7/28/2019 Chapitre XII
1/55
Chapitre XII Fonctions spciales
250
Chapitre XI I
XII.1 Dtermination de la fonction Gamma
La fonction Gamma est trs simple dduire partir de l'intgrale d'Euler:
0
1px .dxxe
Cette intgrale est une fonction de paramtre p ; elle est reprsente par le symbole
)p( et s'appelle la fonction Gamma.
L'intgrale d'Euler est une intgrale non propre, car la borne suprieure est infinie,
l'intgrale est gale 1px pour 0x et par consquent toutes les expressions sous intgraletendent vers zro pour p
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Chapitre XII Fonctions spciales
251
tant donn que e-x xp-1 > 0, avec la croissance de b,
b
a
1p
2
x
dxxe augmente.
Donc:
b
a
1px
b2
dxxelim existe .p
Considrons lintgrale ,1
0
1 a
px dxxe pour 1p . Pour ;1e,0x x et la fonction
sous intgrale sera de l'ordre 1px pour 0x , et 1
0
1
a
p dxx existera pour les mmes valeurs de
p pour lesquelles existe lintgrale 1a
0
1pxdxxe .
Cependant:
).a(limp
1
p
xlimdxxlimdxx
pp
10
a ap
0
1p
0
a
0
1p1 11
On peut remarquer que: si 0,0p p et l'intgrale existera; si p,0p
et l'intgrale existera. Si 0p , on aura:
a1
0
a11
00
1 ,lim/lim
a
xLnxdxdxx
c'est--dire que l'intgrale n'existe pas.
Donc,
0
1px dxxe
existe pour p>0. Par consquent pour p>0, on a :
0
1px.dxxe)p( (XII.1)
A titre d'exemple calculons )1( et )2( :
0
0
x0x ;1edxxe)1(
0
12/1x
.dxxe)2/1(
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Chapitre XII Fonctions spciales
252
Posons .zx;dxx2/1dz;zx 22/12/1 Donc:
0
z .dze2)2/1(2
Pour calculer cette intgrale posons:
dzeA0
z2
On peut crire que:
.dteA0
t2
Prenons
0 0
tz2 .dte.dzeA22
Le facteur dze z2 est une constante qu'on peut inclure dans l'intgrale.
Donc:
0 0
)tz(2 .dtdzeA22
Le calcul est plus simple raliser si lon utilise les coordonnes polaires.
et (fig XII.1). On connat que : p = tz 22 et llment de surface est gale
d pd .
Donc :
.22
1,
2
;42
1
2
1
;2,
2
1
2
0
0
2
0
2
2
0 00
2
0
2 2
AA
dedA
dduuo
dudedeedA
u
up
e
Le calcul ralis ci-dessus montre, que le calcul de p p par lintgrale dEuler est
compliqu.
Fig XII.1
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Chapitre XII Fonctions spciales
253
XII.2 Proprits de la fonction Gamma
Proprit 1.
.pp1p (XII.2)Exemple
.3
1
3
1.
3
4
13
1
3
4
3
4
3
41
3
4
3
7
Dmonstration : reprsentons 1 p par lintgrale dEuler et intgrons par parties :
0
1px
0
xpp
0
x ,dxxepexdxxe1p
o
.ev,dxedv;dxpxdu,xu
xx
1pp
Or
0e
xlimexlim
x
p
x
xp
x
Par consquent :
.ppdxxep1p 1p0
x
Corollaire 1.
Si p est nombre entier, on a .!1pp Ainsi, on a :
!.1p11.2...2p1p....
2p2p1p1p1pp
Donc, de ce corollaire, on peut remarquer comment la fonction gamma croit rapidement :
5040!786!34720!672!23
36288010120!5612
40320!8924!4511
La fonction gamma peut tre utilise pour rduire la reprsentation du produit
,pp1p2...p1mpm o m- entier et .1p0 .. Si lon ajoute ,p on obtient
1pm , do lon peut crire :
(m + p) (m -1 + p) ... (1+ p) p=(p)
1)+m+(p
.
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Chapitre XII Fonctions spciales
254
Corollaire 2.
Dtermination de la fonction gamma pour les valeurs ngatives et non entires de p.
Soit p donn sur lintervalle 0,1 . Donc p+1 sera trouv sur lintervalle (0, 1) et 1p
peut tre calcul par la formule dEuler (XII.1).
Posons :
p
)1p(p
pour 0p1 (XII.3)
Pour p = -1, la formule donne linfini, et donc :
0et01p
Par consquent 1 nexiste pas.
La transition dun intervalle un autre ...etc2,3,1,2.0,1 , peut tre
dtermine par la formule (XII.3). La fonction gamma nexiste pas pour les p ngatifs entiers.
Exemple :
.3
2
4
9
3
1
3
4
3
2
3
4
3
1
3
4
La valeur de
3
2est trouve partir de la table.
Proprit 2 :
np...2p1pp
n!nlimP
p
n
.
Cette formule est utilise pour le calcul approximatif de la fonction gamma.
Pour la dmonstration, considrons la fonction :
.dxxnx
1p,nf
1p
n
0
n
On peut facilement voir que :
pp,nflimn
. Evidemment :
.pdxxedxxn
x1lim
dxxn
x1limp,nflim
1p
0
x1p
n
0
x
x
n
n
1p
n
0
n
nn
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Chapitre XII Fonctions spciales
255
Dune autre part, en intgrant par parties, on obtient pour f (n, p) une expression sous la
forme :
.,
;1
11
,)1(1
11,
1
1
0
1
0
1
0
p
xvdxxdv
dxnn
xndu
n
xu
o
dxxn
x
p
p
x
n
xdxx
n
xpnf
pp
nn
p
n
n
npn
p
n n
On obtient lexpression :
dxxn
x1
p
1p,nf
n
0
p
1n
En lintgrant par parties encore une fois en posant :
1
1 , v .
n
pxu d x dxn
do du1p
xv;dx
n
x1
n
1n 1p2n
On obtient :
( ) [
|
( )
]
( )( )
Ou encore aprs intgration par parties n fois, on obtient :
1
0
0
1 2 ... 1
, 11 2 .... 1
!.
1 2 ... 1
! !
1 ... 1 ...
n nn
n p
n
n pn
n
n p p
n
n n n n n x
f n p x dxnn p p p p n
n x
n p p p p n n p
n n n n
n p p p n p p p n
Par consquent :
.
np....1pp
!nnlimp
p
n
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7/28/2019 Chapitre XII
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Chapitre XII Fonctions spciales
257
o 1C et 2C sont des constantes ; et y1 et y2 sont les solutions linaires et indpendantes de
lquation.
On va chercher la solution de lquation sous la forme de la srie :
0i
pi
i
i
i
2
210
p ,xa...)xa...xaxaa(xy
En posant .0a 0 Le problme sera de trouver les coefficients ...,2,1i,a i et le nombre
p. La fonction :
pi
0i
i xay
, sera introduite dans lquation. Trouvons les drives :
.x1pipiay
;pixay
2pi
0ii
0i
1pii
En les remplaant dans lquation, on trouve :
.0xax
1
xpiax1pipia
pi
0i
i
2
2pi
0i
i
2pi
0i
i
Lidentit peut tre crite sous forme :
.xax)pi(a pi0i
i
2pi22
0i
i
On peut dduire que :
)2(2
ipi
aa ii
En tenant compte que :
,0a...,,0a,0a,0a 1k2531 cest--dire que les coefficients ayant des indices impairs
sont nuls. Sur la base de la formule de rcurrence, on peut crire :
.. .................................................................................
;3p2p1p3.2.2
a)1(
6p26
aa
;2p1p2.2
a)1(
4p24
aa
;1p2
a
2p22
aa
6
034
6
4
0224
00
2
....21!21 20
2kpppk
aa kK
k
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Chapitre XII Fonctions spciales
258
On remarque que tous les coefficients pairs sont exprims en fonction 0a , on peut crire
alors :
1p21
ap0
En tenant compte de ,1kpkp)...2p(1p1p
...etc,3p2p2p;2p1p1p
on peut crire pour simplifier que :
,
1!2
1)1(
22
kPka
pk
k
k
La solution de lquation peut tre reprsente sous forme :
2
0
( / 2 )
( 1) ! 1
k pk
k
x
y k p k
o .vp La solution de lquation pour p = est note par J (x) et elle est appele
quation de Bessel de premire espce dordre v . La solution pour p = v est note par J-v (x)
et elle appele quation de Bessel de premire espce dordre v .Par consquent :
2
0
2
0
2( 1) .
! 1
2( 1)
! 1
k v
k
v
k
k v
k
v
k
x
j xk k
x
j xk k
Pour non entier xJ,xJ sont des fonctions linairement indpendantes
et par consquent : xJCxJCy 22
est la solution gnrale de lquation de Bessel.
Si est un entier gal n, xJ,xJ nn seront linairement dpendantes.Pour confirmer celui-ci, considrons la srie pour xJ n , et transformons la :
2
0
2( 1)
! 1
k n
k
n
k
x
J xk n k
On connat que la fonction gamma pour les nombres entiers ngatifs et nul elle est gale
linfini. Par consquent, pour 1kn,1nk et la srie sera nulle. La
sommation peut tre dbute de k = n :
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Chapitre XII Fonctions spciales
259
2
2( ) ( 1)
! ( 1)
k n
k
n
n
x
J xk k n
.
Si m= k-n, on aura :
!12
)1()1(
1!
2)1(
2
0
2
0
mnm
x
mnm
x
xJ
nm
m
mn
nm
nm
m
n
!nm1nm,alors,!m1mquedonnttan . La dernire srie dtermine la
fonction xJ n . Par consquent : xJ)1(xJ n
n
n
Donc, xJetxJ nn sont linairement dpendantes
Considrons :xJetxJ 10
.. .!52
x
!42
x
!32
x
!22
x
2
x1
)!k(
2
x
)1(1k!k
2
x
)1(xJ
210
10
28
8
26
6
24
4
2
k2
0K
k
k2
0k
k
0
(avec 0 != 1).
Par consquent :
xJxJ 00 et la fonction est paire. Pour .1xJ,0x 0 Si pour xJ 0 , on prend la somme
des cinq membres de la srie :
28
8
26
6
24
4
2
2
!42
x
!32
x
!22
x
2
x1 ,
lerreur sera infrieure ,7
10
210
10
10
x
!52
x La srie converge alors principalement pour .1x Le
graphe de la fonction xJ0 est reprsent par la figue XII. 2. Ce graphe peut tre construit en
relevant de la table une srie des valeurs de xJ0 :
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Chapitre XII Fonctions spciales
260
...!4!32
x
!3!22
x
32
x
2
x
1k!k
2
x
)1(2k!k
2
x
)1()x(J
7
7
5
5
3
3
0k
1k2
k
1k2
0k
k
1
Pour .0xJ,0x 1 De plus, on a xJxJ 11 et par consquent xJ1 est
impaire.
La relation 0 0J x J x et xJxJ 11 permet de dresser la table pour .0x
x xJ 0 xJ 0 x cJ 0 xJ1
0,0
0,5
1,0
1,5
1,0000
0,9385
0,7652
0,5118
00,000
0,2423
0,4401
0,5579
2,00
2,5
3,0
0,2239
-0,0484
-0,2601
0,5767
0,4971
0,3391
Fig XII.2
XII.4 Fonction de Bessel de deuxime espce
En qualit de deuxime solution on prend :
sin
xJxJcoslimxY
nn
Pour n , on a : xJxJ)1(et)1(ncos,0sin nnnn
et on obtient une
indtermination 00 . Utilisons la rgle de lHospital :
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Chapitre XII Fonctions spciales
261
sin
xJxJcos
limxYn
n.
On obtient :
21
0
2
0 1 1
2 1( ) ln
2 1 2
( 1)1 1 12
1 1
k nn
n n
k
n k
k
n k k
k m m
n kx xY x J x C
k
x
k n k m m
o C est la constante dEuler. La solution gnrale est :
.21 xCxJC Ynn
La fonction xYn sappelle quation de Bessel de deuxime espce dordre n ou
fonction de Neumann.
Ecrivons la srie pour xY0
.0:
....3
1
2
11
6422
11
42
21
2ln[
212
)!(
2)1(
1
2ln
2
0
222
6
22
4
2
0
1
02
2
00
xpourxYdonc
xx
xC
xxJ
mm
k
x
Cx
xJxY
k
m
k
k
k
XII.5 Equation diffrentielle conduisant lquation de Bessel. Fonction de Bessel du
troisime espce
Soit lquation :
0yx
yx
1y
2
22
(XII.5)
Transformons cette quation en introduisant une nouvelle variable xt . Exprimons la
drive de y en fonction de t :
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Chapitre XII Fonctions spciales
262
2
22
2
2
dt
yd
dx
dt
dt
yd
dx
dx
dyd
y
;dt
dy
dx
dt.
dt
dy
dx
dyy
Les expressions trouves sont remplaces dans (XII.5) :
simplifions par 2
0yt
1dt
dy.
t
1
dt
yd2
2
2
2
Cest donc lquation de Bessel. Ses solutions seront
.J t et J ou J x et J x
Considrons lquation.
.0yx
1y
x
1y
(XII.6)
Si lon introduit le signe (-) sous la parenthse et lon pose 1i2 , lquation (XII.6)
devient : 0yx
iyx
1
y2
, qui est un cas particulier de lquation (XII.5), quand
i . La solution de lquation (XII.5) sera : xiJetxiJ
on a utilis .1)1(et,)1(ik2kk2
0ytdt
dy
tdt
yd2
222
2
22
;
1k1k
2
x
i
1k1k
i2
x
)1(xiJ
;1k1k
2
x
i
1k1k
i2
x
)1(xiJ
0k
k2
k2
k2
0k
k
0k
k2
k2
k2
0k
k
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Chapitre XII Fonctions spciales
263
Etant donn que lquation diffrentielle est homogne, donc quelque soit C1 et quelque
soit C2 les fonctions )xi(JC1 et )xi(JC2 seront ses solutions.
En posant iCet,iC 21 , on obtient la solution sous forme :
,1k!k
2
x
xiJi
;)1k(!k
2
x
1k!k
2
x
iixiJi
0k
k2
0k 0k
k2k2
Posons
.xI
1k!k
2
x
,xI1k!k
2
x
0k
k2
0k
k2
Les fonctions xI et xI sont les fonctions de Bessel du troisime espce. Dans le
cas de fractionnel, xI et xI sont linairement dpendants et xICxICy 21
sera la solution gnrale de (XII.6).
Dans le cas = n (entier), .xIxI nn
Vrifions :
nk
nk2
0k
nk2
n1nk!k
2
x
1nk!k
2
x
xI
(tant donn que ,1nk le nombre 01nk et par consquent 1nk , et les
membres correspondants de la srie sont nuls). Introduisons un nouveau indice de sommation
m, en posant k = m + n. Do :
.xI!m1nm
2
x
1m!nm
2
x
xI0m
n
nm2
0m
nm2
n
Dans le cas o est un entier, la nouvelle solution linairement indpendante avec xIn :
nsin xIxI2xKnnn
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15/55
Chapitre XII Fonctions spciales
264
et la solution gnrale de (XII.6) scrira sous forme :
xKCxICy n2n1
XII.6 Fonction gnratrice de la fonction Bessel
Considrons la fonction
t1t
2z
et,zu quon dcompose en srie :
On peut crire, que
.!m!k
t2z)1(
t,zu0k 0m
mk
mk
m
ou
.tAt,zu nn
Le coefficient nA est :
.
1nm!m2
z
)1(!m!nm
2
z
)1(A
nm2
0m
m
nm2
0m
mn
Pour z = x, le coefficient An devient xJn et
nnt1
t2
x
txJet,xu
. (XII.7)
La fonction u (x, t) sappelle la fonction gnratrice de la fonction de Bessel d e
premire espce dordre entier n.
Si lon pose z = ix, on a :
.,
1!
2
1!
2)1(
12
0
2
2
2
0
nn
nttix
n
m
n
nm
n
nm
nm
m
mn
txIietixu
et
xIinmm
x
i
nmm
ix
A
(XII.8)
.!m
t2
z
!k
2
zt
eet,zu0m
m
0k
k
t2
z
2
zt
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16/55
Chapitre XII Fonctions spciales
265
La fonction u (ix, t) sappelle la fonction gnratrice de la fonction de Bessel de
troisime espce.
XII.7 Proprits de la fonction de Bessel de premire et troisime espces
1. Formule de rcurrence .xJ)x(J
x
n2xJ 1nn1n
Cette formule joue un rle important dans la thorie des fonctions de Bessel. Elle
permet de rduire le calcul des fonctions dordre suprieur des fonctions de premier et
deuxime ordre, cest dire .xJetxJ 01 Exemple :
.xJ1x
24xJ
x
8
x
48
xJxJx
8xJ
x
24x
x
48xJ
xJx
2xJ
x
6xJxJ
x
2
x
24
)x(J)x(Jx
2xJxJ
x
4
x
6
xJxJx
6xJxJ
01
01030
11012
0112
23134
La formule de rcurrence permet pour la fonction de Bessel dordre entierde se limiter
ltablissement des tables pour .xJetxJ 10
Dmonstr ation :prenons la relation (XII.7) et calculons
t
u
par deux mthodes :
a)1
2 1(1 ) ( )2 2
xt
nt
n
u x xe J x t
t t
;t)x(J
2
x 2nn
b) .ntxJt
u 1nn
Les deux parties droites des deux diffrentes expressions doivent tre gales pourt
u
.
Egalisons les coefficients pour 1nt . On obtient :
xJ2xxJ
2xxJn 1n1nn
Do :
7/28/2019 Chapitre XII
17/55
Chapitre XII Fonctions spciales
266
.. .etc,xJxJx
n2xJ
x
n2xJ 1nnn1n .
2. Formule pour la drive .xJxJ2xJ 1n1nn
Pour la dmonstration calculons par deux mthodes
a)
1n
n
t
1t
2
x
t)x(J2
1
t
1t
2
1e
x
u 1 ;nnJ x t
b) .txJx
u nn
galisons les coefficients pour t
n
. On obtient : .etc)],x(J)x(J[
2
1x'J 1n1nn
La formule montre, que par les tables ,xJetxJ 10 on peut calculer .x'Jn
Dans le cas particulier pour n = 0, on obtient :
.xJxJxJ2
1xJxJ
2
1x'J 111110
3. Prenons la formule (XII.8). Drivons par rapport t comme fonction exponentielledabord puis comme srie :
.nt)x(Iit
u
2
xit)x(Ii
t)x(Iit
11e
2
xi
t
u
1n
n
n
2n
n
n
n
n
n
2
t
1t
Egalisons les coefficients pour tn-1
. On obtient :
)x(Ii)x(I2
xi
)x(Ii)x(Ii2
xin)x(Ii
1n
2
1n
n
1n
1n
1n
1n
n
n
ou :
.xIxI2
xnxI 1n1nn
do :
xIxIx
n2xI 1nn1n
7/28/2019 Chapitre XII
18/55
Chapitre XII Fonctions spciales
267
la formule rcurrente pour la fonction de Bessel de troisime espce.
4. Si lon calculex
u
de la formule (XII.8) par deux mthodes et on galise les
coefficients dans les deux expressions trouves pour nt , on obtiendra la drive de la fonction
de Bessel du troisime espce :
1
12
1
1
2 2
.
xit
n ntn
n n
n
u i ie t i I x t
x t
i I x t
Dune autre part,
xIixI2
i
xIixIi2
ixIi
;txIix
u
1n
2
1n
n
1n
1n
1n
1n
n
n
n
n
n
o :
)x(I)x(I2
1xI 1nnn etc
Pour n = 0
,xI)x(I)x(I21xI 1110
avec :
xIxI nn
Des formules analogues peuvent tre obtenues pour .xKetxY nn
XII.8 Formules intgrales de la fonction de Bessel de premire et troisime espces
Afin de dduire les formules pour xJ n , on prend la relation :
kkt1
t2
x
txJe
(XII.7)
et on pose iet . Do.
ikkiii
i
et;sini2
ee
2
e
1e
2
t
1t
et la relation (XII.7) devient :
.exJe ikksinxi
(XII.9)
7/28/2019 Chapitre XII
19/55
Chapitre XII Fonctions spciales
268
La fonction ike a la proprit telle que, k2
0
ik0de pour 0k , donc :
222 0
00
10,
ikiK kiee d e e
ik ik
avec.1k2sinik2coseet1e k20
Pour k = 0, on a :
.2dde2
0
2
0
ik
Donc, pour trouver les fonctions pour xJn , il faut multiplier lgalit (XII.9) par
in
eet intgrer par rapport surlintervalle 20 .
.dexJde2
0
nki
k
2
0
insinix
On obtient enfin :
.xJ2dexJ2
0n
0
n
En transformant la partie gauche par la formule dEuler, on obtient :
.xJ2dnsinxsininsinxcos n2
0
Pour les valeurs relles de x, la fonction xJ n prendra des valeurs relles et lgalitsera possible si :
.0dnsinxsin20
Par consquent :
.dnsinxcos2
1xJ
2
0n
Dans le cas particulier pour n = 0, on a
.d)sinx(cos2
d)sinx(cos1
dsinxcos2
1x
2
0
0
2
00J
(XII.10)
Afin de trouver la formule intgrale pour xJ n , prenons la fonction gnratrice pour la
fonction de Bessel de troisime espce :
kkkt1
t2
ix
txIie
7/28/2019 Chapitre XII
20/55
Chapitre XII Fonctions spciales
269
et effectuons les mmes transformations en posant iet , do
.et;sinx
isinxi2
eexi
t
1t
2
xi
ikk
ii
et .exIieik
k
ksinx
Multiplions par ine et intgrons de o 2:
.dexIide2
0
)nk(i
k
k
2
0
insinx
Une seule intgrale est 0 pour k= n dans la partie droite, do :
.2xIide nn2
0
insinx
Pour n = 0, on a :
.xI2de 02
0
sinx
XII.9 Intgrale de Weber-Lipchitz
On rencontre souvent en gophysique les intgrales de Weber-Lipchitz :
,rz
1dxzxc osrxK
2
rz
1dxrxJe
220
0
220
0
zx
Montrons la premire formule. Pour rxJ 0 prenons la formule intgrale (XII.10) :
.d)sinrx(cos2rxJ2
0
0
En remplaant cette expression dans la partie gauche de cette quation, on obtient :
.dxdsinrxcose2dxrxJe2
00 0
zx
0
zx
l'expression cos rx sin j est gale : sin sin
2
ir x ir xe e .
Do :
7/28/2019 Chapitre XII
21/55
Chapitre XII Fonctions spciales
270
2
sin sin0
0 0 0
1zx zx irx zx irxe J rx dx d e e dx
2 sin sin
0 0
1
sin sin
zx irx zx irxe ed
z ir z ir
2
0
1 1 1
sin sind
z ir z ir
En rduisant en un mme dnominateur, on a :
2
0
2
0
220
0
zx
sinrz
dz2d
sinrz
z21dxrxJe
Posons ;dsecdt;ttg 2
.t1
t
sec
tgsin
;t1
dt
tg1
dt
sec
dtd
Lintgrale cherche sera :
220 0
2
0
0
2 2
1
1
2 2
2 1
2
z dt z dt
z z r ttt z r
t
z dt z z r
zz r z r ztz r
t z rarc tg
z z r z r
Dans le cas particulier pour z = 0 : r
1dxrxJ
0
0
XII. 10 Orthogonalit de la fonction de Bessel :
La valeur est la racine de ,xJ si .0J Montrons que si et deux racines
diffrentes de la fonction xJ , on aura :
.0dxxJxJx1
0
7/28/2019 Chapitre XII
22/55
Chapitre XII Fonctions spciales
271
Lgalit zro de lintgrale est une proprit dorthogonalit de la fonction de Bessel.
Pour la dmonstration, posons 1yxJ et 2yxJ , donc conformment
(XII.6), on a :
0yx
yx
1y
,0yx
yx1y
22
2
22
12
2
11
Afin de trouver la fonction sous intgrale ,yxy 21 multiplions la premire quation par
2xy et la deuxime par 1xy et retranchons la deuxime galit de la premire. On obtient :
0yxyyyyyyyyyx 2112211221
quon peut crire sous forme :
.0yxy)()yyyy(xdx
d21
22
1221
Lintgrale de 0 1 donne :
1
1
1 2 2 1 1 200
( ) 0.x x y y y y xy y dx (XII.11)
En considrant que est une variable :
1 1 1
2 2 1
, 0;
, 0;
x
x
y J x y J
y J x y J
1 1 1; .x
dJ x dJ x d xy J x y J
dx d x dx
En remplaant lexpression trouve, on trouve :
1
1 2 2 10
.x y y y y J J
Do :
JJlim
yyyyxlimdxxJx
1
01221
1
0
En appliquant le thorme dHspital la partie droite, on a :
21
0
lim .2 2
JJ J x J x dx
do :
7/28/2019 Chapitre XII
23/55
Chapitre XII Fonctions spciales
272
21
2
0
.2
v
Jx J x dx
Dcomposition de la fonction xf en srie par la fonction de Bessel
Les fonctions xJ possdent une infinit de solutions ...,,...,,..., k21 .
Reprsentons f(x) par :
f(x) = ...xJc...xjcxJc kk2211
Afin de trouver les constantes ,,, 21 kccc utilisons laproprit dorthogonalit
...dxxJxC
...dxxJxJxCdxxJxfx
1
0
k
2
k
k
1
0
11
1
0
k
On obtient :
.dxxJxcdxxJxfx k1
0
kk
Do :
1
1
0
1
2 0
0
2.
[ ]
k
k k
k
v
x f x J x dx
c x f x J x dx
J xx J x dx
(XII.12)
Exemple: Dcomposer x)x(f sur intervalle (0, 1) en srie par la fonction de Bessel dupremier ordre.
Solution : soit :
1k
k1kk1k212111 ).x(Jc...)x(Jc...)x(Jc)x(Jc)x(f
Les coefficients de la srie sont dtermins par la formule (XII.12)
dxxJx
J
2c k1
1
0k1
k
On pose n = 1, do :
.xJxdttJt 21x
0
2 On pose ,xt k donc : dxdt k , on peut crire :
.111
2
0
22
313
1
0
1
1
0
k
k
kk
kk
k
k
k
k
JJdttJt
dttJ
tdxxJx
k
v
Donc :
7/28/2019 Chapitre XII
24/55
7/28/2019 Chapitre XII
25/55
Chapitre XII Fonctions spciales
274
Fig XII.3
On va considrer que la temprature U la surface est nulle, do 0U R
(Condition initiale).
Lquation de conductibilit thermique est :
.Uat
U
L'oprateur de Laplace est plus simple prendre en coordonnes cylindriques :
.z
U
U1U1U
Des conditions du problme, on a U qui ne dpend pas de et de z, do :
0
U
et 0
z
U
.
Lquation de conductibilit thermique prend la forme :
U
U1a
U1a
t
U
ou
.U1
Ua
t
U
(XII.13)
Ainsi, il faut rsoudre lquation (XII.13) si 0U R et fU 0t . On va utiliser
alors la mthode de Fourier pour la rsolution sous forme :
.tTt,U
Donc :
,tT
U
,tTU
,tTtU
Lquation (XII.13) prend la forme :
.1tTatT
quon peut crire sous forme :
7/28/2019 Chapitre XII
26/55
Chapitre XII Fonctions spciales
275
1
tTa
tT
Pour que U soit solution de (XII.13), il faut :
2 ; (XII.14)
1 0 . (XII.15)
T t a T t
Lquation (XII.14) peut scrire sous forme :
.dtaT
dT
En lintgrant, on obtient :
.
lnln
CeT
ouCtaT
ta
Lquation (XII.15) est lquation de Bessel dordre 0 et dargument . Sa solution
sera la fonction :
.J 0
La fonction :
0ta JeCt,U
sera la solution de lquation diffrentielle (XII.13) . Cependant la fonction t,U
doit satisfaire la condition aux limites. Par consquent :
2
0 0 ,a tC e J R
do :
.0RJ0
Les valeurs R sont les racines de la fonction .xJ 0 Si les racines sont dsignes par
,...,...,,, k21 donc pour , on a :
,...R
,...,R
,R
kk
22
11
Pour les donnes on a :
,...3,2,1k,JeCt,U k0tkakk
qui est une solution de (XII.13). k sont les nombres caractristiques du problme. k0J
sont les fonctions caractristiques ou propres du problme.
7/28/2019 Chapitre XII
27/55
Chapitre XII Fonctions spciales
276
Aucune fonction t,U k ne satisfait les conditions aux limites, tant donn que pour t =0 :
,JCU k0kk et non f( ).
Afin de trouver la solution, prenons :
k
1k
0
ta
k JkeC)t,(U
pour t=0, U= f( ) et par consquent :
1kk0k .
RJc)(f
La dernire srie est la dcomposition de )(f par la fonction de Bessel dordre 0 :
1
0
k02
k0
kR
dR
J)(fR)('J
2c
donc :
1
0
k022
k0
k d)(J)(fR
1.
)('J
2c .
La fonction :2 2
0
1
( , ) ( )ka t
k k
k
U t c e J
est la solution du problme pos.
Problme 2. Problme de Dirichlet pour un cylindre
Soit un cylindre z = 0, z =H, R=1. Trouver la fonction harmonique lintrieure du cylindre,
si lon connat ses valeurs sur la surface.
Il faut rsoudre le problme 0U , avec les conditions aux limites :
).(fU
,0U
,0U
0z
1
Hz
Puisque U ne dpend pas de 0U
,2
2
et lquation devient :
01
2
2
2
2
z
UUU
Posons )z(Z)()z,(U . Do :
).z(Z)(zU);z(Z)(U);z(Z)(U2
2
2
2
7/28/2019 Chapitre XII
28/55
Chapitre XII Fonctions spciales
277
En les remplaant dans lquation, on obtient :
.0)z(Z)()z(Z)](1
)([
Dcomposons les variables :
2
)z(Z
)z(Z
)(
)(1
)(
Pour trouver )( et Z(z), obtenons les quations :
0)z(Z)z(Z 2 (XII.16)
0)()(1
)( 2
(XII.17)
Lquation (XII.16) est une quation linaire et homogne du deuxime ordre. Pour sa
rsolution, tablissons lquation caractristique :
.k,0k 22
Sa solution gnrale sera :
.eCeC)z(Z z2z1
Lquation (XII.17) est une quation de Bessel dont la solution est ).(DJ 0
La fonction :
)(J)eCeC(D),z(U 0z
2
z
1
sera la solution de lquation de Laplace.
Afin que pour z =H, on a U=0, il faut que :
0eCeC H2H
1
Lgalit sera satisfaite si :
.2
eC,
2
eC
H
2
H
1
Do :
),zH(sh2
eeeCeC
)zH()zH(z
2
z
1
et la fonction )(J)zH(Dsh),z(U 0 satisfera la premire condition aux limites. Afin
de satisfaire la deuxime condition aux limites, il faut que :
7/28/2019 Chapitre XII
29/55
Chapitre XII Fonctions spciales
278
,0)(J,1 0
C'est--dire : .0)(J0
Si ...,...,,, k21 sont les racines de ),(J0 donc ,...,2,1k on a :
)(J)zH(shDU k0kkk
qui satisfera les deux premires conditions aux limites.
En qualit dune nouvelle solution, prenons la fonction :
1k
k0kk ).(J)zH(shD)z,(U
Choisissons les coefficients de faon que pour z =0, on a :
1k
k0kk ).(J)H(shD)(f
Les conditions de la srie sont dtermines par la formule (XII.12). Par consquent :
1
0
k02
k0
kk .d)(J)(f.)](J[
2)H(shD
La fonction :
1k
k0kk ),(J)zH(shD
sera la solution du problme pos.
Problme 3. Considrons le problme de Dirichlet avec les conditions suivantes :
).(),(,0),(
,0),(
1
0
zfzUzU
zU
Hz
Z
Posons :),z(Z)()z,(U
On trouve :
)z(Z
)z(Z
)(
)(1
)(
ou encore :
0)()(1
)( 2
et
0)z(Z)z(Z 2
La premire quation est une quation diffrentielle pour la fonction de Bessel du
troisime espce dordre 0 et dargument . Sa solution sera la fonction :
7/28/2019 Chapitre XII
30/55
Chapitre XII Fonctions spciales
279
).(I)( 0
La deuxime quation est linaire coefficients constants. Les racines de lquation
caractristique 0k 22 sont i .
La solution gnrale de cette quation sera :
zsinDzcosC .
La fonction :
)()sincos(),( 0 IzDzCzU
sera la solution de lquation de Laplace.
Pour que z=0, on U=0, il faut que :
,00sinD0cosC
chose possible que pour C=0.
Pour que pour z=H, on a U=0, il faut que 0HsinD , chose possible que pour :
.kH
Par consquent ,H
kk
o k=1,2,3,
La fonction :
H
kzsin
HID)z,(U
k
0kk
Satisfait les deux conditions aux limites. Afin de trouver la fonction satisfaisant la
troisime condition aux limites, prenons :
zH
ksin
H
kID
1k
0k
et considrons que :
1k
0k ).z(fH
zksinHkID
Cette srie est la srie de Fourier pour la fonction )z(f .
Par les formules de Fourier, on trouve :
H
0
0k .dzH
kzsin)z(f
H
2
H
kID
La fonction :
HkzsinHkID)z,(U 0k
7/28/2019 Chapitre XII
31/55
Chapitre XII Fonctions spciales
280
sera la solution du problme pos.H
kk
sont les valeurs propres et
H
kzsin
sont les
fonctions propres.
Exercices.1. Sachant
2
1, trouver
2
3k,
2
3,
2
1o k est entier.
2. Montrer que :
;xcosx
2)x(J,xsin
x
2)x(J
2
1
2
1
Ecrire lquation diffrentielle pour )x(J2
1et )x(J
2
1
.
3. Vrifier que x
xsinet x
xcossatisfont lquation diffrentielle :
0yx4
11y
x
1y
2
4. Trouver les expressions pour :)x(J
2
3et )x(J
2
5.
5. Trouver )5,0(J 4 et )5,0(J 2 .
6. Montrer que:
...)3sin)x(J2sin)x(J2(i
...)4cos)x(J2cos)x(J(2)x(Je
31
420
sinix
7. En utilisant l'exercice 6, montrer que:
2
0
2 ,2cos)sin(cos2
1)( dnxxJ n
2
0
1n2 .d)1n2(sin)sinx(sin2
1)x(J
8. Montrer que:
x
0
10 )x(xJdt)t(tJ .
9. Dcomposer la fonction f(x) =1 sur (0,1) en srie par fonctions de Bessel d'ordre 0.
Rponse: .)(J
2c
k0k
k
10. Montrer que :
x
0
1n
1n
n
1n ).x(Jxdt)t(Jt
7/28/2019 Chapitre XII
32/55
Chapitre XII Fonctions spciales
281
XII.12 Dtermination des polynmes de Legendre
Les polynmes de Legendre sont plus simples dduire des fonctions potentielles 1/R,
o R est la distance entre les points M0 et M (fig XII.4).
Fig XII.4
Si le point M0 est situ sur l'axe or une distance de l'origine des coordonnes gale
l'unit, on a:
2rcosr21R ,
o r et sont les coordonnes sphriques du point M.R
1est dtermine en fonction de
),(cosPn appelepolynme de Legendre. Donc:
0nn
n .r)(cosPR
1
(XII.18)Pour r =1 et =0, ,0cosr2r1 2 et par consquent la fonction 1/R a un point
critique. La srie converge seulement pour r
7/28/2019 Chapitre XII
33/55
Chapitre XII Fonctions spciales
282
.x)x(P1
Analogiquement par la drive du second ordre par rapport R
1, on peut obtenir )x(P2
etc.
La diffrentielle de (XII.19) donne:
0n
1n
n nr)x(Pdr
R
1d
ou
0n
1n
n2
.nr)x(P)rrx21(
rx
En multipliant les deux parties de la dernire galit par ),rrx21( 2 et remplaant
2rrx21
1
par la srie (XII.19), on obtient:
0n 0n
1n
n
2n
n .r)x(nP)rrx21(r)x(P)rx(
Egalisons les coefficients pour rn :
)x(P)1n()x(nxP2)x(P)1n()x(P)x(xP 1nn1n1nn
ou.0)x(nP)x(xP)1n2()x(P)1n( 1nn1n (XII.20)
C'est la formule de rcurrence pour les polynmes de Legendre.Trouvons ).x(P),x(P),x(P 432
1. Posons n=2 dans la formule de rcurrence. D'o:
0)x(P)x(xP3)x(P2 012 ou .2
1x
2
3)x(P
2
2
2. En posant n=2, on obtient:0)x(P2)x(xP5)x(P3 123
ou
.x23x
25)x(P 33
3. Si n=3, on aura:0)x(P3)x(xP7)x(P4 234
ou
.8
3x
4
15x
8
35)x(P 244
Ainsi, )x(Pn sont des polynmes. Les graphes de Legendre sont reprsents par la
figure XII.5. (1) 1, ( 1) ( 1) 0, 1, 2, 3.nn nP P si n
7/28/2019 Chapitre XII
34/55
Chapitre XII Fonctions spciales
283
Fig XII.5
XII.13 Equation diffrentielle pour les polynmes de Legendre
La fonction potentielleR
1satisfait l'quation de Laplace, c'est--dire
R
1=0. Ecrivons
l'quation de Laplace en tenant compte de .0R1
2
2
Par consquent:
.0R
1
sinsin
1
r
R
1
rr
2
Au lieu deR1 , prenons
0n
nn ,r)(cosP conformment la formule (XII.19), d'o en
diffrenciant:
0)(cosP
rsinsin
1
)](cosPnrr[r
0n
nn
0n
n
1n2
En diffrenciant encore une fois, on obtient:
.0)(cosP
sinrsin
1)(cosPnr)1n(
0n 0n
nn
n
n
qu'on peut crire sous forme:
0)(cosP
sinsin
1)(cosnP)1n(r
0n
nn
n
Soit enfin:
0d
)(cosdPsind
d
sin
1)(cosnP)1n(
nn
(XII.21)
Cest l'quation diffrentielle pour les polynmes de Legendre.
7/28/2019 Chapitre XII
35/55
Chapitre XII Fonctions spciales
284
Trouvons l'quation diffrentielle pour ).x(Pn Donc
dx
dsin
d
dx
dx
d
d
d
Et l'quation (XII.21) devient:
0dx
)x(dP)x1(
dx
d)x(nP)1n(
,0dx
)x(dPsindx
dsinsin
1)x(nP)1n(
n2
n
n2
n
En diffrenciant, on obtient:
,0)x(P)1n(n
dx
)x(dPx2
dx
)x(Pd)x1( n
nn
22
Par consquent, )(xPn satisfait l'quation:
,0y)1n(nyx2y)x1( 2 (XII.22)
qui est une quation linaire et homogne du second ordre coefficients constants.
XII.14 Proprit dorthogonalit des polynmes de Legendre
Montrons que les polynmes de Legendre sont orthogonaux sur l'intervalle (-1,1), c'est--dire:
1
1
nm .nmpour0)x(P)x(P
Posons 1m y)x(P et .y)x(P 2n Ecrivons les quations diffrentielles pour y1 et y2:
,0y)1m(myx2y)x1( 1112
.0y)1n(nyx2y)x1( 2222
Multiplions la premire quation par y2 et la seconde par y1 et calculons:
0yy)1n(n)1m(m)yyyy(x2)yyyy)(x1(
21
21122112
2
ou
.0yy)1n(n)1m(m)yyyy)(x1(dx
d212112
2
En intgrant par rapport x sur l'intervalle (-1,1), on obtient:
1
1
21
1
121122 .0dxyy)1n(n)1m(m)yyyy)(x1(
7/28/2019 Chapitre XII
36/55
Chapitre XII Fonctions spciales
285
Puisque nm , on a:
.0dxyy
1
1
21
ou
1
1
nm .0dx)x(P)x(P
Calculons:
1
1
2
n .dx)x(P
Pour cela, on utilise la formule de rcurrence (XII.20). En remplaant n par n-1, on
obtient :
.0)x(P)1n()x(xP)1n2()x(nP 2n1nn
On peut crire l'intgrale sous forme:
1 1
2
1 21 1
1 1
1 2
1 1
2 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .
n n n n
n n n n
n n
P x dx P x xP x P x dxn n
n nxP x P x dx P x P x dx
n n
La deuxime intgrale est nulle selon la proprit d'orthogonalit des polynmes de
Legendre. La premire intgrale se transforme, en exprimant )x(xP n partir de l'quation
(XII.20). Donc :
1
1
2
1
1
1
1
11
1
111
1
1
2
.)(12
12
)()(12
112)(
12
)(12
1)(
12)(
dxxpn
n
dxxpdxxPn
n
n
ndxxp
n
n
xpn
nxp
n
ndxxp
n
nnn
nnn
La premire intgrale est de nouveau gale 0, et par consquent:
1
1
1
1
2
1
2.)(
12
12)( dxxP
n
ndxxP nn
Analogiquement:
7/28/2019 Chapitre XII
37/55
Chapitre XII Fonctions spciales
286
1
1
1
1
1
1
2
0
2
1
1
1
1
1
23
2
2
1
1
1
1
22
21
.3
2
3
1)(
3
1)(
....................................................................
.)(32
52)(
,)(12
32)(
dxdxxPdxxP
dxxPn
ndxxP
dxxPn
ndxxP
nn
nn
D'o on peut dduire:
1
1
2
n .1n2
2dx)x(P
Dcomposition d'une fonction arbitraire )(xf en srie par le polynme de Legendre.
Soit dterminer les coefficients cn de:
...)x(Pc...)x(Pc)x(Pc)x(f nn1100
Multiplions les deux parties de l'galit par )(xPn et intgrons:
1 1
0 0
1 1
1 1
2
1 11 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ... ( ) ...
nn
n n n
f x P x dx c P x x dxP
c P x P x dx c P x dx
Selon la proprit d'orthogonalit, toutes les intgrales dans la partie droite sauf
1
1
2
n ,dx)x(P sont nulles.
Par consquent:
1
1
1
1
n
2
nnn ,1n2
2cdx)x(Pcdx)x(P)x(f
1
1
nn .dx)x(P)x(f2
1n2c (XII.23)
XII.15 Application des polynmes de Legendre la rsolution des problmes limites
Problme 1. Problme de Dirichlet pour une sphre
Il faut trouver une fonction harmonique l'intrieur d'une sphre si l'on connat ses
valeurs sur la surface. Supposons que la fonction cherche U ne dpend pas de la cordonne
7/28/2019 Chapitre XII
38/55
Chapitre XII Fonctions spciales
287
sphrique . Le centre de la sphre est confondu avec l'origine des coordonnes. Le rayon de
la sphre est R. Ainsi la condition aux limites est:
).(f),r(URr
La fonction ),r(U doit satisfaire l'quation de Laplace .0U On a ,0/U 22 et
par consquent:
ou
.0)U
(sinsin
1
r
Ur2
r
Ur
0)U
(sinsin
1)
r
Ur(
r
2
22
2
On va chercher la solution par la mthode Fourier. Ecrivons la fonction sous forme
).(T)r(),r(U Trouvons la drive et remplaant la dans l'quation :
.0)](T[sind
d)r(
sin
1)(T)]r(r2)r(r[
;)(T)r(r
U
;)(T)r(r
U;)(T)r(
r
U
2
2
2
Afin que )(T)r(),r(U soit la solution de l'quation de Laplace, il faut que la
dernire galit soit une identit.
Sparons les variables:
.)(T
)](T[sind
d
sin
1
)r(
)r(r2)r(r2
Etant donn que r et sont indpendants, l'galit sera possible que si les parties gauche
et de droite sont gales une constante . On obtient:
0)()(2)(2 rrrrr
et
.0)(T)](T[sind
d
sin
1
Donc pour ),1n(n on dduit que:
).(cosPc)(T nn
La premire quation prend la forme:
.0)r()1n(n)r(r2)r(r2
7/28/2019 Chapitre XII
39/55
Chapitre XII Fonctions spciales
288
a solution sera cherche sous forme de .r)r( k D'o:
.r)1k(k)r(,kr)r( 2k1k
En la remplaant dans l'quation, on obtient:
ou
.r)r(,nk,0)]1n(n)1k(k[r
0r)1n(nkr2kr)1k(
nk
kkk
Pour chaque nombre n, la solution de l'quation de Laplace s'crit sous la forme:
,r)(cosPc),r(U nnn
Cependant cette fonction ne satisfait pas la condition aux limites du problme.
L'quation de Laplace est une quation homogne. Prenons la fonction ),( rU sousforme :
0n
nnn r)(cosPc),r(U
Choisissons les coefficients cn pour que r =R, la srie sera gale ),(f c'est--dire:
).()(cos0
fRPn
n
nnc
En posant ,cosx on trouve que, sin var ie 0 , ' :dx d et de d o
.dsin)(cosP)(f2
1n2
R
1
c 0nnn
Par consquent:
0n 0
n
n
n ).(cosPR
r.dsin)(cosP)(f
2
1n2),r(U (XII.24)
Problme 2. Trouver la distribution stationnaire de la temprature dans une sphre de
rayon R. Une partie de la surface S1 a une temprature constante T0, alors que le reste a une
temprature nulle (fig.XII.6).
Fig XII.6
7/28/2019 Chapitre XII
40/55
Chapitre XII Fonctions spciales
289
Solution: L'quation de conductibilit thermique est:
,Uat
U 2
o U est la temprature.
Dans le cas d'une rpartition stationnaire, on a .0U La condition aux limites est:
).(fU Rr
Donc, le problme 2 est un cas particulier du problme 1 et sa solution est donne par la
srie (XII.24). On peut crire:
.dx)x(PTdsin)(cosPTdsin)(cosP)(f
1
acos
n0
a
0
n0
0
n
Pour n=0, l'intgrale sera gale ).cos1(0 T
Pour n=1, l'intgrale sera:.
2
cos11
cos
2
00
TdxxT
Pour calculer l'intgrale pour n arbitraire, on peut utiliser la formule:
).()()()12( 11 xPxPxPn nnn (XII.25)
Evidemment,
1 1
00 1 1
cos cos
101 1 cos
01 1
( ) [ ( ) ( )]2 1
[ ( ) ( )] .2 1
[ (cos ) (cos )].2 1
n n n
n n
n n
TT P x dx P x P x dx
n
TP x P x
n
TP P
n
La solution du problme est sous la forme:
01
1
1
( , ) 1 cos [ (cos )2
(cos )] (cos ) .
n
n
n
n n
TU r P
rP PR
Afin de dmontrer la formule (XII.25), on utilise l'galit (XII.19), donc:
.)rrx21(
r
x
R
1
;)rrx21(
rx
r
R
1
3232
En multipliant la premire galit par r, et la deuxime par rx et en retranchant la
deuxime galit de la premire, on obtient:
.0x
R
1
)rx(r
R
1
r
(XII.26)
7/28/2019 Chapitre XII
41/55
Chapitre XII Fonctions spciales
290
D'une autre part:
0n
n
0n
n
1n
n .r)x(Px
R
1
,r)x(nPr
R
1
En remplaant les expressions trouves dans lquation (XII.26), on obtient :
n
0n 0n
n
1n
n r)x(p)rx(r)x(npr
En galisant les coefficients pour r:
)x(PPx)x(nP 1nnn (XII.27)
La diffrentielle de la formule (XII.20), donne:
.0)x(Pn)x(Px)1n2()x(P)1n2()x(P)1n( 1nnn1n
En remplaant nPx par la formule (XII.27), on obtient:
).x(nP)]x(P)x(nP)[1n2()x(P)1n2()x(P)1n( 1n1nnn1n
En simplifiant par n+1, on obtient la formule (XII.25).
XII.16 Fonctions successives de Legendre
Les fonctions successives de Legendre sont dsignes par )x(P mn et sont dtermines
par:
m
n
m
2
m
2m
ndx
)x(Pd)x1()x(P
n- est la puissance suprieure des fonctions et m- caractrise la succession.
Les fonctions Pm1(x), Pm
2(x), ..., Pm
n(x), ..., sont orthogonales sur l'intervalle (-1,1),c'est--dire:
1
1
m
n
m
k ,nk,0dx)x(P)x(P et
1
1
2mn
)!mn()!mn(
1n22dx)]x(P[
La fonction Pmn(x) satisfait l'quation diffrentielle:
.01
)1(2)1(2
22
y
x
mnnyxyx
Pour Pmn(cos ), l'quation prend la forme:
.0sin
)1(sinsin
12
2
ym
nnd
dy
d
d
XII.17 Fonctions sphriques volumiques superficielles
7/28/2019 Chapitre XII
42/55
Chapitre XII Fonctions spciales
291
La fonction sphrique volumique satisfait l'quation de Laplace:
.0z
U
y
U
x
U2
2
2
2
2
2
Le polynme homogne de degr n peut s'crire sous forme:
,zyxaUnqpm
qpmmpqn
o m pqa est un coefficient.
Le polynme homogne de degr 2 peut s'crire sous forme:
.yzaxzaxyazayaxaU 0111011102
002
2
020
2
2002
Sa drive partielle d'ordre 2 est:
.a2z
U,a2
y
U,a2
x
U0022
2
2
02022
2
20022
2
U2 satisfait l'quation de Laplace si:
.0aaa 002020200
Le systme de coordonnes sphriques est reprsent par la figure )XII.7(.
Fig XII.7
Lquation de Laplace en coordonnes sphriques scrit sous forme:
.0U
sin
1)
U(sin
sin
1
r
Ur(
r 2
2
2
2
Avec:
.cosrz
,sinsinzy
,cossinrx
Le polynme homogne prend la forme:
7/28/2019 Chapitre XII
43/55
Chapitre XII Fonctions spciales
292
nqpm
qpmpm
m pq
n
nqpm
qpmpmqpmm pqn
.cossincossinar
cossincossinraU
Il peut aussi s'crire sous forme:
).,(YrU nn
n
XII.18 Equation diffrentielle pour les fonctions sphriques superficiellesLa fonction U satisfait l'quation de Laplace. Exprimons sa drive en fonction de
:),(Yn
.),(
,),(
sin)(sin
,),()1(
),(
2
2
2
2
1
nn
nnn
n
n
nnn
Yr
U
Yr
U
Yrnnr
Ur
r
Ynr
r
U
En la remplaant dans l'quation, et on mettant r en facteur on peut obtenir:
;0]),(Ysin
1)),(Y(sinsin
1),(Y)1n(n[r2
n
2
2
n
n
n
tant donne que ,0rn on a:
.0),(Y
sin
1
)),(Y
(sinsin
1),(Y)1n(n
2
n
2
2
n
n
(XII.28)
C'est l'quation diffrentielle en coordonnes sphriques.
On peut facilement s'apercevoir que:
U
sin
1)
U(sin
sin
1
est l'oprateur de Laplace d'une fonction donne sur une sphre de rayon 1, qu'on dsigne par
.U*
Donc la fonction sphrique satisfait l'quation :
.0U)1n(nU* L'quation 0aUU* a une solution, seulement pour a=n(n+1).
7/28/2019 Chapitre XII
44/55
Chapitre XII Fonctions spciales
293
Si Y ne dpend que de , on aura:
,0
Y n
L'quation prend la forme alors:
0)
Y
(sinsin
1Y)1n(n
nn
qui est l'quation diffrentielle du polynme de Legendre. La fonction sphrique ne
dpendant pas de , est gale ).(cosCp n
XII.19 Reprsentation de la fonction sphrique par le polynme de Legendre
On a:
nqpm
qpmpm
mpqn cossincossina),(Y
Etant donn que :
,2
2cos1sin
.2
2cos1cos
Aprs regroupement membre membre, on a:
.sin)(cos)()(),(1
0 mmaaY bnmn
m
nmnn
Dterminons les coefficients an0 )( , a nm )( , bnm )( , m=1,2,...
En calculant les drives, on a:
0
1 1
1
sin sin
sin cos sin sin ;
( ( ) cos ( ) sin ).
n n
n n
nm nm
m m
n
nm nm
m
Y dad
d d
da dbd dm m
d d d d
Ya m m b m m
En les substituant dans l'quation diffrentielle, on obtient:
.0msinbsin
m
d
dbsin
d
d
sin
1
)(b)1n(n[mcosasin
m
d
dasin
d
d
sin
1
)(a)1n(nd
dasin
d
d
sin
1)(a)1n(n
nm
nm
n
1m
nmnm
nm
n
1m
nm
0n
n0
7/28/2019 Chapitre XII
45/55
Chapitre XII Fonctions spciales
294
Les coefficients pour )n,...,1,0m(mcos,msin sont nuls:
.0bsin
m)1n(n
d
dbsin
d
d
sin
1)3
,0asin
m)1n(n
d
dasin
d
d
sin
1)2
0a)1n(n)d
da(sin
d
d
sin
1)1
nmnm
nm
nm
0n
0n
La premire quation est un polynme de Legendre, d'o:
).(cosPa)(a 00n
Pour a nm( ) et bnm( ), on a:,)(cosPb)(b,)(cosPa)(a nmnm
m
nmnm
o a nm( ) et bnm( ) sont des constantes.
On peut crire alors la fonction sphrique sous forme:
).(cosP]msinbmcosa[)(cosPa),(Ym
n
n
1mmmn0n
XII.20 Orthogonalit des fonctions sphriquesPour montrer l'orthogonalit, on utilise la formule de Green:
.dv)UVVU(dsdn
dUV
dn
dVU
VS
Soit une sphre de rayon r (fig.XII.8). On a:
).,(YrV,),(YrU mm
n
n
et.0V;0U
7/28/2019 Chapitre XII
46/55
Chapitre XII Fonctions spciales
295
Fig XII. 8
La partie droite de la formule de Green sera nulle et par consquent:
,0dsdn
)Yr(dYr
dn
)Yr(dYr[
S
n
n
m
mm
m
n
n
La normale est dirige suivant le rayon de la sphre, d'o:
).,(Ymr)Yr(dr
d)Yr(
dn
dm
1m
m
m
m
m
Analogiquement, on a:
).,(Ynr)Yr(dn
dn
1n
n
n
Pour une sphre .dsinrds
Aprs remplacement, on obtient:
.0ddsinYY)nm(rS
mn
1mn
En faisant sortir rn+m+1
(m-n) en dehors de l'intgrale et en simplifiant, on obtient:
S
mn .mnpour,0ddsin),(Y),(Y
ce qui exprime l'orthogonalit des fonctions sphriques.
La fonction ),(f peut tre dcompose en srie par les fonctions sphriques:
...),(Y...),(Y),(Y),(f n10
Exercices
1. Trouver )x(P5 et )x(P6 par la formule de rcurrence.
7/28/2019 Chapitre XII
47/55
Chapitre XII Fonctions spciales
296
2. Trouver par la formule de rcurrence ).0(Pn
Rponse :
n...6.4.2
)1n...(5.3.1)1()0(P 2
n
n
pour n- pair.
et
)0(Pn pour n impair.
3. Dcomposer en srie par les polynmes de Legendre:
;10,1
01,0)(
x
xxf
Rponse :
...xP!2!32
!4.11)x(P
2
7)x(P
2
3
2
1)x(f 36241
4. Trouver les coefficients de la srie de Legendre pour x
).0(P)2k)(1k(
1k2a kk
5. Exprimer ),(Y4 par la fonction de Legendre.
XII.21 Dtermination des polynmes dHermiteLes polynmes d'Hermite sont dduits d'habitude l'aide de la fonction
2( 2 )( , ) txtx t e appele fonction gnratrice des polynmes. On a:
;t!n
)x(He)t,x(
0n
nntx2t
(XII.29)
o les fonctions )x(H n s'appellent les polynmes d'Hermite.En posant dans l'galit (XII.29) 0t , on a .1)x(H0 La diffrentielle par rapport t
donne:
.nt!n
)x(H)x2t2(e
t 0n
1nntx2t
En posant t=0, on trouve ).x(Hx2 1
De la mme manire, on peut trouver les expressions pour )x(H 2 etc...
En comparant les expressions pour )t,x( et ,t on trouve:
7/28/2019 Chapitre XII
48/55
Chapitre XII Fonctions spciales
297
.0)t,x()x2t2(t
En remplaant dans cette quation la srie correspondante, on trouve:
0n 0n 0n
nn1nn1nn .0t!n
)x(Hx2t
!n
)x(H2nt
!n
)x(H
Les coefficients puissance t sont nuls. Ainsi:
0!n
)x(Hx2
)!1n(
)x(H2)1n(
)!1n(
)x(H n1n1n
ou;0)x(nH2)x(xH2)x(H 1nn1n (XII.30)
c'est la formule de rcurrence du polynme d'Hermite.
En posant n=1, on trouve:
.2x4)x(H2)x(xH2)x(H 012
En posant n=2, on trouve:
.x12x8)x(H4)x(xH2)x(H3
123
XII.22 Equation diffrentielle pour les polynmes dHermite
Considrons l'quation (XII.30) et calculons sa diffrentielle:
0)x(Hn2)x(Hx2)x(H2)x(H 1nnn1n (XII.31)
On a aussi :
.!
)(22
1
0
2
n
n
ntxtt
n
xHte
x
et
.!
)(
0
n
nn tn
xH
x
Egalisons les coefficients pour tn+1. On obtient :
.!
)(2
)!1(
)(1n
xH
n
xH nn
o
).x(H)1n(2)x(H n1n Do)x(nH2)x(H 1nn
et
7/28/2019 Chapitre XII
49/55
Chapitre XII Fonctions spciales
298
1( ) 2 ( )n nH x nH x
En remplaant )x(H 1n et )x(H 1n dans (XII.31), on obtient :
0)x(H)x(Hx2)x(H2)x(H)1n(2 nnnn ou
;0)x(nH2)x(Hx2)x(H nnn
Ainsi, les polynmes dHermite satisfont lquation diffrentielle :
0ny2yx2y
XII.23Orthogonalit des polynmes dHermiteMontrons que :
0dx)x(H)x(He mnx2
Posons .z)x(Hetz)x(H 2m1n Donc :
,111 0nz2zx2z
.0mz2zx2z 222
Multipliant la premire quation par2
2( )xe z et la seconde par2
1( ).xe z Donc :
.0zze)mn(2)zzzz(edx
d
;0zze)mn(2
)zzzz(xe2)zzzz(e
21
x
1221
x
21
x
1221
x
1221
x
22
2
22
Intgrons par rapport x de :
.0dxzze)mn(2])zzzz(e[ 21x
1221
x2 Do :
0dxzze 21x
ou
.0dx)x(H)x(Hxe mn2x
On peut crire que :
.!n2dx)x(He nnx
Les fonctions ...),x(H),x(H 1 peuvent tre utilises pour dcomposer les fonctions
)(xf en srie.
7/28/2019 Chapitre XII
50/55
Chapitre XII Fonctions spciales
299
XII.24 Sparation des variables en coordonnes cartsiennes dans la rsolution delquation de Laplace
Il faut trouver lintgrale de :
0z
U
y
U
x
UU222
(XII.33)
Ecrivons )z,y,x(U sous forme :
,)z(Z)y(Y)x(X)z,y,x(U (XII.34)
Aprs avoir substitu (XII.34) dans (XII.33), et divis par )z,y,x(U , on trouve :
0
Z
Z
Y
Y
X
X
(XII.35)
Posons :
; ; X Y Z
X Y Z
.
Donc (XII.33) devient : 0 ; 0 ; ,X X Y Y Z Z
o. (XII.36)
Lintgrale sera :
.;; zyizi eZeYeX
Donc, lintgrale partielle (XII.34) est :
i z i y z
U e
(XII.37)
Qui dpend de , et de x, y, z la solution gnrale de lquation (XII.33) sera :
2
1, , ,
4
yz ix iyU x y z U e d d
(XII.38)ze),(U
~ est la transforme de Fourier de U(x, y, z) par rapport x et y ; la coordonne z
est considre comme un paramtre. Lintgrale double est calcule de sur tout le
plan spectral () . Par consquent, lquation prend la forme dune transforme inverse deFourier :
( )
( ) (XII.39)La fonction spectrale ),(U
~ doit tre dtermine partir des conditions aux limites.
En posant z = 0 dans lquation (XII.39), on obtient :
.ddz,,Uee,U~ iiz
(XII.40)
7/28/2019 Chapitre XII
51/55
Chapitre XII Fonctions spciales
300
Les quations (XII.38) et (XII.40) rsolvent les problmes de prolongement du champ.
XII.25 Problme de Dirichlet pour Z > 0
En remplaant lexpression (XII.40) dans la relation (XII.38), on obtient :( ) ( )
2
1( , )
4
i x i y zU U d d e d d
Posons
;4
1),,(
'
2
ddezyxG zYyixi (XII.41)
dd),(U)z;y,x(G)z,y,x(U (XII.42)
La premire quation montre que :2
e)z,,(G~
est la transforme de fourrier de la fonction G (x, y,z) dans le plan x, y );( z- est un
paramtre. Lquation (XII.42) exprime la fonction harmonique de U (x, y, z) comme une
convolution de U(x, y) donne sur le plan z = 0, avec G( x, y, z).
Donc :).,(),,(),,( yxUzyxGzyxU (XII.43)
Pour calculer G (x, y, z), on utilise les coordonnes polaires :
.sin;cos
;siny;cosx
On a aussi :
.ddd);(cosiyixi
Lintgrale (XII.41) sera :
2
( cos )
2
0 0
1( , , )
4
z iG x y z d e d z
On trouve :
.
)zyx(
z
2
1)z,y,x(G
2
3
222
(XII.44)
La transforme de Fourier de cette fonction par rapport x et y est ze avec donn
de (XII.36) ; alors :
2
3
222)(
2
1
zyx
zdyzdee
Iixiv
(XII.45)
7/28/2019 Chapitre XII
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Chapitre XII Fonctions spciales
301
Si lon remplace lexpression (XII.44) dans (XII.42), on trouve la formule de
prolongement vers le haut :
3),(21
),,(r
dzdUzyxU
(XII.46)
o.)0z(z)y()x(r 2222
XII.26 Sparation des variables en coordonnes cylindriques
Lquation de Laplace en coordonnes cylindriques scrit :
.0z
UU1U1U22
2
22
2
(XII.47)
On va chercher la solution sous forme :).z(Z)()(RU
En remplaant ce produit dans lquation (XII.47), on obtient :
.1Z
Z1
R
R1
R
R2
Cette quation conduit aux trois quations diffrentielles suivantes :
2 2
22
2
; 0 ;
10 .
Z Z n
nR R R
o n- est un entier et )z,,(U est priodique. Donc :
....,2,1,0,1,2...., ne in
La solution de la dernire quation pour 0 est la fonction de Bessel de premire espce :
)(JR n .Donc la solution particulire est :
).(jeU ninz
la solution plus gnrale est :
0)(
.)()(),,( djeCezU nz
n
n
in(XII.48)
Lquation (XII.48) satisfait les conditions aux limites. Si )0,,(U),(U est
donne sur le plan , la relation (XII.48) devient :
7/28/2019 Chapitre XII
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Chapitre XII Fonctions spciales
302
0)(
.)()(),( djCeU nnn
in
Ainsi, la fonction est dcompose en srie de Fourier, dont les coefficients sont les
transformes de Hankel )(Cn :
0
n
2
0
in
n .d)(j),(Ude2
1)(C (XII.49)
Les quations (XII.47) et (XII.49) sont les solutions du problme de Dirichlet pour un
demi espace .0z Elles peuvent tre utiles pour le prolongement vers le bas. En posant 0 ,
on obtient la formule (XII.48) sous forme :
.de)(C)z,0,0(U z
0
0
(XII.50)
Avec
2
0 0
0 0
1( ) ( ) ( , ) .
2C j d U d
(XII.51)
XII.27 Prolongement vers le bas
Les quations (XII.38) et (XII.40) rsolvent le problme de plongement vers le bas.
Afin de pouvoir facilement utiliser ces formules, posons z = -h, o .0h Donc, lquation
(XII.38) devient :
.dde),(U~
4
1)h,y,x(U iyixh
2
(XII.52)
Lintgrale (XII.52) possde un sens dans certains cas particuliers, dont on peut citer par
exemple :
La transforme de Fourier ),( U diminue en exponentielle, quand et
augmentent et cette diminution est plus rapide que celle de he . La composante verticale du
champ due une certaine source de densit est :
2/3222
)y()x(
ddd),,()y,x(g (XII.53)
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Chapitre XII Fonctions spciales
303
Considrons que la source est dans le volume dont la section horizontale transversale
estmS (fig.XII.9).
Fig.XII.9
Le prolongement du corps vers le bas peut tre infini, cependant les masses doivent tre
localises une profondeur suprieure h = H.
La densit est nulle )0( lextrieur du volume dsign et est gale m lintrieur.
Donc de lexpression (XII.53), on a :
Do :
H
Sg mm
(XII.54)
Montrons maintenant comment lexpression (XII.52) diminue pour Hh . Dans notre cas :
2 2
3
2 2
( , ) ( , , ) , ( )
( )
i i y d d dyg e dxdy r xr
y
En changeant x et y respectivement par x et y , on obtient :
.)(
),,(),(~2/3222
yx
dxdyedddeg yixiii
Le module sera :
.2
2),(~
Hmm
H
mm eS
deSg
(XII.55)
Donc, la fonction spectrale diminue en exponentielle et surtout quand H est important.
Lquation (XII.52) scrit donc :
,dd),(g~e4
1)h,y,x(g iyixh
2
(XII.56)
Ainsi lintgrale est calculable si :
.2
SH
m ddd
g
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Chapitre XII Fonctions spciales
hH
S)h,y,x(g mm
(XII.57)
Donc, le prolongement vers le bas est possible jusqu' une profondeur ne dpassant pas
la profondeur minimale de la source sous la surface z = 0.