Capacitância e Indutância
Introdução a dois dispositivos passivos e armazenadores de energia:
Capacitores e Indutores
Objetivos
CAPACITORES
Armazenam energia em seu campo elétrico (energia electrostática)
Modelado como um elemento de circuito
INDUTORES
Armazenam energia em seu campo magnético
Modelado como um elemento de circuito
COMBINAÇÕES DE CAPACITORES E INDUTORES
Combinações série/paralelo de elementos
CIRCUITOS RC COM OP-AMP – não será visto nesta disciplina
Circuitos integradores e diferenciadores
CAPACITORES Elemento armazenador de energia Capacitores típicos
Capacitor de placas paralelas básico
Representação como elemento de circuito
Observe o uso da convenção passiva de sinais
É comum ter-se valores pequenos para capacitâncias.
Microfarad é uma unidade comum.
Para circutos integrados é comum encontrar-se nano ou pico farad.
d
AC
28
4
12
103141.610016.1
1085.855 mA
AF
Tamanho da placa para uma capacitância equivalente com o espaço
preenchido por ar:
placas entre espaço no dielétrico material do Constante
Lei básica de capacitância )( CVfQ
Capacitores lineares obedecem a lei de Coulomb CCVQ C é chamada de CAPACITÂNCIA do dispositivo e possui unidade de
tensão
carga
Um Farad(F) é a capacitância de um dispositivo capaz de armazenar um Coulomb de carga a um Volt
Volt
CoulombFarad
EXAMPLO Tensão nos terminais de um capacitor de 2 micro Farads, que armazena uma carga de 10mC
500010*1010*2
11 3
6
Q
CVC V
Capacitância em Farads, carga em Coulombs resultam em tensão em Volts
Capacitores podem ser perigosos!!!
Representação de circuito de um capacitor linear
O capacitor é um elemento passivo e segue a convenção passiva de sinais
Capacitores apenas armazenam e liberam energia ELECTROSTÁTICA. Eles não “criam” energia.
Representação de circuito de um capacitor linear
)()( tdt
dvCti
EXEMPLO
Escreva a relação i-v
dos seguintes
capacitores
Faradvolt
coulomb
V
QC unidade :
Capacitor e capacitância FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/capac.html#c1
•A bateria irá transportar carga para as placas até que a tensão produzida
pelo acúmulo de cargas for igual à tensão da bateria.
•Pode-se definir a capacitância como a quantidade de carga que pode ser
armazenada por unidade de tensão aplicada ao dispositivo.
dsEsdEdV S
Variação da tensão
dV ao longo da
direção ds
Vz
ky
jx
i
z
Vk
y
Vj
x
Vi
EkEjEiE zyx
Revisão: campo elétrico e dif. de potencial FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elewor.html
O efeito de um campo elétrico em um material dielétrico polarização.
Capacitor e capacitância FONTES: http://www.techfak.uni-kiel.de/matwis/amat/elmat_en/kap_3/backbone/r3_1_1.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/dielec.html#c1
Momento de dipolo: m = q·x
Polarização de um dielétrico: orientação dos momentos de dipolo diminuição do
campo elétrico efetivo entre as placas aumento na capacitância de placas paralelas
opolarizaçãexternoefetivo EEE
Capacitor e capacitância FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/dielec.html#c3
Polarização de um dielétrico: orientação dos momentos de dipolo diminuição do
campo elétrico efetivo entre as placas aumento na capacitância de placas paralelas
0
kEEE opolarizaçãexternoefetivo
: carga por unidade de área (Q/A)
0: permeabilidade do vácuo
A capacitância das placas
paralelas aumenta por um fator k
d
A
d
Ak
dk
A
Ed
A
V
QC R 00
0
d
VE
0
O efeito de um campo elétrico em um material dielétrico polarização.
Capacitor e capacitância FONTE: http://www.techfak.uni-kiel.de/matwis/amat/elmat_en/kap_3/backbone/r3_1_1.html
- Polarização do material: P = 0 · c · E
E : Campo elétrico (externo) aplicado;
0: Permissividade do vácuo;
c: Susceptibilidade dielétrica do material.
Efeitos do material dielétrico FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/capaelec.htm
MATERIAL r MATERIAL r
vácuo 1 Porcelana 6
ar 1.0006 Alumina 8.1~9.5
teflon 2 Titanatos 50~10000
papel parafi. 2.5 Silício fund. 3.8
plástico 3 Pyrex 5.1
papel 4~6 Polistireno 2.5~2.6
óleo 4 água dest. 80
mica 3~7
• Pode-se interpretar a constante dielétrica r como uma medida do campo
elétrico de oposição (di = oposição) induzido no material pelo campo elétrico
aplicado.
• Material dielétrico Campo elétrico externo Polarização.
Efeitos do material dielétrico (cont.) FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/capaelec.htm
Polarização origina um campo elétrico de sentido contrário àquele
aplicado.
Para analisar o efeito causado pela presença de um material dielétrico entre as
placas condutoras do capacitor, vamos equacionar a tensão entre as placas, a
carga acumulada e o campo elétrico no interior do material.
Efeitos do material dielétrico (cont.) FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/capaelec.htm
Considere dois capacitores idênticos na forma mas distintos no material
dielétrico; seja, por exemplo, um capacitor com vácuo entre as placas
condutoras e outro com um dielétrico de mica (r 3 a 7).
Considere que a tensão entre as placas esteja fixa em V campo elétrico
aplicado no material dielétrico: E = V / d .
No capacitor com dielétrico de mica, o campo elétrico estabelecido pelas
cargas nas placas sofre a influência do campo de oposição gerado pelas
cargas de polarização, que atua de forma a reduzi-lo. Para atingir o mesmo
valor de campo elétrico E daquele do capacitor com vácuo, é necessário,
portanto, um número maior de cargas elétricas nas placas condutoras.
Pode-se também observar que as cargas de polarização nas proximidades das
placas condutoras induzem novas cargas nas placas condutoras.
Efeitos do material dielétrico (cont.) FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/capaelec.htm
Conclusões:
Para uma mesma tensão aplicada, a carga acumulada nas placas do
capacitor com dielétrico é maior do que aquela do capacitor com vácuo
apenas.
Para uma mesma carga acumulada, a tensão entre os terminais do
capacitor com mica é menor. (Por que?)
Assim, para uma tensão V constante:
VCQVCQ vaziovaziomicamica vaziomica CC
d
AC ovazio
d
AC romica
vazio
micarrvaziomica
C
CCC
Efeitos do material dielétrico (cont.) FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/capaelec.htm
O efeito causado pelo dielétrico pode ainda ser interpretado da seguinte forma:
No capacitor vazio (sem dielétrico), o fluxo elétrico é inteiramente gerado nas cargas positivas e converge para as cargas negativas, localizadas nas placas condutoras.
No capacitor com dielétrico (mica, por exemplo), os dipolos induzidos constituem fontes adicionais de fluxo elétrico, que no interior do dielétrico têm sentido contrário àquele estabelecido pelas cargas nas placas condutoras.
É exatamente a necessidade de se compensar o fluxo de oposição, de forma a garantir a mesma tensão entre as placas condutoras, que induz a acumulação de uma maior quantidade de carga nas placas do capacitor com dielétrico de mica.
Se a tensão varia ( vC(t) ), a carga varia ( q(t) ) e há uma corrente no circuito ( i(t) )
CC CVQ Lei do capacitor
Pode-se também expressar a tensão
nos terminais do capacitor em termos
da corrente
QC
tVC
1)(
t
C dxxiC
)(1
Forma integral da lei da capacitância
… ou pode-se expressar a corrente no
capacitor em termos da tensão entre seus
terminais
Forma diferencial da lei da capacitância
A implicação matemática da forma
integral é ...
ttVtV CC );()(
A tensão nos terminais de um capacitor
DEVE ser contínua
Implicações da forma diferencial?
0 CC iConstV
Comportamento DC or de regime
permanente
Um capacitor em regime
permanente (com fontes DC) age
como um CIRCUITO ABERTO
)()( tCvtq
O capacitor como elemento de circuito A adição ou remoção de cargas elétricas das placas do
capacitor equivale a variar a tensão elétrica entre as
mesmas, e vice-versa
dt
dVC
dt
dQi CC
O capacitor como elemento de circuito
A característica tensão-corrente do capacitor como elemento de circuito:
Relação diferencial:
- Condições iniciais; - Restrição da continuidade de energia acumulada; - Solução natural (transitória) e forçada no tempo
dt
tdvCtvC
dt
d
dt
tdqti
)()(
)()(
O capacitor como elemento de circuito
Da característica tensão-corrente do capacitor, pode-se concluir que:
Tensões constantes nos terminais do capacitor correspondem a correntes nulas;
Tensões variáveis no tempo, mas com derivada finita, correspondem a correntes finitas;
Tensões senoidais correspondem a correntes também senoidais;
Variações infinitamente rápidas de tensões correspondem a picos de corrente de amplitude infinita requer potência infinita e um movimento instantâneo de cargas nos terminais do capacitor.
)( )( tvCtq dt
tdvCti
)()(
O capacitor como elemento de circuito
Princípio da conservação de cargas: a quantidade de cargas elétricas não pode variar instantaneamente. A tensão nos terminais do capacitor não pode variar instantaneamente. Não pode haver uma descontinuidade em v(t).
)( )( tvCtq
t
t
t
-
t
- o
odi
Cdi
Cdi
Cv
dt
tdvCti
1
1
1
)()(
vo (to) : condição inicial;
to: tempo inicial.
t
to
o
diC
tvv
1)(
CAPACITOR COMO ELEMENTO DE CIRCUTO
Cv
Ci
)()( tdt
dvCti c
C
t
CC dxxiC
tv )(1
)(
t
t
tt
0
0
0
0
)(1
)(1
)(
t t
t
CCC dxxiC
dxxiC
tv
t
t
CCC dxxiC
tvtv
0
)(1
)()( 0
O fato da tensão ser definida por meio de uma integral tem implicações importantes...
RR
RR
Riv
vR
i
1
Lei de Ohm
)( Oc tv
elsewhereti 0)(
CORRENTEA DETERMINE
5 FC m
)()( tdt
dvCti
mAs
VFi 20
106
24][105
3
6
mA60
EXEMPLO
Energia elétrica acumulada
Sabemos que a relação entre energia w(t) e potência p(t) é dada por:
t
c dtitvtw )( )( )(
Mas, em um capacitor, vimos que: . Assim: dt
tdvCti
)()(
)(
) ( )(
tv
tv
t
c dvvCdd
dvCvtw
Suponha que o capacitor estava descarregado em t = – v(– ) = 0. Portanto:
J )(
2
1)( 2 tvCtwc
Energia elétrica acumulada (cont.)
Desta relação da energia de um capacitor, pode-se verificar que, à medida que o capacitor está sendo carregado e que, conseqüentemente, v(t) varia, a energia wc armazenada também varia.
Observe que wc 0, t o elemento é passivo.
Relações equivalentes para a energia armazenada pelo capacitor:
J )( 2
1)( 2 tvCtwc
J )( 2
1)( 2 tvCtwc J )(
2
1)( 2 tq
Ctwc
Energia elétrica armazenada (cont.)
O capacitor é um elemento armazenador de energia. um capacitor ideal não dissipa energia.
Por exemplo, um capacitor de 100 mF com uma tensão entre seus terminais de 100 V armazena uma energia de:
J 500(100) 10100 2
1
2
1 232 vCwc
Enquanto o capacitor permanecer desconectado de qualquer outro elemento, esta energia de 500 J permanecerá armazenada.
O que acontecerá se conectarmos um resistor nos terminais deste capacitor carregado?
Capacitor: Tensão e carga contínuas
Se for conectado um resistor nos terminais deste capacitor carregado:
resistor + tensão entre terminais = corrente (v = R i i = v / R).
A energia armazenada será dissipada na forma de calor no resistor.
Quando toda a energia tiver sido dissipada na forma de calor, a corrente no circuito composto do resistor e do capacitor será nula, assim como a tensão nos terminais do capacitor.
Requisito da conservação de cargas a tensão no capacitor é contínua A tensão nos terminais do capacitor e a carga em suas placas não pode variar instantaneamente. Notação:
)0( )0( vv
Tensão e carga contínuas – exemplo FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/carateco.htm e DORF, Richard.
Uma vez que a carga acumulada resulta da integral da corrente, então as variáveis carga, tensão e energia devem necessariamente ser uma função contínua no tempo (as variações em degrau só seriam possíveis caso a corrente atingisse valores infinitamente elevados).
Valores finitos da corrente elétrica têm como conseqüência as condições de continuidade:
)( )( tqtq )( )( tvtv )( )( twtw cc , t.
Por exemplo: Qual a energia armazenada e a tensão no capacitor em t = 0 +?
10V
R
10mF 10V
R
10mF
t = 0
CAPACITOR COMO ARMAZENADOR DE ENERGIA
)()()( titvtp CCC
Potência instantânea
)()( tdt
dvCti c
C
dt
dvtCvtp c
CC )()(
C
tqdxxi
Ctv C
t
CC
)()(
1)(
)()(1
)( tdt
dqtq
Ctp C
CC
Energia é a integral da potência
2
1
)(),( 12
t
t
CC dxxpttw
Se t1 é , a expressão refere-se a
“energia armazenada no tempo t2”
Se ambos os limites forem , refere-se à
“energia total armazenada.”
)(
2
1)( 2
tvdt
dCtp CC
)(2
1)(
2
1),( 1
22
212 tCvtCvttw CCC
)(
2
11)( 2
tqdt
d
Ctp cC
)(1
)(1
),( 12
22
12 tqC
tqC
ttw CCC
W
Cv
Ci
Energia armazenada entre 0 - 6 msec
][)24(*][10*52
1)6,0( 226
VFwC
Energia armazenada em 3msec
)3()3( CC Cvq
)0(2
1)6(
2
1)6,0( 22
CCC CvCvw
CVFqC m60][12*][10*5)3( 6
“energia total armazenada?” ....
“carga total armazenada?” ...
Se a carga estiver em Coulombs
e a capacitância em Farads
a energia está em ….
FC m5
EXEMPLO
tensão.a Determine .4 FC m
20 t
mst 42
][1082)( 3Vttv
0;)(1
)0()(0
tdxxiC
vtvt
2;)(1
)2()(2
tdxxiC
vtvt
0)0( v
potência a Determine .4 FC m
tti3108)(
mstttp 20,8)( 3
mst 42
contrário caso,0)( tp
0)0( v
Determine a energia
mstttp 20,8)( 3
mst 42
contrário caso,0)( tp
Exemplo
CORRENTEA DETERMINE
2 FC m)()( t
dt
dvCti
s
VFi
3
6
102
12102
s
VFi
3
6
104
12102
Energia armazenada no tempo t )(2
1)( 2 tCvtE C )240/1(E
2sin130*][10*2
2
1 226 F J
Carga armaz. em um dado tempo )()( tCvtq CC )120/1(Cq 0])[sin(*][10*2 6 VC C
Corrente através do capacitor )(tdt
dvCi C
C )120/1(Ci )cos(120*130*10*2 6 A
Potência elétrica fornecida ao capacitor em um dado tempo )()()( titvtp CCC
Energia armazenada em um dado intervalo de tempo
W
)(2
1)(
2
1),( 1
22
212 tCvtCvttw CC
J
FC m2
)120(sin130)( ttv
)(tv
Que variáveis podem ser computadas?
Problema típico
Cv
Ci
C
FC m2
][0;0
0;)(
5.0
mAt
teti
t
C
Current through capacitor
Tensão em um dado tempo t dxxiC
tv
t
CC )(1
)(
)0(Cv ][0 V
Tensão em um dado tempo t quando a tensão em to<t é conhecida
t
t
CCC dxxiC
tvtv
0
)(1
)()( 0
)2(Cv
2
0
5.01)0( dxe
Cv x
C
2
0
5.0
6 5.0
1
10*2
1
xe 61
610*6321.01
5.0
1
10*2
1
e V
Carga em um dado tempo )()( tCvtq CC )2(Cq 6321.0*2 C
Tensão em função do tempo dxxiC
tv
t
CC )(1
)(
0;0)( ttvC
t
x
CC dxeC
vtv0
5.01)0()(
0;0
0);1(10)(
5.06
t
tetv
t
CV
Potência elétrica fornecida ao capacitor )()()( titvtp CCC
Energia armazenada no capacitor em um dado tempo )(2
1)( 2
tCvtw C
W
J
Energia “total” armazenada no capacitor )(2
1 2 CT Cvw 6266 10)10(*10*22
1
Tw J
Problema típico Se a corrente for conhecida ...
Problema típico
sec)(mt
5 10
Determine a tensão em função do tempo
Em : tudo é zero. Como iC(t) = 0 para t<0, tem-se
sec50 mttsAt
s
At
ms
AtiC ]/[10*3
10
103
5
15)( 3
3
6
m
][10*4
10*3)(0)0(
06
3
VxdxtVVt
CC
][10*50];[8
10*3 323
stVt
Em particular ][
8
75][
8
)10*5(*10*3)5(
233
mVVmsVC
][10)(105 Atimst C m
t
CC dxsAtVmVmsV310*5
6
6
3
]/)[10*10(10*4
1
8
10*75)(][
8
75)5(
][10*1010*5;][10*54
10
8
10*75)( 333
3
stVttVC
Carga armazenada em 5ms
)()( tCVtq CC
][8
10*75*][10*4)5(
36 VFmsq
][)2/75()5( nCmsq
Eneriga total armazenada
2
2
1CCVE
Total significa no infinito. Assim:
][8
10*2510*4*5.0
23
6 JET
Antes de se utilizar um modo formal para se descrever a corrente, observe questões adicionais que podem ser respondidas.
O modo formal de se descrever funções lineares por partes....
Dadas a corrente e a capacitância
0;0)( ttVC
][10;8
25
][105;54
10
8
75
50;8
3
0;0
)(
2
mst
mstt
mstt
t
tVc][mV
Descrição formal de um sinal analítico por partes
Linhas de fluxo podem se estender além do indutor, gerando efeitos indutivos de dispersão
Representação como elemento de circuito de um indutor
Um fluxo variável no tempo gera uma força contra eletromotriz, o que gera uma tensão nos terminais do dispositivo
INDUTORES OBSERVE O USO DA CONVENÇÃO
PASSIVA DE SINAIS
Indutor e indutância eletromagnética
Movimento de cargas elétricas (corrente elétrica, por exemplo) força magnética.
Dois condutores percorridos por uma corrente elétrica atraem-se um ao outro se os sentidos dos respectivos fluxos forem concordantes, e repelem-se caso contrário (por que?)
Força magnética campo magnético; fluxo magnético; densidade de fluxo magnético; permeabilidade magnética; indutância (própria); indutância mútua.
Bobina ou indutor componente que armazena energia sob a forma de um campo magnético portanto, sob a forma de cargas elétricas em movimento.
Indutância parâmetro que relaciona a corrente elétrica com o fluxo magnético. iL
Indutor e indutância eletromagnética
Indutância L: função das dimensões físicas e do
número de espiras da bobina e do material do núcleo.
Unidade: H (Henry)
iL
td
tidL
td
td
)(
)(
Lei de Faraday:
SCSdB
tldEV
Força eletromotriz – fem ou emf
Lei de Lenz
td
tidLtv
)( )(
FEM em indutores:
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/backemf/index.html
Corrente e campo magnético induzido
FONTE: ftp://ntftp.pearsoned-ema.com/LongAcre/samplechaps/ftph/0130930466.pdf
r
I
l
IHldHI
2
Campo
magnético
Fluxo
magnético
HA
B
m
: densidade de fluxo magnético
Fluxo
magnético
Anel
ferromagnético
Permeabilidade magnética do material
Corrente e campo magnético induzido
FONTE: ftp://ntftp.pearsoned-ema.com/LongAcre/samplechaps/ftph/0130930466.pdf
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/indcur.html#c2
Campo magnético em um
enrolamento (bobina)
dt
dIL
dt
BAdN
dt
dNfemV
)(][
Lei de Lenz
Lei de Faraday
Da definição de indutância (vide
livro de eletromagnetismo)
Pode-se mostrar (vide site acima e livro de eletromagnetismo) que:
Indutor e indutância eletromagnética FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/grandmag.htm
mm
l
rNkNL roespirasN
2
Indução eletromagnética fenômeno através do qual se geram tensões e correntes elétricas, a partir das variações na intensidade do fluxo magnético.
Existe indução de uma tensão elétrica nos terminais de um condutor quando:
(a) O condutor se move cortando as linhas de fluxo magnético;
Indutor e indutância eletromagnética FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/grandmag.htm
(b) Uma espira (ou N espiras) movem-se em um campo constante no tempo mas variável no espaço (o fluxo que atravessa a espira varia em função da posição);
(c) O condutor (ou a espira, ou as N espiras) se encontra imóvel, mas o fluxo apresenta variações temporais;
Indutor e indutância eletromagnética FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/grandmag.htm
(d) O condutor se encontra imóvel, mas imerso em um fluxo variável no tempo gerado pela sua própria corrente.
Indutor e indutância eletromagnética FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/grandmag.htm
Corrente variável no tempo
Indutância própria e indutância mútua:
td
tidLtv
)( )(
td
tidMtv
)( )( 1
2
Análise de um circuito com indutâncias Obtenção e resolução de uma ou várias equações diferenciais; Condições iniciais de corrente, fluxo magnético, energia armazenada; Continuidade da energia armazenada; Forma dual das características tensão-corrente do capacitor e do indutor.
Indutor e indutância eletromagnética
td
tidLtv
)( )(
dt
tdvCti
)()(
Característica i v FONTE: http://www.melim.com.br/~luizbraz/circuitoA/carateco8.htm
Característica v i:
Correntes constantes no tempo não induzem qualquer tensão nos
terminais da bobina ( indutor curto-circuito);
Correntes variáveis no tempo com derivada finita induzem tensões
finitas;
Correntes senoidais induzem tensões senoidais.
Variações infinitamente rápidas da corrente induzem picos de tensão
com amplitude infinita.
Pela característica v i do indutor, pode-se observar que, para haver
uma variação abrupta ou instantânea da corrente, seria preciso uma
tensão infinita. A corrente em um indutor não pode variar
instantaneamente.
td
tidLtv
)( )(
Característica i v e energia armazenada FONTE: DORF, Richard (vide plano de ensino)
Característica v i:
Eneriga armazenada:
onde . Se i() = 0 w(t) 0, t
elemento passivo
td
tidLtv
)( )( )( )(
1 tiddttv
L
t
t
t
t oo
iddvL
)( )(
1)()( )(
1
o
t
ttitidv
L o
t
to
o
dvL
titi
)(
1)()(
dt
tdiLtitvtitp
)()()()()(
t
dpw )(
)( 2
)( 2
2
)( )( )()(
)( 22
)(
)(
2)(
)(
o
ti
i
ti
i
tti
Lti
LtiLdiiLdi
d
diLw
)( 2
1 2 tiLw
ot
Energia armazenada e continuidade da corrente
Diz-se que o indutor é um elemento que armazena energia sob a forma de um campo magnético.
Vimos que i(t) em um indutor não pode variar instantaneamente o fluxo magnético não pode variar instantaneamente (o fluxo magnético é gerado pela variação da corrente) a energia armazenada no indutor (função da corrente – vide expressão acima) não pode variar instantaneamente.
Valores finitos da tensão aplicada correspondem a condições de continuidade nas variáveis:
)( 2
1 2 tiLw
)( )( titi )( )( tt )( )( twtw