1
CALCULUL DE VERIFICARE LA VIBRATII TORSIONALE
Tema proiectului:
Să se efectueze calculul de verificare la vibrații torsionale pentru un motor naval cu i = ....
cilindri în linie, cu funcționare în doi timpi τ=..... și aprindere prin comprimare. Motorul dezvoltă o
putere efectivă Pe= ....... kW la turația nominală n = ........ rot/min.
Se presupun cunoscute datele referitoare la ciclul termic al motorului și dimensiunile
principale ale acestuia. Motorul este destinat funcționării ca motor principal.
Date despre motor:
D = ...........[m];
S = ……….[m];
R = 2
S= ………[m];
τ = …… timpi;
i = …… cilindri;
n = …… rot/min.
Date despre cot
Considerăm arborele cotit ca fiind reuniunea a „i” manivelr dispuse în jurul și în lungul axei de
rotație. Dimensiunile elementelor componente ale unei manivele sunt:
- diametrul fusului palier Ddl )8,06,0( =............ [m]
- diametrul fusului maneton Ddm )75,056,0( = ........[m]
- lungimea fusului palier ll dl )8,07,0( = ..............[m]
- lungimea fusului maneton mm dl )6,05,0( = ............[m]
- grosimea brațului mdh )35,02,0( = ............[m]
- raza de racordare mdr )1,007,0( = .............[m]
- diametrul interior al manetonului la M4t mmi dd )75,06,0( = ...............[m]
- înălțimea cotului 2
2 ml ddRrH
= ......... [m]
- lungimea unui cot între mijloacele a 2 paliere adiacente a = .......[m].
Date despre volant:
- momentul de inerție al volantului ]..........[.......... 2mkgJv
2
1. Determinarea sistemului oscilant echivalent
Studiul vibrațiilor torsionale ale arborelui cotit constă în determinarea pulsațiilor și formelor
oscilațiilor proprii ale arborelui (modurile de vibrație), determinarea amplitudinilor oscilațiilor
forțate ale arborelui cotit și tensiunile corespunzatoare care se produc în acest arbore, în cazul
diferitelor regimuri de exploatare.
Arborele cotit, fiind un sistem cu forma complicată, este înlocuit cu un arbore drept
echivalent, a cărui rigiditate trebuie să fie identică cu rigiditatea arborelui cotit, iar momentele de
inerție mecanică ale maselor legate de arborele cotit (inclusiv masa proprie) sunt identice pentru cei
doi arbori, cotit real și drept echivalent. Cele două condiții sunt determinate de natura fenomenului
de oscilație, care constă în transformarea periodică a energiei de deformare în energie cinetică și
invers.
1.1. Lungimea redusă a cotului
Deoarece unele elemente au forme geometrice neregulate, lungimile reduse se determină pe
cale experimentală. Relațiile de calcul pentru formele elastice cele mai uzitate sunt date în tabelul 1.
Relația lui Carter:
30 5,175,0)8,0(hb
DR
D
Dlhll l
m
lml
Relația lui Zimanenko:
30 2,08,06,0hb
D
D
RR
D
Dh
R
bld
l
hll l
mm
lml
l
l
Relația lui Timoshenko:
30 9,0)9,0()9,0(hb
DR
D
Dhlhll l
m
lml
Vom utiliza relația lui Timoshenko, unde:
44
44
i
i
mmm
lll
ddD
ddD
1.2. Rigiditatea arborelui echivalent
Arborele cotit, nefiind o grindă dreaptă, nu permite determinarea cu exactitate a rigidității
sale. Pentru arborele echivalent imaginat ca un arbore drept, fără masă, de diametru 0
d , eventual
gol la interior încărcat cu un numar de volanți (discuri), rigiditatea sa va fi:
][0
0Nm
l
IGC
pn
unde:
G = modulul de elasticitate transversal al materialului, 210 /101,8 mNG ;
0pI = momentul de inerție polar al arborelui echivalent.
3
Pentru simplificare, diametrul exterior și, eventual, interior al arborelui cotit se aleg egale cu
diametrul exterior și, respectiv, interior ale fusului palier: l
d și il
d , astfel încât momentul de inerție
polar al arborelui echivalent va fi egal cu cel al fusului palier, conform relației:
][32
)(4
44
0m
ddII ill
plp
Dar se consideră ][0 mdil și astfel relația momentului de inerție polar al arborelui echivalent
devine:
][32
44
0m
dII l
plp
1.3 . Momentul de inerție mecanic al cotului
Arborele echivalent trebuie să îndeplinească și condiția identității momentelor de inertție
mecanice ale maselor în mișcare de rotație cu cele ale arborelui real.
Schematizarea constă în încărcarea arborelui cu un numar de discuri (volanți), care
corespund maselor aferente fiecarui cot al arborelui, ultimul disc fiind echivalent volantului.
Pentru determinarea momentului de inerție mecanic total al unui cot, J se aplică relația: '
cot moJJJ
În care Jcot este momentul de inerție propriu-zis al cotului, iar '
moJ este momentul de inerție al
maselor în mișcare aferente cotului respectiv, redus la axa de rotație.
Prima mărime se calculează din:
bomolJJJJ 2
cot
unde Jl este momentul de inerție mecanic al fusului palier (presupus, eventual, găurit), dat de:
][)(32
244 NmslddJllill
ll - lungimea fusului palier,
- densitatea materialului fusului. 3/7850 mkg
Momentul de inerție mecanic al manetonului, Jmo, redus la axa de rotație, este dat de:
][8)(32
)(4
)(32
222222
222442
NmsRddldd
RlddlddRmJJ
ii
ii
mmmmm
mmmmmmmmmo
Jbo - momentul de inerție al brațului, redus la axa de rotație.
În cazul în care brațul are o formă complicată, se face divizarea acestuia într-un numar de
n porțiuni, rezultate prin intersecția brațului cu n suprafețe cilindrice coaxiale cu fusul palier, de
raze R, ca în figura 2.
Cu notațiile de aici se poate deduce masa porțiunii de ordinul j ca fiind:
4
][360
2 kgRhRmjjo
o
j
mj j
unde:
1
1;
2
jjj
jj
mRRR
RRR
j
Nr.
disc ][
1mR
j ][mRj ][mR
j ][mR
jm o
j ][kgm
j ][ 2NmsJjb
1
2
...
n
Momentul de inerție al elementului respectiv va fi:
][ 22 NmsRmJjj mjb
de unde:
][2
1 22
11
1
NmsRmJJn
j
bbo j
unde m1 este masa discului de rază R1.
În cazul brațelor eliptice:
][8432164
22
2
4422
max
2
maxNmsR
dddhe
bLLhDJ i
ii
m
mlbo
2/Re
În cazul brațelor circulare:
max
bL
][843284
22
2
4422
maxmaxmax
NmsRd
ddheb
hbDJ i
ii
m
mlbo
2/Re
Rămâne să mai determinăm momentul de inerție al maselor în mișcare aferente cotului,
redus la axa de rotație, '
moJ . Aceste mase sunt: masa bielei raportată la maneton,
bmm , ca și o
fracțiune x din masa a
m a pieselor în mișcare de translație.
][)2
1( 22' NmsRmmJ
abmom
1.4. Schema sistemului oscilant echivalent
5
a) M2t – cuplat direct cu elicea
][2/32
maaalv
][65
maale
][Nml
GIC
v
pl
v
][Nml
GIC
e
pl
e
Dimensiunile de principiu ale liniei de arbori cuplată direct cu motorul sunt determinate pe
baza următoarelor relații:
75,0/1
aa
1/2
aa
75,0/3
aa
tMtM
aa45,0
21/
4
)2(76/5
tMpentrunumaiaa
)2(5,55/6
tMaa
adf
75,0
agf
0575,0
ada
)00,195,0(
aadg 175,0
avdd
avgg 5,0
diagramedinnPfDe
,
)2(95,85,7/1
tMJJe
)4(4030/1
reductorcutMJJe
Je = momentul de inerție al elicei
J1 = momentul de inerție al cotului 1
),4(92520/1
DGtMJJg
)(108/ DGJJvg
vgultimdiscJJJ
6
Jg = momentul de inerție al generatorului
Jv = momentul de inerție al volantului
Observație: La M4t utilizate ca MP, flanșa distanțată cu a4 față de volant va fi înlocuită cu o roată
dințată cu diametrul de divizare df.
b) M4t – DG
][2/
32maaal
v
c) MP – 4t cuplat cu elicea prin transmisie
mecanică
][2/ maltr
][65
maale
][Nml
GIC
v
pl
v
][Nml
GIC
tr
pl
tr
][Nml
GIC
e
pl
e
52e
m
trn
ni
7
2. Determinarea modurilor proprii de vibrație
ale sistemului oscilant echivalent
2.1.Pulsațiile proprii de gradul I și II ale sistemului oscilant echivalent
024 qpoo
][42
1 12
,
sqppIIIo
)(321
321
32
3
2
2
21
1
1
JJJJJJ
CCq
J
C
J
CC
J
Cp
Unde:
v
e
m
CCCCCC
3
2
1
mJJ
1
vJJ
2
13)1( JnJJ
e
2.2. Pulsațiile proprii ale sistemului oscilant complet
Cu III ,0
calculate la 2.1. ca valori de stare se înlocuiește tabelul lui Holtzer:
Nr.
Disc iJ
][ 2Nms
20iJ
][Nm
)~
( ii
i
j
jjJ
1
20
][Nm
iC
][Nm
i
j
jjj
JC
1
20
1
1 1J 201J 0000,11
1201 J 1C
1201
1
1J
C
2 2J 202J
1201
112
1 J
C
2
1
20
j
jjJ 2C
2
1
20
2
1
j
jjJC
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n-1 1nJ 201nJ
2
1
20
221
1n
j
jjn
nn JC
1
1
20
n
j
jjJ 1nC
1
1
20
1
1n
j
jjn
JC
n nJ 20nJ
1
1
20
11
1n
j
jjn
nn JC
n
j
jjJ
1
20
- -
Se repetă tabelul până când se obține 0
1
20
n
j
jjJ .
8
3. Vibrațiile forțate torsionale
3.1. Gradele de excitație ale sistemului oscilant echivalent
Se stabilesc schemele defazajelor corespunzătoare primelor 2i armonici, dinamic distincte.
2
1
2
1
cossin~~
cos~
sin~~
i
j
kjkj
i
j
kjkjkkjkjykj
kjkjxkjE
E
E
gradele de excitație.
kkj ~
(din tabelul lui Holtzer gr.I)
jkj k
jyj O ,ˆ
Se vor preciza: tipul motorului, numărul de timpi, ordinea de aprindere, ordinul armonic major: k j
kj~
][okj kjsin kjcos
xkjE~
ykjE
~
I
1, ...
1
2
...
i
......
~kE
i
1
2, ...
1
2
...
i
......
~kE
i
1
...
......
~kE
i
1
II
1, ...
1
2
...
i
......
~kE
i
1
2, ...
1
2
...
i
......
~kE
i
1
....
......
~kE
i
1
Se concentrează rezultatele în tabelul:
kE~
k=1, ... k= 2, ... ... k = i, 2i,...
I
II
9
Se reprezintă grafic )(~
kfEk și se precizează armonica majoră kmaj max
~~EEk .
3.2. Determinarea amplitudinii vibrațiilor torsionale forțate amortizate
Factorul de amplificare este:
i
jjk
iA
1
~1)5848(
Pentru determinarea acestuia se întocmește tabelul:
Nr.
disc jJ ][ 2Nms j
~ 2~
j 2~jjJ
1
2
.
.
.
i
i
jj
1
~
n
jjjJ
1
2~
Amplitudinea momentelor excitatoare kM :
kTgk pSD
M 24
2; ),,,( mikTg pknfp
Deformația statică unghiulară a discului nr 1:
n
jjjoI
kk
Sk
J
EM
1
221 ~
~
Pulsația critică de gradul I și ordin armonic k și turațiile critice de ordin k ale primului mod
de vibrație:
k
oIIk
; Ik
oIIk
k
nn 55,9
unde:
oIoIoI nn
nk 55,9;
Amplitudinea deformării unghiulare a vibrației forțate amortizate excitate de componenta de
ordin k la momentul motor:
11 skkk A
Momentul de torsiune adițional maxim produs de vibrațiile torsionale forțate:
max1
2
1max
~
i
jjojkkt JM
Valoarea lui max
1
2 ~
i
jjojJ se ia din tabelul lui Holtzer, reprezentând valoarea maximă a
momentului forțelor de inerție din coloana a 5-a.
Tensiunile adiționale datorate vibrațiilor torsionale forțate:
2
max
maxmm
N
W
M
p
kt
k
10
unde modulul de rezistență polar:
333
1616mm
ddW lo
p
k Ik
][ 1s
Ikn
min]/[rot kE
~ kM
][Nm
kIS
][rad 1k
][rad maxktM
][Nm
maxk
]/[ 2mmN
1
2
.
.
.
2i
Observație: Pentru completarea coloanei ”k” nu se ia obligatoriu gama de valori i21 , ci se face
determinarea ordinului armonic k care poate provoca rezonanța:
n
nk oI (se ia valoarea cea mai apropiată de un număr întreg pentru 2 , sau de un număr întreg
sau fracționar pentru 4 ; ex.: 6,5; 7; 7,5; etc.)
Dacă avem:
2,18,0 oIn
kn - funcționare în zona periculoasă.
Turațiile criticekIn se aleg numai în gama turațiilor de lucru ale arborelui, respectiv
n )%11025( pentru M2t și n )%11050( pentru M4t, unde min/rotn este turația nominală a
motorului.
Se trasează diagrama de variație a amplitudinii vibrațiilor torsionale la linia de arbori, ca și
tensiunile adiționale datorate vibrațiilor:
min]/)[(]/[;min]/)[(][ 2
maxrotnfmmNrotnfrad kkI
3.3. Determinarea regimurilor de rezonanță ale motorului
Pulsația excitației de ordinul k:
][55,9
1 snk
k
)%110(1
nnI
)2%25(2
tMnnI
)4%50(2
tMnnI
11
Observații: În prezentarea grafică se va face corelarea cu coloana a 3-a din ultimul tabel.
Limitarea tensiunilor se face cu valorile date de RNR, A VII – Instalații cu mașini, Cap 4.
”Vibrații torsionale”.
3.3.1. Tensiunile rezultante datorate vibrațiilor torsionale pentru arborii cotiți ai motoarelor
principale, la o funcționare îndelungată nu trebuie să depășească valorile determinate cu formula:
m
m
cR
R
n
nd
5102)134,045(
1
unde:
1 - tensiunile admisibile ]/[ 2mmN ;
d – diametrul arborelui ][mm ;
n – turația considerată ][ 1s ;
cn - turația de calcul ][ 1s ;
mR - rezistența de rupere la tracțiune a materialului ]/[ 2mmN .
În cazul în care se utilizează un material cu rezistența de rupere mai mare de 2/780 mmN la
calcule se va adopta 2/780 mmNRm . Dacă 22 /430/510 mmNRmmN
m , se va adopta
2/510 mmNRm .
3.3.2. Tensiunile admisibile datorate vibrațiilor torsionale în gama turațiilor c
n)05,185,0( pentru
arborii cotiți ai motoarelor ce antrenează generatoare și alte mecanisme auxiliare de mare
importanță, precum și pentru arborii generatoarelor nu trebuie să depășească valorile determinate cu
formula:
m
m
R
Rd
5102)2,05,22(
1
3.3.3. Tensiunile admisibile pentru zonele de turații interzise la funcționarea de lungă durată, dar
prin care admite o trecere rapidă nu trebuie să depășească valorile determinate cu formulele:
- pentru arborii cotiți ai motoarelor principalre:
122
- pentru arborii cotiți ai motoarelor care antrenează
generatoarele, precum și pentru arborii generatoarelor:
125
12
ANEXE
13
14
15
16
17