Captulo I
Resolucin de
Problemas
Temario de la clase
Operatoria con Nmeros Reales
Uso de parntesis, prioridad en las operaciones
Uso de la calculadora cientfica.
Ejercicios
Los Conjuntos Numricos.
I R
Z
Q
N
35 2 7 5
3 3
0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1
-5/2 -2/3
-0.2 0.51666
1/2
5/2
R: Conjunto Nmeros Reales
N: Conjunto Nmeros Naturales
Z: Conjunto Nmeros Enteros
Q: Conjunto Nmeros Racionales
I: Conjunto Nmeros Irracionales
0.555
Los Nmeros Reales Representados en la Recta de los Nmeros Reales
Los nmeros reales pueden representarse por puntos en una recta. Seleccionamos el cero u origen;
todas las posiciones a la derecha del origen son positivas (+) y las de la izquierda son negativas (-).
A cada punto sobre la recta le corresponde un nmero real nico y a cada nmero real le corresponde
un nico punto en la recta (correspondencia uno a uno). Hay infinitos nmeros en la recta de los
nmeros reales. A los valores de estos puntos en la recta se les llama coordenadas.
Ejercicio
Ubica los siguientes nmeros en la recta numrica.
Operatoria con Nmeros Reales
CONCEPTOS BASICOS SOBRE LOS NUMEROS
1- Mltiplos: Los mltiplos de un numero n son todos aquellos nmeros que se obtienen
multiplicando el numero n por todos los nmeros naturales. Se considera al cero como
mltiplo de cualquier otro numero.
Ejemplo: a) mltiplos de 5: b) mltiplos de 8:
2 - Divisores: Los divisores de un numero n son aquellos nmeros que dividen en forma exacta al
numero n.
Ejemplo: a) divisores de 6: b) divisores de 24:
3 - Nmeros primos: Son aquellos nmeros que solo se pueden dividir en forma exacta por uno y por el
mismo numero.
Ejemplo: nmeros primos: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , , 17, . . .
4 - Nmeros compuestos: Son aquellos nmeros que no son primos
Ejemplo: nmeros compuestos: 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , . . .
5 - Nmeros pares: Son todos los mltiplos de 2.
Ejemplo: nmeros pares: 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18, . . .
6 - Nmeros impares: Son aquellos que se obtiene restando una unidad a los nmeros pares.
Ejemplo: a) nmeros impares: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , . . .
7 - Mnimo comn mltiplo (m.c.m.): Es el menor de los mltiplos comunes de un conjunto de
nmeros.
Ejemplo 1: Determinar el m.c.m. de 4 , 12 , 18
a) mltiplos de 4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40, . . .
b) mltiplos de 12: 12 , 24 , 36, 48, . . .
c) mltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, . . . .
Ejemplo 2: Determinar el m.c.m. de 4, 12, 18, usando el mtodo de la tabla:
Se divide en forma exacta cada numero hasta que quede en 1. Se comienza a dividir por los
nmeros primos de menor a mayor. Cuando un numero no se divide en forma exacta se baja.
El m.c.m. se obtiene al multiplicar todos los nmeros usados para dividir.
8 - Antecesor y sucesor:
El antecesor de un numero n es : n 1
El sucesor de un numero n es: n + 1
Ejemplos: a) sucesor de 7 : 7 + 1 = 8 b) antecesor de 5: 5 - 1 = 4
9 - Inverso aditivo: Corresponde al mismo nmero, pero con signo cambiado.
Ejemplos: a) aditivo inverso de 4 es - 4 b) aditivo inverso de - 7 es 7
10 - Valor absoluto: Se refiere a la cantidad de unidades que forman a un numero sin considerar su
signo. El valor absoluto se designa mediante dos lneas verticales: l n l = n
Ejemplo: a) Calcular I 3 I = 3 b) Calcular: l 12 l = 12
c) Calcular: l 8 - 12 l = d) Calcular: l 34 - 27 l =
11.- Valor relativo: Se refiere a la cantidad de unidades que forman un numero, considerando su
signo. (tal como se utiliza para realizar las diferentes operaciones aritmticas)
Ejemplo: a) valor relativo de - 3 es 3 unidades negativas
b) valor relativo de 7 es 7 unidades positivas
Ejercicios
1 - Representa mediante un numero entero las sgtes. situaciones:
a) Un submarino esta a 40 metros bajo el nivel del mar: ____________
b) La ciudad se encuentra a una altura de 2400 metros sobre el nivel del mar: ___________
c) Ana tiene una deuda de $70.000: _________________
d) La temperatura mnima fue de 6 grados bajo cero: ________________
2 - Un submarino esta en la superficie del mar, luego desciende 35 metros, posteriormente asciende 12
metros, despus asciende 14 metros y finalmente desciende 19 metros. Cul es la ubicacin del
submarino con respecto a la superficie del mar?
Encierra con un circulo la alternativa correcta.
3 - El aditivo inverso de -9 es:
a) 9 b) - 9 c) l 9 l d) 1/9 e) N.A.
4 - El valor absoluto de |17 - 43 | =? Es:
a) - 26 b) |-26 | c) 26 d) 60 e) N.A.
5.- El sucesor de - 24 es:
a) 25 b) 23 c) 23 d) 25 e) N.A.
6.- El mnimo comn mltiplo entre 6 , 18 y 4 es :
a) 18 b) 24 c) 28 d) 36 e) N.A.
7.- De las sgtes. alternativas cual es un numero primo?:
a) 15 b) 33 c) 41 d) 50 e) N.A.
8.- El antecesor de - 8 es:
a) 9 b) 7 c) 7 d) 9 e) N.A.
12 Regla de los signos:
1.- Para multiplicar o dividir:
a) Si los signos son iguales el resultado es positivo
b) Si los signos son diferentes el resultado es negativo
Ejemplo: a) 4 5 = b) 7 -3 = c) - 6 - 8 = d) -24/6 = e) -10/-2 =
2.- Para sumar o restar:
a) Si los signos son iguales, se suman los valores absolutos y se conserva el signo.
b) Si los signos son diferentes, se restan los valores absolutos y se conserva el signo del
nmero de mayor valor absoluto.
Ejemplo:
a) - 12 - 4 - 10 = b) 23 + 5 + 6 = c) 18 - 24 = d) - 32 + 48 = e) 12 - 34 + 18 - 7 =
Nota: Cuando hay dos signos juntos, conviene aplicar primero la regla de los signos (de la
multiplicacin) para dejar un solo signo y luego realizar la operacin.
Ejemplo:
a) 15 - ( - 8 ) + ( - 17 ) - ( 13 ) + ( - 4 ) = b) - 20 - ( - 18 ) + ( - 32 ) ( 42 ) ( - 52 ) =
13 - Potencias
Una potencia es una manera abreviada de expresar un producto o multiplicacin, lo que ayuda a
trabajar con nmeros muy grandes o muy pequeos.
En general, si a es un nmero real y n es un entero positivo, se puede escribir lo siguiente:
a = a a a a a donde hay n factores de a (ojo con la regla de los signos)
El nmero real a se llama base y el entero positivo n se llama exponente. De manera particular, se
define:
a = 1 (siendo a real 0 ya que la expresin 0 no est definida)
Ejemplos: 5 = 5 5 5 5 = 625
3 = 3 3 3 3 3 3 3 3 = 6.561
1.259 = 1
Propiedades de las Potencias
Sean a y b reales y sean n y m enteros positivos. Se cumplen las siguientes propiedades de las
potencias:
1) a = a a a a a n-sima potencia de a
2) a a = a misma base se suman exponentes
3) a b = (ab) se multiplican las bases se conserva exponente
4) (a) = a se multiplican los exponentes
5) a / b = (a/b) se dividen las bases se mantiene exponente (b 0)
6) a / a = a se restan exponentes (m > n, a 0)
7) a = (1 / a) = 1 / a inverso multiplicativo
8) a = (a) = a exponente racional (m entero, n entero positivo, a real 0)
m m
m m
m m
m / m m
Ejercicios
1) Descomponer los siguientes nmeros como producto de factores primos
a) 256 b) 1.525 c) 1936 d) 441 e) 2.020
2) Determinar cul o cules de las siguientes expresiones son verdaderas. Justificar.
a) 3 : 3 = 1 b) 3 + 4 = 5 c) 3 + 2 = 6 d) (5x) = 1, x 0
e) 3 = 15 f) (1/4) = 16 g) [(1/x)] = 0, x 0
h) (-1/3) = -1 i) 2(0) = 1 j) 2 - 2 = 1 k) 4 - 2 = 0
l) (12) = 12 m) (12) = (12) n) (3 5) = 225 o) 3 5 2 = 3 5 2
3) Resolver cada ejercicio aplicando las propiedades de las potencias
a) (3/7) + (1/2) b) (1/9) + 3 c) (-1) + (-1) + (-1) + (-1)
4) Calcular las siguientes potencias:
5) Resolver cada ejercicio aplicando las propiedades de las potencias
d) 2 : 2 e) x x x f) (-6nx / 3z) , z0 g) 3 3 2 2 h) 4 : 4 i) (a : a) a 6) Resuelve las sgtes. operaciones aplicando las reglas de los signos
a) 23 + 12 - 35 = b) - 34 + 12 + 8 = c) 12 + 4 - 8 =
d) - 48 - ( - 12 ) + ( - 5 ) = e) - 24 - 18 - 7 = f) - 7 4 =
g) - 12 - 4 = h) - 64 : - 4 = i) 56 : - 7 =
14 - Prioridad de las operaciones
Para resolver ejercicios combinados (con sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones), es
recomendable seguir los siguientes pasos:
1 Resolver las operaciones que estn dentro de parntesis ( ), llaves { } y corchetes [ ] (signos de
agrupacin)
2 Calcular potencias y races (captulos siguientes)
3 Calcular productos y cocientes (multiplicaciones y divisiones)
4 Calcular sumas y restas
Ejemplo:
Resolver el siguiente ejercicio combinado
8 ( 10 3) 9 + 7 3 [9 (3 8)]
15 Resolucin de problemas usando operaciones aritmticas
a) Un grupo de 28 personas de la Serena deciden viajar a Santiago. Para viajar tienen dos alternativas:
1) cada persona paga su pasaje que cuesta $5.200 de ida y $ 6.000 de vuelta. 2) Un bus cobra
$330.000 de ida y vuelta por todo el grupo. Determine que alternativa es mas conveniente y cuanto
dinero se ahorran con esa alternativa. ( sol.: conviene la 1 alternativa, ahorran = $16.400 )
b) Un grupo de 27 personas organiza un paseo por tres das. La cuota que debe pagar cada persona es
de $28.200. Dos personas no pueden pagar esta cuota y el resto del grupo decide asumir sus gastos,
Cul es la nueva cuota que debe pagar cada persona? ( sol.: cuota = $30.456 )
c) En Siberia en un da de verano a las 7 de la maana la temperatura es de 5 grados bajo cero. Entre
las 7 y las 10 de la maana la temperatura baja 3 grados por cada hora, luego entre las 10 y las 13
horas la temperatura sube 2 grados por cada hora y entre las 13 y las 17 horas la temperatura sube
3 grados por cada hora. Cul es la temperatura a las 17 horas? ( sol.: t = 4 )
d) Mnica recorri 480 kilmetros y gasto 40 litros de bencina. Cuntos kilmetros por litro recorre su
auto, si la velocidad es siempre la misma? Cunta bencina gastara en un viaje de 270 kilmetros, a
la misma velocidad? ( sol.: recorre 12 km por litro ; gastara 22,5 litros )
e) Un grupo de 17 personas tiene las sgtes. alternativas para alojamiento de tres das:
1) Cabaas para 6 personas: $22.700 diarios
2) Hostera: $14.355 por persona los tres das.
Cul es la alternativa ms econmica? Cunto dinero ahorran al elegir la alternativa ms
econmica? ( sol.: la alternativa ms econmica es la 1 ; ahorran $39.735 )
15 Operatoria con fracciones
Una fraccin representa la parte de un total escrita de la manera
Parte Numerador
Total Denominador
Denominador: indica el total de partes iguales en que se divide el total o entero
Numerador: indica cuantas partes del total se estn usando
Tipos de fracciones
El tipo de fraccin depender de los valores que pueden tomar el numerador y el denominador
(recordar: denominador siempre 0). Son dos tipos: a) Fracciones propias: el numerador es menor que el denominador.
Ejemplo: 3/7 5/8 3/45
b) Fracciones impropias: el numerador es mayor que el denominador (para recordar, son al revs de las propias)
Ejemplo: 9/8 25/13 3/2
Las fracciones impropias se pueden expresar tambin como nmeros mixtos, los cuales son una
combinacin de enteros y fracciones
Ejemplo: 9/8 = 1 1/8 (se lee un entero un octavo)
Operaciones con fracciones
Sean a/b y c/d dos fracciones cualesquiera:
a) Suma: a + c = ad +bc se multiplica cruzado y los productos se suman
b d bd se multiplican los denominadores
Si los denominadores son iguales, para sumar las fracciones se conserva este denominador y se
suman los numeradores. Este tipo de fracciones se denominan homogneas en tanto que las restantes
se denominan heterogneas.
Ejemplos: 3 + 6 = 3*7 + 5*6 = 21 + 30 = 51 suma de fracciones heterogneas
5 7 5*7 35 35
2 + 8 = 2 + 8 = 10 suma de fracciones homogneas
9 9 9 9
b) Resta: a - c = ad - bc se multiplica cruzado y los productos se restan
b d bd se multiplican los denominadores
Si los denominadores son iguales, para restar las fracciones se conserva este denominador y se
restan los numeradores. Aplican las mismas reglas que para suma de fracciones, slo que se resta.
Ejemplos: 3 - 6 = 3*7 5*6 = 21 - 30 = - 9 resta de fracciones heterogneas
5 7 5*7 35 35
2 - 8 = 2 - 8 = - 6 = - 2 resta de fracciones homogneas
9 9 9 9 3
Nota: para el caso de la resta, s importa el orden de la multiplicacin cruzada ya que el signo menos
puede cambiar el resultado.
6 - 3 = 6*5 7*3 = 30 - 21 = + 9 resta de fracciones heterogneas
7 5 5*7 35 35
c) Multiplicacin: a * c = ac se multiplican numeradores
b d bd se multiplican denominadores
Tanto para fracciones homogneas como heterogneas aplica la misma regla. Luego de las
multiplicaciones procede la simplificacin con tal de llegar a una fraccin irreductible.
Ejemplo: 4 * 3 = 4 * 3 = 12 = 6
5 10 5 * 10 50 25
d) Divisin: a : c = a * d se multiplica la 1era fraccin con el recproco de la 2da
b d b c
Ejemplo: 6 : 7 = 6 * 2 = 12
7 2 7 7 49
Ejercicios
Ejercicios