V03-13/01/2019
Cenni di elettrodinamica
Indice:
Introduzione
1) Le equazioni di Maxwell nel vuoto e i potenziali scalare e vettore pg. 2
2) Il caso statico e la condizione di Coulomb pg. 3
3) Il caso dinamico e la condizione di Lorenz pg. 4
4) I potenziali ritardati pg. 5
5) I potenziali di Lienard-Wiechert per una carica in moto pg. 6
6) I campi E e B per una carica in moto pg. 7
7) Caratteristiche dei campi E e B per una carica in moto uniforme pg. 8
8) Radiazione da una carica in moto accelerato: formula di Larmor pg. 10
9) Radiazione da un dipolo elettrico oscillante: calcolo dei campi E e B pg. 12
10) Radiazione da un dipolo oscillante: la potenza irradiata pg. 14
11) Il concetto di sezione d'urto pg. 15
12) La sezione d'urto Thomson pg. 17
Appendici:
A.1 ProprietΓ della funzione di Dirac pg. 19
A.2 Il potenziale ritardato come soluzione delle equazioni dei pg. 20
potenziali
A.3 Calcolo dei potenziali di Lienard-Wiechert per una carica in moto pg. 21
A.4 Calcolo dei campi E e B dai potenziali di Lienard-Wiechert per pg. 22
una carica in moto
1
Introduzione
Queste brevi note riassumono in modo molto schematico alcuni cenni di
Elettrodinamica che dallβaccademico 2017/18 vengono introdotti in via sperimentale
nel programma di Fisica Generale 2 per il Corso di Laurea in Astronomia, in
sostituzione degli argomenti di Ottica Geometrica proposti agli studenti fino allβanno
precedente. Le note devono intendersi come materiale di appoggio agli argomenti
presentati a lezione, perchΓ© i testi di riferimento adottati non li trattano, e si possono
trovare sviluppati piΓΉ estesamente e in maggiore dettaglio in altri testi come:
Fisica Generale Vol. 2 βLionel Lovitch, Sergio Rosati - Casa Editrice Ambrosiana
Introduction to Electrodynamics β David J. Griffiths - Addison-Wesley
dai quali sono tratte in buona parte queste note. In questa prima versione il testo Γ¨
molto scarno e verrΓ ampliato in successive versioni.
Gli argomenti proposti intendono indicare il collegamento tra le equazioni di Maxwell
nel vuoto, da sempre argomento cardine del corso di Fisica Generale 2, e i
meccanismi di radiazione fondamentali in tanti fenomeni di astrofisica che verranno
affrontati nei corsi piΓΉ avanzati. Attraverso gli esempi della radiazione emessa da una
carica in moto accelerato o da un dipolo elettrico oscillante, si mette in evidenza il
significato dei potenziali elettromagnetici scalare e vettore nella definizione dei campi
E e B che caratterizzano il fenomeno radiativo. I calcoli presentati, talvolta piuttosto
articolati, hanno il solo scopo di mostrare allo studente il legame tra le ipotesi di
partenza e i risultati finali, discussi piΓΉ in dettaglio a lezione. Nel testo non viene fatto
uso della relativitΓ speciale, argomento che nel corso di studi in astronomia viene
affrontato successivamente.
Nel par. 1 vengono riprese le equazioni di Maxwell nel vuoto e le relazioni tra i campi
elettrico e magnetico e le caratteristiche dei potenziali scalare e vettore. Nel par. 2
viene riassunto il caso stazionario nella βgaugeβ di Coulomb e nel par.3 viene
illustrato il caso dinamico nella βgaugeβ di Lorenzβ. Il par. 4 introduce i potenziali
ritardati come soluzioni delle loro equazioni caratteristiche. Il caso dei potenziali di
Lienard-Wiechert prodotti da una singola particella in moto rettilineo uniforme Γ¨
trattato nel par. 5. Vengono successivamente calcolati i campi elettrico e magnetico
prodotti dalla particella e descritte le loro caratteristiche nei par. 6 e 7. I campi e la
radiazione generata da una carica in moto accelerato vengono descritti nel par. 8 nel
quale viene presentata la formula di Larmor. Nei par. 9 e 10 vengono descritti il
dipolo oscillante e la radiazione elettromagnetica da esso generata. Il par. 11 riassume
il concetto di sezione dβurto totale e differenziale che viene successivamente applicata
nel par. 12 dedicato alla radiazione emessa da un elettrone libero e alla sezione dβurto
Thomson.
2
1) Le equazioni di Maxwell nel vuoto
Lβelettrodinamica nel vuoto inizia dalle equazioni di Maxwell che, in presenza di
cariche e correnti elettriche si riassumono, in forma locale, nelle relazioni seguenti:
(1.1) βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = ππ0 (1.2) βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½ = β ποΏ½Μ οΏ½ππ‘
(1.3) βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = 0 (1.4) βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½ = π0πΜ + π0π0 ποΏ½Μ οΏ½ππ‘
I campi elettrico πΈ Μ e magnetico οΏ½Μ οΏ½ sono legati al potenziale scalare e al potenziale
vettore dalle relazioni:
1.5) οΏ½Μ οΏ½ = ββΜ V β βAΜ βt e
1.6) οΏ½Μ οΏ½ = βΜ Γ AΜ
Entrambi i potenziali non sono definiti univocamente, ma possono essere descritti da
funzioni diverse, purchΓ© i campi da essi derivati rimangano gli stessi. Il potenziale
vettore οΏ½Μ οΏ½ Γ¨ definito a meno del gradiente di una generica funzione scalare π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) =π(π₯, π¦, π§, π‘) dipendente dalle coordinate spaziali e dal tempo e il potenziale scalare π
Γ¨ definite a meno della derivata rispetto al tempo della stessa funzione scalare. Infatti
posto: οΏ½Μ οΏ½ = οΏ½Μ οΏ½0 β βΜ Ο e π = π0 + ππππ‘
che rappresentano delle trasformazioni dette di βgaugeβ, si ottiene: οΏ½Μ οΏ½ = βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½ = βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½0 β βΜ Γ βΜ Ο = βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½0 essendo βΜ Γ βΜ Ο = 0
ed inoltre:
οΏ½Μ οΏ½ = ββΜ V β βAΜ βt = ββΜ V0 β βΜ ππππ‘ β ποΏ½Μ οΏ½0ππ‘ + πβΜ Οππ‘ = ββΜ V0 β ποΏ½Μ οΏ½0ππ‘
La scelta della funzione π piΓΉ opportuna dipende dalle diverse situazioni. Tale scelta
corrisponde ad una particolare βgaugeβ o βcondizioneβ. Le condizioni di Coulomb o
di Lorenz(1)
che vengono presentate nel seguito, corrispondono dunque a due
particolari forme della funzione π nellβinsieme delle possibili trasformazioni dei
potenziali οΏ½Μ οΏ½ e π, che lasciano invariati i campi πΈ Μ e οΏ½Μ οΏ½.
_____________________________________________________________________
(1) Ludvig Lorenz (1829-1891), On the Identity of the Vibrations of Light with
Electrical Currents Philos. Mag. 34, 287β301, 1867.
3
P(r)
r rβ x
y
z
(rβ) j(rβ)
r-rβ
2) Il caso statico e la condizione di Coulomb
Nellβelettrostatica o nella magnetostatica risulta conveniente la scelta della funzione π che porta alla condizione βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = 0, detta condizione di Coulomb. βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = βΜ β οΏ½Μ οΏ½0 β β2π = 0
La prima delle equazioni di Maxwell con tale condizione mantiene la stessa
espressione, come nel caso statico: βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = βΜ β (ββΜ V β βAΜ βt ) = ββ2π β πβΜ βοΏ½Μ οΏ½ππ‘ = ββ2π = ππ0
(2.1) β2π = β ππ0 equazione di Poisson.
Per quanto riguarda il campo magnetico, lβequazione 1.4 diventa:
βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½ = βΜ Γ (βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½) = βΜ (βΜ β οΏ½Μ οΏ½) β β2οΏ½Μ οΏ½ = π0πΜ β π0π0 πππ‘ (βΜ V + βAΜ βt )
da cui β2οΏ½Μ οΏ½ β π0π0 β2AΜ βt2 = βπ0πΜ + π0π0βΜ (ππππ‘ )
espressione che, con πe οΏ½Μ οΏ½ indipendenti dal
tempo, diventa
(2.2) β2οΏ½Μ οΏ½ = βπ0π Μ
Le soluzioni delle equazioni 2.1 e 2.2 hanno
la medesima forma del potenziale
elettrostatico coulombiano:
(2.3) π(οΏ½Μ οΏ½) = 14ππ0 β« π(οΏ½Μ οΏ½β²)|οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½β²| ππβ²π e analogamente per il potenziale vettore
(2.4) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½) = π04π β« οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²)|οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½β²| ππβ²π ossia, per ogni componente,
π΄π₯,π¦,π§(οΏ½Μ οΏ½) = 14ππ0 β« ππ₯,π¦,π§(οΏ½Μ οΏ½β²)|οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½β²| ππβ²π
Con riferimento alla densitΓ di corrente, si ricorda che lβequazione di continuitΓ della
carica elettrica Γ¨ contenuta nelle equazioni di Maxwell: βΜ β (βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½) = 0 = π0βΜ β π Μ + π0π0βΜ β (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ ) = π0βΜ β π Μ + π0 (ππππ‘) da cui βΜ β π Μ + (ππππ‘) = 0 ; si noti che, nel caso di distribuzioni di carica indipendenti dal
tempo, si ottiene che βΜ β π Μ = 0 , ma non necessariamente che πΜ = 0.
4
3) Il caso dinamico e la condizione di Lorenz
Abbiamo visto come nella descrizione di fenomeni elettrostatici e magnetostatici e in
particolare nel calcolo dei potenziali scalare e vettore, risulta conveniente la scelta
della funzione scalare π che soddisfi lβequazione βΜ β οΏ½Μ οΏ½0 β β2π = 0, che porta alla
condizione di Coulomb βΜ β οΏ½Μ οΏ½ = 0.
In condizioni non stazionarie, con densitΓ di cariche e di correnti π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) e π(Μ οΏ½Μ οΏ½, π‘)
dipendenti dal tempo, come giΓ visto nel paragrafo 2, le equazioni 2.1 e 2.2 nella
condizione di Coulomb assumono la forma:
(3.1) β2π = β ππ0 e
(3.2) β2οΏ½Μ οΏ½ β π0π0 β2AΜ βt2 = βπ0πΜ + π0π0βΜ (ππππ‘ )
Queste due equazioni costituiscono un sistema assai piΓΉ complesso perchΓ© non sono
piΓΉ indipendenti tra loro e le soluzioni sono in generale piΓΉ difficili da determinare.
Rinunciando alla condizione di Coulomb, le due equazioni 3.1 e 3.2 possono essere
riscritte nella forma seguente:
(3.3) β2π = β ππ0 β πβΜ βοΏ½Μ οΏ½ππ‘ o β2π β 1πΆ2 β2Vβt2 = β ππ0 β πππ‘ (βΜ β οΏ½Μ οΏ½ + 1πΆ2 βVβt ) e
(3.4) β2οΏ½Μ οΏ½ β 1πΆ2 β2AΜ βt2 = βπ0πΜ + βΜ β (βΜ β οΏ½Μ οΏ½ + 1πΆ2 ππππ‘ )
dove si Γ¨ posto π0π0 = 1πΆ2 e π = 2.997π₯108π/π Γ¨ la velocitΓ della luce nel vuoto. Le
equazioni 3.3 e 3.4 assumono forme analoghe se si pone la condizione di Lorenz
seguente: βΜ β οΏ½Μ οΏ½ + 1πΆ2 ππππ‘ = 0 ossia β2π β 1πΆ2 β2Οβt2 = βΜ β οΏ½Μ οΏ½0 + 1πΆ2 ππ0ππ‘
Le equazioni 3.3 e 3.4 si riducono allora alle equazioni:
(3.5) β2π β 1πΆ2 β2Vβt2 = β ππ0 e
(3.6) β2οΏ½Μ οΏ½ β 1πΆ2 β2AΜ βt2 = βπ0π Μ
che risultano indipendenti tra loro e possiedono la medesima forma. Tuttavia con π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) e π(Μ οΏ½Μ οΏ½, π‘) funzioni del tempo, le soluzioni 2.3 e 2.4 per il caso statico non sono
piΓΉ valide.
5
P(r)
r rβ x
y
z
(rβ,tr) j(rβ,tr)
r-rβ
O
4) I potenziali ritardati
Le soluzioni delle equazioni 3.5 e 3.6 possono essere espresse in una forma simile alle
2.3 e 2.4, tuttavia esprimendo le densitΓ di carica e di corrente calcolate non allβistante
al quale si vogliono calcolare i potenziali οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) e π(οΏ½Μ οΏ½, π‘), ma ad un istante
precedente π‘π = π‘ β π /π dove π (π‘π) = |οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½β²(π‘π)|, istante che dipende dunque dalla
distanza del punto di osservazione π(οΏ½Μ οΏ½) dai diversi elementi delle distribuzioni di
carica e di corrente. Si introducono dunque i potenziali ritardati:
(4.1) π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = 14ππ0 β« π(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π ππβ²π e analogamente per il potenziale vettore
(4.2) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π04π β« οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π ππβ²π dove R Γ¨ calcolato allβistante π‘π ,
che sono soluzioni delle equazioni 3.5 e 3.6 (v. appendice A.2). Lβistante π‘π precede
dunque lβistante π‘ di una quantitΓ pari al tempo necessario perchΓ¨ la perturbazione con
velocitΓ pari alla velocitΓ della luce nel vuoto si propaghi dalla distribuzione di carica
e corrente al punto P.
Dalle equazioni 4.1 e 4.2 si possono ricavare le espressioni per i campi οΏ½Μ οΏ½ e οΏ½Μ οΏ½, dette
equazioni di Jefimenko(2)
, che tuttavia sono di scarsa utilitΓ pratica:
οΏ½Μ οΏ½ = ββΜ V β βAΜ βt = 14ππ0 β« [π(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π 2 οΏ½Μ οΏ½π + οΏ½ΜοΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)ππ οΏ½Μ οΏ½π β οΏ½ΜΜ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π2π ]π ππβ² e
π΅ = βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½ = π04π β« [οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π 2 + οΏ½ΜΜ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)ππ ]π Γ οΏ½Μ οΏ½π ππβ² dove οΏ½ΜοΏ½ e πΜ Μ indicano le derivate rispetto al tempo. In queste espressioni si riconosce
nel primo contributo il caso stazionario.
Per ottenere le equazioni di Jefimenko si ricorda
che lβoperatore βΜ agisce sulle variabili π₯, π¦, π§ e
non sulle variabili di integrazione π₯β, π¦β, π§β. Valgono dunque le relazioni seguenti: βΜ π = 14ππ0 β« [(βΜ π) 1π + π βΜ (1π )]π ππβ² dove
βΜ π = οΏ½ΜοΏ½ βΜ π‘π = β 1π οΏ½ΜοΏ½ βΜ π ; βΜ π = οΏ½Μ οΏ½π e
βΜ (1π ) = β 1π 2 βΜ π = β οΏ½Μ οΏ½π π 2
_____________________________________________________________________
(2) Oleg Dmitrovich Jefimenko (1922-2009), Electricity and Magnetism: An
Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Appleton-Century-Crofts
(New-York - 1966). 2a ed.: Electret Scientific (Star City - 1989)
6
x,y
5) I potenziali di Lienard-Wiechert
In questo paragrafo descriviamo i potenziali ritardati prodotti da una carica
puntiforme q in moto rettilineo uniforme. Scegliamo la direzione di moto lungo lβasse
z, e poniamo che allβistante π‘ = 0 la carica si trovi nellβorigine con π₯π = π¦π = 0; la
legge oraria si esprime dunque come: οΏ½Μ οΏ½π(π‘) = π£π‘ οΏ½Μ οΏ½π§ ossia π₯π(π‘) = 0; π¦π(π‘) = 0; π§π(π‘) = π£π‘
Il potenziale scalare ritardato dovuto alla carica in un
punto π(οΏ½Μ οΏ½) = π(π₯, π¦, π§) si ottiene dallβequazione 4.1,
posto π (οΏ½Μ οΏ½β², π‘ β π π) = π πΏ(π₯β²)πΏ(π¦β²)πΏ (π§β² β π£ (π‘ β π π)) ;
π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 β« πΏ(π₯β²)πΏ(π¦β²)πΏ(π§β²βπ£(π‘βπ π))[π₯2+π¦2+(π§βπ§β²)2]1/2 ππβ²π deve essere integrato nelle tre variabili
spaziali. Integrando innanzitutto nelle variabili π₯β² e π¦β² , lβespressione risultante π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 β« πΏ(π§β²βπ£(π‘βπ π))[π₯2+π¦2+(π§βπ§β²)2]1/2 ππ§β²π
puΓ² essere ulteriormente integrata introducendo una variabile π§β²β² = π§β² β π£(π‘ β π /π)
con π = [π₯2 + π¦2 + (π§ β π§β²)2] e ππ§β²β² = ππ§β² + π£π ππ ππ§β² ππ§β² = [1 β π£π (π§βπ§β²)π ] ππ§β² da cui
π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 β« πΏ(π§β²β²)π ππ§β²β²[1βπ£π (π§βπ§β²)π ]π = π4ππ0 1[π βπ£π (π§βπ§β²)]|π§β²=π£(π‘βπ /π) Attenzione che il potenziale scalare ottenuto non Γ¨ il potenziale Coulombiano
ritardato, perchΓ© π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) β π4ππ0 1π |π‘π=π‘βπ /π . PiΓΉ in generale il termine π£(π§ β π§β²) dove
la velocitΓ οΏ½Μ οΏ½ = π£ οΏ½Μ οΏ½π§ Γ¨ diretta lungo lβasse z e (π§ β π§β²) = π π§ , la componente di οΏ½Μ οΏ½
lungo z si puΓ² scrivere come οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½ e il potenziale scalare diventa
(5.1) π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 1[π βοΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π ]|π‘π=π‘βπ /π
In modo analogo, posto πΜ = π οΏ½Μ οΏ½, si ottiene il potenziale vettore
(5.2) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π0π4π οΏ½Μ οΏ½[π βοΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π ]|π‘π=π‘βπ /π = π0π0π(οΏ½Μ οΏ½, π‘)οΏ½Μ οΏ½
Le espressioni 5.1 e 5.2 rappresentano i potenziali di Lienard-Wiechert(3)
per una
carica in moto. Queste espressioni, come viene mostrato in appendice A.3, sono
valide quale che sia il moto della carica q, anche non uniforme.
_____________________________________________________________________
(3) Alfred-Marie LiΓ©nard (1869-1958), βLβΓ©clairage Electriqueβ 16 p.5; ibid. p. 53;
ibid. p. 106 (1898). Emil Johann Wiechert (1861-1928), "Elektrodynamische
Elementargesetze". Annalen der Physik. 309 (4): 667β689 (1901)
P(x,y,z)
R
O zq(tr) zq(t) z
7
6) I campi E e B per una carica in moto
Le espressioni 5.1 e 5.2 per i potenziali legati ad una carica in moto permettono di
calcolare il campi elettrico e il campo magnetico tramite le relazioni 1.5 e 1.6.
Il calcolo dei campi, riportato in dettaglio in appendice A.4, porta alla seguente
espressione per il campo elettrico:
(6.1) οΏ½Μ οΏ½(π, π‘) = π4ππ0 π3 {(1 β π£2π2) (οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π) + 1π2 οΏ½Μ οΏ½ Γ [(οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π) Γ οΏ½Μ οΏ½]}
con π = (π β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π )π‘π
Il campo magnetico assume invece lβespressione:
(6.2) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π0π4ππ2 {β οΏ½Μ οΏ½ΓοΏ½Μ οΏ½π β 1π [(1 β π£2π2) οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½ + (οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½) οΏ½Μ οΏ½ΓοΏ½Μ οΏ½π2 ]}
legato al campo elettrico dalla relazione οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = 1π οΏ½Μ οΏ½π Γ οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘)
dove le diverse quantitΓ οΏ½Μ οΏ½, οΏ½Μ οΏ½ = ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ , οΏ½Μ οΏ½, οΏ½Μ οΏ½π sono tutte calcolate allβistante π‘π = π‘ β π /π.
Le precedenti espressioni per il campo elettrico e il campo magnetico, nel caso di
moto uniforme, οΏ½Μ οΏ½ = 0, diventano rispettivamente:
(6.3) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 π3 (1 β π£2π2) (οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π)
(6.4) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β π0π4ππ2 (1 β π£2π2) οΏ½Μ οΏ½ΓοΏ½Μ οΏ½π
Nel paragrafo seguente verrΓ mostrato come la quantitΓ (οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π)π‘πcorrisponda alla
distanza οΏ½Μ οΏ½ calcolata allβistante π‘. Tuttavia i potenziali e i campi sono originati dalla
carica nella sua posizione (e con la velocitΓ e lβaccelerazione) calcolata allβistante π‘π.
8
P(x,y,z) R(tr)
O zq(tr) zq(t) z
R(t)
zq(t)-zq(tr)= vR/c
x,y
E(t)
7) Caratteristiche dei campi E e B prodotti da una carica in moto uniforme
Lβespressione 6.3 per il campo elettrico mostra che la direzione del campo Γ¨
determinata dal termine (οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π)π‘π ; nel caso di una carica in moto uniforme lungo
lβasse z con legge oraria π§π(π‘) = π£π‘ e quindi con π§π(π‘) β π§π(π‘π) = π (π‘π)π π£ tale termine si esprime come
οΏ½Μ οΏ½(π‘π) β π (π‘π)π οΏ½Μ οΏ½ = π₯ οΏ½Μ οΏ½π₯ + π¦ οΏ½Μ οΏ½π¦ + (π§ β π π π£) οΏ½Μ οΏ½π§ = οΏ½Μ οΏ½(π‘)
che mostra come la direzione del campo elettrico in π
corrisponda dunque alla congiungente tra la posizione che la carica q occupa
allβistante π‘ e il punto π, sempre che il moto della carica continui a tempi successivi a π‘π. Il campo magnetico in P, espresso tramite la relazione 6.4, risulta perpendicolare
al campo elettrico e al versore οΏ½Μ οΏ½π .
(7.1) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 (1 β π£2π2) (οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π) π3β con π = (π β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π )π‘π e
(7.2) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π0π4π (1 β π£2π2) οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½ π3β = 1π οΏ½Μ οΏ½π Γ οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘)
In altra forma il campo elettrico puΓ² essere espresso come
(7.3) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 (1 β π£2π2) (οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½π(π‘)) π3β
Utilizzando infatti la legge oraria della carica per il moto uniforme π§π(π‘) = π£π‘ Γ¨
possibile esprimere π e quindi il campo οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) in funzione dellβistante π‘. π = |ππ΄Μ Μ Μ Μ | β |π΄π΅Μ Μ Μ Μ |πππ π = |ππ·Μ Μ Μ Μ | = [|ππ΅Μ Μ Μ Μ |2 β |π·π΅Μ Μ Μ Μ |2]12 =
= [|ππ΅Μ Μ Μ Μ |2 β |π΄π΅Μ Μ Μ Μ |2π ππ2π]1/2 = [|ππ΅Μ Μ Μ Μ |2 β π£2π2 |ππΆΜ Μ Μ Μ |2]12
Con π(π₯, π¦, π§) , |ππΆΜ Μ Μ Μ |2 = π₯2 + π¦2 e
|ππ΅Μ Μ Μ Μ |2 = π₯2 + π¦2 + (π§ β π£π‘)2 si ottiene
π(π‘) = [(1 β π£2π2) (π₯2 + π¦2) + (π§ β π£π‘)2]12 e dunque
οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 (1 β π£2π2) (π₯οΏ½Μ οΏ½π₯ + π¦οΏ½Μ οΏ½π¦ + (π§ β π£π‘)οΏ½Μ οΏ½π§) π(π‘)3β
Questa espressione permette un semplice confronto tra lβintensitΓ del campo elettrico
lungo lβasse π§ di moto della carica e lβintensitΓ nel piano mediano, a paritΓ di distanza
dalla carica stessa. Risulta infatti che nel piano mediano dove π§ β π£π‘ = 0 , ossia nel
piano dove si trova la carica allβistante π‘, il campo elettrico vale
P(x,y,z)
R(tr)=|PA|
R(t)=|PB|
|AB|=|PA|v/c
O A=zq(tr) B=zq(t) z C
D
9
πΈ(π₯, π¦, π§ = π£π‘, π‘) = π4ππ0 (1 β π£2π2) (π₯2+π¦2)1/2π(π‘)3 = π4ππ0 1(π₯2+π¦2)(1βπ£2π2)1/2
dove π = [(1 β π£2π2) (π₯2 + π¦2)]12
Invece lungo la direzione di moto, con π₯ = π¦ = 0 e π = π§ β π£π‘, il campo elettrico
vale
πΈ(0,0, π§, π‘) = π4ππ0 (1 β π£2π2) (π§βπ£π‘)π(π‘)3 = π4ππ0 (1βπ£2π2)(π§βπ£π‘)2
A paritΓ di distanza dalla carica, con π0 = (π₯2 + π¦2)1/2 = (π§ β π£π‘) il rapporto
πΈ(π₯,π¦,π§=π£π‘,π‘)πΈ(0,0,π§,π‘) = 1 (1 β π£2π2)3/2β mostra come il campo sia piΓΉ intenso lungo il piano
mediano al crescere della velocitΓ della carica.
Eβ interessante notare come in questo caso di moto uniforme i potenziali espressi
allβistante π‘ assumano la forma: π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 1π e οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π0π4π οΏ½Μ οΏ½π
zq(tr) zq(t) z
campo piΓΉ intenso
campo meno intenso
10
8) Radiazione da una carica in moto accelerato: formula di Larmor
La radiazione prodotta da una carica in moto fa riferimento alle espressioni 6.1 e 6.2
per i campi elettrico e magnetico
οΏ½Μ οΏ½(π, π‘) = π4ππ0 π3 {(1 β π£2π2) (οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π) + 1π2 οΏ½Μ οΏ½ Γ [(οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π) Γ οΏ½Μ οΏ½]}
con π = (π β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π )π‘π e οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = 1π οΏ½Μ οΏ½π Γ οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘)
Il vettore di Poynting πΜ = 1π0 οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½, ricordando che il doppio prodotto vettoriale gode
della proprietΓ οΏ½Μ οΏ½ Γ (οΏ½Μ οΏ½ Γ πΆΜ ) = (οΏ½Μ οΏ½ β πΆΜ )οΏ½Μ οΏ½ β (οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½)πΆΜ , si esprime come
(8.1) πΜ = 1π0π οΏ½Μ οΏ½ Γ (οΏ½Μ οΏ½π Γ οΏ½Μ οΏ½) = 1π0π [πΈ2οΏ½Μ οΏ½π β (οΏ½Μ οΏ½π β οΏ½Μ οΏ½)οΏ½Μ οΏ½] e descrive lβintensitΓ della radiazione emessa dalla carica nelle diverse direzioni.
Studiando il comportamento del vettore πΜ a distanze dalla carica sufficientemente
grandi da poter trascurare il primo termine nellβespressione per il campo elettrico che
dipende da 1/π 2 e considerando dunque solo il termine che contiene lβaccelerazione
che dipende da 1/π , il campo elettrico si esprime come:
(8.2) οΏ½Μ οΏ½(π, π‘) β π4ππ0 π3 1π2 οΏ½Μ οΏ½ Γ [(οΏ½Μ οΏ½ β π οΏ½Μ οΏ½π) Γ οΏ½Μ οΏ½]
perpendicolare a οΏ½Μ οΏ½ e, in tale approssimazione, il vettore di Poynting assume la forma
seguente: πΜ β 1π0π πΈ2οΏ½Μ οΏ½π
Nel caso di velocitΓ piccola rispetto alla velocitΓ della luce π£ << π, e quindi con π = (π β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π )π‘π β π , il campo elettrico diventa
οΏ½Μ οΏ½(π, π‘) β π4ππ0 π 1π2 οΏ½Μ οΏ½π Γ (οΏ½Μ οΏ½π Γ οΏ½Μ οΏ½) = π4ππ0 π 1π2 [(οΏ½Μ οΏ½π β οΏ½Μ οΏ½)οΏ½Μ οΏ½π β οΏ½Μ οΏ½] Posto π0 = 1π0π2
πΜ β π216π2π0π3 1π 2 [π2 β (οΏ½Μ οΏ½π β οΏ½Μ οΏ½)2] = π216π2π0π3 π2π 2 [1 β πππ 2π] οΏ½Μ οΏ½π dove π Γ¨ lβangolo tra οΏ½Μ οΏ½
e οΏ½Μ οΏ½π . Si puΓ² infine esprimere il vettore di Poynting in queste approssimazioni come:
πΜ β π2π216π2π0π3 (π ππππ )2 οΏ½Μ οΏ½π
La potenza totale irraggiata in un angolo solido infinitesimo πΞ© = π πππ ππ ππ
rispetto alla posizione occupata dalla carica si esprime come ππ(Ξ©) = πΜ β πΞ£ οΏ½Μ οΏ½π = πΜ β π 2πΞ© οΏ½Μ οΏ½π = π2π216π2π0π3 π ππ2π πΞ©
11
e la potenza totale della radiazione elettromagnetica irraggiata dalla carica,
sviluppando lβintegrale sullβintero angolo solido, Γ¨ dunque:
(8.3) π = π2π26ππ0π3
dove β« π ππ2ππ0 (β ππππ π) ππ = 8π3
che rappresenta la formula di Larmor(4)
per piccole velocitΓ π£ << π rispetto alla
velocitΓ della luce nel vuoto.
Nel caso di velocitΓ non trascurabili e considerando, come nel caso precedente, il solo
contributo al campo di ordine O(1/R), il campo elettrico si esprime come in 8.2 e la
potenza totale emessa, ottenuta integrando sullβintero angolo solido intorno alla carica
si ottiene la seguente formula di Lienard: π = π26ππ0π3 πΎ6 (π2 β |οΏ½Μ οΏ½ΓοΏ½Μ οΏ½π |2) = π2π26ππ0π3 πΎ6 (1 β π£2π2 sin2 π½) dove πΎ2 = 1(1βπ£2 π2β ) e che per π£ βͺ π riproduce la formula di Larmor 8.3. In altra forma la potenza emessa
si puΓ² scrivere in funzione delle componenti dellβaccelerazione parallela e
perpendicolare alla velocitΓ come: π = π26ππ0π3 πΎ4(πΎ2πβ₯2 + πβ₯2 )
dove πβ₯ = π πππ π½ e πβ₯ = π π πππ½ .
_____________________________________________________________________
(4) Joseph Larmor (1857-1942), "LXIII.On the theory of the magnetic influence on
spectra; and on the radiation from moving ions". Philosophical Magazine. 5. 44:
503β512.
12
q0 sen(t)
-q0 sen(t)
d
P
r1
r2 r
z
9) Radiazione da un dipolo elettrico oscillante: il calcolo dei campi E e B
Immaginando un dipolo elettrico oscillante come un sistema costituito da due cariche
elettriche di segno opposto di valore π(π‘) = π0π ππ(ππ‘) poste a distanza fissa οΏ½Μ οΏ½ una
dallβaltra, il momento di dipolo sarΓ οΏ½Μ οΏ½(π‘) = π0οΏ½Μ οΏ½ π ππ(ππ‘) = οΏ½Μ οΏ½0π ππ(ππ‘)
Il potenziale elettrostatico dovuto alle due cariche
che costituiscono il dipolo π = π04ππ0 [sin π(π‘βπ1 πβ ) π1 β sin π(π‘βπ2 πβ ) π2 ]
dove οΏ½Μ οΏ½1 = οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½2 e οΏ½Μ οΏ½2 = οΏ½Μ οΏ½ + οΏ½Μ οΏ½2
Con lβapprossimazione π(π1) β π(π2) β (οΏ½Μ οΏ½1 β οΏ½Μ οΏ½2) β βΜ π(π) = βοΏ½Μ οΏ½ β βΜ π(π) il potenziale
si scrive come
(9.1) π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β π0οΏ½Μ οΏ½4ππ0 β βΜ [sin π(π‘βπ πβ ) π ] = π0 πππ π4ππ0 [πππ cos π(π‘ β π πβ ) + 1π2 sin π(π‘ β π πβ ) ] dove οΏ½Μ οΏ½0 β οΏ½Μ οΏ½π = π0 πππ π e π Γ¨ lβangolo tra il momento di dipolo οΏ½Μ οΏ½ e la direzione di
osservazione οΏ½Μ οΏ½.
Il potenziale vettore οΏ½Μ οΏ½ si puΓ² esprimere come
(9.2) οΏ½Μ οΏ½ = π04π β« οΏ½Μ οΏ½(π‘βππ)π ππ =π π04π ππ0ππ cos π (π‘ β ππ) οΏ½Μ οΏ½π§ = π04π ποΏ½Μ οΏ½0π cos π (π‘ β ππ)
dove π = π π0sin (ππ‘)ππ‘ = π π0 cos(ππ‘) e β« οΏ½Μ οΏ½(π‘βππ)π ππ =π π(π‘βππ)π β« πΏ(π₯)πΏ(π¦)ππ₯ ππ¦ ππ§ =π π π
Il calcolo dei campi elettrico e magnetico segue le relazioni 1.5 e 1.6. Trascurando
nella 9.1 il termine proporzionale a 1 π2β e quindi con
π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) β π0 πππ π4ππ0 [ πππ cos π(π‘ β π πβ ) ]
il calcolo del gradiente βΜ π = ππππ οΏ½Μ οΏ½π + 1π ππππ οΏ½Μ οΏ½π porta a βΜ π = π0 πππ π4ππ0 ππ {[β 1π2 cos π(π‘ β π πβ ) + πππ sin π(π‘ β π πβ ) ] cos π οΏ½Μ οΏ½π β 1π2 cos π(π‘ β π πβ ) sin π οΏ½Μ οΏ½π}
Trascurando ancora una volta i termini proporzionali a 1 π2β si ottiene infine: βΜ π = π0 4ππ0 π2ππ2 sin π(π‘ β π πβ ) cos π οΏ½Μ οΏ½π
Il contributo dal potenziale vettore ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ , ricordando che οΏ½Μ οΏ½π§ = cos π οΏ½Μ οΏ½π β sin π οΏ½Μ οΏ½π, da
come risultato ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ = β π04π π2π0π sin π(π‘ β π πβ ) (cos π οΏ½Μ οΏ½π β sin π οΏ½Μ οΏ½π)
13
z
x
y
E
B u
u
Sostituendo π0 = 1π0π2 e ricordando che οΏ½Μ οΏ½ = ββΜ V β βAΜ βt si ottiene
(9.3) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β π0π2 sin π4ππ0π2π sin π(π‘ β π πβ ) οΏ½Μ οΏ½π
Per il calcolo del campo magnetico οΏ½Μ οΏ½ = ββΜ Γ AΜ , dato che π΄π = 0 e ππ΄π,πππ = 0, il
rotore di AΜ ha la forma βΜ Γ AΜ = 1π (π(ππ΄π)ππ β ππ΄πππ ) οΏ½Μ οΏ½π con π΄π = π04π ππ0π cos π(π‘ β π πβ ) cos π e π΄π = β π04π ππ0π cos π(π‘ β π πβ ) sin π Risulta dunque βΜ Γ AΜ = β π04π ππ0π [ππ sin π sin π(π‘ β π πβ ) + 1π sin π cos π(π‘ β π πβ )] οΏ½Μ οΏ½π
Trascurando i termini proporzionali a 1 π2β e con π0 = 1π0π2 si ottiene:
(9.4) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β π0π2 sin π4ππ0π3π sin π(π‘ β π πβ ) οΏ½Μ οΏ½π = πΈ(οΏ½Μ οΏ½,π‘)π οΏ½Μ οΏ½π
In conclusione le soluzioni a distanza π β« π per i campi elettrico e magnetico
prodotti da un dipolo oscillante, trascurando i termini di ordine O(1 π2 β ) o superiori,
hanno ampiezze proporzionali a 1 πβ caratteristiche dei fenomeni ondulatori con fronti
dβonda sferici. Il campo elettrico e magnetico sono perpendicolari tra di loro e
istantaneamente legati dalla relazione π΅(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = πΈ(οΏ½Μ οΏ½, π‘) πβ .
14
10) Radiazione da un dipolo oscillante: la potenza irraggiata
In questo paragrafo, dallβespressione dei campi elettrico e magnetico prodotti da un
dipolo oscillante, viene calcolata la potenza elettromagnetica irraggiata. Il vettore di
Poynting si ottiene dalle espressioni 9.3 e 9.4
πΜ = 1π0 οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½ = π0π2οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½ = π02π416π2π0π3 (sin ππ )2 cos2 π(π‘ β π πβ ) οΏ½Μ οΏ½π
Per valori di π tali produrre un numero elevato di oscillazioni nel tempo
caratteristico della misura dellβintensitΓ della radiazione in P, acquista significato il
valore medio nel tempo del vettore di Poynting. In tal caso
(10.1) β¨πΜ β© = π02π432π2π0π3 (sin ππ )2 οΏ½Μ οΏ½π
che rappresenta dunque lβintensitΓ media irraggiata dal dipolo. La potenza media
irraggiata si ottiene dal flusso del vettore di Poynting per lβintero angolo solido
(10.2) β¨πβ© = β«β¨πΜ β© β οΏ½Μ οΏ½π π2 sin π ππ ππ = π02π416ππ0π3 43 = π02π412ππ0π3
Questa espressione, tenuto conto che π02 = π02π2 e π2 π4 = 2β¨π2β© si traduce in β¨πβ© = π02β¨π2β©6ππ0π3 che corrisponde alla formula di Larmor per una carica accelerata.
In questa considerazione si Γ¨ considerato un modello di dipolo costituito da una carica
negativa a riposo nellβorigine ed una carica positiva oscillante lungo lβasse z con
ampiezza pari a d: π = π0 sin ππ‘ = π0π sin ππ‘ = π0π§(π‘) con π§(π‘) = π sin ππ‘ da cui
π(π‘) = π2π§ππ‘2 = βπ2 π sin ππ‘ e lβaccelerazione media β¨π2β© = π2π42
15
d
x
v
11) Il concetto di sezione dβurto
Un processo di diffusione tra un fascio di particelle o un fascio di radiazione
elettromagnetica e un bersaglio viene descritto con una sezione dβurto caratteristica
del processo, quantitΓ che ha le dimensioni di unβarea.
Nel caso di particelle di eguale velocitΓ οΏ½Μ οΏ½ che costituiscono un fascio di sezione Ξ£,
lβintensitΓ del fascio intesa come numero di particelle per unitΓ dβarea e per unitΓ di
tempo che attraversa una qualsiasi sezione del fascio si puΓ² esprimere come πΌ = ππππΞ£ ππ‘
Il fascio incontra un bersaglio costituito da altre particelle o comunque ostacoli
microscopici ciascuno di area efficace π. Il numero di particelle del bersaglio investite
dalle particelle del fascioper unitΓ di tempo Γ¨: ππππ‘ = πΌ π ππ
dove ππ = ππΞ£ Ξπ₯ Γ¨ il numero di particelle bersaglio investite, espresso in funzione
della densitΓ ππ e del volume considerato π = Ξ£ Ξπ₯. La quantitΓ π qui introdottaΓ¨ la
sezione dβurto del processo di interazione considerate a livello microscopico. Nel caso
in cui la diversa distanza, detta parametro dβimpatto, tra la linea di volo della
particella incidente e il centro di una particella bersaglio dia luogo ad un diverso
angolo di diffusione, come ad esempio nel caso della diffusione di Rutherford, il
numero di particelle diffuse per unitΓ di tempo in un certo angolo solido πΞ©
infinitesimo si esprime come: πππΞ© ππ‘ = πΌ πππΞ© ππ
dove πππΞ© esprime la sezione dβurto differenziale che dipende dal parametro dβimpatto.
16
Nei processi di diffusione di Rutherford tra una particella incidente di massa π e
carica π da un centro diffusore fisso di carica π , la relazione tra il parametro
dβimpatto π e lβangolo di diffusione π Γ¨: tan π2 = ππ4ππ0ππ£02π
Le particelle del fascio il cui parametro dβimpatto Γ¨ compreso tra i valori π e π + ππ
vengono diffuse ad un angolo compreso tra π e π + ππ . La sezione dβurto
infinitesima che corrisponde ad una diffusione in questo intervallo angolare sarΓ
dunque
ππ = 2ππ ππ = 14 ( ππ4ππ0ππ£02)2 1sin4 π2 πΞ©
dove ππ = ππ4ππ0ππ£02 (β 1sin2π2) 12 ππ e πΞ© = 2π sin π ππ.
La sezione dβurto differenziale di diffusione risulta infine: πππΞ© = 2ππ ππ = 14 ( ππ4ππ0ππ£02)2 1sin4 π2
Nel caso di un fascio di radiazione incidente di sezione Ξ£, lβenergia per unitΓ di tempo
e di area caratteristica del fascio Γ¨ πΌ = πππΞ£ ππ‘
La potenza o energia per unitΓ di tempo diffusa dal bersaglio si esprime come π = πΌ π ππ
dove ππ = ππΞ£ Ξπ₯ Γ¨ come nel caso precedente il numero di particelle bersaglio
investite; infine la potenza diffusa in un particolare angolo solido infinitesimo Γ¨: πππΞ© = πΌ πππΞ© ππ
17
12) La sezione dβurto Thomson. Radiazione diffusa da un elettrone libero
Un elettrone libero investito da un fascio di radiazione elettromagnetica, sotto
lβazione del campo elettrico πΈ(π‘) = πΈ0 sin ππ‘ oscillante, subisce una forza che
provoca un moto oscillatorio con accelerazione caratteristica π(π‘) = ππΈ0ππ sin ππ‘.
Ricordando la formula di Larmor 8.3 e scrivendo il valore medio nel tempo del
quadrato dellβaccelerazione come β¨π2(π‘)β© = 12 (ππΈ0ππ )2 la potenza media diffusa dallβelettrone che oscilla si esprime come β¨πβ© = π26ππ0π3 12 (ππΈ0ππ )2
Questa espressione, riordinando opportunamente i termini, si puΓ² riscrivere come
β¨πβ© = (12 π0πΈ02π) (8π3 ) ( π24ππ0πππ2)2
Posto ππ = π24ππ0πππ2 = 2.8 10β15π raggio classico dellβelettrone e ricordando che
lβintensitΓ di un fascio di radiazione che si propaga nel vuoto si esprime come πΌ0 = 12 π0πΈ02π, lβespressione precedente diventa
(12.1) β¨πβ© = πΌ0 8π3 ππ2 = πΌ0ππ con ππ = 8π3 ππ2
La potenza diffusa risulta dunque dal prodotto dellβintensitΓ della radiazione incidente
sullβelettrone moltiplicata per la sezione dβurto Thomson ππ che descrive il processo
di interazione tra la radiazione elettromagnetica e un elettrone libero.
La sezione dβurto Thomson puΓ² essere espressa in forma differenziale come
(12.2) ππππΞ© = ππ2 π ππ2π
dove lβangolo π rappresenta la deviazione angolare della direzione di osservazione
rispetto allβasse di oscillazione dellβelettrone, che corrisponde alla direzione della sua
accelerazione dovuta allβazione del campo elettrico della radiazione incidente.
Dunque in questa espressione si fa implicitamente riferimento ad unβonda
elettromagnetica incidente polarizzata linearmente. Per giustificare la relazione 12.2 si
considerino le leggi orarie del moto di un elettrone sotto lβazione del campo elettrico,
disposto lungo lβasse z, della radiazione incidente lungo lβasse x: π§(π‘) = π§0 sin ππ‘ e accelerazione ππ§(π‘) = βπ2π§0 sin ππ‘ = β ππΈ0ππ sin ππ‘ dalle quali
si ottiene che π2π§0 = ππΈ0ππ ; ricordando lβespressione 10.1 del valor medio del vettore
di Poynting dovuto a un dipolo oscillante β¨πΜ β© = π02π432π2π0π3 (sin ππ )2 οΏ½Μ οΏ½π e assimilando
lβelettrone oscillante ad un dipolo di momento π0 = βππ§0, lβespressione 10.1 diventa
β¨πΜ β© = π4πΈ0232π2π0ππ2π3 (sin ππ )2 οΏ½Μ οΏ½π = πΌ0 ππ2 (sin ππ )2 οΏ½Μ οΏ½π
18
Moltiplicando |β¨πΜ β©| = πβ¨πβ©πΞ£ per una superficie infinitesima πΞ£ = π2πΞ© , la potenza
media irraggiata per unitΓ dβangolo solido sarΓ dunque
πβ¨πβ©πΞ© = πΌ0 ππ2 sin2 π
da cui la sezione dβurto Thomson in forma differenziale espressa dalla relazione 12.2.
Nel caso in cui la radiazione incidente non sia polarizzata e quindi il campo elettrico
nel piano y-z non abbia una direzione previlegiata, lβintensitΓ risultante si puΓ²
esprimere come somma di due contributi equivalente con il campo elettrico lungo
lβasse y e lungo lβasse z. Risulta conveniente allora esprimere il fattore angolare della
relazione 12.2 rispetto alla direzione x di propagazione della radiazione, invece che
rispetto allβasse z. In tal modo, con
π₯ = π π πππ πππ π = π πππ πβ² π¦ = π π πππ π πππ = π π πππβ² πππ πβ²π§ = π πππ π = π π πππβ² π πππβ²
il contributo dovuto alla componente di oscillazione lungo lβasse z diventa
proporzionale a (1 β π§2π2) = πππ 2πβ² + π ππ2πβ² πππ 2πβ² al posto di π ππ2 π ed il
contributo dovuto allβoscillazione lungo lβasse y Γ¨ proporzionale a (1 β π¦2π2) =πππ 2πβ² + π ππ2πβ² π ππ2πβ² . Il contributo medio sarΓ dunque proporzionale a 12 (2πππ 2πβ² + π ππ2πβ² ) = (1+πππ 2πβ²)2
ed infine la sezione dβurto Thomson in forma differenziale, nel caso di radiazione
incidente non polarizzata diventa:
(12.3) ππππΞ© = ππ2 (1+πππ 2πβ²)2
Da questa espressione, integrando sullβintero angolo solido con πΞ© = π πππβ² ππβ² ππβ² si ottiene facilmente lβespressione della sezione dβurto totale 12.1.
x
y
z
r
β
β
19
Appendice A.1 β ProprietΓ della funzione πΉ di Dirac
La funzione πΏ (delta) di Dirac, le cui proprietΓ vengono qui riassunte, Γ¨ di particolare
utilitΓ quando Γ¨ necessario descrivere quantitΓ fisiche con valore finito, ma confinate
in volume infinitesimi, ad esempio per distribuzioni puntiformi di carica o massa.
Nel caso di una sola dimensione πΏ(π₯) = 0 per π₯ β 0 e β« πΏ(π₯)ππ₯Ξπ₯ = 1 quando lβintervallo di integrazione include
il punto π₯ = 0 mentre Γ¨ nullo altrimenti. Analogamente si puΓ² scrivere che πΏ(π₯ β π₯0) = 0 per π₯ β π₯0 e β« πΏ(π₯ β π₯0)ππ₯Ξπ₯ = 1 quando lβintervallo di
integrazione include il punto π₯ = π₯0.
Data una funzione continua e derivabile con derivata continua in π₯0 la funzione πΏ
permette di scrivere, sempre nel caso in cui lβintervallo di integrazione includa il
punto π₯ = π₯0
β« π(π₯)πΏ(π₯ β π₯0)ππ₯Ξπ₯ = π(π₯0)
La funzione πΏ puΓ² essere usata anche per descrivere distribuzioni puntiformi in piΓΉ
dimensioni. In un sistema cartesiano tridimensionale πΏ3(οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½0) = πΏ(π₯ β π₯0) πΏ(π¦ β π¦0) πΏ(π§ β π§0)
e quindi la distribuzione di densitΓ di carica si potrΓ esprimere come π(οΏ½Μ οΏ½) = π πΏ3(οΏ½Μ οΏ½).
In molti casi nei quali vengono utilizzate le coordinate polari sferiche la funzione si
puΓ² esprimere come πΏ3(οΏ½Μ οΏ½) = β 14π β2 (1π) infatti β« β2 (1π) ππ =π β« βΜ β βΜ (1π) πππ = β« βΜ (1π) β οΏ½Μ οΏ½π πΣΣ
dove si Γ¨ applicato il teorema della divergenza e Ξ£ Γ¨ la superficie chiusa che avvolge
il volume π. βΜ (1π) = β 1π2 οΏ½Μ οΏ½π e dunque β« β2 (1π) ππ = β β« 1π2 οΏ½Μ οΏ½π β οΏ½Μ οΏ½π πΣΣπ = β4π
20
Appendice A.2 β I potenziali ritardati come soluzione delle equazioni dei
potenziali
Abbiamo visto nel paragrafo 4 che nella condizione di Lorenz, le espressioni per i
potenziali ritardati π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = 14ππ0 β« π(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)|οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½β²| ππβ²π e οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π04π β« οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)|οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½β²| ππβ²π
sono soluzioni delle equazioni elettrodinamiche per i potenziali β2π β 1πΆ2 β2Vβt2 = β ππ0 e β2οΏ½Μ οΏ½ β 1πΆ2 β2AΜ βt2 = βπ0π Μ In questa appendice ci proponiamo di dimostrarlo. Calcoliamo prima il gradiente di π
βΜ π = 14ππ0 β« [βΜ π(οΏ½Μ οΏ½β², π‘π)|οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½β²| + π(οΏ½Μ οΏ½β², π‘π)βΜ ( 1|οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½β²|)] ππβ²π
Ricordando che π(οΏ½Μ οΏ½β², π‘π) Γ¨ funzione di οΏ½Μ οΏ½ tramite π‘π = π‘ β |οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½β²|π e dunque il gradiente
rispetto ad οΏ½Μ οΏ½ Γ¨ βΜ π(οΏ½Μ οΏ½β², π‘π) = οΏ½ΜοΏ½ βΜ π‘π = β οΏ½ΜοΏ½π βΜ π
Esprimendo π = [(π₯ β π₯β²)2 + (π¦ β π¦β²)2 + (π§ β π§β²)2]1/2 il gradiente di π si
esprime come βΜ π = (π₯βπ₯β²)π οΏ½Μ οΏ½π₯ + (π¦βπ¦β²)π οΏ½Μ οΏ½π¦ (π§βπ§β²)π οΏ½Μ οΏ½π§ = οΏ½Μ οΏ½π da cui si ottiene βΜ π = 14ππ0 β« (β οΏ½ΜοΏ½ ππ β ππ 2) οΏ½Μ οΏ½π ππβ²π . Calcolando la divergenza di βΜ π il risultato Γ¨
βΜ β (βΜ π) = β2π = 14ππ0 β« [β 1π (π’π π β βΜ οΏ½ΜοΏ½ + οΏ½ΜοΏ½ βΜ β π’π π ) β (π’π π 2 β βΜ π + π βΜ β π’π π 2)] ππβ²π βΜ οΏ½ΜοΏ½ = β 1π οΏ½ΜοΏ½ βΜ π = β 1π οΏ½ΜοΏ½ οΏ½Μ οΏ½π e βΜ β οΏ½Μ οΏ½π = 2π βΜ β π’π π = 1π βΜ β οΏ½Μ οΏ½π + ( βΜ 1π ) β οΏ½Μ οΏ½π = 2π 2 β 1π 2 = 1π 2 e βΜ β π’π π 2 = 4ππΏ3(οΏ½Μ οΏ½)
ottenendo infine β2π = 14ππ0 β« [ 1π2 οΏ½ΜοΏ½π β 4ππΏ3(οΏ½Μ οΏ½)] ππβ² = 1π2π π2πππ‘2 β π(οΏ½Μ οΏ½,π‘)π0
Un analogo risultato si ottiene evidentemente per ciascuna delle componenti del
potenziale vettore.
21
Appendice A.3 β Calcolo dei potenziali di Lienard-Wiechert per una carica in
moto
Il calcolo del potenziale scalare ritardato richiede che ogni porzione infinitesima della
distribuzione di carica sia descritta allβistante π‘π che varia da punto a punto nella
distribuzione. Il potenziale puΓ² essere dunque espresso nella forma: π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = 14ππ0 β« π(οΏ½Μ οΏ½β²,π‘π)π πΏ (π‘π β π‘ + π π) ππ‘π π3π οΏ½Μ οΏ½β² dove π Γ¨ la distanza tra il punto di
osservazione π(οΏ½Μ οΏ½) e la porzione infinitesima della distribuzione di carica allβistante π‘π = π‘ β π π . La legge oraria per la posizione di una carica q in moto viene descritta da
una funzione οΏ½Μ οΏ½π(π‘) e in questo caso π = |οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½π(π‘π)|. La densitΓ di carica assume la
forma π(οΏ½Μ οΏ½β², π‘π) = π πΏ3(οΏ½Μ οΏ½β² β οΏ½Μ οΏ½π(π‘π));
π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 β« πΏ3(οΏ½Μ οΏ½β² β οΏ½Μ οΏ½π(π‘π)) πΏ (π‘π β π‘ + π π)π ππ‘π π3π οΏ½Μ οΏ½β² = π4ππ0 β« πΏ (π‘π β π‘ + π π)π ππ‘ππ
Introducendo una nuova variabile dβintegrazione π = π‘π β π‘ + |οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π(π‘π)|π si ottiene ππ = ππ‘π + 1π π [(π₯ β π₯π(π‘π)) ππ₯πππ‘π + (π¦ β π¦π(π‘π)) ππ¦πππ‘π + (π§ β π§π(π‘π)) ππ§πππ‘π] ππ‘π
e dunque, essendo οΏ½Μ οΏ½ = ποΏ½Μ οΏ½πππ‘π e quindi ππ = (1 β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π π ), lβespressione per il potenziale
diventa:
π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 β« πΏ(π )π (π‘π)(1 β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π π ) ππ π = π4ππ0 1(π β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π )π‘π
Analogamente, posto πΜ = π οΏ½Μ οΏ½, il potenziale vettore assume la forma: οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π0π4π [ οΏ½Μ οΏ½π βοΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π ]π‘π=π‘βπ /π
Nota:
π (π‘π) = ((π₯ β π₯π(π‘π))2 + (π¦ β π¦π(π‘π))2 + (π§ β π§π(π‘π))2)1/2
ππ ππ‘π = ππ ππ₯π ππ₯πππ‘π + ππ ππ¦ ππ¦πππ‘π + ππ ππ§π ππ§πππ‘π ,
ππ ππ₯π = β (π₯βπ₯π(π‘π))π e ππ₯πππ‘π = π£π₯(π‘π) e analogamente per y e z, da cui
ππ ππ‘π = (β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π )π‘π
R(t)
P(x,y,z)
R(tr)
O
rq(tr)
rq(t)
z
r
x
y
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Appendice A.4 β Calcolo dei campi E e B dai potenziali di Lienard-Wiechert per
una carica in moto
Dalle espressioni dei potenziali di Lienard-Wiechert per una carica in moto
π(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π4ππ0 (1π)π‘π=π‘βπ /π e οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π0π4π ( οΏ½Μ οΏ½π )π‘π=π‘βπ /π
con π = (π β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π ) e π‘π = π‘ β π (π‘π)/π
i campi elettrico e magnetico si ottengono dalle relazioni giΓ viste piΓΉ volte οΏ½Μ οΏ½ = ββΜ V β βAΜ βt e οΏ½Μ οΏ½ = βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½
Iniziando dal calcolo del campo elettrico
οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β βAΜ βt β βΜ V = β π0π4π πππ‘ ( οΏ½Μ οΏ½π ) β π4ππ0 βΜ (1π)
Ricordando che π0 = 1π0π2 e βΜ (1π) = β 1π2 βΜ π si ottiene la relazione
(A.4.1) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β π4ππ0 [β 1π2π ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ + οΏ½Μ οΏ½π2π2 ππππ‘ + 1π2 βΜ π] Devono dunque essere calcolati i tre termini (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘)π , (ππππ‘)π e βΜ π per π‘π = π‘ β π /π.
A questo scopo innanzitutto si calcolano le seguenti quantitΓ : (ππ‘πππ‘ )π , (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ )π , (ππ ππ‘ )π che saranno utili nel seguito. Inoltre scrivendo
(ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ )π = βοΏ½Μ οΏ½ (ππ‘πππ‘ )π con οΏ½Μ οΏ½ = ποΏ½Μ οΏ½π(π‘π)ππ‘π velocitΓ della carica allβistante π‘π e, ricordando
che π 2 = οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½ e quindi π (ππ ππ‘ )π = οΏ½Μ οΏ½ β (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ )π = οΏ½Μ οΏ½ β (ποΏ½Μ οΏ½πππ‘ )π = οΏ½Μ οΏ½ β (ποΏ½Μ οΏ½πππ‘π) (ππ‘πππ‘ )π,
si ottiene (ππ‘πππ‘ )π = 1 β 1π (ππ ππ‘ )π = 1 + οΏ½Μ οΏ½ βοΏ½Μ οΏ½ππ (ππ‘πππ‘ )πda cui (ππ‘πππ‘ )π = 11βοΏ½Μ οΏ½ βοΏ½Μ οΏ½ππ = π π ,
(ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ )π = βοΏ½Μ οΏ½ π π ed inoltre (ππ ππ‘ )π = β οΏ½Μ οΏ½ βοΏ½Μ οΏ½π
I primi due dei tre termini cercati si potranno scrivere dunque come:
(A.4.2) (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘)π = ( ποΏ½Μ οΏ½ππ‘π) (ππ‘πππ‘ )π = π π οΏ½Μ οΏ½ , con οΏ½Μ οΏ½ = ( ποΏ½Μ οΏ½ππ‘π) e
(A.4.3) (ππππ‘)π = (ππ ππ‘ )π β 1π (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ )π β οΏ½Μ οΏ½ β 1π οΏ½Μ οΏ½ β (ποΏ½Μ οΏ½ππ‘ )π = β οΏ½Μ οΏ½ βοΏ½Μ οΏ½π + π£2π ππ β οΏ½Μ οΏ½ βοΏ½Μ οΏ½ππ π
Il calcolo del terzo termine βΜ π Γ¨ un pΓ² piΓΉ complicate. Ricordiamo innanzitutto che
la funzione gradiente riguarda le derivate rispetto alle variabili x, y, z caratteristiche
23
del punto P dove si vuole calcolare il campo allβistante π‘ e non della posizione della
carica nel suo moto. Iniziando con il calcolo della derivate rispetto alla variabile x:
(ποΏ½Μ οΏ½ππ₯)π‘ = οΏ½Μ οΏ½π₯ β οΏ½Μ οΏ½ β (ππ‘πππ₯ )π‘
π β (ππ ππ₯)π‘ = οΏ½Μ οΏ½ β (ποΏ½Μ οΏ½ππ₯)π‘ = π π₯ β οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½ (ππ‘πππ₯ )π‘ .
Ricordando che π‘π = π‘ β π π si ottiene (ππ‘πππ₯ )π‘ = β 1π (ππ ππ₯)π‘ = β 1π π [π π₯ β οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½ (ππ‘πππ₯ )π‘], da cui (ππ‘πππ₯ )π‘ = β [ π π₯ππ βοΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½]π‘ = π π₯ππ dove π = [π β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π ]π‘ e, infine,
(ποΏ½Μ οΏ½ππ₯)π‘ = οΏ½Μ οΏ½π₯ β οΏ½Μ οΏ½ β π π₯ππ
Calcoliamo ora
(ππ ππ₯)π‘ = π π₯π (1 + οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½ππ ) = π π₯ππ (1 β οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½ππ + οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½ππ ) = π π₯ππ e (ποΏ½Μ οΏ½ππ₯)π‘ = οΏ½Μ οΏ½ (ππ‘πππ₯ )π‘ = β οΏ½Μ οΏ½π π₯ππ
con queste espressioni possiamo scrivere
(ππππ₯)π‘ = (ππ ππ₯)π‘ β οΏ½Μ οΏ½π β (ποΏ½Μ οΏ½ππ₯)π‘ β οΏ½Μ οΏ½π β (ποΏ½Μ οΏ½ππ₯)π‘ = π π₯π (1 β π£2π2) β π£π₯π + οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½π2π π π₯
per ottenere infine lβespressione seguente per il gradiente di π
(A.4.4) βΜ π = οΏ½Μ οΏ½π (1 β π£2π2) β οΏ½Μ οΏ½π + οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½π2π οΏ½Μ οΏ½
Riprendendo lβespressione A.4.1 per il campo elettrico, dopo alcuni passaggi
otteniamo
(A.4.5) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β π4ππ0π3 {(1 β π£2π2) (οΏ½Μ οΏ½ β π π οΏ½Μ οΏ½) + 1π2 οΏ½Μ οΏ½ Γ [(οΏ½Μ οΏ½ β π π οΏ½Μ οΏ½) Γ οΏ½Μ οΏ½]}
Per quanto riguarda il calcolo del campo magnetico
οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π0π4π βΜ Γ (οΏ½Μ οΏ½π) = π0π4π (βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½π β βΜ ππ2 Γ οΏ½Μ οΏ½)
Ricordando che βΜ Γ (ποΏ½Μ οΏ½) = πβΜ Γ οΏ½Μ οΏ½ + βΜ π Γ οΏ½Μ οΏ½ , βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½ = βΜ π‘π Γ ποΏ½Μ οΏ½ππ‘π e βΜ π‘π = β οΏ½Μ οΏ½ππ si
ottiene βΜ Γ οΏ½Μ οΏ½ = β οΏ½Μ οΏ½ΓοΏ½Μ οΏ½ππ ed infine, riprendendo la relazione A.4.4 lβespressione per il
campo magnetico diventa
(A.4.6) οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π0π4ππ3 [β ππ οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½ β (1 β π£2π2) οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½ β (οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½) οΏ½Μ οΏ½ΓοΏ½Μ οΏ½π2 ] I campi οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) e οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) sono legati dalla relazione οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = 1π οΏ½Μ οΏ½π Γ οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘)
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Infatti dalla A.4.5 οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = β π4ππ0π3 {(1 β π£2π2) (β π π οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½) + (οΏ½Μ οΏ½βοΏ½Μ οΏ½)π2 (β π π οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½) β οΏ½Μ οΏ½ β (οΏ½Μ οΏ½ β π π οΏ½Μ οΏ½) οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½}
da cui discende 1π οΏ½Μ οΏ½π Γ οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘) = π0π4ππ3 {β (1 β π£2π2) (οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½) β (οΏ½Μ οΏ½ β οΏ½Μ οΏ½)π2 (οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½) β ππ οΏ½Μ οΏ½ Γ οΏ½Μ οΏ½} = οΏ½Μ οΏ½(οΏ½Μ οΏ½, π‘)