1. T H O M A S C L C U L O U N A VA R I A B L E UNDCIMA
EDICIN
2. REGLAS DE DERIVACIN Frmulas generales Suponiendo que u y v
son funciones diferenciables de x. Funciones trigonomtricas
Funciones exponenciales y logartmicas d dx ax = ax ln a d dx sloga
xd = 1 x ln a d dx ex = ex d dx ln x = 1 x d dx scot xd = -csc2 x d
dx scsc xd = -csc x cot x d dx stan xd = sec2 x d dx ssec xd = sec
x tan x d dx ssen xd = cos x d dx scos xd = -sen x d dx ssgsxdd =
sgsxdd # gsxdRegla de la cadena: d dx xn = nxn-1 Potencia: d dx a u
yb = y du dx - u dy dx y2 Cociente: d dx suyd = u dy dx + y du dx
Producto: d dx scud = c du dx Mltiplo constante: d dx su - yd = du
dx - dy dx Diferencia: d dx su + yd = du dx + dy dx Suma: d dx scd
= 0Constante: Funciones trigonomtricas inversas Funciones
hiperblicas Funciones hiperblicas inversas Ecuaciones paramtricas
Si y son diferenciables, entonces y = dy dx = dy>dt dx>dt y
d2 y dx2 = dy>dt dx>dt y = gstdx = std d dx scoth-1 xd = 1 1
- x2 d dx scsch-1 xd = - 1 x 21 + x2 d dx stanh-1 xd = 1 1 - x2 d
dx ssech-1 xd = - 1 x21 - x2 d dx ssenh-1 xd = 1 21 + x2 d dx
scosh-1 xd = 1 2x2 - 1 d dx scoth xd = -csch2 x d dx scsch xd =
-csch x coth x d dx stanh xd = sech2 x d dx ssech xd = -sech x tanh
x d dx ssenh xd = cosh x d dx scosh xd = senh x d dx scot-1 xd = -
1 1 + x2 d dx scsc-1 xd = - 1 x 2x2 - 1 d dx stan-1 xd = 1 1 + x2 d
dx ssec-1 xd = 1 x 2x2 - 1 d dx ssen-1 xd = 1 21 - x2 d dx scos-1
xd = - 1 21 - x2
3. C L C U L O U N A V A R I A B L E U N D C I M A E D I C I N
George B.Thomas, Jr. Massachusetts Institute of Technology Revisado
por: Maurice D.Weir Joel Hass Frank R. Giordano Naval Postgraduate
School University of California, Davis Naval Postgraduate School
Dr. Carlos Bosh Giral Departamento de Matemticas
InstitutoTecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Csar Luis Garca Garca
Departamento de Matemticas InstitutoTecnolgico Autnomo de Mxico
(ITAM) Claudia Gmez Wulschner Departamento de Matemticas
InstitutoTecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Mauricio Pedraza Prez
Departamento de Matemticas Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y
Elctrica Unidad Azcapotzalco Instituto Politcnico Nacional Mara
Elisa Barrn Garca, M.E. InstitutoTecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey campus Guadalajara Roberto Nez Malherbe
InstitutoTecnolgico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO)
Francisco Javier Gonzlez Pia Departamento de Matemticas, CUCEI
Universidad de Guadalajara Carlos J. Zea Rivera Coordinacin de
Ciencias Fsico-Matemticas Universidad Iberoamericana campusTorren
Jos Botto Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias
Exactas,Ingeniera yAgrimensura Argentina Emilio Sastre Universidad
Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas,Ingeniera
yAgrimensura Argentina Antonio Merchan Abril Coordinador Clculo
Diferencial Departamento de Matemticas Pontificia Universidad
Javeriana Colombia scar Andrs Montao Carreo Departamento de
Ciencias Naturales y Matemticas Pontificia Universidad Javeriana
Colombia Leonardo Snchez Profesor del Departamento de Ingeniera
Matemtica Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas Universidad de
Chile Ren Jorge Piedra de la Torre Director del Departamento de
Matemtica y Fsica Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra
Repblica Dominicana Mara Rosa Brito Profesora de Clculo Universidad
Simn Bolvar,Venezuela Antonio Jos Syers Hernndez Coordinador de
Clculo Universidad Metropolitana,Venezuela TRADUCCIN REVISIN TCNICA
Elena de Oteyza de Oteyza Vctor Hugo Ibarra Mercado Instituto de
Matemticas, Escuela Superior de Fsica y Matemticas Universidad
Nacional Autnoma de Mxico Instituto Politcnico Nacional
4. Authorized translation from the English language edition,
entitled Thomas calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published
by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright
2005. All rights reserved. ISBN 0-321-185587 Traduccin autorizada
de la edicin en idioma ingls, titulada Thomas calculus 11a ed., de
George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc.,
publicada como Addison Wesley, Copyright 2005. Todos los derechos
reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en
espaol Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo: Miguel B.
Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo
Datos de catalogacin bibliogrfica THOMAS, JR., GEORGE B. Clculo.
Una variable. Undcima edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006 ISBN:
970-26-0643-8 rea: Universitarios Formato: 21 27 cm Pginas: 824
Edicin en ingls: Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor:
Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project
Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily
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Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The
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Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 500, 5 piso
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derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden
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editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0643-8 Impreso en
Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06
Dedicado a Ross Lee Finney III (1933-2000) profesor, mentor, autor,
gran persona, y amigo de todos
5. CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 Preliminares 1 1.1 Los
nmeros reales y la recta real 1 1.2 Rectas, crculos y parbolas 9
1.3 Funciones y sus grficas 19 1.4 Identificacin de funciones:
modelos matemticos 28 1.5 Combinacin de funciones; traslaciones y
cambio de escala en grficas 38 1.6 Funciones trigonomtricas 48 1.7
Graficacin con calculadoras y computadoras 59 PREGUNTAS DE REPASO
68 EJERCICIOS DE PRCTICA 69 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71 2
Lmites y continuidad 73 2.1 Razn de cambio y lmites 73 2.2 Clculo
de lmites mediante las leyes de los lmites 84 2.3 La definicin
formal de lmite 91 2.4 Lmites laterales y lmites al infinito 102
2.5 Lmites infinitos y asntotas verticales 115 2.6 Continuidad 124
2.7 Tangentes y derivadas 134 PREGUNTAS DE REPASO 141 EJERCICIOS DE
PRCTICA 142 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 144 3 Derivadas 147
3.1 La derivada como una funcin 147 3.2 Reglas de diferenciacin 159
iii
6. 3.3 La derivada como razn de cambio 171 3.4 Derivadas de
funciones trigonomtricas 183 3.5 Regla de la cadena y ecuaciones
paramtricas 190 3.6 Diferenciacin implcita 205 3.7 Razones de
cambio o tasas relacionadas 213 3.8 Linealizacin y diferenciales
221 PREGUNTAS DE REPASO 235 EJERCICIOS DE PRCTICA 235 EJERCICIOS
ADICIONALES Y AVANZADOS 240 4 Aplicaciones de las derivadas 244 4.1
Valores extremos de una ecuacin 244 4.2 El teorema del valor medio
255 4.3 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 262
4.4 Concavidad y trazado de curvas 267 4.5 Problemas de optimizacin
aplicados 278 4.6 Formas indeterminadas y la regla de LHpital 292
4.7 El mtodo de Newton 299 4.8 Antiderivadas 307 PREGUNTAS DE
REPASO 318 EJERCICIOS DE PRCTICA 318 EJERCICIOS ADICIONALES Y
AVANZADOS 322 5 Integracin 325 5.1 Estimacin con sumas finitas 325
5.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 335 5.3 La integral
definida 343 5.4 El teorema fundamental del clculo 356 5.5 Las
integrales indefinidas y la regla de sustitucin 368 5.6 Sustitucin
y reas entre curvas 376 PREGUNTAS DE REPASO 387 EJERCICIOS DE
PRCTICA 388 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 391 6 Aplicaciones
de las integrales definidas 396 6.1 Clculo de volmenes por
secciones transversales y por rotacin alrededor de un eje 396 6.2
Clculo de volmenes por medio de casquillos cilndricos 409 6.3
Longitudes de curvas planas 416 6.4 Momentos y centro de masa 424
6.5 reas de superficies de revolucin y el teorema de Pappus 436 6.6
Trabajo 447 6.7 Presiones y fuerzas en fluidos 456 iv
Contenido
7. PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS DE PRCTICA 461 EJERCICIOS
ADICIONALES Y AVANZADOS 464 7 Funciones trascendentes 466 7.1
Funciones inversas y sus derivadas 466 7.2 Logaritmos naturales 476
7.3 La funcin exponencial 486 7.4 y log 495 7.5 Crecimiento y
decaimiento exponenciales 502 7.6 Razones de crecimiento relativas
511 7.7 Funciones trigonomtricas inversas 517 7.8 Funciones
hiperblicas 535 PREGUNTAS DE REPASO 546 EJERCICIOS DE PRCTICA 547
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 550 8 Tcnicas de integracin 553
8.1 Frmulas bsicas de integracin 553 8.2 Integracin por partes 561
8.3 Integracin de funciones racionales por medio de fracciones
parciales 570 8.4 Integrales trigonomtricas 581 8.5 Sustituciones
trigonomtricas 586 8.6 Tablas de integrales y sistemas de lgebra
por computadora (SAC) 593 8.7 Integracin numrica 603 8.8 Integrales
impropias 619 PREGUNTAS DE REPASO 633 EJERCICIOS DE PRCTICA 634
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 638 9 Aplicaciones adicionales
de integracin 642 9.1 Campos de pendientes y ecuaciones
diferenciables separables 642 9.2 Ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden 650 9.3 Mtodo de Euler 659 9.4 Soluciones grficas
de ecuaciones diferenciales autnomas 665 9.5 Aplicaciones de
ecuaciones diferenciales de primer orden 673 PREGUNTAS DE REPASO
682 EJERCICIOS DE PRCTICA 682 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
683 a xax Contenido v
8. Volumen II 10 Secciones cnicas y coordenadas polares 685
10.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas 685 10.2 Clasificacin
de secciones cnicas por su excentricidad 697 10.3 Ecuaciones
cuadrticas y rotaciones 702 10.4 Cnicas y ecuaciones paramtricas;
la cicloide 709 10.5 Coordenadas polares 714 10.6 Grficas en
coordenadas polares 719 10.7 reas y longitudes en coordenadas
polares 725 10.8 Secciones cnicas en coordenadas polares 732
PREGUNTAS DE REPASO 739 EJERCICIOS DE PRCTICA 739 EJERCICIOS
ADICIONALES Y AVANZADOS 742 11 Sucesiones y series infinitas 746
11.1 Sucesiones 747 11.2 Series infinitas 761 11.3 Criterio de la
integral 772 11.4 Pruebas de comparacin 777 11.5 Pruebas de la raz
y de la razn 781 11.6 Series alternantes, convergencia absoluta y
convergencia condicional 787 11.7 Series de potencias 794 11.8
Series de Taylor y de Maclaurin 805 11.9 Convergencia de series de
Taylor; estimacin de errores 811 11.10 Aplicaciones de las series
de potencias 822 11.11 Series de Fourier 833 PREGUNTAS DE REPASO
839 EJERCICIOS DE PRCTICA 840 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
843 12 Los vectores y la geometra del espacio 848 12.1 Sistemas de
coordenadas tridimensionales 848 12.2 Vectores 853 12.3 El producto
punto 862 12.4 El producto cruz 873 12.5 Rectas y planos en el
espacio 880 12.6 Cilindros y superficies cudricas 889 PREGUNTAS DE
REPASO 899 EJERCICIOS DE PRCTICA 900 EJERCICIOS ADICIONALES Y
AVANZADOS 902 vi Contenido
9. 13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el
espacio 906 13.1 Funciones vectoriales 906 13.2 Cmo modelar el
movimiento de un proyectil 920 13.3 Longitud de arco y el vector
tangente unitario T 931 13.4 Curvatura y el vector unitario normal
N 936 13.5 Torsin y el vector unitario binormal B 943 13.6
Movimiento de planetas y satlites 950 PREGUNTAS DE REPASO 959
EJERCICIOS DE PRCTICA 960 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 962 14
Derivadas parciales 965 14.1 Funciones de varias variables 965 14.2
Lmites y continuidad en dimensiones superiores 976 14.3 Derivadas
parciales 984 14.4 Regla de la cadena 996 14.5 Derivadas
direccionales y vectores gradiente 1005 14.6 Planos tangentes y
diferenciales 1015 14.7 Valores extremos y puntos de silla 1027
14.8 Multiplicadores de Lagrange 1038 14.9 Derivadas parciales con
variables restringidas 1049 14.10 Frmula de Taylor para dos
variables 1054 PREGUNTAS DE REPASO 1059 EJERCICIOS DE PRCTICA 1060
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1063 15 Integrales Mltiples 1067
15.1 Integrales dobles 1067 15.2 rea, momentos y centros de masa
1081 15.3 Integrales dobles en forma polar 1092 15.4 Integrales
triples en coordenadas rectangulares 1098 15.5 Masas y momentos en
tres dimensiones 1109 15.6 Integrales triples en coordenadas
cilndricas y esfricas 1114 15.7 Sustitucin en integrales mltiples
1128 PREGUNTAS DE REPASO 1137 EJERCICIOS DE PRCTICA 1138 EJERCICIOS
ADICIONALES Y AVANZADOS 1140 Contenido vii
10. 16 Integracin en Campos Vectoriales 1143 16.1 Integrales de
lnea 1143 16.2 Campos vectoriales, trabajo, circulacin y flujo 1149
16.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales y
campos conservativos 1160 16.4 Teorema de Green en el plano 1169
16.5 rea de superficies e integrales de superficie 1182 16.6
Superficies parametrizadas 1192 16.7 Teorema de Stokes 1201 16.8 El
teorema de la divergencia y una teora unificada 1211 PREGUNTAS DE
REPASO 1222 EJERCICIOS DE PRCTICA 1223 EJERCICIOS ADICIONALES Y
AVANZADOS 1226 Apndices AP-1 A.1 Induccin matemtica AP-1 A.2
Demostracin de los teoremas de lmites AP-4 A.3 Lmites que aparecen
comnmente AP-7 A.4 Teora de los nmeros reales AP-9 A.5 Nmeros
complejos AP-12 A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de
vectores AP-22 A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del
incremento AP-23 A.8 El rea de la proyeccin de un paralelogramo en
un plano AP-28 A.9 Frmulas bsicas de lgebra, geometra y
trigonometra AP-29 Respuestas R-1 ndice I-1 Breve tabla de
integrales T-1 Crditos C-1 viii Contenido
11. PREFACIO INTRODUCCIN Al preparar la undcima edicin de
Clculo de Thomas, hemos querido mantener el estilo de las versiones
anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas. Nuestra
meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores caractersticas
de las ediciones clsicas de la obra y, al mismo tiempo, atender
cuidadosamente las sugerencias de nues- tros muchos usuarios y
revisores. Con estos altos estndares en mente, hemos reconstruido
los ejercicios y aclarado algunos temas de difcil comprensin. De
acuerdo con el autor, George Thomas, hemos intentado escribir el
libro con tanta claridad y precisin como ha sido posible. Adems,
hemos restablecido los contenidos para que sean ms lgicos y
congruentes con los programas de estudio de mayor difusin. Al
revisar esta labor en re- trospectiva, nos percatamos de que los
muchos conocimientos adquiridos nos han ayudado a crear un texto de
clculo til y atractivo para la siguiente generacin de ingenieros y
cientficos. En su undcima edicin, el texto no slo presenta a los
estudiantes los mtodos y las aplicaciones del clculo, sino que
plantea tambin una manera de pensar totalmente mate- mtica. A
partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los
conceptos que revela la teora en un lenguaje legible, este libro se
centra en el pensamiento y la comunicacin de ideas matemticas. El
clculo tiene gran relacin con muchos de los paradigmas clave de las
matemticas, y establece los fundamentos reales para la reflexin
precisa y lgica en torno de temas fsicos y matemticos. Nuestro
propsito se centra en ayudar a los estu- diantes a alcanzar la
madurez matemtica necesaria para dominar el material y aplicar sus
conocimientos de manera ntegra. El razonamiento que se deriva de la
comprensin de lo analizado en las pginas de esta obra hacen que el
esfuerzo que ha implicado su creacin valga la pena. Una vez
analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarn bien
instruidos en el lenguaje matemtico que se necesita para aplicar
los conceptos de clculo a numerosas situaciones de ciencias e
ingeniera. Tambin estarn preparados para tomar cursos de ecuaciones
diferenciales, lgebra lineal o clculo avanzado. Cambios en la
undcima edicin EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel
crucial en el aprendizaje del clculo. En esta edicin hemos incluido
muchos ejercicios que ya aparecan en versiones anteriores de la
obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma.
Los ejer- cicios se han reorganizado por tema en cada una de las
secciones, planteando primero los problemas computacionales para
luego abordar los relativos a la teora y las aplicaciones. Esta
disposicin permite que los estudiantes desarrollen habilidades en
el uso de los m- todos del clculo y adquieran una comprensin ms
profunda de sus aplicaciones en el marco de una estructura
matemtica coherente. ix
12. RIGOR En comparacin con las ediciones anteriores, en esta
versin el contenido del tex- to es ms riguroso y consistente. En l
se brindan anlisis formales e informales, haciendo una clara
distincin entre ambos; adems, se incluyen definiciones precisas y
demostracio- nes accesibles para los estudiantes. Este texto est
organizado de manera que el material pueda ser cubierto
informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por
ejemplo, a pesar de que no se prueba que una funcin continua en un
intervalo cerrado y acotado tiene un mximo ah, el teorema
correspondiente se expone con todo cuidado para comprobar varios
resultados subsecuentes. Ms an, el captulo de lmites ha sido
reorganizado de manera sustancial, haciendo hincapi tanto en su
claridad como en su precisin. Como en las ediciones anteriores, el
concepto de lmite se basa en la importante idea de obtener la
pendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella.
CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos puesto especial
atencin a las su- gerencias y comentarios de los usuarios y
revisores de las versiones anteriores de Clculo de Thomas. Esto ha
dado como resultado extensas modificaciones en varios de los
captulos. TOMO I Preliminares Hemos reescrito el captulo 1, de
manera que proporcione una breve revisin de las funciones
elementales. Aunque muchos profesores podran optar por obviar este
captulo, su estudio permite a alumnos un fcil repaso de
conocimientos para que unifiquen notaciones. Tambin contiene
material til que muchos estudian- tes podran desconocer, como los
errores que se producen al confiar totalmente en las calculadoras o
computadoras para construir la grfica de una funcin. Lmites En el
captulo 2 se incluyen las definiciones epsiln-delta, las demostra-
ciones de muchos teoremas, as como lmites en el infinito y lmites
infinitos (y sus relaciones con las asntotas de una grfica).
Antiderivadas En los captulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus
aplicaciones ms importantes, concluyendo con el concepto de
antiderivada, con lo cual se esta- blecen las bases para la
integracin. Integracin Despus de discutir varios ejemplos de sumas
finitas, en el captulo 5 introducimos la integral definida en la
forma tradicional del rea debajo de la curva. Continuamos con el
anlisis del teorema fundamental del clculo, relacionando de-
rivadas y antiderivadas, y con la presentacin de la integral
indefinida, junto con la regla de sustitucin para integracin. Luego
proseguimos con el captulo tradicional de aplicaciones de las
integrales definidas. Tcnicas de integracin En el captulo 8 se
presentan las principales tcnicas de integracin, incluyendo
integracin numrica. Despus se ofrece una introduccin a las
funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la
integral y la funcin exponencial como su inversa. Ecuaciones
diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuaciones
diferenciales bsicas ahora est organizado solamente en el captulo
9. Esta disposi- cin permite que los profesores encuentren la
flexibilidad idnea para cubrir los te- mas correspondientes. TOMO
II Cnicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el captulo 10
ha sido total- mente reescrito. Por otro lado, este captulo
completa el material de ecuaciones param- tricas, dando las
parametrizaciones para las parbolas, las hiprbolas y las cicloides.
Series En comparacin con ediciones anteriores, en el captulo 11
hemos desarro- llado de manera ms completa los criterios de
convergencia para series. Tambin in- cluimos, al final del captulo,
una breve seccin para presentar las series de Fourier (cuyo estudio
puede omitirse, segn convenga). x Prefacio
13. Vectores Para evitar la repeticin de los conceptos
algebraicos y geomtricos fun- damentales, hemos combinado el
tratamiento de vectores en dos y tres dimensiones en un solo
captulo, el 12. A esta presentacin le sigue el captulo de funciones
de valores vectoriales en el plano y en el espacio. Los nmeros
reales Hemos escrito un nuevo apndice para analizar brevemente la
teora de los nmeros reales y su aplicacin en el clculo. ARTE
Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un
componente de gran importancia en el aprendizaje del clculo, por lo
que hemos mejorado todas las figuras de este libro, buscando mayor
claridad en la relacin entre stas y los conceptos a que hacen
referencia. Esto resulta especialmente evidente en las grficas
tridimensionales, en las que podemos indicar mejor la profundidad,
las capas y la rotacin (vea las figuras siguientes). y x 0 a x b y
R(x) y r(x) 0 x y y 0 x (x, R(x)) (x, r(x)) Arandela xx 4 1 0 2 y y
x x 2 y , y 2 yx 2 yx 2 yR(y) 2 yR(y) 0 1 4 y 2 (a) (b) y Prefacio
xi FIGURA 6.13, pgina 403 Las secciones transversales del slido de
rotacin generado aqu son arandelas, no discos. FIGURA 6.11, pgina
402 Determinacin del volumen del slido generado al hacer girar la
regin (a) alrededor del eje y.
14. Otras caractersticas PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE
CAPTULO Adems de los problemas que apare- cen despus de cada
seccin, los captulos terminan con preguntas de repaso, ejercicios
prcticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de
ejercicios adicionales y avanzados en donde se plantean problemas
sintetizados o que plantean retos de mayor envergadura. Asimismo,
casi todos los captulos incluyen la descripcin de varios proyectos
para que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente
o en equipo, en periodos ms largos. Estos proyectos requieren el
uso de una computadora y de material adicional, dis- ponible en
www.pearsoneducacion.net/thomas. EJERCICIOS DE DESARROLLO TERICO
Los ejercicios de desarrollo terico que aparecen a lo largo de todo
el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una
variedad de conceptos y aplicaciones del clculo. Adems, al final de
cada captulo se halla una lis- ta de preguntas para que los
estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos de estos
ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de
contenido terico. RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas
de los ejercicios impares cuando es adecuado; la correccin de tales
respuestas ha sido revisada cuidadosamente. EXACTITUD MATEMTICA
Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidado en
afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista
matemtico. Cada definicin, teorema, corolario y demostracin han
sido revisados para garantizar su clari- dad y exactitud matemtica.
LEGILIBILIDAD Y APLICACIN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este
texto bus- ca ser fcil de leer, interactivo y matemticamente rico.
Cada tema nuevo ha sido abordado con claridad, ilustrado con
ejemplos de fcil comprensin y reforzado con aplicaciones a
problemas reales que involucran el clculo en ciencias e ingeniera,
y que resultan de inte- rs para los estudiantes. Estos problemas de
aplicacin se han actualizado, mejorado y am- pliado a lo largo de
las ltimas ediciones. TECNOLOGA Aunque seguimos proporcionando
apoyo para las aplicaciones tecnolgicas del clculo, a partir de la
dcima edicin esto resulta menos evidente dentro de los captu- los.
Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fcilmente la
tecnologa segn los propsitos del profesor. Para ello, cada seccin
contiene ejercicios que requieren el uso de la tecnologa,
identificados de cualquiera de las siguientes maneras: Con una si
se requiere una calculadora o computadora para su resolucin. Con el
texto EXPLORACIN CON COMPUTADORA si se necesita un software
matemtico (como Maple o Mathematica) para contestarlos.
Complementos multimedia y soporte en lnea (en ingls) MANUALES DE
RECURSOS TECNOLGICOS Maple Manual, escrito por Donald Hartig, de la
California Polytechnic State University Mathematica Manual,
preparado por Marie Vanisko, de la California State University
Stanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth College TI-Graphing
Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University. Estos
manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las
calculadoras TI-83 Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92
Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofrece gua detallada para
la integracin de un paquete de software o una calculadora
graficadora a lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos. T
xii Prefacio
15. COURSECOMPASS CourseCompass es una plataforma para cursos
en lnea que Pearson Educacin ofrece de manera exclusiva como apoyo
para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precar-
gado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en
MyMathLab y en MathXL, el sistema de tutoriales, tareas y evaluacin
en lnea de Addison Wesley. MyMathLab pro- porciona un amplio
conjunto de materiales relacionados con el curso, as como
ejercicios generados algortmicamente para repasar tanto como se
desee un tema. Los alumnos pueden utilizar tambin herramientas en
lnea, como clases en vdeo, animaciones, una versin electrnica del
libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensin y
desempeo. Adems, los estudiantes pueden responder exmenes por
captulo y obtener un plan de estudio personalizado de acuerdo con
sus resultados. Por su parte, los profesores pueden emplear los
administradores de tareas y exmenes que proporciona CourseCom- pass
para seleccionar y asignar ejercicios en lnea relacionados
directamente con el libro, as como importar exmenes de TestGen para
obtener ms flexibilidad. El libro de notas de MyMathLab diseado
especficamente para matemticas y estadstica lleva un registro
automtico de las tareas y los resultados de los exmenes de los
alumnos, y da control al profesor para calcular las notas de fin de
curso. CourseCompass est disponible para quienes adopten el libro.
Para obtener ms informacin, visite nuestro sitio Web en
www.coursecompass.com, o pida una demostracin del producto al
representante de ven- tas de Pearson Educacin que lo atiende.
TESTGEN CON QUIZMASTER TestGen permite a los profesores crear,
editar, imprimir y administrar exmenes mediante un banco de
preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los
objetivos del tex- to. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo
cual los profesores pueden crear mltiples versiones de la misma
pregunta o del mismo examen con slo hacer clic en un botn. Los
maestros pueden tambin modificar las preguntas del banco de exmenes
o agregar nuevos reactivos utilizando adems el editor integrado
para crear o importar grficas, insertar notacin matemtica, nmeros
variables o texto. Los exmenes pueden imprimirse o dis- tribuirse
por Internet o en una red local, o pueden ser importados en
CourseCompass o Blackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite
a los estudiantes realizar las pruebas en una red de rea local. El
software est disponible en un CD-ROM para las plataformas Windows y
Macintosh. SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomas El sitio Web
del libro Clculo de Thomas proporciona al alumno biografas ms
amplias de los personajes histricos referidos en el libro, as como
artculos relacionados. Asimis- mo, pone a su disposicin un conjunto
de mdulos de Maple y Mathematica que puede utilizar como proyectos
individuales o en grupo. Este sitio tambin ofrece al profesor un
vnculo hacia el sitio de descarga de materiales (en ingls) de este
libro. Agradecimientos Deseamos expresar nuestra gratitud a quienes
hicieron muchas y muy valiosas contribu- ciones durante las
distintas etapas de desarrollo de esta edicin. Editores de
desarrollo Correctores Elka Block William Ardis David Chelton Karl
Kattchee Frank Purcell Douglas B. Meade Robert Pierce Frank Purcell
Marie Vanisko Thomas Wegleitner Prefacio xiii
16. xiv Prefacio Jefatura de revisin Harry Allen, Ohio State
University Rebecca Goldin, George Mason University Christopher
Heil, Georgia Institute of Technology Dominic Naughton, Purdue
University Maria Terrell, Cornell University Clifford Weil,
Michigan State University Revisin tcnica Robert Anderson,
University of WisconsinMilwaukee Charles Ashley, Villanova
University David Bachman, California Polytechnic State University
Elizabeth Bator, University of North Texas William Bogley, Oregon
State University Kaddour Boukaabar, California University of
Pennsylvania Deborah Brandon, Carnegie Mellon University Mark
Bridger, Northeastern University Sean Cleary, The City College of
NewYork Edward Crotty, University of Pennsylvania Mark Davidson,
Louisiana State University Richard Davitt, University of Louisville
Elias Deeba, University of Houston, Downtown Campus Anne Dougherty,
University of Colorado Rafael Espericueta, Bakersfield College
Klaus Fischer, George Mason University William Fitzgibbon,
University of Houston Carol Flakus, Lower Columbia College Tim
Flood, Pittsburg State University Robert Gardner, East Tennessee
State University John Gilbert, The University of Texas at Austin
Mark Hanish, Calvin College Zahid Hasan, California State
University, San Bernardino Jo W. Heath, Auburn University Ken
Holladay, University of New Orleans Hugh Howards, Wake Forest
University Dwanye Jennings, Union University Matthias Kawaski,
Arizona State University Bill Kincaid, Wilmington College Mark M.
Maxwell, Robert Morris University Jack Mealy, Austin College
Richard Mercer, Wright State University Victor Nestor, Pennsylvania
State University Michael OLeary, Towson University Bogdan
Oporowski, Louisiana State University Troy Riggs, Union University
Ferinand Rivera, San Jose State University Mohammed Saleem, San
Jose State University Tatiana Shubin, San Jose State University
Alex Smith, University of Wisconsin-Eau Claire Donald Solomon,
University of Wisconsin-Milwaukee Chia Chi Tung, Minnesota State
University William L. VanAlstine, Aiken Technology College Bobby
Winters, Pittsburg State University Dennis Wortman, University of
Massachusetts at Boston Participantes en encuestas Omar Adawi,
Parkland College Siham Alfred, Raritan Valley Community College
Donna J. Bailey, Truman State University Rajesh K. Barnwal, Middle
Tennessee State University Robert C. Brigham, University of Central
Florida (retired) Thomas A. Carnevale, Valdosta State University
Lenny Chastkofsky, The University of Georgia Richard Dalrymple,
Minnesota West Community & Tech- nical College Lloyd Davis,
College of San Mateo Will-Matthis Dunn III, Montgomery College
George F. Feissner, SUNY College at Cortland Bruno Harris, Brown
University Celeste Hernandez, Richland College Wei-Min Huang,
Lehigh University Herbert E. Kasube, Bradley University Frederick
W. Keene, Pasadena City College Michael Kent, Borough of Manhattan
Community Colle- ge Robert Levine, Community College of Allegheny
County, Boyce Campus John Martin, Santa Rosa Junior College Michael
Scott McClendon, University of Central Okla- homa Ching-Tsuan Pan,
Northern Illinois University Emma Previato, Boston University S.S.
Ravindran, University of Alabama Dan Rothe, Alpena Community
College John T. Saccoman, Seton Hall University Mansour Samimi,
Winston-Salem State University Ned W. Schillow, Lehigh Carbon
Community College W.R. Schrank, Angelina College Mark R. Woodard,
Furman University
17. Agradecemos a todos los profesores que han sido leales
usuarios y han impartido la materia de Clculo en los pases de habla
hispana con el apoyo del reconocido libro de Thomas. Sus valiosos
comentarios han servido para enri- quecer el desarrollo de la
actual edicin. Espe- ramos que con el uso de este texto cumplan sa-
tisfactoriamente los objetivos del programa del curso y preparen a
sus alumnos para enfrentar los retos actuales dentro del mbito de
las Ma- temticas. En especial deseamos agradecer el apoyo y
retroalimentacin que nos han dado los siguientes profesores:
COLOMBIA Escuela Colombiana de Ingeniera Julio Garavito Ana Alicia
Guzmn Benjamn Rafael Sarmiento Bernarda Aldana Boris Mauricio
Pulido Campo Elas Velosa Carlos Abel lvarez Carlos Enrique Frasser
Carmenza Moreno Clara Teresa Trivio Claudia Castro Diego Parada
Edgar Obonaga Edith Zoraida Pinzn Eduardo Brieva Ernesto Acosta
Gloria Ins Bernal Guiomar Lleras Guiomar Mora Gustavo Erazo Herbert
Alonso Dueas Isabel Carlota Lpez Jaime Alonso Castillo Jaime Arango
Jairo Scarpeta Jorge Augusto Prez Jorge Bateman Jos Francisco
Amador Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Juan Manuel Ospina
Juan Manuel Sarmiento Luis Alejandro Fonseca Luis Miguel Acosta
Manuel Casabianca Manuel Daz Margarita Mnica Rey Mara Consuelo
Corts Mara Viviana Bernal Nstor Ral Pachn Olga Maritza Camacho scar
Antonio Pulido scar Daro Zrate Rafael Guzmn Ricardo Mancipe Ricardo
Quintana Sandra Isabel Gutirrez Vctor Ardila William Estrada
Fundacin del rea Andina Mario Duarte Rosario Granados INPAHU Edgar
Borras Pontificia Universidad Javeriana Abrahan Jimnez Antonio
Merchan Diego Guerrero Eddy Herrera Eduardo Estrada Fabio Molina
Fernando Surez Francisco Soler Gerardo Tole Guillermo Arias Gustavo
Nieto Harold Noriega Hctor Orlando Linares Irina Reyes Ismael Garca
Ivn Castro Jess Fernando Novoa Jos Humberto Serrano Jos Severino
Nio Juan Carlos Quintero Julio Csar Melo Lennin Reyes Liliana ngel
Liliana Barreto Luis Alejandro Bello Luis Alfonso Meja Luz Marina
Moya Luz Mary Ariza Mara C. Rodrguez Martha Alvarado Martha Moreno
Matilde Pez Nelson Urrego Nicols Civetta Rafael Castro Vladimir
Moreno Universidad Antonio Nario Orlando Vanegas Universidad
Autnoma Gladys Villamarn Marco Tulio Milln Universidad Catlica de
Colombia Ana Mercedes Mrquez Carlos Daza Carlos Hernando Pinzn
Felipe Lara Gerardo Ardila Germn Beltrn Javier Manotas Libardo
Ortegn Lorenzo Zubieta Miguel ngel Martnez Rgulo Miguel Hernndez
Rubn Daro Castaeda Universidad de Amrica Edgar Rodrguez Hctor
Lozano Jaime Bolaos Margarita Ruiz Universidad de la Sabana Hctor
Lpez Mara Lilia Perilla Universidad de San Buenaventura Elmer
Villegas Hernn Pineda Patricia Mateus Wilson Soto Universidad de
San Martn Jaime Preciado Universidad del Bosque Libardo Munevar
Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas Abrahan Jimnez Adrin
Ricardo Gmez Carmen Leonor Pulido Claudia Vela Clemencia Garavito
Gloria Neira Ignacio Rodrguez Janeth Galeano Jos Mara Pino Jos
Villada Luis Martn Mara Astrid Cuida Mara del Pilar Bohrquez Nayive
Nieves Pablo Acosta Rodrigo Javier Herrera Zulima Ortiz Universidad
INCCA de Colombia Jorge Elicer Rodrguez Agradecimientos a los
profesores
18. Universidad Militar Nueva Granada Arturo Ramrez Felipe A.
Riao Jos Farid Patio Luis Antonio Meza Universidad Nacional Hctor
Useche Herbert Dueas Universidad Piloto Carlos Garzn William Arley
Rincn Universidad Santo Toms Eunice Chara Gloria Torres Marlene
Garzn GUATEMALA Universidad de San Carlos Arturo Samayoa MXICO
Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Beatriz Rumbos
Pellicer Claudia Gmez Wulschner Lorena Zogaib Mara del Carmen Lpez
Laiseca Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera y
Tecnologas Avanzadas Carlos Cruz Prisciliano Aguilar Viveros
Universidad Anhuac del Sur Vicente Rivera Universidad
Iberoamericana Humberto Mondragn Surez Universidad La Salle Gustavo
Velzquez Garduo Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de
Ecatepec Francisco Javier Vargas Mancilla Gabriel Ramrez Dmaso
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Estado de Mxico FaustinoYescas Martnez Rubn Daro Santiago Acosta
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Toluca Jos Arturo Tar Ortiz Peralta Instituto Tecnolgico y de
Estudios Superiores de Monterrey, campus Sinaloa Jos Benigno Valdez
Torres Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,
campus Guadalajara Abel Vzquez Prez Abelardo Ernesto Damy Sols
Guillermo Rodrguez Lpez Humberto Hiplito Garca Daz Jess Cuauhtmoc
Ruvalcaba lvarez Luis Eduardo Falcn Morales Luz Mara Gonzlez Urea
Mara Elisa Barrn Garca Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey, campus Len Enrique Garibay Ruiz Instituto
Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Guadalajara
Csar Espinosa Abundis Enrique Rodrguez Ruiz Hctor Vidaurri Aguirre
Roberto Nez Malherbe Centro de Enseanza Tcnica Industrial,
Guadalajara Michael Vollger Zaepfel Universidad de Guadalajara
Francisco Javier Gonzlez Pia Guadalupe Isabel Rodrguez Medina Jorge
Mario Arellano Hernndez Jos de Jess Uribe Madrigal Luca Gonzlez
Rendn Mara de Lourdes Martnez Silva Mara Esther Meja Marn Toms
Ignacio Villaseor Saavedra Universidad Autnoma de Nuevo Len
Alejandro Garca Garca Anglica Tovar Gmez Bertha Arellano Silva
Gloria Pedroza Cant Mara Magdalena de la Rosa Resndiz Santiago
Neyra Rosales Sergio Elizondo Arroyave Yenny Valenzuela Murillo
Universidad Regiomontana Luis Alberto Rodrguez Escamilla Ma. Teresa
Narvez Flores Neyda Eliza Lpez Leal Universidad Autnoma de San Luis
Potos Jos Csar Hernndez Garca Mara Guadalupe Silva Esparza
Universidad Autnoma de Tamaulipas Ramiro Garza Molina Instituto
Tecnolgico de Veracruz Mario Martnez Cano Universidad Veracruzana
Dolores Vera Dector Uriel Garca Ortiz PER Universidad Peruana de
Ciencias Aplicadas Agustn Curo REPBLICA DOMINICANA Instituto
Tecnolgico de Santo Domingo Coride Prez Mximo A. Campuzano
Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra Masako Saito
Universidad Autnoma de Santo Domingo Carlos Feliz Snchez Carlos
Mayobanet Cabral David Torrez Universidad Apec Justo Bez
Universidad Catlica Tecnolgica del Cibao Cristian Mercedes Cruz
Universidad Iberoamericana Mximo Santana VENEZUELA Universidad
Central de Venezuela Mara de Armas Martha Zerpa Universidad
Metropolitana Antonio Syers Lida Nio Universidad Simn Bolvar Mara
Rosa Brito Universidad del Zulia Daniel Duque xvi Agradecimientos a
los profesores
19. INTRODUCCIN En este captulo se presenta un repaso de las
ideas bsicas necesarias pa- ra iniciar el estudio del clculo. Entre
los temas se incluyen el sistema de nmeros reales, las coordenadas
en el plano cartesiano, las lneas rectas, las parbolas, los
crculos, las funciones y la trigonometra. Tambin se analiza el uso
de calculadoras graficadoras y de programas para graficacin por
computadora. 1 PRELIMINARES Captulo 1 Los nmeros reales y la recta
real Esta seccin trata de los nmeros reales, las desigualdades, los
intervalos y las propieda- des del valor absoluto. Nmeros reales
Gran parte del clculo se basa en las propiedades del sistema de
nmeros reales. Los n- meros reales son aquellos que pueden
expresarse como decimales, por ejemplo En cada caso, los puntos
suspensivos indican que la sucesin de dgitos decimales con- tina
indefinidamente. Cualquier expansin decimal posible representa un
nmero real, aunque algunos nmeros tienen dos representaciones. Por
ejemplo, los decimales infinitos .999 y 1.000 representan el mismo
nmero real, 1. Una afirmacin similar es vlida para cualquier nmero
con una infinita fila de nueves. Los nmeros reales pueden
representarse geomtricamente como puntos sobre una recta numrica,
llamada recta real. El smbolo denota tanto al sistema de nmeros
reales como a la recta real. Las propiedades del sistema de nmeros
reales se clasifican en tres categoras: pro- piedades algebraicas,
propiedades de orden y propiedad de completez. Las propiedades
algebraicas establecen que los nmeros reales pueden sumarse,
restarse, multiplicarse y dividirse (excepto entre 0) para obtener
ms nmeros reales bajo las reglas usuales de la aritmtica. No es
posible dividir entre 0. 2 1 0 1 2 3 43 4 1 3 2 22 = 1.4142 1 3 =
0.33333 - 3 4 = -0.75000 1.1
20. En el apndice 4 se dan las propiedades de orden de los
nmeros reales. A partir de ellas pueden obtenerse las siguientes
reglas tiles, donde el smbolo significa implica.Q 2 Captulo 1:
Preliminares Reglas para desigualdades Si a, b y c son nmeros
reales, entonces: 1. 2. 3. 4. Caso especial: 5. 6. Si tanto a como
b son ambos positivos o ambos negativos, entonces a 6 b Q 1 b 6 1 a
a 7 0 Q 1 a 7 0 a 6 b Q -b 6 -a a 6 b y c 6 0 Q bc 6 ac a 6 b y c 7
0 Q ac 6 bc a 6 b Q a - c 6 b - c a 6 b Q a + c 6 b + c Tenga en
cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un nmero. Al
multiplicar por un nmero positivo se conserva el sentido de
desigualdad; cuando se multiplica por un nmero negativo el sentido
de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recprocos invier- te el
sentido de desigualdad cuando los nmeros son del mismo signo. Por
ejemplo, pero y En el caso del sistema de nmeros reales, la
propiedad de completez* es compleja y difcil de definir con
precisin; sin embargo, es esencial para comprender el concepto de
lmite (captulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez
afirma que hay suficien- tes nmeros reales para completar la recta
real, en el sentido que no haya vacos o fal- tantes o huecos en
ella. Si el sistema de nmeros reales no cumpliera con esta
propiedad, muchos teoremas de clculo careceran de validez. Por
conveniencia, el tema se deja para un curso ms avanzado, pero el
apndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cmo se construyen
los nmeros reales. Entre los nmeros reales pueden distinguirse tres
subconjuntos especiales. 1. Los nmeros naturales, digamos 1, 2, 3,
4, . . . 2. Los nmeros enteros, como 3. Los nmeros racionales, es
decir, aquellos que pueden expresarse como una fraccin m/n, donde m
y n son enteros y Por ejemplo Los nmeros racionales son
precisamente los nmeros reales con expansiones deci- males, que son
(a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por
ejemplo (b) peridicas (terminan con un bloque de dgitos que se
repite una y otra vez), por ejemplo, La barra indica el bloque de
dgitos que se repite. 23 11 = 2.090909 = 2.09 3 4 = 0.75000 = 0.75
o 1 3 , - 4 9 = -4 9 = 4 -9 , 200 13 , y 57 = 57 1 . n Z 0. 0, ;1,
;2, ;3, 1>2 7 1>5.-2 7 -5 2 6 5 * A este trmino tambin se le
conoce como propiedad de densidad o de completitud.
21. Las expansiones decimales finitas representan un tipo
especial de repeticin decimal de final de ceros repetidos. El
conjunto de nmeros racionales tiene todas las propiedades
algebraicas y de orden de los nmeros reales, pero carece de la
propiedad de completez. Por ejemplo, no existe un nmero racional
cuyo cuadrado sea 2; esto quiere decir que hay un vaco en la recta
ra- cional, donde debera estar . Los nmeros reales que no son
racionales se llaman nmeros irracionales, y se carac- terizan por
tener expansiones decimales no finitas y no peridicas. Por ejemplo,
y Como cada expansin decimal representa un nmero real, resulta
evidente que la cantidad de nmeros irracionales es infinita.
Podemos encontrar tanto nmeros racio- nales como irracionales
arbitrariamente cercanos a cualquier punto de la recta real. La
notacin de conjuntos es muy til para especificar un subconjunto de
nmeros rea- les. Un conjunto es una coleccin de objetos, los mismos
que constituyen los elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la
notacin significa que a es un elemento de S, y significa que a no
es un elemento de S. Si S y T son conjuntos, es su unin, y sta
consiste de todos los elementos que pertenecen a S o a T (o tanto a
S como a T). La interseccin consiste de todos los elementos que
pertenecen a ambos conjuntos, S y T. El conjunto vaco es aquel que
no tiene elementos. Por ejemplo, la interseccin de los nmeros
racionales y los nmeros irracionales es el conjunto vaco. Algunos
conjuntos pueden describirse al listar sus elementos separados por
comas entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, conformado por los
nmeros naturales (o enteros positivos) menores que 6, puede
expresarse como El conjunto de todos los nmeros enteros se escribe
como Otra manera de describir un conjunto, consiste en encerrar
entre llaves una regla que genere todos los elementos del conjunto.
Por ejemplo, el conjunto es el conjunto de los enteros positivos
menores que 6. Intervalos Un subconjunto de la recta real recibe el
nombre de intervalo si contiene por lo menos dos nmeros y todos los
nmeros reales que estn entre cualquier par de sus elementos. Por
ejemplo, el conjunto de todos los nmeros reales x tales que es un
intervalo, as co- mo el conjunto de todos los x tales que El
conjunto de todos los nmeros reales distintos de cero no es un
intervalo; como el 0 no se incluye, el conjunto no cumple con la
condicin de contener todos los nmeros reales entre y 1 (por
ejemplo). Geomtricamente, los intervalos corresponden a rayos y
segmentos de recta sobre la rec- ta real o a lo largo de la misma.
Los intervalos de nmeros que corresponden a segmentos de recta son
intervalos finitos; los intervalos que corresponden a rayos y a la
recta real son in- tervalos infinitos. Decimos que un intervalo
finito es cerrado si incluye sus dos extremos, semiabierto si
incluye uno de sus extremos pero no el otro, y abierto si no
incluye ninguno de sus ex- tremos. Los extremos tambin se llaman
puntos frontera, ya que conforman precisamen- te la frontera del
intervalo. El resto de los puntos del intervalo son puntos
interiores, y constituyen el interior del intervalo. Los intervalos
infinitos, que corresponden a rayos, son cerrados si contienen su
extremo finito, de lo contrario son abiertos. La recta real
completa es un intervalo infinito que es tanto abierto como
cerrado. Resolucin de desigualdades Al proceso de encontrar el
intervalo o intervalos de nmeros que satisfacen una desigual- dad
en x se le llama resolver la desigualdad. -1 -2 x 5. x 7 6 A = 5x x
es un entero y 0 6 x 6 66 50, ;1, ;2, ;3, 6. A = 51, 2, 3, 4, 56. S
T S Ta x S a H S log10 3.23 5, p, 22, 22 1.1 Los nmeros reales y la
recta real 3
22. EJEMPLO 1 Resolver las siguientes desigualdades y mostrar
su solucin en forma de desigualdad, en forma de intervalo y en
forma grfica. (a) (b) (c) Solucin (a) Sumar 1 en ambos lados.
Restar x en ambos lados. El conjunto solucin es el intervalo
abierto (figura 1.1a). (b) Multiplicar por 3 ambos lados. Sumar x
en ambos lados. Restar 3 en ambos lados. Dividir entre 7.- 3 7 6 x
-3 6 7x 0 6 7x + 3 -x 6 6x + 3 - x 3 6 2x + 1 s- q, 4d x 6 4 2x 6 x
+ 4 2x - 1 6 x + 3 6 x - 1 5- x 3 6 2x + 12x - 1 6 x + 3 4 Captulo
1: Preliminares TABLA 1.1 Tipos de intervalos Descripcin Notacin
del conjunto Tipo Figura Finito: (a, b) Abierto [a, b] Cerrado [a,
b) Semiabierto (a, b] Semiabierto Infinito: Abierto Cerrado Abierto
Cerrado (conjunto de todos Ambos los nmeros reales) abierto y
cerrado s- q, qd 5x x b6s- q, b] 5x x 6 b6s- q, bd 5x x a6[a, qd 5x
x 7 a6sa, qd 5x a 6 x b6 5x a x 6 b6 5x a x b6 5x a 6 x 6 b6 a b a
b a b a a b b b a 0 0 0 1 1 1 4 (a) 3 7 (b) 11 5 (c) x x x FIGURA
1.1 Conjuntos solucin para las desigualdades del ejemplo 1.
23. El conjunto solucin es el intervalo abierto (figura 1.1b).
(c) La desigualdad puede satisfacerse solamente si ya que en cual-
quier otro caso no est definido o es negativo. As, es positivo y la
desigualdad no se altera si multiplicamos ambos lados por y tenemos
que Multiplicar ambos lados por Sumar 5 en ambos lados. El conjunto
solucin es el intervalo semiabierto (1, ] (figura 1.1c). Valor
absoluto El valor absoluto de un nmero x, denotado por se define
como EJEMPLO 2 Encontrar los valores absolutos Geomtricamente, el
valor absoluto de x es la distancia de x a 0 sobre la recta real.
Como las distancias siempre son positivas o 0, si vemos que para
todo nmero real x, y si y slo si Tambin la distancia entre x y y
sobre la recta real (figura 1.2). Como el smbolo denota siempre la
raz cuadrada no negativa de a, una defini- cin alternativa de es Es
importante recordar que No se puede escribir a menos que se- pamos
de antemano que El valor absoluto tiene las propiedades siguientes.
(Se le pedir que pruebe estas pro- piedades en los ejercicios). a
0. 2a2 = a2a2 = a . x = 2x2 . x 2a x - y = es igual a la distancia
entre x y y x = 0. x = 0 x 0 3 = 3, 0 = 0, -5 = -s -5d = 5, - a = a
x = e x, x 0 -x, x 6 0. x , 11>5 O x 11 5 . 11 5 x. 11 5x sx -
1d.6 5x - 5 6 x - 1 5 sx - 1d, sx - 1d6>sx - 1d x 7 1,6>sx -
1d 5 s-3>7, qd 1.1 Los nmeros reales y la recta real 5 5 5 3 4 1
1 4 3 5 0 3 1 4 FIGURA 1.2 Los valores absolutos indican las
distancias entre los puntos de la recta numrica. Propiedades del
valor absoluto 1. Un nmero y su inverso aditivo o negativo tienen
el mismo valor absoluto. 2. El valor absoluto de un producto es el
producto de los valores absolutos. 3. El valor absoluto de un
cociente es el cociente de los valores absolutos. 4. La desigualdad
triangular. El valor absoluto de la suma de dos nmeros es menor o
igual que la suma de sus valores absolutos. a + b a + b ` a b ` = a
b ab = a b -a = a
24. Observe que Por ejemplo, mientras que Si a y b tienen
distinto signo, entonces en cualquier otro caso, En expresiones
como es igual a Las barras que denotan valor absoluto fun- cionan
como los parntesis: deben realizarse las operaciones aritmticas del
interior antes de tomar el valor absoluto. EJEMPLO 3 Ilustrar la
desigualdad triangular La desigualdad indica que la distancia de x
a 0 es menor que el nmero posi- tivo a. Esto significa que x debe
estar entre -a y a, como puede verse en la figura 1.3. Todos los
siguientes enunciados son consecuencia de la definicin de valor
absoluto, y suelen ser tiles en la resolucin de ecuaciones o
desigualdades con valor absoluto. x 6 a -3 - 5 = -8 = 8 = -3 + -5 3
+ 5 = 8 = 3 + 5 -3 + 5 = 2 = 2 6 -3 + 5 = 8 -3 + 5 a + b . a + b a
+ b . a + b - 3 = -3. -3 = 3, -a Z - a . 6 Captulo 1: Preliminares
a 0 ax aa x FIGURA 1.3 significa que x est entre y a.-a x 6 a
Valores absolutos e intervalos Si a es cualquier nmero positivo,
entonces 5. 6. 7. 8. 9. x a si y slo si x a o x -a x a si y slo si
-a x a x 7 a si y slo si x 7 a o x 6 -a x 6 a si y slo si -a 6 x 6
a x = a si y slo si x = ;a En matemtica, el smbolo denota con
frecuencia la relacin lgica si y slo si. Tambin significa implica y
es implicado por. EJEMPLO 4 Resolver una ecuacin con valores
absolutos Resolver la ecuacin Solucin De acuerdo con la propiedad
5, as que hay dos posibilidades: Resolver como de costumbre. Las
soluciones de son y EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad con valor
absoluto Resolver la desigualdad ` 5 - 2 x ` 6 1. x = -2.x = 5 2x -
3 = 7 x = 5 x = -2 2x = 10 2x = -4 Ecuaciones equivalentes sin
valores abolutos.2x - 3 = 7 2x - 3 = -7 2x - 3 = ;7, 2x - 3 = 7.
3
25. Solucin Tenemos Propiedad 6 Restar 5. Tomar recprocos.
Observe cmo se emplearon aqu las distintas reglas para las
desigualdades. Multiplicar por un nmero negativo cambia el sentido
de la desigualdad. Sucede lo mismo al tomar recpro- cos en una
desigualdad cuyos dos lados son positivos. La desigualdad original
se satisface si y slo si El conjunto solucin es el intervalo
abierto ( , ). EJEMPLO 6 Resolver la desigualdad y mostrar el
conjunto solucin en la recta real: (a) (b) Solucin (a) Propiedad 8
Restar 3. Dividir entre 2. El conjunto solucin es el intervalo
cerrado [1, 2] (figura 1.4a). (b) Propiedad 9 Dividir entre 2.
Sumar El conjunto solucin es (figura 1.4b).s- q, 1] [2, qd 3 2 .x 2
o x 1 x - 3 2 1 2 o x - 3 2 - 1 2 2x - 3 1 o 2x - 3 -1 2x - 3 1 1 x
2 2 2x 4 -1 2x - 3 1 2x - 3 1 2x - 3 1 2x - 3 1
1>21>3s1>3d 6 x 6 s1>2d. 3 1 3 6 x 6 1 2 . Multiplicar
por - 1 2 .3 3 7 1 x 7 2 3 -6 6 - 2 x 6 -4 ` 5 - 2 x ` 6 1 3 -1 6 5
- 2 x 6 1 1.1 Los nmeros reales y la recta real 7 1 2 1 2 (a) (b) x
x FIGURA 1.4 Los conjuntos solucin (a) [1, 2] y (b) del ejemplo 6.
s- q, 1] [2, qd EJERCICIOS 1.1 Representacin decimal 1. Exprese 1/9
como un decimal peridico, usando una barra para indicar los dgitos
que se repiten. Cules son las expansiones de- cimales de las
siguientes fracciones: 2/9, 3/9, 8/9 y 9/9? 2. Exprese 1/11 como un
decimal peridico, usando una barra para indicar los dgitos que se
repiten. Cules son las expansiones de- cimales de las siguientes
fracciones: 2/11, 3/11, 9/11 y 11/11? Desigualdades 3. Si cules de
las siguientes afirmaciones acerca de x son necesariamente ciertas
y cules no son necesariamente ciertas? a. b. c. d. e. f. g. h. -6 6
-x 6 -2-6 6 -x 6 2 x - 4 6 21 6 6 x 6 3 1 6 6 1 x 6 1 2 1 6 x 2 6 3
0 6 x - 2 6 40 6 x 6 4 2 6 x 6 6,
26. 4. Si cules de las siguientes afirmaciones acer- ca de y
son necesariamente ciertas y cules no son necesariamente ciertas?
a. b. c. d. e. f. g. h. En los ejercicios 5-12, resuelva las
desigualdades y muestre su con- junto solucin en forma grfica
(sobre la recta real). 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Valor absoluto
Resuelva las ecuaciones en los ejercicios 13-18. 13. 14. 15. 16.
17. 18. Resuelva las desigualdades en los ejercicios 19-34,
expresando los conjuntos solucin como intervalos o uniones de
intervalos. Asimismo, muestre el conjunto solucin en forma grfica
(sobre la recta real). 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.
30. 31. 32. 33. 34. ` 3r 5 - 1 ` 7 2 5 ` r + 1 2 ` 1 2 - 3x 7 5 1 -
x 7 1 s + 3 1 2 2s 4` 2 x - 4 ` 6 3 ` 3 - 1 x ` 6 1 2 ` 3 2 z - 1 `
2` z 5 - 1 ` 1 2y + 5 6 1 3y - 7 6 4 t + 2 6 1 t - 1 3 x 2 x 6 2 `
s 2 - 1 ` = 1 8 - 3s = 9 2 1 - t = 1 2t + 5 = 4 y - 3 = 7 y = 3 - x
+ 5 2 12 + 3x 4 4 5 sx - 2d 6 1 3 sx - 6d 6 - x 4 6 3x - 4 2 2x - 1
2 7x + 7 6 3s2 - xd 7 2s3 + xd5x - 3 7 - 3x 8 - 3x 5-2x 7 4 y - 5 6
1 1 6 6 1 y 6 1 4 2 6 y 2 6 30 6 y - 4 6 2 y 6 6y 7 4 -6 6 y 6 -44
6 y 6 6 -1 6 y - 5 6 1, Desigualdades cuadrticas Resuelva las
desigualdades en los ejercicios 35-42. Exprese el conjun- to
solucin en forma de intervalos o uniones de intervalos, y en forma
grfica (en la recta real). Use el resultado segn convenga. 35. 36.
37. 38. 39. 40. 41. 42. Teora y ejemplos 43. Evite caer en el error
de que Para cules nmeros reales a es verdadera esta ecuacin? Para
cules nmeros reales es falsa? 44. Resuelva la ecuacin 45. Una
demostracin de la desigualdad triangular D una ra- zn que
justifique cada uno de los pasos numerados en la siguiente
demostracin de la desigualdad triangular. (1) (2) (3) (4) 46.
Demuestre que para cualesquiera nmeros a y b. 47. Si y qu se puede
decir acerca de x? 48. Trace la grfica de la desigualdad 49. Sea y
sea cualquier nmero positivo. De- muestre que implica Aqu la
notacin se refiere al valor de la expresin cuando Esta notacin de
funcin se explica en la seccin 1.3. 50. Sea y sea cualquier nmero
positivo. Demuestre que Aqu la notacin se refiere al valor de la
expresin cuando (Vea la seccin 1.3). 51. Demuestre que para
cualquier nmero a. 52. Sea a cualquier nmero positivo. Demuestre
que si y slo si o 53. a. Si b es cualquier nmero real distinto de
cero, demuestre que b. Demuestre que a y b Z 0. 54. Usando induccin
matemtica (vea el apndice 1), demuestre que para cualquier nmero a
y n un entero positivo. an = a n ` a b ` = a b para cualesquiera
nmeros 1>b = 1> b . x 6 -a.x 7 a x 7 a -a = a . x = a. 2x +
3(a) sxd - s0d 6 P siempre que x - 0 6 P 2 . P 7 0sxd = 2x + 3 x =
a. 2x + 1(a) sxd - s1d 6 2d. x - 1 6 d d 7 0sxd = 2x + 1 x + y 1. x
7 -1>2, x 3 ab = a b a + b a + b = s a + b d2 = a 2 + 2 a b + b
2 a2 + 2 a b + b2 = a2 + 2ab + b2 a + b 2 = sa + bd2 x - 1 = 1 - x.
-a = a. x2 - x - 2 0x2 - x 6 0 sx + 3d2 6 2sx - 1d2 6 4 1 9 6 x2 6
1 4 4 6 x2 6 94 x2 x2 6 2 2a2 = a 8 Captulo 1: Preliminares
27. 1.2 Rectas, crculos y parbolas 9 Rectas, crculos y parbolas
En esta seccin hablaremos de coordenadas cartesianas, rectas,
distancia, crculos y par- bolas en el plano. Tambin se discutir el
concepto de incremento. Coordenadas cartesianas en el plano En la
seccin anterior identificamos puntos sobre la recta con nmeros
reales asignndo- les coordenadas. Los puntos que estn en el plano
pueden identificarse como pares orde- nados de nmeros reales. Para
empezar, trazamos dos rectas coordenadas perpendiculares que se
intersecan en el punto 0 de cada recta. Estas rectas se llaman ejes
coordenados en el plano. En el eje horizontal x, los nmeros se
denotan mediante x y se incrementan hacia la derecha. En el eje
vertical y, los nmeros se denotan mediante y y se incrementan hacia
arriba (figura 1.5). En consecuencia, hacia arriba y hacia la
derecha son direcciones positivas, mientras que hacia abajo y hacia
la izquierda son consideradas como negati- vas. El origen O tambin
identificado con un 0 del sistema de coordenadas es el punto del
plano donde x y y son cero. Si P es cualquier punto en el plano,
puede ser localizado mediante, exactamente, un par ordenado de
nmeros reales de la siguiente manera. Se trazan rectas que pasen
por P y sean perpendiculares a los dos ejes coordenados. Si estas
rectas intersecan los ejes x y y en puntos con coordenadas a y b,
respectivamente (figura 1.5), entonces el par ordenado (a, b) se
asigna al punto P, y se llama par coordenado. El primer nmero, a,
es la coordenada x (o abscisa) de P; el segundo nmero, b, es la
coordenada y (u ordenada) de P. La coor- denada x de cualquier
punto en el eje y es 0. La coordenada y de cualquier punto en el
eje x es 0. El origen es el punto (0, 0). Empezando con un par
ordenado (a, b), podemos invertir el proceso y llegar al punto P
correspondiente en el plano. Frecuentemente identificamos P con el
par ordenado y escri- bimos P(a, b). Algunas veces tambin nos
referimos al punto (a, b) y el contexto nos permitir saber cuando
(a, b) se refiere a un punto en el plano y no a un intervalo
abierto en la recta real. En la figura 1.6 se muestran varios
puntos identificados por sus coordenadas. Este sistema de
coordenadas se denomina sistema rectangular de coordenadas o
sistema de coordenadas cartesianas (en honor de Ren Descartes,
matemtico francs del siglo XVI). Los ejes coordenados de este plano
coordenado o cartesiano dividen el pla- no en cuatro regiones
llamadas cuadrantes, numerados en sentido contrario al movimien- to
de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 1.6. La
grfica de una ecuacin o desigualdad en las variables x y y es el
conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano, cuyas coordenadas
satisfacen la ecuacin o desigualdad. Cuando se grafican datos en el
plano cartesiano o se traza la grfica de frmulas con va- riables
que tienen distintas unidades de medida, no es necesario usar la
misma escala en los dos ejes. Si graficamos, por ejemplo, tiempo
contra fuerza de propulsin al analizar el comportamiento del motor
de un cohete, no hay razn para colocar la marca que muestra 1
segundo a la misma distancia del origen sobre el eje del tiempo,
que la marca que identi- fica 1 libra sobre el eje de la fuerza de
propulsin. En general, cuando se grafican funciones cuyas variables
no representan medidas fsicas y cuando se trazan figuras en el
plano cartesiano para estudiar su geometra y trigonome- tra, se
intenta que las marcas de las escalas sean idnticas en ambos ejes.
As, una unidad vertical de distancia se ve igual que una unidad
horizontal. Como en un mapa topogrfico o en un dibujo a escala, los
segmentos de recta que supuestamente tengan la misma longi- tud se
vern de un largo equivalente, y los ngulos que supuestamente sean
congruentes se vern congruentes. Las pantallas de calculadoras o
computadoras son otro asunto. Las escalas vertical y horizontal de
las grficas generadas por computadora suelen diferir, y existen
distorsiones en distancias, pendientes y ngulos. Los crculos se
pueden ver como elipses, los rectngulos pueden verse como
cuadrados, los ngulos rectos como agudos u obtusos, etctera. En la
seccin 1.7 estudiaremos con ms detalle estas imgenes y
distorsiones. 1.2 Eje x positivo Eje y negativo Eje x negativo
Origen Eje y positivo P(a, b) 0 1123 2 3a y 1 1 2 3 2 3 b x FIGURA
1.5 Las coordenadas cartesianas del plano se basan en dos ejes
perpendiculares que se intersecan en el origen. x y Segundo
cuadrante (, ) Primer cuadrante (, ) Tercer cuadrante (, ) Cuarto
cuadrante (, ) 1012 2 (0, 0) (1, 0) (2, 1) (1, 3) (1, 2) ( 2, 1) (
2, 1) 1 1 2 2 3 FIGURA 1.6 Identificacin de puntos en el plano xy o
plano cartesiano. Todos los puntos sobre los ejes tienen un par
coordenado, pero usualmente estn marcados con un solo nmero real
(de manera que (1, 0) en el eje x se identifica con 1). Observe los
patrones de los signos de las coordenadas en los cuadrantes.
28. Incrementos y rectas Cuando una partcula se mueve de un
punto del plano a otro, los cambios netos en sus coor- denadas
reciben el nombre de incrementos. Tales incrementos se calculan
restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del
punto final. Si x cambia de a el incremento en x es EJEMPLO 1 Si
vamos del punto al punto B(2, 5), los incrementos en las coor-
denadas x y y son De C(5, 6) a D(5, 1), los incrementos de las
coordenadas son Vea la figura 1.7. Dados dos puntos y en el plano,
llamamos a los incrementos y el avance y la elevacin,
respectivamente, entre y Dos puntos determinan siempre una nica
lnea recta (por lo general denominada simple- mente recta) que pasa
por ambos. La llamamos recta Cualquier recta no vertical en el
plano tiene la propiedad de que la razn Es la frmula dados dos
puntos y en la recta (figura 1.8). Esto se debe a que las razones
de los lados correspondientes de dos tringulos semejantes son
iguales. P2sx2, y2dP1sx1, y1d m = elevacin corrida = y x = y2 - y1
x2 - x1 P1P2. P2.P1y = y2 - y1x = x2 - x1 P2sx2, y2dP1sx1, y1d x =
5 - 5 = 0, y = 1 - 6 = -5. x = 2 - 4 = -2, y = 5 - s -3d = 8. As4,
-3d x = x2 - x1. x2,x1 10 Captulo 1: Preliminares DEFINICIN
Pendiente La constante es la pendiente de la recta no vertical
P1P2. m = elevacin corrida = y x = y2 - y1 x2 - x1 La pendiente nos
indica la direccin (hacia arriba, hacia abajo) a la derecha y la
incli- nacin de una recta. Una recta con pendiente positiva va
hacia arriba a la derecha; una rec- ta con pendiente negativa va
hacia abajo a la derecha (figura 1.9). A medida que aumenta el
valor absoluto de la pendiente, ms rpido es el ascenso o el
descenso de la recta, es de- cir, mayor es su inclinacin. Una recta
con pendiente cero tiene direccin horizontal y no tiene inclinacin.
La pendiente de una recta vertical es indefinida. Como el avance es
cero en el caso de una recta vertical, resulta imposible evaluar la
razn de la pendiente m. La direccin y la inclinacin de una recta
tambin pueden medirse con un ngulo. El ngulo de inclinacin de una
recta que cruza el eje x es el menor ngulo medido en senti- do
contrario al movimiento de las manecillas del reloj del eje x a la
recta (figura 1.10). La inclinacin de una recta horizontal es 0. La
inclinacin de una recta vertical es 90. Si (la letra griega phi, o
fi) es la inclinacin de una recta, entonces 0 f 6 180. f x y 8 x 2
A(4, 3) (2, 3) y 5, x 0 D(5, 1) C(5, 6) B(2, 5) 1 2 3 4 50 1 2 3 4
5 6 1 2 3 y x FIGURA 1.7 Los incrementos de las coordenadas pueden
ser positivos, negativos o nulos (ejemplo 1). P1 P2 (x2 , y2 ) x x
(corrida) P1 (x1 , y1 ) Q(x2 , y1 ) y (eleva cin) y P2 0 Q L x y
FIGURA 1.8 Los tringulos y son semejantes, de manera que la razn de
sus lados tiene el mismo valor para cualesquiera dos puntos sobre
la recta. Este valor comn es la pendiente de la recta. P1QP2 P1QP2
BIOGRAFA HISTRICA* Ren Descartes (15961650) *Para aprender ms
acerca de las figuras histricas y del desarrollo de los elementos y
temas principales del clculo, visite www.aw-bc.com/thomas.
29. En la figura 1.11 se muestra la relacin entre la pendiente
m de una recta no vertical y el ngulo de inclinacin de la misma:
Las rectas tienen ecuaciones relativamente sencillas. Todos los
puntos sobre la recta vertical que pasa por el punto a, en el eje x
tienen coordenadas x iguales a a. Por lo tanto, es una ecuacin para
la recta vertical. De manera similar, es una ecuacin para la recta
horizontal que interseca el eje y en b. (Vea la figura 1.12).
Podemos escribir una ecuacin para una recta no vertical L si
conocemos su pendiente m y las coordenadas, de uno de sus puntos.
Si P(x, y) es cualquier otro punto en L, podemos usar los dos
puntos y P para calcular la pendiente: de manera que y - y1 = msx -
x1d o y = y1 + msx - x1d. m = y - y1 x - x1 P1 P1sx1, y1d y = bx =
a m = tan f. f 1.2 Rectas, crculos y parbolas 11 La ecuacin es la
ecuacin punto-pendiente de la recta que pasa por el punto y tiene
pendiente m. sx1, y1d y = y1 + msx - x1d EJEMPLO 2 Encontrar la
ecuacin de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente
3/2. Solucin Sustituimos y en la ecuacin punto-pendiente para
obtener Cuando as la recta interseca el eje y en EJEMPLO 3 Una
recta que pasa por dos puntos Encontrar la ecuacin de la recta que
pasa por y (3, 4). Solucin La pendiente de la recta es Podemos usar
esta pendiente con cualquiera de los dos puntos dados en la ecuacin
punto- pendiente: Con Con Algunos resultados Esto es, es la ecuacin
de la recta (figura 1.13).y = x + 1 y = x + 1y = x + 1 y = 4 + x -
3y = -1 + x + 2 y = 4 + 1 # sx - 3dy = -1 + 1 # sx - s-2dd sx1 ,
y1d s3, 4dsx1 , y1d s2, 1d m = -1 - 4 -2 - 3 = -5 -5 = 1. s -2, -1d
y = 6.x = 0, y = 6 y = 3 - 3 2 Ax - 2B, o y = - 3 2 x + 6. m =
-3>2x1 = 2, y1 = 3, x y P1 P2 L y x y x m tan FIGURA 1.11 La
pendiente de una recta no vertical es la tangente de su ngulo de
inclinacin. este s este no este s este no x x FIGURA 1.10 Los
ngulos de inclinacin se miden en sentido contrario al movimiento de
las manecillas del reloj, a partir del eje x. x y P2(4, 2) P1(0, 5)
P4(3, 6) P3(0, 2) 10 1 1 2 3 4 6 2 3 4 5 6 L2 L1 FIGURA 1.9 La
pendiente de es Esto es, y aumenta 8 unidades cada vez que x se
incrementa 3 unidades. La pendiente de es Esto es, y disminuye 3
unidades cada vez que x se reduce 4 unidades. m = y x = 2 - 5 4 - 0
= -3 4 . L2 m = y x = 6 - s-2d 3 - 0 = 8 3 . L1
30. La coordenada y del punto donde una recta no vertical
interseca el eje y se llama or- denada al origen de la recta. De
forma similar, la abscisa al origen de una recta no hori- zontal es
la coordenada x del punto donde interseca el eje x (figura 1.14).
Una recta con pendiente m y ordenada al origen b en y pasa por el
punto (0, b), tiene la ecuacin y = b + msx - 0d, o, simplemente, y
= mx + b. 12 Captulo 1: Preliminares x y 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 A lo
largo de esta recta, x 2 A lo largo de esta recta, y 3 (2, 3)
FIGURA 1.12 Las ecuaciones estndar para las rectas vertical y
horizontal que pasan por (2, 3) son x = 2 y y = 3. La ecuacin se
denomina ecuacin pendiente-ordenada al origen de la recta con
pendiente m e interseccin con el eje y, u ordenada al origen, b. y
= mx + b Las rectas con ecuaciones de la forma tienen interseccin
con el eje y 0 y, por lo tanto, pasan por el origen. Las ecuaciones
de esas rectas reciben el nombre de ecuaciones lineales. La ecuacin
se conoce como ecuacin general lineal en x y y, ya que su grfica
siempre representa una recta y toda recta tiene una ecuacin con
esta forma (incluyendo las rectas con pen- diente indefinida).
EJEMPLO 4 Encontrar la pendiente y la ordenada al origen Encontrar
la pendiente y la ordenada al origen de la recta y Solucin Se
despeja y de la ecuacin a fin de ponerla en la forma
pendiente-ordenada al origen: La pendiente es La ordenada y al
origen es Rectas paralelas y perpendiculares Las rectas paralelas
tienen el mismo ngulo de inclinacin, de manera que tienen la misma
pendiente (si no son verticales). Recprocamente, las rectas con
pendientes iguales tienen el mismo ngulo de inclinacin y son, por
lo tanto, paralelas. Si dos rectas no verticales y son
perpendiculares, sus pendientes y satis- facen de manera que cada
pendiente es el recproco negativo de la otra: Para comprobarlo,
observe que, de acuerdo con los tringulos semejantes de la figura
1.15, y Por lo tanto, m1m2 = sa>hds -h>ad = -1.m2 =
-h>a.m1 = a>h, m1 = - 1 m2 , m2 = - 1 m1 . m1m2 = -1,
m2m1L2L1 b = 4.m = -8>5. y = - 8 5 x + 4. 5y = -8x + 20 8x + 5y
= 20 8x + 5y = 20. Ax + By = C sA o B distintas de cerod y = mx x y
b 0 a L FIGURA 1.14 La recta L tiene una interseccin x a y una
interseccin y b. x y 4 02 1 2 3 1 (2, 1) (3, 4) y x 1 FIGURA 1.13
La recta del ejemplo 3.
31. Distancia y crculos en el plano La distancia entre puntos
en el plano se calcula a partir de la frmula del teorema de Pit-
goras (figura 1.16). 1.2 Rectas, crculos y parbolas 13 x y 0 A D Ba
Pendiente m1 Pendiente m2 C L2 L1 h 1 2 1 FIGURA 1.15 es semejante
a En consecuencia, tambin es el ngulo superior en A partir de los
lados de vemos que tan f1 = a>h.CDB, CDB. f1CDB. ADC x2 x1 P(x1
, y1) y2 y1 C(x2 , y1) Q(x2 , y2) x2 x12 y2 y12 d (x2 x1)2 (y2 y1)2
Esta distancia es x y 0 x1 y1 y2 x2 FIGURA 1.16 Para calcular la
distancia entre y aplicamos el teorema de Pitgoras al tringulo PCQ.
Qsx2 , y2d,Psx1 , y1d Frmula de distancia para puntos en el plano
La distancia entre y es d = 2sxd2 + syd2 = 2sx2 - x1d2 + sy2 - y1d2
. Qsx2, y2dPsx1, y1d (1)(x - h)2 + (y - k)2 = a2 . EJEMPLO 5
Calcular la distancia entre dos puntos (a) La distancia del origen
al punto y Q(3, 4) es (b) La distancia entre el origen y P(x, y) es
Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los
puntos P(x, y) cuya distancia desde algn punto fijo, llamado centro
del crculo, C(h, k) es igual a a (figura 1.17). De acuerdo con la
frmula de la distancia, P est en el crculo si y slo si de manera
que 2sx - hd2 + s y - kd2 = a, 2sx - 0d2 + s y - 0d2 = 2x2 + y2 .
2s3 - s -1dd2 + s4 - 2d2 = 2s4d2 + s2d2 = 220 = 24 # 5 = 225. Ps-1,
2d La ecuacin (1) es la ecuacin estndar de un crculo con centro en
(h, k) y radio a. El crculo de radio y centro en el origen es el
crculo unitario, con ecuacin x2 + y2 = 1. a = 1 (x h)2 (y k)2 a2
C(h, k) a P(x, y) 0 x y FIGURA 1.17 Un crculo con radio a en el
plano xy y centro en (h, k) .
32. EJEMPLO 6 (a) La ecuacin estndar del crculo de radio 2 y
centro en (3, 4) es (b) El crculo tiene y El centro es el punto y
el radio es Si la ecuacin de un crculo no est en la forma estndar,
para encontrar su centro y su radio primero deber convertirse la
ecuacin a dicha forma. La tcnica algebraica para ha- cerlo consiste
en completar los cuadrados (vea el apndice 9). EJEMPLO 7 Encontrar
el centro y el radio de un crculo Encontrar el centro y el radio
del crculo Solucin Convertimos la ecuacin a la forma estndar,
completando los cuadrados en x y en y. El centro es y el radio es
Los puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad forman la regin
interior del crculo con centro en (h, k) y radio a (figura 1.18).
El exte- rior del crculo consiste de los puntos (x, y) que
satisfacen Parbolas La definicin geomtrica y las propiedades
generales de las parbolas se abordan en la seccin 10.1. Aqu
hablaremos de las parbolas que surgen al graficar las ecuaciones de
la forma y = ax2 + bx + c. sx - hd2 + s y - kd2 7 a2 . sx - hd2 + s
y - kd2 6 a2 a = 4.s-2, 3d sx + 2d2 + s y - 3d2 = 16 sx2 + 4x + 4d
+ sy2 - 6y + 9d = 3 + 4 + 9 3 + a 4 2 b 2 + a -6 2 b 2 ax2 + 4x + a
4 2 b 2 b + ay2 - 6y + a -6 2 b 2 b = sx2 + 4x d + sy2 - 6y d = 3
x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0 x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0. a = 23. sh, kd
= s1, -5da = 23.h = 1, k = -5, sx - 1d2 + s y + 5d2 = 3 sx - 3d2 +
s y - 4d2 = 22 = 4. 14 Captulo 1: Preliminares Empezamos con la
ecuacin dada. Agrupamos trminos. Pasamos la constante al lado
derecho. Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x en
ambos lados de la ecuacin. Hacemos lo mismo con y. Las expresiones
que estn dentro de los parntesis en el lado izquierdo son ahora
cuadrados perfectos. Factorizamos los trinomios cua- drados
perfectos, como binomios cuadrados. Exterior: (x h)2 (y k)2 a2
Interior: (x h)2 (y k)2 a2 (h, k) a 0 h x y k En: (x h)2 (y k)2 a2
FIGURA 1.18 El interior y el exterior del crculo sx - hd2 + s y -
kd2 = a2 .
33. EJEMPLO 8 La parbola Considere la ecuacin Algunos de los
puntos que satisfacen esta ecuacin son y Estos puntos (y todos los
dems que sa- tisfacen la ecuacin), forman una curva suave llamada
parbola (figura 1.19). La grfica de una ecuacin de la forma es una
parbola cuyo eje de simetra es el eje y. El vrtice de la parbola
(el punto donde la parbola interseca su eje de simetra) est en el
origen. La parbola abre hacia arriba si y hacia abajo si Entre ms
grande sea el valor de la parbola ser ms angosta (figura 1.20).
Generalmente, la grfica de es una parbola desplazada en forma
horizontal y vertical de la parbola En la seccin 1.5 discutiremos
con ms detalle el desplazamiento horizontal y vertical de las
grficas de las funciones cuadrticas. y = x2 . y = ax2 + bx + c a ,a
6 0.a 7 0 y = ax2 s-2, 4d.s0, 0d, s1, 1d, a 3 2 , 9 4 b, s-1, 1d,
s2, 4d, y = x2 . y = x2 1.2 Rectas, crculos y parbolas 15 0 1 212 1
4 (2, 4) (1, 1) (1, 1) (2, 4) 3 2 9 4 , x y y x2 FIGURA 1.19 La
parbola (ejemplo 8). y = x2 La grfica de y = ax2 + bx + c, a Z 0 La
grfica de la ecuacin es una parbola. La par- bola abre hacia arriba
si y hacia abajo si El eje x es la recta (2) El vrtice de la
parbola es el punto donde el eje y la parbola se intersecan. Su
coordenada x es su coordenada y se encuentra sustituyendo en la
ecuacin de la parbola.x = -b>2a x = -b>2a; x = - b 2a . a 6
0.a 7 0 y = ax2 + bx + c, a Z 0, Observe que si tenemos la cual es
la ecuacin de una recta. El eje, dado por la ecuacin (2), puede
encontrarse completando el cuadrado o usando una tcnica que
estudiaremos en la seccin 4.1. EJEMPLO 9 Trazar la grfica de una
parbola Trazar la grfica de la ecuacin Solucin Comparando la
ecuacin con vemos que Dado que la parbola abre hacia abajo. De
acuerdo con la ecuacin (2), su eje es la recta vertical x = - b 2a
= - s-1d 2s-1>2d = -1. a 6 0, a = - 1 2 , b = -1, c = 4. y = ax2
+ bx + c y = - 1 2 x2 - x + 4. y = bx + ca = 0, Ejedesimetra Vrtice
en el origen 1 1 4 3 2 2 3 4 y x2 y x2 6 y x2 10 y x2 2 y 2x2 x y
FIGURA 1.20 Adems de determinar la direccin en la que abre la
parbola , el nmero a es un factor de escalamiento. La parbola se
ensancha conforme a se acerca a cero, y se estrecha conforme
aumenta. a y = ax2
34. Cuando tenemos El vrtice es Las intersecciones con el eje x
se dan en los puntos donde Graficamos algunos puntos, trazamos el
eje y usamos las reglas de direccin de la apertu- ra de la parbola
para completar la grfica de la figura 1.21. x = 2, x = -4 sx - 2dsx
+ 4d = 0 x2 + 2x - 8 = 0 - 1 2 x2 - x + 4 = 0 y = 0: s -1, 9>2d.
y = - 1 2 s-1d2 - s -1d + 4 = 9 2 . x = -1, 16 Captulo 1:
Preliminares Con interseccin en x = 4 y x = 2 Punto simtrico con
interseccin y El vrtice es 9 2 1, Con interseccin en y = 4 (0,
4)(2, 4) 0 1 2 3 123 Ejes:x=1 x y y = x2 x + 4 1 2 FIGURA 1.21 La
parbola del ejemplo 9. EJERCICIOS 1.2 Incrementos y distancia En
los ejercicios 1-4, una partcula se mueve de A a B en el plano
coordenado. Encuentre los incrementos y en las coordenadas de la
partcula. Determine tambin la distancia de A a B. 1. 2. 3. 4.
Describa las grficas de las ecuaciones de los ejercicios 5-8. 5. 6.
7. 8. Pendientes, rectas e intersecciones En los ejercicios 9-12,
grafique los puntos y encuentre la pendiente (si existe) de la
recta que stos determinan. Encuentre tambin la pen- diente comn (si
existe) de las rectas perpendiculares a la recta AB. 9. 10. 11. 12.
En los ejercicios 13-16, encuentre la ecuacin para (a) la recta
verti- cal, y (b) la recta horizontal que pasa por el punto dado.
13. 14. 15. 16. En los ejercicios 17-30, encuentre la ecuacin de la
recta, dados los datos siguientes. 17. Pasa por con pendiente
-1s-1, 1d s-p, 0dA0, - 22B A 22, -1.3Bs-1, 4>3d As-2, 0d, Bs-2,
-2dAs2, 3d, Bs-1, 3d As-2, 1d, Bs2, -2dAs -1, 2d, Bs-2, -1d x2 + y2
= 0x2 + y2 3 x2 + y2 = 2x2 + y2 = 1 As22, 4d, Bs0, 1.5dAs-3.2, -2d,
Bs-8.1, -2d As-1, -2d, Bs-3, 2dAs -3, 2d, Bs-1, -2d yx 18. Pasa por
(2, 3) con pendiente 1/2 19. Pasa por (3, 4) y (2, 5) 20. Pasa por
(8, 0) y (1, 3) 21. Tiene pendiente 5/4 y ordenada al origen 6 22.
Tiene pendiente 1/2 y ordenada al origen 3 23. Pasa por (12, 9) y
tiene pendiente 0 24. Pasa por (1/3, 4) y la recta es vertical 25.
Tiene y abscisa al origen 4 y abscisa al origen 1 26. Tiene y
abscisa al origen 6 y abscisa al origen 2 27. Pasa por (5, 1) y es
paralela a la recta 28. Pasa por y es paralela a la recta 29. Pasa
por (4, 10) y es perpendicular a la recta 30. Pasa por (0, 1) y es
perpendicular a la recta En los ejercicios 31-34, encuentre las
intersecciones con los ejes x y y, y utilice esta informacin para
trazar la grfica de la recta. 31. 32. 33. 34. 35. Encuentra algo
especial en la relacin entre las rectas y Justifique su respuesta.
36. Encuentra algo especial en la relacin entre las rectas y
Justifique su respuesta. Ax + By = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1
Bx - Ay = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1 1.5x - y = -322x - 23y =
26 x + 2y = -43x + 4y = 12 8x - 13y = 13 6x - 3y = 5 22x + 5y = 23A
- 22, 2B 2x + 5y = 15
35. Incrementos y movimiento 37. Una partcula empieza en y sus
coordenadas cambian con incrementos Determine su nueva posicin. 38.
Una partcula empieza en A(6, 0) y sus coordenadas cambian con
incrementos Encuentre su nueva posicin. 39. Las coordenadas de una
partcula cambian con y conforme se mueve de A(x, y) a Determine su
nueva posicin. 40. Una partcula empieza en A(1, 0), da una vuelta
alrededor del ori- gen, en sentido contrario al movimiento de las
manecillas del re- loj, y regresa a A(1, 0). Cules fueron los
cambios netos en sus coordenadas? Crculos En los ejercicios 41-46,
encuentre la ecuacin para el crculo con el centro C(h, k) y el
radio a. Despus, trace el crculo en el plano xy. In- cluya el
centro del crculo en su grfica, e identifique, de existir, las
intersecciones del crculo con los ejes x y y. Etiquete estos puntos
con sus pares coordenados. 41. 42. 43. 44. 45. 46. Grafique los
crculos cuyas ecuaciones se dan en los ejercicios 47-52. Determine
el centro de cada crculo y las intersecciones con los ejes (si
existen) con sus pares coordenados. 47. 48. 49. 50. 51. 52.
Parbolas Grafique las parbolas de los ejercicios 53-60. Determine,
en cada ca- so, las coordenadas del vrtice, el eje de simetra y las
intersecciones con los ejes si existen. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59.
60. Desigualdades En los ejercicios 61-68, describa las regiones
definidas por las desi- gualdades o pares de desigualdades. 61. 62.
63. 64. 65. 66. 67. x2 + y2 + 6y 6 0, y 7 -3 x2 + y2 4, sx + 2d2 +
y2 4 x2 + y2 7 1, x2 + y2 6 4 x2 + sy - 2d2 4 sx - 1d2 + y2 4 x2 +
y2 6 5 x2 + y2 7 7 y = - 1 4 x2 + 2x + 4y = 1 2 x2 + x + 4 y = 2x2
- x + 3y = -x2 - 6x - 5 y = -x2 + 4x - 5y = -x2 + 4x y = x2 + 4x +
3y = x2 - 2x - 3 x2 + y2 + 2x = 3 x2 + y2 - 4x + 4y = 0 x2 + y2 -
4x - s9>4d = 0 x2 + y2 - 3y - 4 = 0 x2 + y2 - 8x + 4y + 16 = 0
x2 + y2 + 4x - 4y + 4 = 0 Cs3, 1>2d, a = 5C A - 23, -2B, a = 2
Cs1, 1d, a = 22Cs-1, 5d, a = 210 Cs-3, 0d, a = 3Cs0, 2d, a = 2 Bs3,
-3d. y = 6x = 5 x = -6, y = 0. x = 5, y = -6. As-2, 3d 68. 69.
Determine una desigualdad que describa los puntos que estn dentro
del crculo con centro en (2, 1) y radio 70. Determine una
desigualdad que describa los puntos que estn fue- ra del crculo con
centro en (4, 2) y radio 4. 71. Determine un par de desigualdades
que describan los puntos que estn dentro o sobre el crculo con
centro en (0, 0) y radio y sobre o a la derecha de la recta
vertical que pasa por (1, 0). 72. Determine un par de desigualdades
que describan los puntos que estn fuera del crculo con centro en
(0, 0) y radio 2, y dentro del crculo que tiene centro en (1, 3) y
pasa por el origen. Interseccin de rectas, crculos y parbolas En
los ejercicios 73-80, grafique las dos ecuaciones y encuentre los
puntos en donde se intersecan las grficas. 73. 74. 75. 76. 77. 78.
79. 80. Aplicaciones 81. Aislantes Mida las pendientes de la
siguiente figura para esti- mar el cambio de temperatura, en grados
por pulgada, para estos aislantes: (a) tablero de yeso; (b) fibra
de vidrio; (c) revestimiento de madera. x2 + y2 = 1, x2 + y = 1 x2
+ y2 = 1, sx - 1d2 + y2 = 1 y = 1 4 x2 , y = sx - 1d2 y = -x2 , y =
2x2 - 1 x + y = 0, y = -sx - 1d2 y - x = 1, y = x2 x + y = 1, sx -
1d2 + y2 = 1 y = 2x, x2 + y2 = 1 22, 26. x2 + y2 - 4x + 2y 7 4, x 7
2 1.2 Rectas, crculos y parbolas 17 Temperatura(F) 0 10 20 30 40 50
60 70 80 Distancia entre la pared (pulgadas) 0 1 2 3 4 5 6 7
Tablero de yeso Revestimiento de madera Tablas de acabado Aire
exterior a 0F Fibra de vidrio Aire dentro de la habita cin a 72F
Cambios de temperatura en la pared, ejercicios 81 y 82.
36. 82. Aislantes De acuerdo con la figura del ejercicio 81,
cul de los materiales es mejor aislante? Cul es el peor? Explique.
83. Presin bajo el agua De acuerdo con la frmula (k constante), la
presin p que experimenta un buzo bajo el agua est relacionada con
la profundidad d a la que se encuentra. La presin es de 1 atmsfera
en la superficie; a 100 metros es, aproxi- madamente, 10.94
atmsferas. Determine la presin a 50 metros. 84. Reflexin de la luz
Un rayo de luz viaja a lo largo de la recta desde el segundo
cuadrante, y se refleja sobre el eje x (vea la siguiente figura).
El ngulo de incidencia es igual al ngu- lo de reflexin. Escriba la
ecuacin de la recta por la que viaja la luz. x + y = 1 p = kd + 1
88. Demuestre que el tringulo con vrtices en A(0, 0), y C(2, 0) es
equiltero. 89. Pruebe que los puntos B(1, 3) y son vrtices de un
cuadrado, y encuentre el cuarto vrtice. 90. El rectngulo que se
muestra enseguida tiene lados paralelos a los ejes, es tres veces
ms largo que ancho y tiene un permetro de 56 unidades. Encuentre
las coordenadas de los vrtices A, B y C. 91. Tres paralelogramos
diferentes tienen vrtices en (2, 0) y (2, 3). Trcelos y encuentre
las coordenadas del cuarto vrtice de cada uno. 92. Como se muestra
en la figura, una rotacin de 90 alrededor del origen en sentido
contrario al movimiento de las manecillas del reloj, manda el punto
(2, 0) a (0, 2) y (0, 3) a A dnde manda cada uno de siguientes
pares? a. (4, 1) b. c. d. (x, 0) e. (0, y) f. (x, y) g. De qu punto
proviene (10, 3)? 93. Para qu valor de k la recta es perpendicular
a la recta Para qu valor de k estas rectas son paralelas? 94.
Encuentre la recta que pasa por el punto (1, 2) y por el punto en
donde se intersectan las dos rectas y 95. Punto medio de un
segmento de recta Demuestre que el punto con coordenadas es el
punto medio del segmento de recta que une y Qsx2 , y2d. Psx1 , y1d
a x1 + x2 2 , y1 + y2 2 b 2x - 3y = -1.x + 2y = 3 4x + y = 1? 2x +
ky = 3 x y (2, 5) (2, 3) (2, 0)(3, 0) (0, 2) (0, 3) (4, 1) s2,
-5ds-2, -3d s-3, 0d, s-1, 1d, x y A B D(9, 2) C 0 Cs -3, 2dAs2,
-1d, BA1, 23B , 18 Captulo 1: Preliminares ngulo de incidencia
ngulo de reflexin x y 1 1 0 1 x y La trayectoria del rayo de luz
del ejercicio 84. Los ngulos de incidencia y de reflexin se miden
desde la perpendicular. 85. Grados Fahrenheit y grados Celsius
Trace la grfica de la ecuacin en el plano FC, que relaciona las
temperaturas de grados Fahrenheit y Celsius. Trace en el mismo
plano la grfica de la recta C = F. Hay alguna temperatura en la que
el termmetro Celsius d la misma lectura numrica que el termmetro
Fahrenheit? Si la res- puesta es afirmativa, determnela. 86. Va
frrea Los ingenieros civiles calculan la pendiente del fir- me para
una va frrea como la razn de la distancia que se sube o baja entre
la distancia horizontal que se recorre. Los especialistas denominan
esta razn inclinacin del firme de la va, y casi siempre la escriben
como porcentaje. A lo largo de la costa, la in- clinacin de las vas
comerciales suele ser inferior a 2%. En las montaas puede llegar
hasta 4%. Las inclinaciones de las autopis- tas son, por lo
general, menores que 5%. La parte ms empinada de la va frrea
metropolitana Was- hington Cog, en New Hampshire, tiene una
inclinacin excepcio- nal, de 37.1%. A lo largo de esta parte del
trayecto, los asientos delanteros de los vagones del tren estn 14
pies arriba de los tra- seros. Qu tan apartadas estn las filas de
asientos delanteros y traseros? Teora y ejemplos 87. Para probar
que el tringulo con vrtices en los puntos A(1, 2), B(5, 5), y es
issceles y no equiltero, calcule las longi- tudes de sus lados.
Cs4, -2d C = 5 9 sF - 32d