7/23/2019 Clase Magnetismo
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27/10/20
Javier Martínez
Tópicos de Física
Magnetismo
2015
Los fenómenos magnéticos son conocidos desde la antigüedad.
Ciertas rocas se atraen entre sí y también atraen algunos metales como elhierro.
Brújula China, siglo IX (origen árabe o Indú).
Magnetita (Fe3O4) Magnes
Al igual que en el caso de cargas, donde introdujimos la noción de campoeléctrico, describiremos los efectos en las proximidades de un imán o deuna corriente eléctrica con la noción de campo magnético (B).
Campo magnético
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• Las fuerzas eléctricas actúan adistancia a través del campo eléctrico.
• Campo vectorial, E.
• Fuente: cargas eléctricas.
• Carga positiva (+) y carga negativo (-).
• Cargas opuestas se atraen y cargasiguales se repelen.
• Las líneas de campo eléctrico muestranla dirección y magnitud de E.
• Las fuerzas magnéticas actúan adistancia a través del campomagnético.
• Campo vectorial, B.
• Fuente: cargas eléctricas enmovimiento.
• Polo norte (N) y Polo sur (S).
• Polos opuestos se atraen y polosiguales se repelen.
• Las líneas de campo magnéticomuestran la dirección y magnitud de B.
Campo eléctrico y campo
magnético
• Carga de prueba y campo eléctrico • Monopolo magnético y campomagnético
• Los polos magnéticos siempre vienende a pares, no ha sido encontrado un polo magnético aislado
Definición de B
B F B
p
E F E
q
N S N S N S
• Definimos B en cierto punto del espacio en función de
la fuerza magnética F B
que el campo magnético ejerce
sobre una partícula cargada moviéndose a una
velocidad v.
• La magnitud F B es proporcional a la carga q y a la
velocidad v de la partícula.
• F B = 0 cuando la carga de la partícula se mueve paralela al vector campo magnético.
• Cuando el vector velocidad tiene un ángulo θ ≠0 con el
campo magnético,F B
es perpendicular a ambos, B y v.
• F B en una carga positiva es opuesta en una carga
negativa.
• La magnitud de F B es proporcional a sen θ .
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• Fuerza magnética
• La regla de la mano derecha determina la dirección de lafuerza magnética. Por lo cual, la fuerza siempre es
perpendicular a v y a B.
• La magnitud de la fuerza magnética es:
Fuerza magnética
• La fuerza eléctrica es a lo largo de la dirección del campo eléctrico, la fuerza
magnética es perpendicular al campo magnético.• La fuerza eléctrica actúa sobre una carga sin importar si ésta se mueve o no, la
fuerza magnética actúa solo sobre cargas en movimiento.
• La fuerza eléctrica realiza trabajo al desplazar una carga, la fuerza magnética no
realiza trabajo cuando la partícula es desplazada.
B F q v B
sin B
F q vB
B F q v B
E F q E
Ejemplo:
Las figuras muestran cinco situaciones en las que una
partícula cargada viaja con una velocidad v a través de un
campo magnético B. ¿Cuál será la dirección de la fuerza
magnética en cada situación?
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
B
B
v
v
v
B B
v
v
B
A B C
D E
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Campos magnéticos
• Campo magnético:
Unidad en el SI del campo magnético: tesla (T)
1T = 1 N/[Cm/s] = 1 N/[Am] = 104 gauss
• Líneas de campo magnético con reglas similares:
– La dirección de la tangente de una línea de campo
magnético en cualquier punto da la dirección del
campo magnético B en ese punto.
– El espaciado entre las líneas representa la magnitud de
B. El campo magnético es más fuerte si las líneas
están más cerca, y viceversa.
En la superficie de una estrella deneutrones
108 T
Cerca de un gran electromagneto 1.5 T
Dentro de una mancha solar 10-1 T
Cerca de una pequeña barramagnética
10-2 T
En la superficie de la Tierra 10-4 T
En el espacio interestelar 10-10 T
CONVENCION
SALE ENTRA
B F B
q v
Movimiento de una partícula cargadaen un campo magnético uniforme
F B nunca puede tener una componente paralela a v y no
puede cambiar la energía cinética de la partícula. La
fuerza solo puede cambiar la dirección de v.
Una partícula cargada se mueve en un círculo en un plano
perpendicular al campo magnético.
De la 2° Ley de Newton:
Luego tenemos
El radio de la trayectoria circular:
La velocidad angular:
El período del movimiento:
B F F ma
2 2 2r mT
v qB
v qB
r m
mvr
qB
2
B
mv F qvB
r
T y ω no dependen de la v de la partícula.
Partículas más rápidas se mueven en círculos
más grandes y las más lentas en círculos más pequeños, pero todas las partículas con la
misma relación masa-carga les lleva el mismo
tiempo T realizar una vuelta completa.
La dirección de rotación de una carga positiva
es siempre en sentido antihorario y el de las
negativas en sentido horario.
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Movimiento de una partícula
cargada en un campo magnéticoTrayectorias circulares: v es perpendicular a B (uniforme);
Trayectorias helicoidales: v tiene una componente paralela
a B.
Movimiento en un campo magnético no uniforme: Fuerte
al final y débil en el medio;
• Botella magnética
• Aurora
|| cos
sin
v v
v v
Ejemplo:
Las figuras muestran las trayectorias circulares de dos
partículas que viajan con la misma rapidez en un campo
magnético uniforme B que entra en la página. Una partícula
es un protón; la otra es un electrón (que es menos masivo).
¿Cuál figura es físicamente razonable?
mv
r qB
A B C
D E
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Movimiento de una partícula cargada en
un campo magnético y un campoeléctrico
La fuerza sobre una partícula cargada que viaja en
un campo magnético y un campo eléctrico es:
Fuerza de Lorentz
Selector de velocidad:
El espectrómetro de masas:
El ciclotrón:
E v
B
2 mT
q B
F q E q v B
qE qvB
0rB Bm
q E 0rBm
q v
2 oscq B mf 1
osc f f
T
0
mvr
qB
Una corriente eléctrica son cargas en
movimiento, y sabemos que las cargas en
movimiento sufren fuerzas cuando están
inmersas en un campo magnético
Fuerza magnética sobre una
corriente eléctrica
mag dF dqv B
ds dqdqv dq ds Ids
dt dt
mag dF Ids B
mag
cable
F Ids B
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Ejemplo:
Un cable de cobre horizontal y recto está inmerso en uncampo magnético uniforme. La corriente que circula por el
cable es saliente de la página. ¿Qué campo magnético hará
posible que el cable quede suspendido equilibrando la
gravedad?
A B C D
Ejemplo:
La figura muestra un cable por el que circula una corriente
eléctrica I . El cable está inmerso en un campo magnético B
uniforme saliente de la página. Determinar la fuerza neta
actuando sobre dicho cable.
. . .dF I dl B dF I dl B
Notar que debido a la simetría del problema F xdel lado derecho del semicírculo se cancela con
F x del lado izquierdo, por lo tanto sólo debemoscalcular F y.
0
sin sin
sin 2
y
y
dF BIdl BIR
F BIR d BIR
ˆ ( 2 ) F BI L R j
Sólo una de las partes rectas del
conductor contribuye a la fuerza
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Espiras rotando. Calcular la fuerza sobre cada lado dela espira:
Torque:
• Máximo torque
• Variación
• Estable cuando n es paralelo a B.
• Torques restauradores: oscilaciones.
Torque en una espira de corriente
2 4sin sin2 2
( sin ) ( sin )2 2
sin sin
b b F F
b biaB iaB
iabB iAB
max( ) sin
2 4 F F iaB
max iAB
i A B
1 3 sin(90 ) sin F F ibB ibB
Fuentes del campo magnético
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Recordemos: el campo eléctrico es producido porcargas eléctricas
2
1ˆ
4 o
q E r
r
r̂ : vector unitario dirigido desde
el objeto cargado hacia el
punto P .
Campo magnético de una carga enmovimiento
Una carga moviéndose con una velocidad v produce uncampo magnético:
18
2
ˆ
4o q v r
Br
m
r̂
Permeabilidad del vacío
7 1
0 4 10 T m Am
P
r̂ : vector unitario dirigido desde
el objeto cargado hacia el
punto P .
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Corrientes como generadoras de
campo magnéticoLas corrientes son generadoras de campo magnético:
v
dq
[meter] [coulomb][coulomb] = [meter]
[sec] [sec]dB dq v
ds dqdB dqv dq ds Ids
dt dt
Ley de Biot-Savart
Un elemento de corriente de longitud ds dirigido en la dirección
I produce un campo magnético:
0
2
ˆ
4
I ds r dB
r
m
dir ˆ
ˆdir ( ) ˆˆ
ds z
B P z r
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Ejemplo 1:
El campo magnético en el punto P está dirigido hacia:
1. dirección +x
2. dirección +y
3. dirección +z
4. dirección -x
5. dirección -y
6. dirección -z
7. El campo es cero
Ejemplo 2:
El campo magnético en el punto P es igual al campo de:
1. Un semicírculo
2. Un semicírculo más el campo
de un cable infinito3. Un semicírculo menos elcampo de un cable infinito
4. Ninguno de los de arriba
Ejemplo 3:
Campo magnético por un alambre recto infinito:
Notar que x, r y no son variables
independientes (están relacionadas por
geometría)
0
2
.
4
i ds sendB
r
m
2 2
2 2, sen sen( )
yr x y
x y
0 0 0
3/2 1/222 2 2 2
0
sen
4 4 4
2
i i idx ydx x B dB
r y x y x y
i B
R
m m m
m
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Ejemplo 4:
Campo magnético producido por un espira:Por simetría, la componente radial es
nula, entonces sólo contribuye la
componente x
con,
0 0
2 2
0
2
.sen .sen90
4 4
cos .cos
4 x
i ids dsdB
r r
i dsdB dB
r
m m
m
2 2 0 0
3/ 222 2 2 2
2
0 0 0
3/2 3/22 2 2 2
cos . ., cos
4 4
si 024 2
i ia a ds a dsr x a dB
r r x a x a
ia ia i B dB ds x B
a x a x a
m m
m m m
Ejemplo 5:
Fuerza entre conductores:
Consideremos dos conductores rectilíneos, cada
conductor produce un campo eléctrico en el que
está sumergido el otro conductor, por lo tanto,
cada uno siente una fuerza magnética producida
por el campo magnético generado por el otro
conductor.
Si ambas corrientes tienen el mismo sentido, los
conductores se atraen. Si ambas corrientes tienen
sentido opuesto, los conductores se repelen.
0
0
''
2
'' '
2
LI I F I L B
r
LII F I L B
r
m
m
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Ley de Ampère
La Ley de Coulomb puede considerarse una ley fundamental de laelectrostática, y usarse para calcular campos eléctricos asociados acualquier distribución de cargas.
Sin embargo, la Ley de Gauss (que contiene a la de Coulomb), permitía realizar los cálculos, en situaciones de alta simetría, másfácilmente. Consideramos que la Ley de Gauss era “másfundamental” que la de Coulomb.
En el caso de campos magnéticos, la situación es similar. La Ley deBiot-Savart permite calcular los campos magnéticos de cualquier distribución de corrientes.
¿Existirá un equivalente a la Ley de Gauss para campos magnéticos?
(ya sabemos que la integral de superficie de B.ds no lo es).
La respuesta es sí: la Ley de Ampère.
Ley de Ampère
La Ley de Ampère establece que: La integral de línea de
B·d s alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual
a 0 I , donde I es la corriente total que pasa a través de
cualquier superficie limitada por dicha trayectoria.
0 B ds I m
Nota:
- Esta ley es válida para corrientes estables.
- Además se utiliza sólo para cálculo de
campos magnéticos de configuraciones de
corrientes con un alto grado de simetría.
- I será positiva si cumple con la regla de la
mano derecha, y negativa en caso contrario.
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Ejemplo 1:
Determinar el valor de la circulación (Teoremade Stokes) del campo magnético a lo largo de la
trayectoria cerrada de la figura:
Ejemplo 2:
En la figura de la derecha, las integrales de
curvilíneas de B a lo largo de las trayectorias a y
b dan m 0 I , mientras que sobre la curva c, sólo
dan una porción de dicho valor.
Tomando la curva a a una distancia ,
0 0 1 2( )enc B ds I i im m
2 2
00 0
B ds B d B d I
m
Ejemplo 3:
En una línea coaxial, tenemos dos conductores
concéntricos llevando la misma corriente I en
direcciones opuestas.
Asumimos que la líneas es infinitamente larga,
con lo cual habrá una simetría polar a lo largo
de , y B sólo variará con el radio.
El objetivo es encontrar B para todo valor de .
Hay cuatro regiones distintas donde analizar el
problema:
0 , 0
,
, 0
, 0
enc
enc
enc
enc
a I I
a b I I
b c I I
c I
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• 0 < < a: dentro del conductor interior
• a < < b: entre ambos conductores
• b < < c: dentro del conductor exterior
• > c: fuera de los conductores
22
0 0 20
0
2
2
2
enc B ds B d B I I
a I B
a
m m
m
0 0
0
2
2
enc B ds B I I
I B
m m
m
2 2
0 0 2 2
2 2
0
2 2
2
2
enc
b B ds B I I I
c b
I c B
c b
m m
m
02 0 0
enc B ds B I B
m
Ejemplo 4:
Campo eléctrico dentro de un solenoide ideal
de n espiras por unidad de longitud:
• Para todas las trayectorias, excepto a-b:
• Para el tramo a-b:
0 B ds
0 0
0
enc B ds Bds BL I nLI
B nI
m m
m
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Ejemplo 5:
Campo eléctrico dentro de un toroide con N vueltas:
• Fuera del toroide: B=0
• a < r < b: dentro del toroide:
2 2
0 00 0
0
2
2
enc B ds Brd Br d B r I NI
NI B
r
m m
m