DIMENSIONAMENTO DE ESTACAS
SOB AÇÕES SÍSMICAS
Carlos Manuel Fernando Lagareiro
Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Orientadores: Prof. Doutor Jaime Alberto dos Santos e Prof. Doutor Mário Manuel
Paisana dos Santos Lopes
Júri
Presidente: Prof. Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro
Orientador: Prof. Doutor Jaime Alberto dos Santos
Vogais: Prof. Doutor Rui Pedro Carrilho Gomes e Doutor António José Brazão de
Brito
Junho 2015
i
Resumo
Nesta dissertação estuda-se o comportamento de estacas sob ações sísmicas, relativamente ao
efeito de interação cinemática solo-estaca, tendo em conta o comportamento não linear do
solo e da estaca.
Considera-se o comportamento não linear dos materiais com base no desenvolvimento de um
método iterativo que utiliza dois programas computacionais diferentes, através dos quais é
possível definir todas as condições do problema.
Investiga-se um caso prático correspondente a uma estaca isolada atravessando uma formação
aluvionar com base num estudo paramétrico relativamente ao dimensionamento da estaca,
através da consideração de diferentes valores do diâmetro da estaca, da percentagem de
armadura longitudinal e de armadura de confinamento.
Verifica-se que o campo de deslocamentos do campo livre e da estaca mantêm o mesmo
andamento em altura, excepto na transição entre camadas. Nessas zonas existe um ajuste face
à variação brusca do campo de deslocamentos do solo devido à presença da estaca.
Constata-se que os esforços a que a estaca fica sujeita em regime não linear são bastante
inferiores aos valores obtidos considerando a mesma com comportamento linear.
Tendo em conta que a verificação de segurança de estacas sujeitas a deslocamentos impostos
deve ser realizada controlando diretamente grandezas cinemáticas, chega-se à conclusão que,
com base no valor da distorção média da estaca, o cenário correspondente a uma estaca
isolada apresenta uma capacidade de deformação muito elevada, podendo à partida acomodar
campos de deslocamentos impostos pelo solo devido à ação sísmica associados a valores de
distorção do solo muito elevados.
Palavras chave: estacas sob ações sísmicas; interação cinemática solo-estaca; análise não
linear; deslocamentos impostos; confinamento; ductilidade.
iii
Abstract
In this thesis, the response of seismic loaded piles relative to the kinematic soil-pile
interaction is studied considering soil and pile nonlinear behavior.
The materials nonlinear behavior is simulated using an iterative method which considers two
different software programs, in which it is possible to define all the problem’s conditions.
A practical case is studied considering an isolated pile crossing a alluvial formation based on
a parametric study relating to the design of the pile, considering different pile diameters,
percentages of longitudinal reinforcements and confinement reinforcements.
It was found that the displacements field of the pile and of the free field are very close along
the height, except between layer transitions. In these areas there is an adjustment relating to
the abrupt change in the displacements field of the free field, due to the presence of the pile.
It was found that the stresses on the pile in a non linear approach are lower than in a linear
one.
Given that the safety verification of piles subjected to imposed displacements must be done
with direct control of the kinematic quantities it was deduced that in the case of a single pile,
based on the pile’s average shear strain, the ductility is high and has the ability to
accommodate ground movements, even for the transition zones in which the soil exhibit high
shear strain under seismic actions.
Key words: seismic loaded piles; kinematic soil-pile interaction; nonlinear analysis; imposed
displacements; confinement; ductility.
v
Índice Geral
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1
2. ANÁLISE DO EFEITO DE INTERAÇÃO CINEMÁTICA SOLO-ESTACA ................. 5
2.1. Introdução .................................................................................................................... 5
2.2. Modelos simplificados ................................................................................................. 5
2.2.1. Resposta sísmica do terreno ................................................................................. 6
2.2.2. Modelo de interação proposto por Soulomiac [1986] .......................................... 9
2.2.3. Modelo de interação proposto por Mineiro [1988] e [2000] .............................. 12
2.2.4. Validade dos modelos simplificados .................................................................. 13
2.2.4.1. Modelo elástico contínuo tridimensional .................................................... 14
2.2.4.2. Modelo discreto .......................................................................................... 20
2.3. Modelos rigorosos ..................................................................................................... 23
2.3.1. Modelo BDWF para estaca isolada .................................................................... 24
2.3.1.1. Descrição do modelo e soluções analíticas correspondentes ...................... 24
2.3.1.2. Módulo de reação das molas ....................................................................... 29
2.3.1.3. Amortecimento histerético do solo e amortecimento por radiação ............ 30
2.3.2. Validação do modelo BDWF recorrendo a uma análise modal 3-D pelo método
dos elementos finitos ......................................................................................................... 32
2.3.2.1. Amortecimento modal considerado ............................................................ 33
2.3.2.2. Resolução do problema da radiação nas fronteiras laterais ....................... 37
2.3.2.3. Resultados da análise modal e comparação com o modelo BDWF ............ 38
2.4. Conclusões ................................................................................................................. 40
3. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS DE BETÃO ARMADO SUJEITOS A
DESLOCAMENTOS IMPOSTOS .......................................................................................... 43
3.1. Introdução .................................................................................................................. 43
3.2. Relações constitutivas dos materiais - Comportamento monotónico ........................ 43
3.2.1. Aço ..................................................................................................................... 44
3.2.2. Betão ................................................................................................................... 47
3.2.2.1. Pressão de confinamento (para secções circulares) .................................... 49
3.2.2.2. Extensão última do betão confinado ........................................................... 53
3.3. Definição do efeito da ação em termos de grandezas cinemáticas vs. grandezas
estáticas ................................................................................................................................. 55
3.4. Fatores que influenciam a capacidade de deformação .............................................. 57
vi
3.4.1. Introdução ........................................................................................................... 57
3.4.2. Capacidade resistente do material ...................................................................... 60
3.4.3. Resistência à tração do betão ............................................................................. 60
3.4.4. Esforço axial ....................................................................................................... 62
3.4.5. Declive do ramo descendente da relação constitutiva do betão confinado ........ 63
3.5. Conclusões ................................................................................................................. 63
4. APLICAÇÕES COMPUTACIONAIS UTILIZADAS .................................................... 65
4.1. Introdução .................................................................................................................. 65
4.2. CINEMAT ................................................................................................................. 65
4.2.1. Introdução ........................................................................................................... 65
4.2.2. Implementação do modelo BDWF num programa de elementos finitos ........... 66
4.2.2.1. Modelo de propagação unidimensional da ação sísmica ............................ 66
4.2.2.2. Breve descrição do método de resolução numérica utilizado (domínio da
frequência) .................................................................................................................... 69
4.2.3. Método da resposta complexa no domínio do tempo ......................................... 73
4.2.4. Comportamento não linear do solo - Método linear equivalente ....................... 75
4.3. PIER........................................................................................................................... 77
4.3.1. Introdução ........................................................................................................... 77
4.3.2. Definição das secções transversais ..................................................................... 78
4.3.2.1. Introdução ................................................................................................... 78
4.3.2.2. Determinação dos elementos de redução .................................................... 80
4.3.2.3. Cálculo da matriz de rigidez secante .......................................................... 83
4.3.3. Formulação matemática dos elementos finitos .................................................. 86
4.3.3.1. Introdução ................................................................................................... 86
4.3.3.2. Elemento finito de barra de eixo reto e rigidez variável ............................. 87
4.3.3.3. Elemento finito de barra completo .............................................................. 92
4.3.4. Análise linear ...................................................................................................... 93
4.3.5. Análise não linear ............................................................................................... 94
5. CASO DE ESTUDO DE UMA ESTACA ISOLADA ATRAVESSANDO UMA
FORMAÇÃO ALUVIONAR ................................................................................................ 101
5.1. Introdução ................................................................................................................ 101
5.2. Modelo geotécnico .................................................................................................. 101
5.3. Dimensionamento da estaca - Estudo paramétrico .................................................. 104
5.3.1. Introdução ......................................................................................................... 104
vii
5.3.2. Diâmetro da estaca ........................................................................................... 104
5.3.3. Armadura longitudinal ..................................................................................... 105
5.3.4. Armadura transversal ....................................................................................... 107
5.3.5. Definição dos diferentes cenários de estudo .................................................... 109
5.4. Análise das secções transversais consideradas ........................................................ 111
5.4.1. Introdução ......................................................................................................... 111
5.4.2. Propriedades dos materiais ............................................................................... 112
5.4.3. Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções .................................. 113
5.4.4. Relação Momentos-Curvaturas das secções .................................................... 116
5.4.5. Análise e comparação dos resultados obtidos .................................................. 128
5.5. Ações consideradas .................................................................................................. 129
5.5.1. Introdução ......................................................................................................... 129
5.5.2. Ação sísmica .................................................................................................... 130
5.5.3. Tensão normal na cabeça da estaca .................................................................. 131
5.6. Metodologia de análise e apresentação dos resultados ............................................ 131
5.6.1. Discretização do problema ............................................................................... 131
5.6.2. Descrição do processo iterativo desenvolvido ................................................. 132
5.6.3. Resultados obtidos em todos os cenários ......................................................... 135
5.6.4. Análise do caso mais desfavorável ................................................................... 138
5.6.5. Estimativa dos critérios de cedência e rotura ................................................... 141
5.7. Análise conjunta dos principais resultados .............................................................. 144
6. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ............................................. 147
6.1. Conclusões finais ..................................................................................................... 147
6.2. Recomendações e desenvolvimentos futuros .......................................................... 150
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 153
ix
Índice de Figuras
Figura 2.1 - Resposta sísmica em corte simples de uma camada elástica .................................. 6
Figura 2.2 - Deformada da estaca ............................................................................................. 10
Figura 2.3 - Diagrama de esforços: (a) deslocamento u=y; (b) tensão p; (c) esforço transverso
V; e (d) momento fletor M ............................................................................................... 12
Figura 2.4 - Modelação da estaca e do solo envolvente por elementos finitos ........................ 14
Figura 2.5 - Cenário de estudo ................................................................................................. 15
Figura 2.6 - Malha de elementos finitos ................................................................................... 15
Figura 2.7 - Resultados obtidos pelo programa de análise dinâmica [Santos, 1999]: (a)
deformada; e (b) diagrama de momentos fletores ............................................................ 16
Figura 2.8 - Relação em função do diâmetro da estaca (d) [Santos, 1999] ................... 18
Figura 2.9 - Relação em função do parâmetro adimensional (L) [Santos, 1999] ....... 19
Figura 2.10 - versus [Santos, 1999] ................................................................ 20
Figura 2.11 - Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação do momento fletor à
cabeça da estaca [Santos, 1999] ....................................................................................... 22
Figura 2.12 – Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação do deslocamento à
cabeça da estaca [Santos, 1999] ....................................................................................... 22
Figura 2.13 – Modelo BDWF .................................................................................................. 24
Figura 2.14 – Modelo de Flores-Berrones e Whitman [1982] ................................................. 25
Figura 2.15 - Modelo de radiação bidimensional [Gazetas e Dobry, 1984a] ........................... 31
Figura 2.16 - Valores de D para os diferetnes tipos de amortecimento (ξ=5%) [Santos, 1999]
.......................................................................................................................................... 35
Figura 2.17 - Valores de D para os diferetnes tipos de amortecimento (ξ=10%) [Santos, 1999]
.......................................................................................................................................... 36
x
Figura 2.18 - Valores de D para os diferetnes tipos de amortecimento (ξ=20%) [Santos, 1999]
.......................................................................................................................................... 36
Figura 2.19 – Zona perturbada pela presença da estaca [Santos, 1999] ................................... 38
Figura 2.20 – Valores de Iu em função de [Santos, 1999] ............................................. 39
Figura 2.21 – M0 normalizado em função de [Santos, 1999] ........................................ 40
Figura 3.1 - Relação constitutiva monotónica do aço [Pipa, 1993] ......................................... 45
Figura 3.2 - Relação constitutiva monotónica do betão [Mander et al., 1988] ........................ 47
Figura 3.3 - Núcleo efetivamente confinado para secções circulares [Brito, 2011] ................ 50
Figura 3.4 - Modelo de viga bi-encastrada [Brito, 2011] ......................................................... 55
Figura 3.5 - Diagramas de extensões e tensões da secção transversal [Brito, 2011] ............... 56
Figura 3.6 - Secção transversal circular (adaptado de Brito [2011]) ....................................... 58
Figura 3.7 - Relações constitutivas do aço e do betão [Brito, 2011] ........................................ 59
Figura 3.8 - Relação constitutiva trilinear do aço .................................................................... 61
Figura 4.1 – Nomenclatura para o modelo de propagação vertical das ondas de corte
(adaptado de Kramer [1996]) ........................................................................................... 66
Figura 4.2 - Análise não linear para forças aplicadas à estrutura [Brito, 2011] ....................... 95
Figura 4.3 - Viga biencastrada com deslocamento imposto no topo ....................................... 95
Figura 4.4 - Momento de encastramento em função do deslocamento imposto no topo [Brito,
2011]................................................................................................................................. 96
Figura 4.5 - Sequência de aplicação de ações [Brito, 2011] .................................................... 97
Figura 4.6 - Mudança de referencial num elemento finito [Brito, 2011] ................................. 99
Figura 4.7 - Rigidez secante correspondente ao estado de tensão instalado na secção [Brito,
2011].................................................................................................................................84
Figura 4.8 - Esforços generalizados do elemento finito de barra..............................................87
Figura 4.9 - Variáveis do problema: (a) estáticas; e (b) cinemáticas........................................88
xi
Figura 4.10 - Elemento finito de barra......................................................................................91
Figura 4.11 - Elemento finito de barra completo [Brito, 2011]................................................93
Figura 4.12 - Análise não linear para forças aplicadas à estrutura [Brito, 2011]......................95
Figura 4.13 - Viga biencastrada com deslocamento imposto no topo......................................95
Figura 4.14 - Momento de encastramento em função do deslocamento imposto no topo [Brito,
2011].................................................................................................................................96
Figura 4.15 - Sequência de aplicação de ações [Brito, 2011]...................................................97
Figura 4.16 - Mudança de referencial num elemento finito [Brito, 2011]................................99
Figura 5.1 - Modelo geotécnico considerado (adaptado de Santos [1999]) ........................... 102
Figura 5.2 - Curva não linear G/G0-γ dos solos A e B (adaptado de Santos [1999]) ............. 103
Figura 5.3 - Curva não linear ξ-γ dos solos A e B (adaptado de Santos [1999]) ................... 104
Figura 5.4 - Definição da armadura longitudinal ao longo do fuste da estaca ....................... 105
Figura 5.5 - Definição da armadura transversal ao longo do fuste da estaca ......................... 108
Figura 5.6 - Definição das secções transversais ao longo do fuste da estaca para cada
Análise_ijk ..................................................................................................................... 110
Figura 5.7 - Discretização de uma secção transversal no FLEXÃO ...................................... 111
Figura 5.8 - Relação constitutiva do betão confinado (Secção i da Análise_222) ................. 114
Figura 5.9 - Relação constitutiva do aço (Secção i da Análise_222) ..................................... 115
Figura 5.10 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=0.6%) ........................................................................................ 117
Figura 5.11 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=1.9%) ........................................................................................ 118
Figura 5.12 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=3.1%) ........................................................................................ 118
xii
Figura 5.13 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=0.6%) ........................................................................................ 119
Figura 5.14 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=1.9%) ........................................................................................ 119
Figura 5.15 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=3.1%) ........................................................................................ 120
Figura 5.16 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=0.6%) ........................................................................................ 120
Figura 5.17 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=1.9%) ........................................................................................ 121
Figura 5.18 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=3.1%) ........................................................................................ 121
Figura 5.19 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=0.6%) ........................................................................................ 122
Figura 5.20 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=1.9%) ........................................................................................ 122
Figura 5.21 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=3.1%) ........................................................................................ 123
Figura 5.22 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=0.6%) ....................................................................................... 123
Figura 5.23 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=1.9%) ....................................................................................... 124
Figura 5.24 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=3.1%) ....................................................................................... 124
xiii
Figura 5.25 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=0.6%) ....................................................................................... 125
Figura 5.26 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=1.9%) ....................................................................................... 125
Figura 5.27 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=3.1%) ....................................................................................... 126
Figura 5.28 -Acelerograma correspondente ao Sismo de Kobe (1995) ................................. 130
Figura 5.29 - Discretização do problema (adaptado de Santos [1999]) ................................. 132
Figura 5.30 - Esquematização do processo iterativo desenvolvido ....................................... 134
Figura 5.31 - Campo de deslocamentos (absolutos) do campo livre e da estaca referente à
Análise_313 .................................................................................................................... 139
Figura 5.32 - Momentos fletores da estaca para a Análise_313 ............................................. 140
Figura 5.33 - Perfil de curvaturas referente à Análise_313 .................................................... 141
Figura 5.34 - Campo de deslocamentos relativos da estaca referente à Análise_313 ............ 142
Figura 5.35 - Detalhe da transição entre as camadas A e B - suavização do perfil de
deslocamentos ................................................................................................................ 144
xv
Índice de Quadros
Quadro 2.1 - Comparação dos resultados obtidos .................................................................... 17
Quadro 2.2 - Parâmetros utilizados no estudo paramétrico ..................................................... 17
Quadro 2.3 – Aplicação da formulação analítica ..................................................................... 20
Quadro 3.1 - Parâmetros das relações constitutivas do aço e do betão [Brito, 2011]...............59
Quadro 3.2 - Curvaturas na secção da base da coluna [Brito, 2011]........................................62
Quadro 4.1 - Campos de esforços relativos a cada um dos esforços independentes ................ 90
Quadro 4.2 - Campos de esforços relativos aos carregamentos de vão mais relevantes..........91
Quadro 5.1 - Propriedades geotécnicas do terreno [Santos, 1999].........................................103
Quadro 5.2 - Armadura longitudinal adotada para d=0.50m..................................................106
Quadro 5.3 - Armadura longitudinal adotada para d=0.80m..................................................106
Quadro 5.4 - Armadura longitudinal adotada para d=1.30m..................................................106
Quadro 5.5 - Armadura transversal adotada para d=0.50m ................................................... 108
Quadro 5.6 - Armadura transversal adotada para d=0.80m ................................................... 109
Quadro 5.7 - Armadura transversal adotada para d=1.30m ................................................... 109
Quadro 5.8 - Análise_321 d=1.30m .................................................................................. 110
Quadro 5.9 - Propriedades do Betão C20/25 .......................................................................... 112
Quadro 5.10 - Propriedades do Aço A500 das armaduras de confinamento ......................... 112
Quadro 5.11 - Propriedades do Aço A500 das armaduras de flexão ..................................... 112
Quadro 5.12 - Análise_222 / Secção i (d=0.80m) .................................................................. 113
Quadro 5.13 - Parâmetros da relação constitutiva do betão confinado (Secção i da
Análise_222) .................................................................................................................. 113
Quadro 5.14 - Parâmetros da relação constitutiva do aço das armaduras de flexão (Secção i da
Análise_222) .................................................................................................................. 114
Quadro 5.15 - Extensão última do betão confinado (εcu) para d=0.50m ................................ 115
xvi
Quadro 5.16 - Extensão última do betão confinado (εcu) para d=0.80m ................................ 116
Quadro 5.17 - Extensão última do betão confinado (εcu) para d=1.30m ................................ 116
Quadro 5.18 - Esforço normal para cada diâmetro ................................................................ 117
Quadro 5.19 - Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções para d=0.50m ......... 127
Quadro 5.20 - Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções para d=0.80m ......... 127
Quadro 5.21 - Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções para d=1.30m ......... 128
Quadro 5.22 - Força vertical aplicada na cabeça da estaca para cada diâmetro..................... 131
Quadro 5.23 - Resultados das análises para d=0.50m ............................................................ 135
Quadro 5.24 - Resultados das análises para d=0.80m ............................................................ 136
Quadro 5.25 - Resultados das análises para d=1.30m ............................................................ 137
Quadro 5.26 - Valor mais elevado de
e para cada diâmetro .................... 138
Quadro 5.27 - Resultados referentes à Análise_313 .............................................................. 143
Quadro 5.28 - Estimativa do critério de cedência ( ) .................................................. 143
Quadro 5.29 - Estimativa do critério de rotura ( ) ...................................................... 143
1
1. INTRODUÇÃO
A interação solo-estaca sob ações sísmicas é um problema complexo que tem despertado
bastante interesse no domínio da investigação nas últimas décadas. Na bibliografia
encontram-se muitas referências a danos em estacas provocados pela ação sísmica, devido não
só às forças de inércia provenientes da superestrutura, como também devido às curvaturas
elevadas impostas pelo terreno. Enquanto que o problema associado às forças de inércia está
bem estudado, o problema correspondente ao efeito de interação cinemática solo-estaca não
tem cativado tanto a atenção de investigadores.
Desta forma, pretende-se com esta dissertação contribuir para o desenvolvimento do estudo
do efeito da ação sísmica no dimensionamento de estacas com base na interação cinemática
solo-estaca, tendo em conta o comportamento não linear do solo, bem como a não linearidade
do betão armado das estacas.
Em termos gerais, a dissertação aborda dois grandes temas. Um referente ao comportamento
do solo sob a ação sísmica e à análise do efeito de interação cinemática solo-estaca, onde são
avaliados os efeitos induzidos nas estacas. E outro sobre o comportamento de elementos de
betão armado sujeitos a deslocamentos impostos, onde a verificação de segurança é definida
em termos de grandezas cinemáticas (deformações). Cada um destes temas tem um peso
relativo idêntico e com um desenvolvimento correspondente a um capítulo teórico e a um
subcapítulo correspondente à descrição da aplicação computacional utilizada neste estudo. A
consolidação dos diferentes conceitos abordados ao longo do trabalho é feita através da
análise de um caso de estudo de uma estaca isolada atravessando uma formação aluvionar,
que põe em prática o método desenvolvido que permite estudar o problema respeitando todas
as condições referidas ao longo desta investigação. Cada capítulo começa com uma breve
introdução dos objetivos e termina com um resumo das principais conclusões.
Após o capítulo introdutório deste trabalho, discute-se no capítulo 2 o efeito de interação
cinemática solo-estaca devido à ação sísmica. Começa-se por fazer referência a alguns
modelos simplificados e respetivas expressões que permitem estimar os efeitos induzidos nas
estacas, dentro do domínio de validade e das hipóteses admitidas. Numa segunda parte, é
descrito de forma detalhada o modelo rigoroso de interação cinemática solo-estaca tido em
2
conta neste estudo, modelo BDWF ("Beam on Dynamic Winkler Foundation"), demonstrando
as suas pontencialidades.
Uma vez avaliados os efeitos induzidos nas estacas devido à ação sísmica com base na
interação cinemática solo-estaca, nomeadamente através do cálculo do campo de
deslocamentos impostos à estaca, estuda-se no capítulo 3 o comportamento de elementos de
betão armado sujeitos a esse tipo de ações impostas. Apresentam-se as relações constitutivas
dos materiais que são consideradas nas análises não lineares efetuadas neste trabalho, que
permitem avaliar a ductilidade das secções e dos elementos de betão armado. É feita a
comparação entre a definição da ação em termos de grandezas cinemáticas e grandezas
estáticas, identificando-se as principais diferenças entre ambas. Termina-se este capítulo
discutindo os conceitos mais relevantes relacionados com a capacidade de deformação de
secções de betão armado.
O capítulo 4 prende-se com a descrição das ferramentas matemáticas utilizadas neste trabalho
que permitiram analisar o problema considerando o comportamento não linear dos materiais.
Deste modo, divide-se em duas partes. A primeira referente ao programa CINEMAT, que
resulta da combinação do modelo BDWF com um modelo de propagação unidimensional das
ondas de corte sísmicas, onde se considera o comportamento não linear do solo através do
método linear equivalente. E a segunda referente ao programa PIER, que permite avaliar a
capacidade de deformação de estruturas reticuladas de betão armado com base em análises
não lineares. Neste capítulo descrevem-se apenas as duas aplicações computacionais
utilizadas de forma isolada, sendo que o processo iterativo desenvolvido com base nas
mesmas é descrito apenas no capítulo 5 aquando das análises efetuadas em relação ao caso de
estudo prático.
O capítulo 5 apresenta um caso de estudo de uma estaca isolada atravessando uma formação
aluvionar. Em primeiro lugar, descreve-se o modelo geotécnico considerado. De seguida, com
base num estudo paramétrico relativamente ao dimensionamento da estaca, com diferentes
valores do diâmetro da estaca, da percentagem de armadura longitudinal e de armadura de
confinamento, é feita uma análise detalhada das diferentes secções transversais de betão
armado consideradas nesta investigação. Uma vez definidas as ações consideradas nas
análises efetuadas e apresentada a discretização do problema, assim como as condições de
fronteira associadas, é descrito o processo iterativo que permitiu estudar o problema
admitindo todas as hipóteses assumidas ao longo do trabalho, nomeadamente a não
3
linearidade do solo e da estaca. O capítulo termina com a apresentação dos diferentes
resultados obtidos e algumas considerações face aos mesmos.
Por fim, no capítulo 6 sumariam-se as principais conclusões deste trabalho e deixam-se
sugestões para desenvolvimentos futuros.
5
2. ANÁLISE DO EFEITO DE INTERAÇÃO CINEMÁTICA SOLO-ESTACA
2.1. Introdução
Durante a atuação de um sismo, os esforços nas estacas são devidos, por um lado, às forças de
inércia da superestrutura e, por outro, ao movimento do solo envolvente. Ao contrário do que
acontece para o primeiro grupo, o efeito de interação entre o solo e a estaca resultante dos
deslocamentos que o terreno impõe à estaca não é, em geral, tido em conta no
dimensionamento estrutural das estacas.
Deste modo, pretende-se neste capítulo fazer referência aos principais modelos desenvolvidos
que permitem estudar o efeito de interação cinemática solo-estaca. Numa primeira parte, são
apresentados alguns modelos simplificados e as respetivas expressões que permitem estimar
os efeitos induzidos nas estacas, dentro do domínio de validade e das hipóteses admitidas.
Numa segunda parte, faz-se referência aos modelos rigorosos, nomeadamente o modelo
discreto dinâmico BDWF ("Beam on Dynamic Winkler Foundation"), onde são demonstradas
as suas potencialidades.
2.2. Modelos simplificados
São descritos neste trabalho dois modelos simplificados de interação cinemática, um proposto
por Soulomiac [1986] e outro proposto por Mineiro [1988 e 2000].
É possível constatar para ambos os modelos que a análise do efeito de interação cinemática
solo-estaca se baseia em duas fases: em primeiro lugar, é necessário determinar a resposta
sísmica do terreno (campo livre) com base numa análise espetral; posteriormente, calculam-se
os esforços induzidos na estaca com base no modelo em causa.
Assim, apresenta-se a seguir o procedimento correspondente a cada um dos modelos
estudados.
6
2.2.1. Resposta sísmica do terreno
A solução analítica que traduz o comportamento em corte simples, de uma camada de terreno
com a superfície uniformente carregada e sujeita à ação sísmica na sua base rígida (ver Figura
2.1), foi deduzida por Ambraseys [1960].
Em função do espectro de aceleração da perturbação sísmica aplicada na base rígida, a
solução geral do problema descrito, em termos de distorções máximas ao longo da camada
elástica, é definida da seguinte forma:
(2.1)
em que:
H = espessura da camada deformável
= velocidade de propagação das ondas de corte
espessura da camada rígida
Figura 1.1 - Resposta sísmica em corte simples de uma camada elástica
Figura 2.1 - Resposta sísmica em corte simples de uma camada elástica
7
peso volúmico da camada rígida
peso volúmico da camada elástica
n = número de ordem do modo de vibração
valor da aceleração espectral associado ao modo de vibração de ordem n
e = coeficientes adimensionais dados por:
(2.2)
(2.3)
Fazendo a integração das distorções obtém-se o deslocamento horizontal relativo do solo, u, a
uma determinada altura, z, da base:
(2.4)
Mineiro [1988], fazendo referência ao trabalho de Ambraseys [1960], demonstrou que, do
ponto de vista prático, se pode considerar apenas a contribuição do modo fundamental para o
cálculo da distorção e do deslocamento, visto que a contribuição dos restantes modos é
pequena. Desta forma, tendo em conta unicamente o primeiro modo de vibração, expressando
o valor de
da equação (2.1) em função da coordenada z e substituindo na equação (2.4),
é possível obter-se, após algumas manipulações matemáticas, o valor do desclocamento:
(2.5)
onde:
(2.6)
(2.7)
8
Para o caso particular de não haver camada rígida no topo da camada deformável, a equação
(2.1) simplifica-se, tomando a forma:
(2.8)
em que, neste caso:
(2.9)
(2.10)
Sabendo que , a expressão (2.8) pode ainda ser escrita em função
da coordenada z:
(2.11)
Desta forma, o deslocamento relativo do solo, u, pode ser calculado por:
(2.12)
ou
(2.13)
em que corresponde ao valor do deslocamento relativo no topo da camada elástica (valor
máximo), dado por:
(2.14)
9
O período fundamental, T, da camada toma, para este caso particular, o valor de:
(2.15)
onde é a frequência própria do primeiro modo de vibração.
2.2.2. Modelo de interação proposto por Soulomiac [1986]
Soulomiac [1986] mostrou que, quando as estacas são de pequeno a médio diâmetro ou
quando a rigidez da massa de solo em movimento for relativamente elevada, se pode admitir
que a estaca acompanha o movimento do solo, sofrendo então os mesmos deslocamentos do
campo livre.
Relativamente à deformada do terreno, ficou provado na seção anterior que, considerando
apenas o modo fundamental, esta segue uma lei sinusoidal, descrevendo 1/4 de uma
sinusoide. Desta forma, a primeira e segunda derivada da função desocamentos anulam-se,
respectivamente, no topo (ponto máximo) e na base (ponto de inflexão).
Considere-se então o problema referente à Figura 2.2, onde é representada uma estaca
suficientemente flexível e com rotação impedida ao nível da sua cabeça. Segundo Soulomiac
[1986], a consideração da deformada (a) indicada na figura parece pouco realista, uma vez
que se gerariam esforços de flexão muito elevados e incomportáveis na zona de ligação da
base da estaca ao substrato rígido. Com isto, o autor propôs que se considerasse a deformada
(b), admitindo a existência de uma rótula na base, seguindo a estaca a mesma lei sinusoidal
correspondente ao campo livre.
10
Admite-se agora que as tensões horizontais no solo se podem obter a partir dos deslocamentos
através de uma constante de proporcionalidade. Desta forma, a estaca fica sob a ação de um
diagrama de tensões com andamento igualmente sinusoidal e valor máximo, , à superfície:
(2.16)
onde representa a reação do solo.
Assim, tendo em conta as condições de equilíbrio, o esforço transverso, V, e o momento
flector, M, a uma profundidade x, são dados por:
(2.17)
e
(2.18)
Por outro lado, pela equação diferencial que rege o comportamento de uma viga elástica,
temos que:
(2.19)
Figura 2.2 - Deformada da estaca
11
onde representa o campo de deslocamentos da estaca e corresponde à rigidez à
flexão da estaca.
Considerando que a estaca acompanha o movimento do campo livre, isto é, y(x) = u(x), a
equação (2.19) passa a ser definida da seguinte forma:
(2.20)
Com isto, eliminando p(x) nas equações (2.18) e (2.20), obtém-se a expressão que permite
calcular o momento flector em função do deslocamento:
(2.21)
Com base na expressão anterior, é fácil constatar que:
(2.22)
e, tendo em conta que , temos que:
(2.23)
Resumindo, na Figura 2.3 são apresentados os diagramas de esforços referentes ao problema
tratado. Da análise da figura, verifica-se que o diagrama de momentos fletores segue também
o mesmo andamento sinusoidal do campo livre de deslocamentos.
12
2.2.3. Modelo de interação proposto por Mineiro [1988] e [2000]
Um outro modelo de interação cinemática solo-estaca (simplificado) foi desenvolvido por
Mineiro [1988]. O autor considerou que a estaca e o solo têm comportamento elástico, e que o
solo pode ser modelado por molas (modelo discreto do tipo Winkler) ou como um meio
contínuo. Deste modo, a capacidade resistente das estacas ao deslocamento sísmico horizontal
é avaliada em duas fases:
primeiramente, considera-se que as estacas são supostamente articuladas na base e na
cabeça, e calcula-se (simplificadamente) o valor da rotação da cabeça, isto é:
(2.24)
em segundo lugar, aplica-se à cabeça da estaca um momento que anule o valor da
rotação calculado no ponto anterior, tendo em conta a interação com o terreno.
O modelo acabado de descrever considera apenas uma condiçao de compatibilidade à cabeça
da estaca, podendo então conduzir, nalguns casos, a resultados sobreestimados. Visto isto, e
com base numa das modelações sugeridas pelo EC8 (versão de 1985, que foi posteriormente
abandonada) que despreza o tipo de interação em causa, aquele autor propôs que o momento
de encastramento da cabeça da estaca fosse calculado pela seguinte expressão [Mineiro,
2000]:
Figura 2.3 - Diagrama de esforços: (a) deslocamento u=y; (b) tensão p; (c) esforço
transverso V; e (d) momento fletor M
13
(2.25)
É importante, em último lugar, fazer-se referência ao facto de se ter em conta o andamento
real da deformada do terreno quando se tem como objetivo estimar os esforços da estaca
devido ao efeito de interação.
Diferentes modelos de interação, conduzem a resultados diferentes. Santos [1999], através de
um exemplo simples de uma estaca embebida numa camada elástica, comparou os resultados
obtidos pelos três modelos descritos anteriormente, chegando à conclusão que o modelo
proposto por Mineiro [1988] conduziu a valores bastante mais desfavoráveis face aos
restantes. Tendo em conta as equações (2.22) e (2.25), concluiu que, relativamente ao modelo
que considera que a estaca acompanha o deslocamento do solo [Soulomiac, 1986] e ao
modelo que não considera o efeito de interação [Mineiro, 2000], os resultados obtivos são
relativamente próximos, apontando uma relação entre eles de .
2.2.4. Validade dos modelos simplificados
Os modelos de interação (simplificados) que foram descritos anteriormente consideram que a
estaca acompanha os movimentos do campo livre. Desta forma, não é possível avaliar a
influência da presença da estaca no que diz respeito aos movimentos do solo em seu redor.
Convém por isso verificar o domínio de validade das formulações analíticas apresentadas e
quais as alterações a ter em conta quando a premissa inicial deixa de ser válida.
Santos [1999] encontrou a resposta a estas duas questões com base na comparação dos
resultados obtidos através do modelo proposto por Soulomiac [1986] e dos resultados obtidos
através de análises tridimensionais, recorrendo ao método dos elementos finitos considerando
o solo como um meio contínuo, e também de análises considerando o solo com base no
modelo discreto do tipo Winkler.
As análises e conclusões referentes a esse trabalho são descritas a seguir.
14
2.2.4.1. Modelo elástico contínuo tridimensional
Para estudar o efeito de interação cinemática solo-estaca recorrendo ao método dos elementos
finitos (MEF) considerando o solo como um meio contínuo, Santos [1999] modelou a estaca
através de elementos de barra tridimensionais e o solo envolvente através de elementos
sólidos prismáticos. Em cada seção transversal de discretização da estaca, ligou todos os
pontos nodais através de uma placa rígida (ver Figura 2.4). Desta forma, tirou-se partido da
facilidade de obtenção dos deslocamentos e dos esforços ao longo do fuste da estaca
associada aos elementos de barra.
A consideração da existência das placas rígidas – modeladas através de elementos de casca
com elevada rigidez – tem como objetivo garantir que todas as seções permanecam planas
após a deformação, aplicando deste modo a lei de Euler-Bernoulli.
O cenário de estudo que serviu de base ao trabalho referido está indicado na Figura 2.5.
Relativamente à malha de elementos finitos utilizada (ver Figura 2.6), o autor teve como
objetivo reproduzir o comportamento de uma camada de terreno com extensão lateral infinita
sujeita à ação de uma perturbação sísmica na sua base rígida. Nos nós situados nas fronteiras
laterais libertou-se apenas o deslocamento segundo a direção de atuação do sismo e impôs-se
a condição de igualdade de deslocamentos para os nós situados à mesma profundidade.
Figura 2.4 - Modelação da estaca e do solo envolvente por elementos finitos
15
Com o recurso a programas de análise dinâmica, nomeadamente, o ABAQUS e o SAP-90, foi
efetuada uma análise modal, tendo-se imposto na base da camada elástica uma aceleração
espetral unitária atuando na direção longitudinal da malha (direção x).
Numa primeira abordagem, houve o cuidado de estender a malha a uma distância
consideravelmente superior ao diâmetro da estaca, de modo a garantir que a massa de solo
envolvente fosse muito superior à massa da estaca, tentando desta forma simular a hipotése
Figura 2.5 - Cenário de estudo
Figura 2.6 - Malha de elementos finitos
16
assumida por Soulomiac [1986], ou seja, que a estaca acompanha o movimento do solo,
sofrendo os mesmos deslocamenos do campo livre.
Com isto, e considerando apenas o primeiro modo de vibração, o autor comparou os
resultados obtidos pelo programa de cálculo automático (ver Figura 2.7) com os resultados
obtidos pela formulação analítica proposta por Soulomiac [1986].
Concluiu então que, desde que as condições de fronteira admitidas para o topo e a base da
estaca estejam em consonância com o andamento sinusoidal do campo livre, o modelo
simplificado é válido, uma vez que a concordância dos resultados foi excelente, como se pode
verificar no Quadro 2.1.
Figura 2.7 - Resultados obtidos pelo programa de análise dinâmica [Santos,
1999]: (a) deformada; e (b) diagrama de momentos fletores
17
Quadro 2.1 - Comparação dos resultados obtidos
MEF Formulação analítica
(m) 0.0258 0.0246
(kNm) 72.5 74.5
T (s) 0.89 0.87
Numa segunda abordagem, o autor procurou definir o domínio de validade da formulação
analítica anteriormente referida, através de um estudo paramétrico mais alargado. Para tal,
efetuou um conjunto de 27 cálculos que resultaram da combinação de três valores diferentes
do diâmetro da estaca (d), da espessura da camada elástica (H) e do módulo de
deformabilidade do solo ( ), valores esses que são apresentados no Quadro 2.2. Para além
disso, considerou novamente uma aceleração espetral unitária no substrato rígido;
para todas as situações; e as condições de fronteira da estaca (com = ) apresentadas
atrás na Figura 2.5.
Quadro 2.2 - Parâmetros utilizados no estudo paramétrico
0.5 1.0 1.5
5 10 20
5000
10000
20000
Da análise da Figura 2.8, onde são apresentados os valores da relação entre o deslocamento
horizontal na cabeça da estaca e o deslocamento horizontal do solo no campo livre ( )
em função do diâmetro da estaca, verifica-se que nalgumas situações, quando a rigidez da
estaca é relativamente elevada, há uma redução muito significativa do deslocamento, uma vez
que a estaca se opõe ao movimento da massa de solo. Nestas situações, deixa de ser correto
admitir que a estaca acompanha o movimento do campo livre.
18
Visto isto, o autor tornou as soluções adimensionais através da consideração de um
coeficiente de rigidez relativa, dado pela expressão (2.26), e representou os valores da relação
em função do novo parâmetro adimensional (L) para todos os 27 casos analisados
(ver Figura 2.9).
=
(2.26)
Figura 2.8 - Relação em função do diâmetro da estaca (d) [Santos, 1999]
19
Pela análise da figura anterior, constata-se que a estaca exibe comportamento flexível para
valores de L superiores a 3, ou seja, a estaca acompanha os deslocamentos do campo livre
( ), podendo estimar-se os deslocamentos e os esforços na estaca com base na
formulação analítca tendo em conta o modelo simplificado. Por outro lado, para valores de
L inferiores a 3, verifica-se uma redução substancial do deslocamento devido ao efeito de
interação, sendo então necessário alterar a formulação analítica.
Santos (1999) mostrou que, considerando que os deslocamentos em profundidade são
afetados pelo mesmo fator de redução , o momento fletor na cabeça da estaca pode ser
estimado igualmente pela expressão (2.22) bastando considerar para o deslocamento da
cabeça da estaca ( ) tendo em conta o efeito de interação. Desta forma, a redução do
momento fletor é igual à redução do deslocamento.
Pela análise da Figura 2.10, onde são representados os valores de em função da relação
, em que é calculado através do programa de cálculo automático e é
calculado com base na expressão (2.22) considerando , é possível verificar a
excelente correlação entre as duas variáveis.
Figura 2.9 - Relação em função do parâmetro adimensional (L) [Santos, 1999]
20
Assim, apresenta-se no Quadro 2.3 as conclusões referentes a este estudo.
Quadro 2.3 – Aplicação da formulação analítica
L ≥ 3 →
L < 3 →
2.2.4.2. Modelo discreto
Como foi referido anteriormente, Santos (1999) recorreu ainda a análises considerando o solo
com base no modelo discreto do tipo Winkler, em que o solo é simulado por uma série de
molas independentes com comportamento elástico e linear.
Desta forma, o modelo baseia-se essencialmente na rigidez das molas, que é caracterizada por
uma constante de proporcionalidade entre a pressão aplicada e o deslocamento do solo,
constante essa designada por coeficiente de reação horizontal ( ), com as dimensões de [FL-
3]. Contudo, na maior parte dos casos recorre-se a outra grandeza, definida como sendo o
módulo de reação do solo (K) e que é igual ao produto de pelo diâmetro da estaca, com as
dimensões de [FL-2
].
Figura 2.10 - versus [Santos, 1999]
21
O modelo de cálculo consiste então em assimilar a estaca a uma peça linear (viga) apoiada
num meio elástico discreto constituído por molas infinitamente próximas, mas sem ligações
entre elas.
Assim, admitindo que as forças de inércia e de amortecimento ao longo do fuste da estaca
podem ser desprezadas, as condições de equilíbrio e de compatibilidade conduzem à seguinte
equação:
(2.27)
Deste modo, assumindo que a estaca tem comportamento elástico linear, o autor chegou à
conclusão que o efeito dos delocamentos impostos é equivalente à atuação das forças
exteriores ku:
(2.28)
onde x corresponde à profundidade, y são os deslocamentos horizontais da estaca e u são os
deslocamentos horizontais do solo.
Mais uma vez, a equação diferencial (2.28) foi resolvida numericamente implementando o
método dos elementos finitos (recorrendo a uma formulação em termos de deslocamentos)
num programa de cálculo automático, que permitiu introduzir de forma simples os
deslocamentos do campo livre.
Definindo a priori o campo de deslocamentos do solo a partir da solução analítica exata
existente para o caso particular do meio homogéneo elástico, os 27 casos analisados no ponto
anterior considerando o modelo elástico contínuo foram reanalisados com base no modelo
discreto e adotando para o módulo de reação o mesmo valor do módulo de deformabilidade
do solo ( ). Desta forma, o autor comparou os resultados obtidos pelos dois modelos
(ver Figura 2.11 e Figura 2.12) e constatou que para as estacas rígidas o modelo discreto
fornece valores mais conservativos, enquanto que para as estacas flexíveis a tendência
inverte-se. Contudo, convém frisar que a discrepância de resulados foi, na maioria dos casos
analisados, inferior a 10%, o que permitiu então validar a utilização do modelo discreto, que é
muito mais expedito do que o modelo contínuo.
22
Figura 2.12 – Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação do deslocamento
à cabeça da estaca [Santos, 1999]
Figura 2.11 - Modelo discreto versus modelo contínuo. Comparação do momento fletor
à cabeça da estaca [Santos, 1999]
23
Por último, face ao que foi descrito, é possível então constatar que as conclusões apresentadas
no Quadro 2.3 podem ser igualmente averiguadas com base no modelo discreto, tal como
tinha sido referido anteriormente.
2.3. Modelos rigorosos
O estudo rigoroso do comportamento de estacas sob ações dinâmicas baseou-se, em primeiro
lugar, em formulações por elementos de fronteira considerando o solo como um material
elástico e isótropo com amortecimento histerético linear. Todos os trabalhos desenvolvidos
tendo em conta esta formulação (por exemplo, Kaynia [1982] e Ke Fan et al. [1991]) baseiam-
se na utilização das funções de Green, que relacionam o campo de deslocamentos do solo com
as tensões atuantes na interface solo-estaca.
A aplicação destas funções para todos os troços elementares ao longo da interface solo-estaca
permite obter a matriz de flexibilidade dinâmica do solo envolvente. Depois, é-se conduzido à
matriz de rigidez dinâmica do solo através da inversão da matriz de flexibilidade dinâmica do
mesmo. Por fim, combinando a matriz de rigidez da estaca com a do solo envolvente, é
possível determinar a matriz de rigidez global do sistema solo-estaca.
Estes trabalhos mais rigorosos permitiram então o desenvolvimento de métodos mais
expeditos. Com base no modelo discreto de Winkler adaptado a ações dinâmicas, Flores-
Berrones e Whitman [1982] foram os primeiros a desenvolver um modelo expedito para o
estudo do problema de interação cinemática solo-estaca quando o sistema é solicitado por
uma ação harmónica na base.
Aqueles autores consideraram o solo como uma camada elástica homogénea assente sobre
substrato rígido e sem amortecimento. Seguidamente e graças ao trabalho de inúmeros
investigadores, nomeadamente Gazetas e seus colaboradores (Makris e Gazetas [1992];
Kavvadas e Gazetas [1993]; Nikolaou e Gazetas [1997]), o modelo foi melhorado: foram
considerados os amortecimentos histerético e por radiação do solo, a possibilidade de estudar
camadas de solo com diferentes caraterísticas, e a extensão para o domínio do tempo através
da técnica da transformada discreta de Fourier. O modelo descrito corresponde ao modelo
BDWF – “Beam on Dynamic Winkler Foudation”.
24
Posteriormente, o modelo foi ainda melhorado por Santos [1999] através da incorporação do
comportamento não linear do solo. No presente trabalho, o estudo do efeito de interação
cinemática solo-estaca teve como base o modelo descrito por este autor, sendo que a descrição
detalhada do mesmo é apresentada de seguida.
2.3.1. Modelo BDWF para estaca isolada
2.3.1.1. Descrição do modelo e soluções analíticas correspondentes
O modelo BDWF - "Beam on Dynamic Winkler Foundation" - como o próprio nome indica, é
baseado no modelo discreto de Winkler adaptado às ações dinâmicas. Assim, no estudo da
interação cinemática solo-estaca, o solo que resiste ao movimento lateral da estaca é
modelado através de um conjunto de molas, k(x), e de amortecedores, c(x), com caraterísticas
dependentes da frequência de excitação (ver Figura 2.13). Relativamente ao movimento do
solo (deslocamentos do campo livre), este é obtido através da teoria de propagação das ondas
de corte.
Figura 2.13 – Modelo BDWF
25
O estudo do problema de interação cinemática solo-estaca com base neste modelo foi
abordado em primeiro lugar por Flores-Berrones e Whitman [1982], embora desprezando o
efeito do amortecimento do solo. Os autores consideraram o caso de uma estaca embebida
numa camada elástica homogénea assente sobre substrato rígido, onde é aplicada uma
excitação harmónica simples na base, como se pode observar na Figura 2.14.
Através da equação de equilíbrio dinâmico, o amortecimento do solo pode facilmente ser
introduzido na resolução do problema, ou seja:
(2.29)
em que:
= rigidez à flexão da estaca
= massa da estaca por unidade de comprimento
c = coeficiente do amortecedor
k = módulo de reação do solo
t = tempo
x = profundidade
Figura 2.14 – Modelo de Flores-Berrones e Whitman [1982]
26
y = deslocamento relativo da estaca em relação ao substrato
= deslocamento absoluto da estaca
= deslocamento absoluto do solo (campo livre)
Deste modo, a resposta da estaca apoiada no referido conjunto de molas e de amortecedores,
quando excitada nestes pontos de apoio pela ação do movimento do campo livre, é obtida
através da resolução da equação (2.29) tendo em conta as condições de fronteira da estaca.
Flores-Berrones e Whitman [1982] deduziram uma solução aproximada, em regime de
vibração permanente e desprezando o efeito do amortecimento da própria estaca, do tipo:
(2.30)
em que:
(2.31)
onde z corresponde à altura contada a partir da base da camada elástica e . Porém,
determinaram o valor das constantes A, B e C não considerando o efeito do amortecimento do
solo, o que limita a utilização prática da solução obtida por esses autores.
Santos [1999], seguindo o mesmo raciocínio, deduziu uma solução aproximada do mesmo
tipo, mas considerando o efeito do amortecimento do solo. Assim, mostrou que o
deslocamento absoluto da estaca pode ser calculado através da seguinte expressão:
(2.32)
em que:
(2.33)
e o valor de a é calculado agora considerando a velocidade complexa das ondas de corte:
(2.34)
27
Uma vez que o deslocamento absoluto da estaca, , é igual à soma do deslocamento relativo,
y, e do deslocamento do substrato, , temos que:
(2.35)
Atendendo a que a primeira derivada destas soluções é nula à superfície, está implicita a
condição de rotação nula à cabeça da estaca quando se tem em consideração essas
aproximações.
Santos [1999] deduziu ainda a solução analítica exata relativa ao problema apresentado na
Figura 2.14. A solução geral do problema, em termos de deslocamentos absolutos da estaca,
que o autor deduziu é definida pela seguinte expressão:
(2.36)
em que:
(2.37)
Os esforços ao longo do fuste da estaca são então obtidos a partir da derivação da função
deslocamentos. Uma vez que:
(2.38)
e
(2.39)
28
temos que o momento fletor (M) e o esforço transverso (V) são dados por:
(2.40)
e
(2.41)
Por último, as constantes , , e são determinadas com base nas condições de
fronteira da estaca. Considerando para o deslocamento do substrato um valor unitário, o autor
chegou a um sistema de (4x4) cujas incógnitas são as constantes que se pretendem
determinar. Consoante as condições do problema, o autor mostrou que:
Estaca com cabeça livre ( ):
(2.42)
Estaca com cabeça impedida de rodar ( ):
(2.43)
29
2.3.1.2. Módulo de reação das molas
Na abordagem do modelo BDWF a rigidez das molas que ligam a estaca ao solo, com base
em estudos comparativos de elementos finitos [Gazetas e Dobry, 1984], pode
aproximadamente ser considerada independente da frequência de excitação e expressa em
função do módulo de deformabilidade do solo, ou seja: .
A avaliação do parâmetro δ é uma das principais contribuições do trabalho de Kavvadas e
Gazetas [1993], tanto para meio homogéneo, como para meios estratificados. Tratando-se de
um modelo discreto que pretende simular a resposta duma estaca embebida num meio
contínuo, é natural que o valor de δ dependa da rigidez relativa solo-estaca. Com isto, aqueles
autores levaram a cabo um conjunto importante de estudos paramétricos, quer para estacas
com cabeça livre, quer para estacas com rotação impedida à cabeça.
Relativamente ao caso de uma estaca com rotação impedida à cabeça, embebida num meio
constituído por dois estratos com caraterísticas diferentes, Kavvadas e Gazetas [1993]
relacionaram o parâmetro δ com as propriedades do solo e da estaca através da seguinte
expressão:
(2.44)
onde ν é o coeficiente de Poisson do solo (igual nas duas camadas); L é o comprimento da
estaca; e são as espessuras das camadas superior e inferior do solo; é o modo de
elasticidade da estaca; e são os módulos de distorção das camadas superior e inferior do
solo, respectivamente; e é o modo de elasticidade da camada superior do solo.
No entanto, aqueles autores concluiram que os deslocamentos da estaca são pouco sensíveis
ao valor de δ. Em contrapartida, os esforços máximos na estaca apresentam alguma
sensibilidade ao valor de δ, embora apenas para frequências de excitação próximas da
frequência fundamental do terreno, facto este confirmado por outros investigadores, como
Nikolaou et al. [2001] e, mais recentemente, Sica et al. [2011].
Com isto, através do ajustamento dos resultados para excitações com frequência igual à
frequência fundamental do terreno para casos de meio homogéneo e casos em que o meio é
30
constituído por dois estratos diferentes, Makris [1994] propôs a adoção dos seguintes valores
de δ:
δ = 2.1 , para estacas com cabeça livre;
δ = 1.2 , para estacas com rotação impedida à cabeça.
Apesar destes valores serem independentes de outros parâmetros do problema, a consideração
dos mesmos não implica um grande prejuízo no rigor dos resultados obtidos pelo modelo em
causa, uma vez que a ação sísmica não se trata de uma solicitação harmónica simples com
frequência igual à frequência própria do terreno. Por esta razão, vários autores tiveram
também em conta esta abordagem, incluindo Mylonakis [1995] e Dezi et al. [2009].
2.3.1.3. Amortecimento histerético do solo e amortecimento por radiação
Outro aspecto importante no modelo BDWF prende-se com a adequada modelação do
amortecimento. Uma vez que a interação solo-estaca envolve dissipação de energia sísmica
por histerese e radiação, o amortecimento é composto por duas componentes:
(2.45)
onde a primeira componente representa a dissipação de energia associada à natureza
histerética do solo ( ) e a segunda corresponde à radiação de energia através da propagação
das ondas sísmicas ( ).
Relativamente ao amortecimento devido ao efeito de radiação, vários modelos baseados na
teoria de propagação das ondas foram apresentados por diferentes autores: Berger et al.
[1977], com base num modelo unidimensional, propuseram que o coeficiente do amortecedor,
, fosse calculado tendo em conta que, numa secção horizontal da estaca com largura efetiva
b, se gerariam apenas ondas de compressão-extensão (com velocidade vp) na direção do
movimento da estaca e ondas de corte (com velocidade vs) na direção ortogonal; em seguida,
considerando um modelo bidimensional em estado plano de deformação, Novak et al. [1978]
obtiveram a solução dinâmica rigorosa para uma excitação horizontal numa barra rígida de
secção circular e comprimento infinito embebida num meio viscoelástico infinito; mais tarde
e tendo em conta uma formulação tridimensional pelo método dos elementos finitos, Roesset
31
[1980] tentou relacionar a reacção do solo com o respectivo deslocamento com o intuito de
calcular o coeficiente do amortecedor.
Neste trabalho o coeficiente em causa é adoptado de Gazetas e Dobry [1984a e 1984b]. Com
base nos estudos anteriores, estes autores propuseram um modelo simplificado que pode ser
considerado como o modelo de Berger et al. [1977] melhorado em estado plano de
deformação, uma vez que consideraram que as ondas de compressão-extensão se propagam
em dois quadrantes na direcção do movimento da estaca e as ondas de corte nos dois restantes
quadrantes ortogonais (ver Figura 2.15). Admitindo apenas deformações no plano horizontal,
assumiram que as ondas de corte se propagam com velocidade vs e as ondas de compressão-
extensão se propagam com uma velocidade aparente vc semelhante à velocidade de Lysmer
(vLa).
Figura 2.15 - Modelo de radiação bidimensional [Gazetas e Dobry, 1984a]
32
Deste modo, somando a contribuição dos quatro quadrantes, o coeficiente do amortecedor
para estacas com secção circular é calculado pela seguinte expressão:
(2.46)
onde:
(2.47)
e
(2.48)
Perto da superfície do solo (x < 2.5d) é necessário ter em conta que o efeito tridimensional se
faz sentir devido à aproximação a uma fronteira livre. Com isto, Kavvadas e Gazedas [1993]
propuseram que, nessas zonas, se adoptasse . Porém, Santos [1999], com base em
estudos de sensibilidade, constatou que os resultados obtidos pelo modelo não eram
praticamente afetados pela correção sugerida. Desta forma, o referido efeito não foi tido em
conta neste trabalho.
Finalmente, admitindo para o solo um amortecimento do tipo histerético, o coeficiente cm é
dado simplesmente por:
(2.49)
2.3.2. Validação do modelo BDWF recorrendo a uma análise modal 3-D pelo método dos
elementos finitos
Para efeitos de validação do modelo descrito anteriormente faz-se referência mais uma vez ao
trabalho de Santos [1999]. O autor optou por comparar os resultados obtidos pelo modelo
com uma análise modal tridimensional admitindo amortecimento viscoso, uma vez que a
consideração deste tipo de amortecimento permite evitar o recurso a variáveis complexas
tornando o processo muito mais expedito.
33
Para estudar este problema com recurso a este tipo de análise, foi necessário analisar duas
questões: qual o tipo amortecimento modal a considerar de forma a conduzir a uma dissipação
de energia equivalente ao amortecimento histerético do solo, e como resolver o problema da
radiação nas fronteiras laterais.
Para responder a estas questões, Santos [1999] baseou-se no cenário de estudo correspondente
a uma estaca isolada embebida num camada homogénea com extensão lateral infinita e
assente sobre substrato rigído, considerando uma excitação harmónica simples na base e um
comportamento viscoelástico linear do solo.
As principais análises e conclusões referentes a este estudo são apresentadas a seguir.
2.3.2.1. Amortecimento modal considerado
Para determinar qual o tipo de amortecimento a ser tido em conta na análise modal, Santos
[1999] comparou os fatores de amplificação dinâmica, D, para diferentes tipos de
amortecimento.
O fator de amplificação dinâmica é definido como sendo a relação entre a amplitude máxima
do deslocamento absoluto no topo e na base da camada elástica, ou seja:
(2.50)
onde z corresponde à altura contada a partir da base rígida e H é a altura total da camada.
Desta forma, foi necessário analisar a resposta de uma camada elástica sob a ação de uma
excitação harmónica simples (de amplitude ) na sua base rígida, para os vários tipos de
amortecimento.
Neste trabalho são apresentadas apenas as principais conclusões referentes a este estudo,
sendo que todo o desenvolvimento pode ser consultado em Santos [1999].
34
Uma vez que o objetivo consiste em saber qual o tipo de amortecimento modal que conduz a
uma dissipação de energia equivalente ao amortecimento histerético do solo, interessa definir
em primeiro lugar o fator de amplificação dinâmica correspondente a esse mesmo
amortecimento. Com base na solução analítica exata e considerando para o coeficiente de
viscosidade do solo o valor de:
(2.51)
Santos [1999] determinou a solução correspondente ao amortecimento histerético, sendo o
fator de amplificação dinâmica, considerando a rigidez complexa para o solo, dado por:
(2.52)
Por outro lado, considerando um amortecimento viscoso, o autor recorreu à solução com
desenvolvimento em série correspondente à sobreposição definindo diferentes coeficientes de
amortecimento (modal) para cada um dos modos de vibração do sistema. Neste caso, temos
que:
(2.53)
onde:
(2.54)
e
(2.55)
em que:
35
= amplitude do deslocamento na base da camada
= frequência própria do modo n
= coeficiente de amortecimento modal
Com base nas equações anteriores, Santos [1999] analisou três tipos de amortecimento modal:
Amortecimento modal constante;
Amortecimento tipo Rayleigh;
Coeficiente de viscosidade constante.
Nas Figuras 2.16 a 2.18 é então possível observar-se a comparação realizada entre os fatores
de amplificação dinâmica obtidos para os diferentes tipos de amortecimento e
correspondentes aos casos com ξ=5, 10 e 20%, respetivamente.
Figura 2.16 - Valores de D para os diferetnes tipos de amortecimento
(ξ=5%) [Santos, 1999]
36
Figura 2.17 - Valores de D para os diferetnes tipos de amortecimento
(ξ=10%) [Santos, 1999]
Figura 2.18 - Valores de D para os diferetnes tipos de amortecimento
(ξ=20%) [Santos, 1999]
37
Pela análise das figures anteriores, é fácil concluir que o caso com coeficiente de
amortecimento modal constante é aquele que mais se aproxima do amortecimento histerético
do solo. Assim sendo, na análise modal considera-se que para todos os modos de
vibração. Com isto, o coeficiente de viscosidade decresce proporcionalmente com as
frequências próprias de vibração e não com a frequência da excitação, tal como acontece no
caso do amortecimento histerético, isto é:
(2.56)
2.3.2.2. Resolução do problema da radiação nas fronteiras laterais
No presente caso de estudo o problema da radiação nas fronteiras laterais foi resolvido de
forma aproximada. Santos [1999] optou por extender a malha de elementos finitos na direção
da excitação e procedeu à truncagem nas fronteiras laterais colocando apoios móveis.
Considerando fronteiras laterais suficientemente afastadas da estaca, o erro cometido não é
significativo, uma vez que durante a atuação dos sismos não se geram ondas difratadas de
intensidade importante devido ao efeito de interação solo-estaca, como o autor constatou.
Além disso, foi imposta uma condição de igualdade de deslocamentos horizontais entre
pontos situados à mesma profundidade e simetricamente em relação ao plano de simetria
vertical que passa pelo eixo da estaca. Desta forma, Santos [1999] conseguiu evitar o
aparecimento de modos de vibração espúrios, isto é, modos intermédios com fatores de
participação nulos.
Por último, foi definida uma zona não afetada pela difração das ondas com deslocamentos
iguais aos do campo livre. Pela observação da Figura 2.19 é possível constatar que essa zona é
delimitada por uma distância superior a 10 diâmetros da estaca.
Em relação à propagação das ondas de corte, foi considerado só o efeito da propagação
unidimensional das mesmas. Por isso, libertaram-se apenas os deslocamentos horizontais
segundo a direção da excitação.
38
2.3.2.3. Resultados da análise modal e comparação com o modelo BDWF
O cenário de estudo considerado na análise modal por Santos [1999] consistiu nos seguintes
pontos:
Estaca com rotação nula ao nível da cabeça;
Camda elástica homogénea assente sobre substrato rígido;
Solicitação harmónica simples na base numa só direção;
Consideração apenas do efeito da propagação vertical das ondas de corte;
Contribuição unicamente dos 5 primeiros modos de vibração;
H/d=20, ξ=5%, =0.4, =0.7 e =1000.
Mais uma vez, o autor recorreu a programas de análise dinâmica para obter os resultados
correspondentes à análise modal. A malha de elementos finitos e a forma de modelação da
estaca correspondem às já definidas anteriormente no ponto 2.2.4.1.
Para efeitos de validação do modelo BDWF, Santos [1999] comparou os resultados obtidos
pelo referido modelo não só com os resultados obtidos pela análise modal 3-D, como também
com os resultados obtidos pela formulação rigorosa por elementos de fronteira utilizada por
Ken Fan et al. [1991].
Figura 2.19 – Zona perturbada pela presença da estaca [Santos, 1999]
39
Na Figura 2.20 é apresentada a análise comparativa entre as diferentes formulações referidas
atrás, com base nos valores de (relação entre o deslocamento da estaca e o do solo) em
função da frequência normalizada . Conclui-se então que existe um ajustamento quase
perfeito entre os resultados da análise modal 3-D e os obtidos por Ke Fan et al. [1991].
Relativamente ao modelo BDWF, pela análise da figura pode dizer-se que sobrestima os
valores de , principalmente no domínio das altas frequências. No entanto, considerando
=10000, Santos [1999] verificou que é possível obter um melhor ajustamento entre os
resultados.
A segunda comparação realizada por Santos [1999] corresponde ao momento fletor máximo
na cabeça da estaca (M0). O autor comparou os valores normalizados de M0 obtidos pela
análise modal com os resultantes do modelo BDWF (ver Figura 2.21), verificando um
excelente ajustamento dos resultados.
Figura 2.20 – Valores de Iu em função de [Santos, 1999]
40
Visto isto, pela análise das duas figuras anteriores, é possível concluir que, embora tratando-
se de um modelo discreto, o modelo BDWF permite modelar de maneira correta o problema
de interação cinemática solo-estaca.
2.4. Conclusões
Pretendeu-se neste capítulo incidir sobre o estudo do efeito de interação cinemática solo-
estaca, nomeadamente nos modelos existentes que permitem avaliar os esforços induzidos nas
estacas graças aos deslocamentos impostos pelo terreno envolvente.
Deste modo, foram apresentados em primeiro lugar dois modelos simplificados,
desenvolvidos por Soulomiac [1986] e por Mineiro [1988 e 2000], sendo que a determinação
da resposta sísmica do campo livre com base numa análise espetral está subjacente a cada um
dos modelos. Foi abordado o domínio de validade e as simplificações correspondentes a cada
um, assim como as expressões algébricas utilizadas para determinar de forma expedita os
esforços atuantes nas estacas.
Figura 2.21 – M0 normalizado em função de [Santos, 1999]
41
Em segundo lugar, fez-se referência aos modelos rigoros que permitem calcular com maior
exatidão os esforços/deslocamentos a que as estacas ficam sujeitas, dando particular atenção
ao modelo dinâmico discreto BDWF. Foi feita uma descrição detalhada do modelo e, fazendo
referência a análises comparativas com formulações rigorosas efetuadas por Santos [1999],
demonstrou-se as potencialidades de aplicação do modelo BDWF para o estudo do efeito de
interação cinemática solo-estaca.
43
3. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS DE BETÃO ARMADO SUJEITOS A
DESLOCAMENTOS IMPOSTOS
3.1. Introdução
A consideração da ação sísmica numa análise dinâmica do efeito de interação cinemática
solo-estaca, tendo em conta apenas a propagação vertical das ondas de corte (simplificação
esta que será objeto de estudo no ponto 4.2.2.1 deste trabalho), corresponde essencialmente à
aplicação de deslocamentos horizontais impostos pelo terreno envolvente às estacas. Deste
modo, o dimensionamento de estacas sob ações sísmicas passa por conferir às mesmas
capacidade de acomodar deslocamentos impostos, garantindo simultaneamente a capacidade
de resistência a cargas permanentes.
Deste modo, são discutidas na primeira parte deste capítulo as relações constitutivas dos
materiais que são tidas em conta nas análises não lineares efetuadas neste trabalho, que
permitem avaliar a ductilidade das secções e dos elementos de betão armado.
No ponto 3.3 é abordada a comparação entre a definição da ação em termos de grandezas
cinemáticas e grandezas estáticas, procurando-se identificar as principais diferenças entre
ambas, e procurar perceber o que é indicado considerar-se no estudo do comportamento de
elementos de betão armado sujeitos a deslocamentos impostos.
Por último, no ponto quatro deste capítulo são discutidos os principais conceitos relacionados
com a capacidade de deformação de secções de betão armado, avaliando-se a influência de
diferentes fatores na capacidade de deformação de peças de betão.
3.2. Relações constitutivas dos materiais - Comportamento monotónico
Neste ponto do trabalho são descritas as relações constitutivas dos materiais que foram tidas
em conta nas análises não lineares monotónicas realizadas no presente estudo.
Apesar da ação sísmica corresponder a uma ação cíclica, a consideração de análises
monotónicas permite tirar partido das vantagens que lhes estão inerentes, tornando a
formulação matemática e computacional do problema muito mais eficiente. Contudo, é
44
necessário ter o cuidado de restringir a consideração da análise monotónica a casos em que
outras histórias de carga (ações cíclicas) não conduzam a resultados muito diferentes, isto é, a
casos pouco sensíveis à história de carga.
Brito [2011] chegou à conclusão que a história de carregamento tem especial importância nos
casos em que existe uma elevada influência do esforço transverso, onde a maior degradação
devido à repetição de ciclos de carga tende a aumentar a degradação da resistência e a reduzir
a ductilidade, antecipando a rotura. Deste modo, para o caso de elementos com boa
concepção, onde se evita que os mesmos fiquem sujeitos a elevados esforços de corte, a
análise monotónica é válida.
Ainda assim, mesmo para casos com concepção adequada em que a deformação é
essencialmente por flexão, existe a possibilidade de acumulação de deformações e degradação
de capacidade de carga para ações cíclicas, que pode potenciar a rotura. Para estes casos, o
autor concluiu que limitando os esforços axiais e considerando níveis mínimos de
confinamento das secções transversais, que aumentam a capacidade de deformação das
mesmas e controlam a acumulação de extensões de compressão no betão associada à natureza
cíclica da ação, é possível realizar análises monotónicas sem erros relevantes.
Desta maneira, uma vez que as condições anteriormente referidas são respeitadas neste
estudo, confirma-se a validade das relações constitutivas monotónicas descritas de seguida.
3.2.1. Aço
A relação constitutiva monotónica do aço que foi considerada neste trabalho corresponde
àquela que foi tida em conta por Brito [2011]. Na Figura 3.1 é possível observar-se o
andamento qualitativo da referida relação, a qual foi definida com base no programa
experimental desenvolvido por Pipa [1993] sobre varões de aço de construção.
45
Pela análise da figura anterior, verifica-se que o comportamento do aço foi então modelado
segundo as seguintes relações propostas por Pipa [1993]:
(3.1)
em que:
(3.2)
(3.3)
e os parâmetros presentes nas expressões anteriores têm o seguinte significado:
= extensão de cedência do aço
= tensão de cedência do aço
Figura 3.1 - Relação constitutiva monotónica do aço [Pipa, 1993]
46
= tensão última do aço
= extensão no início do endurecimento
= extensão última do aço
= módulo de elasticidade na origem
= módulo de elasticidade tangente no início do endurecimento
= expoente da relação constitutiva
= rigidez de referência
De acordo com o estudo desenvolvido pelo autor, a relação constitutiva do aço pode ser
caracterizada essencialmente pela tensão de cedência do mesmo ( ). Assim sendo, o valor
dos parâmetros definidores da relação expressa pela Figura 3.1 é dado pelas seguintes
equações [Pipa, 1993]:
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
É importante notar que, nas expressões (3.4) a (3.7) anteriores, as tensões e o módulo de
elasticidade tangente no início do endurecimento são expressos em MPa e as extensões em
percentagem.
47
3.2.2. Betão
Quanto ao betão, a relação constitutiva monotónica que foi considerada neste estudo
corresponde mais uma vez àquela que foi tida em conta por Brito [2011]. Neste caso, a
referida relação foi definida com base no trabalho desenvolvido por Mander et al. [1998]
sobre modelos teóricos de tensão-deformação para betão sujeito a uma carga de compressão
uniaxial e confinado por armadura transversal. Na Figura 3.2 é possível observar-se o
andamento qualitativo da relação constitutiva citada:
Aquando da observação da figura anterior, assim como relativamente a todas as expressões e
figuras apresentadas seguidamente, é importante notar que se atribui o sinal positivo às
compressões e às extensões de encurtamento.
Pela análise da Figura 3.2, prescrita também no Anexo E da Parte 2 do Eurocódigo EC8 que
fornece informações sobre as propriedades dos materiais para análises não lineares, verifica-
se que o comportamento do betão foi então modelado segundo a seguinte relação [Mander et
al., 1988]:
Figura 3.2 - Relação constitutiva monotónica do betão [Mander et al., 1988]
48
(3.8)
em que:
(3.9)
(3.10)
(3.11)
e os diversos parâmetros têm o seguinte significado:
= máxima tensão de compressão do betão confiando
= máxima tensão de compressão do betão não-confiando
= extensão associada à máxima compressão do betão confiando
= extensão associada à máxima compressão do betão não-confiando
= extensão associada ao descasque do betão não-confiando
= módulo de elasticidade na origem (betão não-confinado)
= módulo de elasticidade secante
r = expoente da relação constitutiva
Segundo os autores, as propriedades do betão confinado que permitem definir a relação
expressa pela Figura 3.2, são determinadas a partir das propriedades do betão não-confinado
( e ) e da pressão de confinamento lateral ( ) através das seguintes equações [Mander
et al., 1988]:
49
(3.12)
(3.13)
O valor da pressão de confinamento lateral ( ) será discutido de seguida no ponto 3.2.2.1
deste trabalho.
Por último, Mander et al.[1988] referem que, para extensões inferiores a , o
comportamento do betão não-confinado é semelhante ao do betão confinado tendo em conta a
equação (3.8) definida anteriormente, admitindo a partir desse valor um comportamento linear
até ocorrer o descasque do betão ( ) para tensão nula.
3.2.2.1. Pressão de confinamento (para secções circulares)
Uma vez que este trabalho incide apenas no estudo de estacas com secções transversais
circulares (como se vai constatar no capítulo 5), neste ponto é abordada apenas a
determinação da pressão de confinamento para esse tipo de secções, não se fazendo referência
ao cálculo relativo a secções retangulares.
Mander et al. [1988] adotaram uma abordagem semelhante à usada por Sheikh e Uzumeri
[1980] para determinar a pressão de confinamento lateral numa secção de betão. Segundo os
autores, a máxima pressão de confinamento lateral devido à armadura transversal só se
desenvolve de forma eficiente na zona do núcleo de betão onde se forma o efeito de arco. Na
Figura 3.3 é possível observar-se o efeito de arco que Mander et al. [1988] assumiram que se
desenvolve no caso de elementos de betão com secções circulares confinadas com armadura
transversal.
50
Pela análise da figura anterior, pode concluir-se que entre as secções onde se localizam as
armaduras de confinamento a área de betão ineficientemente confinado é maior e a área de
betão efetivamente confinado ( ) é menor.
Quando se tem em conta a relação tensão-deformação expressa pela equação (3.8) para
determinar a resistência e ductilidade de colunas de betão, assume-se, por conveniência, que a
área de betão confinado ( ) corresponde à área de betão no interior dos estribos nas secções
em que estes estão colocados. Como não são consideradas as armaduras longitudinais, a área
de betão confinado pode ser definida com base na área bruta de betão confinado ( ) através
da seguinte expressão:
(3.14)
em que representa a taxa de armadura longitudinal relativa à área bruta de betão
confinado.
Uma vez que as armaduras de confinamento não são contínuas ao longo do eixo dos
elementos, como se ilustra na Figura 3.3, a eficiência do confinamento não é uniforme ao
Figura 3.3 - Núcleo efetivamente confinado para secções circulares [Brito, 2011]
51
longo do eixo longitudinal. Com isto, sabendo que , a pressão de confinamento
lateral efetiva é dada por [Mander et al., 1988]:
(3.15)
onde = tensão de confinamento que resultaria de uma distribuição uniforme e
contínua da armadura transversal; e = coeficiente de eficiência do confinamento que é
dado pelo quociente da área efetivamente confinada ( ) pela área de betão confinado ( ).
Para secções circulares com armadura de confinamento em cintas circulares, temos que:
(3.16)
e portanto, pela equação (3.14) anterior, vem que:
(3.17)
onde é o diâmetro da armadura de cinta circular medido ao eixo da mesma, ou seja, o
diâmetro da secção confinada.
Tendo em conta o efeito de arco com a forma de uma parábola de segundo grau, com uma
inclinação de 45º na origem (nas secções com armadura de confinamento), como é ilustrado
na Figura 3.3, então a área de betão efetivamente confinada entre duas secções transversais
com cintas circulares é dada por [Mander et al., 1988]:
(3.18)
em que representa o espaçamento longitudinal entre as faces exteriores de duas cintas
consecutivas.
52
Desta maneira, com base nas equações (3.17) e (3.18), temos que o coeficiente de eficiência
do confinamento para secções circulares com armadura de confinamento em cintas circulares
é igual a:
(3.19)
A máxima pressão de confinamento lateral que pode ser mobilizada ( ), dependendo
da máxima força de tração mobilizável nas armaduras de confinamento, pode ser calculada
por equilíbrio circunferencial ( ã ç ) da seguinte forma
[Brito, 2011]:
(3.20)
onde:
= tensão de cedência da armadura de confinamento
= área de armadura de confinamento (cinta)
= afastamento longitudinal da armadura de confinamento
Assim, tendo em conta o parâmetro que representa a razão entre o volume de armadura de
confinamento e o volume bruto de betão confiando:
(3.21)
é possível, com base na equação (3.20) anterior, definir-se que:
(3.22)
53
Por último, tendo em conta a expressão (3.15), temos que a pressão de confinamento lateral
efetiva ( ) para secções circulares com armadura de confinamento em cintas circulares é
dada por:
(3.23)
onde o coeficiente é determinado pela equação (3.19).
3.2.2.2. Extensão última do betão confinado
Fazendo novamente referência ao trabalho de Brito [2011], o autor avaliou duas relações
diferentes para determinar a extensão última (de compressão) do betão confinado: a expressão
empírica proposta por Scott et al. [1982] com base num extenso programa de ensaios e a
relação mais recentemente apresentada na Parte 2 do Eurocódigo EC8.
Segundo Scott et al. [1982], a extensão última do betão confinado é condicionada pela
primeira rotura da armadura de confinamento, uma vez que esta provoca uma redução
acentuada da capacidade do núcleo de betão confinado suportar extensões de compressão
superiores a um determinado valor, devido à redução da eficiência do confinamento. Para
além disso, a partir dessa rotura verifica-se também uma diminuição considerável do
impedimento da encurvadura dos varões da armadura longitudinal.
Deste modo, com base em diversos ensaios experimentais, aqueles autores chegaram à
seguinte expressão para calcular a extensão última (de compressão) do betão confinado:
ε
(3.24)
onde:
= rácio volumétrico da armadura de confinamento
= tensão de cedência da armadura de confinamento (em MPa)
Contudo, pelo programa de ensaios levado a cabo por Scott et al. [1982] verificou-se que a
relação proposta conduziu a constatações diferentes consoante o tipo de carga. Para ensaios
54
com carga concêntrica, os resultados apresentam uma concordância razoável
comparativamente aos valores obtidos pela expressão proposta. Nos ensaios com carga
excêntrica (correspondentes às situações de maior interesse prático), os resultados são muito
superiores relativamente ao limite proposto pela equação (3.24), o que significa que o mesmo
é conservativo. Visto isto, e uma vez que na maioria dos casos de boa concepção a
formulação apresentada no Eurocódigo EC8, correspondendo a uma formulação mais recente,
conduz a valores mais conservativos da extensão última de compressão do betão, Brito [2011]
optou por ter em conta a equação proposta na Parte 2 do EC8.
Assim sendo, a extensão máxima do betão é calculada neste trabalho com base na relação
exposta no Anexo E da parte 2 do EC8:
ε
(3.25)
em que:
ε = extensão última de compressão do betão confinado
= extensão última da armadura de confinamento
= tensão de cedência da armadura de confinamento
= máxima tensão de compressão do betão confiando
= rácio volumétrico da armadura de confinamento
A máxima tensão de compressão do betão confinado ( ) é dada pela equação (3.12) já
descrita no ponto 3.2.2. O rácio volumétrico da armadura de confinamento ( ) é, como se
viu anteriormente, dado pela expressão (3.21) para o caso de secções circulares com armadura
de confinamento em cintas circulares. Relativamente à extensão última da armadura de
confinamento ( ), o Eurocódigo EC2 - Parte 1-1 (Quadro C.1 do Anexo C) indica três
valores distintos consoante a classe de ductilidade (A, B ou C) da armadura de confinamento,
sendo que para os aços mais dúcteis (classe C) admite o valor de 7.5%.
É importante referir em último lugar que a extensão última do betão confinado condiciona
significativamente a capacidade de deformação das secções transversais, sendo um parâmetro
fundamental na avaliação da ductilidade, quer das secções transversais, quer das estruturas
globalmente [Brito, 2011].
55
3.3. Definição do efeito da ação em termos de grandezas cinemáticas vs.
grandezas estáticas
Na prática corrente de dimensionamento estrutural de elementos de betão armado, o efeito da
ação sísmica é definido por grandezas estáticas, como o momento fletor. Ou seja, o
dimensionamento consiste em conferir às peças de betão armado capacidade resistente
suficiente para suportar os esforços atuantes resultantes da imposição dos deslocamentos
devido à ação sísmica. Contudo, no caso de estruturas ou elementos sujeitos a deslocamentos
impostos, o que deve ser feito é comparar explicitamente a capacidade de deformação
disponível com a respetiva exigência [Brito, 2011]. Assim, a ação deve ser definida em
termos de grandezas cinemáticas (deformações).
Brito [2011] recorreu ao exemplo de uma coluna bi-encastrada (ver Figura 3.4), de secção
constante, sendo que um dos encastramentos é deslizante (onde se aplicam os deslocamentos),
para estudar as principais diferenças entre as abordagens considerando o efeito da ação
definido por grandezas estáticas e por grandezas cinemáticas.
Relacionando o deslocamento transversal imposto com a distribuição de curvaturas ao longa
da coluna, estas podem ser consideradas como impostas exteriormente às secções
transversais. Desta forma, trata-se de uma ação sobre a estrutura que não corresponde a forças
aplicadas.
Figura 3.4 - Modelo de viga bi-encastrada [Brito, 2011]
56
Brito [2011], por equilíbrio de forças (considerando esforço axial nulo), estimou a curvatura
de cedência da secção, associada a atingir a extensão de cedência nas armaduras mais
tracionadas. Com isto, e a partir da posição da linha neutra, obteve o diagrama de extensões
da secção transversal, através do qual é possível calcular o diagrama de tensões nos materiais,
como se pode observar na Figura 3.5. O momento fletor, por sua vez, é calculado por
integração direta das tensões instaladas na secção.
Com base neste raciocínio, o autor conseguiu tirar as seguintes ilações referentes ao caso do
efeito da ação ser definido através de grandezas cinemáticas:
na cedência, as extensões na secção transversal dependem principalmente da dimensão
da secção no plano perpendicular à linha neutra, se esta não variar de forma
significativa;
a posição da linha neutra quase não é afetada pela quantidade de armadura de flexão
(assumindo que a distribuição das armaduras na secção não varia) e, por isso, a
curvatura de cedência e o diagrama de extensões são quase independentes do valor do
momento fletor de cedência (para flexão simples);
o momento de cedência da secção transversal é um resultado que depende da
quantidade de armadura de flexão.
Relativamente ao caso do efeito da ação ser definido por grandezas estáticas, as conclusões
são bastante diferentes:
a quantidade de armadura de flexão em causa é calculada com o objetivo de garantir
uma determinada capacidade resistente à flexão;
Figura 3.5 - Diagramas de extensões e tensões da secção transversal [Brito, 2011]
57
o momento fletor, desta maneira, constitui um dado da análise da secção transversal;
as curvaturas e diagramas de extensões dependem do valor do momento fletor
aplicado à secção e da quantidade de armadura de flexão calculada.
O recurso a uma análise elástica linear da coluna, ao associar de forma errada um momento
fletor não nulo a uma curvatura imposta, conduz ao dimensionamento da secção transversal
para um momento fletor aplicado que não existe [Brito, 2011]. Deste modo, é possível
concluir que, para o caso da ação ser definida através de grandezas cinemáticas, a quantidade
de armadura de flexão necess ria para “resistir” ao deslocamento transversal imposto ao
elemento é arbitrária, sendo necessário garantir que a exigência de ductilidade relativa à
curvatura é inferior à ductilidade disponível.
3.4. Fatores que influenciam a capacidade de deformação
3.4.1. Introdução
Nesta secção do trabalho pretende-se analisar alguns dos aspetos que podem influenciar a
ductilidade de secções e peças de betão armado, através da qual é possível avaliar a
capacidade dos mesmos suportarem deslocamentos impostos, como já foi referido
anteriormente. Alguns desses aspetos correspondem à capacidade resistente do material,
resistência à tração do betão, esforço axial, e ao declive do ramo descendente da relação
constitutiva do betão.
Convém em primeiro lugar apresentar alguns conceitos base relativamente ao comportamento
de secções de betão armado em flexão. A capacidade de deformação da secção transversal é
expressa com base na curvatura última (na rotura, ), que é em geral causada quase
exclusivamente por se atingir a máxima extensão de compressão do betão confinado. Esta por
sua vez depende essencialmente da profundidade da linha neutra, isto é, da extensão da zona
comprimida da secção transversal, para uma determinada curvatura. Assim, com base na
Figura 3. apresentada no ponto anterior, temos que a máxima extensão de compressão do
betão ( ) é dada por:
ε (3.26)
58
onde representa a profundidade da linha neutra, a qual é condicionada fundamentalmente
pela força de compressão a absorver pela betão comprimido ( ). Para o caso de flexão
simples, temos que:
(3.27)
ou seja, a força de compressão a absorver pelo betão comprimido pode ser calculada
dividindo o momento fletor instalado na secção ( ) pelo braço interno ( ), retirando a força
absorvida pelas armaduras de compressão (
).
De modo a abordar a questão da influência dos parâmetros referidos atrás, recorre-se então ao
trabalho de Brito [2011] relativamente à análise da coluna bi-encastrada com deslocamentos
impostos apresentada já na Figura 3.4.
O autor considerou como base de estudo dois tipos de secção transversal, uma circular e outra
rectangular. Contudo, neste trabalho faz-se referência apenas à secção transversal de forma
circular, a qual apresenta a armadura de flexão (com um recobrimento de 6 cm) distribuída
entre as fibras extremas, mas com maior concentração próxima destas, como se pode
visualizar na Figura 3.6.
Figura 3.6 - Secção transversal circular (adaptado de
Brito [2011])
59
Em relação aos materiais, Brito [2011] tomou como premissa inicial os valores apresentados
na Figura 3.7 e no Quadro 3.1:
Quadro 3.1 - Parâmetros das relações constitutivas do aço e do betão [Brito, 2011]
Aço
[‰] [‰] [MPa]
2.175 200 435
Betão
[‰] [‰] [MPa] [MPa] [MPa]
2.0 15.0 35 25 0
Verifica-se assim que a extensão de rotura do aço foi considerada superior à dos aços de
construções reais ( =200‰), com o objetivo de se evitar a rotura por excesso de
deformação do aço, que na realidade é raro acontecer. Constata-se também que a relação do
betão corresponde à de betão bem confinado, que apresenta maior ductilidade. Por último,
tanto o endurecimento do aço como a resistência à tração do betão foram desprezados
inicialmente.
Tendo em conta que a análise da capacidade de deformação de elementos de betão armado
implica analisar o seu comportamento até aos limites das capacidades de deformação dos
materiais (muito para lá da fase elástica), todos os valores obtidos por Brito [2011], e que são
apresentados de seguida, foram recolhidos com base em ferramentas computacionais que
permitem realizar análises estruturais física e geometricamente não lineares. A descrição da
Figura 3.7 - Relações constitutivas do aço e do betão [Brito, 2011]
60
formulação matemática da referida aplicação computacional é apresentada no capítulo
seguinte deste trabalho.
3.4.2. Capacidade resistente do material
De maneira a resistir de forma conveniente a deslocamentos impostos, os elementos
estruturais devem ter a maior esbelteza possível. No entanto, há que considerar limites, uma
vez que há necessidade de garantir também a resistência a esforços devido a forças aplicadas.
Assim, recomenda-se utilizar betões de resistência elevada com o objetivo de se minimizar as
dimensões dos elementos o quanto possível, garantindo a resistência às restantes ações com
excepção da sísmica (deslocamentos impostos).
De acordo com Brito [2011], no caso do betão simples o aumento da resistência permite uma
diminuição da profundidade da linha neutra, o que se traduz num aumento das curvaturas
últimas e de cedência. Contudo, para o betão confinado esta constatação não é diretamente
extrapolável, porque a extensão última pode reduzir-se mais acentuadamente com o aumento
da resistência do betão.
No que trata ao aço, o autor refere que a utilização de materiais de maior resistência permite,
com menores secções transversais, resistir às mesmas forças aplicadas devidas às restantes
ações que não a sísmica, visto que a capacidade resistente dos elementos aumenta. Porém, a
consideração de um aço de maior resistência pode conduzir a maiores forças de tração nas
armaduras, com um aumento da profundidade da linha neutra para equilibrar essa força,
podendo reduzir a capacidade de deformação da secção transversal. Assim, nestes casos, deve
evitar-se o uso de betões de baixa resistência.
3.4.3. Resistência à tração do betão
Para avaliar o efeito da resistência à tração do betão, analisaram-se duas situações distintas
referentes à mesma coluna exemplo apresentada na Figura 3.4 com a secção transversal
circular da Figura 3.6.
61
Em primeiro lugar, e considerando um comprimento L igual a 12 m, Brito [2011] manteve a
premissa inicial de considerar nula a resistência à tração do betão, mas passou a ter em conta
o endurecimento do aço, admitindo uma rigidez de endurecimento de 2% da rigidez elástica
( = ) e um limite máximo da tensão no aço de 1.3 vezes a sua tensão de cedência
( = ). Desta forma, é feita uma melhor aproximação do comportamento real deste
material, permitindo considerar o espalhamento da plasticidade. A nova relação constitutiva
do aço fica então definida pela Figura 3.8.
Além disso, o autor desprezou a deformabilidade por corte face à deformabilidade por flexão,
admitindo que a capacidade resistente ao corte excede sempre o esforço transverso atuante.
Numa segunda análise, Brito [2011] alterou apenas a resistência à tração do betão, admitindo
uma resistência à tração de 10% da resistência à compressão ( ), ou seja,
.
Para ambas as situações, foram considerados três níveis de armadura de tração (Aa): 20, 50 e
125 cm2. Tratando-se de uma secção circular, Aa representa neste caso metade da armadura
total de flexão.
De seguida, o autor identificou o deslocamento de cedência ( ) correspondente ao nível mais
baixo de armadura (Aa = 20 cm2) como sendo o deslocamento a servir de referência às
análises efetuadas. Comparando as curvaturas na secção da base da coluna para as duas
situações descritas, Brito [2011] verificou que a influência da resistência à tração do betão
Figura 3.8 - Relação constitutiva trilinear do aço
62
diminui com o aumento da armadura de flexão, como se pode verificar pela observação do
Quadro 3.2.
Quadro 3.2 - Curvaturas na secção da base da coluna [Brito, 2011]
Betão sem resistência à tração
( )
Betão com resistência à tração
( )
Aa [cm2]
Aa [cm
2]
20 3.12 17.61 48.92
20 3.63 18.22 49.35
50 3.12 16.32 51.07
50 3.17 16.43 51.14
125 3.12 16.12 56.61
125 3.14 16.17 56.67
Por outro lado, o autor concluiu que as curvaturas poderão ser subestimadas no caso de se
desprezar a resistência à tração do betão, como se pode notar no quadro anterior. Contudo, o
referido efeito é pouco importante quantitativamente. Deste modo, o autor chegou à conclusão
que se considera aceitável desprezar a resistência à tração do betão.
3.4.4. Esforço axial
O esforço normal em elementos de betão armado aumenta a zona comprimida das secções
transversais, o que provoca um aumento da extensão máxima de compressão para uma
determinada curvatura, e por isso a rotura da secção ocorre para curvaturas menores.
Com o objetivo de averiguar este efeito negativo, Brito [2011] comparou os resultados
obtidos para o caso do estudo da coluna de betão sem esforço normal e o caso da coluna
sujeita a um nível de esforço axial de 40% da capacidade resistente à compressão simples.
Desta maneira, o autor conseguiu chegar às seguintes conclusões:
o esforço normal aumenta a profundidade da linha neutra na cedência, aumentando por
isso a curvatura de cedência;
todas as secções atingem a rotura por excesso de deformação de compressão do betão
devido ao aumento da profundidade da linha neutra;
a curvatura última das secções varia muito pouco com a quantidade de armadura de
flexão, uma vez que a profundidade da linha neutra para os diferentes casos é muito
semelhante;
63
a quantidade de armadura de flexão afeta principalmente a capacidade resistente da
secção transversal, porém, praticamente não afeta a capacidade de deformação;
as curvaturas últimas são consideravelmente menores em comparação com as secções
com esforço axial nulo.
Desta forma, pelo que foi apresentado, constata-se que o esforço normal de compressão tem
um efeito negativo na ductilidade de elementos de betão.
3.4.5. Declive do ramo descendente da relação constitutiva do betão confinado
Verifica-se que as relações constitutivas do betão confinado muitas vezes têm um ramo
descendente, o que indica uma perda de resistência para deformações de compressão
significativas. Segundo Brito [2011], essa perda de resistência conduz a um aumento da
profundidade da linha neutra para curvaturas elevadas, reduzindo a curvatura última, sendo
que este efeito é mais pronunciado nas secções com pouca armadura ou nas secções sujeitas a
esforços axiais elevados.
Contudo, o autor refere que para níveis de confinamento médios a elevados, a inclinação do
ramo descendente da relação constitutiva do betão confinado pode ser pequena.
3.5. Conclusões
Apresentou-se em primeiro lugar neste capítulo as relações constitutivas monotónicas dos
materiais que, respeitando determinados critérios de boa concepção, servem de base às
análises não lineares efetuadas para se estudar o comportamento de elementos de betão
sujeitos a deslocamentos impostos.
Na segunda parte desta secção, constatou-se que a verificação de segurança deve ser definida
em termos de grandezas cinemáticas (deformações) para o caso de deslocamentos impostos às
peças de betão armado, de modo comparar-se explicitamente a capacidade de deformação
disponível com a respetiva exigência.
64
Em último lugar, analisou-se a influência de diferentes fatores na capacidade de deformação
dos elementos, identificando-se o efeito que cada um tem sobre a ductilidade das secções e
elementos de betão armado.
65
4. APLICAÇÕES COMPUTACIONAIS UTILIZADAS
4.1. Introdução
O principal objetivo deste trabalho consiste em avaliar o efeito da ação sísmica no
dimensionamento de estacas com base na interação cinemática solo-estaca, considerando o
comportamento não linear do solo e a não linearidade do betão armado da estaca. Foi descrito
no capítulo 2 o método utilizado que permite contemplar o efeito de interação cinemática
solo-estaca, nomeadamente o modelo BDWF. Para ter em conta o comportamento não linear
dos diferentes materiais do problema em estudo, é necessário considerar duas aplicações
computacionais distintas. Através do programa CINEMAT desenvolvido por Santos [1999],
que se baseia no modelo BDWF, é tido em conta o comportamento não linear do solo através
do método linear equivalente. Por outro lado, recorrendo ao programa PIER desenvolvido por
Brito [2011], é considerada a não linearidade da estaca com base nas relações constitutívas
não lineares do betão e do aço. Uma vez que são utilizados dois programas de cálculo para
avaliar o efeito da ação sísmica, é necessário criar um processo iterativo que permita analisar
o problema respeitando todas as hipóteses assumidas. Neste capítulo opta-se por descrever
apenas as duas aplicações computacionais utilizadas de forma isolada, sendo que o processo
iterativo desenvolvido com base nas mesmas é descrito apenas no capítulo 5 deste trabalho
aquando das análises efetuadas em relação a um caso de estudo prático.
4.2. CINEMAT
4.2.1. Introdução
No ponto 2.3.1 deste trabalho foi descrito com detalhe o modelo BDWF para o estudo do
efeito de interação cinemática no caso de uma estaca isolada embebida numa camada
homogénea assente sobre substrato rígido, considerando uma ação harmónica na base e um
comportamento viscoelástico linear do solo.
Para a análise de situações mais complexas, é tido em conta neste trabalho o programa de
cálculo CINEMAT desenvolvido por Santos [1999]. Através deste programa, que resulta da
combinação do modelo BDWF com um modelo de propagação unidimensional das ondas de
66
corte sísmicas , é possível avaliar casos de estudo em que o terreno é constituído por várias
camadas horizontais com diferentes características, considerar o comportamento não linear do
solo, assim como estudar o problema de interação cinemática no domínio do tempo.
De seguida, são descritas as técnicas em que o programa de cálculo utilizado se baseia,
nomeadamente a modelação da resposta do campo livre, o método de resolução numérico
considerado, o método da resposta complexa no domínio do tempo recorrendo à técnica de
transformada de Fourier e o método linear equivalente que permite considerar o
comportamento não linear do solo.
4.2.2. Implementação do modelo BDWF num programa de elementos finitos
4.2.2.1. Modelo de propagação unidimensional da ação sísmica
O programa de cálculo considerado tem em conta um modelo unidimensional da resposta do
campo livre. Segundo o postulado de Schnabel et al. [1972], é possível admitir que o
movimento horizontal do terreno tem como origem principal a propagação vertical das ondas
de corte, desde que a estratificação do solo seja horizontal e com extensão lateral infinita.
Assim, com base na nomenclatura apresentada na Figura 4.1, faz-se referência à análise do
efeito da propagação vertical das ondas de corte num sistema constituído por N camadas de
solo com características diferentes e extensão lateral infinita.
Figura 4.1 – Nomenclatura para o modelo de propagação vertical das ondas de corte
(adaptado de Kramer [1996])
67
Admite-se que em cada camada m o solo é homogéneo e isotrópico com comportamento
viscoelástico, correspondente a um coeficiente de amortecimento histerético , módulo de
distorção e massa volúmica .
Deste modo, a solução geral para uma dada camada m, em termos de deslocamentos absolutos
e com base na notação complexa, é expressa pela seguinte fórmula [Kramer, 1996]:
(4.1)
em que e correspondem à amplitude da onda incidente e refletida, respetivamente, e:
(4.2)
Com isto, temos que a tensão de corte é calculada por:
(4.3)
onde:
(4.4)
Na interface de transição entre duas camadas consecutivas, os deslocamentos e as tensões de
corte devem ser compatíveis, isto é, o deslocamento (tensão de corte) no topo de uma
determinada camada deve ser igual ao deslocamento (tensão de corte) na base da camada
sobrejacente. Assim, as condições de continuidade na fronteira entre a camada m e a camada
m+1, são dadas por:
(4.5)
e
68
(4.6)
Com base nas duas expressões anteriores, e após algumas operações matemáticas, é então
possível definir as equações de recorrência que relacionam as amplitudes das ondas incidente
e refletida entre duas camadas consecutivas:
(4.7a)
(4.7b)
onde:
(4.8)
À superfície, tratando-se de uma fronteira livre, a tensão é nula e, por conseguinte, temos que
A1=B1. Deste modo, aplicando repetidamente as equações de recorrência (4.7) desde a
camada 1 até à camada N, temos que:
(4.9a)
(4.9b)
onde e
correspondem às chamadas funções de transferência.
Com base nas equações (4.9), é fácil concluir que, se o movimento sísmico for conhecido na
camada N, então o valor de A1 pode ser calculado assim como a resposta do terreno nas outras
camadas.
69
Por último, relativamente às condições de radiação na fronteira inferior, considera-se neste
trabalho que as ondas que atingem a fronteira inferior são totalmente refletidas. Ou seja,
considera-se que a fronteira inferior corresponde a substrato rígido.
4.2.2.2. Breve descrição do método de resolução numérica utilizado (domínio da
frequência)
Neste ponto é apresentada uma descrição sumária do método numérico de resolução do
problema dinâmico do efeito de interação cinemática solo-estaca considerado neste estudo.
Faz-se referência ao desenvolvimento proposto por Santos [1999], com base no trabalho
desenvolvido por Reddy [1985] relativamente ao método dos elementos finitos.
Considerando para o solo um amortecimento do tipo histerético, é mais vantajoso abordar o
problema no domínio da frequência. Assim, temos que a equação diferencial de equilíbrio
dinâmico que governa o efeito de interação cinemática solo-estaca, definida em termos de
deslocamentos absolutos e em regime de vibração permanente, é dada por:
(4.10)
Resolvendo o problema com base no método dos elementos finitos formulado em termos de
deslocamentos, começa-se por dividir o domínio Ω, que representa a estaca, num conjunto de
N elementos finitos (subdomínios ) de linha com dois pontos nodais. Estes elementos são
então definidos pelas suas coordenadas locais, isto é, , onde se considera que:
é constante;
e k são constantes;
c é função da frequência ω;
é função da frequência ω e da coordenada x.
Seguidamente, isola-se o elemento finito e define-se a formulação variacional ou fraca da
equação (4.10), o que conduz à seguinte equação integral [Reddy, 1985]:
70
(4.11)
em que v é uma função de teste duas vezes diferenciável em ordem a x no domínio , e
correspondem às forças de corte generalizadas aplicadas nos pontos nodais, e e
correspondem aos momentos de flexão generalizados aplicados nos pontos nodais.
Admitindo como incógnitas os deslocamentos generalizados dos pontos nodais do elemento,
(com k=1,2,…,4), a aplicação do método de Galerkin conduz à seguinte solução
aproximada do campo de deslocamentos no interior de cada elemento [Reddy, 1985]:
(4.12)
onde:
ng = número de graus de liberdade do elemento finito
deslocamentos nodais generalizados
funções de interpolação
Tendo em conta a equação (4.11), as funções de interpolação e as suas derivadas até à ordem
três devem ser contínuas e satisfazer as condições de fronteira essenciais nos pontos nodais de
cada elemento. Desta forma, adotam-se como funções de interpolação os polinómios cúbicos
de Hermite [Reddy, 1985]:
71
(4.13)
onde L corresponde ao comprimento do elemento finito, tendo em conta o referencial local.
Assim, a equação de equilíbrio dinâmico aproximada do elemento, assumindo que a função
de teste é dada por , é obtida introduzindo a expressão (1.12) na equação variacional
(4.11):
(4.14)
em que:
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
72
onde
corresponde à matriz de rigidez elementar,
é a matriz de massa elementar,
a matriz de amortecimento elementar considerando o amortecimento do solo e o
amortecimento por radiação lateral, e
é o vetor das forças nodais generalizadas.
Em relação à equação (4.18), a segunda parcela correspondente às forças generalizadas
aplicadas nos pontos nodais é zero, uma vez que no estudo do efeito de interação cinemática
solo-estaca apenas se considera a ação correspondente aos deslocamentos do campo livre
(primeira parcela da referida equação).
Desta forma, as forças nodais foram obtidas efetuando as respetivas integrações no referencial
local do elemento, , considerando que, com base no que foi descrito no ponto
4.2.2.1, a amplitude dos deslocamentos do campo livre no domínio é obtida por:
(4.19)
O resultados das integrações efetuadas correspondente às forças generalizadas obtidas pode
ser consultado em Santos [1999].
Note-se que, em relação à equação (4.14), se se tiver em conta uma matriz complexa de
rigidez dinâmica que inclua o efeito da massa e do amortecimento, então a equação de
equilíbrio dinâmico aproximada pode ser escrita sob uma forma mais condensada:
(4.20)
em que neste caso:
(4.21)
Uma vez que as equações de equilíbrio dinâmico elementar (4.14) ou (4.20) são gerais e
válidas para todos os elementos finitos do domínio Ω discretizado, conclui-se que, respeitando
as condições de compatibilidade nos pontos nodais de ligação entre elementos, é possível
agrupar os sistemas de equações do conjunto de elementos que formam o domínio Ω, os quais
conjuntamente com as condições de fronteira, formam um sistema de equações lineares
73
reescritas em termos dos deslocamentos globais generalizados d(ω). Assim, as equações
(4.14) e (4.20) transformam-se, respetivamente, em:
(4.22)
e
(4.23)
onde, para este caso:
matriz de rigidez global
matriz de rigidez global
matriz de massa global
matriz de amortecimento global
vetor dos deslocamentos globais generalizados
vetor das forças globais generalizados
Convém frisar em último lugar que, para a resolução do problema de equilíbrio dinâmico
linear através da equação (4.22), não se revelou vantajoso a consideração do método de
sobreposição modal tendo em conta o número reduzido de graus de liberdade do sistema em
causa [Santos, 1999].
4.2.3. Método da resposta complexa no domínio do tempo
Como se viu anteriormente, a consideração do amortecimento histerético conduziu à definição
de uma rigidez complexa para o solo e, por isso, a discretização geométrica das equações de
equilíbrio dinâmico que governam o efeito de interação cinemática solo-estaca conduziu
também a um sistema de equações complexas.
A ação sísmica, numa abordagem determinística do problema, é caraterizada através de
histórias de acelerações impostas na fronteira basal. Com isto, e tendo em conta a linearidade
do sistema em causa, o problema no domínio do tempo é transposto e resolvido no domínio
74
da frequência. Este processo corresponde ao método de resposta complexa no domínio da
frequência, e recorre à técnica de transformada de Fourier.
Estuda-se então o processo físico descrito no tempo por uma variável a(t) em função do
tempo t, ou no domínio da frequência em que o mesmo processo é definido pela amplitude
A(ω) em função da frequência angular ω. Deste modo, as equações correspondentes à
transformada direta e inversa de Fourier são dadas respetivamente por:
(4.24)
e
(4.25)
onde a(t) e A(ω) poderão corresponder a funções complexas.
Uma vez que no modelo BDWF a ação sísmica é considerada como uma ação determinística
sem variabilidade espacial, a resolução do problema obriga à partida à sua transformação para
o domínio da frequência pela transformada direta de Fourier. Assim, a resposta do sistema é
depois calculada para cada uma das harmónicas com amplitude unitária, obtendo-se a função
de resposta complexa no domínio da frequência H(ω), ou função de transferência como é
também usual ser chamada.
Com isto, a função de resposta no domínio do tempo y(t) é determinada sobrepondo as
respostas harmónicas, o que significa, em linguagem matemática, aplicar a transformada
inversa de Fourier, ou seja:
(4.26)
Através da equação (4.26) anterior, é então possível determinar a resposta em termos de
deslocamentos, acelerações ou esforços internos da estaca, consoante a função de
transferência em causa.
75
Nos problemas dinâmicos considerados neste trabalho, a história de acelerações é definida por
uma série temporal com N valores discretos igualmente espaçados no tempo. Deste modo, as
transformadas de Fourier passam a tomar a forma discreta de somatório – “Discrete Fourier
Transform” (DFT) – com um número de termos igual ao número de pontos de discretização
da ação sísmica. Tendo em conta que a avaliação da resposta total do sistema envolve a
consideração das transformadas direta e inversa de Fourier, é-se conduzido a um número total
de operações elevado (N2). Porém, graças ao desenvolvimento do algoritmo da transformada
rápida de Fourier – “Fast Fourier Transform” (FFT) – o número de operações é reduzido para
[Cooley e Tukey, 1965], viabilizando desta maneira a aplicação do método de
resposta complexa no domínio da frequência. Por último, uma vez que a história de
acelerações é definida por valores reais, é possível ainda tirar partido das propriedades de
simetria das transformadas de Fourier, reduzindo o número total de harmónicas para N/2+1.
Refere-se então que o programa de cálculo CINEMAT utilizado incorpora uma subrotina que
aplica o algoritmo FFT para funções reais, tirando desta forma proveito das propriedades de
simetria descritas anteriormente.
4.2.4. Comportamento não linear do solo - Método linear equivalente
Como foi visto anteriormente, o método de resposta complexa descrito pressupõe a
linearidade do sistema. Assim, o comportamento não linear do solo é considerado de forma
aproximada através do método linear equivalente.
Este método é iterativo e consiste em procurar a compatibilização entre a distorção e os
respetivos valores secantes de G e no ponto médio de cada camada de solo, tendo em conta
a discretização geométrica do problema em estudo. A compatibilização em causa é feita com
base em curvas não lineares G/G0-γ e ξ-γ obtidas em laboratório [Santos, 1999].
Contudo, durante a atuação de um sismo, as distorções no terreno variam de maneira
irregular, atingindo na verdade poucas vezes os valores máximos. Visto isto, Seed et al.
[1975], no contexto do problema de liquefação das areias (associada a amplitudes de distorção
elevadas), desenvolveram uma metodologia através da qual a história irregular das tensões de
corte é convertida num número equivalente de ciclos uniformes de ações sinusoidais com
76
amplitude igual 65% do valor máximo do módulo da tensão de corte. Desta forma, definiram
uma tensão de corte média dada por:
(4.27)
em que corresponde à tensão de corte média equivalente para os ciclos sinusoidais e
é o valor máximo do módulo da tensão de corte da história irregular.
No entanto, segundo Makdisi e Seed [1979] apenas se pode considerar a equação (4.27) para
níveis de distorção mais baixos se a resposta do solo for calculada com base num valor
representativo da distorção. Este valor, denominado distorção cíclica equivalente ou efetiva,
corresponde a uma fração do valor máximo da distorção ocorrido durante o sismo e é dado
por [Idriss e Sun, 1992]:
(4.28)
onde M é a magnitude do sismo e é o valor máximo da distorção para a história
irregular.
Com base na relação empírica anterior, temos que o valor de varia entre 0.5 e 0.7 para
sismos com magnitude entre 6 e 8, respetivamente. Porém, Idriss e Sun [1992] referem que a
resposta dinâmica do sistema não é muito sensível ao coeficiente em causa. Com isto, adopta-
se neste trabalho o valor frequentemente referido na literatura de =0.65.
A análise iterativa é feita até se verificar a convergência entre os valores de G e
correspondentes a duas iterações consecutivas. Na maior parte dos casos, consegue-se obter
uma boa convergência, com erros associados da ordem de 1%, após 5 a 8 iterações [Idriss e
Sun, 1992].
Convém referir que, tendo em conta que neste método as propriedades do solo G-γ e ξ-γ se
mantêm invariáveis durante a atuação de um sismo, a utilização das mesmas conduz,
geralmente, a uma resposta mais amortecida ou atenuada, principalmente para os casos em
que a história de distorções tem um valor de pico muito pronunciado. Neste sentido, Santos
[1999] estudou um novo procedimento através do qual a compatibilização é feita não apenas
para os valores máximos que ocorrem durante todo o tempo de análise, mas sim para cada
77
instante de tempo. Porém, confrontando os dois métodos de análise referidos, o autor concluiu
que ambos os métodos conduzem a valores semelhantes em termos de valores máximos, quer
em relação a acelerações, quer em relação a momentos fletores. Por isso, visto que este
trabalho tem como principal objetivo a previsão dos efeitos máximos na estaca, adota-se o
método linear equivalente convencional em que a compatibilização é feita somente em
relação aos valores máximos (o qual corresponde a uma maior eficiência em termos de tempo
de cálculo).
Em último lugar, é necessário ter em atenção que se admitiu neste trabalho que existe uma
aderência perfeita entre o solo e a estaca, ou seja, que a estaca tem a base restringida, pois é a
condição de fronteira que melhor se ajusta à realidade [Santos, 1999]. Com isto, não foram
considerados outros efeitos de não linearidade ao nível local devido a fenómenos de separação
ou perda de contacto entre a estaca e solo envolvente. Deste modo, em termos da formulação
de elementos finitos, foram impostos nos pontos nodais da estaca um campo de forças
exteriores correspondentes aos deslocamentos do campo livre obtidos com base no
comportamento não linear do solo.
A estrutura do programa CINEMAT, desde a leitura dos dados até ao cálculo dos
deslocamentos e dos esforços da estaca, pode ser consultada em Santos [1999].
4.3. PIER
4.3.1. Introdução
Neste ponto do trabalho é apresentada a formulação matemática da aplicação computacional
utilizada para avaliar a capacidade de deformação a que as estruturas podem ser sujeitas, com
base em análises não lineares. O programa informático em causa (PIER) foi desenvolvido por
Brito [2011] e permite, no geral, realizar análises de estruturas reticuladas planas de betão
armado sujeitas a carregamentos monotónicos, carregamentos esses que podem corresponder
a forças aplicadas ou deslocamentos impostos.
A ação sísmica corresponde a uma ação cíclica, porém, neste programa foi considerada uma
análise monotónica, tendo em conta as inúmeras vantagens que lhe estão inerentes, sendo
78
muito mais eficiente tanto ao nível da formulação das ferramentas matemáticas, como da sua
implementação computacional e do volume de cálculo.
O programa de análise física e geometricamente não-linear em estudo recorre a uma
formulação baseada no método dos deslocamentos com matriz de rigidez secante. Os dados
de entrada do programa são as coordenadas dos nós da estrutura discretizada, as barras retas
com as respetivas secções transversais que ligam os nós, e as cargas (forças aplicadas ou
deslocamentos nodais impostos).
Relativamente à definição das secções transversais, esta é tratada através de uma outra
aplicação computacional desenvolvida por Brito [2011], designada por FLEXÃO. As rotinas
de cálculo por outro lado, como a avaliação dos esforços e da matriz de rigidez secante, são
consideradas no programa PIER.
Com base no que foi referido, esta secção do trabalho divide-se em quatro pontos,
correspondentes aos quatro principais níveis de implementação do programa referidos pelo
autor, onde é abordado de forma sucinta a implementação e descrição das secções
transversais, a formulação matemática dos elementos finitos, e as duas análises estruturais
aplicadas, linear e não linear.
O desenvolvimento detalhado da aplicação computacional pode ser consultado em Brito
[2011].
4.3.2. Definição das secções transversais
4.3.2.1. Introdução
As secções transversais são definidas por um ou vários contornos que as delimitam, e estes
correspondem a conjuntos contínuos de arcos (ver Figura 4.2). Tendo em conta uma descrição
paramétrica dos mesmos [Brito, 2011]:
Arco k:
,
79
Admite-se que cada um dos arcos que constituem os contornos são contínuos e diferenciáveis,
isto é, que as funções e pertencem à classe C1.
Relativamente às armaduras, o autor associou as mesmas aos arcos dos contornos, como é
ilustrado na Figura 4.2, especificando o recobrimento e quantificando os respetivos varões.
Por último, é importante ainda apresentar o referencial segundo o qual o autor se baseou:
Figura 4.2 – Secções transversais (adaptado de Brito [2011]):
(a) contornos; e (b) armaduras
Figura 4.3 - Referencial local das secções
transversais [Brito, 2011]
80
4.3.2.2. Determinação dos elementos de redução
Tendo em conta a secção transversal representada na Figura 4.4, sabe-se que, quando esta é
sujeita a um campo de deformações , os elementos de redução estáticos, nomeadamente
o esforço normal, o momento fletor em torno de x e o momento fletor em torno de y, são
dados respetivamente por:
(4.29)
(4.30)
(4.31)
onde ε e σ representam a extensão e a tensão do ponto genérico da secção, por essa ordem.
Brito [2011], admitindo que o campo de deformações é linear e não depende de x, uma vez
que teve como base uma análise plana da secção em que uma das direções principais pertence
ao plano da estrutura, mostrou que:
(4.32)
Com isto, e restringindo as relações constitutivas dos materiais a funções polinomiais do tipo:
Figura 4.4 – Secção de betão armado
[Brito, 2011]
81
(4.33)
o autor concluiu que as expressões (4.29), (4.30) e (4.31) anteriores podem passar a ser
escritas da seguinte forma:
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Com base nestas equações, é fácil perceber que todos os elementos de redução são do tipo:
(4.37)
e, portanto, a dificuldade da determinação destes elementos é resumida na dificuldade da
avaliação do integral
[Brito, 2011].
Aquando do estudo do referido integral, o autor mostrou que é possível avaliar as grandezas
integrais sobre as secções transversais através da soma determinada sobre as regiões
delimitadas pelos arcos dos contornos que definem as secções e o eixo das ordenadas, como é
ilustrado na Figura 4.5.
82
Deste modo, e considerando uma definição paramétrica dos arcos dos contornos (ver Figura
4.6), o autor mostrou que o integral de uma dada função sobre a região delimitada pelo
eixo das ordenadas e a curva do contorno, no intervalo [a;b] do parâmetro s, pode ser
calculado pela seguinte expressão:
(4.38)
Figura 4.5 - Decomposição de uma secção transversal [Brito, 2011]
Figura 4.6 - Definição paramétrica de um arco de contorno
[Brito, 2011]
83
Assim, em relação ao integral expresso na equação (4.37), Brito [2011] concluiu que:
(4.39)
Por fim, integrar o monómio sobre Ω corresponde então a estender o integral sobre o
intervalo para todos os arcos que constituem os contornos da secção transversal e
somar as respetivas contribuições, ou seja:
(4.40)
A resolução explícita deste integral para os casos mais comuns dos contornos das secções
(poligonais e/ou arcos de circunferência) pode ser consultada em Brito [2011].
4.3.2.3. Cálculo da matriz de rigidez secante
Utilizando diretamente a definição de matriz de rigidez, e com base nos vetores das
deformações e das forças correspondentes, a matriz de rigidez secante é dada por:
ε
ε
(4.41)
onde corresponde à curvatura da secção e representa a extensão da secção ao nível do
centróide.
Cada umas das entradas da matriz é obtida considerando a rigidez secante correspondente ao
estado de tensão instalado na secção (ver Figura 4.7). Deste modo, temos que [Brito, 2011]:
com (4.42a)
84
com (4.42b)
com (4.42c)
com (4.42d)
Com base nas expressões (4.42), o autor concluiu que os termos da matriz de rigidez secante
correspondem a uma equação do tipo:
(4.43)
Tendo em conta a expressão (4.32) apresentada anteriormente, e uma vez que o estado de
deformação da secção transversal para o qual se determinada a matriz de rigidez secante é
caracterizado pela extensão do centróide e pela curvatura em torno do eixo horizontal
( ) [Brito, 2011], temos que o campo de extensões é dado por:
(4.44)
Figura 4.7 - Rigidez secante correspondente ao estado de tensão instalado na
secção [Brito, 2011]
85
Os campos de deformações impostos para a determinação das diferentes parcelas da matriz de
rigidez secante, com base na mesma equação, são definidos pela seguinte expressão:
(4.45)
Contudo, estes campos apenas dependem do termo da matriz de rigidez secante ( ) em
causa. Portanto, tendo em conta o que foi apresentasdo nas equações (4.42), a expressão
(4.45) pode ser escrita simplificadamente por:
(4.46)
Desta maneira, Brito [2011] conseguiu resumir de uma forma genérica as diferentes entradas
da matriz de rigidez secante, passando a equação (4.43) a ser escrita da seguinte forma:
(4.47)
Analisando os termos fora da diagonal da matriz, é possível verificar a simetria da mesma,
uma vez que, para o mesmo estado de deformação da secção ( ), esses termos são iguais
tendo em conta que a soma (p+q) é igual a 3 para ambos os casos.
Por último, é importante referir que na definição da matriz de rigidez secante acabada de
descrever o autor se base numa relação constitutiva polinomial sobre todo o domínio da
secção transversal. Quando o mesmo não se verifica, a solução passa por definir o integral em
sub-regiões em que a relação constitutiva é de facto polinomial.
A análise detalhada do desenvolvimento da expressão (4.47) pode ser consultada em Brito
[2011].
86
4.3.3. Formulação matemática dos elementos finitos
4.3.3.1. Introdução
Em relação aos elementos finitos, o autor optou por ter como base um elemento finito
abstrato, atribuindo-lhe um conjunto de funcionalidades que conferem maior versatilidade na
modelação estrutural e reduzem consideravelmente a dimensão da matriz de rigidez do
equilíbrio global. A implementação da formulação matemática dos elementos finitos partiu
então de um único tipo, onde é contemplada a matriz de rigidez ( ), o vetor das forças nodais
( ), o vetor das forças de fixação ( ) e um vetor dos deslocamentos nodais ( ), sendo só
depois concretizada através da formulação específica da barra de eixo reto e rigidez variável.
Em último lugar, o autor definiu o elemento finito ao nível do utilizador da aplicação
computacional, que congrega e controla todas as formulações parciais.
As referidas funcionalidades, nomeadamente a libertação de esforços nas extremidades dos
elementos finitos, a rotação de referencial, inclusão de troços rígidos nas extremidades dos
elementos e a subestruturação, são aplicadas sobre os elementos finitos abstratos e operam
apenas sobre as respetivas matrizes e vetores, de forma totalmente independente de qualquer
formulação específica dos elementos finitos. Neste trabalho não são abordadas essas
funcionalidades, sendo que a descrição das mesmas pode ser consultada em Brito [2011].
O ponto 4.3.3.2 corresponde então à descrição do elemento finito de barra de eixo reto e
rigidez das secções transversais variável. É apresentada apenas a formulação matemática
utilizada para calcular a matriz de rigidez e o vetor das forças de fixação, uma vez que o vetor
das forças nodais não diz respeito ao elemento finito propriamente dito e os deslocamentos
nodais resultam da análise estrutural [Brito, 2011]. Convém ainda referir que o autor teve
como base a hipótese de que as matrizes de rigidez ao nível das secções extremas da barra são
conhecidas, interpolando-se os termos da matriz de rigidez ao longo do eixo do elemento
finito.
Por fim, no ponto 4.3.3.3 é apresentado o elemento finito de barra completo a que o utilizador
tem acesso. Elemento este que utiliza e controla o adequado acoplamento das operações
definidas, permitindo um uso simples do programa de análise estrutural desenvolvido pelo
autor.
87
4.3.3.2. Elemento finito de barra de eixo reto e rigidez variável
Na definição de um elemento finito de barra de eixo reto com rigidez variável, as grandezas
relevantes a determinar correspondem à matriz de rigidez e ao vetor das forças de fixação.
Brito [2011], partindo do pressuposto que as matrizes de rigidez das secções extremas do
elemento, assim como as respetivas relações constitutivas, são conhecidas, começou por
considerar a seguinte relação:
(4.48)
em que:
vetor dos esforços da secção transversal
matriz de rigidez da secção transversal
vetor das deformações da secção transversal
Desta maneira, com base na expressão (4.48) torna-se possível calcular os esforços ( ) de
qualquer secção, para qualquer estado de deformação ( ) correspondente.
Na Figura 4.8 são apresentados os esforços generalizados que foram tidos em conta no
elemento finito em estudo.
Figura 4.8 – Esforços generalizados do elemento finito de
barra
88
Visto que o autor se baseou numa estrutura isostática (viga simplesmente apoiada),
consideram-se dois tipos de esforços, dependentes (Ni, Vi e Vj) e independentes (Nj, Mi e Mj),
uma vez que as reações de apoio podem ser determinadas por equilíbrio para qualquer
carregamento. Na Figura 4.9 é possível observar os esforços independentes correspondentes
às variáveis estáticas, assim como as variáveis cinemáticas do problema em análise.
O valor das três variáveis cinemáticas apresentadas na figura anterior foi calculado por
integração das deformações do eixo do elemento finito de barra, recorrendo ao Princípio dos
Trabalhos Virtuais, através das expressões (4.49), (4.50) e (4.51). A resolução dos integrais
foi feita de forma numérica recorrendo aos pontos de Gauss de ordem 4 [Brito, 2011].
(4.49)
(4.50)
(4.51)
Figura 4.9 - Variáveis do problema: (a) estáticas; e (b)
cinemáticas
89
Note-se que é então necessário conhecer o valor das extensões e curvaturas em cada ponto
(secção) da barra. Como a relação apresentada na expressão (4.48) é invertível, e tendo em
conta que a formulação desenvolvida pelo autor permite conhecer à partida os esforços nas
diversas secções do elemento, recorre-se à relação constitutiva ao nível da secção para
determinar o valor das deformações:
(4.52)
Na determinação da matriz de rigidez do elemento finito de barra, o autor optou por recorrer a
uma abordagem inversa aquela que é mais comum, ou seja, aplicou (de forma isolada)
esforços independentes unitários com o objetivo de calcular os deslocamentos independentes
associados, obtendo desta forma a matriz de flexibilidade que corresponde à inversa da matriz
de rigidez.
Com base nos campos de esforços apresentados no Quadro 4.1 relativos a cada um dos
esforços independentes referidos anteriormente, calculam-se os deslocamentos
(independentes) nas secções extremas da barra através da seguinte expressão:
(4.53)
onde é a matriz de flexibilidade, em que cada coluna corresponde aos deslocamentos das
extremidades da viga devidos à acção isolada do respectivo esforço independente.
90
Quadro 4.1 - Campos de esforços relativos a cada um dos esforços independentes
Esforço independente
Portanto, invertendo a relação (4.53), temos que:
(4.54)
onde . Com isto, tendo em conta a expressão anterior é possível calcular os esforços
independentes que devem ser aplicados à viga de modo a obter deslocamentos unitários num
determinado grau de liberdade e zero nos restantes, esforços esses que correspondem a cada
coluna da matriz .
Por fim, o objetivo final consiste em calcular a matiz de rigidez relativa ao elemento finito de
barra apresentado na Figura 4.10. Brito [2011], depois de determinar as entradas
correspondentes aos deslocamentos em falta ( , e ), concluiu então que a matriz de
rigidez da barra é dada pela expressão (4.55) apresentada a seguir.
91
(4.55)
Relativamente ao cálculo do vetor das forças de fixação, o método é análogo ao acabado de
descrever. Neste caso, a informação necessária corresponde aos campos de esforços
associados aos principais carregamentos de vão, informação essa apresentada no Quadro 4.2.
Quadro 4.2 - Campos de esforços relativos aos carregamentos de vão mais relevantes
Car
regam
ento
de
vão
Com isto, e através das expressões (4.49), (4.50) e (4.51) apresentadas anteriormente, são
calculados os deslocamentos nas extremidades da viga para cada um dos carregamentos.
Posteriormente, com base na relação (4.54) são obtidos os esforços independentes que devem
ser aplicados de modo a obterem-se deslocamentos nodais nulos.
Figura 4.10 - Elemento finito de barra
92
Os esforços ao longo do elemento finito de barra são então determinados por sobreposição de
efeitos, isto é, somando-se os esforços devidos aos carregamentos de vão para a estrutura base
com os relativos aos esforços de fixação determinados atrás.
Por último, é importante referir que os procedimentos aplicados por Brito [2011] que foram
descritos neste ponto do trabalho generalizam o cálculo da matriz de rigidez e do vetor das
forças de fixação de peças lineares para o caso de materiais com comportamento não-linear e
elementos de rigidez variável ao longo do seu eixo, objeto de estudo desta dissertação.
4.3.3.3. Elemento finito de barra completo
De acordo com Brito [2011], entende-se como elemento finito de barra completo um
elemento estrutural. Uma vez que é preciso considerar explicitamente as armaduras de flexão
e de forma indireta as armaduras transversais, o autor permitiu que estes elementos possam
corresponder a uma sucessão de elementos finitos (de barra) com propriedades diferentes.
Além disso, é possível subdividir as zonas de secção constante em regiões menores para que
as propriedades de rigidez ao longo do eixo da barra sejam convenientemente determinadas.
Desta forma, Brito [2011] conseguiu fazer face à necessidade de ter que considerar grandes
variações de deformações (e de rigidez secante) em extensões relativamente pequenas,
aquando da simulação do aproveitamento da plasticidade.
Com o objetivo de clarificar os diferentes níveis de subdivisão implementados pelo autor, é
apresentado na Figura 4.11 um exemplo referente a uma viga de betão armado, onde é
possível observar-se os dois níveis de subdivisão (primária e secundária) referidos
anteriormente.
93
4.3.4. Análise linear
A análise elástica linear serve de base à análise não linear, uma vez que a primeira é aplicada
em cada passo da segunda, contemplando os seguintes passos:
Reordenação dos nós (apenas na primeira iteração);
Determinação das matrizes de rigidez elementares e forças de fixação elementares;
Determinação da matriz de rigidez global e vetor das forças nodais;
Factorização da matriz de rigidez global;
Determinação dos deslocamentos nodais;
Determinação dos esforços internos e das deformações.
A reordenação dos nós prende-se apenas com a escolha de uma ordem dos nós que permita
concentrar os termos não nulos da matriz de rigidez perto da diagonal principal, tornando
muito mais eficiente a utilização dos recursos (tempo e memória) [Brito, 2011]. Desta forma,
o autor utilizou o método desenvolvido por Cuthill e McKee [1969], designado por “Reverse
Cuthill McKee”, para garantir a mínima “distância” entre os nós ligados.
Figura 4.11 - Elemento finito de barra completo [Brito, 2011]
94
A determinação das matrizes de rigidez elementares, bem como das forças de fixação
elementares, é realizada ao nível dos próprios elementos finitos.
Em relação à matriz de rigidez global, esta é determinada contabilizando a contribuição de
todos os elementos finitos para os diversos graus de liberdade, assim como das molas que
incidem nos nós. A factorização foi realizada utilizando o método de Gauss.
Por último, os deslocamentos nodais são determinados por retro-substituição no sistema de
equações factorizado, enquanto que os esforços internos dos elementos finitos, tal como as
deformações, são parte integrante da formulação dos elementos finitos.
4.3.5. Análise não linear
Tendo em conta que na análise não linear implementada se recorre à rigidez secante, é
possível escrever-se, para a totalidade da carga aplicada ( ), uma equação geral do tipo:
(4.56)
em que é a matriz de rigidez secante e corresponde aos deslocamentos nodais na
configuração final.
Contudo, Brito [2011] concluiu que não se deve tentar aplicar a totalidade da carga de uma só
vez. À partida, poder-se-ia pensar em aplicar a totalidade da carga à estrutura, determinando
uma matriz de rigidez secante (que na primeira iteração corresponderia à rigidez tangente),
deixar a mesma deformar e corrigir a matriz de rigidez secante consoante os deslocamentos
obtidos, repetindo o processo até que estes estabilizassem.
No caso de se aplicar um conjunto de forças à estrutura, o processo parece razoável, como se
pode confirmar, à partida, pela análise da Figura 4.12.
95
No entanto, para situações em que sejam impostos deslocamentos à estrutura, o problema
muda drasticamente. Para o exemplo da viga biencastrada apresentada na Figura 4.13, em que
o único carregamento aplicado corresponde a um deslocamento imposto no topo, o autor
mostrou que se é conduzido a deformações muito superiores às admissíveis, visto que nos
elementos finitos a formulação se baseia nos esforços instalados ao longo do eixo da barra.
Figura 4.12 - Análise não linear para forças aplicadas à estrutura [Brito, 2011]
Figura 4.13 - Viga biencastrada com deslocamento
imposto no topo
96
Na verdade, o que sucede é que, numa primeira iteração e considerando a rigidez tangente, se
obtêm esforços relativamente grandes quando comparados com os reias, uma vez que a viga
perde gradualmente rigidez com a deformação. Quando se pretende impor deslocamentos
próximos dos máximos admissíveis, é-se conduzindo, na primeira iteração, a esforços que são
muito superiores aos máximos possíveis, como se pode verificar pela observação da Figura
4.14.
Desta forma, é conveniente aplicar as cargas, forças aplicadas e deslocamentos impostos, aos
poucos, com o intuito de evitar afastamentos significativos da solução em casa iteração, isto é,
pretende-se que a matriz de rigidez secante varie pouco para cada incremento de carga, de
modo a evitar o problema descrito atrás.
Como se viu, a ação sobre a estrutura pode consistir em diversos carregamentos de forças e
deslocamentos aplicados. Mas, como a análise pretendida é não linear, a sequência de
aplicação não é irrelevante [Brito, 2011]. O peso próprio, por exemplo, deve ser aplicado na
sua totalidade antes dos deslocamentos impostos que representam a ação sísmica.
Figura 4.14 - Momento de encastramento em função do deslocamento
imposto no topo [Brito, 2011]
97
Assim sendo, o autor simulou a sequência de aplicação das diversas ações através de fatores
multiplicativos independentes ( ), que representam para cada uma das acções a parcela a
aplicar em cada fase da análise. A progressão da análise é controlada através de um
coeficiente de controlo da aplicação das cargas e deslocamentos ( ), que assume o valor 1
ao terminar a aplicação da totalidade das cargas. Desta forma, a formulação descrita permite
aplicar os diversos carregamentos segundo sequências arbitrárias a definir pelo utilizador. Na
Figura 4.15 pode observar-se a aplicação do referido método para o caso em que se
consideram duas ações, ações permanentes e deslocamentos impostos, sendo que a primeira é
totalmente aplicada antes de se iniciar a aplicação da segunda.
Em cada passo do processo incremental aumenta-se a parcela das cargas e deslocamentos
aplicados em função de uma variação do coeficiente de controlo ( ) suficientemente
pequena para evitar os problemas descritos anteriormente. Com isto, determinar-se para essa
variação da ação a solução do problema de equilíbrio que é conseguido de forma iterativa,
uma vez que a matriz de rigidez secante varia, à partida, para os dois níveis da ação.
Considera-se que o processo iterativo termina quando a diferença entre os deslocamentos de
duas iterações consecutivas é suficientemente pequeno. O procedimento segundo o qual a
análise estrutural é realizada de forma iterativa pode ser consultado em Brito [2011].
Figura 4.15 - Sequência de aplicação de ações [Brito, 2011]
98
Importa referir que, para além das grandezas cinemáticas e estáticas principais, o programa
utilizado calcula também a rigidez de flexão equivalente EIeq. Esta grandeza é definida como
sendo a rigidez de flexão da secção transversal escrita no referencial correspondente ao centro
mecânico (CM). Este representa o ponto em que deve ser aplicado o esforço axial de maneira
que não exista curvatura, e é calculado em função dos módulos de elasticidade secantes dos
materiais em cada um dos pontos da secção, obtendo-se as seguintes expressões para o
cálculo das suas coordenadas:
(4.57)
e
(4.58)
Pela análise das equações anteriores, é fácil perceber que o centro mecânico corresponde ao
centróide substituindo-se as áreas pelos produtos das áreas pelo módulo de elasticidade
respetivos, ou seja, o centro mecânico corresponde ao centróide da secção homogeneizada.
No referencial definido pelos centros mecânicos a matriz de rigidez da secção transversal só
tem termos na diagonal principal, tomando a forma:
(4.59)
Deste modo, temos que EIeq corresponde à rigidez de flexão da secção heterogénea
considerando a rigidez secante dos materiais em cada ponto em função do seu estado de
deformação.
Em última lugar, interessa analisar-se a determinação da matriz de rigidez da secção
transversal no centro mecânico a partir da matriz de rigidez da secção transversal referido a
um ponto arbitrário. Considere-se então a Figura 4.16, onde é representada uma barra cujas
secções transversais têm uma matriz de rigidez genérica ( ).
99
Como se pode constatar, os deslocamentos nodais encontram-se referidos ao ponto P, tomado
como representativo do eixo da barra. Por isso, a determinação da matriz de rigidez no centro
mecânico (CM) da secção transversal é realizada com base numa mudança de referencial:
(4.59)
Podendo concluir-se que:
(4.60)
Assim, a rigidez de flexão equivalente ( ) e a “distância” entre o ponto de referência e o
centro mecânico ( ) são calculadas, respetivamente, por:
(4.61)
e
(4.62)
Figura 4.16 - Mudança de referencial num elemento finito [Brito, 2011]
101
5. CASO DE ESTUDO DE UMA ESTACA ISOLADA ATRAVESSANDO UMA
FORMAÇÃO ALUVIONAR
5.1. Introdução
Pretende-se neste capítulo estudar um cenário de estudo o mais realista possível com o
objetivo de avaliar os diferentes conceitos abordados neste trabalho relativamente ao
dimensionamento de estacas sob ações sísmicas.
Partiu-se de um cenário de estudo já abordado por Santos [1999] referente a uma estaca
isolada atravessando uma formação aluvionar. Assim, na segunda parte deste capítulo é
descrito o modelo geotécnico considerado, fazendo referência às propriedades geotécnicas do
terreno, incluindo as curvas não lineares G-γ e ξ-γ correspondentes.
Na terceira parte é apresentado o estudo paramétrico em causa, resultante do
dimensionamento da estaca com base em três parâmetros: diâmetro da estaca, armadura de
flexão e armadura de confinamento.
No quarto ponto é feita uma análise detalhada das diferentes secções transversais de betão
armado consideradas nesta investigação. São descritas as propriedades dos materiais
utilizados, o cálculo das grandezas associadas à cedência e rotura das secções e são
apresentadas as relações Momento-Curvatura das secções.
No quinto ponto são definidas as ações consideradas nas análises efetuadas. De seguida, é
apresentada a discretização do problema, assim como as condições de fronteira associadas, e é
descrito o processo iterativo que permitiu estudar o problema admitindo todas as hipóteses
assumidas ao longo do trabalho, nomeadamente a não linearidade do solo e da estaca.
Por último, são apresentados os diferentes resultados obtidos e são feitas algumas
considerações face aos mesmos.
5.2. Modelo geotécnico
Pretende-se neste capítulo dar continuidade ao trabalho de Santos [1999] referente ao caso de
estudo para uma estaca isolada atravessando uma baixa aluvionar. Deste modo, o modelo
102
geotécnico considerado nesta investigação (ver Figura 5.1) corresponde ao já apresentado
pelo autor. Com o objetivo de avaliar um cenário de estudo o mais realista possível,
considera-se que a estratificação do terreno, contando de cima para baixo, é a seguinte:
Camada A – constituída por aterros e/ou por uma zona sobreconsolidada devido à
dessecação do solo;
Camada B – corresponde a uma camada aluvionar de natureza argilosa, normalmente
consolidada, apresentando um ligeiro aumento do módulo de distorção em
profundidade;
Camada C – representa uma zona mais alterada do estrato competente;
Camada D – constituída por um maciço de boa qualidade e de elevada rigidez,
considerando-se, desta forma, como um substrato rígido.
No Quadro 5.1 são apresentadas as propriedades geotécnicas correspondentes à estratificação
acabada de descrever. É importante referir que as propriedades apresentadas correspondem a
resultados de ensaios reais realizados sobre solos de natureza semelhante. Estes ensaios foram
relatados com detalhe por Santos [1999].
Figura 5.1 - Modelo geotécnico considerado (adaptado de Santos [1999])
103
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1E-06 1E-05 1E-04 1E-03 1E-02
G/G
0
ϒ
Solo A: Areia (Oceanário da Expo'98)
Solo B: Argila (Stª Iria de Azóia)
Quadro 5.1 - Propriedades geotécnicas do terreno [Santos, 1999]
Camada Descrição Comportamento
[kN/m3]
[MPa] Curvas / -γ
e ξ-γ
A Aterros e/ou zona
dessecada Não linear 19 0.3 80
Areia
(Oceanário da
Expo'98)
B
Camada
aluvionar de
natureza argilosa
Não linear 17 0.5
Variável
entre 20 e 30
( ≈108m/s)
Argila (Stª Iria
de Azóia)
C
Zona alterada do
maciço
competente
Linear com
ξ=1% 22 0.3
200
( ≈300m/s) -
D
Maciço de boa
qualidade
(substrato rígido)
Rígido - - - -
Nas Figuras 5.2 e 5.3 estão representadas as curvas não lineares dos solos A e B, que serviram
de base ao método linear equivalente aquando da consideração do comportamento não linear
do solo referente a essas duas camadas.
Figura 5.2 - Curva não linear G/G0-γ dos solos A e B (adaptado de Santos [1999])
104
0
6
12
18
24
30
1E-06 1E-05 1E-04 1E-03 1E-02
ξ (%
)
ϒ
Solo A: Areia (Oceanário da Expo'98)
Solo B: Argila (Stª Iria de Azóia)
5.3. Dimensionamento da estaca - Estudo paramétrico
5.3.1. Introdução
Neste ponto do trabalho são apresentados os parâmetros tidos em conta no dimensionamento
da estaca que serviram de base à presente investigação. Assim, são apresentadas as três
principais variáveis no que trata ao dimensionamento das diferentes secções de betão armado
que constituem a estaca: diâmetro da estaca; armadura longitudinal e armadura transversal.
Por último, depois de referidos os diferentes valores que cada variável pode adotar, são
descritos os diversos cenários que constituem o caso de estudo investigado neste capítulo.
5.3.2. Diâmetro da estaca
Com o intuito de se investigar um cenário de estudo abrangente, de modo a obter-se um
conjunto de resultados que permita tirar conclusões significativas, foram consideradas estacas
de pequeno, médio e grande diâmetro (d), adotando-se, assim, diâmetros de 0.50m, 0.80m e
1.30m, respetivamente.
Figura 5.3 - Curva não linear ξ-γ dos solos A e B (adaptado de Santos [1999])
105
5.3.3. Armadura longitudinal
Relativamente à armadura longitudinal, é regra geral de dimensionamento de estacas, a partir
de uma certa profundidade, aproximadamente igual a L/2, sendo L o comprimento total da
estaca (neste caso igual a 18m - ver Figura 5.1), dispensar-se a armadura de flexão
considerada. Assim sendo, neste trabalho opta-se, a partir da profundidade igual a 10m, por
reduzir para metade a armadura longitudinal dimensionada. Desta forma, foram consideradas
ao longo do comprimento da estaca duas zonas diferentes de armadura de flexão, uma
correspondente à armadura em estudo (ρ ) e outra correspondente à dispensa de armadura
(ρ ), como se pode verificar na Figura 5.4:
No presente estudo paramétrico, a variável correspondente à armadura longitudinal foi
definida com base na zona correspondente a ρ , ficando deste modo a armadura
correspondente à zona de dispensa, ρ , dependente da armadura de flexão considerada na
investigação.
Figura 5.4 - Definição da armadura longitudinal ao longo do fuste da estaca
106
Estudaram-se então secções fraca, média e fortemente armadas, admitindo-se, em média,
percentagens volumétricas de armadura de flexão ( ) de 0.6%, 1.9% e 3.1%, respetivamente.
De seguida, apresenta-se nos Quadros 5.2 a 5.4, consoante o diâmetro da estaca considerado,
a armadura longitudinal adotada para cada uma das percentagens referidas:
Quadro 5.2 - Armadura longitudinal adotada para d=0.50m
ρs (%)
0.6 1.9 3.1
(0.95) (1.55)
Armadura
de flexão 6φ16
12φ20 12φ25
(6φ20) (6φ25)
As [cm2] 12.06
37.7 58.9
(18.85) (29.45)
Quadro 5.3 - Armadura longitudinal adotada para d=0.80m
ρs (%)
0.6 1.9 3.1
(0.95) (1.55)
Armadura
de flexão 10φ20
20φ25 20φ32
(10φ25) (10φ32)
As [cm2] 31.42
98.2 160.8
(49.09) (80.42)
Quadro 5.4 - Armadura longitudinal adotada para d=1.30m
ρs (%)
0.6 1.9 3.1
(0.95) (1.55)
Armadura
de flexão 18φ25
32φ32 52φ32
(16φ32) (26φ32)
As [cm2] 88.36
257.28 418.08
(128.64) (209.04)
É importante referir que, na análise dos quadros anteriores, são apresentados entre parêntesis
os valores referentes à armadura correspondente à zona de dispensa (ρ ). Além disso,
chama-se à atenção para o facto de não ser considerada a dispensa de armadura relativamente
ao menor nível de armadura de flexão (ρ ), uma vez que o valor em causa já é
107
consideralvemente pequeno. Em relação ao maior nível de armadura de flexão (ρ )
para o caso de uma estaca com grande diâmetro (d=1.30m), importa referir que a armadura
considerada (52φ32) corresponde na realidade a uma solução difícil de concretizar,
pretendendo-se neste trabalho estudar apenas qualitativamente essa solução aquando da
análise de uma estaca de grande diâmetro fortemente armada.
5.3.4. Armadura transversal
Segundo o Eurocódigo 8 – Parte 5 as estacas devem ser dimensionadas considerando zonas
para resistirem no domíno elástico e zonas para resistirem no domínio plástico, chamadas
zonas potenciais de plastificação. Estas são definidas da seguinte forma:
Zona potencial de plastificação até a uma profundidade de 2d contada a partir da base
do maciço de encabeçamento;
Zonas potencial de plastificação a 2d de qualquer interface entre duas camadas com
contraste significativo de rigidez.
Estas zonas devem então ser dimensionadas para serem dúcteis através da colocação de uma
armadura de confinamento adequada. Deste modo, foram consideradas ao longo do fuste da
estaca duas zonas diferentes de armadura transversal, uma correspondente às zonas de
plastificação, com exigência de ductilidade, e outra correspondente às zonas de regime
elástico. Na Figura 5.5 apresentada a seguir, é possível observar-se as zonas potenciais de
plastificação representadas pela cor azul.
108
Na presente investigação, a variável correspondente à armadura transversal foi definida com
base nas zonas com exigência de ductilidade, ficando desta forma a armadura corresponde às
zonas elásticas dependente da armadura dimensionada para as zonas plásticas.
Assim sendo, no que se refere ao confinamento do betão estudaram-se secções pouco,
razoavelmente e muito confinadas, admitindo-se, em média, percentagens volumétricas de
armadura de confinamento ( , ver equação (3.21)) de 0.3%, 0.6% e 1.2%, respetivamente.
Nos Quadros 5.5 a 5.7 é apresentada a armadura transversal adotada para cada um dos níveis
de confinamento referidos, consoante o diâmetro da estaca considerado.
Quadro 5.5 - Armadura transversal adotada para d=0.50m
ρyp (%)
0.3 0.6 1.2
Armadura
transversal
φ10//0.25 φ10//0.125 φ12//0.10
(φ10//0.35) (φ10//0.20) (φ12//0.175)
As/s
[cm2/m]
6.28 12.56 22.62
(4.48) (7.86) (12.92)
Figura 5.5 - Definição da armadura transversal ao longo do fuste da estaca
109
Quadro 5.6 - Armadura transversal adotada para d=0.80m
ρyp (%)
0.3 0.6 1.2
Armadura
transversal
φ12//0.20 φ12//0.10 φ16//0.10
(φ12//0.30) (φ12//0.175) (φ16//0.175)
As/s
[cm2/m]
11.31 22.62 40.22
(7.54) (12.92) (22.98)
Quadro 5.7 - Armadura transversal adotada para d=1.30m
ρyp (%)
0.3 0.6 1.2
Armadura
transversal
φ12//0.10 φ16//0.10 2φ16//0.10
(φ12//0.175) (φ16//0.175) (φ16//0.10)
As/s
[cm2/m]
22.62 40.22 80.44
(12.92) (22.98) (40.22)
Na análise dos quadros anteriores, são apresentados entre parêntesis os valores
correspondentes à armadura trasnversal das zonas elásticas. Em relação ao maior nível de
confinamento (ρ
) para o caso de uma estaca com grande diâmetro (d=1.30m),
importa referir que a armadura considerada (2φ16//0.10) corresponde na realidade a uma
solução difícil de concretizar, pretendendo-se neste trabalho estudar apenas qualitativamente
essa solução aquando da análise de uma estaca de grande diâmetro muito confinada.
5.3.5. Definição dos diferentes cenários de estudo
Tendo em conta o que foi descrito anteriormente, conclui-se que foi efetuado um conjunto de
27 análises, resultantes da combinação de três valores do diâmetro da estaca (d), com três
níveis de percentagem de armadura longitudinal (ρ ) e três níveis de percentagem de
armadura transversal ( ).
De modo a clarificar a identificação de cada caso de estudo, opta-se por fazer referência à
análise em causa da seguinte forma: "Análise_ijk", em que ; ρ ;
110
ρ
. Por exemplo, a "Análise_321" corresponde ao cenário de estudo referente a
uma estaca de grande diâmetro, mediamente armada e pouco confinada, como se pode
verificar no Quadro 5.8:
Quadro 5.8 - Análise_321 d=1.30m
ρs (%)
ρyp (%)
1.9
0.3
(0.95)
Armadura de
flexão
32φ32 Armadura
transversal
φ12//0.10
(16φ32) (φ12//0.175)
As [cm2]
257.28 As/s [cm
2/m]
22.62
(128.64) (12.92)
Além disso, conclui-se também que, para cada Análise_ijk, são considerados quatro tipos de
secção ao longo do fuste da estaca, resultado da combinação entre as duas zonas diferentes de
armadura de flexão e as duas zonas diferentes de armadura de confinamento. Assim,
dependendo do diâmetro, a definição das secções tranversais ao longo do comprimento da
estaca para cada uma das 27 análises estudadas segue o exposto na Figura 5.6:
Figura 5.6 - Definição das secções transversais ao longo do fuste da estaca
para cada Análise_ijk
111
Pela observação da figura anterior, constata-se que, para cada Análise_ijk, é importante
definir-se ainda um índice que corresponda a uma determinada secção da estaca para o caso
em estudo: . Deste modo, com base na Figura 5.6, percebe-se facilmente que as
secções com índice ímpar ( ) correspondem às zonas ponteciais de plastificação com
armadura de confinamento adequada e as secções com índica par ( ) correspondem às
zonas elásticas sem exigência de ductilidade.
5.4. Análise das secções transversais consideradas
5.4.1. Introdução
Com base no ponto anterior, conclui-se que foi necessário definir no total 90 secções
transversais, resultado das diferentes combinações consideradas entre o diâmetro, armadura
longitudinal e armadura de confinamento. Tal como foi referido no subcapítulo 4.3, as
diferentes secções foram definidas e estudadas com recurso ao programa FLEXÃO [Brito,
2011], onde são tidas em conta as relações constitutivas dos materiais considerando o
comportamento não linear dos mesmos.
Na Figura 5.7 apresenta-se um exemplo de discretização de uma dada secção transversal:
Figura 5.7 - Discretização de uma secção
transversal no FLEXÃO
112
De seguida, são apresentadas as propriedades dos materiais considerados e é descrito de
forma mais detalhada o cálculo dos diversos parâmetros das relações constitutivas do betão
(confinado) e do aço das armaduras de flexão. Além disso, são apresentados os diagramas
momento-curvatura das diferentes secções, bem como o valor das grandezas associadas à
cedência e à rotura das mesmas.
5.4.2. Propriedades dos materiais
Na definição das secções transversais foram considerados os seguintes materiais: betão
C20/25 (com o objetivo de manter o mesmo tipo de betão adotado por Santos [1999] no seu
estudo) e aço A500 para as armaduras de flexão e de confinamento.
Nos Quadros 5.9 a 5.11 são apresentadas as propriedades dos materiais que foram tidas em
conta no programa utilizado, nomeadamente a tensão máxima ( ) e o módulo de elasticidade
( ) do betão (não confinado); a tensão de cedência ( ) e a extensão última ( ) do aço
das armaduras de confinamento; e a tensão de cedênica ( ) e o módulo de elasticidade ( )
do aço das armaduras de flexão.
Quadro 5.9 - Propriedades do Betão C20/25
[MPa] [GPa]
13.3 30
Quadro 5.10 - Propriedades do Aço A500 das armaduras de confinamento
[MPa] [%]
435 7.5
Quadro 5.11 - Propriedades do Aço A500 das armaduras de flexão
[MPa] [GPa]
435 200
Os valores de cálculo apresentados ( e ) foram tomados tendo em conta o Eurocódigo EC2 -
Parte 1-1 (Quadro 2.1N), considerando os coeficientes parciais de 1.5 para o betão e de 1.15 para
o aço.
113
Relativamente à extensão última da armadura de confinamento ( ), foi utilizado o valor de
7.5% (segundo o Eurocódigo EC2 - Parte 1-1 (Quadro C.1 do Anexo C)), uma vez que se admitiu
um aço de classe de ductilidade C (muito dúctil).
5.4.3. Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções
No ponto 3.2 deste trabalho foram descritas as relações constitutivas dos materiais que foram
tidas em conta nas análises não lineares monotónicas realizadas. De seguida, apresentam-se de
forma mais detalhada os parâmetros das relações em causa relativamente a uma das secções
estudadas.
Considere-se então o exemplo correspondente à Secção i da Análise_222, cuja armadura é
apresentada no Quadro 5.12:
Quadro 5.12 - Análise_222 / Secção i (d=0.80m)
ρs (%)
ρyp (%)
1.9
0.6
Armadura
de flexão 20φ25
Armadura
transversal φ12//0.10
As [cm2] 98.2
As/s
[cm2/m]
22.62
Os parâmetros necessários para definir a relação constitutiva do betão confinado referente à
secção em causa, com base nas equações (3.8) a (3.25) apresentadas no capítulo 3, são
referidos no Quadro 5.13:
Quadro 5.13 - Parâmetros da relação constitutiva do betão confinado (Secção i da Análise_222)
Ec σco εco σyp Asp Aφ12 ds s
[GPa] [MPa] [‰] [MPa] [cm2] [m] [m]
30 13.3 2 435 1.13 0.70 0.10
σl σcc εcc Esec r εyp,u εcu
[kPa] [MPa] [‰] [GPa] [-] [‰] [‰]
1031.83 19.367 6.562 2.952 1.10912 75 19.229
De notar que e . O valor de 2‰ adotado para a extensão associada à
máxima compressão do betão não confiando ( ) foi tomado com base no Quadro 3.1 do
Eurocódigo EC2 - Parte 1-1.
114
Na Figura 5.8 está então representada a relação constitutiva do betão (confinado) referente à
Secção i da Análise_222.
Figura 5.8 - Relação constitutiva do betão confinado (Secção i da Análise_222)
No Quadro 5.14 são apresentados os parâmetros necessários para definir a relação constitutiva
do aço das armaduras de flexão relativamente à secção em questão, tendo em conta as
equações (3.1) a (3.7) expostas no capítulo 3.
Quadro 5.14 - Parâmetros da relação constitutiva do aço das armaduras de flexão (Secção i da
Análise_222)
Es σsy εsy Esh εsh σt εsu α Ek
[GPa] [MPa] [‰] [MPa] [‰] [MPa] [‰] [-] [MPa]
200 435 2.175 2485.1 25.544 543.8 131.86 2.42831 25139.3
De notar que e que .
Na Figura 5.9 apresenta-se a relação constitutiva do aço das armaduras de flexão relativamente à
Secção i da Análise_222.
0
4
8
12
16
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
σc [MPa]
εc [‰]
115
Figura 5.9 - Relação constitutiva do aço (Secção i da Análise_222)
Tendo em conta a equação (3.6) que permite calcular o valor da extensão última do aço das
armaduras de flexão (εsu), constata-se que esta apenas depende do valor da tensão de cedência
do aço (σsy), verificando-se o mesmo para os restantes parâmetros da relação constitutiva
deste material. Desta forma, o valor de ε ‰ é igual para todas as secções
estudadas, assim como a relação constitutiva apresentada na Figura 5.9.
Relativamente ao betão confinado (equação (3.25)), o valor da extensão última (εcu) depende
do diâmetro considerado, bem como da armadura de confinamento adotada (Asp, ds, s). Nos
Quadros 5.15 a 5.17 é então apresentado o valor de εcu para cada um dos diâmetros, em
função do nível de confinamento considerado:
Quadro 5.15 - Extensão última do betão confinado (εcu) para d=0.50m
d = 0.50m
ρyp = 0.3% ρyp = 0.6% ρyp = 1.2%
εcu
[‰]
Secção i -14.339 -20.648 -28.509
Secção ii -11.721 -16.245 -22.257
Secção iii -14.339 -20.648 -28.509
Secção iv -11.721 -16.245 -22.257
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140
εs [‰]
σs [MPa]
116
Quadro 5.16 - Extensão última do betão confinado (εcu) para d=0.80m
d = 0.80m
ρyp = 0.3% ρyp = 0.6% ρyp = 1.2%
εcu
[‰]
Secção i -13.432 -19.229 -26.761
Secção ii -10.859 -14.406 -20.491
Secção iii -13.432 -19.229 -26.761
Secção iv -10.859 -14.406 -20.491
Quadro 5.17 - Extensão última do betão confinado (εcu) para d=1.30m
d = 1.30m
ρyp = 0.3% ρyp = 0.6% ρyp = 1.2%
εcu
[‰]
Secção i -13.801 -19.064 -28.037
Secção ii -10.330 -14.225 -19.064
Secção iii -13.801 -19.064 -28.037
Secção iv -10.330 -14.225 -19.064
Pela análise dos quadros anteriores, verifica-se que, para um dado diâmetro e uma
determinada armadura de confinamento, o valor de εcu não varia da Secção i para a Secção iii,
nem da Secção ii para a Secção iv, uma vez que se mantém a armadura de confinamento e se
altera apenas a armadura de flexão (que não tem influência no valor da extensão última do
betão confinado). Como era esperado, o aumento da armadura de confinamento traduz-se num
aumento da extensão última do betão confinado.
5.4.4. Relação Momentos-Curvaturas das secções
Com base no que foi descrito no ponto anterior, e com recurso ao programa FLEXÃO, foram
criados os diagramas momento-curvatura das diferentes secções.
De modo a não tornar o trabalho exaustivo, são apresentados apenas os resultados referentes
às secções i e ii correspondentes às 27 análises efetuadas. Assim, nas Figuras 5.10 a 5.27 são
apresentadas as relações momento-curvatura das secções i e ii consoante o caso de estudo em
causa, isto é, dependente do diâmetro, da armadura longitudinal e da armadura de
confinamento. É importante referir que os diagramas não foram definidos considerando um
esforço normal nulo. Admitiu-se um esforço axial correspondente a uma tensão normal na
117
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-180 -140 -100 -60 -20 20 60 100 140 180
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 0.50m (N = 981.75kN)
Secção i ρs = 0.6%
cabeça da estaca de =5MPa (mais à frente neste trabalho será justificada esta consideração).
No Quadro 5.18 são apresentados os esforços axiais correspondentes a essa tensão para os três
diâmetros considerados.
Quadro 5.18 - Esforço normal para cada diâmetro
d (m) 0.5 0.8 1.3
A (m2) 0.196 0.503 1.327
σv (MPa) 5
Fv (kN) 981.75 2513.27 6636.61
onde d é o diâmetro da estaca, A é a área da secção e Fv é o esforço normal a que a estaca fica
sujeita.
Figura 5.10 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=0.6%)
118
Figura 5.11 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=1.9%)
Figura 5.12 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=3.1%)
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
-180 -140 -100 -60 -20 20 60 100 140 180
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 0.50m (N = 981.75kN)
Secção i ρs = 1.9%
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-180 -140 -100 -60 -20 20 60 100 140 180
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 0.50m (N = 981.75kN)
Secção i ρs = 3.1%
119
Figura 5.13 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=0.6%)
Figura 5.14 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=1.9%)
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 0.50m (N = 981.75kN)
Secção ii ρs = 0.6%
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 0.50m (N = 981.75kN)
Secção ii ρs = 1.9%
120
Figura 5.15 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.50m e ρs=3.1%)
Figura 5.16 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=0.6%)
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
d = 0.50m (N = 981.75kN)
Secção ii ρs = 3.1%
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 0.80m (N = 2513.27kN)
Secção i ρs = 0.6%
121
Figura 5.17 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=1.9%)
Figura 5.18 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=3.1%)
-1800
-1400
-1000
-600
-200
200
600
1000
1400
1800
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 0.80m (N = 2513.27kN)
Secção i ρs = 1.9%
-2400
-2000
-1600
-1200
-800
-400
0
400
800
1200
1600
2000
2400
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 0.80m (N = 2513.27kN)
Secção i ρs = 3.1%
122
Figura 5.19 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=0.6%)
Figura 5.20 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=1.9%)
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
d = 0.80m (N = 2513.27kN)
Secção ii ρs = 0.6%
-1600
-1200
-800
-400
0
400
800
1200
1600
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
d = 0.80m (N = 2513.27kN)
Secção ii ρs = 1.9%
123
Figura 5.21 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=0.80m e ρs=3.1%)
Figura 5.22 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=0.6%)
-2200
-1800
-1400
-1000
-600
-200
200
600
1000
1400
1800
2200
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 0.80m (N = 2513.27kN)
Secção ii ρs = 3.1%
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 1.30m (N = 6636.61kN)
Secção i ρs = 0.6%
124
Figura 5.23 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=1.9%)
Figura 5.24 - Relação momento-curvatura da secção i consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=3.1%)
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 1.30m (N = 6636.61kN)
Secção i ρs = 1.9%
-11000
-9000
-7000
-5000
-3000
-1000
1000
3000
5000
7000
9000
11000
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
d = 1.30m (N = 6636.61kN)
Secção i ρs = 3.1%
125
Figura 5.25 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=0.6%)
Figura 5.26 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=1.9%)
-4500
-3500
-2500
-1500
-500
500
1500
2500
3500
4500
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 1.30m (N = 6636.61kN)
Secção ii ρs = 0.6%
-7500
-6000
-4500
-3000
-1500
0
1500
3000
4500
6000
7500
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 1.30m (N = 6636.61kN)
Secção ii ρs = 1.9%
126
Figura 5.27 - Relação momento-curvatura da secção ii consoante o nível de confinamento
adotado (d=1.30 m e ρs=3.1%)
Para qualquer um dos casos apontados nesta investigação, a extensão última do betão (εcu) é
consideravelmente inferior à extensão última do aço (ε ‰). Assim, a rotura da
secção transversal ocorre por se atingir a extensão última de compressão do betão.
Relativamente à cedência da secção, está associada a atingir-se a cedência do aço das
armaduras de flexão, ou seja, para ε ‰. Com isto, apresentam-se nos Quadros 5.19
a 5.21 os valores obtidos através do FLEXÃO da curvatura de cedência ( ), da curvatura
última ( ), do momento de cedência ( ) e do momento último ( ) das diferentes secções
analisadas.
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
χ [‰.m-1]
M [kNm]
ρ_yp = 0.30%
ρ_yp = 0.60%
ρ_yp = 1.20%
d = 1.30m (N = 6636.61kN)
Secção ii ρs = 3.1%
127
Quadro 5.19 - Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções para d=0.50m
d = 0.50m (N = 981.748kN)
ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
χy [‰/m]
S_i 8.556 8.326 8.119 8.601 8.426 8.263 8.620 8.478 8.338
S_ii 8.591 8.505 8.414 8.626 8.561 8.495 8.640 8.592 8.533
S_iii 8.556 8.326 8.119 8.569 8.361 8.166 8.588 8.402 8.226
S_iv 8.591 8.505 8.414 8.602 8.522 8.439 8.618 8.548 8.472
χu [‰/m]
S_i 62.594 105.026 167.091 61.504 98.811 156.435 60.504 91.067 144.124
S_ii 50.100 72.604 106.447 49.483 70.968 100.076 48.890 69.477 96.020
S_iii 62.594 105.026 167.091 61.508 98.809 157.348 60.499 91.066 144.847
S_iv 50.100 72.604 106.447 49.480 70.969 100.084 48.887 69.478 96.023
My
[kNm]
S_i 165.68 173.46 180.69 245.28 253.24 261.06 307.00 315.14 323.25
S_ii 163.93 167.64 171.22 243.53 247.22 250.91 305.23 309.05 312.70
S_iii 165.68 173.46 180.69 186.14 194.05 201.48 216.99 225.02 232.74
S_iv 163.93 167.64 171.22 184.40 188.11 191.72 215.26 218.99 222.64
Mu
[kNm]
S_i 185.63 217.37 238.84 321.74 358.06 385.32 427.10 468.29 499.48
S_ii 177.51 195.73 207.80 313.37 332.24 346.97 418.56 437.91 453.70
S_iii 185.63 217.37 238.84 217.86 254.19 278.83 266.95 308.13 336.94
S_iv 177.51 195.73 207.80 209.50 228.37 243.09 258.41 277.76 293.54
Quadro 5.20 - Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções para d=0.80m
d = 0.80m (N = 2513.274kN)
ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
χy [‰/m]
S_i 5.275 5.120 5.010 5.324 5.207 5.116 5.348 5.251 5.173
S_ii 5.332 5.249 5.168 5.364 5.305 5.242 5.381 5.332 5.281
S_iii 5.275 5.120 5.010 5.291 5.148 5.045 5.312 5.187 5.091
S_iv 5.332 5.249 5.168 5.342 5.269 5.194 5.357 5.291 5.226
χu [‰/m]
S_i 41.002 69.265 108.645 38.943 62.423 92.329 37.985 59.661 87.981
S_ii 31.259 45.266 70.550 30.368 42.672 64.996 29.764 41.116 62.519
S_iii 41.002 69.265 108.645 39.392 66.613 104.138 38.003 62.526 97.486
S_iv 31.259 45.266 70.550 30.669 43.472 67.809 29.962 41.101 63.626
My
[kNm]
S_i 732.35 761.90 786.56 1141.66 1171.71 1197.91 1508.42 1538.68 1565.47
S_ii 720.35 737.16 754.02 1129.59 1146.37 1163.21 1496.68 1513.02 1530.25
S_iii 732.35 761.90 786.56 838.45 868.25 893.65 1021.58 1051.89 1077.91
S_iv 720.35 737.16 754.02 826.43 843.43 860.34 1009.66 1026.34 1043.61
128
Mu
[kNm]
S_i 883.93 967.25 1038.27 1517.19 1610.27 1715.59 2093.34 2201.59 2316.84
S_ii 838.47 898.84 943.32 1462.24 1533.70 1582.17 2032.17 2117.12 2171.21
S_iii 883.93 967.25 1038.27 1053.04 1144.14 1227.70 1337.55 1447.09 1548.81
S_iv 838.47 898.84 943.32 1000.07 1069.47 1117.68 1280.00 1360.91 1416.52
Quadro 5.21 - Grandezas associadas à cedência e à rotura das secções para d=1.30m
d = 1.30m (N = 6636.614kN)
ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
χy [‰/m]
S_i 3.195 3.132 3.048 3.235 3.185 3.115 3.258 3.216 3.155
S_ii 3.248 3.207 3.132 3.277 3.245 3.185 3.291 3.265 3.216
S_iii 3.195 3.132 3.048 3.208 3.148 3.067 3.226 3.172 3.099
S_iv 3.248 3.207 3.132 3.257 3.218 3.148 3.269 3.236 3.172
χu [‰/m]
S_i 28.494 42.917 71.083 26.297 38.929 63.448 25.097 36.756 58.758
S_ii 19.555 28.970 42.917 18.491 26.760 38.929 17.899 25.606 36.756
S_iii 28.494 42.917 71.083 28.061 42.222 68.103 26.675 39.626 65.566
S_iv 19.555 28.970 42.917 19.230 28.592 42.222 18.656 27.152 39.626
My
[kNm]
S_i 3374.57 3459.25 3588.53 5274.56 5359.30 5495.51 7100.04 7183.39 7320.40
S_ii 3304.56 3360.36 3459.25 5207.56 5261.26 5359.30 7032.88 7085.23 7183.39
S_iii 3374.57 3459.25 3588.53 3818.88 3903.65 4034.75 4728.14 4812.38 4947.66
S_iv 3304.56 3360.36 3459.25 3749.01 3804.23 3903.65 4659.08 4713.72 4812.38
Mu
[kNm]
S_i 4136.16 4365.93 4787.30 6954.12 7251.11 7865.30 9600.39 9922.36 10672.26
S_ii 3949.41 4093.64 4365.93 6705.20 6899.95 7251.11 9315.59 9540.86 9922.36
S_iii 4136.16 4365.93 4787.30 4815.99 5050.72 5513.34 6149.18 6428.06 7020.38
S_iv 3949.41 4093.64 4365.93 4624.00 4774.24 5050.72 5914.71 6097.84 6428.06
Refira-se que, para ρs = 0.6%, os valores correspondentes à secção i são iguais aos da secção
iii, e os da secção ii iguais aos da secção iv, porque neste caso não existe variação da
armadura de flexão ao longo da estaca, como referido anteriormente no ponto 5.3.3.
5.4.5. Análise e comparação dos resultados obtidos
Pela observação dos resultados apresentados anteriormente, constatou-se que um aumento da
armadura de flexão faz aumentar o momento de cedência e o momento de rotura das secções,
traduzindo-se então numa maior resistência a esforços. Contudo, os valores das curvaturas
129
últimas diminuíram com o aumento da quantidade de armadura longitudinal, tornando as
secções menos deformáveis. Uma vez que na análise da resposta das estacas face à ação
sísmica (deformações impostas) o que se pretende é conferir maior ductilidade, a colocação
de armadura para além do valor necessário para suportar as restantes ações não é útil.
Chegou-se à conclusão que a quantidade de armadura de confinamento tem influência apenas
no valor da curvatura última das secções, não afetando praticamente os outros parâmetros. O
aumento da armadura de confinamento faz aumentar consideravelmente a curvatura última
das secções, resultado do aumento do valor da extensão máxima de compressão do betão
confinado.
Relativamente à curvatura de cedência, os valores obtidos são muito próximos para qualquer
alteração da quantidade de armadura de flexão ou de confinamento. A variação que existe nos
valores de curvaturas de cedência é muito reduzida quando comparada com as variações na
quantidade de armadura de flexão, e deve-se principalmente ao aumento da força de tracção
que tem que ser compensada com o aumento da zona comprimida da secção transversal, o que
na cedência causa um ligeiro aumento das curvaturas. A curvatura de cedência depende
principalmente da extensão de cedência do aço, do nível de esforço axial e da dimensão da
secção transversal no plano de flexão [Brito, 2011].
5.5. Ações consideradas
5.5.1. Introdução
Pretendeu-se neste estudo avaliar o efeito da ação sísmica no dimensionamento de estacas
com base na interação cinemática solo-estaca, tendo em conta o comportamento não linear do
solo e a não linearidade do betão armado, utilizando para isso as duas aplicações
computacionais apresentadas no capítulo 4.
Assim, a ação sísmica foi definida diretamente no programa CINEMAT aquando das análises
efetuadas. Por outro lado, foi ainda necessário considerar uma componente referente ao peso
da superestrutura que descarrega na estaca - neste caso, diretamente no programa PIER.
Apresenta-se de seguida a definição das duas ações referidas.
130
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 5 10 15 20
a (g
)
t (s)
Kobe-JMA (1995)
amáx = 0.20g
5.5.2. Ação sísmica
A ação sísmica foi definida através de uma série temporal de acelerações horizontais impostas
no topo do substrato rígido. Os quatro registos sísmicos apresentados por Santos [1999]
serviram de base à escolha da série temporal de acelerações horizontais a ter em conta neste
trabalho. Escolheu-se então o registo correspondente ao sismo de Kobe (1995), obtido na
estação meteorológica de Kobe a cerca de 17km do epicentro, visto que foi este o sismo que
conduziu aos resultados mais desfavoráveis obtidos pelo autor.
A representação gráfica do respetivo acelerograma, definido por 2048 pontos de discretização,
é apresentada na Figura 5.28.
Desta forma, no decorrer das análises efetuadas, e em relação ao programa CINEMAT, foi
considerada a série temporal de acelerações horizontais no topo do substrato rígido
correspondente ao sismo de Kobe (1995), com um nível de aceleração máxima de =0.20g
(nível máximo considerado por Santos [1999]).
Figura 5.28 -Acelerograma correspondente ao Sismo de Kobe (1995)
131
5.5.3. Tensão normal na cabeça da estaca
Relativamente ao programa PIER, foi considerada, aquando das análises realizadas, uma
tensão normal no topo da estaca de =5MPa, com o intuito de representar as ações verticais
proveniente da superestrutura que descarregam na estaca . Tal como foi referido
anteriormente no ponto 5.4.4, esta tensão vertical corresponde a um determinado esforço axial
a que a estaca fica sujeita consoante o diâmetro em causa. Fazendo referência aos valores já
apresentados no Quadro 5.18, temos então que a força vertical considerada para cada um dos
três casos é igual a:
Quadro 5.22 - Força vertical aplicada na cabeça da estaca para cada diâmetro
d (m) 0.5 0.8 1.3
Fv (kN) 981.75 2513.27 6636.61
5.6. Metodologia de análise e apresentação dos resultados
5.6.1. Discretização do problema
Optou-se, em ambos os programas (CINEMAT e PIER), por discretizar o sistema solo-estaca
em elementos de 0.5m, conforme mostra a Figura 5.29. Desta maneira, a estaca fica composta
por 36 elementos de barra, e o solo por 40 camadas.
132
Relativamente às condições de fronteira da estaca, foi considerado que na base da mesma o
deslocamento é igual ao deslocamento do campo livre (base restringida) e que a rotação na
cabeça da estaca é nula.
É particularmente importante comentar as considerações anteriores no que se refere ao
programa PIER. A condição de fronteira na base da estaca corresponde, no caso deste
programa, a restringir os deslocamentos horizontais e verticais, ficando esse nó fixo. Assim
sendo, enquanto que no programa CINEMAT são tidos em conta deslocamentos absolutos
( ), no progama PIER são considerados deslocamentos relativos (y), isto é, os deslocamentos
horizontais são medidos relativamente ao nó da base da estaca (com deslocamento relativo
nulo): .
5.6.2. Descrição do processo iterativo desenvolvido
Tendo em conta que foram utilizados dois programas de cálculo para avaliar o efeito da ação
sísmica no dimensionamento de estacas com base na interação cinemática solo-estaca,
considerando o comportamento não linear do solo (através do CINEMAT) e a não linearidade
Figura 5.29 - Discretização do problema (adaptado de Santos [1999])
133
do betão armado da estaca (através do PIER), foi necessário criar um método iterativo que
permitisse obter os resultados necessários respeitando todas as hipóteses assumidas ao longo
do estudo.
Para cada uma das 27 análises estudadas, correspondendo a um determinado diâmetro, um
dado nível de armadura longitudinal e dado um nível de armadura de confinamento, o
processo iterativo desenvolvido consiste nos seguintes passos:
Na iteração zero (iteração 0):
1) A análise do problema inicia-se no CINEMAT, onde o solo é modelado como
descrito no ponto 5.2. Em relação à definição da estaca, é considerado como
dado de entrada, consoante o diâmetro em causa, um determinado valor
correspondente à massa em toneladas (ton) por metro (m). Além disso, é
definido para os 36 elementos que constituem a estaca um valor de
correspondente apenas ao betão;
2) Considerando o acelerograma correspondente ao sismo de Kobe (1995), com
um nível de aceleração máxima de =0.20g, corre-se a análise no
CINEMAT.
Depois de efetuar a análise, o programa fornece um ficheiro de resultados com os valores
máximos (no domínio do tempo) do deslocamento do campo livre e da estaca, assim como do
momento fletor na estaca, e o respetivo instante em que ocorrem durante todo o tempo de
análise, para cada nó ao longo do fuste da estaca. Deste modo, o processo iterativo prossegue
com:
3) Após consultar o ficheiro com os valores máximos, é selecionado o instante
correspondente ao valor máximo do momento fletor na estaca. A partir deste
ponto, a análise passa a incidir sempre e apenas sobre o instante mais
desfavorável relativamente a esse esforço, uma vez que se assumiu neste
trabalho ser essa a abordagem mais interessante e condicionante a ter em
conta;
4) São obtidos, através do CINEMAT, os deslocamentos (absolutos) nodais da
estaca ( ) para o instante referido no ponto anterior;
5) De seguida, a análise decorre com recurso ao PIER, onde a estaca é
discretizada segundo as secções transversais definidas pelo programa
FLEXÃO considerando as relações constitutivas não lineares dos materiais.
134
São impostos os deslocamentos relativos (y) obtidos anteriormente, isto é,
depois de definir o campo de deslocamentos horizontais em relação ao nó da
base da estaca (como foi descrito no ponto 5.6.1);
6) Com base no Quadro 5.22, define-se a força vertical a atuar no topo da estaca.
Corre-se a análise no PIER e é obtido o valor da rigidez de flexão equivalente
para cada um dos elementos da estaca.
No decorrer do processo iterativo, os únicos parâmetros que vão sendo alterados são os
deslocamentos nodais impostos e a rigidez de flexão equivalente dos elementos da estaca,
como se ilustra na Figura 5.30. As restantes condições do problema mantêm-se. Portanto,
tem-se que:
Nas restantes iterações (iteração i para ):
7) Analisa-se o problema no CINEMAT, alterando o ficheiro de dados
correspondente à definição da estaca com os valores de rigidez de flexão
equivalente fornecidos pelo PIER, e são obtidos os deslocamentos
(absolutos) nodais da estaca ;
8) De seguida, são impostos os deslocamentos relativos , obtidos através do
CINEMAT, no PIER. Corre-se a análise no segundo programa e são obtidos os
novos valores de rigidez de flexão equivalente para cada elemento da
estaca;
9) Calcula-se o valor do erro relativo cometido
e verifica-se
se ;
10) Se a verificação anterior for válida, conclui-se que a análise convergiu. Caso
contrário, prossegue-se com a análise iterativa até ser verificada essa condição.
Figura 5.30 - Esquematização do processo iterativo desenvolvido
135
Desta forma, depois do método iterativo convergir, ficam reunidas as condições necessárias
para avaliar o problema da interação cinemática solo-estaca devido ao efeito das ações
referidas no ponto 5.5, considerando conjuntamente o comportamento não linear do solo e a
não linearidade da estaca, para cada um dos 27 cenários de estudo definidos anteriormente.
5.6.3. Resultados obtidos em todos os cenários
Apresentam-se de seguida os resultados obtidos em todos os cenários que constituem o estudo
paramétrico descrito no ponto 5.3, aplicando o método iterativo desenvolvido para analisar o
problema em regime não linear. Assim, nos Quadros 5.23 a 5.25 é apresentado o valor
máximo obtido referente à curvatura (
) e ao momento ( ) para cada uma das quatro
secções ao longo do fuste da estaca. Para além disso, são apresentadas as relações entre esses
máximos e as grandezas associadas à cedência e à rotura das secções (
,
,
e ), tendo em conta os valores já apresentados nos Quadros 5.19 a 5.21.
Quadro 5.23 - Resultados das análises para d=0.50m
d = 0.50m (N = 981.75kN)
ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
χmáx [‰/m]
S_i 3.815 3.863 3.666 3.063 3.043 3.019 2.816 2.775 2.760
S_ii 2.390 2.268 2.248 2.344 2.307 2.301 2.187 2.187 2.190
S_iii 5.676 5.634 5.568 5.120 5.095 5.039 4.686 4.641 4.587
S_iv 1.537 1.510 1.538 1.880 1.858 1.867 2.093 2.077 2.091
χmáx/χy
S_i 0.446 0.464 0.452 0.356 0.361 0.365 0.327 0.327 0.331
S_ii 0.278 0.267 0.267 0.272 0.269 0.271 0.253 0.255 0.257
S_iii 0.663 0.677 0.686 0.598 0.609 0.617 0.546 0.552 0.558
S_iv 0.179 0.178 0.183 0.219 0.218 0.221 0.243 0.243 0.247
χmáx/χu
S_i 0.061 0.037 0.022 0.050 0.031 0.019 0.047 0.030 0.019
S_ii 0.048 0.031 0.021 0.047 0.033 0.023 0.045 0.031 0.023
S_iii 0.091 0.054 0.033 0.083 0.052 0.032 0.077 0.051 0.032
S_iv 0.031 0.021 0.014 0.038 0.026 0.019 0.043 0.030 0.022
Mmáx [kNm]
S_i 127.84 133.94 135.94 144.30 147.66 149.42 156.85 158.24 159.20
S_ii 108.03 106.98 106.96 126.54 126.25 125.95 136.22 136.41 135.80
S_iii 145.28 151.70 158.53 152.17 158.27 164.52 162.98 168.31 173.58
S_iv 88.82 87.49 87.09 101.88 101.59 101.19 113.49 113.62 113.58
136
Mmáx/My
S_i 0.772 0.772 0.752 0.588 0.583 0.572 0.511 0.502 0.492
S_ii 0.659 0.638 0.625 0.520 0.511 0.502 0.446 0.441 0.434
S_iii 0.877 0.875 0.877 0.818 0.816 0.817 0.751 0.748 0.746
S_iv 0.542 0.522 0.509 0.553 0.540 0.528 0.527 0.519 0.510
Mmáx/Mu
S_i 0.689 0.616 0.569 0.448 0.412 0.388 0.367 0.338 0.319
S_ii 0.609 0.547 0.515 0.404 0.380 0.363 0.325 0.312 0.299
S_iii 0.783 0.698 0.664 0.698 0.623 0.590 0.611 0.546 0.515
S_iv 0.500 0.447 0.419 0.486 0.445 0.416 0.439 0.409 0.387
Quadro 5.24 - Resultados das análises para d=0.80m
d = 0.80m (N = 2513.27kN)
ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
χmáx [‰/m]
S_i 2.928 2.896 2.860 2.138 2.153 2.113 1.923 1.911 1.899
S_ii 0.810 0.797 0.858 1.318 1.315 1.318 1.309 1.313 1.313
S_iii 4.084 4.012 3.974 3.503 3.458 3.413 3.039 3.022 2.985
S_iv 0.486 0.502 0.529 0.640 0.669 0.701 0.945 0.939 0.983
χmáx/χy
S_i 0.555 0.566 0.571 0.402 0.413 0.413 0.360 0.364 0.367
S_ii 0.152 0.152 0.166 0.246 0.248 0.252 0.243 0.246 0.249
S_iii 0.774 0.784 0.793 0.662 0.672 0.676 0.572 0.583 0.586
S_iv 0.091 0.096 0.102 0.120 0.127 0.135 0.176 0.177 0.188
χmáx/χu
S_i 0.071 0.042 0.026 0.055 0.034 0.023 0.051 0.032 0.022
S_ii 0.026 0.018 0.012 0.043 0.031 0.020 0.044 0.032 0.021
S_iii 0.100 0.058 0.037 0.089 0.052 0.033 0.080 0.048 0.031
S_iv 0.016 0.011 0.008 0.021 0.015 0.010 0.032 0.023 0.015
Mmáx [kNm]
S_i 589.93 614.97 636.14 676.29 702.79 709.90 761.12 778.64 785.21
S_ii 331.91 331.68 347.36 518.90 525.54 530.73 597.78 605.08 607.58
S_iii 665.49 693.31 719.53 696.40 722.93 746.75 754.37 781.18 801.94
S_iv 219.57 224.75 231.61 295.11 305.52 313.16 411.38 413.60 425.31
Mmáx/My
S_i 0.806 0.807 0.809 0.592 0.600 0.593 0.505 0.506 0.502
S_ii 0.461 0.450 0.461 0.459 0.458 0.456 0.399 0.400 0.397
S_iii 0.909 0.910 0.915 0.831 0.833 0.836 0.738 0.743 0.744
S_iv 0.305 0.305 0.307 0.357 0.362 0.364 0.407 0.403 0.408
Mmáx/Mu
S_i 0.667 0.636 0.613 0.446 0.436 0.414 0.364 0.354 0.339
S_ii 0.396 0.369 0.368 0.355 0.343 0.335 0.294 0.286 0.280
S_iii 0.753 0.717 0.693 0.661 0.632 0.608 0.564 0.540 0.518
S_iv 0.262 0.250 0.246 0.295 0.286 0.280 0.321 0.304 0.300
137
Quadro 5.25 - Resultados das análises para d=1.30m
d = 1.30m (N = 6636.61kN)
ρs = 0.6% ρs = 1.9% ρs = 3.1%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
ρyp = 0.3%
ρyp = 0.6%
ρyp = 1.2%
χmáx [‰/m]
S_i 2.082 2.028 2.010 1.471 1.482 1.450 1.308 1.301 1.292
S_ii 0.237 0.240 0.249 0.413 0.427 0.440 0.516 0.528 0.532
S_iii 2.693 2.618 2.618 2.419 2.380 2.356 2.108 2.087 2.055
S_iv 0.196 0.203 0.205 0.192 0.198 0.204 0.222 0.231 0.240
χmáx/χy
S_i 0.652 0.647 0.659 0.455 0.465 0.465 0.401 0.405 0.410
S_ii 0.073 0.075 0.079 0.126 0.132 0.138 0.157 0.162 0.165
S_iii 0.843 0.836 0.859 0.754 0.756 0.768 0.653 0.658 0.663
S_iv 0.060 0.063 0.066 0.059 0.061 0.065 0.068 0.071 0.076
χmáx/χu
S_i 0.073 0.047 0.028 0.056 0.038 0.023 0.052 0.035 0.022
S_ii 0.012 0.008 0.006 0.022 0.016 0.011 0.029 0.021 0.014
S_iii 0.094 0.061 0.037 0.086 0.056 0.035 0.079 0.053 0.031
S_iv 0.010 0.007 0.005 0.010 0.007 0.005 0.012 0.009 0.006
Mmáx [kNm]
S_i 2834.83 2894.87 3023.44 3272.08 3370.12 3423.62 3746.28 3809.71 3865.22
S_ii 763.01 772.46 805.61 1518.18 1565.27 1611.81 2036.74 2078.98 2104.81
S_iii 3142.74 3207.81 3366.80 3111.33 3405.84 3548.58 3694.39 3770.83 3891.80
S_iv 633.47 654.73 665.04 652.05 669.00 690.67 825.14 852.28 887.75
Mmáx/My
S_i 0.840 0.837 0.843 0.620 0.629 0.623 0.528 0.530 0.528
S_ii 0.231 0.230 0.233 0.292 0.298 0.301 0.290 0.293 0.293
S_iii 0.931 0.927 0.938 0.815 0.872 0.880 0.781 0.784 0.787
S_iv 0.192 0.195 0.192 0.174 0.176 0.177 0.177 0.181 0.184
Mmáx/Mu
S_i 0.685 0.663 0.632 0.471 0.465 0.435 0.390 0.384 0.362
S_ii 0.193 0.189 0.185 0.226 0.227 0.222 0.219 0.218 0.212
S_iii 0.760 0.735 0.703 0.646 0.674 0.644 0.601 0.587 0.554
S_iv 0.160 0.160 0.152 0.141 0.140 0.137 0.140 0.140 0.138
Observando os quadros anteriores, verifica-se que foram realçados determinados valores
correspondentes a
e , com o objetivo de averiguar quais as análises que
verificam as hipóteses assumidas aquando do dimensionamento da estaca. Constata-se que,
tendo em conta as ações que foram consideradas no caso de estudo, não se chegou a atingir a
cedência em nenhuma das secções que foram pré-dimensionadas para trabalharem em regime
plástico tirando partido do confinamento calculado. Desta forma, são apresentados no Quadro
5.26 os valores atrás realçados, que correspondem ao valor mais elevado de
e
obtido para cada diâmetro. Conlui-se então que o caso que mais se aproxima de
138
atingir a cedência corresponde à Secção iii da Análise_d13, isto é, considerando ρs = 0.6%
(estaca fracamente armada) e ρyp = 1.2% (muito confinada).
Quadro 5.26 - Valor mais elevado de e para cada diâmetro
d=0.50m d=0.80m d=1.30m
( máx/ y)↑ 0.686 0.793 0.859
(Mmáx/My)↑ 0.877 0.915 0.938
Face aos resultados obtidos, e uma vez que se verifica que as conclusões que se podem
apontar são semelhantes para os 27 cenários, existe interesse em avaliar de forma mais
aprofundada apenas o caso de estudo mais desfavorável. Portanto, a Análise_313 (para
d=1.30m) é estudada mais detalhadamente no seguinte ponto deste trabalho.
5.6.4. Análise do caso mais desfavorável
Começa-se por apresentar na Figura 5.31 o campo de deslocamentos (absolutos) do campo
livre e da estaca relativamente à Análise_313. A referência ao termo "Linear" ou "Não linear"
prende-se com a consideração ou não do comportamento não linear da estaca. Enquanto que
os resultados "Após convergência" correspondem aos valores obtidos no CINEMAT no fim
do processo iterativo, considerando a não linearidade do problema, os resultados "Iteração 0"
correspondem aos valores obtidos no CINEMAT na iteração 0, tendo em conta por isso
apenas o comportamento não linear do solo e assumindo a estaca com comportamento linear.
139
0
5
10
15
20
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Pro
f. (
m)
Deslocamentos absolutos (m)
ū - Linear (Iteração 0)
ū - Não linear (Após convergência)
ȳ - Linear (Iteração 0)
ȳ - Não linear (Após convergência)
u ≡ Solo y ≡ Estaca
Na Figura 5.32 é apresentado o momento fletor ao longo do fuste da estaca. Verifica-se que
são apresentados dois perfis referentes à iteração 0. Os valores "Iteração 0 - Linear"
correspondem aos resultados obtidos no CINEMAT na iteração 0, considerando apenas o
comportamento não linear do solo e assumindo a estaca com comportamento linear. Por outro
lado, os valores "Iteração 0 - Não linear" correspondem aos resultados fornecidos pelo PIER
na iteração 0, assumindo também a não linearidade da estaca. Para além disso, são
apresentados os resultados obtidos no PIER no fim do processo iterativo ("Após
convergência"), considerando a não linearidade do problema em estudo.
Figura 5.31 - Campo de deslocamentos (absolutos) do campo
livre e da estaca referente à Análise_313
140
0
5
10
15
20
-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000
Pro
f. (
m)
Momentos (kNm)
Iteração 0 - Linear
Iteração 0 - Não linear
Após convergência - Não linear
Por último, é apresentado na Figura 5.33 o perfil de curvaturas das secções de betão armado
ao longo do comprimento da estaca. Neste caso, são apresentados dois perfis, ambos
calculados pelo PIER: um corresponde aos valores obtidos na iteração 0, enquanto que o
outro corresponde aos valores obtidos apenas no final do processo iterativo. Deste modo, é
possível avaliar o andamento do diagrama de curvaturas no decorrer da análise iterativa até à
convergência.
Figura 5.32 - Momentos fletores da estaca para a Análise_313
141
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0
Pro
f. (
m)
Curvaturas (‰/m)
Iteração 0 - Não linear
Após convergência - Não linear
5.6.5. Estimativa dos critérios de cedência e rotura
Visto que não se chegou a atingir a cedência em qualquer secção para nenhum dos cenários
estudados, considera-se interessante avaliar o comportamento da estaca, relativamente ao caso
mais desfavorável apresentado atrás, no que se refere aos critérios de cedência e rotura com
base na definição das ações impostas.
Partindo-se do ponto correspondente ao final do processo iterativo da Análise_313, temos que
o campo de deslocamentos relativos da estaca é o apresentado na Figura 5.34, que
Figura 5.33 - Perfil de curvaturas referente à Análise_313
142
0
5
10
15
20
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 P
rof.
(m
)
Deslocamentos relativos da estaca (m)
y - Não linear (Após convergência)
γmédia
corresponde aos valores " - Não linear (Após convergência)" da Figura 5.31 definidos em
relação ao nó da base.
A avaliação do comportamento da estaca até à cedência (e até à rotura), no PIER, resume-se a
majorar o campo de deslocamentos representado na figura anterior por um fator k, isto é,
admitindo um perfil de deslocamentos impostos igual a y = k x (313
y).
Começa-se por indicar no Quadro 5.27 os valores associados à Análise_313. O valor de máx
apresentado representa a curvatura mais elevada obtida ao longo do fuste da estaca, e
corresponde ao nó situado à profundidade de 15m associado à Secção_iii. O objetivo passa
então por majorar os deslocamentos até se atingir o valor unitário para a relação
, no
caso da cedência, e para a relação
, no caso da rotura. Relativamente à distorção
associada, é calculado o valor da distorção média da estaca relativamente aos nós extremos da
camada B (ver Figura 5.34) pela expressão γ
, sendo que e
Figura 5.34 - Campo de deslocamentos relativos da estaca
referente à Análise_313
143
correspondem ao deslocamento relativo da estaca do nó situado à profundidade de 5 e
15 metros, respetivamente, e HB é a altura da camada B (ou seja, 10m).
Quadro 5.27 - Resultados referentes à Análise_313
313ytopo (m)
313y5m (m)
313y15m (m)
313γmédia (‰) máx(‰/m) máx/ y máx/ u
0.072 0.068 0.003 6.445 2.618 0.859 0.037
Com base nos resultados do Quadro 5.28, verifica-se que foi necessário majorar o campo de
deslocamentos impostos à estaca por um valor igual a 1.175 para se atingir a cedência,
correspondendo a uma distorção média da estaca igual a γ
‰.
Quadro 5.28 - Estimativa do critério de cedência ( )
k ytopo (m) y5m (m) y15m (m) γmédia (‰) máx (‰/m) máx/ y
1.100 0.079 0.074 0.004 7.090 2.880 0.9447
1.150 0.083 0.078 0.004 7.412 3.010 0.9874
1.175 0.085 0.080 0.004 7.573 3.076 1.0091
Em relação ao segundo critério, constata-se pela observação do Quadro 5.29 que para uma
distorção média da estaca igual a γ
‰ a Secção_iii do nó situado à
profundidade de 15m entra em rotura, considerando um valor de k igual a 27.163.
Quadro 5.29 - Estimativa do critério de rotura ( )
k ytopo (m) y5m (m) y15m (m) γmédia (‰) máx (‰/m) máx/ u
20.0000 1.445 1.353 0.064 128.905 52.350 0.7365
27.0000 1.951 1.827 0.087 174.021 70.657 0.9940
27.1600 1.962 1.838 0.087 175.052 71.076 0.9999
27.163 1.962 1.838 0.087 175.069 71.083 1.0000
É importante salientar que, enquanto que no caso da avaliação da cedência o valor estimado
da distorção média da estaca é aceitável, o valor estimado para a rotura não é muito fiável,
uma vez que a não linearidade das secções de betão armado depois de se atingir a cedência
não é considerada no estudo em causa, dada a extrapolação linear associada ao procedimento
descrito. De facto, a rotura está associada a um valor muito elevado da distorção média da
estaca, mas na verdade esse valor será inferior a 175.1% tendo em conta a não linearidade das
secções plastificadas depois da cedência até à rotura.
144
5.7. Análise conjunta dos principais resultados
Pela observação dos Quadros 5.23 a 5.25 constatou-se que, segundo o pré-dimensionamento
da estaca que foi considerado e as acções que foram tidas em conta no caso de estudo, não se
chegou a atingir a cedência em nenhuma das secções que foram pré-dimensionadas para
trabalharem em regime plástico tirando partido do confinamento calculado, ficando-se ainda
muito longe de se atingir a rotura em qualquer uma das secções para os 27 cenários
analisados. Chega-se facilmente a esta conclusão tendo em conta que se verificou que
e
para todas as análises efetuadas, onde
corresponde ao valor
máximo obtido referente à curvatura para cada uma das quatro secções ao longo do fuste da
estaca.
Concluiu-se para os três diâmetros que o caso que mais se aproxima de atingir a cedência
corresponde à Secção iii considerando ρs = 0.6% (estaca fracamente armada) e ρyp = 1.2%
(muito confinada).
Focando o estudo na análise mais desfavorável (Análise_313 - d=1.30m), e com base na
Figura 5.31, verificou-se que o campo de deslocamentos do campo livre e da estaca mantêm o
mesmo andamento em altura, excepto na transição entre camadas. Nessas zonas o perfil de
deslocamentos na interface solo-estaca é muito mais aligeirado, havendo um ajuste face à
variação brusca do campo de deslocamentos do solo devido à presença da estaca (ver Figura
5.35). Caso fosse imposto à estaca o perfil de deslocamentos do campo livre (mais "brusco"),
as curvaturas que a mesma teria que suportar seriam muito superiores.
Figura 5.35 - Detalhe da transição entre as camadas
A e B - suavização do perfil de deslocamentos
145
Pela observação do diagrama de momentos fletores da estaca referente à Análise_313 (Figura
5.32), é possível concluir que os esforços a que a mesma fica sujeita em regime não linear são
bastante inferiores aos valores obtidos considerando a estaca com comportamento linear. Tal
deve-se à redução de rigidez da estaca devido ao comportamento não linear dos materiais.
Contudo, após convergência, constata-se que o andamento do processo iterativo difere
consoante as zonas potenciais de plastificação da estaca. Comparando os resultados "Iteração
0 - Não linear" com os resultados "Após convergência - Não linear", verifica-se que nas zonas
com exigência de ductilidade, nomeadamente nas zonas de transição entre camadas, o
momento fletor aumenta do início para o final do método iterativo, enquanto que nas restantes
zonas diminui. Este facto é percetível também pela análise do perfil em altura de curvaturas
das secções de betão armado (Figura 5.33). Verifica-se então que, com base nas relações
constitutivas dos materiais que estão inerentes às análises não lineares efetuadas, nas zonas
correspondentes à exigência de ductilidade as curvaturas aumentam devido ao acréscimo da
extensão dos materiais, enquanto que nas zonas elásticas o andamento é o inverso.
Por último, estimou-se o critério de cedência e rotura da estaca em relação ao caso mais
desfavorável com base no valor da distorção média da estaca relativamente aos nós extremos
da camada B (ver Figura 5.34). Desta forma, comparando o valor máximo da distorção média
da estaca com as distorções do solo devidas a um dado sismo, pode avaliar-se se à partida se a
estaca tem ou não capacidade de deformação para suportar o campo de deslocamentos
impostos. Constatou-se relativamente à estaca de grande diâmetro, fracamente armada e muito
confinada, que o critério de cedência corresponde a um valor da distorção média da estaca
igual a γ
‰ e que o valor máximo da distorção média que a estaca pode suportar é
aproximadamente igual a γ
‰.
Apesar do valor estimado para a rotura não ser muito fiável, uma vez que a não linearidade
das secções de betão armado depois de se atingir a cedência não foi considerada na estimativa
realizada, é possível concluir que o cenário correspondente a uma estaca isolada apresenta
uma grande capacidade de deformação, podendo à partida acomodar campos de
deslocamentos impostos pelo solo devido a ação sísmica associados a valores de distorção do
solo muito elevados.
147
6. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
6.1. Conclusões finais
Estudou-se o comportamento sísmico de estacas de betão armado inseridas em terreno
estratificado. Pretendeu-se, assim, com esta dissertação contribuir para o desenvolvimento do
estudo do efeito da ação sísmica no dimensionamento de estacas com base na interação
cinemática solo-estaca, tendo em conta o comportamento não linear do solo, bem como a não
linearidade do betão armado das estacas.
O trabalho desenvolvido incidiu em duas áreas de investigação. Uma correspondente ao
comportamento do solo sob a ação sísmica e à análise do efeito de interação cinemática solo-
estaca, avaliando os efeitos induzidos nas estacas. E outra correspondente ao comportamento
de elementos de betão armado sujeitos a deslocamentos impostos, definindo a verificação de
segurança em função de grandezas cinemáticas (deformações).
Foram descritos os modelos existentes que permitem avaliar os efeitos induzidos nas estacas
devido ao efeito de interação cinemática solo-estaca. Mostrou-se que, uma vez que os
modelos de interação simplificados consideram que a estaca acompanha os movimentos do
campo livre, a sua utilização fica condicionada pelo valor da rigidez da estaca. Para estacas
que exibem comportamento flexível, é possível estimar os efeitos induzidos nas estacas com
base nas formulações simplificadas. Por outro lado, para estacas que exibem um
comportamento mais rígido, já se verifica que o movimento da estaca pode apresentar
diferenças relevantes relativamente ao do solo no campo livre, em particular nas zonas de
transição entre estratos. Deixa assim de ser correcto considerar os modelos simplificados.
Descrevendo de forma detalhada o modelo dinâmico discreto BDWF e fazendo referência a
análises comparativas com formulações rigorosas efetuadas por Santos [1999], demonstrou-se
as potencialidades de aplicação deste modelo, concluindo-se ser um dos mais indicados para
estudar o efeito de interação cinemática solo-estaca.
Uma vez que, depois de avaliados os efeitos induzidos nas estacas com base na interação
cinemática solo-estaca, a ação em estudo consiste em impor deslocamentos horizontais,
estudou-se no capítulo 3 o comportamento de elementos de betão armado sujeitos a esse tipo
de ações impostas. Constatou-se que a verificação de segurança deve ser definida em termos
de grandezas cinemáticas (deformações) para o caso de deslocamentos impostos às peças de
148
betão armado. Além disso, foram apresentadas as relações constitutivas dos materiais para
carregamento monotónico que, respeitando determinados critérios de boa concepção, serviram
de base às análises não lineares efetuadas para se estudar o comportamento de elementos de
betão armado sujeitos a deslocamentos impostos.
No capítulo 4 foram descritas as ferramentas matemáticas utilizadas neste trabalho que
permitiram analisar o problema considerando o comportamento não linear dos materiais
através do desenvolvimento de um método iterativo. Mostrou-se que através do programa
CINEMAT é possível avaliar casos de estudo em que o terreno é constituído por várias
camadas horizontais com diferentes características, considerar o comportamento não linear do
solo (com base no método linear equivalente) e estudar o problema de interação cinemática no
domínio do tempo (recorrendo à técnica de transformada de Fourier). Relativamente ao PIER,
foram descritos os principais níveis de implementação do programa, que permitem realizar
análises não lineares de estruturas reticuladas planas de betão armado sujeitas a
carregamentos monotónicos (forças aplicadas ou deslocamentos impostos).
Foi analisado no capítulo 5 um caso de estudo de uma estaca isolada atravessando uma
formação aluvionar onde um cenário geotécnico mais realista, contemplando a estratificação
do terreno e o comportamento não linear do solo, foi devidamente considerado. Considerou-se
um estudo paramétrico relativamente ao dimensionamento da estaca, com base em três
valores do diâmetro da estaca (pequeno, médio e grande diâmetro), três níveis de armadura
longitudinal (fraca, média e fortemente armada) e três níveis de armadura de confinamento
(pouco, razoavelmente e muito confinada).
Analisando de forma detalhada as diferentes secções transversais de betão armado
consideradas nesta investigação, constatou-se que um aumento da armadura de flexão faz
aumentar o momento de cedência e o momento de rotura das secções, traduzindo-se então
numa maior resistência a esforços. Contudo, os valores das curvaturas últimas diminuem com
o aumento da quantidade de armadura longitudinal, que também aumenta a rigidez da estaca.
No que se refere à quantidade de armadura de confinamento, chegou-se à conclusão que tem
influência apenas no valor da curvatura última das secções, não afetando praticamente os
outros parâmetros. O aumento da armadura de confinamento faz aumentar consideravelmente
a curvatura última das secções, resultado do aumento do valor da extensão máxima de
compressão do betão confinado. Para a curvatura de cedência, os valores obtidos são muito
próximos para qualquer alteração da quantidade de armadura de flexão ou de confinamento. A
149
variação que existe nos valores de curvaturas de cedência é muito reduzida quando comparada
com as variações na quantidade de armadura de flexão, e deve-se principalmente ao aumento
da força de tracção que tem que ser compensada com o aumento da zona comprimida da
secção transversal, o que na cedência causa um ligeiro aumento das curvaturas. A curvatura
de cedência depende principalmente da extensão de cedência do aço, do nível de esforço axial
e da dimensão da secção transversal no plano de flexão [Brito, 2011].
Uma vez definidas as ações consideradas nas análises efetuadas e apresentada a discretização
da estaca e do solo, assim como as condições de fronteira associadas, foi descrito o processo
iterativo desenvolvido neste trabalho que permitiu estudar o problema em causa admitindo
todas as hipóteses assumidas ao longo do estudo, nomeadamente a não linearidade do solo e
da estaca. Apresentando os resultados gerais obtidos para todos os cenários de estudo,
concluiu-se que, segundo o pré-dimensionamento da estaca que foi considerado e as acções
que foram tidas em conta nesta investigação, não se chegou a atingir a cedência em nenhuma
das secções que foram pré-dimensionadas para trabalharem em regime plástico tirando partido
do confinamento calculado, ficando-se ainda muito longe de se atingir a rotura em qualquer
uma das secções para os 27 cenários analisados.
Focando o estudo na análise mais desfavorável (estaca de maior diâmetro, fracamente armada
e muito confinada), verificou-se que o campo de deslocamentos do campo livre e da estaca
mantêm o mesmo andamento em altura, excepto na transição entre camadas. Nessas zonas o
perfil de deslocamentos na interface solo-estaca é muito mais aligeirado, havendo um ajuste
face à variação brusca do campo de deslocamentos do solo devido à presença da estaca.
Assim, se fosse imposto à estaca o perfil de deslocamentos do campo livre, as curvaturas que
a mesma teria que suportar seriam muito superiores. Relativamente ao diagrama de momentos
fletores da estaca, constatou-se que os esforços a que a mesma fica sujeita em regime não
linear são bastante inferiores aos valores obtidos considerando a estaca com comportamento
linear, tendo em conta a redução de rigidez da estaca devido ao comportamento não linear dos
materiais. Chegou-se à conclusão, após a convergência, que o andamento do processo
iterativo difere consoante as zonas potenciais de plastificação da estaca. Verificou-se que nas
zonas com exigência de ductilidade, nomeadamente nas zonas de transição entre camadas, o
momento fletor aumenta do início para o final do método iterativo, enquanto que nas restantes
zonas diminui. Este facto ficou percetível também pela análise do perfil em altura de
curvaturas das secções de betão armado, observando-se que, com base nas relações
constitutivas dos materiais que estão inerentes às análises não lineares efetuadas, nas zonas
150
correspondentes à exigência de ductilidade as curvaturas aumentaram devido ao acréscimo da
extensão dos materiais, enquanto que nas zonas elásticas o andamento foi o inverso.
Por último, estimou-se o critério de cedência e rotura da estaca em relação ao caso mais
desfavorável com base no valor da distorção média da estaca ao longo da camada de solo
intermédia. Estimou-se relativamente à estaca de grande diâmetro, fracamente armada e muito
confinada, que o critério de cedência corresponde a um valor da distorção média da estaca
igual a γ
‰ e que o valor máximo da distorção média que a estaca pode suportar é
aproximadamente igual a γ
‰. Verificou-se então, apesar do valor estimado para
a rotura não ser muito fiável, que o cenário correspondente a uma estaca isolada apresenta
uma grande capacidade de deformação, podendo à partida acomodar campos de
deslocamentos impostos pelo solo devido a ação sísmica associados a valores de distorção do
solo muito elevados.
6.2. Recomendações e desenvolvimentos futuros
O trabalho desenvolvido nesta dissertação envolveu a investigação articulada de um leque
variado de matérias. Esta abrangência acaba por abrir um rico horizonte de matérias com
necessidade de maior aprofudamento no futuro.
Em primeiro lugar, haverá que dar continuidade ao estudo paramétrico realizado no capítulo 5
deste trabalho, considerando novas variáveis de análise, nomeadamente o esforço normal na
estaca e a intensidade da ação sísmica considerada. Numa primeira abordagem, deverá
manter-se o mesmo nível de aceleração máxima de =0.20g e avaliar-se o efeito do
esforço axial no comportamento não linear das estacas de betão armado, alterando o valor da
tensão normal na cabeça da estaca. Num outro ponto, deverá analisar-se o efeito da
intensidade da ação sísmica, aumentando o valor da aceleração máxima de modo a
considerar-se um sismo mais desfavorável.
Relativamente à estimativa do critério de cedência e rotura da estaca, considera-se importante
avaliar esta questão em função de uma variável mais adequada. Para tal, deverá analisar-se o
comportamento da estaca até à cedência (e até à rotura) através da majoração por um fator k
da ação sísmica imposta (acelerações horizontais impostas no topo do substrato rígido), em
151
vez do campo de deslocamentos impostos diretamente no PIER à estaca, mantendo assim a
não linearidade do sistema.
Em segundo lugar, haverá que prosseguir com o estudo do dimensionamento de estacas sob
ações sísmicas considerando simultaneamente o efeito cinemático e inercial (forças de inércia
no topo da estaca provenientes da superestrutura). Para isso, será necessário considerar a
superestrutura no modelo de cálculo, inicialmente, como um oscilador de um grau de
liberdade através de um elemento de barra com uma massa concentrada no topo. Além disso,
será também importante considerar um cenário geotécnico em que o estrato mais deformável
se prologue até ao topo do terreno, de forma a evitar que o efeito das forças de inércia da
superstrutura se desvaneça no estrato superior com melhores características assumido neste
estudo, levando à sobreposição, na mesma zona da estaca, do efeito inercial e do efeito
cinemático.
Por último, e no seguimento do que foi referido anteriormente, julga-se também importante
reanalisar o problema em estudo com base em acelerogramas artificias derivados dos
espectros de resposta do Eurocódigo 8, comparando depois os resultados obtidos com as
análises efetuadas tendo em conta os acelerogramas reais.
153
BIBLIOGRAFIA
Berger, E.; Mahin, S. A. e Pyke, R. [1977] – “Simplified method for evaluating soil-pile
structure interaction effects”. Proceedings of the 9th
Offshore Technology Conference,
Houston, Texas, pp. 589-598.
Berrones, R. F.; Whitman R. V. [1982] – “Seismic response of end-bearing piles”. JGE,
ASCE, vol. 108, nº GT4, pp. 554-569.
Brito, A. [2011] – “Dimensionamento de estruturas subterrâneas de betão armado sujeitas a
acções sísmicas”. Tese de Doutoramento em Engenharia Civil, Instituto Superior
Técnico da Universidade Técnica de Lisboa.
Gazetas, G. e Dobry, R. [1984a] – “Horizontal response of piles in layered soils”. JGE, vol.
110, nº 1, January, pp. 20-40.
Gazetas, G. e Dobry, R. [1984b] – “Simple radiation damping model for piles and footings”.
Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 110, 937-956.
Idriss, I. M. e Sun, J. I. [1992] – “SHAKE91 a computer program for conducting equivalent
linear seismic response analyses of horizontally layered soil deposits, user’s manual”.
Department of Civil Engineering & Environmental Engineering, University of
California, Davis, California.
Kavvadas, M.; Gazetas, G. [1993] – “Kinematic seismic response and bending of free-head
piles in layered soil”. Géotechnique 43, nº 2, pp. 207-222.
Kramer, S. L. [1996] – “Geotechnical earthquake engineering”. Prentice Hall, Inc.
Makris, N. [1994] – “Soil-pile interaction during the passage of rayleigh waves: an analytical
solution”. Earthquake Engineering and structural dynamics, vol. 23, pp.153-167.
Mineiro, A. J. C. [1988] – “Método simplificado para avaliação de esforços sísmicos em
estacas”. Boletim geotécnico nº 4 da SAG, FCT-UNL.
Novak, M.; Nogami, T. e Aboul-Ella, F. [1978] – “Dynamic soil reactions for plane strain
case”. JEMD, ASCE, vol. 104, nº EM4, pp. 953-959.
154
Reddy, J. N. [1985] – “An introduction to the finite element method”. McGraw-Hill
International Editions.
Roesset, J. M. [1980] – “Stiffness and damping coefficients of foundations”. STP on Dynamic
Response of Pile Foundations: Analytical Aspects, ASCE, O’Neil & Dobry Editors.
Santos, J. A. [1999] – “Caracterização de solos através de ensaios dinâmicos e cíclicos de
torção. Aplicação ao estudo do comportamento de estacas sob acções horizontais
est ticas e dinâmicas”. Tese de Doutoramento em Engenharia Civil, Instituto Superior
Técnico da Universidade Técnica de Lisboa.
Soulomiac, R. [1986] – “Méthode simplifiée de calcul des pieux en zones sismiques”.
Annales de l’Institut Technique du Batiment et des Travaux Publics, nº 441.