Universidade Federal da Bahia
Programa de Pos-Graduacao em Fısica - Instituto de Fısica
Dissertacao de Mestrado
COMPORTAMENTO TERMODINAMICO DEMESONS PESADOS
Elenilson Santos Nery
Orientador: Prof. Dr. Luciano Melo Abreu
Salvador, setembro de 2013
Agradecimentos
Agradeco a Deus por oportunizar esse momento tao especial em minha vida. Ao Prof.
Luciano Melo Abreu pelo apoio dado durante a pesquisa. Aos colegas, funcionarios e
professores do IF-UFBA. Aos colegas de maneira geral, a amizade e um combustıvel
necessario e suficiente. A minha famılia pelo apoio e a famılia de dona Loura, sem eles
isso nao seria viavel.
i
Resumo
Tendo como motivacao a analise da existencia de estados ligados do tipo de mesons
pesados e de estados exoticos, neste trabalho estudamos o comportamento termodinamico
da materia constituıda pelos mesons pesados. Neste sentido, utilizamos um modelo efetivo
(Lagrangiana Efetiva) cujos graus de liberdade fundamentais sao campos pseudo-escalares
que representam os mesons q e q, interagindo via troca de mesons pseudo-escalares e
vetoriais. A formulacao da teoria que descreve este sistema a temperatura e potencial
quımico finitos e viabilizada pelos metodos caracterısticos das integrais de trajetoria e do
formalismo de Matsubara de tempo imaginario. Deste modo, a funcao de particao pode ser
construıda analiticamente fazendo uso da aproximacao de campo medio. A ideia central
deste modelo e substituir os operadores dos campos mediadores pelos seus respectivos
valores medios independentes das coordenadas. O que torna tal abordagem uma situacao
semelhante ao do modelo de Walecka utilizado no estudo da materia nuclear. Assim,
obtemos informacoes como equacao de estado, pressao e densidade de energia, o que nos
permite compreender as propriedades termodinamicas do sistema.
Palavras-chave:.
iii
Abstract
Having motivated by the analysis of the existence of bound states of the type of
heavy mesons and exotic states, in this work we study the thermodynamic behavior of
matter consisting of the heavy mesons. In this sense, we use an effective model (Effective
Lagrangian) whose degrees of freedom are fundamental pseudo-scalar fields representing
the mesons q and q, interacting via the exchange of mesons and pseudo-scalar vector. The
formulation of the theory that describes this system to finite temperature and chemical
potential is made possible by the methods characteristic of path integrals and formalism of
Matsubara imaginary time. Thus, the partition function may be constructed analytically
making use of mean-field approximation. The central idea of this model is to replace
the field operators of mediators by their respective average values independent of the
coordinates. What makes this approach a situation similar to the Walecka model used to
study nuclear. Thus, we obtain information such as equation of state, pressure and energy
density, which allows us to understand the thermodynamic properties of the system.
Keywords:.
v
Sumario
Lista de Figuras ix
Lista de Tabelas xi
Introducao 1
1 Fısica de Partıculas 3
1.1 Conceitos Basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Leptons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Quarks e Hadrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Teoria de Guage e Quebra Espontanea de Simetria . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Teoria de Guage nao-abeliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Quebra Espontanea de Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Estados Ligados de Mesons D − D e de B − B . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Fısica Termica 9
2.1 Elementos da Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Aspectos Cinematicos e Dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Equacoes de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Potenciais Termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4 Derivadas Termodinamicos de Interesse Fısico . . . . . . . . . . . . 13
2.1.5 Condicoes de Estabilidade e Transicoes de Fase . . . . . . . . . . . 14
2.2 Elementos da Mecanica Estatıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Descricao Estatıstica de Sistemas de Partıculas . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Teoria de Ensembles na Mecanica Quantica: A Matriz Densidade . 14
2.2.3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Teoria Quantica de Campos a Temperatura Finita 19
3.1 Funcao Particao via Funcional Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Amplitude de Transicao para Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Funcao Particao para Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 Funcao Particao para Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
vii
viii SUMARIO
4 Comportamento Exotico de Mesons Pesados 31
4.1 O Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Massa Efetiva de B em µeff = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Massa Efetiva de D em µeff = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Propriedades dos Mesons Pesados na Presenca de um Campo Magnetico
Externo 45
5.1 O Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Conclusoes 55
Referencias Bibliograficas 57
Lista de Figuras
1.1 Partıculas Elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.1 Campo 〈σ〉, como uma funcao de temperatura, em equılibrio quımico. . . . 38
4.2 Massa efetiva do meson B, como uma funcao da temperatura, em equılibrio
quımico para gBBσ = 8.04 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Pressao da materia de mesons B0 e B±, como uma funcao de temperatura
em gBBσ = 8.04 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Razao da pressao/energia da materia B0 e B±, como uma da temperatura
em gBBσ = 8.04 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 Energia por par da materia B0 e B±, como uma funcao de temperatura em
gBBσ = 8.04 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6 Campo 〈σ〉, como uma funcao de temperatura, em equılibrio quımico. . . . 40
4.7 Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio
quımico para gDDσ = 2.85 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.8 Massa efetiva dos mesonsD, como uma funcao de temperatura, em equilıbrio
quımico, para diferentes valores da constante de acoplamento. A linha
solida mostra o caso gDDσ = 2.85 GeV, a linha tracejada mostra o caso
gDDσ = 5.00 GeV e a linha com traco e ponto mostra o caso gDDσ = 9.00
GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.9 Isotermas do grande potencial termodinamico, como funcao da massa efe-
tiva, com gDDσ = 2.85 GeV. A linha solida mostra o caso T = 1.100GeV,
a linha com traco e ponto mostra o caso T = 1.120 GeV e a linha com
tracejada mostra o caso T = 1.143 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.10 Isotermas do grande potencial termodinamico, como uma funcao da massa
efetiva, com gDDσ = 9.00 GeV. A linha solida mostra o caso T = 0.521GeV,
a linha com traco e ponto mostra o caso T = 0.527 GeV e a linha com
tracejada mostra o caso T = 0.533 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.11 Pressao da materia de mesons D0 e D±, como uma funcao de temperatura
em gDDσ = 9.00 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.12 Razao da pressao/energia da materia D0 e D±, como uma de temperatura
em gDDσ = 9.00 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ix
x LISTA DE FIGURAS
4.13 Energia por par da materia D0 e D±, como uma funcao de temperatura
em gDDσ = 9.00 GeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1 Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio
quımico para gDDσ = 2.85 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01
GeV2, a linha tracejada mostra o caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco
e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio
quımico para gDDσ = 5.00 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01
GeV2, a linha tracejada mostra o caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco
e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio
quımico para gDDσ = 9.00 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01
GeV2, a linha tracejada mostra o caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco
e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Lista de Tabelas
1.1 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mesons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Barions de Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Barions de Spin 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Trabalho Mecanico e Forcas Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Variaveis Intensivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Potenciais Termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Derivadas com maior interesse fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
xi
Introducao
A procura por leis fundamentais que governam o mundo microscopico sempre condu-
ziram a diversos questionamentos, em algumas situacoes surgiram teorias importantes,
em seu tempo, outras perduram ate os dias atuais. Os modelos atomicos construıdos no
seculo XIX, modificados por Bohr e reformulados pela mecanica quantica (MQ) de Hei-
senberg, Schrodinger, Pauli, Dirac, entre outros deram uma descricao razoavel a sistemas
de baixa dimensao. No entanto, tal formulacao, nao se encaixava em processos em que
o numero e tipo de partıculas mudam, fenomenos tıpicos de fısica de partıculas. Essas
limitacoes constituıram as bases para o nascimento da teoria quantica de campos (TQC),
cujos metodos nao se restrigem apenas a sistemas de FP, e fornece ferramentas essenciais
a fısica nuclear, fısica da materia condensada, e astrofısica. Na mecanica estatıstica, com
o uso de integrais de trajetoria de Feymann, desempenha um papel importante [1, 2, 3].
Os resultados obtidos com a TQC sao extremamente significativos. Por exemplo, em
eletrodinamica quantica (QED) as predicoes teoricas da razao giromagnetica g, que apa-
rece na expressao do momento magnetico do eletron e do muon, concordam quase que
precisamente com as predicoes experimentais. Alem disso, podemos destacar o sucesso
experimental da teoria eletrofraca e da cromodinamica quantica (QCD), que juntas for-
mam o modelo padrao. Esses resultados mostram que entendemos as leis da natureza para
uma a escala de 10−17 cm, no qual corresponde a quatro ordens de magnitude abaixo ao
tamanho de um nucleo e nove ordens abaixo do tamanho de um atomo. Nao obstante,
tal cenario ainda esta muito longe de ser completado. Como encontrar o boson de Higgs
descrito pelo modelo, que recentemente alguns dados apontam na direcao de um possıvel
candidato [1, 2, 3, 4, 5].
Para obter dados expressivos em fısica de partıculas, como criar novas partıculas ou ex-
plorar a estrutura de outras (Hadrons), sao utilizados modernos aceleradores de partıculas,
Larger Hadron Collider (LHC). Um procedimento bastante usado em energias altas e a
colisao de ions pesados, que resulta em um novo estado da materia, chamado de plasma
de quark-gluon, se a densidade de energia na colisao for suficiente. Assim proporciona um
sistema rico para estudar as propriedades das novas partıculas, surgimento de campos
magneticos fortes, e as transicoes de fase da materia resultante [4].
Desde 1976, diversos modelos tem sido construıdos para explicar dois mesons juntos,
molecula de hadrons, analogo ao proton e o neutron juntos para formar um deuteron.
1
2 LISTA DE TABELAS 0.0
Porem esses objetos sao chamados de exotico, porque nao podem ser explicados em termos
do esboco de quark-antiquark. Os novos hadrons podem explicar as propriedades de novos
estados que foram descobertos em decaimentos de mesons B, chamados de X, Y , e Z com
massas entre 3.9 GeV e 4.7 GeV para o setor charmonium e Zb(10610) e Zb(10650) para o
setor bottomonium. E especulado que esses estados moleculares podem ser do tipo: DD∗,
D∗D∗, BB∗ e B∗B∗ [20, 21, 23, 24, 25].
O trabalho esta organizado da seguinte forma, no capıtulo 1 apresentamos, pelo menos
em principio, uma base para compreender as interacoes que ocorrem na natureza, exceto
a gravidade. A ideia e fornecer alguns conceitos basicos, como antipartıcula, processos
eletromagneticos, troca de partıculas e etc. Introduzir as entidades basicas de fısica de
partıculas - quarks, leptons e hadrons - e suas interacoes. Discutiremos algumas simetrias
discreta e a violacao CP. Alem disso abordaremos de maneira simples dois ingredientes
indispensavel a compreensao do modelo padrao: campos de guage nao abelianos, ou teoria
de Yang-Mills, e quebra espontanea de simetria.
Capıtulo 1
Fısica de Partıculas
Neste Capıtulo vamos estudar os constituintes fundamentais da materia e as forcas
entre elas, ou seja descrever o modelo padrao da Fısica de Partıculas. O estudo da fısica
de altas energias tem como marco inicial o trabalho de Yukawa em 1935, com experencias
utilizando a radiacao cosmica, seu objetivo era explicar as forcas nucleares de curto alcance
que agiam entre os nucleons (protons e neutrons) do nucleo dos atomos. Yukawa usou o
mesmo procedimento que se faz na compreensao das forcas eletromagneticas, devido a
duas partıculas carregadas, no que diz respeito a troca de fotons. Ele demonstrou que a
razao das forcas eletromagneticas terem longo alcance e uma consequencia da massa zero
do foton. O alcance de uma forca estaria entao intimamente relacionado com a massa dos
quantas do campo responsavel pela interacao. Para descrever a situacao nuclear ele utilizou
a equacao de Klein-Gordon que descreve um campo escalar Φ associado as partıculas de
massa m, logo depois ele postulou a existencia de uma partıcula (posteriormente detectada
e denominada meson π ou pıon) que estaria fortemente relacionada as forcas nucleares
[5, 6].
As investigacoes sobre a radiacao cosmica indicaram um fluxo consideravel de partıculas
penetrantes cuja massa era cerca de duzentas massas eletronicas e que foram mais tarde
denominadas mesons µ ou muons. Do ponto de vista teorico, era natural identificar esta
partıcula com a proposta por Yukawa, porem a partıcula de Yukawa, estava relacionada
com as forcas nucleares, deveriam interagir fortemente com a materia, e o meson µ nao
tinha essa propriedade. Atraves da experiencia de Conversi, Pancini e Piccioni, foi mos-
trado que no carbono, grande porcentagem de mesons µ negativos nao interagiam mas
decaiam normalmente, indicando que a interacao nuclear dos mesons µ e muito mais fraca
que a prevista pela teoria de Yukawa [5].
Marshak e Bethe surgeriram a existencia de dois tipos de mesons, que seriam os pro-
dutos do decaimento de mesons mais pesados, que teriam as propriedades previstas por
Yukawa. Lattes, Occhialini e Powell encontraram eventos em emulsoes nucleares que de-
monstraram a existencia de um meson π decaindo em repouso em um meson µ mono-
3
4 FISICA DE PARTICULAS 1.0
energetico e uma partıcula neutra, mais tarde identificada como o neutrino muonico1
(π+ → µ+ + νµ). Esses e outros eventos mostraram que os pıons tem interacao forte
com os nucleos [5, 6]. Com advento dos aceleradores de partıculas estudos detalhados das
caracterısticas dos mesons π foi feito com colisoes proton-proton.
No mesmo perıodo da descoberta dos mesons π, Rochester e Butler revelaram a
existencia de partıculas instaveis mais pesadas que o meson π, obtendo fotografias em
camaras de Wilson de tracos de partıculas da radiacao cosmica, os quais apresentavam
a configuracao de um V. Em 1953 foram estabelecidas dois grupos para estas partıculas
instaveis: um consistia em hıperons, mais pesados que os nucleos e outro denominado de
mesons κ ou kaons, com massa intermediaria entre a dos pıons e a dos nucleons. A partir
daqui foram implementadas novas leis de conservacao para garantir uma classificacao das
novas partıculas, ja que o numero era grande, como por exemplo: K+, Λ, K0, ∆++, Ξ− e
Σ+ [5, 6].
Em 1964, Gell-Mann publicou um trabalho propondo que qualquer hadron era formado
por tres partıculas fundamentais (e suas respectivas antipartıculas), que ele chamou de
quark. Sendo que um meson era formado por um quark e um antiquark qq, enquanto que
os barions tem em sua estrutura qqq e os antibarions qqq. Que em pouco tempo foi validado
a proposta. Na mesma decada, surge a eletrofraca que e a uniao da forca eletromagnetica
com as interacoes fracas. E sua mediacao ocorre com a troca das partıculas W−, W+, Z0 e
γ. A confirmacao dos tres primeiros ocorreu em 1983. Com a construcao da cromodinamica
quantica para descrever as forcas entre os quarks e a descobertas de outros leptons, (τ ,ντ )
o modelo padrao, alem do bosons de Higgs2 constitui a materia que existe [6].
Figura 1.1: Partıculas Elementares.
No entanto, algumas particularidades ainda intrigam os fısicos, como uma grande
1Em 1962, cientistas do Laboratorio Nacional de Brookhaven observaram a primeira evidencia doneutrino νµ.
2
1.4 CONCEITOS BASICO 5
unificacao, violacao CP, a relacao da fısica de partıculas com a cosmologia entre outros
problemas que motivam a continuacao de um modelo mais universal.
1.1 Conceitos Basico
1.2 Leptons
1.3 Quarks e Hadrons
Quarks Simbolo Massa Aproximada Q S C B TUp u 1,5 3,5 MeV +2/3 0 0 0 0
Down d 3,5 6,0 MeV -1/3 0 0 0 0Strange s 104+26
−34 MeV -1/3 -1 0 0 0
Charm c 1, 27+0,07−0,11 GeV +2/3 0 1 0 0
Bottom b 4, 20+0,17−0,07 GeV -1/3 0 0 -1 0
Top t 171, 2± 2, 1 GeV +2/3 0 0 0 1
Tabela 1.1: Quarks
Mesons 0− Massa (MeV)ud,du π± 139, 56995± 0, 00035uu−dd√
2π0 134, 9764± 0, 0006
us,su k± 493, 677± 0, 0006ds,sd k0,k0 497, 672± 0, 031uu+dd√
2η 547, 45± 0, 19
ss η′
957, 77± 0, 14cd,dc D± 1869, 3± 0, 5cu,uc D0,D0 1864, 5± 0, 5cs,sc D±S 1968, 5± 0, 6cc ηc,J/ψ 2979, 8± 2, 1, 3096, 88± 0, 04
ub,bu B± 5278, 9± 1, 8db,bd B0,B0 5279, 2± 1, 8sb,bs B0
S,B0S 5369, 3± 2, 0
bb Υ 9460, 37± 0, 21
Tabela 1.2: Mesons
6 FISICA DE PARTICULAS 1.4
Barions 1/2+ Massa (MeV)uud,udd p,n (938, 27231± 0, 00028),(939, 56563± 0, 00028)
uus,uds,dds Σ+0− (1189, 37± 0, 07),(1192, 55± 0, 08),(1197.436± 0, 033)uds Λ 1115, 684± 0, 006
uss,dss Ξ0− (1314, 9± 0, 06),(1321, 32± 0, 13)uds Λ+
c (2284, 9± 0, 6)uuc,udc,ddc Σ++
c ,Σ+c ,Σ0
c (2452, 9± 0, 6),(2453, 5± 0, 9),(2452, 1± 0, 7)usc,dsc Ξ+
c ,Ξ0c (2465, 6± 1, 4),(2452, 1± 0, 7)
ssc Ω0c (2704± 4)
udb Λ0b 5641± 50
usb,dsb Ξ0b ,Ξ−b ?, ?
Tabela 1.3: Barions de Spin 1/2
Barions 3/2+ Massa (MeV)uuu,ddd ∆++,∆− 1232uud,udd ∆+,∆0 1232
uus,uds,dds Σ∗+0− (1382, 8± 0, 4),(1383, 7± 1, 0),(1387, 2± 0, 5)uss,dss Ξ∗0,Ξ∗− (1531, 80± 0, 32),(1535, 0± 0, 6)sss Ω− (1672, 45± 0, 29)
Tabela 1.4: Barions de Spin 3/2
1.4 Teoria de Guage e Quebra Espontanea de Sime-
tria
Nas secoes anteriores exploramos as principais ideias sobre fısica de partıculas de
maneira informal, sem se perguntar que teoria quantica de campos descreve as interacoes
de partıculas elementares. Aqui vamos introduzir teorias de gauge nao-abeliana, pois as
interacoes fortes sao descritas por uma teoria de gauge nao-abeliana com grupo de gauge
SU(3), conhecida como cromodinamica quantica ou QCD. Enquanto que as interacoes
fraca e eletromagneticas sao unificadas em uma teoria de gauge com um grupo de gauge
SU(2)×U(1), a teoria eletrofraca. Juntas a QCD e a eletrofraca formam o modelo padrao
que reproduz todos os dados conhecidos de fısica de partıculas, com energias da ordem
de centenas GeV [1, 2, 3]. Tambem apresentaremos o fenomeno de quebra de simetria
espontanea, assim examinaremos sua estrutura e discutiremos efeitos de SSB em alguns
sistemas.
1.4.1 Teoria de Guage nao-abeliana
A invariancia de gauge e um princıpio orientador na construcao da teoria das interacoes
fundamentais. Os conceitos de invariancia tem sua origem no estudo das interacoes eletro-
magneticas. Assim comecaremos por introduzir transformacoes de gauge com a chamada
eletrodinamica quantica. Tal teoria tem uma invariancia de gauge local U(1), que escre-
1.4 TEORIA DE GUAGE E QUEBRA ESPONTANEA DE SIMETRIA 7
vemos
Uq(x) = eiqθ(x) (1.1)
com 0 ≤ θ(x) ≤ 2π, onde o parametro q rotula a transformacao. Um campo Ψ com carga
q transforma como
Ψ(x)→ Uq(x)Ψ(x) (1.2)
E as transformacoes do campo de gauge ocorrem de forma
Aµ → Aµ + (∂µθ) (1.3)
ou
Aµ → Aµ +i
q(∂µU)U † (1.4)
o acoplamento entre Aµ e Ψ e obtido usando a derivada covariante, como segue
DµΨ = (∂µ + iqAµ)Ψ (1.5)
Agora podemos generalizar para uma transformacao onde U(x) pertence a um grupo G
nao-abeliana. Ou seja transformacoes locais que deixam a lagrangeana invariante. Con-
sideremos um conjunto de campos Ψα que transforma em uma dada representacao R do
grupo de gauge. Os campos sao entao rotulados pelo ındice α = 1, ..., dim(R), de forma
Ψ(x)→ URΨ(x) (1.6)
ou em termos das componentes, Ψα(x)→ (UR)αβΨβ(x) sendo
UR(x) = exp[igθa(x)T aR] (1.7)
onde T aR sao os geradores do grupo de gauge na representacao R, θa(x) sao os parametros
da representacao e g e uma constante.
A densidade de lagrangena livre de Dirac e escrita como
Llivre = iΨαγµ∂µΨα (1.8)
e invariante sobre transformacoes global SU(N), porem quando UR depende de x a la-
grangeana nao e mais invariante, devido a presenca de um termo proporcional a ∂µU .
Para construir uma lagrangeana invariante, introduziremos um conjunto de campos
de gauge Aaµ rotulados pelo ındice a, com um campo de gauge para cada gerador do grupo
8 FISICA DE PARTICULAS 1.5
gauge; os Aaµ sao conhecidos como campos de gauge nao-abeliano. Sabemos que, SU(N)
tem N2−1 geradores. Os campos podem ser reformulados para uma formulacao matricial
Aµ(x) = Aaµ(x)T a (1.9)
Os campos Aaµ nao depende da representacao, enquanto o gerador T a, e portanto a matriz
Aµ, terem uma forma que dependem da representacao R. Agora uma definicao deve ser
feita em Aµ, da seguinte maneira
Aµ → UAµU† − i
g(∂µU)U † (1.10)
a equacao acima generaliza a expressao () para grupos nao-abelianos. Agora a derivada
covariante atua em Ψ como
DµΨ = (∂µ − igAaµT aµ )Ψ (1.11)
e podemos mostrar que a derivada covariante se transforma da mesma forma que os
campos Ψ,
DµΨ→ ∂(URΨ)− ig[UAµU† − i
g(∂µU)U †]URΨ = URDµΨ (1.12)
Com as ferramentas anteriores podemos construir a teoria de Yang-Mills e verificar
sua aplicacao na QCD de modo agregar conhecimento sobre as interacoes fortes.
Teoria de Yang-Mills e QCD
O procedimento agora e usar a derivada covariante para escrever a lagrangeana com
uma invariancia de gauge nao-abeliana local. Trocar ∂µ → Dµ na teoria livre, equacao (),
que e reescrita
L =∑α
Ψα[iγµ(DµΨ)α −mΨα] (1.13)
Esta lagrangeana contem o termo cinetico dos campos fermionicos e suas interacoes com os
campos de gauges. Tambem precisamos do termo cinetico dos campos de gauge. Seguindo
o roteiro da eletrodinamica pode-se
1.4.2 Quebra Espontanea de Simetria
1.5 Estados Ligados de Mesons D − D e de B − B
Capıtulo 2
Fısica Termica
Este capıtulo destina-se a apresentar os elementos de Termodinamica e os de Mecanica
Estatıstica (Fısica Termica-FT), de maneira a fornecer as principais leis e objetos de es-
tudo que concerne aos fenomenos que ocorrem sobre o comportamento termico da materia
macroscopica, numa teoria nao-relativıstica. Uma das motivacoes em estudar FT e cer-
tamente sua capacidade de presenca em qualquer parte da Fısica1. A Termodinamica
fornece uma descricao fenomenologica da natureza, de forma autoconsistente do ponto
de vista axiomatico, considerando, como um princıpio, a materia agregada sem qualquer
suposicao microscopica, e cujos parametros macroscopicos nao estejam variando com o
tempo [9, 10, 11]. Em contrapartida na Mecanica Estatıstica as propriedades termicas
surgem de uma formulacao microscopica.
A Formulacao da Termodinamica consegue uma estrutura cientıfica com os trabalhos
de Clausius e Kelvin, Leis Fundamentais da Termodinamica, baseado nas ideias de Carnot
sobre o funcionamento das maquinas termicas e nos trabalhos de Mayer e Joule sobre a
equivalencia mecanica do calor. A partir disto outras contribuicoes significativas ocorreram
com Maxwell, Helmholtz e Gibbs. O ultimo incorporou uma ferramenta fundamental para
a termodinamica os potenciais termodinamicos [9, 10, 11]. Ja a construcao da Mecanica
Estatıstica e viabilizada principalmente pelos trabalhos de Maxwell e Boltzmann, que
combina nocoes de probabilidade, ou estatıstica, com as leis conhecidas da mecanica que
governa o movimento de partıculas individuais [12, 13, 14].
2.1 Elementos da Termodinamica
O caminho para a formulacao da termodinamica segue as especificacoes abaixo, va-
mos considerar como conhecidas certas nocoes como energia interna, volume, ou numero
de moles, que sao parametros macroscopicos extensivos, proporcionais ao tamanho do
sistema.
1
9
10 FISICA TERMICA 2.1
• A descricao e baseada na equacao fundamental (contem todo o conhecimento ter-
modinamico sobre o sistema), em que a funcao de estado entropia, S, ou energia, E,
e dada explicitamente.
• A construcao usando a transformacao de Legendre de S ou E, originando os poten-
ciais termodinamicos, tal como energia livre de Helmholtz e Entalpia.
• O uso de um conjunto de equacoes de estado, envolve derivadas primeira das quan-
tidades extensivas como S e E.
• Apropriar de derivadas segunda, para descrever quantidades como calor especıfico,
entre outros.
A metodologia acima e similar a teoria de um sistema mecanico, onde primeiro e
introduzido os estados termicos, e apos as mudancas de estados segue uma analise com
determinadas leis. Nas secoes seguintes desenvolver as principais ideias para caracterizar
os itens acima.
2.1.1 Aspectos Cinematicos e Dinamicos
Para construir um problema fısico devemos especificar as coordenadas espaciais e tem-
poral, no caso de um sistema termico a caracterizacao e dado por um conjunto de variaveis
macroscopica. Estas variaveis sao, por exemplo, energia interna E, pressao P, volume V,
numero de moles N, temperatura T, entre outras. Existem dois tipos de variaveis termica,
as extensivas e as intensivas. A primeira depende de cada subsistema ao contrario da
segunda. O volume e especificado pelo tamanho finito de suas paredes. Se as paredes invi-
abilizam a ’troca’ de qualquer tipo de energia, temos um sistema isolado. Caso aconteca
um fluxo de energia via processo mecanico chamamos de adiabatico. E se a mudanca de
energia e permitida por diferenca de temperatura rotulamos de diatermico.
O Estado macroscopico de um sistema e determinado pela energia interna E, pelo
volume V e pela quantidade de materia N, ou seja pela funcao de estado do sistema. Em
um estado chamado de equilıbrio termico. E para obter as medidas usamos os metodos
padrao para V e N, e para medir a energia precisamos utilizar um metodos proprios de
trabalho mecanico. E numa situacao que conhecemos de quase estatico (ir de um estado
a outro pro um processo composto de uma infinidade de estados intermediarios) temos,
dW = f · dx =l∑
j=1
fjdxj, l ≤ j (2.1)
Descrevemos uma situacao atraves da definicao de estados, agora vamos verificar as leis
que governam as mudancas de estado de um sistema termico.
2.1 ELEMENTOS DA TERMODINAMICA 11
Trabalho Infinitesimal dW Tipo de Forca-PdV Pressao P∑lj=1 µjdNj Potencial Quımico µj
µ0Hext · dIj Campo Magnetico HEext · dp Campo Eletrico H
Tabela 2.1: Trabalho Mecanico e Forcas Generalizada
Primeira Lei da Termodinamica
Conhecida tambem como princıpio da conservacao da energia, estabelece que as diver-
sas formas de trabalho poderiam ser convertidas uma nas outras e que, alem disso, todas
elas poderiam ser dissipadas na forma de calor []. Inumeros experimentos foram feitos por
Joule e Mayer usando a conservacao de energia para determinar que uma quantidade de
trabalho sempre se transforme numa mesma quantidade de calor. Entao a evolucao de um
estado termico em equilıbrio, com um fluxo infinitesimal de energia em forma de trabalho
mecanico (dW ) e calor (dQ) devem assumir a seguinte relacao,
dE = dQ+ dW (2.2)
onde E e a energia e a expressao matematica revela a conservacao da energia como uma
lei fundamental.
Segunda Lei da Termodinamica
Existe uma funcao de estado de todos os parametros extensivos denominada entropia,
S = S(E, V,N) (equacao fundamental), que e definida funcao extensiva, analıtica e mo-
notonicamente crescente na variavel E. E sem restricoes internas S deve ter um maximo
para um estado de equilıbrio. Que e
δS = 0
δ2S < 0
e chamamos de segunda lei da termodinamica. Essa lei garante uma classificacao dos
processos termicos em reversıveis ou em irreversıveis.
Terceira Lei da Termodinamica
A entropia se anula num estado em que (∂E/∂S)V,N = 0. Estabelece que a entropia e
nula no zero absoluto, enunciado da lei de Nernst.
12 FISICA TERMICA 2.1
2.1.2 Equacoes de Estado
Para construir um conjunto de equacoes de estado vamos tomar a equacao fundamental
como
Ψ = Ψ(x0, x1, ...xr) (2.3)
tal que Ψ = S e x0 = E, do mesmo modo daquilo que apresentamos na secao anterior.
Neste caso chamamos de representacao entropia, ao contrario Ψ = E e x0 = S denomina-
mos de representacao energia. A entropia e aditiva sobre cada um dos seus componentes
e S(λE, λx1, ..., λxr) = λS(E, x1, ..., xr) e diante disto a expressao (2.3) pode ser reescrita
na forma
Ψ =r∑j=0
Fjxj (2.4)
onde (’forcas’)
Fj =
(∂Ψ
∂xj
)x0,...,xj−1,xj+1,...,xr
; j = 0, ..., r (2.5)
Atraves do conjunto de (r+1) relacoes dada pela equacao (2.4)2, pode-se construir o
problema termodinamico. As (r+1) relacoes dadas por (2.4) sao chamadas de equacoes de
estado. Estas equacoes estao relacionadas a aspectos praticos. Na tabela abaixo mostramos
algumas delas, variaveis intensivas,
∂E/∂S = T Temperatura∂E/∂V = −P Pressao∂E/∂N = µ Poencial Quımico
Tabela 2.2: Variaveis Intensivas
Para um sistema simples na representacao energia, a equacao () e dada por
dE = TdS − PdV +k∑j=1
µjdNj (2.6)
ou seja
dQ = TdS (2.7)
Assim para um fluxo de calor quase estatico a um sistema esta associado com o crescimento
da entropia.
2Daqui surge uma relacao importante, Gibbs-Duhem.
2.1 ELEMENTOS DA TERMODINAMICA 13
2.1.3 Potenciais Termodinamicos
Nem sempre uma equacao de estado fornece variaveis de facil acesso experimental,
como temperatura T ou a pressao P . Neste sentido uma outra expressao deve ser encon-
trada para explicitar as caracterısticas do sistema termico, para contornar esse problema,
vamos considerar uma funcao y = y(x), com derivada m = dy/dx. Terıamos de encontrar
uma outra funcao, da forma Ψ = Ψ(m), que fosse equivalente a y = y(x). Isso pode ser
feito mediante uma transformacao de Legendre.
Considere uma equacao fundamental Ψ = Ψ(x0, x1, ..., xr). A transformacao de Legen-
dre de Ψ em r − k variaveis xk+1, ..., xr, e definido por
L = Ψ−r∑
i=k+1
Fixi (2.8)
onde Fi = ∂Ψ/∂xi. A forma diferencial de L e dado por
dL =k∑i=0
Fidxi −r∑
i=k+1
(xi)dFi (2.9)
As funcoes L sao os potenciais termodinamicos, e Fi e dito ser conjugado de xi. A tabela
abaixo mostra os principais potenciais termodinamicos para sistemas simples, usando a
representacao energia.
Energia Livre de Helmholtz F (T, V,N1, ..., Nk) = E − TSEntalpia H(S, P,N1, ..., Nk) = E + PV
Energia Livre de Gibbs G(T, P,N1, ..., Nk) = E − TS + PV
Grande Potencial Termodinamico Ω(T, V, µ1, ..., µk) = E − TS −∑k
i=1 µidNi
Tabela 2.3: Potenciais Termodinamicos
A energia livre de Helmholtz e usualmente utilizada em processos isotermicos, a en-
talpia em processos isobaricos (pressao constante) e a energia livre de Gibbs combina as
caracterısticas anteriores.
2.1.4 Derivadas Termodinamicos de Interesse Fısico
Como foi dito na introducao deste capıtulo a termodinamica e uma area essencialmente
empırica e diante disto a construcao de determinadas derivadas se faz necessario, devido
ao facil acesso experimental. A tabela abaixo traz algumas delas,
o coeficiente de expansao termica mede a dilatacao relativa de um sistema a pressao
constante, a compressibilidade isotermica mede a variacao relativa do volume com a
pressao a temperatura fixa, o calor especıfico a pressao constante ou a volume constante
14 FISICA TERMICA 2.2
Coeficiente de Expansao Termica αP = − 1V
(∂V∂T
)P
Compressibilidade Isotermica κT = − 1V
(∂V∂P
)T
Calor Especıfico a Pressao Constante cP = 1N
(dQdT
)P
= TN
(∂S∂T
)P
Calor Especıfico a Volume Constante cV = 1N
(dQdT
)V
= TN
(∂S∂T
)V
Tabela 2.4: Derivadas com maior interesse fısico
mede a razao entre o calor que entra num sistema fechado, e a consequente variacao de
temperatura.
2.1.5 Condicoes de Estabilidade e Transicoes de Fase
2.2 Elementos da Mecanica Estatıstica
Na secao anterior apresentamos o problema termodiamico atraves do ponto de vista
macroscopico, agora vamos avaliar o caminho microscopico. A ideia e formular o problema
mecanico estatıstico e a sua conexao com a termodinamica, usando as nocoes de um
ensemble nas diversas representacoes (micro, canonico e grande canonico).
2.2.1 Descricao Estatıstica de Sistemas de Partıculas
2.2.2 Teoria de Ensembles na Mecanica Quantica: A Matriz
Densidade
Uma ferramenta que desempenha um papel importante na descricao mecanica es-
tatıstica quantica de processos termicos e a matriz densidade. Essa abordagem tambem
pode ser utilizada em outros campos da fısica, como computacao quantica, caos quanticos
e etc... A nossa tarefa e introduzir os conceitos e postulados de mecanica quantica ne-
cessarios para construir a matriz e como consequencia direta estudar a fısica termica.
Considere um ensemble de N sistemas identicos, onde N >> 1. Cujo sistema e ca-
racterizado pelo Hamiltoniano H (comum), e sua funcao de onda ψk(ri, t) (normalizada),
onde ri corresponde as coordenadas relevantes do sistema e com k = 1, 2, ..., N . Assim a
equacao de Schrodinger fica na forma
Hψk(ri, t) = ih∂ψk(ri, t)
∂t(2.10)
e a funcao de onda pode ser expandido em um conjunto completo de funcoes ortonormais
φn, ou seja
ψk(ri, t) =∑n
akn(t)φn(ri) (2.11)
2.2 ELEMENTOS DA MECANICA ESTATISTICA 15
onde
akn(ri, t) =
∫φ∗n(ri)ψ
k(ri, t)dτ (2.12)
sendo φ∗n o complexo conjugado de φn e dτ o elemento de volume no espaco das coor-
denadas do sistema. Assim podemos escrever a derivada temporal do coeficiente an da
seguinte maneira
ihdakn(t)
dt= ih
∫φ∗n(ri)
∂ψk(ri, t)
∂tdτ =
∫φ∗n(ri)Hψ
k(ri, t)dτ
=
∫φ∗n(ri)H
∑m
akm(t)φm(ri)dτ
=∑m
Hnmakm(t) (2.13)
onde
Hnm =
∫φ∗nHφmdτ (2.14)
os akn representam as amplitudes de probabilidade e |akn(t)|2 a probabilidade de medir em
um tempo t e encontrar o k sistema do ensemble no estado particular φn. Entao∑n
|akn(t)|2 = 1 (para todos os k) (2.15)
O operador densidade ρ(t), pode ser definido pelos elementos de matriz abaixo
ρmn(t) =1
N
N∑k=1
[akm(t)ak∗n (t)] (2.16)
A evolucao temporal para a matriz densidade ρmn(t) (equacao de movimento) pode ser
obtida, usando o resultado encontrado em (2.13), logo chegamos a
ihdρmn(t)
dt=
1
N
N∑k=1
ih
[dakm(t)
dtak∗n (t) + akm(t)
dak∗n (t)
dt
]
=1
N
N∑k=1
[∑l
Hmlakl (t)
]ak∗n (t) + akm(t)
[∑l
H∗nlak∗l (t)
]=
∑l
[Hmlρln(t)− ρml(t)Hln]
= [Hρ− ρH]mn (2.17)
utilizamos o fato que o hamiltoniano e hermitiano H∗nl = Hln. E usando a notacao de
16 FISICA TERMICA 2.2
comutador, escrevemos a equacao acima na forma
ihdρmn(t)
dt= [H, ρ(t)] (2.18)
Esta e a equacao Liouville-von Neumann, a equacao basica em mecanica estatıstica nao-
relativıstica.
Se o sistema estiver em um estado de equilıbrio, o ensemble correspodente deve ser
estacionario, i.e. dρmn(t)dt
= 0 e com isso ρ = p(H). Quando H for diagonal na repre-
sentacao φn, i.e. Hmn = Enδmn e consequentemente ρmn = ρnδmn. E para qualquer outra
representacao nao diagonal ρmn = ρnm.
As variaveis de interesse fısico nesse formalismo pode ser encontrados por meio do
valor medio dado pela expressao,
〈S〉 =1
N
N∑k=1
∫ψk∗Sψkdτ (2.19)
que pode ser escrita em termos dos coeficientes akn,
〈S〉 =1
N
N∑k=1
[∑m,n
ak∗n akmSnm
](2.20)
onde
Snm =
∫φ∗nSφmdτ (2.21)
colocando a matriz densidade dentro de (2.20) obtemos
〈S〉 =∑m,n
ρmnSnm =∑m,n
(ρS)mm = Tr(ρS) (2.22)
Se tomarmos S = 1, onde 1 e o operador identidade, encontramos
Tr(ρ) = 1 (2.23)
No caso em que as funcoes ψk nao sao normalizadas o valor esperado para qualquer
operador segue a forma abaixo,
〈S〉 =Tr(ρS)
Tr(ρ)(2.24)
As equacoes (2.22) e (2.24) mostram que o valor esperado desses operadores nao dependem
da base escolhida φn. Nas proximas secoes vamos empregar a matriz densidade para
2.2 ELEMENTOS DA MECANICA ESTATISTICA 17
construir uma teoria termica que contemple os aspectos microscopico via as ideias de
ensembles.
2.2.3 Ensembles
Ensemble Microcanonico
Ensemble Canonico
Ensemble Grand-Canonico
Capıtulo 3
Teoria Quantica de Campos a
Temperatura Finita
Teoria quantica de campos a temperatura finita tem como ponto de partida os estudos
de Fradkin, em 1965, tendo como motivacao as transicoes de fase que ocorrem na teoria
eletrofraca, em temperaturas da ordem de 200 MeV. Essa transicao e importante para
compreender a historia do universo primitivo. Na decada de 80 teorias de gauge sugeriram
a existencia de uma fase de desconfinamento de quarks e gluons, que tem sido chamada
de plasma de quarks e gluons, em uma temperatura estimada em torno de 150 MeV.
Atualmente o numero de aplicacoes dos efeitos de temperatura em TQC sao incontaveis
em areas como astrofısica e cosmologia. Alem de fenomenos devido as colisoes de ions
pesados e nucleos relativısticos [3, 16, 17].
No ultimo capıtulo construımos as bases da mecanica estatıstica, onde a funcao particao
desempenha um papel importante, conectando o mundo microscopico ao macroscopico.
Neste capıtulo iremos mostrar que a funcao particao pode ser usada para introduzir a
nocao de funcional gerador, uma ferramenta importante para resolver problemas quanticos.
O conceito de integral de trajetoria (funcional gerador), foi usado por Feynman para es-
tudar amplitude de transicoes em problemas de mecanica quantica. Duas caracterısticas
sao fundamentais na construcao de Feynman, a primeira e que tal formalismo usa a la-
grangeana, em vez do hamiltoniano, como sua quantidade fundamental, e assim preserva
explicitamente toda simetria de uma teoria. A segunda e a relacao com o grau de liber-
dade da estrutura de integrais de trajetorias. Assim a termodinamica tem uma abordagem
caracterıtica da teoria quantica de campos, com o uso do funcional integral [3, 7, 16, 17].
3.1 Funcao Particao via Funcional Integral
O modelo de Integrais de Trajetorias tem sido o mais empregado em Fısica de Partıculas
Elementares, e tem um numero razoavel de vantagens. Por exemplo, em fenomenos onde
19
20 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1
efeitos nao-pertubativos podem ser relevantes. Nas proximas secoes vamos utilizar o for-
malismo para encontrar alguns resultados ja conhecidos de um gas ideal relativıstico para
bosons e fermions.
3.1.1 Amplitude de Transicao para Bosons
Os procedimentos abaixo seguem a mesma base matematica utilizada na representacao
da mecanica quantica de Schrodinger, no entanto na teoria quantica de campos os campos
sao elevados a condicao de operadores.
A partir daqui temos φ(x, 0) sendo o operador de campo em t = 0 e π(x, 0) seu
operador de momento canonicamente conjugado. Os autoestados do operador de campo
sao rotulados por |φ〉, cuja equacao de autovalor para o campo pode ser escrita
φ(x, 0) |φ〉 = φ(x) |φ〉 (3.1)
onde φ(x) e o autovalor. Um conjunto de estados (|φ〉), eles formam um espaco vetorial
(Espaco de Hilbert), que obdecem as relacoes de completeza e condicoes de ortogonalidade,∫dφ(x)|φ〉〈φ| = 1 (3.2)
e
〈φa|φb〉 =∏xδ(φa(x)− φb(x)) (3.3)
Da mesma forma, os autoestados para o operador de momento satisfaz a equacao,
π(x, 0) |π〉 = π(x) |π〉 (3.4)
Com configuaracoes similares as equacoes (3.2) e (3.3), podemos escrever relacoes de
completeza e condicoes de ortogonalidade para a representacao dos momentos∫dπ(x)
2π|π〉〈π| = 1 (3.5)
e
〈πa|πb〉 =∏xδ(πa(x)− πb(x)) (3.6)
Uma nudanca de representacao, no espaco dos campos ou no espaco dos momentos, pode
ser feita mediante a construcao (analoga a transformacao de |r〉 |p〉 da mecanica
3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 21
quantica)
〈φ|π〉 = exp
(i
∫d3xπ(x)φ(x)
)(3.7)
onde∫d3xπ(x)φ(x) substitui
∑Ni=1 pixi, pois na teoria quantica de campos os graus de
liberdade sao infinitos, enquanto na mecanica quantica se estende a N .
Para construir o problema via abordagem da mecanica quantica usual, devemos en-
contrar o hamiltoniano, isto se faz a partir do formalismo da teoria classica de campos.
Onde o produto final e em funcao dos campos e dos momentos canonicamente conjugados,
como segue
H =
∫d3xH(φ, π) (3.8)
Agora suponhamos que um sistema esta em um estado |φa〉 em um tempo t = 0. Depois
de um tempo tf ele evolui para e−iHtf |φa〉, caso o hamiltoniano nao tenha dependencia
explicita do tempo. A amplitude de transicao para ir de um estado |φa〉 a um estado |φb〉depois de um tempo tf e 〈φb|e−iHtf |φa〉.
Para se aproximar da descricao feita na ultima secao do capıtulo anterior, seria inte-
ressante avaliar a situacao em que o sistema retorna a seu estado original depois de um
tempo tf . Para obter a amplitude de transicao divimos o intervalo (0, tf ) em N intervalos
de duracao ∆t =tfN
. Entao, em cada intervalo de tempo inserimos um conjunto completo
de estados, alternando entre (3.2) e (3.5), da forma
〈φa|e−iHtf |φa〉 = limN→∞
∫ [ N∏j=1
dπjdφj2π
]〈φa|πN〉〈πN |e−iH∆t|πN〉〈φN |πN−1〉
〈πN−1|e−iH∆t|φN−1〉 · · · 〈φ2|π1〉〈π1|e−iH∆t|φ1〉〈φ1|πa〉 (3.9)
sabemos que
〈φ1|φa〉 = δ(φ1 − φa) (3.10)
e de (4.7) obtemos
〈φj+1|πj〉 = exp
(i
∫d3xπj(x)φj+1(x)
)(3.11)
Se tomarmos o limite de ∆t→ 0, podemos expandir os elementos como segue
〈πj|e−iHj∆t|φj〉 ≈ 〈πj|(1− iHj∆t)|φj〉
= 〈πj|φj〉(1− iHj∆t)
22 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1
= (1− iHj∆t)exp
(−i∫d3xπj(x)φj(x)
)(3.12)
onde
Hj =
∫d3xH(πj(x), φj(x)) (3.13)
colocando a equacao (3.12) dentro de (3.9), chegamos a
〈φa|e−iHtf |φa〉 = limN→∞
∫ [ N∏j=1
dπjdφj2π
]δ(φ1 − φa)
×exp
−i∆t
N∑j=1
∫d3x[H(πj, φj)− πj(φj+1 − φj)/∆t]
(3.14)
onde φN+1 = φa = φ1. Tomando o limite contınuo de (3.14), surge uma importante
expressao para construir o formalismo de funcao geradora no ambito de teoria quantica
de campos a temperatura finita
〈φa|e−iHtf |φa〉 =
∫Dπ∫ φ(x,tf )=φa(x)
φ(x,0)=φa(x)
Dφ
×expi
∫ tf
0
dt
∫d3x
[π(x, t)
∂φ(x, t)
∂t−H(π(x, t), φ(x, t))
](3.15)
Os sımbolosDπ eDφ representam uma integracao funcional, com restricao para os campos
φ(x, t), eles obdecem a configuracao φ(x, 0) = φ(x, tf ).
3.1.2 Funcao Particao para Bosons
As propriedades termodinamicas de um gas de bosons podem ser obtidos por meio da
grande funcao de particao,
Ξ = Tre−β(H−µiNi) =∑a
∫dφa〈φa|e−β(H−µiNi)|φa〉 (3.16)
onde a soma deve ser feita sobre todos os estados. Esta expressao e muito similar a
amplitude de transicao definida na secao anterior. Para tornar a anologia uma igualdade
devemos efetuar uma troca de variavel, τ = it conhecido como tempo imaginario. Se o
sistema admite uma carga conservada, entao cabe a substituicao
H(π, φ)→ H(π, φ)− µN (π, φ) (3.17)
onde N (π, φ) e a densidade de carga conservada e µ esta associada a carga como um
vınculo do sistema (transfomacoes de legendre). Assim a formula fundamental para a
3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 23
grande funcao particao e
Ξ =
∫Dπ∫Periodico
Dφ
×exp∫ β
0
dτ
∫d3x
[iπ∂φ
∂τ−H(π, φ) + µN (π, φ)
](3.18)
A palavra periodico significa que a integracao sobre os campos e restrita φ(x, 0) = φ(x, β).
A funcao pode ser generalizada para um numero arbitrario de campos e cargas conserva-
das.
Campo Escalar Complexo, U(1)
De maneira a empregar as ferramentas acima a um problema fısico, vamos tratar o
campo escalar carregado Φ, este campo e complexo e descreve bosons de carga positiva
e negativa. O estudo do gas de bosons proporciona a compreensao de alguns fenomenos
interessantes, como a condensacao de Bose-Einstein1 e a quebra espontanea de simetria2.
A densidade de Lagrangeana para esse sistema e escrita da seguinte forma
L = (∂µΦ†)(∂µΦ)−m2Φ†Φ− λ(Φ†Φ)2 (3.19)
Esta expressao e invariante a uma transformacao de gauge do tipo
Φ→ Φ′ = e−iαΦ (3.20)
onde α e uma constante, ou seja a simetria e global. E de acordo com o teorema de
Noether’s existe uma corrente associada a cada simetria contınua da Lagrangeana, assim
a correspondente a (3.20) e
jµ = i[Φ†(∂µΦ)− Φ(∂µΦ†)] (3.21)
com ∂µjµ = 0. A densidade de Corrente e a carga sao Jµ =∫d3xjµ(x) e Q =
∫d3xj0(x)
respectivamente.
Podemos tratar o campo decompondo Φ em parte real e parte imaginaria usando os
campos reais φ1 e φ2, Φ = 1√2(φ1 + iφ2). Os momentos canonicamente conjugados sao
π1 =∂φ1
∂t(3.22a)
π2 =∂φ2
∂t(3.22b)
1
2
24 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1
Assim a densidade de Hamiltoniana e carga sao respectivamente
H =1
2
2∑j=1
[Π2j + (∇φj)2 +m2φ2
j
]+
1
2λ(φ2
1 + φ22)2 (3.23)
e
Q =
∫d3x [φ2π1 − φ1π2] (3.24)
Agora podemos introduzir o problema termodinamico, via integrais de trajetorias. Considera-
se o sistema em equilibrio termico T e uma densidade finita de bosons φ, usando o tempo
imaginario (Formalismo de Matsubara), a grande funcao de particao tem a forma
Ξ =
∫Dπ1Dπ2
∫Dφ1Dφ2e
∫ β0 dτ
∫d3x
[i∑2j=1 πj
∂φj∂τ−H+µQ
](3.25)
Colocando a expressao (3.23) e (3.24) em (3.25) e integrando sobre os momentos, encon-
tramos
Ξ =
∫Dφ1Dφ2e
− 1
2
∫ β0 dτ
∫d3x
[∑2j=1
[∂φj∂τ
+i(−1)jµφ(3−j)
]2+∑2j=1[(∇φj)2+m2φ2
j ]+ 12λ(φ2
1+φ22)2
](3.26)
onde β = 1/T e µ sao o inverso da temperatura e potencial quımico, respectivamente. No
caso em questao devemos tomar λ = 0. Definindo a funcao abaixo (acao)
S = −1
2
∫ β
0
dτ
∫d3x
2∑j=1
[∂φj∂τ
+ i(−1)jµφ(3−j)
]2
+2∑j=1
[(∇φj)2 +m2φ2
j
](3.27)
integrando por partes e usando a periodicidade dos campos φ, obtemos
S = −1
2
∫ β
0
dτ
∫d3x
2∑j=1
φj
[− ∂2
∂τ 2−∇2 +m2 − µ2
]φj + 2iµ
[∂φ1
∂τφ2 − φ1
∂φ2
∂τ
](3.28)
As componentes do campo Φ podem ser expandido em uma transformacao de Fourier:
φj(x, τ) =
√β
V
∞∑n=−∞
∑pei(p·x+ωnτ)φj;n(p) j = 1, 2 (3.29)
Onde ωn = 2πnβ
, devido a restricao de periodicidade B1(x, β) = B1(x, 0) para todo x.
Usando (3.28) e (3.29) em (3.26), encontramos
Ξ =
∏n
∏p
∫Dφ1;n(p)Dφ2;n(p)
eS (3.30)
3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 25
onde
S = −1
2
∑n
∑p
[φ1;−n(−p), φ2;−n(−p)]D
[φ1;n(p)
φ2;n(p)
](3.31)
e
D = β2
[ω2n + ω2 − µ2 −2µωn
2µωn ω2n + ω2 − µ2
](3.32)
Com ω2 = p2 +m2. A grande funcao particao pode ser escrita como ()
Ξ =
∫Dφjexp
[−1
2(φj, Dφj)
]= (detD)−1/2 (3.33)
onde (φj, Dφj) e o produto interno no espaco das funcoes, entao
ln Ξ = ln(detD)−1/2 (3.34)
ou seja,
ln detD = ln
∏n
∏pβ4[(ω2
n + ω2 − µ2)2 + 4µ2ω2n]
(3.35)
que arrumando o argumento da funcao logaritımica torna-se
ln detD = ln
∏n
∏pβ2[ω2
n + (ω − µ2]
+ ln
∏n
∏pβ2[ω2
n + (ω + µ)2]
(3.36)
E o grande potencial termodinamico e expresso por
Φ(T, µ) = − 1
βln Ξ (3.37)
Ou seja
Φ(T, µ) = − 1
2β
∑n
∑p
ln[β2[ω2
n + (ω − µ)2]]
+ ln[β2[ω2
n + (ω + µ)2]]
(3.38)
Em outra forma
Φ(T, µ) =V
2β
∑n
∫d3p
(2π)3
ln[β2[ω2
n + (ω − µ)2]]
+ ln[β2[ω2
n + (ω + µ)2]]
(3.39)
26 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1
Usando a seguinte identidade,
ln[(2πn)2 + β2(ω − µ)2] =
∫ β(ω−µ)
1
dξ2
ξ2 + (2πn)2+ ln[1 + (2πn)2] (3.40)
e
∞∑n=−∞
1
ξ2 + (2πn)2=
2π2
ξ
(1 +
2
eξ − 1
)(3.41)
Entao substituindo as identidades (3.40) e (3.41) dentro de (3.39) e resolvendo a integral
em ξ, encontramos
Φ(T, µ) = −Vβ
∫d3p
(2π)3
[βω + ln
(1− e−β(ω−µ)
)+ ln
(1− e−β(ω+µ)
)](3.42)
A partir da equacao (3.42) podemos construir as equacoes de estado deste sistema,
seguindo os roteiro do capıtulo anterior. Logo
P (µ, T ) =∂(T ln Ξ)
∂V
= − 1
β
∫d3p
(2π)3
[βω + ln
(1− e−β(ω−µ)
)+ ln
(1− e−β(ω+µ)
)](3.43)
3.1.3 Funcao Particao para Fermions
A densidade de Lagrangeana na ausencia de interacoes e
L = ψ(iγµ∂µ −m)ψ (3.44)
As matrizes de Dirac γµ, sao definidas pela relacao de anticomutacao γµ, γν = 2gµν ,
sendo
γ0 =
(1 0
0 −1
)(3.45)
γ =
(0 σ
−σ 0
)(3.46)
Onde cada uma delas denota uma matriz 4x4, sendo 1 uma matriz identidade 2x2 e σ as
matrizes de Pauli.
L = ψ†γ0
(iγ0 ∂
∂t+ iγ · ∇ −m
)ψ (3.47)
3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 27
Esta expressao e invariante a uma transformacao de gauge do tipo
Φ→ Φ′ = e−iαΦ (3.48)
onde α e uma constante, ou seja a simetria e global e nao local. E de acordo com o teorema
de Noether’s existe uma corrente associada a cada simetria contınua da Lagrangeana,
assim a correspondente a () U(1) e
jµ = ψγµψ (3.49)
com ∂µjµ = 0. A densidade de Corrente e a carga sao Jµ =∫d3xjµ(x) e Q =
∫d3xj0(x)
respectivamente.
O momento canonicamente conjugados sao
Π =∂L
∂(∂ψ/∂t)= iψ† (3.50)
Assim a densidade de Hamiltoniana e carga sao respectivamente
H = ψ(−iγ · ∇+m)ψ (3.51)
e
Q =
∫d3xψ†ψ (3.52)
Agora podemos introduzir o problema termodinamico, via integrais de trajetorias. Considera-
se o sistema em equilibrio termico T e uma densidade finita de mesons φ, usando o tempo
imaginario (Formalismo de Matsubara), a grande funcao de particao tem a forma
Ξ =
∫iDψ†Dψe
∫ β0 dτ
∫d3xψ[−iγ·∇+m]ψ (3.53)
onde β = 1/T e µ sao o inverso da temperatura e potencial quımico, respectivamente. As
componentes do campo ψ pode ser expandido em uma transformacao de Fourier:
ψα(x, τ) =1√V
∞∑n=−∞
∑pei(p·x+ωnτ)ψα;n(p) (3.54)
Onde ωn = (2n+1)πβ
, devido a restricao de periodicidade ψ(x, β) = −ψ(x, 0) para todo x.
Colocando (2.16a) e (2.16b) dentro de (2.15) depois de uma integracao por partes, observe
28 TEORIA QUANTICA DE CAMPOS A TEMPERATURA FINITA 3.1
(), encontramos
Ξ =
∏n
∏p
∫Dψ†α;n(p)Dψα;n(p)
eS (3.55)
onde
S =∑n
∑piψ†α;n(p)Dαρψρ;n(p) (3.56)
e
Dαρ = −iβ[(−iωn + µ)− γ0γ · ∇ −mγ0
](3.57)
Com ω2 = p2 +m2. E com as devidas integracoes, encontramos
ln Ξ = ln(detD) = Tr lnD (3.58)
ln detD = 2 ln
∏n
∏pβ2[(ω2
n + iµ)2 + ω2]
(3.59)
Ou melhor
ln Ξ =∑n
∑p
ln[β2(ωn(ω − µ))2
]+ ln
[β2(ωn(ω + µ))2
](3.60)
E o grande potencial termodinamico e expresso por
Φ(T, µ) = − 1
βln Ξ (3.61)
Ou seja
Φ(T, µ) = − 1
2β
∑n
∑p
ln[β2[ω2
n + (ω − µeff )2]]
+ ln[β2[ω2
n + (ω + µeff )2]]
(3.62)
Em outra forma
Φ(T, µ) =V
2β
∑n
∫d3p
(2π)3
ln[β2[ω2
n + (ω − µeff )2]]
+ ln[β2[ω2
n + (ω + µeff )2]]
(3.63)
3.1 FUNCAO PARTICAO VIA FUNCIONAL INTEGRAL 29
Usando a seguinte identidade,
ln[(2n+ 1)2π2 + β2(ω ± µ)2] =
∫ β2(ω±µ)2
1
dξ2
ξ2 + (2n+ 1)2π2+ ln[1 + (2n+ 1)2π2] (3.64)
e
∞∑n=−∞
1
(n− x)(n− y)=π(cotgπx− cotgπy)
y − x(3.65)
∞∑n=−∞
1
ξ2 + (2n+ 1)2π2=
1
ξ
(1
2+
1
eξ + 1
)(3.66)
Entao substituindo as identidades (29) e (28) dentro de (27) e resolvendo a integral em
ξ, encontramos
Φ(T, µ) = −Vβ
∫d3p
(2π)3
[βω + ln
(1 + e−β(ω−µeff )
)+ ln
(1 + e−β(ω+µeff )
)](3.67)
Onde U independe de T e µ. A partir da equacao (28) podemos construir as equacoes de
estado deste sistema.
P (µ, T ) =∂(T ln Ξ)
∂V
=1
β
∫d3p
(2π)3
[βω + ln
(1− e−β(ω−µeff )
)+ ln
(1− e−β(ω+µeff )
)](3.68)
Capıtulo 4
Comportamento Exotico de Mesons
Pesados
Este capıtulo e devotado ao estudo de um sistema de muitos corpos de mesons q e
q, usando a teoria de campo medio relativıstico (Modelo de Walecka), via formalismo
de integrais de trajetorias mostrado no capıtulo anterior. Nossa motivacao e encontrar
moleculas composta de dois hadrons [18, 20, 21, 23], a possibilidade de encontrar tais
estruturas tem motivado esforcos experimentais e teoricos. Pois os novos hadrons podem
explicar as propriedades de estados que foram descobertos em decaimentos de mesons B,
chamados de X, Y , e Z com massas entre 3.9 GeV e 4.7 GeV para o setor charmonium e
Zb(10610) e Zb(10650) para o setor bottomonium, devido as restricoes que esses estados
encontram a serem tratados com o modelo formal da QCD.
Uma das primeiras interpretacoes para explicar os novos estados foi a que eles forma-
vam uma estrutura de dois mesons ligados, uma anologia a materia nuclear, um proton
e um neutron juntos. Recentemente diversos trabalhos estudam os estados ligados en-
tre mesons (DD e BB), modelos de troca de mesons, modelo de quarks chiral, regras de
soma da QCD, teorias de campo medio, entre outros. Alguns conseguiram apresentar bons
resultados quanto a existencia dos X, Y e Z, porem outros nao encontraram nenhuma
evidencia dos estados exoticos. Um parametro importante para descrever interacoes de
muitos corpos, tipo o sistema nucleo anti-nucleo (N − N materia nuclear) e a massa
efetiva, que em determinada regiao de temperatura favorece a producao de pares.
Os aspectos da fısica nuclear, ate meados da decada de 1970, quase todos os estudos
utilizavam um potencial nao-relativıstico, no entanto alguns resultados nao era satis-
fatorio. Em 1974, Walecka utilizou um modelo efetivo (Lagrangeana Efetiva) cujos graus
de liberdade fundamentais sao campos de barions, interagindo via troca de mesons pseudo-
escalares e vetoriais, para descrever a dinamica dos nucleos dentro de objetos altamente
condensados. Realizacao dos resultados e obtido tomando a aproximacao de campo medio,
que permite neglegenciar as flutuacoes nos campos mediadores.
31
32 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.1
4.1 O Formalismo
Diante do exposto acima e da construcao de Ding para estudar um sistema do tipo
meson-meson, vamos derivar as caracterısticas de um sistema σ − BB e ω − BB, com a
densidade de Langrangeana na forma,
L = (∂µB)(∂µB†)−Bm2BB† − 1
4WµνW
µν +1
2m2ωωµω
µ +1
2(∂µσ)(∂µσ)−
−1
2m2σσ
2 + gBBσBB†σ + igBBωω
µ[B∂µB† − (∂µB)B†], (4.1)
com
m2B =
(m2B0 0
0 m2B±
)
onde Wµν = ∂µων − ∂νωµ, o campo B e um dubleto ( B
0√
2, B+), mB, mσ e mω sao respecti-
vamente a massa do meson B, meson σ e meson ω. As constantes de acoplamento desta
teoria sao: gBBσ e gBBω.
As equacoes de movimento sao obtidas a partir do formalismo de teoria classica de
campos, equacoes de Euler-Lagrange, usando o guage de Lorentz ∂λωλ = 0
∂µ∂µσ +m2σσ = gBBσBB
†, (4.2)
∂µ∂µων +m2
ωων = −igBBω[B∂νB
† − (∂νB)B†], (4.3)
∂µ∂µB0 +m2
eff0B0 = 0, (4.4)
∂′
µ∂′µB± +m2
eff±B± = 0, (4.5)
onde ∂′µ = ∂µ + igBBωωµ, m2
eff0 = m2B − gBBσσ e m2
eff± = m2B − gBBσσ + g2
BBωωµω
µ. As
equacoes (4.2) e (4.3) sao equacoes de campos massivos, tendo como fontes o campo B.
As equacoes (4.4) e (4.5) sao do tipo Klein-Gordon para o campo B, com os mesons σ e
ω incluıdos no acoplamento mınimo ou na massa efetiva.
Nossa abordagem sera analoga ao modelo proposto por Walecka para estudar a materia
nuclear. Ou seja, vamos tratar o problema com a aproximacao de campo medio (CM),
onde as flutuacoes dos campos mediadores sao neglegenciadas, i.e.
σ = 〈σ〉, (4.6a)
ω = 〈ω0〉, (4.6b)
4.1 O FORMALISMO 33
sendo ωµ = 0 para µ 6= 0, assim as equacoes (4.3), (4.4), (4.5) e (4.6) ficam na forma
〈σ〉 =gBBσm2σ
ρs, (4.7)
〈ω0〉 =gBBωm2ω
ρv, (4.8)
∂µ∂µB0 + (m2
B0 − gBBσ〈σ〉)B0 = 0, (4.9)
∂µ∂µB + (m2
B± − gBBσ〈σ〉)B + 2igBBω〈ω0〉∂0B = 0, (4.10)
onde ρs = 〈BB†〉 e a densidade escalar e ρv = 〈i[(∂0B)B† − B(∂0B†)]〉 e a densidade
vetorial. Para construir o sistema termodinamico e viavel encontrar algumas variaveis
dinamicas que se conservam, neste caso a Corrente associada. A equacao (4.1) tem uma
simetria do tipo U(1) (B → B′ = e−iαB), onde α e constante, da mesma forma que foi
feito nas secoes do capıtulo anterior, com isso encontramos (utilizando a ACM)
jµ = i[B†(∂µ − igBBω〈ω0〉)B −B(∂µ + igBB〈ω0〉ωµ)B†] (4.11)
com ∂µjµ = 0. A densidade de Corrente e a carga sao Jµ =∫d3xjµ(x) e Q =
∫d3xj0(x)
respectivamente. E conveniente decompor B em parte real e parte imaginaria usando os
campos reais B1 e B2, B = 1√2(B1+iB2),colocando B0 = B3. Os momentos canonicamente
conjugados sao
Π1 =∂B1
∂t− gBBω
⟨ω0⟩B2 (4.12a)
Π2 =∂B2
∂t+ gBBω
⟨ω0⟩B1 (4.12b)
Π3 =∂B3
∂t(4.12c)
Assim a densidade de Hamiltoniana e carga sao respectivamente
H = H12 +H3 +HM (4.13)
onde
H12 =1
2
2∑j=1
[Π2j + (∇Bj)
2 +m2eff±B
2j
]+ gBBω
⟨ω0⟩
[Π1B2 −B1Π2] (4.14)
34 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.1
H3 =1
2[Π2
3 + (∇B3)2 +m2eff0B2
3 ] (4.15)
HM = m2σ 〈σ〉
2 −m2ω
⟨ω0⟩2
(4.16)
e
Q =
∫d3x [B2Π1 −B1Π2] (4.17)
Agora podemos introduzir o problema termodinamico, via integrais de trajetorias, como
foi construıdo ao longo do capıtulo 3. Considera-se o sistema em equilibrio termico T e uma
densidade finita de mesons B, usando o tempo imaginario (Formalismo de Matsubara), a
grande funcao de particao tem a forma
Ξ =
∫DΠ1DΠ2DΠ3
∫DB1DB2DB3e
∫ β0 dτ
∫d3x
[i∑3j=1 Πj
∂Bj∂τ−H+µQ
](4.18)
onde β = 1/T e µ sao o inverso da temperatura e potencial quımico, respectivamente.
Colocando as expressoes (4.14), (4.15), (4.16) e (4.17) em (4.18) e integrando sobre os
momentos, obtemos
Ξ = γ
∫DB1DB2e
− 1
2
∫ β0 dτ
∫d3x
[∑2j=1
[∂Bj∂τ
+i(−1)jµeffB(3−j)
]2+∑2j=1
[(DiBj)
2+m2eff±B
2j
]](4.19)
com
γ = α
∫DB3e
− 1
2
∫ β0 dτ
∫d3x
[( ∂B3∂τ )
2+(∇B3)2+meff0B2
3
]
α = e12βV[m2ω〈ω0〉2−m2
σ〈σ〉2]
As componentes do campo B pode ser expandido em uma transformacao de Fourier:
Bj(x, τ) =
√β
V
∞∑n=−∞
∑pei(p·x+ωnτ)Bj;n(p) j = 1, 2, 3 (4.20)
Onde ωn = 2πnβ
, devido a restricao de periodicidade B1(x, β) = B1(x, 0) para todo x.
Substituindo os campos (4.20) dentro de (4.19), e realizando uma integracao por partes,
observe (3.28), encontramos
Ξ = α
∏
n
∏p
∫DB1;n(p)DB2;n(p)
eS12
∏
n
∏p
∫DB3;n(p)
eS3
(4.21)
4.1 O FORMALISMO 35
onde S12 corresponde a acao do campo carregado,
S12 = −1
2
∑n
∑p
[B1;−n(−p), B2;−n(−p)]D12
[B1;n(p)
B2;n(p)
](4.22)
enquanto que S3 a presenca do campo neutro,
S3 = −1
2
∑n
∑pB3;−n(−p)D3B3;n(p) (4.23)
As matrizes constantes D12 e D3 que aparecem acima sao dadas por
D12 = β2
[ω2n + E2
± − µ2eff± −2µeff±ωn
2µeff±ωn ω2n + E2
± − µ2eff±
](4.24)
e
D3 = β2[ω2n + E2
0
](4.25)
Com E2± = p2 + m2
eff± e E20 = p2 + m2
eff0 . Da mesma forma que foi seguido em (3.34),
chegamos a
ln Ξ =1
2βV[m2ω
⟨ω0⟩2 −m2
σ 〈σ〉2]
+ ln(detD12)−1/2 + ln(detD3)−1/2 (4.26)
Seguindo o mesmo roteiro, equacao (3.35) ate a (3.41), chegamos ao seguinte grande
potencial termodinamico
Φ(T, V, µ,H0) = Φ0 + Φ12 + Φ3 (4.27)
onde as funcoes Φ0, Φ12, e Φ3 sao dadas por
Φ0 =1
2V[m2σ 〈σ〉
2 −m2ω
⟨ω0⟩2]
(4.28)
Φ12 =V
β
∫d3p
(2π)3
[ln(
1− e−β(E±−µeff± ))
+ ln(
1− e−β(E±+µeff± ))]
(4.29)
Φ3 =V
β
∫d3p
(2π)3ln(1− e−βE0) (4.30)
Aqui descartamos o termo de energia de ponto zero. Para verificar o comportamento
termodinamico deste sistema, precisamos considerar as equacoes de estado para os dois
36 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.1
setores do modelo, com
∂Φ
∂ 〈σ〉= 0, (4.31)
∂Φ
∂ 〈ω0〉= 0. (4.32)
Usando as equacoes (4.28), (4.29) e (4.30), obtemos as seguintes expressoes que fornecem
os valores de 〈σ〉 e 〈ω0〉 que extremiza Φ, i.e.
〈σ〉 =gBBσ2m2
σ
[ρ12 + ρ3] , (4.33)
⟨ω0⟩
=gBBωm2ω
[gBBω
⟨ω0⟩ρ12 + ρs
], (4.34)
onde
ρ12 =
∫d3p
(2π)3
1
E±
[1
eβ(E±−µeff± ) − 1+
1
eβ(E±+µeff± ) − 1
], (4.35)
ρs =
∫d3p
(2π)3
[1
eβ(E±−µeff± ) − 1− 1
eβ(E±+µeff± ) − 1
], (4.36)
ρ3 =
∫d3p
(2π)3
1
E0
[1
eβE0 − 1
]. (4.37)
As equacoes (4.33) e (4.34) sugere um sistema de equacoes para os campos 〈σ〉 e 〈ω0〉(Equacoes de auto consistencia). Note que se µeff = 0, ou seja µ = gBBω 〈ω0〉, a equacao
(4.34) mostra que 〈ω0〉 = 0, como esperado. Como foi descrito no capıtulo 2 podemos agora
derivar as quantidades termodinamicas relevantes do grande potencial termodinamico,
dado na equacao (4.27). No caso da pressao, temos
p(T, µ) ≡ −∂Φ
∂T
=1
2mω〈ω0〉2 − 1
2mω〈σ〉2 − T
∑κ0,±1
∫d3p
(2π)3
[ln(
1− e−β(E0,±+κµeff± ))]
(4.38)
Se κ = 0 usamos E0, caso contrario E±. A entropia e a densidade de Energia em equilıbrio
4.2 RESULTADOS 37
quımico sao dados por
s(T ) ≡ − ∂p∂T
= −∑κ0,±1
∫d3p
(2π)3
[ln(
1− e−β(E0,±+κµeff± ))
+1
T
E0,± + κµeff
e−β(E0,±+κµeff± ) − 1
](4.39)
e
ε(T ) ≡ −p+ Ts
=1
2mω〈σ〉2 −
1
2mω〈ω0〉2 − 1
T
∑κ0,±1
∫d3p
(2π)3
[E0,± + κµeff
e−β(E0,±+κµeff± ) − 1
](4.40)
respectivamente. Na secao seguinte iremos mostrar os principais resultados obtidos com o
modelo, alem de confronta-los com alguns dados experimentais encontrados na literatura.
4.2 Resultados
Aqui vamos tratar os resultados para os mesons D e tambem os B, nas duas primeiras
subsecoes para o caso em que µeff = 0, onde o numero de mesons q e q sao iguais, enquanto
que nas duas subsecoes finais a abordagem acontece para a situacao em que µeff 6= 0.
A descricao do comportamento termodinamico do modelo introduzido na secao acima se
dara por meio de mudancas de valores dos parametros relevantes. Na secao destinada aos
mesons B, os parametros usados sao os seguintes: mB± = mB0 = 5.279 GeV, mσ = 0.5
GeV, mω = 0.5, gBBσ = 8.04 GeV, gBBω = 12.00 GeV e temperatura de desconfinamento
de Tc = MeV. E para a secao dos mesons D, usamos: mD± = 1.869 GeV, mD0 = 1.864
GeV, gDDσ = 2.85 GeV, gDDω = 3.67 GeV e temperatura de desconfinamento de Tc = 172
MeV.
4.2.1 Massa Efetiva de B em µeff = 0
O campo 〈σ〉 desempenha um papel importante na caracterizacao das principais in-
formacoes termodinamicas do modelo descrito na secao anterior. Por isso, obtemos o
comportamento do campo sigma, equacao de auto consistencia (4.33), como uma funcao
de temperatura, figura 4.1. Notamos que 〈σ〉 nao existe para temperaturas acima de
T = 1.697 GeV. Antes, o 〈σ〉 tem um valor maximo em TB ≈ 1.118 ou 6.5Tc, que e o valor
em que a massa efetiva vai a zero. Essa temperatura e muito maior do que as sugeridas
na literatura para dissociacao do bottomonium, que sao: 2.06Tc [] e 4.18Tc [].
Vamos considerar a massa efetiva dos mesons B no meio hadronico, diante das apro-
38 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.2
Figura 4.1: Campo 〈σ〉, como uma funcao de temperatura, em equılibrio quımico.
ximacoes de campo medio e potencial quımico efetivo nulo, temos
meff± =√m2B± − gDDσ〈σ〉 (4.41)
A figura 4.2 mostra os valores para meff± como uma funcao de temperatura, que sao
solucoes da equacao de estado (4.33). Podemos verificar que a massa diminui com o
aumento da temperatura. Assim estados ligados de B − B aparecem. E uma regiao de
transicao de gas interagente a uma materia fortemente interagente que aparece em TB.
Alem disso, esta temperatura e elevada em comparacao com a temperatura de dissociacao
bottomonium, como foi mencionado acima.
Figura 4.2: Massa efetiva do meson B, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gBBσ = 8.04 GeV.
A energia de ligacao das moleculas compostas por mesons B e B pode ser estimada
4.2 RESULTADOS 39
pela expressao abaixo,
ε(T ) = mBB − 2meff , (4.42)
onde mBB = 2mB e 2meff e a massa do estado ligado BB. Para T = 0 a energia de
ligacao e zero, i.e. em nosso modelo nao existem estados ligados dos mesons bottomonium
em temperatura nula. Uma analise da energia de ligacao pode ser feita numa regiao da
curva, como por exemplo 3.953Tc, na figura 4.2 a massa efetiva para tal temperatura e
≈ 5.277. Assim a energia de ligacao e de ≈ 3.4 MeV.
Figura 4.3: Pressao da materia de mesons B0 e B±, como uma funcao de temperatura emgBBσ = 8.04 GeV.
Figura 4.4: Razao da pressao/energia da materia B0 e B±, como uma da temperatura emgBBσ = 8.04 GeV.
40 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.3
Figura 4.5: Energia por par da materia B0 e B±, como uma funcao de temperatura em gBBσ =8.04 GeV.
4.2.2 Massa Efetiva de D em µeff = 0
Semelhante ao caso anterior o campo 〈σ〉 desempenha um papel importante na ca-
racterizacao das principais informacoes termodinamicas do sistema com mesons D e D.
Numericamente, obtemos o comportamento do campo sigma na equacao () como uma
funcao de temperatura, figura 4.6. Notamos que 〈σ〉 nao existe para temperaturas acima
de T = 1.14 GeV. Antes, o 〈σ〉 tem um valor maximo em T = 0.97 ou 5.65Tc, que e o
valor em que a massa efetiva vai a zero.
Figura 4.6: Campo 〈σ〉, como uma funcao de temperatura, em equılibrio quımico.
4.3 Conclusoes
4.3 CONCLUSOES 41
Figura 4.7: Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gDDσ = 2.85 GeV.
Figura 4.8: Massa efetiva dos mesons D, como uma funcao de temperatura, em equilıbrioquımico, para diferentes valores da constante de acoplamento. A linha solida mostra o casogDDσ = 2.85 GeV, a linha tracejada mostra o caso gDDσ = 5.00 GeV e a linha com traco eponto mostra o caso gDDσ = 9.00 GeV.
42 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.3
Figura 4.9: Isotermas do grande potencial termodinamico, como funcao da massa efetiva, comgDDσ = 2.85 GeV. A linha solida mostra o caso T = 1.100GeV, a linha com traco e pontomostra o caso T = 1.120 GeV e a linha com tracejada mostra o caso T = 1.143 GeV.
Figura 4.10: Isotermas do grande potencial termodinamico, como uma funcao da massa efetiva,com gDDσ = 9.00 GeV. A linha solida mostra o caso T = 0.521GeV, a linha com traco e pontomostra o caso T = 0.527 GeV e a linha com tracejada mostra o caso T = 0.533 GeV.
4.3 CONCLUSOES 43
Figura 4.11: Pressao da materia de mesons D0 e D±, como uma funcao de temperatura emgDDσ = 9.00 GeV.
Figura 4.12: Razao da pressao/energia da materia D0 e D±, como uma de temperatura emgDDσ = 9.00 GeV.
44 COMPORTAMENTO EXOTICO DE MESONS PESADOS 4.3
Figura 4.13: Energia por par da materia D0 e D±, como uma funcao de temperatura emgDDσ = 9.00 GeV.
Capıtulo 5
Propriedades dos Mesons Pesados na
Presenca de um Campo Magnetico
Externo
Neste capıtulo discute-se a presenca de um campo magnetico uniforme externo no
sistema apresentado no capıtulo anterior. Atualmente uma grande quantidade de trabalhos
sao dedicados a sistemas de fısica de partıculas na presenca de campos magneticos, dentre
eles os efetitos combinados de campo e temperatura. Desde o estudo de transicoes de fases
quark-hadron [], propriedades da materia de quarks [], ate os efeitos em fenomenos de
supercondutores de cor da materia de quarks []. Outros problemas que sofrem influencias
do campo magnetico sao encontrados em teoria quantica de campos, como em filmes
supercondutores e em sistemas que dependem do tamanho [].
Um ’laboratorio’ importante da fısica de altas energias e a colisao de ıons pesados,
trabalhos recentes argumentam que existen evidencias de que campos fortes sao criados
em tais colisoes []. Para colisoes de Au-Au em energia√sNN = 200 GeV e parametro de
impacto 4 fm e eB ≈ 1.3m2π ≈ 0.025 GeV, que corresponde a B ≈ 4.3× 1018 Gauss []. O
maior campo magnetico observado na natureza e 1012 − 1013 Gauss em pulsars e acima
1014− 1015 Gauss na superfıcie de magnetors, e em seu interior pode chegar a 1018− 1020
Gauss. Enquanto que no universo primitivo estima-se um campo de 1047 Gauss produzido
no comeco da inflacao [].
Ver a secao 9.4 do livro do Salinas
5.1 O Formalismo
O Modelo apresentado no capıtulo anterior pode ser ainda mais interessante se for
acoplado ao Campo Escalar Carregado um Campo Eletromagnetico. A densidade de Lan-
45
46 PROPRIEDADES DOS MESONS PESADOS NA PRESENCA DE UM CAMPOMAGNETICO EXTERNO 5.1
grangeana e dada pela expressao
L = (DµB)(DµB)† −Bm2BB† − 1
4FµνF
µν +1
2m2ωωµω
µ +1
2(∂µσ)(∂µσ)−
−1
2m2σσ
2 + gBBσBB†σ + igBBωω
µ[B∂µB† − (∂µB)B†]− 1
4WµνW
µν (5.1)
Com Dµ = ∂µ + ieAextµ , Fµν = ∂µAextν − ∂νAextµ e Wµν = ∂µων − ∂νωµ. Sendo Fµν o Tensor
do Campo Eletromagnetico. Com
m2B =
(m2B0 0
0 m2B±
)
O campo B e um dubleto ( B0√
2, B+), mB, mσ e mω sao respectivamente a massa do meson
B, meson σ e meson ω. As constantes de acoplamento desta teoria sao: gBBσ e gBBω.
As equacoes de movimento para os campos sao similares as encontradas no capıtulo
anterior (4.2), (4.3), e (4.4), porem diferente para os campos B± que tem a seguinte forma
(Com Aproximacao de Campo Medio)
(∂µ + ieAextµ )(∂µ + ieAµext)B± + (m2
B± − gBBσ 〈σ〉)B± + 2igBBω⟨ω0⟩∂0B
± = 0 (5.2)
Alguns aspectos relevantes podem ocorrer em sistemas fısicos na presenca de campos
magneticos contante. Um procedimento muito utilizado e aplicar o chamado gauge de
Landau, que corresponde a Aextµ = (0,−Hx2, 0, 0), onde H e a intensidade do campo
externo uniforme. Assim a funcao de onda que governa o estado da equacao (5.2) pode
ser escrita na forma
B±(x) = ei(p0x0−p1x1−p3x3)u(x2) (5.3)
Onde u(x2) satisfaz a equacao de oscilador harmonico dada na forma,[−∂2
x2+ e2H2
(x2 −
p1
eH
)2]u(x2) = [(p0 + gBBω
⟨ω0⟩)2 − p2
3 −m2eff ]u(x2) = 0 (5.4)
Com m2eff = m2
B − gBBσ 〈σ〉+ g2BBω〈ω0〉2. Entao a solucao da equacao (4.4) sao
u(x2) =1√2nn!
(eH
π
)1/4
Hn
[√eH(x2 −
p1
eH
)]e−
12eH(x2− p1
eH )2
(5.5)
Onde os Hn sao os polinomios de Hermite e assim o espectro de energia e escrito como
p20 = p2
3 +m2eff + eH0
(n+
1
2
)(5.6)
5.1 O FORMALISMO 47
Com n = 0, 1, 2, ..., que corresponde aos nıveis de Landau.
Da mesma maneira trataremos o sistema a temperatura e densidade finita e para tal
devemos avaliar a lagrangeana (5.1) diante da simetria U(1) (B → B′ = e−iαB), assim
como no capıtulo anterior. Podemos encontrar a corrente conservada associada a essa
simetria continua.
jµ = i[B†(∂µ − ieAextµ − igBBωωµ)B −B(∂µ + ieAextµ + igBBωωµ)B†] (5.7)
Decompondo o campo B em B = 1√2(B1 +iB2), sendo os campos B1 e B2 reais e B3 = B0.
Os momentos canonicamente conjugados ficam (ACM)
Π1 =∂B1
∂t− eAext0 B2 − gBBω
⟨ω0⟩B2 (5.8a)
Π2 =∂B2
∂t+ eAext0 B1 + gBBω
⟨ω0⟩B1 (5.8b)
Π3 =∂B3
∂t(5.8c)
A densidade do Hamiltoniano e a densidade de carga sao, respectivamente (Aqui vamos
utilizar o fato que Aext0 = 0)
H = H12 +H3 +HM (5.9)
onde
H12 =1
2
2∑j=1
[Π2j + (DiBj)
2 +m2effB
2j
]+ gBBω〈ω0〉 [Π1B2 −B1Π2] (5.10)
H3 =1
2[Π2
3 + (∇B3)2 + (m2B0 − gBBσ〈σ〉)B2
3 ] (5.11)
HM = m2σ〈σ〉2 −m2
ω〈ω0〉2 +H20 (5.12)
e
Q =
∫d4x [B2Π1 −B1Π2] (5.13)
Com Di = ∂i − ieAexti Agora podemos escrever a Grande Funcao de Particao, usando o
formalismo que desenvolvemos no capıtulo 3. Entao
Ξ =
∫DΠ1DΠ2DΠ3
∫DB1DB2DB3e
∫ β0 dτ
∫d3x
[i∑3j=1 Πj
∂Bj∂τ−H+µQ
](5.14)
48 PROPRIEDADES DOS MESONS PESADOS NA PRESENCA DE UM CAMPOMAGNETICO EXTERNO 5.1
A integracao sobre os momentos, reduz a expressao (5.13) a
Ξ = γ
∫DB1DB2e
− 1
2
∫ β0 dτ
∫d3x
[∑2j=1
[∂Bj∂τ
+i(−1)jµeffB(3−j)
]2+[∑2
j=1(DiBj)2+m2
eff±B2j
]](5.15)
onde
γ = α
∫DB3e
− 1
2
∫ β0 dτ
∫d3x
[( ∂B3∂τ )
2+(∇B3)2+(m2
B0−gBBσ〈σ〉)B23
]
α = e12βV[m2ω〈ω0〉2−m2
σ〈σ〉2−H2
0
]
As componentes do campo B pode ser expandido em Fourier:
Bj(x, τ) =
√β
V
∞∑n=0
∞∑l=−∞
∑pei(p·x+ωlτ)Bn
j;l(p) j = 1, 2 (5.16)
e
B3(x, τ) =
√β
V
∞∑l=−∞
∑pei(p·x+ωlτ)B3;l(p) (5.17)
Onde ωl = 2πlβ
, devido a restricao de periodicidade B1(x, β) = B1(x, 0) para todo x. E os
indices n rotulam os nıveis de Landau. Colocando (5.15) e (5.16) dentro de (5.14) depois
de uma integracao por partes, observe (3.28), encontramos
Ξ = α
∏
n
∏l
∏p
∫DBn
1;l(p)DBn2;l(p)
eS12
∏
l
∏p
∫DB3;l(p)
eS3
(5.18)
onde S12 corresponde a acao do campo carregado,
S12 = −1
2
∑n
∑l
∑p
[Bn
1;−l(−p), Bn2;−l(−p)
]D12
[Bn
1;l(p)
Bn2;l(p)
](5.19)
enquanto que S3 a presenca do campo neutro, e temos
S3 = −1
2
∑l
∑pB3;−l(−p)D3B3;l(p) (5.20)
e as matrizes constantes, nas expressoes acima sao dadas por
D12 = β2
[ω2l + E2
n − µ2eff −2µeffωl
2µeffωl ω2l + E2
n − µ2eff
](5.21)
5.1 O FORMALISMO 49
e
D3 = β2[ω2l + E2
0
](5.22)
Com E2n = p2
3 +m2eff± + eH0
(n+ 1
2
)e E2
0 = p2 +m2eff0 . E da mesma forma que foi feito
em (3.34), encontramos
ln Ξ =1
2βV[m2ω
⟨ω0⟩2 −m2
σ 〈σ〉2 −H2
]+ ln(detD12)−1/2 + ln(detD3)−1/2 (5.23)
Seguindo o mesmo roteiro, equacao (3.35) ate a (3.41), chegamos ao seguinte grande
potencial termodinamico,
Φ(T, V, µ,H) = Φ0 + Φ12 + Φ3 (5.24)
onde as funcoes Φ0, Φ12 e Φ3 sao
Φ0 =1
2V[m2σ 〈σ〉
2 −m2ω
⟨ω0⟩2
+H2]
(5.25)
Φ12 =eV H
2πβ
∞∑n=0
∫dp3
2π
[ln(1− e−β(En−µeff )
)+ ln
(1− e−β(En+µeff )
)](5.26)
Φ3 =V
β
∫d3p
(2π)3ln(1− e−βE0) (5.27)
Onde o fator eH2π
multiplicando a soma em n surge por causa da degenerescencia dos nıveis
de Landau.
Para verificar o comportamento termodinamico deste sistema, vamos seguir o mesmo
modelo aplicado no capıtulo 4, ou seja considerar que as equacoes de estados obedecam
as situacoes abaixo,
∂Φ
∂ 〈σ〉= 0 (5.28)
∂Φ
∂ 〈ω0〉= 0 (5.29)
Usando as equacoes (5.25), (5.26) e (5.27) assim obtemos as seguintes expressoes que
fornecem os valores de 〈σ〉 e 〈ω0〉 que extremiza Φ,
〈σ〉 =gBBσ2m2
σ
[ρH12 + ρ3
](5.30)
50 PROPRIEDADES DOS MESONS PESADOS NA PRESENCA DE UM CAMPOMAGNETICO EXTERNO 5.1
⟨ω0⟩
=gBBωm2ω
[gBBω
⟨ω0⟩ρH12 + ρHs
](5.31)
onde
ρH12 =eH
2π
∞∑n=0
∫dp3
2π
1
En
[1
eβ(En−µeff ) − 1+
1
eβ(En+µeff ) − 1
](5.32)
ρHs =eH
2π
∞∑n=0
∫dp3
2π
[1
eβ(En−µeff ) − 1− 1
eβ(En+µeff ) − 1
](5.33)
ρ3 =
∫d3p
(2π)3
1
E0
[1
eβE0 − 1
](5.34)
Diferentemente das equacoes (4.35) e (4.36), as expressoes (5.30) e (5.31) dependem do
campo magnetico externo. Do mesmo modo que (4.33) e (4.34), as equacoes (5.30) e
(5.31) sugerem um sistema de equacoes para os campos 〈σ〉 e 〈ω0〉 (Equacoes de auto
consistencia). Note mais uma vez que se µeff = 0, ou seja µ = gBBω 〈ω0〉, a equacao (5.31)
mostra que 〈ω0〉 = 0, como esperado. Como foi descrito no capıtulo 2 podemos agora
derivar as quantidades termodinamicas relevantes do grande potencial termodinamico,
dado na equacao (5.24). No caso da pressao, temos
p(T, µ, eH) ≡ −∂Φ
∂T= p0 + pH12 + p3 (5.35)
onde p0, pH12 e p3 sao descritas na forma
p0 =1
2mω〈ω0〉2 − 1
2mω〈σ〉2 −
1
2H2 (5.36)
pH12 = −T eH2π
∞∑n=0
∫dp3
2π
[ln(1− e−β(En+µeff )
)+ ln
(1− e−β(En−µeff )
)](5.37)
p3 = −T∫
d3p
(2π)2
[ln(1− e−βE0
)](5.38)
A entropia e a densidade de Energia em equilıbrio quımico sao dados por
s(T, eH) ≡ − ∂p∂T
= sH12 + s3 (5.39)
5.3 RESULTADOS 51
onde
sH12 = −eH2π
∞∑n=0
∫dp3
2π
[ln(1− e−βEn
)+
1
T
Ene−βEn − 1
](5.40)
s3 = −∫
d3p
(2π)3
[ln(1− e−βE0
)+
1
T
E0
e−βE0 − 1
](5.41)
e
ε(T, eH) ≡ −p+ Ts = ε0 + εH12 + ε3 (5.42)
sendo
ε0 =1
2H2 +
1
2mω〈ω0〉2 − 1
2mω〈σ〉2 (5.43)
εH12 = −eHπT
∞∑n=0
∫dp3
2π
[En
e−βEn − 1
](5.44)
ε3 =
∫d3p
(2π)3
[E0
e−βE0 − 1
](5.45)
Na secao seguinte iremos mostrar os principais resultados obtidos com o modelo, alem
de confronta-los com alguns dados experimentais encontrados na literatura.
5.2 Resultados
5.3 Conclusoes
52 PROPRIEDADES DOS MESONS PESADOS NA PRESENCA DE UM CAMPOMAGNETICO EXTERNO 5.3
Figura 5.1: Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gDDσ = 2.85 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01 GeV2, a linha tracejada mostrao caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2.
Figura 5.2: Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gDDσ = 5.00 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01 GeV2, a linha tracejada mostrao caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2.
5.3 CONCLUSOES 53
Figura 5.3: Massa efetiva do meson D, como uma funcao da temperatura, em equılibrio quımicopara gDDσ = 9.00 GeV. A linha solida mostra o caso eH = 0.01 GeV2, a linha tracejada mostrao caso eH = 0.04 GeV2 e a linha com traco e ponto mostra o caso eH = 0.07 GeV2.
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