CEA 2254 - BLIAUX .T., DURAND J . P . , GIRAUD-CARKIER C , , MERARD R.
CONTRIBUTION A L'ETUDE DEC CIlAMr:; MAGNFTIQUEH DAM" UNE CONFIGURATION A SYMETRIE AXIALE (IW63)
S o m m a i r e . " Apres un rappel du t racé sur papier semi-conducteur "Télédel-tos , r des lignes d'induction magnétique (par analogie avec des l ignes équipo-tentlel les électr iques) , méthode rapide qui donne dey résu l ta t s qualitatifs, l e s auteurs présentent sous forme d'abaques les va leurs des composantes radiale et .tangentielle de l 'induction magnétique calculées par la loi de Biot et Savart, pour une configuration de conducteurs para l lè les clans une symét r ie axiale de révolution.
La configuration est définie par le nombre N de conducteurs \ 14: N -e 12 J et par le rayon R rhi cerc le He répart i t ion des conducteurs.
Le point courant M (r, G> j est l imité, pour des ra isons de symétr ie , dans un secteur défini par [ 0 ^ r ^ - 2. 5 R i et 0 ^ & ^ &
<- — — ' J m a x
CEA 2254 - BLIAUX'J. , DURAND J . P. , GIRAUD-CARRIER G . , MERARD R.
CONTRIBUTION TO THE STUDY OF MAGNETIC FIELDS IN A CONFIGURATION HAVING RADIAL SYMMETRY (1963)
Summary. - F i r s t , the method for tracing on "Teledel tos" paper magnetic induction lines (by analogy with e lec t r ica l equipotential lines) in order to obtain rapid and qualitative r e su l t s , is recal led. Then the authors present , computed from the law of Biot and Savart, the values of radia l and tangent ia l components of the magnetic induction.
These resu l t s a re presented under the form of abaci for a configuration of paral le l conductors in a rotational symmet ry . Each configuration i s defined by the number of conductors 1 4= N ^ 1 2 and by the the radius R of the c i rc le .
The domain of computation of the value of the magnetic induction at point M (r, &} i s l imited by symmet ry in a sec tor defined by O ^ r ^ 2, 5 R a n d 0 -Éi ©> <* &
max
COMMISSARIAT A L'ÉNERGIE ATOMIQUE
CONTRIBUTION A L'ETUDE
DES CHAMPS MAGNETIQUES
DANS UNE CONFIGURATION
A SYMETRIE AXIALE
par
J.BLIAUX, J. P. DURAND
G. GIRAUD-CARRIER, R. MERARD
RAPPORT C.E.A. n°2254
C E N T R E D ' E T U D E S NUCLÉAIRES DE SACLAY 1963
- Rapport C E . A . n° 2254 -
Département d'Electronique
Section Autonome d'Electronique Générale
CONTRIBUTION A L'ETUDE DES CHAMPS MAGNETIQUES
DANS UNE CONFIGURATION A SYMETRIE AXIALE
par
J . BLIAUX, J. P . DURAND, G. GIRAUD-CARRIER, R. MERARD
(Rapport D.E.SAEG n° 1636/1128 de novembre 1962)
- 1963 -
S O M M A I R E
I - Introduction.
II - Tracé sur papier "TELEDELTOS" des lignes d'induction magnétique par
analogie avec des lignes équipotentielles et application au calcul de l'in
duction magnétique créée en un point par un système de conducteurs paral
lèles dans une symétrie d'axe O .
III - Loi de BIOT et SAVART : expression des composantes radiale et tangen-
tielle de l'induction magnétique en point M, due à un conducteur C.
IV - Configurations particulières de N conducteurs 1 { N ^ 12.
V - Utilisation des formules au moyen des abaques.
VI - Conclusion.
CONTRIBUTION A L'ETUDE OES CHAMPS MAGNETIQUES
DANS UNE CONFIGURATION A SYMETRSE AXIALE
I - INTRODUCTION
Au cours d'un certain nombre d'études te l les que le confinement de plasmofdes en
haute fréquence et l'effet magnetron dans les diodes thermoélectroniques à vide, il est
apparu utile d'étudier systématiquement la répartition de l'induction iragr.étique dans
un référentiel cylindro-polaire ( les conducteurs magnétisants étant disposés suivant des
génératrices du cylindre).
Les résultats que l'on peut attendre d'une telle étude sont de deux sortes :
1° - Renseignements qualitatifs.
a) Sens des courbures.
b) Nombre de pôles de la configuration.
c) Présence d'un gradient.
2° - Renseignements quantitatifs.
a) Valeur de l'induction tangentielle B_.
b) Valeur de l'induction radiale B . r
c) Calcul du gradient.
Pour atteindre c e s buts, deux moyens ont été uti l isés :
1. Le papier "Télédeltos" qui permet, lorsque cela est possible de tracer
rapidement des équipotentielles qui représentent l e s lignes équiflux pour un modèle
donné.
2 . La loi de BIOT et SAVART ; mais la complexité des formules (lorsque le
nombre de conducteurs magnétisants devient important) a conduit à utiliser la machine
à calculer digitale IBM 7090 du Centre de Saclay.
Les résultats fournis par la machine IBM sont présentés sous forme de gra
phiques qui donnent l e s valeurs des composantes B n et B de l'induction magnétique, 8 r
pour une configuration géométrique donnée à N conducteurs dans le cas d'une symétrie
de révolution.
Les différentes dispositions retenues sont ce l les qui présentent une utilité
pratique.
1) Compte tenu des conditions de continuité et des l imites .
REMERCIEMENTS.
Les auteurs tiennent a remercier t rès vivement Monsieur BASTIEN du Service
de Calcul du C E . N. de Saclay qui a étudié et programmé les calculs en vue du traitement
sur la machine IBM.
- 3 -
II - TRACE SUR PAPIER "TELEDELTOS" DES LIGNES D'INDUCTION
MAGNETIQUE PAR ANALOGIE AVEC DES LIGNES EQUIPOTENTIELLES
ET APPLICATION AU CALCUL DE L'INDUCTION MAGNETIQUE CREEE
EN UN POINT PAR UN SYSTEME DE CONDUCTEURS PARALLELES
DANS UNE SYMETRIE D'AXE O . z
Les deux équations fondamentales du potentiel en électromagnétisme sont :
ÎA v + p/g = o V potentiel scalaire, p densité de charge.
A A + (L j = o A potentiel vecteur, j vecteur densité de courant.
Elles lient les potentiels aux coordonnées spatiales, en fonction des variables
P et j ; en dehors des conducteurs ( p = o, j = o), ces deux équations se simpli
fient et deviennent :
[Av = o [l=o Ë
Dans un système de révolution cylindrique autour d'un axe O , et si les con
ducteurs considérés sont parallèles à cet axe, on peut écr i re dans un référentiel rec
tangulaire xOy plan :
6 v A fi v
6 x 6 y
2 A 2 A
4 A - A z , _fi z_
0 x 6 y
puisque A a pour coordonnées (O, O, A ) z
Chaque point du plan xOy considéré, pourra donc être caractérisé par un
scalaire V ou A . z Au point de vue mathématique, les fonctions V (x,y) et A (x,y) sont identiques
on peut donc faire une analogie entre les tracés das équipotentielles V = Cte et A = Cte.
4 -
COURBES à V = Cte et A * Cte
En tenant compte des hypothèses précédentes à savoir que A est défini par les
composantes (O, O, A ), on a :
a) en électrostatique, la relation sui
vante
2
- /
E. ds
puisque E = - grad V
b) en magnétostatique, compte tenu
de la relation de STOKES et en prenant
une profondeur unité suivant O
A 2 " A 1 I B. ds
puisque B = rot ( A )
1A circulation de À le long d'une courbe fermée est égale au flux du vecteur B
à travers une surface S s'appuyant surP.
Entre deux équipotentielles A. et A_, le flux de B reste constant et B contenu
dans le plan du tracé (parallèle à xOy) est perpendiculaire à la normale aux équipoten
tielles.
CALCUL DE |"B*Ï :
L'application directe de cette analogie [V, - |AQdécoulant directement de l'équa
tion de Laplace a permis dans un grand nombre de cas (en électrotechnique en particulier)
de faire des tracés de ligne d'induction sur un papier homogène résistant "TELEDELTOS".
En fait, cette analogie n'est utilisable pratiquement que dans la mesure où le
phénomène physique peut être étudié dans un système plan.
Etant données deux équipotentielles (V ou A), on se propose de calculer la valeur
de l'induction magnétique et sa direction par une méthode approchée ; soit NI la force
Liagnétomotrice produisant le flux A P entre ces deux courbes particulières V ou A, et
si l'on considère toujours une profondeur unité suivant o , le flux A • est donné par :
-y. As p.Aï est la reluctance du tube de force.
Si les deux courbes sont suffisamment
rapprochées pour que l'on puisse consi
dérer B comme constant le long deA s,
on obtient alors :
(5. ntAs=A P
- 5 "
Dans l'espace représenté par le tube de force, on trace p carrés curvilignes tels
que leur longueur soit égale à l'écart A s , d'où :
donc A 0 = a JL!_
Au point M, le vecteur B aura donc pour module U.JU i r p
As. et sera perpendiculaire à A s, le sens de B étant donné par celui du courant
ERREURS ET PRECISION.
Les erreurs proviennent des points suivants :
1 ) a supposé constant et perpendiculaire à A s suivant A s.
2) Erreur possible dans le tracé des carrés curvilignes donc de p.
3) Hétérogénéité du papier utilisé.
4) Conditions aux limites sur le papier, différentes de la réalité.
Oi< voit que la précision sur l'évaluation de B sera d'autant meilleure que les
courbes V. et V„ seront plus rapprochées, puisque A x diminue et p augmente.
REMARQUE.
Dans une configuration de lignes de force données, il est possible de déterminer
la force magnétomotrice nécessaire à l'obtention d'une inductionl qu.' l'on s'impose en
un point.
APPLICATION PRATIQUE.
Soit le système de conducteurs parai -
lèles dont on a représenté (figure 1 )
une section dans le plan xOy et figurant
à un instant donné une structure tripha
sée quadripolaire produisant un champ
tournant. D'après la symétrie, il suffi
ra de tracer les équipotentielles sur un
quart du plan.
Le long de Ox, axe de symétrie :
B = B (x)
B = o y
o < x<«©
Le long de Oy, axe de symétrie :
B y = B (y) o<y<oo
- 6 -
Avec ces conditions aux limites théoriques, les lignes Ox et Oy sont donc deux
lignes d'induction particulières qui, dans l'analogie Tv, |A |J doivent correspondre à des
équipotentielles particulières.
Pour obtenir B , d'après la méthode ci-dessus présentée, il suffit de tracer sur
le papier les équipotentielles du système représenté figure 2.
La difficulté principale sera due au
fait que le papier "TELEDELTOS" ne
représentera que partiellement le plan
puisqu'il a des dimensions finies.
V««
REALISATION.
Pour tracer rapidement les équipotentielles, il suffira par exemple de relier la
sonde d'un voltmètre à lampes (impédance d'entrée élevée) à la mine graphitée du crayon
traceur et de suivre ainsi point par point l'équipotentielle désirée. Si l'on désire une pré
cision supérieure, on pourra utiliser une méthode de zéro.
- 7 -
III - LOI DE BIOT ET SAVART : EXPRESSION DES COMPOSANTES
RADIALE ET TANGENTIELLE DE L'INDUCTION MAGNETIQUE EN
UN POINT M DUE A UN CONDUCTEUR C.
Le conducteur parallèle à l'axe Oz est
défini par ses coordonnées (R, 0 ), le
point courant M par (r, 0). On suppose 2) que le conducteur C est indéfini
Compte tenu de ces hypothèses, l'induc
tion magnétique en M, ( B . J , est définit
par la loi de BIOT et SAVART :
(1) If - J L l M 2 JT
S CM
Clfc2
Le vecteur k (0 , 0. 1) étant le vecteur unité sur l'axe des z ; l e s coordonnées du
vecteur CM sont :
s . , - x = r cos 0 - R cosB M C
CM } y - y = r sin 8 - R sin 0
z - z = o M C
d'autre part CM= r + R - 2rR cos ( 8 - 0 ), donc :
M
(BJ HJ l'x 2%
(r sin 9 - R sing ) ï2
CM
(2) B^ - (B„) = - t^~ ' r COS 9 ' R CQS ? M'y 2 1
(BM>« = °
CM
On cherche maintenant l es valeurs de B . et B en fonction de r, R, 8, 0 et 3. o r
2) Le rapport B . JB obtenu en faisant le calcul
avec des conducteurs de longueur finie égale à
L + L et de longueur infinie est de :
B réel B o o
mfcr& \z^7 w c
(3) B = B cos 0 + B sin 6 r x y
B- = - B sin 9 + B cos 6 6 x y
c'est-à-dire, tous calculs faits :
H3 R sin ( g- 6)
(4)
(5)
B
B,
R2 + r 2 - 2 Rr cos ( 0 - 9)
9 2 JT
On pose h
- l 1 ^ r - R cos ( g - 9)
B H3 2 xR
B .-ti e 2 , R •
R + r 2 - 2 Rr cos ( g - 9)
sin (0 - e )
1 + h 2 - 2 h cos (0 - 6)
h - cos ( 0 - 9 )
1 + h 2 - 2 h cos ( 0 - 9)
EXPRESSION DES COMPOSANTES RADIALE ET TANGENTIELLE DE
L'INDUCTION MAGNETIQUE EN UN POINT M DUE A UN ENSEMBLE
DE N CONDUCTEURS.
Les formules (5) sont applicables à chaque conducteur. L'action résultante étant
la somme vectorielle de toutes les actions, l'expression générale sera :
i = N
(6)
B = r i = 1
E3L 2 » R.
sin ( 0. - 9)
i = 1 2 »R.
1 + h - 2 h. cos ( ft - 8) i i i
h. - cos ( 0. - 6) i i
1 + h 2 - 2 h. cos (P. - 6) i i i
Pour des raisons de commodité expérimentale et pour les avantages mathémati
ques présentés, les N conducteurs seront répartis uniformément sur un cercle autour de
l'axe Oz ; i ls pourront véhiculer le même courant auquel cas on aura une configuration de
type N. 1 ; l e s conducteurs pourront véhiculer le même courant mais le sens changeant de
signe alternativement à chaque conducteur : ce sera alors une configuration de type N. 2.
Enfin, on pourra utiliser une alimentation triphasée avec 6 et 12 conducteurs, ce qui
donnera une configuration de type N. 6.
- 9 -
Configuration de type N. 1
Les équations (6) deviennent :
i = N
(7)
B r 2 » R
8 2 jr R
i = N
s i n ( - ^ i - e )
e) 1 + h 2 - 2 h cos ( ^ r i
N
h - c o s ( - ^ i - 0 )
ITT 1 + h 2 - 2 h cos ( i j j - i - 6)
Configuration de type N. 2.
Les équations (6) deviennent
H3
(8)
V î f R (- 1) i -1
. , 2 jr . s i n ( — i e)
i =
i = N
1 + h 2 - 2 h cos ( — i - 0 ) N
B, - -ti- 3 " (- i)1 " * 2 'R f=r ( h - cos { jç- i - 8 )
1 + h 2 - 2 h c o s ( ^ i - 9 ) N
Dans ce genre de configuration, N es t obligatoirement un nombre pair.
CONFIOURATION 0 6 TYPE N.1
CONFIGURATION OE TYPE N. 2
- 10 -
Configuration de type N. 6.
Elle est obtenue au moyen de courants déphasés permettant l 'obtention d'un
champ tournant. Le courant dans le conducteur 1 étant déphasé de 1 xjr_ par rapport 3
au conducteur de référence. Les équations sont de la forme :
O)
i = N
r " 2 r R
e 2 7T R
cos ( Q t + i | ) sin (-^jjj- i - e )
i i = N
1 + h2 - 2 h c o s ( ^ i N e)
2 T! cos [Q t + i - | ) [h - cos ( ^jr- i - 6 j]
7% i = 1 [l + h 2 - 2 h cos ( N " 1
Le nombre N est obligatoirement un multiple de 6.
CONFIGURATION DE TYPE 6-6
- 1 1 -
IV - CONFIGURATIONS PARTICULIERES DE N CONDUCTEURS 1 ^ N ^ 12.
IV. 1. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un conducteur C (voir figure 1 et
courbes 1.1).
Les formules (4) donnent :
« 3 R sin ( 0 - 6) B
R2 + r2 - 2 r R cos (0 - 8) r - R cos (0 - 0)
2 *
J L l 2 * R2 + r2 - 2 Rr cos ( 0 - 9)
En particulier si l'on appelle d la distance du conducteur au point courant M 3) et si l'on met l'origine en C, on retrouve la loi de BIOT et SAVART .
(10)
B = o r
\U 8 2 w d
- Calcul de l'équation des lignes d'induction dans le cas d'un conducteur centré à l'origine.
dr rd 9 B„
d'où l'on tire dr = o r = Cte ~9 "6
C'est une famille de cercles centrés à l'origine.
• Calcul de l'équation des lignes d'induction dans le cas d'un conducteur non centré à
l'origine.
B r _ R sin ( 0 - 8 ) dr r - R cos ( 0 - 8 ) ~ rd8
Posons h R
h s i n ( 0 - 8 ) d O = h d h - c o s ( 0 - 8 ) d h 2
d [h cos (9-0)1 = d ( - | - )
h cos ( 6 - 0 ) = — + K
C'est l'équation d'une famille de cercles centrés en (R, 0 ) de rayon P ; en effet,
on peut la rapprocher de :
3) Voir abaque générale.
- 12 -
R2 + r 2 - 2 R r cos (6 - 0 ) = P 2
1 + h 2 - 2 h cos (8 - 0 ) =G-r-RZ
avec R \ / 1 - 2 K
IV. 2. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M due à un ensemble de 2 conducteurs.
Les formules générales (6) donnent ici :
i = 2 sin ( 0. - 8 )
B
i fl + h? - 2 h. cos ( 0. - 0 fl L l 1 1 J
*3i h. - cos ( 0. - 6 )
2 JT R.
Cas I.
Cas II.
fl + h2 - 2 h. cos ( 0. - 0 j l L i i i J
b ^ S a R ^ R a 31¥=P2
On utilise l es formules précédentes
l l 0 l ^ , 3 a R J - R J - R V 0 2 = 2,r
(11)
B = -r
B,
|lsin fl f 3 1 2 * R L l + h 2 -
* R [ i +
-*<
2 b cos 6
^7 j (h - cos «)
h - 2 b cos 6
1 -f h + 2 h cos 8
, 7 2 (h + cos9) "I
1 + h + 2 h cos 9 J
Cas III. : V 3 2 '^ R 1= R 2 = R ' l " V , r
(12) B
1̂ *3 r 2 i R
B„ =
- 2 h sin 2 6 "|
(1+h2)2 - 4 h2 cos2 6 J
H 3 [* 2 h (h2 - cos 2 9) 1 2 ^ R I /, ^ i 2 » 2 j.1.2 2 n I
L (1 + h ) - 4 h cos 6 J e 2 z
C'est la configuration de type 2 . 1 .
Cas IV. : 0 , = - 3 2 = 3 Rj = R2 - R 0 j = V 2 r
- 13 -
(13)
.JH r 2 ir
B,
L f 2 ( l + h 2 ) s i n e 1 R [ ( 1 + h 2 ) 2 - 4 h 2 c o s 2 6 J
[ 2 cos 8 (1 - h2) "I
( 1 + h 2 ) 2 - 4 h 2 c o s 2 e J
e 2 »
C'est la configuration de type 2.2.
Calcul de l'équation des lignes d'induction dans le cas III formule (12).
B, B r
dr e
rd© qui devient, puisque h =
B„. dh = B . hde 8 r
2 h (h2 - cos 2 8) dh = - 2 h2 sin 2 8 d 8
2 (h2 - cos 2 8) dh = h d (cos 2 8)
c o s 2 e = Jl_ + _JL
- Calcul de l'équation des lignes d'induction dans le cas IV formule (13).
B B Û
r 8 dr rd9 qui devient, puisque h -=j—
2 cos 8 (1 - h2) dh = 2 (1 -•- h2) sin 8. h. d 8
(h2
h ( l
l + h 2
h
- l ) d h
+ h2)
= | K c o s i d (cos 8)
cos C
IV. 3. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 3 conducteurs.
Les formules (6) donnent :
3 = . r î =
«L3i sin ( 0 . - 0 )
* R i [ l + h2 - 2 h. ces ( 0. - 6)]
9 T H3i [hi -cos < Pj - e > 1
2 * R i fl + h2 - 2 h. cos ( 0. - 0 )]
- 14 -
ÇasJL : ' ' 3 1 ¥= ^ 2 ^ ^ 3 ^ * • R, * • R, ^ • *f- 1
Cas II.
On utilise l es formules précédentes
R. = R 1 v¥-«
(14)
B = r 2 JT R i?
V to |JHr- -•>
D 1 + h - 2 h cos ( ¥^J
B e = 2 * R
*t. f( h - cos (
3
2 * i - e >]
i = l [1 + h2 - 2 h cos ( -2-J-i - e )]
Cas III. : 3 • = 3 cos ( 0 t + 2 * i ) R. = R
1 K i 3
C'est le cas de l'alimentation des conducteurs pour un générateur triphasé.
i = 3
B
(15)
Cas IV.
cos(u t + —r— i ) sin ( - 5 - i - 9 )
r 2 JT R
B - - S i i B 6 2 r R l
Tl + h2 - 2 h cos (
cos ( U t + i-
2 JT i 3
2 n
- e >1
) [h - cos t - 2 ^ -e) ]
£ l + h 2 - 2 h cos f-2-* i - 6 f j
V* R. = R 1
. 2 i .
(16) B - J t ^ _
r 2 JT R T^~T
B„ = 11*5
e 2 JT R 1 =
s i n ( ^ i - 9 )
[l +h2 -Zhcosf-^-p- - 9)]
h - cos ( — — - 9 )
[ l + h 2 - 2 h c o s ( ^ - | ^ - - 0 ) ]
C'est le cas de la configuration de type 3. 1.
IV. 4. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 4 conducteurs.
Les formules (6) appliquées ici donnent :
r x
E3i 2 ir R
sin O. - 8 ) 1
i [ l + h 2 - 2 h cos ( 0 - 9 )}
- 15 -
B, M i hj - cos ( fii - 6 )
l i [ l + bj - 2 h cos ( 0 . - e j ]
Cas I.
Cas II.
^5, quelconque R. qqc
On utilise les formules précédentes.
V V i = < 3 Ri = R
0.. qqc.
» , - ^ «
(17)
n3 r 2 IT
3 I - 4 h 3 sin 4 9 1
* R |_ ( l - h 4 ) 2 + 4 h 4 (sin 2 e) 2 J
[ 4 h 3 ( h 4 - cos 4 6 ) "I
(1 - h 4 ) 2 + 4 h 4 ( s i n 2 e ) 2 J
9 2 r R
C'est le cas de la configuration 4 .1 .
Cas III. «M J i + 1 R. = R 1
2 r
(18)
s . J t 3 _ f 4h(l+h4
r 2 ' R [ ( l - h 4 ) 2+ 4 h 4
) sin 2 8
B , H 3 2
(sin 2 6 )
) cos 2 6
-1 3 !" 4 h ( 1 - h 4 ) cos 2 6 1
* R I , , . 4 .2 ^ . . 4 . . o n , 2 I [ (1 - h ) + 4 h ( s u 2 6 ) J
C'est le cas de la configuration 4 .2 .
IV. 5. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 5 conducteurs.
Les formules (6) donnent :
i |t «Tj sin ( p. - 9 )
B r - T ^ T
4 T
2 I R .
2 x R
t"ï 2 h. cos i (Pi-»)]
h. - cos ( p - 8 )
i [ l + h2 - 2 h£ cos ( 0. - 6 )]
Cas I. *T . quelconque RL qqc. ^ i qqc-
On utilise l e s formules précédentes.
Cas II. : • J i - 1 R . = R 2 *
- 16 -
(19)
r 2 r R T
2 Ï R f î
sin ( ^—- i - e )
[ l + h 2 - 2 h cos ( ïj- i - G j ]
h - cos ( 2 i i . e )
[ l + h 2 - 2 h c o s (^-~ i - 6 ) ]
C'est le cas de la configuration 5 . 1 .
Remarque.
Dans la pratique ce cas présente peu d'intérêt, étant donné qu'il est difficile
de le relier à un réseau alternatif triphasé ou diphasé. La seule application possible
reste une liaison continue ou monophasée.
IV. 6. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 6 conducteurs.
Les formules (6) donnent :
i = 6
B„ =
*3i 2 T R.
H i
sin ( fi. - 8 )
Tl + h2 - 2 h cos ( p - 6 )"J
h. - cos O . - 0 )
0 T = T 2 r R. [ l + h 2 - 2 h cos ( 3 . - e / ]
Cas I.
Cas II.
3 • quelconque R. qqc.
On utilise les formules précédentes .
0j qqc
2 x . 6 1
(20)
B - - i l r 2 ir R i = 1
B <-t3_ __ 8 2 * R F^
sin ( | i - 8 )
[ l + h 2 - 2 h c o s ( - y i - 8 ) ]
h - cos (-^ i - 9 )
[ l + h 2 - 2 h cos ( - y i - 0 j]
C'est le cas de la configuration de type 6 .1 .
Cas III. : 3 • = *3 ^ i m P a i r ) R. = R
i
2 M
- 17 -
1 i • - 3 <* P*1^
B
(21)
E3 r 2 » R T
i = 6
(- 1) i - 1 sin ( | i - 9 )
B^ = *î e 2 f R ( - 1 )
i- 1
[ l + h2 - 2 h cos ( y i - 8 )]
[h - cos ( y i - 6 )]
[ i + h 2 - 2 h cos ( j i - B)\
C'est le cas de la configuration de type 6.2.
Cas IV. : 0 . = 3 cos ( U t + i * /3 ) R. = R 'i-V-' i ' 6
M ^ cos ( « t + i — ) . s i n ( — i - 0 )
B _JL3_ > 3 3
r 2 » R î ^ T r. . . 2
(22)
B ,-ài 6 2 r R
[ i + h 2 - 2 h cos ( y i - 8 )]
1 cos (tt t + i y ) [h - cos ( y i - 9 )]
[ l + h2 - 2 h cos (y- i - 9 ) ]
C'est la configuration de type 6.6. Elle est dite bipolaire et symétrique.
Elle est représentée ici à t - o. Son alimentation peut être faite par un double réseau
triphasé et permet un champ tournant.
2 r . Cas V. 3 i * 3 c o s ( W t + 2 -J i) R. = R
i 0,
(22)
A i c o s ( t t t ^ - 2 y i ) . s i n ( y i - 8 )
r 2 M R i = 1 r ,_2 „ . « » . „ » ! | l + h - 2 h cos (-^: i - 0 ) J
cos ( t» t + - y £ i ) . [h - cos ( - j i - e ) ] *3
9 2 r R [ l + h2 - 2 h cos ( y i - 8 ) ]
C'est une configuration quadripolaire et dissymétrique, obtenue par un réseau
triphasé, et qui fournit un champ tournant.
Cas VI. : 3 . * 3 . * 3 »3 1 2 3
J 4 J 5 6
R. * R i
_ 2 y . 8 * i p i 6
- 1 8 -
(24)
B - t 3 _ r 2 i r R
r i = 3
y sin ( T i - 8 )
D i = 1 II + h - 2 h cos ( f i - 9 ) ]
i = 6 - ,
y sin ! -f i - 9 ) I
* = 4 [ i+h 2 - 2 b c o B ( | - i - e)]J
B„ = *3 e 2 ff R
i = 3 h - cos ( ~g~ i - 8 )
[ l + h2 - 2 h cos (-|- i - e j ]
h - cos ("ô" i - 6 )
^r-^- [ l + li - 2 h cos ( j 1 • - • i l l C'est une configuration bipolaire symétrique qui est obtenue par un réseau
continu ou monophasé.
IV. 7. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 7 conducteurs.
Ne présentant que peu d'intérêt, ce cas ne sera pas traité en détail. Les
formules (6) sont applicables.
IV. 8. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 8 conducteurs.
Cas I. : 3 • quelconque R. qqc 0. qqc.
Les formules (6) restent valables.
Cas II. : 3 • = 3 R. = R i
8 - ± L - 1 p i 8
(25) r 2 JT R
sin ( - j - i - 8 )
^ - j [ l + h 2 - 2 h cos {j- i - 9 j ]
= _ f c l 8 2 L2-V —
h - cos ( -J" i - 9 )
h2 - 2 h cos irj i - 8 ) ]
C'est le cas de la configuration 8. 1.
- 19 -
Cas III. 3 , . t - 3 i V 3 R. = R 1
2 r
(26)
B = ^ 3
r 2 n R (- 1) i - 1
sin ( -7- i - 9 )
[l +h2 - 2 h cos ( - j i - 0)]
B„ = ^3
i = 8
0 2 r R ( -1) i - 1
h - cos ( - j - i - 6 )
1 + h - 2 h cos tf.-.)] C'est le cas de la configuration 8. 2.
IV. 9. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 9 conducteurs.
Cas I. 3 - quelconque R. qqc. Pt qqc-
Voir formule (6).
C a s n . : 3 i + 3 = 3 i ^ = 3 cos ( *» t + * y - i ) R. = R i 9
(27)
i ° 9
B = r 2 ^-5 » R < —
cos ( Ut + - — • i ) sin ( - ^ i - 0 )
B 6 2
i = 1 [ l + h - 2 h cos ( —• i - 0 ) ]
i s 9
I J \ p * cos ( « t + - ^ i ) [h - cos i-^f- i - 0 )]
* R h î [ l + h 2 - 2 h c o s ( ^ - i - e ) ]
C'est le cas d'une alimentation triphasée. La configuration est à 6 pôles et
donne un champ magnétique tournant.
IV. 10. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 10 conducteurs-
Cas I. : *% . quelconque R. qqc. 0£ qqc-
Les formules (6) sont applicables.
fi - i - F i p i To l
C'est le cas d'une alimentation continue ou monophasée dont la configuration
- 20 -
est de type 10. 1.
(28)
i = 10
B n3
r 2 r R
sin(-£- i - e)
[l + h2 - 2 h cos ( | i - 9 )]
1 = 1 0
B * 3 e 2 » R
ÇasJIL: 0 1 + a - ^ j
[h - cos ( | i - 8)]
i = I [l + h2 - 2 h cos ( | i - o j
*... A R. = R l
(29)
i * 10
B JL3_ 2 ir R
( - 1 ) i + 1 s i n ( y i - e )
B JL3_ e 2 » R
T ^ i
i = l °
( - 1 ) i + 1
i = 1
[ l + h2 - 2 h cos (-j i - 9 ) ]
h - cos (-|- i - 8 )
[l + h2 - 2 h cos (j- i - 6 ) ]
Cette configuration à dix pôles est obtenue par un réseau continu ou monophasé.
La configuration est de type 10.2.
IV. 11. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 11 conducteurs.
On appliquera les formules (6).
IV. 12. Expression des composantes radiale et tangentielle de l'induction
magnétique en un point M, due à un ensemble de 12 conducteurs.
Pour le cas général, on se reportera aux formules (6).
Cas I. 3 . - Î R. = R î Vfc'
(30)
i = 12
*1 B r = 2 » R
h - cos t~- i - 6 ) ©
B» = • 0
e 2 I R
i * 1 [ l + h2 - 2 h cos ( y i - 8 )J
j * 12 ^V h - cos (-jp i - 9 )
! • 1 [ l + h2 - 2 h cos ry- i - • )3
- 2 1 -
C'est le cas de la configuration de type 12.1. obtenue à partir d'une alimentation
continue ou monophasée.
Cas II. J i + 1 •> i R. = R i
P - - ^ i P i 12
Cette configuration de type 12. 2 est obtenue par un réseau continu ou monophasé.
(SI)
i = 12
( - 1 ) i - 1 sin (-£- i - 6 ) 6
B„ = | i 3
e 2 r R ( - 1 ) i - 1
i = 1
Cas III. 3 - = 3 c o s (U t +^ri ) R. = R X «5 i
[ l + h2 - 2 h cos (-|- i - 0 )]
[ h - cos (-|- i - 0 )]
[ l + h2 - 2 h cos ( j - i - e )]
'.- + '
(32)
i = 12
B r 2* R
2 T JT
cos ( U t + —— i ). sin (— i - 6 ) 3
Tl + h2 - 2 h cos (-f-i - 6 )1
*"f ^ ^ ^ ~ cos ( U t + - J Ï i ) [h - cos ( y - i - 0 )]
* R i - 1 f l + h2 - 2 h cos l-r- i - 8 )1
C'est une configuration à champ tournant à 8 pôles dissymétrique.
Cas IV. : 3 • s 1 cos (tt t + i -^ ) R. = R Vr1
(33)
i = 12
. • -&-r 2 r R
cos ( u t + i - | - ) . sin (-|- i - 9 )
[ l + h 2 - 2 h cos (-j i - 6 )]
B e 2
i = 12 .*3 ^ co. ( « t + i ^ ) [h - cos (~ i - e * R f^T" [i + h2 - 2 h cos <-|- i - e )]
C'est une configuration quadripolaire symétrique obtenue par un réseau triphasé,
et qui fournit un champ tournant : elle est de type 12. 6.
- 22 -
V. UTILISATION DES FORMULES AU MOYEN DES ABAQUES
Les différentes formules qui donnent la valeur de l'induction magnétique en
fonction des divers paramètres ( (l, R, 0, h) sont toujours exprimées par le produit
de deux facteurs :
B J f c l 1 , B ( l t r b )
L'un deux ( IL . b ) est le facteur de forme qui tient compte de la géométrie,
du nombre de conducteurs et de la forme du courant ; l'autre facteur (L -z*—- est O ù W K
un terme indépendant du point M, c'est-à-dire de 0 et de h.
Un abaque donne ' * w - en fonction de «* et de R.
Un deuxième abaque donne le facteur de forme b et de b . en fonction de 0
et de h pour une configuration de type donné. On pourra prendre (L = 1 pour la
perméabilité relative de l'air.
REMARQUES.
1 °) Dans le cas où les courants dans les conducteurs sont des fonctions du
temps, l'expression de b est prise â un instant donné (t * o) et la représentation
"figée" des lignes de B est dessinée sur la figure correspondante.
2°) Les abaques donnent la valeur de b ou de b- en fonction de h pour
différentes valeurs de 0. Les symétries de configuration imposent une étude entre
0° et un 0° maximum. Les courbes seront donc tracées de 0° à 9° max tous les
7-T— dans la limite du possible et de la compréhension graphique.
3°) Les limites radiales sont 0 et 2, 5 R (R étant la distance des conducteurs
au centre de la configuration) ; dans certains cas, ces limites ont été ramenées à
0, 5 ou 2,25, les parties de courbes complémentaires ne présentant plus d'intérêt
pratique.
4°) Pour des raisons d'encombrement et compte tenu des domaines d'applica
tion que nous avons envisagés, le nombre maximum de conducteurs a été limité à 12.
Cependant, il existe des cas où la valeur du rapport du rayon des conducteurs au
rayon R est beaucoup plus petite, ce qui permet d'augmenter N : dans ces cas, il
faut continuer les calculs pour des valeurs supérieures à 12.
- 2 3 -
VI. CONCLUSION
En vue de confiner un plasmotde d'hydrogène en haute fréquence (F = 1 MHz
environ) de nombreuses configurations magnétiques ont été étudiées, conjointement
par tracé sur papier "TELEDELTOS" et par le calcul. Les configurations examinées
furent quadripolaires puis bipolaires, le nombre de conducteurs de 12 et de 6 et les
réseaux d'alimentation triphasé et hexaphasé.
Le tracé sur papier "TELEDELTOS" a permis d'obtenir très rapidement des
résultats qualitatifs, puis quantitatifs (surtout si l'on utilise un voltmètre à lampes
pour le tracé des équipotentielles) ainsi que l'allure des lignes de force et le sens
de leur courbure : la détermination de B ainsi faite est suffisante en général pour
une première approximation. Pour obtenir une meilleure précision, il faudrait utiliser :
a) Une méthode de zéro, pour la détermination des équipotentielles ;
b) Un papier résistant très homogène ;
c) En général, agrandir le modèle ou une partie de la région à étudier.
Le calcul, par contre, donne une évaluation meilleure ainsi que les compo
santes B. et B pour chaque point du plan ; il est plus précis surtout dans les régions
présentant une forte variation du vecteur induction.
En conclusion, et compte tenu de l'approximation imposée par l'emploi du
papier "TELEDELTOS", les deux méthodes ont donné un résultat sur la connaissance —»
de B sensiblement identique sous deux formes complémentaires.
Mtmtucril reçu le 1er février 1963.
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REF 1.1 cr*e*iêo
RtF 2.1 br
REF 2.1
REF 2.1 b« 0 * 6 « 90° O i h * 2,5
REF 3.1 t»r 0 4 8 « 60* 0 * h * 1
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