Vectores
Definición de vectores y escalares
• Escalar: Es un número y ya no hay más nada que definir.
• Vector: Es una flecha con módulo dirección y sentido que se expresa mediante más de un número
Cantidades básicas que describen un vector
• Módulo: Es su tamaño
• Dirección: Hacia donde esta dirigido el vector
• Sentido: Orientación del vector respecto a la dirección
Operaciones básicas con vectores
Los tres tipos de operaciones se pueden hacer analíticamente o gráficamente
1. Sumas de vectores.
2. Restas de vectores.
3. Multiplicación de vectores.
4. “Regla de oro de las operaciones con vectores”: JAMAS PERO JAMAS SE PUEDE DIVIDIR POR UN VECTOR
Vector gráficamente
𝐴
𝐵
¿Sabrá Legolas las definiciones de vector? ¿O Solo esta tirando flechas?
Operaciones con vectores gráficamente
𝐴 𝐵
Queremos determinar
𝐴 + 𝐵 Para ello tenemos dos métodos
Método del triángulo
Método del Paralelogramo
Método del triángulo paso a paso
𝐴 𝐵
Hacemos coincidir la punta del vector A con la cola del vector B
𝐴 𝐵
Luego trazamos una flecha desde la cola del vector A a la punta del vector B
𝐴 𝐵
𝐴 + 𝐵 Finalmente tenemos el vector suma
Método del Paralelogramo paso a paso
𝐴 𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
Finalmente tenemos el vector suma
Unimos las colas de los vectores A y B
Proyectamos líneas paralelas a los vectores anteriormente indicados
Trazamos un vector desde el punto de unión de los vectores A y B hasta el punto de unión de las proyecciones.
Método analíticos para sumar o restar vectores
• Utilizamos el concepto de “peras con peras y manzanas con manzanas”, o sea cada componente se suma o se resta con su propia componente. Ej.
𝐴 = 3𝑖 − 5𝑗 + 6𝑘 𝐴 = 3𝑥 − 5𝑦 + 6𝑧
𝐵 = 7𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘
𝐴 + 𝐵 = 7 + 3 𝑖 + −5 + 3 𝑗 + 6 − 2 𝑘 = 10𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘
𝐴 − 𝐵 = 7 − 3 𝑖 + −5 − 3 𝑗 + 6 − (−2) 𝑘 = 4𝑖 − 8𝑗 + 10𝑘
Producto entre vectores
• Se tiene dos tipos de productos cada uno de ellos tiene dos métodos de solución.
• El producto Escalar o producto punto.
• El producto Vectorial o producto cruz.
• Para este ultimo utilizaremos la “regla de la mano derecha”.
Producto escalar
Forma gráfica Forma analítica 𝐴 = 3𝑖 − 5𝑗 + 6𝑘
𝐵 = 7𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧
𝐴 ∙ 𝐵 = 3 7 + −5 3 + 6 −2
𝐴 ∙ 𝐵 = 21 − 15 − 12 = −6
Método 1
Método 2
𝐴 ∙ 𝐵 = 70 62 cos 𝜃 Combinando ambos métodos se puede determinar el ángulo entre los vectores
−6 = 70 62 cos 𝜃 cos 𝜃 =−6
70 62
cos 𝜃 =−6
70 62 𝜃 = cos−1
−6
70 62
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
θ
𝐴 ∙ 𝐵
Producto vectorial Forma gráfica Forma analítica 𝐴 = 3𝑖 − 5𝑗 + 6𝑘
𝐵 = 7𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘
𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝐵 sin 𝜃
Método 1
Método 2
𝐴 × 𝐵 = 70 62 sin 𝜃
𝐵
𝐴
𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
𝑖 𝑗 𝑘
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
+ -
𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐵𝑦𝐴𝑧 𝑖 + 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐵𝑧𝐴𝑥 𝑗 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐵𝑥𝐴𝑦 𝑘
𝐴 × 𝐵 = −5 −2 − 3 6 𝑖 +
6 7 − −2 3 𝑗 +
3 3 − 7 −5 𝑘
𝐴 × 𝐵 = −8𝑖 +48𝑗 + 44𝑘
𝐴 × 𝐵
θ
𝐵
𝐴
Algunos usos de Vectores
Algunos usos de los vectores
Idea del Principio de Superposición
Ecuaciones para un movimiento en 3D
X
Y
Z
Zt
Yt
Xt
rt
𝑟𝑡 = 𝑋𝑡𝑥 + 𝑌𝑡𝑦 + 𝑍𝑡𝑧
Obviamente, si derivamos el valor del vector r, obtendremos las velocidades y si lo derivamos por segunda vez obtendremos las aceleraciones en cada uno de los ejes
Ecuaciones de Movimiento
𝑋 𝑡 = 𝑋0 + 𝑉𝑜𝑥𝑡 +1
2𝑎𝑥𝑡
2
𝑉𝑥 𝑡 = 𝑉0𝑥 + 𝑎𝑥𝑡
𝑉𝑥2 = 𝑉0𝑥
2 + 2𝑎𝑥∆𝑋
𝑌 𝑡 = 𝑌0 + 𝑉𝑜𝑦𝑡 +1
2𝑎𝑦𝑡
2
𝑉𝑦 𝑡 = 𝑉0𝑦 + 𝑎𝑦𝑡
𝑉𝑦2 = 𝑉0𝑦
2 + 2𝑎𝑦∆𝑌
𝑍 𝑡 = 𝑍0 + 𝑉𝑜𝑧𝑡 +1
2𝑎𝑧𝑡
2
𝑉𝑧 𝑡 = 𝑉0𝑧 + 𝑎𝑧𝑡
𝑉𝑧2 = 𝑉0𝑧
2 + 2𝑎𝑧∆𝑍
Superposición de movimientos
Problema a plantear
¿En que consiste el problema? Z
Y X
𝑉0 ≈ 98𝑘𝑚
𝐻= 27,22 𝑚
𝑠
θ
𝜃 ≈ 24°
𝜑 ≈ 80°
𝑡 =?
𝑎𝑦 =?
𝑋 𝑡 = 49,41 𝑚
Z 𝑡 = 1,626 𝑚
𝑋0 = 0 𝑍0 = 0 𝑌0 = 0 = 𝑌 𝑡