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OP1P

R1

3.61k

C226.67nF

C110nF

R3

1.8k

R23.61k

R

10k

OP1P

R10k

OUT

IN

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CONTROLADOR PID DE UN MOTOR DC

Resumen:

A continuación se presenta un informe sobre el diseño de controles por el método

de LGR (Lugar geométrico de las raíces) utilizando el toolbox “sisotool” de

MATLAB. Los controles serán implementados utilizando amplificadores

operacionales y se realiza su simulación en PROTEUS y modelación en

SIMULINK. El diseño de todos los controles presentados a continuación tiene

como objetivo mejorar la respuesta transitoria de una planta, la cual también se

modela mediante amplificadores operacionales.

Palabras clave: Sisotool, Simulink, LGR, controlador, compensador, Proteus.

PROCEDIMIENTO:

1. Definición y moldeamiento de la Planta: La planta que se quiere controlar no

es más que un filtro pasa bajos de segundo orden implementado con

amplificadores operacionales. En la Figura 1.1 se muestra un esquema en

PROTEUS de la planta.

Figura 1.1. Planta.

La función de transferencia de la planta a controlar está definida a continuación y

de ahora en adelante la llamará G(s).

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G (s )= R2/R11+sC 1 (R2+R3+R2 R3/R1 )+s2R2 R3C 1C2

Para diseñar un controlador con SISOTOOL se debe definir primero G(s) en

MATLAB. El código utilizado para tal fin se muestra a continuación, donde se

utiliza la función tf para definir a G(s) a partir de su numerador y su denominador.

% PLANTA.m

% Definicion de G(s)

%

%Definicion de resistencias y condensadores

R1=3.61e3;

R2=3.61e3;

R3=1.8e3;

C1=10e-9;

C2=26.67e-9;

%numerador de G(s)

num= R2/R1;

%denominador de G(s)

den=[R2*R3*C1*C2 C1*(R2+R3+R2*R3/R1) 1];

%se genera la función de transferencia

G=tf(num,den);

%**************************************************

Este script llamado PLANTA.m debe ejecutarse antes de iniciar con los pasos

posteriores, pues estos de basan en él.

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Ahora que ya se ha definido G(s) podemos obtener una grafica de su respuesta

transitoria mediante el comando step (G); La grafica obtenida se muestra en la

Figura 1.2.

Figura 1.2. Respuesta transitoria de G(s).

Para modelar G(s) en SIMULINK se crea un subsistema que está definido por la

función de transferencia de G(s) y recibe el nombre de G. el diagrama del

subsistema se muestra en la Figura 1.3.

Figura 1.3. Modelado de G(s) en simulink.

2. Definición de la arquitectura de control y de los objetivos del control: se

usará una arquitectura de control lo más simple posible con el fin de simplificar el

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diseño y el análisis. La figura 2.1 muestra la arquitectura utilizada, G es la planta y

C el compensador que se diseñará.

Figura 2.1. Arquitectura de control.

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado sería:

H (s )=Y (s)R(s)

=C ( s )G(s)1+C (s )G (s)

Y la función de transferencia de la salida del compensador sería:

F ( s )=U (s )R (s )

=C(s)

1+C ( s)G(s)

EL objetivo del control a diseñar es mejorar la respuesta transitoria de G(s). Lo

cual consiste en hacer que el tiempo de establecimiento de la salida del sistema a

lazo cerrado, cuando la entrada del sistema es un escalón unitario, sea menor que

el tiempo de establecimiento de la salida del sistema a lazo abierto, pero sin

generar un sobre pico demasiado alto.

Con el fin de saber con qué tipo de control se obtiene una mejor respuesta, se

diseñaran cuatro tipos de control diferentes para comparar los resultados

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obtenidos con cada uno. Los tipos de control a diseñar son: Control P, control

PD, Control PI y Control PID.

3. Procedimiento general para el diseño de los compensadores utilizando

sisotool: sisotool es una poderosa herramienta de MATLAB que facilita en gran

medida el diseño de controles. En sisotool se trabaja de forma grafica usando el

método LGR (lugar geométrico de las raíces), y puede mostrar en tiempo real las

variaciones producidas en la respuesta del sistema generadas por los cambio que

el usuario realice en el LGR. Para ejecutar sisotool basta con llamarlo desde la

línea de comandos de MATLAB escribiendo “sisotool”.

AL abrir sisotool se muestran dos ventanas, “Control and Estimation Tool

Manager” y “SISO Desing for SISO Desing Task”. En “Control and Estimation Tool

Manager” se escoge la arquitectura de control a utilizar. En la pestaña

“Architecture”, al dar clic en el botón “Control Achitecture” se despliega una

ventana que muestra una lista de las arquitecturas disponibles. Pero ninguna

coincide con la arquitectura que se desea utilizar (figura 2.1). Sin embargo

También se puede usar la arquitectura que se encuentra al principio de la lista y

que se muestra en la figura 3.1.

Figura 3.1. Ventana desplegada por el botón “Control Achitecture”.

Haciendo F=1 y H=1 esta arquitectura se reduce a la que se desea utilizar.

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Después de seleccionar la arquitectura, se importa la función de transferencia de

G(s) desde la ventana “SISO Desing for SISO Desing Task”, con la opción

“importar” del menú “File”. AL dar clic en “importar” Se despliega una ventana

(Figura 3.2) en donde se muestra una lista de los sistemas de la arquitectura

seleccionada: G, H, C y F que por defecto tienen el valor de “1”, el cual es el valor

que deben tener “F” y “H”. Se selecciona “G” y se presiona “Browser” y aparece

otra ventana (Figura 3.3) que muestra una lista de las funciones de transferencia

que se encuentran en el WorkSpace y en donde debe estar la función “G” definida

en el script “PLANTA.m” que se describió anteriormente. Entonces se selecciona

“G” se presiona “import”, se cierra esta ventana y por último se presiona “OK” en la

ventana anterior.

Para visualizar la grafica de la respuesta del sistema en lazo cerrado se

selecciona la opción “Response to step command” del menú “Analysis”. Con esto

se abre la ventana que se muestra en la Figura 3.4.

Figura 3.2. Ventana de Import.

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Figura 3.3. Ventana Browser de Import.

Para visualizar la respuesta del sistema en lazo abierto y compararla con la

respuesta del sistema en lazo cerrado, se da un clic derecho en la grafica de la

ventana “LTI Viewer for SISO Desing Task” (figura 3.4) luego se selecciona la

opción “systems” y luego la opción “Plant G”. Esto da como resultado la grafica

mostrada en la figura 3.5.

Figura 3.4. Ventana que muestra la respuesta transitoria del sistema

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Figura 3.5. Grafica que muestra la respuesta transitoria del sistema a lazo abierto y a lazo cerrado.

En esta ventana (Figura 3.5) ahora se muestran tres graficas. La grafica de color

azul continua es la respuesta transitoria del sistema a lazo cerrado, la grafica de

color azul discontinua es la respuesta transitoria del sistema a lazo abierto y la

grafica de color verde es la salida del compensador. Si La opción “Real-Time

Update” en la parte inferior derecha de la ventana (Figura 3.5) está activada

entonces la grafica de la respuesta se actualiza automáticamente cuando se

cambia algún parámetro del LGR.

La ventana de trabajo, en donde se realiza el diseño del compensador es la

ventana “SISO Desing for SISO Desing Task” que es una de las ventanas que de

abren al ejecutar sisotool. Esta ventana se muestra en la Figura 3.6. La grafica en

la parte superior izquierda en la grafica del LGR y es la que se utilizará para el

diseño. Después de importar la función de transferencia “G” la ventana de trabajo

se ve tal cual está en la figura 3.6.

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Figura 3.6. Ventana de trabajo de sisotool.

El proceso de diseño del compensador mediante el método LGR consiste en

agregar polos o ceros al compensador para modificar el LGR de tal forma que

pase por los puntos determinados en donde deben estar los polos dominantes

para obtener la respuesta deseada. Después de que esto de consigue, se

arrastran los polos hasta estos puntos, y entonces la grafica de la respuesta del

sistema debe coincidir con la respuesta deseada. Pero puede que esto no ocurra,

y seguramente se debe a que los polos ubicados en estos puntos no son los

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dominantes. Para determinar en qué puntos se deben ubicar los polos

dominantes para obtener la respuesta deseada se deben ingresar los

requerimientos de diseño. Para este caso los requerimientos de diseño son dos, el

tiempo de establecimiento y el sobrepaso. Para agregar un requerimiento de

diseño se da clic derecho se escoge la opción “Desing Requirements” y luego la

opción “New”.

EL tiempo de establecimiento o “Settling time” se escoge de manera que sea

menor que el tiempo de establecimiento del sistema a lazo abierto. Pues lo que se

quiere es mejorar la respuesta transitoria del sistema. Pero no puede ser

exageradamente pequeño porque será imposible de cumplir. EL porcentaje de

sobrepaso o “Percent overshoot” determina en que porcentaje el valor pico de la

respuesta del sistema sobrepasa el valor de establecimiento o valor final del

sistema ante una entrada escalón. Para algunos tipos de control, entre más rápida

se hace la respuesta del sistema mas es el porcentaje de sobrepaso, y Un valor

muy grande de sobrepaso no es deseable.

Ejemplo: Al diseño se le agregaron los siguientes requerimientos:

Settling time = 80u segundos

Percent overshoot = 1

La grafica obtenida al agregar los requerimientos de diseño se muestra en la

Figura 3.7

Figura 3.7. Grafica del LGR con requerimientos del diseño.

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Al agregar el “Settling time” se dibuja una línea vertical que indica que los polos

dominantes deben estar sobre esa línea para cumplir el requerimiento impuesto.

Al agregar el “Percent overshoot” se dibujan dos líneas simétricas sobre el eje real

que parten desde el origen con un determinado Angulo y que interceptan la línea

dibujada por el “Settling time”. Entonces para que se cumplan los requerimientos

del diseño los polos dominantes del sistema se deben encontrar en estos puntos

de intersección o muy cerca de ellos.

Los polos dominantes son aquellos que más intervienen en la respuesta de un

sistema. Aunque la respuesta de un sistema no está completamente determinada

por los polos dominantes, puede hallarse una muy buena aproximación de esta

hallando la respuesta solo a partir de la contribución de estos polos. Como regla

general se toman como polos dominantes aquellos que están más cerca al origen,

pues son los que más influyen en la respuesta.

Para agregar polos o ceros, se seleccionan alguna de las opciones de la parte

superior izquierda de la ventana de trabajo donde se encuentran X ,O ,XX,OO

que

corresponden respectivamente a: adicionar un polo en el eje real, adicionar un

cero en el eje real, adicionar un par de polos complejos conjugados y adicionar un

par de ceros complejos conjugados. Todo el proceso de diseño se realiza

gráficamente, agregando polos o ceros y moviendo la posición de los polos sobre

el lugar geométrico de las raíces. Por lo que es imprescindible tener conocimiento

acerca de cómo se dibuja el LGR porque esto brinda la capacidad de predecir los

cambios producidos en el LGR por la adición de polos o ceros.

Cuando finalmente se consigue un diseño satisfactorio se puede ver la función de

transferencia del compensador “C” con la opción “Edit Conpensador” del menú

“Designs”.

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4. Diseño de controles P, PD, PI y PID con sisotool:

4.1. Control P: Para el control P el compensador “C(s)” es solo una constante,

por lo tanto no hay que agregar ningún polo ni cero. Es por esto el tipo de control

más sencillo de implementar. Entonces “C(s)” puede escribirse de la forma:

C ( s )=Kp

Para determinar la respuesta del sistema solo hay que variar el valor de la

constante Kp hasta encontrar una respuesta satisfactoria. Aunque es bastante

probable que no se encuentre.

Variar las constante Kp equivale a mover los polos sobre el LGR, moviendo los

polos y observando la respuesta del sistema a laso cerrado en la grafica que

proporciona sisotool.

Después de realizar varias pruebas con la posición de los polos se determinó que

la respuesta del control P que más se ajusta a los objetivos propuestos es la que

se muestra en la figura 4.1 ya que es una respuesta más rápida que la respuesta

del sistema a laso abierto, no tiene un sobrepaso demasiado alto y no introduce un

error de estado estacionario muy grande.

Figura 4.1. Grafica de la respuesta obtenida con el control P (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).

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Esta respuesta (Figura 3.8) se obtiene con el compensador: C=14.48.

4.2. Control PD: la función de transferencia del compensador de un control PD

puede escribirse como C (s )=Kp(1+Td s) y se puede obtener solo agregando un

cero. EL LGR de este control para la PLANTA en cuestión se muestra en la figura

4.2 y se obtuvo agregando un cero y moviéndolo hasta conseguir que el LGR

pasara por los puntos señalados por los requerimientos del diseño.

Figura 4.2. Grafica del LGR del control PD.

Figura 4.3. Grafica de la respuesta obtenida con el control PD (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).

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En la figura 4.3 se muestra la respuesta obtenida con el control PD. En

comparación con la respuesta a lazo abierto del sistema, se puede apreciar que

con este control PD se obtiene una respuesta más rápida y sin demasiado

sobrepaso pero se introduce un considerable error en estado estacionario. El

compensador para este control es:

C ( s )=3.5523 (1+2.9∗10−5 s )

Y la función de transferencia de la salida del compensador seria:

F ( s )=U (s )R (s )

=C(s)

1+C ( s)G(s)

Como G(s) es una función con dos polos y ningún cero, la función de transferencia

de la salida del compensador tendrá un mayor número de ceros que de polos.

Entonces si se desea visualizar la grafica de la salida del compensador en sisotool

no se podrá hacer, porque MATLAB solo puede generar graficas de las respuestas

de sistemas con número de polos mayor o igual que el número de ceros.

4.3. Control PI: La función de transferencia del compensador de un control PI se

escribe como C ( s )=Kp(1+ 1Ti s ) y puede reescribirse como C ( s )=K ( s+a )

s. Es decir

que para construir el control PI se debe agregar un cero en el eje real y un polo en

el origen. EL LGR del control PI para la PLANTA en cuestión se muestra en la

figura 4.4 y la respuesta obtenida en la figura 4.5. Este control PI no mejora la

respuesta considerablemente en comparación con el control P pero al contrario de

los controles P y PD este no genera error en estado estacionario. Inclusive es

posible corregir el error de estado estacionario del sistema a lazo abierto si es que

lo hubiere.

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Figura 4.4. Grafica del LGR del control PI.

Figura 4.5. Grafica de la respuesta obtenida con el control PI (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).

El compensador para este control es:

C ( s )=31536(1+2.5∗10−5 s)

s

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4.4. Control PID: La función de transferencia del compensador de un control PID

se escribe como C ( s )=Kp(1+ 1Ti s

+Td s) y puede reescribirse como:

C ( s )=K ( s+a ) (s+b )s

O como:

C ( s )=K( s2+as+b )

s

Es decir que hay dos formas de realizar el control PID, la primera es adicionando

dos ceros en el eje real y un polo en el origen y la segunda es adicionando un par

de ceros complejos conjugados y un polo en el origen.

PID Forma 1:

Adicionando dos ceros en el eje real y un polo en el origen se obtuvo un control

PID con el LGR mostrado en la figura 4.6, obteniendo la respuesta que se muestra

en la figura 4.7.

Para este caso el polo dominante es el que se agregó en el origen y que se

desplaza sobre el eje real, en consecuencia la respuesta no se puede determinar

agregando los requerimientos del diseño y haciendo coincidir los dos polos

conjugados que se muestran en el LGR (figura 4.6) con los puntos indicados por

las intersecciones de las líneas trazadas por los requerimientos del diseño. Por lo

que no se añadieron criterios de diseño y se procedió a elegir el compensador

visualmente según las graficas de la respuesta del sistema que proporciona

sisotool.

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Figura 4.6. Grafica del LGR del control PID 1.

Figura 4.7. Grafica de la respuesta obtenida con el control PID 1 (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).

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El compensador para este controlador PID es:

C ( s )=1.1307∗105(1+5.1∗10−5 s ) (1+2.8∗10−5 s )

s

PID Forma 2: Adicionando un par de ceros complejos conjugados y un polo en el

origen se obtuvo un control PID con el LGR mostrado en la figura 4.8, obteniendo

la respuesta que se muestra en la figura 4.9. Para este caso si se utilizaron las

graficas de los requerimientos de diseño.

Figura 4.8. Grafica del LGR del control PID 2.

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Figura 4.9. Grafica de la respuesta obtenida con el control PID 2 (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).

Para los dos controles PID se obtuvieron respuestas con mejoras considerables

en comparación con la respuesta a lazo abierto. Las respuestas de los dos

controles PID son considerablemente más rápidas que la respuesta del sistema a

lazo abierto, genera un sobrepaso muy bajo y no generan error de estado

estacionario. En definitiva este control es mejor que los otros 3.

El compensador para este controlador PID es:

C ( s )=3.2757∗105(1+4.9∗10−5 s+(2.6∗10−5 s )2 )

s

AL igual que para el control PD, con los controles PID para la planta que se está

controlando, la función de transferencia de la salida del compensador tendrá un

mayor número de ceros que de polos y no se podrá visualizar una grafica de la

salida del compensador con sisotool.

5. Moldeamiento de los controles en SIMULINK e implementación en

PROTEUS.

Como base Para el moldeamiento de los controles en simulink se utilizo el

diagrama de bloques de la figura 5.1 donde se modela el sistema a lazo cerrado

con una entrada escalón. EL subsistema G1 mostrado en la figura 5.1 es el

modelo de la planta que se creó en la sección 1 (Definición y moldeamiento de la

Planta) y el subsistema C es el modelo del compensador.

Figura 5.1. Base para el modelamiento de los controles.

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Para tener la posibilidad de comparar las respuestas del sistema a lazo cerrado y

a lazo abierto y además poder observar la señal a la salida del compensador se

modifico el diagrama de bloques de la figura 5.1 dando como resultado el

diagrama mostrado en la figura 5.2.

Figura 5.2. Diagrama utilizado para el modelamiento de los controles.

La función de transferencia del compensador de un control PID se escribe como

C ( s )=Kp(1+ 1Ti s

+Td s) . Esta función encierra las funciones de los otros tres filtros

tratados.

Para anular la acción integral de debe hacer la constante Ti igual a infinito y para

anular la acción derivativa se debe hacer la constante Td igual a cero. Así para un

control “P” Ti=inf y Td =0, para el control “PD” Ti=inf y para el control “PI”

Td=0.

Por lo tanto se pueden modelar los cuatro tipos de controles vistos, P, PD, PI y

PID con el mismo modelo de compensador. El diagrama del modelo utilizado para

el compensador se muestra en la figura 5.3 y es simplemente un Control PID

definido por la constantes Kp, Ti y Td y cuya función de transferencia es la

mencionada anteriormente. El modelo del subsistema “Ctrl PID” que se muestra

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en la figura 5.3 puede verse en la figura 5.4 y es simplemente la suma de las tres

acciones, proporcional, integral y derivativa.

Figura 5.3. Diagrama del Compensador.

Figura 5.4. Diagrama del subsistema “Ctrl PID” del Compensador.

Para la implementación de los controles con amplificadores operacionales en

PROTEUS de los controles P, PD, PI y PID se utilizaron los esquemas de

compensadores mostrados en las figuras 5.5, 5.6, 5.7 y 5.8 respectivamente.

OP1P

Rp1

Rp2

OP1P

CD

RD

R1

OP1P

R2

R1

OP1P

R

R

OP1P

RIR1

OP1P

R2

R1

OP1P

R

R

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Figura 5.5. Diagrama del Compensador del control P.

Figura 5.6. Diagrama del Compensador del control PD.

Figura 5.7. Diagrama del Compensador del control PI.

OP1P

CD

RD

R1

OP1P

R2

R1

OP1P

R

R

OP1P

R1

CI

RI

R

R

R

R

OP1P

B

A

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Figura 5.8. Diagrama del Compensador del control PID.

El circuito que realiza la funcion de restar la entrada y la salida para generar la

realimentación no es más que un amplificador diferencial con ganancia unitaria.

Este se muestra en la figura 5.9.

Figura 5.9. Diagrama del Circuito de resta.

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Un ejemplo de cómo queda el esquema completo de un control con amplificadores

operacionales se muestra en la figura 5.10 en donde se encuentra una imagen del

control PID completo. En la imagen se puede ver la planta, el compensador y el

lazo de realimentación.

Figura 5.10. Diagrama de un control PID.

5.1. Control P: En la sección 4.1 se encontró que el compensador para el control

P debe ser C=14.18. Para modelar este control en simulink hacemos Kp=14.18,

Ti=inf y Td=0. Y se obtiene la grafica de la figura 5.11.

Figura 5.11. Respuesta del control P en simulink.

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La grafica color purpura de la imagen 5.11 es la respuesta del sistema en lazo

cerrado, la grafica de color azul es la respuesta del sistema a laso abierto. La

grafica de color amarillo de la parte superior es la entrada del sistema y la grafica

de color amarillo inferior es la salida del compensador. Es importante que antes

de ejecutar SIMULINK se ejecute el script PLANTA.m que se mostró en la sección

1 y que define los valores de las resistencias y condensadores.

La funcion de transferencia del compensador P con amplificadores operacionales

es:

C (S )=1+Rp2Rp1

=14.18

Escogiendo Rp1=5,1K tenemos que Rp2= 68.748k. Las graficas generadas por

Proteus se muestran en la figura 5.12 y coinciden con las graficas generadas por

simulink y sisotool.

Figura 5.12. Respuesta del control P en Proteus.

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5.2. Control PD: En la sección 4.2 se encontró que el compensador para el

control PD debe ser C (s )=3.5523(1+2.9∗10−5 s). Entonces en simulink hacemos:

Kp=3.5523, Ti=inf, y Td=2.9*10 -5. LA respuesta obtenida se muestra en la figura

5.13.

Figura 5.13. Respuesta del control PD en simulink.

La función de transferencia del compensador PD con amplificadores operacionales

es:

C (S )=R2R1

(1+RdCd s)=3.5523(1+2.9∗10−5 s )

SI R1=10K entonces R2 será de 35.523K, si Cd=1nF entonces Rd será de 29K.

La respuesta obtenida se muestra en la figura 5.12 y coincide con la respuesta

obtenida en simulink y sisotool. Aun cuando los amplificadores operacionales se

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saturan, tal como se muestra en la grafica inferior de la figura 5.14. Que

corresponde a la salida del compensador.

Figura 5.14. Respuesta del control PD en Proteus.

5.3. Control PI: En la sección 4.3 se encontró que el compensador para el control

PI debe ser C ( s )=31536(1+2.5∗10−5 s)

s. Lo cual se simplifica a:

C=0.7884 (1+1/(2.53e-5 s )) y en simulink se tiene que Kp=0.7884, Ti=2.53*10 -5 y

Td=0. La respuesta obtenida se encuentra en la figura 5.15.

Figura 5.15. Respuesta del control PI en simulink.

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En Proteus se hace RiCi=Ti. Se calculan las resistencias y condensadores y se

obtiene la grafica de la respuesta del sistema que se muestra en la figura 5.16.

Figura 5.16. Respuesta del control PI en proteus.

La respuesta de Proteus coincide con la de simulink y sisotool para el control PI.

5.4 Control PID: Al simplificar las ecuaciones de los compensadores de los dos

controles PID se obtiene la funcion

C (s )=8.9325(1+1 /(7.9e-5 s)+1.8076e-5 s) Para el control PID 1 y la funcion

C (s )=16.051(1+1/(4.9e-5 s)+1.3796e-5 s) para el control PID 2.

Las graficas de las respuestas de los controles PID 1 y PID 2 obtenidas con

simulink se muestran en las figuras 5.17 y 5.18 respectivamente.

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Figura 5.17. Respuesta del control PID 1 en Simulink.

Figura 5.18. Respuesta del control PID 2 en Simulink.

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Y Las graficas de las respuestas obtenidas con Proteus se muestran en las figuras

5.19 y 5.20 respectivamente.

Figura 5.19. Respuesta del control PID 1 en Proteus.

Figura 5.20. Respuesta del control PID 2 en Proteus.

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Estas graficas de las respuestas de los controles PID en Proteus también

coinciden con las graficas de los diseños en sisotool y del modelo en simulink.

CONCLUSIONES

El método de diseño de controles con el LGR es un método grafico fácil y rápido

de aplicar. Lo cual hace que este método sea uno de los más usados en el diseño

de controladores análogos. Sisotool combina el método del LGR con un entorno

grafico que brinda diversas herramientas de diseño por lo que se convierte en una

poderosa herramienta que facilita en gran medida el diseño de diferentes tipos de

controles en diversas arquitecturas. En cuanto a la implementación de los

controles diseñados mediante amplificadores operacionales. La respuesta final de

estos controles dependerá en gran medida del rendimiento de los amplificadores

operacionales.