Ch12Ch12Infinite Sequence Infinite Sequence
and Seriesand Series
Ch12Ch12Infinite Sequence Infinite Sequence
and Seriesand Series
無窮數列與級數無窮數列與級數
2
• 12.1 無窮數列• 12.2 無窮級數• 12.3 積分檢定法• 12.4 比較檢定法• 12.5 交錯級數• 12.6 比值與根式檢定法與絕對收斂、條件收斂
• 12.7 次方級數• 12.12 Taylor 和 Maclaurin 級數
12.412.4Comparison Tests Comparison Tests
比較檢定法比較檢定法
12.412.4Comparison Tests Comparison Tests
比較檢定法比較檢定法
4
學習重點•知道比較檢定法的原理•會利用比較檢定法判別級數是否收歛或發散
5
比較檢定法
•直接比較檢定法– Direct Comparison Test
•極限比較檢定法– Limit Comparison Test
6
直接比較檢定法•直接比較檢定法
–緣起
n321
n2642 ?∞•小發大必發
大
小
大
小
大
小
大
小
7
12
1
2
1
2
1
2
132
n
n3
1
3
1
3
1
3
132
大
直接比較檢定法•直接比較檢定法
–緣起
?•大收小必收
1/2小
大
小
大
小
大
小
8
直接比較檢定法•直接比較檢定法 • Direct Comparison Test
–對象:任何 Σan與其相關的 Σbn
–檢查:•(1) bn ≦ an , 任何 n 而且 Σbn 發散• (2) bn ≧ an , 任何 n 而且 Σbn收斂
–判定:•(1) Σan 發散• (2) Σan 收斂
結論
9
Example 1
12 342
5
n nn
大22 2
5
342
5
nnn
n
n
ann1
2 342
5
- 檢查:?
- 判定:
- 結論 收斂
收斂,1
2
5
12
n
n
bn
•大收小必收
12 342
5
n nn
10
1
ln
n
n
n
Example 1 = ?
ln 13
nn
n n
- 判定:
- 結論
•小發大必發
發散,bn n
n
1
1
發散1
ln
n
n
n
11
Q 1
n
n
an1 15
5 ?
(a) Series is convergent.
(b) Series is divergent.
12
Q 1
1 15
5
n n
,1
51
1
5/15/5
5/5
15
5
nnnn
大
n
n
an1 15
5
- 檢查:?
- 判定:
- 結論
1 15
5
n n 發散
•小發大必發
1發散,
1
1
n
n
bn
小n
1
13
–判定:(1) Σbn Σan 同時發散或同時收斂(2) Σbn 收斂 Σan 收斂(3) Σbn 發散 Σan 發散
極限比較檢定法 •極限比較檢定法 • Limit Comparison Test
–對象:任何 Σan與其相關的 Σbn
–檢查:
結論
)3(,
)2(,0
)1(,
lim
c
ba nnn
14
Example 3
1 12
1
nn
,1211
1lim
12
2lim
21
)12(1lim
nnn
n
nn
n
n
n
nn
a1 12
1
- 檢查:?
- 判定:
- 結論
1 12
1
nn 收斂
1,
2
1
1
n
nn
b 收斂
15
2
51
2 3
5n
n n
n
Example 4
2 2
5/ 2 1/ 25
2 3 2 2
5n n
n n na b
n nn
1n21n
n
2bp = 1/2 < 1
- 結論 收斂
發散
1
11
,1
1
1p
np
p
np
16
2 1/ 2
5
5/ 2 3/ 2
5
5
2 3lim lim .
25
2 3lim
2 53
2 2 0lim 1
5 2 0 12 1
n
n nn
n
n
a n n n
b n
n n
n
n
n
結論
)3(,
)2(,0
)1(,
lim
c
ba nnn
Σbn ,Σan 同時發散或同時收斂
25
25
n1
n1
- 判定: - 結論 2
51
2 3
5n
n n
n
發散
17
Q 2 ?
(a) Series is convergent.
(b) Series is divergent.
1
1
n2 1n
18
Q 2 ?
1
1
n2 1n
11n
nlim
n1
1n1lim
2n
2
n
diverges n
bn
n
1
1
diverges 1nn
2
1
1
19
Q 3
(a) Series is convergent.
(b) Series is divergent.
n
n
ann
n
12 12
12?
20
Q3
12 12
12
n nn
n
1212
1lim
2 nnn
nn
n
n
ann
n
12 12
12
- 檢查:?
- 判定:
- 結論
12 12
12
n nn
n發散
發散,1
1
n
n
bn
nn
nnn
2
2
2
12lim
2
1
21
複習一下特殊級數 檢定法
幾何級數 發散檢定法伸縮級數p - 級數 積分檢定法
直接比較檢定法極限比較檢定法