不動產估價理論與實務
估 價 數 學
第一章單利
單利意指只對本金計算利息,未來賺得之利息不再滋生利息,稱為單利(simple interest)。單利之計算公式
I=P×r×t ------------------------------------------(式1-1)S=P+IS=終值或P的到期值(或本利和)。I=利息。P=本金或S的現值。r=每期利息的利率(通常為每年)。t=每期的時間(通常以年計算)。
第一章單利S總數的定義
S=P+I∵ I=Prt∴ S=P+Prt -------------------------------------------------(式1-2)提出P,得S=P(1+rt)------------------------------------------------(式1-3)
(式1-3)中的(1+rt)稱為單利因子。由P計算S的過程稱為單利的累積。依據(式1-3)並可知P:
-------------------------------------------(式1-4)由S計算P,則稱P為現值(PV)或S的貼現值。(式1-4)的(1+rt)-1稱為現值在單利的貼現因子。
採用年利率時,t須以年計算,若時間條件為月份時,則須換算為:
當時間條件是天數時,則換算為: 。
( ) 111
SP S rtrt
−= = ++
t12
=月數
t365
=天數
第一章單利
例題1-1求一筆貸款100天,本金$5,000,年利率8.5%的單利總值為多少?
解答P=5,000,t=100天,r=0.085I=Prt(式1-1)
=$11.64
100I=5,000 0.085365
× ×
第一章單利
例題1-2某甲借了一筆款項,100天之後須償還$1,000。若此筆款項$1,000包括本金與單利之年利率為9%,請問某甲的借款金額為多少錢?
解答S=1,000, ,r=0.09
(式1-3)
=$975.90
100t365
=SP
1 rt=
+1,000p
1001 0.09365
=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
第一章單利
例題1-3設投入$1,000,每年計息1次,年息10%,期間5年,以單利計算其各年本利和。
解答若以P代表本金,I代表利息,r代表年利率,則:I=Pr第1年本利和=P+P×r=P(1+r)第2年本利和=P+2×P×r=P(1+2r)第3年本利和=P+3×P×r=P(1+3r)第n年本利和=P+n×P×r=P(1+nr)---------(式1-5)
第一章單利
例題1-3解答
$1,464.10+$100.00=$1,500.00$1,000.00×0.1=$100.00第5年
$1,331.00+$100.00=$1,400.00$1,000.00×0.1=$100.00第4年
$1,210.00+$100.00=$1,300.00$1,000.00×0.1=$100.00第3年
$1,100.00+$100.00=$1,200.00$1,000.00×0.1=$100.00第2年
$1,000.00+$100.00=$1,100.00$1,000.00×0.1=$100.00第1年
本 利 和利 息期 間
第二章複利-名詞定義
名詞定義複利 = 利息若在每期結束時滾入本金中再生利息,稱為複利。複利終值 = 原始投資(本金)與利息之和。利息期間 = 一段連續利率計算的時間區段。r = 每期利率。n = 期數。PV(Present Value)= 現在的金額或現值。FV(Future Value)= 終值(未來值)。FVn = n期後之終值。FVIF(Future Value Interest Factor)= 終值利率因子(複利因子)PVIF(Present Value Interest Factor)= 現值利率因子(現值因子)
第二章複利-終值
例題2-1設投入$1,000,每年計息1次,年息10%,期間5年,以複利計算其利息和求出複利終值。
解答
故 5 年 內 的 利 息 累 積 為 $610.51 , 複 利 終 值 為$1,610.51。
$1,464.10+$146.41=$1,610.51$1,464.10×0.1=$146.41第5年
$1,331.00+$133.10=$1,464.10$1,331.00×0.1=$133.10第4年
$1,210.00+$121.00=$1,331.00$1,210.00×0.1=$121.00第3年
$1,100.00+$110.00=$1,210.00$1,100.00×0.1=$110.00第2年
$1,000.00+$100.00=$1,100.00$1,000.00×0.1=$100.00第1年
終 值利 息期 末
第二章複利-終值
例題2-1解答設P代表第1年期初存入之本金,利率為r,按年計息,則可計算第n年期末之複利終值:
第1年期末:到期之利息 = Pr複利終值 = P+Pr= P(1+r)
第2年期末:到期之利息 = [P(1+r)]r複利終值 = P(1+r)+[P(1+r)]r= P(1+r)(1+r)= P(1+r)2
第3年期末:到期之利息 = [P(1+r)2]r複利終值 = P(1+r)2+[P(1+r)2]r= P(1+r)2(1+r)= P(1+r)3
第二章複利-終值第4年期末:
到期之利息 = [P(1+r)3]r複利終值 = P(1+r)3+[P(1+r)3]r= P(1+r)3(1+r)= P(1+r)4
第5年期末:到期之利息 = [P(1+r)4]r複利終值 = P(1+r)4+[P(1+r)4]r= P(1+r)4(1+r)= P(1+r)5
以此類推,第n年期末之複利終值公式為:FV = PV(1+r)n -----------------------------------------------------(式2-1)
故為獲得存入本金P,按利率r複利計息,n年後之複利終值FV,即可以 PV乘以複利因子(1+r)n得之。複利因子有時亦稱終值利率因子:
FVIF(終值利率因子) = (1+r)n
故(式2-1)可寫為:FV = PV×FVIF --------------------------------------------------------(式2-2)
第二章複利-終值
例題2-2計算$1,000本金,年利率10%,按年計息,期間10年與20年之複利終值。
解答(1)10年
P= $1,000,r = 0.10,n = 10FV = $1,000(1+0.10)10
= $2,593.70(2)20年
P = $1,000,r = 0.10,n = 20FV = $1,000(1+0.10)20
= $6,727.50
第二章複利-現值
現值將終值轉換成現值的過程,現值的觀念與終值相反,終值是今日貨幣在未來的價值,而現值則是未來的貨幣在今日的價值。用來將未來金額折算成目前價值的利率,稱為折現率(discounting rate)。
有關終值與現值的關係,可依據(式2-2)加以推導得知:
= ------------------------------------(式2-3)
( )1 nFV PV r= +
( )n1PV FV
1 r
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
FV PVIF×
第二章複利-現值
例題2-3某甲預計在10年後存得10萬元,假設年利率10%,則某甲目前應存入多少元?
解答PV = FV×PVIF
= $100,000×0.3855= $38,550
( )101PV $100,000
1 10%= ×
+
第三章年金-名詞定義
名詞定義年金(annuity) = 一種連續期間之金額支付,通常此金額均相同,且間隔的時間也相同(例如,保險金支付、抵押支付與租金支付等)。
償付期間 = 年金的有效支付期間之內。年金期限 = 第一次支付期間開始到最後一次的支付期間。固定年金 = 第一天和最後一天的支付日期是固定的。變動年金 = 年金的期限須依據某些不固定的事件(例如,人壽保險)。
普通年金(ordinary) = 支付是在每一支付期間的期末做償付(例如,公債償還與債券利息支付等)。
期初年金(annuity due) = 支付是在每一支付期間的期初做償付(例如,學費及保險支付等)。
第三章年金-名詞定義
名詞定義2普通年金與期初年金因為支付或領取時點的不同,將相差1期的時間價值,故進行計算時,應先確定年金之種類,避免誤判。一般若無特別註明時,均指普通年金而言
PMT = 每期之年金金額。r = 每期利率。n = 總期數。PV = 現值。FVIFA(Future Value Interest Factor of Annuity)= 年金終值利率因子。
PVIFA(Present Value Interest Factor of Annuity)= 年金現值利率因子。
第三章年金-普通年金的終值
例題3-1(普通年金與期初年金之不同)若某甲於每年定存$16,000(本金),年利率10%,存5期,請以圖示表示期初年金與普通年金之時間價值差異。
解答-期初年金與普通年金之差異:
期初年金
普通年金
0 52 3 4
$16,000 $16,000
1
$16,000 $16,000 $16,000
0 52 3 4
$16,000$16,000
1
$16,000 $16,000 $16,000
第三章年金-普通年金的終值
例題3-2(普通年金的終值計算)承上題,某甲於每年底定存,則5年後可領回多少?
解答
某甲於年底定存,屬普通年金,其終值為每期個別年金終值之總和,如下圖所示:
第三章年金-普通年金的終值
0 52 3 4
$16,000 $16,000
1
$16,000$16,000
$16,000×(1+0.1)0=$16,000(FV5)
$16,000
$16,000×(1+0.1)1=$17,600(FV4)
$16,000×(1+0.1)2=$19,360(FV3)
$16,000×(1+0.1)3=$21,296(FV2)
$16,000×(1+0.1)4=$23,426(FV1)
年金終值=$97,682
第三章年金-普通年金的終值
由上圖可知,普通年金之終值(FV)為每期個別年金終值(FVn)之總和,即:
FV=FV5+FV4+FV3+FV2+FV1=$16,000(1.1)0+$16,000(1.1)1+$16,000(1.1)2+$16,000(1.1)3+$16,000(1.1)4
=$16,000[1+(1.1)1+(1.1)2+(1.1)3+(1.1)4]=$97,682
第三章年金-普通年金的終值
由例題3-2可以得知,若以PMT代表每期投 入 之 年 金 金 額 ( 即 例 題 1 中 的$16,000),r為每期利率,n為總期數,則普通年金的終值可以下列通式表示:
( )
( )
n 1t
t 0
n
FV PMT 1 r
1 r 1 PMT
r =PMT FVIFA
−
=
⎡ ⎤= × +⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ −= ×
×
∑
(式3-1)
第三章年金-普通年金的終值
(式3-1)中的 稱為年金終值利率因子(Future Value Interest Factor of Annuity, FVIFA),亦即為等比級數之和S:
若假設每一期末支付$1,共支付n期的普通年金,其於時間表上為:
( )1 1nrr
+ −
0 n2 3 n-1
$1$1
1
$1 $1 $1
n-2
$1
第三章年金-普通年金的終值
欲計算年金的終值,則必須累積每一期末支付$1直到期末的年金,並與以加總,表示如下
年金終值=1+(1+r)1+(1+r)2+…+(1+r)n-2+(1+r)n-1 (式3-2)亦即第1年期末第1次支付的$1,計息為(n-1)年,第2年期末第2次支付的$1,計息為(n-2)年,依此類推。
第三章年金-普通年金的終值
(式3-2)是一個n項的幾何級數,首項(以a表示)為1,公比(以R表示)則為(1+r)。則S之定義為:
S=a+aR+aR2+…+aRn-1 (式3-3)將(式3-3)的每一項乘上公比R:
SR=aR+aR2+…aRn-1+aRn (式3-4)將(式3-3)減去(式3-4),可得:S=a+aR+aR2+…+aRn-1
- Sr=aR+aR2+…aRn-1+aRn
S(1-R)=a(1-Rn) (式3-5)
S-SR=a-aRn
第三章年金-普通年金的終值
S(1-R)=a(1-Rn) (式3-5)移項式(3-5)可得:
或
將a=1,R=(1+r)代回(式3-6)即可得
( )na 1 RS
1 R
−=
−( )na R 1
sR 1
−=
−
( )( )( )
n1 1 r 1S
1 r 1
+ −=
+ −
( )n1 r 1Sr
+ −= (式3-7)
第三章年金-普通年金的終值
所以,例題 3-2中,某甲每年底存入$16,000,年利率10%,5年後可領回的金額代入(式3-1)可得:
( )51 0.1 1FV $16,000 $97681.600.1
+ −= × =
第三章年金-期初年金的終值
例題3-3(期初年金的終值計算)若某甲於每年定存$16,000(本金),年利率10%,存5期,設某甲於每年初存入,則5年後可領回多少?
解答
本例題即為「期初年金終值」的概念,某甲領回之終值將較期末存入(普通年金)多出一倍之利息(參例題3-1解答(1)之圖示),換言之,係將普通年金之終值再乘以(1+r),即:
( ) ( )n 1
t
t 0FV PMT 1 r 1 r
−
=
⎡ ⎤= × + × +⎢ ⎥
⎣ ⎦∑
( ) ( )n1 r 1
PMT 1 rr
⎡ ⎤+ −= × × +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦( )1PMT FVIFA r= × × +
=$16,000×6.1051×1.1
=$107,449.80
(式3-8)
第三章年金-普通年金的現值
例題3-4(普通年金的現值)普通年金現值的意義是:現在支付或領回一金額,未來之特定期間內,每一期可領回或須支付多少,亦即未來期間內各期年金之總現值。
若某甲計畫以未來4年取得大學在職進修學位,每年所需費用為10萬元(年底支付),假設利率10%,則某甲目前需準備多少錢,方可負擔未來4年的學費?
解答普通年金現值即每期個別年金現值之總和如下圖:
第三章年金-普通年金的現值
0 2 3 41
$100,000$100,000$100,000$100,000
( )11
1PV 100,000 $90,909.041.1
= × =
( )1 21PV 100,000 $82,644.63
1.1= × =
( )1 31PV 100,000 $75,131.48
1.1= × =
( )1 41PV 100,000 $68,301.35
1.1= × =
$316,986.5
第三章年金-普通年金的現值
由上圖可以得知,普通年金之現值(PV)為每期個別年金現值之總和,即:
PV=PV1+PV2+PV3+PV4
若以PMT代表每期之年金金額(本例題為$100,000),r為每期利率,n為總期數,則普通年金之現值可以下列通式表示:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 1$100,000 $100,000 $100,000 $100,000
1.1 1.1 1.1 1.1× + × + × + ×
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 1$100,000
1.1 1.1 1.1 1.1
⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦=
=
( )n
tt 1
1PV PMT1 r=
⎡ ⎤= × ⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦∑
( )( )
n
n
1 r 1PMT
r 1 r
⎡ ⎤+ −× ⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦PMT PVIFA×
=
= (式3-9)
第三章年金-普通年金的現值
(式3-9)中的 稱為年金現值利率因子(Present Value Interest Factor of Annuity, PVIFA),亦為公比為之等比級數和,將 視為S,則:
將(式3-10)乘以公比,得到:
( )( )
n
n
1 r 1
r 1 r
+ −
+
( )n
tt 1
11 r= +
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 n 1 n1 1 1 1 1S ...
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + + +
+ + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 n n 11 1 1 1 1 1S ...
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r += + + + + +
+ + + + + +
(式3-10)
(式3-11)
第三章年金-普通年金的現值
將(式3-10)減(式3-11):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 n 1 n1 1 1 1 1S ...
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + + +
+ + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 n n 11 1 1 1 1 1S ...
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r += + + + + +
+ + + + + +
( ) ( ) ( )1 n 11 1 1S S
1 r 1 r 1 r +− = −
+ + +
-
得
第三章年金-普通年金的現值
等號左邊提出S,則:( ) ( ) ( )1 n 11 1 1S S
1 r 1 r 1 r +− = −
+ + +
( ) ( ) ( )1 n 11 1 1S 1
1 r 1 r 1 r +⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
( )n 1r 1 1S
1 r 1 r 1 r += −
+ + +
( )n 11 1
1 r 1 rr
1 r
+−+ +
+
( )n 11 1 r 1 1 rS
1 r i r1 r +⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟= × − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎝ ⎠
( )n1 1Sr r 1 r
= −+
S=
第三章年金-普通年金的現值
通分後,得:
所以可將例題4代入(式3-9),則:
( )( )
n
n
1 r 1S
r 1 r
+ −=
+
( )( )
4
4
1 0.1 1PMT PVIFA $100,000
0.1 1 0.1
⎡ ⎤+ −× = × ⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
$100,000 3.1699×
= $316,990
( )n1 1Sr r 1 r
= −+
=
第三章年金-普通年金的現值
例題3-4另解若假設每一期末支付$1,共支付n期的普通年金,其於時間表上為:
欲計算年金的現值,則必須累積每一期末支付$1直到期末的年金,並予以加總,表示如下:
0 n2 3 n-1
$1$1
1
$1 $1 $1
n-2
$1
( ) ( ) ( ) ( )2 3 n 1 n1 1 1 1 11 1 1 ... 1 1
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r−× + × + × + + × + ×
+ + + + +年金現值(S)=
( ) ( ) ( ) ( )2 3 n 1 n1 1 1 1 1S ...
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + + +
+ + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 n 1 nS 1 r 1 r 1 r ... 1 r 1 r− − − − − −= + + + + + + + + + + (式3-12)
第三章年金-普通年金的現值令a代表首項=(1+r)-1,R代表公比=(1+r)-1,則:
S=a+aR+aR2+…+aRn-1
將(式3-13)乘以公比R,得:Sr=aR+aR2+…+aRn-1+aRn
將(式3-13)減(式3-14):S=a+aR+aR2+…+aRn-1
Sr=aR+aR2+…aRn-1+aRn
S-SR=a-aRn
S(1-R)=a(1-Rn)
(式3-13)
(式3-14)
-
得
n1 RS a1 R−
=−
(式3-15)
第三章年金-普通年金的現值
將a =(1+r)-1,R =(1+r)-1代回(式3-15),則:
分子與分母均乘以(1+r)n
n111 1 rS 11 r 1
1 r
⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠= ×+ −
+n11
1 rS1 r 1
⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠=+ −
( )n11
1 rS
r
−+
=
( )( )
n
n
1 r 1S
r 1 r
+ −=
+
第三章年金-期初年金的現值
例題3-5(期初年金的現值)若例題3-4中,某甲計畫以未來4年取得大學在職進修學位,每年所需繳納的10萬元費用改成必須在每年的「年初」支付,假設利率相同為10%,那麼某甲目前需準備多少錢,方可負擔未來4年的學費?
解答本例題即為「期初年金現值」的概念(學費、房租及保險一般現況屬期初支付),某甲須繳納費用之期初年金現值將較期末存入(普通年金)多出一期之時間價值(參下圖),換言之,係將普通年金之現值再乘以(1+r)。
第三章年金-期初年金的現值
0 2 3 41
$100,000$100,000$100,000$100,000
0 2 3 41
$100,000$100,000$100,000$100,000
普通年金現值
期初年金現值
第三章年金-期初年金的現值
意即:
依據(式3-12式):PV = $100,000×3.1699×1.1
= $348,689
( )( )
n
tt 1
1PV PMT 1 r1 r=
⎡ ⎤= × × +⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦∑
( )( )
( )n
n
1 r 1PMT 1 r
r 1 r
⎡ ⎤+ −× × +⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
( )PMT PVIFA 1 r× × + (式3-12)
第三章年金-永續年金的現值
永續年金的現值
永續年金(perpetuity)為一種特殊年金,沒有到期日或期限,由於永續年金是無限期支付或領取的金額,故無法計算其終值,惟其現值可由等比級數之和加以計算而得:
等號左右兩邊各乘以 ,得到:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 n1 1 1 1PV PMT PMT ... PMT PMT
1 r 1 r 1 r 1 r−= × + × + + × + ×
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 n1 1 1 1PMT ...
1 r 1 r 1 r 1 r−⎡ ⎤
+ + +⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 n1 1 1 1S ...
1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + +
+ + + +
=
設
( )1
1 r+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 n n 11 1 1 1 1S ...
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r +⎡ ⎤
× = − + + + +⎢ ⎥+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
(式3-17)
(式3-16)
第三章年金-永續年金的現值
將(式3-16)減(3-17),得到
等號左邊通分,得到:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 n1 1 1 1S ...
1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + +
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 n n 11 1 1 1 1S ...
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r +⎡ ⎤
× = − + + + +⎢ ⎥+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( ) ( )n 1S 1 1S
1 r 1 r 1 r +− = −
+ + +
( )( ) ( ) ( )n 1
S 1 r S 1 11 r 1 r 1 r ++ −
= −+ + +
( ) ( )1 n 1r 1 1S
1 r 1 r 1 r +× = −
+ + +
-
第三章年金-永續年金的現值
永續年金無到期日或期限,其意義代表n趨近於無限大,故當n→∞時, ,故:
所以(式3-16)S的值= ,亦即永續年金之現值為:
( )n 11 0
1 r +→
+
r 1S1 r 1 r
× =+ +1 1 rS
1 r r+
= ×+
1Sr
=
PV = PMT×S1PMTr
×
PMTr
1r
=
= (式3-18)
第三章年金-永續年金的現值
例題3-6假設某筆土地租金為每年40萬元,若租金固定不變,還原利率為10%,則該筆土地之市價為多少元?
解答
依據(式3-18):PMTPV
r=
$400,00010%
=$4,000,000
=
第四章公式關係-名詞定義
名詞定義:r = 每期利率。n = 總期數。PV = 現值。S = 年金總和。PMT = 每期之年金金額。FVIF(Future Value Interest Factor)= 終值利率因子(複利因子)。PVIF(Present Value Interest Factor)= 現值利率因子(現值因子)。FVIFA(Future Value Interest Factor of Annuity)= 年金終值利率因子。PVIFA(Present Value Interest Factor of Annuity)= 年金現值利率因子。
第四章公式關係-普通年金關係
經以上三章的說明,可將不動產估價理論之基礎財務數學,歸納為六個公式:
4.2.1 終值利率因子(FVIF)=4.2.2 年金終值利率因子(FVIFA)=4.2.3 償債(沉入)基金因子(Sinking Fund Factor, SFF)=4.2.4 現值利率因子(PVIF)=4.2.5 年金現值利率因子(PVIFA)=4.2.6 貸款常數(Mortgage Constant, MC)=
( )n1 r+( )n1 r 1
r+ −
( )nr
1 r 1+ −
( )n1
1 r+ ( )( )
n
n
1 r 1
r 1 r
+ −
+( )
( )
n
n
r 1 r
1 r 1
+
+ −
第四章公式關係-普通年金關係
其中4.2.1至4.2.3為「終值」概念,4.2.4至4.2.6為「現值」概念,關係如下圖: PV FVn
求單筆金額
互為倒數
求S×(1+r)n
÷(1+r)n
求PMT
互為倒數 互為倒數
×(1+r)n
÷(1+r)n
( )n1
1+r( )n1 r+
( )n 1
i
i 01 r
−
=
+∑( )
n
ii 1
11 r= +
∑( )( )
n
n
1+r -1
r 1+r( )n1+r -1
r
( )( )
n
n
1+r -1
r 1+r ( )n
r1+r 1−
第四章公式關係-普通年金關係
上述公式均屬「普通年金」,若為「期初年金」則公式變更為:
4.2.7年金終值利率因子(FVIFA)=4.2.8 償債(沉入)基金因子(SFF)=4.2.9年金現值利率因子(PVIFA)=4.2.10貸款常數(MC)=
即原因在於期初年金較普通年金多一期
( ) ( )n1 r 1
1 rr
+ −× +
( )nr 1
1 r1 r 1⎛ ⎞×⎜ ⎟+⎝ ⎠+ −
( )( )
( )n
n
1 r 11 r
r 1 r
+ −× +
+( )( )
n
n
r 1 r 11 r1 r 1
+ ⎛ ⎞×⎜ ⎟+⎝ ⎠+ −
第五章綜合例題5-1例題5-1
甲向乙租用一間房屋,租期10年,雙方約定由甲於期初支付一筆權利金3,620萬元作為租金,期間不再支付租金,且權利金到期不退還,如權利金之運用收益率7%,則實際上每年的租金是多少?
解答本題為年金現值已知之題型,未特別註明租金支付的投入時間,故以普通年金計算
PV=3,620萬元r=0.07n=10年
第五章綜合例題5-1圖解法:
3,620=(PMT× )+(PMT× )+(PMT× )+…+(PMT× )+(PMT× )
0 1 2 3 8 9 10
3,620萬元
? ? ? ? ? ? ?
( )11
1 0.07+ ( )2
11 0.07+
( )31
1 0.07+ ( )91
1 0.07+
( )101
1 0.07+
第五章綜合例題5-13,620=PMT( + + +… ++ )
3,620=PMT×7.0235815
PMT=
=515.40656(萬元)
( )11
1 0.07+ ( )21
1 0.07+ ( )31
1 0.07+ ( )91
1 0.07+
( )101
1 0.07+
3,6207.0235815
第五章綜合例題5-1公式法:
PV=PMT×PVIFA(r, n)
=PV× (貸款常數)
=3,620×
=3,620×0.142377503
=515.40656(萬元)
( )r , n
1PMT PVPVIFA
= ×
( )( )
10
10
0.07 1 0.07
1 0.07 1
+
+ −
( )( )
n
n
r 1 r
1 r 1
+
+ −
第五章綜合例題5-2例題5-2
甲向乙租用一筆土地,租期5年,雙方約定由甲於期初支付一筆金額2,150萬元,租期屆滿再支付另一筆金額860萬元,期間不再支付租金,利率5%,則實際上每年的租金是多少?
解答本題為年金現值與年金終值均為已知的題型,未特別註明每期租金支付的投入時間,故以普通年金計算後,將兩項所得結果加總後,即可求得PMTPV = 2,150萬元FV = 860萬元r = 0.05n = 5年
第五章綜合例題5-2圖解法:
0 1 2 3 4 5
2,150萬元
? ? ? ? ? ?
860萬元
2,150萬元 860萬元
第五章綜合例題5-2現值2,150萬元部份:
2,150=(PMT× )+(PMT× )+(PMT× )+(PMT× )+(PMT× )
2,150=PMT( + + + + )
2,150=PMT×0.172357
PMT=
=496.596(萬元)
( )11
1 0.05+ ( )21
1 0.05+
( )31
1 0.05+ ( )41
1 0.05+ ( )51
1 0.05+
( )11
1 0.05+ ( )21
1 0.05+ ( )31
1 0.05+ ( )41
1 0.05+ ( )51
1 0.05+
2,1504.329477
第五章綜合例題5-2終值860萬元部份860=PMT+
860=
860=PMT×5.525631
=155.6383(萬元)故 PMT=496.596+155.6383
=652.2343(萬元)
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4PMT 1 0.05 PMT 1 0.05 PMT 1 0.05 PMT 1 0.05+ + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4PMT 1 1 0.05 1 0.05 1 0.05 1 0.05⎡ ⎤+ + + + + + + +⎣ ⎦
860PMT5.525631
=
第五章綜合例題5-2
公式法(現值2,150萬元部份 ):PV=PMT×PVIFA(r, n) (式3-9)
=PV× (貸款常數)
=2,150×
=2,150×0.230975
=496.59625(萬元)
( )r , n
1PMT PVPVIFA
= ×
( )( )
n
n
r 1 r
1 r 1
+
+ −( )
( )
5
5
0.05 1 0.05
1 0.05 1
+
+ −
第五章綜合例題5-2終值860萬元部份
( )nFV
1 r 1r
+ −
( )
( )
n 1t
t 0
n
FV PMT 1 r
1 r 1 PMT
r =PMT FVIFA
−
=
⎡ ⎤= × +⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ −= ×
×
∑
FVPMTFVIFA
= 註:1
FVIFA 為償還基金率
= ( )5860
1 0.05 10.05
+ −= 860
5.525631= = 155.6383(萬元)
故 PMT=496.59625+155.6383=652.23455(萬元)
(式3-1)
第五章綜合例題5-3例題5-3
甲向乙租用一間房屋,租期6年,雙方言明退租時甲應回復原狀,甲估計回復原狀費用約150萬元,試換算每年的回復原狀費用是多少?(利率3%)。
解答本題為年金終值已知的題型,未特別註明每期租金支付的投入時間,故以普通年金計算
FV=150萬r=0.03n=6年
第五章綜合例題5-3圖解法:
0 1 2 3 4 5
? ? ? ? ? ? ?
150萬元
6
150=PMT+150=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5PMT 1 0.03 PMT 1 0.03 PMT 1 0.03 PMT 1 0.03 PMT 1 0.03+ + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5PMT 1 1 0.03 1 0.03 1 0.03 1 0.03 1 0.03⎡ ⎤+ + + + + + + + + +⎣ ⎦
150=PMT×6.46841150PMT
6.46841= =23.1896(萬元)
故 PMT=23.1896(萬元)
第五章綜合例題5-3
公式法:
( )
( )
n 1t
t 0
n
FV PMT 1 r
1 r 1 PMT
r =PMT FVIFA
−
=
⎡ ⎤= × +⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ −= ×
×
∑
FVPMTFVIFA
= 註:1
FVIFA 為償還基金率
( )nFV
1 r 1r
+ − ( )6
1501 0.03 1
0.03+ −
1506.46841
= ==
= 23.1896(萬元)
(式3-1)
第五章綜合例題5-4例題5-4
甲向乙租一筆土地作為出租停車場,租期8年,惟雙方言明乙應於期初整地,花費820萬元,耐用年數8年,試換算每年的整地費用。(利率12%)
解答
本題為年金現值已知之題型,未特別註明租金支付的投入時間,故以普通年金計算
PV=820萬元r=0.12n=8年
第五章綜合例題5-4圖解法:
0 1 2 3 6 7 8
820萬元
? ? ? ? ? ? ?
第五章綜合例題5-4
820=(PMT× )+(PMT× )+(PMT× )+…+(PMT× )+(PMT× )
820=PMT( + + +…++ )
820=PMT×4.96764
PMT=
=165.0683(萬元)
( )11
1 0.12+ ( )21
1 0.12+
( )31
1 0.12+ ( )71
1 0.12+
( )81
1 0.12+
( )11
1 0.12+ ( )21
1 0.12+ ( )31
1 0.12+ ( )71
1 0.12+
( )81
1 0.12+
8204.96764
第五章綜合例題5-4
公式法:
PV=PMT×PVIFA(r, n)
=PV× (貸款常數)
=820×
=820×0.201303
=165.0685(萬元)
( )r , n
1PM T PVPVIFA
= ×
( )( )
n
n
r 1 r
1 r 1
+
+ −( )
( )
8
8
0.12 1 0.12
1 0.12 1
+
+ −
第五章綜合例題5-5例題5-5
甲向台北市政府承租一個攤位,每年租金15萬元,租期6年,經過2年後,甲擬將該攤位盤給他人,經查附近同一規格攤位之市場租賃行情每年21萬元,試問甲將該攤位盤給他人之權利金為多少?(利率5%)
解答本題題意所指之權利金為多少?似宜改為盤給他人後之利潤為多少較為明確。故本題意屬PMT已知(即每年利潤:21-15=6(萬元)),求年金現值之題型,未特別註明租金支付的投入時間,故以普通年金計算
PMT=21-15=6(萬元)r=0.05n=6-2=4(年)
第五章綜合例題5-5圖解法:
0 1 2
15萬元 15萬元
? ? ? ? ?
0 1 2 3 4
6萬元 6萬元 6萬元 6萬元
第五章綜合例題5-5
FV=
=
=6×3.545951
=21.2757(萬元)
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 16 6 6 6
1 0.05 1 0.05 1 0.05 1 0.05× + × + × + ×
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 16
1 0.05 1 0.05 1 0.05 1 0.05
⎡ ⎤× + + +⎢ ⎥
+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
第五章綜合例題5-5
公式法:
( )
n
tt 1
1PV PMT1 r=
⎡ ⎤= × ⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦∑
( )( )
n
n
1 r 1PMT
r 1 r
⎡ ⎤+ −× ⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦=
PMT PVIFA×=( )
( )
4
4
1 0.05 16
0.05 1 0.05
+ −×
+=
= 6×3.545951
= 21.2757(萬元)
(式3-9)