ESCUELA:
NOMBRES
v
LÍMITES Y SUS PROPIEDADES
FECHA:
Ing. Diana A. Torres G.
OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010
1
Ciencias de la Computación
I BimestreBIMESTRE
CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS
MÉTODOS GRÁFICO Y NÚMERICO
3
INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES
Dibujar la Gráfica de la función f dada por:
Con x <> 1 dibujar la gráfica con la tabla de valores.
Con x = 1 no lo podemos hacer. Para conseguir una idea del
comportamiento de la gráfica se usará valores de x que se aproximen a 1 por la izquierda y por la derecha.
1,1
1)(
3
xx
xxf
4
x se aproxima a 1 por laizquierda
x se aproxima a 1 por laderecha
x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25
f(x) 2.31 2.71 2.99 2.97 ? 3.003 3.03 3.31 3.81
f(x) se aproxima a 3 f(x) se aproxima a 3
3)(1
xflímx
5
Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L, cuando x se aproxima a c por la izquierda y por la derecha entonces:
cxLxf
)(lim
7
Ejemplo: Estimación numérica de un límite. Evaluar la función
en varios puntos cercanos a x = 0 y usar el resultado para estimar el límite.
11)( xxxf
8
x se aproxima a 0 por laizquierda
x se aproxima a 0 por laderecha
x -0.01 -0.001 -0.0001 0 0.0001 0.001 0.01
f(x) 1.9949 1.9950 1.9995 ? 2.00005 2.0005 2.00499
f(x) se aproxima a 2 f(x) se aproxima a 2
9
El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0
f no es definida en x = 0
11)( xxxf
2)(lim0
xfx
10
LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda. Demostrar que el límite no existe:
x
x
0xlim
Solución
0,1 xx
x0,1 x
x
x
11
• Independientemente de cuanto se aproxime x a 0, existirán valores tanto positivos como negativos que darán
f(x) = 1 y f(x)=-1
)0,( )0,(Los valores
negativos de x dan como
resultado |x|/x = -1.
Los valores positivos de x dan como resultado |
x|/x = 1.
Límite no existe
20x
1lim
x
12
LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento no acotado.Analizar la existencia del límite:
Solución: Si jugamos con valores nos podemos dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece notablemente:
1001
)(10
10
2
xxfx
10000001
)(1000
10
2
xxfx
13
f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que el
límite no existe.
xsen
1lim
0x
14
LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento oscilante.Analizar la existencia del límite:
x 2/∏ 2/3∏ 2/5∏ 2/7∏ 2/9∏ 2/11∏
Sen (1/x) 1 -1 1 -1 1 -1
Por tanto el límite no existe
15
Conclusiones:
1. f(x) se aproxima a números diferente por la derecha de c que por la izquierda.
2. f(x) aumenta o disminuye sin límite a medida que x se aproxima a c.
3. f(x) oscila entre dos valores fijos a medida que x se aproxima a c.
16
DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real:
Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:
cxLxf
)(lim
Lxfentoncescx )(,0
CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES
18
PROPIEDADES DE UN LÍMITE
Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.
bbcx
lim cx
cx
lim
nn
cxcx
lim
19
Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:
33lim2
x
4lim4
x
x
42lim 22
2
x
x
20
Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:
1. Múltiplo Escalar:
2. Suma o Diferencia
3. Producto:
Lxfcx
)(lim Kxgcx
)(lim
bLxfbcx
)(lim
KLxgxfcx
)()(lim
LKxgxfcx
)()(lim
21
4. Cociente:
5. Potencias:
0,)(
)(lim
KquesiempreK
L
xg
xfcx
nn
cxLxf
)(lim
22
Ejemplo: Límite de un Polinomio
3lim4lim)34(2
2
2
2
2 xxx
xxlím
19
316
3)2(4
3lim)lim(4
2
2
2
2
xx
x
23
Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:
Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos
)()(lim cpxpcx
)(
)()()(lim
cq
cpcrxr
cx
24
Ejemplo: Límite de una Función racional
Como el denominador no es 0 cuando x=1
1
22
1
x
xxlímx
22
411
2112
1
xlím
25
Teorema 1.4:Límite de una Función radical
Si n es un entero positivo:
• Para toda c si n es impar• c > si n es par
nn
cxcx
lim
26
Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta
Si f y g son funciones tales que: y
Entonces:
Lxgcx
)(lim )()(lim LfxfLx
)())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx
27
Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas
Sea c un número real: csenxsen
cx
)(lim cx
cxcos)cos(lim
cxcx
tan)tan(lim
cxcx
cot)cot(lim
cxcx
sec)sec(lim
cxcx
csc)csc(lim
28
Ejemplos
00tan)tan(lim0
xx
)cos(coslimlim)cos(lim xxxxxxx
00)(limlim 22
0
2
0
xsenxsen
xx
CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O
UNILATERALES
30
Definición de Continuidad
Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:
)()(lim
)(lim
)(
cfxf
existexf
definidaestacf
cx
cx
31
Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo.
Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.
32
Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.
xxf
1)(
Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
33
Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.
xxf
1)(
Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
34
Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.
xseny Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)
35
Ejemplo límite Lateral
04lim 2
2
x
x
Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha
24)( xxf
36
Teorema 1.10 Existencia de un límite
LxfyLxfcxcx
)(lim)(lim
Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:
37
Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado
)()(lim)()(lim bfxfyafxfbxax
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n
La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b
38
Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado
Analizar la continuidad de
Se concluye que f es continua en [-1,1]
21)( xxf
)1(01lim 2
1
fx
x
)1(01lim 2
1fx
x
Continua por la derecha
Continua por la izquierda
39
Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad
Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c:
Múltiplo escalar: bf
Suma o Diferencia: f ± g
Producto: fg
Cociente: f , si g(c) ≠ 0 g
LÍMITES INFINITOS
41
Definición de Límites Infinitos
Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión
cxxf
)(lim
cxxf
)(lim
Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica
42
1
1lim1 xx
1
1lim1 xx
Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica
43
21 )1(
1lim
xx
Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica
44
21 )1(
1lim
xx
45
Teorema 1.15 Propiedades de los Límites Infinitos
Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que:
Suma o Diferencia:
Producto:
)(lim xfcx
Lxgcx
)(lim
)()(lim xgxfcx
0,)()(lim
,)()(lim
)()(lim
Lxgxf
oLxgxf
xgxf
cx
cx
cx
46
Cociente:
0)(
)(lim xf
xgcx
47
Ejemplo: Cálculo de Límites
Calcular los siguientes límites
20
20
0
20
11lim
1lim
11lim
11lim
x
x
x
x
x
x
x
BIBLIOGRAFÍA
CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS.
CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES
48
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