República Bolivariana de Venezuela Universidad Pedagógica Experimental
Libertador.Instituto Pedagógico de Barquisimeto
“Luis Beltrán Prieto Figueroa”Barquisimeto Estado Lara
Alumnos:José MorilloFabiana PérezRebeca MendozaProfesor: Ezequiel Crespo
DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Vamos a estudiar el cálculo de derivadas como una operación entre funciones.
La derivada de una función f(x) se escribe f ‘(x)
La derivada de una constante es 0.
0' xfkxf 0'525 xfxf
DERIVADA DE LA IDENTIDAD
1' xfxxf
( ) ;af x x a R 1( ) af x ax 5( )f x x 4( ) 5f x x
3( )f x x 3 1( ) 3f x x 43x
3 2( )f x x2
3( )f x x2
132
( ) .3
f x x
1
32.
3x
1
3
2 1
3 x
3
2
3 x
Derivada de una suma de funciones:
Es igual a la suma de las derivadas de cada función ( )f g h f g h
435 xxxxf
0135' 24 xxxf 135 24 xx
2
2( )f x
x 2( ) 2f x x 2 1( ) ( 2).2f x x 34x
DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN
xfkxfk '' k
xf
k
xf ''
25xxf '25' xxf x25 x10
6
15xxf
6
''
15xxf
6
15 14x
2
5 14x
5435 24 xxxxf
5'4'3'5' 24 xxxxf 0142345 3 xx 4620 3 xx
DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES
( . ) . .f g f g g f
3( ) (2 1)f x x x 3 3( ) ( ) .(2 1) (2 1) .f x x x x x 2 33 (2 1) 2x x x 3 28 3x x
DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES
2
. .f f g g f
g g
2( )
3
xf x
x
2
(2 ) .( 3) ( 3) .2( )
( 3)
x x x xf x
x
2
2.( 3) 1.2
( 3)
x x
x
2
6
( 3)x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA. REGLA DE LA CADENA
xgxgfxgfxgf ''''
( ) ;af x g a R
2 3( ) ( 1)f x x 2 2 2( ) 3( 1) .( 1)f x x x 2 23( 1) .2x x 2 26 ( 1)x x
852 xxf '52528' 7 xxxf 2528 7 x 75216 x
1( ) ;af x ag g a R ‘
Deriva las siguientes funciones:
4
2) ( ) ;
(2 3)a f x
x
2 1
) ( ) ;2 1
xb g x
x
9) ( ) 3 ( 1)c h x x x
:Soluciones4
4
2) ( ) 2(2 3)
(2 3)a f x x
x
4 1( ) ( 4).2(2 3) .(2 3)f x x x 58(2 3) .2x 516(2 3)x
2 1) ( )
2 1
xb g x
x
2
2.(2 1) 2(2 1)( )
(2 1)
x xg x
x
2
4 2 4 2
(2 1)
x x
x
2
4
(2 1)x
9) ( ) 3 ( 1)c h x x x 9 8( ) 3( 1) 9( 1) .3h x x x x 9 83( 1) 27 ( 1)x x x
Derivadas de funciones definidas por la raíz cuadrada de
otra función: ( ) ( )f x g x
Se derivan de la siguiente manera: ( )f x ( )g x
2 ( )g x
EJEMPLOS:
2( ) 3 4 1f x x x ( )f x 6 4x
22 3 4 1x x
( ) 4 2g x x ( )g x 4
2 4 2x 2
4 2x
2 3 2( )
5
x xh x
2
2 35( )
3 22
5
x
h xx x
También se pueden derivar pasando la raíz a la forma potencial 21
2
2: ( )
1
xDeriva esta función f x
x
2 2
2 2( )
1 1
x xf x
x x
Separamos en dos raíces:
2 2
2 2
( 2 ) . 1 ( 1) . 2( )
( 1)
x x x xf x
x
2: ( )
xDeriva esta función f x
x
2
2
2
2 2. 1 . 2
2 2 2 11
xx x
x xx
2
2
2
1 2
2 11
x x x
x xx
2 2
2
2
1 2
2 ( 1)
1
x x
x x
x
2
2 2
1
( 1) 2 ( 1)
x
x x x
2
2 2
1. 2 .
2( )( )
x x xxf xx
2
4
2 .2
xx x
xx
2 2
4
4
2
x x
xx
2
4
3
2
x
x x
2
3
2x x
( ) xf x e
( ) gf x e
( ) .gf x e g
( ) xf x e ( ) xf x a
( ) .logxf x a a
( ) gf x a
( ) . .loggf x a g a
EJEMPLOS
2 3( ) x xf x e 2 3 2( ) .( 3 )x xf x e x x
2 3(2 3) x xx e
5 1( ) 3 xf x 5 1( ) 3 .(5 1) .log3xf x x 5 13 .5.log3x 5 15log 3.3 x
2 3( ) xf x x e 3 3 2( ) 2 . ( 3).x xf x x e e x 3 2 32 . 3x xx e x e 3 (2 3 )xxe x
1( )
x
xf x
e
2
1. ( 1)( )
( )
x x
x
e e xf x
e
2
x x x
x
e xe e
e
2
x
x
xe
e xxe
( ) logf x x (log : indica logaritmo neperiano de x)x
1( )f x
x
Si es en forma compuesta:
( ) logf x g ( )g
f xg
2( ) log(3 4 )f x x x 2
2
(3 4 )( )
3 4
x xf x
x x
( ) log( 2 )f x x( 2 )
( )2
xf x
x
2
2 22xx
1
22xx
1
2x
2
6 4
3 4
x
x x
( )f x sen x
( ) cosf x x ( ) cosf x x
( )f x sen x
( )f x sen g
( ) cos .f x g g
( ) cosf x g
( ) .f x sen g g
2( ) ( 3)f x sen x 2 2( ) cos( 3).( 3)f x x x 22 cos( 3)x x
2( )f x sen x 2( ) ( )f x sen x ( ) 2. .( )f x sen x sen x 2. cossen x x
2( ) cosf x x 2 2( ) .( )f x sen x x 2.2sen x x 22 .x sen x
3( ) cos (2 3)f x x 3( ) [cos(2 3)]f x x
2( ) 3[cos(2 3)] .[cos(2 3)]f x x x 23[cos(2 3)] .[ (2 3).(2 3) ]x sen x x 23[cos(2 3)] .[ (2 3).2]x sen x 26cos (2 3). (2 3)x sen x
DERIVADA DE LA TANGENTE
( )cos
sen xf x tg x
x
2
cos .cos ( ).( )
(cos )
x x sen x sen xf x
x
2 2
2
cos
cos
x sen x
x
2
1
cos x
21 tg x
( )dos formas
DERIVADA DE LA COTANGENTEcos
( )x
f x cotg xsen x
2
. cos .cos( )
( )
sen x sen x x xf x
sen x
2 2
2
( cos )sen x x
sen x
2
1
sen x
21 cotg x ( )dos formas
EJEMPLOS:
( ) 5f x tg x 2( ) (1 5 ).(5 )f x tg x x 25(1 5 )tg x
3( ) xf x cotg e 2 3 3( ) ( 1 ).( )x xf x cotg e e 2 3 3( 1 ). .3x xcotg e e 3 2 33 ( 1 )x xe cotg e