Come si determina la lunghezza di una linea curva?

Esiste un segmento L lungo come AB?

A B

A B

Lunghezza della circonferenza Esiste un segmento che misura come la circonferenza? Costruisco poligoni regolari inscritti nella circonferenza,

aventi un numero di lati sempre maggiore.

TEOREMA 1Raddoppiando il numero di lati di un poligono regolare inscritto, il perimetro del poligono aumenta

A

B

C

M

AM+MB>AB

TEOREMA 2Raddoppiando il numero di lati di un poligono regolare circoscritto, il perimetro del poligono diminuisce

Costruisco poligoni regolari circoscritti alla circonferenza, aventi un numero di lati sempre maggiore

A

B

C

T

DE < AD + AE

D

E

TEOREMA 3Il perimetro di un poligono inscritto in una circonferenza è sempre minore del perimetro di un poligono circoscritto

Abbiamo costruito due classi

Pn : classe dei perimetri dei poligoni circoscritti

pn : classe dei perimetri dei poligoni inscritti

Più è grande n più gli elementi Pn diminuiscono e gli elementi pn aumentano

Tali classi sono separate

Esiste l’elemento che separa le due classi?ELEMENTO SEPARATORE: •il più piccolo della prima classe • oppure il più grande della seconda classe• oppure un elemento più piccolo di tutti gli elementi della prima classe e più grande di tutti gli elementi della seconda.

Le classi sono contigueEsiste l’elemento separatore se le due

classi sono contigue:presa una lunghezza ε piccola a piacere esistono un poligono inscritto di perimetro pn e un poligono circoscritto di perimetro Pn tali che | Pn

– pn | < ε

Dimostriamo che le due classi sono contingue:

Dimostrazione: AB= Ln lato del poligono circoscritto di n lati

A’B’=ln lato del poligono inscritto di n latiT punto di tangenza (AT=TB)Pn : pn = AO : A’O Pn : pn = AO : OT(Pn - pn) : pn = (AO-OT) : OT(Pn - pn) : pn = 8(AO-OT) : 8OT (Pn - pn) : pn = 8(AO-OT) : P4 (perimetro del quadrato

circoscritto)

Poiché pn < P4 per qualsiasi n, allora (Pn - pn) < 8(AO-OT) ma AO-OT<AT , quindi (Pn - pn) < 8(AO-OT) <8AT (Pn - pn) <

4AB (Pn - pn) < 4 Ln Posso scegliere Ln piccolo

a piacere, preso Ln< ε/4 (Pn - pn) < ε

Classi separate e contigueammettono l’elemento separatore C non appartiene né alla prima né alla

seconda classeC è più grande di tutti i poligoni

inscritti e più piccolo di tutti i poligoni circoscritti

Def : CIRCONFERENZA RETTIFICATAIl segmento la cui lunghezza separa le classi contigue dei perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti.

Teorema Le circonferenze rettificate sono

proporzionali ai diametri

Hp : C circonferenza rettificata di una circonferenza di raggio r

C’ circonferenza rettificata di una circonferenza di raggio r’

Th: C:2r = C’ : 2r’

I perimetri dei poligoni inscritti sono proporzionali ai raggi pn : p’n = r :r’ se r/r’=k, allora pn = kp’n

I perimetri dei poligoni circoscritti sono proporzionali ai raggi Pn : P’n = r : r’ se r/r’=k, allora Pn = kP’np’n < C’ < P’n e kp’n < kC’ < kP’n pn < kC’ < Pn

Per def. di C pn < C < Pn Le ultime due relazioni sono vere per ogni n, perciò C=kC’Quindi C:C’=k=r:r’

C/2r = C’ /2r’= … = π

… quanto vale π ?

C:2r = C’:2r’

Area del cerchio

Si costruiscono le classi delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti

Esse sono separate e contigue L’elemento separatore è l’area del

cerchio Si dimostra che l’area è

proporzionale al quadrato del raggio

A/r2 = k =…. πA= πr2

Area del settore circolareSettore circolare: parte di cerchio delimitata da due raggi.

A settore che insiste sull’arco aB settore che insiste sull’arco b

A:B=a:bSe B = πr2 A: πr2 = a:2πr

A = ar /2

r