2
SIMONA ROATEI SILVIA MARZAVAN
Geometrie analitic i diferenial - aplicaii i
probleme
EDITURA ACADEMIEI TEHNICE MILITARE BUCURETI, 2011
3
Prefa
Prezenta lucrare se adreseaz studenilor i specialitilor din universitile tehnice, economice, militare, etc., abordnd capitole de geometrie analitic i diferenial, precum i capitole de algebr liniar necesare nelegerii acestora. Obiectivul crii l constituie aprofundarea cunotinelor teoretice prin numeroase aplicaii i probleme care s nuaneze rezultatele teoretice i s pun n eviden importana lor. Am intenionat ca materialul de fa s scoat n eviden conexiunile dintre diversele ramuri ale matematicii: algebra liniar, geometria analitic, geometria diferenial, analiza matematic, analiza numeric, ecuaii difereniale, etc. La redactare am avut n vedere mbinarea rigorii matematice cu claritatea i accesibilitatea prezentrii. Cartea furnizeaz celor interesai un material de studiu n special din domeniul geometriei analitice i al geometriei difereniale. Sunt tratate urmtoarele capitole: 1. Elemente de calcul vectorial, 2. Planul i dreapta n spaiu, 3. Forme biliniare. Forme ptratice, 4. Conice, 5. Cuadrice, 6.Generri de suprafee. Suprafee riglate i de rotaie, 7. Curbe n plan, 8. Curbe n spaiu, 9. Suprafee.
Fiecare capitol este structurat astfel: o scurt prezentare teoretic cuprinznd definiiile noiunilor folosite, enunurile teoremelor i formulele de baz necesare rezolvrii problemelor, urmat de probleme rezolvate n detaliu i, n final, un set de probleme propuse spre rezolvare, unele asemntoare cu cele rezolvate, altele fiind o continuare a acestora, respectndu-se gradarea dificultii de rezolvare.
Aducem mulumirile noastre doamnei Conf. Dr. Antonela TOMA
(Universitatea Politehnic Bucureti) i domnului Prof. dr. Ing. Mat. Constantin ROTARU (Academia Tehnic Militar) pentru sugestiile i aprecierile fcute la citirea manuscrisului.
Simona Roatei Silvia Marzavan
4
Cuprins
PREFA................................................................................................................. 3
CUPRINS..... 4 PARTEA I. GEOMETRIE ANALITIC. 6 CAPITOLUL 1. Elemente de calcul vectorial.............................................................. 6
1.1. Elemente de calcul vectorial aspecte teoretice... 6 1.2. Probleme rezolvate... 12 1.3. Probleme propuse spre rezolvare.. 34 CAPITOLUL 2. Planul i dreapta n spaiu.................................................................. 39 2.1. Planul i dreapta n spaiu aspecte teoretice..................................... 39 2.2. Probleme rezolvate ............ 42 2.3. Probleme propuse spre rezolvare .............................................................. 68 CAPITOLUL 3. Forme biliniare. Forme ptratice........................................................ 76 3.1. Forme biliniare. Forme ptratice aspecte teoretice ........................ 76 3.2. Probleme rezolvate ................... 83 3.3. Probleme propuse spre rezolvare........................................................... 96 CAPITOLUL 4. Conice.............................................................................................. 101 4.1. Conice..... 101 4.2. Probleme rezolvate ................................ 110 4.3. Probleme propuse spre rezolvare ........................... 131 CAPITOLUL 5. Cuadrice . 133 5.1. Cuadrice... 133 5.2. Probleme rezolvate .................................................................................... 142 5.3. Probleme propuse spre rezolvare............................................. 146
CAPITOLUL 6. Generri de suprafee. Suprafee riglate i de rotaie....................... 149
5
6.1. Generri de suprafee. Suprafee riglate i de rotaie aspecte teoretice.. 149 6.2. Probleme rezolvate .... 156 6.3. Probleme propuse spre rezolvare .. 165
PARTEA A II-A. GEOMETRIE DIFERENIAL 168
CAPITOLUL 7. Curbe n plan.................................................................................... 168
7.1 Curbe n plan........................................................................... 168
7.2. Probleme rezolvate ... 188
7.3. Probleme propuse spre rezolvare .. 195
CAPITOLUL 8. Curbe n spaiu................................................................................... 198 8.1. Curbe n spaiu ..... 198 8.2. Probleme rezolvate ...... 214
8.3. Probleme propuse spre rezolvare ...... 228 CAPITOLUL 9. Suprafee......................................................................................... 232 9.1. Suprafee ..... 232 9.2. Probleme rezolvate ....... 248 9.3. Probleme propuse spre rezolvare ...... 260 BIBLIOGRAFIE..................................................................................................... 263
6
PARTEA I. GEOMETRIE ANALITIC.
Capitolul I
ELEMENTE DE CALCUL VECTORIAL
Mulimea tuturor punctelor din spaiu, notate cu litere mari ( CBA ,, ) se va nota cu 3E , numit spaiu geometric.
Planul va fi notat cu 2E .
Vectori legai, vectori liberi. Un segment orientat AB , 3, EBA , A B , se numete vector legat, fiind caracterizat prin noiunile
geometrice: direcie, sens, mrime (lungime). Doi vectori legai AB i CD se numesc echipoleni i se noteaz CDAB ~ dac au acelai suport sau suporturi paralele, au aceeai mrime i acelai sens. Numim vector liber v determinat de vectorul legat AB
mulimea tuturor vectorilor legai
echipoleni cu AB : , ~v CD AB CD . Doi vectori sunt egali dac au aceeai direcie, acelai sens i aceiai lungime. Definiia I. 1. Un vector de lungime unu se numete versor sau vector unitar. Un vector de lungime egal cu zero se numete vector nul. Opusul unui vector v
este un vector v , care are aceeai direcie i lungime cu v ,
dar sensul este opus aceluia lui v
.
Mulimea tuturor vectorilor liberi se va nota cu 3V .
7
Definiia I. 2. Fie 3, EBA , 3EO . Se numete suma vectorilor OA i AB vectorul OB , ABOAOB (regula triunghiului) (figura 1).
Figura 1
Definiia I. 3. Fie 3, Vba i 3EO . Fie bOBaOA , i fie OC diagonala paralelogramului construit pe OA i OB .
Figura 2
Vectorul liber c determinat de OC este prin definiie suma vectorilor liberi a i b , adic bac (regula paralelogramului).
Proprietatea I. 4.
a. Comutativitate: 3,, Vbaabba ; b. Asociativitate: 3,,),()( Vcbacbacba ; c. Existena elementului nul: 3,00 Vaaaa ;
O
A
B
O
CB
A
8
d. Existena elementului simetric: 3 ( ) ( ) 0,a a a a a V . Din proprietile a,b,c,d rezult c (V3,+) este grup abelian (comutativ).
Propoziia I. 5. Fie 3, EBA , 3EO . Atunci AB rrAB . nmulirea unui vector cu un scalar. Fie 3,a V R , 0 . Vectorul
a are urmtoarele proprieti: are aceeai direcie cu a , mrimea vectorului a este a a , sensul vectorului a este: acelai cu a dac 0 , sens opus lui a dac 0 i dac 0 , atunci prin definiie:
0a . Definiia I. 6. Fie 3Va . Se numete versorul vectorului nenul a , un
vector de mrime 1 care are aceeai direcie i acelai sens cu a . Dac notm cu
au versorul lui a , atunci: a
au
a
1 .
Definiia I. 7. Doi vectori se numesc coliniari dac au suporturi paralele sau coincid.
Propoziia I. 8. Doi vectori liberi nenuli 3, Vba , sunt coliniari (dac i numai dac) R \ }0{ astfel nct 3, , ,a b a b V R .
Definiia I. 9. Trei vectori se numesc coplanari dac suporturile lor sunt paralele cu acelai plan.
Propoziaia I. 10. Vectorii 3, ,a b c V cu , , 0c b c
sunt coplanari dac i numai dac exist , R astfel nct a b c .
Reper catezian. Fie O E3 un punct fixat din spaiu i trei axe Ox, Oy, Oz perpendiculare dou cte dou. Prin ax se nelege o dreapt pe care s-a fixat un punct fix, numit origine, un sens i o unitate de msur. Notm cu , ,i j k
versorii celor trei axe Ox, Oy, Oz, respectiv.
9
Figura 3
, , ,O i j k se numete reper cartezian n E3. Propoziia I. 11. Fie , , ,O i j k un reper cartezian i un punct A din spaiu, atunci , ,x y z R unice astfel nct OA xi yj zk . (1)
Numerele x, y, z se numesc coordonatele carteziene ale punctul A
n raport cu reperul cartezian , , ,O i j k i vom nota A(x, y, z). Relaia (1) se numete expresia analitic a vectorului OA .
Propoziia I. 12. Fie A, B E3, , , ,O i j k reper. Dac A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) atunci 2 1 2 1 2 1AB x x i y y j z z k .
Dac a este vectorul liber determinat de AB , vom nota cu 2 1xa x x , 2 1ya y y i 2 1za z z . Rezult c x y za a i a j a k . Numerele xa , ya i za
sunt unic determinate i se numesc coordonatele (componentele) lui a n raport cu reperul , , ,O i j k .
10
Definiia I. 13. Fie 3,a b V . Se numete produsul scalar al vectorilor liberi a i b i se noteaz cu a b numrul
cos , daca 0, 00 daca 0 sau 0
a b a b a ba b
a b
unde [0, ] unghiul format de suporturile celor doi vectori. Propoziia I. 14. Vectorii 3,a b V sunt ortogonali (suporturi
perpendiculare) dac i numai dac produsul lor scalar este egal cu 0, 0a b . Definiia I. 15. Fie 3,a b V . Se numete produsul vectorial al
vectorilor a i b i se noteaz cu a b , vectorul liber caracterizat prin: direcie perpendicular pe planul format de suporturile lui a i b ; sens dat de regula burghiului, adic sensul su coincide cu sensul de naintare al unui burghiu care se rotete de la a ctre b cu un unghi minim ; i mrime
sin ,a b a b a b . Interpretarea geometric a produsului vectorial. Mrimea a b a
produsului vectorial a doi vectori liberi a i b , este aria paralelogramului format de suporturile celor doi vectori a
i b .
Considerm O un punct n spaiu, ,OA a OC b . Construim pe suporturile celor doi vectori paralelogramul OABC .
n particular, rezult c aria triunghiului OAC este jumtate din aria acestui paralelogram, deci 1
2OACAria a b
.
Expresia analitic a produsului vectorial. Fie , , ,O i j k un reper cartezian i doi vectori liberi x y za a i a j a k
i x y zb b i b j b k
. Atunci
11
x y z
x y z
i j ka b a a a
b b b
, determinant formal pe care l dezvoltm dup prima linie.
Definiia I. 16. Fie 3, ,a b c V . Se numete produs mixt i se noteaz cu , ,a b c un numr definit astfel , ,a b c a b c .
Interpretarea geometric a produsului mixt. Modulul produsul mixt ),,( cba este egal cu volumul paralelipipedului oblic construit pe
suporturile vectorilor ba, i c . Expresia analitic a produsului mixt. Fie vectorii ba, i c , cu
expresiile lor analitice kajaiaa zyx , kbjbibb zyx i kcjcicc zyx . Atunci :
, , x y zx y zx y z
a a aa b c b b b
c c c .
Volumul paralelipipedului construit pe vectorii , ,a b c
este
x y z
x y z
x y z
a a aV b b b
c c c .
O condiie necesar i suficient ca trei vectori ,a b i c s fie colpanari este ca
, , 0x y zx y zx y z
a a aa b c b b b
c c c .
12
Produsul dublu vectorial a trei vectori. Fie vectorii ba, , 3c V
.
Produsul dublu vectorial al vectorilor Fie vectorii ba, i c , luai n aceast ordine, este vectorul a b c . Are loc formula a b c a c b a b c .
Probleme rezolvate.
I.1. Fie O un punct fix n spaiu i OA i OB vectori de poziie ai punctelor A , respectiv B . Fie M mijlocul segmentului AB . Artai c vectorul de poziie al lui M este
2OA OBOM
.
Figura 1
Soluie. Regula paralelogramului OC OA OB . Cum M este mijlocul
segmentului AB paralelogramABCD M este mijlocul lui OC . Rezult
2 2OC OA OBOM
.
13
I. 2. Fie OA
i OB vectorii de poziie pentru dou puncte din spaiu. Fie un punct M care mparte segmentul AB n raportul . Atunci OM este dat de formula
1OA OBOM
.
Figura 2
Soluie. AM
i MB sunt coliniari, atunci exist AMMB
astfel nct
AM MB .
AM BM AMMB
OM OA OM OB OM OM OA OB
.
Avem
11
A BM A B M M A B M
r rr r r r r r r r .
I. 3. Fie OA
, OB
i OC vectorii de poziie pentru trei puncte din spaiu, , ,A B C . Fie G centrul de greutate. Atunci
3OA OB OCOG
14
Figura 3
Soluie. Fie A mijlocul segmentului BC . Atunci
2OB OCOA
.
G se afl pe AA la 23
de A i 13
de A , atunci 2;AGGA
Conform Problemei I. 2. avem
22 '
1 2
OAOA OAOG
2OB OC
3 3OA OB OC .
I. 4. Se dau vectorii:
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
22
u e e e u e u e u ev e e e v e v e v e
Se cere:
a) , 2 , , , ,u v u v u v u v v u ;
b) Proiecia ortogonal a lui v pe u (notat upr v);
c) Aria paralelogramului construit pe cei doi vectori;
d) S se determine un versor perpendicular pe planul format de cei doi vectori.
15
Soluie. a) 1 3 1 2 33 , 2 2 2 4 , 4 1 1 6u v e e u e e e v
,
1 1 2 2 3 3 1 2 1 1 2 1 1u v u v u v u v
1 2 31 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 2 1 3 3 2 1 1 3 2
1 2 3
e e eu v u u u u v e u v e u v e u v e u v e u v e
v v v
= 2 3 3 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 3 2 1 2 35 3u v u v e u v u v e u v u v e v u u v e e e . b) u v = cos , u vu v u v u pr v v pr u 16u
u vpr vu
c) u v A paralelogram sin , 1 25 9 35u v u v d) 1 2 3
1 5 36
u ve e e eu v
.
I. 5. S se demonstreze folosind calculul vectorial teorema cosinusului sau Pitagora generalizat ntr-un triunghi.
Figura 4
16
Soluie. tim c 2 2 2 2 cosa b c bc A . Cum AC AB BC i BC AC AB ,
avem 2
cosa a a a O a , a a a .
Dar 2 2 2a bc bc AC AB AC AB b AC AB AB AC c , de unde rezult c 2 2 2 2 cosa b c AC AB A .
I. 6. S se demonstreze concurena nlimilor.
Figura 5
Soluie. Cum AA BC , BB AC i AA BB H , rezult c CH AB i
0HC AB HC HB BC nmulim aceast relaie cu AC , de unde HB AC HC HA AC nmulim aceast relaie cu BC 0 HC AC BC AC HB AC
0
0HC BC HA BC AC BC
HC AC HC BC BC AC AC BC
17
2HC AC BC BC AC AB AC BC
0HC AC BC 0HC AB HC AB .
I. 7. Demonstrai teorema celor trei perpendiculare.
Figura 6
Soluie. Cum MA , A , AB d , rezult c MB d . Dar B d i d , avem
MB MA AB nmulim aceast relaie cu BC i obinem 0MB BC MA BC AB BC . Cum 0MA BC i 0AB BC , avem c
0MB BC . Dar MA i BC , de unde rezult MA BC .
I. 8. Fie , , ,O i j k . S se calculeze perimetrul triunghiului ABC i unghiurile triunghiului ABC .
18
Soluie. 2 2B B B A B A B AAB r r x x i y y j z z k i j k . Dar
1 1 2 2 2 2 9 3AB AB AB
Observaie: 2 2 2x y za a a a Avem 2C AAC r r i j
, 2 22 1 5AC ,
3 2C BBC r r i j k
, 9 1 4 14BC . Perimetrul triunghiului ABC este
3 5 14P
tim c cos a ba b
, avem
cos 3 5 cosAB AC AB AC A A
1 2 2 1 0 0AB AC . Triunghiul ABC este triunghi dreptunghic, atunci avem c 2 2 2 9 5 14BC AB AC , de unde rezult c 14BC . Cum unghiul 090A , avem c cos BA BCB
BA BC
.
Dar 2 2BA AB i j k , 3 2BC i j k , 3 14 cosBA BC B ,
3 2 4 9BA BC . Atunci 9cos B 33
914 14
, deci unghiul 9arccos14
B .
Dar cos 5 14 cosCA CB CA CB C C . Cum 2CA i j k ,
6 1 0 5CA CB , avem c 5 14 cos 5C , de unde rezult c 5 5cos
5 14 70C .
19
I. 9. Se tie c 22, 53
a b AB .
S se determine R astfel nct v w , unde 17v a b i 3w a b .
Soluie. Cum v w , avem c 0v w , de unde rezult 17 3 0a b a b ,
adic 2 23 51 17 0a a b b a b
Dar 2 1 1cos 2 5 10 53 2 2
a b a b
. Atunci avem
3 4 5 51 5 17 25 0 , adic 17 225 425 0 , mai mult dect att 17 225 425 , scriind 17 17 15 17 25 , obinem c 40 .
I. 10. Fie vectorii 1 2 3, ,v v v reciprocii vectorilor 1 2 3, ,v v v definii prin
2 3 3 1 1 21 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3, ,, , , , , ,v v v v v vv v v
v v v v v v v v v .
S se verifice identitile: a) 1,, , 1, 2,3,
0,i j ij iji j
v v i ji j
;
b) 1 2 3 1 2 3 3v v v v v v . S se calculeze reciprocii vectorilor 1 22 2 , 5 3 9v i j k v i j k ,
3 9 4 2v i j k i s se verifice identitile de mai suspentru acest caz.
Soluie. a) S verificm pentru 1i j i pentru 1, 2i j . Analog se
procedeaz pentru celelalte valori. Avem
20
2 3 12 31 1 1 1 2 3 1 2 3
, ,1
, , , ,v v vv vv v v
v v v v v v , 3 11 2 1 1 2 3 0, ,
v vv v vv v v
.
b) n baza rezultatelor de la punctu a) avem
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 3v v v v v v v v v v v v . n sfrit, prin calcul obinem 1 2 3 249v v v , astfel c
142 71 47
249i j kv , 2 6 22 17249
i j kv , 3 15 28249i j kv .
Se verific uor relaii a) i b). Pentru puctul a) s verificm pentru 1i j i pentru 1, 2i j , avem
1 1 42 71 47 84 71 94 2492 2 1249 249 249i j kv v i j k ,
1 2 6 22 17 12 22 342 2 0249 249i j kv v i j k .
Pentru punctual b) avem
1 2 3 1 2 3 21 77 6512 2 14 249252 154 845 252 999 747 3.
249 249 249
i j kv v v v v v i j k
I. 11. Fie 3O E punct fixat din spaiu, 3,A B E , ,M A B . Fie MA
MB
. Atunci ,
1A B
Mr rr ,M A M B (expresia vectorului de
poziie al unui punct M care mparte segmentul AB ntr-un raport dat).
Soluie.
21
Figura 7
Avem c vectorii AM i MB sunt coliniari, atunci exist AMMB
, astfel
nct AM MB . Deci:
11
A BM A B M M A B M
r rr r r r r r r r .
I. 12. Fie 3O E punct fixat din spaiu, 3, ,A B C E . Considrm triunghiul ABC i fie AA , BB , CC mediane. S se determine vectorii de poziie ai punctelor A , B , C i vectorii ', ', 'AA BB CC (n funcie de vectorii de poziie a vrfurilor triunghiului ABC i a mrimii laturilor).
Soluie.
Avem ''
12'
B CA
BA r rrA C
(conform problemei I. 11).
Analog ' ',2 2A C A B
B Cr r r rr r .
'2'
2 2B C B C A
A A Ar r r r rAA r r r .
Analog se calculeaz vectorii BB , CC prin permutri circulare.
22
I. 13. Fie reperul , , ,O i j k i punctele 1 1 1, ,A x y z , 2 2 2, ,B x y z , 3 3 3, ,C x y z . S se calculeze coordonatele carteziene ale mijloacelor
segmentelor , ,AB BC CA .
Soluie.
Figura 8
Fie ,A B i C respectiv mijloacele segmentelor , ,AB BC CA . Vectorul de poziie al punctului A este:
2 2 2 3 3 3' ' '' 1 1 12 2
B CA
x i y j z k x i y j z kr rr x i y j z k
' ' '2 3 2 3 2 31 1 1, ,2 2 2x x y y z zx y z
Analog se calculeaz coordonatele mijloacelor segmentelor ,BC CA . I. 14. S se determine teorema sinusurilor
sin sin sina b c
A B C
Soluie.
23
Figura 9
Avem sin sin 2aa b ab C a b C ah S Dar, tim c 2a b b c c a S , sin sin sin 2ab C bc A ca B S ,
de unde rezult c sin sin sin 2 12
A B C Sa b c abc R
, deoarece 4abcR
S .
I. 15. S se demonstreze vectorial c ntr-un romb diagonalele sunt perpendiculare.
Soluie: Considerm rombul ABCD cu notaiile AB CD a , BC DA b , cu
a b .
Avem BD BA AD b a AC AB BC a b
Deci obinem c 2 2AC BD b a b a b b b a a b a a b a , de unde rezult c AC BD .
24
I. 16. S se exprime cu ajutorul laturilor unui triunghi vectorii bisectoare ai triunghiului.
Soluie.
Figura 10
Fie AA bisectoare. Notm BA p , A C q , aAA , unde p q a
Conform teoremei bisectoarei avem p cq b de unde rezult p c
p q b c , mai mult rezult
p ca b c , deci avem c
p
are expresia 0ac a cp p a a
b c a b c
Deoarece a c p
rezult c a cc ab c
.
Analog se arat c b aa bc a
, cbb c
a b
.
I. 17. Se dau vectorii: a i j , b j k , c i k . S se calculeze a) Volumul paralelipipedului construit pe vectori
b) nlimea paralelipipedului corespunztor bazei construite pe vectorii a i b
.
Soluie. tim c volumul paralelipipedului construit pe trei vectori este dat de
25
2V a b c , iar nlimea este V 2 3Aria bazei 3a b c
ha b
.
I. 18. S se calculeze volumul tetraedrului construit pe vectorii 2OA i j k , OB i j k , OC i k . Soluie. Volumul tetraedrului construit pe trei vectori este dat de
1 5, , ... . .6 6V a b c u c
I. 19. Se dau vectorii OA i j , OB j k , OC k i . S se calculeze:
a) Volumul tetraedrului construit pe vectorii , ,OA OB OC
.
b) nlimea tetraedrului cobort din O pe planul ABC .
Soluie. a) Volumul tetraedrului construit pe vectorii , ,OA OB OC
este
1 1 01 1 1, , 0 1 1 . .6 6 31 0 1
V OA OB OC u c
b) nlimea tetraedrului cobort din O pe planul ABC este 1 , , 2 36 ... . .1 92
OA OB OCI u c
OB OC
I. 20. Fiind dai vectorii 12 4 3OA i j k , 3 12 4OB i j k , 2 3 4OC i j k . S se arate c:
a) Triunghiul AOB este isoscel;
26
b) Triunghiul AOC este dreptunghic;
c) S se calculeze perimetrul triunghiului ABC ; d) S se calculeze AB BC .
Soluie. a) 13OA OB ;
b) 0OA OB ; c) 2 386 82 198 42,65p ; d) 135AB BC .
I. 21. Se dau vectorii 2a i k , 3 4b j k , 5 6c i j . S se determine i astfel ca vectorul v a b c s fie: a) Perpendicular pe planul xOz ;
b) Egal nclinat fa de axe.
Soluie. a) 1 1;
2 5
b) 28 13;59 59
.
I. 22. Fiind dai vectorii 3 2a m n i 2b m n unde 1, 2m n i
unghiul dintre ,3
m n .
S se calculeze: a) Lungimea diagonalelor paralelogramului construit pe cei doi vectori a
i
b
;
c) unghiul dintre diagonale.
27
Soluie. a) 4, 2 13a b a b
b) 1 2cos , 13d d .
I. 23. Se dau vectorii 2a i j , 3b i j k . S se determine astfel nct unghiul celor doi vectori s fie 060 .
Soluie. 10
I. 24. Se dau componentele a trei fore: 5
3
12
x
x
x
a i
b i
c i
2
6y
y
y
a j
b j
c j
7
4
15
z
z
z
a k
b k
c k
.
S se gseasc mrimea i direcia prii rezultante. Soluie.
25R kgf . 4 9 12cos , , cos , , cos ,5 25 25R i R j R k
I. 25. Se dau vectorii 2 3 4a i j k i 5 2b i j k . Se cere:
a) Produsul vectorial a b ; b) Mrimea produsului vectorial; c) Unghiul format de vectorii a
i b .
Soluie.
28
a) Produsul vectorial este 5 22 19a b i j k ; b) Mrimea produsului vectorial este 870a b ;
c) Unghiul format de vectorii a
i b este 2 .
I. 26. Se dau vectorii a i j k , 2 3b i j k , 2c i j k , 2d i j k . S se calculeze E a b c d
Soluie. 0E a b c d .
I. 27. S se rezolve sistemul de ecuaii vectoriale b b x b x b b b x ,
,b x m b x a presupunnd c a b i 0b . Soluie.
2 2
1mx b a bb b
. (Se nmulete a doua relaie la stnga cu b ).
I. 28. S se rezolve ecuaia vectorial v a b n care avem 2a i j k , 2 4b i j k i tiind c vectorul v este perpendicular pe
vectorul c i j k . Soluie.
3 12 2
v i j k .
I. 29. Se dau vectorii 3 2 5a i j k , 4b i j k , 3c i j k . S se calculeze:
29
a) Volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori;
b) Mrimea diagonalei paralelipipedului; c) nlimea paralelipipedului relativ la baza format de vectorii a i b . d) Aria total.
Soluie. a) Volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori este 17V ; b) Mrimea diagonalei paralelipipedului este 5d ; c) nlimea paralelipipedului relativ la baza format de vectorii a i b este
1759
I ;
d) Aria total este 2 59 2 134 2 222A .
I. 30. S se calculeze volumul tetraedrului ABCD unde 1,1,1A , 1,1,1B , 1, 1,1C .
Soluie. Volumul tetraedrului ABCD este 4
3V .
I. 31. Cunoscnd dou laturi 3 4AB p q , 5BC p q ale unui triunghi, s se calculeze lungimea nlimii sale CD , tiind c p i q sunt vectori unitate perpendiculari ntre ei.
Soluie. Lungimea nlimii este 19
5CD .
I. 32. S se arate c medianele unui triunghi sunt concurente. Soluie.
30
Figura 11
Fie , ,a b c
vectorii de poziie a vrfurilor triunghiului ABC . Vectorii de
poziie ai mijloacelor laturilor sunt 2
b cOA
, 2
a cOB
, 2
a bOC
.
tim c centrul de greutate se afl la 23
de vrf. Notm vectorul de poziie a lui G cu Gm .
Atunci 2AG GA , de unde rezult c 2G Gm a OA m , mai mult avem c
22G G
b cm a m
, de unde avem c 3 Gm a b c , deci 3G
a b cm
.
Procednd analog i pentru BB i CC obinem acelai vector de poziie pentru punctul care mparte segmentele BB i CC n raportul 2
3, deci
medianele sunt concurente.
I. 33. S se arate c nlimile unui triunghi sunt concurente. Soluie. Fie triunghiul ABC . Notm AB c , BC a , CA b .
31
Fie , ,AA BB CC vectorii ce coincid cu nlimile i H punctul lor de interesecie.
Notm HA x , HB y , NC z . Dou din nlimi sunt concurente, fie ele CC i BB . Vom arta c dreapta AH , deci AA este perpendicular pe BC .
Avem 0z c i 0y b de unde rezult c 0z y x i 0y x z de unde obinem c 0z y z x i 0y x y z .
Adunm aceste dou relaii si rezult c 0y x z x , mai mult avem c 0x y z , deci 0x BC , astfel avem c AA BC .
I. 34. S se demonstreze c bisectoarele unui triunghi sunt concurente.
Figura 12
Soluie. Se duc bisectoarele AA i BB . Fie P intersecia lor. Notm versorii vectorilor , ,a b c cu 1 aa
a , 1 bb
b , 1 cc
c .
Lum pe laturile AB i AC vectorii unitari 1AK c , 1AL b si construim un paralelogram, diagonala cruia este evident bisectoarea
32
unghiului A . Deci AP
situat pe bisectoare este coliniar cu vectorul
1 1c bAM c bc b
de unde rezult c
1 1 c bAP x c b x c b
, unde x este parametrul pe care l vom determina.
Prin permutri circulare avem 1 1 a cBP y a c y a c
Pentru a gsi pe x i y observm c AP AB BP , adic c b a cx c yc b a c
(*)
n aceast ecuaie nu putem egala separat coeficienii lui , ,a b c (nu sunt liniar independeni) deoarece sunt coplanari, deci avem 0a b c , de unde rezult c a b c . nlocuim n relaia (*) i rezult c
c b b c cx c yc b a a c
.
Egalnd n aceast relaie coeficienii lui b i c avem x ya a
i
1x y yc a c , obinem c bcx
a b c i
acya b c
, de unde rezult bc cbAPa b c
i ca acBPa b c
.
Dac am fi cutat punctul P de intersecie al bisectoarelor BB i CC am fi gsit ca acBP
a b c
i ab baCPa b c
.
De aici se vede c 'BP BP , deci P i P' coincid.
33
I. 35. S se demonstreze vectorial teorema medianei.
Soluie. Avem a b c i 2 am b c . Atunci 2 2 22 4 ab c bc m i
2 2 22b c bc a , adunnd aceste dou relaii obinem c 2 2 2 22 4 ab c m a , de unde rezult c 2 2 22
2 4ab c am .
34
Probleme propuse spre rezolvare.
I. 1. Fie , ,a b c
vectorii ce coincid cu laturile unui triunghi ABC . S se arate c 0a b c .
I. 2. S se descompun vectorul 3 2d i j k dup direciile vectorilor a i j , b j k , 2 3c i j k .
I. 3. Fie , ,a b c
vectorii ce coincid cu laturile unui triunghi ABC .
a) S se exprime cu ajutorul lor vectorii ce coincid cu medianele triunghiului;
b) S se arate c vectorii ce coincid cu medianele pot forma un triunghi.
I. 4. S se arate c medianele unui triunghi sunt concurente.
I. 5. Fie vectorii: 1 2 3r a b c
, 2 3 2r a b c
, 3 3 2r a b c
descompui dup direciile vectorilor , ,a b c . a) S se arate c vectorii 1 2 3, ,r r r
sunt coplanari;
b) Ce concluzie se poate trage din rezultatul obinut?
I. 6. S se determine lungimea vectorului 1 24 3d u u tiind c vectorii 1u
i 2u sunt vectori unitari perpendiculari ntre ei.
I. 7. S se arate c nlimile unui triunghi sunt concurente.
35
I. 8. Fie vectorii: 3 2a i j k , 3b i j k . S se calculeze: a) Produsul lor vectorial;
b) S se verifice c vectorul obinut este perpendicular pe fiecare.
I. 9. Se dau vectorii 2 3 4a i j k , 2b i j k , 3 5c i j k . S se determine scalarul astfel nct vectorii s fie coplanari.
I. 10. S se verifice identitatea a b c a a c b a b c pentru vectorii
2a i j k , 2 3 4b i j k , 2c i j k .
I. 11. S se verifice identitile: a) a b a b c a b a b c b) a b c d b d a c b c a d c) 2, ,a b b c c a a b c .
I. 12. Fie vectorii a i j , b j k , c k i . S se determine vectorii 1 1 1, ,a b c
astfel nct ei s formeze un reper triortogonal.
I. 13. Fie a i , b j k , c k i . S se determine vectorii 1 1 1, ,a b c astfel nct ei s formeze un reper triortogonal.
I. 14. Fie vectorii 2a i j k , b i j k , c i j . a) S se determine versorii , ,o o oa b c corespunztori;
36
b) S se arate c ei determin un reper triortogonal i s se spun dac acest triedru are sau nu aceiai orientare cu Oxyz .
I. 15. S se demonstreze c bisectoarele unui triunghi sunt concurente.
I. 16. S se determine c Identitatea lui Lagrange 2 2 2a b a b a b a b .
I. 17. S se calculeze produsul a b c tiind c a m n p , b m n p , c m n p , , ,m n p nu sunt versori.
I. 18.Se dau vectorii 1 2v i j k , 2 3v i j k , 3 3 2v i j k . Este verificat egalitatea 1 2 3 1 2 3v v v v v v ?
I. 19. S se calculeze scalarul 1 2 2 3 3 13 2v v v v v v tiind c
1 23 , 3v a b v a b i 3v a b , iar 2 4a , 2 2b i unghiul dintre a i b este
3 .
I. 20. S se determine parametrul real astfel nct vectorii
1 4 2v i j k i 2 2 5v i j k s fie perpendiculari. I. 21. S se calculeze proieciile vectorilor 1 4v i j i 2 2 3v i j pe
vectorii reprezentnd suma i diferena lor.
I. 22. Fie vectorii 1 2 2v i j k i 2 3v i j k . S se calculeze:
a) produsul lor vectorial; b) s se verifice c vectorul 1 2v v este perpendicular pe 1v i 2v ; c) aria paralelogramului construit pe 1v
i 2v .
37
I. 23. S se determine , R astfel nct vectorii 1v i 2v s fie coliniari: a) 1v i j k , 2v i j k ; b) 1v i j k , 2 3v i j k .
I. 24. Fie 0, 1,3 , 2,3,1 , 3, 1, 2A B C vrfurile unui triunghi. S se afle lungimea laturilor, cos A
, aria triunghiului, nlimea din C i cos B .
I. 25. S se cerceteze coplanaritatea vectorilor 1 2v i j k ,
2 2 2 5v i j k , 3 4 6v i j k .
I. 26. Fie vectorii 1 2v i j k , 2 3v i j k , 3 2v i j k . S se determine parametrul real , astfel ca volumul paralelipipedului construit pe vectorii 1v
, 2v
, 3v
s fie egal cu 3 .
I. 27. S se arate c vectorii a i j k , b i j k , c i j k sunt coplanari.
I. 28. S se arate c ntr-un triunghi echilateral nscris n cercul cu centrul O avem relaia 3AB AC AO .
I. 29. Se consider piramida cu vrful S i baza ptratul ABCD . Fie I punctul de intersecie al diagonalelor bazei. S se arate c
4SA SB SC SD SI .
I. 30. Se d un tetraedru de vrfuri 2,3,1A , 4,1, 2B , 6,3,7C , 5, 4,8A . S se calculeze lungimea nlimii coborte din vrful D .
I. 31. S se calculeze volumul tetraedrului de vrfuri:
a) 1,1,0 , 2, 2,1 , 3,3,1 , 3,1,1A B C D ;
38
b) 3,1,1 , 2, 2,1 , 3,3,1 , 1, 4, 2A B C D .
I. 32. S se verifice formula de dezvoltare a dublului produs vectorial pentru vectorii: a) 1v i j , 2v j k , 3v i k ; b) 1v i j k , 2 2 3v i j k , 3 2 3v i j k .
I. 33. S se determine vectorul de poziie al centrului de greutate al unui triunghi i coordonatele carteziene ale centrului de greutate.
I. 34. . S se determine vectorii de poziie ai punctelor A , B , C ( AA , BB , CC sunt bisectoare). S se determine vectorul de poziie al centrului cercului nscris n triunghiul ABC .
I. 35. S se determine volumul tetraedrului OABC . S se calculeze aria triunghiului ABC i distana de la origine pn la planul ABC .
I. 36. Fie A , B , C , D patru puncte din spaiu date ntr-un reper cartezian. S se determine volumul tetraedrului ABCD .
39
Capitolul II
PLANUL I DREAPTA N SPAIU
Planul. Acesta poate fi dat sub urmtoarele forme: a) Ecuaia general a planului:
0Ax By Cz D . b) Ecuaia planului printr-un punct 0 0 0 0, ,M x y z perpendicular pe
un vector dat , ,N A B C (vectorul normal): 0 0 0 0A x x B y y C z z .
c) Ecuaia planului determinat de trei puncte necoliniare , , , 1, 2,3i i i iM x y z i :
1 1 1
2 2 2
3 3 3
11
011
x y zx y zx y zx y z
.
Ca un caz particular al acestui tip de ecuaie este: d) Ecuaia planului prin tieturi:
1 0a b cx y z ,
, ,a b c fiind segmentele determinate de plan pe axele de coordinate.
e) Ecuaia planului sub form general 0Ax By Cz D se poate scrie sub form normal
2 2 20Ax By Cz D
A B C ,
semnul alegndu-se astfel ca termenul liber s fie negativ. Aceast ecuaie se mai poate scrie i astfel:
cos cos cos 0x y z p ,
40
cos ,cos ,cos fiind cosunusurile directoare ale normalei la plan, iar p este distana de la origine la plan, aceast ecuaie numindu-se de asemenea, ecuaia normal a planului.
Distana de la punctul 0 0 0 0, ,M x y z la un plan P este dat de 0 0 00 2 2 2, Ax By Cz Dd M P A B C
sau 0 0 0 0, cos cos cosd M P x y z p , dup cum planul P este dat prin ecuaia 0Ax By Cz D sau
cos cos cos 0x y z p . Unghiul format de dou plane este unghiul format de direciile normalelor celor dou plane. Condiia necesar i suficient ca patru puncte , , , 1, 2,3, 4i i i iM x y z i s fie coplanare este:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
11
011
x y zx y zx y zx y z
.
Dreapta n spaiu. a) Ecuaiile dreptei ce trece prin punctul 0 0 0 0, ,M x y z i care are
vectorul director , ,v l m n sunt: 0 0 0x x y y z z
l m n (ecuaiile canonice);
0 0 0, , ,x x tl y y tm z z tn t R (ecuaiile parametrice); ,x z p y z q (ecuaiile reduse).
b) Ecuaiile dreptei ce trece prin dou puncte 1 1 1 1 2 2 2 2, , , , ,M x y z M x y z sunt:
41
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z zx x y y z z (ecuaiile canonice);
1 2 1 1 2 1 1 2 1, , ,x x t x x y y t y y z z t z z t R (ecuaiile parametrice). c) Ecuaiile dreptei sub form general sunt:
1 1 1 1 2 2 2 20, 0A x B y C z D A x B y C z D , n ipoteza c 1 1 1 1, ,N A B C i 2 2 2 2, ,N A B C sunt necoliniari. Vectorul director pentru dreapta dat sub forma general este dat de
1 2v N N
.
Unghiul a dou drepte n spaiu este egal cu unghiul vectorilor lor directori.
Dreapta i planul. Fie dreptele date prin ecuaiile 1 1 11
1 1 1
: x x y y z zdl m n i 2 2 22
2 2 2
: x x y y z zdl m n . Condiia necesar i
suficient ca cele dou drepte s fie coninute n acelai plan este 2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0x x y y z z
l m nl m n
.
Dac vectorii directori ai celor dou drepte sunt coliniari, relaia anterioar reprezint condiia de concuren a dreptelor. Ecuaia planului determinat de un punct 0 0 0 0, ,M x y z i dou direcii necoliniare 1 1 1 1, ,v l m n i 2 2 2 2, ,v l m n este
0 0 0
1 1 1
2 2 2
0x x y y z z
l m nl m n
.
Ecuaia planului determinat de un punct 0 0 0 0, ,M x y z i dreapta 1 1 1x x y y z z
l m n este
42
0 0 0
1 0 1 0 1 0 0x x y y z zx x y y z z
l m n
.
Mulimea tuturor planelor care trec prin dreapta de intersecie a dou plane date, numite plane de baz, formeaz un fascicul de plane, avnd ca ax acea dreapt. Dac planele baz sunt
1 1 1 1 1: 0P A x B y C z D i 2 2 2 2 2: 0P A x B y C z D , atunci ecuaia fasciculului de plane este:
1 1 1 1 2 2 2 2 0,A x B y C z D A x B y C z D R . Se numete unghiul unei drepte cu un plan unghiul format de dreapt i proiecia sa n plan.
Probleme rezolvate.
II. 1. Se dau dreptele 1d i 2d 1d : 1 1 1
1 1 1
x x y y z zl m n
2d ; 2 2 22 2 2
x x y y z zl m n
S se determine condiia: 1 2 0d d Soluie. Avem 1 2 0d d dac i numai dac 1 2 1 2, ,M M v v
sunt
coplanari, adic 1 2 1 2, , 0M M v v . II. 2. Se dau dreptele 1d : 1 11 2 3
x y z , 2d : 1 21 1 2x y z
S se precizeze poziia celor dou drepte n spaiu.
43
Soluie.
Pentru dreapta 1d avem 11
1,0, 1
1 2 3
M
v i j k
i pentru dreapta 2d :
22
0, 1, 2
1 1 2
M
v i j k
. Dreapta 1d nu este paralel cu dreapta 2d deoarece
vectorii 1v
i 2v nu sunt egali. Cum produsul mixt 1 2 1 2, , , 0M M v v , unde 1 2 0 1 1 0 2 1 3M M i j k i j k , adunci dreptele nu se
intersecteaz, sunt oarecare. II. 3. Fie 1 0
2 1 0x y z
dx y z
Se cere:
a) ecuaiile canonice ale dreptei d ; b) ecuaia unui plan ce conine dreapta d i este paralel cu dreapta
1 21 1 1x y z ;
a) Ecuaiile canonice ale dreptei d . Soluie. . a) Din 1 0:
2 1 0x y z
dx y z i
0 0 0x x y y z zl m n , avem
0 0, 0, 2 0z x y x y . Din ultimile dou relaii obinem 0x y . Observm c 0 0,0,1M d verific cele dou ecuaii:
(P1) 1 0x y z , 1 1 1 1N i j k
,
(P2) 2x + y z + 1 = 0, 2 2 1N i j k
.
Vom determina v li m j nk direcia dreptei.
44
Cum 1v N
i 2v N , obinem c 1 2||v N N m unde
1 2 1 1 1 0 3 32 1 1
i j kN N i j k
, de unde rezult 0, 3, 3l m n .
Astfel avem 0 0 1:0 3 3
x y zd dac i numai dac 0x i 1
3 3y z , adic avem 0x i 1 0y z .
b) Ecuaia unui plan ce conine dreapta d i este paralel cu dreapta 1 2
1 1 1x y z .
Fie 0 0,0,1M P i 3 3v j k . Metoda I. Ecuaia general a unui plan este : 0P Ax By Cz D .
Cum 0 0,0,1M P rezult 0 0 1 0A B C D , de unde 0C D . Fie N v , rezult 0N v , de unde avem c 0 3 3 0A B C , adic
0B C . Dar 1N v
, 1v i j k
, rezult 1 0N v , de unde avem c 0A B C ,
( 1v
direcia dreptei date care este paralel cu planul, deci perpendicular pe normala la plan). Obinem , , 2D C B C A C , nlocuind n ecuaia planului, obinem 2 C x C y C z C 0 , adic 2 1 0x y z .
Metoda II. Fie 1v i j k
i un fascicol de plane: (x y + z 1) + (2x + y z 1) = 0, de unde 2 0
DA B C
x y z .
45
Cum 1N v
, rezult 1 0N v , de unde 2 0 , obinem 4 . Deci 4 2 4 4 4 0x y z , mai mult 6 x 3 y 3 z 3 0 , adic 6 3 3 3 0x y z , mai mult 3 2 1 0x y z .
II. 4. Fie (d) 3 12 1 1
x y z i M(1, 1). S se determine proiecia lui M pe dreapta d . Soluie. Fie P un plan ce conine punctul 0 0 0, ,M x y z i este perpendicular pe dreapta d , ecuaia este 0 0 0 0A x x B y y C z z , unde
0 0 01, 1, 2x y z i 2 , 1 , 2A l B m C n , de unde obinem 2 1 1 1 1 1 0x y z .
Din ecuaiile parametrice ale dreptei 3 12 1 1
x y z t , rezult 2 3, 1,x t y t z t . nlocuim , ,x y z n ecuaia
2 1 1 1 1 1 0x y z i obinem 2 2 4 1 2 1 2 0t t t , de unde 2
3t .
Avem 'M P rezult 2 3
1x ty tz z
i 'M d rezult
4 5' 33 32 5' 13 3
2'3
x
y
z
.
II. 5. Se d dreapta 2 3 3 0:3 2 1 0
x y zd
x y z .
Se cere:
46
a) Ecuaia unui plan ce conine dreapta d i punctul 1, 2,3M ; b) Ecuaia unei drepte ce trece prin origine i este paralel cu dreapta d ; c) Distana de la 1,1,1A la planul x y + z 9 = 0. Soluie.
a) Planul face parte din fascicolul de plane determinat de dreapta d . Astfel avem : 2 3 3 3 2 1 0P x y z x y z , cu 2 2 0 . Cum 1, 2,3M P rezult c 2 6 3 3 1 6 6 1 0 , mai mult 8 2 0 , de unde 4 , 0 . Deci 2 3 3 4 3 2 1 0x y z x y z , de unde 2 15 7 7 0.x y z
b) Ecuaia unei drepte ce trece prin origine i este paralel cu o dreapta d este 0 0 0x y z
l m n .
Avem 1 2 3N i j k
i 2 3 2N i j k . Cum 1v N i 2v N , rezult
c 1 2||v N N , unde 1 2 2 3 11 3 2
i j kN N
, de unde rezult 9, 3, 9l m n .
Deci 9 3 9 3 3 3v i j k i j k . Astfel, ecuaia unei drepte ce trece prin origine i este paralel cu dreapta d este 0 0 0
3 1 3x y z .
c) Distana de la 1,1,1A la planul - - 9 = 0x y z este 1 1 1 9 8,
1 1 1 3d A P
.
II. 6. Se d 1 1:1 2 3
x y zd i 1, 2,3M .
47
Se cer:
a) Ecuaia unui plan ce trece prin M , perpendicular pe dreapta d ; b) Ecuaia unui plan paralel cu d i perpendicular pe planul
2003 0x y z ; c) Ecuaia unei drepte paralele cu dreapta d i trece prin origine. Soluie.
a) Fie vectorul normal N Ai B j Ck . Ecuaia planului ce trece printr-un punct 0 0 0, ,M x y z i este perpendicular pe un vector dat , ,N A B C (vectorul normal) este 0 0 0 0A x x B y y C z z , de unde 1 2 3 0A x B y C z , mai mult avem 1 1 2 2 3 3 0x y z .
b) Ecuaia unui plan paralel cu d i perpendicular pe planul 2003 0x y z ;
Fie 2 3v i j k i N v dac i numai dac 0N v dac i numai dac 2 3 0A B C . Pentru N i j k , 1N N dac i numai dac 1 0N N dac i numai dac 0A B C . Astfel am obinut sistemul de dou ecuaii
2 3 0A B C i 0A B C . Scznd cele dou ecuaii, rezult 23
B C i 53
A C . Mai mult dect att avem c
5 2 1 5 2 33 3 3 BA CN C i C j C k C i j k
, de unde
5 2 3 0,x y z R
48
c) Ecuaia unei drepte paralele cu dreapta d care trece prin origine este
1 2 3x y z .
II. 7. Se d 1, 2,3M i 2 4:3 1 1
x y zd .
Se cere:
a) Proiecia punctului M pe dreapta d ; b) Simetricul lui M fa de d ; c) Ecuaiile unei drepte ce trece prin M i este perpendicular pe d i se intersecteaz. Soluie.
a) Fie 3v i j k . Ecuaia unui plan ce conine punctual M i perpendicular pe dreapta d este 3 1 1 2 1 3 0x y z . Ecuaia planului este 3 2 0P x y z , de unde 'P d M .
Scriem ecuaiile parametrice ale dreptei 2 4:3 1 1
x y zd t , adic 3 2, 4,x t y t z t . nlocuid aceste relaii n ecuaia planului P , obinem
9 6 4 2 0t t t , de unde 411
t . Astfel avem
12 10 4 48 4' 2 , ' 4 , '11 11 11 11 11
x y z .
b) Simetricul punctului M fa de d este , ,M x y z . Avem 10 1 "' "11 2
48 2 "' "11 24 3 "' "
11 2
xx x
yy y
zz z
;
49
c) Dreapta trece prin M i M i are ecuaia 1 2 310 48 40 2 311 11 11
x y z
,
de unde 1 2 310 26 2911 11 11
x y z
.
II. 8. Se d dreapta 1 1:1 2 3
x y zd i planul : 7 0P x y z Se cere:
a) Ecuaiile unei drepte care trece prin 0 1, 2,3M i perpendicular pe P ; b) Ecuaia unui plan ce conine d i trece prin 0M ; c) Distana de la 0M la planul P este 0 ,d M P 0 0 02 2 2Ax By Cz DA B C
.
d) Proiecia lui 0M pe planul P ; e) Proiecia lui 0M pe dreapta d . Soluie.
a) Ecuaiile unei drepte care trece prin 0 1, 2,3M i perpendicular pe P sunt 1 2 3x y z
l m n , unde 1,1, 1N i j k , deci avem
1 2 31 1 1
x y z
(l, m, n) paralel pN
(l = 1, m = 1, n = 1).
b) Fie 1 1,0,1M i 0 1, 2,3M i direcia 1 11 2 3x y z
Ecuaia unui plan ce trece prin dou puncte date 0M i 1M i este paralel cu o direcia dat este 1 1:
1 2 3x y zd de unde rezult 1, 2, 3l m n .
50
Produsul 1 1 0, , 0M M M M v , adic 1 0 10 2 2 01 2 3
x y z
sau
2 2 03 2 0
x yd
x z , de unde rezult
2 23 3 1
x yx z .
Planul face parte din fascicolul de plane determinat de dreapta d . Astfel avem 2 2 3 2 0x y x z , 2 2 0 , 0 ,
avem , deci 2 2 3 2 0x y x z , adic obinem 0x y z , mai mult 0x y z .
c) Distana de la 0M la planul P este 0 0 00 2 2 2, Ax By Cz Dd M P A B C .
Punctul 0 1, 2,3M i ecuaia planului este 7 0x y z , deci 1
d 2 32 2 2
7 731 1 1
.
d) Proiecia lui 0M pe planul P ;
d') Fie 1 2 31 1 1
x y z t dreapta de la punctul a). Dreapta intersecteaz planul n M , adic 'd P M . Din ecuaiile parametrice ale dreptei
1 , 2 , 3x t y t z t , avem 3 2 3t 7 0t de unde 3 7t de unde 73
t .
Dar se verific si planul P , astfel 7 0x y z dac i numai dac 1 t 2 3t 7 0t de unde 3 7 0t de unde 7
3t .
51
Proiecia punctului pe dreapta M d , deci verificm ecuaia 1 , 2 , 3x t y t z t .
De unde 7 4' 1 13 3
x t , 7 1' 2 23 3
y t , 7 2' 3 33 3
z t .
Ecuaia : 1 1 2 2 3 3 0Q x y z , dar dreapta d intersecteaz planul Q . Simetricul este 0'
2x xx
i 1 1:1 2 3
x y zd
Un plan ce conine pe 0M i este perpendicular pe d este 0 0 0 0A x x B y y C z z cu 0 1, 2,3M , unde 0 0 01, 2, 3x y z ,
1, 2, 3A l B m C n , de unde rezult 1 1 2 2 3 3 0x y z . Din ecuaiile parametrice ale dreptei 1 1:
1 2 3x y zd t , avem
1x t , 2y t , 3 1z t , care verific planul de mai sus 1 1 2 2 2 3 3 1 3 0t t t , de unde rezult 10 5
14 7t . Astfel avem
, ,M x y z , unde 5 12" 1 17 7
x t , 10" 27
y t i 15 22" 3 1 17 7
z t .
II. 9. S se scrie ecuaia dreptei care trece prin punctul 1, 5,3A i formeaz cu axele de coordonate unghiuri respectiv egale cu 60 , 45 , 120.
Soluie. Ecuaia dreptei care trece prin punctul 1, 5,3A i formeaz cu axele
de coordonate unghiuri respectiv egale cu 60 , 45 , 120 este 1 5 3
1 122 22
x y z
, de unde 5 3112
y zx .
52
II. 10. S se rescrie ecuaiile dreptei care trece prin punctul 2, 5,3 i este:
a) paralel cu axa Oz ; b) paralel cu dreapta 1 2 3
4 6 9x y z .
Soluie. a) Cum 0,0,1m , de unde 1 10, 0x x y y , adic 2, 5x y . b) Cum 4, 6,9m , de unde 2 5 3
4 6 9x y z .
II. 11. S se scrie ecuaia dreptei AB unde 2, 1,0A , 1,2,2 3B i s se calculeze cosinii directori ai direciei determinate de dreapta AB .
Soluie. Ecuaia drepte AB este 1 1 2 3
2 1 1 1 2 3x y z , de unde
1 1 2 33 2 2 3
x y z .
Pentru direcia AB avem parametri directori 3, 2, 2 3m . Cosinii directori sunt
32
1
cos iii
i
m
m
, de unde avem 3cos5
,
2cos5
, 2 3cos
5 . Sunt cte doi de cosini directori, unul pentru AB i
altul pentru BA .
II. 12. S se scrie ecuaia dreptei care trece prin origine i prin punctul , ,A a b c .
Soluie.
53
Ecuaia dreptei care trece prin origine i prin punctul , ,A a b c este x y za b c sau ,x at y bt i z ct .
II.13. Se consider dreapta determinat de punctele 1, 2,3 , 2,1, 4A B . S se gseasc punctele ei de intersecie cu planele de
coordonate.
Soluie. Ecuaiile dreptei AB sunt 2 1 4
3 1 2x y z sau 2 3x t , 1y t i
4z t . Punctul de intersecie al dreptei cu planul xOy (are ecuaia 0z ) este
10,5,0 , deoarece t = 4, cu planul yOz este 5 100, ,3 3
i cu planul xOz este
5,0,5 . II. 14. Se consider triunghiul ABC cu 2, 3, 1A , 1, 4,0B ,
3, 2, 5C . S se dea o reprezentare parametric a dreptei ce unete centrul de greutate al triunghiul ABC cu punctul M care mparte segmentul orientat
AB n raportul 32
k .
Soluie. Folosind operaii de calcul vectorial, avem 0,1, 2G (G este centrul
de greutate al triunghiul ABC ), iar 7 6 2, ,5 5 5
M . Dreapta GM are ecuaiile
parametrice 7 , 1 6x t y t i 2 2z t . II. 15. S se scrie ecuaia planului care trece prin punctul 1, 2,1 i
este paralel cu dreptele 12 1 0
( ) :1 0
x y zd
x y z i 2
2 0( ) :
0x y z
dx y z
54
Soluie. Direcia dreptei 1d este 1, 2, 3l se calculeaz din determinant,
direcia dreptei 2d este (0, 1, 1)m . Planul ce trece prin punctual 1, 2,1 i este paralel cu cele dou direcii 1, 2, 3l i (0, 1, 1)m date, are ecuaia
1 2 11 2 3 00 1 1
x y z
de unde rezult 0x y z .
II. 16. S se scrie ecuaia planului care trece prin punctul 4, 3,1P i este paralel cu dreptele 1 : 6 2 3
x y zd i 21 3 4:
5 4 2x y zd .
Soluie. Ecuaia planului care trece prin punctul 4, 3,1P i este paralel cu
dreptele 1d i 2d este 16x 27y + 14z 159 = 0. II. 17. S se scrie ecuaia palnului determinat de dreptele
1 1 1 1: 1 1 2x y zd i 2
1 1 1:1 2 1
x y zd .
Soluie. Dreaptele sunt secante cu punctul 1, 1,1M , punct de intersecie. De unde rezult ecuaia planului 5x + 3y z 1 = 0.
II. 18. S se scrie ecuaia planului determinat de dreptele 1 2 1: 7 3 5
x y zd i 2 1 3 2: 7 3 5x y zd .
Soluie. Dreptele sunt paralele. Prima trece prin punctul 0, 2,1A , a doua trece prin 1,3, 2B . Scriem ecuaia planului ce trece prin dou puncte i este paralel cu o direcie, dreptele au aceeai direcie 7,3,5m . Ecuaia
este 1 2 11 3 2 0
7 3 5
x y zx y z , de unde rezult17 13 16 10 0x y z .
55
II. 19. S se scrie ecuaia planului determinat de punctele 1 23, 2,1 , 5, 4,1M M i 3 1, 2,3M .
Soluie. Ecuaia planului determinat de cele trei punctele este
3 6 17 0x y z . II. 20. S se scrie ecuaia planului care determin pe axele de
coordinate ,Ox Oy i Oz segmentele 1, 3OA OB i 2OC . Soluie. Ecuaia prin tieturi este 1 0x y z
a b c . n cazul nostru
6 2 3 6 0x y z . II. 21. S se stabileasc ecuaia planului determinat de un punct
1 1,1, 2M i dreapta 1 13 2 1x y z .
Soluie. Ecuaia planului determinat de punctul 1 1,1, 2M i dreapta
1 13 2 1
x y z este 1 1
1 1 0 1 1 2 03 2 1
x y z
, de unde rezult 2 0x y .
II. 22. S se scrie ecuaia planului care trece prin origine, prin punctul 1 1 2 3, ,M x x x i este perpendicular pe planul : 0P ax by cz d .
Soluie. Fie planul cutat de ecuaie 0Ax By Cz D . El trece prin origine, deci 0D . Planul conine punctual 1 1 2 3, ,M x x x , de unde rezult 1 1 1 0Ax By Cz D . Planul este perpendicular pe planul P ,
56
deci 0Aa Bb Cc . Deci avem 1 1 1 1 1 1
A B Cy z x z x yb c a c a b
, de unde ecuaia
planului este 1 1 1 1 1 1 0cy bz x az cx y bx ay z . II. 23. S se indice poziia urmtoarelor plane:
a) 3 5 1 0x z ; b) 9 2 0y ; c) 5 0x y ; d) 2 3 7 0x y z ; e) 2 1 0y z ; f) 8 3 0y z . fa de reperul cartezian triortogonal Oxyz .
Soluie. a) Paralel cu Oy ; b) Paralel cu xOz ; c) Paralel cu Oz ;
d) trece prin origine; e) Paralel cu Ox ; f) trece prin Ox .
II. 24. S se arate c dreptele 1 3 5 2: 4 3 5x y zd i
2 5 4 8: 4 2 5x y zd sunt secante i s se afle punctul lor de intersecie. Soluie. Avem c 13,5, 2M d , 25, 4,8M d . Dreapta 1d are direcia
4, 3,5v , iar dreapta 2d are direcia 4, 2,5v . Produsul mixt 1 2 1, , , 0M M m m , de unde rezult c cei trei vectori
sunt coplanari;
Cum dreptele nu sunt paralele, rezult c ele sunt secante. Pentru a
gsi punctul de intersecie rezolvm sistemul: 3 5 2
4 3 55 4
4 2
x y z t
x y
, de
57
unde 3 4 , 5 3x t y t , 2 5z t i nlocuind n a doua ecuaie a sistemului anterior, obinem 4 8 3 1
4 2t t , de unde 1t i avem 1, 2,3M .
II. 25. S se determine parametrul astfel nct dreptele 1
1 2 2( ) :3 2 1
x yd i 21 3:
4 1x y zd s fie coplanare. S se afle
coordonatele punctului de intersecie al celor dou drepte. Soluie.
2 ; 5, 2, 2M . II. 26. S se determine direcia dreptei 2 3 0:
2 3 1 0x y z
dx y z
.
Soluie. 5, 5,5m sau 1,1, 1l .
II. 27. S se scrie ecuaia planului care trece prin dreapta 0:
2 3 0x y z
dx y z i este paralel cu dreapta 2 3x y z .
Soluie. Considerm fascicolul de plane 2 3 0x y z x y z sau 1 2 1 1 3 0x y z .
Dreapta 2 3x y z fiind paralel cu planul, este perpendicular pe normala la plan. Direcia dreptei este 1 11, ,
2 3m , iar direcia normalei la plan
1 2 ,1 ,1 3N , de unde 0m N , obinem 1 11 2 1 1 3 0
2 3 , de unde 11
15 . Astfel, ecuaia planului este
7 26 18 0x y z . II. 28. S se scrie ecuaiile planelor duse prin intersecia a dou plane
de ecuaie
58
3 4 1 0x y z i 2 5 0x y z i respectiv perpendiculare pe fiecare din ele.
Soluie. Ecuaiile acestor plane sunt 23 30 51 131 0x y z i
17 25 4 11 0x y z .
II. 29. S se afle unghiul format de planele 2 3 4 04 3 2 1 0x y z
x y z .
Soluie. Unghiul format de aceste plane este 16arccos
406 .
II. 30. S se afle ecuaia planului determinat de punctul 3, 1, 2A i dreapta de ecuaii 2 3 2 0( ) :
3 4 0x y z
dx y z
.
Soluie. Fascicolul de plane este 2 3 2 3 4 0x y z x y z . Punem condiia s treac prin punctual 3, 1, 2A , de unde ecuaia
planului este 5 7 0x y z .
II. 31. S se afle unghiul format de dreptele 1 2 2 3 3 4( ) : 1 2 3x y zd
i 2 2 1 3 2 4 3: 3 3 1x y zd .
Soluie. Unghiul format de dreptele 1d i 2d este 2
.
59
II. 32. S se afle unghiul format de dreapta d cu planul P , unde 4 3 3 2 2 1( ) :
2 1 3x y zd i : 5 4 0P x y z . Soluie. v
este vectorul director al dreptei; N
este vectorul normal la plan.
Avem sin cos2
v NvN
. n cazul nostru 0 , deci dreapta d este pa paralel cu planul P .
II. 33. S se arate c dreptele 1 3 5 2( ) : 4 3 5x y zd i
2 5 4 8: 4 2 5x y zd sunt secante i s se afle punctul lor de intersecie. Soluie. Dreptele sunt secante deoarece sunt coplanare i nu sunt paralele,
1 3 5 2r i j k
, 2 5 4 8r i j k
, de unde rezult 2 1 8 10r r i j k , mai mult
avem 2 1 1 2, , 0r r d d , adic 8 1 104 3 5 04 2 5
.
Pentru a gsi coordonatele de intersecie rezolvm sistemul: 3 5 2
4 3 55 4
4 2
x y z t
x y
, de unde rezult
3 45 32 5
x ty tz t
i 4 8 3 1
4 2t t ,
avem 1t i 1, 2,3M .
II. 34. S se determine coordonatele proieciei ortogonale a punctului 1,3, 2M pe planul 3 3 1 0x y z .
Soluie.
60
Scriem ecuaia normalei la plan ce trece prin punctul M . Aceasta este 1 3 2
3 3 1x y z t . De unde avem 1 3x t , 3 3y t i 2z t .
nlocuim n plan 1519
t . Atunci coordonatele proieciei ortogonale a
punctului M cu planul dat sunt 126 12 23, ,19 19 19
M .
II. 35. S se gseasc coordonatele simetricului punctului 0 1, 2, 2M n raport cu planul 2 3 2 0x y z .
Soluie. Fie , ,M x y z simetricul punctului 0 1, 2, 2M . Scriem ecuaia dreptei 0M M (este o dreapt care trece prin punctul
0M i este perpendicular pe plan, aceasta este 1 2 22 1 3x y z .
Dar dreapta conine i punctul , ,M x y z , de unde avem 1 2 2(*)
2 1 3x y z .
Mijlocul segmentului 0M M
aparine planului. Mijlocul este punctul ' 1 2 2, ,2 2 2
x y zM . Punem condiia ca acesta s aparin planului, avem
1 2 2(**) 2 3 2 02 2 2
x y z .
Rezolvm sistemul format din ecuaiile (*) i (**). Cum 1 2 2
2 1 3x y z t , avem 1 2x t , 2y t i 2 3z .
nlocuim n relaia (**) i obinem 2 2 2 3 6 4 0x y z , de unde 2 3 2 0x y z , astfel 2 4 2 6 9 2 0t t t , de unde 14 8 0t , i avem 4
7t .
61
Deci 15 10 2' ; ;7 7 7
x y z i avem 15 10 2' , ,7 2 7
M .
II. 36. S se gseasc proiecia ortogonal a punctului 0 0 0 0, ,M x y z pe dreapta
1 1 11 2 3
: x x y y z zdm m m .
Soluie. Fie 0 5,0, 2M i 2 1 3: 3 2 4
x y zd
Proiecia ortogonal a punctului 0M se afl la intersecia dreptei d cu planul dus prin 0M perpendicular pe d .
Ecuaia planului n cazul nostru este 3 5 2 4 2 0x y z sau 3 2 4 7 0x y z . nlocuin ecuaiile parametrice ale dreptei 2 3x t ,
1 2y t i 3 4z t n ecuaia planului, obinem 1329
t .
Deci 19 3 35' , ,29 29 29
M .
II. 37. S se determine proiecia ortogonal a punctului 0 2, 1,1M pe dreapta d dat ca intersecia planelor 2 2 0
2 6 1 0x y z
x y z .
Soluie. Aflm direcia dreptei d care este 4,1, 2m . Aflm un punct al dreptei d din sistem n care 0z , acesta este
135, ,02
M .
62
Scriem ecuaia planului ce trece prin 0M i este perpendicular pe dreapta d . Aceasta este 4 2 1 1 2 1 0x y z , de unde 4 2 5 0x y z .
Intersectm acest plan cu dreapta d care are ecuaia 3
5 24 1 2
yx z t , de unde 5 4x t ,
32
y t i 2z t , obinem 3342
t .
Astfel 13 5 11, ,7 7 7
x y z .
Deci 13 5 11, ,7 7 7
M .
II. 38. Se d dreapta 1 12 3 2x y z i punctul 0 2,1,1M . S se
calculeze coordonatele punctului 1M simetricul punctului 0M n raport cu
dreapta dat. Soluie. Se calculeaz nti proiecia ortogonal i apoi se folosete faptul c
proiecia ortogonal este mijlocul segmentului format din punct i simetricul punctului fa de dreapt.
II.39. S se calculeze unghiul urmtoarelor plane 1 :4 5 3 1 0P x y z i 2 : 4 9 0P x y z .
Soluie. Unghiul celor dou plane este unghiul normalelor la cele dou plane,
1 4, 5,3N i 2 1, 4, 1N . Deci cosinusul unghiului dintre 1 21 2
1 2
21 7,1050 18
N NN NN N
sau unghiul dintre 1 2 7, arccos10N N .
63
II. 40. S se scrie ecuaiile unei drepte care trece prin punctul 0 4,0, 1M i intersecteaz dreptele 1 1 3 5: 2 4 3
x y zd i
2 2 1: 5 1 2x y zd .
Soluie. Fie d dreapta cutat i , ,v l m n vectorul su director. Din condiiile
de intersecie a dreptei d cu dreptele 1d i 2d obinem, folosind
condiia 2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0x x y y z z
l m nl m n
,
3 3 62 4 3 0l m n
i
4 2 05 1 2 0l m n
, de unde
33 21 6 04 8 6 0
l m nl m n
. Soluia sistemului omogen este
21 6 33 6 33 218 6 4 6 4 8
l m n
astfel nct 78, 222, 348v . Prin urmare,
ecuaiile dreptei sunt 4 113 37 58
x y z .
II. 41. S se calculeze lungimea perpendicularei commune a dreptelor 1 : 2 4, 4, 2 1d x t y t z t i 2 : 4 5, 3 5, 5 5d x t y t z t .
Soluie. Cele dou drepte pot fi scrise sub form canonic, eliminnd
parametrul t , astfel avem 1 4 4 1: 2 1 2x y zd i 2
5 5 5:4 3 5
x y zd ,
de unde se poate vedea un punct prin care trece i vectorul director al fiecrei drepte. Astfel pentru 1d avem 1 4, 4, 1M i 1 2, 1, 2v , iar pentru 2d avem 2 5,5,5M i 2 4, 3, 5v . Lungimea perpendicularei commune este egal cu distana de la punctul 2M la planul care trece prin
64
1M i este paralel cu vectorii 1v i 2v . Ecuaia acestui plan este 4 4 1
2 1 2 04 3 5
x y z
sau 2 2 14 0x y z . Distana de la 2M la acest plan
este 2 5 10 10 14, 31 4 4d M P . Prin urmare lungimea perpendicularei
commune este 3 .
II. 42. S se scrie ecuaia planului care trece prin origine, prin punctul 1 1 1 1, ,M x y z i este perpendicular pe planul : 0P ax by cz d .
Soluie. Fie planul cutat de ecuaie 0Ax By Cz D .
ntruct planul : trece prin origine, rezult c 0D . conine pe 1M , rezult c 1 1 1 0Ax By Cz .
perpendicular pe planul P , rezult c 0Aa Bb Cc . n aceste condiii obinem:
1 1 1 1 1 1
A B Cy z x z x yb c a c a b
, de unde rezult c
ecuaia planului este 1 1 1 1 1 1 0cy bz x az cz y bx ay z . II. 43. S se scrie ecuaia dreptei care trece prin origine i prin
punctul , ,A a b c . Soluie. Ecuaia dreptei care trece prin origine i prin punctul , ,A a b c este
x y za b c sau , ,x at y bt z ct .
65
II. 44. Fie punctul , ,M a b c i dreapta (d): 0 0 0x x y y z zl m n .
Se cere
a) Proiecia M a punctului M pe dreapta d ; b) Simetricul M al punctului M fa de dreapta d ; c) Ecuaia unei drepte ce trece prin M i este perpendicular pe d i intersecteaz planul P .
Soluie.
a) Dreapta d are vectorul director v li m j nk .
Avem de asemenea, ecuaiile parametrice ale dreptei d : 0
0
0
x = x +tly = y +tmz = z +tn
, t
R . (1) Scriem ecuaia unui plan P ce conine punctul M i este perpendicular pe d : 0l x a m y b n z c (2)
P
M
M
M
66
Fie , ,M x y z punctul de intersecie al dreptei d cu planul P : P d M .
Aflm valoarea parametrului t nlocuind relaia (1) n relaia (2): 0 0 0
2 2 2( ) ( ) ( )l a x m b y n c zt
l m n
(3)
i n sfrit coordonatele , ,x y z ale punctului M , proiecia punctului M , din relaia (1) folosind valorile parametrului t din relaia (3).
b) Fie , ,M x y z simetricul punctului M fa de d . Atunci, conform relaiei care d coordonatele mijlocului M al unui
segment n funcie de coordonatele capetelor segmentului M i M , avem: "' " 2 '
2"' " 2 '
2"' " 2 '
2
a xx x x a
b yy y y b
c zz z z c
.
c) Dreapta trece prin M i M , are deci ecuaia x a y b z cx a y b z c .
II. 45. S se scrie unghiul dintre planele 1P i 2P , date de ecuatiile: 1 : 2 3 2 0P x y z ,
2 : 5 0P x y z . Soluie. Cosinusul unghiului
1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 1 1 1
1 2 1 1 1 2 2 2
( , ) 0.0587N N A A B B C CP PN N A B C A B C
67
II. 46. S se scrie ecuaia unui plan cunoscnd 2,3,4P unde P este piciorul perpendicularei (proiecia) punctului 0,0,0O pe plan.
Soluie.
0 0 0 0
2 3 4 0
A x x B y y C z z
A x B y C z
N Ai B j Ck P
2 3 4N OP i j k de unde 2, 3, 4A B C , deci 2 4 3 9 42 16 0x y , astfel avem 2 3 4 29 0x y z .
II. 47. Se d dreapta 1 02 3 0x y z
x y z .
S se scrie ecuaia unui plan ce conine drepta d i este perpendicular pe planul
: 1900 0P x y z Soluie. Planul aparine fascicolului de plane determinat de dreapta d , adic:
x
y
z
0(0,0,0)
P(2,3,4)
68
1 2 3 0x y z x y z , 2 2 0 , de unde 2 3 0
DA B C
x y z
Dar N Ai B j Ck , 1N i j k
. Cum 1N N
, rezult 1 0N N
,
astfel 0A B C , mai mult 2 0 , deci 4 ; 0 . nlocuim n fascicol i avem mprim aceast relaie 4 1 2 3 0x y z x y z la : 0 i
avem 2 5 3 7 0x y z .
Probleme propuse spre rezolvare.
II. 1. S se scrie ecuaia unui plan, care: a) este paralel cu planul xOy i trece prin punctul 0 2, 5,3M ; b) trece prin Oz i prin punctul 0 3,1, 2M ; c) este paralel cu axa Ox i trece prin punctele 1 4,0, 2M i
2 5,1,7M . II. 2. S se scrie ecuaia planului determinat de punctele 1 2,M M i 3M , tiind c: a) 1 2 31, 1,1 , 1,3,3 , 4,0, 3M M M ; b) 1 2 30,0,0 , 3, 2,1 , 1, 4,0M M M . II. 3. S se scrie ecuaia unui plan care taie axele de coordinate n punctele:
1 2 31,0,0 , 0, 2,0 , 0,0,3M M M . II. 4. S se cerceteze coplanaritatea urmtoarelor puncte:
69
1 2 3 43,1,0 , 0,7, 2 , 1,0, 5 , 1,1, 2M M M M . II. 5. S se scrie ecuaia unui plan care trece prin punctual 1, 1,0A i este perpendicular pe vectorul AB
, tiind c 2,0,3B .
II. 6. S se calculeze distana de la punctul 0M la planul P , tiind c: a) 0 0,0,0 , : 15 10 6 190 0M P x y z ; b) 0 12,0, , : 4 4 2 17 02M P x y z
.
II. 7. S se reduc la forma normal ecuaiile urmtoarelor plane: a) 6 6 7 33 0x y z ; b) 2 9 6 22 0x y z . II. 8. S se calculeze unghiurile urmtoarelor perechi de plane: a) 6 2 4 17 0x y z i 9 3 6 4 0x y z ; b) 3 2 15 0x y z i 5 9 3 1 0x y z . II. 9. S se determine cosinusurile directoare ale dreptelor: a) 5 6 2 21 0, 3 0x y z x z ;
b) 7 312 9 20x y z .
II. 10. S se calculeze unghiul dreptelor: a) 1 2 5
3 6 2x y z i 3 1
2 9 6x y z ;
b) 4 6 2 03 2 0
x y zy z i
3 4 2 02 2 0x y zx y z .
II. 11. S se studieze coliniaritatea punctelor: a) 1 2 31, 1, 2 , 0, 1,3 , 2,1, 1M M M ; b) 1 2 31,1,3 , 0, 2, 2 , 3,5, 1M M M . II. 12. S se stabileasc ecuaiile parametrice ale dreptelor:
70
a) 2 6 02 1 0x y z
x y z ;
b) 2 3 4 03 5 2 1 0
x y zx y z .
II. 13. S se stabileasc ecuaiile canonice ale dreptei ce trece prin punctual 0 2,1, 5M i este paralel cu dreapta
3 2 3 0, 3 2 7 0x y z x y z . II. 14. S se scrie ecuaia unui plan, care: a) trece prin punctele 1 2,3, 4M , 2 4,6,5M i este paralel cu vectorul
1 2 3v i j k
;
b) trece prin 2,3, 4M i este paralel cu vectorii 1 2v i j k i 1 3 2 4v i j k
;
c) trece prin punctele 1 1,1,1M i 2 2, 2,3M i ete perpendicular pe planul : 0P x y z ;
d) trece prin punctual 1 1, 1,1M i este perpendicular pe planele 1 : 1 0P x y z i 2 :2 1 0P x y z .
II. 15. S se scrie ecuaia unui plan, tiind c puntul 3, 6, 2M este piciorul perpendicularei coborte din origine pe acest plan.
II. 16. S se scrie ecuaiile feelor tetraedrului cu vrfurile n punctele 1 2 3 43,0,5 , 0,0, 2 , 4,1, 2 , 1,1,0M M M M .
II. 17. S se demonstreze c planele 2 2 0, 2 0,x y z x y z 2 4 0x y z sunt concurente ntr-un plan.
II. 18. S se determine coordonatele punctului de intersecie al planelor 6 0, 2 2 0x y z x y z , 2 3 0x y z . II. 19. S se studieze poziia relativ a planelor:
71
a) 4 2 3 0, 3 5 0, 3 12 6 7 0x y z x y z x y z ; b) 5 8 7 0, 2 3 1 0, 2 3 2 9 0x y z x y z x y z ; c) 2 5 4 0, 5 2 13 23 0, 3 5 0x y z x y z x z . II. 20. S se determine R , astfel ca planele
0, 3 2 0x y z x y z i 4 2 0x y z s se intersecteze dup o dreapt. II. 21. S se studieze poziia relativ a planelor : a) 5 2 6 0, 3 0, 2 3 8 0, 3 2 1 0x y x y z x y z x z ; b) 5 3 0, 3 2 1 0, 2 4 5 0, 3 4 5 3 0x z y z x y z x y z . II. 22. S se scrie ecuaiile dreptei care se afl n planul xOy , trece prin origine i este perpendicular pe dreapta 2 1 5
3 2 1x y z .
II. 23. S se scrie ecuaiile dreptei care trece prin punctual 0 1, 2,1M i este paralel cu dreapta 2 1 0, 2 1 0.x y z x y z II. 24. S se scrie ecuaiile proieciei dreptei 1 2 3:
2 3 4x y zd pe
planul : 3 0P x y z . II. 25. S se verifice c dreptele 1 7 5
2 1 4x y z i 6 1
3 2 1x y z
sunt concurente i s se scrie ecuaia planului determinate de acestea. II. 26. S se scrie ecuaiile perpendicularei coborte din punctual 0M pe dreapta d , tiind c: a) 0 0,0,0M i 5 2 1: 4 3 2
x y zd ;
b) 0 2,3,1M i 1 2: 2 1 3x y zd .
II. 27. S se scrie ecuaiile perpendicularei commune la dreptele:
72
a) 1 2 0: 3 0x z
dx y z
i 22 1 0
:5 0
xd
y z ;
b) 1 :d 7 3 91 2 1x y z i 2 :d
3 1 17 2 3
x y z .
II. 28. S se calculeze lungimea perpendicularei commune a dreptelor 1d i 2d , tiind c:
a) 1 7 4 3: 3 4 2x y zd i 2
21 5 2:6 4 1
x y zd ;
b) 1 :d x y z i 2 : 1 0, 2 0d x y . II. 29. S se calculeze distana dintre dreptele 1 7 1 3: 3 4 2
x y zd i
2 2 1: 3 4 2x y zd .
II. 30. S se demonstreze c dreptele 1 2 52 3 4
x y z i 3 7, 2 2, 2 1x t y t z t determin un plan. S se scrie ecuaia
acestuia.
II. 31. S se scrie ecuaia unui plan care trece prin dreapta de intersecie a planelor 4 3 1 0x y z i 5 2 0x y z i care: a) trece prin origine;
b) trece prin punctul 1,1,1M ; c) este paralel cu axa Oy ;
d) este perpendicular pe planul 2 5 3 0x y z . II. 32. S se verifice c dreptele 2 2 10 0, 22 0x y z x y z i
7 5 93 1 4
x y z sunt paralele. S se calculeze distana dintre ele. S se scrie ecuaia planului determinat de acesta.
73
II. 33. S se scrie ecuaia unui plan, care trece prin dreapta de intersecie a planelor 5 0x y z i 4 0x z i care formeaz un unghi de 45 cu planul 4 8 12 0x y z . II. 34. S se scrie ecuaia unui plan care trece prin punctul 0 2,1,1M i este perpendicular pe dreapta 2 1 0x y z , 2 0x y z . II. 35. S se scrie ecuaia unui plan care conine dreapta
1 0, 2 1 0x x y z i este perpendicular pe planul 0x y z . II. 36. S se gseasc proiecia punctului 0 4, 3,1M pe planul
3 0x y z . II. 37. S se studieze pozia dreptei d fa de planul P , tiind c: a) 12 9 1:
4 3 1x y zd i :3 5 2 0P x y z ;
b) 1 3:2 4 3
x y zd i :3 3 2 5 0P x y z . II. 38. S se calculeze coordonatele simetricului punctului 0 4,3,1M fa de dreapta 1 2 3
2 4 5x y z .
II. 39. S se scrie ecuaia planului care trece prin punctul 0M , simetricul punctului 0 1,5, 1M fa de planul : 4 45 48 0P x y i este paralel cu dreapta 1 :2 1 0d x y z , 3 2 6 6 0x y z i 2 : 0d x y , 3 0x y z . II. 40. S se scrie ecuaia planului determinat de perpendicularele coborte din punctual 0 3, 2,5M pe planele 4 3 13 0x y z i
2 11 0x y z .
74
II. 41. S se determine R astfel nct dreptele 1 1 2: 3 2 1x y zd
i 2 1 3: 4 1x y zd .
II. 42. S se scrie ecuaia planului paralel cu planul 2 0x y z i care trece prin punctual de intersecie a planelor 2 2 0, 3 1 0x y z x y z i 3 0x y z . II. 43. S se determine parametrul astfel nct
dreptele 11 2( ) :
3 2 1x y zd i 2
1 3:4 1
x y zd s fie coplanare. S se afle coordonatele punctului lor de intersecie.
II. 44. S se scrie ecuaia planului care trece prin dreapta 0, 2 3 0x y z x y z i este paralel cu dreapta 2 3x y z .
II. 45. S se scrie ecuaiile planelor duse prin intersecia a urmtoarelor dou plane 3 4 1 0
2 5 0x y z
x y z i respectiv pe fiecare dintre ele.
II. 46. S se gseasc proiecia ortogonal a punctului 2,1,1M pe planul 3 5 0x y z .
II. 47. S se afle proiecia ortogonal a punctului 1, 1, 2A pe dreapta a crei reprezentare parametric este 2, 2 1x t y t i 3 1z t .
II. 48. Se consider triunghiul ABC cu 2, 3, 1A , 1, 4,0B , 3, 2, 5C . S se dea o reprezentare parametric a dreptei ce unete centrul
de greutate al triunghiul ABC cu punctul M care mparte segmentul orientat
AB n raportul 32
h .
75
II. 49. S se scrie ecuaia planului care trece prin origine, prin punctul 1 1 1 1, ,M x y z i este perpendicular pe planul P de ecuaie 0ax by cz d .
II. 50. S se scrie ecuaia planului determinat de dreptele 1
2 1( ) :7 3 5x y zd i 2 1 3 2: 7 3 5
x y zd .
II. 51. S se scrie ecuaia dreptei ce trece prin punctul 0 1, 1,3M i este perpendicular pe planul 3 0x y z .
II. 52. S se calculeze distana de la punctul 1,1,1u la planul 3 7 0x y z .
II. 53. Se d dreapta d de ecuaii 2 43 1 1
x y z i 1,2,3M . S se scrie ecuaia unui plan ce trece prin punctul M i este perpendicular pe dreapta d . 0 0 0 0A x x B y y C z z 0 1x 3A , 3 1 1 2 1 3 0x y z 0 2y 1B ,
3 3 0x y z 0 3z 1C .
76
Capitolul III
FORME BILINIARE. FORME PTRATICE.
Definiia III. 1. Fie V un spaiu vectorial, F : V V . Aplicaia F se numete bilinear dac: a) F(x + y, z) = F(x, z) + F(y, z), , , x, y, z V. b) F (x, y + z) = F(x, y) + F(y, z), , , x, y, z V adic F este linear n raport cu x i y.
Definiia III. 2. F este simetric dac F(x, y) = F(y, x) x, y V.
Definiia III. 3. F este pozitiv definit (negativ definit) dac: F(x, x) 0 (F(x, x) 0) x V F(x, x) = 0 x = 0v
Exemple
1) Fie V = E (spaiu euclidian). Produsul scalar este funcie bilinear simetric.
2) Fie V = 2 i x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
77
z = (z1, z2)
Fie funcia F(x, y) = F((x1, x2), (y1, y2))=x1y2 + x2y1. Artm c F este bilinear: F(x + z, y) = F((x1 + z, x2 + z2)), (y, y2) = (x1 + z1)y2 + (x2 + z2)y1 Pe de alt parte: F(x + z, y) = (x1y2 + x2y1) + (z1,y2 + z2y1) = F(x, y) + F(z, y) Avem F(x, y) = x1y2 + x2y1 = y1x2 + y2x1 = F(y, x), deci n plus F este i simetric.
3) Fie a, b , a < b, V = C[a, b]={f : [a, b] continu}, K : [a, b] [a, b] continu. Atunci F : V V definit prin: , ,b b
a a
F f g K s t f s g t dsdt , f, g V este form biliniar pe V.
Matricea asociat. Schimbarea matricei cnd se schimb baza.
Definiia III. 4. Fie F : V V , F(x, y) bilinear, dimV = n, B = {e1, e2,,en} o baz.
Matricea A = (aij)n,n, aij = F(ei, ej) se numete matricea asociat lui F n raport cu baza B.
Exemplu:
Fie 2 2:F , cu F(x, y) = x1y2 + x2y1. S se determine matricea lui F n baz canonic din 2 . format din vectorii: e1 = (1, 0), e2 = (0, 1).
Atunci:
a11 = F(e1, e2) = 1 0 + 0 1 = 0,
78
a12 = F(e1, e2) = 1,
a21 = F(e2, e1) = 1,
a22 = F(e2, e2) = 0,
deci 0 11 0
A .
Propoziia III. 5. Fie F : V V , F bilinear, A = (aij) matricea asociat n raport cu B. Rezult c:
1 1
,n n
ij i ji j
F x y a x x
sau F(x, y) = Xt A Y, unde: 1
2
n
xx
X
x
,
1
2
n
yy
Y
y
.
Exemplu
Pentru n = 2, avem:
F(x, y) = a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2
Pe de alt parte: F(x, y) = Xt A Y = (x1, x2) 11 12 1 111 1 21 2 12 1 22 2
21 22 2 2
,a a y y
a x a x a x a xa a y y
=
= a11x1y1 + a21x2y1 + a12x1y2 + a22x2y2.
Propoziia III. 6. Aplicaia biliniar F : V V este simetric dac i numai dac matricea asociat este simetric (A = At).
Propoziia III. 7. Fie V spaiu vectorial, F o form bilinear, dimV = n, B = {e1,,en} i B' = { ' '1,... ne e }, C matricea de trecere de la B la B', '
CB B .
Atunci A' = Ct A C, unde A este matricea n baza B, iar A' este matricea n
baza B'.
79
Forme ptratice.
Definiia III. 8. Fie V/ un spaiu vectorial, F(x, y) o form biliniar simetric. Funcia : V se numete form ptratic, dac exist F : V V , f bilinear, simetric astfel nct (x) = F(x, x).
Propoziia III. 9. Dac : V este o form ptratic asociat formei biliniare simetrice F atunci:
1, ( )2
F x y x y x y , F(x, y) se numete polara formei ptratice .
Definiia III. 10. Fie : V , (x) form ptratic se numete pozitiv (negativ) definit dac F(x, y) este pozitiv (negativ definit): (x) 0, x V i (x) = 0 x = 0v.
Definiia III. 11. Fie : V R, (x) form ptratic, dimV = n, B = (e1,,en). Se numete matricea lui n raport cu baza B matricea asociat polarei F(x, y) n baza B.
Observaie: Aceast matrice este simetric.
Propoziia III. 12. Fie : V , (x) form ptratic, A matricea n raport cu baza B. Rezult:
80
2 2 211 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 11 1
... 2 2 ... 2n n
nn n n n n n ij i ji j
x a x a x a x a x x a x x a x x a x x
Exemplu:
Pentru n = 3, fie x = (x1, x2, x3). Atunci:
2 2 211 1 12 1 2 13 1 3 22 2 23 2 3 33 32 2 2x a x a x x a x x a x a x x a x Fie 2 2 21 2 3 1 2 2 32 2 4x x x x x x x x , atunci matricea asociat este
1 1 01 2 20 2 1
A
unde 2a12 = 2 a12 = 1.
Definiia III. 13. O form ptratic se numete redus la forma canonic dac exist o baz n care matricea asociat are form diagonal ((x) = sum de ptrate).
Reducerea la forma canonic prin metoda transformrilor ortogonale
Teorema III.14. Fie F : E E , F (x, y) form bilinear simetric. Rezult c exist T : E E, T autoadjunct astfel nct F(x, y) = , T unic.
Teorema III. 15. Fie : E E, (x) o form ptratic. Rezult c exist o baz ortonormat astfel nct n aceast baz (x) este redus la forma canonic.
81
Concluzii:
I. 2 211 1 12 1 2 1, 1... 2 ... 2nn n n n n nx a x a x a x x a x x Scriem matricea A.
11 12 1
12 22
1
n
n nn
a a aa a
A
a a
II. Calculm polinomul caracteristic p() = det(A In) i rezolvm ecuaia caractersitic: p() = 0. Obinem valorile proprii.
III. Se determin vectorii proprii {v1, v2,,vn} i rezult baza ortogonal{v1, v2,,vn}.
IV. Ortonormm baza de la (III).
V. Scriem ' 2 ' 2 ' 21 1 2 2 3 3' ...x x x x (forma canonic).
VI. Se scrie matricea C de trecere {e1,,en} { ' '1,... ne e }, iar X = C X'. Deci F : V V , f bilinear i : V astfel nct (x) = F(x, x). adic: 2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 32 2 2x a x a x a x a x x a x x a x x =
, 1
n
ij i ji j
a x x
82
Reducerea la forma canonic prin metoda Jacobi Teorema III. 16. Fie : E E o form ptratic i fie A = (aij)n,n
matricea sa n raport cu baza {e1, e2,,en}:
11 12 1
12 22 2
1
n
n
n nn
a a aa a a
A
a a
Fie D0 = 1
D1 = a11
11 12212 22
a aD
a a
11 1
1 1
i
i
j j
a aD
a a
Dn = det(A)
Dac toi Di 0, 1,i n , exist {f1, f2,,fn} (baza Jacobi) astfel nct n aceast baz are forma canonic. ' 2 ' 2 '2 ' 20 1 111 2
1 2
' ... ...i ni ni n
D D DDx x x x xD D D D
Criteriul lui Sylvester
Fie V spaiu vectorial, dimV = n, : V form ptratic cu matricea A = (aij) n baza 1,i i nB e . Atunci: a) (x) este poz def Di > 0, 1,i n b) (x) este neg def Di-i Di < 0, 1,i n .
83
Reducerea la forma canonic prin metoda Gauss
Fie (x) o form ptratic. Rezult c exist o baz ' ' '1 2, ,..., ne e e n care (x) are form canonic.
Cazuri
a) i, aii 0 se grupeaz toi termenii ce conin pe aii i se formeaz un ptrat perfect. b) toi aii = 0, i = 1,n , aij 0. Coeficientul lui xi, xj, aij se afl
2 24
i j i ji j
x x x xx x
Teorema de inerie. Fie V n spaiu vectorial i : V o form ptratic. Atunci numrul termenilor pozitivi (i implicit al celor negativi) din forma canonic a lui este aceeai indiferent de metoda prin care forma ptratic a fost adus la forma canonic.
Probleme rezolvate. III. 1. Fie 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2: , , 3 5 4 2f f x y x y x y x y x y . S se arate c f este o form biliniar. Soluie.
1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2, 3 5 4 2f ax by z ax by z ax by z ax by z ax by z 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 23 3 5 5 4 4 2 2ax z by z ax z by z ax z by z ax z by z
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 23 5 4 2 3a x z x z x z x z b y z y z y z y z , ,af x z bf y z .
Analog se arat 2, , , , , , , ,f x ay bz af x y bf x z x y z a b .
84
III. 2. Fie 3 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3: , 4 6 8f g x x x x x x x x x x , form ptratic i 1 2 3, ,e e e baz canonic n 3 . S se determine matricea formei ptratice g n raport cu aceast baz. Soluie. Pentru a determina matricea formei ptratice g n raport cu baza canonic 1 2 3, ,e e e , vom scrie expresia formei ptratice astfel:
2 2 21 2 3 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 22 2 3 3 4 4g x x x x x x x x x x x x x x x x . Fie f forma biliniar asociat formei ptratice g . Avem:
11 1 1 12 1 2 13 3 3
21 1 2 22 2 3 23 3 1
31 2 2 32 3 2 33 1 3
, 1 , 2 , 3
, 2 , 1 , 4
, 3 , 4 , 1
a f e e a f e e a f e e
a f e e a f e e a f e e
a f e e a f e e a f e e
.
Deci matricea este 1 2 32 1 43 4 1
A
.
III. 3. S se reduc la forma canonic prin metoda transformrilor ortogonale urmtoarea form ptratic. S se specifice schimbarea de coordonate fcut. 2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 33 3 3 2 2 2x x x x x x x x x x .
Soluie. Matricea asociat formei ptratice este
3 1 11 3 11 1 3
A
.
Calculm p() = 3 1 1 1 1 1
1 3 1 5 1 3 11 1 3 1 1 3
=
adunm la prima coloan scdem prima linie
85
celelate dou coloane din celelalte dou
= 21 1 1
5 0 2 0 5 20 0 2
p() = 0 1 = 5, 2 = 3 = 2. Determinm vectorii proprii.
Pentru 1 = 5 calculm vectorii proprii corespunztori.
Rezolvm 1
2
3
2 1 1 01 2 1 01 1 2 0
xxx
, astfel avem sistemul
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 02 0
2 0
x x xx x xx x x
, obinem x1 = x2 = x3 = . Am gsit vectorul propriu v1 =
(1, 1, 1). Pentru 2 = 3 = 2 calculm vectorii proprii corespunztori
1
2
3
1 1 1 01 1 1 01 1 1 0
xxx
.
Obinem unica ecuaie: x1 + x2 + x3 = 0 x1 = . Fie x2 = x3 = . Vectorul propriu este atunci de forma: v = ( , , ) = (1, 1, 0) + (1, 0, 1).
Pentru = 1 i = 0 rezult v2 = (1, 1, 1). n continuare alegem un vector propriu corespunztor valorii proprii = 2, adic de forma (, , , ) astfel nct s fie ortogonal pe v2. Rezult:
86
+ + = 0 sau = 2, deci (, , 2). Dac alegem = 1 v3 = (1, 1, 2). Am obinut deci vectorii proprii:
1
2
3
1, 1, 1
1, 1, 0
1, 1, 2
v
v
v
baz ortogonal.
Avem 1 2 33, 2, 6.v v v
Normm '1 1
1
1 1 1 1, ,3 3 3
e vv
,
'2 2
2
'3 3
3
1 1 1, , 02 2
1 1 1 2, ,6 6 3
e vv
e vv
,
Forma canonic este ' 2 ' 2 ' 21 2 3' 5 2 2x x x x .
Schimbarea de coordonate
Avem matricea de trecere C =
' ' '1 2 3( ) ( ) ( )
1 1 13 2 6
1 1 1 .3 2 6
1 203 6
e e e
87
Atunci 1 1
2 2
3 3
1 1 13 2 6
1 1 13 2 6
1 203 6
x xx xx x
,
sau
' ' '1 1 2 3
1 1 13 2 6
x x x x ,
' ' '2 1 2 3
1 1 13 2 6
x x x x ,
' '3 1 3
1 23 6
x x x .
Observaie Scriem ' ' '1 2 3, ,x x x n funcie de x1, x2, x3 X' = C1 X = Ct X (C este ortogonal, C1 = Ct), deci:
'1 1'2 2'3 3
1 1 13 3 31 1 02 2
1 1 26 6 6
x xx xx x
, de unde rezult
'1 1 2 3
'2 1 2
'3 1 2 3
1 1 13 3 3
1 1 02 2
1 1 26 6 6
x x x x
x x x
x x x x
.
88
III. 4. S se reduc la forma canonic prin metoda transformrilor ortogonale, forma ptratic (x) = 2 2 21 2 3 1 2 2 32 3 4 4x x x x x x x .
Soluie. Matricea asociat formei ptratice este 1 2 02 2 2
0 2 3A
.
Calculm p() = 1 2 0
2 2 20 2 3
3 + 62 3 10
1 6 3 10 1 1 7 10 0
p() = ( + 1)(2 + 7 10) = ( + 1)(2 7 + 10), obinem 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5
Determinm vectorii proprii.
Pentru 1 = 1, rezolvm 1
2
3
1 2 0 02 3 2 0