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Tema I: Cinematica
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Espacio Fsico 3D Sistema de ejes coordenadas cartesianasortogonales OXYZ
P(x,y,z) - representacin del punto P .
{(x,y,z)}- coordenadas cartesianas de P
Vector de posicin:
Unidades SI- patron de longitud METRO.
o
(i, j, k)vectores unitarios
P
Norma (modulo) de un vector:
Posicin:
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Espacio
Z
Y
Xo
d12
= x2" x
1( )2+ y
2" y
1( )2+ z
2" z
1( )2
Distancia entre P1y P2:
d12
= P1P2= OP
2"OP
1= x
2"x
1( )i + y2 "y1( )j + z2 "z1( )k
P1P2
Definicin: Espacio euclideo tridimensional:
Se define la distancia d12entre P1(x1,y1,,z1) y P2(x2,y2,z2):
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Tiempo Aparato de medir el tiempo: RELOJ.SI- segundosMecnica clasica: tiempo absoluto (no depende
del estado del movimiento del observador que
realiza la medida)
(!,",z) -> (x,y,z)
"=
x
2+
y
2
# = arctgy
x
$
%&
'
()
z = zr= x
2+ y
2+ z
2
" = arctgx
2+ y
2
z
#
$%
&
'(
) = arctgy
x
#%
&(
(r,#,") -> (x,y,z)
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Def: Trayectoria del movil
Def: Desplazamiento:
S.R OXYZ-fijo
"!
r = !
r(t+ "t)#!
r(t)
Z
O Y
X
"!
r
"!
r
!
r(t+ "t)
!
r(t)
Unidades: SI [m]
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Vector Velocidad: modulo, sentido y direccion
Def: Velocidad promedio
S.R OXYZ-fijo
Z
O Y
X
Def: Velocidad instantanea
!vm
!
v
"!r!r
(t)
!
r(t+ "t)
Unidades: SI [m/s]
!
vm (t,"t) = "
!
r"t
= "x"t
i + "y"t
j + "z"t
k
vm = vmx2+ vmy
2+ vmz
2
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Velocidad en terminos del arco recorrido
S.R OXYZ-fijo
"!
r = !
r(t+ "t) #!
r(t)!
r =!
r(s)
Z
O Y
X
$sOo
Derivacin en cadena:
Def. de la derivada:
Se obtiene para la velocidad en terminos del arco:
"!r
!
r(t+ "t)
!
r(t)
!
v(t)
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Nota: tienen:
i) siempre la misma direccin ii) no siempre el mismo sentido
Z
O Y
X
dsOo
Analizamos 2 casos:
!
r(t+ "t)
!
r(t) d!r
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Vector Aceleracin: modulo, sentido y direccion
Def: Aceleracin promedio
S.R OXYZ-fijo
Z
O Y
X
Unidades: SI [m/s2]
!
r(t+ "t)!
r(t)
!
v(t+ "t)
!
v(t)
!am(t,"t)
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Vector Aceleracin: modulo, sentido y direccion
S.R OXYZ-fijoZ
O Y
X
Def: Aceleracin instantanea Unidades: SI [m/s2]
!
v(t+ "t)
!
r(t+ "t)
!
r(t)!
a(t)
!
v(t)
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Componentes intrinsecas de la acelaracin:
Aceleracin Tangencial (aT) y Acelaracin Normal (aN)
dsA
A
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Que es ?
Que es la magnitud ?
Derivacin en cadena:
ds
A
A
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Que es la magnitud ?
Pasos para determinar esta magnitud:
1. El movimiento se desarrolla en el plano oscilador.2. Los vectores uNpara $t->0 se unen en el punto C, denominado centro
de la curvatura.
3. Se define el radio de la curvatura != AC
4. Los vectores uT y uNforman el mismo angulo ", puesto que tanto en A
como en A
dsA
A
C
d"
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Representacin grfica:
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Se define el arco:
d!
uT
Por lo tanto:
Definir d"en funcin de
El limite infinitesimal: A->A, dt->0, d"->0 :
Si A->A|duT|
|uT|d! d!
uT(A)
uT(A)
entonces
d"=
d
!
uT
Si
d" = d!
uT
ds =#d" =#d!
uT$
$
1
#=
d!
uT
ds
!
uT
1"
d"=
d
!
uT=
!
uT(A)#
!
uT (A')
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Entonces se tiene:
Casos particulares:
1. v=const -> aT=0 (mov. uniforme)
2. !=% -> aN=0 (mov. rectilineo)
Responsable del cambio de direccin en la velocidad
Responsable del cambio en lamagnitud de la velocidad.
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Movimiento bajo
Problema cinematico:
Se conoce: la trayectoria seguida y
Obtener r(t):
Solucin:
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Caso particular:
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Caracteristicas del movimiento bajo
Movimiento se desarrolla en un planoy que pasa por ro
Trayectoria del movimiento: ParabolaSe demuestra:
i) S.R.:
x(t) = vo cos"(t # t o)
y(t) = vosen"(t # t o)#1
2g(t # t o)
2
y = xtg"#1
2 g x2
vo2 cos2"
y
x
"
ii)
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Utilidades en mov. bajo
Altura maxima
Alcance maximo
Altura maxima si
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Ot ti l
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Otros casos particulares:
1. Movimiento uniformemente acelerado aT=const (MUA)
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2. Movimiento rectilineo uniformemente acelerado
aT=const, != %, aN=0 (MRUA)
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Movimiento Circular. (MC)
R=const
O
ds
Unidades de #: [rad]
&:[rad/s]
d#
t+dt
tR
!
v(t)
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Movimiento circular uniforme (MCU)
Si &=const MCU o Movimiento periodico
Movimiento periodico y sus parametros:
Si el movil realiza 1 revolucion completa
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Movimiento Circular desde el plano de la particula:.
Se considera:
Una particula en MC. en uncirculo de radio R y centro Oo
Vector velocidad angular:
1. Modulo:
2. Direccin y sentido:
Vector velocidad en MC:
R
!
v
!
"
!
r!
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Definicin de la aceleracin angular en (MC)
Unidades de #: [rad]
&:[rad/s]
'::[rad/s2]
Caso particular: '=const -> MCUA
Relacin de ' y & con a y a :
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Relacin de 'y &con aTy aN:
Si &=const, '=0, aT=0 -> MCU
!
v
!
"
!
r
!
aT
!
aN
!
"
V l id d A l i C d d P l
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Velocidad y Aceleracion en Coordenadas Polares:
Se puede escribir:
se definen en cada punto del planouu
x
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Obtenemos las siguientes expresiones para la
velocidad y aceleracin en coordenadas polares:
Y
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Aplicacin: Movimiento bajo Fuerzas Centrales
!
a = rur+ rur+ r
"u" + r
"u" + r
"u"
!
a = ur(r # r"
2
)aceleracionradial
"
#
$
%
$
+u"(2 r"+ r
")
aceleraciontransversal
"
#
$
%
$
=
!
ar+
!
a"