CAPÍTULO
4 A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
4.1 INTRODUÇÃO
A transformação de PARK tem uma importância muito grande no estudo das
máquinas elétricas. Consiste de uma transformação linear que simplifica as equações
das máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas.
Fisicamente, transforma a máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos
e enrolamentos rotóricos girantes, em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos
pseudo-estacionários.
4.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Foi demonstrado no capítulo 3, que sob a transformação 0αβ , os fluxos e as
correntes ficam relacionados pelas equações (4.1).
0 00
00 0
S SS
S SS SR SR
S SS SR SR
RR R
SR SR RR R
SR SR RR R
i0 0 0 0 0i0 0 0 m cos m seni0 0 0 m sen m cos
0 0 0 0 0 i0 m cos m sen 0 0 i0 m sen m cos 0 0 i
α α
β β
α α
β β
φ φ θ − θ φ θ θ = φ θ θ φ − θ θ φ
LL
LL
LL
(4.1)
Os fluxos estatóricos podem ser reescritos segundo a expressão (4.2).
0 0 00
S S RS
S S S SR SR R
S SR SRS S R
i i0 0 0 0 00 0 i 0 m cos m sen i0 0 0 m sen m cosi i
α α α
β β β
φ φ = + θ − θ θ θφ
LL
L (4.2)
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Vamos definir um novo conjunto de correntes rotóricas, segundo a expressão
(4.3):
φφφ
θθθ−θ=
φφφ
β
α
R
R
R
R
R
R 0
q
d
0
cossen0sencos0001
(4.3)
Assim:
00dq αβ
−= R1
R iBi (4.4)
onde:
θθθ−θ=−
cossen0sencos0001
1B (4.5)
A matriz B-1 define a transformação de PARK.
4.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Vamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, segundo as
expressões (4.6) e (4.7), ignorando as componentes homopolares, que não serão
alteradas pela transformação de PARK.
S SRmαβ αβ αβ
−= + 1S S Ri B iL Iφ (4.6)
R SRmαβ αβ αβ= +R R Si B iL Iφ (4.7)
onde:
θθ−θθ
=cossensencos
B (4.8)
e
66 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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1 00 1
=
I (4.9)
Aplicando-se a transformação B-1 na equação (4.7), obtém-se:
dqSR Rm
αβ αβ
− − −= +1 1 1R S RB B B i B B iφ L (4.10)
Assim:
dq dqSR Rm
αβ= +R S Ri iI L Iφ (4.11)
A partir da expressão (4.6) obtém-se:
dqSR Sm
αβ αβ= +S R Si iI L Iφ (4.12)
Reunindo-se as equações (4.11) e (4.12) e representando-se na forma
matricial, encontra-se a expressão (4.13).
0 00
00 0
d d
q q
S SS
S SS SR
S SS SR
RR R
SR RR R
SR RR R
i0 0 0 0 0
i0 0 0 m 0i0 0 0 0 m
0 0 0 0 0 i0 m 0 0 0 i0 0 m 0 0 i
α α
β β
φ φ φ = φ φ φ
LL
LL
LL
(4.13)
A expressão (4.13) mostra que as submatrizes indutâncias são diagonalizadas
pela transformação de PARK.
Convém chamar atenção para o fato de que as variáveis estatóricas não foram
transformadas; somente as variáveis rotóricas sofreram a ação da transformação de
PARK.
Fazendo-se o produto BB 1− obtém-se:
=
θθ−θθ
θθθ−θ
1001
cossensencos
cossensencos
(4.14)
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Portanto a transformação de PARK, como foi definida é ortogonal. Por isto, sob
esta transformação, a potência é invariante.
4.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Para interpretarmos fisicamente a transformação de PARK, vamos considerar
os sistemas de eixos representados na Fig. 4.1.
•
θ
R q
R d
Rβ
Rα
θ
Rβi Rq
i
Rαi
Rdi
Fig. 4.1 – Sistemas de eixo representando a transformada de Park.
Os eixos βαRR giram no sentido anti-horário com velocidade •
θ . Os eixos
qdRR estão em repouso. Tem-se assim dois enrolamentos girando, com correntes αRi
e βRi e dois estacionários com correntes Rdi e
qRi . Todos os enrolamentos são
considerados idênticos.
Decompondo-se as forças magnetomotrizes dos enrolamentos girantes
segundo os eixos fixos e dividindo-se pelo número de espiras, encontra-se as relações
(4.15) e (4.16).
θ−θ=βαsenicosii RRR d
(4.15)
θ+θ=βα
cosisenii RRR q (4.16)
Na forma matricial obtém-se a expressão (4.17), que é a própria transformação
de PARK:
θθθ−θ
=
β
α
R
R
R
R
ii
cossensencos
ii
q
d (4.17)
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Pode-se estabelecer assim que a transformação de PARK permite converter
um conjunto de enrolamentos girantes num conjunto de enrolamentos fixos, produzindo
os mesmos efeitos. As correntes dos enrolamentos fixos terão freqüência diferente das
correntes dos enrolamentos girantes.
A transformação de enrolamentos fixos em girantes coloca em evidência a
seguinte questão: os enrolamentos do rotor são fixos, mas o rotor encontra-se em
movimento. Isto só é possível numa máquina a comutador. Assim, a transformação de
PARK transforma enrolamentos comuns, alimentado através de anéis, em
enrolamentos alimentados através de escovas e comutador, que são também
conhecidos com o nome de enrolamentos pseudo-estacionários. Desse modo a
transformação de PARK pode ser realizada fisicamente. Na Fig. 4.2 está representada
a transformação física.
R
Rα
β
VRβ
VRα Rq
Rd
VR d
VR q
Fig. 4.2 – Representação física da transformada de Park.
Simbolicamente, a máquina antes e depois da transformação está
representada na Fig. 4.3 e Fig. 4.4.
Sβ
Sα
Rβ
Rα
θ
Fig. 4.3 – Máquina original.
q
d
R
R
S = S
q
d
q β
S = Sd α
Fig. 4.4 – Máquina transformada.
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4.5 TENSÕES DA MÁQUINA SOB A FORMA DE VARIÁVEIS DE PARK
O modelo elétrico em variáveis αβ é representado pelas equações (4.18) e
(4.19).
ddtαβ αβ αβ
= +S S S Sv R i φ (4.18)
ddtαβ αβ αβ
= +R R R Rv R i φ (4.19)
Aplicando-se a matriz B-1 na expressão (4.19) obtém-se a expressão (4.20).
( )
dq
dq
d
dtαβ
− − −= +R
1 1 1R R R
BB v B R B i B
φ (4.20)
dq
dq dq dq
d ddt dt
− − ∂ θ= + +
∂θ
R1 1R R R R
Bv R i B B Bφ
φ (4.21)
cos sen sen cossen cos cos sen
− θ − θ − θ θ ∂= θ θ − θ − θ∂θ
1 BB (4.22)
Assim:
0 11 0θ
− − ∂= ∂
1 BB (4.23)
dq
dq dq dq
d 0 1d1 0dt dt
− θ= + +
R
R R R Rv R iφ
φ (4.24)
dq
dq dq
d
dt= +
S
S S Sv R iφ
(4.25)
As expressões (4.25) e (4.24) podem ser reescritas segundo as expressões
(4.26) e (4.27) respectivamente.
70 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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d d d d
q q q q
S S S RS S SR
S S SRS S S R
v i i iR 0 p 0 pm 00 R 0 p 0 pmv i i i
= + +
LL (4.26)
d d
d d q q
q q d d
q q
S S
R R S SSR R SR RR
SR R SR RRR R R R
R R
i i
v i i im 0 0 m 0 0R 0 0 1p
0 m 0 0 m 00 Rv i i 1 0 i
i i
•
− = + + θ
L LL L (4.27)
Resumindo-se as expressões (4.26) e (4.27), encontra-se as equações (4.28).
d d
q q
d d
q q
S S SRS S
S SS S SR
R RSR SR R R R
R RSR SR R R R
R p 0 pm 0v i
v i0 R p 0 pmv ipm m R pv i
m pm R p
• •
• •
+
+ = θ + θ − θ − θ +
L
L
L L
L L
(4.28)
As expressões (4.28) representam as equações elétricas da máquina simétrica
trifásica (ou polifásica), com o referencial colocado no estator. Está sendo considerada
uma máquina de dois pólos. A generalização para um número genérico de pares de
pólos será apresentada mais adiante. As componentes homopolares quando existirem,
poderão ser adicionadas nas equações (4.28).
Estas equações são muito importantes e são capazes de representar a
máquina sob não importa qual condição de operação.
4.6 EXPRESSÃO DO TORQUE
Foi estabelecida a expressão do torque, com a seguinte forma:
( )
T tαβαβ
∂ θ=
∂θSR
S R
Li i (4.29)
mas,
( ) 1SR BθL −= SRm (4.30)
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Portanto:
SRT = m t
αβαβ
−∂∂θ
1
S RBi i (4.31)
SRT = mdqdq
t
θ
−∂∂
1
S RBi Bi (4.32)
sen cos
cos sen
− − θ − θ ∂= θ − θ∂θ
1B (4.33)
sen cos cos sen
cos sen sen cos
− − θ − θ θ θ ∂= θ − θ − θ θ∂θ
1B B (4.34)
0 11 0
− − ∂= ∂θ
1B B (4.35)
Assim:
dqdq 01
10mT t
SR RS ii
−= (4.36)
d
d q
q
R
SR S SR
i0 1T m i i
1 0 i
− = (4.37)
( )q d d qSR S R S RT m i i i i= − (4.38)
4.7 EQUAÇÕES COMPLETAS DA MÁQUINA
O modelo completo para a máquina de indução, com n pares de pólos é
representado pelas equações (4.39) e (4.40). Será considerada uma máquina em que
d qR Rv v 0= = (rotor em curto-circuito).
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d d
q q
d
q
S S SRS S
S SS S SR
RSR SR R R R
RSR SR R R R
R p 0 pm 0v i
v i0 R p 0 pm0 ipm n m R p n0 i
n m pm n R p
• •
• •
+
+ = θ + θ − θ − θ +
L
L
L L
L L
(4.39)
( )q d d qSR S R S RT = nm i i - i i (4.40)
S
nωω
= (4.41)
onde:
ω ⇒ Pulsação das tensões de alimentação.
Sω ⇒ Velocidade síncrona do motor.
4.8 GENERALIZAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK
Neste item será estabelecido o modelo de PARK da máquina simétrica, para
um sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer, representado na
Fig. 4.5.
Os enrolamentos do estator, αS e βS estão em repouso. Os enrolamentos do
rotor, αR e βR giram com velocidade •
θ . Os eixos qd giram com velocidade •
Ψ . Todos
os enrolamentos possuem o mesmo número de espiras.
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S
S
R
R β
β
α
α
d
q
isβ
i sα
i Rα
i Rβ
i s
i R
d
d
i sq
i Rq
θΨ
ωm
Fig. 4.5 – Sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer.
Fazendo as projeções das forças magnetomotrizes do rotor e do estator sobre
os eixos de referência qd , obtém-se as expressões a seguir:
a)
dSi i cos i senS Sα β= Ψ + Ψ (4.42)
qS S Si i sen i cos
α β= − Ψ + Ψ (4.43)
Representando-se na forma matricial obtém-se as expressões (4.44).
S S
S S
i icos seni sen cos i
d
q
α
β
Ψ Ψ = − Ψ Ψ
(4.44)
b)
( ) ( )dR R Ri i cos i sen
α β= Ψ −θ + Ψ −θ (4.45)
( ) ( )qR R Ri = -i sen i cos
α βΨ −θ + Ψ −θ (4.46)
( ) ( )( ) ( )
R R
R R
i icos sensen cosi i
d
q
α
β
Ψ −θ Ψ −θ = − Ψ −θ Ψ −θ
(4.47)
Os casos particulares, mais comumente empregados são os seguintes:
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I ) Referencial no estator ( )0Ψ =
=
β
α
S
S
S
S
ii
1001
ii
q
d (4.48)
θθθ−θ
=
β
α
R
R
R
R
ii
cossensencos
ii
q
d (4.49)
II ) Referencial no rotor ( )Ψ = θ
θθ−θθ
=
β
α
S
S
S
S
ii
cossensencos
ii
q
d (4.50)
=
β
α
R
R
R
R
ii
1001
ii
q
d (4.51)
III ) Referencial no campo girante
StΨ = ω (4.52)
tmω=θ (4.53)
ωω−ωω
=
β
α
S
S
SS
SS
S
S
ii
tcostsentsentcos
ii
q
d (4.54)
( ) ( )( ) ( )
d α
q β
R RS m S m
S m S mR R
i icos ω -ω t sen ω -ω t=
-sen ω -ω t cos ω -ω ti i
(4.55)
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4.9 EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA NUM SISTEMA DE EIXOS GENÉRICOS
Sejam as transformações definidas pelas expressões (4.56) e (4.57).
cos sensen cos
− Ψ Ψ = − Ψ Ψ
1SB (4.56)
( ) ( )( ) ( )
cos sensen cos
− Ψ −θ Ψ −θ = − Ψ −θ Ψ −θ
1RB (4.57)
Sejam as equações elétricas da máquina, sob a forma de variáveis αβ ,
representadas pelas expressões (4.58) e (4.59).
d
dtαβ
αβ αβ= +
S
S S Sv R iφ
(4.58)
d
dtαβ
αβ αβ= +
R
R R Rv R iφ
(4.59)
Vamos aplicar a transformação BS-1 na equação (4.58).
d
dtαβ
αβ αβ
− − −= +S1 1 1
S S S S S SB v B R i Bφ
(4.60)
( )
dq
dq dq
d
dt− −= +
S S1 1S S S S S S
Bv B R B i B
φ (4.61)
SSS1
S RBRB =− (4.62)
dq dq
dq
d d
dt dt
•− − − ∂
= + Ψ∂Ψ
S S S1 1 1 SS S S S S
B BB B B Bφ φ
φ (4.63)
0 1d1 0d
− − = Ψ
1 SS
BB (4.64)
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Levando-se (4.62), (4.63) e (4.64) em (4.61) obtém-se:
dq
dq dq dq
d 0 11 0dt
•− = + + Ψ
S
S S S Sv R iφ
φ (4.65)
Adotando-se procedimento análogo para a equação elétrica do rotor, obtém-se:
dq
dq dq dq
d 0 11 0dt
• •− = + + Ψ−θ
R
R R R Rv R iφ
φ (4.66)
Em seguida será deduzida a expressão do torque:
( )tTαβαβ
∂=
∂θSR
S R
Li i
θ (4.67)
dqSSS iBi =
αβ (4.68)
Assim:
ttt
dq SSS Bii =αβ
(4.69)
dqRRR iBi =
αβ (4.70)
Assim:
( )dqdq
t tT∂
=∂θSR
S S R R
Li B B i
θ (4.71)
mas,
( ) SRm −= 1SRL Bθ (4.72)
Assim:
dqdqSRT = m t t
−∂∂θ
1
S S R RBi B B i (4.73)
Assim:
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( )d d q dSR R S R ST = m i i - i i (4.74)
Reunindo-se as equações (4.65), (4.66) e (4.74), desenvolvendo-se e
generalizando-se para n pares de pólos, obtém-se o modelo representado pelas
equações (4.75) e (4.76). Para o rotor em curto, basta fazer d qR Rv v 0= = .
d d
q q
d d
q q
S S S SR SR
S S
S S S SR SRS S
R RSR SR R R R
R R
SR SR R R R
R p n pm m nv i
n R p m n pmv i
v ipm m n R p n
v i
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
L L
L L
L L
L L
(4.75)
( )qddq RSRSSR iiiimnT −= (4.76)
Quando a velocidade do motor varia com o tempo, as equações elétricas da
máquina são não-lineares. Para velocidade constante, o modelo torna-se linear.
Em qualquer das situações, a equação mecânica é não-linear, pois aparece o
produto de duas correntes.
O modelo obtido representa a máquina para qualquer situação e para qualquer
referencial.
4.10 MODELO DQ REFERIDO AO PRIMÁRIO
Ao se estabelecer as equações da máquina simétrica representadas pelas
equações (4.75) e (4.76), não se fez referências à relação de transformação entre os
enrolamentos estatóricos e rotóricos. Assim, ao se empregar as referidas equações,
deve-se empregar os parâmetros do estator medidos no estator e os do rotor medidos
no lado do rotor.
78 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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Porém, quando se trata de uma máquina com rotor em gaiola, não se tem
acesso ao rotor. Todos os parâmetros são referidos ao estator. Por isto as equações da
máquina devem ser desenvolvidas para permitir o emprego desses parâmetros
medidos em relação a um só lado.
Para realizar tal modificação, será aplicada a transformação primária-
secundária, que será apresentada com detalhes no capítulo 7, e que aqui está
representada pela expressão (4.77):
dd
dd
SS
SS
'RR
'RR
vv 1 0 0 0vv 0 1 0 0
0 0 a 0 vv0 0 0 a vv
=
(4.77)
Assim:
[ ]'SR SRv v− =
1PS (4.78)
Onde a é a relação entre o número de espiras do estator e o número de espiras
do rotor.
A matriz PS-1 refere todas as tensões ao estator.
Para as correntes, a transformação é dada pela expressão (4.79).
=
q
d
q
d
q
d
q
d
R
R
S
S
'R
'R
S
S
iiii
a10000a10000100001
iiií
(4.79)
SR'
SR iSPi = (4.80)
Em seguida a transformação será aplicada nas equações da máquina.
='SR SRv Z i (4.81)
1−=' 'SR SRPS v Z PS i (4.82)
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1 1− −=' 'SR SRv PS Z PS i (4.83)
onde Z é dada pela expressão (4.84).
S S S SR SR
S S S SR SR
SR SR R R R
SR SR R R R
R p n pm m n
n R p m n pm
pm m n R p n
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
Z
L L
L L
L L
L L
(4.84)
Realizando o produto matricial determinado pela expressão (4.83),
encontramos as equações representadas pela expressão (4.85).
Quando os parâmetros são obtidos por ensaio, a relação de transformação é
desconhecida. Isto não apresenta dificuldade na análise, uma vez que eles serão
determinados em relação ao estator. Desse modo todas as grandezas rotóricas, como
tensão e corrente, ficam determinadas também referidas ao estator.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
d d
q
d
q
S S S SR SR
S S
S S S SR SRS
'2 2R
SR SR R R R'
R
2 2SR SR R R R
R p n p a m a m nv i
n R p a m n p amv
v p am am n a R p n av
a m n p am n a a R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
L L
L L
L L
L L
q
d
q
S
'R
'R
i
i
i
(4.85)
Através de ensaios clássicos, a vazio e em curto-circuito, pode-se determinar
os parâmetros elétricos.
1) 1SR mma = ⇒ indutância magnetizante medida em relação
ao estator.
2) S 1 1m= +L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do
estator.
80 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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3) '2R 2 1 Ra m= + =L L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do rotor
referida ao estator.
4) SR ⇒ resistência do estator.
5) 'RR
2 RRa = ⇒ resistência do rotor referida ao estator.
Desse modo as equações elétricas passam a ser representadas pela
expressão (4.86):
d d
q q
d d
q q
S S S 1 1
S S
S S S 1 1S S
' '' ' 'R R
1 1 R R R' '
R R' ' '
1 1 R R R
R p n pm m nv i
n R p m n pmv i
v ipm m n R p nv i
m n pm n R p
• •
• •
• • • •
• • • •
+ − Ψ − Ψ Ψ + Ψ = − Ψ−θ + − Ψ−θ Ψ−θ Ψ−θ +
L L
L L
L L
L L
(4.86)
( )q d d d
' '1 S R S RT = nm i i - i i (4.87)
O torque fica representado pela expressão (4.87).
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4.11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Seja:
( )1S Sv 2 Vsen t= ω + θ
( )2S Sv 2 Vsen t 120= ω − ° + θ
( )3S Sv 2 Vsen t 120= ω + ° + θ
Determinar 0Sv ,
dSv e qSv para o referencial colocado no estator e colocado no
campo girante.
2) Um motor de indução é alimentado por um inversor do tipo °180 . As formas de onda
impostas em cada fase estão representadas abaixo. Obter e representar graficamente
as tensões 0Sv ,
dSv e qSv .
vS1
vS2
vS3
(2E/3)
(E/3)
(2E/3)
(E/3)
(2E/3)
(E/3)
O O O O0 60 120 180
Fig. 4.6 – Formas de onda impostas as fases de um motor trifásico.
82 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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3) Obter o modelo de estado do motor de indução, para um referencial genérico, em
termos de variáveis dq.
4) Considere o modelo do motor de indução com referencial no campo girante. Seja:
1S Sv 2Vsen t= ω
( )2S Sv 2Vsen t 120= ω + °
( )3S Sv 2Vsen t 120= ω − °
Consideremos o motor em regime permanente.
(a) As tensões dSv e
qSv são funções do tempo? Por que?
(b) As correntes dSi ,
qSi , dRi e
qRi são funções do tempo? Por que?
5) Seja o enrolamento trifásico rotórico de uma máquina de indução, girando no sentido
anti- horário em relação ao estator. Seja:
( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆
( )2R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆
( )3R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆
Seja SmR ω=ω+ω onde:
mω ⇒ velocidade do rotor
Sω ⇒ pulsação das correntes do estator
Rω ⇒ pulsação das correntes do rotor
a) Determinar as tensões 0Rv , Rv
α e Rv
β. Qual a freqüência dessas tensões?
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 83
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b) Determinar as tensões 0Rv ,
dRv e qRv para um referencial colocado no estator. Qual a
freqüência dessas tensões?
Supor em seguida que:
( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆
( )2R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆
( )3R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆
Repetir as questões a) e b). A freqüência das tensões mudou? Por que?
6) Seja uma máquina de indução trifásica onde:
m 0tθ = ω + θ
S m Rω = ω +ω
( )1S S Si I sen t= ω + φ
( )2S S Si I sen t 120= ω − °+ φ
( )3S S Si I sen t 120= ω + °+ φ
( )1R R Ri I sen t= ω + ∆
( )2R R Ri I sen t 120= ω − °+ ∆
( )3R R Ri I sen t 120= ω + °+ ∆
Determinar a expressão do torque desenvolvido pela máquina, partindo da
expressão:
84 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA
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( )SR Sq Rd Sd RqT m i i i i= −
7) Um motor de indução pode ser empregado como freio, impondo-se a seguinte
alimentação:
(a) a fase α do estator é alimentada por uma corrente contínua ICC.
(b) a fase β do estator é mantida aberta.
Nessas condições, empregando o modelo de PARK com referencial no estator,
determinar:
(a) a expressão do torque desenvolvido pelo motor em função da velocidade.
(b) a velocidade, em função dos parâmetros da máquina, para a qual o torque é
máximo.
(c) a expressão do torque máximo.
8) Considere o modelo de PARK motor de indução com o referencial no campo girante.
Seja uma fonte que imponha as correntes estatóricas do motor. Assim:
dS S Si I sen t= ω
qS S Si I cos t= ω
Determinar as expressões das correntes dRi e
qRi e do torque desenvolvido
pelo motor.
9) Considere um motor de indução de rotor bobinado em repouso. No instante t 0= as
três fases do estator são subitamente alimentadas com tensões senoidais
balanceadas. Determinar a evolução das tensões rotóricas em função do tempo.
Considerar os enrolamentos rotóricos abertos.
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10) Considere uma máquina de indução bifásica com rotor em gaiola. A fase d é
alimentada por uma tensão do tipo:
dS Sv 2Vsen t= ω
A fase q é mantida aberta. A máquina é acionada por um motor auxiliar.
q
d
vSd
ωm
Fig. 8.7 – Máquina de indução bifásica com rotor em gaiola.
Demonstrar que a tensão qSv é função da
velocidade do rotor. Que condições devem
ser satisfeitas para que a relação entre
qSv e mω seja linear ?
Empregar as equações de PARK para o
referencial colocado no estator. Este
sistema é conhecido como tacogerador de
indução. A sua característica principal é o
fato da tensão gerada qSv apresentar
freqüência constante, igual à freqüência
da tensão dSv de excitação.
11) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d do estator é
alimentado por uma fonte que lhe impõe uma corrente senoidal.
12) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d é alimentado por
uma corrente contínua.