บทที่ 11 วิธีการทางพลังงาน(Energy Methods)
11.1 เกริ่นนํา11.2 พลังงานความเครียด (Strain Energy)11.3 ทฤษฎีของคาสติเกลียโน (Castigliano’s Theorem
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 1
11.1 เกริ่นนํา (Introduction)• การวเิคราะหโครงสรางที่อยูในตําแหนงสมดุล นอกเหนือจากจะใชกฎของนิวตัน (สมการสมดุล) แลว ยังสามารถใชวิธีการทางพลังงานมาวิเคราะหไดดวยเชนกัน• วิธกีารพลังงาน จะใชสมการพลังงาน ซึ่งระบุวา งานที่ทําไดโดยแรงภายนอก มีคาเทากับพลังงานความเครียดที่สะสมในวัตถเุนื่องจากผลของแรงภายนอกเหลานั้น• วิธกีารทางพลังงานนี้ เหมาะสมที่จะใชในการหาระยะการเสยีรูปของชิ้นสวนตางๆในโครงสรางปกต ิหรือใชหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับสําหรับปญหาแบบวิเคราะหไมไดดวยวธิีทางสถติยศาสตร
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 2
11.2 พลังงานความเครียด (Strain Energy)• พลังงานความเครียด เปนคาพลังงานที่สะสมในวัตถุอนัเนื่องมาจากการเสียรูปที่เกิดจากแรงภายนอกชนิดตางๆที่กระทําตอวัตถุนั้น โดยถือวาพลังงานความเครียดมีคาเทากับงานที่แรงเหลานั้นทําได (ไมมีการสูญเสียพลังงานใดๆทั้งสิ้น)
ก. พลังงานความเครยีดของแรงในแนวแกนเมือ่แรงในแนวแกนเพิม่ขึ้นชาๆจากศูนยจนถึงคา P ใดๆ ทําใหวัตถุนั้นมีระยะการเสียรูปเปน
จะไดวา (11.1)
ถาหาก วัตถุนั้นมีการแปรเปลี่ยนของชนิดวัสดุ ขนาดพื้นที่หนาตัด หรือแรงกระทําในชวงความยาวทั้งหมดทีพ่จิารณา สมการ (11.1) จะเขยีนในรูปของ
หรือ (11.1ก)
AELPPU P
2
21
2==
δAEPL
=δ
∫=L
P AEdxPU
0
2
21 ∑= AE
LPU P
2
21
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 3
ข. พลังงานความเครยีดของแรงบิดเมือ่แรงบิดเพิม่ขึ้นชาๆจากศูนยจนถึงคา T ใดๆ ทําใหวัตถุนั้นมีการเสียรูปเชิงมมุเปน
จะไดวา (11.2)
ถาหาก วัตถุนั้นมีการแปรเปลี่ยนของชนิดวัสดุ ขนาดพื้นที่หนาตัด หรือแรงบิดที่กระทําในชวงความยาวทั้งหมดทีพ่จิารณา สมการ (11.2) จะเขยีนในรูปของ
หรือ (11.2ก)
JGLTTUT
2
21
2==
θJGTL
=θ
∫=L
T JGdxTU
0
2
21 ∑= JG
LTUT
2
21
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 4
ค. พลังงานความเครยีดของโมเมนตดัดกรณีของคานที่มีสภาพความเคนดัดดังรูป
โดยการประยกุตใชสมการ (11.1) จะได
ทําการอินติเกร็ทตลอดหนาตัดของคาน เพื่อหาพลังงานความเครียดรวมในหนาตัด
และอินติเกร็ทตลอดความยาว เพื่อหาพลังงานความเครยีดทั้งหมด
(11.3)
dAyEI
dxMEdA
dxdAI
MyEdA
dxPdU 2
2
222
2)(2)(21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
dAI
MydAP f ==σ
∫= EIdxMUM 2
2
EIdxMdAy
EIdxMdU
22
22
2
2
== ∫
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 5
11.3 ทฤษฎขีองคาสติเกลียโน (Castigliano’s Theorem)• แทนที่จะใชสมการของพลังงานโดยตรง (งานจากแรงภายนอก = พลังงานความเครียดภายใน) ทฤษฎีของคาสติเกลียโนจะใชหลักการที่คลายกันกับหลักการของงานเสมือน (Virtual work) ในการหาระยะการเสียรูป• พลังงานความเครียดรวมทั้งระบบ หาไดจาก
ทฤษฎีของคาสติเกลียโน กลาวไววา “ระยะการเสียรูปที่เกิดจากแรงภายนอกใดๆ มีคาเทากับอนุพันธแบบแยกสวนของพลังงานความเครียดเมื่อเทียบกับแรงนั้นๆ”หรือ
(11.4)
MTP UUUUU ++==∑
i
i
i
i
i
i MU
TU
PU
∂∂
=∂∂
=∂∂
= θθδ ;;
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 6
• โดยถาเปนอนุพันธเทียบกับแรง การเสียรูปคือ • ระยะยืด-หด สําหรับแรงในแนวแกน • ระยะแอนตัว สําหรับคาน
• ถาเปนอนุพนัธเทียบกับแรงบิด การเสียรูป คอื มมุบดิของหนาตัด• ถาเปนอนุพนัธเทียบกับโมเมนตดดั การเสียรูป คือ ความชันของเสนโคงการแอนตัว
• สําหรับระบบที่มีแรงหลายชนิดกระทํารวมกัน
จะไดวา (11.5)
• ในกรณีที่ไมมีแรงภายนอกกระทํา ณ จดุที่ตองการทราบระยะการเสียรูป จะทําการสมมุตแิรงเทียม (Dummy load) ขึน้ เพื่อใชในการตั้งสมการ กอนทีจ่ะแทนคาดวยศูนยภายหลังจากไดสมการอนุพันธแลว
∫∫∫ ++=EIdxM
JGdxT
AEdxPU
222
222
∫∫∫∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=EI
dxPMM
JG
dxPTT
AE
dxPPP
PU iii
i
iδ
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 7
ตัวอยางที่ 11.1ใหหาระยะการแอนตัวที่ปลายอิสระ (A) ของคานแบบปลายฝงแนนดานเดียวที่มีแรงกระทําดังรูปกําหนดให L = 2 m; w = 4 kN/m; P = 6 kN; EI = 5 MN.m2
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 8
ตัวอยางที่ 11.2ใหหาระยะการแอนตัวและความชันที่ปลายอิสระ (A) ของคานแบบปลายฝงแนนดานเดียวที่มีแรงกระทําดงัรูป
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 9
ตัวอยางที่ 11.3ใหหาระยะการเคลื่อนที่ของจุด B ของโครงสรางดังรูปโดยกาน BC และ BD ทําจากวัสดุชนิดเดียวกันและมีขนาดพื้นทีห่นาตัดเทากัน
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 10
ตัวอยางที่ 11.4ใหหาระยะการแอนตัวของคานโคงซึ่งอยูในแนวระดับและมีแรงกระทําดังรูป
กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 11 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 11