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Page 1: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Controle Linear II

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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Seja o sistema de controle digital em malha

fechada apresentado na figura abaixo. Determine a resposta no tempo deste sistema a uma entrada degrau.

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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Como visto anteriormente, a função de

transferência em malha fechada do sistema é:

Sendo G(z) determinado por:

)(1

)(

)(

)(

zG

zG

zR

zC

Page 5: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Então, a função de transferência do sistema

será:

368,0368,1632,0

368,0368,1264,0368,0

368,0368,1264,0368,0368,0368,1

368,0368,1264,0368,0

)(

368,0368,1264,0368,0

1

368,0368,1264,0368,0

)(1

)()(

2

2

2

2

2

2

2

2

zzzzzz

z

zzzzz

zzz

zT

zzzzz

z

zG

zGzT

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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Então, a função de transferência do sistema

será:

Sendo a função degrau, na transformada Z, dada abaixo, a saída do sistema será:

632,0

264,0368,0)(

632,0

368,0368,1

368,0368,1

264,0368,0)(

2

2

2

2

zz

zzT

zz

zz

zz

zzT

1)(

z

zzR

1)()(

z

zzTzC

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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Saída do sistema:

O valor final de c(kT), quando k ∞:

...98,008,108,199,087,08,0

9,015,14,14,1368,0)(

)632,0632,12(

264,0368,0

1632,0

264,0368,0)(

13121110987

654321

23

2

2

zzzzzzz

zzzzzzzC

zzz

zz

z

z

zz

zzC

1632,0

632,0)()1(lim

1

zCzz

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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Simulação do sistema:

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Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada Simulação do sistema:

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Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z

Page 11: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z

Page 12: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z

Page 13: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z Matematicamente, também podemos

relacionar os pólos entre o plano-S e o plano-Z:

Seja a função de transferência de segunda ordem no plano-S:

Os pólos serão:

Esses pólos no plano-S serão equivalentes aos pólos do plano-Z:

Page 14: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Mapeamento entre Plano-S e Plano-Z

Com a relação dada no slide anterior, e

fazendo algumas manipulações matemáticas,

obtemos os parâmetros de coeficiente de

amortecimento, frequência natural e

constante de tempo para o sistema de

segunda ordem:22ln

1 rTn

22ln

ln

r

r

r

T

n ln

1

Coeficiente de amortecimento:

Frequência natural:

Constante de tempo:

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Equação Característica

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Equação Característica Considere o sistema de malha fechada

apresentado na figura abaixo:

A função de transferência do sistema é:

A equação característica (EC) do sistema é:

)(1

)()(

zGH

zGzT

0)(1 zGH As raízes da EC são os pólos da função de transferência em malha fechada.

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Exemplo Seja o sistema apresentado abaixo:

A função de transferência do sistema será:

A equação característica do sistema é:

632,0

264,0368,0

)(1

)(2

zz

z

zG

zG

0)618,05,0)(618,05,0(632,0

0)(12

jzjzzz

zG

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Exemplo Os pólos do sistema são complexos e localizados

em:

Com esses dados podemos obter o coeficiente de amortaecimento, a frequência natural e a constante de tempo do sistema:Lembrando que Logo,

rad 98,0795,051795,0618,05,0 jz

Trrz

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Exemplo Se compararmos os valores do coeficiente de

amortecimento, frequência natural e constante de tempo do sistema, veremos que os valores quando o controle é totalmente analógico difere dos valores quando o controle é digital. Isto se deve ao fato do período de amostragem ser alto.

s

sradn

36,4

/ 1919,0

25,0

s

sradn

2

/ 1

5,0

Page 20: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Exemplo Para que a amostragem não tenha efeito

sobre o sistema, o período de amostragem T deve ser muito menor do que a constante de tempo τ do sistema.

A razão τ/T é simplesmente o número de amostras por constante de tempo.

rT ln

1

1

T

ou

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Estabilidade de Sistemas Discretos

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Estabilidade de Sistemas Discretos Nesta seção será estudada a estabilidade de

sistemas de controle discretos no tempo.

Considere o seguinte sistema:

A estabilidade do sistema acima será determinada pela localização dos pólos em malha fechada no plano-Z:

)(1

)(

)(

)(

zGH

zG

zR

zC

)(1)( zGHzP

Page 23: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos Assim, tomando a EC do sistema analisamos:

Para o sistema ser estável, os pólos em malha fechada ou as raízes da EC devem estar dentro do círculo unitário no plano-Z. Qualquer pólo em malha fechada que estiver fora do círculo torna o sistema instável.

Se um único pólo estiver em z=1 (ou pólos complexos em |z|=1), o sistema se torna criticamente estável. Mais de um pólo em cima do círculo unitário torna o sistema instável.

Os zeros em malha fechada não afetam a estabilidade absoluta do sistema e portanto, podem estar localizados em qualquer lugar do Plano-Z.

)(1)( zGHzP

Page 24: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos Exemplo

Considere o sistema de controle da figura abaixo. Determine a estabilidade do sistema quando K =1.

Solução

)1(

11)(

sss

esG

Ts

)1)(3679,0(

2642,03679,0

)1(

11)(

zz

z

sss

eZzG

Ts

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Estabilidade de Sistemas Discretos Exemplo

Sendo a função de transferência em malha fechada,

A equação característica é:

)(1

)(

)(

)(

zG

zG

zR

zC

0)1)(3679,0(

2642,03679,0)1)(3679,0(

0)1)(3679,0(

2642,03679,01

0)(1

zz

zzz

zz

z

zG

Page 26: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos Exemplo

Equação Característica:

As raízes da EC são:

06321,0

02642,03679,0)1)(3679,0(

0)1)(3679,0(

2642,03679,0)1)(3679,0(

2

zz

zzz

zz

zzz

6181,05,0 jz

Como,

Logo, o sistema é estável.

121 zz

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Estabilidade de Sistemas Discretos – Testes de Estabilidade

Três testes de estabilidade podem ser aplicados

diretamente a equação característica, P(z) = 0,

sem ter que resolver as raízes dessa equação.

Esses testes são:

Teste de estabilidade Schur-Cohn

Teste de estabilidade Jury

Transformação bilinear (Critério de Routh-Hurwitz)

Page 28: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos – Testes de Estabilidade Os dois primeiros testes revelam a existência

de possíveis raízes instáveis ( raízes que se localizam fora do círculo unitário no plano Z);

Ambos os testes ( Schur-Cohn e Jury) podem ser aplicados a equações polinomiais com raízes reais ou complexas.

Entre os testes, daremos ênfase ao teste de estabilidade de Jury.

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Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Um critério de estabilidade para sistemas

discretos muito utilizado é o critério de Jury (ou teste de estabilidade de Jury).

O teste de Jury é aplicado a partir de uma equação característica P(z).

Uma tabela será construída sendo os elementos da tabela dados pelos coeficientes da equação característica P(z).

Page 30: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Seja a equação característica de um sistema

discreto expressa como:

0...)( 011

1 azazazazP nn

nn

A tabela para o teste de Jury é então formada como apresentada ao lado:

Page 31: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury As linhas “pares” da tabela são os elementos

da linha anterior, mas com a ordem invertida.

Já os elementos das linhas “ímpares” são formados a partir dos determinantes:

Page 32: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury As condições necessárias e suficientes para

que a EC P(z) não tenha raízes fora do círculo unitário são:

20

30

20

10

0

1

1

(3)

0)()1( (2)

0)( (1)

mm

dd

cc

bb

aa

zP

zP

n

n

n

n

z

n

z

O teste de Jury pode ser aplicado da seguinte maneira: Teste as três primeiras condições

(1), (2) e (3). Pare se uma dessas não for satisfeita.

Construa a tabela e teste as condições seguintes. Pare se uma das condições não for satisfeita.

Para sistemas de ordem n, serão necessárias um total de n+1 restrições.

Page 33: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2

Suponha que a eq. característica de um sistema discreto em malha fechada é dada pela expressão:

SoluçãoA ordem do sistema é 3 (n = 3).Para essa EC temos:

2,0

05,1

8,1

1

0

1

2

3

a

a

a

a

02,005,18,1)( 23 zzzzP

0)(

0...)(

01

12

23

3

011

1

azazazazP

azazazazP nn

nn

Page 34: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2

Primeiramente, iremos analisar as três primeiras condições:

12,0

(3)

005,4)1()1(

]2,0)1(05,1)1(8,1)1[()1()1(

0)()1( (2)

005,0)1(

2,0)1(05,1)1(8,1)1()1(

0)( (1)

30

0

3

233

1

23

1

aa

aa

P

P

zP

P

P

zP

n

z

n

z

ok

ok

ok

Page 35: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2

Passaremos para a construção da tabela de Jury:

Como a ordem do sistema é 3, iremosanalisar até a 4a restrição.

Page 36: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Exemplo 2

Passaremos para a construção da tabela de Jury:

69,096,02010 bbbb n ok

Page 37: Controle Linear II. Resposta no Tempo de Sistemas em Malha Fechada

Estabilidade de Sistemas Discretos – Teste de Estabilidade de Jury Portanto, como todas as restrições possíveis

foram satisfeitas, concluímos que o sistema é estável.

Podemos ver essa mesma situação (sistema estável) ao fatorarmos a EC:

10

0

1

1

0)()1(

0)(

n

n

z

n

z

bb

aa

zP

zP

ok

)8,0()5,0()( 2 zzzP


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