvas apresentam. E vamos iniciar a discus-
so com a mais simples das "curvas", ou seja,
com a reta, que como uma "curva sem imagi-
nao", pois segue sempre na mesma direo.
Para determinar a equao de uma reta, ou
seja, a relao entre as coordenadas x e y que deve
satisfazer todos os seus pontos, basta estar atento
ao fato de que todos os segmentos nela contidos
tm a mesma inclinao. Deixemos de lado os ca-
sos particulares das retas paralelas aos eixos coor-
denados, cujas equaes so do tipo:
x = constante = k, para todo y (reta para-
lela ao eixo OY);
ou ento:
Contedos e temas: equao da reta: proporcionalidade, inclinao constante; relao entre as inclinaes de retas paralelas e de retas perpendiculares; inequaes lineares e regies do plano cartesiano; problemas envolvendo equaes da reta.
Competncias e habilidades: compreenso da linguagem algbrica na representao de situaes e problemas geomtricos; expresso de situaes envolvendo proporcionalidade por meio de equaes e inequaes envolvendo retas.
Sugesto de estratgias: caracterizao da reta tendo por base a inclinao constante do seg-mento formado por qualquer par de seus pontos; resoluo de situaes-problema envolven-do proporcionalidade, com base na equao da reta.
y = constante = h para todo x (reta parale-
la ao eixo OX).
Consideremos agora as retas que cortam
os eixos. Se uma reta corta o eixo OY no pon-
to P0 (0; h), tendo o valor de m como inclina-
o comum a todos os seus segmentos, ento
um ponto qualquer P (x; y) da reta deve ser
tal que a inclinao do segmento P0P seja
igual a m.
A inclinao constante de todos os seg-
mentos de uma reta pode ser associada
representao de grandezas diretamente pro-
porcionais. De fato, se uma grandeza y direta-
mente proporcional a outra grandeza x, ento yx
= constante = m, ou seja, y = mx, que repre-
senta uma reta de inclinao m, passando pela origem. Se a reta no passar pela origem, mas
cortar o eixo y no ponto de ordenada h, temos: y h
x 0 = m.
23
Matemtica 3 srie Volume 1
Ou seja, quando x aumenta em uma unida-
de, a variao de y ser y y = m.
1. Na equao y = 473,5x + + 12,879, se x variar uma uni-
dade, passando, por exemplo,
de 2 008 para 2 009, de quanto
ser o aumento de y? Tente responder a
essa questo sem efetuar clculos.
O aumento de y ser de 473,5, pois esse valor a taxa de
variao de y para cada unidade de x.
Os sinais dos coeficientes m e h
Muitos exemplos de retas com diferentes
valores e sinais para m e h so apresentados a seguir, e convm associar a cada uma das retas
representadas o pequeno tringulo correspon-
dente ao significado da inclinao.
x
y
h
0
1
m
y = mx + h
Retas paralelas ao eixo OX, que tm equao
do tipo y = h, podem ser consideradas retas de
inclinao m = 0. Retas que passam pela origem
do sistema de coordenadas tm equao do tipo
y = mx, uma vez que h = 0. Para as retas parale-
las ao eixo OY, no se define inclinao.
Logo, todo ponto da reta satisfaz a equa-
o y = mx + h, considerando os seguintes aspectos:
f h: ordenada do ponto em que a reta cor-ta o eixo OY;
f m: inclinao da reta, ou seja, a varia-o na ordenada y por unidade a mais
de x.
Cabe enfatizar que, com base em certo
valor h, y varia de modo diretamente pro-porcional a x, ento temos: y h = mx, ou
seja, y = mx + h. A inclinao m representa a constante de proporcionalidade, e inte-
ressante notar que m corresponde varia-o no valor de y quando o valor de x au-
menta em uma unidade:
x y = mx + h
x = x + 1 y = m(x + 1) + h = = mx + m + h = y + m
x x = 1 y y = m
24
x
y
y = h
y = h
(h > 0)
(h < 0)
0
Nesses casos m = 0
x = kk < 0
y
x0
x = kk > 0
Nesses casos no existe m
Se duas retas so paralelas, ento elas tm a
mesma inclinao; se so concorrentes, ento suas
inclinaes so diferentes. As figuras a seguir po-
dem facilitar a compreenso de tais afirmaes:
m1 = m2 r1 e r2 paralelas
y
x
0
r1r2
y = m1x + h1 y = m2x + h2
m1 m2 r1 e r2 concorrentes
y
x0
r1
r2
y = m1 u x + h1
y = m2 u x + h2
Para que voc se familiarize com tais fatos,
so apresentados a seguir alguns exerccios.
As questes formuladas so simples, mas
representam conhecimentos fundamentais.
Com os valores de h e m, podemos escrever diretamente a equao da reta (atividade 2).
Tambm podemos facilmente escrever a equa-
o da reta que passa por um ponto dado,
com inclinao dada, ou que passa por dois
pontos dados (atividades 3 e 4).
2. Represente no plano cartesiano as retas r1 a r9 de equaes do tipo y = mx + h, corres-
pondentes aos valores de h e m registrados na tabela a seguir.
h m
r1 0 5
r2 3 2
25
Matemtica 3 srie Volume 1
h m
r3 3 2
r4 1 5
r5 3 7
r6 5 6,4
r7 0
r8 0,5 7
r9 0,8
y
6
7
1 4 62 3 51
3
5
2
4
6
7
4
2
5
3
1
0
13 24 x
Um esboo das nove retas, destacando-se os valores relati-
vos dos coeficientes m e h, indicado a seguir:
y = 5 + 6,4x
y = 0,5 7 x
y = 3 7x
y = 0,8 + x
y = 3 2x
y = 5x
y = 3 2x
y =
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r9
y = 1 + 5 x
y
x
3. Determine a equao da reta que passa
pelo ponto A (2; 5) e tem inclinao m = 3.
35
y
2
P
1
X x
Y
1a soluo
A equao da reta do tipo y = mx + h, ou seja, y = 3x + h
Como o ponto (2; 5) pertence reta, ento: 5 = 3 2 + h
Logo, h = 1, e a equao y = 3x 1
2a soluo
Sendo (x; y) um ponto genrico da reta,
devemos ter: m = y 5
x 2 = 3.
Logo, y 5 = 3(x 2), ou seja, y = 3x 1
BOOK_MAT-SPFE-2014_3S_CP_VOL1.indb 25 25/11/13 17:43
26
4. Escreva a equao da reta que passa pelos pontos A (1; 7) e B (4; 16).
0 x
y
1
A
B
7
16
4
1a soluo
Sendo a reta inclinada em relao aos eixos, a equao da
forma y = mx + h.
Substituindo as coordenadas dos pontos, temos:
7 = m u 1 + h
16 = m u 4 + h
Resolvendo o sistema, temos: m = 3 e h = 4.
Logo, a equao y = 3x + 4.
2a soluo
A inclinao da reta m = 16 7
4 1 = 3.
E j sabemos que a equao do tipo y = 3x + h.
Se ela passa pelo ponto A (1; 7), temos: 7 = 3 u 1 + h
ou seja, h = 4. Logo, a equao y = 3x + 4.
5. Considere o quadrado ABCD cujo lado mede 5 unidades e o tringulo equiltero EFG cujo lado mede 10 unidades, repre-sentados no sistema cartesiano.
y
BA
D 5x
C
y
xF
M
G
10
E
O
a) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equa-
es das retas AB, BC, CD, DA, AC e BD.
b) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escre-
va as equaes das retas EF, FG, GE e
OM, onde M o ponto mdio do lado
EF e O o ponto mdio do lado GF.
Naturalmente, existem muitas respostas distintas para a ques-
to. So indicados a seguir alguns exemplos de sistemas de
coordenadas que poderiam ser escolhidos:
y
BA
D 50x
C
Sugesto para o professor!
Apresente exerccios de fixao sobre os fatos bsicos explorados nas atividades anteriores. Proponha aos alunos a deter-minao de diversas equaes de retas a partir de diferentes informaes:
f Reta passando por dois pontos dados; f Reta passando por um ponto dado, sendo fornecida tambm a inclinao.
A atividade pode ficar ainda mais inte-ressante e significativa se forem inclu-dos os casos de retas paralelas aos eixos coordenados.
27
Matemtica 3 srie Volume 1
y
x
F
M
G
10
E
0
a) reta AB: y = 5 reta DC: y = 0 reta AD: x = 0 reta CB: x = 5
reta DB: y = x reta AC: y = x + 5
b) reta FG: y = 0
tcalculando a altura do tringulo equiltero, obtemos
h = 5 3; logo, as retas EF e EG tm equaes do tipo
y = mx + 5 3;
tcomo a reta EF passa pelo ponto F(5; 0), conclumos
que 0 = m u 5 + 5 3, ou seja, m = 3; a equao de EF y = 3x + 5 3;
tdo mesmo modo, como EG passa pelo ponto (5; 0),
conclu mos que sua inclinao 5 3
5 , ou seja, igual a 3;
sua equao y = 3 x + 5 3;
ta reta OM ter equao do tipo y = m u x, uma vez que passa
pela origem.
Como as coordenadas do ponto M so 52
; 5 3
5
, cal-
culamos o valor de M e obtemos m = 3; portanto, a equa-
o de OM y = 3x.
Professor:
Outros sistemas de coordenadas poderiam ser escolhidos. Em sala de aula, essa diversi-dade possibilita algumas comparaes inte-ressantes sobre quais resultados dependem e quais no dependem de tal escolha. Nesse momento tambm interessante analisar qual o sistema mais conveniente, no sentido de simplificar as equaes a serem obtidas.
6. Se duas retas inclinadas em relao aos ei-xos coordenados r1 e r2 so perpendiculares,
ento suas inclinaes m1 e m2 tem sinais
opostos e so inversas, isto , m1 u m2 = 1, como possvel perceber pela anlise da fi-
gura seguinte:
y
0x
1
h2
h1
y = m2 x + h2
y = m1 x + h1
m1
m2
Os ngulos assinalados nos dois tringulos
retngulos so congruentes. Isso nos permi-
te afirmar que m11
= 1
m2 (note que, como
m2 < 0, o segmento que corresponde ao lado
do tringulo tem comprimento igual a m2).
Sendo assim, conclumos que m1 u m2 = 1.
Considerando esse resultado, determine a
equao da reta t que passa pelo ponto A e perpendicular reta r, nos seguintes casos:
A r
(0; 0) y = 4 3x
(0; 4) y = 2x 5
(0; 3) y = 0,2x + 7
(0; 7) y = 3 x + 2
(1; 2) y = 3x + 7
Em cada caso, buscamos a equao da reta que passa pelo
28
ponto dado e perpendicular reta dada. Para obter a in-
clinao m da reta procurada, basta tomar a inclinao m
da reta dada, inverter e trocar o sinal, pois sabemos que o
produto m m deve ser igual a 1.
Assim, temos a seguinte tabela:
A r m m'
(0; 0) y = 4 3x 31
3
(0; 4) y = 2x 5 2 1
2
(0; 3) y = 0,2x + 7 0,2 5
(0; 7) y = 3 x + 2 31
3 = 3
3
(1; 2) y = 3x + 7 3
1
3
As retas perpendiculares so, portanto: y = m u x + h, com o
m de acordo com a tabela anterior e com o h calculado com
base no fato de que elas passam pelo ponto indicado.
No primeiro caso, teramos: y = 1
3 + h; como a reta passa
pela origem (0; 0), h = 0, e temos y = 1
3 x.
No segundo caso:
y = 1
2 x + h; como a reta passa pelo ponto (0; 4), temos:
4 = 1
2 u 0 + h, ou seja, h = 4; portanto y =
1
2 x + 4 .
Nos demais casos, temos, sucessivamente:
y = 5x 3 y = 1
3 + 7 y =
1
3 x +
7
3
Professor, para justificar o fato "se as retas
r1 e r2 so perpendiculares e m1 e m2 so,
respectivamente, as inclinaes dessas re-
tas, ento m1 m2 = 1", pode-se discutir
com os alunos a argumentao a seguir:
Para justificar esse fato, basta observar a figura:
y
0 x
1
h2
h1
y = m2x + h2
y = m1x + h1
m2
m1
Pode-se notar que, no tringulo retngulo
formado pelas duas retas e pelo segmento
em que esto representadas as inclinaes
m1 e m2, a altura relativa hipotenusa
igual a 1; logo, o produto dos comprimen-
tos dos segmentos representados por m1
e m2 igual a 1, uma vez que o quadrado
da medida da altura relativa hipotenusa
igual ao produto das medidas das proje-
es dos catetos sobre ela. Como as incli-
naes tm sinais opostos, conclumos que:
m1 m2 = 1, ou seja, m1 = 1m2
.
29
Matemtica 3 srie Volume 1
Outro modo de comprovar tal relao
aplicar o Teorema de Pitgoras no tringulo
retngulo anteriormente referido, obser-
vando que um dos catetos 1 + m12 ,
o outro 1 + m22 , e a hipotenusa m1 m2
(lembrar que m2 negativo; logo, o com-
primento do segmento representado pelas
duas inclinaes m1 m2).
Isso significa que:
(m1 m2)2 = 1 + m1
2 + 1 + m22, portanto,
m1 u m2 = 1.
7. Como observado anteriormente, a equa-o y = mx + h representa os pontos de uma reta inclinada em relao aos eixos
coordenados. Uma reta divide o plano em
dois semiplanos. Em um deles, o que se si-
tua acima da reta, os pontos so tais que
y > mx + h; no outro, abaixo da reta, temos y < mx + h. Se os semiplanos incluem os pon-tos da reta, temos y mx + h para os pontos acima da reta ou na reta, e y mx + h para os pontos abaixo dela ou na reta.
y
x0
y > mx + h
y < mx + h
y = mx + h
y
x0
y mx + h
y mx + h
y = mx + h
Observao sobre a notao:
y > mx + h: pontos do semiplano situado acima da reta y = mx + h.
y mx + h: pontos do semiplano situado acima da reta, mais os pontos da reta y = mx + h.
y < mx + h: pontos do semiplano situado abaixo da reta y = mx + h.
y mx + h: pontos do semiplano situado abaixo da reta, mais os pontos da reta y = mx + h.
30
Partindo dessa ideia, associe cada uma das re-
gies coloridas A, B, C, D, E, F a uma inequao
ou a um sistema de inequaes do tipo y > mx + h, ou, ento, y < mx + h, considerando-se a conti-nuidade ou no da regio solicitada.
Ay = 3x + 5
x
y
0
B
y = 5 0,5x
y
x0
C
y = 5 + 2x
x
y
0
y = 3 + 2x
D
y = 7 0,5x
y = 4 0,9xx
y
0
E
7 x
y
0
y = 4 + x
y = 4
F
5 x
y
0
y = 2x
y =
A: y 3x + 5
B: y < 5 0,5x
C: 3 + 2x y 5 + 2x
D: 4 0,9x y < 7 0,5x
E: 4 y 4 + x para 0 x 7
F: / 2 x < y / para 0 x 5
A equao da reta em sua forma geral
ax + by = c no foi especialmente contem-
plada na apresentao das ideias neste texto.
31
Matemtica 3 srie Volume 1
Entretanto, consideramos importante que o pro-
fessor explore em alguns exerccios o fato de que
tal equao sintetiza adequadamente os dois ca-
sos aqui estudados separadamente: as retas para-
lelas aos eixos coordenados e as retas inclinadas
em relao aos eixos. Particularmente importan-
te, nesse caso, reconhecer a inclinao da reta
apresentada na forma geral ax + by = c. Sendo
b 0, a reta no ser paralela ao eixo OY e pode-
mos encontrar sua inclinao. Explicitando o va-
lor de y, escrevemos y = a
b x +
c
b e notamos que
a inclinao da reta m = a
b. Seria interessante
praticar tal reconhecimento em variados exerc-
cios. Para dedicar mais espao neste Caderno
explorao de temas menos frequentemente abor-
dados, deixamos tal tarefa a cargo do professor.
8. Uma pessoa deve fazer uma dieta em que deve ingerir, no mnimo, 75 g de protenas por
dia, servindo-se apenas de certo alimento A.
a) Se cada grama de A fornece 0,15 g de protena, quantos gramas de A devero
ser ingeridos por dia, no mnimo?
Sendo x a quantidade de gramas de A a ser ingerida, deve-
mos ter x u0,15 75.
Conclumos, ento, que x 500, ou seja devem ser ingeridos
no mnimo 500 g do alimento A.
b) Represente algebricamente a relao entre a quantidade x de A em gramas a ser ingerida e a quantidade y de prote-nas correspondente.
A quantidade y em gramas de protena ingerida uma fun-
o da quantidade x em gramas ingeridos do alimento A. En-
to, temos: y = 0,15x.
c) Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares
(x; y) para os quais a prescrio da die-
ta atendida.
Os pares (x; y) do plano cartesiano que correspondem ao
atendimento prescrio da dieta so os pontos da reta
y = 0,15x, tais que x 500, ou seja, so os pontos da reta
y = 0,15x direita da reta x = 500.
d) Represente no plano cartesiano a regio em que a dieta estaria igual-
mente satisfeita, porm com alimen-
tos mais ricos em protenas do que o
alimento A.
Os pares (x; y) que correspondem a alimentos mais ricos em
protenas do que A so tais que y > 0,15x, ou seja, ingerindo-se
x gramas, a quantidade y de protenas ser maior do que 0,15x:
trata-se da regio acima da reta y = 0,15x; como devemos
ter a ingesto de, no mnimo, 75g de protena, ento y 75,
e devemos considerar, na regio y > 0,15x, apenas os pontos
acima da ou na reta y = 75.
32
9. Um fazendeiro dispe de 18 al-queires para plantar milho e alfa-
fa. Chamando de x a rea a ser plantada de milho, e y a rea a ser planta-da de alfafa, e sabendo-se que o fazendei-
ro pode optar por deixar uma parte das
terras sem plantar nenhuma das culturas,
responda s questes a seguir:
a) Represente a relao algbrica que deve existir entre os valores de x e y.
Sendo x a quantidade de alqueires plantados de milho e y a
quantidade de alqueires plantados de alfafa, e sabendo-se que
existe a opo de no plantar todos os 18 alqueires, devemos
ter, ento, a soma x + y menor ou igual a 18, ou seja, x + y 18.
b) Represente a regio A do plano carte-siano que corresponde relao entre x e y anteriormente referida.
Representando no plano cartesiano, obtemos o semiplano
abaixo da reta x + y = 18, e mais os pontos da reta x + y = 18;
naturalmente, somente faz sentido no problema em questo
os pares (x; y) em que temos x 0 e y 0.
y = 75
x = 500
y = 0,15x
x
y
Para obtermos a representao dos pontos da reta x + y = 18,
basta escolhermos os pontos em que x = 0 (e, portanto, y =
=18), e em que y = 0 (e, portanto, x = 18).
c) Sabendo-se que devem ser plantados, no mnimo, 5 alqueires de milho, qual
a regio B do plano correspondente
aos pares (x; y) que satisfazem as con-
dies formuladas?
Sabendo que devem ser plantados no mnimo 5 alqueires de mi-
lho, temos, ento, x 5; no plano, teremos a regio direita da reta
x = 5, e abaixo da reta, x + y = 18.
d) Sabendo-se que devem ser plantados, no mnimo, 5 alqueires de milho e, no mni-
mo, 3 alqueires de alfafa, qual a regio C
do plano que corresponde aos pares (x; y)
que satisfazem as condies formuladas?
Sabendo que devem ser plantados no mnimo 5 alqueires de
milho e no mnimo 3 alqueires de alfafa, devemos ter, simulta-
neamente, x + y 18, x 5 e y 3; no plano, trata-se da regio
acima da, ou na reta y = 3, direita da, ou na reta x = 5, e abaixo
da, ou na reta x + y = 18 (incluindo-se os pontos das duas retas).
33
Matemtica 3 srie Volume 1
Consideraes sobre a avaliao
Ao final desta Situao de Aprendizagem,
fundamental que as equaes de retas estejam
naturalmente associadas variao proporcio-
nal entre x e y, tanto a partir da origem quanto
a partir de outros valores: y = kx, y h = kx,
ou ainda, y y0 = k(x x0).
Espera-se que os alunos compreendam que re-
tas paralelas aos eixos tm equaes simples, e que
retas inclinadas em relao aos eixos tm equaes
na forma y = mx + h e ainda que saibam interpre-
tar o significado dos coeficientes m e h. Especial ateno deve ser dada ao pequeno tringulo que
determina a inclinao de cada reta, em decorrn-
cia das mltiplas informaes que ele oferece.
Tambm faz parte das expectativas de
aprendizagem o reconhecimento de regies
do plano determinadas por desigualdades
do tipo y < mx + h, ou y > mx + h, bem
como de suas variaes, envolvendo igual-
dade e desigualdade.
x + y = 18
18
5180 x
y
B
x + y = 18
18
5180 x
y
C
3
x + y = 18
18
180 x
y
A
SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 PROBLEMAS LINEARES MXIMOS E MNIMOS
Contedos e temas: equao da reta em diferentes contextos: problemas lineares; representa-o de retas e regies do plano cartesiano: problemas de mximos e mnimos.
Competncias e habilidades: capacidade de recorrer linguagem da Geometria Analtica para enfrentar situaes-problema em diferentes contextos; reconhecimento da importncia da ideia de proporcionalidade e de sua relao direta com as equaes das retas.
Sugesto de estratgias: apresentao de uma coleo de problemas lineares, alguns deles envolvendo situaes de mximos ou mnimos, como motivao para uso das equaes e inequaes associadas a retas e regies do plano.
34
Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 3
De maneira geral, situaes que envolvem
grandezas diretamente proporcionais, ou cujas
variaes, a partir de certo valor inicial, traduzem
uma proporcionalidade direta, resultam em equa-
es de retas, quando traduzidas algebricamente.
Vamos examinar, nas atividades a seguir, algumas
situaes concretas desse tipo. Os enunciados dos
problemas podem no parecer usuais no conte-
do de Geometria Analtica, mas o requisito para a
soluo de todos eles apenas o conhecimento b-
sico que j foi apresentado envolvendo equaes
de retas ou inequaes correspondentes a regies.
Alguns dos problemas examinam situaes de
otimizao, ou seja, em que se busca a soluo
de um problema de mximo ou de mnimo. As
perguntas iniciais de cada problema so simples e
servem de degraus para facilitar a compreenso e
a soluo das ltimas questes.
1. Em uma fbrica que produz um s tipo de produto, o custo C da
produo de x unidades a soma de um custo fixo C0 com um custo varivel C1,
que proporcional a x. Se o processo de produ-o for tal que cada unidade produzida a mais
tenha sempre o mesmo custo, independente-
mente do valor de x, ento C1 = kx, onde k re-presenta o custo de cada unidade do produto.
Em uma fbrica como a descrita acima, tem-se:
C = 3 000 + 150x (x o nmero de artigos; C o custo da produo em reais).
a) Esboce o grfico de C em funo de x.O grco de C = 3 000 + 150x uma reta de inclinao
m = 150, cortando o eixo OY, em que est representado o
custo C, no ponto (0; 3 000):
C = 3 000 + 150x
C
x
3 000
150
1
b) Para qual valor de x o custo fixo se igua-la ao custo varivel?
O custo xo 3 000 e o custo varivel 150x; eles so iguais
quando x = 20.
C = 3 000 + 150xC
3 000
1
150 C1 = 150x
20
x
c) A partir de qual valor de x o custo fixo passa a representar menos de 10% do
custo total da produo?
O custo xo passar a corresponder a 10% do custo total na
seguinte situao:
3 000 = 10% de (3 000 + 150x), ou seja, na seguinte situao
3 000 = 0,1(3 000 + 150x), e ento x = 180.
2. Uma fbrica produz dois tipos de produtos: A e B. A quantidade produzida diariamente
de A igual a x, e a quantidade diria de B igual a y. O processo de produo tal que
35
Matemtica 3 srie Volume 1
x
y
5x + 8y = 3 200
5x + 8y = 2 400
480
400
300
6400
c) Represente em um sistema de coorde-nadas no plano os pares (x; y) para os
quais se tem C 3 200.
Teremos o custo C menor ou igual a 3 200 na regio do pri-
meiro quadrante situada na reta 5x + 8y = 3 200 ou abaixo dela:
y
x0 640
5x + 8y = 3200
400
3. Uma pessoa deve fazer uma dieta que for-nea pelo menos 6 mg de vitamina B2, ali-
mentando-se exclusivamente dos alimen-
tos I e II, oferecidos em pacotes de 100 g.
Cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg
de B2, e cada pacote do alimento II for-
nece 0,15 mg de B2. Sendo x o nmero de pacotes do alimento I a serem ingeridos, e
y o nmero de pacotes do alimento II:
cada unidade produzida de A custa sempre
5 reais e cada unidade de B custa 8 reais, sen-
do, portanto, o custo da produo conjunta
de A e B igual a C = 5x + 8y (C em reais).
a) Sendo o valor de C, em determinado dia, igual a R$ 2 400,00, determine dois
pares de valores possveis para x e y.Para 2400 = 5x + 8y, podemos ter x = 0 e y = 300, ou ento,
y = 0 e x = 480, ou ainda, x = 400 e y = 50. Existem innitos pares
de valores de x e de y que satisfazem a relao dada: so os cor-
respondentes aos pontos da reta cuja equao 5x + 8y = 2 400
representada a seguir:
5x + 8y = 2 400
480
400
300
50
x
y
0
b) Sendo o mximo valor admissvel para C igual a R$ 3 200,00, qual o valor m-
ximo possvel para x? E qual o valor
mximo possvel para y? (Observao:
x 0, y 0).
Sendo C = 3 200, ento temos:
5x + 8y = 3 200. Os pares (x; y)
correspondentes situam-se sobre a reta
5x + 8y = 3 200 (que paralela reta
5x + 8y = 2 400).
Quando y = 0, x assume o valor mximo possvel: x = 640.
Quando x = 0, y assume o valor mximo possvel: y = 400.
36
a) Escreva a relao que deve existir entre x e y para que a dieta seja satisfeita.
Como cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg de vitamina B2,
x pacotes de I fornecero x u 1,2 mg de vitamina B2; se cada pa-
cote de II fornece 0,15 mg de B2, ento y pacotes de II fornece-
ro 0,15 u y mg de B2. Logo, ingerindo x pacotes de I e y pacotes
de II, a quantidade ingerida de B2 ser igual a 1,2x + 0,15y. Para a
dieta ser satisfeita, devemos ter 1,2x + 0,15y 6.
b) Represente graficamente os pares (x; y) que satisfazem essa relao. (Lembre-se de que
devemos ter, naturalmente, x 0, y 0.)
y
x0 5
1,2x + 0,15y = 6
40
Os pontos (x; y) que satisfazem a relao 1,2x + 0,15y 6 so
os pontos do primeiro quadrante que se situam acima da ou
na reta 1,2x + 0,15y = 6. Essa reta intercepta o eixo OX no pon-
to (5; 0) e o eixo OY no ponto (0; 40).
4. Retome o enunciado da atividade anterior. Considere que cada pacote de 100 g do ali-
mento I custa 5 reais, e que cada pacote do
alimento II custa 2 reais.
a) Expresse o custo C da alimentao, se forem utilizados x pacotes de I e y pa-cotes de II.
Como cada pacote de I custa 5 reais e cada pacote de II custa 2
reais, o custo C ser igual a 5x + 2y, ou seja, C = 5x + 2y (C em reais).
b) Represente graficamente no plano car-tesiano os pares (x; y) que correspon-
dem ao custo C1 = 40 reais, notando que
eles correspondem a uma reta r1.
Sendo o custo C1 = 40, os pares (x; y) que satisfazem a relao
40 = 5x + 2y so os pontos da reta r1, representada a seguir.
Para representar tal reta, basta notar que quando x = 0, y = 20, e que
quando y = 0, x = 8, ou seja, os pontos (0; 20) e (8; 0) pertencem a r1.
y
x
20
C1 = 40
5x + 2y = 40
r1
0 8
c) Represente os pontos que correspondem ao custo de C2 = 60 reais e C3 = 80 reais,
notando que eles correspondem s retas
r2 e r3, paralelas reta r1 do item anterior.
Os pontos que correspondem ao custo C2 = 60 e C3 = 80 so pon-
tos, respectivamente, das retas r2 : 5x + 2y = 60 e r3 : 5x + 2y = 80,
representadas a seguir.
Para representar r2, basta notar que:
se x = 0, ento y = 30;
se y = 0, ento x = 12.
Para representar r3, analogamente, temos:
x = 0, y = 40; y = 0, x = 16.
As retas r2 e r3 so paralelas, pois tm a mesma inclinao m,
determinada pelos coecientes 5 e 2: m = 5
2 .
d) Mostre que quanto menor o custo, me-nor a ordenada do ponto em que a reta
que o representa intercepta o eixo y.
37
Matemtica 3 srie Volume 1
Para cada valor xado de C, a reta C = 5x + 2y intercepta o eixo
OY no ponto 0; C2
; assim, quanto menor o custo, menor
o valor de C
2. Podemos observar esse fato nos exemplos dos
itens anteriores, para C igual a 40, 60 e 80.
y
x0 8 12 16
r2
r1C1 = 40
C2 = 60
C3 = 80
r3
40
30
20
e) Para qual dos pares (x; y) tem-se a dieta satisfeita e o custo da alimentao o me-
nor possvel?
y
x0 5
40
1,2x + 0,15y 6
Recordemos, da atividade 3, que para a dieta ser satisfeita, os
pares (x; y) devem pertencer regio do primeiro quadrante
situada na reta 1,2x + 0,15y = 6, ou acima dela. Estamos, agora,
procurando o par (x; y) que corresponde ao custo mnimo en-
tre os pontos da regio em que 1,2x + 0,15y 6.
Vamos observar como as retas que traduzem os custos da ali-
mentao, representadas anteriormente, situam-se na regio
que satisfazem a dieta.
Notamos que:
tpara os diversos valores do custo, as retas representativas
so paralelas inclinao igual a 5
2 ;
tquanto mais baixa for a reta que representa o custo, menor
esse custo seu valor determina o ponto em que a reta
corta o eixo y, que 0; C2
;
to ponto mais baixo a que se pode chegar sem sair da regio
que satisfaz a dieta (acima ou na reta 1,2x + 0,15y = 6), o
ponto (5; 0);
tnesse ponto, o custo ser C = 5 u 5 + 2 u 0 = 25, que o
custo mnimo.
Todos esses fatos esto reunidos na gura a seguir:
y
x850 12
20
16
1,2x + 0,15y 6
C = 5x + 2y
C = 80C = 60
C = 40
fora da regio de satisfao da dieta
CmnimoC = 25
30
12,5
40
Portanto, o custo mnimo, nas condies do enunciado,
ocorre com 5 pacotes do alimento I e nenhum pacote do
alimento II; tal custo corresponde a 25 reais.
5. Um pequeno fazendeiro dispe de 8 alqueires para plantar milho e
cana. Ele deve decidir quanto plan-
tar de milho e quanto de cana, em alqueires,
de modo que seu rendimento total seja o
maior possvel. Cada alqueire de milho plan-
tado deve resultar em um rendimento lquido
38
de R$ 20 mil, e cada alqueire de cana dever
render R$ 15 mil. No entanto, cada alqueire
de milho requer 20 000L de gua para irriga-
o e cada alqueire de cana requer somente
10 000L de gua, sendo que, no perodo cor-
respondente, a quantidade de gua dispon-
vel para tal fim 120 000L.
Considere x e y as quantidades de alqueires plantados de milho e cana, respectivamente.
a) Como se pode representar, em termos de x e y, o rendimento total R a ser rece-bido pelo fazendeiro, supondo que ven-da a totalidade de sua produo?
Cada alqueire de milho render 20 000; logo, se plan-
tar x alqueires, o rendimento ser 20 000x. Cada alqueire
de cana render 15 000; logo, se plantar y alqueires de
cana, o rendimento ser 15 000y. O rendimento total ser
R = 20 000x + 15 000y.
b) Qual a relao entre x e y que traduz a exigncia de que o total de alqueires plantados no pode ser maior do que 8? Represente no plano cartesiano os pon-tos (x; y) que satisfazem essa relao.
Sendo x a quantidade de alqueires a ser plantados de milho e y
a quantidade de alqueires plantados de cana, a soma x + y no
pode ultrapassar os 8 alqueires disponveis, ou seja: x + y 8.
y
x8
8
x + y 8
c) Qual a relao entre x e y que traduz a exigncia de que o total de gua a ser
utilizado no pode superar os 120 000L?
Represente no plano cartesiano os pon-
tos (x; y) que satisfazem essa relao.
Como cada alqueire de milho requer 20 000L de gua, x al-
queires requerero 20 000x L; da mesma forma, y alqueires de
cana utilizaro 10 000y L de gua. Assim, o total de litros de
gua utilizados ser 20 000x + 10 000y, e no poder ultrapas-
sar o limite de 120 000, ou seja: 20 000x + 10 000y 120 000. Isso
corresponde aos pontos situados abaixo da reta ou na reta
20 000x + 10 000y = 120 000. Veja a representao:
y
12
0 6 8
2x + y = 12
2x + y 12
x
Para representar a reta, podemos simplicar os coecientes,
obtendo 2x + y = 12.
tpara x = 0, temos y = 12;
tpara y = 0, temos x = 6.
d) Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamen-
te as duas exigncias expressas nos itens b e c (lembrando que devemos ter x 0, y 0).
Os pontos do plano que satisfazem simultaneamente as duas
restries so os pontos situados abaixo ou na reta x + y = 8,
e abaixo ou na reta 2x + y = 12. Formam o quadriltero ABCD
indicado na representao a seguir.
39
Matemtica 3 srie Volume 1
r1: 4x + 3y = 15 r2: 4x + 3y = 24
x = 0 A y = 5 x = 0 A y = 8
y = 0 A x = 15
4 y = 0 A x = 6
f) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a reta que o representa intercepta o eixo OY.
Para cada valor xado do rendimento R, a reta R = 20 000x +
+ 15 000y corta o eixo OY no ponto em que x = 0, ou seja,
em que y = R
15 000. Isso signica que quanto maior o ren-
dimento, maior a ordenada do ponto em que a reta que o
representa intercepta o eixo y.
g) Determine o ponto da regio do item d que corresponde ao rendimento total mximo.
Buscamos agora o ponto da regio de viabilidade do pro-
blema, ou seja, que foi determinado no item d, no qual o
rendimento total R o maior possvel. O maior valor possvel
para a reta R = 20 000x + 15 000y cortar o eixo y sem sair da re-
gio de viabilidade corresponde reta que passa pelo ponto
de interseo das retas x + y = 8 e 2x + y = 12. Calculando tal
ponto, obtemos x = 4 e y = 4. No ponto (4; 4), portanto, o valor
de R o maior possvel, respeitadas as condies de x + y 8
e 2x + y 12. Calculando o valor de R nesse ponto, obtemos:
R = 20 000 u4 + 15 000 u4, ou seja, R = 140 000 reais. Acompa-
nhe o raciocnio que foi feito na gura abaixo:
fora da regio da viabilidade
Rmximo
4
4
y
12
B
x + y = 8
86 15 ___ 4 xC
R2 = 120 0002x + y = 12
R1 = 75 000
A
5
D
0
8
y
12
8 A
D C
B
0 6 8
2x + y = 12
x + y = 8
x
e) Determine o conjunto dos pontos (x; y) do plano que correspondem ao
rendimento R1 = 75 mil e os que corres-
pondem ao rendimento R2 = 120 mil.
Os pontos (x; y) que correspondem ao rendimento
R1 = 75 000 reais so os pontos da reta r1 de equao
75 000 = 20 000x + 15 000y,ou seja, simplificando os coefi-
cientes, 4x + 3y = 15.
Os pontos que correspondem ao rendimento R2 = 120 000 so
os pontos da reta r2 de equao 120 000 = 20 000x + 15 000y, ou
seja, simplicando os coecientes, 24 = 4x + 3y. As duas retas so
paralelas e esto representadas a seguir:
y
12
8
B
x + y = 8
86 15 ___ 4 x
C
R2 = 120 000
2x + y = 12
R1 = 75 000
A
5
D
0
40
Desafio!
Uma fbrica utiliza dois tipos de mquinas, M1 e M2, para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2.
Cada unidade de P1 exige 2 horas de trabalho de M1 e 2 horas de M2; cada unidade de P2 exige 1 hora
de trabalho de M1 e 4 horas de M2. Sabe-se que as mquinas M1 e M2 podem trabalhar, no mximo,
10 horas por dia e 16 horas por dia, respectivamente, e que o lucro unitrio, na venda de P1, igual a 40
reais, enquanto na venda de P2, o lucro unitrio de 60 reais. Representando por x a quantidade di-ria a ser produzida de P1 e por y a quantidade a ser produzida de P2, responda s questes seguintes:
a) Qual a relao entre x e y de modo que o tempo de utilizao da mquina M1 no ultrapasse as horas dirias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano
cartesiano.
Cada unidade de P1 utiliza 2 h de M1; cada unidade de P2 utiliza 1 h de M1; logo, produzindo-se x unidades de P1 e y unidades de
P2, a mquina M1 car ocupada x u 2 + y u 1 horas. Como M1 poder trabalhar no mximo 10 h, devemos ter 2x + 1y 10. Corres-
ponde regio do plano abaixo da ou na reta 2x + y = 10 (ver a seguir).
y
x8
2x + 4y 16
4
y
x5
10
2x + y 10
b) Qual a relao entre x e y de modo que o tempo de utilizao da mquina M2 no ultrapasse as horas dirias permitidas? Represente os pontos correspondentes no
plano cartesiano.
Da mesma maneira, ao item anterior, cada unidade de P1 utiliza 2 h de M2, e cada unidade de P2 utiliza 4 h de M2. Logo, x unidades
de P1 e y unidades de P2 utilizaro 2x + 4y horas de M2, e devemos ter 2x + 4y 16. O grco est representado anteriormente.
c) Represente a regio do plano cartesiano que corresponde aos pontos (x; y) que satisfa-zem simultaneamente s duas restries dos itens a e b.
41
Matemtica 3 srie Volume 1
Trata-se da regio do primeiro quadrante situada abaixo das ou nas retas 2x + y = 10 e 2x + 4y = 16; o quadriltero A de vrtices
(0; 0), (5; 0), (0; 4) e (4; 2). Para encontrar o vrtice (4; 2), basta achar a interseo das retas 2x + y = 10 e 2x + 4y = 16
y
x85
2
2x + 4y 16
A
2x + y 104
10
4
d) Qual a expresso do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas de P1 e P2?
O lucro total L, que resulta da venda de todas as x unidades produzidas de P1 e y unidades produzidas de P2, igual a 40x + 60y, pois
cada unidade de P1 gera um lucro de 40, e cada unidade de P2 gera um lucro de 60. Assim, temos L = 40x + 60y.
e) Represente os pontos do plano que correspondem a um lucro total igual a 120 reais. Se o lucro L for igual a 120 reais, temos: 120 = 40x + 60y. Os pontos que satisfazem a essa relao pertencem a uma reta, represen-
tada a seguir:
y
x3
2
0
120 = 40x + 60y
42
f) Qual o ponto da regio do item c que corresponde ao lucro total mximo? Devemos encontrar o ponto da regio A, indicada no item c, para o qual o lucro total L seja mximo. A regio A formada pelos
pares (x; y), que obedecem s duas restries inicialmente apresentadas, constituindo, assim, a regio de viabilidade para o pro-
blema. Para descobrir tal ponto, vamos relacionar o lucro L com a regio A.
2x + 4y 16
y
10
8653 4x
2
2x + y 10
Lmximo
L = 240
Lucro crescente
AL = 120
4
Para cada valor de L, a expresso L = 40x + 60y representa uma reta; para valores diferentes de L, as retas correspondentes so
todas paralelas. Por exemplo, para L = 240, temos 240 = 40x + 60y, que uma reta que intercepta o eixo x no ponto (6; 0), e o eixo y
no ponto (0; 4).
Para encontrar o lucro mximo, basta procurar entre as retas paralelas L = 40x + 60 u y aquela que corta o eixo y o mais alto pos-
svel, sem sair da regio de viabilidade do problema. Tal reta a que passa pelo ponto (4; 2); o valor de L correspondente
L = 40 u 4 + 60 u 2 = 280. O lucro total mximo , portanto, 280 reais.
Consideraes sobre a avaliao
Nesta presente Situao de Aprendizagem,
foram explorados problemas lineares, envol-
vendo exclusivamente equaes de retas, em
alguns dos quais o que estava em foco era uma
questo de otimizao (de mximo ou de m-
nimo). Tais problemas, apesar de seus enuncia-
dos relativamente longos, no so muito com-
plexos, exigindo apenas uma leitura atenta das
informaes apresentadas. Eles podem se pres-
tar muito bem realizao de pequenos proje-
tos de estudo ou de investigao sobre os temas
abordados, como as dietas ou a organizao do
trabalho em uma fbrica, por exemplo.
Os objetivos da Situao de Aprendizagem
estaro garantidos se os alunos conseguirem
explorar de modo analtico, com conscincia,
todas as informaes apresentadas em pelo
43
Matemtica 3 srie Volume 1
menos em uma das atividades de otimiza-
o, compreendendo o fato de que a soluo
desta exige apenas conhecimentos iniciais de
Geometria Analtica. No necessrio que
o professor resolva todos os exerccios, mas
preciso que estabelea como meta explorar
muito bem pelo menos uma das modelagens
apresentadas para problemas prticos.
Sobre a forma de avaliao, consideramos que
o assunto favorece uma utilizao de mltiplos
instrumentos, no se limitando s provas. Traba-
lhos de modelagem matemtica e equacionamen-
to de problemas lineares, incorporando-se outras
vari veis ou condies, alm das referidas, podem
ser realizados, explorando-se centros de interesse
dos alunos.
Contedos e temas: caracterizao da circunferncia e das cnicas (elipse, hiprbole e parbola) por meio de propriedades; equaes da circunferncia e das cnicas em situaes simples, com centro na origem; utilizao das equaes das circunferncias e das cnicas em diferentes contextos.
Competncias e habilidades: capacidade de expressar por meio da linguagem algbrica as pro-priedades caractersticas de curvas muito frequentes na natureza, como as circunferncias e as cnicas; capacidade de reconhecer, em diferentes contextos, a presena das circun-ferncias e das cnicas, expressas por meio de suas equaes; capacidade de lidar com as equa-es das circunferncias e das cnicas para resolver problemas simples, em diferentes contextos.
Sugesto de estratgias: apresentao de um conjunto de situaes em que as circunferncias e as cnicas esto presentes, explorando suas propriedades tendo em vista a representao de tais curvas por meio de equaes; apresentao de alguns exerccios exemplares, para sinali-zar aos professores os principais centros de interesses dos temas estudados.
Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 4
Nas trs Situaes de Aprendizagem
anteriores, a nfase foi dada abordagem
algbrica de problemas geomtricos en-
volvendo as retas e suas equaes. A par-
tir de agora, outras curvas sero estudadas
com os mtodos da Geometria Analtica.
Tambm aqui no se trata de apresentar cur-
vas e propriedades desconhecidas, mas sim
de abordar de uma maneira nova uma s-
rie de curvas e de problemas j conhecidos,
aumentando, assim, nossa capacidade de
resolver situaes-problema.
SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 CIRCUNFERNCIAS E CNICAS: SIGNIFICADOS,
EQUAES, APLICAES
44
As circunferncias e as cnicas (elipses, hiprboles e parbolas) so curvas que
tambm podem ser representadas no plano cartesiano e cuja propriedade obede-
cida pelos seus pontos pode ser descrita por meio de uma equao de duas variveis.
A circunferncia e a elipse podem ser vistas a partir de sees de um cilindro circular; a
elipse no passa de uma circunferncia alongada em uma das duas direes.
circunferncia elipse
circunferncia
elipse
Os quatro tipos de curvas podem ser vistos como sees de uma superfcie cnica.
C
onex
o E
dito
rial
Tambm possvel observar superfcies cnicas colocando-se gua em recipientes ciln-
dricos ou cortando-se adequadamente uma pea de salame.
C
onex
o E
dito
rial
A caracterizao dessas curvas pode
ser feita com mais vagar pelo professor,
sendo interessante, inclusive, a observa-
o destas colocando-se gua em recipien-
tes cilndricos, cortando-se um salame, ou
construindo materiais para serem usados