CALCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
Ing. Jorge Yaya Cruzado
SESION 6
TEMARIO
INTEGRAL DEFINIDA.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
INTERPRETACION GEOMETRICA.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
REGLA DE BARROW
METODO DEL CAMBIO DE VARIABLE
CALCULO DE AREAS DE REGIONES
Por que surgió el calculo de integrales
Surgió por la necesidad de calcular el área de figuras planas en especiallas irregulares
A= l^2
l
lA=l*a
l
a
h
b
𝐴 =𝑏 ∗ ℎ
2
Como calcular el área de:
Método Griego
Consiste en intentar calcular el área
de un circulo mediante la inserción
dentro del mismo triángulos cada
vez mas pequeños:
La suma de las áreas de los
triángulos seria aproximadamente
igual al área del circulo.
Área del circulo es el
limite de las áreas de los
triángulos
Mientras mas triángulos insertemos en el
circulo, mas exacto será el calculo del
área
Esta idea se traslado al calculo de áreas de otras figuras irregulares : Al área
de una figura compleja se calcularía intentando transformar la figura
irregular en formas regulares
Imaginemos esta función:
f(x)= 𝑒−2𝑥
Como obtener de manera indirecta el área de la función entre 0 y 2 ???
A1
A2
A1
An
Así surge el concepto de Integral:
Es una suma de las áreas de infinitos rectángulos es decir la suma de infinitos términos
Por lo tanto lo que buscamos es convertir una figura irregular en
una composición de figuras regulares que nos permitieran aplicar formulas matemáticas sencillas
Por lo tanto, una integral definida es una suma de infinitos términos
El símbolo de integración es un S alargada
La Suma de las áreas de un conjunto de rectángulos cuyas alturas
vienen dadas por los valores de una función y cuyas bases tienen
longitudes infinitesimales
La Suma de las áreas de un conjunto de rectángulos cuyas alturas
vienen dadas por los valores de una función y cuyas bases tienen
longitudes infinitesimales
El Área total será:
En resumen:
Si para una integral definida de una función continua f(x) elegimos dos
valores a y b que pertenezcan a su dominio
Ejemplo:
Se llama integral definida por que obtenemos un valor numérico definido.
Operativamente, primero se halla la integral indefinida (omitiendo la
constante C) y después se sustituyen los limites de integración (Primero el
limite superior y se resta el limite inferior
Propiedades fundamentales
1.- si a > b, entonces:
2.- si f(a) existe, entonces:
3.- Si K es una constante cualquiera, entonces:
4.- si una función f es integrable en [a,b] y k es una constante arbitraria,
entonces:
5.- Si las funciones f y g son integrables en [a,b], entonces: f ± g es integrable
en [a,b].
6.- Si la función f es integrable en [a,b], [a,c], [c,b] y a < c < b, entonces:
7.- Si la función f es integrable en [a,b] y f(x) ≥ 0, entonces:
8.- Si las funciones f y g son integrables en [a,b] y f(x) ≥ g(x), para todo x Є [a,b] entonces:
9.- Simetría: Sea f una función continua sobre el intervalo [–a, a]
9.1.- si f es par, entonces: −𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 0
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
9.2.- si f es impar, entonces:
−𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =0
10.- sea f continua en [a,b]. Si m es el valor mínimo absoluto y M es el máximo absoluto de f en [a,b] y m ≤ f(x) ≤ M, a ≤ x ≤ b, entonces
m(b−a)≤ 0𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ M(b-a)
Geométricamente la propiedad 10 nos indica:
Como f(x) ≥ 0, para todo x Є
[a,b], el área de la región bajo
la curva f(x) , encerrada entre
las rectas x=a y x= b y el eje x
esta dada por la integral
definida:
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 …… (1)
El área de la región rectangular
cuyas dimensiones M y (b-a) es
mayor que el área dada por (1)
y el área de la región rectangular cuyas dimensiones
son m y (b-a) es menor que el
área dada por (1)
Interpretación Geométrica de la Integral
Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el áreadel recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).
Por tanto R1 = R2
Enunciado: Si f es continua existe c[a,b] en el que
b
a
cfabdxxf )()·()(
Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los
valores entre m y M. Por tanto existe un c [a, b] tal que:
1
b – a
ab f(x) dx = f(c)
Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función integral
Enunciado:
Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c [a, b] en el que
ab f(x) dx = (b – a) f(c).
m (b – a)
a
b
f(x) dx M (b – a)
m 1
b – a a
b f(x) dx M
a b
m
M
1
b – a
a
b
f(x) dx
c¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio.
Teorema del valor medio para integrales
Demostración: área pequeña < A.curva < área grande
x x+h
Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica
Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).
Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite
cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)
( ) ( )( ) ( )
F x h F xf x f x h
h
Sea ( , ) y 0.x a b h
( )f x
( )f x h( ) ( )F x h F x
( ) ( ) ( )h f x F x h F x ( )h f x h
X
Y
área pequeña < A.curva < área grande
Teorema fundamental del cálculo
Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el
intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la
primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).
h
dt)t(fdt)t(flim
h
dt)t(fdt)t(flim
h
)x(F)hx(Flim)x('F
hx
a
a
x
0h
hx
a
x
a
0h0h
Dem.:
)x(f)c(flimh
h)c(flim
h
)xhx)·(c(flim medio valor del teoremaelpor y
h
dt)t(flim
0h0h
0h
hx
x
0h
a c b
Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)
Regla de Barrow
Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x)
en [a, b], entonces
a
b f(x) dx = G(b) – G(a).
• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x)
se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.
• Como F(a) = 0 C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).
• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).
Que también se puede poner así: b
adxxf )( = G(b) – G(a) =
F(x) ba
Demostración:
Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)b
adxxf )(
CALCULO DE AREA DE REGIONES PLANAS
AREAS BAJO UNA CURVA
Como hemos revisado, hemos visto que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace la suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida.
En resumen, considerando solo una partición representativa, que es el rectángulo diferencial que representa cualquier partición de la región plana, gráficamente :
y = f(x)
dx
dA = f(x)dx
b
a
f(x)dxA
f(x)
dx
y
x0 a bx
dy
y
x0
dyx = g(y)
d
c
d
c
g(y)dyA
dA = g(y)dy
g(y)
AREA ENTRE CURVASSi se tiene una región plana es de la siguiente forma:
dx
y
x0 dx
y = f(x)
y = g(x)
f(x)
- g(x)
b
a
dxg(x)-f(x)A
dA =[f(x) - g(x)]dxba
Pasos a realizar la obtención de áreas:
Paso 1: Bosqueje la región.
Paso 2: Córtela en pedazos delgados (tiras); marque una pieza
representativa.
Paso 3: Aproxime el área de esta pieza representativa como si fuese un rectángulo.
Paso 4: Sume las aproximaciones a las áreas de las piezas.
Paso 5: Tome el límite cuando el ancho de las piezas se aproxima a cero,
obteniendo así una integral definida.
Ejemplos: