Indices elementaires Indices synthetiques
Chapitre 5. Indices elementaires et synthetiques
Jean-Francois Coeurjollyhttp://www-ljk.imag.fr/membres/Jean-Francois.Coeurjolly/
Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University
Indices elementaires Indices synthetiques
1 Indices elementairesDefinitions generalesProprietes
2 Indices synthetiquesDefinitions et objectifsIndices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions generales
Objectif et Notations
Objectif
Comparer des grandeurs numeriques qui evoluent au coursdu temps et/ou de l’espace.
Notations :
Vt est la valeur de la grandeur etudiee au temps t (t est ladate courante ).
V0 est la valeur de la grandeur etudiee au temps 0 (0 est ladate de reference ).
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions generales
Definition
L’indice elementaire d’une grandeur V a la date t base 100 a ladate 0 est
It/0 = IVt/0 =Vt
V0× 100.
Exemple : Quel est l’indice du prix base 100 en 2010 d’unproduit valant 250 e en 2010 et 300 e en 2012 ?
Reponse :
IP12/10 =P12
P10× 100 =
300
250× 100 = 120.
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions generales
Definition
L’indice elementaire d’une grandeur V a la date t base 100 a ladate 0 est
It/0 = IVt/0 =Vt
V0× 100.
Exemple : Quel est l’indice du prix base 100 en 2010 d’unproduit valant 250 e en 2010 et 300 e en 2012 ?
Reponse :
IP12/10 =P12
P10× 100 =
300
250× 100 = 120.
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions generales
Comment interpreter la valeur d’un indice ?
Interpretation
Soit It/0 l’indice elementaire d’une valeur V a la date t base 100
a la date 0 et soit ∆ = It/0 − 100
∆ > 0 ⇔ la valeur V a augmente de ∆% de la date 0 a ladate t .
∆ < 0 ⇔ la valeur V a diminue de ∆% de la date 0 a ladate t .
Retour sur exemple :
IP12/10 = 120 ⇔ le prix a augmente de 20% de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions generales
Comment interpreter la valeur d’un indice ?
Interpretation
Soit It/0 l’indice elementaire d’une valeur V a la date t base 100
a la date 0 et soit ∆ = It/0 − 100
∆ > 0 ⇔ la valeur V a augmente de ∆% de la date 0 a ladate t .
∆ < 0 ⇔ la valeur V a diminue de ∆% de la date 0 a ladate t .
Retour sur exemple :
IP12/10 = 120 ⇔ le prix a augmente de 20% de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions generales
Comment interpreter la valeur d’un indice ?
Interpretation
Soit It/0 l’indice elementaire d’une valeur V a la date t base 100
a la date 0 et soit ∆ = It/0 − 100
∆ > 0 ⇔ la valeur V a augmente de ∆% de la date 0 a ladate t .
∆ < 0 ⇔ la valeur V a diminue de ∆% de la date 0 a ladate t .
Retour sur exemple :
IP12/10 = 120 ⇔ le prix a augmente de 20% de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions generales
Comment interpreter la valeur d’un indice ?
Interpretation
Soit It/0 l’indice elementaire d’une valeur V a la date t base 100
a la date 0 et soit ∆ = It/0 − 100
∆ > 0 ⇔ la valeur V a augmente de ∆% de la date 0 a ladate t .
∆ < 0 ⇔ la valeur V a diminue de ∆% de la date 0 a ladate t .
Retour sur exemple :
IP12/10 = 120 ⇔ le prix a augmente de 20% de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite
Proposition
Si une grandeur numeriques V prend les valeurs V0, Vt et Vt ′ auxinstants 0, t , t ′ alors
It/0 = It/t′ × It′/0 ×1
100
Remarque :
on peut connaıtre l’evolution de 0 a t connaissant les evolutionsde 0 a t ′ et de t ′ a t . Pas besoin d’observer V0,Vt et Vt ′ .
cette propriete peut etre generalisee . . .
Preuve : pour demontrer ce resultat, on part du terme de droite
It/t ′ × It ′/t ×1
100=
(Vt
��Vt ′× 100
) (��Vt ′
V0��100
)×
1
��100
=Vt
V0× 100 = It/0.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite
Proposition
Si une grandeur numeriques V prend les valeurs V0, Vt et Vt ′ auxinstants 0, t , t ′ alors
It/0 = It/t′ × It′/0 ×1
100
Remarque :
on peut connaıtre l’evolution de 0 a t connaissant les evolutionsde 0 a t ′ et de t ′ a t . Pas besoin d’observer V0,Vt et Vt ′ .
cette propriete peut etre generalisee . . .
Preuve : pour demontrer ce resultat, on part du terme de droite
It/t ′ × It ′/t ×1
100=
(Vt
��Vt ′× 100
) (��Vt ′
V0��100
)×
1
��100
=Vt
V0× 100 = It/0.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite (2)
Exemple
Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmente de 30% de 2010a 2011 et diminue de 25% de 2011 a 2012. Le CA a-t-il diminueou augmente de 2010 a 2012 ?
BLa reponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !Les pourcentages ne s’additionnent pas.
Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 = 75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite
I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1
100
=130 × 75
100= 97.5.
Autrement dit, le CA a diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite (2)
Exemple
Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmente de 30% de 2010a 2011 et diminue de 25% de 2011 a 2012. Le CA a-t-il diminueou augmente de 2010 a 2012 ?
BLa reponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !Les pourcentages ne s’additionnent pas.
Formalisation enonce : on a I11/10 =
130, I12/11 = 75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite
I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1
100
=130 × 75
100= 97.5.
Autrement dit, le CA a diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite (2)
Exemple
Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmente de 30% de 2010a 2011 et diminue de 25% de 2011 a 2012. Le CA a-t-il diminueou augmente de 2010 a 2012 ?
BLa reponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !Les pourcentages ne s’additionnent pas.
Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 =
75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite
I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1
100
=130 × 75
100= 97.5.
Autrement dit, le CA a diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite (2)
Exemple
Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmente de 30% de 2010a 2011 et diminue de 25% de 2011 a 2012. Le CA a-t-il diminueou augmente de 2010 a 2012 ?
BLa reponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !Les pourcentages ne s’additionnent pas.
Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 = 75 et oncherche
I12/10. Par la propriete de circularite
I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1
100
=130 × 75
100= 97.5.
Autrement dit, le CA a diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite (2)
Exemple
Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmente de 30% de 2010a 2011 et diminue de 25% de 2011 a 2012. Le CA a-t-il diminueou augmente de 2010 a 2012 ?
BLa reponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !Les pourcentages ne s’additionnent pas.
Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 = 75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite
I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1
100
=130 × 75
100= 97.5.
Autrement dit, le CA a diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite (2)
Exemple
Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmente de 30% de 2010a 2011 et diminue de 25% de 2011 a 2012. Le CA a-t-il diminueou augmente de 2010 a 2012 ?
BLa reponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !Les pourcentages ne s’additionnent pas.
Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 = 75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite
I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1
100
=130 × 75
100= 97.5.
Autrement dit, le CA a diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite (2)
Exemple
Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmente de 30% de 2010a 2011 et diminue de 25% de 2011 a 2012. Le CA a-t-il diminueou augmente de 2010 a 2012 ?
BLa reponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !Les pourcentages ne s’additionnent pas.
Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 = 75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite
I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1
100
=130 × 75
100= 97.5.
Autrement dit, le CA a
diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Circularite ou transferabilite (2)
Exemple
Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmente de 30% de 2010a 2011 et diminue de 25% de 2011 a 2012. Le CA a-t-il diminueou augmente de 2010 a 2012 ?
BLa reponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !Les pourcentages ne s’additionnent pas.
Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 = 75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite
I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1
100
=130 × 75
100= 97.5.
Autrement dit, le CA a diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Reversibilite
Probleme : connaissant l’evolution de 0 a t d’une certainequantite, peut-on connaıtre l’evolution de t a 0 ?
Proposition
Si une grandeur numerique V prend les valeurs V0 et Vt auxinstants 0 et t alors
I0/t =1002
It/0.
Preuve : a nouveau on part du terme de droite
1002
It/0=
100�2
Vt
V0��100
=V0
Vt× 100 = I0/t .
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Reversibilite
Probleme : connaissant l’evolution de 0 a t d’une certainequantite, peut-on connaıtre l’evolution de t a 0 ?
Proposition
Si une grandeur numerique V prend les valeurs V0 et Vt auxinstants 0 et t alors
I0/t =1002
It/0.
Preuve : a nouveau on part du terme de droite
1002
It/0=
100�2
Vt
V0��100
=V0
Vt× 100 = I0/t .
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Reversibilite (2)
Exemple
Si un prix augmente de 20% de 2010 a 2012, que dire de sonevolution de 2012 a 2010 ?
BLa reponse n’est pas diminution de 20%.Les pourcentages ne sont pas reversibles.
Formalisation : on a I12/10 =
120 et on cherche I10/12. Par lapropriete de reversibilite
I10/12 =1002
I12/10=
1002
120' 83.33.
Autrement dit, le prix a diminue de 16.67% de 2012 a 2010.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Reversibilite (2)
Exemple
Si un prix augmente de 20% de 2010 a 2012, que dire de sonevolution de 2012 a 2010 ?
BLa reponse n’est pas diminution de 20%.Les pourcentages ne sont pas reversibles.
Formalisation : on a I12/10 = 120 et on cherche
I10/12. Par lapropriete de reversibilite
I10/12 =1002
I12/10=
1002
120' 83.33.
Autrement dit, le prix a diminue de 16.67% de 2012 a 2010.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Reversibilite (2)
Exemple
Si un prix augmente de 20% de 2010 a 2012, que dire de sonevolution de 2012 a 2010 ?
BLa reponse n’est pas diminution de 20%.Les pourcentages ne sont pas reversibles.
Formalisation : on a I12/10 = 120 et on cherche I10/12. Par lapropriete de reversibilite
I10/12 =1002
I12/10=
1002
120' 83.33.
Autrement dit, le prix a diminue de 16.67% de 2012 a 2010.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Reversibilite (2)
Exemple
Si un prix augmente de 20% de 2010 a 2012, que dire de sonevolution de 2012 a 2010 ?
BLa reponse n’est pas diminution de 20%.Les pourcentages ne sont pas reversibles.
Formalisation : on a I12/10 = 120 et on cherche I10/12. Par lapropriete de reversibilite
I10/12 =1002
I12/10=
1002
120' 83.33.
Autrement dit, le prix a diminue de 16.67% de 2012 a 2010.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Produit de grandeurs
Proposition
Si une grandeur a est egale a tout instant
1 au produit des grandeurs b et c, c-a-d a = b × c alors
I at/0 =(I bt/0 × I
ct/0
)×
1
100.
2 au rapport des grandeurs b et c, c-a-d a = b/c alors
I at/0 =I bt/0
I ct/0× 100.
Preuve : demontrons la 1ere propriete en partant du terme de droite(I bt/0 × I
ct/0
)×
1
100=
(btb0× 100
) (ctc0��100
)×
1
��100
=bt × ctb0 × c0
× 100 =ata0× 100 = I at/0.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Produit de grandeurs (2)
Exemple
Soit P et Q les prix et quantites d’un produit vendu par uneentreprise. Si le prix de ce produit augmente de 60% de 2000 a2010 et si les quantites vendues ont diminue de 50% de 2000 a2010, quelle est l’evolution des recettes de 2000 a 2010 ?
Formalisation : on a
IP10/00 = 160 et IQ10/00 = 50
et on cherche IR10/00 ou R = P ×Q . Par la propriete precedenteon a
IR10/00 = IP10/00 × IQ10/00 ×
1
100=
160 × 50
100= 80.
Autrement dit, les recettes ont diminue de 20% de 2000 a2010.
Indices elementaires Indices synthetiques
Proprietes
Produit de grandeurs (2)
Exemple
Soit P et Q les prix et quantites d’un produit vendu par uneentreprise. Si le prix de ce produit augmente de 60% de 2000 a2010 et si les quantites vendues ont diminue de 50% de 2000 a2010, quelle est l’evolution des recettes de 2000 a 2010 ?
Formalisation : on a
IP10/00 = 160 et IQ10/00 = 50
et on cherche IR10/00 ou R = P ×Q . Par la propriete precedenteon a
IR10/00 = IP10/00 × IQ10/00 ×
1
100=
160 × 50
100= 80.
Autrement dit, les recettes ont diminue de 20% de 2000 a2010.
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions et objectifs
Generalites
Utilisation : etude de grandeurs complexes c-a-d degrandeurs composees de plusieurs grandeurs simples.
Exemple : comprendre l’evolution
du prix d’un plat : grandeur composee des prix et quantitesde matieres premieres (farine, huile, . . . ).de la recette globale d’une entreprise : grandeur composeedes prix et quantites de l’ensemble des produits vendus parcette entreprise.du nombre d’entrees au cinema : grandeur dependant dunombre de films et du nombre moyen d’entrees par filmpour differents types de films (francais, americain,. . . ).. . .
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions et objectifs
Quelques notations dans un contexte economique
i : indice d’un produit parmi un panier de I produits.
Pi (t) (ou Pi ,t) : Prix du produit i a l’instant t .
Qi (t) (ou Qi ,t) : Quantites du produit i a l’instant t .
Definitions
Pi (t) ×Qi (t) = Vi (t) est la valeur globale du produit ia l’instant t .
V (t) =∑
i Pi (t)Qi (t) est la valeur globale del’ensemble des produits.
L’indice de valeur globale est
IVt/0 =V (t)V (0)
× 100 =
∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (0)
× 100
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions et objectifs
Exemple
Etudions le panier de trois produits de la TAG vendus a unesous-population (non precisee ici) en 2010 et 2012.
2010 2012Produit Prix Quantites Prix Quantites
Ticket simple 1.5 100 2 100Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50
Abonnement mensuel 130 35 175 40
Question : quelle est l’evolution des recettes de la TAG pour ce panieret la sous-population etudiee ?
Reponse :
IV12/10 =2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40
1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 159.02
Les recettes ont donc augmente de 59.02% de 2010 a 2012.Mais cette augmentation est-elle plus due a uneaugmentation des prix ou des quantites ?
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions et objectifs
Exemple
Etudions le panier de trois produits de la TAG vendus a unesous-population (non precisee ici) en 2010 et 2012.
2010 2012Produit Prix Quantites Prix Quantites
Ticket simple 1.5 100 2 100Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50
Abonnement mensuel 130 35 175 40
Question : quelle est l’evolution des recettes de la TAG pour ce panieret la sous-population etudiee ?
Reponse :
IV12/10 =
2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40
1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 159.02
Les recettes ont donc augmente de 59.02% de 2010 a 2012.Mais cette augmentation est-elle plus due a uneaugmentation des prix ou des quantites ?
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions et objectifs
Exemple
Etudions le panier de trois produits de la TAG vendus a unesous-population (non precisee ici) en 2010 et 2012.
2010 2012Produit Prix Quantites Prix Quantites
Ticket simple 1.5 100 2 100Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50
Abonnement mensuel 130 35 175 40
Question : quelle est l’evolution des recettes de la TAG pour ce panieret la sous-population etudiee ?
Reponse :
IV12/10 =2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40
1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 159.02
Les recettes ont donc augmente de 59.02% de 2010 a 2012.
Mais cette augmentation est-elle plus due a uneaugmentation des prix ou des quantites ?
Indices elementaires Indices synthetiques
Definitions et objectifs
Exemple
Etudions le panier de trois produits de la TAG vendus a unesous-population (non precisee ici) en 2010 et 2012.
2010 2012Produit Prix Quantites Prix Quantites
Ticket simple 1.5 100 2 100Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50
Abonnement mensuel 130 35 175 40
Question : quelle est l’evolution des recettes de la TAG pour ce panieret la sous-population etudiee ?
Reponse :
IV12/10 =2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40
1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 159.02
Les recettes ont donc augmente de 59.02% de 2010 a 2012.Mais cette augmentation est-elle plus due a uneaugmentation des prix ou des quantites ?
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Generalites sur les indices synthetiques
Pour pouvoir determiner l’influence des prix ou desquantites, il faut definir des scenari permettant d’isoler soitles prix soit les quantites.
C’est l’idee des indices de Laspeyres et de Paasche :
l’indice de Laspeyres des prix , par exemple, regardel’evolution des prix de 0 a t en supposant que lesquantites sont fixees a la date 0 .l’indice de Paasche des quantites , par exemple, regardel’evolution des quantites de 0 a t en supposant que lesprix sont fixees a la date t .
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Generalites sur les indices synthetiques
Pour pouvoir determiner l’influence des prix ou desquantites, il faut definir des scenari permettant d’isoler soitles prix soit les quantites.
C’est l’idee des indices de Laspeyres et de Paasche :
l’indice de Laspeyres des prix , par exemple, regardel’evolution des prix de 0 a t en supposant que lesquantites sont fixees a la date 0 .l’indice de Paasche des quantites , par exemple, regardel’evolution des quantites de 0 a t en supposant que lesprix sont fixees a la date t .
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indices de Laspeyres
Definition
Les indices de Laspeyres des prix et des quantites sont respectivementdefinis par :
LPt/0 =
∑i Pi (t)Qi (0)∑i Pi (0)Qi (0)
× 100 et LQt/0 =
∑i Pi (0)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (0)
× 100.
Application : indices de Laspeyres des prix et quantites sur l’exemple2010 2012
Produit Prix Quantites Prix QuantitesTicket simple 1.5 100 2 100
Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50Abonnement mensuel 130 35 175 40
LP12/10 =
2 × 100 + 50 × 40 + 175 × 35
1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 136.48.
LQ12/10 =
1.5 × 100 + 35 × 50 + 130 × 40
1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 116.39.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indices de Laspeyres
Definition
Les indices de Laspeyres des prix et des quantites sont respectivementdefinis par :
LPt/0 =
∑i Pi (t)Qi (0)∑i Pi (0)Qi (0)
× 100 et LQt/0 =
∑i Pi (0)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (0)
× 100.
Application : indices de Laspeyres des prix et quantites sur l’exemple2010 2012
Produit Prix Quantites Prix QuantitesTicket simple 1.5 100 2 100
Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50Abonnement mensuel 130 35 175 40
LP12/10 =
2 × 100 + 50 × 40 + 175 × 35
1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 136.48.
LQ12/10 =
1.5 × 100 + 35 × 50 + 130 × 40
1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 116.39.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indices de Laspeyres (2)
Definition
Les indices de Laspeyres des prix et des quantites sont respectivementdefinis par :
LPt/0 =
∑i Pi (t)Qi (0)∑i Pi (0)Qi (0)
× 100 et LQt/0 =
∑i Pi (0)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (0)
× 100.
Comment interpreter les valeurs LP12/10 ' 136.48 et LQ
12/10 ' 116.39 ?
A quantites fixees en 2010 , les prix ont augmente de36.48% de 2010 a 2012.
A prix fixes en 2010 , les quantites ont augmente de16.39% de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indices de Paasche
Definition
Les indices de Paasche des prix et des quantites sont respectivementdefinis par :
PPt/0 =
∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (t)
× 100 et PQt/0 =
∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (t)Qi (0)
× 100.
Application : indices de Paasche des prix et quantites sur l’exemple2010 2012
Produit Prix Quantites Prix QuantitesTicket simple 1.5 100 2 100
Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50Abonnement mensuel 130 35 175 40
PP12/10 =
2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40
1.5 × 100 + 35 × 50 + 130 × 40× 100 ' 136.62.
PQ12/10 =
2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40
2 × 100 + 50 × 40 + 175 × 35× 100 ' 116.52.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indices de Paasche
Definition
Les indices de Paasche des prix et des quantites sont respectivementdefinis par :
PPt/0 =
∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (t)
× 100 et PQt/0 =
∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (t)Qi (0)
× 100.
Application : indices de Paasche des prix et quantites sur l’exemple2010 2012
Produit Prix Quantites Prix QuantitesTicket simple 1.5 100 2 100
Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50Abonnement mensuel 130 35 175 40
PP12/10 =
2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40
1.5 × 100 + 35 × 50 + 130 × 40× 100 ' 136.62.
PQ12/10 =
2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40
2 × 100 + 50 × 40 + 175 × 35× 100 ' 116.52.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indices de Paasche (2)
Definition
Les indices de Paasche des prix et des quantites sont respectivementdefinis par :
PPt/0 =
∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (t)
× 100 et PQt/0 =
∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (t)Qi (0)
× 100.
Comment interpreter les valeurs PP12/10 ' 136.62 et PQ
12/10 ' 116.52 ?
A quantites fixees en 2012 , les prix ont augmente de36.62% de 2010 a 2012.
A prix fixes en 2012 , les quantites ont augmente de16.52% de 2010 a 2012.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indices de Fisher
Resume :
IV12/10 LP12/10 PP
12/10 LQ12/10 PQ
12/10
159.02 136.48 136.62 116.39 116.52
Il est possible que les indices de Laspeyres et de Paasche soienttres differents.
Pour nuancer cette possible situation, Fisher a defini des indicesmoyens des indices precedents.
Definition
L’indice de Fisher des prix (resp. des quantites) est defini comme lamoyenne geometrique des indices de Laspeyres et de Paasche desprix (resp. des quantites), c-a-d
FPt/0 =
√LPt/0 × P
Pt/0 et FQ
t/0 =
√LQt/0 × P
Qt/0
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Resume
IV12/10 LP12/10 PP
12/10 FP12/10 LQ
12/10 PQ12/10 FQ
12/10
159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45
Interpretation :
D’un point de vue global, l’ augmentation de 59.02% desrecettes globales de la TAG est davantage due al’augmentation des prix (de l’ordre de 36.5%) qu’a l’augmentation des quantites (de l’ordre de 16.4%).
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Relations entre les differents indices
S’il n’y avait qu’un seul produit
IVt/0 = IPt/0 × IQt/0 ×
1
100
car V = P ×Q . Lorsque l’on a plusieurs produits, on a lesrelations suivantes
Proposition
IVt/0 = LPt/0 × PQ
t/0 ×1
100
= PPt/0 × LQ
t/0 ×1
100
= FPt/0 × FQ
t/0 ×1
100
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Relations entre les differents indices (2)
IV12/10 LP12/10 PP
12/10 FP12/10 LQ
12/10 PQ12/10 FQ
12/10
159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45
Par exemple,
LP12/10 × P
Q12/10 ×
1
100=
136.48 × 116.52
100' 159.03 ' IV12/10
FP12/10 × F
Q12/10 ×
1
100=
136.55 × 116.45
100' 159.01 ' IV12/10
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Complement : reversibilite des indices synthetiques
Rappel : lorsqu’il n’y a qu’un seul produit, on a par exemple pour les
prix (valable aussi pour les quantites)
IP0/t =1002
IPt/0.
En presence de plusieurs produits, ceci n’est plus tout a fait vrai.Cependant,
proposition
Notons • = P ou Q (prix ou quantites)
L•0/t =1002
P•t/0et P•0/t =
1002
L•t/0.
Par contre les indices de Fisher sont reversibles. Ainsi
F •0/t =1002
F •t/0.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Reversibilite (2)
IV12/10 LP12/10 PP
12/10 FP12/10 LQ
12/10 PQ12/10 FQ
12/10
159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45
Par exemple,
1 quel est l’indice de Laspeyres des prix en 2010 base 100 en 2012 ?
Reponse :
LP10/12 =
1002
PP12/10
=1002
136.62' 73.2
2 quel est l’indice de Fisher des quantites en 2010 base 100 en2012 ?
Reponse :
FQ10/12 =
1002
FQ12/10
=1002
116.45' 85.87.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Reversibilite (2)
IV12/10 LP12/10 PP
12/10 FP12/10 LQ
12/10 PQ12/10 FQ
12/10
159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45
Par exemple,
1 quel est l’indice de Laspeyres des prix en 2010 base 100 en 2012 ?
Reponse :
LP10/12 =
1002
PP12/10
=1002
136.62' 73.2
2 quel est l’indice de Fisher des quantites en 2010 base 100 en2012 ?
Reponse :
FQ10/12 =
1002
FQ12/10
=1002
116.45' 85.87.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Reversibilite (2)
IV12/10 LP12/10 PP
12/10 FP12/10 LQ
12/10 PQ12/10 FQ
12/10
159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45
Par exemple,
1 quel est l’indice de Laspeyres des prix en 2010 base 100 en 2012 ?
Reponse :
LP10/12 =
1002
PP12/10
=1002
136.62' 73.2
2 quel est l’indice de Fisher des quantites en 2010 base 100 en2012 ?
Reponse :
FQ10/12 =
1002
FQ12/10
=1002
116.45' 85.87.
Indices elementaires Indices synthetiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Reversibilite (2)
IV12/10 LP12/10 PP
12/10 FP12/10 LQ
12/10 PQ12/10 FQ
12/10
159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45
Par exemple,
1 quel est l’indice de Laspeyres des prix en 2010 base 100 en 2012 ?
Reponse :
LP10/12 =
1002
PP12/10
=1002
136.62' 73.2
2 quel est l’indice de Fisher des quantites en 2010 base 100 en2012 ?
Reponse :
FQ10/12 =
1002
FQ12/10
=1002
116.45' 85.87.