Titolo: Artefatti come strumenti per costruire significati
matematici alcuni esempi di utilizzo nella scuola primaria
Sottotitolo: Laboratorio didattico di matematica Progetto PerContare
Capitolo 6
Relazione finale anno di prova discussa il giorno 25 giugno 2013
di Irene Ferrari
Cap. 6 Il progetto in opera
In questo capitolo ci si addentra nella sperimentazione vera e propria: qualche precisazione
sui materiali utilizzati (§ 6.1), esempi di attività con i diversi strumenti (§6.2 e
sottoparagrafi), altri spunti su alcuni nodi cruciali della matematica (§ 6.3) e riflessioni
finali sul progetto (§ 6.4).
6.1 Artefatti come strumenti per costruire significati matematici1
Il progetto come già accennato nel § 5.4 intende formare i docenti sull’uso di un sistema di
materiali manipolabili che coprono, nel loro complesso, gli aspetti epistemologici
fondamentali della prima competenza numerica.
Si tratta del risultato di un’ampia attività di ricerca, già oggetto di pubblicazioni scientifiche
a livello nazionale e internazionale.
Tali materiali vengono denominati “reti minime di artefatti ad alta manipolabilità ”. La
rete è “minima” nel senso che si evita la proliferazione di materiali commerciali che
richiedono soldi, molto tempo scolastico e sono di dubbia utilità.
Tra questi materiali vi sono artefatti già disponibili nello “zainetto” del bambino, artefatti
facilmente costruibili in classe con materiale povero, e un numero estremamente limitato di
artefatti commerciali.
Il materiale previsto nell’attività formativa del progetto si compone di:
Cannucce Abaco Pascalina
Bee-Bot Righello
Altri, invece, si sono costruiti in classe: contamani, linea dei numeri e
1 http://percontare.asphi.it/?page_id=106
conta decina.
Contamani Linea dei numeri Contadecina
Tutti questi strumenti possono contribuire all’insegnamento-apprendimento del nostro
sistema di notazione numerica, di strategie di calcolo mentale e delle tecniche comunemente
utilizzate nel calcolo scritto.
L’obiettivo generale, infatti, del progetto è quello di far apprendere gli allievi a scrivere,
ordinare e confrontare correttamente i numeri naturali e ad acquisire tecniche per
eseguire operazioni, ma che anche, contemporaneamente, aiutare loro affinchè inizino ad
appropriarsi del significato di “notazione posizionale” e di come, tale significato, si
correli a tecniche di calcolo.
La sperimentazione ha introdotto gli “strumenti di mediazione semiotica” in quest’ordine
nel corso della classe prima per poi continuare a lavorarci anche nel corso della seconda e in
futuro della terza: le mani, le cannucce, la linea dei numeri, la pascalina, l’abaco e bee-bot.
Gli strumenti sono stati utilizzati durante la sperimentazione per introdurre concetti
matematici e per:
- Incentivare gli allievi all’osservazione dei materiali descrivendoli: come è fatto?
- Stimolare gli allievi ad esprimere le loro ipotesi su ciascuno strumento relativamente
all’utilizzo per condividere schemi d’uso, esplicitare la correlazione che hanno con il
conteggio, la rappresentazione del numero e il calcolo: cosa fa?
- Proporre la costruzione e/o l’assemblaggio individuale, quando possibile, per dare loro la
possibilità di usarlo frequentemente, attribuendogli eventualmente un valore affettivo, ma
soprattutto per capire la profondità del funzionamento: il perché lo fa?
L’utilizzazione nella scuola di strumenti, come ad esempio l’abaco appartiene alla
tradizione didattica, tuttavia, il ricorso a sussidi didattici non garantisce di per sé l’accesso a
significati matematici.
Lo strumento è sempre contemporaneamente in relazione sia con l’esecuzione di un compito
specifico di carattere tecnico, sia con una specifica conoscenza matematica, ma questa
duplice azione non si instaura in modo meccanico e/o spontaneo. Meira (1995) sostiene che
i saperi che l’artefatto “incorpora” non sono necessariamente identificati da chi lo utilizza,
ossia l’artefatto può essere “opaco” per questi saperi. Per esemplificare, un allievo può
correttamente rappresentare numeri con l’abaco anche senza aver compreso la nozione di
valore posizionale delle cifre, può semplicemente possedere una tecnica, un automatismo
secondo il quale nelle aste dell’abaco, in successione, vanno infilate tanti gettoni quante ne
indicano le singole cifre che, anch’esse in sequenza, concorrono alla scrittura del numero.
Affinché lo strumento diventi “trasparente” è necessario che l’insegnante coinvolga gli
allievi in attività finalizzate a stabilire una relazione “virtuosa” tra schemi d’uso e sapere
matematico. In altri termini, è necessario individuare metodologie didattiche che consentano
di stabilire un legame, che si è detto non essere affatto scontato, tra l’uso di tecniche legate
all’interazione fisica con gli artefatti e specifici contenuti disciplinari.
Inoltre tra i “sussidi” in uso nelle scuole occorre operare un’importante distinzione: alcuni
strumenti appartengono alla storia della matematica; altri, di introduzione relativamente
recente, sono realizzati appositamente a scopo didattico (tra questi, ad esempio, i “numeri in
colore”).
Gli strumenti che appartengono alla storia della matematica come l’abaco o il pallottoliere
offrono uno specifico vantaggio: nel corso della storia della disciplina, hanno contribuito
alla costruzione di significati matematici, in questo senso, hanno già dato buona prova di sé
ed è, dunque, giustificato ritenere che possano dare un contributo analogo anche rispetto
allo sviluppo culturale degli allievi.
E sono quelli di cui principalmente si occupa il gruppo di ricerca in didattica della
matematica di Modena e Reggio Emilia.
6.2 Esempi di attività con…
6.2.1 Mani
Competenze:
- Contare sia in senso progressivo che regressivo; - Leggere e scrivere numeri in base dieci;
- Eseguire calcoli; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici
argomentazioni.
Le mani sono un artefatto sempre a portata di mano.
Il ricorrere alle mani per contare è un’esperienza significativa e generalizzata per i bambini
che accedono alla scuola primaria ed è importante valorizzare questo “sapere”, fin dai primi
giorni di scuola.
Dice Butterworth, 1999: “Senza la capacità di associare la rappresentazione dei numeri
alla rappresentazione neurale delle dita e delle mani nelle loro posizioni normali, gli stessi
numeri non possono avere una rappresentazione normale nel cervello”.
La didattica della matematica dice che:
- Fin dall’inizio è bene favorire l’uso delle dita e consentirne l’uso fino a che i bambini
non lo abbandonano da soli;
- È bene usare le dita perché possono facilitare la concezione di addizione e sottrazione
come operazioni complementari;
- Alzare e abbassare le dita in maniera sequenziale oppure simultanea può influenzare i
processi cognitivi coinvolti e comunque è indicativo rispetto a questi;
- No all’uso di un etichettamento rigido delle dita;
- È bene usare le dita per la loro struttura naturale di 10 in tutto e 5 per mano.
- Lavorare sul calcolo a mente e chiedere ai bambini di aiutarsi con le dita (e poi di
immaginarsele).
All’inizio della prima l’insegnante ha chiesto ai suoi alunni di disegnare le mani mentre
contano.
Ecco qualche risultato:
6
L’insegnante ha, poi, proposto di costruire uno strumento che serve per contare e calcolare:
il contamani.
Insieme agli allievi se ne è condiviso lo schema d’uso:
Uso:
1) abbassare tutte le dita di carta (azzerare lo strumento)
2) abbinare la filastrocca numerica da 1 a 10 con il sollevamento delle
dita
Con il contamani si è contato, giocato e calcolato:
- La maestra dice un numero e i bambini devono posizionare correttamente il
contamani per rappresentare il numero (da 1 a 10);
- Mettendo le mani dietro la schiena la maestra dice: Ho le dita di una mano
sollevate e ancora altre quattro dita sollevate. Che numero è?
Si è disegnato il contamani in azione:
Avanti ed indietro
Si è realizzato un memory con le foto delle mani dei bambini:
Fino ad effettuare alcune
Riflessioni collettive sul contamani
Ci siamo accorti, disegnando i vari numeri con il contamani, che
NON IMPORTA QUALI DITA SOLLEVO, è IMPORTANTE, INVEC E,
SOLLEVARE LA GIUSTA QUANTITÀ DI DITA CHE SI VOGLION O CONTARE.
Ancora mani …
Di solito partiamo con il contamani azzerato.
E se invece il contamani avesse tutte le dita alzate?
Questo esercizio è servito ai bambini per diventare più veloci nella rappresentazione dei
numeri con le dita e per diventare sempre più consapevoli che una mano rappresenta una
quantità di 5 e due mani una quantità di 10.
Nel corso della classe prima le mani sono state anche spesso rappresentate sul quaderno
mentre svolgevano la funzione di calcolare addizioni e sottrazioni.
Nel caso della sottrazione si è introdotta una nuova convenzione: una crocetta a segnalare le
dita che vengono abbassate, ma che graficamente vengono “tolte” tante volte quante ne
indica il sottraendo. Questa convenzione è stata negoziata con gli allievi.
In classe seconda, il “contamani” ha acquisito nuove funzioni.
Non bastano più le 10 dita, se si deve contare almeno sino a 100.
Se si volesse disegnare i numeri da 0 a 100 con il contamani sarebbe necessario disegnare
moltissime mani, troppe e non sarebbe funzionale.
Così insieme agli allievi si è deciso di modificare il contamani per facilitare il lavoro di
rappresentazione e di conteggio: ogni dito d’ora in poi varrà una decina.
Il contamani diventa un contadecina.
Lo strumento non perde le funzioni di prima, ma le integra.
Quest’anno si è,così , costruito un contadecina per ciascun bambino.
Esempi di attività con il conta decina:
Lavorare con il contamani e il
contadecina, in particolare, ha permesso di
effettuare alcune osservazioni-scoperte:
- Lo zero è un numero, un numero che rappresenta la quantità nulla: tutte le dita sono
abbassate;
- Non è necessario seguire una sequenza fissa durante il sollevamento o
l’abbassamento delle dita, affinché il conteggio sia corretto. Non esiste il dito numero
“1” o quello numero “2” , ma ciò che deve essere considerato è solo la “giusta”
quantità di dita che si vogliono contare;
- L’uso frequente degli strumenti nel calcolo di addizioni e sottrazioni permette agli
allievi, ad esempio, un primo accesso al significato di “0” come elemento neutro
nell’addizione e nella sottrazione e in particolare di esercitarsi sulle strategie di
calcolo veloce;
- Si compiono riflessioni sulla complementarietà di due numeri e sul significato
matematico dell’addizione e della sottrazione come operazioni inverse (sollevare ed
abbassare le dita sono azioni “contrarie”, “opposte”);
- Si approfondiscono i concetti di “unità” e “decina”.
6.2.2 Cannucce
Competenze:
- Contare sia in senso progressivo che regressivo; - Leggere e scrivere numeri in base dieci; - Eseguire calcoli; - Si vuole cominciare ad introdurre il concetto di decina come raggruppamento di dieci oggetti (eventualmente anche astratti); - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici
argomentazioni.
Questo strumento prende ispirazione dalle bacchette di bambù cinesi utilizzate in molte
culture asiatiche per lo sviluppo delle capacità di numerazione e calcolo.
Le cannucce in prima elementare sono state usate per eseguire concretamente semplici
calcoli, per affinare le strategie di calcolo e per approfondire i concetti di unità e decina.
Esempi di rappresentazione di numeri con le cannucce:
15
32
In classe seconda le cannucce sono state utilizzate per rappresentare numeri approfondire
ancora i concetti di unità e decina e, in particolare, per introdurre le addizioni e le sottrazioni
in colonna, soprattutto quelle con il “riporto” e il “prestito”, due termini che abbiamo
preferito non usare. Riportiamo sotto qualche riflessione sulla terminologia usata (e non).
Vediamo un po’
“ Una pratica diffusa nella scuola Italiana In seconda elementare gli allievi incontrano per la prima volta gli algoritmi per l’addizione e la sottrazione in colonna con numeri di 2 cifre. L’approccio è graduale. Prima si considerano i casi più naturali, come ad esempio:
45 + 22 = 37 – 22 =
In questi casi si può procedere senza problemi ad aggiungere decine a decine ed unità a unità (addizione) e a togliere decine da decine ed unità da unità (sottrazione). Nel passo successivo si considerano i casi in cui la somma delle unità supera la decina (addizione)
45 + 27 =
ovvero il numero di unità del sottraendo supera il numero delle unità del minuendo
37 – 18 =
In questi casi, nei libri di scuola italiani si introducono due termini “tecnici”, accompagnandoli con l’uso di materiale manipolativo e con narrazioni di vario tipo: riporto (addizione) e prestito (sottrazione). Nel caso del “prestito” la storia è una variazione sul tema seguente: le unità (7) non sono abbastanza e dunque vanno in prestito di una decina per cui 8 diventa 18 e così via. Dal punto di vista matematico, si opera, nel primo caso, componendo 10 unità a formare 1 decina e, nel secondo caso, scomponendo 1 decina in 10 unità.
[…]
Le pratiche e il lessico in Cina.
Vediamo come è affrontato lo stesso problema in Cina. E’ un grande paese non europeo, nel quale i curricoli sono fortemente centralizzati e sono pubblicate pochissime serie di libri di testo molto simili tra loro. Nei curricoli cinesi (nelle indicazioni nazionali, nei libri di testo, nelle guide per insegnanti e anche nella pratica didattica quotidiana) si usano termini derivati dagli schemi d’uso degli antichi artefatti per contare ed eseguire operazioni (le bacchette o cannucce; la tavola da calcolo, il suàn pán o abaco cinese):
addizione: composizione o avanzamento sottrazione: scomposizione o arretramento
Il significato della coppia di antonimi composizione / scomposizione è facilmente riconducibile al calcolo con le bacchette (vedi anche Bartolini Bussi, 2011). La figura 4 mostra il primo approccio alla decina all’inizio della prima elementare. L’insegnante (1) chiede al bambino di legare le bacchette a mazzetti di 10 e di dire i numeri2.
Il bambino (2) mostra alcuni casi di mazzetti legati e bacchette sparse e dice i nomi in modo preciso. In questo è facilitato dalla struttura del sistema di numerazione cinese, perfettamente trasparente per la notazione posizionale: dieci-uno (undici); dieci-cinque (quindici); due-dieci (venti). L’algoritmo dell’addizione è presentato in modo naturale unendo le unità sparse dei due addendi e le decine. Ogni volta che, nella somma, il numero di unità sparse supera 10, si lega un mazzetto. L’algoritmo della sottrazione è presentato in modo naturale togliendo unità da unità e mazzetti da mazzetti. Il caso più complesso del “prestito” è risolto slegando un mazzetto. C’è quindi una corrispondenza significativa tra il termine che denota l’azione e il termine tecnico introdotto.
2 I bambini hanno già praticato la numerazione orale nella scuola materna fino a 100. Per la numerazione scritta hanno già imparato i caratteri cinesi da uno a dieci e la scrittura dei numerali indo-arabici per copiatura da 1 a 100.
figura 4: la decina e i numerali (prima elementare)
10 + 10 + 10 + 10 + 7
10 + 4
Alle due azioni opposte (gli antonimi legare – slegare) corrispondono i due antonimi comporre – scomporre, che sono termini tecnici della matematica”3.
Alla luce di ciò, si sono elaborate attività sull’argomento tenendo conto di questi aspetti e
prendendo spunto da alcune attività cinesi:
Lavoro individuale poi confronto a piccolo gruppo
Osserva bene questa vignetta.
1) Cosa accade qui? Descrivi la vignetta.
2) Come risolvono il problema i tuoi coetanei cinesi? Saresti in grado di spiegare come hanno
fatto?
3) Ora proviamo a risolvere il calcolo con: cannucce, pascalina, abaco e calcolo in colonna.
CANNUCCE
47 + 14 = ….
3 Bartolini Bussi M., Scienze della Formazione, Università di Modena-Reggio Emilia, L’italiano per capire e studiare: la sottrazione con “prestito”in aritmetica
Figura 5: sottrazione senza scomposizione Figura 6: sottrazione con scomposizione
47 14
Quante sono le cannucce non legate (le unità) in entrambi i riquadri? ……………
Con le cannucce non legate (le unità) riusciamo a formare altri fascetti da 10? Quanti?………
Quante cannucce rimangono fuori? …………
Quanti sono i fascetti da 10 cannucce (le decine) in entrambi i riquadri? ………
Più quelli formati dalle unità? …………
Allora, 47 + 14 = ……..
10 + 10 + 10 + 6
10 + 10 + 10 + 6
10 + 10 + 5
10 + 6
Ancora cannucce:
36 – 8 = …..
36 8
Ora prova a risolvere queste due operazioni con le cannucce:
25 + 16 = …..
25
16
24 - 9 = …..
E LE ALTRE 2 CANNUCCE
CHE DEVO ANCORA TOGLIERE DA DOVE LE
PRENDO? SCOMPONGO UN
Lavorare con le cannucce ha dato la possibilità di:
- Contare concretamente;
- Approfondire i concetti di unità e decina;
- Riflettere sulle strategie di calcolo veloce;
- Operare realmente su addizioni e sottrazioni in cui bisogna comporre e scomporre
decine.
6.2.3 Linea dei numeri
Competenze:
- Contare sia in senso progressivo che regressivo; - Leggere e scrivere numeri in base dieci; - Eseguire calcoli; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici
argomentazioni.
La linea dei numeri naturali è un strumento grafico-simbolico.
Si tratta di una semiretta orientata con origine “0”, nella quale ogni segmento delimitato da
due tacche rappresenta l’unità.
Lo strumento promuove eminentemente un approccio di tipo ordinale-ricorsivo al numero e
può far emergere l’idea che l’insieme dei naturali è infinito attraverso la considerazione
della continua possibile reiterazione dell’operatore +1.
In classe prima si è fatta disegnare la linea individualmente prima, poi a piccolo gruppo per
infine discutere tutti insieme i progetti degli allievi.
La maestra ha, poi, proposto delle linee dei numeri disegnate da altri bambini:
“Cosa ne pensate?” “Sono simili alle vostre?”
Si è costruita una linea dei numeri grande per tutta la classe con una specie di segnaposto
che poteva scorrere avanti e indietro.
Si
è
fabbricata
una linea dei
numeri
personale dove si poteva andare avanti e indietro con una graffetta.
Oltre il 10 …
La linea dei numeri da 0 a 20
Abbiamo individuato i numeri sulla linea dei numeri ed eseguito anche calcoli:
Riflessioni collettive
SULLA LINEA DEI NUMERI, I NUMERI SONO IN FILA.
I NUMERI SONO ORDINATI: SI INIZIA DA 0 E SI VA AVANTI SEMPRE DI 1.
LA LINEA DEI NUMERI È INFINITA .
SULLA LINEA DEI NUMERI UNO STESSO NUMERO NON SI RIPETE MAI.
TRA UN NUMERO E L’ALTRO C’È LO STESSO SPAZIO PERCHÉ CIÒ CHE SI CONTA
“ANDANDO AVANTI” È SEMPRE UN PASSO. È SEMPRE UNO CHE SI AGGIUNGE.
In classe seconda abbiamo costruito la linea dei numeri fino a 100 e continuato a fare
calcoli.
Lavorare con la linea dei numeri ha dato la possibilità di:
- Contare concretamente;
- Riflettere sulle strategie di calcolo veloce;
- Operare realmente su addizioni e sottrazioni;
- Riflettere su alcune caratteristiche dei numeri naturali interi.
6.2.4 Pascalina
Competenze:
- Contare sia in senso progressivo che regressivo; - Leggere e scrivere numeri in base dieci; - Cominciare a comprendere che il nostro sistema numerico è sia decimale sia
posizionale (unità e decine …); - Eseguire calcoli;; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici
argomentazioni.
“La pascalina “Zero+1” è un artefatto prodotto dalla ditta italiana Quercetti ed evoca le
calcolatrici meccaniche costruite nella prima metà del Seicento da Schickard e da Pascal.
È costruito in plastica robusta e le sue dimensioni sono 27 cm x 16 cm.
Su una base sono disposte cinque ruote: due nella parte superiore (E e D) e tre nella parte
inferiore (A, B, C), disposte su tre diversi livelli.
Le due ruote superiore sono strutturali, nel senso che permettono il movimento degli
ingranaggi, mentre le tre ruote inferiori sono funzionali, legate alla rappresentazione dei
numeri. Sottili stanghette sono inserite sulle ruote D ed E: la stanghetta inserita in D
interagisce con la ruota B e quella posizionata sulla ruota E con la ruota C.
Il ruolo che svolgono queste stanghette è essenziale: consentono di automatizzare il cambio
(“riporti” e “prestiti” 4) che è il grande vantaggio di questa macchina aritmetica, in accordo
4 Tradizionalmente, nei libri di testo italiani si usano i termini “riporto”, per indicare la composizione di unità in decine, di decine in centinaia, ecc. (ad esempio, nelle operazioni di addizione e moltiplicazione in colonna) e “prestito”, per indicare la decomposizione di decine in unità, di centinaia in decine, ecc. (ad esempio, nell’operazione di sottrazione in colonna). Questa tradizione ha le sue origini (si veda, http://www.syllogismos.it/history/Sottrazione.pdf, ultimo accesso: dicembre 2010) nei libri di aritmetica pratica. La metafora usata per la sottrazione si scontra tuttavia con il significato di senso comune del termine “prestito”. Come si osserva nei libri di testo di altre cultura (ad esempio, i libri della scuola cinese) il prestito prevede almeno che ci sia una restituzione, cosa che ovviamente non si verifica nel caso della sottrazione. Sembra quindi più utile adottare termini diversi, quali composizione (al posto di riporto) e decomposizione (al posto di prestito). Sono termini matematici corretti e già utilizzati nella scuola (ad esempio,
con quanto riportato da Pascal.
Le ruote A, B e C rappresentano, rispettivamente unità, decine e centinaia (qualora la
virgola, di cui la macchina è fornita, resti posizionata nel foro predisposto a destra).
Spostando la virgola da destra verso sinistra è infatti possibile veder rappresentati: decine,
unità e decimi oppure unità, decimi e centesimi. Nella parte inferiore dello strumento tre
piccoli triangoli rossi indicano le cifre che devono essere considerate tra quelle riportate sui
dieci denti di ciascuna delle tre ruote C, D e E per la scrittura e lettura dei numeri.
La macchina Zero+1 è un artefatto di grande “visibilità”, nel senso che non ci sono parti
meccaniche nascoste: tutte le componenti dell’artefatto sono ben osservabili. Inoltre
mettendo in funzione lo strumento è possibile avvalersi di “feedback” (di carattere visivo,
cinestetico e acustico):
- con la vista, si può osservare la rotazione delle ruote ingranate e l’interazione di una delle
levette quando avviene nelle ruote A e B il passaggio da 0 a 1;
- con il tatto, si può percepire una rotazione che non è continua: c’è una lieve resistenza ogni
volta che una ruota avanza di un dente e occorre una spinta leggermente più forte quando
avviene il cambio;
- con l’udito, si percepisce un suono, un “click” più intenso, quando le levette entrano in
azione soprattutto quando si muovono tre ruote contemporaneamente (ciò avviene, ad
esempio, per passare da 99 a 100 oppure da 199 a 200)”5.
negli esercizi di confronto di numeri). Non sussiste quindi ragione per introdurre altri termini nuovi più lontani dal significato matematico. 5 Canalini Corpacci Rita, Ferri franca. Maschietto Michela (2010), Alla scoperta dei numeri e delle operazioni con Zero+1, Proposte di percorsi didattici per la scuola primaria
In prima elementare, prima di introdurre la pascalina abbiamo fatto alcuni accenni al nostro
sistema numerico per cominciare a comprendere cos’è un sistema numerico e che ve ne
sono diversi: Il nostro è un sistema numerico decimale.
ABBIAMO DECISO CHE IL NUMERO PIÙ STRANO È IL 10: PER SCRIVERLO SI UTILIZZANO DUE
NUMERI L’1 E LO 0.
SCRIVENDO TANTI NUMERI ABBIAMO NOTATO CHE I NUMERI DOPO IL NOVE NON SONO
ALTRO CHE LA COMBINAZIONE DEI NUMERI DA 0 A 9.
ES: 25, 432, 678 …. 198765432
IL NOSTRO SISTEMA NUMERICO
PER RAPPRESENTARE I NUMERI NOI UTILIZZIAMO DIECI CIFRE DA 0 A 9.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
QUESTE SONO LE CIFRE (I SIMBOLI) PER COMPORRE I NUMERI DEL NOSTRO SISTEMA NUMERICO.
IL SISTEMA NUMERICO È UN MODO PER ESPRIMERE, RAPPRESENTARE I NUMERI ATTRAVERSO I
SIMBOLI.
IL NOSTRO SISTEMA NUMERICO VIENE DEFINITO DECIMALE PERCHÉ PER SCRIVERE I NUMERI
USIAMO 10 CIFRE.
IL SISTEMA NUMERICO CHE UTILIZZIAMO CI GIUNGE DAGLI ARABI CHE A LORO VOLTA LO
AVEVANO APPRESO DAGLI INDIANI, PER QUESTO VIENE INDICATO COME INDO-ARABICO.
ESISTONO DIVERSI SISTEMI NUMERICI:
Cominciamo ad esplorare con i bambini la pascalina:
La pascalina è uno strumento che serve per contare e rappresentare numeri.
Descrizione
Ha 5 ruote dentate: 3 ruote hanno nei denti le cifre da 0 a 9 del nostro sistema numerico
sotto ognuna di queste tre ruote c’è un triangolo rosso che ci aiuta a leggere il numero.
Va azzerata come il contamani.
Riflessioni collettive sulla pascalina
ABBIAMO AZZERATO LA PASCALINA E ABBIAMO COMINCIATO A CONTARE DALLA RUOTA IN
BASSO A DESTRA E …
0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9
?
10
SCATTA LA RUOTA CENTRALE CHE INDICA 1 E LA RUOTA DI DESTRA 0.
E DOPO IL 10 ?
OSSERVIAMO ANCORA …
DOPO IL 10 LA RUOTA DI DESTRA RICOMINCIA A GIRARE E QUELLA CENTRALE RIMANE FERMA
SU 1.
11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19
?
20
La ruota centrale scatta ogni 10 scatti della ruota di destra.
ABBIAMO NOTATO CHE QUANDO ARRIVIAMO A 99 SCATTA ANCHE LA RUOTA DI SINISTRA CHE
INDICA 1 MENTRE LE ALTRE DUE RUOTE INDICANO 0 COSÌ OTTENIAMO 100.
LA RUOTA DI SINISTRA SCATTA DOPO 10 SCATTI DELLA RUOTA CENTRALE.
CON LA PASCALINA ARRIVIAMO A CONTARE FINO A 999, PER INDICARE 1000 SERVIREBBE UNA
QUARTA RUOTA.
IN PARTICOLARE, COSA ACCADE OGNI 10 CLICKS DELLA ROTELLA DI DESTRA?
GLI SCATTI DELLE DIVERSE ROTELLE RAPPRESENTANO COSE DIVERSE.
- OGNI SCATTO DELLA ROTELLA DI DESTRA AGGIUNGE (O TOG LIE) UN'UNITÀ;
- OGNI SCATTO DELLA ROTELLA CENTRALE AGGIUNGE (O TOGL IE) UNA DECINA.
OGNI 10 SCATTI DELLA ROTELLA-UNITÀ VIENE AZIONATA L A ROTELLA-DECINA .
10 unità (u)= 1 decina (da)
POSSIAMO LEGGERE 10 COME:
DIECI oppure
scomponendo nelle decine e nelle unità: 1 DECINA (DA) E 0 UNITà (U)
Abbiamo trovato due modi per rappresentare i numeri sulla pascalina:
ES. RAPPRESENTIAMO IL NUMERO 12
• Fare 12 clicks in senso orario con la rotella di destra quella delle unità
OPPURE
• 2 clicks con la rotella di destra quella delle unità e 1 click con la rotella centrale
quella delle decine.
Esercizi con la pascalina:
Proviamo a ricostruire la pascalina:
SCHEDA : ASSEMBLIAMO LA PASCALINA PER VEDERE COME FUNZIONA
RITAGLIA I PEZZI FORNITI DALL’INSEGNANTE E ASSEMBLA LA PASCALINA. IN PARTICOLARE,
RITAGLIA LE RUOTE DENTATE, DISPONILE SUL TUO QUADERNO COME QUELLE DELLA
MACCHINA “PASCALINA” E FISSALE CON FERMACAMPIONI IN MODO CHE POSSANO RUOTARE.
SCRIVI LE CIFRE SUI DENTI DELLE RUOTE IN BASSO.
�---------------------------------------------------------------------------------�
Risultato
In classe seconda la pascalina viene ripresa nelle addizioni e sottrazioni normali e nelle
addizioni con riporto e sottrazioni con prestito:
PASCALINA
45 + 24 =
1) AZZERA LA PASCALINA
2) INSERISCI IL PRIMO
NUMERO
3) …………………………
………………………..
………………………..
Ora, prova tu a disegnare sul quaderno i passaggi per risolvere
37 – 22 =
Buon lavoro!!!
4) ……………………………………
……………………………………
…...
Inoltre:
- Utilizzando la pascalina a coppie, provate a vedere cosa accade quando cercate di
svolgere i seguenti calcoli:
47 + 14 = ….
36 – 8 = …..
Altra consegna data ai bambini:
Lavorare con la pascalina ha dato la possibilità di:
- Contare concretamente;
- Riflettere sulle strategie di calcolo veloce;
- Riflettere sul nostro sistema numerico;
- Operare realmente su addizioni e sottrazioni;
- Automatizzare il cambio: prestito e riporto.
6.2.5 Abaco
Competenze:
- Costruzione socialmente condivisa del significato dell’abaco come incarnazione della notazione posizionale in base dieci;
- Eseguire calcoli; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici
argomentazioni; - Leggere e scrivere numeri in base dieci.
Cominciamo ad esplorare l’abaco …
La maestra ci ha mostrato una scatola all’interno ci sono:
Lavoro di gruppo
1) Provate a rappresentare i numeri da 0 a 10 con l’abaco. Fate i rispettivi disegni.
2) Cosa accade con il numero 10?
Abbiamo visto precedentemente che il 10 è un numero un po’ diverso dagli altri…
Disegnate alcune idee su come rappresentare il 10.
Riflessioni collettive sull’abaco
L’ABACO
Strumento antico che serviva per contare e calcolare.
Conto con l’abaco da 0 a 10
COSA ACCADE CON IL 10? LA DECIMA PALLINA NON CI STA, L’ASTA è TROPPO
CORTA! COME SI FA?
HO BISOGNO DI UN’ALTRA ASTA E CAMBIO LE 10 PALLINE CON UNA PALLINA
CHE INSERISCO NELLA NUOVA ASTA A SINISTRA
LE SINGOLE PALLINE SULL’ASTA DI DESTRA VENGONO CHIAMATE UNITà (U).
LE PALLINE SULL’ASTA DI SINISTRA VENGONO CHIAMATE DECINE (DA),
PROPRIO perché LE PALLINE SU QUEST’ASTA VALGONO QUANTO 10 DELLE
PALLINE SULL’ASTA DI DESTRA. IN ALTRE PAROLE, UNA PALLINA-DECINA (DA)
VALE 10 PALLINE-UNITà .
COME SI Può LEGGERE IL NUMERO SCRITTO SOTTO IL DISE GNO
DELL’ABACO?
10 � DIECI oppure scomponendo nelle decine e unità 1 decina (da) e 0 unità (U)
CON L’ABACO, ma anche con la pascalina ABBIAMO SCOPERTO CHE IL NOSTRO
SISTEMA è DECIMALE SIA perché PER SCRIVERE I NUMERI USIAMO 10 CIFRE
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) SIA perché SI FANNO DEI RAGGRUPPAMENTI DA 10 PER PASSARE
DA UNA POSIZIONE ALL’ALTRA (DERIVANTE ANCHE DAL FATTO CHE ABBIAMO
10 DITA). INOLTRE, è UN SISTEMA POSIZIONALE : INFATTI, IL VALORE DI UNA
CIFRA DIPENDE DALLA SUA POSIZIONE NELLA SCRITTURA DEL NUMERO. LO
STESSO SIMBOLO IN POSIZIONE DIVERSA HA SIGNIFICATO DIVERSO. ES. LO
ZERO.
IL NOSTRO SISTEMA NUMERICO è DECIMALE-POSIZIONALE.
Ora costruiamo noi un abaco
Oltre a lavorare concretamente con l’abaco, abbiamo fatto moltissime rappresentazioni
grafiche, dandoci delle regole comuni:
Regole per disegnare l’abaco
• Le aste saranno lunghe 9 quadretti;
• La pallina sarà alta un quadretto.
Addizioni e sottrazioni con l’abaco:
L’abaco ha avuto un ruolo cruciale nella costruzione del significato di notazione
posizionale.
Gli elementi che vengono infilati non sono colorati come avviene per sussidi didattici
comunemente utilizzati nelle scuole: si vuole evitare l’equivoco che sia il colore e non la
posizione ad indicare il valore delle cifre.
Inoltre, disporre di un “abaco personale” consente di utilizzarlo frequentemente in
esercitazioni di carattere individuale per consolidare schemi d’uso ed eventualmente
identificarne altri più “economici”. Ad esempio, si può scomporre un numero e
rappresentarlo infilando direttamente “palline-decina” e “palline-unità”.
Inizialmente lo strumento è stato utilizzato per rappresentare numeri maggiori di 10
seguendo la seguente procedura: si inseriscono le palline sull’asta a destra rispettando una
corrispondenza uno a uno, successivamente si applica la regola del cambio cioè 10 palline
vengono tolte e viene inserita una “pallina decina” sull’asta a sinistra.
Ciò avviene grazie al ricorso ad una serie di elementi di carattere convenzionale che la
classe individua nel corso di una discussione matematica:
- la “crocetta” che cancella le palline sfilate,
- la freccia e la parola “cambio” ad evocare sia spostamenti nello spazio realizzati durante
l’interazione con l’abaco fisico, sia la “trasformazione” di valore della pallina qualora venga
inserita nell’asta delle decine
- i segni matematici “da” (decina) e “u” (unità) che compaiono alla base dell’abaco grafico e
- i numeri rappresentati in cifre e in parola.
In seconda elementare, si riprende e si consolida l’uso dello strumento introdotto in prima
elementare.
È stato fornito a ciascun bambino un abaco più solido.
Lo strumento viene utilizzato, anche, per introdurre l’esecuzione di addizioni e sottrazioni
anche con il cambio.
ABACO
47+ 14 = …….
1) RAPPRESENTO IL PRIMO NUMERO SULL’ABACO
2) ADDIZIONO LE UNITÀ CON LE UNITÀ. SE ARRIVO A 10 CAMBIO LE 10 UNITÀ CON UNA
PALLINA SULL’ASTA DELLE DECINE. REGISTRO LE UNITÀ RIMANENTI.
3) ADDIZIONO LE DECINE CON LE DECINE, AGGIUNGENDO LA DECINA COMPOSTA. REGISTRO LE
DECINE.
4) LEGGO IL NUMERO OTTENUTO.
U DA
36 – 8 = ……
1) RAPPRESENTO IL PRIMO NUMERO SULL’ABACO.
2) SOTTRAGGO LE UNITÀ CON LE UNITÀ. NON BASTANO LE UNITÀ? SCOMPONGO UNA
DECINA IN 10 PALLINE UNITÀ E TOLGO LE UNITÀ CHE RIMANEVANO DA TOGLIERE.
3) SOTTRAGGO LE DECINE CON LE DECINE RICORDANDO DI NON CONTARE QUELLA CHE HO
SCOMPOSTO.
4) LEGGO IL NUMERO OTTENUTO.
Lavorare con l’abaco ha dato la possibilità di:
- Contare concretamente;
- Riflettere sulle strategie di calcolo veloce;
- Riflettere sul nostro sistema numerico;
- Operare realmente su addizioni e sottrazioni;
- Automatizzare il cambio: composizione e scomposizione della decina.
6.2.6 Bee-bot
DA U
E LE ALTRE 2 PALLINE UNITÀ? SCOMPONGO UNA PALLINA DECINA!
DA U DA U
Competenze:
- Riconoscere e descrivere alcune delle principali relazioni spaziali (davanti/dietro, destra/sinistra);
- Progettare, descrivere e sperimentare un semplice percorso partendo dal corpo, passando alla descrizione verbale, alla simbolizzazione per programmare infine un “robot” (bee-bot) che si muove per noi;
- Mettere in relazione i percorsi: più lungo più breve; - Produrre semplici congetture; - Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici
argomentazioni.
“È un robot programmabile6 che può essere usato a partire dalla scuola dell’infanzia e nei
primi anni della scuola primaria. Lo studente può interagire con l’ape attraverso sei bottoni
posizionati sulla schiena di bee-bot che rappresentano i seguenti comandi:
1. Passo avanti (di lunghezza predefinita)
2. Passo indietro (della stessa lunghezza);
3. Rotazione in senso orario (di 90°);
4. Rotazione in senso antiorario (di 90°)
5. Pausa (di durata predefinita);
6. Cancella la sequenza in memoria.
Bee-bot si muove grazie a due ruote parallele e una sferetta ruotante nella parte anteriore.
[…]
Per far correre bee-bot bisogna premere il bottone GO che determina l’esecuzione di tutta la
sequenza programmata”7.
6 www.bee-bot.co.uk 7 Baccaglini-FranK A., Ramploud A., Bartolini Bussi M., “Informatica Zero: un percorso formativo per insegnanti di scuola dell’infanzia e primaria”, Edutouch, 2012, pag.43
L’esplorazione iniziale con i bambini ha messo in luce le varie caratteristiche di bee-bot:
Bee-bot è una macchina che esegue comandi:
- avanti,
- indietro,
- gira a destra,
- gira a sinistra.
In seguito, si è cercato di capire come funziona il robot programmandolo ad eseguire
particolari percorsi su una griglia.
Nella programmazione di bee-bot si osservano e si progettano percorsi secondo vincoli
dati, si inseriscono sequenze di istruzioni, osservandone l’effetto (feedback) potendo così
verificare l’ipotesi di percorso iniziale.
Per aiutare i bambini nella programmazione dei comandi spesso si è esplorato prima il
percorso con il corpo.
Poi, si è provato con bee-bot:
Alcune attività
- Il percorso A e B
a) Se il bee-bot a sinistra fa il percorso A e quello di destra il percorso B, quale bee-bot ci
mette più tempo a finire? Perché?
b) Quale bee-bot avrà fatto il viaggio più lungo? Perché?
c) Controlla le tue risposte programmando bee-bot perché faccia i due percorsi.
- La casa di Bee-bot
Aiuta bee-bot a tornare a casa.
Programmalo perché faccia il percorso più breve e non passi sulle caselle nere.
- L’alveare di Bee-bot
Aiuta bee-bot a tornare al suo alveare. Programmalo perché faccia il percorso più breve e
non passi sulle linee rosse.
Bee-Bot virtuale
“Focus on bee-bot è un ambiente per studenti della scuola primaria, che può essere usato a
partire dalla scuola dell’infanzia. In questo ambiente, si trova un’ape virtuale ed un percorso
ad ostacoli. In focus on bee-bot i comandi appaiono come bottoni cliccabili sulla pagina (gli
stessi che si possono premere sulla schiena di bee-bot reale) e vengono inseriti in sequenza,
a mano a mano che lo studente li seleziona”8.
Lavorare con bee-bot ha dato la possibilità di:
- Esplorare lo spazio.
6.3 Altre attività
6.3.1 Problemi
Come viene descritto nel libro di Rosetta Zan “Difficoltà in matematica – Osservare,
interpretare, intervenire” 9 nel linguaggio quotidiano la parola “problema” è usata con
diverse accezioni:
a) Problema come situazione in cui c’è un obiettivo da raggiungere, e delle difficoltà
per raggiungerlo: es. “Devo andare dal dentista, ma ho un problema: c’è sciopero degli
autobus e la macchina è dal meccanico”;
b) Problema come generica situazione di disagio: es. “Ho un problema alla gamba:
quando sto seduta per tanto tempo mi vengono i crampi”. Il disagio può precipitare in un
guaio, disgrazia: es. “Ho un problema: mi hanno rubato il portafoglio”. In questi casi non
si fa esplicitamente riferimento ad un obiettivo. Il problema appare più che altro come la
8 Baccaglini-Frank A., Ramploud A., Bartolini Bussi M., “Informatica Zero: un percorso formativo per insegnanti di scuola dell’infanzia e primaria”, Edutouch, 2012, pag.62 9 Zan Rosetta, Difficoltà in matematica, Osservare, interpretare, intervenire, Springer, 2007, pag. 122-124
rottura di un equilibrio preesistente: si può considerare obiettivo implicito il ripristino del
precedente equilibrio.
L’accezione a cui si farà riferimento, poiché più utile in questo contesto, è la prima.
Altre definizioni di problema:
Karl Duncker (1935), psicologo della Gestalt: “un problema sorge quando un essere
vivente ha una meta, ma non sa come raggiungerla”.
Riformulandola con le parole di Analizzando la definizione di Duncker si può osservare
che:
- Per parlare di problema ci deve essere un soggetto che vive una situazione come problema:
una situazione di per sé non è un problema, lo è per un certo soggetto;
- L’espressione “non sa come raggiungerla” suggerisce la distinzione nella pratica didattica
fra esercizi e problemi: nel primo caso il soggetto ha a disposizione immediata una
procedura per raggiungere la meta, nel secondo caso no.
Una stessa situazione per alcuni può essere un esercizio, per altri un problema, ma anche
una stessa situazione per uno stesso soggetto può essere un esercizio od un problema a
seconda del momento: es. per l’insegnante alle prime armi tenere la disciplina o costruire
una prova di verifica è spesso un problema per alcuni l’esperienza trasforma questo
problema in un esercizio. Oppure scendere le scale può essere un esercizio quando siamo
in salute, e diventare un problema se ci siamo rotti una gamba.
- Si parla esplicitamente di meta, cioè di uno scopo, di un obiettivo. Quindi non ci può
essere un problema se non c’è un obiettivo, ma anche una stessa situazione può dare origine
a problemi diversi a seconda dell’obiettivo che un soggetto si pone.
Polya scrive: “Abbiamo un problema. Vale a dire una meta che non possiamo raggiungere
immediatamente e siamo alla ricerca di qualche azione atta a farcela raggiungere”.
E i bambini come la pensano?
“L’interiorizzazione a livello infantile del significato del termine “problema” sembra subire,
nel corso della storia personale del bambino, una mutazione semantica in corrispondenza
della sua assunzione del ruolo di “scolaro”: il significato che egli solitamente attribuisce alla
parola “problema” fa per lo più riferimento a situazioni di difficoltà esistenziale che in
qualche misura lo hanno emotivamente coinvolto in ambito familiare o sociale.
Fin dai primi tempi della sua scolarità questo riferimento però si attenua, per lasciar posto
ad una più pervasiva attenzione al problema scolastico, quello che si risolve con i numeri e
operazioni”10.
Tutto ciò conferma il ruolo centrale che il cosiddetto problema assume all’interno del
curricolo scolastico e il fatto che esso venga percepito e vissuto dagli alunni in maniera
tanto intensa da oscurare il più comune significato di difficoltà, proprio dei contesti della
vita pratica.
In classe prima l’approccio a tale nucleo tematico è stato affrontato inizialmente attraverso
un Brainstorming “Che cos’è un problema?” e si sono ascoltate le ipotesi dei bambini
segnando gli aspetti cruciali alla lavagna e sul quaderno.
10 Gabellini G., Masi F., I problemi, Carocci Faber,Roma 2005, pag.9
Oltre alle cose che avete detto voi ...
Vi siete trovati a risolvere problemi senza saperlo come:
IL CONTAMANI
La maestra ha le mani dietro alla schiena in una mano alza 4 dita e con l’altra mano 2 dita.
Quante dita ha alzato?
LE CANNUCCE
Sara mette sul banco 5 cannucce e ne toglie 3. Quante sono ora le cannucce sul tavolo?
LA LINEA DEI NUMERI
Luca è finito con la finestra sul 7 dopo aver spostato la finestra avanti di 2. Su quale
finestra era quando è partito?
IL GIOCO DELL’OCA
Mattia nel tirare i due dadi con 1 dado fa 6 e nel tirare il secondo dado ottiene 3. Di quante
caselle dovrà muovere la sua pedina?
ESEMPI DI PROBLEMI
Ho male
ad un
Non so allacciarmi le
scarpe come posso
fare?
IL GIOCO DELL’OCA
Mattia tira i 2 dadi: con 1 dado fa 6 e con il secondo dado
ottiene 3. Di quante caselle dovrà muovere la sua pedina?
IL CONTAMANI
Il maestro ha le mani dietro alla schiena: in una mano alza 4 dita e con
l’altra mano 2 dita . Quante dita ha alzato?
In matematica spesso si risolvono problemi. Generalmente, in matematica un
problema è la descrizione di una situazione in cui c’è qualcosa (di solito l’incognita) da
trovare e noi dobbiamo cercare la soluzione, il modo di trovarla.
Spesso, le soluzioni dei problemi, ma non sempre sono le operazioni. Vedi anche
esempi qui a fianco tratti dalle prove INVALSI.
LA LINEA DEI NUMERI
Luca è finito con la finestra sul 7 dopo aver spostato la finestra
avanti di 2. Su quale finestra era quando è partito?
LE CANNUCCE
Sara mette sul banco 5 cannucce e ne toglie 3.
Quante sono ora le cannucce sul tavolo?
Fin dalla classe prima i problemi sono stati risolti in questa maniera.
Le operazioni addizione e sottrazione sono state sempre abbinate.
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
OSSERVA, RACCONTA, CONTA E SCRIVI I RISULTATI COSA NOTI?
LA SOTTRAZIONE È L’OPERAZIONE INVERSA DELL’ADDIZIONE.
OSSERVA IL DISEGNO E DESCRIVILO CON LE TUE PAROLE POI COMPLETA
3
4
5
4
Stessa cosa, si è fatto, in classe seconda per moltiplicazione e divisione.
6.3.2 Approccio all’apprendimento delle tabelline
La moltiplicazione è stata subito presentata come addizione ripetuta e per un pochino si è
lavorato sulla sua rappresentazione grafica attraverso disegni e schieramenti.
Guarda la scena. Che cosa vedi davanti al bambino?
Per calcolare quanti biscotti ci sono sui 5 piatti possiamo fare un’addizione ripetuta:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 e calcolare il risultato. Adesso prova a rappresentare le seguenti scenette con moltiplicazioni e addizioni ripetute.
2 stelle per 6 volte
Perché in alcuni casi è possibile trasformare le addizioni in moltiplicazioni e in alcuni casi no? Giustificate la vostra risposta. …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………
Abbiamo visto che la moltiplicazione non è nient’altro che un’addizione ripetuta allora, trasforma in moltiplicazione o addizione, come nell’esempio:
Es. 2 + 2 + 2 + 2= 2 × 4 = 8 3 × 2 = 3 + 3 = 6
2 + 2 + 2 = …………………………………………………………………….
5 + 5 + 5 + 5 = ………………………………………………………………..
9 × 4 =……………………………………………………………………………..
8 × 3 =…………………………………………………………………………..
Ora, prova a descrivere ogni moltiplicazione e rappresentala graficamente come nell’esempio Es. 4 × 5 Il 4 viene ripetuto 5 volte
Il primo termine indica il numero degli oggetti da ripetere e il secondo termine indica il numero di volte in cui devono essere ripetuti. 3 × 7 7 × 4 3 × 3 4 × 2 6 × 5 Prima di introdurre le tabelline si è lavorato sulla simmetria, poi è seguita la seguente attività. Ora chiedere: Osserva la seguente tabella di moltiplicazione. Ci sono simmetrie?
[I bambini dovrebbero riconoscere la simmetria lungo la diagonale da 1 a 100.] Chiedere: “Come mai c’è questa simmetria?” [Si dovrebbe arrivare alla proprietà simmetrica della moltiplicazione. Se i bambini non la ricordano, arrivarci in modo graduale con domande del tipo: “Quanto fa 2 per 3? …E 3 per 2?” Allora posso sempre scambiare i due numeri che sto moltiplicando? Perché? Che cosa significa moltiplicare due numeri? Usando la LIM si può far vedere bene in maniera visivamente intuitiva la proprietà, per esempio costruendo uno schieramento di 2 file da 3 palline, poi selezionando le sei palline contemporaneamente ruotare l’immagine in modo da vedere ora 3 file da 2 palline. Chiaramente le palline sono rimaste la stessa quantità, ma il modo di contarle è cambiato.] Infine chiedere: “Ma allora se dovete imparare i prodotti nella tabella, come potete fare per ricordarne meno ma saperli comunque tutti?” [Si può ricordare che in matematica meno cose si ricordano e meglio è (purché si riesca a fare gli esercizi richiesti) perché è difficile tenere tutto a mente ed è sempre meglio sapersi ricavare le cose velocemente al momento con piccoli ragionamenti]. Infine si può formalizzare il fatto di ricordare solo “mezza tabella più la diagonale” riportando la parte da ricordare sul quaderno. Poi far esercitare i bambini a ricavare i prodotti a partire da quelli che devono conoscere. Possibile esercizio per rafforzare il modo di pensare: COMPLETA LA TABELLA DELLA MOLTIPLICAZIONE.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
1
2
4
3
9
4
5
25
6
18
7
14 28 49
8
24
9
81
10
Nel presentare le tabelline non si è seguito l’ordine classico ma 0, 1, 10, 2, 5, 3, 4, 6,7,8,9 e
si sono utilizzate le cannucce. C’è quindi sempre una ripresa degli strumenti che si
adoperano all’interno del progetto.
Le Tabelline
Osservazioni
Abbiamo visto che un qualsiasi numero moltiplicato per zero da’ come risultato zero.
Es. 4 × 0 = 0
0 × 3 = 0
Abbiamo visto che quando moltiplichiamo un qualsiasi numero per 1 il risultato è sempre
quel numero.
La Tabellina dell’1
Dare a ciascun bambino 10 cannucce e chiedere di contarle ad una ad una (cioè il
bambino deve prendere una cannuccia alla volta e dire: 1, 2, 3,…10).
Ecco, in questo caso per esempio, abbiamo 1 cannuccia per 8 volte:
1 × 8 = 8
LA TABELLINA DEL 10
Esempio, abbiamo 10 cannucce per 4 volte:
10 × 4 volte = 40
10 x 1 volta = 10 10 x 2 volte = 20 10 x 3 volte = 30 10 x 4 volte = 40 10 x 5 volte = 50 10 x 6 volte = 60 10 x 7 volte = 70 10 x 8 volte = 80 10 x 9 volte = 90 10 x 10 volte = 100
La tabellina del 10 ricorda la conta del 10. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
La Tabellina del 2
Dare a ciascun bambino 20 cannucce e chiedere di contarle a gruppetti di 2 (cioè il bambino deve prendere due cannucce alla volta e dire: 2, 4, 6, 8…20).
2 × 1 volta = 2
2 × 2 volte = 4
2 × 3 volte = 6
2 × 4 volte = 8
2 × 5 volte = 10
2 × 6 volte = 12
2 × 7 volte = 14
2 × 8 volte = 16
2 × 9 volte = 18
2 × 10 volte = 20
A queste attività se ne sono affiancate altre per rendere più piacevole l’apprendimento delle
tabelline:
- un’attività musicale tratta dal libro “Le tabelline canterine” di Silvia Rinaldi (tra i
bambini ha riscosso molto successo);
- un’attività di lettura “Il segreto delle tabelline” di Mario Sala Gallini suggerita dalla mia
tutor Daniela Rubini che riprende l’attività delle mani.
Una strategia per imparare la tabellina del 9 con le mani:
Una strategia per imparare la tabellina del 9 attraverso un calcolo veloce:
6.4 Riflessioni finali sul progetto
Il progetto:
• Ha supportato il docente nella didattica;
• Ha permesso a tutti gli allievi:
- di usufruire di una “Buona didattica” in matematica;
- di sperimentare modalità di lavoro innovative alternative alla lezione frontale;
- di esercitare l’“area” dell’argomentare e del congetturare, della meta-cognizione e
delle abilità sociali;
- di entrare in contatto con diversi strumenti.
Successi e Difficoltà
• Miglioramento nell’argomentazione e nell’utilizzo di un linguaggio appropriato,
l’esperienza ha fornito molti spunti di arricchimento e di riflessione linguistica;
• Il saper utilizzare diversi strumenti aiuta i bambini nella scelta dello strumento che
più li aiuta in una determinata attività;
• La disciplina della Matematica è stata apprezzata, si può dire, dalla totalità dei
bambini;
• Progressi nell’organizzazione del lavoro di gruppo: gli allievi hanno cooperato
positivamente, trovando proprie strategie di lavoro, anche se non sono mancate
piccole discussioni;
• Partecipazione attiva da parte dei bambini, anche gli allievi più in difficoltà sono
riusciti ad essere coinvolti nell’attività;
• Difficoltà di manipolazione e coordinazione nell’utilizzo di alcuni strumenti. Attività
che, comunque, si rivelano utili all’esercitazione della manipolazione fine.
Concludendo
• Il laboratorio ha una forte struttura, ma presenta esperienze polisemiche che non
hanno un’unica strada d’approccio e che offrono quindi la possibilità d’azione a
bambini di diverso livello cognitivo e con conoscenze individualmente diversificate;
• Il tipo di didattica che si propone è accessibile a tutti i bambini e vincente per
l’attuale composizione delle nostre classi così eterogenee;
• Alla spiegazione e all’interrogazione si sostituisce un dialogo finalizzato ad una
progressiva conquista di autonomia e fiducia nelle proprie capacità d’apprendimento
da parte dell’allievo;
• L’impostazione del lavoro favorisce: l’imparare ad osservare i fatti e i fenomeni, a
riflettere su ciò che si osserva, ad argomentare le osservazioni e ad utilizzare il
linguaggio e il ragionamento matematico.
In definitiva, ritengo che attraverso questo modo di lavorare in classe, i bambini si siano
impossessati sia di conoscenze, a seconda dei casi più o meno approfondite, collegate in
modo consapevole al mondo e alle loro esperienze quotidiane, sia di atteggiamenti, abilità
operative e consapevolezze che non sarebbero state prese in considerazione
nell’insegnamento tradizionale, ma che danno spessore culturale alle conoscenze stesse,
naturalmente ad un livello adeguato all’età dei bambini della scuola primaria.
Voglio ricordare infatti che questo tipo di didattica non propone ai bambini di capire tante
piccole cose, ma si propone di affrontare ampi insiemi di fenomeni che hanno bisogno di
tempi lunghi e di percorsi lenti, continui, e soprattutto personali.
La didattica proposta non semplifica artificialmente, ma rende invece visibile la complessità
della realtà e le sue multi prospettiche rappresentazioni, sviluppando situazioni di
apprendimento basate su casi reali, che inducono la curiosità per altre visioni del mondo e la
capacità di porsi domande.
In questa sperimentazione gli errori dei bambini sono stati una fonte di informazione per
l’insegnante non solo per individuare il loro livello di conoscenze, ma anche per lavorare
con loro per affrontare e superare le loro difficoltà. Ho usato l’errore non con la sua valenza
negativa, ma come strumento concettuale atto al miglioramento.
Ho cercato di indirizzare ogni allievo verso la costruzione di una percezione di sé stesso e
della classe come di una comunità impegnata in un processo di costruzione della
conoscenza finalizzato al raggiungimento della capacità di affrontare le attività via via
emergenti e di risolvere insieme i problemi.
A questo scopo sono state utili tutte le strategie didattiche utilizzate: il lavoro individuale, il
lavoro di gruppo e le discussioni di classe.
L’interazione sociale, che è stata una delle caratteristiche fondamentali fin dall’inizio del
progetto messo in atto, ha permesso la problematizzazione delle proprie idee per la
comprensione del punto di vista altrui, esercitando i bambini ad essere più rispettosi e più
tolleranti l’uno nei confronti dell’altro.
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* Zan Rosetta, Difficoltà in matematica, Osservare, interpretare, intervenire, Springer, 2007
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* Raccomandazioni per l’attuazione delle Indicazioni Nazionali per i piani di studio
personalizzati nella Scuola Primaria
* Indicazioni Nazionali per i Piani di Studio Personalizzati nella Scuola Primaria (Decreto
Legislativo, 12 febbraio 2004, n°59)
* Indicazioni per il curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo d’istruzione,
2007
* Indicazioni per il curricolo per la scuola dell’infanzia e per il primo ciclo d’istruzione,
2012
* Curricoli UMI-CIIM 2001 La matematica per il cittadino
Documenti dell’Istituto Comprensivo di Argelato
* Piano dell’Offerta Formativa
* Regolamento d’Istituto
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* Curricolo/piani di lavoro
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* http://www.icargelato.org/scuola-primaria.html
* http://www.italiapedia.it/comune-di-argelato_Storia-037-002
* http://www.mmlab.unimore.it/site/home/progetto-regionale-emilia-romagna/risultati-del-
progetto/report-delle-sperimentazioni.html
* http://www5.indire.it:8080/learning_risorse/Caastellato/set/Project2/lab.htm
* www.sform.unifi.it/lte/allegati/2/costruttivismo%20e%20progettazione.doc