FATEC
FACULDADE DE TECNOLOGIA
NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A
DISCIPLINA CLCULO I
PROF. Dr. FTIMA AHMAD RABAH ABIDO
Gara - SP
1 Semestre / 2011
Apostila de Clculo I FATEC
1
Prof Dr. Ftima Ahmad Rabah Abido
EMENTA
Matemtica Elementar
Limite e Continuidade
Derivada
OBJETIVO
Raciocinar lgica e organizadamente;
Aplicar com clareza e segurana os conhecimentos adquiridos;
O aluno dever ser capaz de construir grficos de funes reais de uma varivel real, calcular limites e derivadas;
Utilizar estes conhecimentos em outras situaes que surgiro a longo de sua atividade acadmica.
BIBLIOGRAFIA
BOULOS, Paulo. Pr-Clculo. Makron Books - SP 1999.
COELHO, Flvio. Curso bsico de Clculo. So Paulo: Saraiva, 2005.
EDWARDS, Jr.,C. & Penney,D. Clculo com Geometria Analtica. Vol. 1 Rio de Janeiro LTC Editora, 1999.
FLEMMING, Diva Marlia - Clculo A - Makron Books - SP 1999.
HOFFMANN, Laurence. Clculo - Vol. 1 LTC, 1990.LEITHOLD. Louis - O Clculo com Geometria Analtica Vol.1 Ed. Harper & Row do Brasil Ltda-SP
SILVA, Sebastio Medeiros. Matemtica bsica para cursos superiores. So Paulo: Atlas, 2001.
SIMMONS, George. Clculo com Geometria Analtica. Vol.1 So Paulo Mcgraw-Hill 1987.
SWOKOWSHI. Clculo com geometria analtica. So Paulo: Editora Makron Books.
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REVISO
1. Conjuntos Numricos
1.1 Nmeros Naturais 1.2 Nmeros Inteiros 1.3 Nmeros Racionais 1.4 Nmeros Irracionais 1.5 Nmeros Reais
2. Nmeros reais resumo operacional
2.1 Clculo do valor de expresses numricas
2.2 Potenciao 2.2.1 Potncia de expoente inteiro
2.2.2 Potncia de expoente racional
2.3 Racionalizao
3. Valor numrico de expresses algbricas
4. Operaes com expresses algbricas
4.1 Adio, Subtrao, Multiplicao e Diviso de expresses Literais
4.2 Produtos Notveis
4.3 Fatorao
4.4 Simplificao
4.5 Identidades envolvendo Diviso de Polinmio por Polinmio
5. Equaes do 1 grau
6. Inequaes do 1 grau
7. Equaes do 2 grau
7.1 Equaes incompletas
7.2 Equaes completas
8. Sinal do trinmio do 2 grau
9. Inequaes do 2 grau
10. Funes
10.1 Definio
10.2 Domnio, Imagem e Contradomnio
10.3 Tipos de Funes
10.3.1 Funo Constante
10.3.1.1 Grfico de uma Funo Constante
10.3.2 Funo do 1 Grau
10.3.2.1 Grfico de uma Funo do 1 Grau
10.3.3 Funo do 2 Grau
10.3.3.1 Grfico de uma Funo do 2 Grau
10.3.3.2 Zeros da Funo do 2 Grau
10.3.3.3 Vrtice da Parbola
10.3.3.4 Coordenadas do Vrtice
10.3.4 Funo Modular
10.3.5 Funo Exponencial
10.3.6 Funo Logartmica
10.3.7 Funes Trigonomtricas
10.3.8 Funes Trigonomtricas Inversa
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1. Conjuntos Numricos
1.1 Nmeros Naturais
Os nmeros naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fiscalizar os seus
bens. Os smbolos que representam os nmeros naturais so chamados de algarismos.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Nmeros Inteiros
Os nmeros inteiros so todos os nmeros naturais e tambm os seus opostos.
Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
1.2 Nmeros Racionais
Os nmeros racionais so aqueles que podem ser obtidos como quociente de dois
nmeros inteiros.
Q = {p/q , onde p, q Z e q 0}
1.3 Nmeros Irracionais
Os nmeros irracionais so aqueles que no podem ser obtidos como o quociente de dois
nmeros inteiros.
Exemplo: So nmeros irracionais:
3,1415929...
2 1,4142135...
3 1,7320508...
e 2,7182818...
1.4 Nmeros Reais
O conjunto dos nmeros reais definido como a unio entre os conjuntos dos nmeros
irracionais e racionais.
OBSERVAO - Mdulo de um Nmero
O mdulo, ou valor absoluto, de um nmero real qualquer a distncia deste nmero
origem (zero). O mdulo de um nmero real x pode ser definido tambm por:
0 x se ,
0 x se ,
x
xx
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Exemplos
(a) 101010 (b) 777
2. Nmeros Reais Resumo Operacional
2.1 Clculo do valor de expresses numricas
2.1.1 Ordem de operao
(1) Potenciao e Radiciao;
(2) Multiplicao e Diviso; e
(3) Adio e Subtrao
Seguindo a ordem de operao da esquerda para direita, e sempre eliminando primeiro
parnteses ( ); depois colchetes [ ] e finalmente as chaves { }.
OBS (Nmeros Racionais):
- Adio e Subtrao: Achar o mmc (divide o mmc encontrado pelo denominador e o resultado,
multiplicar pelo numerador);
Ex: 20
23
20
158
4
3
5
2
- Multiplicao: multiplicar numerador com numerador, e denominador com denominador;
Ex: 14
3
28
6
47
32
4
3
7
2
- Diviso: mantm a primeira frao e multiplica pelo inverso da segunda.
Ex: 20
21
45
73
4
7
5
3
7
4
5
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Exerccios
Calcular o valor das seguintes expresses numricas dando a resposta na forma de frao e
decimal.
28
372:
7
10:
49
5
8
9.
3
2 )1
2
3:
4
1
5
1:
10
11 )2
7
1:
2
1.
2
5
2
7.
7
1
12
7:
4
1
3
1 )3
11
3
1-1 413- 121- 3 )4
517,0
34
1
8
5
3-1 4
125
5
2-3
2
1
7
4
)5
Respostas
1) 1 2) 3 3) 1 4) 414 5) 0,23
2.2 Potenciao
2.2.1 Potncia de expoente inteiro
Seja a um nmero real e m e n inteiros positivos. Ento:
1) a n = a. a. a. .a ( n vezes) 5) a
m a
n = a
m - n
2) a 0 = 1 6) (a
m )
n = a
m.n
3) a - n
= 1/ a n
, a 0 7) (a / b) m = a
m / b
m, b 0
4) a m . a
n = a
m + n 8) (a . b)
n = a
m . b
m, b 0
Exerccios
Calcular o valor das expresses:
1) 5 2 2) (-3)
3 3) (-3)
2 4) -3
2 5) 5
0
6) (2 3)
2 7) ((-1)
3)
2 8) - (-1)
4 9)
3
4
3
10)
2
2
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11) 4
7
2
2 12) 23 2.2 13) 3329 2.2:2
14) 22
2
5431
11
2
1
5
4
15)
2
3
2
1
6
1
3
1
6
11
2
RESPOSTAS
1) 25 2) - 27 3) 9 4) - 9 5) 1 6) 64 7) 1 8) -1 9) 27/64
10) 4/9 11) 8 12) 32 13) 1 14) 1069/1521 15) 3/5
2.2.2 Potncia de expoente racional
Se a um nmero real qualquer e m e n so inteiros positivos, definimos:
a) mnnm
aa quando n a existe; b) se a 0, nm
nm
aa /1
OBSERVAES IMPORTANTES:
- n a = p p n = a, onde
radical ndicen
raizp radicandoa
- Se n par e a negativo: an
positiva, n a no real (ex: 4 16 no existe raiz real)
- Se n mpar e a negativo: an
negativo, n a negativa (ex: 283 )
Exemplos
reais. nmeros dos conjunto no 25- existe no pois real, n um no 25
9/13/127/127/1275/125/125/125
2564646482)4(4
23
22332
32
21
21
44334332
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Exerccios
36 )1 3 64- )2 5
2
243
1- )3
4)
3
11
5
3:
5
31
64
49.
7
4 5)
20
102
3
32
23
4
36.32:84
6) 3:4:256:49.3322 23
Respostas
1) 6 2) - 4 3) 9 4) 5/2 5) 2 6) 1
2.3 Racionalizao
Racionalizar uma frao consiste em eliminar, atravs de operaes algbricas, o radical
ou os radicais do denominador.
Existem trs casos:
(1) a
aN
a
aN
a
a
a
N
a
N ...
2
(2) a
aN
a
aN
a
a
a
N
a
Nn xn
n n
n xn
n xn
n xn
n xn x
..
.
(3)
ba
baN
ba
baN
ba
ba
ba
N
ba
N
...
22
Exerccios
1. Racionalize:
(a) 2
5 (b)
12
22
(c)
25
4
(d )
35
32
2. Efetue o produto: 13
35.
3
53
.
3. Simplifique: 13
13
13
13
.
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Respostas
1 . (a) 2/25 (c) 3/25.4 (b) 2
(d) 315
2. 3/33.2
3. 4
3. Valor numrico de expresses algbricas
Exerccios
Em cada uma das expresses seguintes, substituir x pelo valor dado e calcular o valor da
correspondente expresso numrica.
1) y = x 2 2x + 2; x = - 2 1
3
2
1-x
1y )3
32
x
x; x = 2
2) y = x 2 2x + 2; x = 3/5
ab1
bay )4
; a = 2/3 e b = 4/5
Respostas
1) y = 10 2) y = 29/25 3) y = - 62 4) y = 22/7
4. Operaes com expresses algbricas
4.1 Adio, Subtrao, Multiplicao e Diviso de expresses literais.
Exerccios
1) Efetuar as operaes indicadas em cada um dos casos seguintes:
a) (3a - 2b + c ) - (- 6a b 2c) + (2a + 3b - c ) d)
xxx
4
121
5
2 32
b) a b.(2a + ab b) 22
34
yx6
y18x- )e
c)
2222
3
1
4
1103
4
1yxxyyxxy f) 2x
3y
4 : (4xy
3)
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2) Efetue as operaes indicadas, em que a.b.x.y 0:
2
5
3
43
52
22
xy4
ya7:
xy6
ba5.
ba10
y3x
Respostas
1 a) 11a + 2b + 2c
c) 22
4
39
12
35yx
e) 3xy 2)
ba7
x4
2
b) 2a4b + ab -ab d)
352
10
1
5
4 -
5
2xxx
f) 32x7y
10
4.2 Produtos notveis
So produtos que aparecem com muita freqncia na resoluo de equaes ou no
desenvolvimento de expresses.
Vejam alguns casos:
(1) (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a
2 + 2ab + b
2
Trinmio do Quadrado Perfeito de uma Soma
(2) (a - b)2 = (a - b).(a - b) a
2 - 2ab + b
2 Trinmio do Quadrado Perfeito de uma Diferena
(3) (a + b).(a - b) = a2 - b
2 Diferena de dois Quadrados
Exerccios
1) (x + 2)2 3) (x 1/2)
2 5) (3 + x) (3 x) 7) 5x.5x
2) (7x - 1)2 4)
21
2
x
x
6) (2x2 3) (2x
2 + 3) 8)
x2
x4.
x2
1
Respostas
1) x2 + 4x + 4 3) x
2 - x + 1/4 5) 9 x
2 7) x 25
2) 49x2 - 14x + 1 4) 2
2
x
1 1-
4
x
6) 4x4 9
8) 1
4.3 Fatorao (Expresses Algbricas)
(1) ax + bx = x. (a + b) Fator Comum
(2) ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) = (a + b). (x + y) Agrupamento
(3) x + Sx + P = (x + a).(x + b) Trinmio do 2 Grau
onde S e P representam, respectivamente a soma e o produto de nmeros a e b, ou seja S = a + b
e P = a.b
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Exerccios : Fatore.
1) 2x + 4y 5) 27x
4 3y
2 9) 4x
2 - 4xy + y
2
2) 6x + 12xz 10x4a 6) x
2 + 2x + 1 10) x
2 + 7x + 12
3) ax a 3x + 3 7) x2 - 8x + 16 11) x
2 - 6x + 8
4) 125x2 5 8) 9x
4 30x
2 + 25 12) x
2 + 2x - 8
Respostas
1) 2(x
+ 2y)
4) 5 (5x 1) (5x + 1) 7) (x - 4)2 10) (x + 3) (x + 4)
2) 2x.(3 + 6xz 5xa)
5) 3 (3x2 y) (3x
2 + y) 8) (3x
2 5)
2 11) (x 2) (x - 4)
3) (x 1).(a - 3) 6) (x + 1)2 9) (2x y)
2 12) (x 2) (x + 4)
4.4 Simplificao
Exerccios : Simplifique.
1) 2a3
ab2 4)
4x4x
4x2
2
7)
9x6x
6x5x2
2
2) x28
x4x 2
5)
25x
5x2
2
8)
232
1
1
1
1a
a
a
a
a
3) x93
x9x27 23
6)
9x
9x6x2
2
9)
4a
1a.
a2a
aa
aa
a2a2
2
2
2
2
2
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RESPOSTAS
1) a3
b2
4) 2x
2x
7)
3x
2x
2) 2
x
5) 5x
5x
8) - 2
3) 2x3
6) 3x
3x
9) 2a
2a
EXERCCIO EXTRA - Encontre o valor de x, onde A, B, C, E, M, O, e T so constantes:
BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM
.
.
4.5 Identidades envolvendo Diviso de Polinmio por Polinmio
Antes de iniciarmos a diviso de um polinmio por outro polinmio, daremos algumas
dicas importantes:
1) O polinmio dividendo deve ser colocado na forma geral e em ordem decrescente em relao
varivel, antes de iniciar a diviso.
2) O grau do polinmio dividendo dever ser maior ou igual ao grau do divisor.
3) A diviso termina quando o resto for zero (diviso exata), ou quando o resto apresentar grau
menor que o grau do divisor.
LEMBRETE:
Relao fundamental da diviso
Dividendo divisor Dividendo = quociente x divisor + resto
resto quociente
Exemplo: 13 4 13 = (3 x 4) + 1
1 3
Vamos mostrar, com exemplos, como se determina o quociente de um polinmio por
outro.
Observe a seqncia utilizada para dividir o polinmio (34x 5 + 6x 3 - 24x
2) pelo
polinmio (2x 4).
1 Passo Escrevemos o polinmio dividendo na ordem decrescente dos graus da varivel:
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6x 3 - 24x
2 + 34x 5 2x 4
2 Passo Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, obtendo,
assim, o primeiro termo do quociente:
6x 3 - 24x
2 + 34x 5 2x 4 6x
3 : 2x = 3x
2
3x2
3 Passo Multiplicamos o primeiro termo do quociente (3x2) pelo divisor (2x 4 ) e subtramos
esse produto do dividendo, obtendo, assim, o primeiro resto:
6x 3 - 24x
2 + 34x 5 2x 4 3x
2. (2x 4) = 6x
3 - 12x
2
- 6x 3 + 12x
2 3x
2
- 12x 2
+ 34x 5
4 Passo Dividimos, agora, o primeiro termo do resto (- 12x 2
) pelo primeiro termo do divisor
(2x), obtendo, com isso, o segundo termo do quociente:
6x 3 - 24x
2 + 34x 5 2x 4 (12x
2 ): (2x) = - 6x
- 6x 3 + 12x
2 3x
2 6x
- 12x 2 + 34x 5
5 Passo Multiplicamos o segundo termo do quociente (- 6x) pelo polinmio divisor (2x 4 ) e
subtramos esse produto do primeiro resto, obtendo, dessa forma, o segundo resto:
6x 3 - 24x
2 + 34x 5 2x 4 (- 6x) . (2x 4) = - 12x
2 - 24x
- 6x 3 + 12x
2 3x
2 6x
- 12x 2 + 34x 5
12x 2 - 24x .
10x 5
6 Passo Dividimos, agora, o segundo resto pelo divisor, procedendo da mesma maneira
utilizada no 4 e 5 passos:
6x 3 - 24x
2 + 34x 5 2x 4 (10x) : (2x) = 5
- 6x 3 + 12x
2 3x
2 6x + 5
- 12x 2 + 34x 5
12x 2 - 24x .
10x - 5
- 10x + 20
15
O processo vai se repetindo at que o grau do resto seja menor do divisor, ou esse resto
seja zero, e a a diviso exata.
No caso do nosso exemplo, o resto 15 grau zero (15x0), como o divisor 2x 4 tem
grau um (2x1 4), temos grau do resto < grau de divisor e, com isso, encerramos a diviso:
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Resposta: Quociente (q) = 3x2 6x + 5 e Resto (r) = 15
A relao fundamental da diviso utilizada para verificar se a diviso est correta.
D = q . d + r
No exemplo estudado, temos:
6x 3 - 24x
2 + 34x 5 = (3x
2 6x + 5) . (2x 4) + 15.
O processo de diviso exposto fica mais simples quando o divisor da forma (x a).
Nesse caso, usa-se um dispositivo prtico, conhecido como dispositivo de Briot-Ruffini, que
apresentamos atravs de um exemplo. Para dividir (x + 2x4 3x
2 3) por (x 3), dispomos o
dividendo em soma de parcelas de potncias decrescentes de x, e dispomos as expresses como
na diviso de nmeros, s que agora s escrevemos os coeficientes (os nmeros que multiplicam
as potncias de x). No caso, o dividendo se escreve (2x4 + 0x
3 3x
2 + x 3), os coeficientes
sendo 2, 0, - 3, 1 e 3. Dispomos os nmeros como segue:
2 0 - 3 1 - 3 3
A seguir, baixamos o primeiro coeficiente, 2, isto , escrevemos 2 abaixo do 2. Da
multiplicamos esse nmero pelo nmero na chave da diviso, isto , 3: 2.3 = 6. O nmero obtido
somado ao segundo coeficiente do dividendo: 6 + 0 = 0, e o resultado escrito abaixo desse
segundo coeficiente. 2.3 + 0 = 6 ____________________
2 0 - 3 1 - 3 3
2 6
__________________ 2.3
Agora, repetimos o procedimento, comeando pelo 6. Multiplicamos 6 pelo nmero da
chave 3, e somamos com 3, obtendo 15, o qual colocamos abaixo do prximo coeficiente do
dividendo, isto , abaixo do 3: 6.3 + (-3) = 15 _______________
2 0 - 3 1 - 3 3
2 6 15
_______________ 6.3
De novo: multiplicamos 15 por 3 e somamos com o coeficiente seguinte 1, para obter 46,
que colocamos abaixo desse coeficiente. 15.3 + 1 = 46
___________
2 0 - 3 1 - 3 3
2 6 15 46
____________ 15.3
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Finalmente, a ltima etapa: multiplicamos 46 por 3 e somamos com 3, obtendo 135,
que deve ser colocado abaixo do 3. O nmero 135 o resto. Veja como fica o dispositivo:
2 0 - 3 1 - 3 3
2 6 15 46 135
quociente: 2x 3 + 6x 2 + 15x + 46 resto
O quociente obtido atravs dos nmeros da segunda linha, exceto o ltimo, 135, que o
resto. Deve-se comear com uma potncia a menos que a do dividendo. Ento o quociente ,
conforme indicado acima, 2x 3 + 6x
2 + 15x + 46. Portanto,
2x4 3x
2 + x 3 = (x 3).(2x
3 + 6x
2 + 15x + 46) + 135
ou, se x 3,
2x4 3x
2 + x 3 = (2x
3 + 6x
2 + 15x + 46) + 135
x 3 x - 3
Exerccios
Usando o dispositivo prtico, descubra o quociente e o resto de cada diviso:
a) (x 5 1) por (x 1) e) (x 5 - 5x 3 + 5x + 1) por (x2 + 3x + 1)
b) (2x 3 + 3x 2 - 3x 2) por (x 1) f) (x 3 - x 2 + 5x + 6) por (x + 3)
c) (x 4 + x 2 + 1) por (x 1) g) (2 x 4 - 3x 3 + 16x 2 + 6x - 40) por (4x - 8)
d) (2x 3 - 9x2 - 3x + 1) por (x - 5x + 1) h) (x 3 - x 2 + 4x - 6) por (x - x + 3)
Respostas
a) q = x 4 + x
3 + x
2 + x + 1e r = 0 e) q = x
3 - 3x
2 + 3x - 1e r = 2
b) q = 2x2 + 5x + 2 e r = 0 f) q = x
2 - 4x + 17 e r = - 45
c) q = x2 + 2 e r = 3
g) q = 2
1x
2 -
4
3x + 5 e r = 0
d) q = 2x + 1 e r = 0
h) q = x e r = x - 6
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5. Equaes do 1 grau
toda equao do tipo ax + b = 0, com a IR* e b IR. Para determinar o conjunto
soluo (S) de uma equao do 1 grau, procedemos assim:
Forma Geral: ax = - b, onde a 0
Soluo: x = - b / a , ou seja, S =
a
b
Exemplos: Resolva as equaes.
1) (x + 1).(x - 1) 2.(x 1) = (x 1) - 3.(x + 1), para U = IR.
Soluo:
(x + 1).(x - 1) 2.(x 1) = (x 1) - 3.(x + 1) x - 1 2x + 2 = x - 2x + 1 3x - 3
3x = 1 3 + 1 - 2
3x = 3
x = 3/3 ou seja, x = - 1
Como -1 IR, ento S = { - 1}.
2) 12
x
3
1x2
4
1x
, para U = IR.
Soluo:
12
x
3
1x2
4
1x
mmc(4,3,12) = 12
12
x
12
)1x2.(4)1x.(3
3.(x - 1) 4.(2x 1) = x
3x - 3 8x + 4 = x
3x 8x - x = 3 4
- 6x = 1
x = 1/- 6 ou seja, x = 1/6
Como 1/6 IR, ento S = { 1/6}.
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3) 18x2
3
9x6x
4
9x
5222
, para U = IR - {- 3, 3}.
Soluo:
18x2
3
9x6x
4
9x
5222
Determinando o mmc dos denominadores, temos,
x - 9 = (x + 3).(x 3)
x - 6x + 9 = (x 3)
2x - 18 = 2.(x 9) = 2. (x + 3).(x 3)
mmc(x - 9, x - 6x + 9, 2x - 18)
Assim:
22 )3x).(3x(2
)3x(3
)3x).(3x(2
)3x.(2.4)3x.(2.5
10.(x - 3) 8.(x + 3) = 3.(x-3)
10x - 30 8x - 24 = 3x - 9
10x 8x 3x = 24 9 + 30
- x = 45 ou seja, x = - 45
Como -45 IR - {- 3, 3}, ento S = { - 45}.
Exerccios
1) Resolver cada uma das equaes seguintes:
a) 5(3x 1) 4.(2 4x) = 2.(x 4)
b) 2x + x.(x + 2) (x + 3).(x 3) = 2.(x + 1)
c) 3
2x
2
1x2
4
1
d) x6x6
x
1x
x2
6
5
x
1x2
2
, (x - 1 e x 0)
2) Um txi inicia uma corrida marcando R$ 4,00 no taxmetro. Sabendo que cada quilmetro
rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 52,00, calcule quantos quilmetros
foram percorridos.
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3) Determine o nmero cujo dobro subtrado de 20 unidades igual sua metade adicionada de
10 unidades.
4) Determine as dimenses de um retngulo, sabendo que seu permetro mede 90 m e que a
medida de um lado o dobro da medida do outro.
Respostas
1) a) 5/29 b) 7/2 c) 1/16 d) 6/5 2) 16km 3) 20
4) 15 e 30
6. Inequao do 1 grau
Chama-se de inequao do 1 grau a toda sentena aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b 0
ou ax + b < 0 ou ax + b 0, onde a IR* e b IR.
Exemplos
1) 2x 4 > 0 2x > 4 x > 4/2 x > 2, ou seja, S = {x IR x > 2}
2) - 5x - 10 0 - 5x 10 5x - 10 x - 2, ou seja, S = {x IR x - 2}
Exerccios
Resolver as inequaes seguintes:
1) 3x 6 < 0 3) 13
x2
5
1x2
2) x + 3 x + 3 4) 3
1x5
10
13x3
4
1x5
Respostas
1) {x IR x < 2} 2) {x IR x 0} 3) {x IR x > 2} 4) {x IR x < 1}
7. Equaes do 2 grau
toda equao do tipo ax2 + bx + c = 0, com a IR*, b IR e c IR.
As razes (solues) desta equao so obtidas a partir da frmula
a
bx
2
, com = ac4b2
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Conforme o valor do acb 42 , tm-se as seguintes possibilidades quanto natureza
das razes da equao ax2 + bx + c = 0:
> 0 Existem duas razes reais e que so distintas.
= 0 Existem duas razes reais e que so iguais.
< 0 Existem duas razes que so imaginrias.
Observaes:
As equaes incompletas que so da forma
ax2 + bx = 0
podem ser resolvidas por fatorao.
As equaes incompletas que so da forma
ax2 + c = 0
podem ser resolvidas isolando-se o x.
Propriedades das Razes
Soma das Razes a
bxxS 21
Produto das Razes a
cxxP 21.
Equao a partir das Razes 02 PSxx
Teorema da Decomposio )xx).(xx.(acbxax 212
Exemplos
1) 4x2 - 10x = 0 x.(4x 10) = 0
0104x
0x
104x
0x
5/2x
0x
2) 4x2 - 16 = 0 4x
2 = 16 x
2 = 16 / 4 x
2 = 4 x = 4 x = 2
3) x2 - 7x + 12 = 0
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12 c
-7b
1a
142 acb a2
bx
=
2
17
1.2
1)7(
32
1 -7x
42
17x
4) 13x
1
9x
4x2
1
1
3x
1
)3x).(3x(
4x
)3x).(3x(
)3x).(3x.(1)3x.(1
)3x).(3x(
4x
x 4 = x + 3 (x - 9)
x 4 = x + 3 x + 9
x = 3 + 9 + 4
x = 16, ou seja, x = 4.
Como esses valores pertencem ao conjunto dos nmeros reais e no anulam o
denominador, S = { - 4, 4}.
Exerccios:
1) Resolva as seguintes equaes do 2 grau:
a) x2 + 2x - 3 = 0 c) 5x
2 + 4x + 1 = 0 e)
2x1
21
1x
1
b) (x + 1)2 = 2.(x + 1) d) 8x
2 x =0 f)
1x
x5
2x2
12x
1x
32
2) A rea de um tringulo igual a 24 cm. Sabendo que as medidas da base e da altura desse
tringulo so respectivamente nmeros pares consecutivos, determine seus valores.
Respostas
1) a. {-3, 1} c. { } = e. { } =
2) base = 6 cm
altura = 8 cm
b. {-1, 1} d. {0, 1/8} f. x = 1/2; x = 6/5
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8. Sinal do trinmio do 2 grau
y = ax2 + bx + c
Se > 0, a equao tem duas razes reais distintas.
Se = 0, a equao tem duas razes reais e iguais.
Se < 0, a equao no tem razes reais.
Exemplos
1) y = x2 - 7x + 12
12 c
-7b
1a
acb 42 = 1 x =2
17
1.2
1)7(
32
1 -7x
42
17x
Como a > 0 temos: + +
3 4 x
2) y = - x2 + 7x - 10
10 c
7b
1a
acb 42 = 9 x =2
37
)1.(2
97
52-
3 -7-x
22-
37-x
Como a < 0 temos:
- + -
2 5 x
3) y = 4x2
0 c
0b
4a
acb 42 = 0 sinal (y) = sinal (a) para todo x 0.
Como a > 0 temos:
+ + 0 x
4) y = x2 + x + 1
1 c
1b
1a
acb 42 = - 3 sinal (y) = sinal (A)
Como a > 0 temos: + + + + + + + + + +
x
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Exerccios
Estude o sinal das seguintes equaes:
1) y = x2 5x + 6 3) y = 9x
2
2) y = - x2 + 6x - 9 4) y = 5 x
2 + 1
9. Inequaes do 2 grau
Chama-se inequao do 2 grau a toda sentena aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou
ax2 + bx + c 0, ou ax
2 + bx + c < 0 ou ax
2 + bx + c 0, com a IR* e b IR e c IR.
Resolver, em IR, uma inequao do 2 grau do tipo ax2 + bx + c > 0 (a 0)
determinar o conjunto de todos os valores da varivel x para os quais o grfico de f(x) = ax2 + bx
+ c se encontra acima do eixo x.
Resolva as seguintes inequaes do 2 grau:
1) x2 5x + 6 0 3) x
2 16 > 0
2) x2 - 2x - 15 0 4) x
2 < 2x 1
Respostas
1. S = { x IR / 2 x 3} 2. S = { x IR / x - 3 ou x 5}
3. S = { x IR / x < - 4 ou x > 4} 4. S = { } = vazio
10. Funes
10.1 Definio
Dados dois conjuntos A e B, chama-se funo f: A B a toda relao na qual, para todo
elemento de A, existe um nico correspondente em B.
f : A B
x y = f (x)
x
y
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10.2 Domnio, Imagem e Contradomnio
Sendo a funo f: A B, o conjunto B chamado de contradomnio da funo f, e o
conjunto formado pelos elementos de B, que esto relacionados atravs de f com elementos do
conjunto A, chamado conjunto imagem.
Exemplos f
A B
f: A B
Domnio: D(f) = A = {-1, -2, 1, 2, 3}
Imagem: Im(f) = {0, -1, -2, 3, 4}
Contradomnio: CD(f) = B = {0, -1, -2, 3, 4, 5, 8}
Exemplo: Seja D(f) = IR. A correspondncia x x2 + 4 define em IR a funo f tal que f(x) = x
2 + 4. Assim,
f (- 1) = (- 1)2 + 4 = 5; f(0) = (0)
2 + 4 = 4; f(2) = (2)
2 + 4 = 8.
Exerccios
1) Sendo f(x) = - x
2 + 3x 2 definida de IR em IR determine:
a) f(0) b) f(2) c) f(-1) d) f(2/3) e) f( 2 )
2) Dada a funo f de IR em IR definida por f(x) = x3 x, determine f(2) + f(-2).
Respostas
1) a) - 2
b) 0
c) - 6
d) - 4/9
e) - 4 + 3 2
2) 0
-1 - 2 1
2
3
0
- 1
- 2 5
3
4 8
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10.3 Tipos de Funes
10.3.1 Funo Constante
Uma funo f: IR IR denominada de funo constante quando definida por uma
sentena do tipo y = f(x) = k, onde k um nmero real.
Exemplo : f(x) = 3
10.3.1.1 Grfico de uma Funo Constante
O grfico de uma funo constante, y = f(x) = k, ser uma reta paralela ao eixo das
abscissas, ou seja, y
k f(x) = k
x
10.3.2 Funo do 1 Grau
Funo do 1 grau, ou funo afim, aquela que associa a todo nmero real x, um outro
real y, tal que y = f(x) = ax + b, onde a, b IR (a 0).
Exemplo : f(x) = 2x 5
10.3.2.1 Grfico de uma Funo do 1 Grau
O grfico de uma funo do 1 grau uma reta no paralela ao eixo das abscissas.
Graficamente, existem duas situaes a considerar:
- 1 Caso: Funo Crescente (a > 0)
y
f(x) = ax + b
x
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- 2 Caso: Funo Decrescente (a < 0)
y
f(x) = ax + b
x
Exemplo:
f(x) = 2x 7 (a = 2 > 0: crescente)
f(x) = - 4x + 1 (a = - 4 < 0: decrescente)
10.3.3 Funo do 2 Grau
Uma funo f: IR IR denominada de funo do 2 grau ou funo quadrtica, quando
associada a todo nmero real x, um outro nmero real y, tal que y = f(x) = ax2 + bx + c onde a, b
e c IR (a 0).
Exemplo : f(x) = 7x2 4x 1
10.3.3.1 Grfico de uma Funo do 2 Grau
O grfico de uma funo do 2 grau uma parbola no plano cartesiano.
Graficamente, existem duas situaes a considerar:
- 1 Caso: a > 0 (Concavidade voltada para cima)
y
f(x) = ax2 + bx + c
x
Exemplo: f(x) = 2x2 + 7x 6
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- 2 Caso: a < 0 (Concavidade voltada para baixo)
y
f(x) = ax2 + bx + c
x
Exemplo: f(x) = - x2 + 7x 5
10.3.3.2 Zeros da Funo do 2 Grau
So os valores da varivel x para os quais a funo se anula, ou seja, f(x) = ax2 + bx + c = 0.
Graficamente so os pontos de interseco da parbola com o eixo das abscissas.
Observao: A interseco da parbola de equao y = ax2 + bx + c com o eixo das ordenadas
o ponto de coordenadas (0, c).
10.3.3.3 Vrtice da Parbola
o ponto externo de uma funo do 2 grau da forma y = f(x) = ax2 + bx + c.
Se a concavidade voltada para cima, o vrtice representa um ponto de mnimo da
funo.
Se a concavidade voltada para baixo, o vrtice representa um ponto de mximo da
funo.
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10.3.3.4 Coordenadas do Vrtice
As coordenadas do vrtice da parbola obtidas atravs da funo do 2 grau
y = ax2 + bx + c (xv , yv ), onde
xv = - b / 2a e yv = - / 4a
a
b
4,
2aV
Exemplo: y = f(x) = - 2x2 + 6x 1
xv = - b / 2a xv = - 6 / 2.(- 2) xv = - 6 / - 4 xv = 3 / 2
e
yv = - / 4a yv = - (b2 4ac) / 4a yv = - [6
2 4.(- 2). (- 1)]/ 4. (- 2) yv = 7 /2
2
7,
2
3V
Observao:
O yv pode ser calculado a partir do valor do xv , ou seja, yv = f (xv ).
10.3.4 Funo Modular
A funo f definida em IR e dada por y = x recebe o nome de funo valor absoluto
ou funo mdulo. Considerando que
0 x se ,
0 x se ,
x
xx
resulta que o grfico de y = x formado por duas semi-retas que partem da origem, conforme
a figura seguinte.
y
x
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Exerccios
Representar graficamente as seguintes funes:
a) y = 3 b) y = 3x + 1 c) y = - 3x + 2
d) y = x e) y = 1x f) y = x2 - 2x + 1
g) y = - x2 + 6x 8 h) y = - 2x
3 + 4, x [0,2] i) y = x - 1
j) y =
0 x se x1
0 x se x
2
2
k) y =
2 x se 2
2 x 0 se x
0 x se 2x3
2
10.3.5 Funo Exponencial
A toda funo do tipo f(x) = ax ( a > 0, a 1) chamamos de funo exponencial.
Observao:
O grfico de uma funo exponencial crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
y y
1 1
x x
a > 1 0 < a < 1.
10.3.6 Funo Logartmica
A toda funo logartmica, definida de IR*
+ em IR dada por:
f(x) = log a x, a > 0 e a 1 af (x)
= x.
Observaes:
1) A funo logartmica , portanto, a inversa da funo exponencial.
2) Listemos as propriedades bsicas do logaritmo:
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Sendo a > 0, b > 0 e b 1, c > 0 e IR, ento:
P1) log b (a . c) = log b a + log b c P4) log b a = log c a / log c b (c 1)
P2) log b (a / c) = log b a - log b c P5) b log
ba = a
P3) log b (a) = .log b a
3) O grfico crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. y y
1 1
x x
a > 1 0 < a < 1.
10.3.7 Funes Trigonomtricas
Definio 1: Denominamos de circunferncia trigonomtrica a circunferncia de centro na
origem do plano cartesiano, de raio unitrio e cujos arcos tm origem no ponto A(1, 0), com
sentido anti-horrio positivo.
y
A(1,0) x
Definio 2: Considere na circunferncia trigonomtrica um arco de medida x, com origem em
A e extremamente em P. Ento, por definio:
a) seno de x a ordenada do ponto P b) cosseno de x a abscissa do ponto P c) tangente de x a ordenada do ponto T, interseco da reta OP com o eixo tangente
circunferncia pelo ponto A.
0
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y
T
P A x
Definio 3: Definimos as principais funes trigonomtricas da seguinte forma:
a) Funo seno: f : IR IR, f(x) = senx
b) Funo cosseno: f : IR IR, f(x) = cosx
c) Funo tangente: f : IR {/2 + h, h Z} IR, f(x) = tgx
As outras funes trigonomtricas so definidas pelas relaes
tgx
1
senx
cosx cotgx ,
cosx
1 secx ,
senx
1 cossecx
Exerccio Usando a calculadora cientfica, calcule:
a) sen 90 d) cos 90 e) tg 45
b) sen 0 e) cos 60 f) tg 0
c) sen 270 f) cos 120 g) tg 60
Respostas
a) 1 d) 0 g) 1
b) 0 e) 0,5 h) 0
0
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10.3.8 Funes Trigonomtricas Inversas
Definio: Define-se:
a) Funo Arco-seno: f : [-1,1] [- /2, /2 ], f(x) = arc senx
b) Funo Arco-cosseno: f : [-1,1] [ 0, ], f(x) = arc cosx
c) Funo Arco-tangente: f : IR [- /2, /2 ], f(x) = arctgx
Exerccio
Usando a calculadora cientfica, calcule:
a) arc sen 1 d) arc cos 0 h) arc tg 1
b) arc sen 0 e) arc cos (1/2) i) arc tg 0
c) arc sen ( - 1) f) arc cos ( - 1/2) j) arc tg 3
Respostas
a) x = 90 d) x = 90 g) x = 45
b) x = 0 e) x = 60 h) x = 0
c) x = - 90 ou x = 270 f) x = 120 ou x = 240 i) x = 60
FINAL DA REVISO!
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11. Introduo Diferenciao
11.1 Introduo
Enquanto os tpicos de lgebra, trigonometria e geometria so de importncia
fundamental para o matemtico e o tcnico, uma grande variedade de problemas tcnicos no
pode ser resolvida utilizando apenas estes conceitos de matemtica. Muitos problemas podem ser
resolvidos utilizando apenas mtodos do clculo. A partir do sculo dezessete, os cientistas
sentiram a necessidade de novas tcnicas matemticas. Queriam estudar o movimento de
projteis, o movimento da lua e dos planetas e o movimento da luz. Cientistas, como Isaac
Newton, comearam a desenvolver um novo ramo da Matemtica para resolver os problemas
que envolviam movimento. Este novo ramo da Matemtica tornou-se conhecido como o clculo.
Atualmente, o clculo originou um grande desenvolvimento da Matemtica. Enquanto o clculo
comeou com o estudo do movimento, a sua utilidade pode atualmente ser observada em muitas
variedades de reas tcnicas.
11.2 O Problema do Movimento
Resumidamente, o problema do movimento pode ser encarado como o problema da
determinao da velocidade e direo de um objeto mvel no espao, num dado instante. Voc
est familiarizado com a determinao da velocidade mdia de um objeto em movimento. Por
exemplo, se numa viagem voc dirigir 150km em 3 horas (h), ento, dividindo 150km por 3 h
determina que dirigiu em mdia 50km/h. Isto no lhe indica exatamente distncia percorrida 1
h e 32 minutos (min) aps ter comeado a viagem. Voc pode ter parado num sinal de trnsito ou
pode ter viajado a 55km/h.
Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos
descrever a distncia percorrida por um objeto como uma funo do tempo. Isto , em cada
ponto no tempo t podemos associar um nmero s representando a distncia percorrida pelo
objeto. Por exemplo, s = 2t + 1 uma funo que descreve o movimento de um objeto que se
move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Se t for medido em segundos (seg) e s em
metros (m), ento aps 2 seg, o objeto est em s = 2. 2 + 1 = 5 m ao longo da linha de
movimento. Trs segundos mais tarde, t = 2 + 3, o objeto moveu-se de s = 2 (2 + 3) + 1 = 2.5 + 1
= 11 m ao longo da linha de movimento.
t = 2 t = 5
0 5 11 x
A velocidade mdia vmd de um objeto em movimento a razo entre a distncia
percorrida por um objeto e o tempo gasto para percorrer essa distncia. No exemplo anterior, a
distncia percorrida pelo objeto 11m - 5m = 6m. Percorreu esta distncia em 3 seg. A
velocidade mdia ao longo deste perodo de tempo , ento,
segmseg
mvmd /2
3
6 .
Neste ponto vantajoso introduzir um novo smbolo matemtico. Quando quisermos
indicar uma variao entre dois valores de uma varivel utilizaremos a letra grega . Nesta seo
t (ler delta t) representa a variao em tempo t e s (leia delta s) representa a variao em
distncia s. No exemplo anterior, t = 3 seg. Est a variao em tempo necessrio para o objeto
ir de 5m a 11m ao longo da linha de movimento. A variao em distncia para este intervalo de
Apostila de Clculo I FATEC
32
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tempo t = 3 seg s = 11m 5m = 6m. Utilizando esta notao podemos escrever agora
t
svmd
.
Relembrar da lgebra que uma funo um conjunto de pares ordenados, dois dos quais
no tem o mesmo primeiro elemento. Isto agora til para introduzir uma notao especial,
chamada notao funcional, para representar uma relao funcional. Por exemplo, a funo
y = x2 + 3 escrita f(x) = x
2 + 3 usando a notao funcional. O smbolo f(x), ler f de x,
utilizado para representar o nmero y que corresponde a um nmero x na relao funcional dada.
Isto , f(x) = y ou, como neste caso, f(x) = x2 + 3. A tabela embaixo apresenta f(x) para vrios
valores de x.
x f(x) = x
2 + 3
- 3 f (- 3) = (-3)2 + 3 = 12
0 f (0) = (0)2 + 3 = 3
1 f (1) = (1)2 + 3 = 4
2 f (2) = (2)2 + 3 = 7
h f (h) = (h)2 + 3 = h2 + 3
3t f (3t) = (3t)2 + 3 = 9t2 + 3
1 + x f (1 + x) = (1 + x)2 + 3 = 1 + 2x + (x)2 + 3 = 4 + 2x + (x)2
A utilizao do smbolo f(x) til j que podemos utilizar f(x) para representar o nmero
correspondente a x na relao funcional sem ter de determinar exatamente o nmero, como foi
feito na tabela anterior. Por exemplo, f(3) representa o nmero correspondente a x = 3 sem
nenhuma relao funcional dada. Por esta razo, f(x) muitas vezes chamado o valor da funo
em x.
Exemplo 1. Escrever em notao funcional que relaciona cada nmero x com seu cubo menos 2.
A relao y = x3 2. Utilizando o smbolo f para representar esta funo, escrevemos:
f (x) = x3 2.
Exemplo 2. Determinar o valor da funo f(x) = x3 2 para x = - 2 e para x = 2 + x.
f(- 2) = (- 2)3 2 = - 8 2 = - 10
e
f(2 + x.) = (2 + x)3 2 = (2)
3 + 3. (2)
2.x + 3.2. (x )
2 + (x )
3 - 2
= 8 + 12.x + 6. (x )2 + (x )
3 - 2
= 6 + 12.x + 6. (x )2 + (x )
3
Exemplo 3. Calcular a funo g(x) = 32 x para x =3.
g(3) = 393633.2 .
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Exemplo 4. Calcular a funo f(x) = x2 5 para x = h + 2.
f(h + 2) = (h + 2)2 5
= (h)2 + 2. h.2 + (2)
2 5
= h2 + 4.h + 4 5
= h2 + 4h 1
No primeiro exemplo consideramos um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta de
acordo com a funo s = 2t + 1. Podemos agora escrever isto em notao funcional:
s(t) = 2t + 1.
Relembramos que s a variao na distncia s e t a variao no tempo t. Ento,
utilizando nossa notao funcional,
s = s(2 + t) s(2)
= s(2 + 3) s(2)
= s(5) s(2)
= [ 2.5 + 1] [ 2.2 + 1]
= 11 5
= 6m.
Portanto, a velocidade mdia durante este perodo de tempo
segmseg
m
t
sts
t
svmd /2
3
6)2()2(
como determinamos anteriormente.
Em geral, a distncia percorrida por um objeto do tempo t ao tempo t + t dada em
notao funcional por
s = s(t + t) s(t).
A velocidade mdia deste objeto ao longo da variao em tempo t ento
t
tstts
t
svmd
)()(.
Exemplo 5. Dado que s = t 2 1 descreve o movimento de um objeto movendo-se ao longo de
uma reta, onde s medido em ps; (a) determinar s e vmd ; (b) determinar v md aps 3 seg de viagem; e (c) determinar v md de 4 seg de viagem at 7 seg de viagem.
(a)
s = s(t + t) s(t)
= [(t + t)2 1] - (t
2 1)
= [t2 + 2.t.(t) + (t)
2 1] - t
2 + 1
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= t2 + 2.t.(t) + (t)
2 1 - t
2 + 1
= 2.t.(t) + (t)2
)(.2
)](.2.[
)().(.2 2
tt
t
ttt
t
ttt
t
svmd
(b) t = 3 seg, assim de (a) temos:
./)32(
.2
segpst
ttvmd
(c) O tempo no qual comeamos a medir a distncia percorrida s t = 4s. Portanto,
t = 7 4 = 3 seg.
De (a) temos
./11
34.2
.2
segps
ttvmd
Voc deve agora verificar que este o mesmo nmero que obteramos calculando:
gasto tempo
percorrida distncia
3
)4()34(
ssvmd
Do exemplo 5 vemos que para calcular v md = (s/t) precisamos saber o tempo t no qual
comeamos a medir a velocidade v md assim como a variao em tempo t. Notar que ambos, t
e t, podem tomar valores negativos. Se considerarmos t = -1, ento s(t + (-1)) representa a
posio do objeto 1 segundo antes de alcanar a posio s(t).
Notar tambm que a utilizao da notao funcional, como a do prprio conceito de
funo, sero largamente, enfatizadas na matria em questo. O desenvolvimento do clculo
depende amplamente deste conceito.
11.3 Velocidade Instantnea
Podemos agora comear a resolver o problema da determinao das velocidades
instantneas. Considerar o movimento de um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta e
descrita por s(t) = 3t2 + 1, com s medido em ps. Tentaremos agora determinar a velocidade
instantnea exatamente aps 2 seg de percurso.
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tempo em variao
distncia em variao
t
stsvmd
)2()2(
t
123.1t23.22
t
t3.t12.2
t312t
]..t3.[12
Portanto, por exemplo, com uma variao em tempo t = 4 seg, a velocidade mdia
12 + 3. (4) = 24 ps/ seg. Faamos agora uma tabela de vmd para diferentes valores de t :
t v md
4,0 24,0
2,0 18,0
1,0 15,0
0,5 13,5
0,1 12,3
0,001 12,003
- 0,001 11,997
- 0,5 10,5
- 2,0 6,0
Por esta tabela podemos observar que, quanto mais t se aproxima de 0, mais perto v md
est de 12 ps/seg. medida que diminuirmos o intervalo de tempo deveremos esperar que a
velocidade mdia se aproxime mais da velocidade instantnea do objeto em 2 seg. Isto ,
v md = 12,3 ps/seg aps 0,1 seg de percurso (aps a referncia de 2 seg) uma melhor
aproximao, ento v md = 24,0 ps/seg aps 4 seg de percurso (aps a referncia de 2 seg).
Observando esta tabela somos ento levados a acreditar que a velocidade instantnea no tempo
t = 2 seg deve ser 12 ps/seg. Este o processo que usaremos para resolver o problema do
movimento.
Para determinar a velocidade instantnea de um objeto em movimento num dado tempo t:
1. Determinar
t
s
t
s(t)t)s(tvmd
onde s(t) descreve o movimento do objeto como uma funo do tempo.
2. Observar a que nmero se houver algum, se aproxima v md em valor quando os valores
de t se aproximam de 0 (zero). Se voc for capaz de determinar tal nmero, poder
chamar-lhe a velocidade instantnea v.
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Exemplo 1. Determinar a velocidade instantnea de um objeto que se move de acordo com
s(t) = 5t2 4 com t = 3 seg.
Passo 1.
t
stsvmd
)3()3(
t
435.4t35.22
t
t5.t30.2
t530t
t]t5.[30
Passo 2. Vemos que medida que t se aproxima (fica perto) de 0, v md se aproxima de 30.
Conclumos que
v = 30 ps/ seg.
Nota: Tenta-se, para simplificar, substituir t = 0 por v md. Isto seria uma tentativa para calcular
uma velocidade mdia durante uma variao de tempo de 0 seg. Isto nos d o intervalo de tempo
nulo durante o qual podemos fazer a mdia! Seramos tentados a dividir por zero, o que
indefinido.
!!!!!!!!0
0
0
)3()03(
ss
Como no Exemplo 1, devemos encontrar uma maneira para simplificar a expresso de
vmd para que t no permanea no denominador. S ento podemos comear a ver a qual
nmero v md tende quando t tende para 0.
Exemplo 2. Determinar v em t = 2 quando s(t) = 1/ t.
Passo 1.
)2(2
1
t
)2(2
t
)2(2
)2(2
)2()2(
t
t
t
t
t
t
stsvmd
Passo 2. medida que t tende para 0, v md tende para 1/ 4. Assim v = - 1/ 4.
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11.4 Limite
O processo que desenvolvemos para resolver o problema do movimento foi
considerado como sendo de grande utilidade em outras aplicaes. tcnica utilizada foi dado o
nome de o processo limite.
Dada qualquer funo, podemos observar se os valores funcionais tendem para algum
nmero quando o valor da varivel tende para um nmero especfico.
Exemplo 1. Consideremos f (x) = x2 3x + 2. Para que nmero se houver algum, tende
f (x) quando x tende para 1?
Como x2 tende para (-1)
2 = 1 quando x tende para 1 e 3x tende para (- 3) . (- 1) = 3
quando x tende para 1, conclumos que f (x) = x2 3x + 2 tende para 1 + 3 + 2 = 6 quando x
tende para 1.
Os matemticos utilizam smbolos para descrever este processo limite mais
resumidamente. O smbolo significa tender; portanto, x tende para 1. Dever escrever-
se x - 1.
Se f(x) L quando x a, ento L chamado o limite da funo quando x a. Este
processo escrito como
Lxfax
)(lim
e l-se o limite de f de x quando x tende para a igual a L. A expresso no Exemplo 1 deveria
ser escrita 623lim 21
xxx
.
O limite descreve o comportamento de uma funo perto de um ponto, no no ponto.
Exemplo 2. Determinar .3
9lim
2
3
x
x
x
Quando x 3, o denominador tende para 0. No podemos dividir por zero. No entanto,
).3(3
)3).(3(
3
92
x
x
xx
x
x
No processo limite no estamos preocupados com o que acontece quando x = 3, mas
apenas o que acontece quando x 3. Quando x 3, x + 3 6. Portanto
.6)3(lim3
9lim
3
2
3
x
x
x
xx
Notar que no Exemplo 2 podemos ainda perguntar qual o limite de f(x) = 3
92
x
x quando
x 3 mesmo que a funo no seja definida para x = 3. No entanto, veremos agora que nem
sempre existem limites.
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Exemplo 3. Determinar .5lim0
xx
Como no podemos obter um nmero real quando calculamos a raiz quadrada de um
nmero negativo, a funo 5xf(x) no pode ser calculada para x inferior a 5. impossvel
ento observar os valores de 5x quando x toma valores perto de 0 (porque a quantidade
x 5 ser negativa).
Conclumos que 5lim0
xx
no existe.
Algumas vezes uma funo tende para um limitado nmero L quando x ; isto , a
funo tende para L quando x no tem limite.
Exemplo 4. Determinar .1
lim
xx
Como o denominador x , a funo (1/x) tende para 0. Portanto,
.01
lim
xx
Exemplo 5. Determinar .37
2lim
2
2
x
xx
x
Como x , tanto o numerador como o denominador tende separadamente para . No
entanto, se dividirmos o numerador e o denominador pela maior potncia de x no denominador,
x2, teremos
2
37
12
x
x
.7
2
07
02
37
12
lim37
2lim
2
2
2
x
x
x
xx
xx
Nota:
xquandox
ex
03
01
2.
OBS: A determinao da velocidade instantnea uma aplicao do processo limite.
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Exemplo 6. Determinar a velocidade instantnea v para t = 3 quando s(t) = t - 7.
Podemos considerar a velocidade mdia vmd como funo de t:
t
stsvmd
)3()3(
Portanto,
t
stsv
t
)3()3(lim
0
t
797)t()t.(69lim
2
0t
t
)t()t.(6lim
2
0t
t
t6.tlim
0t
t6lim0t
= 6.
NOTA:
1. ) Avalie o comportamento da funo
3 x se 1, x
3 x se ,3)(
xxf nas proximidades de trs.
Note que esta funo tem um comportamento diferente em torno do ponto x = 3. Para descobrir o
que acontece neste ponto, consideramos valores para x cada vez mais prximos de trs, mas, menores que
trs ou a sua esquerda e tambm valores de x cada vez mais prximos de trs, mas maiores que trs ou a sua direita, como exibido na tabela abaixo.
Valores menores que 3 ou a esquerda de 3 Valores maiores que 3 ou a direita de 3
Valores
de x
0
1
2
2,9
2,99
2,999
3,001
3,01
3,1
4
5
6
Valores
de f(x)
1
2
3
3,9
3,99
3,999
6,001
6,01
6,1
7
8
9
A tabela mostra que quando x se aproxima de trs pela esquerda, mas no assume o valor
trs, a funo se aproxima de 4. Afirmamos, ento, que se x tende a trs pela esquerda a funo
tende para 4. Ou ainda, que o limite da funo 4 quando x tende a trs pela esquerda.
Quando x se aproxima de trs pela direta, mas no assume o valor trs, a funo se
aproxima de 6. Afirmamos, ento, que se x tende a trs pela direita a funo tende para 6. Ou
ainda, que o limite da funo 6 quando x tende a trs pela direita.
Como o limite esquerda diferente do limite direita, dizemos que esta funo no tem
limite no ponto trs. Possui apenas limites laterais.
Usando a linguagem matemtica escrevemos:
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xflim xflimxflim
xflimou xfx
xflimou xfx
xxx
x
x
333
3
3
663
443
Concluso: Uma funo s ter limite no ponto c se os limites laterais em torno deste ponto
forem iguais.
xflim xflimxflimcxcxcx
2. ) Avalie o comportamento da funo 23
1)(
xxf nas proximidades de trs.
Consideramos valores de x cada vez mais prximos de trs pela esquerda e tambm pela direita.
Em ambos os casos notamos que o valor que a funo assume tem uma ordem de grandeza muito elevada, como mostra a tabela abaixo. Quando isto ocorre dizemos que a funo tende para o infinito.
Valores menores que 3 Valores maiores que 3
ou a esquerda de 3 ou a direita de 3
x
2
2,9
2,99
2,999
3,001
3,01
3,1
4
y
1
100
10.000
1.000.000
1.000.000
10.000
100
1
Neste caso o limite da funo infinito quando x tende para trs.
Usando a linguagem matemtica, escrevemos:
xflimouxfxx 3
3
Concluso: Uma funo tem um limite infinito quando a sua imagem assume valores cuja
ordem de grandeza elevada, quando x tende para c.
xflimcx
Nessa mesma funo fcil perceber que se os valores de x aumentam, assumindo
valores maiores que trs, o valor da funo se aproxima de zero. Deste modo, os valores de x
assumem valores que possuem ordem de grandeza elevada e, portanto, tende para infinito. Tem-
se, ento, um limite no infinito.
Usando a linguagem matemtica, escrevemos:
00
xflimouxfxx
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Concluso: Uma funo tem limite no infinito quando a varivel do seu domnio tende para
infinito enquanto a imagem da funo tende para L.
Lxflimx
NOTA:
(i) Nessa teoria devemos entender, sempre, que a varivel x tende para um valor c, mas nuca
igual a c e a imagem da funo tende para L, mas nunca igual a L.
(ii) H tambm os casos de limites infinitos no infinito.
(iii) O limite de uma funo num ponto c do seu domnio nico.
11.5 Frmulas do Limite
Pode ser demonstrado que o processo limite obedece s seguintes regras:
A. xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
Exemplo 1. 36927limlimlim 23
3
3
23
3
xxxx
xxx.
B. constante uma onde ,lim..lim kxfkxfkaxax
Exemplo 2. .48)4.(12lim.12.12lim 22
2
2
xx
xx
C. constante uma onde ,lim kkkax
Exemplo 3. 8lim2x
= 8.
Nota No importa qual a tendncia de x em f(x) = 8; portanto, f(x) no s tende para 8 como, neste caso, mesmo 8.
D. xgxfxgxfaxaxax
limlimlim
Exemplo 4. .1829)1(limlim1lim3
2
3
2
3
xxxx
xxx
E.
0lim que desde ,
lim
limlim
xg
xg
xf
xg
xf
axax
ax
ax
Exemplo 5. .13
3
)2(lim
4lim
2
4lim
1
2
12
1
x
x
x
x
x
x
x
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EXERCCIO: Determinar cada limite.
)5(lim1 22
xxx
)173(lim2 21
xxx
)252(lim3 231
xxx
)43(lim4 232
xxxx
1
)1(lim5
2
1
x
x
x
3)9(
lim62
3
x
x
x
32
)94(lim7
2
2/3
x
x
x
43)169(
lim82
3/4
x
x
x
32lim91
xx
33lim104
xx
xx
4lim116
12lim121
xx
xx 2
1lim13
2
1lim14
xx
)1184(
)253(lim15
2
2
xx
xx
x
)4(
)1327(lim16
23
3
xx
xx
x
)(lim17 22
xxx
)(lim18 233
xxx
)21004(lim19 21
xxx
)853(lim20 21
xxx
4.3lim211
xxx
3.12lim224
xxx
)32).(13(lim23 2422
xxxxx
)6).(105(lim24 2322
xxxxxx
1
23lim25
2
2
2
x
xx
x
xx
xx
x 2
54lim26
2
2
3
7
49lim27
2
7
x
x
x
2
4lim28
2
2
x
x
x
52
254lim29
2
2/5
x
x
x
43
169lim30
2
3/4
x
x
x
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)2(
5).13(lim31
2
3
x
xxx
x
)3(
3).5(lim32
2
2
x
xxx
x
)1(
)462(lim33
2
2
1
x
xx
x
)1(
)132(lim34
2
1
x
xx
x
)633(
)1(lim35
2
2
1
xx
x
x
)44(
)134(lim36
23
3
2/1 xxx
xx
x
x
x
x
5325lim37
0
4
82lim38
2
4
x
xx
x
x
x
x
51
53lim39
4
x
x
x
11lim40
0
Respostas
1) 6 6) 6 11) no existe 16) 7 / 4 21) - 12 26) 2 /15 31) 152 36) 3
2) 3 7) 0 12) no existe 17) 6 22) 9 27) 14 32) 15 37) 3 / 10
3) 1 8) 0 13) 0 18) 36 23) 11 28) 4 33) 1 38) 1
4) 2 9) 1 14) 0 19) 102 24) 120 29) 10 34) 1 39) 1 / 3
5) 0 10) 3 15) 20) 10 25) 12 / 5 30) 8 35) 2 / 9 40) 1 / 2
Nos exerccios de 41 a 44, trace um esboo do grfico e encontre o limite indicado se ele existir;
se o limite no existir, d a razo.
41)
2xsex3
2xse3x)x(f )()()()()()( limlimlim
222
xfcxfbxfaxxx
42)
3xsex10
3xse1x2)x(f )()()()()()( limlimlim
333
xfcxfbxfaxxx
43)
2xsex28
2xsex)x(f
2
)()()()()()( limlimlim222
xfcxfbxfaxxx
44)
1xsex2
1xsex4)x(f
2
2
)()()()()()( limlimlim111
xfcxfbxfaxxx
Respostas
41) no existe 42) 7 43) 4 44) 3
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11.6 A Inclinao de uma Tangente a uma Curva
O processo limite no apenas aplicado ao problema do movimento. Veremos agora a
sua aplicao num problema geomtrico.
Como na figura embaixo, consideraremos que a curva o grfico de uma dada funo
y = f(x). Pretendemos determinar a inclinao da tangente mtan no ponto P com coordenadas
(x, f(x)).
Como na figura acima, podemos determinar a inclinao de uma reta passando por P e
qualquer outro ponto Q da curva (a reta secante). Podemos observar as inclinaes destas retas
secantes quando escolhemos pontos Q cada vez mais prximos do ponto P. medida que Q se
aproxima de P, os valores das inclinaes destas retas secantes ficaro cada vez mais prximos
daquele da inclinao da reta tangente mtan. Podemos explicar este processo em termos das
coordenadas de P e Q como na figura a seguir.
Nesta figura y = f (x + x) f(x).
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medida que escolhemos valores de x mais prximos de 0, o ponto Q aproxima-se de P
ao longo da curva. Deste modo, a inclinao da reta secante aproxima-se de mtan, que a
inclinao da reta tangente. A inclinao da reta secante que passa por P e Q dada por:
x
y
x
xfxxf
xxx
xfxxf
portanto,
xxx
xfxxf
x
ym
xx
00tan limlim
Exemplo 01. Determinar a inclinao da reta tangente curva y = x + 3 em (1,4).
22lim
2lim
2lim
]31[]31[lim
lim
0
0
2
0
22
0
0tan
x
x
xx
x
xx
x
x
x
ym
x
x
x
x
x
Podemos ver agora que o processo usado para resolver o problema geomtrico o mesmo
que o usado para o problema do movimento. Este processo, o limite, o fundamento do clculo.
Exemplo 02. Determinar a equao da tangente curva y = 2x - 5 em (2,3).
Passo 1 : Determinar mtan:
.828lim
28lim
]522[]522[lim
lim
0
0
22
0
0tan
x
x
xx
x
x
x
ym
x
x
x
x
Passo 2 : Determinar a equao da reta:
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Usando a frmula do ponto-inclinao temos:
y y1 = m.(x x1)
y 3 = 8.(x 2)
y = 8x 13.
RESUMO: Definimos o coeficiente angular ou inclinao de uma curva como o limite dos
coeficientes angulares das secantes. Esse limite, chamado derivada, mede a taxa de variao de
uma funo e um dos conceitos mais importantes de clculo. As derivadas so muito usadas em
engenharia, cincia, economia, medicina e cincia da computao para calcular a velocidade e a
acelerao, para explicar o funcionamento de mquinas, para estimar a diminuio do nvel da
gua quando ela bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqncias de erros
cometidos durante medies. Obter derivadas calculando limites pode ser demorado e difcil.
Assim sendo, desenvolveremos tcnicas para calcular derivadas mais facilmente.
Definies:
O coeficiente angular da curva y = f(x) em um ponto P(x0, f(x0)) o nmero
x
xfxxfm
x
00
0lim . (desde que o limite exista)
A reta tangente ao grfico de f em P a reta que passa por P e tem esse coeficiente
angular. Assim sendo ela dada por:
y = y0 + m(x x0)
Como achar a Tangente Curva y = f(x) em (x0, y0).
1. Calcule f(x0) e f(x0 + x).
2. Calcule o coeficiente angular:
x
xfxxfm
x
00
0lim .
3. Se o limite existe, ento determine a reta tangente quando: y = y0 + m(x x0).
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EXERCCIOS
(1.) Determinar a equao da tangente curva dada no ponto dado.
a) y = 2x - 3; (-2, 5) (Resp.: y = - 8x 11)
b) y = 5x - 3x + 2; (-1, 10) (Resp.: y = - 13x 3)
c) y = 4x - 7x + 5; (3, 20) (Resp.: y = 17x - 31)
d) y = 2x + 4x 7; (-2, -7) (Resp.: y = - 4x 15)
(2) Determine uma equao para a tangente curva nos pontos dados. Esboce a curva e a
tangente juntas.
a.) y = 4 x2, P(-1, 3) (Resp.: y = 2x + 5)
b.) y = 2x, P(1, 2) (Resp.: y = x + 1)
c.) y = x3, P(-2, -8) (Resp.: y = 12x + 16)
d.) y = 2x2 + 3, P(2, f(2)) (Resp.: y = 8x 5)
Se duas retas so paralelas, seja (1) ambas perpendiculares ao eixo x ou (2) ambas
com a mesma inclinao, ou seja, m1 = m2.
Por outro lado, se duas retas so perpendiculares, ento, seja (1) uma reta vertical com
equao x = a e a outra horizontal com equao y = b ou (2) nenhuma sendo vertical e a
inclinao da reta sendo a recproca negativa da outra; isto , se as equaes das retas forem:
L1: y = m1x + b1 e L2: y = m2x + b2
ento m1= (-1/m2)
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Exerccios:
1.) Determinar a equao da reta que satisfaz cada uma das seguintes condies.
a.) Passa por (-1, 5) e paralela a 2x + y + 13 = 0. (Resp.: y = 2x + 7)
b.) Passa por (2, -2) e perpendicular a 3x 2y - 14 = 0. (Resp.: y = -2x/3 2/3)
c.) Passa por (-7, 4) e perpendicular a 5y = x. (Resp.: y = - 5x 31)
d.) Passa por (2, -10) e paralela a 2x + 3y 7 = 0. (Resp.: y = -2x/3 26/3)
2.) Encontrar a equao da reta tangente curva y = x , que seja paralela reta 8x 4y + 1 = 0.
(Resp.: y = 2x + 1/8)
3.) Encontrar a equao da reta normal (ou perpendicular) curva y = x2 no ponto P(2, 4)
(Resp.: y = -1x/4 + 9/2)
A derivada de uma funo f(x) em relao varivel x a funo f cujo valor em x
x
xfxxfxf
x
0
' lim
desde que o limite exista.
A derivada de uma funo f(x) no ponto x0, denotado por f (x0), definida pelo limite:
x
xfxxfxf
x
00
00
' lim (desde que o limite exista)
OBS: Como vimos anteriormente, este limite nos d a inclinao da reta tangente curva
y = f(x) no ponto (x0, f(x0)). Portanto a derivada da funo y = f(x) no ponto x0 representa a
inclinao da curva neste ponto.
Exerccios:
(1.) Calcule f(x) para a funo dada usando diretamente a definio.
a) f(x) = 2x2 + 3x + 1 b) f(x) =
x1
x1
c) f(x) = x3
(Resp.: f(x) = 4x + 3) (Resp.: f(x) = 2 / (1 x) ) (Resp.: f(x) = x32
1
)
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(2.) Determinar f(x0) para cada funo, usando a definio.
a) f(x) = 5x2 + 6x 1, x0 = 2. b) f(x) = x
2 + 1, x0 = 1.
( Resp.: f(2) = 26 ) ( Resp.: f(1) = 2 )
c) f(x) =3
2
x
x, x0 = x. d) f(x) = x , x0 = 9.
( Resp.: f(x) = 5 / (x + 3) ) ( Resp.: f(9) = 1 /6 )
The end!!!!!!!!!!
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