Çok-Değerli
veBulanık
Mantık
NesinMatematik
Köyü
KuantumFiziğ
i veBulanıkMantık
Çalıştayı
23-26 Nisan 2009
Kaynak:
Merrie
Bergman (2
008), A
n In
trodüçtio
nto Many
Valued and Fuzzy
Logic, C
ambrid
ge university
Press
Sunan: Mustafa Suphi E
rden
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
2| 2
0
GĐRĐŞ
1.B
elirsizlikkaynaklifelsefiproblem
lerK
lasikm
antıksistem
leri (ikideğerli)
2.Ü
çdeğ
erlimantık
sistemleri
3.B
ulanıkm
antıksistem
leri (sonsuzdeğerli)
bulanıkm
antıksistem
lerindebelirsizlik
kaynaklıproblem
lerçözülüyor
mu
?
4.M
ühendisliktebulanık
mantık
Sosyalbilim
lerdebulanık
mantık
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
3| 2
0
BELĐRSĐZLĐK
VE
KLASĐK MANTIK
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
4| 2
0
“Belirs
izlik”(vagueness)
�S
ınıfın içindekiinsanlar�
belirli
�U
zuninsanlar
�belirsiz
(muğ
lak)
�M
ax Black (1937):
“Bir
terimiilgilendiren
nesneleriçinde, o terim
ingeçerliya
dageçersiz
olduğ
u soylenem
eyennesneler
varsa, böyleterim
lerebelirsiz
denir.”
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
5| 2
0
Đkideğerlilik
prensibi
�(P
rinciple of Bivalence)
�K
lasikm
antık�
kesinterim
ler
“Her hangibir
önerme
yadoğ
rudurya
dayanlıştir
(doğru
değildir)”
�B
elirsizterim
lereuygulanam
iyor
�“U
zun”
Um
ut(1.90m) �
Um
utuzundur�
“doğru”
Kem
al(1.60m) �
Kem
aluzundur�
“yanlış”O
kan(1.75m
) �O
kanuzundur
�“doğru”
yada
“yanlış”değil
�O
kan, “uzun”terim
ininsınır
bölgesinde.
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
6| 2
0
Đkideğerlilik
prensibi
�G
ünlük yaşam
veinsan
iletişimi“belirsiz”
terimler
uzerinekurulu
�B
ertnardR
ussel(1872-1970):
“Bütün
klasikm
antıksistem
leri kesinterim
ler(önerm
eler) uzerine
kurulmuştur. B
u nedenleklasik
mantık
dunyevigerçeklige
uyarlanamaz, sadece
tasarlananhayalürünü
birgerçeklige
uyarlanabilir.”
�B
ulanıkm
antık
•B
elirsizterim
lerikullanir•Đkide
ğerlilikprensibine
dayanmaz
•Y
anlışile
doğru
arasındasonsuz
sayıdadoğruluk
derecesikabuleder
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
7| 2
0
Eksiksizlik
kuralı
�(Law
of Excluded M
iddle)
�(A
∨∨∨ ∨¬¬¬ ¬A) = D
A) = DA) = DA) = D
(“A veyaA’nın değili”doğrudur)
�Ikide
ğerlilikprensibinden
kaynaklanir
�“O
kanuzundur”
yada
“okanuzun
değildir”
=? do
ğru
�“O
kanuzundur”
yada
“okanuzun
değildir”
= do
ğru
değ
il(A
∨¬A) ≠
D
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
8| 2
0
Yığınparadoksu(Sorite
sparadox)
�1,000,000 kum
tanesibirkum
yığınıdır (önerme
1)
�B
irkum
yığınındanbir
kumtanesialirsak
geridekalan
yinebir
kumyığınıdır
(önerme
2)
önerme
1�
doğru
önerme
2�
doğru
�P
aradoks:Ö
nerme
2’yi 999,999 kezuygularsak
“tekkum
tanesibirkum
yığınıdır(önerm
e3)”
sonuçunaulaşırız!
Önerm
e3 �
yanlış
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
9| 2
0
Sınırbölgesiproblemi
�B
irterim
insınır
bölgesindenesneler
varsabu
terimbelirsizdir
�B
irterim
belirsizsesınır
bölgelerivardır
�“U
zun”terim
ininsınır
bölgesi
�O
yleinsanlar
vardırki
“uzun”veya
“uzundeğil”
değildir
≡“uzun
değil”
ve“uzun
değilde
ğil”dir
≡“uzun
değil”
ve“uzun”
dur!
�çelişki
�B
irönerm
ehem
doğru
hem yanlış
olamaz!
Çelişkisizlik
kuralı:(A
∧∧∧ ∧¬A
) = Y
�⇒
Klasikm
antıkta“sınırbölgeleri”nikabuletm
ekbiziçelişkiye
götürür.�
⇒Klasik
mantıkta
“sınırbölgeleri”nikabuletmek
paradokslarayolaçar.
�⇒
Klasikm
antıkbelirsiz
terimlerikullanam
az.
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
10
| 20
Belirs
izlik(vagueness) n
e değildir?
�B
ilinmezlik
(ignorance) değ
ildir!
“Su anda
Pekin’de
yağm
uryağip
yağm
amasi”
�“bilinm
ezlik”durum
uile
ilgili
�Ç
ok anlamlilik
(ambiguity) de
ğildir!
“Ahm
et’inbüyük
burnuve
kulagivar”�
“Büyük
burun”ve
“büyükkulak”
mi yoksa
“büyükburun”
ve“kulak”
mi?
�G
örelilik(relativity) de
ğildir!
“Ufuk
(1.85) uzundur”�
Turkiye’de
“doğru”, H
ollanda’da“doğru
değil”
olabilir
�B
irterim
insınır
bölgeleriolmasıdurum
udur.
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
11
| 20
KLASĐK ÖNERMELER MANTIĞI
�M
antıkoperatörleri:
değ
il¬
veveve ve∧
veyaveyaveyaveya
∨iseiseiseise
→ancak
veancak
↔
�D
oğruluktablolari:
f PQ
P∧∧∧ ∧
QD
DD
DY
YY
DY
YY
Y
PQ
P∨∨∨ ∨
QD
DD
DY
DY
DD
YY
Y
PQ
P→→→ →
QD
DD
DY
YY
DD
YY
D
PQ
P↔↔↔ ↔
QD
DD
DY
YY
DY
YY
D
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
12
| 20
De Morgan kuralı
�P
∨Q
= ¬(¬
P ∧
¬Q
)
PQ
P∨∨∨ ∨
Q¬
(¬P∧
¬Q
)D
DD
DY
DY
YD
DY
DD
YD
YD
YY
DD
DD
YY
YD
YY
YY
DY
DD
Y
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
13
| 20
Totoloji
�D
eğişkenlerine
her hangibirdoğruluk
değeri
atamasinda
her zaman
doğ
ruolan
önermeler
�E
ksiksizlikkuralı: (A
∨¬A) = D
AA
∨¬
A
DD
DY
DY
YD
DY
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
14
| 20
Çelişki
�D
eğişkenlerine
her hangibirdoğruluk
değeri
atamasinda
her zaman
yanlış
olanönerm
eler
AA
∧¬
A
DD
YY
DY
YY
DY
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
15
| 20
Gerektirm
eveiddia
�B
irgrup
mantık
formülünün
(Γ) do
ğruoldu
ğuher
durumda
P form
ülüde do
ğruoluyorsa, “Γ
, P’yi
gerektirir”
denir.
Γ╞
P
�B
iriddia
birveya
dahafazla
“neden”form
üllerindenve
bir“sonuç”
formülünden
olusur.
�B
iriddiadakinedenler
sonuçugerektiriyorsa
bu“iddia
geçerlidir”
denir.
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
16
| 20
Gerektirm
eveiddia
CJ
J→
CJ
CJ→
cD
DD
DD
DD
JD
YY
DD
YD
CY
DD
YY
DY
YY
YD
YY
Y
CJ
J→
C¬
J¬
CJ→
cD
DD
DD
YD
YD
¬J
DY
YD
DD
YY
D¬
CY
DD
YY
YD
DY
YY
YD
YD
YD
Y
Geçerliiddia
ornegi:
Geçersiz
iddiaornegi:
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
17
| 20
BĐRĐNCĐDERECEDEN MANTIK
�F
ormüller
yüklemler
ileoluşturulur: �
(Yüklem
lerm
antıği)
Ahm
et(a) Koşar
�K
aA
hmet(a) F
atma(f)’yiS
ever �
Saf
�Ö
nerme
mantığındakioperatörlerin
yanısıraikinicelem
eoperatörü
bulunur(bütün: ∀∀∀ ∀
;bazi: ∃∃∃ ∃)
Bütün
insanlarK
oşar
(x: insan)�
(∀x) K
xB
aziinsanlarF
atma’yiS
ever�
(∃x) Sxf
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
18
| 20
Konuşma dilin
denörnekler
�Đnsanlar
venesneler
dünyası:
x birĐnsandır
�Đx
Herkes
birkoşan insan
sever≡
Her insanin
sevdiği koşan
birinsan
vardır�
(∀x) (Đx →
(∃y) ( (Đy ∧KKK Ky) ∧
SSS Sxy)
Herkesin
sevdiği koşan
birinsan
vardır≡
Öyle
birkoşan
insanvardır
kiher insanonu
sever�
(∃x) ( (Đx ∧KKK Kx) →
(∀y) ( Đy ∧
SSS Syx) )
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
19
| 20
Yığınparadoksundakiiddia
�1.85m
boyundakibirinsan
uzundurU
zunboylu
birinden1cm
kısabiride uzundur
----------------------------------------------------------------------1.55 m
boyundakibirinsan
uzundur(!)
�s
: 1.85m boyundakiinsan
f : 1.55m
boyundakiinsanU
x: x uzundur
Exy
: x, y’den1cm
kısadır
Us
(∀x) (∀
y) ( (Ux
∧EEE Eyx) →
UUU Uy
)-----------------------------------------UUU U
f
23
Nis
an
20
09
, Pe
rşe
mb
eN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
20
| 20
Yığınparadoksundakiiddia
Us
1(∀
x) (∀y) ( (U
x∧
EEE Eyx) →UUU U
y)
�eksilm
eme
prensibiEEE Es
2 s1
EEE Es3 s
2EEE Es
4 s3
⋮EEE Es
30 s29
-----------------------------------------UUU U
s30
�K
lasikm
antıktakibuiddia
geçerlidir.
�B
u iddiadakinedenform
ülleridoğru
olduğundan, iddianin
sonuçform
ülüde do
ğrudur.
�1.55m
boyundakibirinsan
uzundur(!)
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
21
| 48
ÜÇ-DEĞERLĐ
MANTIK
�Kleene’in
üç-değerli m
antığ
ı
�Łukasiewicz’in
üçdeğe
rlimantığ
ı
�Dereceli g
erektirm
e
�Yeni bir p
roblem
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
22
| 48
Kleene’in
üç-değerli
önerm
eler
mantıg
ı(K
3 ), (Stephen K., 1
938)
�“O
kan(1.70m) uzundur”
�“D
oğru
yada
yanlışdeğil”
, “tanımsız”
, “nötr”
�Đkide
ğerlilikprensibiatiliyor:
D: do
ğruY
: yanlışN
: nötr
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
23
| 48
K3operatörle
ri
değ
il¬
kve
∧k
veya∨
kise
→k
ancakve
ancak↔
k
�D
oğruluk
tabloları(bundansonra
k indeksikullanılmayacak):
�f
P¬
PD
YN
NY
T
P∧∧∧ ∧
QD
NY
DD
NY
NN
NY
YY
YY
P∨∨∨ ∨
QD
NY
DD
DD
ND
NN
YD
NY
P→
QD
NY
DD
NY
ND
NN
YD
DD
P↔↔↔ ↔
QD
NY
DD
NY
NN
NN
YY
ND
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
24
| 48
K3
�N
ormal:
Sadece
D ve
Y kulanıldığında, K
3sistem
indekioperatörler
klasikm
antıksistem
indekioperatörlerleayni
sonucu verir
�E
ksiksizlikkuralıgeçerlide
ğildir
Klasik
mantıkta
totoloji, K3 ’te totolojide
ğil
PP
∨¬
P
DD
DY
DN
YN
NY
YN
DD
N
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
25
| 48
K3
�B
irform
ülD, Y
, N değerlerinden
her hangibirinialabilir
�Ö
rnek:
PQ
P→
(P→
Q)
DD
DD
DD
DD
ND
ND
NN
DY
DY
DY
YN
DN
DN
DD
NN
NN
NN
NN
YN
NN
NY
YD
YD
YD
DY
NY
DY
DN
YY
YD
YD
Y
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
26
| 48
K3 ’te
totolojiveçelişki
�T
otoloji:H
er zaman
doğru
(D) olan
önermeler
�Ç
elişki:H
er zaman
yanlış(Y
) olanönerm
eler
�K
3sistem
indetotolojiya
daçelişkiyoktur
Ispat:
•Ö
peratörlerindoğruluk
tablolarinabakildiginda
şu görülür: H
er hangibirK
3m
antıkoperasyonunda
değişkenlerin
ikiside N değerini
aliyorsasonuç
her zaman
N’dir.
•D
emek
ki, her hangibirönerm
eiçin
bütündeğişkenlere
N atanarak
sonuçtaN
eldeetm
ekm
umkundur.
•S
onucu D’den
(Y’den) baska
birdeğer
olabilenbir
önerme
totoloji(çelişki) değildir.
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
27
| 48
K3 ’te
gerektirm
eveiddia
�B
irgrup
mantık
formülünün
(Γ) do
ğru(D
) olduğu
her durumda
P form
ülüde
doğru
(D) oluyorsa, “Γ
, P’yigerektirir
”denir. (Γ
╞k
P)
�B
iriddiadakinedenler
sonuçugerektiriyorsa
bu“iddia
geçerlidir”
denir.
�K
lasikm
antıktakiher gerektirme
K3
mantığında
birgerektirm
edeğildir.
Đspat:
•K
lasikm
antıktageçerliolan
ama
K3 ’te geçerliolm
ayanbir
iddia:
¬(P
↔Q
)--------------------------(P
↔R
) ∨(Q
↔R
)
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
28
| 48
K3 ’te
gerektirm
eveiddia
�K
lasikm
antıktageçerliolan
ama
K3 ’te geçerliolm
ayanbir
iddia:
¬(P
↔Q
)--------------------------(P
↔R
) ∨(Q
↔R
)
�K
lasikm
antıkta:
¬(P
↔Q
) = D
⇔P ≠
QP ≠
Q ⇒
[ (P ↔
R) =
D ] ∨
[ (Q ↔
R) =
D ]
⇒(P
↔R
) ∨(Q
↔R
) = D
�K
3 ’te:
R =
N ⇒
[ (P ↔
R) =
N ] ∧
[ (Q ↔
R) =
N ]
⇒(P
↔R
) ∨(Q
↔R
) = N
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
29
| 48
Łukasiewicz’in
üçdeğerli
önerm
eler
mantığ
ı, (Ł3 ),
(Jan Ł., 1
930)
�Ł
3 ’un K3 ’ten tek
farkıçember içine
alınanlar
�B
u farkŁ
3sistem
indehem
totolojilerinhem
de çelişkilerin
bulunmasina
yolacar
P¬
PD
YN
NY
T
P∧∧∧ ∧
QD
NY
DD
NY
NN
NY
YY
YY
P∨∨∨ ∨
QD
NY
DD
DD
ND
NN
YD
NY
P→
QD
NY
DD
NY
ND
DN
YD
DD
P↔↔↔ ↔
QD
NY
DD
NY
NN
DN
YY
ND
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
30
| 48
Ł3 ’te
totolojiveçelişki
�Ł
3 ’te totoloji(çelişki) olanher form
ülklasikm
antııı ıkta
datotolojidir
(çelişkidir). (Cunku
Ł3
normaldir)
�K
lasikm
antıktatotoloji(çelişki) olan
her formülŁŁŁ Ł
3 ’tetotoloji
(çelişki) değğğ ğildir.
Đspat:
Ornek: E
ksiksizlikkuralı
(A ∨
¬A)
Klasikm
antıktatotolojidir.
Ł3 ’te:
A =
N ⇒
(A ∨
¬A) = (N ∨
¬N) = N
≠D
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
31
| 48
Ł3 ’te
gerektirm
eveiddia
�Ł
3 ’teki her gerektirme
klasikm
antıktada
birgerektirm
edirΓ╞
ŁP
⇒⇒⇒ ⇒Γ╞
P
�K
lasikm
antıktakiher gerektirme
Ł3 ’te bir
gerektirme
değildir
Γ╞
P ⇏⇏⇏ ⇏Γ╞
ŁP
Đspat:Örnek
¬(P
↔Q
)--------------------------(P
↔R
) ∨(Q
↔R
)
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
32
| 48
Bochvar’in
üç-deg. önerm
eler
mantıg
ı(B
3 ), (Dimitri
B., 1
937)
�B
ochvarparadokslarla
ilgilendi
“Bu cum
leyanlıştir”
�bir
paradoks
�B
oyle cumlelere
“anlamsiz”
dediD
: doğru
Y: yanlış
N: nötr
(anlamsiz)
P¬
PD
YN
NY
T
P∧∧∧ ∧
QD
NY
DD
NY
NN
NN
YY
NY
P∨∨∨ ∨
QD
NY
DD
ND
NN
NN
YD
NY
P→
QD
NY
DD
NY
NN
NN
YD
ND
P↔↔↔ ↔
QD
NY
DD
NY
NN
NN
YY
ND
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
33
| 48
Belirs
izlikyonundenkarsilastirm
a
1)Ikide
ğerlilikreddedilm
eli:
K3 ✔
Ł3 ✔
B3 ✔
2)T
otolojiveçelişkilerin
durumu:
•Ü
çsistem
dede, klasik
mantıktakibazitotolojiler
geçerlideğil✔
•K
3ve
B3
sistemlerinde
totolojiyok✖✖✖ ✖
•Ł
3sitem
indetotolojivar
✔
(A →
A) yada
(A ↔
A)gibiklasik
totolojilerinüç
değerlisistem
dede
totolojiolarakkalm
asiisteniyorsaŁ
3sistem
itercihedilm
elidir.
3)“Y
aklaşıktotoloji”
yönündenkarşılastırm
a…
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
34
| 48
Yaklaşıktotoloji
�B
irform
ülhiçbir
zaman
“yanlış”(Y
) olm
uyorsa, yaklaşık
totolojidir.
�K
lasikm
antık�
yaklaşık
totoloji=totoloji
�K
3ve
B3�
totolojiyok, yaklaşıktotolojiler
var
�E
ksiksizlikkuralı(A
∨¬A) �
K3 , Ł
3ve
B3 ,
hepsindeyaklaşık
totoloji
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
35
| 48
Yaklaşıkçelişkiveyaklaşık
gerektirm
e
�Y
aklaşık
çelişki:
hiçbir
zaman
doğ
ru(D
) olmayan
formüller
(her zam
anY
veyaN
)
�Y
aklaşık
gerektirme:
Bir
grupm
antıkform
ülünün(Γ
) doğ
ru(D
) veyanötr
(N) oldu
ğu
her durumda
P form
ülüde do
ğru
(D)
veyanötr
(N)
oluyorsa, “Γ, P
’yiyaklaşık gerektirir
”denir.
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
36
| 48
Yaklaşıkgerektirm
e
�K
3 , Ł3
veB
3 ’teki her yaklaşıkgerektirm
eklasik
birgerektirm
edir.
�H
er klasikgerektirm
eK
3 ’te (Ł3 ’te, B
3 ’te) yaklaşıkgerektirm
edeğildir.
Ispat: Ornek
A ∧
¬A
----------B
Klasik
mantıkta
birgerektirm
e(neden,hiç
birzam
anD
değil)
K3 , Ł
3 veB
3 ’te birgerektirm
e
K3 , Ł
3 yada
B3 ’te yaklaşık
gerektirme
değil(A
=N
, B=
F ⇒
neden=N ; sonuç=F )
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
37
| 48
Dereceligerektirm
e
�G
erektirme
�doğrulu
ğukorur
�Y
aklaşık
gerektirme
�yanlış
olmam
ayi korur
�D
ereceligerektirme
�en dü
şük doğruluk
derecesini korur
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
38
| 48
Dereceligerektirm
e
�D
oğruluk
değerleriniderecelendirelim
D ≥
N ≥
Y
�P
formülünün
değeri, bir
grupm
antıkform
ülünün(Γ
) en küçük
doğruluk
değerine
gore her zaman
dahabüyük
yada
eşitoluyorsa
“Γ, P
’yidereceligerektirir
”denir.
�Γ
’dekiformüllerin
hepsiDise
P de D
olmalidir
Γ’dekiform
üllerD
yada
Nise
P de D
yada
Nolm
alidir
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
39
| 48
Dereceligerektirm
e
�K
3 , Ł3 ve
B3 ’teki her dereceligerektirm
ebir
klasikgerektirm
edir
�D
ereceligerektirme
��� �
gerektirme
+yakla
şışışı şıkgerektirm
e
�Eğer
Γ, P
’yigerektirmez
yada
yaklaşık gerektirm
ezise
derecelide gerektirmez
�H
er klasikgerektirm
eK
3 ’te (Ł3 ’te, B
3 ’te) dereceligerektirm
edeğildir
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
40
| 48
Eksiksizlik
kuralının re
ddi
�“U
zunifadesibelirsizdir”
in formülasyonu
(eksiksizliğin reddi, sınırbölgesinin
kabulu)
¬(∀
x) ( Ux
∨¬
Ux
) = ∃x ( ¬
Ux
∧¬
¬U
x)
�“U
zun”yada
“uzundeğil”olm
ayanen az
birinsanvardır
�Klasik
mantık
�∃
x ( ¬U
x∧
¬¬
Ux
) = ∃x ( U
x∧
¬U
x) = Y
�Klasik
mantıkta
eksiksizliğinreddiçelişkiye
götürür
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
41
| 48
Ł3 ’te
eksiksizliğ
inreddinindurumu
�Ł
3 ’te ∃x ( ¬Ux
∧¬
¬Ux
)yada
∃x ( Ux
∧¬U
x)
çelişkideğildir
�Yorum
sama:
{ boy(x) ≥1.75m
} ⇒
UUU Ux
= D{1.75m
≥boy(x) ≥
1.75m} ⇒
UUU Ux
= N{ boy(x) ≤
1.65m }
⇒UUU U
x= Y
�UUU U
x= N
⇒∃x (U
x∧
¬Ux)= N
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
42
| 48
Ł3 ’te
eksiksizliğ
inreddinindurumu
�Ł
3 ’te eksiksizliğinreddiçelişkiye
götürmez
�A
ma
∃x ( ¬Ux
∧¬
¬Ux
)formülü
hiçbirzam
an“doğru”da
değildir
�Eğer
sınırbölgesinin
varliği kabulediliyorsabu
formülün
“doğru”
olmasıgerekir
�Ü
ç-değerlim
antıkta∃x ( ¬U
x∧
¬¬U
x)
yanlışlanmadiam
adoğrulanm
adida!
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
43
| 48
Ł3 ’te
yığınparadoksunundurumu
�Đddia:
Us
1EEE Es
2 s1
EEE Es3 s
2EEE Es
4 s3
⋮EEE Es
30 s29
(∀x) (∀
y) ( (Ux
∧EEE Eyx) →
UUU Uy
)-----------------------------------------UUU U
s30
�K
lasikm
antıktave
Ł3 ’te geçerli.
�P
aradoksunoluşm
asıiçiniddianin
geçerliolmasıyeterlide
ğil!
�B
ütünneden
önermelerinin
“doğru”
olmasıgerekir.
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
44
| 48
Ł3 ’te
eksilm
emeprensibinindurumu
(∀x) (∀
y) ( (Ux
∧EEE Eyx) →
UUU Uy
)
�Yorum
sama:
{ boy(x) ≥1.75m
} ⇒
UUU Ux
= D{ 1.75m
≥boy(x) ≥
1.75m }
⇒UUU U
x= N
{ boy(x) ≤1.65m
}⇒
UUU Ux
= Y
{ y, x : boy(y), boy(x)’den 1cm küçük
} ⇒
EyEyEy Eyx= D
{ } ⇒
EEE Eyx= N
{ y, x : boy(y), boy(x)’den 1mm
küçükdeğil}
⇒EEE Eyx
= Y
s1 =
1.90 ; si+
1 –s
i = 1cm
�boy(x) =
1.75m ; boy(y) =
1.74m
( (Ux
∧EEE Eyx) →
UUU Uy
) = ( (D ∧
D) →
N ) = ( D
→N
) = N
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
45
| 48
Ł3 ’te
eksilm
emeprensibinindurumu
(∀x) (∀
y) ( (Ux
∧EEE Eyx) →
UUU Uy
)
�S
embolik
önermesinin
Ł3 ’teki de
ğeriN’dir
(ispatburadaverilm
eyecek)
�Ł
3 ’te eksilmem
eprensibi“do
ğru”değildir
�Y
ığınparadoksu
iddiasiningeçerliolm
asınakarşin, neden
önermelerinin
hepsi“doğru”
olmadığından, sonuç
önermesinin
kabuledilmesigerekm
ez
�P
aradoksçözülm
üştür !
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
46
| 48
Ł3 ’te
eksilm
emeprensibinindurumu
“1cm
, boy uzunluğ
undabir
farkyaratm
az”
�Ł
3 ’te “doğru”
değil
�A
ma
söz doğru
gibi! �“doğru’ya
çokyakın”
�“0.00000001cm
boy uzunlugundabir
farkyaratm
az”�
“doğru’ya
dahada
yakın”
�Ü
ç-değerlim
antıkta“doğru’ya
çokyakın”
ifadeedilem
ez!
�B
ulanıkm
antıkta“doğru’ya
çokyakın”
ifadeedilebilir
!
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
47
| 48
Yenibirproblem: S
INIRLAR
�Ü
ç-değerlim
antıkhala
kesinsınırlar
varsayıyor
�( U
x=
D )’den ( U
x=
N )’ye geçis için
boy(x) sınırıne olm
alı?
1.75 ?1.74 ?
1.749999 ?
�S
ınırne olursa
olsun1cm
’lik degisme
halafark
yaratir!
�E
ksilmem
eprensibihala
geçerlideğil!
�S
agduyumuz
eksilmem
eprensibinin
geçerliolduğunu
söylüyor!
24
Nis
an
20
09
, Cu
ma
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
48
| 48
Sınırbölgesininsınırbölgesi…
�B
etrandR
ussell:
“Sınır
bölgesinitanimladiginizda, do
ğrulukbölgesiile
sınırbölgesiarasında
birdaha
sınırbölgesi
tanımlam
anız, böyledevam
ederekdaha
yüksekdereceden
sınırbölgeleritanim
lamaniz
gerekir”.
�3-de
ğer’den, 5-değere, 9-de
ğere, …
�S
onsuzdeğerlim
antıksistem
inegidilir
�bulanık
mantık
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
49
| 74
BULANIK MANTIK
�Bulanık kümeler
�Łukasiewiczbulanık önerm
emantığ
ı
�N-dereceli g
erektirm
e
�Yığın paradoksu
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
50
| 74
Bulanıkkümelervedereceli
doğruluk
�Ü
ç-değerlim
antık�
keskinsınırlar
�B
ulanıkküm
eler�
bulanıksınırlar
�k
1.9
01.7
51.5
01.6
5
“uzu
ndeğil”
“uzun”
“‘u
zun
yada
uzu
ndeğil’
değil”
Boy (m
)
1.5
0-1
.90
ara
siboy (m
)0.4
00.1
50.2
50
Uzunluk
derecesi[0, 1]1
0.425
=0.15/0.40
0.6250
“Uzun”
bulanıkküm
esi
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
51
| 74
Bulanıkküme
�B
ulanıkküm
eler, tanım
lıolduğu
alandakiher nesneye
[0, 1] arasındaüyelik
değ
eriatayan
bir“üyelik
fonksiyonu”ile
tanimlanir.
�K
lasikküm
e, üyelikfonksiyonu
sadece0 veya
1değerialan
birbulanık
küme
olaraktanim
lanabilir.
�Ü
çdeğerlim
antıktakullanilan
kümeler,üyelik
fonksiyonu0, 0.5 veya
1değerialabilen
bulanıkküm
elerolarak
tanimlanabilir.
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
52
| 74
Klasikvebulanıkküme
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
53
| 74
Doğrulukderecesi
�O
kan’in(1.75m
) boyununuzunluk
derecesi0.625
�“O
kanuzundur”
önermesinin
doğ
rulukderecesi
��� �0.625
�“x uzundur”
önermesi0 ile
1 arasındasonsuz
sayıdadoğruluk
derecesialabilir
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
54
| 74
Łukasiewiczbulanık önerm
emantığ
ı
�V(PPP P) ∈
[0, 1]
1)V(¬PPP P) = 1-V(PPP P)
2)V(PPP P∧QQQ Q
) = min ( V(PPP P), V(QQQ Q
) )3)
V(PPP P∨QQQ Q) = m
ax ( V(PPP P), V(QQQ Q) )
4)V(PPP P→
QQQ Q) = m
in ( 1, 1-V(PPP P)+V(QQQ Q) )
5)V(PPP P↔
QQQ Q) = m
in ( 1, 1-V(PPP P)+V(QQQ Q), 1-V(QQQ Q
)+V(PPP P) )
6)V(PPP P&QQQ Q
) = max ( 0, V(PPP P)+V(QQQ Q
)-1 )7)
V(PPP P∇∇∇ ∇QQQ Q) = m
in ( 1, V(PPP P)+V(QQQ Q) )
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
55
| 74
Łukasiewiczbulanıkönerm
emantığ
ı
V(PPP P) =1V(QQQ Q
) =0.75V(RRR R
) =0.5
formül
değerform
üldeğer
¬PPP P0
QQQ Q→
RRR R0.75
¬QQQ Q0.25
QQQ Q→
QQQ Q1
¬RRR R0.5
QQQ Q→
¬QQQ Q0.5
QQQ Q∧PPP P
0.75PPP P&QQQ Q
0.75QQQ Q
∧RRR R0.5
QQQ Q&RRR R
0.25QQQ Q
∨RRR R0.75
QQQ Q∇∇∇ ∇¬QQQ Q
1PPP P→
QQQ Q0.75
PPP P∇∇∇ ∇RRR R1
PPP P→RRR R
0.5RRR R
∇∇∇ ∇¬RRR R1
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
56
| 74
Eksiksizlik
veçelişkisizlik
P P P P ∇∇∇ ∇¬P P P P
= 1= 1= 1= 1
¬(P P P P & ¬P) = 1
P) = 1P) = 1P) = 1
P P P P ∨¬P P P P
::: :en dusuk0.5 değerinialir
¬(P P P P ∧
¬P)P)P) P): : : : en dusuk
0.5 değerinialir
�E
ksiksizlikve
çelişkisizlikprensipleri
“güçlüve”
ve“güçlü
veya”kullanildiginda
geçerli
“güçsüz ve”ve
“güçsüz veya”kullanildiginda
geçerlideğğğ ğil
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
57
| 74
BM
Ł ’tatotoloji, ç
elişki
�T
otoloji:H
er zaman
1 değerinialan
formül
�Ç
elişki:�
Her zam
an0 de
ğerinialanform
ül
�H
er BM
Łtototlojisi(çelişkisi) aynizam
andaklasik
totolojidir(çelişkidir)
�H
er BM
Łgerektirm
esiklasikgerektirm
edir
�H
er BM
Łtotoloji(çelişki) aynizam
andaŁ
3 totolojisidir(çelişkisidir); tersido
ğrudeğildir.
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
58
| 74
BM
Ł ’degerektirm
e
�H
er klasiktotoloji(çelişki) blanik
totoloji(çelişki) değildir
P P P P ∨¬PPP P
¬(P P P P ∧
¬P)P)P) P)
�H
er klasikgerektirm
ebulanık
gerektirme
değildir
¬(P
↔Q
)--------------------------(P
↔R
) ∨(Q
↔R
)
P=
1 ; Q=
0 ; R=
0.5 ⇒
¬(P
↔Q
)=1
;(P
↔R
) ∨(Q
↔R
)=0.5
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
59
| 74
BM
Ł ’deN-to
toloji
�B
irform
ülünalabilece
ği doğruluk
derecelerininen büyük
alt sınırı“n”ise, o
formüle
n-totolojidenir.
�H
er totolojibir1-totolojidir. H
er çelişki0-totolojidir !
�Sadece
¬, ∧, ∨bağlaçlariniiceren
her klasiktotolojiŁ
BM ,de en az
0.5-totolojidir.
�( P P P P ∨
¬P ) P ) P ) P ) �
0.5-totoloji
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
60
| 74
BM
Ł ’deN-to
toloji
�H
er klasiktotolojiB
MŁ ’de
en az0.5-totoloji de
ğildir. B
aziklasiktotolojiler
BM
Ł ’de0-totoloji bile olabilir.
�¬
(P ∧
(P→
¬P))
��� �klasikklasikklasikklasik
totolojitotolojitotolojitotoloji
=== =B
M,Ł 1-m
in(V(P
), 2-(2.V(P
)))=
0.4if V
(P)∈
{0.6, 0.7}
�¬
(A→
¬A)∨
¬(¬A
→A
))��� �
klasikklasikklasikklasik
totolojitotolojitotolojitotoloji
=== =B
M,Ł
0.4if V
(P)=
0.5
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
61
| 74
BM
Ł ’dedereceli-g
erektirm
e
�P
formülünün
değeri, bir
grupm
antıkform
ülünün(Γ
) her birininalabilecegi en büyük
alt sınırdeğerine
gore her zaman
dahabüyük
yada
esitoluyorsa“Γ
, P’yidereceligerektirir
”denir.
�B
iriddianin
nedenlerisonucunudereceli-gerektiriyorsa
iddiadereceli-geçerlidir.
�D
ereceli-gerektirme, bir
iddiadanedenlerin
en küçükdoğruluk
derecesininkorunup
korumadigina
bakar.
�Eğer
biriddia
dereceligeçerlideğilse
iddiayainanm
aklane
kadardoğruluk
kaybederiz?
�D
erceli-geçerliolmayan
biriddiada
nedenlerdensonuca
geçerkenne kadar
doğruluk
kaybıolur?
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
62
| 74
Düşme-derecesi
�D
eğişkenlere
atananbelli bir
değer
kümesiiçin
�‘B
irgrup
mantık
formülünün
(Γ) her birinin
alabilecegien büyükalt sınır’
ile‘P
formülünün
değeri’
arasındakifark
0’dan büyükse, bufarka
“Γ’den P
’yedüşm
ederecesi”
denir.
0 yada
0’dan küçükse“Γ
’den P’ye
düşm
e derecesi0’dir”
denir.
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
63
| 74
Düşme-derecesi
PP →→→ →
Q---------Q
�V
(P)=
0.9 ; V(Q
)=0.2 durum
uiçin
V(P→
Q) =
min{1, 1-V(PPP P)+V(Q
)} = 0.3
En küçük
nedendeğeri=
min{V(PPP P), V(P
→Q
)} = 0.3
düşm
e derecesi= 0.3-0.2 =
0.1
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
64
| 74
N-dereceli-g
erektirm
e
�B
irgrup
mantık
formülü
(Γ) ile
Pform
ülüarasındakien büyük
düşm
ederecesi,(1-n )
ise“Γ
, P’yin-dereceligerektirir
”denir.
�B
iriddianin
nedenlerisonucunun-dereceli-gerektiriyorsa
iddian-dereceli-geçerlidir.
PP →→→ →
Q---------
��� �B
u iddia0.5-dereceli-geçerlidir
Q
�N
edendensonuca
en büyükdüşm
e derecesi0.5 (ispatkitaptavar)
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
65
| 74
N-dereceli-g
erektirm
e
AA →→→ →
BB
→→→ →C
��� �klasik
mantıkta
geçerliC
→→→ →D
D →→→ →
EE
→→→ →F
��� �B
MŁ ’de
0.1-dereceli-geçerliF
→→→ →G
G →→→ →
H(B
ulanık mantıktaki her n-dereceli
H →→→ →
Igerektirm
e (n>0), klasik m
antıkta I →→→ →
Jbir gerektirm
edir.)----------J
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
66
| 74
N-dereceli-g
erektirm
e
AA →→→ →
BB
→→→ →C
C →→→ →
DD
→→→ →E
E →→→ →
FF
→→→ →G
G →→→ →
HH
→→→ →I
I →→→ →J
----------J
�V
(A)=
0.9 ; V(B
)=0.8 ; V
(C)=
0.7 ;…; V
(I)=0.1 ;
V(J)=
0
durumunda
bütünneden
önermelerinin
doğruluk
derecesi=
0.9
sonuçönerm
esinindoğruluk
derecesi= 0
⇒B
u iddiaen fazla
0.1-dereceli-geçerlidir.
Bu iddianın
aslindatam
da0.1-dereceli-
geçerli olduğu
ispatlanabilir!
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
67
| 74
N-dereceli-g
erektirm
e
AA →→→ →
BB
→→→ →C
C →→→ →
DD
→→→ →E
⋮⋮⋮ ⋮Φ→→→ →Ψ
---------Ψ
�G
enelolarakbu
ididaform
undakitekilifadesayısinim
’ecikarir, uygun
“ise”form
ülleriniekler, sonuç
önermesinide son “ise”
formülünün
sonuçifadesine
eşitlersek
iddia1/m
-doğ
ruluk dereceliolur.
�D
ahafazla
ifadeeklersek
doğruluk
derecesidaha
daduser
ama
hiçbirzam
an0 olm
az.
�“A
zalangeçerlilik”
durumu
�Y
ığınparadoksundakiiddia
ileçok
benzer!
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
68
| 74
Birin
ciderecedenbulanıkmantık
(Łukasiewicz)
�Y
ığınparadoksu
ileilgilikullanilacak
yorumsam
a:
Boyu
1mm
fakla1.50m
ile1.90m
arasındaolanlar
U: uzun
;E
: 1cm farkliolm
a
V [ U
(1.90) ] = 1
V [ U
(1.89) ] = 0.975
V [ U
(1.70) ] = 0.5
V [ U
(1.50) ] = 0
y
12
12
x-1.50x-1.50
V[ U
(x) ]==
1.90-1.500.40
1, xx
1cmV
[ E(x
,x) ]=
0, diger durumlarda
−=
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
69
| 74
Nicelik
form
ülleri
1)V
[ (∀x) P
] = { V
[ P]’nin
en büyükalt sınırı} =
ebas{V
[ P] }
2)V
[ (∃x) P] =
{ V [ P
]’ninen küçük
ustsınırı} = eküs
{V [ P
] }
�E
ksiksizlikkuralı:(∀
x) (Ux
∨¬U
x)
V [ (∀
x) (Ux
∨¬U
x)
] = ebas
{ V [U
x∨
¬Ux]} =
0.5
x = 1.70 durum
u
x > 1.70 ise
V[U
x] > 0.5
x < 1.70 ise
V[¬U
x] > 0.5
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
70
| 74
Yığınparadoksu
Us
1s
1 = 1.90m
; si+
1 –s
i = 1cm
; s30
= 1.50m
EEE Es2 s
1EEE Es
3 s2
EEE Es4 s
3⋮
EEE Es30 s
29(∀
x) (∀y) ( (U
x∧
EEE Eyx) →UUU U
y) �
Eksilmem
eprensibi
-----------------------------------------U
s30
�Đddia
BM
Ł,1 ’de geçerli�
Neden
önermelerinin
doğruluk
derecesi1 ise
sonuçönerm
esininde do
ğrulukderecesi1’dir.
�E
ksilmem
eprensibidişindakineden
önermelerinin
doğruluk
derecesi1�
Sonuç
önermesinin
doğruluk
derecesi0�
Eksilm
eme
prensibinindoğruluk
derecesinedir?�
Bu iddia
kacdeeceligeçerlidir?
12
12
x-1.50x-1.50
V[ U
(x) ]==
1.90-1.50
0.40
1, xx
1cmV
[ E(x
,x) ]=
0, diger durumlarda
−=
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
71
| 74
Yığınparadoksu
�(∀
x) (∀y) ( (U
x∧
EEE Eyx) →UUU U
y) �
Eksilmem
eprensibi
�d =
doğruluk
değeri=
ebasV
[(Ux
∧EEE Eyx) →
UUU Uy
] = m
in V[(U
x∧
EEE Eyx) →UUU U
y]
�EEE Eyx
= 0 ⇒d = 1 ⇒
en küçükdeğer, arasında
1cm fark
olanx,y
ikilileriiçinolur
⇒x-y = 1cm
�⇒
d = min V
[(Ux→
UUU Uy) ] = m
in ( 1, 1-V(UUU Ux)+V(UUU U
y) )
�x-y = 1m
m ⇒
V(UUU Uy) = V(UUU U
x) –1/29 ⇒
1-V(UUU Ux)+V(UUU U
y) ≅28/29 =
0.9655�
⇒d = 0.9655
�⇒
V [ (∀x) (∀
y) ( (Ux
∧EEE Eyx) →
UUU Uy
) ] = 0.9655
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
72
| 74
Yığınparadoksu
�E
ksilmem
eprensibinin
doğruluk
derecesi1’den küçükoldu
ğunagore, bu
geçerliiddianinsonucunu
kabuletmek
zorundadeğiliz.
�P
aradoksçözülm
üştür
!
�G
eçerlibiriddiada, bir
nedenönerm
esidoğruya
çokyakınsa
(0.9655) vediger
nedenönerm
eleridoğruysa
(1) sonuçönerm
esininde do
ğruyayakın
olmasıgerekm
ezm
i?
�Y
ığıniddiasidereceli-geçerlide
ğildir!
�E
n fazla0.0345-dereceli-geçerlidir ! (1/29=
0.0345)
�Đddianin
1/30-dereceli-geçerli olduğu
gosterilebilir(kitap) !
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
73
| 74
Yığınparadoksu
�Đddia
1.80m’ye kada
devametseydigeçerlilik
derecesidahayüksek
olurdu.
�1.75m
’ye kadardevam
etseydiyinem
akulbirgeçerlilik
derecesiolurdu
�1.50m
’y kadardevam
edince0’a yakın
birgeçerlilik
derecesioluyor
�A
zalangeçerlilik
durumu
25
Nis
an
20
09
, Cu
ma
rtesi
Ne
sin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
74
| 74
Yığınparadoksu
�Y
ığıniddiasigeçerli; am
a
�eksilm
eme
prensibitam doğru
değil, do
ğruyaçok
yakın ; bunedenle
�yığın
iddiasinındüşük bir
dereceligeçerliligivar; buyüzden
�doğruya
çokyakın
nedenönerm
elerindenyanlış
birsonuç
önermesine
gidilebiliyor.
�A
zalangeçerlilik
durumundan
dolayıiddianinuzunluguna
gore geçerlilikderecesidegisiyor
.
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
75
| 97
MÜHENDĐSLĐK
VE
SOSYAL BĐLĐMLERDE
BULANIK MANTIK
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
76
| 97
Mühendislikte
�S
özelifadelerinm
atematiğe dönü
ştürülmesi
�D
oğrusalolm
ayanfonksiyonlar
�Interpolasyon
�M
AT
LAB
Fuzzy Logic T
oolbox
�Ç
ıkarım sistem
i(Inference system)
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
77
| 97
Tarih
selgelişme
•LotfiA
. Zadeh
(“Fuzzy S
ets”, 1965)
Lutfi Askerzade
�bulanık
kü
meler
•E
brahimM
amdani(1975)
�bulanık
çıkarım m
etodu
•Japonya, S
endai trensistem
i(Seiji Y
asunobuve
Soji
Miyam
oto, 1985) �
bulanıkm
antığ
ınpratik
kullanimi
•A
killibulasikm
akinasi(Maytag, 1995)
�bulanık
mantı
ğın
pratikkullanım
ı
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
78
| 97
Üyelik
fonksiyonları
�µ
A (x)��� �
Üyelik
değğğ ğerlerinigösterir
eğ
ri
�[0, 1] aras
ındadeğişir
�K
lasikküm
eörne
ği��� �
A = {x
|x> 6}
�B
ulanık
küm
eörne
ği��� �
A = {x, µ
A (x)| x є
tanım kü
mesi}
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
79
| 97
Degisiküyelik
fonksiyonları
(MATLAB Fuzzy Logic Toolbox’tan)
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
80
| 97
Üyelik
fonksiyonlarıolasılık
lailgili
değildir!
�“G
enç”bulanık
kümesi
�25 yasinda
biriningenç
olma
olasılığınedir?��� �
0.5 değil!
�25 yasinda
birine derecedegençtir
�0.50
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
81
| 97
Bulanık mantık
operatörle
ri
�A
veB
��� �m
in(A
, B)
�A
veyaB
��� �m
ax(A
, B)
�değ
ilA
��� �1-A
�K
esişim:
µA
nB (x) = min(µ
A (x), µB (x))
�B
irleşim
:µ
A∪∪∪ ∪
B (x) = max(µ
A (x), µB (x))
�T
ersi:µ
A′′′ ′ (x) = 1-
µA (x)
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
82
| 97
Bulanık mantık
ta“eğer-is
e”kuralları
�“Eğer-ise”
kuralı
Eğ
erx,A
isey, B
’dir
�Y
orumlam
a�
“x’inA
olması”
birdereceye
kadardoğru
ise“y’nin
B olm
ası”da
o dereceyekadar
doğrudur.
�x’in
A küm
esineüyelik
derecesiburadaki“birdereceye
kadardoğruluk”u
belirler
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
83
| 97
Bulanık çıkarım
sistemi
�Ç
ıkarım��� �
Giriş
çıkışlararasında
uygunbir
ilişkitanimlam
ak
�Ç
ıkarımsistem
i:∑
kurali
i=1,…,n.
kurali :
Eğ
erx
1 ,Ave/veya
x2 , B
isey, C
i ’dir
1)B
ulanıklaştırm
a(fuzzification)
2)O
perasyonların uygulanmasi(ve/veya
)3)
Her bir
kuralınsonucunu
nçıkarılm
ası4)
Kuralların sonuçlarının birle
ştirilme
si5)
Berrakla
ştırma
(defuzzification)
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
84
| 97
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
85
| 97
SosyalBilim
lerde
�N
edensel açiklamalarıform
üleetm
ede
�Ç
ok belirleyiciliolaylarinanalizinde
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
86
| 97
Örneksosyalbilim
uygulaması
�K
aynak:
Goertz, G
. veM
ahoney, J. (2005), “T
wo-level theories and fuzzy-set
analysis”. S
ociological Methods and
Research, 33 (4): 497-538.
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
87
| 97
Đki-aşamalıteorile
r
�B
irolayin
meydana
gelişinineden-sonuçiliskileriile
aciklama
yaçalışır
�N
edensel değişkenleriikidüzey
deele
alır
�B
irincidüzey:Đncelenen
temelolayın m
erkezindekibirincilnedenleriiçerir
�Đkincidüzey:Incelenen
temelolaya
dahauzak
ama
onunlailgilinedenleri
icerir
�Đkincidüzeydekinedenlerin
olayaetkisiancak
birincidüzeydekinednelerle
iliskilendirilerekanlasilir
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
88
| 97
Đki-asamaliteorile
r
�B
irincidüzeydebulunabilecek
kavramlar:
Dem
okrasi, savas, sosyaldevlet
�Đkincidüzeyde
bulunabilecekkavram
lar
Serbest seçim
, sivilözgürlükler, geneloyhakkı,
şiddet
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
89
| 97
Skocpol’ulsosyaldevrim
teoris
i
�S
kocpol�
States and S
ocial Revolutions (1979)
�B
irincidüzey:D
evltein çökmesi(X
1), köylüayaklanm
aları(X2)
�G
erekli ama
ancakbirlikte
yeterlikosullar
�Ş
oyleifade
edilebilir: Y =
X1 * X
2
�IkincidüzeyU
luslararasibaskı, güçlüsınıflarin
baskisi, tarimsalgerilik
Köylülerin
bağim
sizliği vedayanışm
ası, toprakağalarının güçsüzlügü
�S
osyaldevrimin
tanımıiçin
gerekliolaylar:
•A
lttangelen
sınıf tabanlıayaklanmalar
•D
evletyapısınınbirden
vetem
eldendegism
esi•
Sınıfsalyapının birden ve
temelden
değişm
esi
Bu üçünün
birliktebulunm
asiduruma
sosyaldevrimdem
ekiçin
yeterlidir
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
90
| 97
Skocpol’ulsosyaldevrim
teoris
i
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
91
| 97
Bulanık-mantık
yaklaşımı
�Đkia
şamalıteoriler
nasıl test edilebilir?
�B
ulanıkm
antıkbir
cevapolabilir
mi?
�G
erekli ve/veyayeterliko
şullaranaliz
edilmek
uzereform
üleedilebilir
�S
özelifadelerkodlanabilir
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
92
| 97
Sonuçdeğişkenlerin
inkodlanmasi
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
93
| 97
Đkincidüzeydeğişkenlerin
inkodlanmasi
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
94
| 97
Birin
cidüzeydeğişkenlerin
kodlanmasi
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
95
| 97
Skocpol’unteoris
ibaşarılı
�B
ulanıkm
antıktesti:
•D
evletinçokm
esivekoylu
ayaklanmalarinin
sosyaldevrimiçin
yeterlikoşuloldu
ğunugosteriyor
•S
osyaldevrimolan
ülkelerden(F
ransa, Rusya, C
in) Cin’de
olanindaha
azsosyaldevrim
olduğunu
gosteriyor
•S
osyaldevrimolm
ayanulkelerden
(Ingiltere, Rusya
1905, A
lmanya, P
rusya, Japonya) Rusya
1905 veP
rusya’daolanlarin
sosyaldevrime
yakınoldu
ğunugosteriyor
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
96
| 97
ÇOK-DEĞERLĐVE
BULANIK MANTIK
DERSĐNĐN SONU
KATILIMINIZ ĐÇ
ĐN
TEŞEKKÜR EDERĐZ
26
Nis
an
20
09
, Pa
za
rN
esin
Ma
tem
atik
Kö
yü
: Ku
an
tum
Fiz
iği v
e B
ula
nık
Ma
ntık
97
| 97
Referanslar
�M
errieB
ergman (2008), A
n Introdüçtionto M
any Valued and F
uzzy Logic, Cam
bridge university Press
�G
oertz, G. ve
Mahoney, J. (2005), “T
wo-level theories and fuzzy-set analysis”. S
ociological Methods and
Research, 33 (4): 497-538.
�M
AT
LAB
’in“F
uzzy Logic Toolbox”i ve
ilgili“Help”
sayfalari
�K
lir, G.J. and Y
uan, B. (ed.), F
uzzy Sets, F
uzzy Logic, and Fuzzy S
ystems –
Selected P
apers by LotfiA.
Zadeh, W
orld Scientific P
ublication Co. P
te. Ltd., 1996.
�E
rden, M.S
., Leblebicioğlu, K
., Halıcı, U
., 2004. “Multi-agent system
based fuzzy controller design with
genetic tuning for a service mobile m
anipulator robot in the hand-over task.”Journal of Intelligent and
Robotic S
ystems, 38: 287-306.
�W
eb siteleri:
Etkilesim
libirbulanık
mantık
kontrolcusudem
osu, kurallarlaoynanabiliyor
: http://w
ww
.clarkson.edu/~esazonov/neural_fuzzy/loadsw
ay/LoadSw
ay.htm
bulanıkm
antıklailgiliaciklam
a:http://w
ww
.fortunecity.com/em
achines/e11/86/fuzzylog.html
bulanıkm
antıkuzerine
brsoylesi:
http://ww
w.genbilim
.com/content/view
/1695/86/
Recommended
