UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO
FACULDADE DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA
ESTABILDADE E MÉTODOS ENERGÉTICOS
TRABALHO DE AVALIAÇÃO Nº1
APLICAÇÃO DO TEOREMA DE CASTILIANO E
FERRAMENTAS C.A.D E F.E.A
Autor
Van Gompel Raph nº 49714
Docente
Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez
Luanda,2012
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
ÍNDICE
RESUMO.............................................................................................................................................2
INTRODUÇÃO....................................................................................................................................3
Objectivos de estudo............................................................................................................................4
ENUNCIADO DO TRABALHO:........................................................................................................5
1 DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS PELO TEOREMA DE CASTIGLIANO............6
1.1 Cálculo do deslocamento em x no ponto B....................................................................................7
1.1 1 Análise da energia no trecho AB.................................................................................................8
1.1.2 Análise da energia no trecho BC.................................................................................................8
1.1.3 Analise das energias no trecho CD..............................................................................................9
1.2 Cálculo do deslocamento em y no ponto B..................................................................................10
1.2.1 Análise da energia no trecho AB...............................................................................................10
1.2.2 Análise da energia no trecho BC...............................................................................................11
1.2.3 Analise das energias no trecho CD............................................................................................12
1.3 Cálculo do deslocamento em Z no ponto B.................................................................................13
1.3.1 Análise da energia no trecho AB...............................................................................................13
1.3.2 Análise da energia no trecho BC...............................................................................................14
1.3.3 Analise das energias no trecho CD............................................................................................15
1.4 Determinação do deslocamento resultante...................................................................................16
2 DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS16
2.1 Cálculo do deslocamento em x no ponto B..................................................................................16
2.1.1 Vista do ponto com maior deslocamento em x.........................................................................17
2.2 Cálculo do deslocamento em y no ponto B..................................................................................18
2.2.1 Vista com maior deslocamento y..............................................................................................19
2.3 Cálculo do deslocamento em Z no ponto B..................................................................................20
2.3.1 Vista com maior deslocamento Z..............................................................................................21
2.4 Deslocamento total.......................................................................................................................22
2.4.1 O ponto com deslocamento máximo.........................................................................................23
3 DISTRIBUIÇÃO DE DEFORMAÇÕES E TENSÕES NO PÓRTICO.........................................24
3.1 Ponto de máxima tensão...............................................................................................................25
3.2 Coeficiente de segurança com respeito ao limite de fluência do material...................................26
CONCLUSÃO....................................................................................................................................27
BIBLIOGRAFIA................................................................................................................................28
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 2
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RESUMO
Neste trabalho da cadeira de estabilidade cujo tema é aplicação do teorema de castilhiano e
ferramentas C.A.D e F.E.A fez-se um estudo de caso pratico, que consistiu na determinação dos
deslocamentos em um determinado ponto avaliado para todos os eixos de coordenadas x, y e z,
utilizando inicialmente o método tradicional (Castigliano) e posteriormente a análise por elementos
finitos através do programa autodesk inventor 2009 e cosmo designer star 3.0. de maneiras a se avaliar
a efetividade dos métodos tradicional e computacional recorrendo a comparação dos resultados
encontrados nos dois métodos.
PALAVRAS- CHAVES: Estabilidade, método tradicional, método computacional, analise
por elemento finito, pórtico.
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INTRODUÇÃO
Para a determinação do deslocamento, tensões, ou seja análise de estruturas assim como
pórticos utiliza-se os métodos tradicionais tais como método de energia, teorema de Castigliano, ou
também a utilização de ferramentas assistido por computador e análise por elementos finitos.
Neste trabalho vamos calcular para pórtico proposto formado por vigas de secção transversal do
tipo "I" segundo a norma IPN, com alma em posição vertical para os trechos BC e CD, sendo o
material das vigas aço AISI 1020.
Portanto vamos calcular os as componentes do deslocamento do ponto B sobre os eixos X,
Y e Z e posteriormente o deslocamento resultante deste ponto. Para efeito usaremos o método de
Castigliano, ferramentas de desenho assistido por computador e análise por elementos finitos, sem
deixar obviamente de fazer a análise da distribuição de deformações e tensões no pórtico
assinalando os pontos de máxima tensão e por ultimo determinar o coeficiente de segurança com
respeito ao limite de fluência do material. Finalmente, vamos comparar os resultados.
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OBJECTIVOS DE ESTUDO
Objectivo geral
Avaliar a efetividade do método computacional na determinação dos deslocamentos em pórticos,
através da comparação com o método tradicional, determinação das tensões e deformações no pórtico
assinalando o ponto de máxima tensões e o cálculo do coeficiente de segurança com respeito ao limite
de fluência do material
Objectivos específicos
Determinar os componentes sobre os eixos coordenados do deslocamento no ponto B, e
deslocamento resultante usando o método tradicional (Castigliano)
Determinar os componentes sobre os eixos coordenados do deslocamento no ponto B, e
deslocamento resultante usando o método computacional (Ferramentas de desenho assistido por
computador e analise por elemento finitos (Castigliano)
Comparar os resultados encontrados no método normal e no método tradicional
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ENUNCIADO DO TRABALHO:
a) Determinar para o pórtico da figura, usando o método de Castigliano, os componentes
sobre os eixos x, y e z do deslocamento do ponto B e o deslocamento resultante nesse
ponto.
b) Determinar para o pórtico da figura, usando ferramentas de Desenho Assistido por
Computador e Analise por Elementos Finitos, os componentes do deslocamento do ponto
B, e o deslocamento resultante nesse ponto. Comparar os resultados com os obtidos no
inciso a).
c) Determinar, usando ferramentas de Desenho Assistido por Computador e Analise por
Elementos Finitos a distribuição de deformações e tensões no pórtico e assinalar o ponto de
máximas tensões. Determine o coeficiente de segurança com respeito ao limite de fluência
do material.
O pórtico está conformado por vigas de secção transversal do tipo " I " segundo a norma
IPN, com a alma em posição vertical para os trechos BC e CD. No trecho AB a alma é paralela ao
plano yz.
O material das vigas é aço AISI 1020.
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z
x
DBB
CBB
BBB A
P2
P1
x
z
y
y
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1 DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS PELO TEOREMA DE CASTIGLIANO
1.1 Cálculo do deslocamento em x no ponto B
Uma vez que não temos força aplicada neste ponto em direção ao x, aplicamos uma força fictícia a esta direção neste ponto.
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DadosP=8 KNA B̄=0,4 mBC̄=0,5 mC D̄=0,7 mMatreial AISI 1020G=7 ,75 . 1010 PaE=2.1011 PaPerfil IPN 220I x=3060 .104mm4
I y=162. 104mm4
I t=18 ,6 .104mm4
A=3950mm2
Po
DBB
CBB
BBB
AP2
P1
Z____
AB
z
NP1 BA
Poz
C
B
N2
Y
Mx
MyZ
X
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
Sabemos que:X B=
∂U AD
∂ Po
=∂U AB
∂ Po
+∂U BC
∂ Po
+∂UCD
∂ Po portanto teremos que encontrar ∂U AB
∂ Po
,∂U BC
∂ Po
e ∂U CD
∂ Po
1.1 1 Análise da energia no trecho AB
0≤z≤A B̄
U AB=12 . E . A
∫0
A B̄
N2 dZ (1 )
Da figura temos temos que:N=P1 substituindo em (1) e integrando teremos:
U AB=P
12. A B̄
2 . E . A⇒
∂U AB
∂ Po
=0
1.1.2 Análise da energia no trecho BC
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 8
Z
Y
X
D C
P1P2
Po B
My
MxMt
z
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
0≤z≤BC̄
U BC=12 . E . A
∫0
BC
N22 dZ +1
2 . E . I x∫0
BC
Mx2 dZ+1
2 . E . I y∫0
BC
My2 dZ (2 )
Da figura temos temos que:
{M y=Po . z ¿ {M x=P1 . z ¿¿¿¿¿
¿
U BC=P
22 . BC
2. E . A+
P1
2 .BC3
6 . E . I x
+P
o2 . BC3
6 . E . I y
⇒∂ UBC
∂ Po
=Po . BC3
3 . E . I y
1.1.3 Analise das energias no trecho CD
0≤z≤C D̄
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0
Po
DBB
CBB
BBB
AP2
P1
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
UCD=12 . E . I x
∫0
CD
Mx2 dZ+1
2 . E . I y∫0
CD
My2 dZ +1
2 .G . I t∫0
CD
Mt2
dZ (3 )
Da figura temos temos que:
{M t=P1 . BC̄ ¿ {M x=P1 . z ¿¿¿¿
¿
UCD=P
12 .BC2 . CD
2 .G . I t
+P
12 . CD3
6 . E . I x
+P
22 . CD3
6 . E . I y
⇒∂U CD
∂ Po
=0
O deslocamento em X no ponto B será:
X B=∂ U AB
∂ Po
+∂U BC
∂ Po
+∂U CD
∂ Po
=0+Po . BC3
3 . E . I y
+0
com o o Po é ficticio ou seja Po=0 então:
X B=Po . BC3
3 .E . I y
=0
1.2 Cálculo do deslocamento em y no ponto B
Uma vez que não temos força aplicada neste ponto em direção ao y, aplicamos uma força fictícia a esta direção neste ponto.
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 10
Z____
AB
z
NP1 BA
Po
P2P1
z
C
B
N2
Y
Mx
Z
X
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
Sabemos que:Y B=
∂U AD
∂ Po
=∂U AB
∂ Po
+∂U BC
∂ Po
+∂ UCD
∂ Po portanto teremos que encontrar ∂U AB
∂ Po
,∂U BC
∂ Po
e ∂U CD
∂ Po
1.2.1 Análise da energia no trecho AB
0≤z≤A B̄
U AB=12 .E . A
∫0
A B̄
N2 dZ (4 )
Da figura temos temos que:N=P1 substituindo em (4 ) e integrando teremos:
U AB=P
12. A B̄
2 .E . A⇒
∂U AB
∂ Po
=0
1.2.2 Análise da energia no trecho BC
0≤z≤BC̄
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 11
Z
Y
X
D C
P1P2
Po
B
My
MxMt
z
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
U BC=12 . E . A
∫0
BC
N22dZ +1
2 . E . I x∫0
BC
Mx2 dZ (5)
Da figura temos temos que:
{ M x=(P1+Po) . z ¿ ¿¿¿
¿
U BC=P
22 . BC
2. E . A+
(P1+Po )2 .BC3
6 . E . I x
⇒∂U BC
∂ Po
=(Po+P1) . BC 3
3 . E . I x
1.2.3 Analise das energias no trecho CD
0≤z≤C D̄
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 12
0 0 0
DBB
CBB
BBB
AP2
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
UCD=12 .E . I x
∫0
CD
Mx2 dZ+1
2 . E . I y∫0
CD
My2 dZ +1
2 .G . I t∫0
CD
Mt2
dZ (6 )
Da figura temos temos que:
{ Mt=(P1+Po) .B C̄ ¿ {M x=(P1+Po) . z ¿ ¿¿¿
¿
UCD=( P1+Po )2 . BC2 .CD
2 . G . I t
+(P1+Po )2 . CD3
6 .E . I x
+P
22 . CD3
6. E . I y
⇒∂U CD
∂ Po
=(P1+Po ) .BC2 .CD
G . I t
+(P1+Po) . CD3
3 . E . I x
O deslocamento em Y no ponto B será:
Y B=∂U AB
∂ Po
+∂ UBC
∂ Po
+∂UCD
∂ Po
=0+(Po+P1) . BC3
3. E . I x
+(P1+Po ). BC2 .CD
G . I t
+( P1+Po ) .CD 3
3 . E . I x
com o o Po é ficticio ou seja Po=0 então:
Y B=(Po+P1) . BC3
3 . E . I x
+(P1+Po ) .BC2 .CD
G . I t
+(P1+Po) . CD3
3. E . I x
Y B=P1 .BC 3
3 .E . I x
+P1 .CD 3
3. E . I x
+P1 .BC 2 .CD
G . I t
Substituindo os dados teremos:
Y B=8 .103 .0,53
3 .2 .1011 .3060 .104 . 10−12+
10 .103 . 0,73
3 .2.1011 . 3060.104 .10−12+
8.103 . 0,52 . 0,7
7 ,75 .1010 . 18 ,6 .104 . 10−12
Y B=0 ,054 .10−3+0 ,187 .10−3+0 ,0072
Y B=7,4 .10−3 m
1.3 Cálculo do deslocamento em Z no ponto B
Como já temos força aplicada no eixo z neste ponto, portanto não é necessário força fictícia.
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 13
Z____
AB
z
NP1 BA
P2P1
z
C
B
N2
Y
Mx
Z
X
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
Sabemos que:ZB=
∂U AD
∂ P2
=∂U AB
∂ P2
+∂ UBC
∂ P2
+∂UCD
∂ P2 portanto teremos que encontrar ∂U AB
∂ P2
,∂U BC
∂ P2
e ∂U CD
∂ P2
1.3.1 Análise da energia no trecho AB
0≤z≤A B̄
U AB=12 .E . A
∫0
A B̄
N2 dZ (7 )
Da figura temos temos que:N=P1 substituindo em (7 ) e integrando teremos:
U AB=P
12 . A B̄
2. E . A⇒
∂U AB
∂ P2
=0
1.3.2 Análise da energia no trecho BC
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 14
Z
Y
X
D C
P1P2
B
My
MxMt
z
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
0≤z≤BC̄
U BC=12 . E . A
∫0
BC
N22dZ +1
2 .E . I x∫0
BC
Mx2 dZ (8)
Da figura temos temos que:
{M x=P1 . z ¿ ¿¿¿
¿
U BC=P
22 . BC
2. E . A+
P1
2 .BC3
6 . E . I x
⇒∂U BC
∂ P2
=P2. BC
E . A
1.3.3 Analise das energias no trecho CD
0≤z≤C D̄
UCD=12 . E . I x
∫0
CD
Mx2 dZ+1
2 . E . I y∫0
CD
My2 dZ +1
2 .G . I t∫0
CD
Mt2
dZ (3 )
Da figura temos temos que:
{M t=P1 . BC̄ ¿ {M x=P1 . z ¿¿¿¿
¿
UCD=P
12 .BC2 . CD
2 .G . I t
+P
12 . CD3
6 . E . I x
+P
22 . CD3
6 . E . I y
⇒∂U CD
∂ P2
=P2 . CD3
3 . E . I y
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 15
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
O deslocamento em Z no ponto B será:
ZB=∂ U AB
∂ P2
+∂U BC
∂ P2
+∂ UCD
∂ P2
=0+P2 . BC
E . A+
P2 .CD 3
3 . E . I y
ZB=P2 . BC
E . A+
P2 . CD3
3 . E . I y
substituindo os dados teremos :
ZB=8 . 103 . 0,52 .1011. 3950 .10−6
+8 .103 . 0,73
3. 2 .1011 . 162 .104 . 10−12
ZB=5 , 06 .10−6+2 , 82 .10−3
ZB=2 , 83 .10−3m
1.4 Determinação do deslocamento resultante
2 DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
2.1 Cálculo do deslocamento em X no ponto B
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 16
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
2.1.1 Vista do ponto com maior deslocamento em X
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 17
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
2.2 Cálculo do deslocamento em Y no ponto B
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 18
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
2.2.1 Vista com maior deslocamento Y
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 19
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
2.3 Cálculo do deslocamento em
Z no ponto
B
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 20
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
2.3.1 Vista com maior deslocamento Z
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 21
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
2.4 Deslocamento
total
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 22
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
2.4.1 O ponto com deslocamento máximo
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 23
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
3 DISTRIBUIÇÃO DE DEFORMAÇÕES E TENSÕES NO PÓRTICO
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 24
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
3.1 Ponto de máxima tensão
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 25
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
3.2 Coeficiente de segurança com
respeito ao limite de fluência do material
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 26
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
CONCLUSÃO
Analisando minuciosamente os pontos vistos no decurso deste trabalho concluiu-se que o
método de análise por elementos finitos através de programas computacionais é eficiente pois não
existe grandes diferenças nos resultados encontrados nos dois métodos ou melhor do método tradicional
(Castigliano) e no método computacional (Ferramentas de desenho assistido por computador e Analise
por elementos finitos). Os resultados calculados provam esta afirmação de forma nítida e transparente.
AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 27
Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A
Os deslocamentos calculados no método tradicionais para os eixos x, y e z são
respectivamente, 0m, 0,0074m e 0,00284m que resultou num deslocamento total de 0,00792m,
enquanto os calculados no método computacional para os mesmos eixos são respectivamente:
0,0022m,0,0078m e 0,0039m resultando num deslocamento total de 0,00879m.
Portanto podemos também concluir que a análise por elemento finito veio para facilitar o
estudo ou seja analise de estruturas e pórticos com uma eficiência muito alta.
BIBLIOGRAFIA
Elaborado apenas em função do material dado pelo professor de estabilidade
Softwares utilizados
Autodesk Inventor profissional 2009 e 2013
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Cosmo designerstar 3.0
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