SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAO DE MINAS GERAIS

PROPOSTA CURRICULAR

MATEMTICA

ENSINOS FUNDAMENTAL E MDIO

AutoresMrio Jorge Dias Carneiro Michel Spira Jorge Sabatucci

Governador

Acio Neves da CunhaVice-Governador

Antnio Augusto Junho AnastasiaSecretria de Estado de Educao

Vanessa Guimares PintoChefe de Gabinete

Felipe Estbile MoraisSecretrio Adjunto de Estado de Educao

Joo Antnio Filocre Saraiva

Subsecretria de Informaes e Tecnologias Educacionais

Snia Andre CruzSubsecretria de Desenvolvimento da Educao Bsica

Raquel Elizabete de Souza SantosSuperintendente de Ensino Mdio e Prossional

Joaquim Antnio Gonalves

Sumrio1 parte : Ensino Fundamental da 6 a 9 srie1- Introduo 2 - Consideraes Didtico-Metodolgicas3 - Orientaes Pedaggicas 4 - Resoluo de Problemas 5 - Avaliao 6- Como Lidar com Erros

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CBC de Matemtica do Ensino Fundamental da 6 9 srie 1 - Eixo Temtico I- Nmeros e Operaes 2 - Eixo Temtico II- lgebra 3 - Eixo Temtico III- Espao e Forma 4 - Eixo Temtico IV- Tratamento de Dados

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2 parte: Ensino Mdio1 - Introduo 2 - Eixos Temticos 3 - Resoluo de Problemas 4 - Avaliao 5 - Contextualizao 6 - A Questo dos Pr-Requisitos 7 - Apresentao do CBC de Matemtica 2007 Tpicos do CBC para o 1 Ano 1 - Eixo Temtico I - Nmeros, Contagem e Anlise de Dados 2 - Eixo Temtico II - Funes Elementares e Modelagem 3 - Eixo Temtico III - Geometria e Medidas Tpicos do CBC para o 2 Ano: Contedos de Aprofundamento 1 - Eixo Temtico IV - Nmeros, Contagem e Anlise de Dados 2 - Eixo Temtico V - Funes Elementares e Modelagem 3 - Eixo Temtico VI - Geometria e Medidas 31 35 38 39 40 41 42

44 46 48

50 51 52

Sugestes de tpicos complementares para o 3 Ano 1 - Eixo Temtico VII - Nmeros, Contagem e Anlise de Dados 2 - Eixo Temtico VIII - Funes Elementares e Modelagem 3 - Eixo Temtico XI - Geometria e Medidas Tpicos do CBC: 1, 2 e 3 Ano 1 - Tpicos 1 Ano 2 - Tpicos 2 Ano 3 - Tpicos 3 Ano Bibliograa Bibliograa

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67 72 75

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ApresentaoEstabelecer os conhecimentos, as habilidades e competncias a serem adquiridos pelos alunos na educao bsica, bem como as metas a serem alcanadas pelo professor a cada ano, uma condio indispensvel para o sucesso de todo sistema escolar que pretenda oferecer servios educacionais de qualidade populao. A denio dos contedos bsicos comuns (CBC) para os anos nais do ensino fundamental e para o ensino mdio constitui um passo importante no sentido de tornar a rede estadual de ensino de Minas num sistema de alto desempenho. Os CBCs no esgotam todos os contedos a serem abordados na escola, mas expressam os aspectos fundamentais de cada disciplina, que no podem deixar de ser ensinados e que o aluno no pode deixar de aprender. Ao mesmo tempo, esto indicadas as habilidades e competncia que ele no pode deixar de adquirir e desenvolver. No ensino mdio, foram estruturados em dois nveis para permitir uma primeira abordagem mais geral e semiquantitativa no primeiro ano, e um tratamento mais quantitativo e aprofundado no segundo ano. A importncia dos CBCs justica tom-los como base para a elaborao da avaliao anual do Programa de Avaliao da Educao Bsica (PROEB) e para o Programa de Avaliao da Aprendizagem Escolar (PAAE) e para o estabelecimento de um plano de metas para cada escola. O progresso dos alunos, reconhecidos por meio dessas avaliaes, constitui a referncia bsica para o estabelecimento de sistema de responsabilizao e premiao da escola e de seus servidores. Ao mesmo tempo, a constatao de um domnio cada vez mais satisfatrio desses contedos pelos alunos gera conseqncias positivas na carreira docente de todo professor. Para assegurar a implantao bem sucedida do CBC nas escolas, foi desenvolvido um sistema de apoio ao professor que inclui: cursos de capacitao, que devero ser intensicados a partir de 2008, e o Centro de Referncia Virtual do Professor (CRV), o qual pode ser acessado a partir do stio da Secretaria de Educao (http://www.educacao.mg.gov.br). No CRV encontra-se sempre a verso mais atualizada dos CBCs, orientaes didticas, sugestes de planejamento de aulas, roteiros de atividades e frum de discusses, textos didticos, experincias simuladas, vdeos educacionais, etc; alm de um Banco de Itens. Por meio do CRV os professores de todas as escolas mineiras tm a possibilidade de ter acesso a recursos didticos de qualidade para a organizao do seu trabalho docente, o que possibilitar reduzir as grandes diferenas que existem entre as vrias regies do Estado. Vanessa Guimares Pinto

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Ensino Fundamental1. IntroduoEste novo volume da Matemtica para a Srie Cadernos Pedaggicos foi elaborado a partir da reviso de parte da proposta curricular do Contedo Bsico Comum (CBC) para o ensino da Matemtica no Ensino Fundamental em todo o Estado de Minas Gerais. Trata-se essencialmente da parte em que so listados os eixos temticos, ou seja, as unidades estruturadoras e os tpicos que iro constituir o Contedo Bsico Comum (CBC) para todas as propostas curriculares das Escolas Estaduais de Minas Gerais. A reviso est baseada nas sugestes obtidas ao longo do ano de 2005, por meio de contatos diretos com professores da rede estadual e durante os cursos de capacitao, palestras, debates e fruns realizados com estudantes de licenciatura em Matemtica e com docentes do ensino superior. Nesta reviso buscou-se: Melhorar a coerncia da proposta e formular com maior preciso as competncias e habilidades, tentando esclarecer o que essencial para um aluno do Ensino Mdio; Aprimorar o entendimento da relao entre os diversos tpicos; E permitir uma maior exibilizao nos temas complementares atravs da fuso ou supresso de alguns tpicos.

A listagem dos tpicos representa apenas um guia, um roteiro baseado no qual cada escola poder traar o caminho que seja mais adequado aos seus objetivos, buscando fazer uma distribuio ao longo do ano escolar, de modo coerente com o seu projeto pedaggico. importante frisar que parte integrante fundamental da presente proposta curricular so as orientaes pedaggicas, tambm revisadas e melhoradas com a incorporao de sugestes dos professores. Alm do Contedo Bsico Comum (CBC), foram sugeridos Temas Complementares com o objetivo de introduzir novos tpicos, dentro do projeto pedaggico da escola e de acordo com as potencialidades e interesses das turmas. Esse projeto pode prever tambm atividades curriculares que busquem a supresso de possveis decincias de contedos especcos (por exemplo, aulas de reviso). 11

2. Consideraes Didtico-MetodolgicasPara alcanar os objetivos descritos anteriormente, fundamental que se adotem estratgias adequadas de ensino e, para isso, essencial que se conhea no apenas o que se ensina mas para quem se ensina. Durante o perodo entre a 6 e 9 sries, os alunos passaro por fases marcantes em seu desenvolvimento. um perodo bastante complexo, no qual se manifestam vrias caractersticas para as quais o professor deve estar atento e considerar nas suas aes pedaggicas e orientar as suas opes metodolgicas. Transcrevemos a parte das consideraes sobre as caractersticas dos alunos descritas nos PCNs e reproduzidas no documento [PP]: Nos dois primeiros anos dessa etapa da escolaridade convivem alunos com caractersticas muitas vezes ainda bastante infantis e adolescentes, ou mesmo alunos mais velhos, que j passaram por uma ou vrias experincias de reprovao ou de interrupo dos estudos, sendo que, dentre esses, muitos j trabalham e assumem responsabilidades perante a famlia. No caso dos adolescentes, as signicativas mudanas que afetam seu desenvolvimento fsico, emocional e psicolgico repercutem fortemente no seu comportamento o qual, na escola, muitas vezes interpretado pelos professores como insolncia, gerando conitos no relacionamento entre ambos. Acrescente-se a isso a instabilidade, o medo e a insegurana, que caracterizam as reaes dos adolescentes frente a situaes diversas. Nessa fase tambm intensica-se a capacidade para questionar, acirra-se a crtica pouco fundamentada, que faz com que coloquem em dvida a importncia de certos valores, atitudes e comportamentos e, inclusive, a necessidade de certas aprendizagens. Acentuando esse descompasso, a passagem do antigo perodo de 1 a 4 sries para 5 a 8 sries traz, ainda, para os alunos um aumento crescente de presses, exigncias e disponibilidade de dedicao com os quais no esto habituados. Por outro lado, apesar das atitudes de insegurana nessa fase do desenvolvimento do aluno, ampliam-se as capacidades para estabelecer inferncias e conexes lgicas, para tomar algumas decises, para abstrair signicados e idias de maior complexidade, para argumentar expressando idias e pontos de vista com mais clareza. Outro aspecto que se evidencia a maior possibilidade de compreender e utilizar recursos tecnolgicos. No caso da Matemtica, contrariando as consideraes do pargrafo anterior, h uma forte tendncia em fazer da 5 srie uma reviso dos contedos estudados nos anos anteriores. Essa reviso, na 12

maioria das vezes inndvel, causa desinteresse aos alunos e, paradoxalmente ao que se pretendia com ela, contribui para o fracasso escolar comprovado pelos elevados ndices de reprovao que aparecem nesse ano. J no ano seguinte (6 srie), alguns contedos novos so explorados, o que garante, de certo modo, um maior interesse por parte dos alunos. Porm, diferentemente do trabalho realizado nas sries anteriores, o vnculo da Matemtica com as situaes do cotidiano, a possibilidade de levantar hipteses, de arriscar-se na busca de resultados sem a tutela do professor, vo cando cada vez mais distantes gerando em muitos casos o divrcio entre o aluno e o conhecimento matemtico. Nos dois ltimos anos (7 e 8 sries), muitos alunos ainda esto s voltas com mudanas corporais, momentos de inquietao emocional e psicolgica, que repercutem na vida afetiva, na sexualidade, nas relaes com a famlia e tambm na escola. Junto a esses problemas, comea a se congurar uma nova e grande expectativa - a continuidade dos estudos e o futuro prossional. Convm lembrar que muitos desses alunos j tero ingressado no mercado de trabalho, geralmente desenvolvendo atividades pouco qualicadas e ansiosos por melhores condies de vida. A perspectiva de ingresso na juventude, alm de expectativas quanto ao futuro, traz para os alunos desses dois ltimos anos do ciclo novas experincias e necessidades. O conhecimento do mundo e as experincias de vida, ao contrrio dos anos anteriores, acontecem no crculo do grupo, fora da tutela dos pais. Isso faz com que esses jovens ampliem suas percepes e tornem-se mais independentes e autnomos diante de certas vivncias: administrar as prprias economias, transitar sozinhos por novos espaos, participar das decises familiares, decidir sobre as atividades de lazer, etc. Sob o ponto de vista cognitivo, a observao ganha em detalhes, ampliam-se as capacidades para pensar de forma mais abstrata, para tomar algumas decises, para abstrair signicados e idias de maior complexidade, para argumentar expressando idias e pontos de vista com mais clareza. Outro aspecto que se acentua ampliao da capacidade para compreender e utilizar recursos tecnolgicos e audiovisuais. Ao mesmo tempo que os alunos se organizam melhor para produzir em grupo, tambm ampliam-se suas possibilidades de realizao de trabalhos individuais. Nesses ltimos dois anos acentua-se, tambm, o interesse dos jovens por alguns temas sociais tais como cidadania, sade, orientao sexual, meio ambiente, trabalho e consumo. Diante de um quadro complexo como esse, necessrio reetir sobre o que possvel fazer no sentido de minimizar os problemas que caracterizam esse ciclo, canalizando para a aprendizagem toda a ebulio desse esprito emotivo, instvel e questionador do aluno nessa fase de desenvolvimento. 13

3. Orientaes PedaggicasTambm de acordo com os PCNs, as nalidades do ensino de Matemtica indicam, como objetivos do ensino fundamental, levar o aluno a: Identicar os conhecimentos matemticos como meios para compreender e transformar o mundo sua volta e perceber o carter de jogo intelectual, caracterstico da Matemtica, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o esprito de investigao e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; Fazer observaes sistemticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista de relaes entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemtico (aritmtico, geomtrico, mtrico, estatstico, combinatrio, probabilstico); selecionar, organizar e produzir informaes relevantes para interpret-las e avali-las criticamente.

Isto signica que o ensino da Matemtica deve evidenciar o carter dinmico, em constante evoluo, do conhecimento matemtico. Devido ao fato de que mesmo conhecimentos matemticos muito antigos possuem ainda hoje aplicaes, existe uma tendncia de consider-los como algo pronto e esttico. O que ocorre exatamente o contrrio: a cada dia, surgem novas questes matemticas e at novas reas de pesquisa, (por exemplo, a criptograa), e no cessam as demandas de outras reas (por exemplo, Biologia, Economia) por modelos matemticos mais efetivos e sosticados. O entendimento da Matemtica como um conhecimento cientco em construo, propicia ao aluno o reconhecimento das contribuies desta disciplina e a importncia de sua aquisio para a compreenso e atuao consciente na sociedade. Resolver situaes-problema, sabendo validar estratgias e resultados, desenvolvendo formas de raciocnio e processos como deduo, induo, intuio, analogia, estimativa e utilizando conceitos e procedimentos matemticos, bem como instrumentos tecnolgicos disponveis. Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com preciso e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relaes entre ela e diferentes representaes matemticas;

O objetivo levar o aluno a raciocinar e expressar-se matematicamente, ou seja,

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reconhecer situaes que podem ser descritas em linguagem matemtica e ser capaz de aplicar mtodos matemticos ( operaes, equaes, diagramas, fatos da geometria) para resolv-las . Estabelecer conexes entre temas matemticos de diferentes campos, e entre esses temas e conhecimentos de outras reas curriculares;

Isto signica que o projeto pedaggico para a Matemtica deve ser elaborado de forma articulada com as outras disciplinas e que, sempre que possvel, seja ressaltada a relao entre os conceitos abstratos com as suas aplicaes e interpretaes em situaes concretas, tanto na aula de Matemtica quanto na disciplina em que est sendo utilizada. Sentir-se seguro da prpria capacidade e construir conhecimentos matemticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverana na busca de solues; Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de solues para problemas propostos, identicando aspectos consensuais ou no na discusso de um assunto, respeitando o modo de pensar e aprendendo com eles

Especialmente na fase em que se encontram os alunos, o ensino de Matemtica pode contribuir muito para que adquiram responsabilidades, hbitos e mtodos de estudo. Isto porque a aquisio do conhecimento matemtico demanda trabalho individual, capacidade de concentrao e reexo, disciplina e perseverana. Em contrapartida, pode ser uma fonte de prazer intelectual em cada soluo encontrada e desao superado. Portanto, as metodologias utilizadas devem priorizar um papel ativo do aluno, estimulando a leitura de textos matemticos, os estudos dirigidos, o trabalho em grupo e os recursos didticos de carter ldico como jogos, exposies, murais de problemas e curiosidades matemticas e, quando disponveis, recursos computacionais para uso em geometria dinmica e experimentos de clculo. Deve-se evitar a formalizao excessiva e concentrar-se no desenvolvimento de habilidades conceituais e manipulativas, estimulando o uso de mecanismos informais como intuio, analogia, reconhecimento de padres, anlise de casos particulares e generalizao, aproximao, estimativas. Por outro lado, na 7 e 8 sries, quando j se atingiu alguma maturidade, adequado e desejvel introduzir de modo gradativo o mtodo lgico dedutivo, apresentando e requerendo do aluno demonstraes simples em lgebra e geometria.

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4. Resoluo de ProblemasUm dos principais objetivos do ensino de Matemtica, em qualquer nvel, o de desenvolver habilidades para a soluo de problemas. Esses problemas podem advir de situaes concretas observveis ( contextualizadas) ou no. No primeiro caso, necessria uma boa capacidade de usar a linguagem matemtica para interpretar questes formuladas verbalmente. Por outro lado, problemas interessantes, que despertam a curiosidade dos estudantes, podem surgir dentro do prprio contexto matemtico quando novas situaes podem ser exploradas e o conhecimento aprofundado, num exerccio contnuo da imaginao. Por situao-problema entendemos problemas que envolvem o processo de traduo do enunciado, seja contextualizado ou no, em linguagem matemtica, e a tomada de deciso sobre quais ferramentas matemticas sero usadas em sua resoluo (modelagem). Estes problemas so aqueles que levam a uma compreenso do que realmente Matemtica, pois se passam em um ambiente onde coexistem os modos de pensamento formal e intuitivo, bem como as linguagens formal e verbal. Eles estimulam o trabalho em grupo, a crtica dos modelos adotados e o confronto dos resultados obtidos com o enunciado original do problema. A soluo de uma ampla variedade de problemas desenvolve a capacidade de abstrao do aluno, bem como a habilidade de atribuir signicado aos conceitos abstratos estudados. Ao contrrio do que ocorre em vrios livros-texto atuais, deve-se privilegiar a diversidade em oposio repetio e quantidade. O constante desenvolvimento das habilidades para a soluo de problemas envolve as seguintes estratgias, que devem tornar-se hbito para o aluno: seu uso deve ser apontado e estimulado pelo professor. Usar guras, diagramas e grcos, tanto de forma analtica quanto intuitiva. Expressar oralmente ou por escrito, com suas prprias palavras, propriedades matemticas, atribuindo signicado aos conceitos abstratos e formulando por meio do uso da linguagem simblica questes expressas verbalmente. Perceber padres em situaes aparentemente diversas. Estudar casos especiais mais simples usando-os para elaborar estratgias de resoluo de casos mais complexos ou gerais. Fazer uso do mtodo de tentativa e erro, elaborando novas estratgias de soluo a partir da anlise crtica dos erros. Usar a simbologia matemtica (sentenas) com variveis e equaes, usar a analogia como ferramenta de trabalho, recorrendo a mtodos j utilizados e adaptando-os para a resoluo de novos problemas.

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Trabalhar de trs para diante, supondo conhecida a soluo de um problema e deduzir suas propriedades para obter um caminho para encontr-la. Compartilhar e discutir observaes e estratgias de outros estudantes, adquirindo assim experincia e novas perspectivas (insights) para abordar um problema.

Ressaltamos que no deixam de ter importncia exerccios de xao de tcnicas e habilidades de rotina que, em geral, so de carter repetitivo. Tais exerccios destinam-se exclusivamente a fazer com que o aluno, ao encontrar determinada situao padro, proceda sem percalos, quase que automaticamente. Por exemplo, o aluno deve se sentir seguro ao somar duas fraes executando a operao como um hbito de rotina (sem prejuzo, claro, de sua discusso e interpretao) para que no tenha diculdades na hora de encontrar a soluo de um problema.

5. AvaliaoO professor, ao planejar, orientar, observar, instigar, organizar e registrar as atividades em sala de aula, possui um conjunto de parmetros que o habilita a fazer uma avaliao contnua de todo o processo de aprendizagem. Nesse processo, esto envolvidos ele prprio, os alunos, o material e a metodologia utilizados. Isso permite ao professor reformular a cada momento suas prticas pedaggicas e melhor adapt-las s condies de sala de aula. A avaliao deve ser parte integrante desse processo. Alm do que foi mencionado acima, o professor deve buscar, selecionar e registrar situaes e procedimentos que possam ser avaliados de modo a contribuir efetivamente para o crescimento do aluno. Essa observao e registro, juntamente com os mtodos tradicionais de vericao de aprendizagem(provas e listas de exerccios),nos quais so ressaltados os aspectos mais relevantes e importantes das unidades, devem fazer parte das estratgias de ensino. Sabe-se que a questo da avaliao muito delicada e que pode afetar a auto-estima do aluno, especialmente no caso de adolescentes. Dessa forma, deve-se ter uma atitude positiva e construtiva em relao avaliao. O professor deve incentivar e abrir espao para que os alunos exponham, oral ou de forma escrita, suas observaes, suas diculdades e seus relatos sobre as atividades e contedos trabalhados. A avaliao parte do processo de ensino-aprendizagem e, como tal, deve levar em conta as competncias pedaggicas e as competncias sociais a serem adquiridas pelos alunos. No primeiro caso (competncias pedaggicas), cabe avaliao fornecer aos professores as informaes sobre como est ocorrendo a aprendizagem em relao compreenso dos conhecimentos, como, por exemplo, os raciocnios e anlises desenvolvidos e o domnio de certas 17

estratgias. Alm dessas, questes mais especicamente relacionadas com o grau de envolvimento do aluno no processo, tais como: Procura resolver problemas? Usa estratgias criativas? Faz perguntas? Justica as respostas obtidas? Comunica suas estratgias com clareza? Questiona os pontos que no compreende ou com os quais no concorda? etc; tambm devem ser observadas. Essas informaes devero servir para o professor: Orientar-se na elaborao de aes pedaggicas mais diversicadas objetivando atender aos diferentes ritmos de aprendizagem; Trabalhar diferentes nveis de aprofundamento e complexidade ao mesmo tempo; Orientar os alunos quanto aos currculos diferenciados.

Considerando o exposto acima, conclumos que a avaliao no deve se resumir somente a provas individuais e a resultados expressos por notas, pois essas so insucientes ou mesmo inadequadas para avaliar a maioria das competncias que estamos propondo avaliar. Assim, sugerimos que a avaliao em Matemtica ultrapasse os limites quantitativos e se d nos diversos momentos da aprendizagem, a saber, nas atividades individuais e de grupo dentro da sala de aula, nas tarefas de casa, nas tarefas orais, nas participaes em feiras e ocinas, etc. No entanto, achamos que as provas individuais ainda desempenham um papel importante no processo, pois essas tambm ajudam o aluno a reetir sobre suas capacidades e limitaes e servem de orientao aos esforos necessrios para superar as diculdades. Alm disso, a correo dessas provas por parte do professor em sala de aula, com a participao dos alunos, proporciona uma excelente atividade de reviso dos conhecimentos. Dessa maneira, os erros propiciam uma oportunidade para que os alunos possam aprender a partir deles. As observaes que o professor julgar necessrias registrar, podem ser anotadas, por exemplo, em chas individuais, com o objetivo de fornecer um mapeamento do desenvolvimento do aluno ao longo do ciclo. Por outro lado, o professor no deve passar a maior parte do seu tempo de trabalho se dedicando a registrar essas observaes. Convm deixar claro que o objetivo a aprendizagem. Ele deve distinguir quais as informaes so importantes para a reexo da sua prtica e quais as informaes devem ser repassadas aos alunos. Para estes, as informaes devem fornecer elementos importantes que os auxiliem a reetir e a auto-regular seu processo de aprendizagem. J no segundo caso (competncias sociais), a avaliao tem como funo auxiliar e orientar os alunos quanto ao desenvolvimento das atitudes, das competncias e das habilidades que so exigidas socialmente: responsabilidade, solidariedade, valorizao do trabalho coletivo, perseverana, capacidade de tomar decises, etc. 18

Resumindo, a avaliao deve levar em conta as competncias pedaggicas e sociais e, em ambos os casos, reetir com clareza em que momento da aprendizagem se encontra o aluno: competncia adquirida, competncia em fase de aquisio ou competncia a ser reforada.

6. Como Lidar com ErrosO erro na resoluo de um problema ou em uma avaliao deve ser encarado como uma oportunidade ideal de reviso de conceitos e estratgias de soluo. extremamente importante que uma tentativa consciente de resolver um problema, mesmo incorreta, seja to respeitada quanto uma soluo correta. Quando o aluno percebe que, mesmo errando, seu esforo bem recebido e que ele contribuiu positivamente para o trabalho do professor e da turma, sua autoconana aumenta e ele percebe que o erro uma oportunidade de crescimento. A postura adequada do professor, frente a um erro do aluno, , primeiro, fazer o aluno expor claramente seu raciocnio. Isto feito, o professor deve mostrar que algo est errado, no criticando o raciocnio, mas mostrando que a soluo no atende ao enunciado do problema. Aps isto, o raciocnio, deve ser colocado em discusso aberta com a turma, e as sugestes de correo devem ser registradas e discutidas, dando a elas o mesmo valor do raciocnio inicial. Idealmente, uma soluo correta deve vir da turma; o professor pode ento intervir, analisando as etapas da discusso e apresentando solues alternativas, caso adequado.

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Contedo Bsico Comum (CBC) de Matemtica do Ensino Fundamental da 6 9 srie Os tpicos obrigatrios so numerados em algarismos arbicos Os tpicos complementares so numerados em algarismos romanos

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Eixo Temtico INmeros e OperaesTema 1: Conjuntos NumricosTPICOS HABILIDADES 1.1. Operar com os nmeros naturais: adicionar, multiplicar, subtrair, calcular potncias, calcular a raiz quadrada de quadrados perfeitos. 1.2. Utilizar os critrios de divisibilidade por 2, 3, 5 e 10. 1.3. Utilizar o algoritmo da diviso de Euclides. 1.4. Representar a relao entre dois nmeros naturais em termos de quociente e resto. 1.5. Fatorar nmeros naturais em produto de primos. 1.6. Calcular o mdc e o mmc de nmeros naturais. 1.7. Resolver problemas que envolvam tcnicas simples de contagem. 1.8. Resolver problemas envolvendo operaes com nmeros naturais.

1. Conjunto dos nmeros naturais

2.1. Reconhecer a necessidade da ampliao do conjunto dos nmeros naturais atravs de situaes contextualizadas e resoluo de equao. 2. Conjunto dos nmeros inteiros 2.2. Operar com nmeros inteiros: adicionar, multiplicar, subtrair, calcular potncias. 2.3. Resolver problemas que envolvam operaes com nmeros inteiros. 2.4. Localizar nmeros inteiros na reta numrica, utilizando a ordenao no conjunto.

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3. Conjunto dos nmeros racionais

3.1. Reconhecer a necessidade da ampliao do conjunto dos nmeros inteiros atravs de situaes contextualizadas e/ou resoluo de equao. 3.2. Operar com nmeros racionais em forma decimal e fracionria: adicionar, multiplicar, subtrair, dividir e calcular potncias e calcular a raiz quadrada de quadrados perfeitos. 3.3. Associar uma frao sua representao decimal e vice-versa. 3.4. Resolver problemas que envolvam nmeros racionais. 3.5. Localizar nmeros racionais na reta numrica, utilizando a ordenao no conjunto.

I. Conjunto dos nmeros reais

Reconhecer a necessidade da ampliao do conjunto dos nmeros racionais atravs de situaes contextualizadas e da resoluo de problemas. Identicar nmeros racionais com as dzimas peridicas. Identicar as dzimas no peridicas com os nmeros irracionais. Usar geometria para construir alguns segmentos de comprimento irracional.

TPICOS

HABILIDADES

II. Nmeros naturais

Utilizar a representao decimal para justicar critrios de divisibilidade. Representar geometricamente os conceitos de quociente e de resto na diviso de dois nmeros naturais.

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Tema 2: Grandezas ProporcionaisTPICOS HABILIDADES 4.1. Identicar grandezas diretamente proporcionais. 4.2. Identicar grandezas inversamente proporcionais. 4.3. Resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais. 5.1. Interpretar e utilizar o smbolo % . 5.2. Resolver problemas que envolvam o clculo de porcentagem. 6.1. Calcular descontos, lucros e prejuzos. 6.2. Resolver problemas que envolvam o clculo de prestaes em nanciamentos com poucas prestaes. 6.3. Comparar preos vista e a prazo.

4. Proporcionalidade Direta e Inversa

5. Porcentagem

6. Juros

Eixo Temtico IIlgebraTema 1: Expresses AlgbricasTPICOS HABILIDADES 7.1. Utilizar a linguagem algbrica para representar simbolicamente as propriedades das operaes nos conjuntos numricos e na geometria. 7.2. Traduzir informaes dadas em textos ou verbalmente para a linguagem algbrica. 7.3. Utilizar a linguagem algbrica para resoluo de problemas.

7. Linguagem Algbrica

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8. Valor Numrico de uma Expresso

8.1. Calcular o valor numrico de uma expresso. 8.2. Utilizar valores numricos de expresses algbricas para constatar a falsidade de igualdade ou desigualdades. 9.1. Somar, multiplicar e subtrair polinmios. 9.2. Dividir um monmio por um monmio. 9.3. Dividir um polinmio por um monmio. 9.4. Reconhecer os produtos notveis. 9.5. Fatorar uma expresso algbrica.

9. Operaes com Expresses Algbricas Bsicas

Tema 2: Equaes AlgbricasTPICOS HABILIDADES 10.1. Identicar a raiz de uma equao do primeiro grau. 10.2. Resolver uma equao do primeiro grau. 10.3. Resolver problemas que envolvam uma equao do primeiro grau.

10. Equaes do Primeiro Grau

11. Sistemas de Equaes do Primeiro Grau

11.1. Identicar a(s) soluo (es) de um sistema de duas equaes lineares. 11.2. Resolver problemas que envolvam um sistema de duas equaes do primeiro grau com duas incgnitas.

12. Equaes do Segundo Grau

12.1. Identicar a(s) raiz(zes) de uma equao do segundo grau. 12.2. Identicar as razes de uma equao dada por um produto de fatores do primeiro grau. 12.3. Resolver uma equao do segundo grau. 12.4. Resolver situaes-problema que envolvam uma equao do segundo grau.

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TPICOS

HABILIDADES

III. Operaes com expresses algbricas

Dividir dois polinmios. Calcular o mdc e o mmc de polinmios simples (de grau baixo). Somar, multiplicar, subtrair e dividir polinmios. Identicar as razes de uma equao dada por um produto de fatores do primeiro e do segundo graus.

IV. Equaes

Eixo Temtico IIIEspao e FormaTema 1: Relaes Geomtricas entre Figuras PlanasTPICOS HABILIDADES 13.1. Reconhecer as principais propriedades dos tringulos issceles e equilteros, e dos principais quadrilteros: quadrado, retngulo, paralelogramo, trapzio, losango. 13.2. Identicar segmento, ponto mdio de um segmento, tringulo e seus elementos, polgonos e seus elementos, circunferncia, disco, raio, dimetro, corda, retas tangentes e secantes. 13.3. Identicar ngulo como mudana de direo. 13.4. Identicar retas concorrentes, perpendiculares e paralelas. 13.5. Reconhecer e descrever objetos do mundo fsico utilizando termos geomtricos. 13.6. Reconhecer a altura de um tringulo relativa a um de seus lados.

13. Figuras planas

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TPICOS

HABILIDADES 14.1. Utilizar os termos ngulo, paralelas e transversais e perpendiculares para descrever situaes do mundo fsico ou objetos. 14.2. Reconhecer as relaes entre os ngulos formados por retas paralelas com uma transversal. 14.3. Utilizar as relaes entre ngulos formados por retas paralelas com transversais para obter a soma dos ngulos internos de um tringulo. 15.1. Reconhecer tringulos congruentes a partir dos critrios de congruncia. 15.2. Resolver problemas que envolvam critrios de congruncia de tringulos. 15.3. Utilizar congruncia de tringulos para descrever propriedades de quadrilteros: quadrados, retngulos, losangos e paralelogramos. 16.1. Construir perpendiculares, paralelas e mediatriz de um segmento usando rgua e compasso. 16.2. Construir um tringulo a partir de seus lados, com rgua e compasso. 17.1. Resolver problemas que envolvam o teorema de Tales. 17.2. Reconhecer tringulos semelhantes a partir dos critrios de semelhana. 17.3. Resolver problemas que envolvam semelhana de tringulos. 18.1. Utilizar semelhana de tringulos para obter o teorema de Pitgoras. 18.2 . Resolver problemas que envolvam o teorema de Pitgoras.

14. ngulos formados entre paralelas e transversais

15. Congruncia de tringulos

16. Construes geomtricas

17. Teorema de Tales e semelhana de tringulos

18. Teorema de Pitgoras

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TPICOS

HABILIDADES

V. Pontos notveis de um tringulo

Reconhecer as propriedades do ponto de encontro das medianas de um tringulo (baricentro). Reconhecer as propriedades do ponto de encontro das trs alturas de um tringulo (ortocentro). Reconhecer as propriedades do ponto de encontro das bissetrizes de um tringulo (incentro). Resolver problemas que envolvam segmentos que unem cada vrtice de um tringulo a pontos do lado oposto (cevianas). Utilizar semelhana de tringulos para descrever as relaes mtricas no tringulo retngulo. Resolver problemas que envolvam as razes trigonomtricas seno, cosseno e tangente. Identicar simetrias de guras em relao a uma reta ou em relao a um ponto. Reconhecer o ponto mdio de um segmento, a mediatriz de um segmento, a bissetriz de um ngulo com guras obtidas a partir de simetrias. Construir com rgua e compasso: a mediatriz de um segmento, a bissetriz de um ngulo, retas paralelas, retas perpendiculares, transporte de ngulos e de segmentos. Construir tringulos issceles e eqilteros, quadrados e hexgonos regulares.

VI. Semelhana e trigonometria no tringulo retngulo

VII. Simetrias

VIII. Construes geomtricas

IX. ngulos em uma circunferncia

Identicar ngulos centrais e inscritos em uma circunferncia. Relacionar medidas de ngulos centrais, inscritos e arcos em uma circunferncia.

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Tema 2: Expresses AlgbricasTPICOS HABILIDADES 19.1. Reconhecer a necessidade de medidas padro. 19.2. Relacionar o metro com seus mltiplos e submltipos. 19.3. Escolher adequadamente mltiplos ou submltiplos do metro para efetuar medidas. 19.4. Utilizar instrumentos para medir comprimentos. 19.5. Fazer estimativas de medidas lineares tais como comprimentos e alturas. 19.6. Resolver problemas que envolvam o permetro de guras planas. 20.1. Relacionar o metro quadrado com seus mltiplos e submltipos. 20.2 . Escolher adequadamente mltiplos ou submltiplos do metro quadrado para efetuar medidas. 20.3. Fazer estimativas de reas. 20.4. Resolver problemas que envolvam a rea de guras planas: tringulo, quadrado, retngulo, paralelogramo, trapzio, discos ou guras compostas por algumas dessas. 21.1. Relacionar o metro cbico com seus mltiplos e submltipos. 21.2. Relacionar o decmetro cbico com o litro e o mililitro. 21.3. Escolher adequadamente mltiplos ou submltiplos do metro cbico para efetuar medidas. 21.4. Fazer estimativas de volumes e capacidades. 21.5. Resolver problemas que envolvam clculo de volume ou capacidade de blocos retangulares, expressos em unidade de medida de volume ou em unidades de medida de capacidade: litros ou mililitros.

19. Medidas de comprimento e permetros

20. reas e suas medidas

21. Volume, capacidade e suas medidas

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TPICOS

HABILIDADES

22. Medidas de ngulo

22.1. Utilizar o grau como unidade de medida de ngulo. 22.2. Utilizar instrumentos para medir ngulos. 22.3. Resolver problemas que envolvam o clculo de medida de ngulos internos ou externos de um polgono.

X. reas laterais e totais de guras tridimensionais

Calcular a rea lateral ou total de guras tridimensionais, bloco retangular, cilindro, pirmide.

XI. Planicaes de guras tridimensionais

Reconhecer a planicao de guras tridimensionais - cubo, bloco retangular, cilindro, cone e pirmide. Construir guras tridimensionais a partir de planicaes Calcular a rea lateral ou total de uma gura tridimensional a partir de sua planicao.

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Eixo Temtico IVTratamento de DadosTema 1: Representao Grca e Mdia AritmticaTPICOS HABILIDADES 23.1. Organizar e tabular um conjunto de dados. 23.2. Interpretar e utilizar dados apresentados em tabelas. 23.3. Utilizar um grco de setores para representar um conjunto de dados. 23.4. Interpretar e utilizar dados apresentados num grco de segmentos. 23.5. Utilizar um grco de colunas para representar um conjunto de dados. 23.6. Interpretar e utilizar dados apresentados num grco de colunas. 23.7. Utilizar um grco de setores para representar um conjunto de dados. 23.8. Interpretar e utilizar dados apresentados num grco de setores. 24.1. Resolver problemas que envolvam a mdia aritmtica.

23. Organizao e apresentao de um conjunto de dados em tabelas ou grcos

24. Mdia aritmtica

Tema 2: ProbabilidadeTPICOS 25. Contagem HABILIDADES 25.1. Resolver problemas simples de contagem utilizando listagens ou o diagrama da rvore.

26. Conceitos bsicos de probabilidade

26.1. Relacionar o conceito de probabilidade com o de razo. 26.2. Resolver problemas que envolvam o clculo de probabilidade de eventos simples.

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Ensino Mdio1. IntroduoEste documento est fundamentado nas Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio (DCNEM) e nas orientaes complementares aos Parmetros Curriculares Nacionais (PCN+ : Cincias da Natureza, Matemtica e suas Tecnologias) e tem como objetivo tornar operacionais alguns princpios esboados naquele documento, especicando e detalhando mais as unidades temticas e sugerindo estratgias de ensino. Trata-se de um documento aberto a aperfeioamentos e reformulaes, seja com a introduo de novas competncias e conceitos, seja pela discusso contnua sobre a melhor estratgia a ser adotada em cada situao concreta em sala de aula. No se pretende fazer aqui uma discusso terica sobre as orientaes sugeridas nos PCN+, mas sim especicar as competncias e temas dentro da cada Unidade Temtica, sugerindo atividades e alternativas de abordagens, com o objetivo de contribuir para a formulao de um projeto pedaggico nas escolas. A idia seguir o modelo dos PCN+, que estabelece parmetros gerais, sem entrar em maiores detalhes sobre contedo ou estratgias de ensino, deixando para que os Estados e, nalmente, cada a escola desenvolva a sua proposta pedaggica para a disciplina. Os PCN+ estabelecem que: No ensino mdio, etapa nal da escolaridade bsica, a Matemtica deve ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para a formao de todos os jovens, que contribui para a construo de uma viso de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles sero exigidas ao longo da vida social e prossional. Nessa etapa da escolaridade, portanto, a Matemtica vai alm de seu carter instrumental, colocando-se como cincia com caractersticas prprias de investigao e de linguagem e com papel integrador importante junto s demais Cincias da Natureza. Algumas caractersticas da Matemtica que servem de referncia para uma proposta curricular: A Matemtica fornece instrumentos ecazes para compreender e atuar no mundo que nos cerca. A Matemtica uma ferramenta essencial na soluo de problemas do mundo em que vivemos. Nela so desenvolvidas estruturas abstratas baseadas em modelos concretos; raciocnios puramente formais, permitem concluir sobre a possibilidade ou no da existncia de certos padres e suas propriedades no modelo original.

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Alm de mtodo, a Matemtica um meio de comunicao - uma linguagem formal - e como tal requer uma prtica constante, um exerccio de sua gramtica. Por ser uma linguagem precisa, a Matemtica permite a argumentao de forma clara, concisa, rigorosa e universal. O aspecto cultural da Matemtica: o conhecimento matemtico faz parte do patrimnio cultural que a humanidade vem acumulando, que possui caractersticas e procedimentos prprios, e que tem um papel fundamental na construo de uma viso de mundo consciente e crtica. A Matemtica possui um forte carter integrador e interdisciplinar: o conhecimento matemtico no propriedade privada dos matemticos, ele tem evoludo tambm no contexto de outras cincias. Exemplos importantes desta interdisciplinaridade contribuies encontradas na Fsica, na Economia, na Biologia, Lingstica e Engenharia. Isso signica que a maneira de pensar matematicamente deve ser aprendida no apenas por aqueles que iro dedicar-se Matemtica.

De acordo com os PCN+, a rea de Cincias da Natureza, Matemtica e suas Tecnologias elegeu trs grandes competncias como metas a serem perseguidas: Representao e comunicao: leitura, transmisso de idias, interpretao e produo de textos nas diversas formas caractersticas da rea.

Algumas habilidades referentes a esta competncia so: Ler e interpretar dados apresentados em tabelas, grcos, diagramas, frmulas, equaes, ou representaes geomtricas; Traduzir informaes de uma dessas formas de apresentao para outra; utilizar essas formas de apresentao de informaes selecionando, em cada caso, as mais adequadas; Ler e interpretar diferentes tipos de textos com informaes apresentadas na forma de linguagem matemtica como, por exemplo, artigos de contedo econmico, que aparecem em jornais e revistas, social ou cultural, em propagandas de promoes e vendas, apresentados em folhetos ou na mdia; Expressar-se com clareza sobre temas matemticos oralmente ou por escrito.

Investigao e compreenso: capacidade de enfrentar desaos e resoluo de situaes problema, utilizando-se de conceitos e procedimentos peculiares (experimentao, abstrao, modelagem).

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Algumas habilidades referentes a esta competncia so: Identicar os dados relevantes numa situao-problema para buscar possveis resolues; Elaborar estratgias para enfrentar resolver uma dada situao-problema; Identicar regularidade em dadas situaes; Fazer estimativas; Interpretar, fazer uso e elaborar modelos e representaes matemticas para analisar situaes; Reconhecer relaes entre a matemtica e outras reas do conhecimento. Contextualizao no mbito histrico ou scio-cultural, na forma de anlise crtica das idias e dos recursos da rea, para questionar, modicar ou resolver problemas propostos.

Algumas habilidades referentes a esta competncia so: Compreender a construo do conhecimento matemtico como um processo histrico, em estreita relao com as condies sociais, polticas e econmicas de uma determinada poca; Compreender a responsabilidade social associada aquisio e ao uso do conhecimento matemtico, sentindo-se mobilizado para diferentes aes que envolvam seu interesse como cidado ou de sua comunidade; Utilizar as ferramentas matemticas para analisar situaes de seu entorno real e propor solues; etc.

A seleo de tpicos e temas apresentados a seguir foi feita a partir de uma reviso do primeiro documento sobre a Proposta Curricular para a Matemtica no Ensino Mdio do Estado de Minas Gerais, publicado em 2005 pela SEE. Esta reviso est baseada nas sugestes obtidas, durante os anos de 2005 e 2006, por meio de contatos diretos com professores da rede estadual (nos cursos de capacitao, palestras e debates, no Frum Virtual), e com estudantes de licenciatura em Matemtica e docentes de vrias instituies de ensino superior. Nesta reviso buscou-se: Melhorar a coerncia da proposta e formular com maior preciso as habilidades, tentando esclarecer melhor o que essencial para um aluno do ensino mdio. Aprimorar o entendimento da relao entre os diversos tpicos. Permitir uma maior exibilizao na parte complementar, atravs da fuso ou supresso de alguns tpicos.

Como foi dito, a listagem dos tpicos apenas um guia, um roteiro, baseado no qual cada escola poder traar o caminho que seja mais adequado aos seus objetivos, buscando fazer uma distribuio ao longo do tempo de modo coerente e consistente com o seu projeto pedaggico. 33

Uma caracterstica da presente proposta a dependncia do CBC para o Ensino Mdio do CBC do Ensino Fundamental. Nesta listagem, no esto includos os tpicos geralmente vistos no Ensino Fundamental, mas que tratam de assuntos cujo conhecimento prvio til ou necessrio para uma boa compreenso dos temas tratados no ensino mdio. Portanto, para a efetiva implantao do CBC, importante que os professores de matemtica conheam a proposta para os dois nveis como um todo, e que a escola cuide para que o conhecimento adquirido nos anos anteriores seja reforado e que possveis decincias de formao sejam sanadas. Vale ressaltar que as propostas curriculares de Matemtica para os ensinos fundamental e mdio sugerem que se trabalhe com atividades que proporcionem o desenvolvimento da criatividade do aluno, bem como se abra um espao na sala de aula para o aluno expor suas dvidas, observaes e relatos sobre as atividades, de forma oral ou escrita. Em ambos os nveis, deve-se incentivar o aluno a justicar os procedimentos adotados diante de problemas e suas concluses, mesmo que ele ainda no possua os instrumentos formais para faz-lo. Se no ensino fundamental as justicativas se do quase sempre num nvel intuitivo, no ensino mdio, alm da metodologia aplicada ao ensino fundamental, deve-se dar nfase a justicativas mais formais, introduzindo dessa forma a linguagem um pouco mais rigorosa. importante frisar tambm que parte integrante e fundamental da Proposta Curricular so as Orientaes Pedaggicas e as Sugestes de Atividades, que esto sendo gradativamente revisadas e melhoradas, incorporando sugestes dos professores. Alm da parte comum (CBC), est prevista uma parte complementar, que no caso especco da matemtica deve prever atividades curriculares que tenham como objetivos: a supresso de decincias de contedos especcos (aulas de reviso, por exemplo); a introduo de novos tpicos de interesse de grupos de alunos (preparao para o ingresso no ensino superior, por exemplo); o aprofundamento de temas ou tpicos tratados no CBC e atividades interdisciplinares. Finalmente, ressalta-se o carter dinmico desta proposta, que pretende agregar cada vez mais as contribuies de docentes e especialistas, buscando o seu aperfeioamento e melhorando a sua adequao s caractersticas e necessidades do nosso Estado.

Eixos TemticosDe acordo com os PCN+, um tema estruturador Um conjunto de temas que possibilitam o desenvolvimento das competncias almejadas com relevncia cientca e cultural e com uma articulao lgica das idias e contedos matemticos. Com o objetivo de uniformizar a nomenclatura com as demais disciplinas, nesse trabalho, a terminologia eixo temtico usada com o mesmo sentido de tema estruturador, preservando o signicado original desta ltima. 34

Os eixos temticos aqui propostos so os seguintes:

Eixo Temtico INmeros, Contagem e Anlise de DadosContar um dos atos primitivos da Matemtica e se materializa no cotidiano e nas cincias atravs das perguntas Quantos so? e De quantas maneiras?. Os mtodos e conceitos relativos ao ato de contar so essenciais em problemas to diversos quanto enumerao de possveis resultados de uma experincia gentica, armazenamento de dados em formato eletrnico, estimativas do tempo de execuo de programas em computadores e distribuio de senhas para usurios de sistemas seguros de comunicao.Todos estes problemas e inmeros outros dependem da formalizao matemtica das tcnicas de contagem, conhecida como Anlise Combinatria, e de suas fundamentais aplicaes em Probabilidade e Teoria de Grafos. A contagem cotidiana se restringe, normalmente, contagem direta, ou seja, exibio explcita dos objetos envolvidos e seu conseqente registro um a um. Isto obviamente insuciente em situaes em que o nmero de objetos muito grande ou no se dispe de uma maneira conveniente de list-los. Para lidar com estas situaes, temos os mtodos e conceitos de Anlise Combinatria, que consistem essencialmente, neste nvel, no estudo de subconjuntos e seqncias em outras palavras, no estudo de situaes em que a contagem se reduz a saber de quantas maneiras um determinado grupo de objetos pode ser escolhido, sem e com restries em relao ordem em que so selecionados. Estes conceitos, propriamente formulados e verbalizados, permitem a transio imediata do pensamento cotidiano para o pensamento cientco. Os resultados do estudo de Anlise Combinatria transcendem em muito o mbito exclusivo da disciplina. Como os entes matemticos utilizados so apenas nmeros naturais e as operaes elementares entre eles, os mtodos de pensamento utilizados, que so de carter geral e formativo, apresentam-se de maneira clara e despojada de complicaes tericas, conceituais ou notacionais. Isto propicia ao aluno o exerccio de competncias fundamentais como planejamento de estratgias de resoluo de problemas, diviso de problemas em casos, anlise envolvendo nmeros pequenos levando generalizao e crtica dos resultados obtidos. Os reexos positivos deste exerccio so imediatos no desempenho escolar global e na prtica cotidiana. Provavelmente no tratamento de dados que a matemtica manifesta mais claramente a sua utilidade no cotidiano. Hoje em dia a Estatstica Descritiva e a Probabilidade fazem parte do discurso jornalstico e cientco cotidiano quando se trata, por exemplo, de pesquisas de inteno de voto, perl scio-econmico da populao brasileira, as chances da cura de determinada doena ou riscos de contra-la. Espera-se, portanto, que numa formao bsica do cidado, no apenas se adquira a capacidade de ler e analisar dados expostos em diversas formas, mas que 35

se possa reetir criticamente sobre os seus signicados e emitir juzos prprios. Por essa razo, a anlise de dados escolhida como um dos temas estruturadores da Matemtica, pois proporciona uma adequada contextualizao scio-cultural, aproximando o conhecimento adquirido na Escola da realidade do aluno. Este tema importante tambm por ser utilizado em quase todas as demais reas do conhecimento, como, por exemplo, demograa, sade, lingstica, possibilitando o desenvolvimento de vrias atividades integradas dentro da escola.

Eixo Temtico II

Funes Elementares e ModelagemA atitude de tentar solucionar problemas propostos no mundo real est na prpria base da criao matemtica e tem sido uma fonte inesgotvel de inspirao e de renovao dos seus mtodos. A utilizao de modelos matemticos, por meio da formulao em linguagem simblica e relaes lgicas para analisar certas situaes, tem sido um mtodo bastante ecaz adotado com sucesso, h vrios sculos. Uma das maneiras de traduzir matematicamente alguns fenmenos atravs do estabelecimento de relaes de dependncia entre as quantidades ou grandezas observadas. Por exemplo, a distncia percorrida por um automvel depende da velocidade e do tempo de percurso; o montante devido num emprstimo depende da taxa de juros, do nmero de prestaes e do valor inicial tomado; a velocidade de espalhamento de uma epidemia depende, entre outras coisas, do nmero de pessoas infectadas; a absoro de um remdio depende da sua concentrao, do peso do indivduo e do tempo. O conceito de funo um dos temas centrais e unicadores da matemtica, podendo ser usado em diversas situaes, mesmo no numricas, por exemplo, na geometria, quando falamos em transformaes geomtricas. As funes elementares estudadas no Ensino Mdio - am, polinomial, exponencial e trigonomtricas- permitem a anlise de fenmenos que envolvam proporcionalidade, crescimento, decaimento e periodicidade, que so bastante comuns no cotidiano.

Eixo Temtico III

Geometria e MedidasQualquer pessoa se depara muito cedo, em sua vida, com vrias formas geomtricas como, por exemplo, uma bola, uma caixa, um bloco, um cone, tringulos, quadrilteros, crculos, etc. E, muito cedo, j consegue distingui-las.Vrias etapas devem ser cumpridas, desde o simples

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reconhecimento dessas guras espaciais e/ou planas at a construo de slidos ou superfcies que servem de modelos de estruturas arquitetnicas, construo de reservatrios para ns variados, modelagem geomtrica de utenslios, aparelhos, rgos para transplante, cpsulas espaciais, etc. Esse processo envolve a aquisio de diversos nveis de compreenso que vo desde o senso comum at a realizao de anlises mais detalhadas, como estimativas de medidas e a construo e ajuste de modelos. A geometria estimula a capacidade de observao do aluno, sua criatividade, por meio do uso de formas geomtricas para visualizar, representar ou descrever objetos. Ela, ainda, propicia a oportunidade de utilizar o raciocnio lgico-dedutivo para a validao de seus resultados, permite calcular e/ou fazer estimativas No ensino mdio, a geometria estudada levando-se em conta trs aspectos: o tratamento formal, lgico-dedutivo dos fatos referentes a guras planas e espaciais; o desenvolvimento de tcnicas de medio indireta (usando semelhana de tringulos ou trigonometria) e a algebrizao da geometria atravs da introduo de um modelo para a geometria euclidiana plana (geometria analtica). Esses trs aspectos so fundamentais na formao do aluno: O raciocnio lgico-dedutivo, no qual provam-se fatos novos a partir de fatos conhecidos, a base do conhecimento cientco, sendo aplicado com freqncia em discusses e debates. Com o uso das tcnicas de medio indireta possvel calcular, por exemplo, a altura de montanhas, distncias intergalcticas e desenvolver instrumentos de medio, de desenho e de modelagem. Por sua vez, a geometria analtica permite tratar lugares geomtricos planos por meio de equaes, transformando problemas geomtricos em problemas algbricos. Alm disso, possibilita a representao grca de funes ou de dados. Esta proposta difere um pouco da proposta do PCN+, em que so propostos trs temas estruturadores: 1. lgebra: nmeros e funes 2. Geometria e medidas 3. Anlise de dados O desdobramento aqui proposto justica-se pelo fato de que as funes elementares associadas modelagem possuem um papel importante na conexo com as outras disciplinas da rea de Cincias da Natureza e mesmo com outras reas, adquirindo um carter estruturador e integrador. 37

A seleo dos contedos visa contribuir para a formao integral do aluno, procurando desenvolver a sua capacidade de raciocnio lgico, a sua criatividade e imaginao, a sua intuio, a sua capacidade de anlise e de crtica fundamentada.Tambm deve se ter em mente outros componentes importantes dessa formao, como aquisio de valores, hbitos e procedimentos que propiciem uma atuao construtiva e cooperativa no meio em que se vive. Alm disso, na escolha de tpicos, tem-se em vista a busca de explicaes para fenmenos, evidenciando assim a sua relevncia. importante frisar que os contedos conceituais ou idias bsicas apresentados formam o esqueleto, a estrutura da proposta, enquanto os contedos relacionados atitudes e procedimentos formam a carne que lhe d sustentao. Essas peas complementares devem ser encaradas como integradas, uma no existindo sem a outra. Dessa maneira, optou-se por estabelecer a proposta usando-se as competncias e habilidades associadas a conceitos e idias, e a esses correspondem algumas sugestes de atividades e estratgias de ensino. Obviamente a lista de propostas pedaggicas para abordar os temas quase inesgotvel e existem vrias fontes importantes de consulta que podem ser encontradas, por exemplo, na internet. O objetivo aqui apresentar algumas sugestes que ilustrem o esprito da proposta. Anexo proposta so apresentadas algumas situaes de sala de aula (vinhetas) que podem servir de motivao para novas estratgias de ensino a serem adotadas.

3. Resoluo de ProblemasUm dos principais objetivos do ensino de Matemtica, em qualquer nvel, o de desenvolver habilidades para a soluo de problemas. Esses problemas podem advir de situaes concretas observveis (contextualizadas) ou no. No primeiro caso, necessria uma boa capacidade de usar a linguagem matemtica para interpretar questes formuladas verbalmente. Por outro lado, problemas interessantes, que despertam a curiosidade dos estudantes, podem surgir dentro do prprio contexto matemtico, em que novas situaes podem ser exploradas e o conhecimento aprofundado, num exerccio contnuo da imaginao. Em cada unidade temtica vrias situaes prticas ou problemas podem ser exploradas tanto para a motivao, na introduo de novos conceitos e idias, quanto nas aplicaes. O constante desenvolvimento das habilidades para a soluo de problemas envolve as seguintes estratgias, que devem tornar-se hbito para o aluno: Usar guras, diagramas e grcos, tanto de forma analtica quanto intuitiva. Expressar oralmente ou por escrito, com suas prprias palavras, propriedades matemticas, atribuindo signicado aos conceitos abstratos e formulando por meio do uso da linguagem simblica, questes expressas verbalmente.

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Perceber padres em situaes aparentemente diversas. Estudar casos especiais mais simples usando-os para elaborar estratgias de resoluo de casos mais complexos ou gerais. Fazer uso do mtodo de tentativa e erro, elaborando novas estratgias de soluo a partir da anlise crtica dos erros. Usar a simbologia matemtica (sentenas) com variveis e equaes. Usar a analogia como ferramenta de trabalho, recorrendo a mtodos j utilizados e adaptando-os para a resoluo de novos problemas. Trabalhar de trs para diante, supondo conhecida a soluo de um problema e deduzir suas propriedades para obter um caminho para encontr-la. Compartilhar e discutir observaes e estratgias de outros estudantes, adquirindo assim experincia e novos insights para abordar um problema.

A soluo de uma ampla variedade de problemas desenvolve a capacidade de abstrao do aluno, bem como a habilidade de atribuir signicado aos conceitos abstratos estudados. Ao contrrio do que ocorre em vrios livros-textos atuais, deve-se privilegiar a diversidade em oposio repetio e quantidade.

4. AvaliaoO professor, ao planejar, orientar, observar, instigar, organizar e registrar as atividades em sala de aula, possui um conjunto de parmetros que o habilita a fazer uma avaliao contnua de todo o processo de aprendizagem. Nesse processo, esto envolvidos ele prprio, os alunos, o material e a metodologia utilizados. Isso permite ao professor reformular a cada momento suas prticas pedaggicas e melhor adapt-las s condies de sala de aula. A avaliao deve ser parte integrante desse processo. Alm do que foi mencionado acima, o professor deve buscar selecionar e registrar situaes e procedimentos que possam ser avaliados de modo a contribuir efetivamente para o crescimento do aluno. Essa observao e registro, juntamente com os mtodos tradicionais de vericao de aprendizagem(provas e listas de exerccios), nos quais so ressaltados os aspectos mais relevantes e importantes das unidades, devem fazer parte das estratgias de ensino. Sabe-se que a questo da avaliao muito delicada e que pode afetar a auto-estima do aluno, especialmente no caso de adolescentes. Dessa forma, deve-se ter uma atitude positiva e construtiva em relao avaliao. O professor deve incentivar e abrir espao para que os alunos exponham, oral ou de forma escrita, suas observaes, suas diculdades e seus relatos sobre as atividades e contedos trabalhados. O erro na resoluo de um problema ou em uma avaliao deve ser encarado como uma oportunidade ideal de reviso de conceitos e estratgias de soluo. extremamente importante que uma tentativa consciente de resolver um problema seja to respeitada quanto uma soluo 39

correta. Quando o aluno percebe que, mesmo errando, seu esforo e trabalho so bem recebidos e que ele contribuiu positivamente para o trabalho do professor e da turma, sua autoconana aumenta e ele percebe que o erro uma oportunidade de crescimento. A postura adequada do professor, frente a um erro do aluno, primeiro fazer o aluno expor claramente seu raciocnio. Isto feito, o professor deve mostrar que algo est errado, no criticando o raciocnio, mas mostrando que a soluo no atende ao enunciado do problema. Aps isto, o raciocnio deve ser colocado em discusso aberta com a turma, e as sugestes de correo devem ser registradas e discutidas, dando a elas o mesmo valor do raciocnio inicial. Idealmente, uma soluo correta deve vir da turma; o professor pode ento intervir, analisando as etapas da discusso e apresentando solues alternativas, caso seja adequado.

5. ContextualizaoDe acordo com a DCNEM, a contextualizao um dos princpios estruturadores do Ensino Mdio. Conforme o parecer que acompanha a Resoluo que estabelece as Diretrizes, a contextualizao evoca reas, mbitos e dimenses presentes na vida pessoal, social e cultural (do aluno) e mobiliza competncias cognitivas j adquiridas para tratar de novas questes. Nesse sentido, pode ser um recurso para ampliar as possibilidades de interao em diversos nveis: entre temas de uma mesma disciplina, entre as disciplinas de uma determinada rea ou entre disciplinas de reas diversas. O objetivo criar condies para uma aprendizagem motivadora que leve a superar o distanciamento entre os contedos estudados e a experincia do aluno, estabelecendo relaes entre os tpicos estudados e trazendo referncias que podem ser de natureza histrica, cultural ou social, ou mesmo de dentro da prpria Matemtica. O tratamento contextualizado do conhecimento um dos recursos que a escola tem para retirar o aluno da condio de espectador passivo. Em Matemtica, a contextualizao um instrumento bastante til, desde que interpretada num sentido mais amplo e no empregada de modo articial e forado, ou que no se restrinja apenas a um universo mais imediato (cotidiano). Alguns temas, como, por exemplo, o tratamento de dados ou contagem, podem ser mais facilmente referidos a situaes que fazem parte do cotidiano da mdia e da linguagem coloquial. Outros podem ser estudados a partir de modicaes de situaes mais simples para mais complexas e que possuem motivao matemtica. Isso ocorre, por exemplo, com alguns temas de geometria. Esse tipo de contextualizao estimula a criatividade, o esprito inventivo e a curiosidade do aluno.

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Finalmente, h temas que podem ser referidos a modelos matemticos que esto relacionados a questes estudadas em outras disciplinas (por exemplo, Fsica ou Qumica) e, portanto, remetem a um outro princpio estruturador proposto nas DCNEM: a interdisciplinaridade. A interdisciplinaridade consiste em utilizar os conhecimentos de vrias disciplinas para resolver um problema ou compreender um determinado fenmeno sob diferentes pontos de vista. O objetivo contribuir para a superao do tratamento estanque e compartimentado que caracteriza, hoje, o conhecimento escolar. Como foi dito na Introduo, a Matemtica bastante apropriada para realizar com sucesso tal empreendimento, uma vez que permite a aplicao de um mesmo modelo para tratar de fenmenos que ocorrem em cenrios totalmente distintos. O estabelecimento dessas conexes requer o desenvolvimento de habilidades que envolvem tanto representao (usando, por exemplo, a linguagem simblica, equaes, diagramas ou grcos) quanto a compreenso e investigao (ao formular questes, selecionar e interpretar informaes e resultados). Para que se consiga tal integrao necessrio que a. o professor de Matemtica esteja preparado para reconhecer as oportunidades de trabalho em conjunto com outras disciplinas; b. que haja uma sintonia entre as propostas curriculares das disciplinas e que sejam possveis momentos de reexo e planejamento comum das atividades por parte das equipes de professores; c. o professor disponha de uma srie de exemplos de aplicaes de Matemtica em outras reas para o enriquecimento de suas aulas.

6. A Questo dos Pr-RequisitosEm cada uma das Orientaes Pedaggicas relativas aos tpicos do CBC, encontra-se uma lista de conhecimentos prvios teis ou necessrios para uma boa compreenso dos tpicos tratados no Eixo Temtico. O conhecimento matemtico construdo na escola bsica passo a passo, desde as sries iniciais, num crescendo de complexidade. Com freqncia impossvel aprender alguns tpicos sem uma boa base em outros, por exemplo, o tpico Geometria Espacial depende muito do estudo de tringulos. De fato, um dos grandes desaos da Matemtica no ensino bsico cuidar para que o conhecimento adquirido em anos anteriores seja reforado e que possveis decincias de formao sejam sanadas. Com isso, queremos dizer que necessrio que o professor tenha uma boa idia do nvel de preparao dos seus alunos antes de introduzir um novo tpico.

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comum constatar-se em diversos exames e avaliaes, at mesmo em vestibulares, que algumas falhas elementares de formao permanecem at o nal da terceira srie do Ensino Mdio. Por exemplo, as questes do ENEM que envolvem operaes com fraes ou nmeros decimais apresentam alto ndice de erro. necessrio, portanto, que sejam observadas as condies de preparo dos alunos para a introduo de novos temas tendo como base assuntos supostamente conhecidos. Essa observao pode ser realizada, por exemplo, atravs de testes prvios de vericao de domnio de contedo. s vezes, uma simples reviso possibilita a superao dos problemas de pr-requisitos. Em outras ocasies, os alunos devem ser encorajados a tomar a iniciativa por meio de utilizao de listas de exerccios suplementares, seguidas de sesses de discusso de problemas. Uma vez constatadas decincias mais generalizadas, a escola deve buscar meios de san-las, por exemplo, reservando horrios para aulas de reviso e reforo.

7. Apresentao do CBC de Matemtica 2007Esta a distribuio dos tpicos dos Contedos Bsicos Comuns (CBC) de Matemtica para o primeiro e segundo anos do Ensino Mdio Regular Diurno adaptada s normas dispostas pela Resoluo SEE-MG, N 833, de 24 de novembro de 2006. Essa distribuio foi feita de acordo com a seguinte trajetria: iniciando pela formao bsica, passando pela etapa de aprofundamento e nalizando com contedos complementares. O primeiro ano o ano da formao bsica, quando so apresentados conceitos e mtodos que constam de todos os temas estruturadores do CBC de Matemtica. A distribuio feita permite um retorno s habilidades referentes a tpicos do CBC do ensino fundamental, que so essenciais para o desenvolvimento de novas habilidades. Entretanto, esse procedimento no deve ser visto como uma simples reviso, mas como uma forma de abordagem dos tpicos de maneira mais geral. O segundo ano o ano de aprofundamento, quando so apresentadas situaes com maior grau de complexidade, introduzidos novos tpicos e novos conceitos. Alguns tpicos so comuns aos dois anos, a diferena fundamental ocorrendo nas habilidades trabalhadas em cada um. O terceiro ano o ano da complementao de formao, quando a escola poder eleger tpicos complementares, dentre os quais, os sugeridos no CBC.

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Tpicos do CBC para o 1 Ano

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Eixo Temtico ITema 1: Nmeros

Nmeros, Contagem e Anlise de DadosTPICOS HABILIDADES 1.1. Associar a uma frao sua representao decimal e vice-versa. 1.2. Reconhecer uma dzima peridica como uma representao de um nmero racional.

1. Nmeros racionais e dzimas peridicas

2. Conjunto dos nmeros reais

2.1.Reconhecer uma dzima no peridica como uma representao de um nmero irracional. 2.2. Utilizar nmeros racionais para obter aproximaes de nmeros irracionais.

3. Potncias de dez e ordem de grandeza

3.1. Resolver problemas que envolvam operaes elementares com potncias de dez.

Tema 2: ContagemTPICOS HABILIDADES

4. Princpio multiplicativo

4.1. Resolver problemas elementares de contagem utilizando o princpio multiplicativo.

44

Tema 3: ProbabilidadeTPICOS HABILIDADES

5. Probabilidade

5.1. Reconhecer o carter aleatrio de variveis em situaes-problema. 5.2. Identicar o espao amostral em situaes-problema. 5.3. Resolver problemas simples que envolvam o clculo de probabilidade de eventos equiprovveis. 5.4. Utilizar o princpio multiplicativo no clculo de probabilidades.

Tema 4: EstatsticaTPICOS HABILIDADES 6.1. Organizar e tabular um conjunto de dados. 6.2. Interpretar e utilizar dados apresentados em tabelas. 6.3. Representar um conjunto de dados gracamente. 6.4 . Interpretar e utilizar dados apresentados gracamente. 6.5. Selecionar a maneira mais adequada para representar um conjunto de dados.

6. Organizao de um conjunto de dados em tabelas

7. Mdias aritmtica e geomtrica

7.1. Resolver problemas que envolvam a mdia aritmtica ou ponderada. 7.2. Resolver problemas que envolvam a mdia geomtrica.

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Eixo Temtico IIFunes Elementares e ModelagemTema 5: FunesTPICOS HABILIDADES 8.1. Identicar uma funo linear a partir de sua representao algbrica ou grca. 8.2. Utilizar a funo linear para representar relaes entre grandezas diretamente proporcionais. 8.3. Reconhecer funes do primeiro grau como as que tm variao constante. 8.4. Identicar uma funo do primeiro grau a partir de sua representao algbrica ou grca. 8.5. Representar gracamente funes do primeiro grau. 8.6. Reconhecer funes do primeiro grau crescentes ou decrescentes. 8.7. Identicar os intervalos em que uma funo do primeiro grau positiva ou negativa relacionando com a soluo algbrica de uma inequao. 8.8. Identicar geometricamente uma semi-reta como uma representao grca de uma inequao do primeiro grau. 8.9. Reconhecer uma progresso aritmtica como uma funo do primeiro grau denida no conjunto dos nmeros inteiros positivos. 8.10. Resolver problemas que envolvam inequaes do primeiro grau.

8. Funo do primeiro grau

9. Progresso aritmtica

9.1. Reconhecer uma progresso aritmtica em um conjunto de dados apresentados em uma tabela, seqncia numrica ou em situaes-problema. 9.2. Identicar o termo geral de uma progresso aritmtica.

46

TPICOS

HABILIDADES 10.1. Identicar uma funo do segundo grau a partir de sua representao algbrica ou grca. 10.2. Representar gracamente funes do segundo grau. 10.3. Identicar os intervalos em que uma funo do segundo grau positiva ou negativa. 10.4. Resolver situaes-problema que envolvam as razes de uma funo do segundo grau. 10.5 Resolver problemas de mximos e mnimos que envolvam uma funo do segundo grau. 11.1. Identicar o termo geral de uma progresso geomtrica.

10. Funo do segundo grau

11. Progresso Geomtrica

12. Funo exponencial

12.1. Identicar exponencial crescente e exponencial decrescente. 12.2. Resolver problemas que envolvam uma funo do tipo y(x) =kax. 12.3. Reconhecer uma progresso geomtrica como uma funo da forma y(x) = kax denida no conjunto dos nmeros inteiros positivos.

Tema 6: Matemtica FinanceiraTPICOS HABILIDADES

13. Matemtica nanceira

13.1. Resolver problemas que envolvam o conceito de porcentagem. 13.2. Resolver problemas que envolvam o conceito de juros simples ou compostos. 13.3. Resolver situaes-problema que envolvam o clculo de prestaes em nanciamentos com um nmero pequeno de parcelas.

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Eixo Temtico III

Geometria e MedidasTema 7: Semelhana e TrigonometriaTPICOS HABILIDADES

14. Semelhana de tringulos

14.1. Resolver problemas que envolvam semelhana de tringulos. 14.2. Relacionar permetros ou reas de tringulos semelhantes.

15. Trigonometria no tringulo retngulo

15.1. Reconhecer o seno, o cosseno e a tangente como razes de semelhana e as relaes entre elas. 15.2. Resolver problemas que envolvam as razes trigonomtricas: seno, cosseno e tangente. 15.3. Calcular o seno, cosseno e tangente de 30, 45 e 60.

Tema 8: Geometria AnalticaTPICOS HABILIDADES 16.1. Localizar pontos no plano cartesiano. 16.2. Representar um conjunto de dados gracamente. 16.3. Resolver problemas que envolvam simetrias no plano cartesiano. 16.4. Reconhecer a equao de uma reta no plano cartesiano. 16.5. Interpretar geometricamente a inclinao de uma reta.

16. Plano cartesiano

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Tpicos do CBC para o 2 Ano Contedos de Aprofundamento

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Eixo Temtico IVTema 9: Contagem

Nmeros, Contagem e Anlise de DadosTPICOS 17. Contagem do nmero de elementos de uma unio de conjuntos HABILIDADES 17.1. Resolver problemas que envolvam o clculo do nmero de elementos da unio de conjuntos.

18. Conjuntos e seqncias

18.1. Reconhecer a diferena entre conjuntos e seqncias. 18.2. Identicar em situaes-problema agrupamentos associados a conjuntos e seqncias.

19. Princpio multiplicativo

19.1. Resolver problemas utilizando o princpio multiplicativo. 20.1. Reconhecer situaes em que os agrupamentos so distinguveis pela ordem de seus elementos ou no. 20.2. Resolver problemas que envolvam arranjos, combinaes e/ou permutaes sem repetio.

20. Arranjos, combinaes e permutaes sem repetio

Tema 10: ProbabilidadeTPICOS HABILIDADES21.1. Identicar o espao amostral em situaes-problema. 21.2. Resolver problemas que envolvam o clculo de probabilidade de eventos.

21. Probabilidade

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Eixo Temtico VTema 11: Funes

Funes Elementares e Modelagem

TPICOS 22. Funo do primeiro grau

HABILIDADES 22.1. Relacionar o grco de uma funo do primeiro grau, no plano cartesiano, com uma reta. 23.1. Resolver problemas que envolvam a soma dos n primeiros termos de uma progresso aritmtica. 24.1. Identicar geometricamente uma inequao com parte de um grco de uma funo do segundo grau. 24.2. Resolver problemas que envolvam inequaes do segundo grau. 25.1. Resolver problemas que envolvam a soma dos n primeiros termos de uma progresso geomtrica. 26.1. Reconhecer a funo logartmica como a inversa da funo exponencial. 26.2. Utilizar em problemas as propriedades operatrias da funo logartmica. 26.3. Resolver problemas que envolvam a funo logartmica. 26.4. Reconhecer o grco de uma funo logartmica. 27.1. Reconhecer se uma tripla ordenada soluo de um sistema de equaes lineares. 27.2. Resolver um sistema de equaes lineares com duas variveis e interpretar o resultado geometricamente. 27.3. Resolver problemas que envolvam um sistema de equaes lineares.

23. Progresso aritmtica

24. Inequaes do segundo grau

25. Progresso geomtrica

26. Funo logartmica

27. Sistema de equaes lineares

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Eixo Temtico VI

Geometria e MedidasTema 12: Semelhana e TrigonometriaTPICOS HABILIDADES 28.1. Calcular o seno, o cosseno e a tangente dos arcos notveis: 0, 90, 180, 270 e 360. 28.2. Resolver problemas utilizando a relao entre radianos e graus. 28.3. Reconhecer no crculo trigonomtrico a variao de sinais, crescimento e decrescimento das funes seno e cosseno. 28.4. Identicar no crculo trigonomtrico o perodo das funes seno e cosseno.

28. Trigonometria no crculo e funes trigonomtricas

Tema 13: Geometria AnalticaTPICOS HABILIDADES 29.1. Resolver problemas que envolvam a distncia entre dois pontos no plano cartesiano. 29.2. Relacionar a tangente trigonomtrica com a inclinao de uma reta. 29.3. Reconhecer e determinar a equao da reta a partir de sua inclinao e das coordenadas de um de seus pontos; ou a partir de dois de seus pontos de coordenadas dadas numericamente ou por suas representaes no plano cartesiano. 29.4. Identicar a posio relativa de duas retas a partir de seus coecientes. 29.5. Reconhecer e determinar a equao de uma circunferncia conhecidos seu centro e seu raio ou seu centro e um de seus pontos.

29. Plano cartesiano

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Tema 14: Geometria Mtrica e de PosioTPICOS HABILIDADES 30.1. Identicar os vrtices, as arestas e as faces de um prisma. 30.2. Resolver problemas que envolvam o clculo da diagonal de um paraleleppedo retngulo. 30.3. Identicar as sees feitas por planos paralelos base de um prisma ou de um cilindro.

30. Prismas e cilindros

31. Pirmides e cones

31.1. Identicar os elementos de uma pirmide e de um cone. 31.2. Identicar as sees feitas por planos paralelos base de uma pirmide ou um cone.

32. Esferas e bolas

32.1. Identicar os elementos de uma esfera e de uma bola. 32.2. Identicar as intersees entre planos e esferas.

33. Planicaes de guras tridimensionais

33.1. Reconhecer a planicao de guras tridimensionais usuais: cubo, paraleleppedo retangular, prismas retos, pirmide, cilindro e cone.

53

TPICOS

HABILIDADES

34. Posio relativa entre retas e planos no espao

34.1. Reconhecer posies relativas entre retas: paralelas, concorrentes, perpendiculares e reversas. 34.2. Reconhecer posies relativas entre retas e planos: concorrentes, perpendiculares e paralelos. 34.3. Reconhecer posies relativas entre planos: paralelos, perpendiculares e concorrentes.

35. reas laterais e totais de guras tridimensionais

35.1. Resolver problemas que envolvam o clculo da rea lateral ou total de guras tridimensionais.

36. Volumes de slidos

36.1. Resolver problemas que envolvam o clculo de volume de slidos.

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Sugestes de Tpicos Complementares para o 3 Ano

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Eixo Temtico VIITema 15: Nmeros

Nmeros, Contagem e Anlise de Dados

TPICOS

HABILIDADES 37.1. Reconhecer a necessidade da ampliao do conjunto dos nmeros reais. 37.2. Representar geometricamente um nmero complexo. 37.3. Operar com nmeros complexos e identicar suas partes real e imaginria: somar, subtrair; multiplicar, dividir, calcular uma potncia, razes, o conjugado e o mdulo de um nmero complexo. 37.4. Resolver equaes do segundo grau. 37.5. Forma polar ou trigonomtrica de nmeros complexos.

37. Nmeros complexos

Tema 16: ContagemTPICOS HABILIDADES 38.1. Resolver problemas que envolvam arranjos, combinaes e permutaes com repeties e permutaes cclicas.

38. Arranjos, combinaes com repeties e permutaes cclicas

39. Coecientes binomiais, binmio de Newton e tringulo de Pascal

39.1. Utilizar propriedades combinatrias dos nmeros binomiais. 39.2. Utilizar o binmio de Newton para calcular potncias de binmios.

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Tema 17: ProbabilidadeTPICOS HABILIDADES40.1. Identicar eventos independentes e no independentes em situaes-problema. 40.2. Resolver problemas que envolvam o conceito de probabilidade condicional. 40.3. Utilizar probabilidades para fazer previses aplicadas, em diferentes reas do conhecimento.

40. Probabilidade condicional

Tema 18: EstatsticaTPICOS HABILIDADES41.1. Interpretar os conceitos de mediana e moda em situaes - problema. 41.2. Resolver problemas que envolvam a mediana e a moda.

41. Mediana e moda

Eixo Temtico VIIITema 19: Funes

Funes Elementares e Modelagem

TPICOS

HABILIDADES42.1. Identicar o grco das funes seno, cosseno e tangente. 42.2. Reconhecer o perodo de funes trigonomtricas. 42.3. Resolver equaes trigonomtricas simples.

42. Funes trigonomtricas

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43. Estudo de funes

43.1. Reconhecer funes denidas por partes em situaes-problema. 43.2. Reconhecer os efeitos de uma transio ou mudana de escala no grco de uma funo. 43.3. Usar a funo logartmica para efetuar mudana de escala.

Tema 20: Matemtica FinanceiraTPICOS HABILIDADES 44.1. Comparar rendimentos em diversos tipos de aplicaes nanceiras. 44.2. Comparar e emitir juzo sobre diversas opes de nanciamento.

44. Matemtica nanceira

Eixo Temtico IX

Geometria e MedidasTema 21: Semelhana e TrigonometriaTPICOS HABILIDADES45.1. Resolver problemas que envolvam funes trigonomtricas da soma e da diferena de arcos. 45.2. Resolver problemas que envolvam a lei dos senos. 45.3. Resolver problemas que envolvam a lei dos cossenos. 45.4. Identicar os grcos das funes seno e cosseno. 45.5. Identicar o perodo, a freqncia e a amplitude de uma onda senoidal.

45. Funes trigonomtricas

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Tema 22: Construes GeomtricasTPICOS HABILIDADES46.1. Reconhecer a mediatriz, a bissetriz e a circunferncia como lugares geomtricos. 46.2. Reconhecer a parbola como um lugar geomtrico.

46. Lugares geomtricos

Tema 23: Geometria AnalticaTPICOS HABILIDADES47.1. Resolver e interpretar geometricamente um sistema formado por uma equao de reta e outra de circunferncia. 47.2. Reconhecer a equao de uma circunferncia identicando seu centro e seu raio. 47.3. Resolver e interpretar geometricamente um sistema formado por uma equao de reta e outra de parbola.

47. Intersees entre retas e circunferncias

48. Elipse, hiprbole e parbola

48.1. Equao cartesiana da elipse. 48.2. Equao cartesiana da hiprbole. 48.3. Equao cartesiana da parbola. 48.4. Relacionar as propriedades da parbola com instrumentos ticos e antenas. 48.5. Reconhecer a elipse como um lugar geomtrico e relacion-la com as leis de Kepler.

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49. Vetores

49.1. Calcular a soma de dois ou mais vetores. 49.2. Multiplicar um vetor por um nmero real. 49.3. Resolver problemas simples envolvendo a soma de vetores e a multiplicao por um nmero real. 49.4. Resolver problemas simples de geometria utilizando vetores.

Tema 24: Geometria de Posio no EspaoTPICOS HABILIDADES 50.1. Reconhecer sees planas obtidas paralelas ou perpendiculares aos eixos de simetria de um prisma, de um cilindro, de uma pirmide, de um cone e de uma esfera.

50. Sees planas de guras tridimensionais usuais

Tema 25: Geometria MtricaTPICOS HABILIDADES

51. Princpio de Cavalieri

51.1. Utilizar o Princpio de Cavalieri para calcular volumes de slidos.

Vinhetas de Sala de Aula e Sugestes de AtividadesVinhetas de Sala de AulaApresentamos a seguir algumas situaes de sala de aula que podem sugerir estratgias para o ensino de alguns tpicos. O objetivo , com o tempo, agregar sugestes provenientes dos professores e disponibiliz-las no CRV. 60

Anlise CombinatriaUma aula de Anlise Combinatria deve enfatizar a resoluo de problemas; a parte terica praticamente inexistente. Problemas com contextualizao geomtrica podem ser acompanhados da confeco dos objetos que satisfazem as condies pedidas e que envolvam um nmero pequeno de casos. Como exemplos, citamos as maneiras de colorir um mapa simples com cores distintas, o nmero de diagonais de um polgono regular, maneiras de colorir um cubo com cores distintas ou usando apenas duas cores. Pode-se estimular a listagem de situaes pequenas de modo atraente, enfatizando aspectos de simetria e boa diagramao. Como exemplo, citamos nmero de maneiras de colocar bolas em caixas, comisses que se podem fazer com um dado nmero de pessoas.

Quantos so os nmeros pares de 2 dgitos que podemos fazer usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?Primeiro deve-se criticar o enunciado do problema: os dgitos dos nmeros que se quer formar so distintos ou no? Parece que no, pois o enunciado no estabelece condies, mas j temos dois problemas distintos que devem, claro, ser resolvidos. Uma vez decidido qual o enunciado se vai trabalhar, deve-se listar alguns exemplos dos objetos que se quer contar. Aproveitando a crtica feita ao enunciado, vamos, primeiramente, abordar o problema supondo que os algarismos sejam distintos. Assim, exibem-se ento alguns exemplos como 12, 20, 54, etc. Apontando que 24 e 42 so nmeros distintos que satisfazem s condies pedidas, chegase naturalmente idia de que estamos lidando com seqncias. Aqui comete-se propositalmente um erro de raciocnio; o princpio multiplicativo aplicado s pressas como 6 escolhas para a primeira posio seguida de 3 para a segunda nos d o total de 6 x 3 = 18 possibilidades. Como 18 no muito grande, convida-se a turma a fazer a listagem para vericar a resposta. Obtm-se 10, 12, 14, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 42, 50, 52, 54 - ou seja, temos apenas 13 em vez de 18 nmeros que satisfazem o enunciado. Algo est errado; o que ? A partir desta situao, o professor deve conduzir a turma a perceber que: (1) o 0 no pode aparecer na primeira posio; e (2) que se usa um dgito par na primeira posio esquerda, ento ele no pode ser usado outra vez. Deste modo, a soluo errada e sua anlise indicam o procedimento correto para resolver o problema: usa-se o princpio aditivo (divide-se o problema na contagem de nmeros que comeam com dgito par e nmeros que comeam com dgito mpar) e o princpio multiplicativo para a contagem em cada caso. 61

Agora vamos abordar o problema supondo que os algarismos sejam distintos, o que sugerido pelo enunciado. Nesse momento, j tendo o cuidado de no contar os nmeros que tm o 0 na primeira posio, uma soluo seria considerar 5 opes para a primeira posio e 6 para a segunda. Assim, pelo princpio multiplicativo, o nmero de dois dgitos que pode ser formado 56 = 30.

Quantos so os nmeros de 1 a 9999 em que aparece exatamente um 5?Notamos primeiro que podemos uniformizar os objetos de nosso universo, no caso os nmeros de 1 a 9999, pensando em todos eles como tendo 4 dgitos; assim, por exemplo, pensamos em 23 como 0023; este simples passo evita uma tediosa diviso em casos. A partir da, temos duas estratgias. Primeiro, podemos dividir os nmeros que queremos contar em casos: nmeros com 5 na casa das unidades, das dezenas, etc; contando cada caso separadamente com o uso do princpio multiplicativo e fechando com o uso do princpio aditivo. Assim, exibe-se um mtodo de procedimento tpico e a losoa de uso dos princpios: reduz-se o problema a problemas menores ou casos (princpio aditivo) e trata-se cada caso como sendo uma seqncia de eventos (princpio multiplicativo). De qualquer modo, este mtodo de contagem trabalhoso e outro bem mais fcil o de contar o complementar, ou seja, os nmeros nos quais no aparece nenhum 5. Assim, a contagem ca fcil: (todos os nmeros de 4 dgitos) - (os nmeros de 4 dgitos nos quais no aparece o 5) = os nmeros que queremos. A contagem dos dois termos do lado esquerdo desta igualdade feita facilmente com o uso do princpio multiplicativo. Agora, comparam-se os resultados obtidos.Tambm generaliza-se o problema: quantos so os nmeros de 1 a 999...99 (n noves) nos quais no aparece o dgito 5?, ilustrando a generalizao do raciocnio usado em um caso particular e (neste exemplo especco) mostrando como o segundo mtodo utilizado bem mais eciente que o primeiro. Pode-se ainda aproveitar para trabalhar com enunciados alternativos, substituindo exatamente por no mnimo ou no mximo. Este tipo de procedimento serve para ilustrar como pequenas mudanas nas condies pedidas levam a raciocnios completamente distintos. Seria interessante discutir a estratgia anloga para resolver o problema 1.1. Nesse caso, contam-se todas as maneiras possveis de se preencher a primeira e a segunda posies, sem restries, obtendo 66 = 36 e, em seguida, subtrai-se do resultado, 36, todos os nmeros que tm o 0 na primeira posio (16 = 6), da obtm-se 6 x 6 - 1 x 6 = 30. 62

Analise a resoluo apresentada para o seguinte problema: uma criana possui cinco blocos cilndricos, todos de cores diferentes, cujas bases circulares tm o mesmo raio. Desses blocos, quatro tm alturas iguais a 20 cm e o outro tem altura de 10 cm. Ao brincar, a criana costuma empilhar alguns desses blocos, formando um cilindro cuja altura depende dos blocos utilizados. Determine de quantas maneiras distintas a criana pode formar cilindros que tenham exatamente 70 cm. Resoluo a ser analisada: para obter um cilindro de altura 70 cm, a criana deve escolher 3 blocos cilndricos de altura 20cm e usar o de altura 10cm. Como os blocos tm cores diferentes, a ordem em que so colocados gera cilindros diferentes. Portanto, o total de maneiras de se construir esses cilindros (432)1 = 24. Problema: apresente uma estratgia para convencer seu aluno de que a resoluo no est correta, sem resolver o problema.

Funes elementares Construindo funes a partir de outras:O primeiro objetivo entender a mudana que ocorre no grco de uma funo ao fazermos uma mudana de escala ou uma translao. Isso permite trabalhar o conceito de composio de funes nesse caso especco. a. Se f (x) = 10 x e g (a) = 2 x - 7, escreva as expresses de h (x) = g( f (x)) e k (x)=f(g((x)). Compare os grcos de g (x), h ( (x) e k (x); o que voc pode concluir? Observe que f(x) pode ser interpretada como uma mudana de escala, por exemplo, de metros para decmetros. O que ocorreria no caso em que f (x) = -10x ? Construa mais exemplos com outras funes de grau um ou de grau dois e enuncie uma generalizao. b. Proceda da mesma forma, usando agora uma translao, isto , se f (x) = x - 1 e g (x) = 2x-7, escreva a expresso de h (x) = g ( f (x) ) e k (x) = f (g(x)) .Compare os respectivos grcos e descreva com palavras o que ocorreu. Construa mais exemplos com outras funes de grau um e enuncie uma generalizao. Examine o que ocorre quando consideramos a funo g (x) = x2. Quais as diferenas que voc pode apontar? c. Encontre exemplos em outras disciplinas em que so utilizadas as mudanas de escala, por exemplo, quando se utilizam diferentes unidades de medida. Agora trabalham-se funes denidas como reas: 63

a. Sejam f (x) = 3 e a um nmero real positivo. Escreva a expresso para a funo g (a) que expressa a rea da gura plana compreendida entre o grco de f (x), o eixo OX, o eixo OY e a reta vertical x = a. b. Construa mais exemplos e generalize o que pode ser observado. c. Se f (x) = c representa a velocidade de uma partcula que se move com velocidade constante, qual interpretao pode ser dada para a funo g (a) construda acima? d. Considere agora a funo f (x) = 2x e a um nmero real positivo. Usando a frmula para a rea do tringulo, escreva a expresso para a funo g (a) que expressa a rea da gura plana compreendida entre o grco de f (x), o eixo OX, o eixo OY e a reta vertical x = a . Observe que g (a) uma funo quadrtica. e. Construa mais exemplos e generalize o que pode ser observado e, usando a frmula para a rea do trapzio, proceda como acima considerando a funo . f. Compare o que voc fez com o estudo do movimento uniformemente acelerado.

Geometria: Argumentando formalmente em Geometria:A construo de demonstraes de fatos geomtricos um dos instrumentos formativos mais marcantes do Ensino Mdio. Entretanto, a habilidade de argumentar usando a linguagem matemtica para demonstrar fatos s se adquire com muita prtica e pacincia, num processo geralmente lento e longo, mas que, ao contrrio do que muitos imaginam, pode ser conquistado por qualquer aluno. Ressalte-se que h dois momentos bastante distintos na demonstrao de um resultado. O primeiro, da descoberta, envolve experimentao, interpretao, intuio e analogia. O segundo m