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Introducción
Capítulo 0
En nombre de Dios, clemente y misericordioso.
Alabado sea el omnipotente, creador de los mundos.
La misericordia es en Dios el atributo supremo.
Nosotros te adoramos Señor, e invocamos tu divina asistencia.
Llévanos por el camino cierto.
Por el camino de aquellos esclarecidos y bendecidos por ti.
El Corán.
Nota: A continuación exponemos algunos conceptos que serán usuales en el presente
tratado. Posteriormente daremos una definición más técnica de los mismos sin eliminar
del todo los conceptos que aquí presentamos.
–Definición: Es un enunciado que expone con claridad y precisión los caracteres de una
cosa.
Ejemplo: Triángulo es cualquier porción del plano, no nula, limitada por tres rectas,
ninguna de ellas paralela entre sí.
Nota: La definición expresa una noción compleja mediante la enumeración de las
nociones más simples que la integran. Por eso se dice que los objetos representados por
las nociones intuitivas no son definibles, por no existir nociones previas que las integren.
Una característica de la matemática moderna consiste en evitar la definición de conceptos
que tienen poco o ningún sentido. Así, por ejemplo, las definiciones tan conocidas de
Euclides1: “punto es lo que no tiene partes”, “línea es una longitud sin anchura”, etc., se
basan en conceptos (“partes” y “anchura”) cuya definición es más compleja de lo que se
trata de definir.
–Términos Primitivos: También llamados intuitivos, son los términos (palabras) que no
se definen. Todos los demás términos técnicos de cierto discurso se definen
explícitamente mediante los términos primitivos.
Ejemplos: Los conceptos de “punto”, “línea”, “verdad” y “falsedad” se consideran
términos primitivos (al menos para la mayoría de los discursos matemáticos).
Nota: Recordemos que en cualquier discurso lógico, en un intento de que sea claro, se
tratan de definir explícitamente los elementos del discurso, las relaciones entre estos
elementos y las operaciones que han de realizarse con ellos. No obstante, dichas
definiciones han de emplear otros elementos, relaciones y operaciones, y éstos también
están sujetos a definiciones explícitas. Si estos se definen, lo tienen que ser nuevamente
con referencia a más elementos, relaciones y operaciones. Tenemos dos caminos abiertos:
o bien la cadena de definiciones ha de cortarse en un punto, o bien tienen que ser circular.
Como la circularidad no se tolera en un discurso lógico, las definiciones deben llevarse a
cerrarse en algún punto; por tanto, es necesario, que a uno o más elementos, relaciones y
1 Estas definiciones de Euclides se hallan en su libro de Geometría, compuesto por doce tomos, llamado
Elementos (escrito alrededor de los 330-320 a. C.)
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operaciones no se les dé definición explícita. Estos son los que precisamente se les
conocen como términos primitivos o intuitivos del discurso.
–Demostración: También llamada prueba, es una sucesión finita de razonamientos,
llamados argumentos de la demostración, los cuales se hallan eslabonados mediante
reglas bien definidas, los cuales se hallan eslabonados mediante reglas bien definidas,
llamadas reglas de inferencia o reglas de deducción, en donde los razonamientos
iniciales (o el razonamiento inicial, según sea el caso) son conocidos como hipótesis, en
tanto que el razonamiento final, tesis. Una demostración vacía o demostración nula es la
demostración que no posee razonamiento alguno, es decir, es la sucesión de
razonamientos que no posee elementos.
Ejemplo: Supóngase que sea desea probar el siguiente enunciado:
La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º.
Demostración:
Argumento 1 (hipótesis): Considérese un triángulo cualquiera ABC, como el que aparece
en la figura.
Argumento 2: Ya que dos rectas paralelas son aquellas que no tienen punto alguno en
común (Definición de rectas paralelas),
Argumento 3: y puesto que por un punto exterior a una recta sólo puede pasar una única
paralela (postulado de las paralelas, aceptado previamente),
Argumento 4: se sigue que, dado que el punto C es exterior a la recta AB, por C pasa una
única paralela a AB.
Argumento 5: Por otro lado, llamaremos secante a cualquier recta que corte a dos
paralelas (definición de recta secante),
Argumento 6: entonces AC y BC son rectas secantes a las rectas paralelas expuestas
anteriormente.
Argumento 7: Llamaremos ángulo a la porción del plano limitada por dos rectas no–
paralelas, llamados rayos, que se intersectan en un punto llamado vértice (definición de
ángulo entre rectas).
Argumento 8: Llamaremos ángulos congruentes entre paralelas a cualquiera de los
ángulos que forma una secante con la respectiva recta que las corta (definición de ángulos
congruentes).
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Argumento 9: De esa cuenta, α y el ángulo A son congruentes, así como β y B son
congruentes.
Argumento 10: Como los ángulos congruentes entre paralelas con iguales,
Argumento 11: Se sigue que los ángulos A y α, así como B y β, son iguales,
respectivamente, es decir, A y B .
Argumento 12: Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando comparten el mismo
vértice, formando ángulos no consecutivos (es decir, ángulos que no comparten el mismo
rayo).
Argumento 13: De esa cuenta, el ángulo C y γ son opuestos por el vértice.
Argumento 14: Claramente, dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Argumento 15: De esa cuenta, los ángulos C y γ son iguales, es decir, C .
Argumento 16 (tesis): Ya que 180 , se sigue que, 180 BCA , o lo que
es lo mismo, .180 CBA
Nota: En toda demostración de algún enunciado, usaremos la palabra “demostración”
seguida de “:” (dos puntos), para denotarla.
–Axioma: Es un enunciado tan sencillo y evidente que se admite sin demostración, es
decir, su demostración es vacía.
Ejemplos:
El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
El todo es la suma de sus partes.
Nota: Así como se hace un esfuerzo por definir todos los términos, en un discurso, sin
caer en circularidades, así también se debe hacer un esfuerzo por deducir lógicamente los
enunciados de un discurso y, nuevamente, para evitar el círculo vicioso, al inicio, uno o
más enunciados deber permanecer completamente no demostrados. Estos enunciados son
precisamente los axiomas (o enunciados primarios) del discurso.
–Postulado: Es un enunciado no tan evidente como un axioma pero que se admite
también sin demostración, es decir, su demostración es vacía.
Ejemplos:
Hay infinitos puntos.
Por dos puntos pasa una recta y solamente una.
Por un punto exterior a una recta pasa una y solamente una recta paralela a la
primera.
Nota: Un postulado es una “verdad intuitiva” –cualquiera que sea su significado– que
tiene suficiente evidencia para hacer aceptada como tal. La diferencia entre un postulado
y un axioma es bastante sutil: un axioma, es una verdad que es reconocida a primera vista
(sin necesidad de ulteriores explicaciones), mientras que un postulado es una verdad que
para aceptarla es necesario explicarla a través de la exposición de uno o varios ejemplos
que aclaren su significado. Por lo general, para aceptar un postulado es necesario tener
dominio de ciertos conceptos y términos básicos del discurso. En la actualidad, las
palabras “axioma” y “postulado” suelen tratarse como sinónimas dado que, por su
funcionalidad ambas denotan enunciados primarios de un discurso.
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–Teorema: Es un enunciado que puede ser demostrado a partir de axiomas, postulados o
teoremas previos, es decir, es un enunciado cuya demostración es no vacía. La
demostración de un teorema consta de una sucesión de razonamientos que conducen a la
evidencia de la verdad que se quiere demostrar. Todo teorema consta de dos partes:
hipótesis y tesis. La hipótesis es la suposición que se da por sentado en el teorema, es lo
que se supone válido dentro del mismo. La tesis es la conclusión del teorema, es lo que se
quiere demostrar a partir de la hipótesis del mismo.
Ejemplo: La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos ángulos rectos2 (o
simplemente dos rectos).
La hipótesis y la tesis de este teorema pueden enunciarse así:
HIPÓTESIS: Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo dado.
TESIS: La suma de los ángulos A, B y C es dos rectos. Esto es, si R denota un ángulo
recto3, .2RCBA
Nota: En la demostración se utilizan los conocimientos adquiridos hasta el momento,
enlazados de una manera lógica. Un teorema, es pues, una “verdad” –cualquiera que sea
su significado– no evidente, pero demostrable. Tanto el teorema como el postulado (así
como el axioma) tienen una parte condicional (hipótesis) y una conclusión (tesis), que se
supone se cumple, en caso de tener validez la hipótesis. En el postulado, así como en el
axioma, este cumplimiento se acepta tácitamente. En el teorema es necesaria la
demostración, que consiste en una serie de razonamientos eslabonados, los cuales se
apoyan en propiedades intuitivas (postulados, axiomas), en otros teoremas ya
demostrados o en ambos. Básicamente, un teorema se distingue de un axioma o un
postulado por el hecho de que su demostración no es vacía.
–Corolario: Es un teorema que se deduce de un teorema previamente demostrado, como
consecuencia del mismo.
Ejemplo: Del teorema
“la suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos rectos”,
se deduce el siguiente corolario:
“la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es un recto”.
Nota: Un corolario es pues un enunciado que se deriva como consecuencia, siempre de
otro teorema previamente demostrado.
–Teorema Recíproco o Converso: Es un teorema cuya hipótesis y tesis son,
respectivamente, la tesis y la hipótesis de un teorema que, en este caso, se llama teorema
directo.
Ejemplo: El recíproco (converso) del teorema
“la suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos rectos”
Es
“si la suma de los ángulos interiores de un polígono4 es dos rectos, el polígono es un
triángulo”
2 Aquí equivale a 180º.
3 Un ángulo recto es un ángulo de 90º.
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La hipótesis y tesis del recíproco son, respectivamente:
HIPÓTESIS: Sea un polígono cuyos ángulos interiores suman dos ángulos rectos.
TESIS: El polígono es un triángulo.
Nota: No todo recíproco es verdadero, de esa cuenta, no todo recíproco es teorema.
–Lema: Es un teorema que debe anteponerse a otro por ser necesario para la
demostración de este último. Es como un teorema preliminar a otro que se considera más
importante.
Ejemplo: Para demostrar el volumen de una pirámide se tiene que demostrar antes el
lema que dice “un prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros
equivalentes”.
Nota: Un lema es un teorema que sirve a la demostración de otro teorema. Actualmente
se ha prescindido bastante del uso de la palabra lema y se le suele llamar teorema o bien,
teorema preliminar.
–Escolio: Es una nota, advertencia u observación que se hace sobre un teorema
previamente demostrado, o bien acerca de alguna cuestión matemática cualquiera.
Ejemplo: Después de demostrar el teorema que dice: “en una misma circunferencia o en
circunferencias iguales, a mayor arco corresponde mayor cuerda (considerando arcos
menores que una semicircunferencia)”, se podría añadir como escolio: “si no se
consideran arcos menores que una semicircunferencia, a mayor arco corresponde menor
cuerda”.
Nota: Actualmente apenas se usa la palabra “escolio” por sustituto de observación o nota.
En nuestro estudio a desarrollar, tomaremos como conceptos primitivos (intuitivos) los
conceptos de verdadero y falso.
4 Polígono es una región del plano, no nula, delimitada por cuatro o más rectas, no todas paralelas entre sí.