ABORDAGENS SOBRE REGRA DA CADEIA:
UMA DISCUSSÃO ACERCA DE SUA DEMONSTRAÇÃO
Sandra Malta Barbosa
UNESP - Rio Claro - SP
1. Introdução
No âmbito da Educação Matemática, diversos são os estudos acerca de conteúdos
nos quais os estudantes apresentam dificuldades na aprendizagem do Cálculo
(VILLARREAL, 1999, CABRAL, 1998, dentre outros). Como professora de Cálculo,
pude observar que a Regra da Cadeia é um dos temas em que isso também acontece.
Cury (2004) argumenta que os erros cometidos, ao se estudar esse conceito, pelos
estudantes, parecem se encontrar no próprio conceito da função composta, que muitas
vezes representa uma fórmula a mais que o estudante apenas memoriza.
Ainda, na busca de trabalhos, em Educação Matemática, com consultas feitas em
sites de busca, bibliotecas, artigos e periódicos, que tratam sobre o ensino de Regra da
Cadeia não encontrei referências. Nas páginas dos sites que se pode encontrar sobre este
assunto, pude observar que abordam o tema Regra da Cadeia de maneira semelhante aos
livros de Cálculo.
Sendo assim, este artigo tem por objetivo apresentar uma discussão sobre algumas
das abordagens que autores de diversos livros de Cálculo, bem como alguns autores de
sites, trazem para demonstração de Regra da Cadeia e como tratam este tema junto aos
estudantes que estão ingressando no ensino superior, sejam eles de Administração,
Matemática, Engenharia, dentre outros.
Desta forma, fez-se necessário uma padronização das letras, que representam as
funções e que são utilizadas nas demonstrações, com o intuito de facilitar a leitura de
modo que o leitor não se perca.
Inicialmente, apresento considerações sobre Derivada e Função Composta, para
posteriormente abordar a derivada de função composta. Ou como alguns autores trazem:
"Regra da Cadeia para Derivação de Função Composta" (GUIDORIZZI, 2001, p. 171)
ou ainda "Derivadas de funções compostas: A Regra da Cadeia" (SANTOS E
BIANCHINI, 2002, p. 177).
2. Derivada
Alguns autores de Cálculo I (FLEMMING, 1992, SWOKOWSKI, 1994, dentre
outros), e sites1, apresentam a seguinte definição para derivada em um ponto: A
derivada de uma função no ponto de seu domínio, denotado por , é o
limite dado pela seguinte fórmula , se este limite existir.
Outros autores (SANTOS E BIANCHINI, 2002, ANTON, 2000a, GUIDORIZZI,
2001, dentre outros) trazem outra fórmula para expressar a definição de derivada,
, que é equivalente a anterior se considerarmos , e
quando temos que .
Apesar de serem equivalentes, essas fórmulas trazem abordagens distintas,
dependendo do curso ao qual é destinado o livro. Isso fica evidente quando o mesmo
autor, Guidorizzi, ao escrever para o curso de Matemática (GUIDORIZZI, 2001) e para
o curso de Administração (GUIDORIZZI, 2002) apresenta diferentes fórmulas para
cursos distintos.
Para o curso de Administração, Guidorizzi (2002) introduz derivada da seguinte
maneira: "A derivada da função é a função dada por
." (GUIDORIZZI, 2002, p. 114). Podemos observar aqui,
que para o curso de Administração ele não traz derivada num ponto, mas função
derivada e ainda explica que esta fórmula também pode ser escrita da seguinte forma:
, onde .
Pode-se observar que o autor se utiliza da notação de Leibnitz, e não é por acaso,
pois ao se referir à taxa de variação ele tem a seguinte explicação:
Para suficientemente pequeno é aproximadamente a
taxa média de variação de y entre x e , ou seja,
1 www.cepa.if.usp.br/e-calculo/index.htm.
2
que é equivalente a . O que significa
que no nível de x, é uma estimativa para a variação
em y, correspondente à variação em x, com
suficientemente pequeno. (GUIDORIZZI, 2002, p. 135)
Para explicar diferencial, para o curso de Administração, o autor se utiliza da
notação de Leibnitz, , mas diz que "há uma tentação muito grande de olhar esta
notação como um quociente" (GUIDORIZZI, 2002, p. 135). Embora essa notação não
seja um quociente, o autor argumenta que os matemáticos gostariam de olhá-la como
um quociente e então criaram uma função usando como variáveis as notações dx e dy, e
chamaram-na de diferencial. Assim, , que é a notação de Leibnitz para
derivada, poderia ser vista como quociente. Isto é,
se queremos que a notação vire um quociente, nada mais
natural do que a seguinte definição: Diferencial de uma
função: Seja uma função derivável. A função dada por
denomina-se diferencial da função .
Nesta função, a variável dy depende das variáveis x e dx.
Leibnitz chamava dy de diferencial de y e dx de diferencial de x.
(...) Com esta definição, a notação de Leibnitz para a derivada
pode ser olhada como um quociente: o quociente da diferencial
de y pela diferencial de x. Dessa forma, os matemáticos
conseguiram fazer a notação virar um quociente!
(GUIDORIZZI, 2002, p. 135).
Para o curso de Matemática, Guidorizzi (2001) apresenta a fórmula
, dizendo que é um limite que ocorre de modo natural tanto
na geometria quanto na física. E a partir de uma interpretação geométrica, acerca da reta
tangente e seu coeficiente angular, Guidorizzi (2001) defini derivada de uma função,
erro de aproximação por uma reta tangente e diferencial.
3
Uma interpretação geométrica da definição de derivada num ponto, que pode ser
vista nos gráficos da Figura 1, é a inclinação da reta tangente que passa pelo ponto
.
Figura 1 - Interpretação Geométrica da Derivada num ponto.
Pelo gráfico, a inclinação da reta secante S, ou coeficiente angular de S é dado
pela , onde e .
Se mantivermos o ponto P fixo e movermos o ponto Q em direção ao ponto P,
então a inclinação de S se modificará. À medida que o ponto Q, dinamicamente,
aproxima-se do ponto P, a inclinação da reta S varia cada vez menos, ou seja, a taxa de
variação, entre e , tende para um valor constante que chamamos inclinação da
reta tangente à curva no ponto P. Assim se denominarmos m como sendo essa
inclinação então e a essa
inclinação denominamos derivada da função no ponto .
Até aqui apresentamos a definição de derivada em um ponto. Generalizando,
podemos dizer que uma função f é uma função derivável, ou diferenciável, se for
derivável em cada ponto de seu domínio. Lembrando, que neste caso, a função é
necessariamente é contínua.
4
f
fS
S
T
T
x0 + xx0
x0 + x
x
x
P
PQ
Q
Dy
Dy
Ao observarmos o gráfico de uma função diferenciável, localmente parece uma
linha reta, no entanto, apesar de não ser uma linha reta, sua variação da reta é tão
pequena que não poderia ser detectado a olho nu, como podemos observar na Figura 2.
Figura 2 - Aproximação pela reta Tangente
A essa reta que pensamos ver ao observarmos bem de perto o gráfico da função
em tem coeficiente angular igual à derivada , de modo que essa
equação é . Pelo fato do gráfico parecer uma linha reta
significa que é uma boa aproximação de . Isto é, para valores próximos a , a
aproximação de pela reta tangente é . A expressão
é chamada de linearização local de f próximo de . Assim o
erro nesta aproximação é definido por .
Alguns autores (GUIDORIZZI, 2001, HUGHES-HALLET et al., 2004, ANTON,
2000b, FINNEY et al., 2002) apresentam uma interpretação geométrica para este erro
, ou erro na aproximação, que se comete na aproximação de f pela reta tangente T
em , como podemos observar no gráfico da Figura 3.
Figura 3 - Erro de Aproximação
5
x
y
x0 x=x0 + x
f(x0)
f(x) T
S
dy
y
x
(x)
Podemos notar que o incremento de y, , é diferente do diferencial de y, .
Para observamos essa diferença devemos atribuir às variáveis (incremento de x) e
(diferencial de x) o mesmo valor. Assim, para , temos .
Desta forma, ao dividimos por , obtemos . O
primeiro membro desta igualdade, , representa a inclinação da reta secante S, e a
primeira parcela do segundo membro, , a inclinação da reta tangente T, assim se
provarmos que a segunda parcela do segundo membro, , tende a zero, podemos
dizer que a inclinação da reta secante tende para a inclinação da reta tangente. Para isso
chamaremos .
Assim, devemos mostrar que .
Lembremos que , onde , e .
Assim pode ser reescrito da seguinte forma:
, isto é, .
Daí,
Notemos que é uma função que depende de x e se definirmos , então
essa função será contínua em , pois . Isto é,
6
Este resultado, que pode ser encontrado em Guidorizzi (2001), Hughes-Hallet et
al (2004) e Anton, (2000a), será necessário para a demonstração da Regra da Cadeia
posteriormente.
3. Função Composta
Assim como operamos com números (adição, subtração, multiplicação e divisão)
podemos operar com funções , cujo domínio é a intersecção
das funções dadas. Uma outra operação com função, distinta das quatro anteriores, é a
composição de função. Ou seja, dada duas funções h e g, a função composta de h com g,
denotada por , é definida por .
Pode-se observar pelo esquema ilustrado na Figura 4 que essa composição é uma
nova função, isto é, e que o domínio da função f é igual ao domínio da
função g, , desde que .
Figura 4 - Esquema de Composição de Função
Alguns autores, dentre eles Hughes-Hallet et al. (2004), Anton (2000a) e Moise
(1977), coloquialmente, interpretam função composta como uma "função de uma
função" (HUGHES-HALLET et al., 2004, p. 15), ou "função de dentro" (função g) e
"função de fora" (função h) (ANTON, 2000a, p. 51, MOISE, 1977, p. 148).
A ordem na qual as funções são compostas pode fazer diferença no resultado
final, pois para a composição de função nem sempre vale a propriedade comutativa. As
composições de funções podem, também, ser definidas para três ou mais funções, por
exemplo, . Anton (2000a) sugere um procedimento para
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decomposição de função, isto é, dada uma função composta , achar as funções
componentes e , mais simples, que compõem a função dada.
Graficamente, podemos indagar qual seria o gráfico da função composta
dada a partir dos gráficos das funções componentes e . Na
Figura 5 são dados os gráficos das funções e , respectivamente, então como
obter o gráfico da função ?
Figura 5 - Gráficos das Funções Componentes e , respectivamente.
Uma maneira de pensarmos o gráfico da função composta , a
partir dos gráficos das funções componentes, pode ser encontrada no site
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/0/compositions.6/index.html.
Considere os gráficos de g, h e função identidade ( ) num mesmo plano
cartesiano. A partir de um ponto do domínio da função g, e sua imagem, ,
marcar o ponto no gráfico de g. Traçar a reta até interceptar a
função identidade, e portanto, o ponto é a intersecção desta reta com a
identidade, e com essa abscissa , definir sua imagem por h, isto é, ,
determinando assim o ponto . Trace a reta até interceptar a
reta , obtendo assim o ponto . Tomando o ponto , o conjunto
de pontos formaria o gráfico da função .
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x
y
g(x)
x
y
h(x)
Obtendo assim o gráfico da função composta f a partir dos gráficos das funções
componentes g e h. Podemos visualizar esse raciocínio no gráfico da Figura 6.
g
y=x
h
x
(x, g(x))(g(x), g(x))
(g(x), h(g(x)))(x, h(g(x)))
Figura 6 - Raciocínio para obtenção do gráfico da função composta f, a partir do
gráfico de suas funções componentes g e h.
Podemos observar até aqui, que diferentes autores abordam a função composta de
forma algébrica ou na forma de um esquema como visto a Figura 4. Nenhum autor,
dentre os que pesquisei, aborda um raciocínio gráfico ou geométrico. Apenas um site,
que envolve uma tecnologia dinâmica, foi possível observar uma abordagem que fosse
possível compreender como é obtido o gráfico de uma função composta a partir dos
gráficos de suas funções componentes, como pode ser visualizado nos gráficos da
Figura 6.
Penso que essa abordagem gráfica é uma alternativa à abordagem unicamente
algébrica apresentada nos diversos livros de Cálculo.
Concluindo os temas Derivada e Função Composta, passo agora, a apresentar e
discutir o enunciado e demonstração do Teorema da Regra da Cadeia, como é,
geralmente, encontrado nos livros de diversos autores de Cálculo.
9
4. Regra da Cadeia
Swokowski (1994) e Lang (1965) argumentam que as regras de derivação, da
soma, da diferença, do produto e do quociente se aplicam a uma gama limitada de
funções, pois só podem ser usadas para derivar funções que envolvem , , etc. e
que não há uma regra, dentre essas, que possa ser aplicada diretamente às expressões
como ou . Para essas funções seriam necessárias algumas transformações,
por exemplo, à função seria transformada em e então seria aplicado
a regra do produto.
Isto é,
Dessa forma os autores buscam motivar o aluno a procurar um método mais direto
para achar a derivada de e também nos casos em que não é possível fazer
essa transformação, por exemplo, . "A chave consiste em encarar y como
uma função composta de x." (SWOKOWSKI, 1994, p. 174).
Hughes-Hallet et al (2004) descrevem a função composta ,
com h sendo a "função de fora" e g a "função de dentro" e escrevem e
, logo , e apesar de não demonstraram a Regra da Cadeia
formalmente, enunciam-na a partir de pequenas variações, isto é, "uma pequena
variação em x, digamos , gera uma pequena variação em z, , que por sua vez, gera
uma pequena variação em y, . Se e forem diferentes de zero, temos
." (HUGHES-HALLET et al., 2004, p. 106). Para esses autores, como
, então, no limite, quando , e ficam cada vez menores, temos a
Regra da Cadeia . Ainda, como , e , fazendo
as devidas substituições temos . "Em palavras: A derivada
de uma função composta é o produto das derivadas das funções "de fora" e "de dentro".
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A derivada da função "de fora" tem de ser calculada na "função de dentro"."
(HUGHES-HALLET et al., 2004, p. 107).
Finney et al. (2002) também se referem à Regra da Cadeia como Regra do
Externo-Interno e traduzem em palavras, "derive a função 'externa' h, calcule-a na
função 'interna' g(x) isolada, multiplicando-a depois pela derivada da 'função interna'"
(FINNEY et al., 2002, p. 181). Estes mesmos autores se referem à Regra da Cadeia,
quando existe mais de uma função, como a 'Cadeia' de três elos.
Quanto ao modo de se referir à Regra da Cadeia, Guidorizzi (2002) fala de Regra
em Cadeia, referindo-se ao encadeamento de derivadas. Do inglês Lang (1965) temos,
The Chain Rule, significando também encadeamento.
Enunciados para o Teorema da Regra da Cadeia podem ser encontrados em
autores como Leithold (1990), Anton (2000a), Swokowski (1994), Santos e Bianchini
(2002), Flemming e Gonçalves (1992), Guidorizzi (2001) e Finney et al. (2002) dentre
outros. Alguns desses autores se utilizam da notação de Leibnitz e outros da notação de
Newton, dependendo da conveniência para sua demonstração. Em Anton (2000a),
podemos encontrar uma explicação para este fato, pois
Quando Newton e Leibnitz publicaram independentemente as
suas descobertas do Cálculo, cada um usou uma notação para
derivada, e, por mais de 50 anos, houve uma intensa batalha
sobre qual era a melhor notação. No final, venceu a notação de
Leibnitz, , pois produzia fórmulas corretas de forma natural.
Um bom exemplo é a regra da cadeia . (ANTON,
2000a, p. 211).
Embora, Anton (2000a) refira-se a notação de Leibnitz, como sendo melhor que a
de Newton, em seu enunciado da Regra da Cadeia, utiliza-se da notação de Leibnitz,
porém logo em seguida argumenta que "embora útil, é às vezes de difícil manejo, pois
envolve muitas variáveis independentes." (ANTON, 2000a, p. 205). O enunciado da
Regra da Cadeia aparece em Anton (2000a), porém a demonstração só aparece no
Apêndice A de Anton (2000b).
Para este artigo, padronizei as letras, que representam as funções, e as notações,
utilizando, quando conveniente, a notação de Newton e em outros momentos a notação
de Leibnitz. Assim temos:
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Teorema: A Regra da Cadeia: Sejam e duas funções
deriváveis, com e consideremos a função composta .
Então f é derivável e , para todo .
Por hipótese, existem: (pelo fato da
função g ser derivável) e (pelo fato da função h
ser derivável).
A tese a ser demonstrada é que f é derivável e que ela pode assim ser calculada
para todo , ou seja, que existe e que
, para todo .
Demonstração:
Precisamos mostrar que existe o seguinte limite:
Sendo , colocamos . Então, depende de e,
quando , temos . Temos assim, e podemos
escrever: e .
Logo, .
Suponhamos que . Então,
(*)
Quando , temos , e utilizando a hipótese, temos:
, o que completa a prova no caso em que
.
Entretanto, essa prova não é geral, segundo a maioria dos autores, porque para
valores arbitrariamente pequenos de poderia acontecer do acréscimo , isto é,
uma pequena mudança em x poderia não causar nenhuma mudança em u, o que invalida
a última passagem de (*).
12
Porém, isso se verifica para um grande número de funções, mas não para todas.
Então, quando seria possível que ? Se g for constante a condição acima não é
satisfeita. Como afirmam as autoras Flemming e Gonçalves (1992), "neste caso,
podemos provar a fórmula facilmente. De fato, se , então e
é constante. Assim, ." (FLEMMING E
GONÇALVES, 1992, p. 175-176).
Mas será que existe outro caso que isso aconteça? Isso pode ocorrer se a função
não for constante? Ou apenas no caso em que a função é constante ? A não ser por essas
autoras, nenhum outro autor, dentre os que pesquisei, menciona tal argumento.
Uma demonstração para o caso geral que evite a referida passagem pode ser feita,
através de outro argumento.
Da definição de derivada , temos que: = se
.
Mas isso é equivalente a dizer que , onde , quando
, ou ainda que, multiplicando por , temos
. (**)
Pode-se observar que começamos supondo que o acréscimo , mas a última
equação (**) é válida mesmo no caso em que . A partir dela, dividindo ambos os
membros por x , que, com certeza não é zero pela definição de derivada da função g,
temos:
e, fazendo , no limite, e já que ,
obtemos a Regra da Cadeia.
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Alguns autores, como Lang (1965) e Anton (2000) apresentam esta expressão
como um outro teorema, sendo mais rigorosos em termos da expressão
. (**)
Teorema: Se h for diferenciável em u e se , então
onde , quando e se .
Prova: Vamos definir
Podemos observar que esta função é a mesma que Guidorizzi (2001) apresentou
quando aborda derivada e erro de aproximação pela reta tangente.
Se , tem-se que (***)
Mas , e assim (***) pode ser escrita como
ou
Se , a expressão acima ainda é válida, logo é válida para todos os valores de
. Resta mostrar que quando . Mas isso segue a partir da hipótese de
que h é diferenciável em u, uma vez que
.
Guidorizzi (2001) apresenta uma outra demonstração para a Regra da Cadeia, que
parece ser mais gráfica.
Suponha derivável em , derivável em , com e
, seja, . Vamos provar que .
Para isto consideremos a função T (reta tangente) dada por
e como então
, conforme ilustrado no gráfico da Figura 7.
14
Figura 7 - Ilustração da reta tangente à função dada.
Podemos observar que o gráfico de T é a reta tangente ao gráfico de h, em
, temos ou
, (****)
onde é o erro que se comete ao aproximar por e ,
onde .
Substituindo em (****) , e dividindo ambos os membros por
, , obtemos
Aplicando o limite para a igualdade acima, temos que o primeiro membro
representa a derivada da função composta , no ponto , isto é,
No segundo membro, a primeira parte fica
Por outro lado, de , segue .
Temos .
x
y hh(x)
T(x)
xxo
E(x)T
15
Daí,
Portanto, .
Podemos notar, que a não ser pela autoras Flemming e Gonçalves (1992), os
demais autores que aparecem nesta pesquisa abordam a demonstração da Regra da
Cadeia considerando o erro de aproximação da reta Tangente ao gráfico da função dada.
E, dentre estes autores, apenas Guidorizzi (2001) faz uma tentativa de uma abordagem
gráfica para a demonstração de Regra da Cadeia.
Outros autores (GUIDORIZZI, 2002, FINNEY et al., 2002) enunciam a Regra da
Cadeia a partir da derivada de . "Se n é um inteiro e , as Regras da
Potenciação afirmam que . Se u é uma função derivável de x, podemos
aplicar a Regra da Cadeia, ampliando-a para a Regra da Cadeia para Potências:
" (FINNEY et al., 2002, p. 184). "Sendo f(x) derivável, é válida a
seguinte regra para a derivada de , onde é um real qualquer.
" (GUIDORIZZI, 2002, p. 159).
Como exemplo Guidorizzi (2002) pede para justificar o caso n = 2 e n = 3 usando
a regra do produto, isto é,
Para n = 2
Assim
Para n = 3
Assim
Num exemplo, Guidorizzi (2002) pede para calcular a derivada de .
Solução: , segue que
16
E portanto,
Nosso objetivo a seguir é estabelecer uma regra,
denominada regra da cadeia, para a derivada da função
composta . Esta função pode ser reescrita da
seguinte forma:
e
Sabemos que e .
Pois bem, a regra da cadeia para o cálculo da derivada de y
em relação a x é:
Observe que o cálculo de é realizado em cadeia:
primeiro calcula-se , em seguida, calcula-se e por último
multiplica-se por para obter . (GUIDORIZZI, 2002,
p. 160)
Assim o mesmo exemplo usando, agora, regra da cadeia fica da seguinte forma
Solução: Precisamos desmembrar a função em funções que
saibamos derivar.
é equivalente a e .
Temos e portanto , por outro lado .
Pela regra da cadeia, .
17
Simplificando e substituindo u por resulta que é o resultado
obtido no exemplo anterior.
Podemos notar, que alguns dos autores citados (GUIDORIZZI, 2001, ANTON,
2000a, ANTON, 2000b) abordam a Regra da Cadeia de uma forma algébrica bastante
forma, porém tentando trazer alguns gráficos na demonstração, pois seus livros estão
voltados para cursos de Matemática. Outros autores (LEITHOLD, 1990,
SWOKOWSKI, 1994, SANTOS E BIANCHINI, 2002, FINNEY et al., 2002,
FLEMMING E GONÇALVES, 1992) trazem uma abordagem algébrica, porém não têm
a preocupação de serem tão formais, procurando enfatizar a aplicabilidade, pois estes
livros são adotados em cursos como Engenharia. Já Guidorizzi (2002) traz uma
abordagem aplicada à Administração, não tendo a preocupação com demonstração, a
não ser de modo intuitivo.
Desta forma, de acordo com o curso, onde é adotado o livro, as abordagens de
Regra da Cadeia e sua demonstração são distintas. Porém, podemos observar que
quando a abordagem traz uma conotação gráfica, a demonstração algébrica não fica
isolada e, consequentemente, o conceito vai sendo produzido utilizando-se de várias
abordagens, não só a algébrica.
4. Considerações Finais
Este artigo tem por objetivo apresentar um levantamento que alguns autores de
Cálculo trazem em seus livros sobre Regra da Cadeia e discussões acerca de sua
demonstração. Foi necessário trazer outros elementos, tais como derivada, diferencial,
linearização parcial, Função Composta e suas representações algébrica e gráfica, para
que finalmente pudéssemos discutir Regra da Cadeia e sua demonstração.
Ao fazer esse levantamento podemos notar uma forte abordagem algébrica em
detrimento da abordagem gráfica. Minha proposta, que foge ao escopo desde artigo,
consiste em investigar como os estudantes, ao fazerem uma abordagem gráfica,
produzem conhecimento acerca de Regra da Cadeia, buscando uma alternativa à
abordagem estritamente algébrica. Apesar de não ser uma abordagem encontrada nos
livros, acredito que a abordagem gráfica, para Regra da Cadeia pode auxiliar no seu
entendimento e sua demonstração.
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Referências Bibliográficas
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ANTON, H. Cálculo A: um novo horizonte. 6 ed., v. 2. Porto Alegre: Bookman, 2000b.
CABRAL, T. C. B. Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da
Intervenção nos Processos de Aprendizagem. Tese (Doutorado em Educação) - USP,
São Paulo: USP, 1998.
CURY, H. N. "Professora, eu só errei um sinal!": como a análise de erros pode
esclarecer problemas de aprendizagem. In: CURY, H. N. (Org.) Disciplinas
Matemáticas em Cursos Superiores: reflexões, relatos e propostas. Porto Alegre:
EDIPUCRS, 2004, p. 111-138.
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1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação,
Integração. 5 ed., revista e ampliada. São Paulo: Makron Books, 1992.
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Técnicos e Científicos Editora S. A., 2002.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5 ed., v. 1. Rio de Janeiro: LTC - Livros
Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001.
HUGHES-HALLETT, D., GLEASON, A. M., MCCALLUM, W. G., PASQUALE, A.,
FLATH, D. E., QUINNEY, D., LOCK, P. F., RASKIND, W., GORDON, S. P., RHEA,
K., LOMEN, D. O., TECOSKY-FELDMAN, J., LOVELOCK, D., THRASH, J. B.,
OSGOOD, B. G., TUCKER, T. W. Cálculo de Uma Variável. 3 ed. Rio de Janeiro:
LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2004.
LANG, S. A First Course in Calculus. London: Addison Wesley Publishing Company,
1965.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3 ed., v. 1. São Paulo: Editora
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MOISE, E. E. Cálculo: um curso universitário. v. 1. São Paulo: Edgard Blücher, 1972.
SANTOS, A. R., BIANCHINI, W. Aprendendo Cálculo com Maple: Cálculo de uma
variável. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2002.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2 ed., v. 1. São Paulo:
Makron Books, 1994.
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VILLARREAL, M. E. O Pensamento Matemático de Estudantes Universitários de
Cálculo e Tecnologias Informáticas. Tese (Doutorado em Educação Matemática) -
IGCE, Rio Claro: UNESP, 1999.
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