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88 R. GOMEZ MARTIN

diculares a la direccin de propagacin k, luego de (6 . 25) y (6.26) H,

E y k forman un triedro directo . Veamos ahora la relacin que liga a las amplitudes de los campos

elctrico y magntico. -De (6.25) , sustituyendo E y H, obtenemos (6.29)

u2 como es un nmero real, E0 y H0 estn en fase.

- / ( l.A. f " )l/: Ya que la unidad de H es el A m y la unidad de E, el V/m , 1 e tiene la dimensin de una resistencia y se denomina impedancia intrn-

seca o caracterstica del medio. Para el caso del vaco (\lIE:o)"i= 3H.n

En la figura 6.2 se representa en un cierto instante la variacin

espacial de los vectores E y H, perpendiculares entre s y perpendicu-lares a la direccin de propagacin . Por ello, las ondas planas se de-nomi nan transversales electromagnticas (TEM).

La amplitud del campo magntico en una onda plana en el espacio

libre es normalmente muy pequea . La razn de E0 a B0 es la velocidad de luz en el espacio libre. Si l a amplitud del campo elctrico en

una onda plana es 0'1 V/m como es el caso de una onda de radio a unos

kilmetros del transmisor, la amplitud del campo magntico es O' 1/3 . . 1 08 o 3' 3. 10- 1 OT .

X

F.i.g. . 6 . 2

Es interesante notar que las ecuaciones de Maxwell no imponen ni ngn lmite a la frecuencia de las ondas electromagnticas. El es -

pectro experimentalmente investigado se extiende de modo continuo des-

de las ondas largas de radio hasta los rayos gamma, observados en la

..

CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION 89

radiacin csmica . Para las primeras, las frecuencias son del orden de

104 s-1 y las longitudes de onda, de unos J.104m y para las ltimas, . 24 -1 - 16 los valores correspondientes son 10 s y 3.10 m. Como vemos, el

espectro cubre un intervalo de veinte rdenes de magnitud (fig. 6.3).

Es interesante destacar tambin que hemos preferido utilizar el

campo magntico H en lugar del B, debido a dos r azones : 1) E~H es una densidad de flujo de potencia.

2) E/H tiene dimensiones de impedancia.

Estos dos conceptos son de gran importancia prctica.

Energa Longitud de onda

100 MeV Rayos~

Me V

Rayos X 1 O KeV

Frecuencia

1O16 Hz 100

Ultravioleta m e V

Visible 1o14 Hz

ev m

1o1 2 Hz

Infrarrojo 1 O me V m

Microondas

10 Hz m

106 Hz ----- ----------- ---------------------- m

Radio

1 o4 Hz m

m

F -'-J. 6 . J

3. - Energa del campo electromagntico. Flujo de energa, vector de Poynting .

En un medio lineal donde existen campos elctricos y magnticos,

la energa e l ectromagntica por unidad de volumen viene dada por

(6 . 30)

y para ondas planas

( 6 . 31)

n

90 R. GOMEZ MARTIN

de (6.29), obtenemos

(6 .32 )

que son las expresiones instantneas de la densidad de energa a que da lugar la onda en su propagacin .

Como la energa vara con el tiempo segn E2 o H2 , es decir, como

Eo"cm ... lv..>l-\< s ) \-\;cm1

..

CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION 9 1

propagan en la misma direccin con frecuencias iguales, pero , en gene-

ral, con amplitudes y fases arbitrarias distintas entre si . Supongamos que las ondas se propagan segn la direccin z, una polarizada en el

plano xz y otra en el plano YZ, tal como muestra la figura 6.5. Convi~ ne recordar que convencionalmente se denomina plano de polarizacin al

X

F.i..9- 6. 5

formado por la direccin de propa-

gacin y el campo elctrico. Veamos

cual es el lugar geomtrico del ve~ tor campo resultante de la composi -

cin de estas dos ondas planas . Se-

guimos suponiendo medios con cr =0 aunque, como veremos en el captulo siguiente, el efecto de una conduc -

tividad finita en un medio homog-neo e istropo , que interviene como

un factor exponencial comn a todas las componentes del campo, no in-

fluir en la polarizacin. Tenemos que

(6 . 35)

Llamando 1, , l(r:+,,~92 y cL., .J"v se obtiene , tras sencillos c_! culos que envuelven solamente relaciones trigonomtricas elementales :

d. di

F.9- 6.6

e {q-1 ..) J E,

(6 . 36)

que indica que el lugar geomtrico

de los vectores cuyas componentes son E y E es una elipse en el pla

X y -no XY, tal como se ve en la figura

6 . 6 . En este caso se dice que la onda est polarizada elpticamente .

En el caso de que queramos co-

nocer la velocidad angular del vec-- ~ " tor Et=Exi+Eyj, podemos calcularla de la siguiente forma :

E.~- E~ E. \Et\"

(6 . 37)

Cuando d=mn/2 con m=:!.1, :!.3, ! 5 .. ., la ecuacin (6 .36 ) queda

92 R. GOMEZ MARTIN

(6. 38)

que es la expresin de una elipse cuyos ejes estn en las direcciones

x e y. Si , adems , a=b, tenemos

(6.39)

que es la ecuacin de una ~ircunferencia . Particularizando la expre-

sin (6 . 37) a este caso, se obtiene~= !w; por tanto, se ve que el ve~ tor campo elctrico gira en el sentido de las agujas del reloj con una

velocidad angularW=2nf cuando =- TI/2 y en sentido contrario si J =fl/2. Otro caso particular es aqul en que la elipse de polarizacin

degenera en un lnea recta . Esto ocurre cuando =~mn, siendo m un ente ro cualquiera . En esta condicin:

(6.40)

que es la ecuacin de una recta que pasa por el origen . Tenemos, por

tanto, una onda polarizada linealmente. Las componentes de E son , en-tonces

E"~ b e.o~ twt- \

' .,

CAMPO ELECTROMAGNETJCO. PROPAGACJON Y RADIACION 93

CAPITULO VII. PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS

CONDUCTORES .

1 .- Introduccin .

En el catulo anterior hemos considerado la propagacin de ondas

electromagnticas en medios lineales , homogneos, istropos y con con-ductividad nula .

Vamos a estudiar ahora la propagacin de ondas electromagnticas

cuando el medio tiene conductividad no nula (~~O) . Veremos como en es -tas circunstancias las componentes espectrales de la seal que se pro-paga lo hacen con velocidades de fase que dependen de la frecuencia,

por lo que la seal se deformar a medida que se propaga ; sin embargo , bajo ciertas condiciones , ser pos i ble asociar a la seal una veloci-dad de propagacin de su energa , que se denomina velocidad de grupo .

2 .- Propagacin de ondas electromagnticas en medios conductores . Profundidad de penetracin .

Supongamos una onda electromagntica plana propagndose en la di-

reccin ~ en el vaco y que incide normalmente sobre la superficie de un material conductor que supondremos libre de fuentes de campo , as

como lineal, istropo y homogneo. En general existir una onda refle-jada y otra que se propaga en el material conductor , se tratar nica-

mente esta onda electromagntica.

La ecuacin para una onda propagndose en un medio conductor es

( 7 . 1 )

existiendo una ecuacin anloga para H. El ltimo trmino es el dis ipa tivo debido a la conductividad no nula del medio y , por tanto , a la existencia de una prdida irreversible de calor por efecto Joule .

Dada la linealidad de la ecuacin anterior , nos limitaremos a se-ales armnicas ya que por s uperposicin de ellas se puede recons truir cualquier otra seal ms complicada .

Usando notacin compleja , la variacin temporal armnica del c am-po elctrico E puede representarse por

_ jwl

El ~.-t. l = Elsl e ( 7 . 2)

Sustituyendo es t a ecuacin en la (7 . 1 ) , obtenemos

94 R. GOMEZ M ART IN

En estas ecuaciones se ha omitido el factor e jwt que da cuenta de la dependencia temporal. Este factor habr que aadirlo a las solu-

ciones de la ecuacin diferencial anterior cuando queramos indicar ex-

plcitamente dicha dependencia . Asimismo, para simplificar, no s e ha indicado el argumentos de E en la ecuacin (~ .3) .

El segundo miembro de ( 7. 3) se ha expresado de di versas formas

con objeto de definir varios parametros de inters en el estudio de la propagacin de las ondas electromagnticas, que son:

- Permitividad compleja :

(7 .4)

- Factor de propagacin complejo :

(7. 5)

- Factor Q del medio (razn entre la densidad de corriente de despl~ zamiento y la densidad de corriente de conduccin)

Q .,. lon/'Oll l j 1

(7 . 6)

Una clasificacin convencional, de acuerdo con el factor Q, de

los medios, es la siguiente : -Medio dielctrico: Q. '> 100 ; w E. ..,.., o-

-Cuasiconductores: 1 1 loo .c. C1 < 1 oo J -Conductores: G. < l /loo . w E. .c.< a-_,

Cuando 0-=0 , tenemos un dielctrico perfecto y cuando


(7 . 8)

donde k es el nmero de onda ; O(. la constante de atenuacin y ca' la constante de propagacin o constante de fase.

De acuerdo con (7 . 2) y (7 . 3) los campos sern

-Et i;,l) j twl-H.) e (7 . 9) De la ecuacin de Faraday en forma diferencial para ondas planas ,Yt.~= = - 0 s , deducimos que

'Ol

( 7 . 1 O)

Por tanto, el campo elctrico y el magntico estn relacionados por l a

expresin

\ 1 \~I

sientlo Zc la impedancia compleja

(7 . 11)

( 7 .1 2)

_. donde n es el vector unitario en la direccin de pro pagacin y k el ve ctor nmero de onda .

Estas ecuaciones se reducen a las del cap tulo anterior sin ms

que hacer

96 R. GOMEZ MARTIN

De aqu se deduce que hay un desfase entre H y E de 45 .

Por tanto, de acuerdo con ( 7. 9), las expresiones de los campos

dentro del conductor son - -

\

(

' ..

CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACJON 97

Por otra parte, la velocidad de fase est dada por v=VW/f-t~ que decrece cuando cr aumenta. En el lmite, cuando o- es infinito,>.. =0 y v=O, y por tanto, no existe onda en el medio.

Debido a que la profundidad de penetracin es inversamente propo~ cional a la raz cuadrada de la frecuencia, una capa estrecha de mate-

rial conductor puede actuar c~

mo un filtro pasa- baja para

be

a

ondas electromagnticas . La densidad de energa elctrica

es ~t:fo2

De (7 . 14 ' ) , la dens~ dad de energa magntica es

z cr .,, .. ~ f-"-0 ' 'wl ; por tanto , la razn entre ellas es Q: ~ que como

hemos supuesto es una cantidad muy pequea, con lo cual la e-nerga elctrica dentro del

conductor es despreciable fre~ Fi.r;.. 7. 1

te a la magntica . Esto se de-

a la elevada conductividad o- que provoca que la razn E/J sea pequ~ (eampo elctrico dbil frente a la densidad de corriente que es re-

lativamente elevada) . El efecto "skin" frente a la frecuencia se da en l a tabla 7 . 1 . En

ella, la tercera columna da la frecuencia a la cual la corriente de

conduccin es igual a la corriente de desplazamiento . Los valores cru-zados para J indican que a estas frecue ncias domina la corriente de desplazamiento . Las aproximaciones hechas no son vlidas y, por tanto , estos valores no son significativos.

3 .- Propagacin en dielctricos imperfectos .

En dielctricos imperfectos o con pequeas prdidas , se verifica que O ,.1 00, w e">'> C ; entonces, desarrollando ( 7 . 1 3) en forma binmica ,

se tiene:

_j_ "' 1 J .Q i Q."

( 7 . 1 7)

( 7 . 1 8)

( 7 . 1 9)

y la velocidad de propagacin

98 R. GOMEZ MARTIN

(7 .20)

As pues, el campo elctrico, al igual que el magntico, experi-

men ta una peque'la atenuacin ( les muy peque'lo debido a que


y la permitividad compleja generalizada, de acuerdo con (7 . 4), por

(7 . 25)

-La densidad de corriente total JT' vendr dada por

que se representa en la figura 7 . 2.

jwE.'E

F"-9. 7.2

das son pequeas.

(7 . 26)

En el caso en que cr sea des-

preciable , bien porque supongamos un dielctrico perfecto o por la

alta frecuencia del campo, se ten-

dr que w t." ;.)0-, entonces r:f ~ c:f A la relacin entre la corrien

te de conduccin y la de desplaza-

miento en el dielctrico se la de-

nomina tangente de prdidas o fac -tor de disipacin

(7 . 27)

debido a que en general las prdi-

La prdida irreversible en forma de calor por unidad de tiempo y

unidad de volumen , debido al efecto de polarizacin del dielctrico

solamente , ser

(7 . 28)

por otro lado la energa mxima almaceneda por unidad de volumen es:

w_, : ~E.' t,,~ , entonces el factor O o factor de calidad del dielctrico ser

= wener2a mxima almecenada O perd i da media de potencia

1

tg (7 . 29)

o bin igual i /~9l si consideramos la prdida por efecto Joule debida

acr.

5 . - Concepto de resistencia superficial.

Para las aplicaciones prcticas a altas frecuencias es importante

conocer la potencia media perdida por unidad de rea en un conductor

100 R. GOMEZ MARTIN

para una amplitud dada de la onda en la superficie. Esta informacin

se usar para determinar la atenuacin a lo largo de lneas de transm~

sin y guas de ondas . Supongamos que, en la superficie plana de un conductor , la amplitud del campo magntico es H0 y que la onda incide

normalmente y se propaga hacia el interior del conductor (fig.7 . 3). La

hg. 7.3

por lo que

potencia media absorbida por unidad de rea del conductor

est dada por la parte real

del vector comple jo de Poyn-ting:

De las ecuaciones (7.14) y (7 .

. 14 ' ):

E"I-

( 7. 30)

""' La magnitud l.t-W /~

\ ,.


1 ' 33 .10-3 W/m 2 .

6.- Velocidad de grupo .

Hasta ahora hemos considerado el caso ideal de una onda monocro-

mtica plana , es decir, con un nmero de onda y una frecuencia fijos. En el caso de propagacin de una onda de este tipo en un medio disper-

si vo, la velocidad de propagacin (velocidad de fase) de la onda mono-

cromtica depende de s u frecuencia. En la prctca no se presenta nun-ca la situacin ideal de onda monocromtica pura . En general , lo que

ocurre es que un posible emisor emi te una cierta seal f ( ~, t) durante un intervalo finito de tiempo que, de acuerdo con el teorema de Fou-rier, se puede descomponer en un espectro contnuo de frecuencias de

amplitudes Aw tal que

f (.,t) = J ( 7 . 32) -oo

En el caso de propagacin de la seal en un medio dispersivo, ca-

da componente espectral viajar a una velocidad diferente y la seal

se deformar de forma que, si en un punto s; sumamos las ondas y ha-llamos la transformada inversa, obtendremos una nueva fu ncin f' ( ~', ,t ) . En el caso , comn en la prctica de que el espectro o grupo de

frecuencias de inters sea estrecho y el medio de transmisin poco di~

persivo , puede encontrarse una sola velocidad caracterstica del grupo

o paquete de ondas que es la velocidad de grupo .

Supongamos un grupo de frecuencias centrado en una portadora de

frec uencia w. y tal que A...,'::!. O salvo cuandoW=~ . Este conjunto consti -

tuye lo que se denomina grupo o paquete de ondas . (Fig . 7 . 4) .

A(w)

w

En estas condiciones ,

. 24) puede escribirse

(7 .

J jtwl-~t)

f l s ,t) = Aw e clw (7 . 33) ""'

extendida a los valores de w que no hacen A...,=O. Dado que (3 = = (?. (w) , podemos desarrollarla

en serie de Taylor alrededor

de la frecuencia w. en la f or-ma :

o 1 ~ Cl2t31 (3 (W) = B(Wo) -\- ~ (C.H.Jo) ' ....:....+--! . \ aw - ow"

(W-Wol" --- +- ... (7 . 34)

- w. .,

102 R. GOMEZ MARTIN

Para grupos estrechos en que (w-w. ) es muy pequeo se puede linealizar

la expresin (7 .34 ) escribiendo

( 7. 35)

donde el signo ' significa derivacin respecto a wy el subndice ce-ro, que los valores estn particularizados a la frecuencia w . Susti-tuyendo (7 . 35) en (7 . 33) obtenemos

f )wlt -~ s) eJ (ro'w$-(3o5) J AUJ e c:lw

bl. f ls. t ) =- (7.36)

que puede escribirse, teniendo en c uenta ( 7. 33) para $ =O , como

(7 . 37)

La seal en un punto s tiene la misma amplitud que en el origen despus de un tiempo t= ('>o's y un desfase dado por (>o'Wo s -(3os . La veloci-dad a que se ha propagado la seal y , por tanto , la energa asociada ,

es

(7 . 38)

De las relaciones ~ 0~11/A. y W=~\1 podemos obtener algunas expresiones al ter nativas para la velocidad de grupo que , a veces, resultan convenien-

tes :

(7 . 39)

Si la velocidad de fase varia lentamente con la frecuencia, un pulso puede viajar a travs de un medi o dispersivo con un cambio rela-

tivamente pequeo ; pero si esta condicin no se satisface , el grupo se distorsiona mucho y el concepto de velocidad de grupo no es ya vlido .

Es de notar el hecho de que una concentracin del campo e n el es-

pacio no implica una concentracin correspondiente del espectro de fr~

c uencias , sino todo lo contrario, de acuerdo con la propiedad de cam-bio de escala de la tr an s formada de Fourier que indica que entre la

duracin de la seal y su ancho de banda existe una relacin inversa .

...... , _,

Permitividad Efecto Efecto "skin" a frecuencia f relativa Frecuencia "skin"

Conductividad o- E..- = EfEo a la que o l. /fnf f'-(J Material S/m Ea=8'854.10-12 e Todos estos materiales son no magnticos : f ~fo=4 .10- 7 H/m > (') o z

TABLA 7 . 1 o "'

CAMPO ELECTROM AGNETICO. PROPAGACION Y RAO IAC!ON 105

CAPITULO VIII. PRESION DE RADIACION . INCIDENCIA NORMAL DE UNA ONDA

PLANA SOBRE LA SUPERFICIE DE SEPARACION DE DOS

MEDIOS .

- Introduccin.

En el captulo anterior hemos estudiado la propagacin de ondas

electromagnticas en medios infinitos y continuos y ahora estudiaremos

los efectos de una discontinuidad en el medio de propagacin . Para ev~

tar reflexiones mltiples, supondremos que a ambos lados de la super-

ficie de separacin los dos medios se extienden hasta el infinito y

que los dielctricos son no conductores, lineales, istropos y homog-

neos. Nos limitaremos, en este captulo , exclusivamente a incidenc i a

normal y veremos como el hecho ya conocido de que la radiacin electr~

magntica no solo es portadora de energa sino tambin de momento, i m-

plica la existencia de una presin de radiacin sobre el material

que incide . A continuacin se estudia la incidencia normal de un a

onda electromagntica sobre la super f i cie de un conductor y la d e u n

dielc t rico .

2 . - Presin de radiacin.

Como se vi en el captulo I I , la divergencia del tensor electro-

magntico de Maxwell es igual a la fuerza volrnica de origen electro-

magntico ms la variacin temporal de la densidad de momento asociada

al campo . Esto se formu l aba , pa r a l a componente~ . omitiendo supern-

dices, de la forma siguiente :

( 8 . 1 )

Veamos como l a aplicacin de

este resul t ado a u na onda electro-

magntica p l a na nos l leva a la con-

clusin de que, siempre que esta i n

cid a sobre un cuerpo , ejerce sobre

l una presi n que llamaremos de

radiacin . Para ello consideremos

una onda plana linealmente polariz~

da que incide normalmente sobre un

b l oque de material que absorbe com-

F.i...[J. 8 . 1 p l etamente la onda incidente ; esto

es, un cuerpo negro , y que s u pon -

106 R. GOMEZ MARTIN

dremos para simplificar un cilindro de longitud infinita .

Tomemos el eje z como la direccin de propagacin y el eje x como

la direccin del campo elctrico, con lo que el campo magntico estar en la direccin y .

Integrando la ecuacin (8.1) en el volumen que ocupa el cuerpo negro resulta

01e~ dlJ: ~ f .. dv + fE J ~t ["~Ldv l.J O'!.(!> . v V

( 8. 2)

siendo la primera integral del segundo miembro la componente ~ de la

fuerz a total que se ejerce sobre el cuerpo negro :

El vector de Poynting viene dado por

j:> =E,_: = n h .. c..o-:.2


y por otra parte, de (8 . 2):

:- - < r ""~ f -_!__ l ~ t/ ~ u \-\ .. )1 d s

108 R. GOMEZ MARTIN

ser modificada por la teora postrrelativista.

En realidad, la nica fuerza implicada en el fenmeno es la fuer-

za de Lorentz y cualquier modelo detallado de los procesos de absor-

cin nos llevar a la misma respuesta: la presin media es igual a la densidad media de energa de la radiacin incidente.

Este resultado concuerda con el de la Fsica Cuntica , para la

cual la radiacin consiste en fotones de energa hY, cuyo momento en el vaco es hv/c . La diferencia fundamental c onsiste en que en la teo-ra clsica el momento no est cuantizado.

Para situarnos en el orden de magnitud asociado a ondas e l ectro-magnticas, consideremos, en primer lugar , un lser de dixido de car-

bono que emite pulsos de energa de 100 J , con una longitud de onda

>... = 1 o-5m, siendo 1 Ons la duracin del pulso y teniendo el rayo l ser

una seccin circular de 1 cm de radio . La densidad media de energa

ser: !oo

con lo que :

1P = e \JJ : .3'3 Ao13

W h'l.

Por otra parte asociada a la radiacin solar, se tiene que, en la s uperficie de la Tierra , el valor medio de .Jl>es 1 ' 94cal/cm2min=1352W/

2 /m , lo que equivale a que E=1009V/m.

De (8 .6) se tiene que el valor medio temporal de la presin debi-

da a la radiacin solar es p=4 ' 51 .1 o- 6Nw/m 2 , valor verdaderamente pequeo si lo comparamos con 105Nw/m2 que es la presin atmosfrica y

la ejercida por el lser del ejemplo anterior . Esta presin correspon-

de a una fuerza total de 7. 1 o8Nw empujando a la Tierra, lo cual es despreciable frente a los 3 .1 o22 Nw con lo que el Sol la atrae como

resultado de la interaccin gravitacional mtua. Estas dbiles fuerzas

son extremadamente difciles de medir en el laboratorio . Sin embargo

con el lser de potencia anterior se consigue una presin de radiacin del orden de 1 '1 . 1 o5Nw/m2 . As pues, un rayo lser de 1 cm de radio

empuja un objeto con una fuerza de alrededor de 30Nw. Es interesante considerar que , aunque la accin de la presion de

radiacin solar o de otras estrellas es despreciable en el caso de l os

cuerpos celestes grandes, puede llegar a ser muy importante cuando ac-

1

1 .

C'AM PO ELEC'TROMAGNETIC'O. PROPAGACION Y RADIACION 109

t0a s0bre ~uerpos ms pequenos . La raz6n es que, a una distancia dada

Jl Sol, la fuerza de radiacin es proporcional al rea , esta es, al

~uadrado J , la dimensiones lineales de l cuerpo , mientras que la gra-~eJad depende de la masa y la fuerza es , por tanto , proporcional al cu ~~ Je las dimensiones lineales . De aqu que , cuando el radio del cuer-

;:-o Je~:-ce , ias fuerzas de radiacin se hacen ms importantes y , ya

que la intensidad de radiacin decae con e l cuadrado de la distancia exa~amente igual que la fuerza gravitacional, la raz6n de la fuerza

~e radiacin a la gravitacional permanece constante independientemente

de la distar.cia al Sol . A una distancia de 1 U.A. (unidad astronmica , :gual a la discancia media Tierra- Sol o 1 '496411 m) la presi6n de ra-d . . ' - 6 / 2 f b iac1on solar es f' =4' 51 . 1 O Nw m y , por tanto, la uerza so re un

. - 6 2 obje:o de radio a es FR=4'51 . 10 na Nw. La fuerza gravitacional sobre el mismo objeto y a la misma distan

cia del Sol resulta FG=5'93 . 10-3 ( 4/3na 3~~Nw, donde 4/3rta 3 ~"'"es la masa del c uerpo en kilogramos y ~.,,,_su dens idad de masa en kilogramos por me-

tro cbico . Por tanto , la razn de la fuerza de radiacin a la gravit~ cional toma el valor

R -: ::q. :: 5'l \l-~

~ o...(),,,_

Supongamos que el objeto bajo discusin tiene una densidad de ma-

sa de 5 7 . 103kg/m 3 (que es 5 ' 7 veces la densidad del ag ua y del orden de la densidad media de la Tierra y de los meteoritos) . Entonces R=1 cuando a=10- 7m o 1000A .

Se pueden deducir algunas conclusiones importantes sobre el com-

portamiento de partculas csmicas . Cuando las partculas tienen un ta mano crtico (~1000A) tal que R=1, su trayectoria en el sistema solar e s aproximadamente rectilnea .

Para partculas mayores , esto es , R

l IO R. GOM EZ MART IN

el eje z e incide normalmente sobre ella. Suponiendo la onda polariza-

da linealmente, la direccin de polarizacin es siempre tangente al

pano conductor y no influye P.n P.] fP.nmP.no . Si l;i zacin no es lineal ,

se puede descomponer

nolilT'i-siempre

la onda

como suma de qos ondas polari-zadas linealmente , por lo que nuestra suposicin no es res-

trictiva .\

Al incidir la onda sobre la superficie conductora , el

campo elctrico inducir co-

rrientes en la superficie del conductor , las cuales, a su

F.l.9-. 8 . 2 vez , darn lugar a una onda se

cundaria que denominamos reflejada .

Para determinar esta onda reflejada hacemos uso de las condicio-

nes de contorno en la superficie de un conductor perfecto :

" -.,,_. D ~ fs (8.7a) -Yt A E o (8 . 7b)

.;. . B o (8.7c)

nl\~~3. ( 8. 7d)

que traducen como cualidades especficas de un conductor perfecto el

que no pueda existir campo elctrico en su interior (y, por tanto, ta~ poco un campo magntico variable) y que las cargas y corrientes sean

superficiales .

As pues, de acuerdo con (8 . 7b), la componente tangencial del cam po elctrico total en la superficie de un conductor perfecto debe ser nula . De aqu se deduce que, en la superficie del conductor, la inten-

sidad del campo elctrico de la onda reflejada, Er, debe ser de igual

amplitud que la de la incidente, Ei, y de signo contrario , como se i n-dica en la figura 8. 2. Por otra parte , el campo magntico producido

por las corrientes supe rficiales inducidas debe ser de la misma magni-

tud y de igual signo que Hi, pero prppagndose en direccin opuesta, r -lo cual queda claro una vez razonado que E =- Ex y sabiendo que E, H y

n forman un triedro directo, pues de otra forma existira un campo ma[

'

CAMPO ELECTROMAGNETJCO. PROPAGACJON Y RADIACJON 111

ntico variable dentro del conductor y esto es imposible . Los campos

de la onda reflejada se muestran en la figura 8.2.

En definitiva se tienen dos ondas propagndose a la izquierda del

plano conductor, dadas por

)

El campo elctrico total, es

donde se ha tenido en cuenta las relaciones de Euler . Por otra parte,

para el campo magntico

Los valores instantneos de la onda total son, por tanto

( 8 . 8 )

Estas ecuaciones expresan que, aun que los campos elctrico y mag-

ntico totales producidos por la onda incidente y reflejada son an

perpendiculares entre s en el espacio y estn relac i onados por la im-

pedancia Z , los planos en l os cuales E total y Htotal son nulos, son

f ijos ; siendo Etotal cero en planos definidos por kz=-n~, donde n=0 , 1 ,

2 . .. , y Htbtal' cero en planos definidos por kz=-(2n+1 ) n/2 , con n=0 , 1 ,

2 ... , resultando el campo magntico mximo en el conduc t or y en los

E- 2E

~-----,+

+ . H-... 2H"

.--~-.-----~, +

F-4.. 8. J

planos e n que e l campo

elctrico es cero . Por

otra parte , como es inme-

diato de comprobar , el

valor medio del vector de

Poynting es nulo en c ual-

quier plano perpendic ular

a la direccin de propa-

gacin .

figura

Esto , significa ,

8 . 3 , que tanta

energa es transportada

por la o nda reflejada

como por la incidente ,

es tan do toda la e nerga

112 R. GOMEZ MARTIN

dos veces cada ciclo en forma de energa magntica y otras dos veces,

90 desfasada espacial o temporalmente, en forma de energa ntegra-

mente elctrica, y entre esos tiempos se intercambia de magntica a

elctrica o viceversa. En definitiva, lo que tenemos es una onda esta-

cionaria pura.

Dado que la superficie considerada es perfectamente reflectante,

el momento de la onda es, asimismo, reflejado en direccin opuesta.

Por lo tanto , como el momento transmitido al conductor es dos veces

mayor que en el caso de absorcin total, la presin es dos veces mayor

que en ese caso . Esto concuerda lgicamente con el hecho de que la

densidad de energa de la onda estacionaria, es decir, la suma de las

densidades de energa de la incidente y la reflejada, es doble que la

de la incidente .

Es interesante observar que el estudio que acabamos de hacer de

la reflexin de una onda sobre un conductor perfecto hemos encontrado

todas las propiedades estudiadas en el captulo III relativas a ondas

estacionarias en una lnea de transmisin ideal . La analoga entre l as

expresiones para una onda plana y para las ondas a lo largo de una l-

nea ideal es exacta y completa . Esto implca que los razonamientos

realizados para resolver uno de los sistemas , son similares a los ne-

cesarios para resolver el otro . Cualquier mtodo (tal como el grfico

basado en la carta de Smith para las lneas de transmisin) es vlido

en ambos casos y cualquier tcnica experimental aplicable a un sistema

ten dr su contrapartida en el otro. Para ver las bases de esta analo-

ga vamos a escribir las ecuaciones de los campos obtenidas para la

reflexin de una onda plana sobre un conductor perfecto y las expre-

siones halladas en un captulo anterior para las lneas de transmisin

ideales (por sencillez, orientaremos los ejes de modo que las ondas

tengan solo componentes Ex y Hy)

; ' -..11n V ... 'J(lc V li) = \f e + "'

_:i._ ~ vi. e:-J1n_ \.re. ji2 ] :Z.o

~~ w ~Le

:Co ~ ~

Vemos que si sustituimos Ex por la tensin V en las ecuaciones

de l campo , Hy por la corriente I, la permeabilidad p. por la inductan-cia por unidad de longitud L y la constante dielctrica por la capa-

CAMPO ELECTROMAGNETJCO. PROPAGACION Y RADIACION 113

cidad por unidad de longitud e, obtenemos exactamente las ecuaciones de la lnea de transmisin.

Para completar la anal oga , debemos de considerar las condiciones

de contorno en una discontinuidad entre dos regiones . Para la superfi-

cie de separacin entre dos dielctricos, sabemos que las componentes

tangenciales totales del campo elctrico y del magntico deben ser

continuas en el con torno . En el caso de incidencia no rmal (ms adelan -

te ccnsideraremos otros casos) Ex y Hy son las componentes tangencia-

les totales de los campos , por lo q ue estas condiciones de contorno se

corresponden directamente con las de las lneas de transmisin , que

exigen que la tensin y ccrriente totales sean con t inuas en la unin

entre dos lneas .

4.- Incidencia normal sobre un dielctrico . Relacin de onda estacio~

naria.

Consideremos un sistema formado por dos dielctricos perfectos

separados por el plano z=O y una onda plana que se propaga en e l pri-

mer medio segn la direccin positiva de z. Al ser la inc idenci a nor-

R'

cr'1 t'

R

,..1 -1 t:AH

U fJ.. 8 . 4

mal, l a pol arizacin de la onda no i nfluye en el fenmeno, por lo que

consideraremos que la onda inciden te est polarizada l inealme n te segn

el eje x.

Al incidir esta onda sobre la superficie de separacin se origina

una o nda reflejada que se propaga en el medio 1 y e n el sentido nega-

tivo de z y una onda tran s mitida que se propaga en el medio 2 con sen-

tido de z positivo (f ig . 8 . 4).

Usando notacin compleja se tiene

'E 'lz ) = E' - j \t ~ A - e X ) t4 l

J 14 R. GOMEZ MARTIN

siendo las impedancias caractersticas de los medios 1 y 2 nmeros

reales, por ser dielctricos perfectos. Aqu, z2 juega el papel de la impedancia de carga en la lnea de transmisin y z1 , el de la impedan-cia caracterstica de la lnea .

Debemos notar que al expresar de la forma anterior los campos

reflejados y transmitidos , hemos supuesto lo siguiente:

1) No existe onda propagndose en el sentido negativo en el medio 2. Esta hiptesis es razonable si se supone que el .medio 2 se extiende i ndefinidamente ; o bien, qu.e a la derecha del medio 2 se ha dispuesto

algn dispositivo que absorba totalmente la onda transmitida . 2) La frecuencia de la onda reflejada y de la transmitida es la

misma que la de la onda . incidente. Esto implica que el nmero de onda

k es el mi smo para la onda incidente que para la reflejada, lo que

demostraremos con detalle ms adelante al estudiar las relaciones de Snell y Fresnel .

Una vez hechas estas aclaraciones , apliquemos las condiciones de

contorno en la superf icie z =O que exigen que las componentes tangen-ciales de E y H sean continuas

- L. -1' E lo)+ E to ): Et lo> E'+ e =- Et

L

- ~ - -~\lo) E.i.- ET Et +f lo) + \-( \o) --- =-

Z1 ~

siendo

De es tas ecuaciones se deduce

E l o

A la r azn E~/E~ se le den?mina coeficiente de reflexin y se designa por r. Similarmente, E6/ E6 se denomina coeficiente de transmi-sin ,~. Para r y~ se deduce la siguiente relacin

( 8 .1 O)

( 8. 1 o') ~1-1-"4

Como caba esperar , este resultado c oincide con las expres ione s

q~e obtuvimos en el estudio de la lnea de transmisi n ideal. De hecho

,

' .

CAMPO ELECTROMA GNETICO. PROPAGACION Y RADIACION 115

de acuerdo con la ana l oga anterior, podamos haber e scri t o dire c t a -

mente estas expresiones.

Una situacin comn, especialmente a al tas frecuencias, es que las permeabilidades de los dielctricos no difieren mucho de las del

espacio libre, esto es

r ( 8 . 11 )

o bien , si no son dielctricos perfectos

r = ~~ - fi: ( 8 . 11 ' ) 'fZ:c ~ ~

donde las E.e , son las permi tividades complejas de los medios . Ahora bien , el caso ms general es cuando el material es magntico y de per-

meabilidad compleja -t-c. = ~- j -i." , y se tendr

r = Zc = f_i_ . ~~ /

e

Ec = E-' -j (" ~ :) ( 8 . 1 1 " )

siendo ..c.-c la permeabilidad compleja , anloga a la permeabil i dad com-

plej~ definida en (7 . 22) . De (8 . 10) se deduce que no hay reflexin si l a s impedanc i as es t n

adaptadas, es decir Z1 =Z2 . Esto sucedera , naturalmente , e n el caso trivial de dielctricos idnticos, pero tambin en el caso de que f ue-sen diferentes si pudiesen fabricarse con la misma relacin entre ~ y

. Este ltimo caso no tiene inters en la prctica , ya que , normal -

mente , a al tas frecuencias no se encuentran materiales dielctricos

con permeabilidades magnticas distintas a la del vaco . Por otra par-

te, tambin se deduce que el mdulo de r es siempre menor que la uni -dad, de forma que la onda reflejada puede entonces combinarse con una parte de la onda incidente de la misma ampl i tud que la reflejada para

formar una onda estacionaria, como en el caso de reflexin total ya

estudiado. La parte restante de la onda incidente puede considerarse como una onda progresiva que transporta la energa que se transfiere

al segundo medio . La combinacin de las ondas progresiva y estaciona-

ria produce una onda en el espacio con mximos y mnimos pero , en gen~

ral , con mnimos distintos de cero. En definitiva, de acuerdo con (8 . 7) y (8 . 8) se tiene

( 8 . 1 2)

~

116 R. GOMEZ MARTIN

\\,' Z.,,,"-" : - e.n.li . /

! J (o, los valores mnimos

de E1 (z) se obtienen para los siguientes valores de z

Y).: o.l.~ ...

Si r ~o (esto es Z2

CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGAC!ON Y RAD!ACION 117

CAPITULO IX . INCIDENCIA OBLICUA DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS .

1 .- Introduccin .

En el captulo VIII hemos estudiado el comportamiento de las on-

das electromagnticas planas cuando inciden normalmente sobre la supeE ficie de separacin de dos medios . En este consideraremos el caso ms

general de incidencia oblicua. Supondremos que los dielctricos son

lineales, homogneos, istropos, con conductividad nula y sin fuentes.

2. - Reflexin y refraccin en la superficie de separacin de dos die-

lctricos.

La cuestin de la reflexin y refraccin de ondas planas electro-

magnticas en la superficie de separacin de dos dielctricos se re-

suelve por medio de las condiciones de contorno.

X

Consideremos dos medios

como indica la figura 9 . 1 y

una onda plana propagndose en el medio 1 en la direccin k i . Al indicar sobre el pl ano

de separacin de los dos me-dios, part e de ella se ref l eja

y parte se t ransmite . En ton-

c e s, en el medio 1 existe una onda incidente y otra refleja-

da y en e l 2, la transmitida

o refrac t ada. En principio no haremos

ni nguna suposicin sobre que

los tres rayos sean coplana-

rios , aunque as los mues t re F-4;. . 9. 1

la figura.

Denominaremos plano de incidencia al definido por el vector k i y - i el ej e z . Supondremos k en el plano XZ formando un ngulo G. con el

l eje z . Los campos elctricos de las ondas inc i dente , reflejada y t rans

mitida pueden escribirse, respectivamente , como

EL ::. "E o j (. w't - ;;t

11 8 R. GOMEZ MART IN

(9. 3)

En z = O, la componente tangencial del campo elctrico debe ser continua, por lo que habr de verificarse que

~ lt't-iti') e

para todo instante de tiempo.

(9 .4 )

Igual relacin ha de verificarse entre las componentes de los ca~ pos segn el eje y.

Esta condicin nicamente puede satisfacerse si los coeficientes

de t , x e y en las exponenciales son iguales , de donde

(9 . 5)

Vemos que , aunque la frecuencia no cambia en las ondas reflejada

y ref ractada respecto de la incidente, la longitud de onda s, ya que

la velocidad de fase ser diferente en los dos medios.

Adems , tenemos que

para todo punto con z = O.

De k=nw/c, donde n es el ndice de refraccin, y teniendo en cuen

t a que por hiptesis ki se encuentra en el plano XZ , se tiene

K.'. :f- 'Y\.~ ..l [ )(

.


Las ecuaciones (9 . 10) y la coplanariedad de los rayos constituyen

junto a (9.5), las leyes de Snell. A continuacin estudiaremos la relacin entre las amplitudes de

las diferentes ondas, para lo cual haremos uso de las condiciones de

contorno en la frontera:

( 9 . 11 )

( 9 .12)

Analizaremos el problema en dos partes: primero consideraremos el

caso en que el campo elctrico Ei vibra en el plano de incidencia y luego cuando lo hace normalmente al mismo. El caso general puede con-

siderarse como superposicin de los dos anteriores .

3 .- Onda incidente con el vector E contenido en el plano de inciden-cia.

E' k'

F.i..r;.. 9. 2

De la continuidad de las componentes tangenciales de E y H (ecuaciones (9.11) y (9 .

. 12)), se tiene (fig. 9 . 2)

( 9. 1 3)

. ~ l t0~1 - e:.,) +l{E; t;0~1 =o ~ ~ V~

(9 . 14)

en donde E~ 11 es el mdulo de E~11 con el signo correspondie~ te a su componente x, y anlo-

gamente se definen E;11 y E~11 Para escribir (9 . 14) hay que tener en cuenta que la componente y

de 8011 tiene signo contrario a la componente x de "E 011 . Resolviendo el sistema obtenemos

2.,, coj el - :lJ. c.o~e ~ c.cnGt +.('.1~e

t tou . :e~ Co1 e t:~,, = 2:i- c.o:i et + :l. 1 cm g

11 ( lb siendo z1 = (t-td E1) y Z2= fJ.1 I Ei)

Para el caso en que .1= ~= f!-o (materiales

( 9 . 1 5)

( 9 . 16)

no magnticos), resulta:

.. -

120 R. GOMEZ MARTIN

con lo que (9 . 15) y (9 . 16) se convierten en

t~ (. 9, - 9)

t~ (9t_ +9)

El campo elctrico total en el medio

t"T ,,

(9 . 1 7l

( 9. 1 8)

ser

( 9 . 19)

en cuya expresin hemos suprimido la dependencia temporal. Teniendo en

cuenta que

se obtiene -j I(.'. y-

e.

y definiendo el coeficiente de reflexin r., como

r,,

resulta

Anlogamente , se define un coeficiente de transmisin t

Ea., 't =

E:~ ..

(9 . 20)

( 9 . 21)

(9 . 22)

(9 . 23)

(9 . 24)

En el caso de que el medio 2 sea un conductor perfecto (Z2=0l de

(9 . 15) se obtiene ~1=-1 . Teniendo en cuenta que

- \(' ~ c..o1 9 + '(.,.X -;\l'.o..L 9

l\.L i! ~ 9 + \(' X ~W.. 9

y sustituyendo en (9 . 23) . queda


(9.25)

( 9 . 26)

Jusl jLwt-1t'.m .. o) Introduciendo el factor temporal e , el trmino e nos

da una onda propagndose en la direcci6n del eje x, mientras que el

t.2rmino

de (9 . 25) o el anlogo de (9 . 26) nos da la superposici6n de dos ondas propagndose segn el eje z , pero con sentidos contrarios o , lo que es

lo mismo , una onda estacionaria superpuesta a una viajera de manera que la energa transportada , en la direcci6n z, del medio 1 al medio

2, lo es por la onda viajera .

Para el caso de conductor perfecto, ~1 = -1, se obtiene en la di-recci6n del eje z una onda estacionaria solamente .

El campo magntico total en el medio 1 es

-, -j;.; 4 .. -~ ~ .... ~ [ " -l ~'.y e.~ ~ . :r ] HT ... : Ho.l e .. 1-lo.i. e = _!_ ta .. e _ t;,,

Z 1 (9 . 27)

de donde

(9 . 28)

En el caso de un conductor perfecto es fcil comprobar que no e-

xiste f l u j o de energa en la direcci6n z y s en la x, ya que el valor medio temporal del vector de Poynting e n la direcci6n z es cero . Esta situaci6n es tpica de la propagaci6n en guas de ondas , que sern es -

tudiadas poste riormente .

~

4 .- Onda incidente con el vec tor E perpendicular a l plano de i nciden-

cia .

Haciendo uso , al igual que en el caso anterior , de las ecuaciones

de continuidad para las componentes tangenciales de E y H se tiene , (fig . 9 .3) :

tOL.L ... t

+- Eo.1. fo~ (9 . 29)

t ! ( e ~:.1. )to~ G to..L ~ gt (9 . 30 ) E-'- - ~ Z t ~.,

122 R. GOMEZ MARTIN

ti' k'

-t H

X

en donde E~ 1 es el mdulo de E~1 con el signo correspondie~ te .a su componente y, def inin

dose anlogamente E11

y E~.1. . Asimismo, para escribir

( 9 . 29) se ha tenido en cuenta

que la componente x de H~.1.. y -t H0.1. tienen signo contrario a

- Et las componentes y de EOl y o~ respectivamente .

Resolviendo el sistema se

obtiene

EC:. ~ Z.., CC1 g - .l ~ t.o:l Gt i:.; J. 4 C01 g + ~1 (.aj t ( 9 . 31)

E:~.1. :: .,z. ..!:!.., CC:l G r .i.9- 9. J t,;.1. Z, e.ose + Z1. c.


reflejada y en la transmitida, como hacemos a continuacin :

A) Onda transmitida .

Como Q y et estn comprendidos entre O y rf/2, de (9:18) y (9.34) resulta que Eb

11 y Et.1. tienen siempre el mismo signo que E~ 11 y E0.L res-

pectivamente, con lo que no hay cambio de fase en la refraccin.

B) Onda reflejada. B.1) Consideremos el caso en que n1 et. Estudiaremos por separado los casos de E11 y de E.l.. -1

a) E11

Si &+ Gt= rr /2, de ( 9 . 17) obtenemos que E~ =0. El ngulo g para

el cual ocurre esto se llama ngulo de Brewster , @B. Se verifica que

(9 . 37)

por lo que

(9 . 38)

Para un ngulo de incidencia G>B , para el cual se anula la onda

ref?ejada que vibra en el plano de incidencia, los rayos reflejado y

transmitido son perpendiculares . Si ge8 (9+.et< tt/,), (9 . 17) es negativo, con lo que hay un salto de

fase de rt.

Si 9:>95 (9+9t'71'1/.z.) , (9 . 17) es positivo y no hay cambio de fase .

b) E.i..

De ( 9. 33) vemos que siempre hay un cambio de fase de ,, .

Tratemos a continuacin dos casos lmite: incidencia normal e in-cidencia rasante . Para incidencia normal (9 - 0) , sustituyendo las tan-

gentes y los senos por sus argumentos , resulta .,.. .,.

E'' ::. E i_ e-t-e " 'Yl1 - }'2_

(9 . 39) Eo~1 Ea~ Gt+9 '11,J. + "l1.,,,

Para el caso de incidencia rasante, de ( 9 . 1 5) y ( 9 . 31 ) obtenemos respectivamente

.,. E.011 ::. i_

t=o~ (9 .40) )

estos resultados se resumen en la figura 9 . 4.

Para el caso de incidencia con 8>_e 8 y el vector E vibrando en el de incidencia, .,.. J t positivo , lo plano resulta que tou E011 es con que no

hay cambio de fase. Pero, de la figura 9 . 5. un observador que viese

1 il

124 R. GOMEZ M A RTIN

las ondas incidente y reflejada desde un ngulo muy prximo a la inci-

1

n.-n .. n ... n ..

( n, < " l

-e

F.i.g. 9.4

dencia rasante , podra pensar que el campo elctrico en ambas ondas ha

cambiado de sentido y decir

que hay cambio de fase . Sin

embargo esto no es as de

X

z

F.i.g. 9. 5

acuerdo con lo que nosotros

entendemos por cambio de fase ,

puesto que en la figura se ob-

serva que las componentes tan-. - e - ..,.

genciales de E011 y E011 tienen el mismo signo.

B. 2) Supongamos ahora que

n1 >n2 , un anlisis anlogo al anterior nos llevara a unos

resultados que se representan

en l a figura 9 . 6 . Aqu, Ge es el ngulo lmite para el cual se produce la r e f l exin total.

F.i.g. 9. 6

,.

'


6 .- Factores de transmisin y de reflexin.

Definimos el factor de reflexin r como el cociente entre el flu-jo medio de potencia incidente por unidad de tiempo y rea sobre la

superficie de s eparacin y el flujo refl~jado como

r :

y el correspondiente coeficiente de transmisin

1P- , A

Y1..

(9 . 41)

(9 . 42)

donde n es el vector unitario normal a la superficie de separacin . Suponiendo que -t...-~ i en ambos medios, las expresiones para los

vectores de Poynting medios son

1?' : .i. (_ .l )LI~( t.,' )1 K' ,,z, p.o

-p..-: l e~ tct:r K: ~ f-lo

jt = ;_ (~ )\ -rol:.r k:t

.. -to que sustituyendo en (9 . 41) y (9 . 42) queda

,.- T

r = C-"C.. ) Eo'

'"112 (.()'j9tCE~ t -i'l.i c.o:l{} t t' )""'

o

(9 . 43)

(9 . 44)

(9 .45)

Distjnguiendo los casos de incidencia con el vector E contenido en el plano de incidencia y normal al mismo y usando las ecuaciones

de Fresnell obtenemos , ( fig . 9 . 7)

r 4 un e C-O:l et o-._ 1 1.T...,

( o-l un et + c.o:1 e )"'-u-.z

(9 . 46)

(9 . 4 7)

(9 .48)

(9 .49)

126 R. GOM EZ MARTIN

En ambos casos se cumple la relacin

que no es ms que el principio de conservacin de la energa.

0,8

~6

0,4

0,2

2 - ts V -

O 10 20 30 t.O 50 60 70 SO go g

7 .- Reflexin total interna .

qs 0,.6

~

q2

o

~: 1 5 V ' t

r: 10 20 30 40 so oo 10 so got

e

F~. 9.7

Supongamos dos medios tales que n 1 ~n2 y una onda propagndose en el medio 1. De la ley de Snell se deduce que en este caso Gt>~ y que existe un ngulo crtico de incidencia ~e para el cual el rayo refrac-tado es paralelo a la superficie de separacin , es decir:

/

En estas condiciones no hay flujo de energa a t ravs de la supe~

ficie de separacin, por lo que toda la energa permanece en el medio 1 . A este fenmeno se le llama reflexin total interna.

Cuando 9>ec si hubiese rayo refractado la ley de Snell nos da-ra sen Ot>1, por lo que deducimos que no se propaga onda en el medio 2 . Sin embargo, podemo s usar an las ecuaciones de Fresnell tomando un

valor imaginario para cos 9t:

(9 . 50)

-


donde n=n 2/n1 . Introduciendo (9.50) en las ecuaciones de Fresnell:

~ Q - *' ~ de.l't'9-'l'l.' ''l& + ~ ~ ~ene -n ...

&c, tenemos una onda que se propaga a lo lar-

go de la superficie de separacin y que el campo decae en el medio 2

exponencialmente con z de forma que su amplitud se hace muy peque~a en

un espacio de unas cuantas longitudes de onda, salvo en el caso en que

fb&c; La existencia de esta onda superficial tiene importantes conse-

cuencias . Supongamos , por ejemplo, que un trozo de un material dielc -

trico se coloca en las proximidades de la superficie en donde tiene

lugar la reflexin total . Si est suficientemente cerca, la amplitud

128 R. GOMEZ MARTIN

del campo elctrico es lo suficientemente fuerte como para provocar la

conduccin en el dielctrico , inducindolo a radiar energa. El efecto

neto de todas las radiaciones elementales es una nueva onda . Por tan-

to, alguna luz es transmitida a travs del hueco donde antes no haba

aparentemente flujo de energa. Naturalmente , esta radiacin proviene de la onda reflejada internamente . En otras palabras, la reflexin no

es total. A este fenmeno se le denomina reflexin total interna frus-

trada . Es obvio que, cuanto menor es el hueco entre los dos dielctri-cos , mayor es la fraccin de. luz transmitida a travs de l .

El fenmen o de la reflexin total tiene mltiples aplicaciones. Por ejemplo, en los prismticos , la reflexin de la luz se consigue no

mediante espejos, sino mediante prismas que actan en condiciones de

reflexin total.

La base de las fibras pticas , es la reflexin total interna. Una fibra ptica tpica, tiene un ncleo central en el cual se encuentra

confinada la onda que se propaga . Por ejemplo , si el ndi ce de refrac-

cin del ncleo de una fibra ptica es n2= '1Er=1 , 45 y est rodeado por un revestimiento que tiene un ndice de refraccin de n1 ~=1 ,44 . De

aqu se deduce que ge =83 , entonces para e~ Ge el vector de onda de la

onda que se propaga , es prcticamente parale lo al eje de la fibra .

)

CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION 129

TEMA X. PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN MEDIOS CONFI NADOS .

SISTEMAS CON SIMETRIA TRASLACIONAL .

1 .- Introduccin .

En este captulo vamos a considerar la propagacin de ondas elec-tromagnticas confinadas mediante sistemas de simetra cilndrica o

traslacional . Generalmente se trabajar en la regin de microondas (1

a 103GHz). Estos medios son utilizados, en general , para transmitir la energa electromagntica desde un punto a otro con la mayor eficiencia

posible , esto es, con el mnimo de prdidas por radiacin y calor .

Entendemos por sistema con simetra traslacional aqul en el que existe una direccin privilegiada , que supondremos corresponde al eje z y coincidir con la direccin de propagacin de la onda . A lo largo

de esta direccin se conserva la seccin transversal del sistema , no solo en geometra sino tambin en lo que a caracte rsticas electromag-nticas del medio se r efiere . Esto se mues t ra esquemticamente en la

figura 10.1.

X

y

F.i.g,. 10. 1

La hiptesis simplif i ca-dora de simetra traslacional

se justifica por una pa rte , debido a que muchos sistema; corresponden a este supuesto

y por otra, porque muchas si -tuaciones en las que esto no

ocurre pueden tratarse a par-

tir de las soluciones que va-

mos a obtener . Un sistema de transmisin

cilndrico est generalmente

constituido por diferentes regiones conductoras y dielctricas . En la figura 10.2 se representan las secciones transversales de sistemas de transmisin comnmente utilizados : a) lnea bifilar ; b) "strip line" ;

c) lnea coaxial y d) y e) guas de seccin rectangular y cilndrica respectivamente .

A estos sistemas , los dos primeros son abiertos y la falta de con

finamiento del campo electromagntico puede dar lugar a fenmenos de

radiacin que inhabilitan al sistema para su uso a muy alta frecuen-cia.

Aunque en el sentido estricto todo dispositivo utilizado para la

transmisin de energa electromagntica puede considerarse como lnea

de transmisin, lo comn hoy da es reservar este trmino para los que

130 R. GOMEZ MARTIN

I, 2 2 z :~::: 2 2 2 J b)

~ @

0 a) e)

o d) 2) F~. 10.2

pueden transmitir ondas transversales electromagnticas ( TEM) , que,

como veremos ms adelante, son aquellos que constan de dos o ms con-

ductores. El trmino gua de ondas se reserva para los sistemas que

solo pueden transmitir ondas TE o TM , es decir , ondas que no tienen

comp~>nente elctrica y magntica respectivamente en la direccin de

propagacin. Las guas estn formadas por un solo conductor.

La elecin entre lnea de transmisin, generalmente cable coa-

xial, y gua de ondas (siendo la ms usada la rectangular), viene de-

terminada en cada caso por consideraciones tales como son el modo de

propagacin, atenuacin, rango de frecuencias , capacidad de transmi-

sin de potencia, coste de produccin y otras.

Conviene recordar que en el estudio de la lnea de transmisin

para la propagacin del modo TEM, utilizbamos la teora de redes en

la regin de microondas , considerando la lnea como un conjunto de pa-

rmetros distribudos. Sin embargo, en las guas de ondas las distri -

buciones de corriente y potencial son tan complicadas que resulta mu-

cho ms adecuado estudiar la propagacin mediante las ecuaciones de

Maxwell, para calcular los campos E y H.

2.- Relaciones generales entre las componentes de los campos .

En lo que sigue supondremos que los dielctricos son lineales,

homogneos, istropos y con conductividad nula y que los conductores

son perfectos, as como que no existen fuentes de campo en la regin

de propagacin. Las condiciones de contorno en la superficie de los

conductores sern , por tanto:

't

'


; ~. H :O ( 1o . 1 )

en donde n es el vector unitario normal a la superficie. En estas condiciones, y dada la simetra supuesta a lo largo del

eje z para el medio de propagacin as como su no dispersividad , si

nos restringimos a ondas monocromticas, las ecuaciones del campo p ue-

den escribirse en la forma:

l~\ l?.l j twt -(3 l! )

e (1o . 2)

En general, en la expresin anterior E0 y H0 sern f unciones de

x e y y, ms en general , de t 1 y t 2 , coordenadas transversales de c ua! quier sistema de coordenadas ortogonales cilndricas, ya que en todos ellos la dependencia con z es la misma.

Nuestro problema ahora es determinar E0 (x,y) y H0 (x,y). Demostr a -remos que, si se conoce la componente del campo segn el eje z , se po-dr conocer el campo total . Lo haremos en el caso del campo elctrico

nicamente, ya que para el magntico se obtienen ecuaciones anlogas .

Descompongamos E en sus componentes longitudinal y transversal :

(1o . 3 )

la ecuacin de ondas para E queda:

(1o . 4)

donde se ha tenido en cuenta que

132 R. GOMEZ MARTIN

con

(1o . 8)

siendo n los autovalores y lfl~ las autofunciones correspondientes, don

de 11'~ es Ez o bien Hz. La discretizacin del espectro de autovalores

es debida a la presencia de contornos y vendr determinada por la geo-

metra del sistema. Omitiremos el subndice n mientras no sea necesa-

rio .

Vamos a ver ahora cmo una vez resuelta la ecuacin (10 . 7) y te-

niendo en cuenta las condiciones de contorno del sistema, se pueden

obtener Et o Ht a partir del valor de Ez y Hz ya calculados. De las

ecuaciones de Maxwell para campos que varan armnicamente con el tiem

po

( 1o.9 )

(10.10)

y considerando la componente transversal

( 1o . 11 )

( 1 o .12)

Operando se obtiene fcilmente

( 1 o . 1 3)

y anlogamente para H

( 1o .14 )

Sustituyendo (10.13) y (10.14) en (10.11) y (10.12) respectiva-

mente, se tiene

( 1o.1 5)

-j U.J ~/; V't /\ 1-lr_ + j- A 1-/t (10.16) Como Ez y H los suponemos conocidos, tenemos un sistema de dos

z - -ecuaciones con dos incgnitas Et y Ht. Para resolverlo multiplicamos

11

CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIAC ION 133

por ~ w E la primera ecuacin , con lo que

(10 . 17)

y sustituyendo (10 . 16) qeda

k: ~t = j w E \Jt /\ -Ei! ... 'J-i " t \Jt " '4l + V,. " Qt] ( 1 0.1 8)

y desarrollando los productos vectori ales

j w E V., A E~ - j r \li ~2 ... r. 41: 1

con lo que finlmente

( 1 o . 19)

De manera anloga se obtiene

(1o . 20)

3 . - Modos de propagacin . Ondas TE, TM y TEM . Potencia l escalar para

las componentes transversales .

Aunque en principio podra hallarse el campo electromagntico

en los sistemas de transmisin como superpo s i cin de ondas planas ,

esto es a menudo difcil y siempre laborioso, r esultando ms apropia-

do buscar otro tipo de soluciones particulares , denominadas modos de

propagacin, caracterizadas porque una o inc l uso las dos componentes

axiales de los campos son cero . Estos modos son las llamadas ondas

TE ( Ez=O) , TM (Hz =O) y TEM (Ez=H2

=0) .

La bsqueda de soluc iones de este tipo no es arbitraria ya que en

los casos prcticos de inters forman un con junto ortogonal y completo

que permite desarrollar el campo en trminos de estos modos .

Lgicamente, no se pueden obtener expresiones concretas para

las distribuciones de campo electromagntico de los diversos modos

sin antes especificar el sistema de transmisin . Este aspecto ser

desarrollado para algunos casos particulares en un

rior. No obstante, se pueden encontrar diversas

ndole general para los diferentes tipos de modo s .

l

captu lo poste-

propiedades de

~-- A

134 R. GOMEZ MARTIN

3 . 1 . Modos TM .

De las ecuaciones (10.19) y (10.20) se tiene directamente

( 1 o. 21 )

( 1o . 22)

siendo

( 1o.23)

el llamado potencial escalar para los modos TM .

As pues , en una onda TM , Et puede escribirse como gradiente de

una func i n escalar. Este resultado podra haberse obtenido con un ra-

zonamiento s imple a partir de l a ley de Faraday :

\7AE=-jwfll-l Como H tiene nicamente componente transversal , lo mismo ocurre

para V 11 E, lo que implca que

o ( 1o . 24)

donde l a s uperfic i e S es normal al eje z , por ser la seccin transver-

s a l de la gua . Pero Ez no puede contribuir a la integral de lnea ya

que el c ami no de integracin se encuentra en el plano transversal y ,

por t anto

( 1 o. 25)

De (10 . 21 ) y (10 . 22) se ve que Et y Ht son perpendiculares y que s us amplitude s estn relacionadas entre s por la impedancia de onda

- "{;f !./~ (3 zr.., - - = (li) T.:-Ht k

(1o.26)

Et, Ht y Z forman un triedro directo si la onda se propaga en el senti do de z positivo e inverso en caso contrario .

3 . 2 . Modos TE.

De las ecuaciones (10 . 19) y (10 . 20) y con argumentos anlogos al

caso de modos TM , se obtiene

'

' ;


..... !-lt : - j ~ \Jt_ 1-l; : iJt cpTE

( 1 o . 27)

siendo

(1 0 . 28 )

el potencial escalar para el caso de ondas TE . El campo elctrico es

(1o . 29)

vindose nuevamente la ortogonalidad de los campos y s u relacin a tra

vs de la impedancia de onda

( 1o .30 )

-La obtencin de Ht a parti r de una funcin escalar mediante el operador gradiente puede tambin explicarse , como en el caso anterior, .... usando la l ey de Ampere, que en nuestro caso, ya que J=O dentro de la

gua , es

3.3. Modos TEM .

e oE CJt

Por ltimo , estudiaremos los modos TEM. Teniendo en cuenta las ecuaciones (10 . 19) y (10 . 20) que relac i onan las componen tes longitudi -nales con las transversales , la existencia de un modo TEM exige que s e

cumpla, para que existan soluciones no triviales de los campos , que "6" 2=0; esto es :

( 1 o . 31 )

Esto significa que un modo TEM en un sistema de transmisin posee

la misma constante de propagacin que tendra una onda libre en el mis

mo medio. Aplicando (10 . 4) a las componentes transversales de l os c am-pos , queda

l Vt' q') rn, l = (1o . 32) y teniendo en cuenta (10 . 31) obtenemos que la distribucin de campo

136 R. GOMEZ MARTIN

e lctrico en un plano transversal satisface la ecuacin de Lapl ace en

dos dimensiones, condicin que tambin verifica el campo magntico

v;f t = \Jt'" E"

~"H1; 0 V1; .. ~~o

( 1 o. 33)

( 1 o. 34)

Estas ecuaciones son precisament e las ecuaciones bidimensionales de Laplace para los campos .E y H, puesto que tanto E

2 como H

2 son nu-

los . Sabemos que en el caso de campos independientes del tiempo se ve-

rifican ambas ecuaciones en regiones sin cargas ni corrientes

Como consecuencia, podemos afirmar que la distribucin de campo

en el plano transversal es idntica a una distribucin esttica, ya

que las condiciones de contorno son las mismas: i normal a los conduc-tores y H tangencial a ellos, suponiendo conductores perfectos.

Estas caractersticas demuestran que una onda TEM no puede propa-

garse en el interior de una regin monoconductora cerrada , ya que la

distribucin de campo ha de ser igual a la del caso esttico y no pue-de existir campo electrosttico en el interior de una regin sin fuen-

tes y comple tamente cerrada por un conductor .

Es fcil demostrar a partir de (10.16) que

( 1 o . 35)

por l o que los campos estn relacionados entre s por la impedancia

de onda

( 1 o. 36)

La propagacin de los modos TEM ser tratada ms ampliamente en

un captulo posterior .

4 .- Condiciones de contorno .

Demostraremos ahora que en una gua de ondas ideal en la que se

propaga una onda TM es suficiente impone r que E2

=0 en las paredes de

la gua para que se verifique que sea nula la componente t angencial del campo elctrico Et' y la normal Bn, de l campo magntico, esto es ,

que Et=O , Bn=O en dichas paredes .

Efectivamente, de (10 . 21 ), por las propiedades del gradiente, Et

;


es normal a las lneas de Ez=cte . y lo es , por tanto , al contorno del

conductor, ya que este repres~nta ~na lnea con Ez=O . Teniendo en cuenta que Ht y Et son perpendiculares entre s , el

campo magnt i co es tangente al conductor y por tanto, queda demostrada

nuestra propos icin.

En e l c~ o de ondas TE, la condicin necesaria y suf iciente para que ET=O y Bn=O en la superfic i e del conductor es que la derivada nor-mal de Hz sea nula en el contorno . Esto lo deducimos de la definicin

de derivada normal :

o 1-1;?, ~ 'iJ 1-1-e. = o () '11.

y descomponiendo\! en sus componentes transversal y longitudinal

I ntroduciendo (10 . 27) , resulta

y teniendo en cuenta la perpendicularidad de los campos se deduce que

En resumen , las condiciones en el contorno del sistema de propa-gacin son :

A) Ondas TM:

( 1o .37)

8 ) Ondas TE :

(1 o . 38)

5 . - Frec uencia de corte.

De la ecu3cin (10 . 2) vernos que , para que exista propagacin , (3 ha de ser real y , por tanto , de (1 0 . 6) , ha de cumpl i rse que

W?./tJ 2 '> o2

Definimos la frecuencia de corte como

W e -= O ()' = --.!:..__ Vf-E

(1o.39)

Para un autovalor o dado , por debaj o de la frecuencia de corte la

138 R. GOMEZ MARTIN

constante de propagacin ~ es imaginaria pura y el modo correspondien-

te a Q se atena, dicindose en esta situacin que es evanescente.

La ecuacin (10.6) puede escribirse de la forma:

{ ! ! }... )..."' }.. ..

J o e ( 1 0 . 40)

donde

w ~ o: -2 Ji (3 . 11 : _; () A.o / A.e \ )._:J

( 1o.41)

siendo A la longitud de onda en el espacio l_ibre , Ac la longitud de onda de corte y A._, la longitud de onda en l a gua .

As pues , solo existe propagacin para A.


(1o . 46 )

de manera que el diagrama de dispersin queda como se indica en la fi-

gura 1 O. 3 .

/ /

o

/

hg,. 10. J

La curva a trazos corresponde a

"

;.


CAPITULO XI. ORTOGONALIDAD DE MODOS Y CAMPOS.

1 .- Introduccin .

Anteriormente hemos mostrado la propagacin de ondas electromag-

nticas en medio con simetra traslacional o cilndrica y encontrado

soluciones particulares de tipo TM, TE y TEM, como formas de solucin

de la ecuacin de ondas para estos sistemas, que resultan ms natura-les que las planas debido a que facilitan el anlisis de dicha propa-

gacin. Ahora bien , en un sistema de transmisin cualquiera, operando

a frecuencias suficientemente elevadas, el campo real que se propaga no tiene por qu coincidir con los diferentes modos de propagacin es-tudiados; sin embargo, si se demuestra que dichos modos de propagacin

constituyen un conjunto ortogonal y completo, cualquier campo real po-

dr resolverse apropiadamente como superposicin de dichos modos . La demostracin de que un conjunto de modos es completo no puede hacerse

a nivel general , pero se demuestra fcilmente en diversos casos parti-

culares de gran inters prctico, como son las guas de onda de sec-cin rectangular, circular, etc., que se estudian en el captulo XIII .

Pueden obtenerse , sin embargo, como vamos a ver seguidamente, relacio-

nes de ortogonalidad entre los modos de un sistema cilndrico cual-quiera . Este conjunto de modos, convenientemente normalizado, puede ser utilizado como estructura formal adecuada para el desarrollo de

una teora general de guas . Conviene destacar que el disponer de estos conjuntos de modos or-

togonales y completos tiene la utilidad adicional de poder estudiar en

trminos de los mismos otras estructuras no coincidentes con el siste-ma cilndrico de partida, como pueden ser guas con obstculos , iris ,

etc., en las que se rompe la hiptesis de simetra traslacional .

2 . - Relaciones de ortogonalidad entre modos y campos en un sistema con simetra traslacional .

Para la obtencin de las distintas relaciones de ?rtogonalidad entre los modos de un sistema de transmisin , utilizaremos la forma

bidimensional de la identidad de Green, fundamentada en la hiptesis

de simetra traslacional de nuestro sistema y que no es ms que el re-sultado de aplicar el teorema de Gauss a una funcin de la forma 11-'\J :

( 1 1 1 )

escogiendo el volumen V de la figura 11 . 1 , descomponiendo el operador

-

142 R. GOMEZ MARTIN

V en sus componentes transversal y l ongitudinal, ~=VtVty considerando

la superficie transversal St, c omo el lmite cuando t:,.e,-.o, se obtiene

la siguiente espresin (ver apndice al final del captulo) :

f('Vt1f.''V~//:>+l/J'i)l(j>)dS: 11/! CJt/J de (11 . 2) js a~

t L Anlogamente, intercambiando los papeles de 1/J y cf> en ( 11 . 1 ) , obtene-mos

( 11 . 3)

y restando ambas

rl1P"{~ d~ ) de JSt L )yt Ol'l.

( 11 . 4)

que es el denominado t eorema de Green bidimensional.

F.i._g. . 11 . 1

Recordemos que en los sis

tema s de propagacin c i l ndri-

cos que estamos estudiando, la ecuacin general de ondas ho-

mognea se reduce a la ecua-

cin en dos dimensiones

(1 o. 7)

donde V{ representa a Hz o Ez y "6"tt. est definido por

(1o.6)

El desarrollo que s igue l o vamos a cent rar fundamentalmente a mo-

dos TE y TM. Aplicando la expresin ( 11 . 4 ) a dos autofunciones ?.fJ.. y ~ norma-

lizadas y teniendo en cuenta que las condiciones de contorno son Y' =O

para un modo TM y ~=O para un modo TE en las paredes de l conductor (condic in necesaria y suficiente en cada caso ) , as como (10 . 7) , se

obtiene

1/J d s J

s iendo la delta de Kronecker .

( 11 . 5 )

Igualmente, a partir de (1 1 . 2), se obtiene la relacin de ortogo-

' .-


nalidad

~ vt 'l/J 'V~~ ds = Oj,_ J,l St

( 1 1 . 6)

Finlmente, otra relacin de ortogonalidad vlida an en el caso

de dos funcioi.es generales 1i y 'ljJ , que no tienen por qu ser autofuncio nes de nuestro problema , resulta de aplicar el teorema de Stokes a la

funcin 7/J lc/> :

J 1f v cf;-d e = J v" e 'ljJ v) . d s = - 1 \ v

/

144 R. GOM EZ MARTIN

vidad de las paredes.

3 . - Desarrollo del campo en modos normalizados.

Apoyndonos en las relaciones de ortogonalidad de los campos, y que en l as guas usuales los modos constituyen un conjunto completo , vamos a def inir la normalizacin de los modos en funcin de los cua l es

pr etendemos desarrollar el campo . Con ello, s e consigue una estructura

f ormal para una teora general de gias . Para ello s upondremos que E y H son los campos reales del sistema

y que pueden expresarse como

( 11 9) .,, ....

H- ~..,t .--

o e . L ( 11 . 9 1 )

""\--donde

( 11 . 1 o)

r e presentan los modos normalizados que contienen la dependencia con l as coordenadas transversales .x e y. La normalizacin se escoge de t al

forma que

J (.e:e.-.ft.: .. )ds ' r .(e~t e1,:)ds, ~ ~t ... . h.t:ds , Je...,_ (11 . 11) ~ )~ ~ lo que da lugar a que las dimensiones de et y ht sean de (longitud)-1 .

Fijndonos en un modo concreto y teniendo en cuenta que los campos ET

y HT son perpendiculares y relacionados entre s por la impedancia de onda , el vector de Poynting complejo, que nos da, en su parte real, el

doble de la potencia Pn propagada por unidad de rea, tendr por va-

l or

( 11 . 1 2)

De esta forma, la definicin de

l El .. e.t.'\. q ~ ~ .2..,_ d s ) ~ ( 11 . 1 3) s.

kl'I. l

Hl"l ( 11 . 1 3' )

( 1.o T; z.,,_ ds )11 St

C AM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RAD IACION 145

conduce a la interpretacin de que las componentes en los integrandos

de las relaciones ( 11 . 11 ) corresponden a campos que llevan potencia

unidad por la seccin de la gua.

La transfo r macin de Ez y Hz se suele hacer de la siguiente for-

ma:

( 11 . 14 )

1-t,'1. : L H"lo'l. lo -P.,_ Z'.'.Y\. ) l/

146 R. GOMEZ MARTIN

as como la siguiente relacin entre los campos transversales

( 11 . 20)

De acuerdo con estas definiciones, las ecuaciones de Maxwell re-sultan

(11.21)

( 11 . 22)

4 . - Solucin general en modos normales para una gua ideal . Ecuaciones

de lnea de transmisin .

Vamos a estudiar los aspectos relacionados con la transmisin de

los campos segn el eje z y a demostrar que cada modo obedece a unas ecuaciones tipo lnea de transmisin. Para ello se descomponen las ecuaciones (1 1 .9) en sus componentes longitudinales y transversales,

esto es:

E., ejwt J! l 0,,.l2 ) el.._ + tY\, tz> e-;.,,_)] /.ut (11 . 23) .... :-

( 11 . 24)

donde los coeficientes del desarrollo v, q, i y p son funciones de z . De la ley de Faraday en forma diferencial, y la linealidad del

operador \l , tenemos

'iJ" E0 : 2:_ 'V/\ l 0"'1. e~'l. ~ ~"" e:"" ) '\.

( 11 . 25)

de donde, teniendo en cuenta las ecuaciones (11 .19), (11 .20) y (11 .21 l se deduce que

( 11 . 26)

Teniendo ahora en cuenta que k= w~ e igualando coeficientes en las

. .


sumatorias de (11 .26), obtenemos

( 1 1 . 27)

y

( 1 1 . 2 8)

- -Operando anlogamente , a partir de la ley de Ampre ~h~~jw~E se tiene

(1 1 . 29)

y

( 1 1 . 30)

Entonces

( 11 . 31 )

C)\,._: -i_ \(Y [ \(2 - Tn2. [ !. l J v. C>~ k. ~ p: o J

( 11 . 31 1 )

~ Si definimos las impedancias de onda para los modos TE y TM segn

las expresiones ( 11 . 31 ) y ( 11 . 31 ') toman la forma

( 11 . 3 2 )

i.

y 1 v,(i>. dz) ( 11 . 32 1 )

1 r -1..g. 11. 2

2 :2. ,,, Estas ecuac10!1es son formalmente idnticas a las de una lnea de transmisin (fig. 11.2), como es fcil de ver

recordando las ecuaciones (4 . 5) y (4 . 6). Los valores de la impedancia

y admitancia por unidad de longitud vienen dados por

148 R. GOMEZ MARTI

( 11 . 33)

Luego se pueden emplear para resolver problemas de guas las mis-mas tcnicas que para lneas.

Cuando existen varios modos, se resuelve independientemente c ada uno .

Para el caso de un modo TE

'j = j Lwe.-_!{_) wr-

( 11 . 34)

( 11 . 35)

siendo e l elemento de lnea equivalente el correspondiente a la figura

11 . 3a. Para e l modo TM

( 11 . 36)

( 11 . 37)

y s u e lemento de lnea equivalente es el representado en la figura 11 . 3b .

T E

l (o) (b)

F.i.~. 11 . J

Finlmente, conviene recordar que todos estos resultados son es -

tri ctamente vl idos para guas ideales en las que se supone que sus paredes son conductores perfectos .

' ,.

-CAMPO ELECTROMAGNETI CO. PROPAGACION Y RADIACION 149

Tengamos ell cuenta la figura 11 . 1 y supongamos una funcin vecto-

rial A= it' '\c6 estando SC) y l/J definidas en V. Apli cando el teorema de Gass a A:

I ~ 'V ( -..P

--- . . .. ,,,.. 1

'

....

CAM PO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION 151

CAPITULO XII. ONDAS TEM O DE LINEAS DE TRANSMISION .

- Introduccin.

En los captulos anter iores se ha considerado detenidamente la

propagacin de ondas TE y TM en guas de ondas , habindose omitido el

estudio detallado de l as ondas TEM, que es el modo dominante en las lneas de transmisin, debido a que trabajan usualmente a frecuencias inferiores a las de corte para los modos TE y TM .

Un ob jetivo de este captulo es justificar, desde el punto de vis

ta de las ecuaciones de Maxwell , e l modelo de circuito con parmetros distribuidos utili zado en un tema anterior para estudiar la propaga-

cin de ondas electromagnticas en lneas de transmisin . Recordemos

que ahora no se cumple la condicin bsica de estacionariedad o cua-siestacionariedad para la deduccin de las leyes de Kirchoff a partir de las ecuaciones de Maxwell debido a que la longitud de onda de la

seal es del orden de las dimensiones del sistema . Los tipos de lnea ms usados son la bifiliar, la coaxial y el "strip line " .

2 .- Ecuaciones de ondas para modo s TEM .

Puesto que es tas ondas se caracterizan porque no existen compone~

tes de los campos en la direccin de propagacin, que supondremos el eje z, tendremo s

Ei1 = o ; 1-\z =o ( 12 . 1 )

con lo que l as ecuaciones de Maxwell para medios lineales , homog neos

e istropos podrn escribirse , suponiendo que no existen fuentes de campo , como

( 12 . 2)

( 1 2 . 3)

siendo , en general, Et=Et(u1 , u2 , z , t) , en donde u1 , u2 son las coor-

denadas transversales de cualquier sistema de coordenadas cilndri cas . De estas ecuacione~ , teniendo en cuenta que VtA"Et tiene la direc-

cin del e je z , que ~ est en el plano transversal y que, adems ,

~h ~ est tambin en dicho plano , se deduce : o.i!.

o (12 . 4)

152 R. GOMEZ MARTIN

y, por tanto

( 12. 5)

Es interesante notar que las ecuaciones (12.2) y (12.4) , con las

condiciones de contorno adecuadas, permiten obtener la dependencia de Et con las coordenadas transversales u1 y u2 , pero no con z.

Anlogamente , se tiene para H:

que conducen , por las misma s causas de antes, a

z,. ( -cr Et._ o Et;) ot

( 12. 6)

( 12 . 7)

( 1 2 . 8)

( 12.9)

Para obtener la dependencia de los campos con z y t , buscaremos una ecuacin de ondas anloga a la que hemos estudiado .

Derivando respecto a z en (12.9) y teniendo en cuenta (12 . 5) se

tiene

( 12 . 1 o)

y operando adecuadamente

~t .,, az~ - ~e. C> t"' ' C>t ( 12 . 11 )

obtenindose para el campo elctrico E una ecuacin anloga . Ntese l a similitud de esta ecuacin con la ecuacin de ondas .

De las ecuaciones (12.2), (12.4), (12 . 6) y (12 . 8) es fcil com-

probar que

( 12 .1 2 )

( 12 . 1 3)

que son las ecuaciones de Laplace para E y H e n el plano transversal. Ah ora bien , como sabemos , en esttica los campos cumplen precisamente

estas ecuaciones , por lo cual podemos afirmar que la distribucin de

-CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RADIACION 153

campos en el plano transversal es idntica a una distribucin estti -

ca, ya que se verifica que las condiciones de contorno existentes en la lnea, supuesta formada por conductores perfectos, son las mismas que en una distribucin esttica de campos. As pues

~- D = s i

E~tas ecuaciones traducen qe el campo elctrico es normal a la super-

ficie conductora e induce una densidad de carga fl y que el campo mag-ntico H es tangencial a los conductores generando una densidad de co-

rriente superficial estacionaria Js. Estas caractersticas demuestran

que una onda TEM puede ser guiada por un sistema de dos o ms conduc-tores , o por el exterior de un conductor Gnico, pero no por el inte-

rior de una regin conductora cerrada, ya que su distribucin ha de

ser la correspondiente a un problema esttico bidimensional y no puede existir campo elctrico en el interior de una regin sin fuentes com-

pletamente cerrada por un conductor .

Busquemos para la ecuacin (12 . 11) soluciones del tipo

Sustituyendo en (12.11) y simplificando , queda

donde

Las so l uciones generales par a los campos sern

Ht

jwt. e

( 12 . 1 4)

( 12 . 1 5)

( 12 . 1 6)

(12 . 17)

( 12 . 1 8)

( 12 . 1 9)

Es inmediato , por sustitucin en ( 12 . 9) de ( 12 . 18) , obtener las relaciones

+ ::. ( 12 . 20)

154 R. GOMEZ MARTIN

donde

( 1 2. 21 )

Vemos que HOti y EOt en una onda TEM son siempre perpendiculares entre s y a la direccin de propagacin.

En lo que sigue consideraremos solo ondas en el sentido positivo de z, por lo que prescindiremos de los subndices +y -

Supongamos una lnea constituida por dos conductores A y B como se muestra en la figura 12 . 1 .

F~. 12.1

El voltaje entre ambos

conductores puede calcularse

integrando el campo elctrico

a lo largo de cualquier camino entre ellos, como el 1, 2 indi

cado en la figura, y se obten-

dr siempre el mismo valor, ya que E satisface la ecuacin de

Laplace y puede, por tanto,

expresarse como el gradiente de un potencial escalar

t:: - V+. V en lo que se refiere a las variaciones en el plano transversal.

As pues , podemos escribir ~

V ::. - ~ Ect cle = vi -V~ ( 1 2. 22) i

y de la dependencia de Et con t y z, dada por (12 . 14) , se obtiene la

ecuacin de onda progresiva de voltaje

\J.ej (wi.-o.c)

V (X,{) = ( 1 2 . 23)

Razonando ahora a partir de la ley de Ampere y aplicando el teo-

r ema de Stokes en la superf~cie comprendida entre los dos conductores , teniendo en cuenta que \7.._A\.{l =o y que de las condiciones de contorno

..... para un conductor perfecto, no existe componente normal de H en la su-perficie de los conductores

Wti -.11 =-o .

-

~---

l

CAMPO ELECTROMAGNETICO. PROPAGACION Y RA DIACION 155

se verifica

( 12 . 24)

y, como el mdulo de H es el mismo que el de la densidad de corriente,

se tiene:

Ti. :. ~ Ho1:. de L1

-I~ (12.25)

de forma que las corrientes que circulan por los conductores son igua-

les pero de sentido contrario . De la dependencia con c.vy z de Ht ' y la

linealidad de la operacin integral, denominando I a la intensidad de corriente en el sentido z positivo, tendremos

I (i>:,-l) ( 1 2 . 26)

En general, es preferible caracterizar las ondas TEM en trminos

de ondas de tensin o intensidad en lugar de hacerlo mediante los cam-

pos. Las ventajas son claras debido al hecho de que el voltaje y la corriente en las lneas son cantidades fciles de medir hasta frecuen-

cias del orden de 1GHz, mientras que los campos son ms difciles de

manejar. Con este objeto , vamos a relacionar las ondas de intensidad y tensin a travs de la magnitud con dimensiones de impedancia deno-minada impedancia caracterstica de la lnea, definida por

V -r ~td e y 2.0 ::. = (12 . 27) I t +. i 11 E; Hot de . de L ~T.0"1 donde se han tenido en cuenta las expresiones (12 . 20) , (12 . 22) y (12 .

. 25) y donde L es cualquier lnea cerrada en la seccin transversa l de la lnea , tal que rodee al conductor A. Es obvio , de (12.22) , que el denominador de (12 . 27) es proporcional a V; por lo que esta magnitud

desaparecer despus de realizar la integracin . Esto hace que la im-

pedancia caracterstica de una lnea de transmisin ideal sea solo f un cin de la estructura geomtrica de la lnea y de los parmetros que

caracterizan al dielctrico , f , y o- , para una frecuencia dada . Vamos a ver ahora que el estudio de las lneas de transmisin uti

lizando las magnitudes V e I es cons i stente con el valor de la energa

transportada a travs de la lnea ; esto es , demostrar que l a potencia

R. GOMEZ MARTIN

transportada a travs de un plano z=cte . dada por el producto v(z,t) .

. I(z , t) coincide exactamente con la integral de la componente z del

vector de Poynting a travs de la seccin transversal de la lnea. Pa-

ra ello basta, de (12.14) , (12.15) , (12 . 23) y (12 . 26) , comprobar que

se ver ifica

( 12.28)

Efectivamente, para ello transformemos la integral de (12.28) de

la forma

y

J ( E:t "-i::\0t ). i ds " r l .2" ~ot) \J1; Vds s s

( 1 2 . 29)

8

donde S es el rea de la sec-

cin transversal e n tre conduc-

tores , como se muestra en la

fig~a 12 . 2 . La integracin se

realiza sobre la superficie S

con un valor de z y t consta~

tes. Ahora bien, como es fcil

de comprobar por clc ulos sim-

ples y directos, en una onda

F.i..r;. 12.2 TEM, se verifica:

para una onda TEM, queda que

( 12. 30)

de modo que , sustituyendo en (12.29) y aplicando el teorema de Green,

se tiene

VI = ~ 'V-l [ V l i ~ \4'-) 1 ds s

= f V li ... ~0t)-Yid.e-f \J \i "14ol)-nde !..,, LL

(12 . 31 )

en donde el sign o menos provi e ne del distinto sentido del vector n en

ambas superficies.

Como V es constan te en L1 y L2 para un valor de z y t dados y to-

1

)


ma, respectivamen te, los valores v1 y v2 , (12.31) queda

V 1: " 'J J c 2 ... Hot>-; de- vi J (Z /\ \40\; )n de" \J~ ~ J~; 2 d~ + V1 ~ J12 ele: v ... 4+V1t L.., L, [,,_ L

pero I 1=-I2 , de modo que finalmente queda '

YI ( 12. 32)

como se quera demostrar.

3.- Justificacin a partir de las ecuaciones de Maxwell de las ecua-

ciones diferenciales de las lneas de transmisin.

Vamos a deducir a partir de las ecuaciones de Maxwell el par de

ecuaciones diferenciales acopladas en trminos de V e I que rigen la

propagacin de ondas TEM en las lneas de transmisin . Seguiremos suponiendo que los conductores son perfectos y se ha-

llan separados por un dielctrico caracterizado por los parmetros ,

f"-Y o- . Por simplicidad , consideraremos en lo que sigue coordenadas car-

tesianas , lo cual no supone prdida de generalidad en las conclusiones

ya que la demostracin ser completamente general si suponemos nica-

mente, independientemente de las funciones particulares del tiempo y de z, que Ez y Hz son nulos. El voltaje entre ambos conductores puede

F...9- . 12. J

calcularse integrando el campo

elctrico a lo largo de cual-quier camino entre ellos , tal como la figura 12.3 indica .

Tendr el mismo valor cual-quiera que sea el camino que elijamos.

Se tiene pues

V- rEtdt =-r(E .. d)(+tjd~) 1 1

Derivando la ecuacin anterior respecto de z se tiene

( 1 2 . 33)

1

y de la ecuacin de Faraday en forma diferencial

158 R. OOMEZ MARTIN

~ '08,.

'O~ Clt

C>tx =-0E

CAMPO ELECTROMAGNETICO. P ROPAGACION Y RADIACION 159

conductor a otro. Puesto que este es igual a la carga por unidad de

longitud en los conductores, puede escribirse como producto de la ca-pacidad por unidad de longitud y el voltaje entre los conductores,

transformndose (12.39) en

dT Ci!,-\:.J - - e oV(i!.{) o.i: ol...

(12 . 40)

Las ecuaciones (12.36) y (12.40) son precisamente las utilizadas

como base del anlisis de la lnea de transmisin ideal. Vemos que es -

tas ecuaciones se pueden deducir de las de Maxwell suponiendo conduc -

tores perfectos y , puesto que los campos satisfacen en el plano trans-versal la ecuacin de Laplace , la autoinduccin y la capacidad que ap~ recen en ellas son las mismas que las calculadas es esttica . Por tan-

to, los mtodos de anlisis basados en los conceptos circuitales de baja frecuencia son realmente equivalentes a los basados en las ecua-

ciones de Maxwell, a pesar de . la utilizacin de las L y C estticas

para un problema que dista mucho de serlo .

Si el dielctrico entre conductores tiene una conductividad cr , entonces existe una corriente adicional proporcional a V y dada por

d I C:z ,{) = G d~ V (2,-:) ( 12 . 41 )

siendo G la conductancia por unidad de longitud que , de acuerdo con la

e l ectrosttica , est relacionada con la capacidad por unidad de longi -tud por

G o-e ( 12 . 42 )

Incluyendo la ecuacin (12 . 41) en (12 . 40) , esta queda de la forma

o IC:d) = - e o Vci.t) - G Vt-z.. t) 'Oz cit

( 12 . 43 )

Dado que en general los parmetros f- , E.. y a- son funciones de w , resulta ms adecuado expresar estas ecuaciones para seal