8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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36
siqnos
i liotec de
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R D IC IÓN SE fv Á ~ IT I C
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L a tra d ic ió n s emá n tíca
de Kan t a C arn ap
J ALBERTO COFFA
OllS~OEditor ial
ib li o t e ca d e S ig i lO S
Milagros Alfonso / Gustavo L eyva
Aralia L ópez / L uz Maria Uhthoff
Silvio Pinto/Luis Felipe Segura/ Alejandro Tortolero
e fe
d e l D epa r t am en to
Dr Luis Felipe Segura Martinez
Secre tar io
Mtro Javier Melgoza Valclivia
U N I V E R S I D A D
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U T 6 N O I M
M E T R O P O l I T A N A l
U i j > l I z I p a~ pa C a sa a b i e r t a al l i e l 1 1 j : I J
D h i l l o o de C l e rd a s S O O aJ e ¡
H u m a n i d ad e s
D e p a n a m e n lo d a I l l o s o fi a
Rector
Dr José Lema Labaclie
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1
1
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S e c r e ta r i o G ene ra l
Dr Ricardo SolísRosales
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G ene ra l
Dr Luis Míer
Terán Casanueva
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n l ve r s ld a d u t ó n am a etropol i tana
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PRINfED IN MEX O
MPRESOEN MÉ \:ICO
4
n t r a ta do ló g ic o f i l o s ó f ic o
L a ló g i c a e n t r a n s i c i ó n
ISBN de la obra completa; 970·31·0175·X
ISBN volumen 1: 970·31·0176·9
Derechos reservadosconforme al aley
7
95
ISBNvolumen2: 970·31·0394 4
S o b re la d e n ota c ió n
Unidad Iztapalapa
S ig n i f i c a d o
o n t o l o g í a
UniversidadAntónoma Metropolitana
©2005
a s e m á nt ic a d e F re ge lo a p r r e n a r i tm é t i c a
Primera edición en español marzo de 2 5
e o m e t r í a in tu ic ió n p u ra e l a
p r r
«:11991
Primera ediciónen inglésCambridge UniversityPress
47
o l z a n o
e l n a c im ie nt o d e la s e m án t i c a
K a n t e l a n á l i s is y la i n tu ic ió n p u ra
2
Teresa Santiago
JuanAntonio Sánchez
Lu is Felipe Segura
L A T R AD IC iÓ N S E M ÁN T IC A
Dionisio Piña
3
n t r o d u c c i ó n
JorgeIssa G
Cuauhtemoc Lara
7
P r e f a c io a la e d ic ió n e n e s p a ñ o l
P r e fa c io d e l e d i to r
A g r a d e c i m i e n t o s
CON T E N I DO
vol
45
Traducción de:
Max Fernández de Castro
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T r ad ic iá n S e m án ti ca D e K a n t a a r na p
es ellibro póstumo
de Alberto Coffa La traducción que aquí presentamos
consti tuye un humilde homenaje a su autor poi parte de nuestra
institución y de quienes participamos en la traducción Sibien Coffa
dejó prácticamente concluido libro éste es impreciso en cuanto
a citas y bibliografía además de adolecer de ciertas fallas estilisticas
que su autor no tuvo ya tiempo de corregir A pesar de ello cual-
quier lector atento podrá comprobar laviva
y
profunda visión que
Coffa tenia de una tradición depensamiento en filosofía que suele
presentarse ante nosotros de manera fragmentaria
y
en la que lo
histórico es con frecuencia desatendido Hemos decidido conser-
var en general las características del texto original en lo que se
refiere al modo de citar versión citada etcétera
f mUIlQmmmUlImllum=mUlumm::nmumllllurmumnmm::unlmuuumuumq¡:-: umrm: m . ¡:m;r. mmmUU ~m~ mn U UU mWU mU • ¡m m: u11 ;
PREF IO A LA EDI ION EN ESP NOL
j ¡~
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n la,ví.sperade la n,~vidad~e 1984~lberto Cof~adeclaró que un_buen
penúltimo borrador de sulibro,podríaestarterminadopara
fin
deano.Un
díadespués de navidadcayóenfermo y enlas primerashoras de lamañanade 30
de diciembre,murió. Latrascripciónque había.dejado,estaba,de hecho casicom
pleta:La trascripciónhabíasido terminada;los argumentos
y
tesisestaban puestos
en sulugar;todo, con excepcióndela introducción y elúltimocapítulo,se encon
traba completamente escrito y lasextensasnotasde éstos habían sido bosqueja
das.Algunaspartes de la trascripciónhabían sido yacuidadosamente armadas, y
gran parte de la forma deseada del resto, estaba clara.En muchos lugares, de
principio a
fin,
se muestra e ingenio seco deAlberto -uno puede casiverdetrás
de la prosa su sonrisa retorcida,su frentesobreel puño, elbreveparpadeo de sus
ojos.Conla ayudade muchaspersonas,la trascripciónfuerevisadapara su publi
cación.Usandolas notas queAlberto dejó, completé laintroducción ye capítulo
final.Repeticiones,digresionesy errores menores han sido eliminados,los argu
mentos se delinearon con mayorclaridad,se corrigió lagramáticay se suavizó el
estilo-. Espero no haber alterado eltexto niun ápice.El resultadono eslo que él
hubierahecho,sinotal vez,algoque hubiera encontradoaceptable.Él se hubiera
interesado en escribiruna conclusión,discutiralgunasde lasimplicacionesde sus
estudiosparala filosofíacontemporánea.Yo,nohe intentadoescribirtalconclusión.
Alberto empezó a escribireste libro en la primavera y elverano de 1981
mientras eramiembro delCentro de Filosofíadela Cienciaen laUniversidad de
Pittsburg. Estaba especialmenteagradecido con
l
Centro por el tiempo que le
dieron parainiciaresteproyecto,y con suscolegasdelDepartamento de Historia
y Filosofíadela Cienciade l Universidadde Indiana,por el tiempoyelagradabley
solidarioambienteque le permitió continuarcon su trabajo.Durante la escritura
de este libro, tuvo enriquecedorasdiscusiones con variaspersonas; muchas de
ellasle proporcionaron información sobre valiosas fuentes y materiales,le pro
porcionaron también apoyointelectualyespiritual.No puedo haceruna listacom
pletade toda la gente que a élle hubiera gustado agradecer,pero ciertamenteen
¡ ~~.~~= = = = = = .,===~= ===~~ == === == =,,,~~,,,=,,,,,=,,==,,,,,,,_~~,,,m== .
¡PREF IO DE L ED ITOR
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L
as referencias de material no publicado fueron tomadas de cuatro fuentes:
los Archivos de Filosofía de la Ciencia en el S iglo Veinte, las bibliotecas de la
Universidad de Pittsburg, los Archivos de Bertrand Russell, Universidad MacMaster;
l
Arch ivo Cír culo de Viena, Universidad de Ámsterdam; microfilme de los
Wittgenstein Papper, distribuido por la biblioteca de la Universidad Cornell, Mi
agradecimiento especial alcurador Gemid Heverly y a S tephen Wagner, ayudante
de investigación de los Archivos de Filosofía de laC iencia, biblioteca de laUniver-
sidad de Pittsburg, y a
]
Kox, secretaria ejecutiva de la Fundación Círculo de
Viena, Universidad deÁmsterdam, por su ayuda en lalocalización de los artículos
en los Archivos de FilosofIa de l Ciencia y en l Archivo del Círculo de Viena,
respectivamente, y por cotejar la precisión de las referencias enlos archivos; gra-
cias t ambién a Nicholas Griffin por averiguar detalles para mi en los Archivos
Bertrand Russell.
Algunos pasajes de los artículos delos Archivos de Filosofía de la Ciencia en
el Siglo Veinte de R~dolf Carnap, F rank P .Ramsey y Hans Reichenbach, son
citados con elpermiso de la Universidad de Pittsburg. La cita de la carta de Kurt
Gi:idel es incluida con
l
permiso del I nst ituto de Estudios Avanzados, Princeton,
N ] Las citas de las cartas de Moritz Schlick son incluidas con el permiso de la
Fundación Círculo de Viena:
Las citas de los art ículos de los Archivos de Bertrand Russell son incluidos
con la autorización del Comité de Permisos de Derechos de Au tor de los Archi-
vos de Bertrand Russell .
Los pasajes de los artículos en
el
Archivo del Círculo de Viena que son
autoría de Moritz Schlick son citados con el permiso de la Fundación Círculo de
Viena. La c it a de la carta no publicada de Rudolf Carnap es incluida con el gentil
permiso de la señora Harma Carnap Thost, La cita de la carta de Albert Einstein
esincluida con el permiso de l Universidad Heb rea de Jérusalén. Los pasajes de
la carta de Hans Reicheubach son citados con el permiso de Maria Reichenbach.
Las citas de los trabajo s póstumos o no publi cados de Wittgenstein fue
gracias al amable permiso de G i\lAnscombe y G.H. van Wright.
I ==~ .= = W==. = = _ __ ~ = = ==
= =~= ~ =
GR DECIMIENTOS
esa lis ta estarían aquellos con los que conversaba larga y regularmente sobre los
temas de fi losofía que son centrales en este l ibro: Tomas M. Sirnpson, Eduardo
García Belsunce, Héctor Castañeda, Simon Blackburn, y los estudiantes de Alber-
to Franck Peccioni y Tom Oberdarn, No hay duda que éltambién hubiera querido
dar un reconocido agradecimiento al invaluable y constante es timulo y apoyo de
Adolf Grünbaurn, su maestro yamigo. Hay muchos otros cuya ayuda e influencia
debería ser agradecida, me disculpo por no incluir sus nombres y les agradezco la
ayuda que le prest aron a Alberto.
Mis agradecimientos persona les van primero para Gordon Steinhoff, quien
asumió laheroica tarea de averiguar las fuentes de las referencias en eltexto escri-
to a máquina, cotejando las mismas y
l
precisión de su traducción, completando
las citas y referencias y compilando la bibliografIa. También agradezco muy en.
especial la asistencia de Michacl Friedrnan, quien
l y ó
en dos diferentes etapas de
mi trabajo la trascripción y me hizo numerosas e importantes sugerencias para
corregirla y editarla. Agradezco, además a Nicholas Griff in ya un árbitro anónimo
sus sugerencias editoriales. A Eduardo García Belsunce y Tom Oberdarn e lauxi-
l io.con suexperiencia cuando fuenecesario. Finalmente, agradezco aJohn Winnie
por sus comentarios
y
ayuda en la t rascripción y p or la motivación y
l
apoyo que
me animaron durante el largo proceso deque llevó a esta publicación.
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1
13
Traducción d e LuisFelipeSegura(UAM-I).
E
tema principal de esta obra
constituye una década en la
vida filosófica de lo que, en un sentido amplio, podría l la
marse iena Entre 1925 y 1935, -en los alrededores de Viena, el
paso tradicionalmente cansino del espíritu experimentó de pronto
una aceleración cuando algunas de las voces más ilustradas de la
época empezaron a hablar entre
si
Probablemente Wittgenstein,
Tarski, Carnap, Schlick, Popper o Reichenbach no eran más sabios
que algunos de sus contemporáneos, pero las circunstancias hicie
ron factible una interacción entre ellos a lo largo deuna década y el
resultado de ese diálogo merece nuestra atención.
Cuando empecé a escribir este l ibro me propuse explicar en
el Prefacio que el tema del mismo era~a historia de la epistemo
logía desde Kant, tal y como Carnap la hubiera escrito de haber
sido Hegel: Con el tiempo he llegado a pensar que aunque quizá el
Espíritu no sea malicioso, con seguridad síes olvidadizo. En Viena
pudo dar pasos decisivos en lo que se refiere al problema de
prior i
pero tal movimiento no sólo fue hacia adelante, sino tam
bién hacia los lados e inclusive en regresión acerca de ciertos asuntos
cruciales, La mayor parte de sus actitudes erróneas podría haber
sido evitada si hubiera tenido presentes algunos de los logros del
siglo
XIX.
Pero esto tal vez podría perdonársele tomando en cuen
ta que, en realidad, las mejores de sus intuiciones se debieron a la
menos notable de sus voces.
Tres corrientes principales de pensamiento pueden distinguirse
dentro del ámbito de laepistemología durante elsigloXIX, el Posi-
F..::I:t===-~~=--====-~=:t: ~==IU,....:-=,=,.,,,n.. == =-=:: ::== =ll ::===:= ::===
INTRODU ION
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1
intuición pura corno un obstáculo para el desarrollo de la ciencia.
En el primer volumen de esta obra sedescriben las etapas a través
de las cuales se fue reconociendo que la intuición pura debía ser
excluida de las ciencias a pr i or i y,en consecuencia, que la explica
ción kantiana de las matemáticas y lageometría debía ser reempla
zada por alguna otra.
Nuestra historia comienza con las ideas de Kant acerca del
análisis y algunas de sus razones para concluir que es necesario
apelar a la intuición pura en relación con el
apr i or i
(capitulo 1).
Pasamos luego al examen de los episodios más sobresalientes
que socavaron talconvicción. El proyecto reduccionista de Bolzano
(capítulo 2), complementado por los proyectos logicistas de Frege
y Rus sell (capítulos 4
y
6)pusieron en tela de juicio las concepcio
nes kantianas en elcampo de la aritmética. A Helmholtz (capítulo
3), Poincaré
y
Hilbert (capítulo 8) se deben las contribuciones de
cisivas que hicieron posibles desarrollos análogos en el campo de
la geometría. A finales del siglo
XIX
resultaba ya evidente qu.e el
conocimiento
a p r i or i
no podía ser lo que Kant había creído. A
principios del xx, las teorías especial
y
general de la relatividad
plan~earon lo que parecía ser una desafío adicional a la concepción
kantiana, esta
z
desde elcampo de la física (capítulo 10).
l
Los semánticos no estaban interesados primordialmente en
mostrar que Kant no había resuelto elproblema, sino en resolver-
L
ellos mismos. La suposición básica
y
común a todos los repre
sentantes de este movimiento era que la epistemología se encon
traba enun estado donde imperaba eldesorden y que éste sedebía
ante todo a una incuria semántica. Suprim era f i loJo f ia no era la me
tafisica sino la semántica. En particular, creían que la clave del
priori reside en un reconocimiento de la naturaleza
y
lafunción de
los conceptos, las proposiciones
y
los sentidos. Aunque, en reali
dad, de sus escritos no se desprende ninguna doctrina defendible
acerca del
aPr i or i
(capítulo 7), una labor paciente de precisión de
ideas semánticas llevada a cabo en los escritos de Bolzano, Frege,
F:Iusserl,Russell
y
elprimer Wittgenstein (capitulas 2, 4, 5, 6 Y8)
sienta las bases para una teoría alrespecto. Este es eltrasfondo de
la formulación, a principios de la década de 1930, de la primera
15
NTRODUCCiÓN
.
}:
t ivismo, el Kantismo y lo que aquí propongo llamar la Tradición \
Semántica. Lo que distingue a los adeptos de estas corrientes es la
actitud que cada una de ellas t iene hacia el
priori
Los positivistas
niegan su existencia, mientras que los kanti añosIo explican en tér
minos del giro copernicano. A su vez, quienes forman parte de la
tradición semántica creen en el
a
priori pero no en elpoder consti
tutivo de lamente. Sospechan, igualmente, que elorigen de toda la
confusión idealista reside en una serie de equívocos relativos a pro
blemas de significado m e a n i n g ] Los semánticos resultan fácilmente
identificables: dedican una buena parte desu atención alos concep
tos, las proposiciones, los sentidos de las palabras -al contenido y a
la estructura de lo que decimos, en oposición a los representantes
de las otras orientaciones, que no ven las razones para invertir tan
to tiempo en trivialidades semánticas.
Sería difícil encontrar un problema epistemológico de mayor
importancia que el del carácter del conocimiento
a
priori Una de
las ideas básicas detrás de, prácticamente, toda epistemología, des
de Platón, esla de que existen dos tipos radicalmente diferentes de
pretensiones epistemológicas: la concerniente a lo a p r i o r i y las de
más. En la filosofía prekantiana, muchos habían dado tácitamente
por supuesto que lanoción de analiticidad era la clave para la de lo
priori
Kant vio que era necesario dar una explicación diferente,
puesto que no todo juicio prior i es analítico, por lo que presentó
una nueva teoría basada en una de las ideas filosóficas más nota
bles que jamás se hayan producido: el giro copernicano. Además
de esto, Kant colocó en elcentro de su explicación sobre el
apr i or i
científico laidea de una intuición pura. Los positivistas no podían
aceptar las consecuencias de tal concepción y no hallaron otra for
ma de resolver eldilema que negando laexistencia del
priori
aun
en elcaso de la lógica.
Al debatirse entre la Escila de afirmar que 2 2
4 es una
verdad empírica y el Caribdis de explicarla en términos de opera
ciones de laintuición pura, los semánticos optaron por un viraje y
trataron de encontrar una mejor ruta. Que hay un conocimiento
priori - inclusive uno de tipo sintét ico estaba fuera de toda duda.
Pero la mayoría de los semánticos consideraban el recurso a la
INTRODUCCiÓN
4
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comienza a tener la apariencia de un dominio fáctico insensible a la
investigación científica. Quienes asociaban su nombre almovimien
to vienés eran, ante todo, empiristas y compartían elhorror tradi
cional de éstos al significado. Desprovistos del significado encon
traron difícil evitar elidealismo capítulos 9 y 10). Carnap estuvo
más cerca que cualquier otro de hacer inteligible el r ealismo, pero
su aversión a todo lo que tuviera que ver con lametafísica leimpi
dió llevar a buen término la incorporación del significado al
empirismo capítulos 12 y 17). Al final, el positivismo lógico se
quedó sin significado. La consecuencia natural fue el debate, aprin
cipios de la década de 1930, acerca de los fundamentos del cono
cimiento , que, enrealidad, no era en absoluto un debate acerca de
los fundamentos, sino acerca del vínculo entre lo que sabemos y el
mundo capítulo 19).
Nuestro panorama de los desarrollos vieneses en el segundo
volumen del libro parecería desequilibrado si no tenemos presente
tanto lasverdades como las falsedades que sus protagonistas apren
dieron de las tres grandes tradiciones decimonónicas y que, en su
conjunto, dieron forma a sus perspectivas. Para ser justo, este estu
dio tendría que haber incluido, además de laParte I, otras dos sec
ciones introductorias, una dedicada al kantismo y otra alpositivis
mo. La finitud de mi vida, mi mente y la paciencia de mis lectores
fueron factores a considerar. Pero estaba también el hecho de que
el kantismo y el positivismo del siglo XIX son mucho más cono
cidos que su menos célebre rival. y por último, -¿por qué no
adrnitirlo?- elnivel de comprensión profunda de la confusión es
mucho, mucho mayor entre los semánticos que entre sus más re
putados y más respetados colegas de las otras corrientes.
INTRODUCCiÓN
~
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1
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.:.,.
:
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r
I
I
alternativa real a la concepción kantiana del riori capitulo s 13,
14, 15 Y17). Su idea de que el significado es el responsable del
priori constituye la contribución más importante de ese periodo a
la filosofía.
El positivismo lógico comenzó como una rama del neokan
tismo que se distinguía de otras derivaciones de éste por tomar a la
ciencia como modelo epistemológico capitulo s 9, 10 Y 11). Du
rante la década de 1920, los primeros miembros y asociados de ese
grupo fueron alejándose poco a poco de sus orígenes kantianos.
Schlick y Reichenbach en elcurso de sus esfuerzos por interpretar
las lecciones de la reciente teoría de la relatividad capitulo 10);
Carnap buscando desarrollar sus ideas epistemológicas como una
teoría de la constitución en general capitulo s 11y 12).Como resul
tado de la alta estima que se profesa a la ciencia en esta corriente
surge, como segunda gran contribución del grupo de Viena, un
enfoque trascendental a la epistemología, una nueva fi losofí de
cienci
capitulas 10,17 Y18).
El giro copernicano que había inspirado el análisis kantiano
del priori había conducido también a una teoría de la experiencia
ya una comprensión de los lazos que existen entre elconocimien
to y la realidad que desemboca demanera natural en elidealismo. En ,.
el siglo XIX eran muchos los que querían evitar elidealismo, pero •
pocos los que sabían cómo hacerlo, excepto rehusándose a reflexio
nar sobre las consecuencias de sus convicciones. Los semánticos ~
sospechaban que si concedían las suposiciones tácitas de Kant
respecto de la semántica, ciertas ideas kantianas a propósito del
papel de la [del proceso de] constitución en elconocimiento sólo
podían interpretarse como algo que conduce al idealismo. Creían,
de nueva cuenta, que la clavede una actitud razonable se encontra- .
ba en una semántica no ambigua.
Aunque tradicionalmente los empiristas han coqueteado con
el significado, a final de cuentas han conservado también su hosti
lidad hacia el mismo. Cuando el significado se convierte en algo
más que un tema alque se alude oblicuamente, cuando se convier
te en un sujeto explicito de investigación, parece presentarse, de
igualmodo, como una alternativa a lasconsideraciones empiricistas;
INTRODUCCiÓN
6
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L T R D IC iÓ N S E M ÁN T IC
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•Traducción deJorge Issa G. UAM-I .
B
ara bien y para mal, casi todos los desarrollos filosóficos
de importancia apartir de 1800han sido respuestas a Kant.
Esto es especialmente cierto en el tema del conocimiento
apr i o r i
El problema central de la
Cri tica
había sido lo
a prior i
y Kant lo
había tratado desde las perspectivas complementarias del juicio y
la experiencia. Su r e v o lu c i ón c op e rn ic ana le dio una teoría de la expe
riencia y una visión no platónica de lo
aprior i
Mas cuando estaba
adelantada laredacción de la
Cri tica
Kant descubrió lanoción del
juicio sintético
priori
yvio en éluna forma particularmente atrac
tiva de formular su proyecto como consistiendo en explicar cómo
son posibles los juicios de esa clase.
La dimensión constitutiva de las teorías kantianas de la expe
riencia y de lo
Prior i tendrá un lugar prominente en desarrollos
posteriores. Como veremos, uno de los puntos de inflexión en
nuestro relato involucrará un giro coperríicano, si bien en relación
con un tema dist into del que ocupó a Kant. Más aún, las primeras
etapas del positivismo lógico sepodrían ver como un desarrollo de
este aspecto de laidea original de Kant llevado hasta elagotamien
to. En este capítulo, no obstante, nos concentraremos exclusiva-
Fue fatal que Kant [...] creyera haber despachado la esfera lógica pura
en el sentido más estricto con la observación de que está sometida al
principio de contradicción. No sólo no vio nunca cuán poco poseen las
leyes lógicas el carácter de proposiciones analltlcas. en el sentido por
él mismo definido sino que tampoco vio cuán escasa ganancia se
obtiene de esclarecer la función del pensamiento analftico señalando un
principio evidente de las proposiciones anallticas.
HUSSERL
INVeSTIGACIONESLÓGICAS VOL.
2 PARTE 2
1
F====~~== ~---
=. -= . ==---._., ====~
/ / > 1 <
KANT EL ANALISIS LA INTUICION PURA
.
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r.
·
i
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Kant estaba muy orgulloso de su distinción entre juicios analíticos
y sintéticos: Reconocía que los filósofos que lo .antecedieron ha
bían comprendido la importancia de la separación entre los juicios
a p r io r i
y
a pos t e ri or i.
Pero cuando Eberhard cuestionó su originali
dad respecto a la analiticidad, Kant replicó, en un gesto de ironía,
que, todo lo nuevo en ciencia; a la larga se [ descubre que ya se
sabía desde siempre ] (Allison, Tb e Kan t -Eb e rh a r d Controversy , p.
154). De haber leído a Borges, lo habría parafraseado: Las gran
des ideas crean sus ancestros (véase Borges, N a t b ani e l H aw t bo r ne :
Obras complétas , p 678).
En realidad.ipocos motivos tenía Kant pata sentirse orgullo
e
so. Su tratamiento de la distinción analítico-sintético es original en
algunos-aspectos, como veremos; pero, a
fin
de cuentas, es una de
las partes menos distinguidasde su filosofía, En ella convergen
algunas confusiones de-larga data y surgen otras que son originales
suyas, encontrándose éstas últimas destinadas a ejercer una influen
cia amplia:y perjudicial en-todo el siglo XIX.
\ La visión del significado que dominó desde elsurgimiento del
r cion lismo
y el empirismo -consideraba que los significados se
encontraban asociados de manera inextricable con la experiencia.
No está mal pensar que, para conocer el significado del dolor, el
amor, la rivalidad; elheroísmo, etcétera, se deban tener ciertas ex
periencias y que, mientras más cuidadosamente uno analice tales
experiencias, mejor comprenderá el dolor, el amor, entre otras. A
partir-de alli no hay que dar más que un pequeño paso para con
luir
que el significado de dolor , amor , etcétera, está constituido
~
~:
nális is conceptu l
nen un ancestro más honorable dentro del campo de lalógica tra
dicional en la categoría de los conceptos o, más en general , de las
representaciones. Para averiguar qué pensaba sobre los significa-
dos un filósofo pos cartesiano, debemos echar un vistazo a los l i
bros de lógica que escribió-o citó, yaque esalli donde se tratan las
nociones de concepto y juicio. Los significados son aquello en lo
que los conceptos se convierten cuando se casan con la palabra.
ANT EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓNPURA
·1 · . . · . · · · .
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~
i ~
: ;;
~
.
_
mente en elaspecto más superficial del tratamiento que Kant da a
lo apr ior i , incluyendo los juicios sintéticos apr iori Porque, en efecto,
la poca profundidad con que Kant trató este tema fue lo que lo
condujo a las doctrinas que, a su vez, dieron lugar a la tradición
semántica.
Uno delos puntos centrales en que están de acuerdo los miem
bros de la tradición semántica es laidea de que la fuente principal
de error de la teoría kantiana del conocimiento (en especial de lo
priorz ) es su confusa doctrina del significado y que la clave para
elaborar una doctrina correcta de lo apr ior i reside en comprender
la semántica. Nuestro propósito en este primer capítulo consiste
en examinar los aspectos relevantes de la epistemología kantiana y
su trasfondo semántico. Nuestro primer problema será dejar al
descubierto los puntos de vista semánticos de Kant.
En cierto sentido, desde luego, no tenía ninguno: efectiva
mente, parte de la historia que nos proponemos contar es cómo
nació lasemántica. En otro sentido, sílos tenía, por supuesto, pues
no le quedaba más remedio que tener opiniones, así fueran tácitas
y no bien reconocidas, acerca de lo que implica transmitir informa
ción, cuándo podemos hacerlo en forma exitosa y cuándo nos ve
mos empujados al fracaso. Los filósofos han considerado frecuen
temente que estos temas no merecen mucha atención. La tradición
analítica que se extiende de Bolzano a Carnap coloca al significa
do en elcorazón dela filosofía; o,más bien, descubre que ha estado
,all i todo el tiempo, sin ser reconocido, y que elhecho de no haber
pensado con más seriedad en éleslaraíz dela redt lc t ioad absurda»: del
racionalismo que se halla presente en la filosofia de Kant y en su
descendencia idealista. La pregunta es:¿dónde hay que buscar l,ase
mántica tácita de quienes no abordaron eltema en forma explícita?
En uno delos muchos aforismos que Quine dedicó a latradi
ción semántica, observaba que los significados son aquello en lo
que las esencias se convierten (...] cuando se casan con lapalabra .
Si esto fuera cierto, aquellos que quisieran saber qué pensó Kant
acerca de los signif icados tendrían que consultar lo que escribió
sobre las esencias. (Como no escribió casi nada en torno a ese
tema, aquí terminaría lapesquisa.) En realidad, los significados tie-
KANT EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓN PURA
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I
· · · · · · ·
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en algunos puntos importantes. Por ejemplo, enla época de su Disser tat ion de 1770
había trazado una claradistinción entre dos facultades de representación (lasensibi
lidad y el entendimiento) y pronto har ía una separación igualmente nítida de las
representaciones que tales facultades generan. Más aún, asumiría, por razones jamás
reveladas, que las representaciones singulares (entre los seres humanos) son privile
g io de la sensibi lidad, en tanto que las generales surgen únicamente del entendi
miento. Wolff había.dicho que las representaciones eran ya sea de cosas singulares
o individuales, o bien de universales (Ligie , plxxi);ydado queél,aligual que Lambert
y Meier, identificaba representación con concepto, admitía por consiguiente con
ceptos individuales. (Sobre la identificación de representación con concepto, véase
G.
F
Meier, Al/S{ g a u s d e r Ver/IT lI1ft lehre,sec 249; C. Wolff, Ver1 l1111 f ti geedanken VO l /
d enKr i j i en de s t n e tl s ch l iche1 /Ve rs t andes, sec,4;]. R. Lambert,Nmes Urgano1 l ,sec,6 .) Kant
rechazó enfáticamente t l identificación: Un concepto singula rno esunconcepto en
absoluto ( Conceptus singularis ist gar kein Conceptus , Pbi tosopbisd» Et li }lklop iidi e ,
p. 18). Una vez que confinó toda representación individual aldominio de la sensibi
l idad y toda represen~ción general al del entendimiento, l lamó intuiciones a las
primeras y reservó 1 \ palabro concepto paralas últimas. De esta guisa,Kant conclu
yó que la idea de un concepto indiv idua l esuna
amt r ad ia io in
arfiecli.L.W Beck ha
sostenido que laintroducción de las.dos clases de representaciones y de las capaci
dades representacionales correspondientes eselrasgo más prominente y original de
laestrategia que llevó a Kant a formular su filosofía crítica (Beck, Kant s Strategy ).
,t
.
j
Uno de los muchos modos en que los filósofos han tratado de
entender el significado se podría llamar teoría química de la repre
sentación , para emplear una analogía que a veces se encuentra en
los escritos de Locke, Lambert y aun deKant. De acuerdo con esta
teoría, las representaciones, al igual que los compuestos químicos,
habitualmente son complejos de elementos o constituyentes que,
a su vez, pueden ser complejos. Por lo general, cuando se nos da
una representación, no somos conscientes de ello. El análisis es el
proceso a través del cual identificamos los constituyentes de una
representación compleja. Es un proceso que debe concluir, (aca
so) después de una cantidad finita de etapas, con la identificación
de los constituyentes simples. Más a ú n , lamejor manera de saber
qué es una representación consiste en identificar sus constituyen
tes (de preferencia sus constituyentes simples últimos) y el modo
I
KANT, .EL ANÁLlS S
y
LA INTUICiÓN PURA
IVéase
C.
Knüfer,
G17/11d:(jige er G e s ch i c hl e d e s B e g r i ff i ' V o rs l el l ll n g' V 0 1 l
Wo f f
bis
Ko1 l i
Lavisión deKant acerca delarepresentación difiere delasde sus predecesores
precisamente por aquellos fenómenos psíquicos que son objeto de
nuestro análisis. Sepodría pensar que lo mismo vale para todas las
expresiones: tendrán algún significado sólo eh la medida -y justo
en el grado- e h que s e relacionen con procesos mentales huma
nos. Sepodría pensar, por ejemplo, que las expresiones numéricas
derivan su significado de los procesos mentales en que se ven
, involucradas: los números naturales, al intervenir en procesos de
conteo; los objetos geométricos, en actos de medición; etcétera.
Desde esta perspectiva, lanoción semántica básica es la de
re ~
pre sen ta c ione s[Vors t e l lU1~C11]
onstruidas como modificaciones de la
mente que pertenecen al sentido interno (Kant,
Crit ica ,
A 98-
99), como estados mentales destina:dos a representar algo. Una
larga tradición canonizada en la L o giq ue d e P o n R o ya l ha declarado
que las ideas o representaciones constituyen el tema más impor
tante de
la
lógica yaque sólo a través de lamediación de las ideas
que hay en nosotros podemos tener conocimiento de lo que se
halla afuera de nosotros (Arnauld y Nicole,
/ogique
O IJ
l 'a rt d e
pmse r ,
p. 63). En palabras de Leibniz, elalma humana percibe lo
que pasa al margen de ella gracias a lo que pasa dentro de ella
(Clarke,
T be Leibniz -Clarke Correspondence,
p.
83 ;
de hecho, la natu
raleza de lamónada es represen tar (Leibniz, The Moríadology
[1714 ] Ph i lo soph i ca lPape rs an d Let ters ,
pp. 648-649).
La palabra
' Vo rs t e l lU1~ '
seconvirt ió por vez primera en un tér
mino técnico en la filosofía de Wo1f; correspondía aproximada
mente a lo que antes se l lamaba idea y se buscaba que abarcara
procesos tanto intelectuales como psíquicos. Según Meier, autor
del texto delógica que Kant siguió en muchos de sus cursos sobre
el tema, las representaciones eran dibujos o imágenes
(Gema lde .,
ode rJ3 i ld e r )
de las cosas que nos representamos
(11I iru s vor.rte / len)
(Meier, AtlsZt lg us d e r V e r n u ni tl e b re , seco 24). En su acepción ¡J
prekantiana, en \ \101f,Lambert y Meier, por ejemplo, representa
ción y concepto e g r i J I J funcionaban como sinónimos. El Kant
precrítico respetó este uso en gran medida.
KANT, EL ANÁLISIS Y L A INTUICiÓN PURA
4
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.. _. -- . ._-----~ ---- -----_ ._._
_ _
2 Otros pasajes que vale lapena revisar seencuentran en Kant, L o g i k B J o l lJ b e r g,
p..41; Log ik
Philippi,
p. 410; Y VorJes l/ ¡gell
i ibe r
d ieMe tap f? ys i k , pp. 135-137. En esta
última, por ejemplo, encontramos lo siguiente: Si Dios alumbrara directamente
nuestra alma de modo (luepudiéramos cobrarconciencia detodas nuestras repre
sentaciones, entonces veríamos clara distintamente todoslos cuel posdel mun
do tal cua l s i los tuviéramos justo ante nuestros ojos
p.
136).
Cuando logro que un concepto sehaga dist into, elmero análisis
no incrementa en lo más mínimo el contenido de
cognición
Cuando separamos al concepto de virtud en sus constituyentes,
hacemos que se torne dis tinto a través del análisis. Al volverlo
dis tinto de esta manera, sin embargo, no añadimos nada alcon
cepto: sencillamente lo clarificamos. Logik p. 35)
ya que no vemos un conglomerado discontinuo de estrellas, sino,
antes bien, un haz continúo deluz. Cuando lamiramos a través del
telescopio, empero, nuestra representación es (más) distinta
(Log ik ,
p. 35; también
L o g ik P b li tz ,
p. 511). Haciéndose eco de uno de los
ejemplos que da Leibniz en sus
Nosueaex essais
(lb.2, cap. 2, seco1
y lb. 4, cap. 6, seco7), Kant ilustró la naturaleza de una representa
ción clara pero no distinta: :Azuly amarillo hacen verde, pero no
siempre nos percatamos de lapresencia de estas partes del verde
(Wienc rLog ik , p . 841).2
M u t a t ís m u ta n d i s , se supone que ocurre otro tanto con las re
presentaciones conceptuales. Podriamos, por ejemplo, contar con
un concepto claro de lavirtud y, asimismo, reconocer algunos de
los rasgos que la constituyen sin tener total claridad acerca de cuá
les son todos o siquiera lamayor parte de ellos.El proceso a través
del cual logramos distinción en esta materia es justamente lo que
Kant llamó análisis: Analizar un concepto [es]volverse conscien
tede lamultiplicidad que siempre pienso en él (Crí t im, B 11/ A7).
Es un elemento esencial de la doctrina kantiana del análisis el
señalamiento de que nuestra intelección del concepto analizado
cambia (en realidad mejora) durante el proceso, mientras que el
concepto no:
27
NT EL NÁLISIS Y L INTUICiÓN PUR
en que se unieron o combinaron para formar larepresentación en
cuestión. Conocer un concepto plenamente, por ejemplo, es defi
nirlo; y la definición
(Erk laerun,i)
no esmás nimenos que elanálisis
exhaustivo y completo. .
La doctr ina de las ideas elaborada por Descartes había pro
movido las nociones de claridad y distinción al estatus decelebri
dades filosóficas. Bajo la influencia del nuevo racionalismo, pron
to se l legó a considerar a estas dos nociones heterológicas como
las más altas virtudes en la ética de los conceptos y figuraron de
manera prominente en los capitulas de lamayoría delos textos de
lógica. En la tradición filosófica alemana tomaron una forma más
precisa.
Aun cuando las representaciones se hallan destinadas básica
mente a representar otras cosas, en ocasiones podemos dirigir ha
cia ellas la flecha de la referencia (Kant, Crítz i:a ,A 108). Cuando lo
hacemos, cuando cobramos conciencia de la representación, en
tonces, según Kant, es c la r a (k la r , e.i., Log ik , P: 33). La virtud más
importante de la
d i s t imión (De t t t l ie h k e i t )
depende por completo de
nuestra relación mental con lo que Kant llamó la multiplicidad
dada en la representación. Considérense, para empezar, las repre
sentaciones intuitivas. Sinos representamos intuitivamente una casa
a la distancia
ej
al verla), quizá no nos percatemos consciente
mente de las ventanas, las puertas y demás partes de ella .No obs
tante afirmaba Kant, es seguro que las vimos, de alguna manera,
puesto que sabemos que el objeto intuido es una casa ; por lo
tanto, necesariamente debemos tener una representación de las
dist intas partes de esta casa . En efecto, si no hubiésemos visto
sus partes, tampoco habríamos visto la casa. Sólo que no estamos
conscientes de esta presentación de la multiplicidad de sus partes
(Log ik ,
p. 34; también
L o g i k P i i li t iJ
pp. 510-511;
Rejle>. ÍoJ lenu r L o g ik ,
. refl. 1676, p. 78;
H)i' ienerLogik ,
p. 841; Borges, :Argumentum
Ornithologicum , en Ob r a s t 'Omp l e ta s ,p. 787). El venerable Wolf
había elogiado el gran uso de lentes de aumento para obtener
nociones distintas
(Log ie ,
pp. 27-28). Siguiendo esta indicación,
Kant notó que cuando nos fijamos en la Vía Láctea con el
ojo
desnudo tenemos una representación clara pero no distinta de ella,
K NT EL NÁLISIS Y L INTUICiÓN PUR
/
)
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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5Leibniz también habíaadvertidola existenciadeuna dificultaden estacues
tión: Al parecerno cabe en lascapacidadeshumanas analizarconceptos hasta e
punto de arribara conceptos primitivoso a otros queesténcompuestos de éstos.
Empero,elanálisisde lasverdadescaemásdentrodelospodereshumanos O p I I S C U e s
e t frag¡l /en ts inéd i tsde Le ib l /i i , p. 514).El problema de los indefinibles -tal como
Russelllo denominó- apareceráen formaprominente en capítulosposteriores.
de distinción Logik , pp. 34-35; Log ik Ph i li p pi , p. 342). La distinción
total, por consiguiente, se logra cuando se reduce un concepto
complejo a aquellos constituyentes suyos que no son distintos.Esta
peculiaridad quizá provenga de una mera excentricidad
terminológica. Resulta más difícil aún entender la insistencia de
Kant en que la claridad única virtud lógica de los conceptos sim
ples no es un tema para los lógicos,
ni
siquiera para los filósofos,
pues sólo le concierne alpsicólogo (véase,
e . i . , C r ít ic a ,
B
414
nota;
Al1 thropologie , p. 137; Ul1tersuchtmgiiber l1atür l iche¡¡Theologie , pp.
284,
286,290).5 No sería ésta laúltimavezqueun filósofo remitiera ala
psicología aquellas partes de la epistemología que amenacen con
hacer que se embarranque su filosofía.
Las citas anteriores proporcionan bastantes pruebas del com
promiso contraído por Kant con la doctrina química del concepto.
Pero dejan ver también otro aspecto importante de su concepción
del análisis,un aspecto que sus sucesores idealistas eliminaron y en
el que haría hincapié una tradición filosófica diferente durante el
sigloXIX.
A
menos que estemos dispuestos a considerar las expli
caciones kantianas del análisisconceptual como intentos comple
tamente fallidos de expresar su significado, no hay manera de
evitar la conclusión de que estaba adoptando tácitamente una dis-
,tinción entre los actos mentales en que se hallan involucrados los
conceptos ylos conceptos mismos. Sinuestra comprensión delcon
cepto de
virtud
puede ser mala en un momento y buena en otro,
estos dos diferentes actos o estados de intelección deben, de algu
na forma, tocar o involucrar almismo concepto. Por
tanto, en
algún sentido de haber, debe haber un concepto de virtud que sea
objeto de los episodios mentales
y
a la vez distinto de ellos. Tal
concepto no tiene que ser extrasubjetivo; pero almenos debe ser
9ANT EL ANÁLISISY LA INTUICiÓNPURA
~
3
Cuando se trata de conceptos no dados,es decir,construidos,
el
análisises
una trivialidad,puesen esecaso,para empezar,nosotroshemosdecididocuálesson
los constituyentesde concepto. Sinembargo,silos conceptos están da dos , lejosde
ser una trivialidad,e análisisconstituyela esenciamisma de la genuinaactividad
filosófica.
4 Véase, por ejemplo,Waismann, J17imerÚlgik, p. 841: Al [mal siempre se
llegaa la parte conceptos, que son simples y que sólo pueden ser claros para
nosotros . Véase también Kant,
Ú lg ik P h i/ip p i,
p. 342.
So pena de redundar en falta de distinción, el análisis debe
concluir después de una cantidad finitade pasos; en consecuencia,
uno debe encontrar conceptos simples,indefinibles e inanalizables
al final del proceso. Sospechosamente, Kant tenía poco que decir
acerca de estos indefinibles que obviamente son de importancia
crucial, si bien observó, demanera explícita que, además de ser
indefinibles e inanalizables, estas características también carecen
Todosnuestrosconceptos,enlamedidaenqueestándadosyasea
aprio ri o a posterio ri , se puedendefinirúnicamentepormediodel
análisisdisectivo Zergliedert/ll~ . En efecto,cuandoestádado,sólo
puedolograrqueel conceptose tornedistintohaciendoque sean
claraslas características Merkmale que contiene.Eso es lo que
haceel análisis.Si talanálisises completo[...y],además,lascarac
terísticasno sonmuchas,entoncesesprecisoyconstituye,así,una
definición.
p .
914;véasetambién L lg ik P h il ip p i, p.
455 3
En cuanto a la definición, él había dicho en la
r fYienerLogik
que es el capítulo más importante dela lógica p. 912) Yprocedió
a explicarlo: .
[...a travésdel análisis]aprendoa distinguirmejor o conmayor
claridadde conciencialo queya estabacontenidoen el concepto
dado.Asícomonadase añadeaun mapacuandosimplementese
le ha iluminado,la mera elucidaciónde determinado concepto
pormediodelanálisisde suscaracterísticas no leadicionanadaal
concepto en lomásmínimo. Log ik , p.64)
KANT EL ANÁLISISY LA INTUICiÓNPURA
31
NT NÁLISIS Y L INTUICiÓN PUR
K NT NÁLISIS Y L INTUICiÓN PUR
0
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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Para Kant, elvinculo entre laanaliticidad de los juicios y el análisis
conceptual era inmediato. Para empezar, en un juicio, están en
relación dos conceptos
Phi /osophiJcheEmryk/opádie ,
P: 19),Yen los
juicios categóricos el vinculo es la relación sujeto-predicado, Los
u icios n l í ti cos
En la Lo g ik Ph i /i p pi se explica como sigue la distinción entre
materia y forma -esa raíz de tanta confusión filosófica-e Cuando
observo un gusano a través del microscopio, la forma del gusano
cambia pero
objeto sigue siendo
el
mismo [...] Toda la filosofía
seocupa sólo de laforma, puesto que, alconsiderar un objeto por
partes, nos percatamos con mayor claridad de la materia que con
tiene (p. 341). Esto parecería implicar que, en el análisis, los con
ceptos de los que nos ocupamos antes y después del análisis son
los mismos, pero es diferente elmodo del conocimiento que tene
mos de ellos (pese a que también sepodría pensar que este pasaje
y otros semejantes confunden un concepto y sus objetos).
Aun cuando los puntos de vista de Kant sobre la naturaleza
del significado oculto y el conocimiento tácito invocaban una dis
tinción entre acto y contenido en las representaciones, también es
cierto que con frecuencia élparecía desestimar tal distinción y que,
ante la demanda de especificidad, prefería inclinarse hacia ellado
puramente subjetivo de ladicotomía, De haber sido más sensible a
esa distinción y a su abrumadora importancia, Kant habría notado
que el vinculo entre los conceptos y el análisis era mucho más
débil delo que había pensado. Veremos que, alhacer extensivas las
ideas de análisis y síntesis de los conceptos a los juicios, el énfasis
de Kant en el elemento subjetivo de la representación, que apare
jaba la desatención a su contraparte objetiva, se combinó con la
imagen química de los conceptos para producir una confusión
peculiarmente kantiana, ..
modo, sino de diferente manera; lo que me representaba confusa
mente antes de ladefinición, ahora me lo represento con claridad,
L o g ik B / o m be r g ,
p 265
¿Es totalmente idéntico elconcepto que aparece en ladefinición a
lo definido [por medio del análisis]? [...] debemos tener presente:
material iter ,
es decir,
quoad o l je c tmn ,
estos conceptos siempre son
completamente idénticos; sólo con respecto a la forrnano lo son;
en realidad, no deber ían ser del todo idénticos ; con respecto a la
materia, siempre pienso el mismo objeto, sólo que no del mismo
j
intersubjetiva, pues la misma representación conceptual se halla
involucrada en diferentes instancias o actos psíquicos de represen
tación en una sola o en diversas personas. Seguramente, al igual
que sus maestros y seguidores, Kant no se atuvo a esta distinción
de manera consistente; empero, sin ella sería muy difícil dar senti
do a lo que dijo sobre elanálisisde los conceptos y acerca del cono
cimiento analítico. En cuanto alprimero, por ejemplo, normalmente
afirmaba: Por medio de la dist inción analí tica reconocemos en
algo nada más que lo que originalmente habíamos pensado, y no es
que reconozcamos mejor, es decir, con más distinción y claridad y
mayor conciencia, lo que yasabíamos
Lo g ik B l om b e rg ,
p. 131;véa
se también
Cri t ica ,
A 5-6/B 9). Tampoco sería posible dotar de
sentido a las incontables referencias al descubrimiento del conoci
miento táci to a través del análisis. De hecho, uno de los pocos
temas persistentes que atraviesan toda la filosofía de Kant, desde
la juvenil
Unte r suchu l1gübe r l1a tü r l id J en
Tbeolog ie (1764) hasta los es
critos críticos, fue que la filosofía se distinguía de las demás cien
cias en que
el
método que le espropio consiste en
el
análisis d~ los
conceptos, en traer a la luz o a lasuperficie el conocimiento que se
hallaba oculto más que en construir nuevo conocimiento. Como
sucedía en el modelo socrático, la tarea del filósofo es ayudar a la
gente a que cobre conciencia de lo que ya sabía desde elprincipio:
Con que sólo tuviésemos conocimiento de lo que sabernos ]
nos asombrarían los tesoros que contiene nuestro conocimiento
Wie118rLogik , p
843).
En alguna ocasión Kant llegó a plantear explícitamente lo que
ahora llamamos el problema del análisis , la cuestión de laidenti
dad del
ana ysanduJJJ
y el
analysans ,
y su reveladora respuesta consti
tuye una prueba de la inseguridad con que captaba la situación:
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
http://slidepdf.com/reader/full/coffa-j-alberto-la-tradicion-semantica-de-kant-a-carnap-vol-1 18/328
)
I )
)
\
1
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} l
f
. ;-
T ; :
nición, puesto que no revelan ninguna falla seria en la visión de
Kant. Lo que sí nos interesa es elasunto (de crucial importancia)
del vínculo entre el análisis conceptual y los juicios analiticos. Se
gún Kant, estos juicios se derivan por disección del [concepto]
sujeto (P r o le g om e l1 at oA t r y Fu tu re M etapi?Ysics ,p. 17); simplemente
dividen el [concepto sujeto] en aquellos conceptos constituyentes
que se han pensado en él desde el principio
(Cr í t i t Cl ,
B 11). Un
ejemplo' paradigmático de juicio analitico es Todo
que concuer
de con el concepto (a b de cuerpo también concordará con b
el de extensión (Logik , p.
11 1 .
En el caso del juicio anali tico no
salimos del concepto dado y tratamos de obtener algo de él (Cr í -
tic a, A lS4/B 193).
Superficialmente, podría parecer que Kant no estaba diciendo
mucho más que tantos otros antes de élque también se ocuparon
de la cuestión del análisis conceptual. Eberhard, por ejemplo, pen
saba que la noción de juicio analítico claramente se encuentra en
los escritos de Leibniz. Tal evaluación pierde de vista por completo
elelemento de novedad que Kant había incorporado a la doctrina
química del concepto. La diferencia en este punto entre laposición
de Kant y las de sus predecesores se pone de manifiesto cuando
examinamos la respuesta que dan a la pregunta ¿cómo determina
mos elmodo en que está constituido un concepto?, ¿qué criterios
determinan si un concepto B está en el concepto A?
Cuando Kant comenzó a pensar en esta cuestión, había dos
respuestas corrientes, una de ellas surgida de una larga yvenerable
tradición, la otra formulada por Leibniz antes que nadie. La co
rrespondencia Leibniz-Arnauld plantea claramente el conflicto entre
ambos puntos de vista. Con su mezcla característica de genio
y
locura, Leibniz había concebido un proyecto en elcuallos constitu
yentes simples de los conceptos estarían representados por núme
ros primos y su composición por la multiplicación correspondiente.
Del teorema numérico chino (además de ciertas suposiciones acerca
de la naturaleza de laverdad), infir ió que, si contábamos con este
lenguaje perfecto , todo lo que tuviese que ver con laverdad po
dría resolverse recurriendo al algoritmo de la división. Por ejem
plo -explicaba-:
.¡
~
~
33
ANT, EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓNPURA
6La advertencia 'pensado en' es esencial para Kant, pues, al igual que Leibniz,
Kripke y Putnam, consideraba que e modo de constituirse los conceptos dados no
depende delo que sabemos sino decuálesson los hechos queestán enjuego. Leibniz,
por ejemplo, había escri to que lapalabra 'oro' no significa únicamente lo que sabe
de la persona que la pronunc ia -por ejemplo , que es algo amarillo y muy
pesado-, s ino también loque esa persona ignora y que podría saber otra persona, es
.: decir, que se tr ata de un cuerpo que tiene una constitución interna de la que proce
den sucolor
y
su peso
y
de lacual surgen otras propiedades que éladmite que yahan
sido identificadas por losexpertos (No1 l v ea l l x essa i s ,lb. 3, cap. II, sec. 24; véase tam
bién lb. 4, cap. 6 secs. 8-11) .Kant se hizo eco de esta opinión en la
Crít ica,
A 727-
728/B
755-756.
Estos pasajes atípicos no reflejan, en mi opinión, una anticipación
pasmosa de lateoría causal de las clases naturales , s ino una consecuencia más de la
1:onfusión entre concepto y objeto -una confusión cuya presencia en otros escritos
de estos filósofos sepuede establecer sin sombra de duda-. En cualquier caso, sise
pueden revelar los const ituyentes de un concepto A como resultado de una investi
gación empírica, entonces no podemos definir la analiticidad sin recur ri r a lo que
está pensado en el concepto, pues
l\
esB' podría ser pos t edod aun cuando B esté
contenido en
el
concepto A. Para que
A
es B' sea analí tico, no basta con que
1 3
~ea
parte de A; también debemos estar conscientes (sibien, de preferencia, oscuramen
te) de que B es parte de
A.
juicios categóricos son la materia de todos los-demás (Ref lexionen
z u r L o g ik ,
refl, 3046, p. 631). De este modo, todos los juicios tienen
como materia ya sea conceptos o bien otros juicios (refl. 3046).
Un juicio categórico es analítico =afirmó Kant- cuando elconcep
to predicado es pensado de manera implicita- o está contenido en
el concepto sujeto; todos los demás juicios categóricos son sintéti
cos (e.i., Logic , p. 117; P r o le g om e n a t o a l } Fu tm c Me t a p i? Y s ic s ,p.
14 .6
Así, pues, un juicio analítico esla expresión del resultado del análi
sis conceptual.
En vista de cuáles son las fuentes de esta idea del análisis con
ceptual, apenas sorprende que la definición de Kant se aplique a
juicios de la forma sujeto-predicado. (En ellos, el 'sujeto' es cons
truido a la manera tradicional prefregeana, de modo que el sujeto
de 'Todos los A son B' es 'Todos los o
N.
No nos conciernen
aquí los problemas comunes surgidos de la estrechez de esta defi-
KANT, El. ANÁLISISY LA INTUICiÓNPU RA
2
35ANT EL ANÁLISIS y LA INTUICiÓN PURA
KANT EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓNPURA
34
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fundamentos de juicios de muy diversa clase: los que son priori
pero no analíticos. . ,
. Seria difíci l exagerar la importancia que Kant le atr ibuyo a
este descubrimiento. La introducción de la
Cri t ica
anuncia una nue
va ciencia (sec. 3) orientada a responder esta pregunta antes ina~
vertida: ¿cómo podemos tener conocimiento a p r io r i de propos1-
ciones en las que elconcepto predicado no esparte del concepto
sujeto? Yace aquí oculto un cierto misterio; si a alguno de los
antiguos se le hubiese ocurrido siquiera plantear esta pregunta,. ello
por
sí
mismo [...] habría bastado para oponerse a t~dos l.ossiste
mas de larazón pura
Crí t ica
A 10).Empero, la existen i de tan
notables juicios -pensaba Kant- había sido pasada enteramente
por alto. El hecho de que los juicios matem~ticos n~ fuesen an~lí
ticos, por ejemplo, hasta ahora ha pasado inadvertido para qUie
nes se empeñan en el análisis de la razón humana y, de hecho, se
opone directamente a todas sus conjeturas
Crf t i~a
B 14)..
Aunque gran parte de la Cri t ica debe haber Sido esctita,. ~,al
menos concebida, en la época en que se formó esta nueva V1SlOn
del análisis conceptual, Kant prefirió exponer las consecuencias de
esta visión alprincipio de la
Cri t ica
y de los
Pro l egómenos .
Cuando
Eberhard cuestionó originalidad deKant enrelación con eltema
del análisis y la síntesis, Kant sepuso furioso y dejó ver sus senti
mientos en 1:1ncelebrado estallido polémico. en 1791, en el bo-
. rrador de una respuesta a una pregunta formulada por laAcade
mia en torno a qué progresos había hecho la filosofía alemana
desde Leibniz y Wolff , Kant observó que el primer paso de la
nueva filosofía critica había consistido en trazar la distinción analí
tico-sintética. Y añadía: De haberse sabido esto con claridad en la
época de Leibniz o Wolff, no sólo se noshabría comu~~ado sino
también enfatizado su importancia en los tratados de lógica y me
tafísica
Preisschri f t überd i e For t s cbr i tt e de r Me t ap f ¿y s ik
[1804]; véase
también
Cr i t i c a
B 19). ..
Aun así, queda pendiente una pregunta importante. ¿Por qué
Kant no pensó que su distinción era una consecuencia absoluta
mente trivial de lanoción de análisis conceptual? La respuesta que
Este procedimiento nos permite resolver toda cuestión con
cerniente al valor de verdad de las proposiciones afirmativas uni
versales, a condición de que asumamos -con Leibniz- que en los
casos verdaderos el concepto del sujeto, tomado de modo abso
luto e indefinido y considerado en general en sí mismo, siempre
contiene el concepto del predicado
Log i ca lP aper s
p. 22).
Como respuesta a la sorprendente aseveración de Leibniz de
que en toda proposición verdadera, sea necesaria o contingente, el
predicado se halla contenido en el sujeto, Arnauld defendía la vi-
sión histórica de la cuestión: para que elpredicado B esté enA, no
sólo se requiere que sea verdadero sino asimismo necesario que
odo A es B .
En algún momento dela década de 1770, Kant llegó a lacon
clusión de que la analiticidad ni es la verdad (como pensaba Leibniz)
ni la necesidad (como creía Arnauld), sino algo más fuerte que
ambas: que sehalla contenido en un concepto esmenos que
que sepuede decir con verdad de él eincluso que lo que esnecesa
riamente cierto acerca de sus objetos; en otras palabras, la
anali ticidad es una cosa y la apr i ondad otra. Fue entonces cuando
vio que existen verdades priorique no se fundan en el análisis
conceptual, que hay +como él eligió denominarlas- juicios sintéti
cos ap r i o r i . Después de advertir esto, su concepción de la filosofía
se transformó de manera radical. Antes pensaba que elmétodo de
la filosofía era el análisis y que el análisis sólo podía dar base a
aftrmaciones analíticas. Ahora decidía que
la
filosofia también se
dedica acaso inclusive de modo predominante) a examinar los
\
Si suponemos que el número que s imboliza
hombre es el 6 y
que eldel mono es 10, resulta evidente que elconcepto de mono
no contiene
concepto de hombre ni a lainversa. [...] Por consi
guiente , cuando se inquie re si el concepto de hombre sabio se
halla contenido en elconcepto de hombre jus to [...] sólo tenemos
que averiguar sielnúmero que simboliza alhombre justo sepuede
dividir exactamente entre elnúmero que simboliza alhombre sa
bio. Log i ca l a p e r s p. 22)
37
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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La única razón para esta afirmación (lue he podido hallar en los escri tos
de Kant aparece en Lose Blá tt er zu den For ts chri tt en der Metaphysik ,
a lis
g e sam n e l te S ch r i ft 8 / l,
vol. 23, p.340. La observación de Kant, desde luego, constitu
ye una absoluta trivial idad si con analí tico se refiere a no ampliat ivo ; en cuyo
caso, empero, aún nos deber ía un argumento a favor del ase rto de que a lgunos
juicios necesarios son, en ese sentido, no analíticos.
En otra parte lo dice de manera más concisa: Es evidente
que a part ir de meros conceptos sólo conocimiento analí tico [...]
puede obtenerse
(Crít ica,
A 47/B 64-65).7Luego nos ocuparemos
de examinar el inmenso daño que esta confusión provocó. Por
ahora, seguiremos el curso del razonamiento de Kant. Una vez
que se confunden los juicios sintéticos verdaderos de la deftnición
nominal kantiana con juicios que no se fundan en conocimiento
b
.
>
puramente conceptual, lapregunta o
vía
es: ¿en que se apoyan.
_: Kant había explicado que todos los juicios analiticos se basan
en un solo principio -que élen ocasiones denominó principio de
los juicios analíticos
(e. i . ,Crí t ica,
A 149-150/B 189)-, elprincipio de
identidad o contradicción. Presumiblemente, lo que éltenia en men
te era un principio que le permite a uno predicar de un concepto
dado aquellos otros conceptos que pensamos en élcomo sus cons
tituyentes. Aun cuando en esto no hubiese problemas, elpunto inte
resante es que Kant asumía que su distinción analítico-sintética ca
racterizaba, por decirlo así, clases naturales epistémicas, de modo
que se sentía justificado en concluir que tenia que haber otro princi
pio involucrado en la fundamentación de todos los juicios analíticos.
Lo llamó, desde luego, l principio supremo de todos los juicios
sintéticos (véase,
e . i . , O i ti c a ,
A 154/B 193;A 158/B 197). ,
yo debo irmás alládel concepto [sujeto] dado para considerar, en
relación con él, algo, por completo, distinto de lo que estaba pen
sado en él. Es ta relación [entre el concepto sujeto y el concepto
predicado], por consiguiente, nunca es una relación de identidad
ni de contradicción: y nunca se puede descubrir laverdad o false
dad de la relación en elj ui ci o c o ns id e ra d o e n
p or s í m is m o. ( Cr ít ic a, A
lS4/B 193-194; las cursivas son ITÚas)
KANT EL ANÁLISISY LA INTUICiÓNPURA
yo propondría es ésta: al conjugarse esta dist inción con la com
prensión informal que Kant tenia de las cuestiones semánticas,
parecía implicar nada menos que elgiro copernicano. Una vez que
nos percatamos de que conocemos
a P r io r i
algunas afirmaciones
que no pueden estar fundadas en una pura comprensión de su
contenido, sepone de manifiesto que las cosas acerca de las cuales
tenemos tal conocimiento no pueden ser tan independientes de la
mente como se creía.
El núcleo del problema se halla en la suposición aparente
mente inocua que hizo Kant en el sentido de que la distinción
analitico-sintética esuna explicación correcta de otra distinción, la
que hay entre juicios clarificadores
(Erlaeutert tngsurtei le)
juicios
ampliadores
(Envei temngsurtei le).
Muy probablemente, Kant jamás
se dio cuenta de que estaba lidiando con dos dicotomías distintas.
De esta guisa, algunas de sus definiciones de los juiciosanalitico
y sintético nos dicen que elúltimo extiende mi conocimiento más
allá de lo que se encuentra contenido en el concepto [sujeto]
(Allison,
The Kan t -E b e r har d Con t roo e r sy ,
p. 141; véase también
Logi k ,
p. 111;
Cri t ica,
A 8;
Prol egomenaloA ) Fut t lr e Metap /~ ) s i c s ,
seco2a). Sin
embargo, es esencial notar que estamos hablando aquí de una se
gunda partición de la clase de todos los juicios (verdaderos-y de la
forma sujeto-predicado) en aquellos que podemos fundamentar o
identificar como verdaderos simplemente con base en el hecho de
que tenemos claridad acerca de los conceptos involucrados en l
juicio, y,por otro lado, aquellos juicios enlos que se apela a fuentes
extraconceptuales de conocimiento. Dicho gruesamente, mientras
que laprimera definición de Kant, la
nomina l ,
caracteriza a lo ana
lítico como verdadero en virtud de definiciones (análisis) y lógica,
la segunda lo define como verdadero en virtud del significado,
La idea de que su definición nominal coincide eón la segunda
versión de lo analít ico se basa en una suposición que aparente
mente a Kant le parecía tan evidente que no merecía ni la menor
argumentación:
l o s c o n ce p to s só lo p u e d en p r o po r ci o na r u n a b a se p a r a
conocim ien to
a t ra v és d e u n p r o c e so d e a n á li si s.
Así, afirmaba que en un
juicio sintético:
KANT EL ANÁLISISY LA INTUICiÓNPURA
36
39
K NT EL NÁLISIS Y L INTUICIÓN PUR
K NT EL NÁLISIS Y L INTUICIÓN PUR
8
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8
El principio de Kant podría considerarse como una respuesta alproblema
deLambert a l admit ir él que no sehadescubie rto del todo la f o ns p o s s i b i l i ta t i s d n o s
i d e o s c o m b i n o n d i ( O b e r d i e M e / h o d e d i e M e t a p f ? y .r í k , T h e o J o g i e lI J 1 d M o r o J t ic h t ig e r Z J I b e n / e is e n ,
p . 9; citado en Beck, E o r l Y G e r m a n P b i lo s o p b» , p. 407). Quizá también haya un
vínculo con Leibniz. En un borrador de surespuesta a Eberhard, Kant conjetura
ba que elprincipio leibniziano de razón suficiente era un esfuerzo para formular
el principio de los juicios s intéticos ( Vorarbeiten zur Schdft gegen Eberhard ,
K a 1 l t s g e s a f J1 m e l t e c h t i f t e l l , vol. 20, p. 376).
9 En el caso del conocimiento trascendental, que, hablando con propiedad,
no se expresa en juicios s intéticos, s ino en Gr l l l J f s é i t z e sintéticos, la síntesis de los
La doctrina kantiana de laintuición pura tuvo múltiples oríge
nes. Nosotros hemos identificado dos: el principio de los juicios
sintéticos y la tesis del conocimiento sintético a p r i o r i? He aquí el
No fue,por consiguiente, una mera sutilezaverbal, sinoun paso en el
avance del conocimiento, que la
Crítica
dieraa conocer por vezprime
ra la distinción entre losjuicios que dependen enteramente delprinci
pio de identidad o contradicción y aquellos que, con el marbete de
analíticos , requieren otro principio en oposición a los juicios sintéti
cos . En efecto, lanoción de síntesisclaramente indica que, aparte del
concepto dado, debe añadirse algo como sustrato que hace posible ir
más allá del concepto con mi predicado. De este modo, la investiga
ción se dirige a laposibilidad de una síntesisde representaciones con
respecto alconocimiento en general,lo cualpronto debe conducir al
reconocimiento de laintuición como condición indispensable para.el
conocimiento, a la intuición pura para el conocimiento a p r io r i.
Allison, T b e K a n t - E b e r h a r d Controoersy, p .
155 8
Kant no fue particularmente modesto apropósito de su descu
brimiento de este principio supremo de todos los juicios sintéti
cos , destinado a resolver la más importante de todas las pre
guntas de la lógica trascendental (en realidad, quizá, la única
pregunta de que se ocupa ): ¿cómo son posibles los juicios sinté
ticos
a p r io n ? C r ít im ,
A 154
lB
193). Como le escribió a Eberhard
con actitud de acre desafío:
En los juicios sintéticos-de-foj;ma-suj~tQ-predicacleduntamos
dos conceptos que no se relacionan como la parte con el todo.
Habiendo confinado de manera casual e inconsciente todo funda
mento semántico del conocimiento a la categoría de análisis con
ceptual
por tanto, a laanaliticidad nominal, Kant ni siquiera con
sideró la posibilidad de que los juicios sintéticos, construidos no
minalmente, pudieran tener también una base semántica. En los
juicios sintéticos -pensaba Kant- debo tener, además del concep
to de sujeto
[y
del de predicado], alguna otra cosa X en la cual
pueda apoyarse el entendimiento siha de reconocer que un predi
cado, no contenido en tal concepto, pese a ellole pertenece
C r i
t ic a ,
A 8). De esta forma, concluía que la síntesis de conceptos
disjuntos nunca podría deberse a un vínculo proporcionado por
los constituyentes conceptuales del juicio, sino que siempre debe
ría estar mediada por un tercer elemento, un X, como a veces lo
llamó
ú Cri t ic a ,
A 9
lB
13), que no se encuentra directamente
presente en eljuicio. TalX -pensaba Kant- no podría ser un con
cepto pues entonces tendríamos, además del concepto sujeto y el ..
concepto predicado, un tercer concepto, y a partir de meros con
ceptos sólo conocimiento analítico ... puede obtenerse . Puesto
que Kant no reconocía ningún ladrillo semántico aparte de los
conceptos y las intuiciones, se seguía que el fundamento de todo
conocimiento sintético, elpegamento que une a los conceptos en
un juicio sintético, siempre-debe involucrar a laintuición. Este es el
contenido del principio de los juicios sintéticos. Los juicios sintéti
cos sólo son posibles bajo lacondición de qué sehalle una intui
ción subyacente en el concepto de su sujeto (Allison, be ant
E b e r b ar d C o n t ro u e r sy ,
p. 152;véase también la carta a Reinhold,
ib id ,
p. 164). Por ejemplo, después de sostener que 7+5=12 no es ana
l ítico, Kant agregaba que, para fundar este juicio, tenemos que
salir de estos conceptos y acudir a laintuición que le corresponde
a uno de ellos, a los cinco dedos de nuestra mano, por ejemplo
Cri t ic a ,
B 15).En todos los juicios matemáticos, aunque elpredi
cado de hecho se adscribe necesariamente alconcepto, esto se hace
en virtud de una intuición queha de añadirse alconcepto
Crí t i t a ,
B 17).
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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)
)
Alternativamente, se podría aceptar el principio de los juicios s intéticos
como una consecuencia trivialde la seglllldadcfinición (no nominal) de analiticidad;
pero en ese caso , en e sentido apropiado de sintético e s egundo), Kant no nos
ha dado absolutamente ninguna razón para creer que existen los juicios sintéticos
a p r i o r i .
mento puramente conceptual a los juicios sintéticos en el sentido
nominal. Más tarde examinaremos las razones de esta equivoca
ción, pero por elmomento podemos echar un vistazo a la trayec
toria de la ~ontaña rusa crít ica: en
a l g o
deben fundarse los juicios
sintéticos, y no puede ser en conceptos; luego, tiene que ser en
intuiciones, tales como las intuiciones empíricas de la clase que le
gustaba a Hume. Sin embargo, ahora hemos descubierto que algu
nos juicios sintéticos son
p r i o r i así que no pueden fundarse en
una intuición empírica. Por consiguiente, debe haber un tipo de
intuición empírica muy especial; llamémosla simplemente intui
ción pura .
Yadijimos que en laraíz dela apelación kantianaa laintuición
pura habia una semántica defectuosa. Habiendo examinado los
motivos que podrían haberlo llevado a confundir los dos sentidos
de lo analítico que postuló, esposible diagnosticar con algo más de
precisión que elproblema emerge de una concepción psicologista
de la semántica. Considérese, por ejemplo, la cuestión acerca de si
tenemos que entender el concepto de
soltero
para dar sustento al
juicio de que todos los solteros son no-casados. Uno podría imagi
nar a Kant razonando del siguiente modo: Con seguridad es nece
sario entender el concepto de
soltero
para emprender su análisis;
~
ero los juicios analíticos no son nimás ni m~nos que elresultado
del análi.sis. Por consiguiente, debe ser r.elevante la comprensión
del concepto -y no únicamente de sus rasgos estructurales o de su
consti tución lógi€a- para dar una base a los juicios analít icos. O
quizás (también) habría argumentado así: Conocer o entender un
concepto es conocer su definición; luego,
el
conocimiento con-
ceptual es conocimiento en virtud de definiciones, Dado que el
rconocuniento analítico es exactamente conocimiento eh virtud de
41
ANT EL ANÁLLSIS LA INTUICiÓNPURA
conceptos correspondientes se funda en laposibilidad de laexperiencia Crí t i ca,A
783/B 811). El nexo cbúla intuición procede del hecho de que las intuiciones en
general [...] constituyen lcampo, todo lobjeto, de laexperiencia posible Crí t i -
c a,A 9 5).
Moore observó en P r i l l d p ia E t b i c a que, dado que
l
b i e n es indefinible
(inanalizable), todo lo que digamos sobre él debe ser s intético; y RusselJ había
expresado lamisma opinión acerca de las ideas indefinibles en general en su Cri t i cal
Expositio» Ib e Phi/o s o p ,?) L e ib l1iZ
(sec. 11).No sorprende que encuentren mon
tones de enunciados sintéticos a p r i o ri en matemáticas, lógica, éti~a y varias otras
materias.
razonamiento: Está claro, para empezar, que en elsentido nominal
de análisis hay muchisimos juicios sintéticos que muy pocas per
sonas considerarían seriamente como
p o s t e r i o r i Podrían citarse,
con Kant, ejemplos de la ari tmética y la geometría, pero existen
ejemplos más pedestres tales como si esto es rojo, entonces no es
azul , si esto mide un metro de longitud, entonces no mide dos
metros y si
a
esmás alto que
by b
es más alto que
c,
entonces
a
es
más alto que
C
En ninguno de estos juicios elsujeto contiene al (a
los) predicadojs).
y ,
no obstante, todos ellos son seguramente ne
cesarios y por ello, de acuerdo con Kant, a p r i o r i Además, aplican
do elcriterio de Kant, todo juicio con un concepto simple debe ser
sintético, y seguramente algunos de tales juicios son necesarios.
lo
Así, pues, echando mano de su definición nominal, Kant no tenia
ninguna dificultad para identificar juicios sintéticos
apriori.
De he
cho, las únicas consideraciones que es posible hallar en los escritos
de Kant y que pueden parecer argumentos a favor dela existencia
de los juicios sintéticos a P r i o r i invariablemente apelan a la versión
nominal de la distinción kantiana: sostienen, en forma bastante
creíble, que este o aquel concepto predicado evidentemente no
es un consti tuyente o no está pensado en este o aquel concepto
sujeto.
Hasta este punto, se le puede conceder a Kant todo lo que
quiere sin dificultades, Pero
el
siguiente paso en su razonamiento
es, en realidad, la confusión de
1 0
sintético en el sentido nominal
con lo ampliat ivo, pues asume que no sepuede dotar deun funda-
KANT EL ANÁLISISY LA INTUICiÓN PURA
0
43
ANT EL ANÁLISIS Y LA INTUICiÓN PURAKANT EL ANÁLISIS Y L A INTUICiÓN PURA
2
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14
Leibniz había reconocido que sabemos que las proposiciones idénticas '
son proposiciones necesarias s in entender o analizar sus términos, pues yo sFque
decir, por lo tanto, que, si nuestra comprensión de so l te ro no es
distinta, los episodios mentales que se expresan con
*
y
* *
son
bastante diferentes
y
que uno delos propósitos del análisis es con
ducirnos del tipo de estados mentales asociados con
*
a los que
se asocian con
* * .
Pero seria igualmente obvio que, dejando a un
lado la psicología, los
con ten idos
de
*
y de
* * ,
de acuerdo con los
propios criterios de Kant, son idénticos, puesto que en cas.o con
trario no tendría sentido insistir -como hace Kant- en que en el
proceso del análisis sólo ha cambiado nuestra comprensión del
concepto, no lo que estábamos diciendo cuando lo usábamos.
r
Ahora estamos listos para determinar hasta qué punto se.ve
involucrado nuestro conocimiento conceptual de los constituyen
tes del concepto sujeto de
*
en la fundamentación del juicio como
analítico. ·Cuando se trata a
*
como una expresión de nuestro
juicio que seha producido enun estado de comprensión no distin
ta de
so l te ro ,
de hecho es razonable decir que nuestra más cabal
comprensión del concepto, el que entendamos el significado de
'soltero', resulta esencial para fundamentar * , o sea,para arribar a
la convicción de que * es verdadera. Ahora bien, trátese, :por el
contrario, a * como si expresara nuestro juicio en un estado de
distinción con respecto a so l te ro , o bien considérese una vez más el
contenido de * . ¿Hasta qué punto nuestra comprensión de los
conceptos involucrados desempeña algún papel en S
. fundamentación? O, para poner la pregunta en otros términos,
¿podríamos dar fundamento alcontenido de * -es decir, de * * -
sin entender todos los conceptos involucrados? La respuesta es
obvia cuando se trata de
* * :
¡por supuesto Todo lo que tenemos
que entender realmente para fundamentar * * es el significado de
los conceptos co t } t tnc ión y pred icac ión . Así, pues, mientras que la
fundamentación de *
ql
juicio subjetivo no distinto demanda en
elanálisis conceptual nuestra comprensión de todos los conceptos
involucrados, no sucede lo mismo con la fundamentación de lo
que dice
* . 1 4
12 En t iempos deKant e ra común t raza r l adistinción y nada común respetarla.
Wolff,por ejemplo, escribió en 8U P )chologiaElnpirica , (1738): Si serepresenta algún
objeto en lamente, se debe distinguir acto mental en elque se da esta representa
ción (sec.48). No obstante, Knüfer observa queWolff no tomó en serio tal distin
ción
(Gn / 1Jd~ ig e d e r Gesch i ch ted e sBeg r i f fi Vo r s t e ll J / /¡g VO I I W o lf b is
Kan t , p. 15).Aunque
no fuese e l primero en seña lar est a dis tinc ión, Bolzano se rí a e l primer f ilósofo
posmoderno en percatarse con claridad delas devastadoras consecuencias que aca
rrearía hecho de no respetarla (véaseel cap.2 de este volumen).
13. Kant no l lamó ana lí ti co a
* * ,
sino tautológico (Lgik, sec, 37, p . 111)Y
explíci tamente idéntico ; carece de consecuencias , a diferencia de los juicios
implícitamente idénticos tales como * . En ocasiones Kant excluía a los juicios
tautológicos de la categoría de los juicios analíticos
( Pre i ss ch r i ft i l b er d i eF o r t s chr i t te
d e rM e t ap f? y s i k ,
p. 322).
Empero, si nuestra representación de
soltero
no es dist inta,
entonces eljuicio que expresamos por medio de
*
será, en gene
ral, bastante diferente del que expresamos con
* * . 1 3
Podríamos
* * Todos los adultos varones no-casados son no-casados.
De acuerdo conla dist inción trazada en la sección anterior, a
esta oración le corresponden dos actos judicativos radicalmente
distintos. Que asociemos con * uno u otro de ellos depende de
cuán distinta sea nuestra representación de
so l te ro .
Sinuestra repre
sentación es enteramente distinta
s
si
n o - ca s a do y v a ró n y a d u lt o
cons
tituyen el análisis completo de so l te ro) , entonces, el juicio subjetivo
que expresamos con
*
podría hacerse también -inclusive de modo
más explícito- con:
* Todos los sol te ros son no-casados.
) definiciones (parciales), todo conocimiento puramente conceptual
~debe ser analítico. .
Estos atractivos pero falaces razonamientos pierden todo su
poder seductor una vez que se atiende a la distinción acto-conteni
do. Considérese un vez más la oración:
ANT EL ANÁLI~IS
y
LA INTUICIÓNPURA
KANT EL ANÁLISISY LA INTUICIÓN PURA
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1
.
lt i
lñ
~
~
J
Solamente merced a un proceso complejo y laborioso que se
prolongó durante lamayor parte del siglo
XIX
fue posible recono
~er y neutralizar estas confusiones kantianas. En lo que resta de la
Parte 1 revisaremos las etapas centrales de este proceso. En los
términos más simples, sele puede caracterizar como la declinación
y caída de la intuición pura. Dejando de lado la cuestión de qué tan
profundos puedan haber sido sus desacuerdos en torno a cuestio
nes específicas, los miembros principales de la tradición antikantiana
cuyas opiniones examinaremos compartían la convicción de que el
sistema de Kant estaba construido en un pantano semántico. Tam
bién concordaban en que la única forma de evitar un destino se
mejante era colocar la teoría de los significados, esto es, la
teorí
de
los conceptos, juicios y proposiciones, en el primerísimo lugar de
su lista de preocupaciones filosóficas. La semántica nació en el
intento de evitar lateoría kantiana de lo
apr ior i. Nac ió
en los escri
tos de Bolzano.
A es A, no importa de qué
se trate
Ph i lo soph icalPape rs and Le t ter s
p. 187).
Presumiblemente habría d icho lo,mismo acerca de Todos los A y B son A .
Ya estamos en posición de ver de qué modo el descuido por
parte de Karit de ladimensión no psicológica dela semántica pudo
haberlo conducido a confundir lo analítico con lo puramente con
ceptual; porque, en efecto, élhabría acertado alpensar que es esen
cial para el análisis en el sentido psicológico) comprender todos
los conceptos y que los juicios analiticos son producto del análisis.
El desplazamiento de la psicología a la semántica es fatal para el
razonamiento de Kant. En realidad, el análisis de un concepto sí
requiere que se entienda el concepto, pero la fundamentación de
un juicio analítico
u
contenido sólo exige que se comprenda lo
que antes llamamos su estructura.
Otra manera de enunciar el problema de Kant consiste en
decir que confundió el conocimiento conceptual con el conoci
miento definicional , es decir, que confundió lo que sepuede fun
damentar con conceptos con laclase mucho más pequeña) de lo
que sepuede fundar en definiciones, Tal como Kant veíalas cosas,
el conocimiento analítico sólo es posible en presencia de la com
plejidad conceptual , pero debería haberle quedado claro que los
conceptos simples, aquellos en los que laintuición queda al mar
gen, son tan aptos como sus contrapartes complejas para servir
como fundamentos de un conocimiento
apriori.
Hemos detectado dos suposiciones táci tas detrás del trata
miento que Kant le da a lo analitico y a lo sintético. De acuerdo
con la primera de ellas, lo analít ico coincide con lo verdadero en
virtud de conceptos -o, como algunos dirían mucho tiempo des
pués, en virtud de significados-. Dada esta suposición, se vuelven
pertinentes consideraciones de tipo semántico para establecer sólo
aquellos juicios cuyo predicado es parte de su sujeto. Esto implica
gll~
el fundamento de los juici )s sintéticos no reside en la §~tnán
tita. La segunda
supósicióriúós
dice dónde sí reside. Dada lavi
sión de Kant acerca de la .naturaleza de la representación, sólo se
puede asumir que el fundamento del conocimiento sintético es la
intuición yen los casos interesantes, la intuición pura).
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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•Traducción deMaxFcrnández deCastro (UAM-I).Revisadopor Juan An
tonio SánchezG. (UAM-I).
a filosofía continental moderna había mantenido siempre
.1....vínculos cercanos con eldesarrollo científico. En Kant, la
relación se volvió tan cercana que la doctrina completa de lo
a
P r i o r i había sido motivada en gran medida por un dato que había
surgido delas ciencias -un rasgo supuestamente transparente de la
geometría, la aritmética y el cálculo que demandaba explicación
filosófica. Los sucesores de Kant en el siglo XIX fueron de dos
tipos: aquellos que querían revisar si lo que él dijo acerca de las
ciencias a p r i o r i era verdadero y aquellos a quienes no les importa
ba. Los últ imos abrazaban su giro copernicano por razones ~ me
tafísicas . Estos primeros, en general, dedicaron gran cantidad de
tiempo al análisis del conocimiento matemático. Como resultado,
sus colegas más ingenuos tendieron a mirarlos como matemáticos
de bajo nivel, tratando de hacerse una reputación en filosofía.
M a tb e m at io a s u nt n o n le g u n t u r es lo que Frege una vez supuso que la
mayoría de los filósofos dirían acerca de sus escritos. Estaba en
10
correcto. Lo mismo podría haber sido dicho de los escri tos más
importantes de la tradición semántica.
La tradición semántica puede ser definida por su problema,
su enemigo, su objetivo y su estrategia. Suproblema fue lo a p r i o r i
su enemigo, la i n t u i c ió n p u r a de Kant; su propósito, desarrollar una
Kant estaba equivocado cuando tomó la lógica como algo terminado.
BOLZANO,
GESAMTAUSGABE
SER. 2B, VOL. 2, PT. 2
Todas las verdades matemáticas pueden
y
deben ser probadas a partir
de nuevos conceptos.
BOLZANb,
GROSSENLEHRE
2
11I:n.n-.: : .,,,,m:uunmi, =,,,r ., ,mmm:E= .:l,nm mm : :: r . .:mJuml .:;=:n::u:=:~mnumuu'I:IU mmm,U:ml mummu:mmn: u:mumr,:uu¡r::¡,mUmJIfw.:.:m1Uml JImU U ,, uU1~
*
: BOLZANO EL NACIMIENTO DE LASEMANTICA
49
OLZANO
y
EL t -¡ACIMIENTODE LA SEMÁNTICA
BOLZANO
y
EL NACIMIENTODE LA SEMÁNTICA
8
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No como consist iendo de partes muy pequeñas, s ino como des
critas por un movimiento continuo. Las lineas son descritas
y
por
lo tanto, generadas , no por laaposición de partes, s ino por elmo
vimiento continuo de los puntos [...] los ángulos por larotación de
loslados; porciones de tiempo por flujos continuos [...] los fluxiones
son, tan cercanos como queramos, como los incrementos de los
fluentes generados en tiempos iguales y tan pequeños como posi
bles, y para hablar exactamente [ s i c . ] , están en laprimera razón de
Sería, en general, injusto con Kant decir que las principales razo
nes que tuvo para pensar que las matemáticas envuelven intuición
pura, fueron las consideraciones semánticas examinadas en el ca
pitulo previo. De hecho, lamayoría de los matemáticos
y
filósofos
de ese tiempo habrian estado de acuerdo en que, dado elestado de
las matemáticas, difícilmente uno podría haber sacado cualquier
otra conclusión. La geometría proveía elmás brillante ejemplo de
la necesidad de apelar a construcciones en laintuición; pero aún el
cálculo, lamás poderosa rama delas matemáticas en elsiglo
XVIII,
parecía conformarse a ese patrón.
En la tradición matemática británica, de la cual Kant parece
haber aprendido lamayor parte delo que sabía sobre elcálculo, los
infinitesimales leibizianos fueron evitados; su papel fue jugado por
tazas decambio, El movimiento -por lo tanto, elespacio y eltiem
po- fueron colocados en elmismo corazón del cálculo. Una varia
ble fue llamada una cantidad fluyente y suvelocidad un fluxión .
Yo considero las cantidades matemáticas , escribió Newton:
a intuición
y
e l c á lc u lo
lativos a la naturaleza del conocimiento matemático. Los proble
mas resueltos por Bolzano, nisi quiera habían sido vistos por Kant.
sus soluciones fueron hechas posibles por, y fueron lafuente de,
un nuevo enfoque acerca del contenido y carácter del conocimien
to
priori I lustraré elpunto enfocándome en uno de los tópicos
matemáticos favoritos de Bolzano: el cálculo.
concepción de lo a p r io r i en la cualla intuición pura no jugara
nin-
gún papel; su estrategia, basar esa teoría en un desarrollo de la
semántica.
Siuna teoría es tan sólida como elproblema
que
resuelve, era
razonable empezar un examen crítico de la filosofía crítica allídon
de
ésta
había empezado con un análisis del carácter del conoci
miento a p r io r i del cual Kant había derivado su dato básico. La
rtracÍición semántica no fue desarrollada por gente con intereses
estrechos en los fundamentos de las matemáticas, sino por aque
llos que sospechaban que elentendimiento de Kant de la aritméti
ca, el cálculo y la geometría estaba basado en malentendidos irre
parables y que esos errores viciaban su representación general de
lo
a p r io r i
Los siguientes capítulos esbozan la historia de la tradi
ción semántica, un movimiento filosófico que, a diferencia del
posit ivismo, tomó en serio lo
a p r io r i
y,a diferencia del idealismo,
eligiómirar aún más de cerca que Kant sus ejemplos paradigmáticos
de lo
P/ i01i
Mientras los idealistas fueron eliminando cada traza de objeti
vidad de la semántica kantiana, en un rincón del imperio austro
húngaro, desconocido a los representantes de la filosofía alemana,
había un sacerdote checo de nombre Bernard Bolzano, compro
metido con el esfuerzo más ambicioso y exitoso en esas fechas,
para sacar a la semántica de laciénaga en el cual había naufragado
desde Descartes. Bolzano fue elprimero en reconocer que la fllo
sofía trascendental y su secuela idealista fueron una reducción al
absurdo de la semántica de la filosofía moderna. Asimismo, fue el
primero en ver que el prolegómeno propio a cualquier metafísica
futura era un estudio no de consideraciones trascendentales, sino
de lo que nosotros decimos
y
de sus leyes
y
que, consecuentemen
te, la
p r im a p h il o J o p h ia
no era la metafísica u la ontología sino la
semántica. El desarrollo de estas ideas en su monumental
W i. r . r e fl . r d l C Ú l e b r e y en una variedad de otros escritos hacen de
B ]Z;l110
l fundador de la tradición semántica.
La filosofía de Bolzano fue de las que tomó y dio vida a la
ciencia. Su aproximación a la
semántica
se desarrollo en un juego
dialéctico. junto con su decisión de resolver ciertos problemas re-
51
OLZ NO
EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC
OLZ NO
y
EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTIC ··
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Al principio pocos matemáticos tomaron en serio las quejas de
Berkeley, reforzando lamáxima pragmatista atribuida a d'Alembert:
Allez en a uant et l a
fo i
v o us s uium Pero hacia el f inal del siglo -por la
época en la que Kant estaba defendiendo la inevitabil idad del
Nada es más fácil que diseñar expresiones o notaciones, para
fluxionese infinitesimales ...Esasexpresionesen verdad sonclaras
y distintas,y lamente no encuentradificultadenconcebirlascomo
continuando más alláde cualquiercota asignable.Pero sir rnov -
mas elveloy miramos debajo,si,dejandode ladolas expresiones,
nos ponemos a considerar atentamentelas cosasmismas supues
tamente expresadas o marcadaspor ellas,descubriremos mucho
vado, oscuridad y confusión; ¡ay ,si no me equivoco,imposibili
dadesdirectasy contradicciones. The Ana y s t, p.
69
Los fantasmas de las cantidades partidas de Leibniz clara
mente tenían tan poco sentido como los incrementos nacientes
de Newton. Berkeley sacó su muy conocida conclusión:
En lugar de cantidades fluyentes y sus fluxiones,ellos consideran
lascantidadesvariablesfinitascomo creciendoo decreciendo por
la
adición
continua o la subducción de cantidades infinitamente
pequeñas.En lugar de lasvelocidadescon las que los incremen
tos songenerados,ellosconsideranlosincrementoso decrementos
mismos [...] los cuales son consideradoscomo infinit m nt pe
queños. p . 67
placer que en Inglaterra, siguiendo a Newton, las funciones
(fluentes) eran cantidades que variaban con el tiempo, y de sus
derivadas (fluxiones) se dice que están tan cercanas como los in
crementos de las cantidades fluyentes, generadas en las últimas
partículas iguales de tiempo; y estar aproximadamente en laprime
ra proporción del naciente, o en el último de los incrementos
evanescentes
The .Analys t ,
p. 66. En cuanto a los matemáticos
extranjeros i e., Leibniz y sus seguidores):
La idea es apelar a un proceso cinemática infinito con un tér
mino final, más bien que a una sucesión infinita con un limite.
Consideraciones teóricas dudosas de este tipo fueron acom
pañadas por argumentos no menos dudosos en defensa de aseve
raciones cuyo único mérito fue que funcionaban. Por ejemplo, las
derivadas fueron calculadas en labase de trucos indefendibles, com
binando operaciones algebraicas (tales como división por un in
cremento) con suposiciones incompatibles con elálgebra (división
por cero). Aún así, el cálculo funcionaba. Éste no fue quebranta
do; ¿por qué repararlo? Aquellos que pensaron las matemáticas no
como un conocimiento, sino como una técnica científicamente útil,
y aquellos que no pensaron del todo acerca de tales cosas, no se
preocuparon mucho acerca de las cuestiones fundamentistas . La
primera queja estridente vino, de hecho, de un filósofo,
Berkeley fue el primero en rebelarse contra el caos en elfun
damento del cálculo. En 1734 publicó un trabajo que se proponía
mostrar que las especulaciones más arriesgadas de los teólogos se
comparaban favorablemente con los más sobrios enunciados de
los matemáticos en los fundamentos del cálculo. Notó con algún
Aquellas razones últimas con las cualeslas cantidades se anulan
no sonverdaderamentelasrazones de lascantidadesúltimas,sino
limiteshacia los cualeslas razones de las cantidades,decreciendo
sin limite, siempre convergen;y a los cualesellos se aproximan
cada vezmás que cualquierdiferenciadada, pero nunca van más
allá,n en efecto lo alcanzan,hasta que lascantidades son dismi
nuidas in infinitum. p .
39
Así, la derivada, limite de una sucesión infinita de razones,
fue concebida como elvalor de la razón en el instante de tiempo
justo antes de que elincremento seanulara (sea lo que fuere lo que
ello quiera decir). Los limites fueron también caracterizados como
dependientes de nociones temporales. Newton. explicó en
Principia:
los incrementos nacientes.rQuadrature cunes [1704],citado por
Kline, Mathemat icaJT bought f rom
.Anaent
lo
Mode rn
Times , p. 363
.
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\
Para detal les sobre la naturaleza de lapropuesta de Lagrange véase
Theorie
desfo l le / io1lsal labt iq f fes.
Para su refutación por Cauchy véase Grabiner,
e OrigÍf l s
Ca f f c l y sR i go ro l ls Ca /m / lI s ,
p 36
2
Para apreciaciones contemporáneas de las contribuciones de Bolzano a es
tos campos consulté, por ejemplo, P.Dugac Des fonctions comme express ions
analytiques aux fonctions représentables analytiquement ; D.M.jonson, Prelude
to Dimensión Theory: Thc Geometrical Investigations of Bernard Bolzano ; R.
Van Rootselaar, Bolzano s Theo ry o f Real
Nurnbers ;
y Detlef Laugwitz,
Bermerkungen zu Rolzanos Gróssenlehrc . El últ imo compara l t rabajo de
Bolzano sobre infinites imales actuales con el propio desarrollo de Laugwitz del
análisis no-estándar de Robinson.
elcual cesan, por así decirlo, de ser cantidades , y larazón de dos
cantidades finitas no ofrece más una idea clara y precisa a lamen
te .cuando los términos de las razones sevuelven cero simultánea-
mente (veáse Grabiner,
T h e O r ig in s
Cat t cqy i R i goro t t s Cak ¡ ¡ / t ts ,
p.
44). Las crít icas de Lagrange a los fundamentos clásicos fueron
decisivas, y su proyecto para eliminar el infinito a través de una
reducción a la teoría de los números (álgebra), más que a través de
procesos constructivos, permaneció como un rasgo central de los
desarrollos tardíos decimonónicos. Pero su trabajo fundacional en
el cálculo, más que explicar, intentaba evitar las nociones básicas
del limite, continuidad, y similares, Se mostró pronto que su pro
puesta de fundamentación era insostenible.
: .. j El siguiente paso importante en este desarrollo fue dado por
Bolzano, El trabajo matemático de Bolzano abarca un asombroso
rango de temas, incluyendo la geometría, la topología, la teoría de
funciones, la teoría del infini to, y aún la noción de infini tesimal
actual. Aquí ilustraremos sólo su impulso filosófico con unas po
cas referencias al papel de Bolzano en el inicio del programa de
investigación que vino a ser conocido como la rigorización del
cálculo.
Es importante hacer una breve pausa para introducir una
materia que nos ocupará ampliamente en capítulos posteriores: el
sentido
propósito de proyectos fundacionalistas o reduccionistas
tales como la reducción de las matemáticas a laari tmética, o de la
a primera contribución importante en este tema fue la Théor i e
de s f onc ti on s ana y t i q tt e s (1797) de Lagrange. (El t itulo completo es
casi un manifiesto: Teoría de las funciones analíticas, alejada de
cualquier consideración de cantidades infinitamente pequeñas o
evanescentes, de limites o de fluxiones, y reducida al análisis
algebraico de cantidades finitas ). Alli explica que sus dos princi
pales propósitos son unificar elcálculo con elálgebra y,sobre todo,
desligar el cálculo de las consideraciones metafísicas que hacen
referencia a infinitesimales y fluxiones. El principal problema con
los fluxiones fueron sus nexos con el concepto ajeno de movi
miento y la oscuridad de lanoción asociada de un limite.
El principal escrúpulo de Lagrange acerca de la noción de
limite, es que, es demasiado vaga y demasiado geométrica; como
usualmente sepresentaba, consideraba cantidades en elestado en
Es bien sabido que las matemáticas superiores usan continuamen
te cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes. Sin
embargo, los geómetra s
aun los analistas antiguos, evitaron cui
dadosamente cualquier cosa que se aproximara al infinito. Yalgu
nos grandes analistas modernos, sostienen que los términos de la
expresión magnitud infinita se contradicen uno al otro. La Aca
demia espera, por lo tanto, que pueda ser explicado cómo es que
tantos teoremas verdaderos han s ido deducidos de una supos i
ción contradictoria,
que pueda delinearse un principio seguro,
claro- en una palabra, verdaderamente matemático -que pueda
apropiadamente sustituir a el infinito . (Grabiner, T b e O r i gi tl J
Cauc / ? y s R i go ro tl s Ca / cub« , pp. 41-42)
carácter espacio-temporal del cálculo -los mejores matemáticos
habían comenzado a preocuparse.
En 1784, tres años después de la publicación de la primera
Cri t i ca
de Kant, la Academia de Berlín, propuso una cuestión en
los fundamentos del cálculo como su problema matemático de
concurso. El problema fue, en efecto, explicar elpapel de lo infini
tamente pequeño y de lo infinitamente grande en el cálculo. El
plan explicado:
OLZANO y EL NACIMIENTO DE LA SEMÁNTICA
BOLZANO y EL NACIMIENTODE LA SEMÁNTICA
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Es ampliamente reconocido que la primera contribución de
cisiva de Bolzano á la rigorización del cálculo, fue su
R ein a n a y t is c h er
Bew e is de s Lehrsat zes (1817). El problema examinado en su artículo
esuno que los kantianos habrían considerado como infantil: ¿cómo
saber que una función continua tomando valores arriba y abajo del
cero debe tomar el valor cero en algún punto intermedio? Lo que
es esencial no es, desde luego, el contenido especifico del teorema,
sino la perspectiva particular desde la cual Bolzano lo consideró.
La cuestión no fue ¿qué argumento debemos dar para convencer
nos a.nosotros mismos de que ésta aseveración es verdadera? Ésta
fu e-más bien ¿qué es exactamente lo que ésta afirmación
d ic e
Como
veremos, lacontribución duradera deBolzano a este problema fue
su intuición de l estructura de la secuencia de prueba requerida;
pero esta intuición fue, a su vez, dependiente de una clara y nueva
representación del contenido del teorema del valor intermedio. Para
alcanzar su concepción especifica de ese contenido, Bolzano pri
mero tuvo que explicar lo que significaban las nociones centrales
en el teorema, especialmente la noción de continuidad.
Bolzano empezó su artículo criticando una variedad de prue
bas clásicas del teorema y por implicación, una variedad de inter
pretaciones de su contenido. Algunas pruebas, explicó, dependen
de una verdad prestada de la geometria, a saber, que cada linea
continua con coordenadaspositivas y negativas debe intersectar el
eje de las
xs.
Pero esta proposición geométrica, es, sobre todo, un
caso particular del teorema bajo consideración y,más importante
aún, necesita deuna prueba en sí misma -una prueba que debe sin
duda derivarse del teorema más generaL Otra forma igualmente
. objetable de prueba introduce la noción de continuidad en térmi
nos de las nociones de tiempo y movimiento. Las últimas, sin em
bargo, son tan extrañas a las matemáticas generales como el con
cepto de espacio . Una prueba correcta debe empezar por dar una
definición propia de las nociones envueltas en el teorema y debe
probar la aseveración analiticamente , esto es, evitando la intui
ción y apelando solo a principios básicos relativos a los números
y
a las funciones.
VF\ .
aritmética a la lógica. Es ampliamente aceptado que el principio
que inspira tales esfuerzos reconstructivos es epistemológico, que
se trata básicamente una búsqueda de certeza. Éste es un serio
error. Es verdad, desde luego, que la mayoría de quienes estaban
comprometidos en esos proyectos creían en la posibilidad de al
canzar algo en lavecindad de una certeza cartesiana para aquellos
principios de lalógica o de la ~itmética en los cuales un conocí-
. miento
a Pr io r i
tenia que estar basado. Pero seria un grave error, ver
. ( l~~ 1\>-
~ ~ [en esta creencia, elobjetivo básico de laempresa. Un propósito no
r r; \ menos importante fue la clarif icación de lo que se decía.
I~ ck;J . l_
(~ ,J .VV\..
L 1 b ,. d alm .
hi
\ a pa a ra rlgor, usa a norrn ente por matemat1cos e 11S-
toriadores para describir el propósito y el log.ro de los mayores
proyectos fundacionistas del siglo XIX,es ambigua; es a lavez una
noción semántica y epistemológica. La búsqueda de rigor podría
ser,y frecuentemente fue, una búsqueda de certeza, de un
Grund
inamovible. Pero fue también labúsqueda de una clara explicación
de las nociones básicas de una disciplina (una reducción ideológi
ca? ; véase capítulo 11). La gente ignorante puede pensar que es .
infantil el preocuparse acerca de la diferencia entre para cada
épsilon, hay una delta que funciona para cada x y para cualquier
épsilon y para toda x, hay una delta ... , ya que cualquiera puede
verla. A dicha gente se le aconsejaria bien estudiar la historia del
cálculo y considerar las dificultades que emergieron de una falla en
distinguir entre convergeneia y convergencia uniforme. Los criti
cas modernos de los proyectos fundacionistas han estado ciegos a
sus dimensiones clasificatorias, algunas veces confundiendo una
búsqueda por el signif icado con una búsqueda por las esencias
( esencialismo ). La perspectiva epistemológi.ca en proyectos
t
r-l.J::~ -\:-\, . \ fundacionistas hace especialmente difícil elreconocimiento de sus
r-
\ t { . .
alcances básicos, ya que en pocos casos, si es que en alguno ocu-
rrió, hubo una reducción actual alcanzada o lograda que los
P ~ ; : :
¡ ; l x \ ~
reduccionistas consideraran como una base completamente s~tis
factoria de certeza. En lamayoría de los casos, sin embargo, h~bo
un claro avance en la dirección de reducir lo más oscuro a lo más
lclaro. El trabajo de Bolzano esun buen ejemplo de esto.
57
OLZ NOy EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC
BOLZ NOy EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC
6
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)
~
4
Con la posible excepción de Cauchy todos los otros en esta lista fueron
directamente inspirados por el trabajo
tic Bolzano, Grattan-Guinness
ha argüido
(irnplausiblcmcnte)
yue
Cauchy
robe,las
ideas
deBolzanoen su
Bolzano,
Cauchy
and the Ncw .vnalysis of rhc E:ulyNinetecnth Century . Pero véasetambién la
respuestade Frcudcnthal cn Did Cauchy plagiarizeBolzano? y el análisisde
Grabiner en Tb e Orighls of CaIlC ~ I:rRig ll ro f ls Ca/ml s, especialmente
capítulo 3.
Desde muy pronto seatrevió a contradecirlo [aKant] directamen-
te en su teoría del tiempo y del espacio, pues no comprendía o
aceptaba que nuestros juicios sintéticos
a p r i or i
deben ser media
dos por laintuición y,en particular, élno creía que laintuición del
l
iempo estuviera en el fundamento de los juicios sintét icos de la
aritmética, o que en los teoremas de la geometría fuese permitido
descansar tanto en la mera apariencia visual, como en el esti lo
euclidiano. Fue por lomenos reluctante a aceptar esto, yaque muy
pronto encontró un modo de derivar de los conceptos muchas
verdades geométricas que fueron conocidas antes solamente con
base en la mera apariencia visual. ( Zur Lebensbeschreibung ,
. Gesa1J1tausgabe,
ser, 2 , vol . 12, pt. 1, p. 68)
que podría tener que ver con la geometría o con consideraciones
espacio-temporales . Todas las nociones dinámicas del cálculo
(continuidad, limite , etcéte ra) han sÍdo transformadas en estát icas.
La noción de que una función se aproxima a un valor se había
vuelto una metáfora engañosa, la cual realmente dice algo acerca
de ciertas des igualdades ari tméticas que no tienen ninguna conexión
con el tiempo. Como un resultado de la prueba de Bolzano, las
nociones centrales del cálculo tuvieron que ser a su modo arit-
metizadas . La ari tmetización -o r igor ización - del cálculo ser ía
completada en años posteriores por Cauchy, \ \7eierstrass , Cantor,
Dedekind.
Bolzano vió un claro proyecto filosófico detrás de éste. En un
esbozo de una autobiografía, alguna vez escribió (hablando de si
mismo en tercera persona):
3
Picrrc Dugac uno de loshistoriadoresmásimportantes de lahistoriade las
matemáticas de principiosdel siglo
XIX,
hajuzgado que entre los matemáticos
de principiosdelsigloXIX,Bolzanofueprobablemente lqueplanteó lascuestio
nes más profundas enlos fundamentos delanálisis ( Fondements de l analysc
p . 339). En otra parte refiriéndose específicamentea la Rc in analytischer Bcweis
dcs Lehrsatzes de Bolzano, Dugacdijoque laprueba deBolzano del teorema del
valorintermedio
muestra que él f ue el primero en tener
el
mérito inmenso de
entender la sucesión lógicade-teoremasque guíanal resultadobuscado, incluyen
do
l
teoremade la cota superior deun conjunto de números,el criteriode
Ct11fCfry
~el cual
Bolzano
establece en su memoria anticipando a Cauchy;la prueba de
Bolzano dela suficiencia de estacondición-una prueba incompleta, claro está
dauna idea,aunque seavagamente, delanecesidadde construir el conjunto de
losnúmeros reales( Des fonctions comme expressions analytiques aux fonctions
representables
analytiquement , p.
16),
Ésta es, en efecto, la primera presentación clara de la definí
ción épsilon --delta de la con tinuidad. Bolzano enton ces es tableció el .
(así l lamado) cri terio de a u c ¿ y para la convergencia, probando la
neces idad de ese cri terio argumentando su suficiencia con un pro.,
cedirniento obstaculizado por la falt a de una definición de número
real
la
cual emergería años más tarde). Probó entonces que un
conjunto acotado de números reales tiene una mínima cota supe
rior
de esto finalmente derivó
el
teorema del valor intermedio.
Desde el punto de vista filosófico, dejando de lado su signifi
cación especí ficamente matemát ica , e l rasgo más interesante de la
prueba de Bolzano es la cuidadosa eliminación de cualquier cosa
[la expresión
q u e u n a f U l lc ió tt f x v ar ía d e a c uer do a la /ry d e c o nt i nu i d a d
p a ra t od os l os v a/ or es d e x d en tr o o ji /e ra d e c ie rt os l ím it es
significa sólo
esto:
Ji x
N
a l g u no d e t a le s v a lo r es , l a . d if er c n ii a f - C + ¡ ¡ ;l . C p u e d e ser h ec ha
m ás p eq u e/ fa q u e C t la l ql lier c a n ti da d d a d a
C OI1
t al d e q u e
¡¡
p u e da ser t o m ad a
t a n p e q ueí ia c om o q u er a mo s] p p .
427-428)
La primera tarea, por lo tanto, fue purificar la noción de con
t inuidad de cualquier carácter dinámico espacio-temporal y vol
ver lo una noción ari tmética, analí tica . si se nos .dice que:
9
OLZ NO
y
EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTICOLZ NO
y
EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTIC
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. \ Bolzano estuvo de acuerdo con los maestros deKant, en que todo
L conocimiento consiste en representaciones; y también estuvo de
( :}. acuerdo con Kant en que las representaciones son en última ins
j tancia reducibles a conceptos o intuiciones. Pero el caos que uno
encuentra en la l iteratura tanto antes como después de Kant res
pecto de
la
naturaleza de esas representaciones, es sustituido en
Bolzano por un enunciado claro, cuidadoso de lo que ellas son.
Para comenzar, hay las ambigüedades ocasionales de Kant
acerca de el~mentos subjetivos e intersubjetivos en la representa
ción, que son eliminadas por completo. Bolzano empezó por dis
t inguir dos sentidos de la palabra representación . En primer lu
gar, hay las únicas representaciones que los psicólogos (y los
idealistas) consideran, los estados mentales o determinaciones del
lma, como Kant las había llamado - tales como mi estado mental
cuando percibo un objeto físico. Ésas son llamadas representa
ciones subjetivas o representaciones en nosotros (Bolzano,
Gesamtatlsgabe,
ser. 2B,vol, 18, pt. 2,p. 64).En segundo lugar, hay el
mucho más importante contenido intersubjetiva de la representa
ción psicológica o, como Bolzano lo llamó, la representación en
sí misma o representación objetiva .
La clave de lo que las representaciones objetivas son, emerge
del hecho de que cada unidad gramatical significativa está asociada
con un gran número de representaciones subjetivas, pero con solo
un a
representación-objetiva, la cual posee ser, aún cuando el objeto
Lde la representación no 10 tenga. Por ejemplo, las representacio
nes subjetivas que ocurren en las mentes de mis lectores cuando
~ov :J L ::: . ~ \ t > . . . : 6 -- .
M¡Ao,--:~ ~·J L
I\l-~M: ~~ ~
0-,
I t \ . , ~ . t c . . : ~ -
a r aiz d el p ro blem a
Re in anajy tis cherB ene is desLehr sa tzes de Bolzano fue sólo una
de una variedad de contribuciones a este proyecto de excluir a
la
intuición de las matemáticas. Yaque Kant había argüido que todo
conocimiento sintético requiere de laintuición, elproyecto mate
mático de Bolzano plantea un reto implíci to al principio de los
juicios sintéticos y,por lo tanto, alcorazón dela semántica kantiana.
Bolzano decidió hacer ese reto completamente explícito.
5
En la ocasiónBolzano parecíaestarinspiradopor unapersistenciade obje
tivo:él fue
el
primero en descubriruna función continua queno es diferenciable
en ningunaparte (Weierstrassfue
el
primero en
pllb/ icar
un ejemplodé ,ste tipo),
Ésta pretende haber descubierto una diferenciadistinta
y
caracte
rísticaentre losdos tiposde conocimientohumano apr ior i ; elfilo
sófico
y
elmatemático,a saber,que el
canoamien to
ma t emá t ic o d eb e s e r
capaz de representar i e., c o ns tr ui r - adecuadamente todos sus
conceptos en una in tu ic iónpura , y por lo tanto demos trar todos sus
teoremas.El conoc imien to i losó ji t o , por otro lado,faltándoletoda in
tuición,debe ser satisfechoconmeros conceptosdiscursivos. La esen
cia delasmatemáticaspor lo tanto seriamás propiamente expre
sada a través de la siguienteexplicación:es u n a c ie n ci a d e r azó n p o r
me dio de l a c on st r uc t iá nd e con cep tos.. Conrespecto a
m
francamente
reconozco quehastaahora-como dehecho con tantasotras doc
trinasde la
filosofía
crítica- he sidoincapaz de aceptar la correc
ción de lasasercioneskantianasrespecto a
l a i n tu i ci ó n pu r a
y de la
cons t rucc iónde concep tosa través de ella .
Tambiéncreoque seguramen
te yace
alli
una contradiccióninterna en el c on ce p t od e una i n tu ici ón
pura (i. e. a p r ion ) ; y aún menos me puedo convencer de que es
necesario construir el concepto de número en el tiempo
y
que
consecuentemente laintuicióndel tiempo esunaparte esencialde
la aritmética. (pp.
106-107)
No hay, enverdad, ningún tema a lo largo del trabajo matemá
tico y filosófico de Bolzano más consistente que el compromiso
de sacar a la intuición pura del conocimiento apriori . En elcampo
de las matemáticas, esto tomó la forma de excluir persistentemente
ideas espaciotemporales de temas distintos de la geometría y cues
t ionar en todo momento elvalor de cualquier tipo de intuición en
matemáticas.
5
Ya en
Br y tr age z u
ei ner
begriindeterenDarste ¿lIng
de r
Mathemat ik
(1810), Bolzano había planteado
la
cuestión de la natu
raleza de lasmatemáticas y su relación con la filosofía. La filosofía
critica, explicó, ofrece una respuesta:
(
61
oLZANO Y EL { lACIMIENTODE LA SEMÁNTICA
BOLZANOy EL NACIMIENTODE LA SEMÁNTICA
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)
,
J
: . < :
_J
,J
sentación. Aunque ambos son objetivos, sólo uno de ellos esreal y
sólo uno de ellos es eltema del discurso cuando lapalabra 'mesa'
es usada. En consecuencia un debe distinguir tres elementos
semánticamente relevantes asociados con una unidad gramatical:
@ la representación objetiva o el significado,@ el objeto de la re
presentación
i.e.,
laentidad referida por un nombre propio, sihu
biera alguna), y@el proceso psicológico que toma lugar cuando
percibimos o pensamos acerca del objeto de la representación
Thcory Science ,p. 62). Esas distinciones habían sido reconocidas
deun modo u otro por lamayoría de los principales filósofos ante
rieres a Bolzano. Lo que hace su contribución en esta materia tan
notable es que, élfue el primero en reconocer completamente las
enormes implicaciones destructivas de un reconocimiento aunque
seavago de esas distinciones. Como élalguna.vez lo puso, el pseudo
protón de la nueva filosofía idealista es que el concepto en sí
mismo no es claramente entendido, y es confundido algunas veces
=o~el pensamiento y algunas veces con la cosa que es su objeto
( TJber del'Begriff des Schónen [1843),p. 6).
Una de las más importantes consecuencias que Bolzano sacó
de esas distinciones, fue una reformulación radical de un principio
semántico implícito que había gozado de amplia aceptación desde
los días de Leibniz, la doctrina de que una análisis apropiado de
una representación subjetiva, debería, identificar en ésta tantas partes
como las que hay en elobjeto representado, Leibniz había sosteni
do, por ejemplo, que larepresentación
idée
de verde es indistinta,
porque aunque 110S parezca ser tan simple, es, de hecho, compleja:
la física establece que el verde emerge de la combinación del azul
y elamarillo, Así uno tiene razón alpensar que laidea de verde está
compuesta de esas otras dos ideas.. .por lo tanto, que hay percep
ciones de las cuales no somos conscientes
No i tv e a ux e s sq y s ,
p. 100).
Kant quedó tan impresionado con la idea de Leibniz, que usó el
mismo ejemplo en sus lecturas de lógica para explicar cómo las
representaciones pueden ser claras pero indistintas, y cómo la dis
tinción puede lograrse con la identificación de los constituyentes
l lYienerLogik,
p. 841). en una de sus reflexiones, Kant notó que
una representación debe ser isomórfica a lo que representa: [ la
(,Claramente, también Bolzano está delimitando aquí
el
problema más arduo
de la tradición a lacual él pertenece: el sentido en
el
cual
el
tema de la semántica
t iene alguna sustancia. Pronto 'veremos este problema crecer (capítulo 4, 5 Y6)Y
guiar finalmente a la peculiar actitud vienesa hacia laontología.
Ellas no deben estar eneldominiodelo ~l ..
Una
representación
objetiva no requiere un sujetopero subsiste,no en verdad como
algo
exis tente ,
sino como cierto
algo
aunque
ningún
ser pensante
pueda tenerla; además, no se multiplicacuando es pensada por
una, dos, es o más seres... Por esta razón, cualquierpalabra, ex
cepto que seaambigua,designasólouna representación objetiva.
p . 2
t>wo\_
. r J . . - ( ( . . ( ;
~ u. '- - . Las representaciones objetivas son la sustancia
triflj
o conte-
nido de las representaciones subjetivas. Su ser de ninguna manera
depende de la existencia de actos subjetivos, de la misma manera
quC'la ~iglli~catividad de expresiones de ninguna manera depende
de tIlle algu1en tenga los significados apropiados en la mente;
y
~ ll1
en
el
caso de los significados, hay sólo una para cada unidad
,lingüís,tica,exc~pt~ que la expresión dada sea ambigua. Las
=r=:
rsen.~~cl~~es ~bJ~~vas de Bolzano son clal'an:-e~te los significa-
dos o sentidos de sus sucesores en la tradición semántica.s La]
distinción e?,tre l'epl'esen.tac~ones subjetivas y objetivas equivale a
una separaclon entre el s1gnificado y los pl'Ocesos psicológicos.
~olzano además distingue entre una representación objetiva y
el objeto de esa representación. Por ejemplo, la representación '
objetiva ~sociada con la.palabra 'mesa'
C í. C
el significado de 'mesa')
no deberla ser confundido con las mesas, los objetos de esa repre-
ellos ven lapalabra 'nada; deberían ser casiiguales unas a las otras,
pero ellas son, sin embargo, muchas. Por otro lado, hay sólo una
representación objetiva designada por esta palabra (Bolzano,
Tbeo ry
Sc ience ,
p . 62).
. Mien~as la~/resenta~iones subjet ivas son reales, esto es,
tienen eX1stenc1a\~._:: lln el t iempo cuando están presentes en un
sujeto p. 61), las~sentaciones objetivas no lo son.
OLZ NO·
EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTIC
BOLZ NO
EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTIC
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El análisis semántico puede remediar esta dificultad por hacer
que las representaciones objetivas y las subjetivas correspondan
unas con otras. La doctr ina de Bolzanoreorienta el análisis con
ceptual sobre un camino que eventualmente guiará a la
Begriff tschrif t
de Frege.
Finalmente, aunque elmás obvio propósito de las representa
ciones objetivas es representar sus objetos, Bolzano pensó que su
l
tarea más importante era reunir en proposiciones elcontenido sub-
J
jetivo y los juicios subjetivos. De nuevo, uno debe observar aquí
la
.distinción entre los dominios objetivo y subjetivo. Las proposicio-
nes subjetivas -los juicios de los tratados de lógica clásica- son
estados mentales constituidos por representaciones mentales. Su
contenido, las proposiciones en símismas (como Bolzano las lla
mó), tienen representaciones objetivas como sus constituyentes.
Me parece indiscutible, escribió, que todas las proposiciones,
aún las más simples, están compuestas de ciertas partes,
y
asirnis
mo parece claro que esas partes no solamente ocurren en la ex
presión verbal como sujeto y predicado .. . sino que ellas están
contenidas en la proposición misma
T he ory o f S cie nc e,
p. 65).
Los constituyentes de la proposición objet iva expresada por el
enunciado S son, de hecho, las representaciones objetivas asocia
das con las unidades gramaticales de S.Más aún, una proposición
Pensamos una determinada representación en símisma, i.e tene
mos una representación mental correspondiente, sólo s i pensa
mos todas las partes de las cuales consiste,
i.e.
si tenemos también
representaciones mentales de esas par tes. Pero no es necesario
que seamos siempre claramente conscientes de,
y
capaces de diso
ciar, lo que pensamos. Así , puede ocurr ir que pensemos una re
presentación compleja en sí misma,
y
seamos conscientes de que
la pensamos, s in ser conscientes del pensamiento de sus par tes
individuales o ser capaces de indicarlas. Theory S c im ce , p. 69)
yes porque este isomorfismo es, en su mayor parte, tácito o in
r
que el análisis semántico es esencial:
La misma confusióninspiró un famosoargumentoen la r í t i t l deKant a l
efecto de que elespacionopuede ser un conceptoporque el espacio es infinita
mente divisibley ningúnconcepto como talpuede serpensadocomo contenien
do un número infinito de representacionesdentro de símismo
B 4 0 \
B l
o zano
identificó estaclarainstanciade la falaciacuandonotó queKant estabasuponien-
do que ya que el espaciomismo consiste·deuna
infinidad
de partes, el concepto
de espacio debe tambiénconsistirde unainfinidaddepartes Theory S c i enc e ,p.
84).Un ejemplomuchomás importante esla fallaen distinguirentre la constitu
ción de representaciones y la de los objetosque ellasrepresentan.La resistencia
asombrosa de esta confusiónseráuno de los temasdominantes de la Parte Il.
Bolzano pensó que había un importante núcleo de verdad en
todo esto, pero que el objetivo perseguido fue entorpecido por el
p~e~do protón idealista, la confusión entre la
represent ión
objetiva y su objeto. Kant estaba suponiendo que las partes de
una representación son las mismas que las representaciones de las
partes de su objeto (Bolzano, W L, seco63). Esto es claramente
falso ya que, por .ejemplo, la representación de un simple objeto
pu~de ser compleJ,a.(como_en
el
cen tro
d e m a s a d e l s i st em a s o la r - 1
Hay
\ ~n isomorfismo tacito en la representación, Bolzano pensó, pero
lste se da entre larepresentación mental y su contraparte objetiva.
La representación está compuesta de sus conceptos componentes
del mismo modo en el cual la cosa representada está compues ta
de sus partes. Así como, por ejemplo, uno puede dec ir que las
notas de una pieza musical son una representación de la conexión
armónica de los tonos, no porque cada nota sea similar a cada
tono, sino porque las notas están conectadas unas con otras exac
tamente como los tonos mismos.
p.
78)
representación] es esa determinación del espíritu B es ti m m tt n g d e r
Seele que se refiere a otras cosas. Lo que yollamo referir (Beziehen)
ocurre cuando sus rasgos se conforman a aquellos de las cosas
externas ( Die Vernunftlehre , Reflexionen 1676,
Kan t s G e s am m el te .
Schr i f t en ,
vol. 16, pp. 76-77). Pero, agrega, una representación no
está en relación con lo que representa como lapintura a su tema.
(
OLZ NOy EL N~CIMIENTODE L SEMÁNTIC
BOLZ NO
y
EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC
4
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Notemos de paso que laprueba deKle in de la independencia del postulado
de las paral elas en 1871 esmejor entendida a la luz del nuevo punto de v ista de
Bolzano, Sea P el postulado de las paralelas y E la conjunción de los restantes
axiomas euclidianos; entonces lo que Klein mostró esque E P no es necesario,
Hay dos modos básicos de construir lanecesidad lógica y los
atributos modales de las proposiciones relacionadas. De acuerdo
al primero, el que podríamos llamar el modo Leibiniziano, para
determinar siuna proposición p eslógicamente verdadera, fijamos
p y cambiamos el mundo, observando lo que le pasa al valor de
verdad de p. Para ver si 1)es lógicamente verdadero, por ejemplo,
examinamos diferentes mundos posibles para ver si éste hombre
carece deplumas en todos ellos. Encontrando que no, concluimos
que 1) no es lógicamente verdadero. .
De acuerdo alsegundo procedimiento, cuando queremos del
terminar sip es una verdad lógica, no cambiamos el mundo; cam-
biamos p en su lugar y miramos si los valores de verdad de las~
proposiciones resultantes-evaluadas en este mundo nuestro fijo- > r i ~
cambian también. En lugar de prever nuevas circunstancias, preve-
mos, en efecto, nuevas afirmaciones acerca de las circunstancias
dadas. Esta idea, vagamente relacionada a la introducción por
Aristóteles de lavariable en las consideraciones lógicas.fue prime=._t
amente desarrollada en los escritos de Bolzano.
de la confusión, digna sólo de ser eliminada de nuest ro pensa
miento. La mayoría de los f ilósofos han tomado la primera pos i
ción; el~arácter ridículo de las teorías de lamodalidad y lo
a r i o r i
que ellos .ofrecen pueden haber s ido combustible poderoso que
movió a muchos filósofos sanos a considerar el segundo. Bolzano
fue uno de los más prominentes proponentes decimonónicos del
punto de vis ta posi tivista , de que elsentimiento modal es enga
ñoso y debería ser eliminado. Y sin embargo, nadie en elsiglo XIX
seaproximó más que éla una apreciación de los hechos que guia
rían, alrededor de 1930, a una nueva
doctrin
de lanecesidad y de
los
a p riori
Para ver esto, debemos primero examinar la contribu
ción de Bolzano alproblema de la analiticidad,
son verdaderos, parecen diferir en un rasgo modal elusivo. Como
algunos lo dir ían, 1) es meramente verdadera, mientras que 2)
d eb e ser verdadera. Alternativamente, 1)es conocida solamente a
través de la observación, mientras que 2) es conocida
a p riori
Antes de padecer tratamiento f ilosóf ico, la mayoría de la gente
acordaría en que un sentimiento modal está asociado con 2) pero
nocon 1)y esto parece estar relacionado con la diferencia entre
los modos de acceso a laverdad de esos enunciados. Uno de los
problemas filosóficos perennes es si el sentimiento modal asocia
do con 2)es un indicador seguro de algún rasgo importante dela
afirmación correspondiente o si éste es nada más que elproducto
2 ) si todos los hombres son mortales y todos los griegos son
hombres, entonces todos los griegos son mortales
y
1) este hombre esun bípedo implume
Pocas materias dividen a los filósofos de manera más reveladora
que su actitud hacia el puente entre
que es y lo que debe ser,
entre elhecho y lamodalidad. La materia básica podría ser ilustra
da como sigue: aunque ambos
Modalidad, analiticidad y lo pr or
no esacerca de sus constituyentes sino acerca delos objetos de sus
representaciones constituyentes véase
In
secciones 48-52).
El esbozo precedente provee una ilustración del sentido en el
cual Bolzano es responsable del tipo de semántica teórico-pictóri
ca que se desarrollaría décadas más tarde en los escritos de Frege,
Russell y \X7ittgenstein. La semántica filosófica no fue inventada
por s misma, sin embargo, sino en razón de la epistemología. Fue
inventada de tal manera que el carácter del conocimiento, en parti
cular del conocimiento
a
pr or pudiera ser mejor entendido. Vea
mos cómo Bolzano lapreparó para ese uso.
OLZ NO
y
EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTICBOLZ NO
y
EL N CIMIENTO DE L SEMÁNTIC
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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9 Nuestra a d m i s i b i li d a d g r a m a t i c a l interpreta la Gegells tih¡dlichkeit . Una proposi
c ión c uyo t érmi no s ingula r e s e l hombre x pe rmanec erá
gegmstiilldlich
cuando
su bstituimo s no mbres de ho mbr es po r x , pero perder á su GegC1/s tiil ldlichkeit si
e sc ri bi mos, por e je mplo, e l hombre 7 . El reque ri mi ento parec e s er i ns pi ra do por
a lgunas de l as mis ma s c onsi de ra ci ones que más t arde gui aron a R us se ll a s u t eorí a
d e t ip os y a W it tg en st ei n a s u d o ct ri na d e l a f o rm a d e s us o bj eto s.
10 Lo analitico de Bolzano
í
e st á c erra do c on res pe ct o a s us c o n s e c n e n a a s l ó g i -
c a s : este triángulo tiene ángulos que suman 180° esanalítico-ya que laadmisibilidad
gramatical Gegel/s fii l ldlichkeit) exige que este siempre esté por la representación
de un t ri ángulo, pero t odos l os t ri áng¡a~os t ie ne n á ngul os que s uman-180° no e s:
analítico véase
T h e o r y
oj
S c i e ¡ . . c c
I?P.195-202; véase también sección 59). Un siglo
d esp ué s d e q ue Bo lz an o d ef in ió allgell1cillgiilt ig ,s in e mb ar go , Gó de l :p ro bó u n
~
los constituyentes que deben ser considerados como variables.Qué
proposiciones seránasociadascon.aquellabajo consideraci.ón(corno
sus compañeros Bolzano ) depende enteramente de cuáles de
sus constituyentes sean considerados variables. sí Bolzano in-
\
trodujo la.no.ción de
v a l id e z g e ne r a l A I ¡ g e .m e i J l g ül t ig k e i t; :
una proposi-
{ } ción P es generalmente válida relativa al conjunto Xl..... xn.cuando
. están todos sus constituyentes; lasacotacionesde Bolzan9.(todas las
proposiciones obtenidas por reemplazar Xl.....xnPor representacio
nes arbitrariaspero gramaticalmente admisibles)? son verdaderas.
Bolzano consideró brevemente la posibilidad de dejar sola-
mente los constituyentes lógicos fijos,pero observó que el domi-
[
niOcompleto de conceptos pertenecien tes a lalógica no está a tal
punto circunscrito que ninguna controversia pudiera luego resul
tar (pp.
198-199)
y, por lo tanto, dejó el asunto de lado. En
la
medida en que la distinción pudiera ser trazada, propuso llamar
l ó g i ca m e n t e a n a l ít i ca s
a todas aquellasproposiciones que son univer-
salmente válidas relativas a todos sus conceptos no lógicos. Reser
el término analitico para la mucho menos prometedora no-
ción de proposición que es universalmente válida relativa a algu
nos u otros constituyentes (pp.
197-198).
Mientras que la noción de analiticidad de Bolzano no parece
capturar un concepto interesante, difícilmente podría decirse lo
mismo de suvalidez general.10 Mucho más importante que separar
en
el
sentido deBolzano. Pero ciertamente no mostró que en elsentido deLeibiniz)
h ay u n m un do c on ce bi bl e e n e l c ua l E
P s ea f al sa . C om o v er em os , F re ge - y
muc hos otros - no podía e nc ontrarle s enti do a l a a fi rmac ión de K le in, yargume n
tó que uno p o d í a proba r l a i ndepende nc ia del pos tula do de l ~s paral el as . Él
estaba probablemente pensando en términos del enfoque Leibinziano, no habien
do c apta do l a fue rz a de l a i ntuic ión de B ol za no,
Mientras el tratamiento de la modalidad en relación con los
mundos posibles no parece dejar lugar para la elecciónhumana, el
enfoque deBolzano es claramente relativo a una especificación de
Frecuentementetomamosciertasrepresentacionesenunapropo
sicióndada comovariablesy s~ ser claramenteconscientesde
ello,reemplazamosesaspartesvariablespor ciertasotras repre
sentacionesy observamoslosvaloresdeverdadque esas
ProP07
sicionestoman...Dadauna p~oposición,podríamosmeramente
inquirirsi esverdaderao falsa.Peroalgunasmuynotablespro
piedadesde lasproposicionespuedenserdescubiertassi,además,
consideramoslosvaloresde verdadde todasaquellasproposicio
nesquepuedensergeneradasapartirde ella,sitomamosalgunos
desus representaciories constituyentescomovariablesylos reem
plazamospor cualesquieraotras representaciones.p
194)
\ Russell alguna vez sostuvo que no tiene sentido decir de una
proposición verdadera que podría haber sido falsa
P r i n c i p I e s ,
p. 12).
Quizás incapaz de encontrar sentido en el discurso sobre mundos
diferentes, fue también incapaz de encontrarlo en laidea de dife
rentes valores de verdad para
esta
proposición. Habría estado de
acuerdo con eljuicio deBolzano deque cadaproposición dada es
verdadera o falsa y nunca cambia; o esverdadera para siempre, o
falsa para siempre, excepto que cambiemos alguna p a r t e de ella y
por lo tanto no consideremos más lamisma proposición sino al
guna otra
T h e o r y
S c i e n c e , p. 194).
De acuerdo con Bolzano, este cambio tácito de la proposi
ción es, dehecho, lo que estáimplicado enla mayoría delas aseve
raciones modales:
9
OLZANO E L NAqlMIENTO DE LA SEMÁNTICA
BOLZANO EL NACIMIENTO DE LA SEMÁNTICA
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. ~
J ,
J
1
1\
No todo lo que puede ser predicado deun objeto, aún con nece
sidad,estáya en elconceptode eseobjeto.Por ejemplo,uno pue
de predicar de cada triangulorectilíneoque la suma de susángu
los
180...sin embargo,ninguno creeráqueesaspropiedades del
La intuición de Bolzano guió a un mejor entendimiento de la
noción de analiticidad; pero, lo que es más importante, guió tam
bién a la siguiente cuestión:
Si los recursos conceptuales que deben ser movilizados para
justificar los juicios analíticos son sólo un fragmento modesto de
aquellos disponibles para nosotros, ¿qué trabajo realizan los con
ceptos restantes? ¡Seguramente ellos deben hacer algún trabajo
Parece absurdo suponer que elmodesto resguardo de conceptos
que pertenecen a lalógica justifique algunas aseveraciones (lasana
líticas), pero que todos los restantes conceptos no tengan talentos
comparables. Sila conjunción y la implicación bastan para estable
cer la verdad de 'si esto es A y B, entonces es entonces los
conceptos de color, por ejemplo, deberían ser capaces de contri
buir a lajustificación de algunas otras afirmaciones. ¿Cuáles? Cual
quiera que sea larespuesta, podemos ver que las cuidadosas inves
tigaciones semánticas de Bolzano muestran que laposición de Kant
en esta materia esun punto medio prácticamente insostenible; pues
Kant insistió en la capacidad de los conceptos para establecer la
validez de ciertas afirmaciones, pero almismo tiempo no fue cons
ciente del vasto continente restante de recursos conceptuales. Las'
confusiones semánticas de Kant le impidieron advertir la fuerza
fundadora de los conceptos descriptivos. Lo que a su vez lo guió a
postular la intuición pura. Cuando las confusiones fueron expues
tas, se abrió otra vez la cuestión de siel conocimiento geométrico
y aritmético requieren algo más que
el
dominio de los conceptos
para su justificación.
Consideraciones como éstas.jugaron un papel en las visiones
posteriores de Bolzano sobre la naturaleza de los juicios sintéticos
priori Como hemos visto, él pronto concedió la existencia de
tales juicios (en el sentido nominal de sintéticos):
teoremaal efecto de quetodaslas fórmulas generalmenteválidas deun lengua
je de primer orden son demostrables en un sistema axiomáticoapropiado, tal
como eldiseñadopor Frege.Gódel no explicóloque élentendíapor a l g e l n e i l l g i i l t i g
(Tarskilo hizo,unos pocos años después, como veremos);pero él podría haber
usado la caracterizaciónde Bolzanorelativizadaa las nociones lógicasde sulen
guaje de primer orden.
Seria dificil exagerar laimportancia de esta intuición o lamag
nitud en la cual ésta socava las bases de la filosofía de Kant; para
Bolzano el decir, en efecto, que la pretensión de Kant de que las
verdades basadas únicamente en el conocimiento conceptual de
ben ser analít icas es casi lo opuesto de laverdad, ya que el rasgo
básico del conocimiento analítico, en
el
sentido nominal de Kant,
es que éste p s p o r l to lamayoría de los conceptos o representa
ciones. El punto de Bolzano es precisamente
el
indicado al final
del capítulo
1
Que él fuera el primero en hacerlo
y
el único en
verlo claramente durante uri buen número de décadas) fue una
consecuencia del hecho de que él fue
el
primero en distinguir me
ticulosamente entre el contenido de una representación concep
tual
y
sus decoraciones psicológicas.
Generalmente, me parece que ninguna
esas explicaciones
enfatizalo ¿uficientementeloque hace a esasproposiciones [ana
líticas]importantes. Yocreo que esta importancia radicaen elhe- ]
cho de quesu verdado falsedadno depende de la~representaci~-.
nes individualesde las cualesestá compuesta ... Esta es la razon
por la que doyla definición de arriba. p 201)
aquellas de sus nociones destinadas a tener un brillante futuro, sin:
embargo, esreconocer laintuición básica que subyace alenfoque de
Bolzano en materia de analitiddad. Esta intuición emerge más clara
mente cuando, después de ofrecer sus propias propuestas, Bolzano
(como es usual) torna a examinar las mayores alternativas disponi
bles en la literatura filosófica. Después de un detallado examen de
las debilidades de la noción kantiana de analiticidad concluye:
71
OLZ NO
EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC
OLZ NO
EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC
0
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
http://slidepdf.com/reader/full/coffa-j-alberto-la-tradicion-semantica-de-kant-a-carnap-vol-1 37/328
(3) todos los hombres son bípedos implumes
Aquellos deseosos de hacer sentido de la diferencia modal entre
1 y 2 dirán típicamente que la verdad de 1 consi st e en c ierta
correspondencia con los hechos ypuede ser determinada por ape
lac ión a esa correspondencia, pero estarán dispuestos a conceder
. sólo que la verdad de 2 puede consistir en esa correspondencia.
Ser ía una confusión apelar a esa correspondencia para jus tificar
2
- tan confuso como intentar determinar empíricamente si todos
los solteros son no casados. Fácilmente el modalista concederá
que la verdad de
L as b as es d e la v erd ad ló gic a
Esto dice, en efecto, que no solamente el contenido sino tam
bién la justificación de los juicios sintét icos a P r i or i es puramente
conceptual.
Esto no fue más que un chispazo de intuición, sin embargo, y
no estaba destinado a jugar un papel mayor en
el
sistema de Bolzano.
La explicación oficial de Bolzano de cómo un conocimiento apr ior i
está fundado fue muy diferente de la que vimos en la
TV iSsenscha f t s le hre .
¿Qué justifica alentendimiento para atribuir a un sujeto A un pre
dicado B que no está en elconcepto A? Nada digo sino que el
entendimiento t ime y c onoc e los dos conceptos A y Yo pienso
que debemos tener alguna forma de juzgar acerca de ciertos con
ceptos simplemente. porque los tenemos ...y qu esto es verdade
ro generalmente, también es verdadero en el caso en que esos
conceptos son simples. Pero en este caso, los juicios que hacemos
de ellos son ciertamente sintéticos [en el sentido nominal de Kant].
T h e o J I S c i e n ce , p 347
juicios relevantes. Pero en la Wissenscha f t s l e hre ,
finalmente
vino a
reconocer que sus in tuiciones semánticas podrían encontrar buen
uso en este prec iso punto:
11 Bolzano hizo la misma afirmación en AllgemeineMathesis (1810),
Ge sa1JJlo1 l gabe , seriedosA, vol.5, p.
31.
12El principiode Kant delosjuiciossintéticosfue tambiénpuesto en duda eri
Gros s e n / e h re , p.86.En elmismo tratado,Bolzanoofreció como explicaciónpara el
recurso de Kant a la intuición en matemáticaslas mismasconsideraciones que
Russellofreceríaaprincipiodenuestrosiglo;él sugirió,en efecto,quelaincompletud
dela teoríalógicadioa Kant a pensar que uno tenía que recurrir a una fuente
extraconceptual (p. 88).
¿Qué es, entonces, lo que justi fica la creencia en esos juicios
pr iOri? Las explicaciones más comunes de Bolzano fueron de tipo
empí rico, así inconsistentes con e l supuesto status a P r i or i de los
Kant plantea la cuestión, ¿qué justifica a nuestro entendimiento
asignar a un sujeto un predicado que de ningún modo está conte
nido en el concepto (o explicación) del primero? - pensó que
había descubierto que esta justificación podría sólo ser una intui
ción que ligamos con elconcepto del sujeto y que también contie
ne elpredicado. Así, para todos los conceptos de los cuales pode
mos construir juicios sintéticos, debe haber intuiciones correspon
dientes. Si esas intuiciones fueran siempre meramente empíricas,
los juicios los cuales ellas median deberían también siempre ser
empíricos. Yaque, sin embargo, hay juicios sintéticos
aPr ior i
-(que
tales cosas están s in duda contenidas en las matemáticas y enla
ciencia n tur l pura); debe también haber intuiciones
a pr i o ri -
no
importa cuán extraño esto pudiera sonar. Y una vez que uno ha
decidido que puede haber tales ,uno también se convencerá a s í
mismo fácilmente que para los propósitos de las matemáticas y la
ciencia natural pura, el tiempo y el espacio son esas intuiciones.
( B r yt r a ge ( ji e i n er b e g r ii n d e te rm da r s te / /t l1 / .g d e r Ma t h e m at ik , pp.
23 4-5 12
La solución de Kant, a la que subyacía el principio de los jui
cios s inté ticos, fue c laramente rechazada:
triángulo están contenidas como constituyentes de este concepto.
( Logis che Vorbegriffe , Gesam tausgabe , ser. 2A, vol . 5 ,p .
178 11
73
OLZANO
y
Ni,lCIMIENTODE LA SEMÁNTICA
BOLZANO
NACIMIENTODE
SEMÁNTICA
72
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)
)
)
. : ;
u Para una indicaciónreveladorade cuánto el punto de vista de.Bolzanose
ha vuelto ahora fundamento común, véase
la
interpretación de Bochenski del
mismo pasajearistotélico en su
Po rm a ie Lo gik
clásica,p. 54. Bochenski comenta
gue el pensamiento expresado es completamente claro:Aristóteles... saca una.
distinción clara entre la validezde la inferencia
y
verdad de las premisas.Esos
El se sigue de necesidad [en la
caracterización
de Aristóteles]
puede dificilmente ser interpretada en algún otro modo que éste:
que la conclusión se vuelve verdadera
s ie m p re y c u an d o
las premisas
sean verdaderas. Ahora esobvio que no podemos decir deuna y la
misma clase de proposiciones que una de ellas sevuelve verdade
ra
s ie m p re y c u an d o
las otras sean verdaderas, excepto que tengamos
en mente algunas de sus partes como variables ... La formulación
deseada fue ésta: tan pronto como elintercambio de ciertas repre
sentacionés
hace las premisas verdaderas, la
conclusión
debe
[ s i c . ]
también volverse verdadera.
T h e o ry o f S c iC 1 lc e
p. 220)13
El fundamento de 2) , como el de 1) , deriva de abajo, de los
hechos.
La misma actitud es claramente desarrollada en la interpreta
ción de Bolzano de la celebrada dist inción de Aristóteles de un
silogismo como un discurso en el cual, habiéndose establecido
ciertas cosas, algunas otras se siguen de necesidad de su ser así
PriorA
l 1 a y t ú S ,
2 4 b 1 9 ).
He aquí elcomentario de Bolzano:
La única razón por la que estamos tan ciertos de que las reglas
barbara c e lar ent
etcétera, son válidas, es porque han sido confir
madas en miles de argumentos en las cuales las hemos aplicado.
Éstaes también laverdadera razón por la que estamos tan confia
dos, en matemáticas, de que factores en orden diferente dan e l
mismo producto, o de que la suma de los ángulos en un triángulo
es igual a dos ángulos rectos.
T h e o 1Yo f S c ie n c e
p. 354)
particular, los fundamentos para la verdad de 2) son, en esencia,
del mismo tipo que aquellos de 1) :
En su característica manera flemática, Bolzano notó el peso
gigantesco de la tradición en favor de este enfoque y entonces exa
minó los varios intentos de explicar la distinción forma-materia.
Concluyó, correctamente, que hay muy poco además de confusión
detrás de los modos tradicionales de sacar la distinción. Pata aque
l los que insist ieran en usar alguna noción de forma, ofreció una
definición honesta: La forma de la proposición p relativa a sus
constituyentes Xl Xn es, en efecto, la clase de proposiciones que
difieren depalo más en los constituyentes en cuestión (véase W L ,
sección 186). Pero Bo1zano fue claramente muy poco partidario de
aquellos lógicos y filósofos cegados por laluz crepuscular y eru
dita de las palabras forma
y
materia Theory Science p. 164).
Bolzano concluyó que la idea de forma en su construcción
tradicional no tenia valor, y no podía ver otro candidato para el
papel de un fundamento suprafactual de verdad lógica. Por 10 tan
to, él no vio ninguna razón para poner 2) en una categoría dife
rente de
1) ;
uno podía también llamarlas a ambas analíticas. En
es completamente reducible a la de sus instancias, en el sentido de
que no hay nada más en(3) que laconjunción de sus instancias tales
como
1
esas son simplemente factuales. Por lo tanto, en casos
como (3) , el modalista estará de acuerdo con Bolzano en que un
examen de un gran número de otras proposiciones es esencial para
determinar elvalor deverdad de (3),ya que (3) es,al final nada más
que la conjunción de esas proposiciones. Pero para elmodalista, el
fundamento de (2) -y de las aseveraciones necesarias en general
no emerge de abajo, de los hechos, s ino de arr iba. El modalista
puede acordar que hay un hecho que hace a (2) verdadero
y
que
innumerables otros hechos hacen lasacotaciones de Bolzano sobre
(2),verdaderos también. Pero esos hechos son, para el modalista,
irrelevantes para la justificación de (2);algo anterior a e indepen
diente de esos hechos determina y explica la verdad de (2) y al
mismo tiempo, su carácter modal peculiar. Tradicionalmente, la for
ma de la proposición fue citada como larazón de suverdad: (2) es
verdadera no en vir tud de los hechos - los cuales son, en verdad,
como (2) dice que son- s ino envirtud de su forma.
75OLZ NO y EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC
BOLZ NO y EL N CIMIENTODE L SEMÁNTIC
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se estaba aproximando en este punto, para arreglar de nuevo esas
categorías, y formular las cuestiones correctas.
Décadas más tarde otros podrían ver en eltrabajo de Bolzano
una versión casi completa de una defensa exitosa de un punto de
vista necesitarista. Silos conceptos pueden proveer una justifica
ción para el conocimiento sintético y silos conceptos lógicos son
los únicos que se mantienen fijos en el caso del conocimiento ló
gicamente anali tico, ¿por qué no decir que tal conocimiento está
fundado en conocimientos lógicos? o, para ponerlo en términos
modernos, ¿por qué no decir que la verdad lógica es verdad en
virtud del significado de sus términos lógicos? ¿Por qué no decir
que la analiticidad de 2 está basada no en el hecho de que éste y
otros enunciados tienen ciertos valores de verdad, sino más bien
en el hecho de que algunas de las palabras consti tuyentes t ienen
ciertos, significados? Por poner 1 y 2 en lamisma categoría de
juicios anali ticos, Bolzano hizo más difici l ver q:ue en algunos
casos -tales como (2)- el entendimiento de lo que está siendo
dicho no sólo es necesario, sino también una just if icación sufi
ciente del conocimiento lógico.
La indecisión de Bolzano en esta materia epistemológica es
una más de una variedad deindicadores del hecho de que, aunque
fue muy grande su contribución, la tradición semántica aún tenia
.un largo camino por recorrer. Bolzano fue eminente cuando se
trató del contenido de un enunciado apr i or i , donde élarguyó, con
autoridad filosófica y técnica no superada, que las afirmaciones de
las que ampliamente sepensó que incluían intuición en su conteni
do, de hecho, no lo hacen. Pero fuemucho menos exitoso cuando
se trató de lajustificación de esas aseveraciones que son claramen
te a p ri or i . Alli sus opiniones fueron más conservadoras, y él tendió
a inferir de su rechazo justificado de la explicación apriorística clá
sicaque nada quedaba sino una forma depositivismo. Desde B r y t 1 a ge
z u e i n e r b e g r i in d e t e 1 e r l a r s t e ll u r lg d e r M a t h e m a t ik hasta la W i s s e r l s c h a f tl e h r e ,
siguió repitiendo que larazón por laque estamos tan confiados de
las leyes matemáticas tales como las de la conmutatividad de la
multiplicación es que han sido confirmadas en miles de argumen
tos en las cuales las hemos aplicado
T h e o r y
o
S c i e n c e ,
p. 354).
, El modalista quisiera considerar (4) como necesario, pero cier-
tamente no envirtud de su forma. Para él, l inferencia de esto no
s azul a partir de esto esrojo expresa un silogismo en elsentido
exacto de la
caracterización
de Aristóteles, y la forma seguramente
no juega ningún papel en lanecesidad implícita en esta inferencia.
La idea de que nuestra aceptación de (4) deberla conformarse a la
estrategia inductiva de revisar los valores de verdad de los antece
dentes y los consecuentes en sus instancias es demasiado ridícula
para ser tomada seriamente. Bolzano podría haber apelado en este
punto a su doctrina del fundamento conceptual del conocimiento
sintético
apr i or i .
Pero de ser
así
¿por qué no ser tan generoso en el
caso del conocimiento (lógicamente) analitico? Habiendo dividido
sus tipos naturales en los lugares e~uivocados, Bolzano no estaba
adecuadamente dispuesto para ~eguntar las cuestiones correctas.
Tomaría casi una centuria alearar otra vez elnivel al que Bolzano
textos contienen laprimera formulación his tórica de laidea de una lógica f o r m a l ,
universalmente válida e independiente del contenido Stoff) . Pero lanoc ión de
forma no estáni siquiera sugerida en esos pasajes, ni en l sentido de Bolzano ( el
que Bochenkski parece tener en mente) ni en ningún otro,
(4) si esto es rojo, entonces no es azul.
En general, la interpretación de Bolzano de enunciados de
inferencia válida tales como (2) es ésta: todo mundo siente que el
sentido de la aserción puede sólo ser que en cada caso donde una
sustitución de representaciones hace los antecedentes verdaderos,
el consecuente también expresará una verdad p. 253). Para él, el
único modo en que laidea deun vínculo necesario entre lapremisa
y la conclusión de una inferencia válida puede tener sentido, es
suponiendo que algunos de los constituyentes de
2
son tácita-
mente tomados como variables y que se nos pideexaminar ós
valores de verdad de todas lasinstancias apropiadas. La base de la
necesidad de 2 es la l lana verdad de las instancias apropiadas.
Esto, nos deja con una extraña categoría de enunciados analiticos
que incluyen no sólo
1
y
2 ,
sino también
l
BOLZANO y EL NACIMIENTO DE LA SEMÁNTICA
6
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)
9
:~_
\
J
)
)
)
)
)
)
. Traducciónde
Max Fernán d ez
de Castro
(UAM -I).
Revisadopor Juan An
tonio
Sánchez
G. (UAM-I).
sde el principio del siglo
XIX,
la intuición pura de Kant
tuvo un tiempo dificil en
e l
análisis. La rigorización del
cálculo anuló laintuición de las nociones de función continuidad
límite infinitesimal y todas las demás que habían motivado la just~
queja de Berke1ey.La aritmetización del análisis arrinconó a la in
tuición pura del t iempo en la aritmética, de donde Frege pronto le
daría un golpe mortal . Sin embargo, la matemática no era sólo la
teoría de las magnitudes abstractas, números, funciones e
infinitesimales. Era también la ciencia del espacio, de la geometría,
y aquí los kant ianos podían descansar confiados en que laintuición
nunca seria destronada. O así pareció por un tiempo.
Durante el siglo
XVII,
lageometría fue el campo de batalla de
dos grandes guerras epistemológicas. La primera, el tema de este
RIEHL, PHIL KRIT VOL. 2
Así es enteramente Implauslble que fuera del rango de las matemáticas
puras hagamos alguna vez uso de esas hipótesis de espacios no
euclideanos.
Para Helmholtz, sin embargo, exlstía la opción: o necesidad del
pensamiento u origen ernplrlco , Peró es apropiado agregar a esas:
necesidad de Intuición y ésta como pura.
eOHEN, KANTS THEORIE DER ERFAHRUNG
por otro lado,
.una Intuición
es la cosa esencial .
KANT, LOGIK BUSOLT
En filosofía, una Intuición puede sólo ser un e jemplo: t .
n ma emátícas,
3
.l 'G ' ' ' I 1 ; t I l l l ~ , , , m n : ' ' ' I l I ' ' ' ' l o ' ' ' ~ ' ' ' ' l I u : : m , ' ' ' '' l 1 I u t m M : : , , , , , m ' ' ' ' l l ' : I '' ' ' ' ' ' L ' ' ' r . J , ' a: ' ¡ I . 'm l m l : m n m , m lI: l l m , : ¡ u l l l u :m :: m m l 1m l ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' J : .: · ' ' ' I ; , , , , , ,, m u , , . : . . ~ ,,,
I.EOMETRIA,
INTUICION
PURA y EL
A
PR R
I
14 Bolzano, desde luego, apl icó la estrategia del símbolo iricompleto a su
rigorización del cálculo;pero no parece haber reconocido
papel que estaidea
podía jugar enla semánticafilosófica.
15 E t .. . I ibl d b
s a aseveracion Imp ausi e no e ería ser confundida con la opinión
absurda de que los números
35
y
53 -Ios o j t o s
de esasrepresentaciones- tienen
los mismos constituyentes.
El esbozo de Bolzano de una semántica teórico-pictórica fue
solo eso, un esbozo. La idea central del análisis lógico, la concien
cia de que ellenguaje es una guia extraordinariamente engañosa al
contenido, estaba aún en el futuro. Para Bolzano el lenguaje fue
una pintura más bien confiable de la forma de las proposiciones
objetivas. Escribió como si, por mucho, los enunciados del alemán
fueran mapas isomórficos de las correspondientes proposiciones
objetivas. Así, la proposición objetiva expresada por este triangulo
.es grande consiste de las representaciones es t e ;t l iá n l l o , t i en e ygran-
d eza . El isomorfismo seobtiene aún en elcaso de nombres: de 35
y 53 se dice que expresan representaciones cuyos constituyentes.
son idénticos (presumiblemente, las representaciones 3 y 5, cual
quier cosa que ellaspuedan ser) y que difieren sólo en elmodo en
el cual esas partes están conectadas (Theory Sc i em» , p.
6 9 ) . 1 5
Fi
nalmente, aún a la noción de contenido no fue dado su papel
completo. Bolzano estaba aún ligado a una tradición de largo al
cance que piensa las relaciones deductivas como algo análogo a las
conexiones causales y busca sacar de entre los vínculos lógicamen
te válidos una dist inción posterior que intenta identif icar con el
fundamento propio de cier tas afirmaciones. Esas
y
otras mate
rias serían finalmente establecidas unas pocas décadas más tarde,
en los escritos de Frege. Antes de que tornemos a ellos;sin embar
go, debemos considerar qué lepasó a las opiniones de Kant sobre
geometría en ese periodo.
do de sus propios cabellos-todos ellos,enla medida en que son
EOMETRí INTUICiÓN PUR Y LO
PR OR
capítulo, serelaciona con elpapel de laintuición pura en elconoci
GEOMETRí INTUICiÓN PUR Y LO
PR OR
8
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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2 La respuesta es, desde luego: excepto alguien tan lis to como Gauss,
Frege está diciendo que las leyes de lageometría y de la arit
mética, a diferencia de las de la física, son necesarias. Pero mientras
las proposiciones geométricas son necesidades de la intuición, las
leyes dela aritmética son necesarias enun sentido mucho más pro
fundo: elpensamiento mismo sevuelve imposible si las negamos.
En la medida en que la lógica es la teoría pura de conceptos, la
. aritmética debe ser una parte de lalógica. Es tadoctrina no es des
de luego kantiana, pero elmarco ideológico ciertamente lo es.
¿Qué significa decir que las leyes geométricas son necesidades
de laintuición? Los escritos de Kant no contienen más que unas
pocas sugerencias confusas. Desde luego, no había razón para que
élestuviera altanto del buen funcionamiento de los detalles: ¿Quién
dudarla seriamente alrededor del año 1800 que la geometría fuera
necesaria o que su necesidad tuviera algo que ver con las construc
oiones geométricas?2 Pero la situación cambió un poco después de
la muerte de Kant, cuando lageometría no euclidiana hizo su pri
mera aparición pública. Aproximadamente en lasegunda mitad del
intuibles,permanecen aun sujetos a los axiomas de la geometría.
Sólo el pensamiento conceptual puede liberarse, en cierto modo
de éstos, cuando supone, digamos,un espacio de cuatro dimen
sioneso de curvaturapositiva.Estudiar tales concepciones no es
de ninguna manerainútil;pero deja el fundamento de laintuición
completamente detrás [...] Parapropósitos del pensamiento con
ceptual, siempre podemos asumirlo opuesto de algunou otro de
losaxiomasgeométricos,sin caeren contradicciones[...].Elhecho
de que esto es posible muestra que los axiomas de la geomeu Ía
son independientes unos de otros y de las.leyes primitivasde la
lógicay consecuentemente son sintéticos.¿Podemos decirlo mis
mo de lasproposiciones fundamentalesde la cienciadel número?
Aquí tenemos solamente que tratar de negar uno de ellos
la
confusión completa sobreviene.Aun pensarlo parece el?-tonces
imposible.
The Foundat ion s
.Aritbmetic,
pp.
20-21)
Las raíces de este aná lis is de la modalidad pueden ser detec tadas en los
escri tos prccrít icos de Kant. En la e J J e i s g n l ll d de 1763 por e jemplo, dijo que la
posibilidad está abolida no solamente siuna contradicción interna es encontrada,
como en la imposibil idad lógica, s ino también cuando ninguna mater ia o dato
existe para
pensamiento p. 69).
miento; la segunda, esbozada en el capítulo 7, dio por hecho que
ese papel es nulo y cuestiona la naturaleza de los conceptos
geométricos. Es interesante que en ambos casos la tradición se
mántica no hizo nada para contribuir a esos desarrollos. Como
veremos, una visión correcta de lageometría exigíauna síntesis de
las intuiciones kantianas y semánticas que ninguna de esas dos tra
diciones en conflicto estaba en condiciones de tomar. Mientras
tanto, nuestro tópico esla naturaleza y elpapel de laintuición pura
en el conocimiento geométrico.
Kant pensó que l presencia dela intuición pura en la geome
tría, semanifiesta en un tipo particular de necesidad que seliga a los
juicios geométricos, Examinemos elcarácter de esta modalidad.
Una de las distinciones centrales en la teoría Kantiana de la
modalidad, fue entre un tipo de necesidad derivada de laintuición
AnSt hauungsnothwendigkei t ) y otro derivado del pensamiento
Denknothwen digkei t ).La primera tiene su fuente enrasgos dela sen
sibilidad humana, laúltima en rasgos del entendimiento Quizá la.
mejor explicación corta de esta distinción ocurre en un pasaje de
los
Grttndlaget l
de Frege, en elcual está tratando de explicar por qué
piensa que la aritmética es parte de la lógica. Las proposiciones
empíricas escribe: -,
\
Son válidasde lo que e s fisicao psicológicamentereal;las verda
desdelageometría gobiernantodolo queesintuibleespacialmente,
searealo producto de nuestra fantasía.Lasmásaudacesvisiones
de delirio,lasmás extremasinvencionesde laleyendao de lapoe
sía,donde losanimaleshablany lasestrellasno semueven, donde
loshombres seconviertenen piedrasy losárbolesenhombres, en
lasque senos enseñacómo puedeuno salirsedeun pantano tiran-
81
GEOMETRíA INTUICiÓNPURA Y· LO PR OR
GEOMETRíA INTUICiÓNPURA LO PR ÓR
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)
objetos q~e representa son puros más bien que empíricos (véase
Vorarbeiten zu Ausgleichung eines ausMissverstand beruhenden
mathematischen Streits ,
Kan t s g e s at nm e lt e S c h li J te n
vol. 23, p. 201).
En la Critica Kant dio un giro trascendental a la distinción entre
cualidades primarias y secundarias al argumentar que las cualida
des no pueden ser presentadas en ninguna intuición que no sea
empírica , pero las cantidades sí: podemos formar nosotros mis
mos la forma de un cono en laintuición, sin ayuda de la experien
cia, de acuerdo con elsimple concepto, pero elcolor de este cono
tiene que haberse dado previamente en alguna experiencia Clit i-
m,A715/B743). Esto parece presentar al cono geométrico como
un objeto de un t p diferente a los objetos dados en laintuición em
pírica, más que como la forma de objetos dados en la intuición
empírica. Aquí la diferencia entre forma y contenido (o materia)
parece corresponder a ladiferencia entre innato y adquirido, como
si las imágenes sin color de un cono pudieran ser formadas por
alguien que no tuviera experiencia previa y esta imagen seria una
intuición pura. \ {1hewellparece haber interpretado a Kant de esta
manera cuando pensó laintuición kantiana como un ver imagina
rio
History
S t ie l 1 ti f ic I d e a s
vol. I , p. 140; ci tado por ill
Log ic
bk. 2, cap. 5, seco 5); y al igual que lliehl, aunque de manera
desaprobatoria, cuando vio en laintuición pura un eco de las for
mas platónicas Phi/
Krit.;
vol. 2, p. 104). Consideremos también
una referencia t ípica a la
cons t rucdon
de un concepto geométrico
involucrado en el.proceso deuna prueba: lo construimos, diceKant,
representando sea elobjeto correspondiente a este concepto por
medio de la simple imaginación, enla intuición pura, sea, de acuer
do con ésta sobre elpapel, enla intuición empírica
Ctit ica
A713/
B741). La dualidad explícitamente obtenida nos anima a pensar en
laintuición pura como dada en un dominio que incluye a laimagi- -
nación
y en laintuición empírica corno perteneciente a un dominio
enteramente diferente.
Aunque esos y otros pasajes invitan a una interpretación
platónica, esta interpretación casi seguramente es ajena a las inten
ciones de Kant. Hay una segurida interpretación que, como lapri
mera, asocia laintuición pura con elser dado de los objetos (como
Kant pensó que la geometría eraun buen ejemplo de cuán poco se
puede hacer en ciencia con meros conceptos. Sise trata de probar
un teorema geométrico desde conceptos puros, son inútiles to
dos los esfuerzos. Nos vemos obligados a recurrir a la intuición,
como se hace siempre en geometría. Nos damospues un objeto en
laintuición [...] [en verdad] un objeto
a p r io r i
en la intuición, y fun
damos en élnuestra proposición sintética
C1itica
A47-48/B65).
Ahora bien, de forma precisa ~¿ó1110se otorga uno, un objeto a
prior i
en la intuición?, por otra parte ¿en la realidad el geómetra
necesita
hacer eso? Hay tres modos de leer las opiniones de Kant
respecto a la intuición pura, las que podríamos llamar platonista,
constructivista y estructuralista. Considerémoslas en secuencia.
Con frecuencia uno encuentra enlos enunciados deKant algo
que sugiere que laintuición pura dif iere de la empírica en que los
l m e ns aje m ixto d e K an t
siglo XIX, la gente se empezó a preguntarse primero acerca de la
necesidad exclusiva de la geometría euclidiana y luego acerca del
papel de lain tuición en cualquier geometría, euclidiana o no. Como
los neokantianos estuvieron forzados á plantear esta cuestión con
mayor amplitud, se fue revelando poco a poco que el si lencio del
maestro no fue un signo de sabiduría tácita.
De manera reveladora, los más inteligentes de entre los
neokantianos empujaron en silencio a laintuición pura a la esquina
de su doctrina de la geometría; loque ofrecieron como lateoría de
la geometría
verdaderamen te
kantiana se parecía sospechosamente a
una de las contribuciones de Helmholtz en ese campo. Hacia el
final del siglo
XIX,
los escritos neokantianos en este tema se ha-:
bían vuelto un testimonio involuntario del hecho de que lageome
tría requería de un fundamento por completo diferente del que
Kant había previsto. En conjunto con la rigorización del cálculo y
con lo que Frege pronto estaría haciendo en la aritmética, esos
episodios convergieron para establecer lo que Bolzano había ase
verado en 1810: que la intuición pura de Kant no juega ningún
papel en las matemáticas.
ron esta frase variasveces en contextos supuestamente explicatorios
EOMETRíA INTUICiÓNPURA Y LO PR OR
uno esperaría de cualquier tipo de intuición kantiana), pero toma
GEOMETRíA INTUICiÓNPURA Y LO PR OR
2
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
http://slidepdf.com/reader/full/coffa-j-alberto-la-tradicion-semantica-de-kant-a-carnap-vol-1 43/328
El únicomodo de tenerunaintuiciónde una líneaesdibujarlaen
el
pensa
miento
CJitica,
A162-163/B203);mas aun, dibujarlaen el pensamiento envuelve
la representaciónde un proceso en el tiempo -por lo tanto de un proceso psico
lógico véase
Critica,
Al 02).
5
Kernp Smithpiensa que en esospasajesKant debió haber referido a los es
quemasde conceptosmás bienquea lasimágenes
A C Olll ln e/l ta l) to K a u ts Critique
P I / re R e a s o n ,
pp.337-338).Peroya luelos CS luemaseun concepto representan
un método queasociacon cadainstanciadel concepto unaimagende éste,el pro
blemadiscutidoanteriormenteresultatambiénen
l
casodelesquema.En cualquier
caso,enA239f/B298f Kant explicóquelaintuiciónpurada sólolas formas de los
en los cuales uno puede casiver frunciendo elseña a los lectores,
retándolos a exhibir su estupidez alpreguntar lo que esto significa.
La verdad es que ni Kant ni sus seguidores tuvieron una idea muy
definida de lo que era
c o n stru c c ión .
La plausibilidad de cualquier tesis
kantiana que haga intervenir esta noción es inversamente propor
cional a la claridad con la cual está explicada. Es interesante que
cada vez que Kant hizo un esfuerzo para ilustrar lo que quería
decir por construcción en la intuición , hizo su aparición una
intuición empírica. Por ejemplo, Kant explicó que la construcción
de una figura sehace presente a los sentidos C?it ic a ,A240/B299).
Cuando probamos una proposición acerca de triángulos podemos
construir el concepto en elpapel, en la intuición empírica [...] La
simple figura que dibujamos es empírica, y sin embargo sirve para
expresar elconcepto, no obstante la universalidad de éste C?itZ tGl ,
A713-714/B741-742). Mas aun, no podemos pensar una linea sin
t ra za rla en elpensamiento, ni un círculo sin d e s c r i i r l o como tam
poco podemos representar tres dimensiones del espacio sin
C O I I S -
truirtres
lineas perpendiculares a partir del mismo punto?
Critica,
B154). Lo mismo es verdadero de la ari tmética: para producir la
síntesis requerida para laprueba de que 7 5
12, acudimos ala
intuición que corresponde a uno de [esos conceptos] , los 5 dedos
de nuestra mano, por ejemplo, o bien como hace Segner en su
Aritmética) cinco puntos C?it im, B154,5Bolzano comenta esas
observaciones en
U7L
sec., 305).
En una ocasión Kant se entusiasmótanto que dijo: los conceptos son
completamenteimposibles [...] siningúnobjetoes dadoparaellos Crítica, A139/
B1 7 8 ) .
Él no quiso decir esto; en su
N a ch tr a g e,
corrigió este enunciado,reempla
zando se vuelvenimposibles con no tienen,paranosotros, significado p. 28).
Laposición deKant fueque laconsistenciadeun concepto puede serestablecida
independientemente de su objetividad o validezobjetiva .El concepto de un
decaedro regular,por ejemplo,esperfectamente consistenteperole faltalavalidez
objetiva Uber
Kástners
Abhandlungen [1790],K a n t s
Ges a lJl lJlel te S ch l i ftm,
vol.
20,pp.414-415),yaqueningún objetopuede serpresentadoen laintuición quese
conforme a él nohay construcción delconcepto , p. 416).Frege tuvo exigen
cias algo más estrictas:parece haber pensado que el único modo de probar la
consistenciade un concepto fuepor laidentificaciónde una ejemplificación.Sies
así, nosotros no podríamos estar ciertos de la consistenciadel concepto de un
decaedro regularo,si a esasvamos,de lade un satélitede laluna.
Los conceptos matemáticos están ligados a laintuición por la
celebrada construcción del concepto. Kant y sus seguidores usa-
Siun conocimiento ha de poseer realidad objetiva,
i .e. ,
referirse a
un objeto y recibir de él s ignificación y sentido, debe ser pos ible
que elobjeto sedé de alguna manera. De otro modo los concep
tos son vados y aunque hayamos pensado por medio de e llos, a
través de este pensamiento nada ha s ido realmente conocido; no
hemos hecho, en realidad, más que jugar con representaciones.
Crítica,
A155/B194-195)
esos objetos como algo empírico. Esta interpretación se enfoca en
las observaciones de Kant acerca de la construcción de conceptos
matemáticos.
Pocos elementos de la filosofía crítica son mejor conocidos
que elintento de Kant dejuntar lo que había separado en su distin
ción entre sensibilidad y entendimiento. Desvinculadas como esas
dos facultades pueden estar, no puede haber conocimiento huma
no excepto que ellas unan sus fuerzas: los conceptos sin intuición
son vados y laintuición sin los conceptos es ciega :
EOMETRíA INTUICI~N PURA
LO PR OR
GEOMETRíA INTUICiÓN PURA Y LO PR OR
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¡
Como vimos antes, Kant explicó que cuando probamos una
proposición acerca de triángulos, podemos construir ese concepto
en el papel , en la intuición empírica ; y agregó que la simple
figura que dibujamos es empírica y sin embargo sirve para expre
sar elconcepto, no obstante launiversalidad de éste
Cdt Ü a,
B741).
Uno podría haber pensado que lo que amenaza launiversalidad del
procedimiento no es el carácter
emp ír ico
de la figura involucrada
sino elhecho de que ésta esun objeto específico, s ingulary que es to
es todo lo que ha sido considerado. De cualquier manera, Kant
agregó: pues esa intuición apunta siempre alsimple acto de cons
truir el concepto, en el cual hay mucha~ determinaciones i.e. , la
magnitud de los lados y de los ángulos) que son completamente
indiferentes; se prescinde, por tanto, de esas diferencias que no
modifican el concepto triángulo Cr í tica , A714/B742). Nótese
que Kant quería abstraer no sólo esas determinaciones que fijan
parámetros que el concepto deja indeterminados (como aquellas
que Kant enumeró en el.pasaje precedente entre paréntesis), sino
también aquellas en las cuales el objeto empírico de nuestra intui
ción empírica falla para calificar como una instancia del concepto
construido
i.e. ,
la tridimencionalidad del triangulo construido, la
naturaleza sinuosa de. sus lineas, etcétera.). Determinaciones del
primer tipo construyen ejemplificaciones del concepto, mientras
del segundo resultan en objetos que son, en elmejor de los casos
(yen un sentido en gran necesidad de elucidación), meras aproxi
maciones de instancias de los conceptos dados.
Sí ,
p e r
impos ib i l e ,
nos fueran de alguna manera dadas todas las ejemplificaciones de
un concepto enla intuición, podríamos abstraer de su carácter par-
. ticular por considerar sólo lo que es verdadero de todas ellas y
alcanzar así elresultado pretendido. Pero ningún objeto alguna vez
dado a nosotros en
I t ingúl1
tipo de intuición es, digamos, un ejem
plo del concepto eleun triángulo.
¿Cómo decidimos qué determinaciones deben abstraerse, qué
rasgos de la figura construida son relevantes a laprueba? Kant no
fue, como es comprensible, muy demandado por esta cuestión. Su
respuesta completa, está encapsulada en elcelebre aforismo de que
el geómetra no debía adscribir a la figura sino lo que necesaria-
objetos
y
tlue aún los conceptos puros no tienen significado sinosotros no construi
mos objetos para ellos en laintuición empírica: el mat emático satisface esta deman
da por la const rucc ión de una f igura, la cual, aunque producida a p ri o ri es una
apariencia presente a los sentidos. En la misma ciencia
el
concepto de magnitud
busca su soporte y signiftcado sensible en lnúmero y éstea suvez en los dedos, en
las cuentas del ábaco, o en las barras y puntos los cuales pueden ser puestas ante los
ojos
Crí t ica,
A240/B299).
6 En D e m I l i d i sens ib i t is a t qn e i l l t e l i y j b i li s f o r m a e f p r i l l c ip i i s (1770), p 403, Kant
había escrito que lageometría piensa sus objetos no por medio deconceptos univer
sales s ino sujetándolos a los ojos por mccliode una intuición singular como pasa
con las cosas sensibles . También, la matemática del espacio
l a
geometría) está
basada en esta s íntesis sucesiva de la imaginación productiva en lageneración de
figuras
Cdtica,
A163/B204).
La interpretación estructural is ta dif iere de la platonista y
constructivista al tratar la intuición pura como algo completamente
distinto de la intuición, la cual es una representación singular. De
acuerdo con elKant estructuralista, lo que espuro y
a p r io r i
no es un
tipo de objeto sino un modo de conocimiento de objetos empíricos.
Todos los objetos de
la
intuición son empíricos yla intuición pura es
la mera forma de la intuición empírica Crí t ica, A239/B298). Se
sigue de ellos que laintuición pura no esun tipo de representación
singular sino un rasgo formal de tal representación, una le x m e nti
insit corno Kant alguna vez. lo dijo. En esta interpretación
estructuralista Kant explica que cuando construimos elconcepto de
un triángulo, por ejemplo, realmente no construimos una instancia
de ese concepto ni aun damos ningún objeto part icular a la intui
ción, sino que lo que construimos essólo laforma deun objeto. En
verdad, dada esta construcción la posibilidad de ese objeto podría
ser dudosa aun C r í tic a , A223/B271; véase también A239/B298).
Sin importar como se interprete la naturaleza de la intuición
pura, hay dos problemas relacionados, pero distinguibles, que en
frenta la explicación kantiana de la geometría: ¿cómo la intuición
pura apoya la necesidad de la geometría euclidiana y por qué debe
un argumento geométrico ser una cadena de inferencias guiadas
completamente por la intuición?
Crí t ic a,
A717).6
los neokantianos decidieron seguir este curso no-kantiano para
87
EOMETRí INTUICiÓNPUR Y LO
PR OR
mente se sigue de lo que él mismo, con arreglo a su concepto,
GEOMETRí INTUICiÓNPUR Y LO
PR OR
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8
ili
permitía una excepción: que
l
mismacosadeberíaa lavez ser
y
no ser
-que idénticamente elmismoenunciadodeberíaser tanto verdadero como falso
es no sólo inconcebiblepara nosotros,sino quetampoco podemos imaginarque
pudiera ser concebible.No podemos proveerde suficientesignificadoa l propo
sición,sercapacesde representarnos la suposicióndeuna experienciadiferente en
esta materia.No podemos por lotanto aún aceptarla pregunta ni siquierade si la
incompatibilidad está en la estructura originalde nuestrasmentes, o sólo puesta
Pero aún este sentido fuerte de inconcebilidad es consistente
con la posibilidad y aun laverdad de afirmaciones inconcebibles;
pues aunque no podemos representarnos cuadrados redondos,
cosas todas negras y blancas, y así sucesivamente, podemos repre~
sentarnos circunstancias en la cuales podríamos representarlas.
No podemos representarnos a nosotros mismos que 2 2 hagan
5; ni dos líneas rectas encerrando el espacio, No podemos repre
sentarnos
un
cuadrado redondo;
ni un
cuerpo todo negro,
y
al
mismo tiempo todo blanco. Esas cosas son literalmente inconce
bibles para nosotros, para nuestras mentes y nuestra experiencia.
(Homi l ton s Pb i lo s opby ,
pp. 69-70)
La afirmación de que la geometría euclideana es una necesidad de
laintuición había sido disputada por los empiristas con las razones
familiares de lo que nosotros no podemos imaginar puede muy
bien existir.
ili
porejemplo, había distinguido.entre elsentido en
el
cuallas antípodas son inconcebibles yen el cualla cerradura del
espacio por dos lineas rectas es inconcebible. En elprimer caso
cualquiera puede seguramente, representar la circunstancia bajo
consideración aun si ésta parece increíble.En elsegundo caso, sin
embargo, no podernos representarnos a nosotros mismos tales
circunstancias:
l re to de He lmholt z
reconstruir aKant como sianticipara lasintuiciones deHelmholtz.
7
Bolzano concibióesta primeraposibilidadcuando sepregunto en BII),tr ag e
V i
eiuer begr ii1/deterenDarstellt l l / f, der Mathelllatik:
¿Cómo procedemos de la intuición
de un simpleobjeto alsentimientode que lo que observamos es tambiénválido
para todos los otros?¿A travésde lo que es único e individualo a travésdelo que
es generalen este objeto?Obviamente sóloa travésdelúltimo,estoes,por medio
del concepto y no por medio dela intuición (pp.243-244).
había puesto en ella (Crí tic a , Bxii). Sinembargo cuando esllevada
a su conclusión lógica, esta observación nos conduce a un incó
modo dilema; pues lo que necesariamente se sigue de lo que el
geómetra ha puesto en l figura o a) se sigue de su concepto de
esta figura, de manera independiente de cualesquiera rasgos de la
figura formal o de otro), o b) se sigue sólo cuando además del
concepto mismo examinamos algunosrasgos
relevante
de la figura.
En elprimer caso tenemos laposición queRussell sostuvo alrede
dor de 1900: l síntesis en el conocimiento lógico y matemático
puede ser producida de los conceptos solos, sin apelar a ningún
tipo de
intuición.
Es claro que esto está en conflicto con elprin
cipio de los juicios sintéticos y con elvínculo asociado entre mate
máticas e intuición. En elsegundo caso -probablemente la propia
selección deKant- nos quedamos con la cuestión original: ¿cuáles
de los varios rasgos exhibidos por la figura empíricamente cons
truida sea en lamente o en elpapel) son fundamentos permisibles
de inferencia? Parecería que por los propios criterios de Kant, la
única guía en esta decisión son los axiomas y teoremas de la geo
metría. Pero
antes
de que podamos usar laX intuitiva para dar un
fundamento a la síntesis expresada en los axiomas, debemos tener
esos mismos axiomas para determinar lo que l X es.Así,lapres
cripción deKant para identificar losrasgos a abstraer nos conduce
más allá del kantismo a la opinión de que no podemos sintetizar
los axiomas hasta que los tengamos. En la terminología kantiana,
los axiomas geométricos tendrían un papel regulativo no pertene~
ciente ni al dominio de la sensibilidad intuición) ni aldel entendi
miento construido para excluirla Razón). Pronto veremos como
c
89
EÓMETRíA INTUIClgN PURA y LO A PRIORI
GEOMETRíA INTUICiÓN PURA Y LO A PRIORI
8
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fS \
: :;1
Para detalles de los intentos de Milide explicarlo
a pr io ri
de la Ley de
AsociaciónInseparable véase,H a m dt on : P hilosopl: J1cap. 14.
Esta no fue exitosa.Véase1Iilbert, Gm l /d l agm d e rG eom e t ri e , apartado5.
estaba pensando en sumar cosas como conejos o vacas,no cosas
como las soluciones deecuaciones de tercer grado o delos cónsu
les romanos. Como Frege loindica enlos
Gr tmd / agen
(1884, seccio
nes 7 y 8), las últimas no son tan fácilmente puestas a proximi
dad o involucradas en actos de percepción . Un mundo en el
cualcuando alguiensuma los primeros dos cónsules romanos a los
siguientes dos un quinto aparece, presumiblemente con su nom
bre propio distinto, su propio registro político, y así sucesivamen
te, no esun mundo sino el producto deuna mente confusa; pues
en ese mundo la decisión de sumar alteraría el pasado y con el
riesgo de una contradicción no podría h~ber una persona suman
do un grupo de objetos y otra no.
Los argumentos de
Mill
contra elcarácter apriori de lageome
tría no eran mejores. Por ejemplo, cita de manera aprobatoria la
observación deJames Fitzjames Stephen de que un mundo en el
cual cada objeto fuera redondo, con la sola excepción de unas vías
del tren rectas e inaccesibles, sería un mundo en el que cualquiera
creería que dos líneas rectas encierran un espacio
(Hami / t on s
Pbi/osopf?y ,
p. 72).9SiMili fueraelmás sabio de los positivistas, como
probablemente lo fue, los kantianos tendrían poco temor al reto
positivis ta a su doctrina.
El primer paso decisivo en el rechazo de la noción de una
necesidad de la intuición no vino del positivismo. A pesar de la
opinión generalizada, tampoco vino del descubrimiento de lageo
metría hiperbólica, ni siquiera del reconocimiento de su consisten
cia. Irónicamente, emergió de un intento de mostrar que las nue
vas geometrías no eran un reto a la de Euclides.
En 1868,Beltrarni publicó un articulo titulado Un intento de
interpretar la geometría no-euclidiana , en elcualintrodujo su ce
lebrado modelo seudoesférico. Sila interpretación ofrecida en ese
artículo hubiera sido exitosa, habría establecido la consistencia de
la geometría
hiperbólica. ?
A pesar de las apariencias, la doctrina.
í
por nuestra experiencia (Ha l l/ i ll o ll } Ph i / osop ?} ,p. 70). Por implicaciónestá di
ciendoque
pode/NOS
proveer de suficientesignificadoa las restantes proposiciones
estrictamenteinconcebiblespara describirlas circunstanciasen las cualeslascon
sidcraríarnoscomo concebiblesy aun como verdaderas.
Mill ilustró nuestra habilidad para representar lo inconcebible
con ejemplos de varias disciplinas
a priori.
En aritmética, nuestro
compromiso con laley deque 2
2
=
4 se anularía si cuando dos
pares de cosas son o puestas a proximidad o son contempladas
juntas, una quinta cosa fuerainmediatamente creada y traída a con
templación delamente comprometida en poner dos y dos juntas
p.
71).La producción de esta quinta cosa debe ser instantánea en
elmismo acto de ver, [así]que nunca deberíamos verlas cuatro
cosas por símismas como cuatro: la quinta cosa estaría insepara
blemente involucrada en el acto de percepción por elcual debería
mos indagar la suma de los dos pares p. 73). Claramente,
ill
Deberíamos probablemente ser igualmente capaces de concebir
un cuadrado redondo como un cuadrado duro, o un cuadrado
pesado, si no fuera que, en nuestra exper iencia uniforme, en el
instante en que una cosa empieza a ser redonda de ja de ser cua
drada [. ..] Así nuestra incapacidad para formar una concepción
s iempre resulta de nuestro estar obligados a formar otra contra
dictoria a esta [...] Nosotros no podemos concebir dos
y
dos como
cinco, porque una asociación inseparable nos obliga a concebirla
como cinco;
y
ésta no puede ser concebida como ambos, porque
4 y.5 como cuadrado y redondo, están así-relacionados en nuestra
experiencia, que cada uno es asociado con la cesación, o cancela
ción, de la otra]...] no deberíamos probablemente tener ninguna
dificultad en poner juntas las dos ideas supuestamente incompati
bles, si nuestra experiencia no hubiera asociado primero
inseparablemente una de ell as con la cont radictoria de la otra.
(Hami lto ¡ú P hilosop /y ,pp.69-70)
La i.nconcebilidad resulta sólo de que nuestra experiencia nos ha
enseñado a asociar o a disociar dos representaciones:
Lejos de representar alguna amenaza para la filosofía de Kant,
GEOMETRíA INTUICiÓNPURA Y LO
PRIORI
formulada no podría haber incomodado a las almas kantianas. Pues
GEOMETRIA INTUICiÓNPURA Y LO
PRIORI
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eltrabajo de Beltrani fue consistente con ella y,posiblemente, aun
fundado en ella. Kant nunca habría dudado de la consistencia de
las geometrías no-euclidianas. Es seguro que hubiera dicho de la
geometría hiperbólica que esimposible pero no
lógicamente
imposi
ble (ya que su negación , la geometría euclidiana, no es lógica
mente necesaria sino sólo intuitivamente necesaria). Así, el hecho
de que hayauna interpretación de la geometría hiperbólica es poco
sorprendente y tampoco es sorprendente que su interpretación
tenga que ser dada en términos de nociones euclidianas intuibles.
Tampoco es sorprendente que donde esareducción a las intuicio
nes euclidianas, falla debamos abandonar el proyecto de dar una
interpretación de la teoría de Lobatchewski. Es difíci l encontrar
un conjunto más atractivo de buenas noticias para los kantianos en
una monografía de geometl:Ía.Tres años más tarde, Helmholtz vería
en elestudio de Beltrani una refutación de lanoción kantiana de
necesidad intuitiva de la geome.tría euclidiana. Con característica
audacia, Helmholtz reconoció el potencial de la representación
analítica de Beltrani. Fue, en cierto sentido, el primero en darse
cuenta de que lo que ahora esllamado elmodelo Beltrani-Klein es,
en verdad, un modelo de lageometría hiperbólica. Veamos a groso
modo este modelo.
Para facilitar el análisis métrico de la seudoesfera, Bel~aru in
trodujo una superficie auxiliar, elinterior de un círculo euclidiano.
Un mapeo isornórfico para la seudoesfera inducirá una métrica
hiperbólica en este círculo. La métrica intrínseca de la seudoesfera
está determinada por asociar con cualesquiera dos puntos P y
de éste la longitud euclidiana d P ,Q de la geodésica que los une
median~ la superficie seudoesférica, Esta función métrica pue
de ser ex p resada como una función f(X,Y) de los puntos X y
Y ,
que son las proyecciones deP respectivamente, sobre el círcu
lo auxiliar. Uno puede ahora decidir abandonar a Beltrami y mirar
d(X,Y) no como un artificio para calcular la distancia euclidiana
intrínseca entre P y
(a lo largo de la seudoesfera) , sino como
algo que la distancia entre X y Y Así construida, la función f
define una métrica en la superficie abierta dentro del círculo auxi-
una apropiada y verdaderainterpretación, desde la cualuno pue
de construir [losconceptos apropiados] sobreuna superficie
Tea}
por otro lado, aquellosque implicantres dimensionespueden ser
representados sólo analíticamente,desde el espacio en la que tal
representación podría materializarse,es diferente de aquella que
llamarnoscon ese nombre. ( Teoriafondarnentaledegli spazi di
curvatura constante [1868-1869],Opere matematiche, p. 427)
En su siguiente estudio sobre el tema insistiría que sus dos
modelos dirnensiónales dan
Yaquehastaahoralanoción deun espaciodiferente[deleuclidiano]
parece estar ausente o trasciende,almenos eldominio de lageo
metría ordinaria,es razonablesuponer que,aunque las considera
ciones analíticasen lascualeslasconstruccionesprecedentes des
cansan pueden ser extendidas del campo de dos variables al de
tres, los resultados o~tenidos en este último caso no pueden, sin
embargo, ser construidos con la geometríaordinaria. p .
397)
e
el fin último de Beltrani no fue tanto interpretar como
reducir
la
geometría hiperbólica a la geometría euclidiana y argumentar que
no había más sentido geométrico en la primera que el que podía
derivar de la última.
El propósito establecido de Beltrani fue encontrar un
substratso» real para la geometría de Lobatchewski, pero sólo para
su fragmento bidimensional
Oper e m atematicbe
p. 375). Beltrani
concluyó que elplano hiperbólico es, de hecho, laseudcesfera eucli
diana disfrazada, ya que la métrica euclidiana de la seudoesfera
euclidiana coincide (en cualquier parte localmente) con la del pla
no de Lobatchewski, Argumentó también que ninguna interpreta
ción análoga podría ser dada para el espacio hiperbólico
tridimensional. Sin embargo, yaque élpensó que laparte del espa
cio en la cual lainterpretación es construida debe tener una métri
ca no reducible a la forma euclidiana estándar cL,,2+df+dz
2;
9
GEOMETRIA, INTUICIÓ l PURA y LO PR OR
GEOMETRíA, INTUICiÓN PURA Y LO PR OR
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·
:3
\
podrían tener algo parecido a nuestra percepción es casi incohe
rente, el punto filosófico de este ejemplo popular es virtualmente
nulo. La segunda historia sobrepasa esta dificultad por presentar un
mundo tridimensional, que llamaremos un universo espejo .
Imaginemos un espejo esférico en cuya superficie S todos los
acontecimientos en nuestro espacio euclidiano sean reflejados.
Ahora imaginemos un mundo tridimensional delimitado por S
y
un plano a través del punto focal del espejo esférico. En este mun
do, los objetos físicos secomportan exactamente delmodo en que
ellos parecen comportarse en el espejo. Así, para cada objeto en
nuestro espacio euclidiano, habrá un objeto correspondiente en el
universo espejo. Cuando un objeto O ennuestro espacio semueve
desde S alinfinito, elobjeto espejo correspondiente, 0*, se move
rá desde S h acia su punto focal; O no cambia de forma conforme
semueve, pero 0* lo hace estrechándose (por nuestros estándares
métricos) conforme se aleja de S.
¿Cómo determinamos que lageometría de nuestro espacio es
euclidiana? Podríamos dibujar un triángulo recto y medir sus tres
lados; observamos que las medidas son 3, 4,
5 unidades, respec
tivamente, confirmando así el teorema de Pitágoras que separa la
geometría euclidiana de sus rivales de curvatura constante. Pero
conforme hago esas medidas, un pequeño hombre, aparece y mo
viéndose igual que yo, pero cambiando su forma conforme se
mueve, mide los lados de un triángulo que nos parece muy poco
rectangular. Sin embargo, su cinta métrica también cambia su
longitud conforme semueve, también encuentra que ésta da 3,4,
Y
5unidades, respectivamente, como medidas de los lados del trián
gulo. Inconsciente del hecho de que su cinta métrica está cam
biando de tamaño conforme él se mueve, el pobre hombrecil lo
infiere -al mismo tiempo que nosotro s lo hacemos- que
s u
espacio
debe ser euclidiano. En general, siempre que un enunciado geomé
trico relativo a un objeto en nuestro universo euclidiano seaverda
dero (relativo a nuestra métrica estándar), elmismo enunciado será
verdadero del objeto correspondiente del espejo (relativo a los
estándares métricos en lmundo del espejo). Sesigue que, desde el
punto de vista del universo espejo, la superficie es también con-
Helmholtz usó este a~álisis de la representación para mostrar
que la geometría no-euclidiana es representable. Hizo preceder este
argumento con dos historias apasionantes diseñadas para desacredi
tar nuestra fe en la confiabilidad de la intuición La primera fue un
caso Flatland, en
el
cual dos seres bidimensionales viviendo sobre
una superficie curvada desarrollarían una geometría no-euclidiana
con base en sus percepciones. Ya que la idea de que tales seres
Por lamuy mal usada expresión representar o ser capaz de pen
sa r cómo pasa algo , entiendo que uno podría describir la se rie de
impresiones de los sentidos que uno tendría si tal cosa. pasara en
un caso particular. Yo no veocómo uno podría entender algo más
por es to sin abandonar el sentido completo de la expresión. ( On
the origin and significance of the axioms of geometry [1870],
Epis tem gica l W litÍ lzgs,p . 5
liarque eshiperbólico, yaque eslaimagen deuna métrica hiperbólica
bajo un isomorfismo. Por la nueva métrica estándar, las cuerdas
del circulo son lineas rectas infinitamente largas. Los ángulos son
correspondientemente rernetrizados. Aunque la superficie abierta
es un modelo de la geometría hiperbólica, Beltrami no pensó por
un momento que esta superficie abierta pudiera calificar como una
interpretación (en este sentido) de la geometría hiperbólica. Si
pudiera, entonces por sus propios argumentos, la geometría
hiperbólica tridimensional también seria interpretable. Sin duda, el
carácter arbitrario i .e ., no-euclidiano) de la métrica definida por
f fue la razón decisiva para descartar el espacio auxiliar como
una interpretación posible. Fue Helmholtz quien observó que las -
lineas rec tas en la superficie abierta de arriba son por mucho
parientes más cercanos de las lineas rectas estándar que aquellas
encontradas en el modelo preferido de Beltrami. Ésta fue la base
de su bien conocida prueba de que podemos, de forma intuitiva,
representar espacios no-euclidianos, mostrando así que la geome
tría euclidiana no es una necesidad de la intuición.
El primer paso en elargumento de Helmholtz fue eliminar la
ambigüedad de la noción kantiana de una representación intuitiva:
¿Podemos representarnos intuitivamente éste espacio? De
95
EOMETRí INTUICiÓN PUR LO
PR OR
vexa -y no cóncava, como podría pensarse alprincipio, pues todos
GEOMETRí INTUICiÓN PUR LO
PR OR
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En particular, ya que el universo no es infinito por los
estándares euclidianos a los cualesnuestro viajero espacial está acos
tumbrado), sino que está acotado por la superficie de la esfera de
radio
R
al principio pensaría y vería ) que todos los objetos es
tán aproximadamente dentro de una distancia R. Sin embargo, tan
pronto como comenzara a moverse como debe, según Helmholtz,
siél debe ser capaz de tener una geometría), encontraría un
núme
ro de sorpresas que alterarían sumodo de pensar y por lo tanto -de
acuerdo con Helmholtz- su modo dever.
Este reto a la idea de
nsch uungsnot lvendigkei t
es quizá la más
notable de las críticas de Helmholtz a la filosofía de la geometría
vería continuamente las líneas de los rayos de luz o las lineas de
vista de sus ojos como las lineas rectas parecen a aquellos que
existen en el espacio plano y como ellas realmente son en la ima-
gen esférica [de Beltrami] del espacio seudoesférico. La imagen
visual de los objetos en el espacio seudoesférico le dada por lo
tanto la misma impresión que si él estuviera en el centro de la
imagen esférica de Beltrani, p 21
hecho, lo acabamos de hacer en términos generales y podríamos
ser tan especificas como senos exigiera, apelando a los detalles de
la construcción de Beltrami. Pero larepresentación dada hasta aquí
es, por así decirlo, externa. Podemos imaginar este mundo notable
en el cual los objetos sólidos cambian de tamaño en modos no
tables y aun notar la relatividad de esta descripción: no tenemos
más derecho a juzgar elcomportamiento de sus patrones métricos
por los nuestros que el que ellos tienen a juzgar los nuestros por
los suyos. Pero ¿podemos representarnos este mundo desde elin
terior, no como un observador imparcial euclidiano podría ha
cerlo, sino como lo haría un habitante de ese universo? Helmholtz
contestó con una historia de un viajero interespacial. El observa
dor euclidiano es enviado al centro del universo espejo y se nos
dice cómo ese universo leparece a él.Ya que las líneas rectas en ese
universo son tan rectas como sus viejas líneas euclidianas, él
los objetos deS ypor lo tanto Smisma) son sus propios objetos co
rrespondientes. A pesar de la diferencia notable entre los dos uni
versos, la misma geometría es válida en ambos; en verdad, ambas
son euclidianas. la simetría va más allá. Desde el punto de vista_
dela métrica del espejo, nosotros somos habitantes deun universo
espejo en el cual los objetos cambian de forma conforme semue
ven, estrechándose conforme se acercan a su punto focal. Si las
cosas parecen divertidas o no es por completo una materia de
perspectiva. Helmholtz hizo a la intuición en geometría lo que
Montesquieu había hecho un sigloy medio antes a laintuición en
filosofía política.
Habiendo mermado nuestra fe en laintuición, Helmholtz l i
bró elgolpe decisivo. Una vez más se dispuso a describir un uni
verso tridimensional que nos podemos representar de forma
intuitiva; pero esta vez lageometría deluniverso sería no-euclidiana.
Es aquí que Helmholtz apela a laesfera auxiliar de Beltrami. Usan
do los resultados de Beltrami, Helmholtz se dispuso a deducir
cómo los objetos de un mundo seudoesférico aparecerían a un
observador, cuyas experiencias espaciales y estimación visual se
hubieran desarrollado, iguales a las nuestras, en un espacio plano
p.21). El modelo seudoesférico de Beltrami como la Flat land de
Helmholtz, no fue útil porque era bidimensional . Helmholtz se
concentró más bien en 16que para Beltrami era una mera repre
sentación analítica, el circulo auxiliar o para el caso tridimensional,
la esfera auxiliar. En un paso filosófico audaz, Helmholtz tomó la .
función f como una métrica en elespacio encerrado por la esfera
auxil iar. De acuerdo con esta métrica, los axiomas y teoremas de
la geometría hiperbólica son verdaderos. Más aún, las rectas secan
tes euclidianas son también líneas rectas. Helmholtz modela con la
imaginación un universo esférico dotado con laf-métrica, o, en los
términos más concretos preferidos por Helmholtz, un universo en
elcuallos objetos sólidos preservan su f-longitud bajo trasposición
en la misma medida que los objetos sólidos de nuestro universo
preservan su longitud euclidiana para alguna métrica euclidiana)
bajo transposición.
forma de un objeto
Crítica,
A223/B271; véase también
A2391
9
EOMETRíA INTUICI ? NPURA y LO PR OR
de Kant. Él también planteó otras cuestiones acerca de lo que Íos
GEOMETRíA INTUICiÓN PURA Y LO
PR OR
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v
Sobre el Origen y Significado de los Axiomas de la Geometría
de Helmholtz es un paradigma de un estudio seminal. Es una ex
plosión de nuevas, profundas y con frecuencia conflictivas ideas
acerca de la esencia de la geometría, Además de refutar la necesidad
intuitiva de la geometría (como dijimos en la sección precedente),
el artículo presenta a) la filosofía empirista oficial de la geomettia
de Helmholtz, la cual estaba destinada a tener una influencia ma
yor en las décadas posteriores; b) una refutación implícita pero
completamente clara de una parte crucial de a); c) una visión
apriorística de la geomettia, inconsistente con a);
y
d) la primera
formulación del convencionalismo geométrico -formulado pero
no en estr icto defendido como una posibilidad, a causa de su ob-
as fil os of ía s d e l a g e ometr ía d e e lmh o lt z
B298). Como vimos, aun a laluz de esa construcción, la posibili
dad de ese objeto podría aún ser dudosa
Crítica,
A224). El pro
blema de la aplicabilidad de la geometría pura al mundo es re
suelto como sigue: la síntesis constructiva a través de la cual el
concepto (de, digamos, un triángulo) es construida en la imagina
ción es precisamente lamisma que aquella que practicamos en la
aprehensión de un fenómeno para formarnos un concepto empí
rico
Crítica,
A224/B271).
Lo que dist inguió a los helmholtzianos neokantianos de sus
contrarios filosóficos fue su reacción a pasajes como éste: los
primeros consideraron éste como un problema, los últimos como
una solución. Los helrnholtzianos notaron el hecho obvio de que
tal pasaje quizá sugiere una idea interesante, pero es casi absurdo
como está. Hicieron entonces su mejor esfuerzo para asociar al
gún sentido claro y definido con tales palabras, relacionándolas
con lo que ellos u otros habían descubierto en los campos de la
psicología de la percepción o en geomettia. La respuesta filosófica
neokantiana a tales esfuerzos fue un eco constante del
dictum
profesoral de Cohen los cri ticas no han entendido a Kant
D ie
G egner habenKan t n i ch t v e rs tanden .
11 Este tercer punto incluye laobservación de que lageometría no determina
lamétrica, algo que aún Reichenbach no apreció completamente, pero que encon
tró un reconocimiento detallado en los escritos de Grünbaum Phi/osophicalProblo l l lS
S p ac e a n d T im o , cap. 3, sección B .
kantianos llamaron la aplicabilidad de la geomettia euclidiana.
En particular , se preguntó cómo podrían los kantianos explicar
por qué lamisma geometría que está supuestamente fundada en la
intuición pura también es fácil de aplicar a nuestro mundo empíri
co. Helmholtz notó tres dificultades. Primero, los kantianos deben
suponer que laintuición pura les da elconocimiento preciso de las
propiedades de, digamos, los triángulos o las lineas paralelas para
que pueda estar seguros de que lageometría euclidiana es verdade
ra -más bien que alguna muy pequeña desviación de ella. En se
gundo lugar, aun si nosotros estuviéramos provistos con tal ojo
mental muy preciso, ¿por qué deberíamos pensar que las leyes para
los triángulos geométricos de laintuición pura concuerdan con las
leyes geométricas que gobiernan los triángulos más bien no -pla
tónicos que nosotros encontramos en el mundo? En tercer lugar,
aun si las leyes de la geometría tanto en el dominio empírico y el
puramente geométrico son las mismas, no se sigue de allí que la
conducta métrica de los objetos ideales se parecen a esa entre sus
contrapartes reales (véase, Die Thatsachen in der Wahrnehmung
[1878], especialmente las pp. 397-398). El universo espejo de
Helmholtz estableció que dos dominios geométricos en los cuales
las mismas leyes geométricas son válidas pueden discordar radical
mente en juicios de congruencia.
Es inverosímil que algún neokantiano haya entendido alguna
vez el tercer punto de Helmholtz. ' En respuesta a los otros dos
apuntaron que las directrices de Helmholtz presuponían lo que
hemos llamado lainterpretación platónica de las palabras de Kant
y arguyendo que esto estaba en absoluto equivocado, ya que para
Kant no hay propiamente objetos geométricos. En su defensa, ellos
podrían haber apelado a esos pasajes en los cuales Kant dice que al
construir un concepto, construimos no un objeto sino sólo la
dl=g dx
dv
J }
EOMETRiA INTUICiÓNPURAY LO
PR OR
vio conflicto con a)y su aparente conflicto con c). El empirismo
oficial de Helmholtz se unió con el de Mill para inspirar un
GEOMETRiA INTUICiÓNPURA Y LO PR OR
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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intentaban justificar. Lie mostró que Helmholtz no había resuelto por completo el
problema o que , s i lo había resuelto, había descr ito muy mal las premisas de su
prueba; pues elaxioma de movil idad libre que podría ser pensado como fundado
en la exper ienc ia es uno que se ref ie re a movimientos f in itos , mient ras que e l
razonamiento de Helmholtz implica un llamado a.una versión del principio que lo
aplica a movimientos infinitesimales. Como muchos otros en laépoca, Helmholtz
parece haber pensado de los movimientos infinites imales como movimientos fi
nitos pero minúsculos. Así , élconcluyó que uno podría inferir de suvers ión finita
de movilidad libre la versión infinitesimal
que esverdadero de tudas los movi
mientos finitos debe también ser verdadero de los minúsculos). Lie, en contraste,
fue sensible a laidea (resultante del trabajo deBolzano) de que los . movimientos .
infinitesimales no eran movimientos y que las distancias infinitesimales no eran
dis tancias, y que el discurso referente a infinites imales tenía que ser construido
como, en efecto, incluyendo lo que Russell vino a llamar símbolos incompletos. El
razonamiento por entero falaz de Helmholtz puede ser vis to como un caso para
digmático de la falacia de la concretez desplazada de Whitehead, yel punto de
Lie como una apl icación i luminadora y notable de la doc tr ina de los símbolos
incompletos. Para una iluminadora explicación. de los hechos relevantes véase de
Torreti Phi l osop f ?yo f Geome tr yf r o » R i emann
lo
Poiucaré ,cap.
.3
parte 1
La hipótesis de que el espacio es infini to parecía just if icada
por la teoría física, pero ¿qué justifica elaxioma de movilidad libre?
Helmholtz lo tomó como un hecho observacional
(Epistemologit al
IV1itings,
p. 15), algo que tod~s nosotros hemos experimentado
desde la más temprana juventud en adelante p 4). Pero es claro
que la inferencia a partir de observaciones de lamovilidad libre es
refutada por elpropio ejemplo del universo espejo de Helmholtz.
Pues los habitantes de ambos universos verían desde su más
temprana juventud que sus varas de medir y otros objetos sólidos
satisfacían el axioma demovilidad libre y también verían que las
varas de medir en el otro universo
11
satisfacen el axioma. No
podrían ambos estar en lo correcto en su inferencia de la movil i
dad libre a part ir de la experiencia, sin embargo, -por el razona-
12El objet ivo original de Helmholtz en On the facts underlying geometry
fue mostrar que dada la tridimensionalidad y lainfinidad del espacio, la movilidad
libre implicaba que
el
espacio debe ser euclidiano. Se mostró que la movil idad
libre implica curvatura constante y la hipótes is de infinitud descartaba los espa
cios esféricos (de curvatura mayor que O . Entonces, en 1869, Beltrarni l lamó la
atención de Helmholtz sobre supropio AnAttempr to Interpret Non-Euclidean
Geometry , en elcual , como vimos, estudió espacios de curvatura
mgativa
cons
tante que sat isfacen tanto la movil idad libre como elpostulado del infinito. On
the origins and s ignif icancc of the axiorns of geometry de Helmholt z es en
esencia una meditación filosófica acerca de
el
descubrimiento de Beltrami.
Es digno de notar que labúsqueda de un conjunto interesante de condicio
nes sufi cientes para la forma mét ri ca de Rlemann pronto vino a ser conoc ido
como der l Imsprob l em . Lo que deber ía contar como un interesante conjunto de
condiciones nunca fue muy bien definido, pero se supone generalmente que te
nían que ser algo conocidas con mayor certeza que laforma riernanniana que ellas
empirismo creciente e influyente pero a un nivel geométrico estre
cho. Su doctrina apriorística fue ávidamente captada por los
neokantianos, a quienes les gustó tanto que se la atribuyeron a
Kant. Poincaré fue el primero en ver con claridad más allá de
Helmholtz, reconociendo no sólo las limitaciones del empirismo
geométrico sino, más importante, la consistencia y en verdad la
adecuación del convencionalismo de Helmholtz y de las doctrinas
apriorísticas.
La doctrina empirista oficial de Helmholtz descansaba en su
pretensión de que los hechos empíricos están en elfundamento de
la geometría. Lo más básico de esos hechos está descrito por el
axioma de movil idad libre, el cual dice que las configuraciones
geométricas pueden moverse sin cambiar en su forma o dimensio
nes
(EpistemologicaIWritings,
p.4).Helmholtz había argumentado en
De los Hechos Subyacentes a la Geometría (1868,
EpisteJlJological
Writings)
que de este axioma, más el hecho de que el espacio es
infinito, uno podía probar la hipótesis central de la geometría de
Riernannian, acerca de que lamétrica debe tener la forma.F
ésta deba ser pensada como necesaria p 270). Muchas de las más
101
EOMETRíA INTUICI~ NPURA
LO
PRIORI
miento de Hehnholtz, siuno de ellos está en lo correcto, también
GEOMETRíA INTUICIÓNPURA Y LO
PRIOF I
00
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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l
14En Uber die thatsáchlichen Grundlagen der Geometrie 1868), Helmholtz
había hecho la misma afirmación, agregando, Esta investigación es completa
mente . independiente de la cuest ión ulterior del origen de nuestro conocimiento
de las afirmaciones de contenido ·factual p 610). Esta materia fue eltema central
de On the Origin and S igni ficance of the Axiorns of Geometry .
interesantes filosofías de la ciencia desarrolladas en las pasadas
décadas han estado inspiradas por laidea opuesta: muchos princi
pios científicos fundamentales no son de ninguna manera pensa
dos por necesidad -en realidad, costó un gran esfuerzo desarrollar
los sistemas de conocimiento que los incorporan; pero sus nega
ciones también parecen imposibles- no necesitan ser pensados,
pero si son pensados alguna vez, deben ser pensados como nece
sarios. Esta doctrina, cualesquiera que sean sus méritos intrínse
cos, no es empirista nikantiana. Emerge directamente deideas que
florecieron, como veremos, en Viena alrededor de·1930.Pero sus
raíces están en el convencionalismo de finales del siglo
XIX
véase
capítulo 7) e, incluso más atrás, en los escritos seminales de
Hehnholtz.
Nadie antes de Helmholtz fue tan agudamente consciente tan
to
de la necesidad de permitir una variedad de sistemas de geome
tría
como
del papel pre empírico peculiar que tales sistemas juegan
en la organización de nuestro conocimiento. El pasaje inicial de
De los hechos subyacentes a lageometría de Helmholtz 1868)
establece un hecho notable respecto a los axiomas de lageometría:
para poner a prueba los axiomas debemos saber qué objetos son·
rígidos, qué superficies son planas y qué ángulos son rectos, pero
nosotros sólo decidimos si un cuerpo es rígido, su lado plano y
.sus ángulos rectos, por medio de las mismas proposiciones cuya
corrección factual se supone que debe mostrar el examen
Epis temologicaIWrit ings ,
p. 39).
14
Los enunciados que muestran este
rasgo extraordinario no sólo se encuentran en la geometría. Otro
ejemplo es elprimer axioma de Helmholtz dela teoría de la medi
da: si dos magnitudes son ambas similares a una tercera, son simi
lares entre
si p
94).De acuerdo con Helmholtz, este axioma no
13El hecho que es, en efecto, observado por los miembros de ambos univer
sos y de lo que quizá pretendía Helmholtz que contara como fundamento factual
de lageometría eslo que Grünbaum hallamado la hipótes is de la concordancia
de Riernann laafirmación de que objetos sól idos que coinciden enun tiempo y
lugar coincidirán en otros t iempos y lugares , independientemente de cómo han
sido transportados. Todos los espacios riemannianos -incluyendo los de curvatu
ra variable- sat isfacen esta condición geométricamente reinterpretada como la
vía de laindependencia de los juicios de congruencia). Este nuevo hecho dificil
mente puede ser considerado como un nuevo candidato para el fundamento em
pírico de lageometría, sin embargo, yaque lageometría infinitesimal de Weyl, por
ejemplo, permite espacios que violan la hipótes is de concordancia de Rlemann.
Para referencias véase mi Elective affinities: Weyl and Reichenbach .
lo está el otro. Por lo tanto, ninguno estaría en lo correcto y la
inferencia de Helmholtz del axioma estaría infundada.
.Al lado de este empirismo geométrico insostenible uno en
cuentra en los escritos de Helmholtz una diferente y mucho más
promisoria teoría de la geometría, pues las raíces del convenciona
lismo están claramente bajo la superficie de mucho de lo que
Helmholtz tiene que decir sobre la esencia de lageometría. Se po
dría decir que elpropósito del convencionalismo geométrico, tal y
como fue desarrollado por Poincaré y otros a finales del siglo XIX
fue realizar un acto compensatorio considerado en general como
imposible: garantizar a los kantianos el carácter
aPrior i
de muchos
principios científ icos lageometría en un lugar prominente) yal
mismo tiempo insistir en su carácter reemplazable y en la existen
cia de alternativas también necesarias a ellos. En
l
E xam en d e la
F i loso f íade S i l -
H í :
Hamilton,
Mill había expresado con peculiar clari
dad lo que era, sin duda, una opinión ampliamente compart ida
entre los empiristas y sus oponentes kantianos. Uno de estos últi
mos
s
había quejado de que
Mili
no distinguió entre la necesidad
de pensar algo y elpensamiento de esa cosa como necesaria. Mili
replicó reconociendo la distinción pero notó que el fundamento
para esto último es siempre un argumento para lo primero. Agre
ga, si rechaza la necesidad de pensar la cosa del todo, refuto que
podría considerara los axiomasde lageometda comoproposicio
103
GEOMETRiA I NTUIC iÓN PURA Y LO
PR OR
es una ley que teriga significación objetiva; sólo determina a qué
GEOMETRiA INTUICiÓN PURA
y
LO
PR OR
02
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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Cuando los alemanes empezaron a recuperarse del idealismo, la
primera cosa que seles ocurrió fue regresar a Kant
y
empezar de
nuevo tratando de acertar esta vez. El neokantismo es la etiqueta
para una variedad de movimientos que tuvieron poco más en co-
mún que una desconfianza hacia los poskantianos que los prece
dieron
y
lacreencia de que lo que Kant quiso (pero no logró) decir
era profundo y verdadero. En este sentido general del término,
Helmholtz inició uno de los más tempranos movimientos
neokantianos. En Uber das Sehen des Menschen (1855), llamó a
una reevaluación
y
reinterpretación de la filosofía trascendental a
laluz de la nueva investigación en psicología de lapercepción (pp.
76-77). El gran historiador de la filosofía griega Eduard Zeller se
uniría en algún momento aHelmholtz en suintento de ofrecer una
imagen del kantismo consistente con la ciencia
y
filosofía de la
e ll nd o l s f ug s
La interpretación que Helmholtz ofreció aquí como una posi
ble defensa para un kantiano eslamisma que había adoptado en la
observación citada antes de Sobre los hechos subyacentes a la
geometría (p. 39) respecto a cómo podemos decidir si los cuerpos
son rígidos. Examinaremos sus implicaciones brevemente, cuando
veamos la lectura de los neokantianos de esta observación fecunda.
nes
apr ior i
dadasa travésde laintuicióntrascendental,y esaspropo
sicionesno podrían serconfirmadasni refutadaspor ningunaexpe
riencia,porque uno debería primero tener que decidir en acuerdo
con ellassilos cuerposnaturalesdadosdeberíanser considerados
como rígidos Pero deberíamosagregarentoncesque bajo esta in
terpretación,los axiomasgeométricosciertamenteno seríanenun
ciadossintéticos en el sentido de Kant; pues entonces ellos sólo
afirmarianuna consecuenciaanalíticadelconcepto de configura
ción geométrica rígida necesariapara la medida, ya que uno po
dríaaceptar como rígido sóloaquellasconfiguracionesque satisfi
cieranlos axiomas.
r i f i e n
i tr
Erke l l l l tn is theor ie pp.
23-24
Desde luego,uno podría también entender el concepto de confi
guracionesespacialesgeométricas
rígidas
como un concepto tras
cendental, formado independientemente de experienciasrealesy
al cual éstas no necesitancorresponder, como de hecho nuestros
cuerpos naturalesno corresponden de manera enteramente pura
y sindistorsiones con losconceptos quenosotros hemos abstraí
do de ellosinductivamente.Siadoptáramos esteconcepto de rigi
dez entendido como un ideal,un kantiano estricto seguramente
relaciones físicas nos es permitido reconocer como similares (p.
94). El principio de causalidad también tiene un
s tatus
excepcio
nal porque es la presuposición para lavalidez de todas las otras
[leyes]; ... esla base de todo pensamiento y conducta. Hasta que lo
tenemos no podemos ni siquiera verificarlo: así sólo podemos creer
en él, conducirnos de acuerdo con él (Kónigsberger, Hermas» vo n
Helmhol t i vol
1,
p
248).
¿Cómo debemos interpretar tales enunciados? En sus más
lúcidos momentos, Helmholtz sugir ió que para responder a esta
pregunta debemos observar más de cerca cómo distinguir dentro
de nuestro conocimiento entre lo que tiene sentido objetivamen
te válido ylo que es sólo definición o consecuencia de definicio
nes, o depende de la forma de la descripción
On
the facts
underlying geometry ,
Epi s t emol og i ca lWr i t i ngs
p. 39). Así, a veces,
estaba inclinado a pensar en los axiomas geométricos como defi
niciones y aseveraba que el primer axioma de la aritmética , la
ley de que magnitudes iguales a una tercera deben ser iguales una a.
laotra, puede ser propiamente considerada como la definición de
igualdad. El axioma debe ser satisfecho en aquellos casos en los
cuales dos pares de magnitudes deben ser reconocidas como mu
tuamente idénticas
Einlei t tmg
p.27;ver también Numbering and
measuring ... ,
Epi s tem o lo g ica l
n~ i:iti1~s. 78). Quizá elenunciado más
intrigante
y
notable de esta posición aparece en Sobre el origen
y
significado de los axiomas de la geometría . Después de sugerir
que los axiomas geométricos tratan del comportamiento mecáni
co de cuerpos rígidos en movimiento, agregó:
acertada, que los escritos de Helmholtz contienen una explicación
5
EOMETRí INTUlqlóN PUR Y LO PRIORI
época. Como veremos, este movimiento continuaría en el siglo
GEOMETRí INTUICIÓN PUR LO PRIORI
04
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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Para su beneficio, Cohen parece haber sido elprimero en re
conocer con claridad que eluso analít ico de Kant es ambiguo.
Cohen arguyó que hay dos sentidos de analítico y de sintético en
Kant, en efecto, el primero y tercer sentidos identificados en el
capitulo (véase
Ka n ts T b e or i e d e r E r f a br tl 1 1g
cap. 11). Kant algunas
veces quiso decir por sintét ico predicado no pensado en el suje
to , y otras veces quiso decir teniendo una intuición como elfun
damento de la síntesis . En lugar de considerar esto como elresul
tado yla fuente devarias confusiones, sin embargo, Cohen tomó la
ambigüedad como otra prueba dela sutileza deKant. De acuerdo
con Cohen, laprimera definición es nominal, mientras la segunda
esreal. La distinción entre esos dos tipos de definiciones puede ser
ilustrada con un ejemplo debido al venerable Wolff, quien había
explicado en su l ó g i que una definición nominal de un reloj debe
r í a ser una máquina que muestra las horas , mientras que si yo
explico su estructura, doy una definición real (pp. 41-42). Apa
rentemente, una definición real da una explicación de las causas o
]
Pensó que uno podría concebir la noción de una configuración
geométrica espacial rígida como un concepto trascendental y,por
. lo tanto, consideró los axiomas de lageometria como enunciados
dados a través de laintuición trascendental . Pero en ese caso los
axiomas de la geometría resultarían enunciados analíticos. Pues
ellos aseverarían entonces sólo lo que se siguiera analíticamente
del concepto de configuración geométrica rígida necesaria para la
medida . Aquí Helmholtz se está apoyando en ladefinición nomi
nal usual de analí tico y s intético, la cual hemos dejado atrás hace
mucho. El concepto de una configuración geométrica en general,
por no hablar de una apropiada para lamedida, no tiene conexión
con elconcepto deverdad analí tica, sino que es, desde suorigen y
carácter, una noción sintética; pues presupone la intuición.
I ¡mts
Tbeo r i e d e r E i f ab rung ; p 232)
diferente a este respecto:
XX, y se pone de manifiesto en el trabajo de Planck, Schlick, y
muchos otros inclinados a agregar un giro realista científico a la
filosofía trascendental.
Lo que en general se conoce como neokantismo, sin embar
go, es un fragmento de este movimiento más grande que tuvo un
interés mucho más débil enla ciencia que elque tuvieron Helmholtz
o, el mismo Kant. El más importante exponente de este neo
kantismo filosófico fue Herrnann Cohen, fundador de la cele
bre escuela de Marburgo; de esta escuela emergieron Natorp,
Heirnsoeth, Ortega y Cassirer, Rickerty Winde1bahd guiaron a una
diferente rama del movimiento que estaba más preocupada por
una extensión del pensamiento kantiano a las ciencias culturales.
Fuera de la escuela de Marburgo, Alois Riehl intentó mostrar que
larepresentación kantiana del conocimiento fue consistente con el
comportamiento más bien irregular desde 1800 de las ciencias no
culturales. Unpunto en elcuallos neokantianos estrictos coinci-
dieron en que las crit icas deHelmholtz no habian dado en elblan
co. En cualquier lugar que habia una discrepancia genuina,
Helmholtz estaba equivocado, y en cualquier lugar que Helmholtz
hubiera hecho una observación interesante, la observación ya po
día ser encontrada en Kant, siuno sabia cómo leerlo. Al defender
a su héroe, los neokantianos fueron en buena medida ayudados
por la naturaleza dialéctica, y cambiante de las observaciones de
Kant respecto a laintuición pura (véase laprimera sección de este
capituló, los mensajes mixtos de Kant ).
La posición de Helmholtz puede ser aún más clara si conside
ramos de manera escueta las respuestas delos neokantianos alreto
deHelmholtz. Había los que pensaban que Helmholtz simplemente
no era un buen filósofo y aquellos que pensaban que su filosofía
era excelente, pero su conocimiento de Kant era malo. Examinare
mos un ejemplo de cada grupo.
Cohen objetó la caracterización de Helmholtz de rigidez como
una propiedad física que podemos reconocer en los objetos como
una materia de hecho empírico. Pero observó, también de forma
cepto geométrico particular C se siguen analíticamente de C, aun
que esos axiomas no estén fundados en un análisis de Más bien,
107
EOMETRí INTUICiÓN PUR Y LO
PR OR
fuentes de los rasgos adscritos en lanominal. La conclusión es que
la segunda definición de Kant de analítico no es equivalente a la
GEOMETRf INTUICiÓN PUR Y LO
PR OR
06
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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nosotros no tenemos acceso alconcepto C sólo mediante laadop
ción de esos axiomas. Como Sellars alguna vez lo dijo, ciertos con
ceptos presuponen leyes y son inconcebibles sin ellas; un axioma
geométrico puede no decirnos nada acerca de puntos, lineas, y así
sucesivamente, pero si, en lugar de ello algo acerca de los concep
tos de punto, linea, y así en adelante. De acuerdo con esta opinión,
nuestro conocimiento. de los axiomas geométricos seria muy pare
cido a lo que Kant consideraba como conocimiento trascendental,
pues no trataría con objetos de ningún tipo, sino con nuestro co
nocimiento de los objetos enparticular, con esa parte de nuestro
conocimiento que parece
a pri ori .
Así, no importa cuán obscuro y confuso sea,Helmholtz pare
cía estar apelando a una noción de analiticidad que no implicaba ir
al concepto para mirar sus constituyentes, sino ir fuera de él, para
buscar los vinculas analíticos con otros conceptos. Podríamos
llamar a esta opinión holística , ya que reconoce una relación in
tima entre un concepto y un contexto mayor, un contexto
proposicional, y toma este concepto siendo en algún sentido ante
rior al concepto. El contexto proposicional es anterior en elsenti
do en que define alconcepto, o mejor, laaceptación de las propo
.siciones que forman elcontexto esparte de loque está involucrado
en elreconocimiento de lo que es el concepto. Las consecuencias
analít icas del concepto son las consecuencias fregeanas de esas
aseveraciones que, como otros lo dirían (cap. 14), constituyen al
concepto.
A diferencia de Cohen, Riehl trató de leer las intuiciones de
Helmholtz en los escritos kantianos. En
Derpbi iosophiscbe Kri t idsmi«
Riehl presentó una versión dela concepción kantiana de lageome
tría que desarrolló un severo cuestionamiento alque debían some
terse las opiniones deKant como resultado de ciertos hechos acerca
de las geometrías que habían emergido en las décadas recientes.
Riehl reconoció que algunos de los elementos centrales de la teoría
de las matemáticas deKant eran insostenibles y se esforzó en ajus-
15
Riehl no lo hizo mejor. En
e r p h i l o so p h i s h e Kri t i i i smus
explicóque en los
juiciosanalíticos nosotros analizamosel contenido delconcepto dado y por ese
medio iluminamos o clarificamosnuestro entendimiento de él.Si,por otro lado,
diferentesconceptos sonpuestos en un juiciocomplejo,la unidadde representa
ción resultante es sintética;amplíanuestro conocimiento delconcepto sujeto.El
permanecer en unpunto en elconcepto dado en un caso,el
más alláde éstea
otro concepto, en el segundocaso,significala diferenciaentre analíticoy sintéti
co (vol.1, pp.318-319).Sindetenersemás,concluyó: Juicioscuyo fundamento
de conexión es un concepto son juiciosanalíticos;juicios cuyo fundamento de
unidad es laintuición son sintéticos.Los juiciosanalíticosson juiciospuramente
conceptuales;los juiciossintéticosson juiciosde intuición p.
320 ,
primera, sino que va más allá; ésta identifica la esencia de la
analiticidad.
Es claro que, Cohen sólo tuvo éxito en bautizar la dificultad,
pues ni siquiera notó que las extensiones de las dos definiciones
difieren. Tampoco se dio cuenta de la diferencia entre su sentido
nominal de analítico y su crucial
s egundo
sentido -verdadero en
virtud de los conceptos. Como todos los otros kantianos, asumió
como dogma que las afirmaciones de conocimiento que deben
ser derivadas de conceptos dados [...] son analíticas en el sentido
nominal K a n ts T b e o ri e d e r E r f a h rt m g p. 115 .1 5
No habiendo notado esta distinción crucial, es natural que
Cohen confundiera el sentido de analiticidad sugerido por la ob
servación: ci tada de Helmholtz con el sentido nominal de Kant y
que debiera tomar su inadecuación respecto a las intenciones de
Helmholtz como razón suficiente para concluir que laintuición es
necesaria en los propósitos requeridos. Pero es claro que ésta es .
una interpretación insostenible de las palabras de Helmholtz. De
acuerdo con el sentido nominal de Kant, nosotros identifica
mos las consecuencias analít icas de un concepto C mirando los
constituyentes de Sin embargo, como Cohen observó, nada de
esto está involucrado en 13;elación invocada por Helmholtz. Se
gún Helmholtz, los,axiomas geométricos que involucran un con-
los conceptos geométricos, tenemos que inversamente, los he
9
EOMETRíA, INTUI piÓNPURA y LO PR OR
tar la doctrina para acomodar esos recientes y embarazosos desa
GEOMETRíA,INTUICiÓN PURA Y LO PR OR
8
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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.
i
_
16
Véase también Riehl F i i br e n de e n k e r n n d F a r sc b e r cap. 9, en especial: pp.
228-229.
Desde sus premisas helmholtzianas, Riehl trató de derivar la
conclusión kantiana respecto a la subjetividad del conocimiento
geométrico: el sujeto no es ciertamente, corno Kant enseñó, el
único portador de las relaciones espacio-temporales de los fenó-
menos; éles enverdad elautor de su forma de pensamiento deter
minado p. 116). Y como en Kant, aunque esas formas están, en
algún sentido, por encima de nosotros, no tenemos realmente una
elección sobre lo que esas formas serán: esta forma de conoci
miento es por necesidad válida para la captación consciente de las
relaciones de intuición p. 116). En otras palabras, el espacio
euclidiano es en realidad necesario después de todo - no una nece
sidad de laintuición, sino una necesidad lógica , esto es, una ne
cesidad fundada sólo en los conceptos. Pero nótese qué lejos está
esto de las ideas deKant. Ahora la necesidad conceptual no está
fundada en nada parecido a un análisis de conceptos; no hay, en
verdad ningún discurso acerca ,del análisis en el sentido nominal.
Más bien, la necesidad conceptual emerge por una ruta no especi
ficada, que incluye de alguna manera la adopción de ciertos axio-
Nadie ha expresadomás claramenteque Helmholtz estaindepen
denciade lasconfiguracionesidealesde la geometríade susrepre
sentaciones corpóreas en la realidad, la dependencia de nuestro
conocimiento juiciorespecto de lasúltimas sobre lasprimeras,
como éllo hacecuando dicequesi cuerpo es rígido,su super
ficieplana susángulosrectos deben serdecididos por medio de
las mismas proposiciones (geométricas)cuya corrección factual
(empírica)ternaque serexhibida por la prueba. p . 1 77 16
chos deben ser verificados a través de ellos (p. 177). De acuerdo
cón RieW, esta doctrina delos conceptos geométricos como lógi
cos puede ser encontrada (aunque tácita y oblicuamente) en los
escritos de Kant y, explicitamente, en los de Helmholtz:
Éste es, dé hecho, elcaso
delos
axiomas de Euclides: respec
to a las propiedades fundamentales del espacio, lo que no puede
ser decidido nipor intuición nipor análisis está ya decidido lógica
mente p. 178). Los conceptos geométricos no son derivados de
la experiencia, de acuerdo con Riehl, ni probados por medio delos
hechos ; son conceptos aPr io r i porque son creados a través de la
facultad del pensamiento. En lugar de tener los hechos verificando
Es un prejuicio creer que lo que no puede ser derivado de las
matemáticas puras debe por esamisma razón, ser derivado de la
experienciapura. Por encimade lasmatemáticasy la experiencia
están los principios dominantes de la lógica
-y
cuando se prueba
que ciertas afirmacionesde conocimientono sonnimatemáticas
ni empíricas, se haprobado que tienenun origenlógico: p . 175)
rrollos no kantianos.
Por ejemplo, Riehl reconoció de manera abierta que para él
no tenia sentido la noción kantiana de una intuición pura en geo
metría (pt. 1, cap. 2, sec.2) . No vela cómo interpretar esa noción
excepto como un regreso a la idea de que las formas pueden sub
sistir independientemente de las entidades empíricas en las cuales
están incorporadas. Como un verdadero kantiano, Riehl consideró
tales objetos como fantasias metafísicas de la-filosofía ptekantiana.
Consecuentemente, no hay representación a p r io ri ni conceptual
ni intuitiva, que pueda ser construida como una entidad; en cam
bio, hay funciones aprior i de laconciencia que son impuestas como
condiciones de la experiencia (p. 86).La form~ no es más que un
punto final abstracto para un orden de sensaciones p . 104).
Sin embargo, Riehl pensó que Kant estaba en lo correcto acerca
de todo lo que importaba y que sus criticas consuetudinarios esta
ban equivocados. Si los axiomas de la geometría no pueden ser
fundados en el análisis o en la intuición, no se sigue que deban
estar fundados en los hechos. Hay otro fundamento posible para
elconocimiento que dehecho Kant habia reconocido pero no ex
plorado con suficiente profundidad:
4
I ~==· ~= · = = · .
= , , , , , , , , , , , , , ,, , m , , , , , , c . , : m m , , , , , . . . . . .
, , , , , , , , , , , .m ,, , , , , , , , , 0
S EM Á NT IC D E F RE G E y
LO
PR R
mas; esos son aceptados o reconocidos como verdaderos en al
gún sentido de esta expresión, quizá sólo demanera vaga asociada
GEOMETRíA,INTUICiÓNPURA Y LO
PRIORI
10
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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111
• Traducción MaxFernández de Castro UAM-I .RevisadoporJuan Anto
nio Sánchez.
Por medio del ejemplo presente... vemos cómo el pensamientopuro,
independientementedel contenidodado por los sentidos o aún por una
intuición
a p r io r i
puede llevar a cabo.juicios que derivansolamentedel
contenidoque surge de su propia constitución,lo cual a primeravista,
parece ser posiblesólo en la base de alguna intuición. Uno puede
compararesto con la condensación,a través de la cual es posible
transformarel aire que a la concienciade un niño aparececomo nada
en un fluido invisible en forma de gotas.
FREGE, EGRIFFSSCHRIFT
La creencia errónea de que un pensamiento un juicio, como es
usualmentellamado) es algo psicológicocomo una representación
conduce necesariamenteal Idealismoepistemológico.
FREGE, LÓGICA , N CHL SS
¿El sensualismode Locke, el Idealismode Berkeleyy tanto más que
estáligadocon esas filosoflasno habrlasido Imposiblesi ellos hubieran
distinguidoadecuadamenteentre el pensamientoen el sentido estrecho
[objetivo]y la representación;entre los constituyentes conceptos,obje-
tos, relaciones)y las representaciones?Aún si el pensamientohumano
no toma lugar sin representaciones,el contenidode un juicio es algo
objetivo, .el mismo para.todos ... Lo que estamosdiciendo para el
contenidocompletoes verdaderotambiénpara sus constituyentesque
podemos distinguirdentro de él.
FREGE, ESBOZODE UNA RÉPLICAA KERRY,N CHL SS
E N R IT ME TIC
con sus frases constituyentes); de-alguna-manera en.virtud de los
conceptos involucrados -o, como alguien lo diría más tarde, en
virtud de los significados que intervienen. Llevada a su conclusión
natural; esta linea de pensamiento conduciría a la opinión de que
aunque cada conjunto de axiomas geométricos es, en el sentido
apropiado, lógicamente verdadero, es también el caso que cada
conjunto de axiomas estan bueno como cualquierotro. Laversión
trascendental de lageometría deHelmholtz conduce, inevitable
mente, alprincipio de tolerancia en geometría.
1
e g r i f f s s h r i f t
113
SEMÁNTICA DE FREGE Y LO
PR OR
EN ARITMÉTICA
u
ntes de Frege, los m~jores textos de l~gi~apodrían haber
LA SEMÁNTICA DE FREGE Y LO A PRIORI EN ARITMÉTICA
112
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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Los signos empleados en consideraciones filosóficas no son nada
más que pa labras que fallan a representar a través de su propia
composición los conceptos parciales que constituyen laidea
corn-
pleta significada por la palabra; ni puede su conexión designar la
relación de pensamientos filosóficos. Esta es la razón por la cual
y
en otro lado agregó:
son vehículos sensibles del conocimiento, de tal manera que uno
puede estar confiado con el los de que ningún concepto ha sido
olvidado y de que cada simple comparación ha tomado lugar a
través de reglas simples, etcétera, como uno lo está de lo que ve
con sus propios ojos. La tarea es faci lit ada por el hecho de que
uno no debe pensar las cosas en su representación general , sino
sólo acerca de los signos conoc idos de forma individua l y con
conocimiento sensible. En el caso de la filosofia, por el contrario,
las palabras, los símbolos del conocimiento filosófico, sirven sólo
para recordarnos el concepto general que está siendo designado.
Uno debe siempre mantener susignificado ante los propios ojos y
el entendimiento puro mantenido en esfuerzo constante; y cuán
imperceptiblemente una característica de un concepto abstracto
senos escapa, pues no hay nada sensible para revelarnos su omi
sión. (Kant,
Un t er s u chungm übe rna t ür l ic h e The o log i e
pp. 291-292; véase
también
rítica
A715-18/B743-6)
De acuerdo con laconcepción temprana de Kant acerca del cono
cimiento matemático, la virtud distintiva del simbolismo matemá
tico es que éste representa isomórficamente los rasgos de su tema.
En aritmética, Kant había argumentado que los símbolos, con su
capacidad para crecer y disminuir y sus relaciones mutuas, ofrecen
un modelo de los rasgos correspondientes de los números. Él pen
só que el caso de la geometría era aún más sorprendente, porque
llí los símbolos en realidad separecen a lo simbolizado. Los sím
bolos matemáticos , argumentó:
Frege alteró de manera radical elcarácter de lalógica. Rechazó
la doctrina tradicional de esas cinco categorías
y
ofreció una nueva
explicación que guió eldesarrollo de lalógica en la siguiente centu
ria. Frege reemplazó lapartición entre sujeto
y
predicado con una
entre objeto
y
función. Argumentó que lacópula no esun elemen
to separado ligando sujeto
y
predicado sino sólo una parte o fun
ción del concepto desplegado en su carácter insaturado; que la ca
tegoría de calidad deriva de una confusión entre el contenido
proposicional no aseverado
y
su aseveración;
y
que la interpreta
ción propia de lacantidad requiere de una teoría de la cuantificación
que reconoce el carácter funcional del concepto cuantificado
y
la
existencia de conceptos de nivel superior.
Es ampliamente reconocido que esos descubrimientos seña
laron elnacimiento de lalógica moderna. Ellos no son, sin embar
go, más que subproductos de la empresa fundamental que inspiró
a Frege desde sus más tempranos escritos: una investigación del
carácter de lo que nosotros decimos cuando transmitimos infor
mación por medio dejuicios -no sólo de lo que nosotros decimos,
sino de lo que podríamos decir o juzgar. Desde sus primeros escri
tos la preocupación principal de Frege fue con el significado o
contenido, lo que é l l l mó lo lógico - esto es, con la semántica.
Cada proposición categórica tiene un sujeto, un predicado, una
cópula, una cualidad y una cantidad. Sujeto y predicado son llama
dos términos . Por ejemplo, en elhombre pío es feliz , elhombre
pío y feliz son términos de los cuales el hombre pío es el sujeto,
feliz es el predicado y es es la cópula. La cualidad de la propo
sición es afirmación o negación ...hi cantidad de una proposición
es su universalidad o particularidad. (Leibiniz,
Opusc t t le f e l jragments
i n éd it s d e L e ib n ii J
pp. 77-78)
empezado con un parrafo como el siguiente: .
tructura de los conceptos p. 13).Pero enlugar de sacar la conclu
sión fatalista de Kant, Frege intentó identificar lo que otros llama
115
LA SEMÁNTICA DE FREGE Y LO
PR OR
EN ARITMÉTICA
en cada acto depensar para este modo de conocimiento uno debe
tener la cosa misma ante los propios ojos, y se vuelve necesario
LA SEMÁNTICA DE FREGE Y LO A PRIORI .EN ARITMÉTICA
14
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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2 Véase la car ta de Russell del 15 de enero de 1904 a Meinong , en la cual
identificó su concepción de lalógica con la Gegells tal/ds theor ie de Meinong.
Esta distinción con frecuencia ignorada jugará un papel decisivo en lacarac
terización de dos t ipos de realismo (atribuidos a Helmholtz y a Planck-respectiva-
rían un lenguaje perfecto , un fragmento del alemán que expresa
ra de modo perspicuo el contenido de lo que decimos. La tarea
del lógico , explicó, es conducir una lucha continua ... en parte
contra ellenguaje y lagramática en tanto que éstos fallan a dar una
expresión clara a lo lógico ( Logik [1879-91] Nacb l a s s , p. 7).
Lo lógico -sería un serio error mal interpretar lo que Frege
quiso decir por esta expresión recurrente en susescritos tempranos.
Lo que Frege Russellllamaron lógico , lo que Husserl denominó
una investigación lógica , lo queMeinong llamó Gegemtands theor i i
lo que Wittgenstein nombró una observación lógico-f.tlosófica
son parientes cercanos; no deberían ser confundidos con lo que
ahora es llamado lógica, después de que el formalismo
la teoría
de conjuntos han venido a dominar elcampo. Su lógica fue nues
tra semántica, una doctrina del contenido, de su estructura
y
natu
raleza,
no sólo de su fragmento formal .
Por ejemplo, Frege explicó que el entendimiento de varios len
guajesrevelael hecho de quelos lenguajesnaturales contienen un gran
número de rasgos no-representacionales, elementos que no represen
tan nada lógico . Concluyó que una familiaridadcon varios lenguajes
es por completo
útil
porque diferencias entre lenguajes pueden re
ducir la dificultad en captar lo lógico ( Logik [1879-1891]Natb l a s s ,
p. 6;también en un esbozo posterior, Logik [1897]Nad11ass ,p. 154).
Cuando Frege definió como su objetivo aislar lo que es lógico
( Logik [1879-1891]
Nac-h lass ,
p.6)
Y
separar con precisión lo psico
lógico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo
( T h e F o u n d at i on s
Ar ithmetic , p. xxi i , estaba queriendo decir que su blanco, el elemento
objetivo o lógico en elpensamiento, no es lo que permanece en el
juiciocuando elcontenido esexcluidosino lo que permanece cuando
descartamos el elemento específicamente
pSÍC ológ ico .3
Véase también Kant, Critica, A715~18/B 743-6. Es interesante queBolzano
serefirió a esta misma afirmación en ¡ WL,vol . 4,p. 291, observando que lamate
mática ahora usa el método que Kant atribuyó a la filosofía, ya que evita entera
mente la intuición.
Así, en la juvenil opinión de Kant, el simbolismo de las mate
máticas fue lo qué élpodría haber llamado un
Ansc-ha tlungsschr i f t ,
un
sistema simbólico diseñado para desarrollar en
la
intuición sensi
ble un modelo confiable del dominio de discurso matemático. A
causa de la naturaleza constructiva de su tópico, las matemáticas se
prestan perfectamente a larepresentación isornórfica, La filosofía,
en contraste, trata con conceptos dados, no construidos
y
por lo
tanto no es capaz de este t ipo de tratamiento. En otras palabras,
hay un Anschauungmhr ij t , pero no hay un Begr i f f ischr i f t ; y aun si lo
hubiera, sería de interés para elmatemático y no para el filósofo.
El primero libro de Frege, su Begr i f f tschr i j t de 1879, puso el ).
marcha un programa que de inmediato seoponía a Kant. Su obje
t ivo fue diseñar un simbolismo que haría para la filosofía lo que
Kant pensó que podría ser sólo hecho para las matemáticas -un
simbolismo que retrata no las cosas sobre las que trata sino lo que
podemos decir acerca de ellas,que dauna representación no delas
cosas pensadas, sino del-pensamiento mismo, considerado con
objetividad. Directamente desde elprincipio , explicó en un re
porte retrospectivo, tuve en mente la
e xp re si ón d e u n c on te ni do . ..
pero elcontenido debe ser dado más precisamente que en un len
guaje natural ( Booles rechnende Logik , p. 13).
A diferencia de Bolzano, Frege reconoció desde el principio
que para lamayoría de los enunciados del lenguaje natural la co
nexión de las palabras corresponde sólo de forma parcial a l~ es-
representar lo general en abstracto, sin ser capaz dedisponer uno
mismo del artificio út l e importante de manejar sólo signos sirn-
o .
ples más bien que los conceptos generales de lacosa misma, (Kant,
U n t e r r t lc h t l 1 tg C / 1i b e r n a t i id i c h e T h e o l o g i e pp. 278-279)1
fórmulas] sólo cuando el contenido no esindicado sino construi
117
SEMÁNTICADE FREGE Y LO
PR OR
EN ARITMÉTICA
,
Frege dedicó esfuerzo considerable a separar sus propias con
LA SEMÁNTICADE FREGE Y LO A PRIORIEN ARITMÉTICA
16
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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do a part ir de sus consti tuyentes por medio de los mismos signos
lógicos que son usados en el cálculo p. 39).
El proyecto de Frege incluía identificar un fragmento del len
guaje alemán que satisface dos condiciones: a) cada enunciado ale
mán tiene una traducción en este fragmento, y b) laforma grama
tical de cada enunciado en este fragmento refleja isomórficamente
los constituyentes del contenido que expresa, así como su combi
nación en ese contenido. El hecho de que B e g r i J f s s t h r i j t introdujera
símbolos no disponibles en elalemán pre fregeano, esenciales para
la plausibilidad práctica del proyecto, fue un factor insignificante
en cuanto a semántica se refiere; pues tales símbolos podrían ser
por entero eliminados en principio, en favor de expresiones del
alemán estándar -precisamente aquellas en términos de las cuales
los significados de los símbolos deFrege fueron expresados. Dado
este lenguaje perfecto , lasrelaciones de derivabilidad
las condi
.ciones para validez se seguirían sin ninguna necesidad de apelar a
. trucos algebraicos extrínsecos a las proposiciones bajo considera-
ción, sino sólo por una análisis de los consti tuyentes de los enun
ciados involucrados y de sus relaciones estructurales, como serian
manifiestas de manera perspicua
(i .e.
sintáctica) en su reformulación
en ellenguaje prefecto. En efecto, laidea era producir un lenguaje
en elcual aun cuando lainferencia estuviera basada en elsignifica
do, uno no necesitaba pensar más en los significados (talcual Kant
había
di ho
que la naturaleza del simbolismo matemático hace in
necesario pensar acerca de
su
significado), ya que uno podría ahora
restringirse a los signos presentes a los sentidos y a sus correla
ciones simbólicas. Nada extraña que cincuenta años más tarde un
discípulo herét ico estuviera tentado a cortar el vínculo restante
con los significados y tomara ellenguaje perspicuo como elobjeto
completo de la lógica y de la filosofía científica.
¿Cómo debe uno identificar los detalles de este lenguaje per
fecto? La estrategia de Frege, y los resultados revolucionarios que
surgieron de ella, parecen haber sido inspirados por una concep
ción semántica que nunca hizo por completo completamente ex
plicita. En realidad, los elementos centrales de esa semántica fue-
mente) en el capítulo9. Nótese, por ejemplo,que en la B e g r i J f s s c h r i f t Frege ilustró
lo que entendió por contenido conceptual como lo que es común a os grie
gos derrotaron a los persas en Platea y Lo s persas fueron derrotados por los
griegos en Platea (van Heijenoort,
F r ol /1 F r e g e t o G M e ,
p. 12). El esfuerzo por
preservar algomás que la forma lógicaes transparente.
cepciones de lógica de aquella de los lógicos computacionales
tales como Jevons, Boole y Schroeder. Mientras estas personas, él
explicó, estaban comprometidas con el proyecto leibiniziano de
desarrollar un cale / t l srat iocinator , supropio objetivo fue mucho más
ambicioso, diseñar una
l i l lgua character i s t ica.
Los lógicos tradiciona
les estaban en principio concernidos con el problema de identifi
car algoritmos matemáticos con el objeto de resolver problema
lógicos tradicionales -qué se sigue de qué, qué esválido y así suce
sivamente. El fin de Frege fue más allá de lo que ahora se llama
lógica formal, semántica, significados
y
contenidos, donde encon
tró el fundamento último de lainferencia, lavalidez y mucho más..
Las críticas que Frege hizo a Boole son en particular revelado
ras.En eltrabajo deBoole, objetó: el contenido ha sido por com
pleto ignorado ( Booles rechnende Logik , p. 13).El objetivo de
Boole fue el de producir algoritmos para resolver problemas lógi
cos, pero su estrategia no podía satisfacer a nadie interesado en
mantener el más estrecho vínculo en las relaciones entre signos y
lasrelaciones entre las cosas mismas
p.
13).A diferencia de Boole,
yo no quiero representar una lógica abstracta en fórmulas, sino
expresar un contenido a través de signos escritos en una manera
precisa y perspicua
(übers icht l icherer)
( Ueber den Zweck der
Begriffsschrifts [1882-1883],
B e g r i J f s s c h r i j t
p. 97). La lógica sim
bólica de Boole no representa más que laparte formal del lengua
je, e incluso, sólo incompletamente ( Booles rechnende Logik ,
p. 14). El lenguaje de fórmulas de Boole presenta sólo una parte
de nuestro pensamiento; el todo no puede ser manejado por una
máquina ni reemplazado por una actividad sólo mecánica p. 39).
Es eltodo de nuestros pensamientos lo que importa para una
l ingua
cbaracterist ica. Podernos deri var uriareal utilidad [deun lenguajede
ción
en la cual todo 10 que vemos son ideas y fenómenos . Lo
que yoveo cuando alguien sostiene una rosa ante
mi
explicó, es
una repres enración
un
vol. p. 217) -por lo tan to,
11.9
SEMÁNTI DE FREGE Y LO
PR OR
EN RITMÉTI
ron en
esencia
tácitos; pues tan pronto como reconoció su presen
cia en el sistema (en apariencia en los tardíos años de la década de
L SEMÁNTI DE FREGE Y LO PRIORI EN RITMÉTI
18
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
http://slidepdf.com/reader/full/coffa-j-alberto-la-tradicion-semantica-de-kant-a-carnap-vol-1 61/328
5 Aquí hayunamuestra de la explicaciónproblemáticaque daBolzano de la
naturalezade la intuición: Tan pronto como dirigimosnuestra atención al cam
bio que es causado en nuestra mente por un cuerpo ~xterno,por ejemplo,una
rosa que es traída ante nuestros
sentidos,
el resultado
s i g l l i e n t e
e
inmedia to
de esta
atención es que la r e p r e s e n t i ó n de este cambioresulta el )nosotros. Ahora, esta
representacióntiene un oifeta a saber,
el
cambioque tienelugaren nuestra mente
enesemismomomento ynadamás L I?L vol. 1,p.326; véasetambién Grossen iebre
seco6).
6 La representaciónobjetivade un individuo es aparentemente elindividuo
mismo.En este periodo, Fregeno vioninguna diferenciaentre la representación
objetivade un lugar y el lugarmismo T h e Po u n d a ti o n s .Ar i tbmetic p. 37). Este es
un rasgo característicodelmonismo semántico (véasela secciónsobre dualismo
semántico).
presumiblemente, no .una rosa, pues las rosas, a diferencia de las
representaciones objet ivas, están en el espacio y en el t iempo y,a
diferencia de las representaciones subjetivas, persisten cuando la
mente humana se aniquila .
5
El objeto de la intuición parece ser
subjetivo y la contraparte objetiva sigue siendo un misterio. Esta
mos enuno delosmás obscuros rincones dela filosofía deBolzano.
Desde el comienzo mismo Frege arrojó estas dudas kantianas
de lado: las representaciones objetivas , explicó en los Grt tndlagen
pueden ser divididas en conceptos y objetos , no en conceptos e
intuiciones p . 37). Las representaciones objetivas importan no
por sí mismas sino por lo que podemos hacer con ellas l igándolas
unas con otras, pues cuando el vinculo es apropiado, el resultado
es algo afín a un juicio kantiano menos su componente psicológi
co, subjetivo; es el contenido de un juicio menos su dimensión
subjetiva. Esto es lo que Frege llamó c o nt en id o d e u n j u ic io p o si bl e
bcurte i lbarerInbal i en lo que sigue,
9P
Un tjp es elblanco delo que
Russell más tarde llamaría actitudes proposicionales: entender, asu
mir, aseverar, cuestionarse y así sucesivamente. Esto es importante
para Frege ya que esas cosas son lo que decimos saber. Así, un
4 El objetivo, escribió, es precisamentedefinirel concepto de número T he
Founda t i o s .Ar i tbmetic p.5).Esto debe ser hecho,arguyó, sin recurso a lascon
diciones psicológicas que preceden a la formación de este c;>ncepto.Ninguna
descripcióndeprocesosmentales puede nuncatomar el lugarde unagenuinades
cripción del concepto
p.
34).
La similaridad entre lasemántica temprana de Frege yla de Bolzano
es por completo notable. Como vimos, Frege enfatizó alprincipio
de sus Grund lag en la importancia de separar con exactitud lo psi
cológico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo? p. xxii . Uno
debe ser especialmente cuidadoso, insistió, en distinguir entre las
representaciones objetivas ylas subjetivas; las primeras son las
mismas para todos pero las últimas no. Una palabra es enlo gene
ral acompañada por una representación subjetiva que sin embargo
no es su significado ; la palabra ... significa una representación
objetiva (p. 37). Concediendo una inmerecida rama de laurel al
pasado, Frege agregó, es porque Kant asoció ambos significados
con la palabra [ representación1 que su doctrina asumió tal com
plejidad idealista, subjetiva y su verdadera opinión
fue tan difícil
de descubrir Th e Fou n d a ti o n s
Ari thmet ic p. 37).
No puede haber duda, sin embargo, que el tratamiento que
Frege da a esas materias está aún más alejando del de Kant que del
de Bolzano. A diferencia de Kant, y de acuerdo con su objetivo
general de subjetivizarla semántica, Bolzano habla distinguido tres
elementos asociados con cada representación: a) la representación
subjetiva; su contraparte objetiva;
y
c)suobjeto. Pero habiendo
acordado con Kant en que las representaciones no son ni concep
tos ni intuiciones, tuvo dificultades en producir una contraparte
objetiva entre laintuición subjetiva (por ejemplo elver una rosa) y
su objeto (la rosa). Bolzano fue aún más dependiente de esa tradi-
La s c at e go r ía s s emán ti ca s bá si ca s
1880), se apresuró a eliminarlos.
\
)
)
escritos de Husserl, quién empezó su Hab i/i tationsschrij t dedicada al
concepto de número, explicando que asumiría:
121
A SEMÁNTIC DE Ii\REGEy LO
PR OR
EN RITMÉTIC
entendimiento del conocimiento humano depende de un entendi
miento propio de los
g P s :
una teoría del conocimiento presupone
L SEMÁNTIC DEFREGEY LO PRIORI EN RITMÉTIC
20
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j
<
•~-------~--
[Apartar nuestra atención] es en particular efectivo.Atendemos
menos a unapropiedad, y ésta desaparece.Haciendo queuna ca
racterística después de otra desaparezca, alcanzamos conceptos
másy másabstractos ...La faltade atenciónes una facultadlógica
de lo más eficaz;presumiblemente esto explicael carácter distraí
do de los profesores. Supongamos que hay un gato negro y un
gato blancosentadosjuntos frentea nosotros. Dejamos de obser
var su color
y
se vuelven incoloros, pero aún est:in sentados uno
junto al otro. Dejamos de atender a su postura
y
ellos no están
más sentados (aunque tampoco han adoptado ninguna otra pos-
Las designaciones estándar de los conceptos como repre
sentaciones generales y nombres comunes están motivadas por
la creencia ampliamente sostenida de que la característica esencial
de un concepto es sucapacidad para referir a más deuna cosa. Fue
en general sostenido que una teoría del concepto debería explicar,
antes que nada, ese poder de referencia múltiple. La teoría
abstraccionista parece inspirada por lacuriosa idea de que uno puede
explicar la generalidad de la referencia en un concepto por involu
crar una multitud de cosas en la historia de cómo el concepto
emergió. Pero como Frege observó, la teoría no tiene modo de
distinguir entre un caso en el cual uno decide dejar de lado rasgos
de un objeto porque ellos difieren de los de otros y uno en el cual
una persona es simplemente olvidadiza
y
deja que los detalles de
una sola instancia se borren de la memoria. La crítica exacta y pe
netrante de este procedimiento (desarrollada en P h il os op hie d er
Ar i thmetik de Husserl) es digna de recordarse:
que los conceptos se originana travésde una comparación de las
representaciones especificasque caen bajo ellos.No consideran
do las características Merkma/e en que difieren,uno retiene fir-
memente aquellasque son comunes;y esas últimas son las que
entonces constituyen el conceptogeneral. B egr if f d e r Z abl, p.
99
De acuerdo con la teoría abstraccionista de los conceptos que era
todavía muy popular popular en tiempos de Frege, la mejor mane
ra de entender lo que los conceptos
so n
es ver su génesis. Es im
portante enfatizar que eljovel1 Frege eS1:ll:voI' aClll' rdocon este
punto, aún cuando no estuvo de acuerde CO l
la
éxplicációri abs
traccionista de cómo los seres humanos definen o construyen con
ceptos. Los abstraccionistas afirman que los conceptos emergen a
través de un proceso que nos lleva de ciertos datos a un concepto
vía un proceso de eliminación. Lo dado en el punto de partida de
este proceso parece consistir de intuiciones. Una formulación su
cinta de la teoría abstraccionista es encontrada en los tempranos
El co n ce p to r a íc e s d e l holism o e insaturac ión
una semántica
y
hasta que entendamos laúlt ima, no deberíamos
tratar con la primera.
Toda la semántica temprana de Frege se centraba alrededor
de estas tres nociones básicas: concepto, objeto
y r p
La distancia
entre Frege y Kant está acentuada por lafal ta de observaciones en
el más inquietante de los problemas kantianos, el carácter de los
objetos de conocimiento y su constitución a través de las catego
rías. Los objetos no son problemas para Frege -ellos son las mesas
y sillas de la experiencia cotidiana, los números y las clases del
conocimiento matemático, los valores de verdad de su lógica y así
sucesivamente. Su interés semántico está centrado casi por com
pleto en los otros dos tópicos, conceptos y
g p s
Más aún, lo que el
tiene que decir acerca de ellos tiene una extraña naturaleza cornple
mentaría, ya que su explicación de cada uno depende de la explica
ción del otro, así que uno está obligado a entenderlos en conjunto
o no entenderlos del todo. El razonamiento, dialéctico o circular,
de Frege en este tópico no se presta tan fácil a exposición didácti
ca. Empezamos por observar el modo en que pensó los concep
tos, contrastando sus opiniones con la representación más estándar
de la materia.
trategia. De un lado, la mayoría de los filósofos prefregeanos, in
cluyendo, a Bolzano, confiaron sin mayor reparo en la superficie
gramatical y en la forma sujeto-cópula-predicado. Por otro lado, la
23
SEMÁNTI DE FREGE Y LO PR OR EN RITMÉTI
tura) , pero cada uno está aún en su lugar .Dejamos de atender a su
posición; ellos dejan de tener lugar , pero aún permanecen dife
rentes. En este modo, quizá, obtenemos de cada uno de ellos un
L SEMÁNTI DE FREGE y LO PRIORI EN RITMÉTI22
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( Funktion und Begriff [1891], K J e i m S c h r if t en p. 128)
2
} + )
Además de la
x ;
lo cual podríamos escribir como sigue
2 (x) +x
de esto podemos discernir que laesencia de la función está en lo
que es común a esas expresiones:
i.e.
en lo que está presente en
Se le ocurrió a Frege que si vemos este proceso hacia atrás,
obtenemos una imagen muy esclarecedora de la naturaleza de una
función. En lugar de pasar de la función a sus valores, vamos de
los valores (o, más bien, de esos nombres
par t ic ular e s
de los valores)
a la función (o,más bien, alnombre de la función):
2 2 +2,
Yasí en adelante.
2 1 +1,
Los valores que asigna a 1 ya 2 y así sucesivamente son:
2x + x;
doctrina holistica se volvió una herramienta semántica fructífera
sólo cuando fue unida con otra idea original de Frege: que elpaso
del juicio alconcepto es análogo a un paso similar tomado en ma
temáticas, ligando una función y sus valores.
El ~strumento de generalidad enmatemáticas eslavariable, y
su más frecuente contexto es elnombre de una función. Conside
re, por ejemplo, la función:
7
Véasetambién Ueber den ZweckderBegriffsschrift ,
B e g r i f f s s c h r i f t
p. 101,
Y
N a c b l a s s
p. 237
En susescritostempranos
B e g r i f f i s c h r i ft
yen otraspartes) Fregehablócomo
siel concepto no estuvieraallí hastaque nosotros lo creamos forjándolode un
modo u otro. Pero,desdeluego,es dificilvercómo podríamos encontrar un con
cepto en una
d P
si ésteno hubieraestado
allí
desde
el
principio.
Silos conceptos no pueden derivar de la:abstracción, ¿cómo
surgen? En opinión de Frege, elproceso de formación de concep
tos es dependiente del procedimiento del juicio. Frege notó que
los lógicos, desde Aristóteles hasta Boole, habían visto la lógica
como una teoría de lainferencia en la cual la construcción de con
ceptos es presupuesta como algo que ha sido ya completado ,
Contrastó esto con su propio enfoque: empiezo de juicios y de
sus contenidos, no de conceptos ... permito que la formación de
conceptos proceda sólo de los juicios ( Bolees rechnende Logik ,
p. 17);las representaciones de propiedades y relaciones vienen de,
forma simultanea con elprimer juicio en elcual son adscritas a las
cosas
p . 1 9 .7
La estrategia de Frege para tratar con elconcepto fue asumir
que nos son dados los
gp s
y sus objetos constituyentes; nosotros
generamos entonces conceptos al desenterrarlos de los
g p s
con
forme nosotros excluimos éste o ese objeto del
gp
dada.
En su esbozo básico, la doctrina de Frege de formación de
conceptos corresponde más bien a observaciones holíst icas en
contradas en Bolzano y otros escri tores previos. Pero nada en el
trabajo de Bolzano, o de nadie más, se compara con la riqueza de
detalles y resultados que emergieron cuando Frege adoptó esta es-
concepto general de gato. Por aplicación continuada de este pro
cedimiento, obtenemos de cada objeto un fantasma más y más
desangrado. (De lareseña que Frege hizo de PhilosophiederArithmetik
de Husserl [1894], traducción, pp. 84-85)
*
3>2
\
r
125
A SEMÁNTICADE F~EGE y LO
PR OR
EN ARITMÉTICA
La función (o sunombre) es vista por lo tanto como derivan
do de (ciertos nombres de) sus valores por eliminar de la últ ima
LA SEMÁNTICADE FREGE y LO A PRIORI EN ARITMÉTicA
24
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substraemos la tierra , obtenemos el concepto más grande que
la luna . Si alternativamente, substraemos elobjeto la luna , ob
tenemos el concepto más grande que la tierra . Pero si substraemos
ambos a la vez, entonces nos queda un concepto relación.
p .
82)
La teoría holista del concepto de Frege fue revolucionaria.
Antes de Frege, las representaciones singulares y generales habían
sido consideradas dos especies del mismo tipo natural semántico.
N o estaba rechazando simplemente
la
vieja idea del concepto como
un nombre común , como un nombre de más de una cosa (aun
que en realidad estaba haciendo eso). Detrás del término repre-
la tierra es más grande que laluna
Cuando de una
r
que trata de los objetos a
y
b extraemos a
y
b,
obtenemos un residuo, un concepto relación que está, consecuen
temente, necesitado de complemento en dos modos. Sidel enun
ciado
: Dos años más tarde explicaría en Grundlagen:
,:\-
l.
podemos considerar 3 y 2 como un sujeto complejo. Como un
predicado tenemos entonces elconcepto de la relación de lo más
grande a lo más pequeño. En genera1, represento el caer de un
individuo bajo un concepto por F(x), donde x es el sujeto (argu
mento)
y
F() el predicado (función),
y
donde el espacio vado en
el paréntesis después de F·representa la instauración
p.
164).
:.Í
Dependiendo de lo que elijamos considerar como el sujeto
de
* ,
la aseveración será considerada como laatr ibución de dife
rentes conceptos a diferentes objetos. Si consideramos 3 como su
sujeto, por ejemplo, entonces (*)dice que 3 cae bajo elconcepto
ser m ás g ra nde qu e 2. Un concepto similar resulta si 2 es elegido
como el sujeto. Finalmente,
?Las observaciones de Fregesonobviamenteválidassólo cuando están refe
ridas a símbolos (como lo sugieren lasobservacionesentre paréntesis);pero se
pretende quesonválidas también para suscorrelatos semánticos.Una vezmás, el
patrón de pensamiento primariamente semánticode Frege parece ser dominado
por factores sintácticos. (Carnap podría haber señalado esos desarrollos como
una prueba del carácterconfuso del modo materialde hablar;véase capítulo
17).
una función de un tipo más general que lavariedad matemática, ya
que no toma números como valores. De acuerdo con Frege, éste
es el concepto
alto
o, como él prefirió escribirlo,
x es a l to
La idea
funcional y la holistica están ahora ligadas a través del hecho cÍe
que el concepto alto es la función que nosotros obtenemos cuando
extraemos de un p tal como * un objeto tal como Juan.
En 1882 Frege explicó a un corresponsal (talvez Marty), no
creo que la formación de conceptos pueda preceder al juicio ...
sino que pienso en un concepto como habiendo resultado por
descomposición de una gP (Letter to Marty
]
n882]). Continuó
explicando como la construcción toma lugar. Considere la p
x es alto,
podemos elim.inar a Juan (o a Juan )
y
nos queda
* Juan es alto,
( los nombres de) uno o más objetos. Frege sacó una importante
conclusión: la función no sólo correlaciona argumentos y valores
sino que también es insaturada , necesitada de complemento ,
y conceptos similares, predicativa .
Frege vio que el proceso regresivo de argumento (nombre) a
función (nombre) puede ser aplicado no solamente a expresiones
que designan números sino a todas las expresiones significativas,
incluyendo enunciados, y reconoció en esto la clave a la naturaleza
de larepresentación general. Por ejemplo, empezando con
cuantificación y su análisis de la aritmética. Como veremos, ellos
so n po r en te ro d ep end ien te s d e s u c on cep ci ón s em án ti ca d e l as
cosas, y el cuadro que ellos ofrecen del conocimiento matemático
127LA SEMÁNTICA DE FREGE LO
PR OR
EN ARITMÉTICA
sentaciones generales está laidea de que ambos tipos de represen
t aci one s e me rg en en pr in ci pi o d el mi smo pr oc es o, t al c om o f ue
p ro pu est o p or l as te orí as d e l a a bs tr ac ció n. De a cue rdo c on e sas
LA SEMÁNTI CA DE FREGE Y LO A PRI ORI EN ARI TM ÉTICA
26
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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10 P ara l a primera t eorí a de l a de nota ci ón de R us se ll , véa se e l c a p. 6. La nove
dad del e nfoque de F re ge pue de s er s ubra ya do not ando que vei nt e a ños des pués ,
en Pri napl es Russell alegaría que las proposiciones Si x es
J
hombre entoncesx es
m o r ta i pa r a c a da t o d o s lo sh o m b re sso n mo r ta le s son equivalentes pero no idénticas.
D e l a primera dic e que e s re al me nt e una c onjunc ión de una i nfinidad de proposi
c ione s -pres umible me nt e s us i ns ta nc ia s- mie nt ra s que l a últ ima e s una s impl e
proposi ci ón c uyo t érmi no s uj et o e s c ua lqui er c os a que t o d o s lo s h o mb re s denote.
2) Si J uan es un hombre, entonces Juan es mortal
como sigue: primero consideró lamateria en apariencia no relacio
nada con ésta de cómo los contenidos proposicionales complejos
.e m er gen de l os m ás s imp le s p or m ed io de o pe rac io ne s l óg ica s ta
les como negación e implicación material. Considérese, por ejem
plo, cómo
1) to do s los hom bres son mortales
.Tradicionalmente, enunciados cuantificados tales como todos los
A s s on Bs y a lg un os As so n B s h abí an si do p ens ado s co mo a fi r
maciones de laforma sujeto - predicado, sus sujetos siendo todos
l os A s y a lgu nos As , d e f or ma re sp ec tiv a. Co mo ve rem os, l os
Principles de Russell, escritos dos décadas después de e g r i J f s s c h r i f t
de F reg e, fu ero n a ún in sp ir ado s po r es ta v isi ón p ref reg ean a d e l a
cuantificación.
lO
Difícilmente podría uno proveer una evidencia
más notable del carácter revolucionario de las opiniones de Frege.
Frege analizó el contenido de
u ntif ic ción
es l a v ez u na m ejo ra en or me e n r el ac ión co n e sfu er zo s p rev io s y
u n pa so m ay or q ue s e a l ej a d e l a p os ic ió n ka nti an a co n r esp ect o a l
papel delos conceptos y dela intuición en elconocimiento aprior i
La mayoría de los colegas de Frege estaban recelosos de tanta suti
leza semántica. ¿Por qué debería uno preocuparse de la naturaleza
de los conceptos? Aquí nosotros podemos sólo rozar la superficie
d e un a r es pu est a r eco rda ndo b re vem en te d os de l os ma yor es a l
cances de Frege en su periodo temprano: su t orí de la
u ntif ic ción
y
ritmétic
es un concepto que, por su puta esencia, carece de la capacidad
para designar algo más que un objeto.
x es idéntico con Sir W alter Sco tt
teorías, hay un tipo primordial de representación singular dado),
l a c ual es l a m ás p od ero sa , de sea ble y c omp let a fo rma d e r epr e
se nt ac ión ; no sot ro s o bte nem os un a f or ma m en os e spe cíf ic a de
representación debilitando los rasgos de las representaciones pri
mordiales. Este carácter es de forma extraña transmitido aún a los
conceptos a priori E n la o pi ni ón d e F re ge , l as a sí l la ma das r epr e
sentaciones generales son tan diferentes de sus contrapartes sin
gulares que uno podia mejor considerarlas como cayendo bajo dos
categorías semánticas por completo distintas. La diferencia es re
v el ad a p or l a di fer en ci a e n l os p ro ced imi ent os q ue co ndu cen a s u
emergencia. Las representaciones singulares son nombres propios,
y se supone que son dados de manera independiente del juicio; las
representaciones generales emergen sólo después del juicio. Los tex
tos de lógica tradicional tratan conceptos, juicios y razonamientos
en ese orden; Frege estaba proponiendo que el orden de las dos
primeras seinvirtiera. Su nueva perspectiva no sólo mostraba cuán
equivocado es pensar de los conceptos como nombres generales,
ignorando su dimensión predicativa insaturada); también mostra
ba c uá n e qui voc ado e s p en sar a l os co nce pt os co mo r epr es en ta
ciones
generales;
pues
.
.
:
donde la variable x no es más que un artificio conveniente para
identificar
el
espacio dejado por elnombre eliminado. Como sabe
129
SEMÁNTICADE FF lEGEY LO
PR OR
EN ARITMÉTICA
está formada de
LA SEMÁNTICADE FREGEY LO A PRIORI EN ARITMÉTICA
28
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.
-- 1~~
mos, (5) representa un concepto fregeano, uno que será verdadero
de un objeto
a
precisamente cuando
a
no es un nombre o es mor
tal . Ahora (1) puede ser interpretado como diciendo
a c er ca d e e se
concepto
que cada objeto simple en eluniverso esuna instancia de él.
Un enunciado cuantificado, tal como (1) debe por 10 tanto ser in
terpretado como involucrando un concepto de orden más alto ,
un concepto que se aplica no, como (5),a objetos, sino a concep- .
tos (de primer nivel), a (5) mismo. El cuantificador universal no es
más y no es menos que un concepto de segundo orden que se
aplica al concepto de primer nivel (5) precisamente cuando (5) es
verdadero de cada objeto singular -en otras palabras, precisamen
te cuando (1) esverdadero. A pesar de las apariencias y de la tradi
ción, (1) no dice nada acerca de todos los hombres o acerca de
t o do s l o s h om b re s
o acerca de ningún hombre part icular . Ni debe la
cuantificación ser construida a lamanera medieval-russelliana, como
una operación que transforma elasíllamado concepto sujeto (por
ejemplo, hombre en una expresión denotativa (por ejemplo, t odos l o s
hombre s .
Es un concepto de segundo nivel cuyo tópico es lo que
ahora llamamos el alcance del cuantificador. La cuadro fregeano
de la cuantificación esmuy fácil que se preste a la repetición. Una
vez que la cuantificación existencial es definida de su contraparte
universal y de lanegación de lamanera estándar, podemos develar
las ambigüedades ocultas en
el
lenguaje ordinario -como la que
hay entre convergencia simple y uniforme.
La
Begri f fm-hr i f t
de Frege no fue en realidad un nuevo lenguaje
sino un fragmento del alemán; todo 10 que puede ser dicho en la
escritura conceptual de Frege puede ser dicho también y sin ambi
güedad en alemán. Sin embargo ellen~aje alemán no contiene
expresiones que sean manejables y no ambiguas y que sirvan al
mismo propósito que elnuevo simbolismo de Frege. Es por esta
razón que su sistema notacional sevolvió (pragmáticamente) esen
cial. Dados tiempo y paciencia ilimitada, uno podía explicar en un
lenguaje natural las ambigüedades que de forma sencilla se
elimi
11 La caracterizaciónde Fregedel significadode las expresionesmoleculares
(en B egri.ffischrifty en otras partes)es laúnicarazón queyo conozco para adscribir
lela opinión de que el significado i e. el sentido) consiste en condiciones de
verdad. De hecho,la razón no esmuybuena,ya que obviamente esteproceso de
construcción se aplicasólo a expresionesmoleculares y pretende dar, en efecto,
los significa~osde los conectivoslógicos.No esmuyclaroque Fregereconociera
la suposición de unicidad implicadaal decir quejvq es
el
que es verdadero
,precisamente cuando
p
esverdadero o q esverdadero; pero esta suposicióntiene
un halo de semántica veritativo-funcional.No hay,sin embargo, ninguna razón
parapensar que Fregemantuvo una opinión similarpara el caso cruciiíide enun
ciadosatómicos.Nada enlos escritosde Fregeen geometría,por ejemplo,sugiere
que él habría dado una explicaciónveritativo-funcionaldel modo en el cuallas
expresionesatómicas en geometría significanlo que ellassignifican.
5 s ix es un hombre, entonces x esmortal
De acuerdo con Frege
r ¿ ¡ p
expresado por (2) está únicamen
te caracterizado cuando damos lo que ahora llamaríamos sus con
diciones de verdad, esto es, cuando decimos que esverdadero en
todas y solamente aquellas circunstancias que hacen (4) verdadero
o (3) falso. Una construcción similar introduce todos los otros
conectivos (la negación basta para definir todos los demás). En
este punto Frege había caracterizado el lenguaje de la lógica
proposicional. Enseguida considere lo que pasa cuando remove
mos el objeto Juan (¿la palabra Juan ?) de (2);Frege representó el
resultado como
4 Juan es mortal
y
3
Juan es un hombre
en el sentido de Newton), excluyendo todos los conceptos auxilia
res prestados de la geometría, tendría que emanar de la aritmética
elemental sola, en la cual elanálisis está fundado. Pero esta aritrné
3
SEMÁNTI DE FREGE Y LO
PR OR
EN RITMErI
naban en la notación de Frege; pero nada en los lenguajes natura
les no reconstruidos puede hacerlo tan bien.
Combinando sus intuiciones semánticas con elnuevo sistema
L sEMÁNTIc DE FREGE Y LO PRIORI EN RITMETI
3
8/20/2019 Coffa, J. Alberto La Tradición Semántica de Kant a Carnap. Vol. 1
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Revisó las dos doctrinas básicas acerca de qué hablan estos
enunciados. De acuerdo con laprimera, * es acerca de un cierto
objeto, quizás las lunas de Júpiter, o la clase de esas lunas, o el
montón o conglomerado que ellas de algún modo constituyen.
* Júpiter tiene cuatro lunas.
Esto fue así porque después de media centuria de trabajo de
Cauchy, Dedekind, Cantor y el maestro de Husserl, \Veierstrass,
gran parte del proyecto de Bolzano para conceptuar elanálisis ha
bía sido llevado a cabo. Este logro esalgunas veces conocido como
aritmetización del cálculo, porque redujo toda la matemática
de los números a la ciencia de los números naturales y a una disci
plina vagamente lógica de clases. Este proyecto mostró que cual
quier fundamento que hayapara elanálisis debe ser encontrado en
la teoría de los números naturales. Uno podría concluir que cual
quier intuición presente en el análisis debe ser encontrada en la
aritmética de
alli
la importancia filosófica de la naturaleza de la
aritmética.
Cuando Frege regresó a examinar esta materia en G r u n d l a g e n
1884), planteó característicamente un nivel semántico, pre
epistemológico. Las preguntas que se hizo no tuvieron el halo
kantiano familiar: ¿Cómo la aritmética adquiere validez objetiva?
¿Cómo puede ser aplicada? ¿Cómo llegamos a conocer sus objetos
y su justificación? Sus cuestiones básicas fueron: ¿Qué dicen los
enunciados numéricos y de qué hablan? La cuestión del funda
mento no fue ni siquiera planteada.
Frege empezó por l lamar la atención lo que llamó enuncia
dos numéricos , enunciados que dicen que hay
cosas de un tipo
dado T; por ejemplo,
tica elemental tiene, de hecho, suúnico fundamento en elconcep
to de número. B e g r i ff d e l Z a bl , p. 294)
Hoyes generalmente acordado que un desarrollo completo y r i
guroso del análisis superior latotalidad de la
a r i t b m e ti c a t I I li v e r s a /i s
En
G r u n d l a g e n
Frege estuvo interesado, una vez más, en lainterpre
tación semántica adecuada de ciertas nociones. Aquí, sin embargo,
su énfasis no fue en conceptos en lo general asignados aldominio
de la lógica tales como cuantif icación, copulación, y conexión
enunciativa, sino en nociones ampliamente consideradas como
extra-lógicas. Su tema fue el número.
Tres años después de que
G r u n d l a g e n
fuera publicado, Husserl
explicó en su Habi l i t at i onsscbri f i :
A n t m é t i c a
notacional, Frege desarrolló explicitamente en B e g r i f f t s c h r i f t la pri
mera formulación clara de un lenguaje formal con conectivos
proposicionales y cuantificación sobre individuos y sobre funcio
nes de primer nivel. Más alláde esto, lamonografía identif icó un
conjunto de leyes lógicas y reglas de inferencia para inferir de
ellas otras leyes, aunque ningún esfuerzo fue hecho para determi
nar qué rasgo distintivo de esas fórmulas determina su rnembresía
a esa clase. El sistema fue desarrollado con una sutileza y rigor que
excedían por mucho los estándares desarrollados en las últimas
décadas por Peana, Russell y aun Hilbert en sus escritos lógicos
tempranos. El papel de las reglas deinferencia, claramente recono
cido en B e g r i f f s s c h r i f t continuaría siendo un misterio a los más dis
tinguidos colegas de Frege hasta bien entrado el siglo xx.
Por notables que fueron esos logros, no eran más que el co
mienzo. Cinco años más tarde Frege publicaría otra corta mono
grafía que intentaba mostrar que cuando nosotros alcanzamos
nuestros hechos semánticos directamente, se vuelve claro que la
filosofía de la aritmética de Kant -en verdad, de la ciencia comple
ta del número- es incorrecta.
referencia a conceptos. La esperanza de Bolzano de conceptuar las
matemáticas había dado un paso gigantesco hacia delante.
Regresaremos en elcapítulo 7 a la concepción de Frege de la
l ·
133
SEMÁNTIC DE FREGE Y LO
PR OR
EN RITMÉTIC
De acuerdo con la segunda, *) no es acerca de ningún elemento
objetivo sino acerca de alguna contraparte subjetiva talcomo nuestra
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\
O >
>
lógica
y
de la aritmética,
y
a algunos de los problemas que ésta dejó
sin resolver. Pero cualesquiera que sean esos problemas, no puede
haber duda alguna de que el trabajo de Frege arrojó mucha luz
sobre el carácter del conocimiento aritmético. Es digno de enfati
zar una vez más, que cuanto más claras las matemáticas se volvie
ron en sus manos, más se alejaron de la doctr ina kantiana. No fue
tanto que Frege hubiera argüido que la aritmética es analítica. Una
vez que había definido analítico como derivable de la lógica
y
de
las definiciones, uno podría considerar-su concepción de la lógica
tan diferente de la de Kant como para hacer virtualmente imposi
ble cualquier conflicto en esta materia. Más bien, elconflicto bási
co fue, como podríamos esperar , a propósito de la intuición. En
una cosa Kant
y
Frege estuvieron de acuerdo: la lógica está funda-
. da en elnivel del entendimiento donde la sensibilidad
y
sus formas
no juegan ningún papel (recuerde la ci ta de Frege alprincipio de
este capitulo). La reducción de la aritmética a la lógica era incom
patible con la postulación kantiana de un recurso a la sensibilidad
en el dominio de la aritmética. Como tendremos oportunidad de
observar en un estadio posterior, no hay teoría explícita del funda
mento del conocimiento analít ico en los escri tos de Frege; pero
estas breves consideraciones indican que élintentaba poner tanto
el contenido como el fundamento del conocimiento aritmético al
nivel de la doctrina kantiana de lo analítico, a la exclusión de su
doctrina estética.
.: Independientemente de su relevancia para elkantismo, el trata
miento temprano de Frege dela cuantificación y de los enunciados
numéricos proveyó elmodelo para una concepción reconstructora
del lenguaje que inspiraría a una variedad de escuelas dentro de la
tradición analítica.Ninguno antes deFrege había tomado tan enserio
la tarea de modelar un lenguaje en el cual las cosas ordinarias pu
dieran ser dichas de una manera extraordinariamente clara. Ningu
no antes de élhabía aplicado sus técnicas de traducción demanera
tan efectiva a la solución o disolución de problemas filosóficos.
representación de las lunas, o cierto proceso mental de adición ,
conjunción, o lo que sea. Frege describió
y
criticó varias versiones
de esas dos interpretaciones posibles, refutando decisivamente cada
una de ellas. Esta porción de la monografía, guiando a la propia
solución propuesta por Frege, es uno de los más deslumbrantes
ejemplos de un sólido escrito filosófico alguna vez producido.
La clave, de acuerdo con Frege, esreconocer que lapregunta
¿cuántos? no tiene sentido si nosotros identificamos un objeto
como su blanco, pero adquiere sentido sisu blanco esun concep
to. Siponemos las cartas sobre la mesa y preguntamos acerca de
1 1 ; : > 1
as, ¿cuantas. a respuesta correcta puede ser ocho (cartas) , dos
(pilas de cartas), o casi cualquier otro número que nosotros elija
mos. Para que haya una respuesta única, definida, debemos hacer
referencia, explicita o implícita, a un concepto (xes una carta, x es
una pila de cartas, etcétera.). Ya que elatributo numérico es fijado
sólo cuando el concepto está determinado, esnatural considerar al
concepto mismo como el tema del enunciado numérico. Así, a
pesar de las apariencias sintácticas, los enunciados numéricos
como
enun ci a d os c u a n ti fi c a do s
son acerca de conceptos. De hecho, Frege
explicó,
so n
enunciados cuantificados, aunque el lenguaje ordinario
oculte ese hecho.
Por ejemplo, el enunciado numérico
la
Tierra tiene una luna
es acerca del concepto
es u na IU l1 a de la
Tie rra y dice que sólo un
objeto (al menos uno y a lo más uno) cae bajo él. Decir que un
objeto cae bajo un concepto dado es,de acuerdo con
Begrif . fsschrif t
aplicarle un cuantificador existencial. De manera similar uno pue
de convertir una interpretación de
*)
y de todos los enunciados de
la forma hay
11
F s , dónde
11
es un numeral
estándar.
Esta brillante solución, más tarde descrita por Frege como el
más importante de mis resultados en
Grul1d lagel1 Gn l11dgese t ze
p.
ix),
mostró que un amplio rango de enunciados con anf~rioridad
considerados como extra-lógicos y envolviendo un recurso o a la
intuición empírica
Mili)
o a laintuición pura (Kant) envolvía sólo
Aunque no sabemos mucho acerca del curso del pensamiento de
Frege conforme se acercó al reconocimiento del sentido, las ob
servaciones iniciales de Sobre sentido y referencia 1892) nos
dan una apreciación del papel jugado por uno de los factores más
135
SEMÁNTIC DE FREGE y LO
PR OR
EN RITMÉTIC
Veremos pronto que este aspecto del enfoque de Frege apareció
sin relación con los trabajos de Russell, y luego en los de
Wittgenstein y en los de Carnap. Pero debemos ahora regresar to
davía a otro descubrimiento mayor de Frege, uno que sus suceso
L SEMÁNTIC DE FREGE LO PRIORIEN RITMÉTIC
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¿Qué dice la semántica r¡ p acerca del contenido expresado por
esos enunciados? Siinterpretamos laidentidad como relacional, su
contenido será un q p conteniendo la relación de identidad con
ambos hoyos saturados por los objetos nombrados por los tér
minos relevantes. Entonces, ya que elautor de lf V a v e r l V e s Scott, el
contenido de * es idéntico al contenido de ** . Consecuente
mente, si saber que un enunciado es verdadero es saber que su r ¡ p
es verdadero, cualquiera que sepa que * es verdadero debe tam
bién saber que * * lo es también. Como Frege lo dice en Sobre
. sentido y referencia , Ahora si fuéramos a considerar la igualdad
como una relación entre eso que los nombres designan, pare
cería que a b nopodría diferir de a a
i
e. suponiendo que a =
b es verdadera) t Tra nsla t i ons p. 56). Al parecer Frege había pensa
do al principio que esta dificultad no representaba un problema
dentro de su semántica sino que revelaba más bien elpuro carácter
idiosincrásico de la relación de identidad. Así, llegó a pensar que
mientras todas las otras relaciones relacionan sus objetos, la iden
tidad dice algo acerca de un dominio muy diferente. Veamos más
de cerca cuál era ese dominio.
Superficialmente, la sección 8 d~ Begri f f t schri f t en la cual esta
materia es discutida) parece decir que laidentidad debe ser cons
truida como una relación entre expresiones sólo sintácticas, como
* * el
autor de U V a v e r l r y
cott
* el
autor de H a v e r l r y
elautor de W a v e r l r y
influyentes: la naturaleza de la identidad. La identidad había plan
teado una dificultad a la semántica r ¡ de Frege desde el mismo
comienzo. Considérese, por ejemplo, los siguientes enunciados de
identidad:
Pocas cosas habían resultado más difícilesde alcanzar en el desa
rrollo de la semántica que eireconocimiento del hecho de que en
tre nuestras representaciones subjetivas y elmundo de las cosas de
que hablamos, hay un tercer elemento: lo que decimos. Quizá el
capítulo 5, el cual trata más esos desarrollos que tuvieron lugar
más de una década después de que Frege tratara con seriedad la
situación, deberían ser leídos antes de esta explicación del descu
brimiento de Frege; pues ese capítulo describe las dificultades que
muchos de las mejores mentes filosóficas encontraron cerca del
comienzo del siglo en gran parte porque fueron incapaces. de en- .
tender que lo que decimos, elsentido, no puede ser constituido de
contenido psicológico o de los correlatos del mundo real en nues
tras representaciones. Los lógicos psicologistas habían seguido el
primer enfoque; la mayoría de los sucesores de Frege siguieron el
segundo. Todos ellos intentaron entender elsentido forzándolo en
un mundo al cual no pertenece.
Como hemos visto, muchas de las cosas que Frege dijo du
rante su primera década de investigación sugieren que él también
había empezado con la suposición de que las q p s deberían tener
como constituyentes tanto alos objetos delasque ellastratan como
a los conceptos atribuidos a ellas. Las vacilaciones del uso y men
ción implícitas en algunas de las referencias en la sección sobre las
raíces del holismo y lainstauración no son, sino síntomas del he
cho de que Frege no había pensado las implicaciones de lo que
estaba diciendo. Más aún, desde el comienzo mismo, Frege había
reconocido una excepción mayor a la explicación general de conte
nido, una excepción que se volvería la regla en la representación
del contenido proposicional que emergió en la década de 1890.
l descu r im i en to de l sen ti do
res tardaron más en apreciar.
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