Capitolul 1
Integrala definita
1.1 Primitive; formule de calculDefinitia 1.1.1 Fie f : J → R, unde J ⊂ R este un interval. Functia F : J → Rse numeste primitiva sau antiderivata a functiei f pe intervalul J , daca
1. F este derivabila pe J2. F ′(x) = f(x), ∀x ∈ J .
Multimea tuturor primitivelor se mai numeste integrala nedefinita si se noteaza∫
f(x)dx = F (x) + c, c ∈ R.
Teorema 1.1.1 (Integrarea prin parti) Daca f, g : J → R sunt derivabile cuderivate continue, atunci functiile fg, f ′g, fg′ admit primitive si are loc relatia
∫f(x)g′(x)dx = fg −
∫f ′(x)g(x)dx. (1.1)
Teorema 1.1.2 (Schimbarea de variabila) Fie I, J ⊂ R doua intervale sif : J → R o functie continua. Presupunem ca ϕ : I → J este o functie bijectiva,derivabila cu derivata continua si nenula pe I . Daca G este o primitiva a functiei(f ◦ ϕ)ϕ′ atunci G ◦ ϕ−1 este o primitiva a lui f .
3
4 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
TABELUL PRIMITIVELORNotam prin F o primitiva a functiei f si J ⊂ R un interval.
f F
1 xn, x ∈ J ⊂ R, n ∈ N xn+1
n + 1
2 xa, x ∈ J ⊂ (0, +∞), a ∈ R \ {−1} xa+1
a + 1
3 ax, x ∈ J ⊂ R, a ∈ R+ \ {0, 1} ax
ln a
41
x, x ∈ J, J ⊂ (−∞, 0) sau J ⊂ (0, +∞) ln |x|
51
x2 − a2, x ∈ J ⊂ R \ {−a, a}, a 6= 0
1
2aln
∣∣∣∣x− a
x + a
∣∣∣∣
6 f(x) =1
x2 + a2, x ∈ J ⊂ R, a 6= 0
1
aarctan
x
a
7 sin x, x ∈ J ⊂ R − cos x
8 cos x, x ∈ J ⊂ R sin x
91
cos2 x, x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)
π
2}, k ∈ Z tan x
101
sin2 x, x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z − coth
1.1. PRIMITIVE; FORMULE DE CALCUL 5
11 tan x, x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)π
2}, k ∈ Z − ln | cos x|
12 coth x, x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z ln | sin x|
131√
x2 + a2, a 6= 0, x ∈ J ⊂ R ln(x +
√x2 + a2)
141√
x2 − a2, a > 0, x ∈ J ⊂ (−∞,−a) sau J ⊂ (a,∞) ln(x +
√x2 − a2)
151√
a2 − x2, a > 0, x ∈ J ⊂ (−a, a) arcsin
x
a
I. Aratati ca orice doua primitive ale functiei f pe un interval J difera printr-oconstanta.
II. Aratati ca o functie care admite primitive pe un interval are proprietatea luiDarboux.
III. Aratati ca urmatoarele functii nu au primitiva pe R
1. f(x) =
{0, daca x 6 12x, daca x > 1
2. f(x) = [x], x ∈ R unde prin [ ] s-a notat partea ıntreaga a numarului x.
3. f(x) =
{x, daca x ∈ Qx3, daca x /∈ Q
IV. Aratati ca urmatoarele functii au primitiva pe R
1. f(x) =
{sin x
x, daca x ∈ R \ {0}
1, daca x = 0
2. f(x) =
{x sin
1
x, daca x ∈ R \ {0}
0, daca x = 0
6 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
V. Determinati o primitiva a functiei f(x) =1
4 + 3 cos xpe intervalele [0, π] si
[0, 2π].
VI. Calculati primitivele urmatoarelor functii, precizand intervalul pe care acesteasunt definite:
1.x
(x− 1)22.
1
3x2 + 53.
1
7x2 − 84.
b√1− y
5.x2
x2 + 26 .
1√7 + 8x2
7.3x + 1
5x2 + 18.
x
x2 − 59.
x2
1 + x610.
x2
√x6 − 1
11.√
arcsin x
1− x212.
arctan x2
4 + x2
13.1√
(1 + x2) ln(x +√
1 + x2)14. 42−3x 15.
(ax − bx)2
axbx16.
a2x − 1√ax
17. xe−(x2+1) 18. x7x2 19.e
1x
x220.
ex
ex − 121. ex
√a− bex 22.
ax
1 + a2x
23.1
2x + 324.
ex
1− e2x25.
cos√
x√x
26.sin(lg x)
x27. sin2 x 28. cos2 x
29.x
cos2(x2)30. tan x 31. coth x 32.
1
sin x cos x33. x
5√
5− x2 34.x3 − 1
x + 1
35.x3 − 1
x4 − 4x + 136.
1
x ln2 x37.
x√1− x4
38.3√
1 + ln x
x39.
1
ex + 1
40. ln x 41. arctan x 42. arcsin x 43. x sin x 44. x cos 3x 45.x
ex
46. x2−x 47. x2e3x 48. eax sin bx 49. x2 ln x 50. ln2 x 51. lnn x
52. cos(ln x) 53.1
sinn x54. xn ln x 55.
√x2 + α 56. xn sin αx
57.1
x2√
1 + x258.
√a− x
a + x59.
1
x√
x2 − 260.
x√x + 1
61.x2
√1− x2
62.√
x2 − a2
x63.
√x2 + 1
x64.
x3
√2− x2
65.x4 arctan x
1 + x266. cos2
√x
1.2. INTEGRALA DEFINITA; APLICATII 7
67.1
x2 + 2x + 568.
1
x2 + 2x69.
1
3x2 − x + 170.
(x− 1)2
x2 + 3x + 471.
1√x− x2
72.1√
2 + 3x− 2x273.
1√x2 + px + q
74.3x− 6√
x2 − 4x + 575.
2x− 8√1− x− x62
76.1
x√
1− x277.
1
(x + a)(x + b)78.
x2 − 5x + 9
x2 − 5x + 679.
1
x(x + 1)280.
x4
x4 − 1
81.x4 − 6x3 + 12x2 + 6
x3 − 6x2 + 12x− 882.
2x− 3
(x2 − 3x + 2)383.
1
x3 + 184.
1
x4 + x2 + 1
85.1
(1 + x2)286.
1
(a2 + x2)287.
3x + 5
(x2 + 2x + 2)2
88.1
3 + 5 cos x89.
1
sin x + cos x90.
cos x
1 + cos x91.
1
8− 4 sin x + 7 cos x
92. cos3 x 93. sin5 x 94. sin2 x cos3 x 95. sin4 x 96. sin2 x cos2 x
97. sin 3x cos 5x 98. sin 10x sin 15x 99. sinx
3cos
2x
3100.
1 + tan x
1− tan x
101.1√
2x− 1− 4√
2x− 1102.
x3
√x− 1
103.1√
x + 3√
x104. 3
√x + 1
x− 1
105.1√
x + 1 +√
(x + 1)3106. x
√x− 1
x + 1107.
3√
1 + 4√
x√x
108.1
4√
1 + x4
109. x3(1 + x2)−32 110.
1
x4√
1 + x2111.
1
x 3√
1 + x5112.
1
x2(2 + x3)53
113.1√
x3 3√
1 +4√
x3
1.2 Integrala definita; aplicatiiConsideram functia marginita
f : [a, b] → R, [a, b] ⊂ Rsi o diviziune ∆
8 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b
cu norma diviziunii‖∆‖ = max
16i6n(xi − xi−1)
si pentru orice i ∈ {1, n} punctele intermediare ξi ∈ (xi−1, xi) suma Riemann
σ∆ =n∑
i=1
f(ξi)(xi − xi−1).
Definitia 1.2.1 Numim integrala Riemann sau definita numarul I cu proprietateaca ∀ε > 0, ∃ηε astfel ca pentru orice diviziune ∆ cu ‖∆‖ < ηε si pentru oricealegere a punctelor intermediare are loc
|σ∆ − I| < ε
Functia f se numeste integrabila Riemann.
Numarul I este unic determinat si se noteaza
I =
∫ b
a
f(x)dx
Prin definitie ∫ a
a
f(x)dx = 0
∫ b
a
f(x)dx = −∫ a
b
f(x)dx
Sume Darboux Fie f : [a, b] → R o functie marginita si ∆ o diviziune oarecare.Notam
mi = infx∈[xi−1,xi]
f(x), Mi = supx∈[xi−1,xi]
f(x)
Si consideram sumele Darboux
s∆ =n∑
i=1
mi(xi − xi−1), S∆ =n∑
i=1
Mi(xi − xi−1).
Teorema 1.2.1 Fie f : [a, b] → R o functie marginita. Urmatoarele afirmatiisunt echivalente:
1. ∀ε > 0, ∃ηε astfel ca pentru orice diviziune ∆ cu ‖∆‖ < ηε
S∆ − s∆ < ε (1.2)
2. functa f este integrabila.
1.2. INTEGRALA DEFINITA; APLICATII 9
Teorema 1.2.2 Daca f : [a, b] → R este o functie integrabila Riemann peintervalul [a, b] si f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] atunci
∫ b
a
f(x)dx > 0.
Consecinta 1 Daca f, g : [a, b] → R sunt functii integrabile Riemann astfel ca
f(x) 6 g(x), ∀x ∈ [a, b]
atunci are loc ∫ b
a
f(x)dx 6∫ b
a
g(x)dx.
Consecinta 2 Daca f : [a, b] → R este o functie integrabila si
m 6 f(x) 6 M, ∀x ∈ [a, b]
atunci
m(b− a) 6∫ b
a
f(x)dx 6 M(b− a).
Teorema 1.2.3 (Leibniz Newton) Fie f : [a, b] → R o functie integrabila sicare admite primitive. Atunci pentru orice primitiva F are loc
∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a).
Vom folosi notatia F (x)|ba.
Teorema 1.2.4 (Integrarea functiilor continue) Orice functie f : [a, b] → Rcontinua este integrabila.
Teorema 1.2.5 (Teorema de medie) Daca este o functie continua, atunci existaξ ∈ [a, b] astfel ca
1
b− a
∫ b
a
f(x)dx = f(ξ).
10 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
Teorema 1.2.6 (Existenta primitivelor unei functii continue) Daca f : [a, b] →R este o functie continua, functia F : [a, b] → R definita prin
F (x) =
∫ x
a
f(t)dt, ∀x ∈ [a, b] (1.3)
este o primitiva care se anuleaza ın punctul a.
Teorema 1.2.7 (Formula de integrare prin parti) Daca f, g : [a, b] → R suntfunctii derivabile, cu derivate continue, atunci
∫ b
a
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)|ba −∫ b
a
g(x)f ′(x)dx. (1.4)
Teorema 1.2.8 (Schimbarea de variabila) Fie u : [a, b] → [c, d] o functie cuproprietatile: u bijectiva, u si u−1 sunt derivabile, cu derivate continue.Fie f : [c, d] → R o functie continua.
Atunci are loc formula
∫ b
a
f(u(t))dt =
∫ u(b)
u(a)
f(x)(u−1)′(x)dx. (1.5)
Aplicatii ale integralei definite
Teorema 1.2.9 (Aria unei suprafete plane) Daca f : [a, b] → R+ este continuaatunci multimea
D = {(x, y) ∈ R2| a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f(x)}
are arie si
aria(D) =
∫ b
a
f(x)dx. (1.6)
Teorema 1.2.10 (Volumul unui corp de rotatie) Daca f : [a, b] → R+ estecontinua atunci corpul de rotatie determinat de f , adica multimea
V = {(x, y, z) ∈ R3|√
y2 + z2 6 r, a 6 x 6 b}are volum dat de formula
vol(V ) = π
∫ b
a
f 2(x)dx (1.7)
1.2. INTEGRALA DEFINITA; APLICATII 11
Teorema 1.2.11 (Lungimea unui arc de curba ) Daca f : [a, b] → R+ este ofunctie derivabila cu derivata continua atunci
1. graficul lui f are lungime finita2. lungimea este data de
l =
∫ b
a
√1 + (f ′(x))2dx (1.8)
Teorema 1.2.12 (Aria unei suprafete de rotatie) Daca f : [a, b] → R+ este ofunctie derivabila cu derivata continua atunci suprafata de rotatie determinata def , adica multimea
S = {(x, y, z) ∈ R3|√
y2 + z2 = f(x), a 6 x 6 b}are arie data de
aria(S) = 2π
∫ b
a
f(x)√
1 + (f ′(x))2dx (1.9)
I. Determinati semnul urmatoarelor integrale
1.∫ 10
0
ex2
dx 2.∫ π
π2
sin x
x
II. Determinati cea mai mare dintre integrale (fara a face calculul lor)
1.∫ 1
0
√1 + x2dx si
∫ 1
0
xdx
2.∫ 1
0
x2 sin2 xdx si∫ 1
0
x sin2 xdx
3.∫ 2
0
ex2
dx si∫ 2
1
exdx
4. Aratati ca are loc inegalitatile
a.2
3<
∫ 1
0
dx√2 + x− x2
<1√2
b.1
2<
∫ π2
π4
sin x
x<
√2
2
5. Calculati limitele urmatoarelor siruri
a. an =3
n
(1 +
√n
n + 3+
√n
n + 6. . . +
√n
n + 3(n− 1)
)
b. an =π
n
(sin
π
n+ sin
2π
n+ . . . + sin
(n− 1)π
2n
)
12 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
6. Fie f : [−a, a] → R o functie continua. Aratati ca are loc∫ a
−a
f(x)dx =
{2∫ a
0f(x)dx daca f este para
0 daca f este impara
7. Fie f : [a, b] → R o functie continua. Aratati ca are loc∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(a + b− x)dx
8. Stabiliti egalitatea
∫ 1
0
arctan x
xdx =
1
2
∫ π2
0
t
sin tdt
9. Determinati punctul ξ ∈ [1, 3] astfel ca functia f(x) = x2, x ∈ [1, 3] sasatisfaca ∫ 3
1
f(x)dx = 2f(ξ).
10. Rezolvati ecuatia ∫ x
√2
dt
t√
t2 − 1=
π
12
11. Calculati urmatoarele arii:a. aria elipseib. aria delimitata de y = 4x− x2 si de abscisac. aria delimitaa de ln x si x = e.
12. Calculati lungimile urmatoarelor curbe
a.{
x = a(t− sin t)y = a(1− cos t)
, t ∈ [0, 2π] (cicloida)
b. x23 + y
23 = a
23
1.3 Integrala curbilinieFie f : D → R o functie continua unde D ⊂ Rn cu n = 2, 3.Fie γ o curba inclusa ın D care este neteda de forma
(γ)
x = x(t)y = y(t)z = z(t)
, t ∈ [a, b] ⊂ R (1.10)
1.3. INTEGRALA CURBILINIE 13
unde x, y, z sunt functii derivabile cu derivata continua pe [a, b].
Definitia 1.3.1 Numim integrala curbilinie de prima speta a functiei f∫
γ
f(x, y, z)ds =
∫f(x(t), y(t), z(t))
√(x′)2(t) + (y′)2(t) + (z′)2(t)dt
(1.11)
unde ds =√
(x′)2(t) + (y′)2(t) + (z′)2(t) este elementul de arc.
Observatii 1. Integrala este independenta de sensul de parcurs pe curba.2. Daca γ este o curba plana atunci ın ecuatiile (1.10) vom lua z = 0.
Aplicatii 1. Masa unei curbe netede γ. Presupunem ca ın fiecare punct alcurbei, masa este o functie continua f(x, y, z), atunci masa curbei este
M =
∫
γ
f(x, y, z)ds. (1.12)
2. Momentele statice ale unei curbe ın raport cu axele de coordonate sunt date deformulele
Mx =∫
γxf(x, y, z)ds
My =∫
γyf(x, y, z)ds
Mz =∫
γzf(x, y, z)ds
(1.13)
Coordonatele centrului de greutate sunt
xC =Mx
MyC =
My
MzC =
Mz
M(1.14)
Integrala curbilinie (IC) de speta a doua
Fie γ o curba inclusa ın D care este neteda, data ca ın (1.10).Fie functiile reale de variabile reale
P, Q, R : D → R, D ⊂ R3
care sunt continue. Presupunem ca γ ⊂ D.
Definitia 1.3.2 Numim intgrala curbilinie de speta a doua∫
γ
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
=
∫ b
a
(P (x(t), y(t), z(t))x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y′(t)+
+R(x(t), y(t), z(t))z′(t))dt (1.15)
14 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
Teorema 1.3.1 Aria unei multimi plane marginite de o curba neteda simpla este
aria(D) =1
2
∫
γ
xdy − ydx (1.16)
Teorema 1.3.2 In ipotezele anterioare urmatoarele afirmatii sunt echivalente1. IC este independenta de drum2. pentru orice curba C ınchisa si simpla are loc
∮
C
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1.17)
Definitia 1.3.3 Presupunem ca exista o functie F : D → R, D ⊂ R2 cu derivatepartiale de ordinul ıntai continue, astfel ca
∂F
∂x(x, y) = P (x, y),
∂F
∂y(x, y) = Q(x, y), ∀(x, y) ∈ D.
Expresia P (x, y)dx + Q(x, y)dy se numeste diferentiala totala exacta. Functia Fse numeste primitiva expresiei Pdx + Qdy.
Teorema 1.3.3 Presupunem ca exista o functie F : D → R cu derivate partialecontinue astfel ıncat
∂F
∂x(x, y) = P (x, y),
∂F
∂y(x, y) = Q(x, y), ∀(x, y) ∈ D.
Atunci are loc∫
γ
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (x(b), y(b))− F (x(a), y(a)). (1.18)
In particular integrala rezulta independenta de drum.
Teorema 1.3.4 Daca integrala∫
γ
P (x, y)dx + Q(x, y)dy este independenta de
drum, atunci functia F : D → R, D ⊂ R2 definita prin
F (x, y) =
∫ (x,y)
(x0,y0)
P (x, y)dx + Q(x, y)dy (1.19)
pe orice curba neteda cu extremitatile (x0, y0), (x, y) ∈ D satisface
∂F
∂x(x, y) = P (x, y),
∂F
∂y(x, y) = Q(x, y).
1.3. INTEGRALA CURBILINIE 15
Teorema 1.3.5 Daca domeniul D ⊂ R2 este simplu conex ( fara ” goluri”)umatoarele afirmatii sunt echivalente:
1.∫
γ
P (x, y)dx + Q(x, y)dy este independenta de drum
2.∂P
∂y=
∂Q
∂x, ∀(x, y) ∈ D.
I. Calculati urmatoarele integrale de speta ıntai
1.∫
γ
(x2 + 1)ds, unde (γ) este conturul triunghiului OAB, cu O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)
2.∫
γ
xyds, (γ) : {(x, y) | |x|+ |y| = a}
3.∫
γ
ds√x2 + y2 + 4
dx, (γ) : este dreapta de extremitati O(0, 0), A(1, 2)
4.∫
γ
xyds, (γ) : conturul elipsei situat ın primul cadran
5.∫
γ
yds, (γ) : {(x, y) | y2 = 2px, x ∈ [0, x0]}
6.∫
γ
(x2 + y2)ds, (γ) : este dreapta de extremitati A(a, a), B(b, b)
7.∫
γ
ye−xds, (γ) :
{x = ln(1 + t2)y = 2 arctan t− t + 3
t ∈ [0, 1]
8.∫
γ
xyzds, (γ) :
x = t
y = 13
√8t3
z = 12t2
t ∈ [0, 1]
II. Calculati urmatoarele integrale de speta a doua pe drumurile indicate
1.∫
AB
2xydx + x2dy, unde AB, A(0, 0), B(1, 1) este
a. segmentul de dreaptab. arcul de pe parabola y2 = xc. arcul de pe parabola y = x2
d. arcul de pe parabola cubica y = x3
16 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
2.∫
AB
xydx + (y − x)dy pe aceleasi drumuri ca mai inainte
3.∫
γ
(x− y2)dx + 2xydy, unde γ este curba de extremitati O(0, 0), B(1, 1) in-
dicata
a. segmentul de extremitati OAb. curba OMA unde M este proiectia lui A pe axa Oxc. curba ONA unde N este proiectia lui A pe axa Oy
4. Aceesi problema pentru∫
γ
(2xy + y2)dx + (2xy + x2)dy,
5.∫
γ
(x2 + 2xy)dy pe conturul elipsei, situat ın semiplanul superior, parcurs ın
sens trigonometric.
6.∫
γ
x2dy − y2dx
x53 + y
53
unde γ este conturul astroidei, curba cu o reprezentare para-
metrica de forma{
x = a sin3 ty = a cos3 t
t ∈ [0, 2π]
7. Este integrala∫
γ
(x2 + y2)(xdx + ydy) egala cu 0 pe orice contur ınchis ? Dar∫
γ
xdx + ydy
x2 + y2?
8. Depinde integrala∫
γ
(xdy − ydx) de drumul de integrare ?
9. Stabiliti existenta functiei primitive si gasiti acesta functie ın urmatoarelecazuri:
a. (4x3y3 − 3y2 + 5)dx + (3x4y2 − 6xy − 4)dyb. (10xy − 8y)dx + (5x2 − 8x + 3)dyc. (4x3y3 − 2y2)dx + (3x4y2 − 2xy)dyd. ((x + y + 1)ex − ey)dx + (ex − (x + y + 1)ey)dy
10. Determinati o conditie echivalenta cu faptul ca F (x, y)(xdx + ydy), undeF : D → R, D ⊂ R2, domeniu simplu conex, este o diferentiala totala exacta.
1.4 Integrala improprieIntegrale improprii pe interval nemarginitFie f : [a, +∞) → R, a ∈ R.
1.4. INTEGRALA IMPROPRIE 17
Definitia 1.4.1 f se numeste integrabila pe [a, +∞) daca1. f este integrabila pe intervalul [a, b], ∀b ∈ R2. exista si este finita limita lim
b→+∞
∫ b
a
f(x)dx. Vom nota∫ +∞
a
f(x)dx = limb→+∞
∫ b
a
f(x)dx. (1.20)
Vom spune ın acest caz ca integrala este convergenta si vom nota∫ ∞
a
f(x)dx < +∞,
iar ın caz contrar ca este divergenta.
Definitia 1.4.2 Functia f : [a, +∞) → R, a ∈ R se numeste absolut integrabilape [a, +∞) daca ∫ +∞
a
| f(x) | dx < +∞.
Integrala∫ +∞
a
f(x)dx se numeste absolut convergenta.
Analog se pot defini notiunile de integrabilitate pe intervale de forma (−∞, b],unde b ∈ R sau (−∞, +∞). Mentionam ca ın acest al doilea caz, alegem c ∈ Rsi reducem la situatiile precedente, daca realizam desfacerea
∫ ∞
−∞f(x)dx =
∫ c
−∞f(x)dx +
∫ +∞
c
f(x)dx.
Exista situatii cand integrala∫ ∞
−∞f(x)dx nu este convergenta si totusi exista si
este finita limita urmatoare, numita valoare principala
vp
∫ ∞
−∞f(x)dx = lim
a→+∞
∫ a
−a
f(x)dx (1.21)
Teorema 1.4.1 (Teorema de caracterizare) Integrala∫ +∞
a
f(x)dx < +∞ daca
si numai daca ∀ε > 0, ∃bε astfel ıncat ∀ b′, b′′ > bε are loc
|∫ b′′
b′f(x)dx |< ε. (1.22)
Teorema 1.4.2 Daca f : [a, +∞) → R, a ∈ R este absolut integrabila atuncieste si integrabila.
18 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
Teorema 1.4.3 (Criteriul de comparatie) Fie integralele∫ +∞
a
f(x)dx si∫ +∞
a
g(x)dx.
1. Presupunem ca sunt ındeplinite conditiile∫ +∞
a
g(x)dx este convergenta (1.23)
| f(x) |6 g(x), x > x1, x1 ∈ R (1.24)
atunci rezulta ca integrala∫ +∞
a
f(x)dx este absolut convergenta.
2. Daca ∫ +∞
a
f(x)dx este divergenta (1.25)
0 6 f(x) 6 g(x), x > x2, x2 ∈ R (1.26)
rezulta ca integrala∫ +∞
a
g(x)dx este divergenta.
Teorema 1.4.4 (Criteriul cu limita) 1. Daca
limx→+∞
| f(x) | xα < +∞ si α > 1 (1.27)
atunci∫ +∞
a
f(x)dx este absolut convergenta.
2. Dacalim
x→+∞f(x)xα > 0 si α 6 1 (1.28)
atunci∫ +∞
a
f(x)dx este divergenta.
Integrale improprii de functii nemarginite
Fie f : [a, b) → R, a, b ∈ R o functie nemarginita ın b.
Definitia 1.4.3 Functia f se numeste integrabila pe [a, b), daca1. f este integrabila pe orice interval ([a, b− ε]), ∀ε > 0
2. exista si este finita limita limε→0
∫ b−ε
a
f(x)dx. Vom nota∫ b
a
f(x)dx = limε→0
∫ b−ε
a
f(x)dx. (1.29)
1.4. INTEGRALA IMPROPRIE 19
Integrala se numeste convergenta si vom nota∫ b
af(x)dx < +∞ iar ın caz contrar,
divergenta.
Definitia 1.4.4 Functia f : [a, b) → R, a, b ∈ R se numeste absolut integrabilape [a, b) daca
∫ b
a
| f(x) | dx < +∞. (1.30)
Analog se poate defini integrabilitatea pentru functii definite pe (a, b], nemarginiteın a. Daca f : [a, b] → R si f nu este marginita ıntr-un punct interior intervaluluic, studiul convergentei se poate reduce la cazurile precedente, desfacand integrala
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx.
Pentru ultima situatie se defineste de asemenea notiunea de valoare principalaprin urmatoarea limita (daca exista si este finita)
vp
∫ b
a
f(x)dx = limε→0
(∫ c−ε
a
f(x)dx +
∫ b
c+ε
f(x)dx
)(1.31)
Teorema 1.4.5 (Teorema de caracterizare) Integrala∫ b
af(x)dx este conver-
genta daca si numai daca ∀ε > 0 exista δ > 0 astfel ca oricare ar fi t′, t′′ ∈ [a, b),cu 0 < b− t′ < δ, 0 < b− t′′ < δ are loc
|∫ t′′
t′f(x)dx |< ε. (1.32)
Teorema 1.4.6 Daca functia f este absolut integrabila pe [a, b) atunci ea esteintegrabila pe [a, b).
Teorema 1.4.7 (Criteriu de comparatie) Fie integralele∫ b
af(x) si
∫ b
ag(x)dx.
Daca ∫ +∞
a
g(x)dx este convergenta (1.33)
| f(x) |6 g(x), x ∈ [c1, b), c1 > a (1.34)
rezulta ca∫ b
a
f(x)dx este absolut convergenta.
Daca ∫ b
a
f(x)dx este divergenta (1.35)
20 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
0 6 f(x) 6 g(x), x ∈ [c2, b), c2 > a (1.36)
rezulta∫ b
a
g(x)dx este divergenta.
Teorema 1.4.8 (Criteriul cu limita) 1. Daca
limx→b,x<b
| f(x) | (b− x)α < +∞ si α < 1 (1.37)
atunci∫ b
a
f(x)dx este absolut convergenta.
2. Dacalim
x→b,x<bf(x)(b− x)α > 0 si α > 1 (1.38)
atunci∫ b
a
f(x)dx este divergenta.
I. Studiati convergenta urmatoarelor integrale, iar daca este posibil calculatilimita.
1.∫ +∞
a
dx
1 + x22.
∫ +∞
a
dx
1 + x23.
∫ +∞
a
arctan x
1 + x2dx
4.∫ +∞
a
dx
x ln x, a > 1 5.
∫ ∞
−∞
dx
x2 + 4x + 96.
∫ ∞
1
√x
(1 + x)2dx
7.∫ +∞
a
dx
x√
x2 + 18.
∫ +∞
a
dx
(x2 + a2)n9.
∫ +∞
1
dx
x√
x2 − 1
II. Studiati convergenta urmatoarelor integrale
1.∫ +∞
0
cos x
1 + x2dx 2.
∫ +∞
0
e−x2
dx 3.∫ +∞
0
dx
1 + x4
4.∫ +∞
1
dx
x√
1 + x25.
∫ +∞
0
arctan x
x6.
∫ +∞
1
dx
2x + (x2 + 1)13 + 5
7.∫ +∞
0
xdx
(x5 + 1)12
8.∫ +∞
0
dx
x2 + 3√
x4 + 19.
∫ +∞
0
x52
1 + x2dx
10.∫ +∞
c
dx√x(x− a)(x− b)
, b < a < c 11.∫ +∞
0
(e−a2
x2 − e−b2
x2 )dx
12.∫ +∞
0
xµe−axdx, µ > o, a > 0
1.5. INTEGRALA CU PARAMETRU 21
III. Studiati convergenta urmatoarelor integrale
1.∫ 3
0
dx
(x− 1)22.
∫ 1
0
dx√1− x2
3.∫ 1
0
xdx√1− x4
4.∫ 1
0
dx√x
5.∫ 1
2
0
dx
x ln x6.
∫ 2
−1
dx√| x | 7.
∫ 2
1
dx
ln x8.
∫ 1
−1
dx3√
1− x2
9.∫ 1
0
arcsin x√1− x2
10.∫ b
a
xdx√(x− a)(x− b)
11.∫ ∞
0
x ln x
(1− x2)2dx
1.5 Integrala cu parametruDaca f : [a, b] × R → R este o functie cu proprietatea ca pentru orice y ∈ R,exista integrala
F (y) =
∫ b
a
f(x, y)dx (1.39)
Teorema 1.5.1 (Continuitatea integralei cu parametru) Daca f : [a, b]×R→R este uniform continua, atunci functia F este continua.
Teorema 1.5.2 (Derivabilitatea integralei cu parametru) Daca f : [a, b] ×[c, d] → R si au loc:
i. ∀y ∈ [c, d] exista integrala cu parametru F (y) =
∫ b
a
f(x, y)dx;
ii. exista∂f
∂ycontinua pe [a, b]× [c, d]
atunci F este derivabila si
F ′(y) =
∫ b
a
∂f
∂y(x, y)dx. (1.40)
Teorema 1.5.3 (Teorema lui Leibniz) Fie integrala cu parametru
F (y) =
∫ β(y)
α(y)
f(x, y)dx, y ∈ [c, d]
si presupunem ındeplinite urmatoarele ipoteze
i. functiile α, β : [c, d] → [a, b] sunt derivabile,
ii. f : [a, b]× [c, d] → R este o functie continua,
22 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
iii. exista∂f
∂y: [a, b]× [c, d] → R, continua
atunci F este derivabila si are loc formula
F ′(y) = f(β(y), y)β′(y)− f(α(y), y)α′(y) +
∫ β(y)
α(y)
∂f
∂y(x, y)dx. (1.41)
Teorema 1.5.4 (Integrarea unei integrale cu parametru) Fie f : [a, b] ×[c, d] → R o functie continua, atunci are loc formula
∫ d
c
(∫ b
a
f(x, y)dx
)dy =
∫ b
a
(∫ d
c
f(x, y)dy
)dx. (1.42)
Consideram integralele cu parametru
Γ(p) =
∫ +∞
0
xp−1e−xdx (1.43)
si
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1− x)q−1dx. (1.44)
pe care le numim integralele lui Euler.
Teorema 1.5.5 (Convergenta integralelor lui Euler) Integralele improprii cuparametru (1.43) si (1.44) sunt convergente pentru p > 0, respectiv p, q > 0.
Teorema 1.5.6 ( Formule de calcul) Integralele lui Euler satisfac urmatoareleproprietati
Γ(1) = 1 (1.45)
Γ(p + 1) = pΓ(p) (1.46)
B(p, q) = B(q, p) (1.47)
B(1
2,1
2) = π (1.48)
Corolarul 1.5.1 Din (1.46) deducem
Γ(n + 1) = n! (1.49)
Γ(n +1
2) =
(2n− 1) . . . 31
2nΓ(
1
2) (1.50)
1.5. INTEGRALA CU PARAMETRU 23
Teorema 1.5.7 (Legatura dintre Gamma si Beta) Are loc urmatoarea formula
B(p, q) =Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q). (1.51)
Corolarul 1.5.2 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate
Γ(1
2) =
√π (1.52)
∫ +∞
0
e−x2
dx =
√π
2(1.53)
Teorema 1.5.8 (Formula lui Gauss)
Γ(p) = limn→+∞
n!np
p(p + 1) . . . (p + n)(1.54)
Teorema 1.5.9 (Formula complementelor ) Daca p ∈ (0, 1) atunci are loc
Γ(p)Γ(p + 1) =π
sin πp(1.55)
I. Calculati urmatoarele integrale folosind derivarea integralei cu parametru.
1. F (y) =
∫ π2
0
ln(y2 − sin2 x)dx, y > 1
2. F (y) =
∫ ∞
0
arctan xy
x(1 + x2)dx
3. F (y) =
∫ b
0
x
(1 + xy)2dx, b > 0
4. F (y) =
∫ b
0
dx
(x2 + y2)3
5. F (y) =
∫ π2
0
1
cos xln
1 + y cos x
1− y cos xdx, y ∈ (−1, 1)
6. F (a, b) =
∫ π2
0
dx
(a2 cos2 x + b2 sin2 x)2
7. F (a, b) =
∫ ∞
0
e−ax2 − e−bx2
xdx, a > 0, b > 0
24 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA
8. F (a, b) =
∫ ∞
0
e−ax − e−bx
xsin mx dx
II. Calculati schimband ordinea de integrare
1.∫ ∞
0
e−ax
x(cos bx− cos cx)dx, a > 0, b, c ∈ R
2.∫ ∞
0
e−ax
x(sin bx− sin cx)dx, a > 0, b, c ∈ R
III. Aratati ca urmatoarele egalitati au loc
1. B(p, q) =
∫ +∞
0
yp−1
(1 + y)p+qdy
2 B(p, 1− p) =
∫ +∞
0
yp−1
1 + ydy, 0 < p < 1
3. B(p, q) =q − 1
p + q − 1B(p, q − 1) =
p− 1
p + q − 1B(p− 1, q) p > 1, q > 1
IV. Reduceti la integralele lui Euler si stabiliti natura lor:
1.∫ π
2
0
sinm x cosn xdx, m, n ∈ R
2.∫ 1
0
dx
(1− xm)1n
, m > 0, n ∈ N
3.∫ +∞
0
xm−1
(1 + x)ndx m, n ∈ R
4.∫ +∞
0
xpe−axdx, a > 0, p ∈ R
5.∫ +∞
0
x14
(1 + x)2dx
6.∫ +∞
0
xm−1
1 + xndx, m, n ∈ R
7.∫ +∞
0
x2ne−x2
dx, n ∈ N.
Capitolul 2
Ecuatii diferentiale
2.1 Ecuatia diferentiala de ordinul 1
Forma generala e unei ecuatii diferentiale ordinare de ordinul 1 este
y′(x) = f(x, y) (2.1)
unde x este variabila independenta, y = y(x), x ∈ (a, b) este functia necunos-
cuta, y′(x) =dy
dxeste derivata, iar f : D → R, D ⊂ R2 este o functie continua.
Definitia 2.1.1 Numim solutie a ecuatei (2.1) functia y : (a, b) → R, y = y(x)derivabila pe (a, b) care verifica identic ecuatia (2.1), adica
y′(x) = f(x, y(x)), x ∈ (a, b).
Interpretare geometrica Solutia este o curba ın planul x0y, avand ın fiecarepunct tangenta care variaza continuu in raport cu punctul. Curba se numestecurba integrala si poate fi data cartezian explicit, adica y = y(x) sau cartezianimplicit adica F (x, y) = C. Multimea tuturor curbelor solutie se numeste solutiegenerala.Numim problema Cauchy determinarea unei solutii a ecuatiei (2.1) care satisface oconditie de forma (??). Geometric, aceasta revine la determinarea unei curbe inte-grale care sa teaca printr-un punct dat (x0, y0). Vom stabili o teorema de existentasi unicitate , ın anumite ipoteze asupra lui f a solutiei problemei Cauchy, pe ovecinatate ın jurul lui x0.
1. Ecuatii de forma y′(x) = f(x)
25
26 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
Consideram problema Cauchy de forma{
y′(x) = f(x)y(x0) = y0
(2.2)
unde x ∈ (a, b) si f este o functie continua pe (a, b). Solutia problemei Cauchyeste de forma
y(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t)dt. (2.3)
2. Ecuatii cu variabile separabile
Consideram problema Cauchy de forma{
y′(x) = f(x)g(y)y(x0) = y0
(2.4)
unde x ∈ (a, b) si f este o functie continua pe (a, b) iar g este o functie continuasi nenula pe (c, d).Solutia problemei Cauchy este de forma
y(x) = G−1(
∫ x
x0
f(t)dt). (2.5)
unde G−1 este inversa functiei G(y) =∫ y
y0
dtg(t)
dt.
Exemplu Sa rezolvam ecuatia{
y′(x) = x2y2
1+x2
y(0) = 1
Separam variabilele si gasim
dy
y2=
x2dx
1 + x2.
Prin integrare obtinem
−1
y= x− arctan x + c.
Punand conditia Cauchy y(0) = 1 gasim c = −1 si solutia este
y(x) =1
arctan x− x + 1.
2.1. ECUATIA DIFERENTIALA DE ORDINUL 1 27
3. Ecuatia omogena
Consideram ecuatia
y′(x) = h(y
x) (2.6)
unde h este o functie continua pe un interval (c, d). facem schimbarea de functie
y
x= u(x)
si prin derivare gasim y′ = u(x)+xu′(x), de unde daca ınlocuim ın ecuatie gasim
xu′(x) = h(u)− u
care este o ecuatie cu variabile separabile.
Exemplu Sa rezolvam ecuata
y′ =xy
x2 − y2.
Observam ca poate fi pusa sub forma
y′ =yx
1− ( yx)2
.
Prin substitutia y = xu(x) gasim
u + xxu′ =u
1− u2
si ajungem la ecuatia cu variabile separabile
xu′ =u3
1− u2.
Prin rezolvarea ei gasim curbele
ln | cy |= − x2
2y2.
4. Ecuatii reductibile la cazul omogen
Consideram ecuatia
y′ =ax + by + c
a1x + b1y + c1
(2.7)
28 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
unde a, b, c, a1, b1, c1 ∈ R. Daca c = c1 = 0 atunci ecuatia este omogena. Dacacel putin c sau c1 este diferit de 0, atunci facem schimbarea de variabile
{x = x1 + hy = y1 + k
(2.8)
Se obtine imediat
y′ =ax1 + by1 + ah + bk + c
a1x1 + b1y1 + a1h + b1k + c1
.
Cazul I Presupunem ca ∣∣∣∣a ba1 b1
∣∣∣∣ 6= 0. (2.9)
Atunci sistemul {ah + bk + c = 0
a1h + b1k + c1 = 0
are solutie unica. Alegand h, k solutii ale acestui sistem si facand schimbarea(2.8) obtinem ecuatia omogena
y′1 =ax1 + by1
a1x1 + b1y1
. (2.10)
Cazul II Presupunem ca ∣∣∣∣a ba1 b1
∣∣∣∣ = 0. (2.11)
Atuncia
a1
=b
b1
=1
λ.
Alegand a1 = λa, b1 = λb obtinem ecuatia
y′ =ax + by + c
λ(ax + by) + c1
(2.12)
si facand substitutia z = ax + by obtinem ecuatia cu variabile separabile
z′ − a
b=
z + c
λz + c1
.
5. Ecuatii cu diferentiala totala exacta
2.1. ECUATIA DIFERENTIALA DE ORDINUL 1 29
Fie ecuatia
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.13)
unde P, Q : D → R, D ⊂ R2 sunt functii continue. Presupunem ca Pdx + Qdyeste diferentiala totala exacta. Atunci exista o functie de clasa C1(D) astfel cadF (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Atunci solutia generala este
F (x, y) = C, C ∈ R. (2.14)
Metoda factorului integrant
Daca Pdx + Qdy nu este diferentiala totala exacta si presupunem ca suntem peun domeniu simplu conex, ınmultim ecuatia cu functia µ ; ecuatia devine
µP (x, y)dx + µQ(x, y)dy = 0.
si punem conditia ca
∂(µP )
∂y=
∂(µQ)
∂x.
Deducem ecuatia
∂(Q)
∂x− ∂(P )
∂y= P
∂ ln µ
∂y−Q
∂ ln µ
∂x(2.15)
orice functie µ care satisface ecuatia (2.15) se numeste factor integrant.
Caz particular I µ depinde doar de y; atunci∂ ln µ
∂x= 0 si prin integrarea
ecuatiei∂ ln µ
∂y=
∂Q∂x− ∂P
∂y
P.
se gaseste factorul integrant.
Caz particular II µ depinde doar de x, atunci prin analogie factorul integrant segaseste ca solutie a ecuatiei
∂ ln µ
∂x= −
∂Q∂x− ∂P
∂y
Q.
Exemplu Sa integram ecuatia
(y + xy2)dx− xdy = 0.
30 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
Observam ca∂P
∂y= 1 + 2xy 6= −1 =
∂Q
∂x.
Cautam un factor integrant care depinde doar de y,
∂ ln µ
∂y=−2(1 + xy)
y(1 + xy).
Prin integrare gasim µ =1
y2, iar solutia ecuatiei este
x
y+
x2
2= C.
6. Ecuatia diferentiala liniara
Consideram problema Cauchy care reprezinta determinarea solutiei ecuatiei
y′ + P (x)y = Q(x) (2.16)
care satisface conditia initialay(x0) = y0. (2.17)
y(x) =
(y0 +
∫ x
x0
Q(t)eR t
x0P (u)du
)e− R x
x0P (t)dt
. (2.18)
Functia definita de (2.18) satisface y(x0) = y0. Se desprind urmatoarele etape ınrezolvarea unei ecuatii liniare de forma mai generala
a(x)y′ + b(x)y = c(x).
Pas 1. Impartim prin a(x) si gasim ecuatia
y′ + P (x)y = Q(x).
Pas 2. Determinam factorul integrant
µ = eR
P (x)dx
Pas 3. Obtinem ecuatia
d(µy)
dx= µQ(x).
2.1. ECUATIA DIFERENTIALA DE ORDINUL 1 31
Pas 4. Deducem
µy =
∫µQ(x)dx + C
Pas 5. Solutia generala este de forma
y(x) = µ(x)−1(
∫µQ(x)dx + C).
Pas 6. Determinam C din conditia y(x0) = y0.Exemplu Sa rezolvam problema Cauchy
cos x y′ + y = sin x, y(0) = 2.
Pas 1. Ecuatia devine
y′ +1
cos xy = tan x.
Pas 2. Factorulul integrant este
µ = eR
dxcos x =
1 + sin x
cos x.
Pas 3. Obtinem ecuatia
d(1+sin xcos x
y)
dx=
1 + sin x
cos xtan x.
Pas 4. Deducem
1 + sin x
cos xy =
∫1 + sin x
cos xtan xdx = tan x− x + C.
Pas 5. Solutia generala este
y(x) =cos x
1 + sin x
(1 + sin x
cos x− x + C
).
Pas 6. Deducem constanta C = 1.
7. Ecuatia diferentiala Bernoulli
Forma generala este
y′ + P (x)y = Q(x) yα, α ∈ R (2.19)
32 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
Pentru unele cazuri particulare ale lui α se obtin cazuri de ecuatii deja studiate. Ingeneral ımpartim prin yα si obtinem
y′
yα+ P (x)y1−α = Q(x).
Facem substitutia
z(x) = y(x)1−α (2.20)
si obtinem imediat ecuatia liniara
z′ + (1− α)P (x)z = (1− α)Q(x).
Exemplu Sa rezolvam ecuatia
y′ +x
1− x2y = x
√y.
Facem substitutia z =√
y si gasim ecuatia liniara
z′ +x
2(1− x2)=
x
2
cu solutia
z = (1− x2)14 (−1
3(1− x2)
34 + C),
de unde √y = −1
3(1− x2) + C(1− x2)
14 .
I. Aratati ca urmatoarele functii sunt solutii ale ecuatiilor diferentiale indicate1. y(x) = c1 cos x + c2 sin x, y′′(x) + y(x) = 02. y(x) = c1e
x + c2e−x, y′′(x)− y(x).
II. Deduceti ecuatia diferentiala a carei solutie este y(x) = ex(a cos x + b sin x).
III. Rezolvati urmatoarele ecuatii diferentiale
1. y′ =x(2 ln x + 1)
sin y + y cos y, 2. y − xy′ = a(y2 + y′) 3. y′ = e2x+3y
4. xyy′ = 1 + x + y + xy 5. (x + y)(dx− dy) = dx + dy
6.{
3ex
1+ex dx + 2sin 2y
dy = 0
y(0) = π2
7.{
xy′ + coth y = 0
y(√
2)
2.1. ECUATIA DIFERENTIALA DE ORDINUL 1 33
8. (x + y − 1)dx = (x + y + 1)dy 9.y
x
dy
dx=
√1 + x2 + y2 + x2y2
10. ey(1 + x2)dy
dx− 2x(1 + ey) = 0 11. (x−yx2)y′ + y2 + xy2 = 0
12.{
(1 + x3)dy − x2ydx = 0y(1) = 2
13. a(xdy + ydx) = xydy
14. xdy − ydx =√
x2 + y2dx 15. (x + y)dx + (y − x)dy = 0
16. xdy
dx+
y2
x= y 17. (y2 − 2xy)dx = (x2 − 2xy)dy
18. x(x− y)y′ = y(x + y) 19. (√
xy − x)dy + ydx = 0
20. (y2 + 2xy)dx + (2x2 + 3xy)dy = 0 21. xy′ = y(ln y − ln x)
22. xy′ = y + x cos2 y
x23. (1 + e
xy )dx + e
xy (1− x
y)dy = 0
23*. (3y − 7x + 7)dx + (7y − 3x + 3)dy=0=0
24. y′ =y + x− 2
y − x− 4
25. (3y + 2x + 4)dx− (4x + 6y + 5)dy = 0 26. y′ =x + 2y − 3
2x + y − 327. (2x− 2y + 5)y′ = x− y + 3 28. (x + y)(dx− dy) = dx + dy
29. x(1− x2)y′ + (2x2 − 1)y = x3 30. (1 + y2)dx = (arctan y − x)dy
31.dy
dx+
y
x= x3 − 3 32. x ln x
dy
dx+ y = 2 ln x 33. cos2 xy′ + y = tan x
34. (1 + x3)y′ + 6x2y = 1 + x2 35. x2y′ = 3x2 − 2xy + 1
36. (x+2y3)y′ = y 37.e−y
cos2 ydy = dx + xdy 38.
{y′ + y coth x = 4x
sin x
y(π2) = 0
39. xy(1+xy2)y′ = 1 40. y′+x sin 2y = x3 cos2 y 41. xy′+ y = x3y6
42. y′ + y tan x = y3 cos x 43. y′ +y ln y
x=
y(ln y)2
x2
44.{
y − y′ cos x = y2(1− sin x) cos xy(0) = 2
45. y′ − x2y = y2e−13x3
46. (5x4 + 3x2y2 − 2xy3)dx + (2x3y − 3x2y2 − 5y4)dy = 047. (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 48. (y cos x + 1)dx + sin xdy = 0
49. (1 + exy )dx + (1− x
y)e
xy = 0 50. yexydx + (xexy + 2y)dy = 0
34 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
2.3 Sisteme simetrice
am sistemul diferential de formaConsider˘
x′(t) = f(x), x = (x1, . . . , xn), (2.21)
a, iar f(x1, . . . , xn) =unde f : D → Rn, D ⊂ Rn este o multime deschis˘a(f1(x1, . . . , xn), f2(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn)) este o functie de clas˘
a acest lucru ınseamn˘C1(D). Reamintim c˘ a functia are derivate partialea faptul c˘de ordinul ıntai continue pe domeniul considerat.Pe componente, sistemul (2.21) are forma:
x′1(t) = f1(x1, . . . , xn)x′2(t) = f2(x1, . . . , xn). . .x′n(t) = fn(x1, . . . , xn).
Un sistem de forma (2.21) se numeste autonom.
Definitia 2.3.1 Functia U : D → R, U(x) = U(x1, . . . , xn) de clasa C1(D0)unde D0, D0 ⊂ D este submultime deschisa, se numeste integrala prima a sis-
atemului (2.21) dac˘ai. nu este identic constant˘
ii. U(ϕ(t)) ≡ c, c ∈ R, pentru orice traiectorie (solutie) x = ϕ(t) a sistemu-lui (1.1) care ramane ın D0.
Observatie. Constanta din conditia ii. depinde de traiectorie.
Exemplul 2.3.1 Fie sistemul diferential
x′1(t) = x2 − x3
x′2(t) = x3 − x1
x′3(t) = x1 − x2.
Functiile U1(x1, x2, x3) = x21 + x2
2 + x23 si U2(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 sunt
integrale prime.
Solutie Prima conditie din definitie este evidenta. Pentru a doua, daca x = ϕ(t)este o solutie, avem
x′1x1 + x′2x2 + x′3x3 = x1(x2 − x3) + x2(x3 − x1) + x3(x1 − x2) = 0,
2.3. SISTEME SIMETRICE 35
care atrage d(x21 + x2
2 + x23) = 0, deci U1(ϕ(t)) = x2
1 + x22 + x2
3 = c1. Analog,deoarece x′1+x′2+x′3 = 0, rezulta x1+x2+x3 = c2, si U2(ϕ(t)) = x1+x2+x3 =c2.
Teorema 2.3.1 (Caracterizarea integralelor prime) Functia U ∈ C1(D0) esteintegrala prima a sistemului (2.21) daca si numai daca
∂U
∂x1
(x)f1(x) +∂U
∂x2
(x)f2(x) + . . . +∂U
∂xn
(x)fn(x) = 0, ∀x ∈ D0. (2.22)
Definitia 2.3.2 Punctul a ∈ Rn se numeste punct critic al sistemului (2.21) dacaf(a) = (f1(a), . . . , fn(a)) = 0.
Definitia 2.3.3 Functiile U1, U2, . . . , Uk de clasa C1 se numesc independenteıntr-o vecinatate a punctului a ∈ Rn, daca matricea iacobiana
(∂Ui
∂xj
(a)
)i = 1, . . . k, j = 1, . . . n, (2.23)
are rangul k.
Exemplul 2.3.2 U1 si U2 din exemplul (2.3.1) sunt independente ın vecinatateaoricarui punct diferit de origine.
Solutie Pe R3 \ {(0, 0, 0)} matricea iacobiana(
∂Ui
∂xj
(a)
)=
(2x1 2x2 2x3
1 1 1
)
are rangul 2.
Teorema 2.3.2 ( Existenta integralelor prime) Intr-o vecinatate a unui puncta ∈ Rn, care nu este critic exista exact n− 1 integrale prime independente.
Consecinta Solutia generala a sistemului (2.21) este de forma
U1(x1, . . . , xn) = c1
. . . . . . . . . . . . . . .Un−1(x1, . . . , xn) = cn−1,
(2.24)
unde U1, . . . , Un−1 sunt integrale prime independente.
36 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
Teorema 2.3.3 Fie U1, . . . , Un−1 integrale prime ale sistemului (2.21) indepen-dente ıntr-o vecinatate a lui a ∈ Rn care nu este punct critic si W o integrala primaoarecare. Atunci exista o functie F : Rn−1 → R de clasa C1 ıntr-o vecinatate apunctului (U1(a)), . . . , Un−1(a)) astfel ca
W (x) = F (U1(x), . . . , Un−1(x)), (2.25)
pentru orice x din vecinatate.
Teorema 2.3.4 (Metoda combinatiilor integrabile) Daca exista functiileµ1, . . . , µn : D → R continue care satisfac1. µ1f1 + . . . + µnfn = 02. Exista o functie U de clasa C1 astfel ca dU = µ1dx1 + . . . µndxn
atunci U este o integrala prima pentru (2.21).
Exemplul 2.3.3 Sa rezolvam sistemul{
x′1 = x2
x′2 = x1.
Solutie Exista functiile µ1 = x1, µ2 = −x2 continue, astfel ca1. µ1f1 + µ2f2 = x1x2 + (−x2)x1 = 02 x1dx1 − x2dx2 = 1
2d(x2
1 − x22).
Urmeaza ca U(x1, x2) = x21 − x2
2 este integrala prima, iar solutia sistemului este
x21 − x2
2 = c.
Observatie Daca f 21 + f 2
2 + . . . + f 2n > 0 pe D, atunci sistemul (2.21) poate fi
scris sub forma
dx1
f1(x1, . . . , xn)=
dx2
f2(x1, . . . , xn)= . . . =
dxn
fn(x1, . . . , xn)(2.26)
si se numeste sistem simetric. Deci solutia unui sistem simetric data de (2.24),reprezinta o traiectorie (curba) inclusa ın n−1 suprafete Ui(x1, . . . , xn) = ci, i =1, n− 1.
Observatie Daca sistemul (2.21) nu este autonom, deci are forma generala
x′ = f(t, x), x = (x1, . . . , xn), f = (f1, . . . , fn), (2.27)
atunci i se asociaza sistemul simetric
2.3. SISTEME SIMETRICE 37
dx1
f1(t, x1, . . . , xn)=
dx2
f2(t, x1, . . . , xn)= . . . =
dxn
fn(t, x1, . . . , xn)=
dt
1
si solutia este intersectia a n suprafete.
Exemplul 2.3.4 Sa rezolvam sistemul simetric
dx1
x3 − x2
=dx2
x1 − x3
=dx3
x2 − x1
.
Solutie Daca adunam rapoartele obtinem o fractie cu numaratorul dx1+dx2+dx3
si numitorul 0. Deci din d(x1 + x2 + x3) = 0 deducem x1 + x2 + x3 = c1.Daca amplificam fractiile cu x1, x2, x3 respectiv si adunam rapoartele obtinemd(x2
1 + x22 + x2
3) = 0, de unde x21 + x2
2 + x23 = c2. Deci solutia este de forma
{x1 + x2 + x3 = c1
x21 + x2
2 + x23 = c2
deoarece din exemplul precedent am obsercat ca cele doua integrale primeU1(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 si U2(x1, x2, x3) = x2
1 + x22 + x2
3 sunt indepen-dente.
Observatie Cunoasterea a k integrale prime independente k < n, permite redu-cerea numarului de functii necunoscute cu k unitati.
Exemplul 2.3.5 Sa rezolvam urmatorul sistem neautonom{
x′1 = tx2
x′2 = tx1.
Solutie Sistemul se pune sub forma simetrica
dx1
tx2
=dx2
tx1
=dt
1.
Din primele doua relatii deducem o prima suprafata x21 − x2
2 = c1, iar din ultimiledoua relatii ın care folosim suprafata gasita obtinem ln(x1 + x2)− t2
2= c2. Deci
solutia este
x21 − x2
2 = c1
ln(x1 + x2)− t2
2= c2.
Integralele prime gasite sunt independente deoarece pe domeniul de existenta ran-gul matricei
2x1 −2x2 01
x1 + x2
1
x1 + x2
−t
este 2.
38 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
2.3.1 Probleme propuse1.1 Studiati daca pentru urmatoarele sisteme si functii U , egalitatile U = c sunt
integrale prime. Ce se poate spune despre independenta lor ?
a{
x′ = yy′ = x
U1(x, y) = x2 − y2, U2(x, y) = ln(x + y)− t, U3 = xy.
b.dx
z + 3y=
dy
3(z − x)=
dz
−x− 3y, U1(x, y) = 3x− y + 3z, U2(x, y) =
x2 + y2 + z2.
Rezolvati urmatoarele sisteme diferentiale:
1.2dx
dt=
x− y
z − t,dy
dt=
x− y
z − t,dz
dt= x− y + 1
1.3dx
2y + z=
dy
z − 2x=
dz
−x− y
1.4dx
x=
dy
y=
dz
x + y
1.5dx
x + y=
dy
y − x=
dz
z
1.6dx
x(y − z)=
dy
y(z − x)=
dz
z(x− y)
1.7dx
a2z − a3y=
dy
a3x− a1z=
dz
a1y − a2x
1.8dx
y(x + y)=
dy
−x(x + y)=
dz
(x− y)(2x + 2y + z)
1.9dx
2xz=
dy
2yz=
dz
z2 − x2 − y2
1.10dx
xy2=
dy
x2y=
dz
z(x2 + y2)
1.11dx
x3 + 3xy2=
dy
2y3=
dz
2y2z
1.12dx
x(y2 − z2)=
dy
−y(x2 + z2)=
dz
z(x2 + y2)
2.3. SISTEME SIMETRICE 39
1.13dx
−xy2 + x + y=
dy
x2y − x− y=
dz
z(y2 − x2)
1.14dx
x(y2 − z2)=
dy
y(z2 − x2)=
dz
z(x2 − y2)
1.15dx
z − y=
dy
x− z=
dz
y − x
1.16dx
x2 − y2 − z2=
dy
2xy=
dz
2xz
1.17dx
1 +√
z − x− y=
dy
1=
dz
2
1.18dx
x=
dy
y=
dz
z −√
x2 + y2 + z2
1.19dx
1 + x2=
dy
x(2− y)=
dz
1 + z2
1.20dx
1 +√
3zx− y=
dy
2=
dz
1
1.21dx
x=
dy
yz=
dz
−z2 − 1
Sa se integreze sistemele:
1.22{
(z − y)2dy = zdx(z − y)2dz = ydx
1.23
dy
dx= z
dz
dx= −z2 + 1
y
1.24
dy
dx= 1− 1
zdz
dx=
1
y − x
1.25
x′(t) = − 2tx
x2 + y2 − t2
y′(t) = − 2ty
x2 + y2 − t2
40 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
2.3.2 Solutii1.1 a. U1, U2 verifica evident conditia, iar U3 nu; primele doua sunt indepen-
dente.
b. Ambele sunt integrale prime si independente.
1.2 Din primele doua deducem x − y = c1, iar ultima ecuatie devinedz = (1 + c1)dt, de unde z = (1 + x − y)t + c2. Din a doua ecuatiedy
c1
=dt
c2 + (1 + c1)t− tcu solutia y − ln |z − t| = c3.
1.3 Au locdy
z − 2x=
−2dz
2x + 2y=
d(y − 2z)
z + 2y=
dx
2y + z, de unde y−2z−x = c1
si xdx + ydy + zdz = 0.
1.4 Din primele doua rapoarte y = c1x; deducemdx + dy
x + y=
dz
x + y, de unde
x + y − z = c2.
1.5 Sistemul e echivalent cuxdx
x2 + xy=
ydy
y2 − xy=
zdz
z2.
Se obtine x2 + y2 + z2 = c1z2; primele doua relatii constituie o ecuatie
omogena cu solutia√
x2 + y2 = c2e−arctg
y
x .
1.6 Avemdx
x(y − z)=
dy
y(z − x)=
dz
z(x− y)=
dx + dy + dz
0=
dxx
+ dyy
+ dzz
0,
deci x + y + z = c1, xyz = c2.
1.7 Au locdx
a2z − a3y=
dy
a3x− a1z=
dz
a1y − a2x=
a1dx + a2dy + a3dz
0=
=xdx + ydy + zdz
0si a1x + a2y + a3z = c1, x2 + y2 + z2 = c2.
1.8 Din primele doua rapoarte x2 + y2 = c1. Avem apoidx + dy
(x + y)(y − x)=
dz
(x− y)(2x + 2y + z), de unde cu schimbarea x+y = u, obtinem o ecuatie
liniara cu solutia z(x + y) + (x + y)2 = c2.
1.9 Din primele doua y = c1x, apoixdx
2x2z=
ydy
2y2z=
zdz
z3 − zx2 − zy2=
xdx + ydy + zdz
z(x2 + y2 + z2)=
dx
2xz,
de unde x2 + y2 + z2 = c2x.
2.3. SISTEME SIMETRICE 41
1.10 Din primele doua avem y2 − x2 = c1. Apoiydx + xdy
xy(x2 + y2)=
dz
z(x2 + y2), de
unde c2z = xy.
1.11 Din ultimele doua z = c1y, iar primele doua constituie ecuatie omogena siy3 + x2y = c2x
2.
1.12 Amplificam fiecare raport cu x, y, z respectiv si prin adunare xdx + ydy +
zdz = 0. Apoidx
x(y2 − z2)=
zdy + ydz
yz(y2 − z2), de unde yz = c2x.
1.13 Amplificam primele doua rapoarte cu x respectiv y adunam si obtinemxdx + ydy
x2 − y2=
dz
z(y2 − x2)de unde x2 + y2 + ln z2 = c1; amplificam prima
cu yz, a doua cu xz a treia cu xy , adunam si egalam cu a treia fractie;deducem xyz − z = c2.
1.14 Amplificam prima cu x, a doua cu y, a treia cu z si avem x2 + y2 + z2 = c1;apoi amplificam prima cu yz, a doua cu xz, a treia cu xy si egalam cuultimul raport avem xyz − z = c2.
1.15 Din dx + dy + dz = 0 rezulta x + y + z = c1 si xdx + ydy + zdz = 0rezulta x2 + y2 + z2 = c2.
1.16 Din ultimele doua deducemdy
y=
dz
z, y = c1z si
xdx + ydy + zdz
x(x2 + y2 + z2)=
=dy
2xy, de unde
x2 + y2 + z2
y= c2.
1.17 Din ultimele doua 2y−z = c1 sidz − dx− dy
−√z − x− y= dy, de unde prin substitutia
z − x− y = t deducem y + 2√
z − x− y = c2.
1.18 Din primele doua x = yc1. Apoixdx + ydy + zdz
x2 + y2 + z2 − z√
x2 + y2 + z2=
=dz
z −√
x2 + y2 + z2de unde prin substitutia x2 + y2 + z2 = t, avem
dt
2(t− z√
t)=
dz
z −√t; rezulta
dt
−2√
t(z −√t)=
dz
z −√tsi z +
√t = c2.
1.19 Din primul si ultimul arctgx−arctgz = c1, iar din primele douaxdx
1 + x2=
dy
2− yde unde (1 + x2)(2− y)2 = c2.
42 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
1.20 Din ultimele doua y − 2z = c1 si3dz − dx− dy
−√3z − x− y= dz, de unde rezulta
dt
−√t= dz,
z + 2√
3z − x− y = c2.
1.21 Din ultimele douady
y= − zdz
z2 + 1, de unde y2(z2 + 1) = c1 si daca am-
plificam a doua cu z si a treia cu y, deducem dx + d(yz) = 0, x + yz = c2.
1.22 Poate fi pus sub forma simetricadyz
(z−y)2
=dzy
(z−y)2
= dx, de unde din primele
doua y2 − z2 = c1; avem apoid(z − y)
y−z(z−y)2
= dx, de unde (z − y)d(z − y) =
−dx si (z − y)2 + 2x = c2.
1.23 Avem forma simetricady
z=
dz
− z2+1y
= dx si din primele doua obtinem
dy
y= − zdz
z2 + 1, de unde y2(z2 + 1) = c1, iar dac˘ am prima cu z, aa amplific˘
doua cu y, deducem zdy + ydz + dx = 0, yz + x = c2.
1.24 Atasam sistemul dx =dy
1− 1z
=dz1
y−x
, de undedx− dy
1z
=dz1
y−x
care antre-
neazad(y − x)
y − x= −dz
zsi (y − x)z = c1; ınlocuim z =
c1
y − xın prima
ecuatie si obtinem y′(x) = 1− y − x
c1
, care este o ecuatie liniara cu solutia
ex
z(y−x) (y − x) = c2.
1.25 Avem sistemul simetricdx
−2tx=
dy
−2ty=
dt
x2 + y2 − t2; din primele doua
rezulta x = yc1; apoixdx + ydy + tdt
−t(x2 + y2 + t2)=
dx
−2txde unde x2+y2+t2 = xc2.
2.5 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I
Ecuatia liniara si omogena are forma
¸ II CU DERIVATE PART2.5. ECUAT ¸ IALE DE ORDINUL I 43
a1(x1, . . . , xn)∂z
∂x1
+a2(x1, . . . , xn)∂z
∂x2
+ . . .+an(x1, . . . , xn)∂z
∂xn
= 0, (2.28)
unde ai sunt functii de clasa C1(D), D ⊂ Rn,
n∑i=1
a2i > 0, ∀x ∈ D, iar z =
z(x1, . . . , xn) este o functie ce trebuie determinata.Din teorema (2.3.1), solutia ecuatiei este o integrala prima oarecare a sistemuluisimetric
dx1
a1(x1, . . . , xn)=
dx2
a2(x1, . . . , xn)= . . . =
dxn
an(x1, . . . , xn). (2.29)
deci, daca mai tinem cont de teorema (2.3.3) solutia generala a ecuatiei liniare siomogene este:
u(x) = W (U1(x1, . . . , xn), U2(x1, . . . , xn), . . . , Un−1(x1, . . . , xn)), (2.30)
unde U1, . . . , Un−1 sunt integrale prime independente.Sistemul (2.29) se mai numeste caracteristic, iar solutia lui curba caracteristica.
Ecuatia cvasiliniara are forma
a1(x1, . . . , xn, z)∂z
∂x1
+ a2(x1, . . . , xn, z)∂z
∂x2
+ . . . + an(x1, . . . , xn, z)∂z
∂xn
=
= a(x1, . . . , xn, z), (2.31)
unde ai sunt functii de clasa C1(D), D ⊂ Rn+1,
n∑i=1
a2i > 0, ∀(x, z) ∈ D, iar
z = z(x1, . . . , xn) este o functie ce trebuie determinata.Caut˘ aam solutia ecuatiei (2.31) sub forma implicit˘
u(x1, . . . , xn, z(x1, . . . , xn)) = 0. (2.32)
a subFolosind derivarea functiilor definite implicit, ecuatia (2.31) poate fi pus˘forma
a1(x1, . . . , xn, z)∂u
∂x1
+ . . . + an(x1, . . . , xn, z)∂u
∂xn
+ a(x1, . . . , xn, z)∂u
∂z= 0.
(2.33)
44 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
care este liniara si omogena avand drept sistem caracteristic, urmatorul sistemsimetric de ordinul n + 1.
dx1
a1(x1, . . . , xn, z)= . . . =
dxn
an(x1, . . . , xn, z)=
dz
a(x1, . . . , xn, z),
acu solutia general˘
u(x1, . . . , xn, z) = F (U1(x1, . . . , xn, z), . . . , Un(x1, . . . , xn, z))
unde U1, . . . , Un sunt n integrale prime independente, iar F este o functie de clasaC1 pe un domeniu D0. Deci solutia ecuatiei cvasiliniare (2.31) este
F (U1(x1, . . . , xn, z), . . . , Un(x1, . . . , xn, z)) = 0, (2.34)
care defineste solutia z = z(x1, . . . , xn) implicit.
Exemplul 2.5.1 Sa determinam suprafata z = z(x, y) care satisface ecuatialiniara
y∂z
∂x+ x
∂z
∂y= 0.
Solutie Asociem ecuatiei liniare omogene sistemul caracteristic de ordin 2 pedomeniul R2 \ {(0, 0)}.
dx
y=
dy
x,
care are integrala prima U1(x, y) = x2 − y2, deci solutia este
z(x, y) = F (U(x, y)),
unde F este o functie de clasa C1 pe un interval real.
Exemplul 2.5.2 Sa determinam solutia ecuatiei
x1∂z
∂x1
+ (x3 + z)∂z
∂x2
+ (x2 + z)∂z
∂x3
= x2 + x3.
Solutie Ecuatia este cvasiliniara. Atasam sistemul simetric
dx1
x1
=dx2
x3 + z=
dx3
x2 + z=
dz
x2 + x3
.
aDeducem prin adunarea ultimelor trei rapoarte c˘
dx1
x1
=d(x2 + x3 + z)
2(x2 + x3 + z),
2.5. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I 45
de unde prin integrare deducem
ln |x1| = 1
2ln |x2 + x3 + z|+ 1
2ln |c1|,
deci x2 + x3 + z = c1x21. Apoi din
dx1
x1
=d(x2 − x3)
x3 − x2
,
deducem ln |x1| = − ln |x2 − x3|+ ln |c2|, de unde x1(x2 − x3) = c2. Din
dx1
x1
= −d(z − x3)
z − x3
deducem x1(z − x3) = c3. Solutia este functia z, definita implicit de
F
(x2 + x3 + z
x21
, x1(x2 − x3), x1(z − x3)
)= 0.
Problema Cauchy. Cazul n=2 Se considera ecuatia
P (x, y, z)∂z
∂x+ Q(x, y, z)
∂z
∂y= R(x, y, z). (2.35)
Problema Cauchy revine la determinarea suprafetei z = z(x, y) care contine curbadata parametric
(Γ)
x = f(s)y = g(s)z = h(s)
s ∈ I, (2.36)
unde f, g, h sunt functii de clasa C1(I), I ⊂ R si f ′2 + g′2 + h′2 6= 0.
Teorema 2.5.1 Presupunem ca P 2 + Q2 6= 0 pe un domeniu din R2 si
∆ =
∣∣∣∣P Qf ′ g′
∣∣∣∣ 6= 0, ∀s ∈ I. (2.37)
Atunci problema Cauchy (2.35) , (2.36) are solutie unica definita ıntr-o vecinatatea curbei Γ.
De multe ori curba Γ din problema Cauchy este data sub forma{
g1(x, y, z) = 0g2(x, y, z) = 0
46 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
unde g1, g2 sunt functii de clasa C1 pe D ⊂ R3, cu matricea iacobianaD(g1, g2)
D(x, y, z)de rang 2. Pentru determinarea practica a suprafetei atasam un sis-
tem de forma
U1(x, y, z) = c1
U2(x, y, z) = c2
g1(x, y, z) = 0g2(x, y, z) = 0,
care exprima faptul ca prin orice punct de pe curba trece o solutie a sistemuluicaracteristic. Prin eliminarea necunoscutelor x, y, z se obtine o legatura ıntre in-tegralele prime, de forma
ψ(c1, c2) = 0
care reprezinta conditia de comaptibilitate si conduce la o solutie sub forma im-plicita.
Exemplul 2.5.3 Sa determinam suprafata data de ecuatia
2xz∂z
∂x+ 2yz
∂z
∂y+ x2 + y2 − z2 = 0
si care contine curba Γ
{x = 2y2 + z2 = y.
Solutie Sa aflam mai ıntai curbele caracteristice, adica solutiile sistemului simetric
dx
2xz=
dy
2yz=
dz
z2 − x2 − y2.
Deducemd(x2 + y2 + z2)
2z(x2 + y2 + z2)=
dx
2xz, de unde gasim x2 + y2 + z2 = c1x. Din
primele doua rapoarte rezulta imediat y = xc2. Pentru reprezentarea parametrica
a curbei de forma
x = 1y = yz = h(y)
, determinantul definit ın formula (2.37) ∆ =
∣∣∣∣2xz 2yz0 1
∣∣∣∣ rezulta nenul, daca pe domeniul ales z 6= 0. Apoi formam sistemul
y = c2xx2 + y2 + z2 = c1xx = 2y2 + z2 = y.
2.5. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I 47
Eliminand necunoscutele x, y, z se obtine conditia de compatibilitate c2−c1+2 =0, care conduce la x2 + y2 + z2 − y − 2x = 0.
2.5.1 Probleme propuseRezolvati urmatoarele ecuatii cu derivate partiale de ordinul I omogene:
2.1 y∂u
∂x− x
∂u
∂y= 0
2.2 (1 + x2)∂u
∂x+ xy
∂u
∂y= 0
2.3 z∂u
∂x+ (x− z)2∂u
∂y+ x
∂u
∂z= 0
2.4 x∂u
∂x+ y
∂u
∂y+ (x + y)
∂u
∂z= 0
2.5 x(y2 − z2)∂u
∂x− y(x2 + z2)
∂u
∂y+ z(x2 + y2)
∂u
∂z= 0
2.6 x(y − z)∂u
∂x+ y(z − x)
∂u
∂y+ z(x− y)
∂u
∂z= 0
2.7 x∂u
∂x+ y
∂u
∂y− z2∂u
∂z= 0
2.8 x∂u
∂x+ y
∂u
∂y+
√x2 + y2
z
∂u
∂z= 0
2.9 x∂u
∂x+ y
∂u
∂y+ (x + y + z)
∂u
∂z= 0
2.10 x1∂u
∂x1
− 2x2∂u
∂x2
− x3∂u
∂x3
= 0
2.11 (x3x4 − x1x22)
∂u
∂x1
+ x2x3∂u
∂x2
+ x23
∂u
∂x3
+ x3x4∂u
∂x4
=0
2.12 x1∂u
∂x1
+ x2∂u
∂x2
+ . . . + xn∂u
∂xn
= 0
2.13 a1∂u
∂x1
+ a2∂u
∂x2
+ . . . + an∂u
∂xn
=0, ai ∈ R
48 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
2.14 x21
∂u
∂x1
+ x22
∂u
∂x2
+ . . . + x2n
∂u
∂xn
= 0,.
Determinati solutia generala a ecuatiilor cvasiliniare, sau reductibile laecuatiii cvasiliniare:
2.15 2y∂z
∂x+ 3x2 ∂z
∂y+ 6x2y = 0
2.16 y∂z
∂x+ yz
∂z
∂y= −1− z2
2.17 (y + x)∂z
∂x+ (y − x)
∂z
∂y= z
2.18 2xz∂z
∂x+ 2yz
∂z
∂y= z2 − x2 − y2
2.19 xz∂z
∂x+ yz
∂z
∂y= x
2.20 u∂u
∂x+ (u2 − x2)
∂u
∂y= −x
2.21 z∂z
∂x− z
∂z
∂y= y − x
2.22 xz∂z
∂x+ yz
∂z
∂y= x
2.23 x∂z
∂x+ y
∂z
∂y=
√x2 + y2
2.24 xz∂z
∂x+ yz
∂z
∂y= −xy
2.25 x∂u
∂x− y
∂u
∂y+ z
∂u
∂z= u
2.26 x(y − z)∂u
∂x+ y(z − x)
∂u
∂y+ z(x− y)
∂u
∂z= u(y − z)
2.27 (1 +√
u− x1 − x2)∂u
∂x1
+∂u
∂x2
= 2
2.28 x∂u
∂x+ y
∂u
∂y+ z
∂u
∂z= x2 + 2u
2.5. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I 49
2.29 x1∂u
∂x1
+ . . . + xn∂u
∂xn
= ku.
Determinati suprafetele z = z(x, y) care includ curbele indicate:
2.30 x∂z
∂x− y
∂z
∂y= z, (Γ) : x = y, z = x2
2.31 x2 ∂z
∂x− xy
∂z
∂y+ y2 = 0, (Γ) : y = 1, z = x2
2.32 xy2 ∂z
∂x+ x2y
∂z
∂y= z(x2 + y2), (Γ) : y = 1, x2 + z2 = 1
2.33 (x− y)∂z
∂x− y
∂z
∂y= z, (Γ) : x = y, z = x2
2.34 (1 +√
z − x− y)∂z
∂x+
∂z
∂y= 2, (Γ) : x = y, z = 0
2.35 (cy − bz)∂z
∂x+ (az − cx)
∂z
∂y= bx− ay, a, b, c ∈ R (Γ) : x = y = z
2.36 (y − z)∂z
∂x− (y − 1)
∂z
∂y= z − 1, (Γ) : x = 1, z = y2
2.37 (y2 + z2 − x2)∂z
∂x− 2xy
∂z
∂y= −2xz, (Γ) : x = 1, y2 + z2 = 2.
Rezolvati problemele Cauchy:
2.38 x∂z
∂x+ 2y
∂z
∂y= 0, z(1, y) = 1 + y
2.39 (x + y)∂z
∂x+ (x− y)
∂z
∂y= 0, z(x, 0) = −x2
2.40√
x∂u
∂x+√
y∂u
∂y+√
z∂u
∂z= 0, u(x, y, 1) = x− y
2.41 x∂z
∂x+ y
∂z
∂y= z, z|{x2+y2=1} = x
2.42 x∂u
∂x− y
∂u
∂y+ z
∂u
∂z= x2, u(1, y, z) = y2 − z
50 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE
2.43 x(y2 − z2)∂u
∂x− y(x2 + z2)
∂u
∂y+ z(x2 + y2)
∂u
∂z= u(x2 + y2),
u(x, y, 1) = y2
2.44 2x3∂u
∂x+ (y3 + 3x2y)
∂u
∂y+ 2x2z
∂u
∂z= ux2, u(1, y, z) = y2 + z
2.45 (x−√
x2 + y2 + z2)∂u
∂x+ y
∂u
∂y+ z
∂u
∂z= u, u(x, y, 1) = x2
2.46 2xz ∂z∂x
+ 2yz ∂z∂y
= z2 − x2 − y2, z(x, 1, z) = x
2.47 x∂u
∂x− y
∂u
∂y= u, u|{x=y} = x3
2.48 xz∂z
∂x+ yz
∂z
∂y= −xy, z(x, 2) = x.