Controle Linear II
Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada
Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Seja o sistema de controle digital em malha
fechada apresentado na figura abaixo. Determine a resposta no tempo deste sistema a uma entrada degrau.
Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Como visto anteriormente, a função de
transferência em malha fechada do sistema é:
Sendo G(z) determinado por:
)(1
)(
)(
)(
zG
zG
zR
zC
Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Então, a função de transferência do sistema
será:
368,0368,1632,0
368,0368,1264,0368,0
368,0368,1264,0368,0368,0368,1
368,0368,1264,0368,0
)(
368,0368,1264,0368,0
1
368,0368,1264,0368,0
)(1
)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
zzzzzz
z
zzzzz
zzz
zT
zzzzz
z
zG
zGzT
Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Então, a função de transferência do sistema
será:
Sendo a função degrau, na transformada Z, dada abaixo, a saída do sistema será:
632,0
264,0368,0)(
632,0
368,0368,1
368,0368,1
264,0368,0)(
2
2
2
2
zz
zzT
zz
zz
zz
zzT
1)(
z
zzR
1)()(
z
zzTzC
Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Saída do sistema:
O valor final de c(kT), quando k ∞:
...98,008,108,199,087,08,0
9,015,14,14,1368,0)(
)632,0632,12(
264,0368,0
1632,0
264,0368,0)(
13121110987
654321
23
2
2
zzzzzzz
zzzzzzzC
zzz
zz
z
z
zz
zzC
1632,0
632,0)()1(lim
1
zCzz
Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Simulação do sistema:
Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Simulação do sistema:
Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z
Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z
Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z
Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z Matematicamente, também podemos
relacionar os pólos entre o plano-S e o plano-Z:
Seja a função de transferência de segunda ordem no plano-S:
Os pólos serão:
Esses pólos no plano-S serão equivalentes aos pólos do plano-Z:
Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z
Com a relação dada no slide anterior, e
fazendo algumas manipulações matemáticas,
obtemos os parâmetros de coeficiente de
amortecimento, frequência natural e
constante de tempo para o sistema de
segunda ordem:22ln
1 rTn
22ln
ln
r
r
r
T
n ln
1
Coeficiente de amortecimento:
Frequência natural:
Constante de tempo:
Equação Característica
Equação Característica Considere o sistema de malha fechada
apresentado na figura abaixo:
A função de transferência do sistema é:
A equação característica (EC) do sistema é:
)(1
)()(
zGH
zGzT
0)(1 zGH As raízes da EC são os pólos da função de transferência em malha fechada.
Exemplo Seja o sistema apresentado abaixo:
A função de transferência do sistema será:
A equação característica do sistema é:
632,0
264,0368,0
)(1
)(2
zz
z
zG
zG
0)618,05,0)(618,05,0(632,0
0)(12
jzjzzz
zG
Exemplo Os pólos do sistema são complexos e localizados
em:
Com esses dados podemos obter o coeficiente de amortaecimento, a frequência natural e a constante de tempo do sistema:Lembrando que Logo,
rad 98,0795,051795,0618,05,0 jz
Trrz
Exemplo Se compararmos os valores do coeficiente de
amortecimento, frequência natural e constante de tempo do sistema, veremos que os valores quando o controle é totalmente analógico difere dos valores quando o controle é digital. Isto se deve ao fato do período de amostragem ser alto.
s
sradn
36,4
/ 1919,0
25,0
s
sradn
2
/ 1
5,0
Exemplo Para que a amostragem não tenha efeito
sobre o sistema, o período de amostragem T deve ser muito menor do que a constante de tempo τ do sistema.
A razão τ/T é simplesmente o número de amostras por constante de tempo.
rT ln
1
1
T
ou
Estabilidade de Sistemas Discretos
Estabilidade de Sistemas Discretos Nesta seção será estudada a estabilidade de
sistemas de controle discretos no tempo.
Considere o seguinte sistema:
A estabilidade do sistema acima será determinada pela localização dos pólos em malha fechada no plano-Z:
)(1
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zC
)(1)( zGHzP
Estabilidade de Sistemas Discretos Assim, tomando a EC do sistema analisamos:
Para o sistema ser estável, os pólos em malha fechada ou as raízes da EC devem estar dentro do círculo unitário no plano-Z. Qualquer pólo em malha fechada que estiver fora do círculo torna o sistema instável.
Se um único pólo estiver em z=1 (ou pólos complexos em |z|=1), o sistema se torna criticamente estável. Mais de um pólo em cima do círculo unitário torna o sistema instável.
Os zeros em malha fechada não afetam a estabilidade absoluta do sistema e portanto, podem estar localizados em qualquer lugar do Plano-Z.
)(1)( zGHzP
Estabilidade de Sistemas Discretos Exemplo
Considere o sistema de controle da figura abaixo. Determine a estabilidade do sistema quando K =1.
Solução
)1(
11)(
sss
esG
Ts
)1)(3679,0(
2642,03679,0
)1(
11)(
zz
z
sss
eZzG
Ts
Estabilidade de Sistemas Discretos Exemplo
Sendo a função de transferência em malha fechada,
A equação característica é:
)(1
)(
)(
)(
zG
zG
zR
zC
0)1)(3679,0(
2642,03679,0)1)(3679,0(
0)1)(3679,0(
2642,03679,01
0)(1
zz
zzz
zz
z
zG
Estabilidade de Sistemas Discretos Exemplo
Equação Característica:
As raízes da EC são:
06321,0
02642,03679,0)1)(3679,0(
0)1)(3679,0(
2642,03679,0)1)(3679,0(
2
zz
zzz
zz
zzz
6181,05,0 jz
Como,
Logo, o sistema é estável.
121 zz
Estabilidade de Sistemas Discretos – Testes de Estabilidade
Três testes de estabilidade podem ser aplicados
diretamente a equação característica, P(z) = 0,
sem ter que resolver as raízes dessa equação.
Esses testes são:
Teste de estabilidade Schur-Cohn
Teste de estabilidade Jury
Transformação bilinear (Critério de Routh-Hurwitz)
Estabilidade de Sistemas Discretos – Testes de Estabilidade Os dois primeiros testes revelam a existência
de possíveis raízes instáveis ( raízes que se localizam fora do círculo unitário no plano Z);
Ambos os testes ( Schur-Cohn e Jury) podem ser aplicados a equações polinomiais com raízes reais ou complexas.
Entre os testes, daremos ênfase ao teste de estabilidade de Jury.
Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Um critério de estabilidade para sistemas
discretos muito utilizado é o critério de Jury (ou teste de estabilidade de Jury).
O teste de Jury é aplicado a partir de uma equação característica P(z).
Uma tabela será construída sendo os elementos da tabela dados pelos coeficientes da equação característica P(z).
Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Seja a equação característica de um sistema
discreto expressa como:
0...)( 011
1 azazazazP nn
nn
A tabela para o teste de Jury é então formada como apresentada ao lado:
Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury As linhas “pares” da tabela são os elementos
da linha anterior, mas com a ordem invertida.
Já os elementos das linhas “ímpares” são formados a partir dos determinantes:
Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury As condições necessárias e suficientes para
que a EC P(z) não tenha raízes fora do círculo unitário são:
20
30
20
10
0
1
1
(3)
0)()1( (2)
0)( (1)
mm
dd
cc
bb
aa
zP
zP
n
n
n
n
z
n
z
O teste de Jury pode ser aplicado da seguinte maneira: Teste as três primeiras condições
(1), (2) e (3). Pare se uma dessas não for satisfeita.
Construa a tabela e teste as condições seguintes. Pare se uma das condições não for satisfeita.
Para sistemas de ordem n, serão necessárias um total de n+1 restrições.
Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2
Suponha que a eq. característica de um sistema discreto em malha fechada é dada pela expressão:
SoluçãoA ordem do sistema é 3 (n = 3).Para essa EC temos:
2,0
05,1
8,1
1
0
1
2
3
a
a
a
a
02,005,18,1)( 23 zzzzP
0)(
0...)(
01
12
23
3
011
1
azazazazP
azazazazP nn
nn
Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2
Primeiramente, iremos analisar as três primeiras condições:
12,0
(3)
005,4)1()1(
]2,0)1(05,1)1(8,1)1[()1()1(
0)()1( (2)
005,0)1(
2,0)1(05,1)1(8,1)1()1(
0)( (1)
30
0
3
233
1
23
1
aa
aa
P
P
zP
P
P
zP
n
z
n
z
ok
ok
ok
Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2
Passaremos para a construção da tabela de Jury:
Como a ordem do sistema é 3, iremosanalisar até a 4a restrição.
Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2
Passaremos para a construção da tabela de Jury:
69,096,02010 bbbb n ok
Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Portanto, como todas as restrições possíveis
foram satisfeitas, concluímos que o sistema é estável.
Podemos ver essa mesma situação (sistema estável) ao fatorarmos a EC:
10
0
1
1
0)()1(
0)(
n
n
z
n
z
bb
aa
zP
zP
ok
)8,0()5,0()( 2 zzzP