1
Calcolo a fatica
di componenti meccanici
Seconda parte
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Come affrontare il progetto di un componente sollecitato contemporaneamenteda un carico statico e da una sollecitazione ciclica?
2
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
È molto importante, quindi, valutare l’effetto sulla durata di una tensione costante sovrapposta aduna sollecitazione di fatica alterna simmetrica, per la quale sia disponibile la curva di Wöhler.
Le prove di fatica, come si è detto, vengono effettuate in genere con cicli a media nulla (R= –1).
Nella pratica costruttiva accade molto di frequente che le sollecitazioni cicliche sianocaratterizzate da una tensione media, non nulla, di trazione o di compressione.
I dati riportati nella figurarappresentano una serie di proveeffettuate con diversi valori dellatensione media.
Come si vede la σadecresce all’aumentaredella tensione media ditrazione.
Quando la tensione media è di compressione la σa rimane costante per un ampio campo di σmprima di sentirne l’effetto e diminuire.
Tra i dati sono riportatisolo quelli per i quali larottura è avvenuta adun particolare numerodi cicli, uguale per tutti.
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelliche riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
aσ
mσ
Nσ
N = costante
Relazione lineare di Goodman:
aσ
Nlog
Nσ
N
Curva di Wöhler(R= –1)
RσRσ− SσSσ−
1=+R
m
N
a
σσ
σσ
Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.
3
aσ
mσ
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelliche riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
1=+S
m
N
a
σσ
σσ
Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.
Nσ
N = costante
Relazione lineare di Soderberg:
RσRσ− SσSσ−
aσ
mσ
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelliche riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
12
=
+
R
m
N
a
σσ
σσ
Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.
Nσ
N = costante
Relazione parabolica di Gerber:
RσRσ− SσSσ−
4
aσ
mσ
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelliche riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
122
=
+
R
m
N
a
σσ
σσ
Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.
Nσ
N = costante
Relazione ellittica:
RσRσ− SσSσ−
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Dati sperimentali relativia due diversi materialisovrapposti ai modellidi Goodman e di Gerber.
Acciaio
Alluminio
Goodman
Gerber
Goodman
Gerber
5
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Tra i modelli descritti, si utilizza quello lineare di Goodmanperché rappresenta in modo sufficientemente accurato la realtàed è di semplice applicazione.È anche utilizzato il modello lineare di Soderbergche ha il vantaggio di essere più conservativorispetto a quello di Goodman.
aσ
Nlog
Nσ
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Area di sopravvivenzaad N cicli (Goodman)
In accordo con l’evidenza sperimentalenon c’è riduzione della σa in caso ditensione statica di compressione.
1
1R
S
σσ1−
R
S
σσ−
N
a
σσ
R
m
σσ
1=+R
m
N
a
σσ
σσ
1=+S
m
N
a
σσ
σσ
Area di sopravvivenzaad N cicli (Soderberg)
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
aσ
Nlog
Nσ
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
N cicli
σ max =
σ medio
σ
t
6
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
aσ
Nlog
Nσ
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ
t
σ max =
σ medio
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
aσ
Nlog
Nσ
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ max =
σ medio
σ
t
7
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
aσ
Nlog
Nσ
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ max =
σ medio
σ
t
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
aσ
Nlog
Nσ
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ max =
σ medio
σ
t
8
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
aσ
Nlog
Nσ
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ max =
σ medio
σ
t
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
Costruzione del diagramma di GoodmanSmith per un numero N di cicli.
N cicli
All’interno dell’area di sopravvivenza:vita superiore ad N cicli
Sulla linea di bordo:vita di N cicli
All’esterno dell’area:vita inferiore ad N cicli
9
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
σS
σS
-σS
-σS
Costruendo il diagrammaper un numero maggiore di cicli Nsi avrà una tensione σσσσN minore.
N cicliσR
σR
σN
-σN
-σN
σN
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
σS
σS
-σS
-σS
Costruendo il diagrammaper un numero minore di cicli Nsi avrà una tensione σσσσN maggiore.
N cicliσR
σR
σN
-σN
10
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
Il diagramma di Goodman Smith puòespresso in forma analitica per un usoagevole nel calcolo a fatica.
A tale scopo conviene suddividerlo inquattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicli
( )NSm σσσ −−−= SN σσ −=
σmedio
zona a) SNmS σσσσ −<<−
zona b) 0<<− mSN σσσ
σmax
σmin
σmedio
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
Nel punto indicato dal cerchio gialloil valore della tensione media vale:
quindi:
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
A tale scopo conviene suddividerlo inquattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicli
σmedio
zona a) Sσσ −=min
zona b) ( )mN σσσ −−−=min
σmax
σmin
σmedio
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
Nm σσσ −=min
Nelle zone a) e b), relative ad unostato di compressione media, il valoredella tensione minima di picco puòessere espresso come segue:
Il diagramma di Goodman Smith puòespresso in forma analitica per un usoagevole nel calcolo a fatica.
11
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
A tale scopo conviene suddividerlo inquattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicli
NR
NSRm σσ
σσσσ−−=
σmax
σmin
σmedio
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
σmedio
rNS
−−=
1σσ
R
Nrσσ=
Nel punto indicato dal cerchio giallo ilvalore di σmedio può essere ottenutodall’equazione della retta passante peri punti:
RR
N
yxyx
σσσ
====
22
11 0
Sm yx σσ === ?
Il diagramma di Goodman Smith puòespresso in forma analitica per un usoagevole nel calcolo a fatica.
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
A tale scopo conviene suddividerlo inquattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicliσmax
σmin
σmedio
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
σmedio
zona c)r
NSm −
−<<1
0 σσσ
zona d) SmNS
rσσσσ <<
−−
1
Nel punto indicato dal cerchio giallo ilvalore di σmedio può essere ottenutodall’equazione della retta passante peri punti:
RR
N
yxyx
σσσ
====
22
11 0
Sm yx σσ === ?
Nelle zone c) e d) il campo di validitàdella tensione media è dato da:
Il diagramma di Goodman Smith puòespresso in forma analitica per un usoagevole nel calcolo a fatica.
12
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
A tale scopo conviene suddividerlo inquattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicliσmax
σmin
σmedio
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
σmedio
zona c)R
NRmN σ
σσσσσ −+=max
zona d) Sσσ =max
( ) mN r σσσ −+= 1max
Nel punto indicato dal cerchio giallo ilvalore di σmedio può essere ottenutodall’equazione della retta passante peri punti:
RR
N
yxyx
σσσ
====
22
11 0
Sm yx σσ === ?
Il valore della tensione massimadi picco è dato da:
Il diagramma di Goodman Smith puòespresso in forma analitica per un usoagevole nel calcolo a fatica.
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
( ) mN r σσσ −+= 1max
Sσσ =max
rNS
m −−<<
10 σσσ
SmNS
rσσσσ <<
−−
1
SNmS σσσσ −<<−
0<<− mSN σσσ
Sσσ −=min
Nm σσσ −=min
Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:
Campo di validità dellatensione media
zona a)
zona b)
zona c)
zona d)
Tensione massima / minima
2minmax σσσ +=mRicordando la definizione di tensione media: è possibile riscrivere
le due prime relazioni in termini di tensione massima, invece che di tensione minima.
maxmin 2 σσσ −= m
13
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
( ) mN r σσσ −+= 1max
Sσσ =max
rNS
m −−<<
10 σσσ
SmNS
rσσσσ <<
−−
1
SNmS σσσσ −<<−
0<<− mSN σσσ
Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:
Campo di validità dellatensione media
zona a)
zona b)
zona c)
zona d)
Tensione massima
Nm σσσ =−max
Sm σσσ −=− 2max
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
( ) mN r σσσ −+≥ 1max
Sσσ ≥max
rNS
m −−<<
10 σσσ
SmNS
rσσσσ <<
−−
1
SNmS σσσσ −<<−
0<<− mSN σσσ
Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:
Campo di validità dellatensione media
zona a)
zona b)
zona c)
zona d)
Condizione di danneggiamento:
Nm σσσ ≥−max
Sm σσσ −≥− 2max
14
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
I diagrammi Master (di Weyrauch e Kommerell)
Una diversa forma di presentazione dell’interazione tra resistenza ad unasollecitazione ciclica e ad un carico statico è quella dei cosiddetti “diagrammi Master”.
σ mas
sim
a
σminima
σ media
σalterna simmetrica
R = 0R = -1 R = 1R = -0.5 R = 0.5A = 1 A = 0A = ∞
σR
σN1
σN2
N1 < N2
N1 N2
minmax σσ =minmax σσ −=
Effetto della tensione media sulla vita a fatica I diagrammi Master
15
Effetto della tensione media sulla vita a fatica I diagrammi Master
Effetto della tensione media sulla vita a fatica I diagrammi Master
16
aσ
Nlog
Curva di Wöhler(R= –1)
aσ
mσ
Il piano di Soderberg
1Nσ
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentataanche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
2Nσ
3Nσ
N2 cicliN
3 cicli
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Rσ
N1 cicli
2Nσ
2N
1Nσ
1N
3Nσ
3N
aσ
mσ
Il piano di Soderberg
1Nσ
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentataanche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
mσ
aσ P
2Nσ
3Nσ
N2 cicliN
3 cicli
mR
NNa σ
σσσσ −=
Per un qualsiasi punto P sul segmentola si può esprimere come segue:
Nσ Rσaσ
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Sσ
Sσ Rσ
N1 cicli
rNS
−−
1σσ
In modo analogo a quanto è stato fatto suldiagramma di Goodman Smith si evita disuperare la tensione di snervamento delmateriale.
La linea rossa rappresenta il limite elastico.
17
aσ
mσ
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentataanche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
Nσ N cicli
RσSσr
NS
−−
1σσmσ
aσ P
Limitando l’area con un segmento σN σS sirestringe ulteriormente il campo di progetto,andando a favore della sicurezza, e la relazioneprecedente può essere modificata.
mS
NNa σ
σσσσ −=
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il piano di Soderberg
Per un qualsiasi punto P sul segmentola si può esprimere come segue:
Nσ Rσaσ
mR
NNa σ
σσσσ −=
Nell’area verde ilcomponente ha una vitasuperiore ad N
Sulla linea blu la vitaè esattamente N
All’esterno della linea blula vita è inferiore ad N
σmax
σmin
σmedio
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
N cicli
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
La stessa semplificazione può essererappresentata sul diagramma diGoodmann Smith:
18
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
F
F
F
F
Zona diconcentrazionedelle tensioni
AF
n =σ
Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionaleche diventa, localmente, triassiale.
nlocale k σσ ⋅=
⇐k Forma dell’intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Molti organi meccanici hanno, permotivi funzionali, una forma cheprovoca effetti locali di intaglio.
Naturalmente si cerca di ridurre almassimo la severità dell’intaglio conraggi di raccordo ampi, per quantopossibile.
Tuttavia, come mostrano gli schizzi infigura, spesso non è possibile evitarele brusche variazioni di formae la tensione locale può raggiungerevalori pari ad oltre 3÷4 volte latensione nominale.
ntK
σσ max=
Fattore di intaglio teorico
Fattore di intaglio
19
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
x
y
x
y
La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.
Fattore di intaglio
yσyσ
xσTensione nominale
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.
ntK
σσ max=
Nel caso di foro circolare(di piccole dimensioni rispetto a quelle della piastra)il fattore di intaglio vale 3.
3=
Fattore di intaglio
yσ
xσ
1
2
3
4
R
Tensione nominale
maxσ
20
Nel caso più generale di lastra piana con un foro ellittico il massimo valore della tensionedipende dal raggio di curvatura minimo dell’ellisse.
+=ba
n 21max σσ
+=
ρσσ a
n 21max
Il raggio di curvatura minimo dell’ellisse è
ab2
=ρ
per cui si ha:
Il fattore di intaglio quindi vale:
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
+=
ρaKt 21
Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
EEK s21+=
sE = modulo secante
Il comportamento plasticodel materiale può ridurre ilfattore di concentrazionedella tensione.
Ne risulta, tuttavia,incrementato il fattore diconcentrazione delladeformazione.
( )EEKK s
tP 11 −+= (foro circolare)
Fattore di intaglio
sE
Eε
σ
21
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
ntK
σσ max=
Nei casi più complessisi ricorre a diagrammiche forniscono il fattoredi intaglio in base al tipodi carico applicato edalle caratteristichegeometriche salienti.
Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
14.0=dr
7.1=tK
5.1=dD
ntK
σσ max=
Fattore di intaglio
5.1=tK
16.0=dr
2.1=dD
22
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
ntK
σσ max=
2.1=tK
16.0=dr
2.1=dD
Effe
tto d
elle
con
cent
razi
oni d
i ten
sion
e su
lla v
ita a
fatic
a
Fattori di intaglio
23
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
Torsione Flessione Torsione Flessione Torsione Flessione1,3 1,6 1,3 1,3 1,6 2,01,6 2,0 1,6 1,6 2,4 3,0
RicottoTemprato
Incastrata AmericanaDrittaCondizione del
materiale dell'albero
Tipo di chiavetta o linguetta
Fattori di intaglio per un albero sede di una cava per chiavette o linguette
Torsione
1,4 1,7
Flessione
Fattori di intaglio per un albero sede di collegamento forzato
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Nel progetto di un componente che sarà sollecitato a fatica è necessario curare il disegnoin modo tale che, pur assicurando la funzionalità, sia minimo il fattore di intaglio.
L’intensificazione locale dellatensione è maggiore dove lelinee isostatiche sonomaggiormente addensate.
Fattore di intaglio
Miglioramento
24
Effe
tto d
elle
con
cent
razi
oni d
i ten
sion
e su
lla v
ita a
fatic
a
Curare il disegnoper rendere
minimo il fattoredi intaglio.
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Effetto dei fori ausiliari sul fattore di intaglio.
Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.
Fattore di intaglio
25
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
26
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.
Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.
Fattore di intaglio
27
Effe
tto d
elle
con
cent
razi
oni d
i ten
sion
e su
lla v
ita a
fatic
a
Curare il disegnoper rendere
minimo il fattoredi intaglio.
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
La sensibilità all’intaglio.
11
−−=
t
e
KKq
I materiali metallici sono più o meno sensibili alla presenza di un intaglio.
Può essere definito un fattore di sensibilità all’intaglio, definito come segue:
dove Ke rappresenta il fattore effettivo di intaglio,mentre Kt indica, come sempre, il fattore teorico di intaglio.
r
qρ+
=1
1Il fattore q può essere calcolato come segue:
Dove è una caratteristica del materiale ed r è il raggio di raccordoρ
(Neuber)
28
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
ρAndamento del parametro in funzione della tensione di rottura del materiale
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
r
q ρ+=
1
1
Per elementi cilindrici a sezione circolare
ρ può essere dato dalla relazione:
−
−=
dR
S 27.11108.53
σσρ valida in mm
dove d è il diametro del componente.
Il fattore q si trova in letteratura espresso anche da una relazioneleggermente differente:
29
braq
+=
1
1Un’altra espressione di q è quella di Haywood:
dove: a è una costante funzione del materiale b dipende dal tipo di intaglio
b =1
M M
M M
b =0.35
b =0.26
M M
r è il raggio di raccordo
Tipo di materiale a (mm)^0.5
Acciai al C
Leghe di Magnesio
0,328
0,151
0,353
0,453
0,222
Acciai legati
Leghe di Rame
Leghe di Alluminio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
Valore di q in funzione del raggio di raccordo r
30
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
Valore di q in funzione del raggio di raccordo r
( )11 −⋅+= te KqK
Il fattore effettivo di intaglio può dunque essere espresso dalla relazione:
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
Il fattore effettivo di intaglio è applicabile ai materiali duttilinel caso di sollecitazione ciclica
Per i materiali fragili si applicherà sempre il valore teoricodel fattore di intaglio:
tK
Ciò equivale a considerare, per tali materiali la massimasensibilità all’intaglio: q = 1
31
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Valore del fattore di intaglio applicabile
Materiali duttili
Materiali fragili
Sollecitazione statica
Sollecitazione ciclica
1
Kt Kt
Ke
Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
Nel caso di materiali duttili, il fattore di intaglio effettivoandrà applicato solo alla parte alterna della sollecitazione.
eaintaglioa K⋅=σσ
1⋅= mintagliom σσ
aeK σaσ
σ
t
mintagliom σσ =
Sollecitazione realeapplicata al componentecon intaglio.
Sollecitazione amplificataapplicata ad un componenteprivo di intaglio.
aem K σσσ ⋅+=max
maxσ
32
Effetto delle dimensioni sulla vita a fatica
σN reale= b1 * σN
Diametro (mm)
Fatto
re d
i cor
rezi
one
b 1
D
Effetto della finitura superficialesulla vita a fatica
a = lucidatura fine Ra ≤1 µmb = lucidatura media Ra ≤1.5÷2 µmc = rettifica fine Ra ≤2.5÷6 µmd = rettifica media Ra ≤6÷16 µme = sgrossatura buona Ra ≤100÷160 µmf = sgrossatura normaleg = grezzo di laminazione h = con corrosione in acqua dolce i =con corrosione in acqua di mare
σN reale= b2 * σN
σN reale= b1* b2 * σN
Ni
irealeN σbσ ⋅=∏
Considerando anche il coefficienterelativo alle dimensioni si ha:
In generale si può scrivere:
Fatto
re d
i cor
rezi
one
b 2
Carico di rottura (kgf / mm2 )
33
Il coefficiente di sicurezza
aσ
mσRσ
Nσ
Si consideri il comportamento a fatica rappresentato sul piano di Soderberg:è possibile definire il limite di danneggiamento e la relativa area disopravvivenza.
mσ
aσ P
mR
NNa σ
σσσσ −=
ma σσσ +=max
mR
NNLimite σ
σσσσ
−+= 1
Ricordando l’espressione della σa in funzione della σm :
N cicli
Limite
Si può calcolare la tensione massima di cilclo σmax :
mmR
NN σσ
σσσ +−=
Il coefficiente di sicurezza
aσ
mσRσ
Nσ
mσ
aσ
Un qualsiasi punto P all’interno dell’area sottesa dal segmento Nσ Rσ
può giungere al limite tramite un incremento di mσoppure tramite un incremento di aσoppure variando entrambi i valori.
che è rappresentato da una coppia di valori mσaσ
P
N cicli
Limite
34
Il coefficiente di sicurezza
aσ
mσRσ
Nσ
F
N
Xσ
S
R
Xσmσ
aσ
Per fare ciò possono essere definiti due coefficienti di sicurezza,XF per la parte ciclica e XS per la parte statica della sollecitazioneche stabiliscano i rispettivi valori ammissibili per le sollecitazioni.
Stabilire un coefficiente di sicurezza, in questo caso, equivale a tracciare un secondosegmento, interno all’area di sopravvivenza, che stabilisca il confine “ammissibile”della sollecitazione a fatica con media non nulla.
P
Nel progetto di un organo meccanico si impone che il punto Psi trovi sul segmento individuato dalle tensioni ammissibili.
Nella verifica il punto P dovrà trovarsiall’interno dell’area in verde.
F
N
XF
σσ =0S
R
XS
σσ =0
mσaσ P
N cicli
Condizione lmiteCondizione ammissibile
Il coefficiente di sicurezza
aσ
mσRσ
Nσ
F
N
Xσ
S
R
Xσ
In base al valore limite della tensione massima di ciclo,calcolato prima:N cicli
mR
NNLimite σ
σσσσ
−+= 1
mRF
SN
F
N
XX
Xσ
σσσσ
−+= 10
è possibile definire il valore ammissibile della tensionemassima di ciclo:
Per semplicità di calcolo, si assume in genere lostesso valore per i due coefficienti di sicurezza:
FS XX =
Limite
Ammissibile X=
35
Il coefficiente di sicurezza
aσ
mσRσ
Nσ
F
N
Xσ
S
R
Xσ
In base al valore limite della tensione massima di ciclo,calcolato prima:N cicli
mR
NNLimite σ
σσσσ
−+= 1
è possibile definire il valore ammissibile della tensionemassima di ciclo:
mRF
SN
F
N
XX
Xσ
σσσσ
−+= 10
La tensione ammissibile può dunque essere riscritta: mR
NN
Xσ
σσσσ
−+= 10
Per semplicità di calcolo, si assume in genere lostesso valore per i due coefficienti di sicurezza:
FS XX = X=
Limite
Ammissibile
La relazione di progetto
aσ
mσRσ
Nσ
F
N
Xσ
S
R
Xσ
N cicli
mR
NN
Xσ
σσσσ
−+= 10
Limite
( ) mN r
Xσσσ −+= 10
R
Nrσσ=Ricordando la definizione di r :
Per tenere conto delle reali condizioni del componente daprogettare è necessario introdurre i vari coefficienti diriduzione delle prestazioni del materiale,quali ad esempio b1 che tiene conto delle dimensionie b2 che tiene conto della finitura superficiale:
( ) mLF rbb
Xbb σσσ 21
210 1−+=
Ammissibile
mR
NN bbX
bb σσ
σσσ
−+= 2121
0 1
Nel caso di progetto a vita infinita larelazione può essere riscritta come segue:
36
La relazione di progetto
aσ
mσRσ
Nσ
F
N
Xσ
S
R
Xσ
N cicli
Limite
Nel caso in cui sia concentrazionedi tensione, dovuta ad un intaglio,la tensione massima vale:
mR
NN bbX
bb σσσσσ
−+= 21
210 1aem K σσσ ⋅+=max
Dal confronto tra la tensione massima applicata e la tensioneammissibile, ne deriva una semplice relazione di progetto:
mR
NNaem b
XbK σ
σσσσσ
−+=+ 1
XbbrK LF
maeσσσ =+
La relazione di progetto può essereulteriormente semplificata nel casodi vita infinita (r = σLF / σR ) :
Ammissibile ∏=i
ibbdove si è indicatosinteticamente:
La tensione ammissibile vale:
La relazione di progetto
N cicli
Limite
Rappresentazione grafica della relazione di progetto (Soderberg)
Ammissibile
( )ma f σσ =aσ
mσ
aσ
mσ Sσ
S
S
Xσ
F
N
Xσ
Nσ
Soluzione progettuale
mS
NNaem b
XbK σ
σσσσσ
−+=+ 1
mR
Nae
N
bK
bXσ
σσσ
σ
+=
Progetto
Verifica
37
La relazione di progetto
Rappresentazione grafica di una procedura di calcolo della durata
N cicli
aσ
mσ
aσ
mσ RσS
R
Xσ
Nσ
Soluzione progettuale (d, F)
F
N
Xσ
Nσ
N
aσ
Nlog
Curva di Wöhler(R= –1)
Durata
R
m
aeN
bXb
K
σσ
σσ−
=
Esempio di calcolo
B
H1H2
r
F
L1L2
Fmax = 6 kNFmin = -2 kN
Specifica:
Il supporto è soggetto ad un carico Fvariabile nel tempo ciclicamente.
Verifica della resistenza a fatica
Materiale: Acciaio C40σR = 710 MPa σS = 500 MPaσLF = 280 MPa
Dimensioni: B = 20 mmH1 = 60 mmH2 = 72 mmL1 = 200 mmL2 = 50 mm r = 4.8 mm
Coefficiente di sicurezza minimo: XS = 1.4 Durata: illimitata
Condizione di finitura della superficie del supporto: rettifica media
F
t
Fmax
Fmin
38
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
Calcolo delle tensioni
B
H1H2
r
F
L1L2
ASezione di incastro A
f
ff W
M=σ ( )
22
216HB
LLF⋅
+⋅=
( ) ( ) MPaHB
LLFf 8.86
072.002.005.02.0600066
222
21maxmax =
⋅+⋅⋅=
⋅+⋅=σ
( ) ( ) MPaHB
LLFf 9.28
072.002.005.02.0200066
222
21minmin −=
⋅+⋅⋅−=
⋅+⋅=σ
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
Calcolo delle tensioni
B
H1H2
r
F
L1L2
ASezione B
B
f
ff W
M=σ 2
1
16HB
LF⋅
⋅=
MPaHB
LFf 100
06.002.02.060006622
1
1maxmax =
⋅⋅⋅=
⋅⋅=σ
MPaHB
LFf 3.33
06.002.02.020006622
1
1minmin −=
⋅⋅⋅−=
⋅⋅=σ
La sezione B è la più sollecitata,anche senza tenere conto delfattore di intaglio.
Quindi per la verifica saràconsiderata solo la sezione B.
39
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Verifica della resistenza a fatica
H1 = 60 mmH2 = 72 mm r = 4.8 mm
r / H1 = 0.08H2 / H1 = 1.20
Determinazione del fattore di intaglio teorico:
K t = 1.8
Esempio di calcolo
0.08
r / H1 = 0.08
H2 / H1 = 1.20
40
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Determinazione del fattore di intaglio teorico:Verifica della resistenza a fatica
H1 = 60 mmH2 = 72 mm r = 4.8 mm
r / H1 = 0.08H2 / H1 = 1.20
K t = 1.8
Fattore di sensibilità all’intaglio:
r
qρ+
=1
1
−⋅
−⋅=
1
327.11108.5
HR
S
σσρ
1287.06027.11
710500108.5
3
=
−⋅
−⋅=ρ
86.0
8.41287.01
1 =+
=
( )11 −⋅+= te KqKCalcolo del fattore di intaglio effettivo:
( ) 7.1688.118.186.01 ≅=−⋅+=eK
Esempio di calcolo
H1 = 60 mm
60
b1 = 0.74
Determinazione dei fattori b1(dimensioni) e b2 (finitura superficiale)
41
Esempio di calcolo
σR = 710 MPa
710
finitura della superficie:rettifica media
curva d
b2 = 0.88
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Verifica della resistenza a fatica
b2 = 0.88b1 = 0.74
K e = 1.7
2minmax σσσ −=a
σmax = 100 MPaσmin = – 33.3 MPa
( ) MPa7.662
3.33100 =−−=
2minmax σσσ +=m
( ) MPa3.332
3.33100 =−+=
I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:
È necessario ancora calcolare σa e σm :
42
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Verifica della resistenza a fatica
XbbrK LF
maeσσσ =+
A questo punto è possibile utilizzare la relazione
b = b1· b2 = 0.74 ·0.88 = 0.6512
r = σLF / σR = 280 / 710 = 0.3944
σLF = 280 MPa
3.333944.06512.07.667.12806512.0
⋅⋅+⋅⋅=X 49.1
9.1213.182 ==
Essendo richiestodalla specifica
XS ≥ 1.4il componente rispetta
la specifica
b2 = 0.88b1 = 0.74
K e = 1.7 σmax = 100 MPaσmin = – 33.3 MPa
I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:
σm = 33.3 MPa
σa = 66.7 MPa
dove:
mae
N
brKbX
σσσ+
=
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Verifica della resistenza a fatica
XbbrK LF
maeσσσ =+
A questo punto è possibile utilizzare la relazione
r = σLF / σS = 280 / 500 = 0.56
σLF = 280 MPa
b2 = 0.88b1 = 0.74
K e = 1.7 σmax = 100 MPaσmin = – 33.3 MPa
I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:
σm = 33.3 MPa
σa = 100.0 MPa
Se si utilizza la retta di Soderberg ilrapporto r sarà calcolato diversamente:
di conseguenza il coefficiente disicurezza risulterà modificato.
3.3356.06512.07.667.12806512.0
⋅⋅+⋅⋅=X 45.1
5.1253.182 ==
Il componente èancora in specifica
mae
N
brKbX
σσσ+
=
43
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
mS
NN bX
b σσσσσ
−+= 10aem K σσσ ⋅+=max
( )2aem K σσ ⋅+
22 4τσσ +=e
È molto frequente nelle costruzioni meccanicheche la sollecitazione di fatica si sviluppi in unostato piano di tensione.
Ipotesi.Componenti di tensione non nulle: σ e τ
Nel caso monoassiale la verifica di resistenza è data dal confronto tra le quantità:
Tensione massimadi lavoro Tensione ammissibile
Ammettendo valido il criterio di Tresca, la tensione equivalente, nel caso siano presenti solo lecomponenti σ e τ del tensore tensione, assume la forma:
Nel caso di tensione piana la tensione di lavoro deve essere espressa da una quantità scalareequivalente, la quale possa essere confrontata con la tensione ammissibile monoassiale.
( )2aem K ττ ⋅′+
Le componenti di tensione, essendo lasollecitazione di fatica, possono essereespresse in termini di valore medio ed alterno.
Inoltre deve essere considerato l’effetto delfattore di intaglio.
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
TL
L
SL
L
=
τσα
τσ
0
TL
L
SL
L
=
τστσ
α 0
L’esperienza ha dimostrato che nel caso di sollecitazione di fatica il rapporto tra letensioni limite σL e τL è diverso da quello osservato nel caso statico.
2=
TL
L
τσ
Il valore teorico di tale rapporto previsto dalla teoria di Tresca vale:
Nel caso della fatica il rapporto tra le tensioni limite può esseredeterminato sperimentalmente e risulta: 2≠
SL
L
τσ
Può essere introdotto un coefficiente in modo tale da porrel’eguaglianza:
α0 che è noto come “coefficiente di Bach”può quindi essere definito come:
E se si considera applicabile il criterio diTresca si ha:
SL
L
=
τσ
21
44
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
mSe
N
e
NL K
bK
b σσ
σσσ
−+= 1
mSe
N
e
NL K
bK
b ττ
τττ
′′−+
′′
= 1 mSe
N
e
N
mSe
N
e
N
Kb
Kb
Kb
Kb
ττ
ττ
σσ
σσ
α
′′−+
′′
−+
=1
1
21
0
( ) ( )[ ]20
2max 4 aemaem KK ττασσσ ⋅′+⋅+⋅+=
I valori sperimentali delle tensioni limite, ottenuti per un numero di cicli N oppure a vitainfinita, se il materiale presenta limite di fatica, sono dati dalle seguenti espressioni:
quindi α0 ècalcolatodal rapporto
Può dunque essere calcolata la tensione equivalente, intesa come valore massimo di unatensione ciclica monoassiale la quale crea nel componente in esame lo stesso danno dellasollecitazione reale, in un numero stabilito di cicli N.
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
( ) ( )[ ] 2
02
max 4 aemaem KK ττασσσ ⋅′+⋅+⋅+=
La relazione di progetto o di verifica a fatica nel caso di stato di tensione piano è la seguente
mS
NN bX
b σσσσσ
−+= 10
Tensione equivalente massima di lavoro Tensione ammissibile
S
m
mN b
Xb
σσσσσ
−
−= 0
45
Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione
23
21
23
22
22
21
23
22
21 aaaaaaaaaaeqv
σσσσσσσσσσ −−−++=
Caso in cui le tensioni principali abbiano media nulla:
Xb Nσσ =0
Tensione equivalente alterna di lavoro Tensione alterna ammissibile
( ) ( ) ( ) ( )222222 62
1aaaaaaaaaeqv xzyzxyxzzyyxa τττσσσσσσσ +++−+−+−=
Tensione equivalente alterna di lavoro
Metodo di Sines:
mmmeqv zyxm σσσσ ++=
Tensione equivalente media di lavoro Le tensioni medie di taglio noninfluenzano la resistenza a fatica
( ) ( ) ( ) ( )222222 62
1aaaaaaaaaeqv xzyzxyxzzyyxa τττσσσσσσσ +++−+−+−=
Tensione equivalente alterna di lavoro
Tensione equivalente media di lavoro
Metodo di von Mises:
Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione
( ) ( ) ( ) ( )222222 62
1mmmmmmmmmeqv xzyzxyxzzyyxm τττσσσσσσσ +++−+−+−=
422
1692cos
231
431
2QQQSEQA ++++= φσ
Metodo SEQA:
σ =Tensione normale alterna dovuta alla flessione
στ2=Q τ =Tensione tangenziale alterna dovuta alla torsione
φ =angolo di fase tra i valori massimi di flessione e torsione