Capital Adicional Baseado no Risco
de Subscrição de Seguro de
Vida Individual e Previdência
César da Rocha Neves
Coordenador de Monitoramento de RiscoEduardo Henrique Altieri
Chefe da Divisão de Monitoramento de Riscos de SubscriçãoEduardo Fraga
Coordenador Geral de Monitoramento de Solvência
abril de 2011
CGSOA/CORIS
2
CGSOA
Situação Atual
Não há requerimento de capital regulatório para cobrir os riscos de subscrição- inclusive, não há margem de solvência.
Regulação brasileira de solvência, para os citados nichos, está fora decompasso com os demais mercados internacionais relevantes de seguro eprevidência.
A supervisão de capital baseado em risco já abrange todas as sociedadessupervisionadas, dado que o conceito de capital mínimo requerido, com avigência da Resolução CNSP 227/10, passou a considerar inclusive as EAPCs semfins lucrativos. Além disso, a Resolução CNSP 228/10 inseriu a exigência docapital baseado no risco de crédito para todas.
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CGSOA
Modelo
Premissas atuais, realistas e não tendenciosas para cada variável envolvida.
Simulação estocástica.
Taxas de mortalidade com ganho de longevidade e fazendo uso de modelo deinterpolação e extrapolação da estrutura a termo da taxa de juros, bem comodetalhando a forma que essa estrutura é projetada para períodos futuros.
Em linha com as abordagens da IAIS e da União Européia (Solvency II).
Ganho significativo na solvência das seguradoras e EAPCs.
De acordo com a Circular SUSEP 411/2010, entende-se como operação de vida individualaquelas registradas nos seguintes ramos: Pessoas Individual - Auxílio Funeral (1329); PessoasColetivo - Dotal Misto (0983); Pessoas Individual - Dotal Misto (1383); Pessoas Coletivo - DotalPuro (0986); Pessoas Individual - Dotal Puro (1386); Pessoas Individual – Vida (1391); e Pessoas- Vida Individual (Run-off) (0991).
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CGSOA
Medida de Risco e Horizonte de Tempo
TVaR
Horizonte de Tempo: TVaR é calibrado ao longo do prazo das obrigaçõesdecorrentes dos contratos e certificados cuja vigência tenha se iniciado até adata-base do cálculo.
Expectativas correntes durante o período de análise.
Capital será complementar ao valor da provisão calculado com base nasmelhores estimativas, na forma definida no teste de adequação de passivos(Circular SUSEP 410/2010).
Média
Desvio Padrão
VaR (95%)
Tail VaR
(95%)
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CGSOA
Bases Técnicas
Para avaliar as obrigações decorrentes dos contratos e certificados, inclusiveas opções embutidas, modelamos as bases técnicas envolvidas no cálculo -estrutura a termo de taxa de juros (ETTJ), estrutura a termo de taxas demortalidade, taxas de entrada em invalidez e taxas de cancelamento.
1. Estrutura a Termo de Taxa de Juros (ETTJ)
Ativos rentabilizados pela taxa real de juros em relação ao indexador do plano,ou seja, pelo cupom do indexador do plano. Esta hipótese considera que o riscode descasamento de ativos e obrigações está segregado do risco de subscrição.
1. ETTJ para a data-base do cálculo, extrapolada em função das maturidades dosfluxos de caixa.
2. Projeção: Modelo que garanta não arbitragem.
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CGSOA
1.1 Modelo de Interpolação e Extrapolação da Taxa de juros
Curvas de taxa de juros de cupom de IPCA, obtida na data-base 30/12/2010.
Modelo SUSEP, disponível na internet.
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CGSOA
1.2 Modelo de Projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros
Abordagem de Ang e Piazzesi (2003).
Modelo auto regressivo vetorial (VAR) com 3 fatores latentes e 1 fatormacroeconômico com restrições de não arbitragem.
Restrições de não arbitragem: base teórica de modelos de precificação deativos derivados, utilizados na precificação de fluxos de caixa contingentes deforma consistente com o mercado.
3 fatores latentes: nível, inclinação e curvatura.
1 fator macroeconômico: primeira componente principal das variaçõesmensais de desemprego (Taxa de desemprego - RMSP - Seade), IPCA, IGP-M, TRe CDI, filtrando-se efeitos de tendência e sazonalidade
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CGSOA
1.2 Modelo de Projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros
Fator macroeconômico introduzido pelo uso de representação fatorial dopricing kernel.
Caso especial de versões discretas da classe de “modelos afins”.
Vantagens:
Permite caracterizar o comportamento de toda a curva de juros emresposta a choques macroeconômicos.
Permite comparação direta entre fatores latentes e macroeconômicos.
Mantém a tratabilidade de abordagens VAR sujeito a restrições nãolineares de não arbitragem.
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CGSOA
1.2 Modelo de Projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros
Na estrutura do modelo, assumimos:
Fatores latentes seguindo um modelo VAR(1), permitindo correlação.
Fator macroeconômicos, após ajustes, seguindo um AR(1).
Independência entre a evolução dos fatores latentes e fator macro.
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CGSOA
1.2 Modelo de Projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros
Pricing Kernel
Em um ambiente livre de arbitragem, vale a condição geral paraapreçamentos de ativos:
Ou ainda, de forma recursiva,
onde: representa o preço de um título de zero cupom em t;
é o fator de desconto estocástico, ou pricing kernel
Faz parte do modelo a definição de uma lei de movimento para
11
CGSOA
1.2 Modelo de Projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros
Ilustração do Modelo
Lei de movimento do fator de desconto estocástico:
Equação para :
Lei de movimento para as variáveis de estado:
12
CGSOA
1.2 Modelo de Projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros
Preço dos Títulos
No contexto de "modelos afins", assumimos:
Onde os coeficientes e seguem as equações recursivas:
Com
Assim, a taxa composta continuamente para um título zero cupom deprazo n é dado por:
13
CGSOA
1.2 Modelo de Projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros
Por fim, podemos considerar o modelo como na forma de espaço de estado:
O que nos permitiu a estimação dos parâmetros do modelo por Filtro deKalman.
14
CGSOA
1.2 Modelo de Projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros
Gráfico das ETTJ observadas:
15
CGSOA
1.2 Modelo de Projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros
Gráfico das estimativas das ETTJ de cupom de IPCA projetadas para até 60semestres à frente:
16
CGSOA
2. Estrutura a Termo de Taxas de Mortalidade (ETTM)
Taxas de mortalidade no decorrer da vigência dos contratos em vigor,ajustadas por critério de desenvolvimento das expectativas de longevidade.
Modelagem em duas partes: graduação das taxas de mortalidade e projeçãode ganho de longevidade.
2.1 Graduação das taxas de mortalidade
Dados de exposição e óbitos usados pela UFRJ na obtenção da tábuabiométrica BR-EMS2010.
Anos: 2004 a 2006.
Morte e sobrevivência.
17
CGSOA
2.1 Graduação das taxas de mortalidade
GLM
Técnicas de reamostragem para obtenção de uma distribuição para osparâmetros .
Por meio de simulação, chegamos às distribuições de e da taxa central demortalidade.
A partir desse resultado estimamos as taxas para os anos futuros através daprojeção de ganho de longevidade.
xE
PoissonN
txtx
txtx
.)ln(.)ln(
)(
2,10,
,,
txtx m ,,
tx
mqee txtx
,,, 11
18
CGSOA
2.2. Projeção de ganho de longevidade
Modelo de Lee e Carter (1992)
txtxxtxm ,, )ln(
Onde:
txm , = taxa central de mortalidade na idade x no ano t;
x = parâmetro especifico para cada uma das idades;
t = impacto da passagem do tempo t no cálculo da taxa;
x = tendência da mortalidade para a idade x com o passar dos anos, sendo
impactada desta forma pela evolução de t ; e
tx , = erro com distribuição ),0( 2N .
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CGSOA
2.2. Projeção de ganho de longevidade
ttt uckk 1
Onde “c” representa a tendência no processo de t e ut é normalmente distribuído
com média zero e desvio σ.
Simulação das taxas de mortalidade:
Dados: IBGE - taxas de mortalidade de ambos os sexos, de 1998 a 2008
txTtxTxtx ekkmm ,,, ]).[exp(.
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CGSOA
3. Taxas de entrada em invalidez
Base Técnica: mesma técnica usada para graduação das taxas de mortalidade.
Dados: Encaminhados pelas supervisionadas, por força de Circular SUSEP,entre os anos de 2005 e 2007.
4. Taxas de cancelamento
Graduamos três tábuas de cancelamento, em função da cobertura doplano: morte, invalidez e sobrevivência.
Base Técnica: mesma técnica usada para graduação das taxas demortalidade.
Dados: Encaminhados pelas supervisionadas, por força de Circular SUSEP,entre os anos de 2005 e 2007.
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CGSOA
Módulos de cálculo
Segregação em função da estruturação e tipo do plano e tipo de cobertura.
1 . Risco de Provisão Não Matemática das Coberturas de Risco– Morte e Invalidez
Log(Yi,t)|Ni,t it, 2 ~ Normal (it,
2)
)Poisson( λ~E,/λN itiitit (26)
(FUNÇÃO DE LIGAÇÃO)
titiit β )log(N μμ
***
it μ)log(λ ti (27)
(RESTRIÇÕES)
011
0*
1
*
1
Período da Ocorrência (i)
Tempo do Desenvolvimento dos Avisos (t)
1 2 ... m
1 Y11 Y12 ... Y1m 2 Y21 Y22 ... ... ... ... m Ym1
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CGSOA
1 . Risco de Provisão Não Matemática das Coberturas de Risco – Morte e Invalidez
CapitalProvñmat = fatorprov x (IBNR + PBAR - AR.VI.Prev )
Fator para risco de provisão de IBNR foi otimizado em relação à esperança dos
valores de sinistros não avisados.
Para os sinistros já avisados, no cálculo do risco da provisão de benefícios a
regularizar (PBAR), trabalhamos com a coerente hipótese que o coeficiente
TVaR/Esperança é igual ao do risco de IBNR
E(sinistros/benefícios a recuperar das
coberturas de risco do ramo vida
individual e de previdência).
23
CGSOA
2. Riscos de Emissão das Coberturas de Risco (Morte e Invalidez) em Repartição
2.1 Morte em RS
Risco de desvio na probabilidade real e o chamado risco idiossincrático, que érelevante para carteiras pequenas.
Separamos as supervisionadas, por análise de cluster, em 4 grupos em funçãodo tamanho da população exposta.
Dois decrementos, considerando que os números de morte e de cancelamentotêm distribuição binomial.
Simulamos a distribuição de perda, dadas as ETTM e ETTJ modeladas, e oobtemos o valor do capital de subscrição.
CapitalmorteRS = fatormorteRS x CS
24
CGSOA
2.2 Invalidez em RS
Mais um decremento que é a entrada em invalidez
CapitalinvRS = fatorinvRS x CS
2.3 Morte e Invalidez em RCC
Modelado também o risco na provisão que se constitui (matemática debenefícios concedidos) quando ocorre o evento gerador, por meio deestimativas correntes de ETTJ e de ETTM, que geram uma distribuição do valorda anuidade mensurada de forma consistente com o mercado.
A otimização dos fatores de risco é feita em relação ao valor da renda mensallíquida de resseguro referente às coberturas avaliadas.
CapitalmorteRCC = fatormorteRCC x renda mensal
CapitalinvRCC = fatorinvRCC x renda mensal
25
CGSOA
3. Riscos da Provisão Matemática de Benefícios Concedidos (PMBC)
Avaliação dos fluxos de caixa negativos quando o valor das provisões é maiorque o dos ativos que as cobrem. Mensuração dos possíveis déficits futuros que aseguradora possa ter.
dtgdtxRtdtxRrxdR t
A
ttx
A
tt
A
t )().()(.)( - processo do ativo (35)
u
tsdsi
tu egg - processo da renda (36)
dtgdtxRdtxRfixdR t
L
ttx
L
ti
L
t )(.)().()( * - processo da provisão (37)
Onde:
tr = taxa de juros de curto prazo em t;
tx = força de mortalidade realística na idade x+t;
ti = inflação em t;
tx* = força de mortalidade contratual na idade x+t;
f = taxa de juros contratual; A
txR )( = valor do ativo em t; e L
txR )( = valor da provisão em t; e
26
CGSOA
3. Riscos da Provisão Matemática de Benefícios Concedidos (PMBC)
))()(()( L
t
A
tt xRxRxC (38)
],0[))()(()( txRxRxP A
t
L
tt (39)
Sendo: = percentual de excedente pago ao assistido;
TxC )( - fluxo do pagamento do excedente; e
TxP )( - fluxo do pagamento do déficit.
Como o próprio pagamento de excedentes altera o processo dos ativos e das
obrigações, temos que redefini-los para considerar os bônus. Cash se refere aos excedentes quando pagos diretamente na conta do assistido e Benefit quando revertidos para provisão via aumento de benefício.
})()({)()()()()()( A
tLtk xRxRttttt
A
ttx
A
tt
A
t
Cash dIxPdIxCdtgdtxRtdtxRrxdR (40)
dtgdtxRdtxRfixdR t
L
ttx
L
tt
L
t
Cash )()()()( * (41)
Quando não há promessa de excedente, o processo é representado como em
Cash, com C(x)t = 0.
27
CGSOA
3. Riscos da Provisão Matemática de Benefícios Concedidos (PMBC)
Capitali= fatori x PMBCi,
Quando excedente é revertido à provisão, via aumento de benefício:
})()({
* )()()()()( At
Lt xRxRtt
A
ttx
A
tt
A
t
Benefit dIxPdtgdtxRtdtxRrxdR (42)
}{
** )()()()(ktttt
L
ttx
L
t
L
t
Benefit dIxCdtgdtxRdtxfRxdR (43)
tkxtttt AFdIxCdtgidgktt
}{
)(** - processo de renda com excedentes. (44)
Sendo ktxAF = fator para cálculo da anuidade contratual na idade x + tk.
Para cálculo do valor presente de cada déficit, temos:
))()(())()(()(..
0
0
A
t
L
t
tRA
t
L
t
tRxRxRedtxRxRexP tt (45)
Onde Rt é igual a taxa de juros real extraída da ETTJ na data do cálculo.
28
CGSOA
3. Riscos da Provisão Matemática de Benefícios Concedidos (PMBC)
Planos sem excedente ou com excedentes depositados na conta corrente
Base = PMBC
Taxa de juros contratual
0% < x <
2%
2% < x <
4%
4% < x < 6% x >6 (planos
bloqueados)
Expectativa de
vida completa
da tábua
contratual aos
60 anos
Sem tábua contratual
Menor que 23 anos
Maior que 23 anos
Planos com excedente revertidos via aumento de renda
Base = PMBC
Taxa de juros contratual
0% < x < 2% 2% < x <
4%
4% < x <
6%
x >6 (planos
bloqueados)
Expectativa
de vida
completa da
tábua
contratual aos
60 anos
Sem tábua contratual
Menor que 23 anos
Maior que 23 anos
29
CGSOA
4. Riscos PMBAC - sem garantia mínima no período de diferimento
PGBL e VGBL Ballotta e Haberman (2003) sobre avaliação de opções de anuidade garantida (GAO, eminglês)
(47) Onde: - VPT (Renda) é o valor presente a mercado da renda no momento T (aposentadoria); - ST é o fundo acumulado no momento da aposentadoria.
Assim, o valor presente é denotado por:
))(( TTT SRendaVPGAO
))((*
TT
dsrQ
tt SRendaVPeEGAO
T
t
wsx
dsxs
T
k
TxkTT
dsrQ
t SpkTPgSeE
T
t
wsx
dsxs
1
* )(
T
t
s
T
t
s
T
t
wsx
dsxs dsr
t
k
TxkT
dsr
t
dsrQ
t eSpkTPegSeE1
* )(
30
CGSOA
4. Riscos PMBAC - sem garantia mínima no período de diferimento
(48)
Sendo,
T
t
duutf
t eTP),(
)(
t = data da avaliação; T = data de aposentadoria;
)(TPt = preço de um título de zero- cupom na data t para a maturidade T;
p = probabilidade realística de sobrevivência; g = fator de cálculo da renda contratual; 1/ g = anuidade garantida contratual;
sr = taxa de juros de curto prazo em s; d = força de mortalidade ; e w = força de cancelamento.
gpkTPeEgS
k
TxkT
dsQ
tt
T
t
wsx
dsx
1)(1
*
Capitali= fatori x PMBACi
Caso o plano preveja renda certa, basta retirar de (48) a variável Txk p .
31
CGSOA
4. Riscos PMBAC - sem garantia mínima no período de diferimento
Base = PMBAC
Taxa de juros contratual
0% < x <
2%
2% < x <
4%
4% < x <
6%
x >6
(planos
bloquea
dos)
Expectativa de
vida completa
da tábua
contratual aos
60 anos,
definida para
concessão de
benefícios
Sem tábua
contratual (renda
certa)
Menor que 23
anos
Maior que 23 anos
32
CGSOA
5. Riscos PMBAC com garantia mínima no período de diferimento
Mesmo raciocínio apresentado em PMBC. Ou seja, serão simulados oscomportamentos dos ativos e das obrigações da companhia seguradora e, sendocomputado um déficit, este deverá ser coberto via capital
Decrementos: morte e cancelamento
Capitalização atuarial e financeira
Capitali= fatori x PMBACi
+
GAO
33
CGSOA
5. Riscos PMBAC com garantia mínima no período de diferimento
Fator 1: Risco Diferimento
Base = PMBAC
Taxa de juros contratual
0% < x <
2%
2% < x <
4%
4% < x <
6%
x >6
(planos
bloquead
os)
Expectativa
de vida
completa da
tábua
contratual
aos 30 anos,
definida
para o
diferimento
Sem tábua contratual
(cap.financeira)
Menor que 50 anos
Maior que 50 anos
Fator2: GAO
Base = PMBAC
Taxa de juros contratual
0% < x <
2%
2% < x <
4%
4% < x <
6%
x >6
(planos
bloquea
dos)
Expectativa de
vida completa
da tábua
contratual aos
60 anos,
definida para
concessão de
benefícios
Sem tábua
contratual (renda
certa)
Menor que 23
anos
Maior que 23 anos
34
CGSOA
6. Riscos das coberturas de risco estruturadas em capitalização
Para a cobertura de morte, consideramos análise bi-decremental (morte e cancelamento), temos:
(50) Para a cobertura de invalidez, consideramos análise multi-decremental
(invalidez, morte e cancelamento), temos:
dtxRdtbdtxRdtxRfidtxdR
dtxRdtbdtxRdtxRrdtxdR
L
t
w
txt
d
tx
L
t
d
tx
L
ttt
L
t
L
t
w
txt
d
tx
A
t
d
tx
A
ttt
A
t
)(.)()()()(
)()()()(
**
dtxRdtbdtxRdtxRfidtxdR
dtxRdtbdtxRdtxRrdtxdR
L
t
w
txt
i
tx
L
t
i
tx
d
tx
L
ttt
L
t
L
t
w
txt
i
tx
A
t
i
tx
d
tx
A
ttt
A
t
)(.)()()()()(
)(.)()()()(
***
35
CGSOA6. Riscos das coberturas de risco estruturadas em capitalização
Onde: - b = valor do benefício; - - = prêmio;
- d = força de mortalidade realística;
- *d = força de mortalidade contratual;
- w = força de cancelamento;
- i = força de entrada em invalidez realística; e
- *i = força de entrada em invalidez contratual.
Em (50) e (51), quando se tratar de plano que paga benefício sobre a
forma de renda, no ativo, a variável “b” será igual ao valor da provisão calculada considerando a anuidade mensurada de forma consistente com o mercado e, no passivo, igual à provisão dado o valor da anuidade contratual.
O déficit é dado por: (52)
))()(())()(()(..
0
0
A
t
L
t
tRA
t
L
t
tRxRxRedtxRxRexP tt
;0
0
t
sdsi
t ebb
),0[,))()(()( txRxRxP A
t
L
tt
Capitali= fatori x PMBACi
36
CGSOA6. Riscos das coberturas de risco estruturadas em capitalização
Base = PMBAC
Taxa de juros contratual
0% < x < 3% 3% < x < 6% x > 6 (planos
bloqueados)
% % %
37
CGSOA
7. Riscos do Plano Dotal Puro (53) (54)
))()(())()(()(..
0
0
A
t
L
t
tRA
t
L
t
tRxRxRedtxRxRexP tt
dtxRdtxRdtxRfidtxdR
dtxRdtxRdtxRrdtxdR
L
t
w
tx
L
t
d
tx
L
ttt
L
t
L
t
w
tx
A
t
d
tx
A
ttt
A
t
)()()()()(
)()()()(
*
),0[,))()(()( txRxRxP A
t
L
tt
Capitali= fatori x PMBACi
Base = PMBAC
Taxa de juros contratual
0% < x <
2%
2% < x
< 4%
4% < x <
6%
x >6
(planos
bloquea
dos)
Expectativa de
vida completa
da tábua
contratual aos
30 anos
Menor que 50 anos
Maior que 50 anos
38
CGSOA
8. Riscos do Plano Dotal Misto
Para o Dotal Misto, o raciocínio é análogo: (55) (56) Porém, neste caso, pode haver a compensação de risco (morte e
sobrevivência). Por isso, simulamos tudo de forma conjunta.
))()()()((
))()()()(()(
.
.
0
0
A
tM
A
tS
L
tM
L
tS
tR
A
tM
A
tS
L
tM
L
tS
tR
xRxRxRxRe
dtxRxRxRxRexP
t
t
dtxRdtxRdtxRfidtxdR
dtxRdtxRdtxRrdtxdR
L
tS
w
tx
L
tS
d
tx
L
tSttS
L
tS
L
tS
w
tx
A
tS
d
tx
A
tSttS
A
tS
)()()()()(
)()()()(
*
dtxRdtbdtxRdtxRfidtxdR
dtxRdtbdtxRdtxRrdtxdR
L
tM
w
txt
d
tx
L
tM
d
tx
L
tMttM
L
tM
L
tM
w
txt
d
tx
A
tM
d
tx
A
tMttM
A
tM
)(.)()()()(
)(.)()()(
**
),0[,))()()()(()( txRxRxRxRxP A
tM
A
tS
L
tM
L
tSt
39
CGSOA
8. Riscos do Plano Dotal Misto
))((2)()( 22
ddmmddmm PMBACfatorPMBACfatorPMBACfatorPMBACfatorCapital
Onde: - fatorm = fator de risco da cobertura de morte, no período de diferimento, estruturada em capitalização; - PMBACm = PMBAC da parcela de morte do dotal misto; - fatord = fator de risco do plano dotal puro, no período de diferimento; - PMBACd = PMBAC da parcela de sobrevivência do dotal misto; e - = correlação entre as parcelas referentes à morte e sobrevivência do plano dotal
misto.
40
CGSOA
9. Riscos de Despesas Administrativas (DA)
Riscot = t
t
Premio
DA = rt = 1
1
1
t
t
t
t
Premio
DA
Premio
DA
, t= 1,..., T
Quando há flutuação ou oscilação na taxa das despesas administrativas calculada em
relação aos prêmios.
rt ~ Normal ),( .
Capital T (%) = 1zPremio
DA
T
T = fator
Capital T (R$) = TPrêmiofator
cluster: especializada em risco e em sobrevivência.
fator de risco das coberturas de risco será aplicado sobre o montante dos últimos 12prêmios diretos e contribuições anteriores à data base (mensal) de cálculo, referentes àscoberturas de vida individual e previdência, distintas da cobertura de sobrevivência; e fator de risco da cobertura de sobrevivência será aplicado sobre o montante dos últimos12 prêmios diretos e contribuições anteriores à data base (mensal) de cálculo, referentes àcobertura de sobrevivência.
41
CGSOA
Modelo Interno
Para aquelas companhias que não possuírem um modelo interno paragerenciamento de riscos ou possuírem, mas em desacordo com os princípios ediretrizes a serem definidos pelo órgão supervisor, haverá um agravamento nomontante de capital requerido.
Modelo interno a partir dos critérios a serem regulamentados pelo órgãosupervisor, entre eles a exigência da utilização de um modelo matemático desimulação e a implementação de uma estrutura de gerenciamento de risco,compatível com a natureza das operações e complexidades dos produtos.
42
CGSOA
Fim da apresentação