ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITAβ DI BOLOGNA SCUOLA DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA - Sede di ForlΓ¬ - CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Classe: L-9 ELABORATO FINALE DI LAUREA In Controlli Automatici
Controllo di un impianto ad aria
compressa per limitare gli avviamenti del compressore mediante regolatore
misto retroazione-azione in avanti CANDIDATO RELATORE Emanuele Pesaresi Prof. Ing. Matteo Zanzi Anno Accademico 2014/2015 Sessione II
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 2
Indice 1) Sommario e Obiettivi pag.4 2) Introduzione pag.5 2.1 Diagramma ππ β ππ del compressore pag.6-9 2.2 Grandezze note e grandezze calcolabili pag.10 3) Dimensionamento serbatoio di accumulo pag.11-12 4) Progetto del sistema di controllo 4.1 Regolazione dello spazio nocivo pag.13-25 4.2 Schema a blocchi dellβ impianto senza sistema di controllo di modifica del volume nocivo pag.26-27 4.3 Schema a blocchi dellβ impianto con sistema di controllo di modifica del volume nocivo pag.28 4.3.1 Introduzione ai blocchi: scelta dei parametri pag.29-31 4.3.2 Blocco del serbatoio di accumulo pag.32-33 4.3.3 Blocco del servo di posizione pag.34-37 4.3.4 Blocco del compressore pag.38-39 4.3.5 Blocco del regolatore pag.40-41 4.3.6 Blocco del flussimetro e del manometro pag.42 4.3.7 Blocco dellβutenza pag.43-44 4.4 Simulazione dellβ impianto senza sistema di controllo di modifica del volume nocivo pag.45-47 4.5 Simulazione dellβ impianto con sistema di controllo di modifica del volume nocivo pag.48-50 4.6 Perfezionamento dellβ impianto con sistema di controllo di modifica del volume nocivo pag.51-60 5) Risparmio economico 5.1 Scelta del motore elettrico del compressore pag.61-89
5.2 Scelta del motorino elettrico per la variazione del volume nocivo e di altre componenti del sistema pag.90-116
5.3 Analisi del risparmio economico pag.117-132 6) Soluzione alternativa per il sistema di controllo del volume nocivo pag.133-134 7)Conclusioni pag.135-137 8)Bibliografia pag.139
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 3
1) Sommario e Obiettivi In questo lavoro di tesi verrΓ presentato il progetto di un sistema di controllo della pressione dellβ aria compressa in un serbatoio. In particolare, dopo aver introdotto gli impianti ad aria compressa e mostrato i vari parametri di tali impianti, si vedrΓ un modo di progettare un sistema di controllo che permetta di inviare allβutenza una portata di aria che consenta di mantenere costante la pressione nel serbatoio di accumulo, dal quale lβ utenza preleva la portata. Il sistema permetterΓ di variare allβoccorrenza lo spazio nocivo (o volume nocivo) del compressore volumetrico dellβimpianto, in base a quanto volume dβaria viene richiesto ad ogni ciclo di mandata dallβ utenza (volume dβaria per ciclo o portata dβaria); in generale i compressori di questo tipo di impianti possono essere o volumetrici o rotativi, ma in questo lavoro di tesi ci si concentrerΓ su compressori volumetrici. Il sistema servirΓ a fare in modo come detto di mantenere la pressione nel serbatoio costante, per evitare dannose sovrappressioni al suo interno (o al contrario pressioni troppo basse), che con lβausilio di pressostati inducono lo spegnimento del compressore (pressioni troppo basse al contrario ne inducono lβ accensione se spento), con successivo riavviamento. Quindi il sistema aiuterΓ a limitare il piΓΉ possibile il numero di avviamenti, riducendo il consumo energetico dovuto alle correnti di spunto ed evitando di danneggiare il compressore. Per verificare il corretto funzionamento del sistema si utilizzerΓ un modello simulato del sistema di controllo della pressione nel serbatoio realizzato in ambiente software Simulink. VerrΓ infine anche quantificato il risparmio economico che si ottiene con lβintroduzione del sistema.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 4
2) INTRODUZIONE Un impianto ad aria compressa può essere così schematizzato:
Lβaria viene prelevata dallβ ambiente e filtrata (πΉπΉ). Eβ poi presente un polmone smorzatore (ππππ) che permette di evitare fenomeni di risonanza, il compressore (πΆπΆ), che in generale puΓ² essere o volumetrico (per piccole portate, alti rapporti di compressione) o rotativo (per grandi portate, bassi rapporti di compressione), ma come detto nel paragrafo 1 in questo lavoro di tesi si considereranno compressori volumetrici; a valle del compressore Γ¨ posizionata una valvola di sicurezza (ππππ), una valvola di non ritorno (ππππππ) per evitare flussi di ritorno, un refrigeratore (ππ) che permette di raffreddare lβaria e riportarla a temperatura ambiente dato che allβuscita dal compressore puΓ² raggiungere temperature anche elevate, uno scaricatore di condensa (ππππ), una valvola di non ritorno ed infine il serbatoio di accumulo, da cui lβutenza preleva lβaria. Il serbatoio a sua volta Γ¨ munito di: manometro, pressostato, valvola di sicurezza e valvole atte allo spurgo di polveri involute presenti nellβaria. Il pressostato comanda il compressore: qualora avvenga che la pressione nel serbatoio superi o sia inferiore ad una certa soglia, il compressore viene spento (in caso di sovrappressione) e in seguito riavviato quando la pressione ritorna in un range desiderato (in caso di pressione troppo bassa invece, il pressostato comanda lβ accensione del compressore o, qualora giΓ acceso, il compressore rimane acceso). Col progetto del sistema di controllo si cercherΓ di minimizzare il numero di avviamenti.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 5
2.1) Diagramma ππ β ππ del compressore Ciascun ciclo di aspirazione e mandata del compressore puΓ² essere rappresentato nel seguente diagramma πππππΈπΈπππππππππΈπΈπΈπΈ/πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ (condizioni termodinamiche dellβ aria presente nel cilindro del compressore) in cui il significato dei simboli Γ¨ chiarito nel seguito:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 6
mentre il compressore volumetrico puΓ² essere schematizzato come segue:
Nel diagramma ππ β ππ lβaspirazione parte dal punto 4 e termina al punto 1. Essa inizia dal punto 4 poichΓ©, essendo presente uno spazio nocivo (o volume nocivo) ππππ, allβ aspirazione lβaria che nel ciclo precedente era rimasta βintrappolataβ nel volume nocivo si espande, seguendo la legge della politropica ππππππ = ππππππππ, con πΈπΈ esponente che tiene conto del rendimento del compressore, non essendo la compressione e lβespansione adiabatiche. Per questo motivo il compressore aspira lβaria dal punto 4 fino al punto 1, alla pressione di aspirazione ππ0. Dal punto 1 al punto 2 avviene la compressione, che segue una legge analoga alla espansione: ππππππ = ππππππππ. Raggiunta la pressione di mandata ππ1, inizia ad aprirsi la valvola di scarico, che permette di mandare il volume βππ verso il serbatoio di accumulo, previa
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 7
refrigerazione e scarico di condensa. Lβespulsione del volume βππ termina al punto 3. Da 3 a 4 il volume contenuto nello spazio nocivo si espande come detto precedentemente e puΓ² cosΓ¬ iniziare il ciclo successivo. Chiamata ππππ la cilindrata del compressore, che Γ¨ data dalla superficie ππ del pistone per la corsa 2ππ (πΈπΈπΈπΈ πππππππππΈπΈ Γ¨ πππΈπΈ ππππππππππππ πππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππππππππ ππππ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ ππ) ππππ =ππ β 2ππ , sussistono le seguenti relazioni fra volume ππ1, ππ3, spazio nocivo ππππ e cilindrata: ππ1 = ππππ + ππππ ππ3 = ππππ Queste relazioni sono state anche evidenziate nel diagramma ππ β ππ del compressore, in quanto verranno utilizzate in seguito nel dimensionamento del serbatoio di accumulo e nei paragrafi successivi. Le fasi di aspirazione e di mandata, sono regolate da due valvole, una di aspirazione e una di mandata. La valvola di aspirazione mette in comunicazione il condotto di aspirazione ed il cilindro e si apre quando la pressione nel condotto di aspirazione Γ¨ superiore a quella del cilindro, mentre si chiude nel caso contrario. La valvola di mandata Γ¨ una valvola che mette in comunicazione il cilindro e il condotto di mandata e si apre automaticamente quando la pressione nel cilindro Γ¨ superiore a quella nel condotto di mandata, posta pari ad una pressione di riferimento ππππππππ. Lβ architettura delle due valvole Γ¨ molto semplice. La schematizzazione puΓ² essere la seguente:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 8
In figura Γ¨ rappresentata una valvola di aspirazione. La valvola si apre quando la pressione allβ interno del cilindro, diminuendo, raggiunge la pressione di aspirazione ππ0. Lβ equazione di taratura della valvola Γ¨ quindi: ππ0ππ2 = ππππππ1, dove ππππ Γ¨ la pressione che si ha nel condotto di aspirazione, in pratica pari a quella ambiente. Il segno di uguaglianza Γ¨ in realtΓ una approssimazione dato che per aprirsi la valvola, la forza ππππππ1 dovrΓ essere leggermente superiore alla forza ππ0ππ2. Dallβ equazione comunque, note ππ0 πΈπΈ ππππ, fissata una delle due superfici ππ1, ππ2, si ricava lβ altra superficie. Un discorso analogo vale per la valvola di mandata:
ππππππππ Γ¨ la pressione di riferimento che si ha nel condotto di mandata. La taratura della valvola anche in questo caso puΓ² essere fatta ponendo:
πππππππππ΄π΄2 = ππ1π΄π΄1
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 9
2.2) Grandezze note e grandezze calcolabili Le grandezze note sono: la pressione di aspirazione ππ0, la pressione di mandata ππ1, la lunghezza di biella πΈπΈ, il raggio di manovella ππ, la corsa del pistone ππ = 2ππ, la velocitΓ angolare della manovella ππ, il volume nocivo ππππ,il rendimento idraulico del compressore ππππππ, la superficie di base del pistone ππ, la cilindrata ππππ = ππ β 2ππ del compressore e la pressione iniziale nel serbatoio di accumulo πππ π 0, in pratica coincidente con quella ambiente. Viene poi fissata la sovrappressione massima ad ogni ciclo di mandata βππ, che permetterΓ di calcolare il volume del serbatoio di accumulo. Gli aumenti di pressione nel serbatoio sono dovuti al volume βππ inviato dal compressore ad ogni ciclo (o portata ππππ(ππ)), mentre le diminuzioni di pressione sono dovute al volume πππ’π’(ππ) che richiede lβutenza ad ogni ciclo (o portata πππ’π’(ππ)); qualora lβutenza richieda un volume troppo basso, col passare dei cicli si puΓ² raggiungere la sovrappressione massima fissata, facendo intervenire cosΓ¬ il pressostato che spegne il compressore. A partire dalle grandezze note Γ¨ possibile calcolare il volume del serbatoio di accumulo ππ, come si vedrΓ nel paragrafo 3 e lβesponente della politropica πΈπΈ. In tutti i calcoli, lβaria verrΓ considerata non solo un gas perfetto, cioΓ¨ un gas che segue la legge dei gas ππ β ππ = πΈπΈ β ππ β ππ (πΈπΈ = πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ ππππ πΈπΈπππΈπΈππ πππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππ,ππ =πππππππππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ πΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππ πππΈπΈππ πππΈπΈπππππΈπΈππππππ,ππ = πππΈπΈπΈπΈπππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈ,ππ =πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππππππΈπΈπππΈπΈππππ πππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππ,ππ = πππππΈπΈπππππππππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππ), ma anche un gas ideale, cioΓ¨ un gas avente calori specifici a pressione costante ππππ e volume costante πππ£π£ entrambi costanti. Per il calcolo di πΈπΈ:
ππππππ =πΈπΈπΈπΈππππππππ πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπΈπΈ πππππΈπΈππππ.πΈπΈπΈπΈππππππππ πππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπΈπΈ πππππΈπΈππππ. =
ππππ(ππ2ππππ β ππ1)ππππ(ππ2 β ππ1) =
ππ2ππππππ1
β 1
ππ2ππ1β 1
=οΏ½ππ2ππ1
οΏ½ππβ1ππβ 1
οΏ½ππ2ππ1οΏ½ππβ1ππβ 1
ππ =πππππππ£π£
ππ Γ¨ noto perchΓ© sono noti i calori specifici dellβ aria; lβunica incognita dellβequazione sopra Γ¨ πΈπΈ, esprimibile in funzione di parametri noti con semplici passaggi. Si ricava: πΈπΈ = 1
1βln οΏ½1+οΏ½ππ1ππ0
οΏ½ππβ1ππ οΏ½β1
lnοΏ½ππ1ππ0οΏ½
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 10
3) Dimensionamento serbatoio di accumulo Dimensionare il serbatoio significa determinarne il volume. Si propone nel seguito un metodo analitico di dimensionamento fissando la massima sovrappressione consentita ad ogni ciclo di mandata. Alla mandata del compressore, esce il volume βππ, che per il dimensionamento si riterrΓ lo stesso ad ogni ciclo, supposte costanti la velocitΓ angolare di manovella ππ e il volume nocivo. Progettando il sistema di controllo poi, βππ non sarΓ in generale costante, perchΓ© il sistema permetterΓ di variare il volume nocivo, e conseguentemente il volume inviato al serbatoio ad ogni ciclo. Il dimensionamento quindi dovrΓ servire a dare una dimensione di massima del serbatoio. Il volume βππ si troverΓ alla pressione di mandata ππ1 allβ arrivo al serbatoio (si trascurano le cadute di pressione che si hanno fra lβuscita dal compressore e lβarrivo al serbatoio, poichΓ© non sono rilevanti per la progettazione del sistema e possono essere aggiunte a posteriori), e quando arriverΓ al serbatoio causerΓ un aumento di pressione, ipotizzando che lβutenza rimanga chiusa. Si puΓ² porre tale aumento di pressione pari alla sovrappressione massima βππ. Quindi si puΓ² scrivere, supposto che lβespansione dellβaria nel serbatoio si possa considerare isoterma: ππ1 β Ξππ = Ξππ β ππ e quindi ππ = ππ1
Ξππ Ξππ.
Rimane da esprimere il volume Ξππ in funzione di grandezze note. Consideriamo le equazioni relative allβespansione e alla compressione dellβ aria (trasformazioni politropiche 1 β 2 πΈπΈ 3 β 4).
οΏ½ππ1ππ0
1ππ = ππ2ππ1
1ππ
ππ4ππ01ππ = ππ3ππ1
1ππ
Sottraendo la seconda equazione alla prima si perviene a:
(ππ1 β ππ4)ππ01ππ = (ππ2βππ3)ππ1
1ππ
Ma ππ1 = ππππ + ππππ e ππ2 β ππ3 = Ξππ
Quindi Ξππ = οΏ½ππ0ππ1οΏ½1ππ (ππππ + ππππ β ππ4)
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 11
Resta ancora indeterminato ππ4. ππ4 si suΓ² ricavare a partire dallβ equazione di espansione dal punto 3 al punto
4: ππ4ππ01ππ = ππ3ππ1
1ππ β ππ4 = οΏ½ππ1
ππ0οΏ½1ππ ππππ dato che ππ3 = ππππ.
Quindi il volume che il compressore invia al serbatoio sarΓ :
Ξππ = οΏ½ππ0ππ1οΏ½1ππ
(ππππ + ππππ β ππ4) = οΏ½ππ0ππ1οΏ½1ππ
[ππππ + ππππ β οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππππππ]
Da cui il volume del serbatoio di accumulo:
ππ =ππ1Ξππ Ξππ =
ππ1Ξππ οΏ½
ππ0ππ1οΏ½1ππ
[ππππ + ππππ β οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππππππ]
Lβ equazione che esprime il volume Ξππ:
Ξππ = οΏ½ππ0ππ1οΏ½1ππ
[ππππ + ππππ β οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππππππ]
verrΓ utilizzata nella progettazione del sistema di controllo, come si vedrΓ nei successivi paragrafi.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 12
4)Progetto del sistema di controllo 4.1) Regolazione dello spazio nocivo Per soddisfare le richieste dellβ utenza senza il rischio di incorrere in elevate sovrappressioni, che come giΓ messo in luce precedentemente causano stacchi e successivi riattacchi del compressore, si puΓ² realizzare un sistema di controllo che permetta di variare il volume nocivo del compressore alternativo, per poter variare se necessario il volume βππ inviato al serbatoio per ciascun ciclo (o portata volumetrica ππππ(ππ)). Per la regolazione dello spazio nocivo, una soluzione possibile (nel paragrafo 6 si vedrΓ una soluzione alternativa), Γ¨ quella di inserire un motorino elettrico dotato di 4 ruote, che puΓ² trascinare un blocco di forma parallelepipeda di massa ππ. Una schematizzazione puΓ² essere la seguente:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 13
Rispetto alla schematizzazione del compressore vista precedentemente, sono state apportate le seguenti modifiche: si Γ¨ aggiunto un motorino elettrico (πππΈπΈ), che puΓ² traslare lungo una guida orizzontale essendo accoppiato a 4 ruote di raggio ππ. Ad esso Γ¨ incastrata lβestremitΓ di unβ asta, che a sua volta ha lβaltra estremitΓ incastrata ad un blocchetto di massa ππ. Con lo spostamento del motorino elettrico lungo la guida, Γ¨ possibile variare lo spazio nocivo, e quindi il volume dβ aria inviato al serbatoio per ciclo. Il motorino elettrico conviene fasarlo in modo tale che esso si muova durante la fase di aspirazione, da quando inizia la discesa del pistone fino allβ arrivo al punto morto inferiore, quando termina lβ aspirazione e sta per iniziare la fase di compressione; il corretto fasamento di πππΈπΈ Γ¨ di estrema importanza perchΓ© in tal modo il motorino elettrico non deve compiere ulteriore lavoro per vincere la spinta dovuta alla pressione dellβ aria durante la fase di compressione. Questo consente di poter sottodimensionare il motorino elettrico, il quale necessiterΓ di un potenza nominale minore. Si vedrΓ piΓΉ avanti, nel paragrafo 5.2, come scegliere il motorino elettrico in base alla potenza elettrica richiesta. Anche la massa del blocchetto ππ ed il coefficiente di attrito tra guida e blocchetto, dovranno essere scelti opportunamente per fare in modo che la forza di attrito statico che la guida esercita sul blocchetto, piΓΉ come si vedrΓ nel paragrafo 5.2 la forza dovuta alla coppia di spunto che eroga il motorino, eguaglino la spinta dellβ aria durante la fase di compressione, dato che durante tale fase il volume nocivo deve rimanere costante e quindi il blocchetto non deve spostarsi per la spinta dovuta allβ aria; come operare tale scelta verrΓ mostrato nel paragrafo 5.2. Eβ necessario inoltre aggiungere che il motorino elettrico πππΈπΈ, da solo non Γ¨ sufficiente per la corretta modifica dello spazio nocivo; le ruote del motorino infatti, in generale possono dover variare il loro senso di rotazione per diminuire o aumentare lo spazio nocivo, mentre il motorino elettrico ha un solo senso di rotazione. Per questo motivo, si puΓ² dotare il motorino di un cambio a due ingranaggi, uno con rapporto di trasmissione positivo, mentre lβ altro negativo. Qualora lβ albero del motorino ruoti alla stessa velocitΓ dellβ albero delle ruote ad esso accoppiate, i rapporti di trasmissione risulterebbero +1 e -1. Dato che gli spostamenti del motorino devono essere molto rapidi (la regolazione infatti avviene da fine compressione a fine aspirazione), Γ¨ lecito considerare le due velocitΓ uguali in valore assoluto (e quindi rapporti di trasmissione +1 e -1). Il cambio Γ¨ ad azionamento automatico, azionamento che dipende dal volume nocivo che si ha in quel momento (quello del ciclo precedente) e dal volume nocivo che si vuole ottenere (quello del ciclo successivo), il quale a
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 14
sua volta dipende dalle richieste di portata dellβ utenza, con una relazione biunivoca che verrΓ ricavata nel paragrafo 4.3.3. Se il volume nocivo che si vuole ottenere, Γ¨ minore del volume nocivo modificato al ciclo precedente, le ruote dovranno ruotare in un verso, viceversa dovranno ruotare nel verso opposto. Eβ necessario infine frenare le ruote accoppiate al motorino elettrico una volta in moto con un freno, il quale deve agire in modo da fermare le ruote del motorino una volta disinserito il cambio, nella posizione in cui si abbia il volume nocivo desiderato. Allβ interno di πππΈπΈ nellβ ultima figura mostrata, Γ¨ contenuto quindi il cambio a due ingranaggi e il freno. Un disegno che illustra in maniera semplificata come devono essere fatti freno e cambio, puΓ² essere il seguente:
Lβ asse del motorino elettrico πππΈπΈ, riportato in alto nella figura, ha due ruote dentate su di esso calettate, le quali ingranando con le altre ruote formano le marce 1 πΈπΈ 2. La marcia 1 Γ¨ quella che inverte il senso di rotazione, poichΓ© ingrana direttamente con la ruota dentata accoppiata allβ albero delle ruote (albero secondario). La marcia 2 Γ¨ quella che mantiene lo stesso verso di rotazione, poichΓ© non ingrana direttamente con una ruota dentata dellβ albero secondario, ma
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 15
ingrana prima con una ruota oziosa, la quale poi trasmette il moto alla ruota dentata dellβ albero secondario. Dato che si considerano rapporti di trasmissione unitari (positivi per mantenere il senso di rotazione o negativi per invertirlo), le ruote dentate accoppiate ai due alberi devono avere la stessa dimensione (stesso raggio), mentre la dimensione della ruota oziosa Γ¨ ininfluente. Le ruote dentate accoppiate allβ albero secondario sono montate a folle sullβ albero, e non calettate, perchΓ© Γ¨ lβ innesto che le rende solidali allβ albero al momento opportuno, decidendo cosa fare in base al segnale di retroazione. Nella prima figura di questo paragrafo si Γ¨ indicata con π₯π₯ la posizione del motorino elettrico; alla posizione π₯π₯ = 0, corrisponde il volume nocivo nominale ππππ. Ξ© Γ¨ invece la velocitΓ angolare delle ruote accoppiate al motorino elettrico (che in valore assoluto Γ¨ pari a quella del motorino πππΈπΈ), mentre ππππ
ππππ Γ¨ la
velocitΓ di traslazione lungo la guida orizzontale. Detto ππ il raggio delle ruote del motorino, fra Ξ© e ππππ
ππππ vale la relazione ππππ
ππππ= Ξ©R;
Quando il motorino elettrico viene alimentato da una tensione ππ (in pratica quando Γ¨ acceso), lβenergia elettrica viene convertita in energia meccanica di rotazione dellβ albero del motorino πππΈπΈ, che assume velocitΓ angolare (variabile nel tempo, fino al raggiungimento di un valore di regime) Ξ©ππ; qualora il cambio ad ingranaggi sia inserito, le ruote del motorino potranno avere velocitΓ a seconda dei due casi: Ξ© = +Ξ©ππ o Ξ© = βΞ©ππ. Nel seguito si ragionerΓ a cambio inserito. Si puΓ² determinare una funzione di trasferimento del motorino elettrico (πππΈπΈ), che a un certo ingresso (tensione) ππ fa corrispondere un volume nocivo modificato ππππβ². Per determinarla occorre prima analizzare lo schema di un motore elettrico (caso di un motore a corrente continua a eccitazione indipendente):
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 16
Il motore Γ¨ caratterizzato da una resistenza di armatura ππππ e unβ induttanza πΏπΏ. Quando viene alimentato dalla tensione ππ, nasce una corrente elettrica ππ e una forza controelettromotrice πΈπΈ, proporzionale alla velocitΓ angolare del motorino, che Γ¨ pari a quella delle ruote Ξ© per le considerazioni fatte: πΈπΈ = πΎπΎ Ξ© (Ξ© presa con segno positivo). La forza controelettromotrice πΈπΈ, Γ¨ dimensionalmente una tensione, la quale si oppone alla rotazione delle ruote. I parametri ππππ, πΏπΏ e il rendimento di conversione dellβ energia elettrica in energia meccanica ππππ, sono noti una volta scelto il motorino elettrico πππΈπΈ. Si possono scrivere due equazioni riferite allo schema del motorino πππΈπΈ: una Γ¨ data dallβapplicazione della legge delle maglie, e lβ altra dal principio di conservazione dellβ energia. Nella seconda equazione si trascurerΓ in un primo momento lβattrito sul blocchetto di massa ππ, che verrΓ aggiunto successivamente.
Le equazioni sono: οΏ½ππ(ππ) β ππππ β ππ(ππ) β πΏπΏ β ππππ(ππ)
ππππβ πΎπΎΞ©(ππ) = 0
πΈπΈ(ππ) β ππ(ππ) β ππππ = πππππποΏ½12β (πΈπΈ + πΈπΈππππ + ππ) β Ξ©(t)2 β ππ2οΏ½
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 17
La seconda equazione dice che la potenza elettrica, si trasforma, a meno delle perdite di conversione elettro-meccanica di cui si tiene conto con il rendimento elettrico ππππ, in energia cinetica dellβ insieme πππΈπΈπππππΈπΈ πππΈπΈπΈπΈ πΈπΈπππππππππππΈπΈππ +πΈπΈπππππππππππΈπΈππ + πππΈπΈππππππβπΈπΈππππππ. Si Γ¨ trascurata la potenza resistente dovuta allβattrito fra blocchetto e guida orizzontale e lβattrito volvente fra ruote del motorino elettrico e guida orizzontale. Si vedrΓ piΓΉ avanti come tenerne conto. La pressione dellβ aria, dato che la modifica avviene durante lβ aspirazione, genera delle forze che tenderebbero a risucchiare allβ interno del cilindro il blocchetto di massa ππ insieme al motorino elettrico, ma dato che la pressione di aspirazione Γ¨ molto vicina al valore della pressione ambiente ππππ che si ha nel condotto di aspirazione, tali forze possono essere trascurate, per cui essa non verrΓ considerata. Con πΈπΈ si Γ¨ indicata la massa di tutte e quattro le ruote del motorino e con πΈπΈππππ la massa del πΈπΈπππππππππππΈπΈππ + πππΈπΈπΈπΈππππππ πΈπΈππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈππππππ + πππππΈπΈπΈπΈππ (in pratica tutte le masse contenute allβ interno della βscatolaβ denominata πππΈπΈ nella prima figura mostrata in questo paragrafo, massa della βscatolaβ compresa). Dalla seconda equazione, tenuto conto che: πΈπΈ(ππ) = πΎπΎΞ©(ππ), sviluppando si trova: ππ(ππ)=(ππ+ππππππ+ππ)π π 2
πππππΎπΎππΞ©(ππ)ππππ
, e sostituendo nella prima equazione: ππ(ππ)β ππππ β
(ππ+ππππππ+ππ)π π 2
πππππΎπΎππΞ©(ππ)ππππ
β πΏπΏ β (ππ+ππππππ+ππ)π π 2
πππππΎπΎππ2Ξ©(ππ)ππππ2
β πΎπΎΞ©(ππ) = 0 Ora si pongono le seguenti sostituzioni: πΈπΈ1 = (ππ+ππππππ+ππ)π π 2π π ππ
πππππΎπΎ e πΈπΈ2 = (ππ+ππππππ+ππ)π π 2πΏπΏ
πππππΎπΎ
e quindi si puΓ² scrivere: ππ(ππ)β πΈπΈ1
ππΞ©(ππ)ππππ
β πΈπΈ2ππ2Ξ©(ππ)ππππ2
β πΎπΎΞ©(ππ) = 0 Passando alle trasformate di Laplace lβequazione diventa: ππ(ππ) β πΈπΈ1ππΞ©(ππ) β πΈπΈ2ππ2Ξ©(ππ) β πΎπΎΞ©(ππ) = 0 da cui:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 18
Ξ©(ππ)ππ(ππ) =
1πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ
Essa rappresenta la funzione di trasferimento del motore. Ricordando che: ππππ(ππ)
ππππ= Ξ©(t)R β s β x(s) = Ξ©(s)R,
si puΓ² ricavare anche la funzione di trasferimento tra la tensione ππ(ππ) e la posizione del motorino elettrico rispetto alla guida orizzontale x(s):
x(ππ)ππ(ππ) =
ππ(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ
La funzione di trasferimento tra posizione π₯π₯(ππ) del blocchetto di massa ππ e spazio nocivo modificato ππππβ², Γ¨ ricavabile dalla seguente equazione:
ππππβ² (ππ) = ππππβ² (ππ β ππ) + π΄π΄ππ β π₯π₯(ππ) dove con π΄π΄ππ si Γ¨ indicata lβ area di base del blocchetto di massa ππ di forma parallelepipeda e ππ = 2ππ
ππ Γ¨ il tempo di ciclo, quindi ππππβ² (ππ β ππ) rappresenta lo
spazio nocivo modificato del ciclo precedente. Considerando una relazione infinitesima si ha anche:
ππππππβ² (ππ) = π΄π΄ππ β πππ₯π₯(ππ) e quindi
ππππππβ² (ππ)ππππ
= π΄π΄ππ βπππ₯π₯(ππ)ππππ
per cui, trasformando secondo Laplace:
ππ β ππππβ² (ππ) = π΄π΄ππ β ππ β π₯π₯(ππ) β ππππβ² (ππ) = π΄π΄ππ β π₯π₯(ππ) βππππβ² (ππ)ππ(ππ) =
πππ΄π΄ππ(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ
Una semplificazione considerata Γ¨ stata, come giΓ specificato, lβ attrito fra blocchetto e guida orizzontale e lβattrito volvente fra ruote del motorino elettrico e guida orizzontale. Per quanto riguarda la spinta dellβ aria, la pressione in generale Γ¨ funzione del tempo perchΓ© varia ciclicamente, ma nella modellazione matematica non deve essere introdotta grazie al fatto che, come detto, la modifica dello spazio nocivo avviene durante tutta la fase di aspirazione per fare in modo
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 19
che il motorino elettrico non debba effettuare sforzi eccessivi, potendo trascurare il contributo della spinta dellβ aria. Per tenere conto degli attriti volvente e radente bisogna riformulare la seconda equazione utilizzata per la costruzione del modello matematico del motorino elettrico. Lβequazione Γ¨ stata scritta nel seguente modo:
πΈπΈ(ππ) β ππ(ππ) β ππππ =ππππππ οΏ½
12 β (πΈπΈ + πΈπΈππππ + ππ) β Ξ©(t)2 β ππ2οΏ½
Eβ necessario aggiungere una potenza resistente ππππ generata dagli attriti. Lβequazione generale della conservazione dellβ energia va scritta infatti nella seguente forma:
ππππ(ππ) β ππππ(ππ) =ππππ(ππ)ππππ
dove con ππππ(ππ) si Γ¨ indicata la potenza motrice agente sul sistema, che Γ¨ dovuta alla potenza elettrica del motorino a meno del rendimento di conversione in energia meccanica (ππππ(ππ) = πΈπΈ(ππ) β ππ(ππ) β ππππ), mentre con ππ(ππ) lβenergia cinetica del sistema, che altro non Γ¨ che lβenergia cinetica dellβ insieme πΈπΈπππππππππππΈπΈππ πππΈπΈ + πππΈπΈπππππΈπΈ + πππΈπΈπΈπΈππππππ + πππππΈπΈπΈπΈππ + πππΈπΈππππππβπΈπΈππππππ:
ππ(ππ) =12 β (πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ) β Ξ©(t)2 β ππ2
Per il calcolo della potenza resistente ππππ(ππ), Γ¨ sufficiente considerare la definizione di potenza, supposto di considerare un sistema discreto:
ππππ(ππ) = οΏ½πΉπΉπ€π€οΏ½οΏ½β ππ
ππ=1
β πππ€π€οΏ½οΏ½οΏ½β
dove πΉπΉπ€π€οΏ½οΏ½β Γ¨ lβ ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ vettore forza agente sul sistema che provoca un moto con velocitΓ πππ€π€οΏ½οΏ½οΏ½β dellβ ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ componente del sistema. Definiti πππ£π£ e πππ π rispettivamente il coefficiente di attrito volvente e il coefficiente di attrito di strisciamento, la potenza resistente si puΓ² esprimere come:
ππππ(ππ) = πππ π ππππ β Ξ©(t)ππ + πππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππ β Ξ©(t)ππ dove con πΈπΈππππ si Γ¨ indicata la massa del motorino elettrico πππΈπΈ piΓΉ quella di freno e cambio.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 20
πππ π non Γ¨ in realtΓ costante, infatti puΓ² assumere due valori: Γ¨ pari al coefficiente di attrito statico quando le ruote sono ancora in aderenza alla guida orizzontale (Ξ©(t) = 0), mentre Γ¨ pari al coefficiente di attrito dinamico quando cβΓ¨ strisciamento. Lβequazione generale allora diventa:
πΈπΈ(ππ) β ππ(ππ) β ππππ β πππ π ππππ β Ξ©(t)ππ β πππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππ β Ξ©(t)ππ =ππππππ οΏ½
12β (πΈπΈ + πΈπΈππππ + ππ) β Ξ©(t)2 β ππ2οΏ½ β
β πΎπΎΞ©(t) β ππ(ππ) β ππππ β πππ π ππππ β Ξ©(t)ππ β πππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππ β Ξ©(t)ππ = (πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)Ξ©(t)ππ2
ππΞ©(ππ)ππππ
da cui si puΓ² semplificare Ξ©(t):
πΎπΎ β ππ(ππ) β ππππ β πππ π ππππππ β πππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ = (πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2ππΞ©(ππ)ππππ
β
β ππ(ππ) βπππ π πππππππππππΎπΎ
βπππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎ=
(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2
πππππΎπΎππΞ©(ππ)ππππ
Ora si puΓ² porre: ππ(ππ) = ππ(ππ) β πππ π πππππ π
πππππΎπΎβ πππ£π£(ππππππ+ππ)πππ π
πππππΎπΎ
Quindi si ricava una equazione formalmente analoga allβ equazione scritta senza considerare lβattrito: ππ(ππ) = (ππππππ+ππ+ππ)π π 2
πππππΎπΎππΞ©(ππ)ππππ
Anche la prima equazione del modello matematico del motorino elettrico, la quale rimane valida anche nel caso con attrito, puΓ² essere riscritta in una forma analoga allβ ultima equazione ricavata. Infatti, lβequazione era stata scritta nel seguente modo:
ππ(ππ) β ππππ β ππ(ππ)β πΏπΏ βππππ(ππ)ππππ β πΎπΎΞ©(ππ) = 0
Dato che ππ(ππ) e ππ(ππ) differiscono per una costante si puΓ² sostituire a ππππ(ππ)
ππππ il
termine ππππ(ππ)ππππ
. Si puΓ² poi sommare e sottrarre il seguente termine:
+πππππππ π πππππππππππΎπΎ
+ πππππππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎ
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 21
E quindi riscrivere:
ππ(ππ) β πππππππ π πππππππππππΎπΎ
β πππππππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎβ ππππ β ππ(ππ) β πΏπΏ β
ππππ(ππ)ππππ
β πΎπΎΞ©(ππ) = 0
Ponendo:
ππ(ππ) = ππ(ππ) β πππππππ π πππππππππππΎπΎ
β πππππππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎ
si ricava: ππ(ππ) β ππ β ππ(ππ) β πΏπΏ β ππππ(ππ)
ππππβ πΎπΎΞ©(ππ) = 0
Quindi tenendo conto dellβattrito le equazioni del motorino elettrico diventano:
β©βͺβ¨
βͺβ§ππ(ππ) β ππππ β ππ(ππ)β πΏπΏ β
ππππ(ππ)ππππ β πΎπΎΞ©(ππ) = 0
ππ(ππ) =(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2
πππππΎπΎππΞ©(ππ)ππππ
le quali hanno la stessa forma del modello matematico senza attrito:
β©β¨
β§ππ(ππ) β ππππ β ππ(ππ)β πΏπΏ βππππ(ππ)ππππ β πΎπΎΞ©(ππ) = 0
ππ(ππ) =(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2
πππππΎπΎππΞ©(ππ)ππππ
Per cui per considerare anche lβattrito basta sostituire al posto di ππ(ππ) la funzione ππ(ππ) e al posto di ππ(ππ) la funzione ππ(ππ). Ne consegue che anche lo schema a blocchi mantiene la stessa forma e quindi anche le funzioni di trasferimento in modo analogo. La funzione di trasferimento nel caso con attrito Γ¨ la seguente:
x(ππ)
ππ(ππ)=
ππ(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ
Dato che:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 22
ππ(ππ) = ππ(ππ) β πππππππ π πππππππππππΎπΎ
β πππππππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎ
posto:
πΈπΈ3 = πππππππ π πππππππππππΎπΎ
+ πππππππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎ
si puΓ² scrivere:
ππ(ππ) = ππ(ππ)β πΈπΈ3 quindi:
ππ(ππ) = ππ(ππ) βπΈπΈ3ππ
e sostituendo nella equazione:
x(ππ)
ππ(ππ)=
ππ(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ
si ottiene:
π₯π₯(ππ) =ππ
(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ ππ(ππ) β
ππ β πΈπΈ3(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ2
Rispetto al caso senza attrito si Γ¨ aggiunta la funzione:
ππ β πΈπΈ3(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ2
di cui bisogna notare il polo di molteplicitΓ 2 nellβ origine. Poli di molteplicitΓ >1 sullβ asse immaginario causano instabilitΓ in un sistema perchΓ© tornando nel dominio nel tempo con lβantitrasformata di Laplace si vede che a regime la risposta tende allβinfinito. Si ha infatti nel caso in questione (non considerando per il momento il termine: π π
(ππ2π π 2+ππ1π π +πΎπΎ)π π ππ(ππ)):
limππβ+β
π₯π₯(ππ) = ββ CiΓ² avviene perchΓ©, se si esprime la funzione in fratti semplici, si ha:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 23
ππ β πΈπΈ3(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ2 =
ππ1ππ2 +
ππ2ππ +
ππ3ππ β ππ1
+ππ4
ππ β ππ2
con ππ1,ππ2,ππ3,ππ4 residui della funzione determinabili analiticamente, ππ1 πΈπΈ ππ2 poli della funzione e zeri del polinomio πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ; per tornare nel dominio nel tempo si antitrasforma secondo Laplace:
π₯π₯(ππ) = βββ1 οΏ½ππ1ππ2 +
ππ2ππ +
ππ3ππ β ππ1
+ππ4
ππ β ππ2οΏ½ = βπΈπΈ(ππ)(ππ1ππ + ππ2 + ππ3πΈπΈππ1ππ + ππ4πΈπΈππ2ππ)
Come si vede, per ππ β +β il contributo della rampa manda la risposta a divergere allβ infinito. A seconda del segno della parte reale dei poli ππ1 πΈπΈ ππ2, anche gli esponenziali ππ3πΈπΈππ1ππ , ππ4πΈπΈππ2ππ potrebbero divergere, ma nel caso in questione convergono perchΓ© i coefficienti πΈπΈ2, πΈπΈ1,πΎπΎ del polinomio πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ sono tutti positivi, che implica che i suoi zeri, ππ1 πΈπΈ ππ2 debbono conseguentemente avere parte reale negativa per il criterio di Routh. CiΓ² che Γ¨ evidente, Γ¨ che per βcolpaβ dellβattrito bisognerΓ agire in modo da rendere il sistema stabile, scegliendo per esempio una tensione di alimentazione del tipo: ππ(ππ) = πΈπΈ3 + ππβ(ππ), in modo da annullare gli effetti dellβ attrito, infatti in tal caso si avrebbe:
π₯π₯(ππ) =ππ
(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ ππ(ππ) β
ππ β πΈπΈ3(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ2 =
=ππ
(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ οΏ½πΈπΈ3ππ + ππβ(ππ)οΏ½ β
ππ β πΈπΈ3(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ2 =
=ππ
(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ ππβ(ππ)
che equivale a:
ππππβ² (ππ)ππβ(ππ) =
πππ΄π΄ππ(πΈπΈ2ππ2 + πΈπΈ1ππ + πΎπΎ)ππ
quindi non si avrebbe piΓΉ lβ instabilitΓ legata allβ attrito e il sistema, rappresentato dalla funzione di trasferimento π π π΄π΄ππ
(ππ2π π 2+ππ1π π +πΎπΎ)π π risulta stabile.
Le relazioni utilizzate per ricavare la funzione di trasferimento: ππππ
β² (π π )ππβ(π π )
=π π π΄π΄ππ
(ππ2π π 2+ππ1π π +πΎπΎ)π π si riferiscono al caso di un motore a corrente continua a
eccitazione indipendente (lβ equazione delle maglie di Kirchhoff, mentre lβ
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 24
equazione dellβ energia Γ¨ generale). In generale comunque, vale una relazione simile tra spazio nocivo e tensione di alimentazione del motorino, del tipo:
ππππβ² (ππ)ππβ(ππ) = πΊπΊ(ππ)
dove la funzione πΊπΊ(ππ) svolge un ruolo piΓΉ generale della funzione
π π π΄π΄ππ(ππ2π π 2+ππ1π π +πΎπΎ)π π
. Nello schema a blocchi tuttavia, non verrΓ utilizzata la funzione di trasferimento vista sopra per il motore, perchΓ© la tensione di alimentazione ππ(ππ) non Γ¨ modificabile nel modello introdotto, ma come si vedrΓ si utilizzerΓ una funzione piΓΉ semplice (si vedrΓ nel paragrafo 4.3.3). Inoltre, negli schemi di controllo che verranno riportati, non saranno considerati i seguenti aspetti: le valvole di non ritorno e di sicurezza, il refrigeratore e lo scaricatore di condensa, in quanto non necessari per il corretto funzionamento del sistema. Si Γ¨ inoltre supposto che lβaria, allβ uscita dal compressore, si mantenga alla pressione di mandata ππ1 fino allβ arrivo nel serbatoio di accumulo. Ovviamente, si hanno delle perdite di carico nel condotto che implicano delle cadute di pressione; di tali perdite se ne puΓ² tenere conto nota la geometria e scabrezza delle condotte, oltre alla velocitΓ dellβaria, ma non tenerne conto non altera lβ implementazione del sistema; si possono aggiungere a posteriori senza problemi di alcun tipo.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 25
4.2 Schema a blocchi dellβ impianto senza il sistema di controllo di modifica del volume nocivo Lβ impianto visto nellβ introduzione, Γ¨ stato cosΓ¬ schematizzato con Simulink:
Il contenuto dei vari blocchi verrΓ approfondito nel successivo paragrafo; trattandoli come scatole nere per il momento, si puΓ² vedere come al blocco denominato come βπππΈπΈππβ entri un input (πππΈπΈ1), che scaturisce dalla differenza tra la pressione di riferimento che si vorrebbe avere nel serbatoio (ππ_ππππππ) e la pressione che si ha effettivamente nel serbatoio (πππ π ), misurata con manometro. CiΓ² che esce Γ¨ un output (πππΈπΈππ1), il quale altro non Γ¨ che la velocitΓ angolare ππ del compressore, che puΓ² assumere valore nullo oppure essere pari al valore di progetto. Quindi la differenza di pressione comanda lβacceso o spento del compressore e il blocco βπππΈπΈππβ rappresenta il motore elettrico del compressore. I blocchi denominati come βπππππππππΈπΈβ servono esclusivamente per graficare gli andamenti delle grandezze appartenenti ai rami a cui tali blocchi sono collegati.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 26
La velocitΓ angolare ππ uscente dal regolatore βπππΈπΈππβ comanda il compressore insieme al blocco πππππΈπΈπ π ππππ_πΈπΈππππ_πΈπΈπππΈπΈπππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ, che rappresenta lo spazio nocivo (che in questo caso Γ¨ fisso, posto uguale a 0.12 πΈπΈ3. La scelta dei numeri utilizzati per i vari parametri verrΓ motivata nel paragrafo 4.3.1). Allβ uscita dal compressore esce la portata volumetrica ππππ riferita alla pressione di mandata ππ1, che a sua volta comanda il serbatoio, assieme alla portata richiesta dallβ utenza πππ’π’, riferita alla pressione dellβ utenza, che Γ¨ ragionevolmente pari alla pressione iniziale nel serbatoio πππ π 0. CiΓ² che esce dal serbatoio Γ¨ la pressione πππ π che giungerΓ poi al comparatore, il quale la paragonerΓ alla pressione di riferimento ππ_ππππππ e rinizierΓ cosΓ¬ un nuovo ciclo. Fra un ciclo e il successivo passa il tempo 2ππ
ππ, mentre il tempo che passa tra
un controllo e il successivo al comparatore Γ¨ pari al tempo di simulazione (scelto pari a 0.01 ππ).
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 27
4.3 Schema a blocchi dellβ impianto con il sistema di controllo di modifica del volume nocivo Allo schema del paragrafo precedente, viene aggiunta una ulteriore retroazione. Se ne riporta lo schema:
Lβ input numero 1 del compressore (πππΈπΈ1), che rappresenta lo spazio nocivo, questa volta non Γ¨ fisso, ma esce dal blocco denominato βπππΈπΈππππππ_ππππ_ππππππβ che Γ¨ un servo di posizione. Il servo di posizione ha due input: uno Γ¨ la portata che richiede lβutenza πππ’π’ e lβaltro Γ¨ dato dalla differenza tra ππππππππ e πππ π , che viene chiamata β²πΈπΈβ² e sta per errore: πΈπΈ = ππππππππ β πππ π . La portata πππ’π’ quindi non solo entra come input nel serbatoio, ma viene anche retrazionata per entrare come input nel servo di posizione. Prima di entrare nel servo di posizione, la πππ’π’ viene misurata con un flussimetro, che serve per convertire il segnale misurato in un segnale in tensione. Si analizzeranno ora in dettaglio i blocchi presenti nello schema, previa introduzione sulla scelta dei valori numerici dei parametri.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 28
4.3.1 Introduzione ai blocchi: scelta dei parametri La scelta dei valori numerici dei parametri da utilizzare nel modello Simulink Γ¨ ovviamente non univoca e non influenza il corretto funzionamento del sistema. Tuttavia, Γ¨ necessario avere dei numeri di riferimento per poter avviare le simulazioni e testare il sistema. Si mostrerΓ quindi una delle infinite scelte possibili. La pressione di aspirazione del compressore ππ0 Γ¨ stata posta: ππ0 = 0.5 πππΈπΈππ, scelta basata sul fatto che la pressione deve essere inferiore a quella ambiente (1 πππΈπΈππ) . Il valore scelto per la pressione di mandata ππ1 Γ¨ stato ππ1 = 10 πππΈπΈππ, valore molto alto per un solo stadio di compressione e di fatto irrealizzabile, perΓ² puΓ² essere utile per la simulazione perchΓ© sottopone il sistema a condizioni critiche, per cui, qualora il sistema si comporti bene in condizioni critiche, a maggior ragione si comporterΓ bene anche per valori piΓΉ bassi di ππ1. La pressione iniziale del serbatoio di accumulo πππ π 0 Γ¨ stata posta pari alla pressione ambiente: πππ π 0 = 1 πππΈπΈππ. Essa Γ¨ anche la pressione a cui lβutenza richiede la portata πππ’π’. Si Γ¨ scelta poi la superficie del pistone del compressore πππππππ π ππππππππ pari a 2 πΈπΈ2, che Γ¨ un valore grande, ma che permette di valutare meglio gli incrementi di pressione nel serbatoio, sottoponendo il sistema a condizioni critiche, come nel caso di ππ1. La corsa ππ Γ¨ stata presa pari a 1 πΈπΈ e conseguentemente il raggio di manovella risulterΓ pari a 50 πππΈπΈ. Quindi la cilindrata ππππ sarΓ pari a 2 πΈπΈ3. La velocitΓ angolare della manovella e quindi del compressore Γ¨ stata considerata pari a 25 πππΈπΈππ ππβ , cioΓ¨ πππππππππΈπΈ 239 πππππΈπΈ, che Γ¨ un valore di velocitΓ nΓ¨ troppo alto nΓ© troppo basso. Eβ necessario inoltre aggiungere che la pressione di riferimento ππππππππ, la quale viene paragonata al comparatore alla pressione effettiva nel serbatoio πππ π , Γ¨ stata scelta pari a 1.5 πππΈπΈππ, che Γ¨ un valore basso. Infatti per il fatto che lβaria viene compressa a una pressione di 10 πππΈπΈππ, sarebbe stato sufficiente scegliere un compressore con una pressione di mandata piΓΉ bassa (minimizzando i costi) dato che si desidera mantenere il serbatoio ad una pressione massima pari a circa 1.5 πππΈπΈππ. Tuttavia, questo Γ¨ un modo per
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 29
testare il sistema in condizioni piΓΉ critiche, e quindi qualora funzioni bene in tali condizioni, funzionerebbe bene a maggior ragione in condizioni meno limitanti, scegliendo un valore di ππππππππ superiore. Eβ stato poi considerato un rendimento isoentropico ππππππ del compressore pari allβ 85%, la costante ππ dellβaria pari a 1.4, uno spazio nocivo minimo ππππππππππ, che per costruzione non Γ¨ riducibile oltre a circa il 4% della cilindrata ed Γ¨ quindi pari a 0.08 πΈπΈ3, uno spazio nocivo nominale ππππ pari a 0.12 πΈπΈ3 e un esponente della compressione reale πΈπΈ pari a circa 1.466, calcolabile come visto nel paragrafo 2.2. Esiste anche uno spazio nocivo massimo ππππππππππ, dovuto al fatto che il volume inviato per ciclo dal compressore, come visto pari a:
Ξππ = οΏ½ππ0ππ1οΏ½1ππ [ππππ + ππππ β οΏ½ππ1
ππ0οΏ½1ππ ππππ], deve risultare sempre β₯ 0.
Ponendo Ξππ = 0 si puΓ² ricavare ππππππππππ:
ππππ + ππππππππππ β οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππππππππππππ = 0 β ππππππππππ =
ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1
Calcolandolo, risulta pari a circa 0.30 πΈπΈ3. Infine, rimane da calcolare il volume del serbatoio, che come visto nel paragrafo 3 si puΓ² calcolare con la formula:
ππ =ππ1Ξππ οΏ½
ππ0ππ1οΏ½1ππ
[ππππ + ππππ β οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππππππ]
considerando lo spazio nocivo fisso, pari al valore nominale e un aumento di pressione nel serbatoio pari a Ξππ (si considerano inoltre, come giΓ detto, le utenze chiuse, ossΓ¬a πππ’π’ = 0 πΈπΈ3 ππβ ). Scegliendo Ξππ pari a 0.2 πππΈπΈππ, risulta ππ =7.7 πΈπΈ3. In definitiva, i parametri scelti sono qui indicati:
ππ0 = 0.5 πππΈπΈππ ππ1 = 10 πππΈπΈππ πππ π 0 = 1 πππΈπΈππ
πππππππ π ππππππππ = 2 πΈπΈ2 ππ = 50 πππΈπΈ β ππ = 2ππ = 1 πΈπΈ ππππ = πππππππ π ππππππππ β 2ππ = 2 πΈπΈ3 ππ = 239 πππππΈπΈ = 25 πππΈπΈππ ππβ
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 30
ππππππππ = 1.5 πππΈπΈππ ππππππ = 85% ππ =
πππππππ£π£
= 1.4
ππππππππππ = 4% ππππ = 0.08 πΈπΈ3 ππππ = 0.12 πΈπΈ3
πΈπΈ =
1
1 βlnοΏ½1 + οΏ½ππ1ππ0
οΏ½ππβ1πποΏ½ β 1
ln οΏ½ππ1ππ0οΏ½
= 1.466
ππππππππππ =ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1
β 0.30 πΈπΈ3
Ξππ = 0.2 πππΈπΈππ
ππ = ππ1Ξππ οΏ½
ππ0ππ1οΏ½1πποΏ½ππππ + ππππ β οΏ½
ππ1ππ0οΏ½1πππππποΏ½ = 7.7 πΈπΈ3
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 31
4.3.2 Blocco del serbatoio di accumulo Per costruire il blocco del serbatoio di accumulo, Γ¨ necessario ricavarsi un modello matematico che metta in relazione tra loro le grandezze: πππ π (ππ), πππ’π’(ππ), ππππ(ππ). Eβ possibile ricavare una relazione del tipo: πππππ π (ππ)
ππππ= πποΏ½ πππ’π’(ππ), ππππ(ππ)οΏ½.
Si puΓ² ragionare nel seguente modo: la pressione nel serbatoio πππ π (ππ) al tempo ππ, sarΓ uguale a quella del ciclo precedente (πππ π (ππ β ππ), πππππΈπΈ ππ πππΈπΈπΈπΈππππ πΈπΈπππππππππππΈπΈππππππ πππΈπΈπΈπΈπΈπΈ ππβπΈπΈ 0 < ππ β€ 2ππ
ππ) , piΓΉ un aumento (Ξππ(ππ)) dovuto al volume (Ξππ(ππ)) che
arriva dal compressore in tal ciclo, piΓΉ una diminuzione (Ξπππ’π’(ππ)) dovuta al volume (πππ’π’(ππ)) che va verso lβ utenza in tal ciclo. Quindi si puΓ² scrivere:
πππ π (ππ) = πππ π (ππ β ππ) + Ξππ(ππ) β Ξπππ’π’(ππ) Eβ noto che: Ξππ(ππ) β ππ = ππ1 β Ξππ(ππ), considerando lβespansione dellβaria nel serbatoio isoterma e trascurando come giΓ piΓΉ volte menzionato le perdite di carico fra lβuscita dal compressore e lβentrata nel serbatoio di accumulo, le quali porterebbero a diminuire ππ1. Analogamente:
Ξπππ’π’(ππ) β ππ = πππ π 0 β πππ’π’(ππ) Quindi si ha:
Ξππ(ππ) =ππ1ππ Ξππ(ππ)
Ξπππ’π’(ππ) =πππ π ππππ πππ’π’(ππ)
le quali implicano:
πππ π (ππ) = πππ π (ππ β ππ) +ππ1ππ Ξππ(ππ) β
πππ π ππππ πππ’π’(ππ)
Si puΓ² riscrivere, dividendo per ππ e portando il primo termine del secondo membro a primo membro:
πππ π (ππ)β πππ π (ππ β ππ)ππ
=ππ1ππΞππ(ππ)ππ
βπππ π πππππππ’π’(ππ)ππ
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 32
Data lβarbitrarietΓ di ππ nellβintervallo οΏ½0, 2πππποΏ½, si puΓ² far tendere ππ a zero e si
ottiene così:
limππβ0
πππ π (ππ) β πππ π (ππ β ππ)ππ
= limππβ0
οΏ½ππ1ππΞππ(ππ)ππ
βπππ π πππππππ’π’(ππ)ππ
οΏ½ βπππππ π (ππ)ππππ
=ππ1ππππππ(ππ) β
πππ π πππππππ’π’(ππ)
Questo modello Γ¨ stato implementato in Simulink nel blocco del serbatoio. Allβ interno del serbatoio infatti, Γ¨ presente il seguente sottosistema:
Allβ input 1 (πππΈπΈ1) arriva la portata πππ’π’, che viene moltiplicata per πππ π 0
ππ nel blocco
denominato βππππ0/ππβ. Allβ input 2 (πππΈπΈ2) arriva la portata ππππ , che viene moltiplicata per ππ1
ππ nel blocco
denominato βππ1/ππβ. Il comparatore poi esegue la differenza tra ππ1
ππππππ e πππ π 0
ππ πππ’π’, la quale viene integrata
al blocco βπππΈπΈπππΈπΈπππππΈπΈππππππβ e come output (πππΈπΈππ1) esce la pressione nel serbatoio πππ π (ππ).
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 33
4.3.3 Blocco del servo di posizione Si Γ¨ giΓ visto come il motorino elettrico πππΈπΈ che modifica lo spazio nocivo puΓ² essere rappresentato con una funzione di trasferimento tra la tensione di alimentazione del motore ππ(ππ) e lo spazio nocivo modificato ππβ²ππ(ππ) che tenga conto dei parametri caratteristici del motorino e degli attriti. Le equazioni viste valgono nel caso in cui il cambio a due ingranaggi sia inserito; lβ inserimento del cambio dipende, come detto, dalla misura della portata richiesta dallβ utenza πππ’π’(ππ) (retroazionata e misurata con un flussimetro), la quale come si vedrΓ tra poco decide quale deve essere il nuovo volume nocivo (volume nocivo desiderato, quello del ciclo successivo), il quale a sua volta comanda il cambio; inoltre lβ inserimento del cambio dipende anche dal volume nocivo attuale (cioΓ¨ quello del ciclo precedente), poichΓ© paragonando volume nocivo attuale a quello desiderato, il rapporto di trasmissione del cambio potrΓ essere ππ + 1 ππ β 1 a seconda del verso di rotazione che devono avere le ruote accoppiate al motorino. Il freno deve agire successivamente, a partire da un certo istante dallβ inserimento del cambio, in modo tale da fermare le ruote del motorino elettrico nella posizione che corrisponde al volume nocivo desiderato (il freno verrΓ abbondantemente analizzato nel paragrafo 5.2). Tuttavia, la funzione di trasferimento trovata: ππππ
β² (π π )ππβ(π π )
= π π π΄π΄ππ(ππ2π π 2+ππ1π π +πΎπΎ)π π
non Γ¨ utilizzabile nello schema a blocchi poichΓ© la tensione di alimentazione Γ¨ indipendente dalla retroazione, serve solo per tenere acceso il motorino elettrico πππΈπΈ. Si puΓ² perΓ² implementare in Simulink il blocco che costituisce lβ insieme: πΈπΈπππππππππππΈπΈππ + πππΈπΈπΈπΈππππππ + πππππΈπΈπΈπΈππ, chiamato servo di posizione, in modo piΓΉ semplice, il quale deriva dalla considerazione di un altro modello matematico. Il sistema di controllo da implementare, ha il compito di fare in modo che la pressione nel serbatoio non vari tenendo conto della misura della portata richiesta dallβ utenza, in modo da limitare o addirittura evitare gli spegnimenti e successivi riavviamenti del compressore; quindi tale sistema Γ¨ costituito da unβ azione in avanti (controllo di pressione) e una retroazione classica (misura della portata). Si vuole quindi che:
πππππ π (ππ)ππππ = 0
Ricordando che:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 34
πππππ π (ππ)ππππ =
ππ1ππ ππππ(ππ) β
πππ π ππππ πππ’π’(ππ)
si vuole:
ππ1 β ππππ(ππ) β πππ π ππ β πππ’π’(ππ) = 0 Si puΓ² esprimere ππππ(ππ) in funzione dello spazio nocivo. Infatti, dato che si ha:
β©βͺβ¨
βͺβ§Ξππ(ππ) = οΏ½
ππ0ππ1οΏ½1πποΏ½ππππ β ππππβ²(ππ) οΏ½οΏ½
ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1οΏ½οΏ½
ππππ(ππ) =Ξππ(ππ)
2ππππ
=ππ2ππΞππ(ππ)
si ricava:
ππππ(ππ) =ππ2ππ οΏ½
ππ0ππ1οΏ½1πποΏ½ππππ β ππππβ²(ππ) οΏ½οΏ½
ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1οΏ½οΏ½
e sostituendo in ππ1 β ππππ(ππ)β πππ π ππ β πππ’π’(ππ) = 0 si ottiene:
ππ1ππ2ππ οΏ½
ππ0ππ1οΏ½1πποΏ½ππππ β ππππβ²(ππ) οΏ½οΏ½
ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1οΏ½οΏ½ β πππ π ππ β πππ’π’(ππ) = 0
Risolvendo per ππππβ²(ππ) si ricava:
ππππβ² (ππ) = ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ1
βπππ π 0ππ1
2ππππ οΏ½
ππ1ππ0οΏ½1ππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ1
β πππ’π’(ππ)
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 35
che esprime la relazione tra portata richiesta dallβ utenza e volume nocivo desiderato; quindi, come detto in precedenza, la portata richiesta dallβ utenza viene retroazionata calcolando il volume nocivo che si vuole ottenere al ciclo successivo con tale formula, il quale a sua volta viene comparato al volume nocivo del ciclo precedente ed in base al segno del risultato si potrΓ avere rapporto di trasmissione +1 ππ β 1, ottenuto tramite lβ inserimento dellβ innesto. Si puΓ² notare che, se πππ’π’(ππ) Γ¨ pari al suo valore minimo cioΓ¨ zero, si ottiene il valore massimo di ππππβ² (ππ), ovviamente uguale allβ espressione giΓ vista: ππππβ² (ππ) = ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ1
(β 0.30 πΈπΈ3)
mentre πππ’π’(ππ) Γ¨ limitata superiormente dal valore minimo che puΓ² assumere ππππβ²(ππ), pari a 0.04 β ππππ. Si ricava una πππ’π’ππππππ(ππ) pari a:
πππ’π’ππππππ(ππ) =
β£β’β’β’β‘
ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1
β 0.04 β ππππ
β¦β₯β₯β₯β€ οΏ½ππ1ππ0
οΏ½1ππβ 1
πππ π 0ππ1
2ππππ οΏ½ππ1ππ0
οΏ½1ππ
che considerando i valori dei parametri scelti risulta πππ’π’ππππππ(ππ) β 7.5 πΈπΈ3. E quindi la ππππππππππ(ππ), dato che si Γ¨ nella condizione ππ1 β ππππ(ππ) β πππ π ππ β πππ’π’(ππ) = 0 vale ππππππππππ(ππ) = πππ π π π
ππ1πππ’π’ππππππ(ππ) β 0.75 πΈπΈ3, che Γ¨ la portata massima che il
compressore puΓ² inviare al serbatoio per i valori scelti. Quindi bisogna fare in modo che la portata che richiede lβutenza non superi β 7.5 πΈπΈ3. Si vedrΓ come fare nel blocco utenza. Tornando al blocco del servo di posizione bisogna quindi implementare la funzione:
ππππβ² (ππ) = ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ1
βπππ π 0ππ1
2ππππ οΏ½
ππ1ππ0οΏ½1ππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ1
β πππ’π’(ππ)
CiΓ² Γ¨ stato fatto usando la seguente funzione Matlab:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 36
Come si nota, la funzione ha in ingresso la portata πππ’π’(ππ) e lβerrore πΈπΈ, dovuto allo scostamento della pressione del serbatoio da quella di riferimento. Dato che la pressione iniziale nel serbatoio di accumulo Γ¨ 1 πππΈπΈππ, allβinizio πΈπΈ =0.5; qualora si modificasse subito il volume nocivo, la pressione rimarrebbe sempre pari al valore di 1 πππΈπΈππ, diversa dal valore di riferimento. Invece, facendo passare un paio di cicli, la pressione nel serbatoio inizia ad aumentare e quindi πΈπΈ cala, e quando πΈπΈ β€ 0.1 si modifica il volume nocivo per tenere costante da lΓ¬ in avanti la pressione nel serbatoio. CiΓ² si vedrΓ meglio dai risultati delle simulazioni mostrati piΓΉ avanti.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 37
4.3.4 Blocco del compressore Il blocco del compressore Γ¨ stato implementato conoscendo la relazione tra la portata inviata dal compressore al serbatoio di accumulo ππππ , lo spazio nocivo ππππβ² e la velocitΓ angolare del compressore ππ. Si Γ¨ infatti giΓ ricavato che:
ππππ(ππ) =ππ2ππ οΏ½
ππ0ππ1οΏ½1πποΏ½ππππ β ππππβ²(ππ) οΏ½οΏ½
ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1οΏ½οΏ½
Allβ interno il blocco Γ¨ costituito dai seguenti sotto-blocchi:
I blocchi denominati come β²πππππππππΈπΈπΈπΈπππΈπΈβ² moltiplicano semplicemente ciΓ² che entra per una costante: lβ input 2 (πππΈπΈ2, che rappresenta la velocitΓ angolare ππ) viene moltiplicato per 1
2ππ, ottenendo cosΓ¬ ππ
2ππ. ππ2ππ
entra a sua volta in due blocchi, denominati come βπππππππππΈπΈππππβ e βπππππππππΈπΈππππ1β; in βπππππππππΈπΈππππβ viene
moltiplicato per οΏ½ππ0ππ1οΏ½1ππ ππππ, mentre in βπππππππππΈπΈππππ1β viene moltiplicato per ππππβ²(ππ).
Allβuscita da βπππππππππΈπΈππππ1β si ha quindi ππ2ππππππβ²(ππ), che viene in seguito moltiplicato
per la costante οΏ½οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππ β 1οΏ½ οΏ½ππ0
ππ1οΏ½1ππ. Al comparatore, denominato come βπππππΈπΈππβ si
fa la differenza fra ciΓ² che si Γ¨ ottenuto ai blocchi precedenti:
οΏ½ππ0ππ1οΏ½1ππππππππ2ππ β οΏ½οΏ½
ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1οΏ½ οΏ½
ππ0ππ1οΏ½1ππ ππ
2ππ ππππβ²(ππ)
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 38
e si ottiene cosΓ¬ lβoutput (Out1), che altro non Γ¨ che la portata ππππ(ππ).
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 39
4.3.5 Blocco del regolatore Il regolatore del compressore, denominato come βπππΈπΈππβ, allβ interno Γ¨ fatto nel seguente modo:
Lβinput 1 (πππΈπΈ1), che come giΓ specificato rappresenta lβerrore πΈπΈ dato dalla differenza tra pressione di riferimento e pressione nel serbatoio, entra nel blocco denominato come βπππΈπΈππ_πππππΈπΈππβ, insieme a un secondo input che rappresenta la velocitΓ angolare del ciclo precedente (πππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ_πππππΈπΈππ). Se πΈπΈ > 0.4, ππππππΓ¨ πππ π < 1.1 πππΈπΈππ il blocco fa in modo che ππ = 25 πππΈπΈππ/ππ, se invece πΈπΈ < 0, ππππππΓ¨ πππ π > 1.5 πππΈπΈππ ππ viene settata al valore nullo. In tutti gli altri casi ππ viene fatta coincidere con il valore precedente (πππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ_πππππΈπΈππ). In pratica il compressore Γ¨ regolato con una isteresi:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 40
Allβ interno di βreg_compβ Γ¨ presente infatti un programma Matlab che non fa altro di applicare quanto sopra specificato:
Sul ramo di retroazione della velocitΓ angolare, Γ¨ presente il blocco βπππΈπΈπΈπΈππππππβ, il quale Γ¨ necessario per evitare che la simulazione dΓ¬a degli avvertimenti, perchΓ© in tal caso si avrebbero degli βπππππΈπΈπΈπΈ πΈπΈππππππβ, dovuti al fatto che allβ inizio della simulazione la retroazione non puΓ² avvenire in quanto βπππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ_πππππΈπΈππβ non ha ancora un valore. βπππΈπΈπΈπΈππππππβ permette di attribuire un valore iniziale a βπππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ_πππππΈπΈππβ.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 41
4.3.6 Blocco del flussimetro e del manometro I blocchi di flussimetro e manometro sono quelli piΓΉ semplici. Il flussimetro ha semplicemente lo scopo di trasdurre il segnale di portata in volume in tensione elettrica, e puΓ² essere schematizzato con un blocco moltiplicatore (chiamato β²πππΈπΈπππΈπΈβ²) di costante unitaria. Al suo interno il flussimetro risulta quindi:
Lβ input 1 (πππΈπΈ1) Γ¨ la portata richiesta dallβ utenza πππ’π’, e lβ output 1 (πππΈπΈππ1) Γ¨ la stessa portata ma trasdotta in tensione. Anche il manometro in linea di principio potrebbe essere schematizzato nello stesso modo del flussimetro, ma per rendere il blocco un poβ piΓΉ verosimile, Γ¨ stata considerata una funzione di trasferimento del primo ordine: 1
0.1π π +1, per
tenere conto del fatto che le misurazioni non sono perfette, introducendo un ritardo. Allβinterno del blocco basta semplicemente inserire i coefficienti della funzione di trasferimento:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 42
4.3.7 Blocco dellβ utenza Lβ ultimo blocco che rimane da considerare prima di mostrare i risultati delle simulazioni, Γ¨ il blocco utenza. Dato che lβutenza puΓ² richiedere un qualsiasi valore di portata πππ’π’ fra 0 πΈπΈ πππ’π’ππππππ, non si puΓ² a priori conoscere lβandamento della πππ’π’ nel tempo. Quello che si puΓ² fare Γ¨ cercare di studiare il sistema in condizioni critiche, in modo che qualora funzioni bene in tali condizioni, si potrΓ concludere che si comporterΓ bene anche in condizioni meno stringenti. Si Γ¨ preso un andamento ad onda quadra di πππ’π’ , con il valore dellβonda variabile ogni 2 secondi. Al suo interno il blocco si presenta come segue:
Il blocco βπ΅π΅πΈπΈπΈπΈππ β πΏπΏπππΈπΈπππππΈπΈππ ππβπππππΈπΈ πππππππππΈπΈβ genera lβandamento ad onda quadra. Al suo interno sono presenti i seguenti parametri:
βπππππππππΈπΈ πππππππΈπΈππβ regola la ampiezza dellβ onda mentre βπππΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ πππππΈπΈπΈπΈβ regola lβampiezza dellβ intervallo in cui non si hanno variazioni dell βonda. Il blocco βπππΈπΈπππΈπΈ β πππππΈπΈπΈπΈπππππππππππΈπΈβ serve a coordinare tra loro due diverse velocitΓ : una Γ¨ la velocitΓ di variazione dellβ onda quadra e lβ altra Γ¨ la velocitΓ della simulazione (velocitΓ di campionamento); dato che lβonda quadra varia ogni
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 43
2 πππΈπΈπππππΈπΈππππ e il tempo di campionamento viene preso pari a 0.01 πππΈπΈπππππΈπΈππππ, Simulink genererebbe un errore se si facesse partire la simulazione senza il blocco βπππΈπΈπππΈπΈ β πππππΈπΈπΈπΈπππππππππππΈπΈβ. Quindi Γ¨ necessario inserirlo. Il blocco βπ΄π΄ππππβ invece, non fa altro che prendere il valore assoluto della portata, dato che lβonda generata dal blocco βπ΅π΅πΈπΈπΈπΈππ β πΏπΏπππΈπΈπππππΈπΈππ ππβπππππΈπΈ πππππππππΈπΈβ potrebbe anche essere negativa, valore ovviamente non possibile. Infine Γ¨ presente il blocco πππΈπΈππβ² , il quale serve a limitare il valore superiore che puΓ² assumere la portata πππ’π’. Eβ giΓ stata ricavata in precedenza, la portata massima πππ’π’ππππππ che puΓ² richiedere lβutenza:
πππ’π’ππππππ(ππ) =
β£β’β’β’β‘
ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1
β 0.04 β ππππ
β¦β₯β₯β₯β€ οΏ½ππ1ππ0
οΏ½1ππβ 1
πππ π 0ππ1
2ππππ οΏ½ππ1ππ0
οΏ½1ππ
Il blocco fa in modo che se la portata che esce dal blocco βπ΅π΅πΈπΈπΈπΈππ βπΏπΏπππΈπΈπππππΈπΈππ ππβπππππΈπΈ πππππππππΈπΈβ e da βπΈπΈππππβ Γ¨ > πππ’π’ππππππ, la portata πππ’π’ viene settata pari a πππ’π’ππππππ, altrimenti viene lasciata cosΓ¬ comβΓ¨. Allβ interno di πππΈπΈππβ² Γ¨ presente un programma Matlab che realizza quanto specificato:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 44
4.4 Simulazione dellβ impianto senza sistema di controllo di modifica del volume nocivo Non resta ora che mostrare i risultati delle simulazioni dei sistemi implementati. Partendo dallβ impianto senza il sistema di controllo, vengono nel seguito riportati gli andamenti rispettivamente delle grandezze πππ’π’,πππ π ,ππ, con tempo di simulazione pari a 100 πππΈπΈπππππΈπΈππππ.
andamento di πππ’π’ nel tempo
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 45
andamento di πππ π nel tempo
andamento di ππ nel tempo
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 46
Le carattestiche dei grafici piΓΉ importanti da notare sono: il numero elevato di avviamenti del compressore (17), e lβ oscillazione della pressione πππ π fra circa 1.6 πππΈπΈππ e 1.1 πππΈπΈππ. Tale numero di avviamenti aumenta i costi energetici del compressore e rischia inoltre di danneggiarlo. Lβ oscillazione della pressione invece rischia di portare alla rottura il serbatoio qualora la pulsazione della pressione sia pari alla pulsazione di risonanza del serbatoio stesso. Eβ necessario inoltre rievidenziare che la pressione di riferimento ππππππππ, la quale viene paragonata al comparatore alla pressione effettiva nel serbatoio πππ π , Γ¨ stata scelta pari a 1.5 πππΈπΈππ, che Γ¨ un valore basso come giΓ menzionato nel paragrafo 4.3.1. Tuttavia, questo Γ¨ un modo per testare il sistema in condizioni piΓΉ critiche, e quindi qualora funzioni bene in tali condizioni, funzionerebbe bene a maggior ragione in condizioni meno limitanti, scegliendo un valore di ππππππππ superiore. Come giΓ detto, sono stati scelti anche dei valori βcriticiβ per la superficie di base del pistone ππ e per la pressione di mandata ππ1.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 47
4.5 Simulazione dellβ impianto con sistema di controllo di modifica del volume nocivo Per lβ impianto dotato di sistema di controllo, vengono nel seguito riportati gli andamenti rispettivamente delle grandezze πππ’π’,πππ π ,ππ, ππππβ² con tempo di simulazione sempre pari a 100 πππΈπΈπππππΈπΈππππ.
andamento di πππ’π’ nel tempo (stesso andamento della πππ’π’ dellβ impianto senza il sistema di controllo)
andamento di πππ π nel tempo
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 48
andamento di ππ nel tempo
andamento di ππππβ² nel tempo Dai risultati si vede che a differenza dellβ impianto non dotato di sistema di controllo, il compressore ha un solo avviamento perchΓ© ππ rimane costante, con notevole risparmio energetico e prevenendo possibili guasti e surriscaldamenti del compressore. La πππ π invece tende a crescere solo inizialmente, da 1 πππΈπΈππ raggiunge un valore vicino a 1.5 πππΈπΈππ e da quellβ istante in poi rimane costante, evitando cosΓ¬ lβinstaurarsi di sovrappressioni o variazioni cicliche di pressione, che come
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 49
giΓ menzionato possono far scaturire fenomeni di risonanza, dannosi per il serbatoio di accumulo. Lβ unica grandezza che varia notevolmente Γ¨ lo spazio nocivo ππππβ², la cui variazione Γ¨ dovuta alla variazione della portata richiesta dallβ utenza πππ’π’, che varia ogni 2 secondi; quindi anche ππππβ² varia ogni 2 secondi. A differenza del motore elettrico del compressore, non si hanno avviamenti del motorino elettrico πππΈπΈ, il quale come noto permette la variazione del volume nocivo ππππβ², poichΓ© esso rimane sempre acceso essendo alimentato con una certa tensione ππ(ππ); ciΓ² che permette di muovere e successivamente fermare le ruote accoppiate al motorino Γ¨, come giΓ evidenziato in precedenza, lβ insieme πππΈπΈπΈπΈππππππ πΈπΈ πππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈππππππ + πππππΈπΈπΈπΈππ. Eβ infatti lβ inserimento o disinserimento del cambio che ne permette il moto; successivamente allβ inserimento del cambio il freno ferma le ruote, pensando di sincronizzarlo con un certo tempo di ritardo rispetto al cambio (verrΓ mostrato nel paragrafo 5.2 come calcolare tale tempo di ritardo). Si vedrΓ inoltre nel paragrafo 5.3 come valutare il risparmio economico che si ha con lβ introduzione del sistema di controllo.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 50
4.6 Perfezionamento dellβ impianto con sistema di controllo di modifica del volume nocivo Prima di valutare lβ economia del sistema di controllo, si vedrΓ in questo paragrafo come poter rendere ancora piΓΉ realistico il sistema di controllo introdotto a partire dal paragrafo 4.3. Si Γ¨ giΓ accennato al fatto che nello schema Simulink non sono stati considerati i seguenti aspetti: le valvole di non ritorno e di sicurezza presenti nellβ impianto ad aria compressa, il refrigeratore e lo scaricatore di condensa, in quanto non necessari per il corretto funzionamento del sistema; si sono inoltre trascurate le cadute di pressione che si hanno nel tratto che va dallβ uscita dal compressore fino allβ arrivo nel serbatoio di accumulo, per lo stesso motivo. Proprio per la non necessitΓ di dover considerare tali aspetti, essi non verranno aggiunti neanche in questo paragrafo. CiΓ² che Γ¨ necessario aggiungere sono invece due aspetti importanti: il transitorio del compressore, il quale, per accendersi o spegnersi impiega del tempo, e il transitorio del servo di posizione, il quale modifica lo spazio nocivo durante la fase di aspirazione del compressore. Per aggiungere i transitori, sono stati utilizzati dei blocchi rispettivamente a valle di compressore ed a valle di servo di posizione che ritardano le uscite. I blocchi sono costituiti da una funzione di trasferimento, scelta del primo ordine, del tipo:
πΊπΊ(ππ) =1
ππππ + 1 come quella usata per il manometro, la quale, per la presenza del parametro ππ ritarda lβ uscita. Essendo noto dalla teoria dei Controlli Automatici, che la risposta ππ(ππ) ad ingressi costanti ππ di tale funzione di trasferimento Γ¨ del tipo:
ππ(ππ) = ππ(1 β πΈπΈβππππ)
si definisce tempo di assestamento ππππ il tempo che impiega lβ uscita ππ(ππ) a raggiungere il 95% del suo valore a regime ππππ, sapendo che:
limππββ
ππ(ππ) = ππππ = ππ Quindi si puΓ² scrivere:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 51
ππ β ππ(ππππ) = 0.05ππ da cui:
ππ β ππ οΏ½1 β πΈπΈβππππππ οΏ½ = 0.05ππ β β
ππππππ = ln(0.05) β β3 β ππ β
ππππ3
Fissando per il compressore, un transitorio di 1ππ, si ottiene: ππ β 1
3β 0.33 ππ,
quindi una funzione di trasferimento, per lβ aggiunta del ritardo in Simulink pari a:
πΊπΊπππππππππππππ π π π ππππππ(ππ) =1
0.33ππ + 1 Per il transitorio del servo di posizione invece, sapendo che il volume nocivo viene modificato durante lβ aspirazione, quando la pressione nel cilindro Γ¨ pari a ππ0, il tempo di assestamento deve essere al massimo uguale a circa ππ
ππ,
che Γ¨ appunto il tempo di aspirazione. Lβ aspirazione in realtΓ , avviene in un tempo leggermente minore di ππ
ππ perchΓ©
la valvola di aspirazione non si apre subito a punto morto superiore ma, riferendosi al diagramma ππ β ππ di compressore visto nel paragrafo 2.1, si apre a partire dal punto 4 e rimane aperta fino al punto 1; tuttavia, dato che lβ angolo di manovella (angolo πΌπΌ nella prima figura del paragrafo 5.1) quando viene aperta la valvola non Γ¨ molto lontano dai 180Β° (risulta circa 150Β°β160Β°), si commette un errore trascurabile approssimando il tempo di aspirazione a ππ
ππ.
Volendo il tempo esatto, esso si potrebbe esprimere come: ππβπΌπΌππππ
, dove con πΌπΌππ si Γ¨ indicato lβ angolo di apertura della valvola di aspirazione; tale angolo, come si vedrΓ nel paragrafo 5.1, Γ¨ esprimibile analiticamente in funzione di grandezze note; tuttavia nel seguito si considererΓ il tempo di aspirazione pari a ππ
ππ.
Essendo ππ = 25 πππΈπΈππ/ππ come da simulazione, ponendo il tempo di assestamento pari al tempo di aspirazione ππ
ππ, si ottiene il parametro ππ della
funzione di trasferimento che ritarda il servo di posizione:
ππ βππππ3 =
ππ3ππ β 0.04 ππ
e quindi:
πΊπΊπ π πππππ£π£ππ_ππππ_πππππ π ππππππππππππ(ππ) =1
0.04ππ + 1
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 52
Lβ aggiunta di queste funzioni Γ¨ stata fatta sia per lβ impianto senza sistema di controllo che per quello con sistema di controllo:
πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈππππ πππΈπΈπΈπΈπ π πΈπΈ πππππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈ ππππ πππππΈπΈπππππππΈπΈπΈπΈππ
πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈππππ πππππΈπΈ πππππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈ ππππ πππππΈπΈπππππππΈπΈπΈπΈππ
I risultati della simulazione sono leggermente diversi rispetto a quelli visti, qui di seguito si riportano gli andamenti piΓΉ importanti, che sono quelli di pressione nel serbatoio e velocitΓ angolare del compressore.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 53
Partendo dallβ impianto senza sistema di controllo:
velocitΓ angolare con introduzione del ritardo del compressore
velocitΓ angolare: ingrandimento per mostrare il ritardo
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 54
pressione con introduzione del ritardo del compressore Impianto con sistema di controllo:
velocitΓ angolare con introduzione del ritardo del compressore e del servo di posizione
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 55
andamento pressione con introduzione del ritardo del compressore e del servo di posizione Come si vede dai grafici, le cose non cambiano molto rispetto a quanto visto nei paragrafi 4.4 e 4.5: si ha infatti sempre un solo avviamento per lβ impianto con sistema di controllo, mentre 12 avviamenti per lβ impianto senza sistema di controllo (leggermente inferiori ai 17 visti nel paragrafo 4.4). Cambia leggermente di piΓΉ la curva di pressione del serbatoio per lβ impianto con sistema di controllo: si hanno infatti un poβ piΓΉ di oscillazioni dovute al ritardo, che rendono difficile il mantenimento della pressione ad un valore costante; tuttavia esse sono molto contenute guardando lβ ampiezza di oscillazione dal grafico. Si Γ¨ dovuto modificare leggermente la funzione del servo di posizione: in particolare la condizione sullβ ingresso πΈπΈ, il quale Γ¨ dovuto allo scostamento della pressione del serbatoio da quella di riferimento. Come visto nel paragrafo 4.3.3, dato che la pressione iniziale nel serbatoio di accumulo Γ¨ 1 πππΈπΈππ, allβinizio πΈπΈ = 0.5; qualora si modificasse subito il volume nocivo, la pressione rimarrebbe sempre pari al valore di 1 πππΈπΈππ, diversa dal valore di riferimento. Invece, facendo passare un paio di cicli, la pressione nel serbatoio inizia ad aumentare e quindi πΈπΈ cala, e nel paragrafo 4.3.3 si Γ¨ iniziato a modificare il volume nocivo a partire dal raggiungimento della condizione πΈπΈ β€ 0.1 (cioΓ¨ quando la pressione nel serbatoio raggiungeva circa 1.4 πππΈπΈππ) per tenere costante da lΓ¬ in avanti la pressione nel serbatoio. Tuttavia, dato che in questo caso ci sono dei ritardi, conviene modificare il volume nocivo prima che la pressione nel serbatoio raggiunga 1.4 πππΈπΈππ, poichΓ© i ritardi fanno in modo che nel frattempo la pressione aumenti ulteriormente, con rischio di spegnimento e riavviamento del compressore. Eβ stato scelto allora di modificare la condizione πΈπΈ β€ 0.1 in πΈπΈ β€ 0.2, per migliorare la prontezza del sistema. Bisogna poi dire che i due blocchi utilizzati per introdurre i ritardi:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 56
hanno come condizioni iniziali valori nulli, sia per lo spazio nocivo al tempo iniziale che per la velocitΓ angolare al tempo iniziale; ciΓ² Γ¨ dovuto al modo in cui sono pre-impostate le funzioni Simulink. Per la velocitΓ angolare la condizione Γ¨ giusta, ma non per lo spazio nocivo, poichΓ© allβ inizio Γ¨ in realtΓ pari al suo valore nominale (0.12 πΈπΈ3) (anche il manometro avrebbe questo problema, non specificato nel paragrafo 4.3.6, poichΓ© la sua condizione iniziale, cioΓ¨ la pressione nel serbatoio, sarebbe 1 πππΈπΈππ, mentre la funzione di trasferimento 1
0.1π π +1 utilizza la condizione iniziale di 0 πππΈπΈππ). La simulazione vΓ
ritenuta corretta quindi, a partire da qualche istante dopo quello iniziale. Si potrebbero modificare le condizioni iniziali costruendo i blocchi di ritardo in altro modo; ad esempio, il blocco:
si puΓ² anche realizzare:
Si puΓ² dimostrare con qualche semplice passaggio (vedi sotto), che i due blocchi hanno la stessa funzione di trasferimento, quindi sono equivalenti; nellβ ultimo blocco introdotto tuttavia, si puΓ² modificare la condizione iniziale inserendola nellβ integratore, mentre in quello appena sopra, come giΓ evidenziato, non Γ¨ possibile, perchΓ© Γ¨ settata al valore nullo. Allo stesso modo, anche il blocco:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 57
ha il suo analogo:
Allβ interno del βπΊπΊπΈπΈπππΈπΈβ si Γ¨ inserito un numero che Γ¨ pari al reciproco del parametro ππ. Chiamando ππ(ππ) lβ uscita e π₯π₯(ππ) lβ ingresso, dallβ ultimo blocco si ricava:
οΏ½π₯π₯(ππ) β ππ(ππ)οΏ½25ππ = ππ(ππ) β
ππ(ππ)π₯π₯(ππ) = πΊπΊπππππππ π ππππππππππππππππππ_ππππππππππππ(ππ) =
25ππ + 25 =
10.04ππ + 1
Quindi si vede che le funzioni di trasferimento coincidono. Analogamente si dimostra lβ uguaglianza fra i blocchi:
Infatti, chiamando sempre ππ(ππ) lβ uscita e π₯π₯(ππ) lβ ingresso, dal blocco a destra si ricava:
οΏ½π₯π₯(ππ) β ππ(ππ)οΏ½3.03ππ
= ππ(ππ) βππ(ππ)π₯π₯(ππ)
= πΊπΊπππππππ π ππππππππππππππππππ_ππππππππππππ(ππ) =3.03
ππ + 3.03=
10.33ππ + 1
Per modificare la condizione iniziale, si apre il blocco dellβ integratore:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 58
e si modifica la voce βπππΈπΈπππππππΈπΈπΈπΈ πππππΈπΈπππππππππππΈπΈβ:
la quale, per il blocco di ritardo del servo di posizione, Γ¨ stata posta pari a 0.12, che rappresenta il valore iniziale dello spazio nocivo. Inoltre, si accenna al fatto che i blocchi di ritardo possono essere anche costruiti con una funzione di trasferimento del secondo ordine invece che del primo, la quale, dalla teoria dei Controlli si puΓ² scrivere nella seguente forma:
πΊπΊ(ππ) =ππππ2
ππ2 + 2πΏπΏππππππ + ππππ2
con πΏπΏ coefficiente di smorzamento e ππππ pulsazione naturale. Per ricavare πΏπΏ e ππππ, quello che si fa di solito Γ¨ fissare una sovraelongazione massima desiderata ππ (rapporto tra la differenza fra il valore massimo e il valore a regime della risposta e il valore a regime), in funzione della quale Γ¨ possibile esprimere il coefficiente di smorzamento:
πΏπΏ =1
οΏ½1 + οΏ½ ππln (ππ)οΏ½
2
Si puΓ² dimostrare (vedi ad esempio Dispense di βControlli Automaticiβ del Prof. Ing. Matteo Zanzi o qualsiasi testo sui Controlli Automatici) che il tempo di assestamento, per questo tipo di sistemi vale:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 59
ππππ β3πΏπΏππππ
Quindi, fissato il tempo di assestamento, si ricava conseguentemente:
ππππ =3πΏπΏππππ
e si ottiene cosΓ¬ sia πΏπΏ che ππππ, da sostituire nella formula:
πΊπΊ(ππ) =ππππ2
ππ2 + 2πΏπΏππππππ + ππππ2
Per lβ impianto ad aria compressa, il tempo di assestamento del compressore si era scelto pari ad 1 πππΈπΈπππππΈπΈππππ, mentre quello del servo ππ
ππβ 0.1257 πππΈπΈπππππΈπΈππππ.
Fissata una sovraelongazione ππ pari al 20% (ππ = 0.2), si ha: πππππππΈπΈππππππ πππΈπΈππππππ ππππ πππππππππ π πππππΈπΈπΈπΈ πππππππΈπΈππππππ πππππΈπΈπππππΈπΈπππππππππΈπΈ πΏπΏ = 1
οΏ½1+οΏ½ ππln (0.2)οΏ½
2 β 0.4559 πΏπΏ = 1
οΏ½1+οΏ½ ππln (0.2)οΏ½
2 β 0.4559
ππππ = 3πΏπΏππππ
β 30.4559β0.1257
β 52.35 πππΈπΈππ/ππ ππππ = 3πΏπΏππππ
β 30.4559β1
β 6.58 πππΈπΈππ/ππ da cui si ricavano le funzioni di trasferimento. Non se ne riportano i grafici poichΓ©, seppur con qualche differenza, i risultati sono i medesimi. Infine, Γ¨ bene evidenziare che il volume nocivo, come visto in precedenza, viene modificato una sola volta per ciclo, durante la fase di aspirazione; quindi affinchΓ¨ il sistema funzioni in modo ottimale, la portata richiesta Γ¨ bene che abbia un periodo maggiore di 2ππ
ππ . Nella simulazione si Γ¨ preso, come
mostrato nel paragrafo 4.3.7, un periodo di 2 πππΈπΈπππππΈπΈππππ, che Γ¨ maggiore di 2ππππ
=2ππ25β 0.25 πππΈπΈπππππΈπΈππππ, quindi la condizione viene rispettata.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 60
5)Risparmio economico 5.1 Scelta del motore elettrico del compressore Prima di cercare di quantificare i costi, Γ¨ necessario conoscere la potenza nominale dei motori elettrici di compressore e motorino elettrico πππΈπΈ, dato che da questa essi dipendono. Partendo dal compressore, per determinarne la potenza elettrica necessaria al suo funzionamento bisogna studiare lβequilibrio dinamico delle forze e dei momenti nel manovellismo di spinta. Si considera lo schema seguente:
Siano: ππ πππΈπΈππππππππ ππππ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ, πΈπΈ πΈπΈπΈπΈπΈπΈππβπΈπΈπ π π π πΈπΈ ππππ πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ, π₯π₯ πππππππππ π πππππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπΈπΈ πππππππππππΈπΈπΈπΈ,πΌπΌ πΈπΈπΈπΈπππππΈπΈππ ππππ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππππππππΈπΈππππππ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈ,π½π½ πΈπΈπΈπΈπππππΈπΈππ ππππ πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππππππππΈπΈππππππ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈ,ππ πππΈπΈπΈπΈππππππππΓ πΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ πππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ,ππ πππππππππππΈπΈ πΈπΈπππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ πππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ. ππ.π΅π΅: πΈπΈπππΈπΈ πππππΈπΈπππππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈ πΈπΈπΈπΈ πππππππππ π πππππΈπΈπΈπΈ π₯π₯ πππΈπΈπΈπΈ πππππππππππΈπΈπΈπΈ πππππΈπΈ πΈπΈπΈπΈ πππππππππ π πππππΈπΈπΈπΈ π₯π₯ πππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππππππβπΈπΈππππππ ππππ πΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ ππ. Lβ obbiettivo dello studio dellβ equilibrio sarΓ quello di determinare lβ andamento (nel tempo) di ππ(ππ), da cui si potrΓ risalire alla potenza elettrica che dovrΓ essere in grado di erogare il motore. Si studiano qui nel seguito, lβequilibrio dinamico della manovella e lβ equilibrio dinamico di πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ + πππππππππππΈπΈπΈπΈ. Si trascureranno gli attriti nelle coppie rotoidali.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 61
Equilibrio di manovella:
Sulla manovella agisce una forza πΉπΉ (vettore οΏ½βοΏ½πΉ) che scaturisce dal contatto con la biella, la quale in generale Γ¨ inclinata di un angolo πΎπΎ rispetto alla verticale (incognito). La coppia rotoidale che accoppia la manovella al telaio reagisce con una forza avente stessa direzione e verso opposto ad πΉπΉ (supponendo di trascurare per il momento la forza centrifuga agente sulla manovella e la forza peso della manovella), e le due forze sono tale che valga lβequilibrio dei momenti:
ππ(ππ) = πΉπΉ(ππ) β sin(πΌπΌ(ππ) + πΎπΎ(ππ)) β ππ Si puΓ² considerare lβ equilibrio dei momenti per la manovella in quanto la velocitΓ angolare la si suppone costante (e quindi accelerazione angolare nulla), e vale la seguente relazione:
ππ = βπΌπΌ(ππ)Μ la quale integrata:
οΏ½ ππππππ =ππ
0οΏ½ βπΌπΌ(ππ)Μ ππππππ
0
fornisce:
πΌπΌ(ππ) = πΌπΌ0 β ππππ Qualora la forza centrifuga e la forza peso agente sulla manovella non fosse trascurabile, il disegno si modificherebbe nel seguente modo:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 62
La forza centrifuga puΓ² essere applicata nel baricentro (πΊπΊ), infatti per un punto ππ qualsiasi appartenente alla manovella (considerata come corpo rigido) si puΓ² scrivere: ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = πποΏ½οΏ½β β§ ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β , cioΓ¨ la velocitΓ del punto ππ Γ¨ uguale al prodotto vettoriale tra la velocitΓ angolare e il vettore πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β , con ππ centro di istantanea rotazione (poichΓ© Γ¨ solidale al telaio). Derivando tale relazione rispetto al tempo, ricordando che πποΏ½οΏ½β Γ¨ costante si ottiene lβ accelerazione del punto ππ: πΈπΈππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = πποΏ½οΏ½β β§ ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β . La forza centrifuga Γ¨:
πΉπΉππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = βππππβ πΈπΈππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β πππΈπΈ
cioΓ¨ lβintegrale di tutte le forze centrifughe agenti sui punti generici ππ di masse infinitesime πππΈπΈ. Lβ integrale va calcolato su tutti i punti appartenenti alla manovella di massa πΈπΈππ. Il calcolo di tale integrale puΓ² essere svolto in maniera semplice: πΉπΉππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = βππππ
β πΈπΈππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β πππΈπΈ = ββπππππποΏ½οΏ½β β§ ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β πππΈπΈ = βπποΏ½οΏ½β β§βππππ
ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β πππΈπΈ =βπποΏ½οΏ½β β§ πππΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β πΈπΈππ = = βπποΏ½οΏ½β β§ οΏ½πποΏ½οΏ½β β§ πππΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½πΈπΈππ = ππ2πππΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β πΈπΈππ Come si vede dal calcolo, lβ integrale di tutte le forze agenti sulle masse infinitesime equivale ad unβ unica forza agente nel baricentro della manovella pari a: πΉπΉππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = ππ2πππΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β πΈπΈππ. Tale forza agisce in direzione radiale come messo in evidenza nel disegno.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 63
La reazione vincolare in ππ non sarΓ quindi data non piΓΉ solamente dalla forza πΉπΉ, ma dalla composizione vettoriale: βπΉπΉ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β πΉπΉππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β ed inoltre va aggiunta anche una forza uguale e contraria alla forza peso agente nel baricentro πΈπΈπποΏ½βοΏ½π, con πΈπΈππ massa della manovella. Lβequazione che verrΓ considerata nel modello, Γ¨ soltanto quella dellβ equilibrio dei momenti, la quale in questo caso diventa: ππ(ππ) = πΉπΉ(ππ) β sinοΏ½πΌπΌ(ππ) + πΎπΎ(ππ)οΏ½ β ππ + πΈπΈππππ
ππ2πππππΈπΈοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½
alla quale rispetto al caso senza forze dovute allβ inerzia della manovella si aggiunge il termine πΈπΈππππ
ππ2πππππΈπΈοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½, con ππ
2πππππΈπΈοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½ braccio della forza,
supposto che il baricentro si trovi a metΓ della lunghezza della manovella. Analizzando ora lβ equilibrio dinamico dellβ insieme πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ + πππππππππππΈπΈπΈπΈ, si puΓ² analizzare il seguente disegno:
Sul pistone agisce la forza peso πΈπΈππππ (con πΈπΈππ si Γ¨ indicata la massa del pistone) applicata nel baricentro e la forza di inerzia πΈπΈπππ₯π₯(ππ)Μ sempre applicata nel baricentro. Agirebbe inoltre anche la forza (diretta come πΈπΈπππ₯π₯(ππ)Μ πΈπΈ πΈπΈππππ e
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 64
avente anche stesso verso) dovuta alla spinta dellβ aria che il pistone comprime durante la salita, ma se ne terrΓ conto piΓΉ avanti. Infine, agisce la reazione vincolare Ξ¦ che il cilindro esercita sul pistone, dovuta alla spinta del pistone sul cilindro (il contatto viene considerato puntiforme). Viene trascurata la forza di attrito che il cilindro esercita sul pistone, riducibile comunque grazie ad una opportuna lubrificazione e lavorazione delle superfici. Sulla biella invece agisce la forza πΉπΉ uguale e contraria a quella che agiva sulla manovella, la coppia di inerzia π½π½π½π½(ππ)Μ (π½π½ rappresenta il momento di inerzia della biella rispetto al suo baricentro), a differenza della manovella, per la quale non vi erano coppie di inerzia data la costanza della velocitΓ angolare ππ = βπΌπΌ(ππ)Μ . Agiscono, inoltre, nel baricentro πΊπΊ, oltre alla forza peso della biella πΈπΈππππ (πΈπΈππ massa della biella), delle forze di inerzia. Nel caso della manovella come si Γ¨ visto si era ricavata una forza centrifuga; in questo caso si possono ricavare le forze di inerzia con un ragionamento analogo. Indicando con π΅π΅ il punto della biella solidale (per mezzo della coppia rotoidale) al pistone, con πΊπΊ il baricentro della biella, con πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β la velocitΓ angolare della biella e con πΈπΈ la lunghezza della biella, si puΓ² scrivere un equazione che lega la velocitΓ del baricentro πππΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β a quella del punto π΅π΅ πππ΅π΅(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β :
πππΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = πππ΅π΅(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β + ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β§ π΅π΅πΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β e derivando rispetto al tempo, passando cosΓ¬ alle accelerazioni:
πΈπΈπΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = πΈπΈπ΅π΅(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β + ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βΜ β§ π΅π΅πΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β + ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β§ π΅π΅πΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βΜ == πΈπΈπ΅π΅(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β + ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βΜ β§ π΅π΅πΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β + ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β§ οΏ½ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β§ π΅π΅πΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½
Sapendo che la forza di inerzia risultante da applicare nel baricentro Γ¨ data da:
πΉπΉπ€π€ππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β = βπΈπΈπππΈπΈπΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β ci sono tre forze che, applicate nel baricentro, compongono vettorialmente la forza di inerzia πΉπΉπ€π€ππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β . Esse sono: βπΈπΈπππΈπΈπ΅π΅(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β , βπΈπΈππππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βΜ β§ π΅π΅πΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β , βπΈπΈππππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β§ οΏ½ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β§ π΅π΅πΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½ Considerando i moduli di tali forze si ha:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 65
οΏ½βπΈπΈπππΈπΈπ΅π΅(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½ = πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)
οΏ½βπΈπΈππππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½βΜ β§ π΅π΅πΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½ = πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)πΈπΈ2
οΏ½βπΈπΈππππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β§ οΏ½ππππ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β β§ π΅π΅πΊπΊ(ππ)οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½οΏ½ = πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2πΈπΈ2
Con la regola della mano destra si ricavano i versi di tali forze, i quali sono stati indicati nellβ ultima figura mostrata. Le equazioni di equilibrio dinamico dellβ insieme sono allora:
οΏ½πΉπΉ(ππ) sinοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ = Ξ¦(ππ) + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) ππ
2cosοΏ½π½π½(ππ)οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 ππ
2sin(π½π½(ππ))
πΉπΉ(ππ) cosοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ = οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½οΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 ππ2
cos(π½π½(ππ)) βπΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) ππ2
sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½
πΈπΈπππΈπΈπππΏπΏπππ΅π΅ππππππ π·π·πΈπΈπΏπΏπΏπΏπΈπΈ πΉπΉπππππΉπΉπΈπΈ πΉπΉ(ππ)πΈπΈ sinοΏ½π½π½(ππ)β πΎπΎ(ππ)οΏ½+ π½π½π½π½(ππ)Μ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) οΏ½ππ
2οΏ½2β πΈπΈπποΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ ππ
2sin(π½π½(ππ)) = 0
πΈπΈπππΈπΈπππΏπΏπππ΅π΅ππππππ π·π·πΈπΈππ πππππππΈπΈππππππ πππππππππΈπΈππππππ π΄π΄πΏπΏ πππΈπΈππππππ π΅π΅
In aggiunta alle equazioni ricavate studiando lβ equilibrio del manovellismo, si hanno altre due equazioni di tipo geometrico: una esprime la relazione fra gli angoli πΌπΌ(ππ) e π½π½(ππ), lβ altra relaziona lo spostamento π₯π₯(ππ) agli angoli πΌπΌ(ππ) e π½π½(ππ). Le equazioni sono:
οΏ½ππ sin(πΌπΌ(ππ)) = πΈπΈ sin(π½π½(ππ))
π₯π₯(ππ) = ππ cos(πΌπΌ(ππ)) + πΈπΈ cos(π½π½(ππ))
Complessivamente, le equazioni risultano quindi:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 66
β©βͺβͺβͺβͺβ¨
βͺβͺβͺβͺβ§ ππ sinοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½ = πΈπΈ sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½ (1)
π₯π₯(ππ) = ππ cos(πΌπΌ(ππ)) + πΈπΈ cos(π½π½(ππ)) (2)
ππ(ππ) = πΉπΉ(ππ) β sinοΏ½πΌπΌ(ππ) + πΎπΎ(ππ)οΏ½ β ππ + πΈπΈπππππΈπΈ2πππππΈπΈοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½ (3)
πΉπΉ(ππ) sinοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ = Ξ¦(ππ) + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)πΈπΈ2
cosοΏ½π½π½(ππ)οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2πΈπΈ2
sin(π½π½(ππ)) (4)
πΉπΉ(ππ) cosοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ = οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½οΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2πΈπΈ2
cos(π½π½(ππ)) βπΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)πΈπΈ2
sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½ (5)
πΉπΉ(ππ)πΈπΈ sinοΏ½π½π½(ππ) β πΎπΎ(ππ)οΏ½ + π½π½π½π½(ππ)Μ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) οΏ½πΈπΈ2οΏ½2
β πΈπΈπποΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½πΈπΈ2
sin(π½π½(ππ)) = 0 (6)
Le incognite sono: πΉπΉ(ππ), πΎπΎ(ππ), π½π½(ππ), π₯π₯(ππ), Ξ¦(ππ),ππ(ππ). Si hanno quindi 6 incognite e 6 equazioni, per cui il sistema Γ¨ risolubile. Apparentemente, data la presenza di derivate rispetto al tempo, il sistema sembrerebbe un sistema di equazioni differenziali; effettivamente Γ¨ cosΓ¬, tuttavia dato che si conosce πΌπΌ(ππ) ad ogni istante, il sistema si puΓ² risolvere in modo abbastanza rapido. Qui nel seguito, si mostra come ricavare lβespressione di ππ(ππ), ciΓ² che di fatto si vuole ricavare dal sistema, esprimendolo in funzione di grandezze note e successivamente si implementerΓ un programma Matlab che ne grafichi lβandamento. VerrΓ inoltre graficata anche la potenza elettrica che il motore deve fornire. Mettendo insieme lβ equazione (5) e lβ equazione (6) si puΓ² ricavare: οΏ½ππππ+πππποΏ½οΏ½ππ+ππ(ππ)Μ οΏ½+πππποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 ππ2 cos(π½π½(ππ))βπππποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)ππ
2 sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½
cosοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½πΈπΈ sinοΏ½π½π½(ππ)β πΎπΎ(ππ)οΏ½ + π½π½π½π½(ππ)Μ +
+πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) οΏ½ππ2οΏ½2β πΈπΈπποΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ ππ
2sin(π½π½(ππ)) = 0 β
πΈπΈ οΏ½οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½οΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 ππ2
cos(π½π½(ππ)) βπΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) ππ2
sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½οΏ½ sinοΏ½π½π½(ππ)β
πΎπΎ(ππ)οΏ½+ οΏ½π½π½π½π½(ππ)Μ +πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) οΏ½ππ2οΏ½2β πΈπΈπποΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ ππ
2sin(π½π½(ππ))οΏ½ cosοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ = 0
Lβ ultima equazione puΓ² essere riscritta come: πΈπΈ οΏ½οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½οΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2
πΈπΈ2
cos(π½π½(ππ)) βπΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)πΈπΈ2
sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½οΏ½ οΏ½sin(π½π½(ππ)) cosοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ β cos(π½π½(ππ)) sinοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½οΏ½+
+ οΏ½π½π½π½π½(ππ)Μ +πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) οΏ½πΈπΈ2οΏ½2
β πΈπΈπποΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½πΈπΈ2
sin(π½π½(ππ))οΏ½ cosοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ = 0
e riordinandone i termini:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 67
οΏ½πΈπΈ οΏ½οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½(ππ + π₯π₯(ππ)Μ ) + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 πΈπΈ
2cos(π½π½(ππ)) β πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)
πΈπΈ
2sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½οΏ½ sin(π½π½(ππ))
+ οΏ½π½π½π½π½(ππ)Μ +πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) οΏ½πΈπΈ
2οΏ½
2
β πΈπΈππ(ππ + π₯π₯(ππ)Μ )πΈπΈ
2sin(π½π½(ππ))οΏ½οΏ½ cosοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ +
β οΏ½οΏ½οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½(ππ + π₯π₯(ππ)Μ ) + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 πΈπΈ
2cos(π½π½(ππ)) β πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)
πΈπΈ
2sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½οΏ½ πΈπΈ cosοΏ½π½π½(ππ)οΏ½οΏ½ sinοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ = 0
si ottiene: tanοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ =
=πΈπΈ οΏ½οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½οΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 πΈπΈ2 cos(π½π½(ππ)) βπΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) πΈπΈ2 sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½οΏ½ sin(π½π½(ππ)) + οΏ½π½π½π½π½(ππ)Μ +πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) οΏ½πΈπΈ2οΏ½
2β πΈπΈπποΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ πΈπΈ2 sin(π½π½(ππ))οΏ½
οΏ½οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½οΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 πΈπΈ2 cos(π½π½(ππ)) βπΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) πΈπΈ2 sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½οΏ½ πΈπΈ cosοΏ½π½π½(ππ)οΏ½
Lβ espressione di tanοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ contiene tutti termini calcolabili; si mostrerΓ ora come calcolare π₯π₯(ππ)Μ , π½π½(ππ)Μ , π½π½(ππ)Μ , π½π½(ππ). Tenendo conto che π½π½(ππ) β ]β ππ
2 , + ππ2 [ , lβ equazione (1) Γ¨ invertibile e si puΓ²
scrivere: π½π½(ππ) = πΈπΈπππππππππΈπΈ οΏ½ππππ
sin(πΌπΌ(ππ))οΏ½. Derivando rispetto al tempo:
π½π½(ππ)Μ =1
οΏ½1 β ππ2πΈπΈ2 sin(πΌπΌ(ππ))2
πππΈπΈ πΌπΌ(ππ)Μ cos(πΌπΌ(ππ))
Derivando unβ altra volta:
π½π½(ππ)Μ =βπππΈπΈ ππ
2 sin(πΌπΌ(ππ))
οΏ½1 β ππ2πΈπΈ2 sin(πΌπΌ(ππ))2
+ππ2 οΏ½πππΈπΈοΏ½
3sin(πΌπΌ(ππ)) cos(πΌπΌ(ππ))2
οΏ½1 β ππ2πΈπΈ2 sin(πΌπΌ(ππ))2οΏ½
3 2β
Scritta in questo modo, le espressioni di π½π½(ππ),π½π½(ππ)Μ ,π½π½(ππ)Μ sono valutabili poichΓ© scritte in funzione di πΌπΌ(ππ), la quale Γ¨ nota. Per calcolare π₯π₯(ππ)Μ , si parte dallβ espressione di π₯π₯(ππ) e la si deriva due volte, ottenendo:
π₯π₯(ππ)Μ = βππ πΌπΌ(ππ)Μ sin(πΌπΌ(ππ))β πΈπΈ π½π½(ππ)Μ sin(π½π½(ππ)) π₯π₯(ππ)Μ = βππππ2cosοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½ β r sinοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½π½π½(ππ)Μ β l π½π½(ππ)Μ 2ππππππ(π½π½(ππ))
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 68
Quindi lβ espressione di tanοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ Γ¨ valutabile. Questa espressione permette di calcolare ππ(ππ); infatti, dalle equazioni (3) e (5) si ricava:
ππ(ππ) =οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½οΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 πΈπΈ2 cos(π½π½(ππ)) βπΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ) πΈπΈ2 sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½
cosοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½β sinοΏ½πΌπΌ(ππ) + πΎπΎ(ππ)οΏ½ β ππ + πΈπΈππππ
πΈπΈ2 πππππΈπΈοΏ½πΌπΌ
(ππ)οΏ½
e sviluppando sinοΏ½πΌπΌ(ππ) + πΎπΎ(ππ)οΏ½ risulta pari a: ππ(ππ) = οΏ½οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½οΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2
πΈπΈ2
cos(π½π½(ππ)) βπΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)πΈπΈ2
sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½οΏ½ οΏ½sinοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½ + cosοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½ tanοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½οΏ½
+ πΈπΈπΈπΈπππΈπΈ2πππππΈπΈοΏ½πΌπΌ(ππ)οΏ½
la quale mostra che ππ(ππ) Γ¨ ora valutabile dato che si conosce interamente il secondo membro dellβ equazione. Prima di implementare il programma Matlab che mostri il grafico della coppia e della potenza, Γ¨ necessario attribuire dei valori numerici a dei parametri. In particolare, bisogna fissare il momento di inerzia della biella π½π½ rispetto al baricentro, la massa della biella πΈπΈππ, la massa della manovella πΈπΈππ e la massa del pistone πΈπΈππ; inoltre si calcolerΓ anche il momento di inerzia rispetto al punto π΅π΅, il quale verrΓ utilizzato nel paragrafo 5.3. Per fissare π½π½: si ipotizza di modellare la biella con un parallelepipedo rettangolo omogeneo di dimensioni (πΈπΈ β ΞπΈπΈ) Γ πΈπΈ Γ ππ, dove (πΈπΈ β ΞπΈπΈ) rappresenta la lunghezza fittizia della biella, per tenere conto del fatto che la massa Γ¨ concentrata soprattutto nella zona centrale, πΈπΈ Γ¨ lo spessore, ππ Γ¨ la larghezza. Il momento di inerzia π½π½π΅π΅ rispetto al punto π΅π΅ , come noto dal teorema di Huygens-Steiner, si puΓ² scrivere:
π½π½π΅π΅ = π½π½ +(πΈπΈ β ΞπΈπΈ)2
4 πΈπΈππ dove come giΓ noto con πΈπΈππ si Γ¨ indicata la massa della biella e π½π½ il momento di inerzia rispetto allβ asse di rotazione passante per il baricentro. Per un parallelepipedo rettangolo di dimensioni come quelle indicate π½π½ vale:
π½π½ = οΏ½(πΈπΈ β ΞπΈπΈ)2
12 +ππ2
12οΏ½πΈπΈππ
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 69
e quindi:
π½π½π΅π΅ = οΏ½(πΈπΈ β ΞπΈπΈ)2
12 +ππ2
12 +(πΈπΈ β ΞπΈπΈ)2
4 οΏ½πΈπΈππ = οΏ½(πΈπΈ β ΞπΈπΈ)2
3 +ππ2
12οΏ½ππ (πΈπΈ β ΞπΈπΈ) πΈπΈ ππ
dove con ππ si Γ¨ indicata la densitΓ della biella. Nel programma Matlab verrΓ presa la densitΓ di un Alluminio sia per la manovella che per la biella: ππ = 2700 ππππ
ππ3, ΞπΈπΈ verrΓ fissato a 0.2 πΈπΈ, πΈπΈ = 5 πΈπΈπΈπΈ e ππ = 1.5 πππΈπΈ Anche lo spessore e la larghezza della manovella si considereranno pari ad πΈπΈ e ππ, con la massa approssimativamente pari a:
πΈπΈππ = ππ ππ πΈπΈ ππ Per fissare πΈπΈππ: banalmente si puΓ² scrivere che πΈπΈππ = ππππππ, dove ππ Γ¨ la densitΓ del pistone, che verrΓ presa sempre pari a 2700 ππππ
ππ3, ππ Γ¨ lo spessore del pistone, il quale verrΓ preso pari a 1 πΈπΈπΈπΈ, ππ Γ¨ la superficie di base del pistone, la quale verrΓ presa pari a 0.1 πΈπΈ3, diversamente da quanto era stata considerata durante la simulazione del sistema di controllo (2 πΈπΈ3), per ottenere dei valori non eccessivamente elevati della potenza elettrica richiesta al motore; ciΓ² consente di porsi in una condizione conservativa per quanto riguarda la valutazione economica che verrΓ effettuata nel paragrafo 5.3, poichΓ© diminuendo la potenza nominale del compressore, diminuisce anche il risparmio potenziale che si puΓ² ottenere introducendo il sistema di controllo e conseguentemente, qualora risultasse vantaggioso dal punto di vista economico introdurre il sistema in tali condizioni, a maggior ragione risulterebbe proficuo con un motore elettrico del compressore piΓΉ potente. Si considererΓ inoltre una velocitΓ angolare ππ pari a 12 πππΈπΈππ/ππ, diversamente dalla simulazione Simulink (25 πππΈπΈππ/ππ), per gli stessi motivi della superficie base del pistone, una lunghezza di manovella ππ = 0.1 πΈπΈ (minore dei 0.5 πΈπΈ della simulazione per gli stessi motivi della superficie del pistone e della velocitΓ angolare), lunghezza di biella πΈπΈ = 0.8 πΈπΈ, pressione di aspirazione ππ0 = 0.5 πππΈπΈππ, pressione di mandata ππ1 = 3 πππΈπΈππ (minore dei 10 πππΈπΈππ della simulazione per gli stessi motivi della superficie del pistone, della velocitΓ angolare e della lunghezza di manovella), rendimento di conversione del motore elettrico ππππππ = 0.95.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 70
La pressione ππ(ππ), che varia nellβ intervallo [ππ0,ππ1], non Γ¨ ancora stata considerata nel modello fino ad ora analizzato. Per inserirla, basta semplicemente modificare lβ equazione (5) (solo tale equazione va modificata); infatti, in aggiunta alle forze πΈπΈπππ₯π₯(ππ)Μ πΈπΈ πΈπΈππππ che agiscono sul pistone, si ha la forza: (ππ(ππ) β ππππ)ππ, con ππππ pressione ambiente. Quindi si ha al posto dellβ equazione (5): πΉπΉ(ππ) cosοΏ½πΎπΎ(ππ)οΏ½ = οΏ½πΈπΈππ + πΈπΈπποΏ½οΏ½ππ + π₯π₯(ππ)Μ οΏ½ + πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2
πΈπΈ2
cos(π½π½(ππ)) βπΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π½(ππ)πΈπΈ2
sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½ + (ππ(ππ) β ππππ)ππ
Per far sΓ¬ che lβ equazione (5) mantenga la stessa forma nei due casi (nel funzionamento a vuoto o in pressione), si puΓ² porre per tale equazione ad esempio:
ππβ²(ππ) = ππ +(ππ(ππ) β ππππ)πππΈπΈππ + πΈπΈππ
Dunque, per passare da un modello allβ altro, basta sostituire ππβ²(ππ) con ππ o viceversa per lβ equazione (5). Questo Γ¨ quello che verrΓ fatto con Matlab. Il rendimento di conversione elettro-meccanico ππππππ serve per passare dalla coppia meccanica alla potenza elettrica (o viceversa). Infatti la potenza ππππππ che eroga il motore viene convertita con rendimento ππππππ per dare in uscita il prodotto ππ(ππ)ππ. Si puΓ² scrivere quindi:
ππππππ =ππ(ππ)ππππππππ
Infine, lβ ultimo passo rimasto da fare prima di vedere i risultati di Matlab, Γ¨ la determinazione dellβ andamento della pressione ππ(ππ) dellβ aria. Si Γ¨ visto infatti come trattare il problema per tenere conto di ππ(ππ), tuttavia Γ¨ necessario averne una espressione analitica per fare in modo che Matlab possa fornire dei risultati. Si suppone che lβ angolo iniziale di manovella sia pari a ππ, ossΓ¬a punto morto inferiore, quando il volume dβ aria Γ¨ pari a ππ1 e sta per iniziare la compressione (quindi si Γ¨ fissato anche lβ istante iniziale ππ = 0). Da ππ1 fino a ππ2, la pressione ππ(ππ) varia secondo la legge giΓ mostrata in precedenza: ππ(ππ)(ππ(ππ) + ππππ)ππ = ππ0ππ1 = ππ0(ππππ + ππππ), la quale, dato che ππ(ππ) =οΏ½π₯π₯ οΏ½ππ
πποΏ½ β π₯π₯(ππ)οΏ½ ππ, porta a esprimere ππ(ππ) come:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 71
ππ(ππ) = ππ0 οΏ½[π₯π₯ οΏ½πππποΏ½ β π₯π₯(0)]ππ + ππππ
[π₯π₯ οΏ½πππποΏ½ β π₯π₯(ππ)]ππ + πππποΏ½
ππ
funzione di grandezze note. Lβ espressione rimane vera fintanto che ππ(ππ) β€ ππ1, ossΓ¬a ππ(ππ) β₯ ππ2, oppure anche per ππ β€ ππβπΌπΌππ
ππ, dove πΌπΌππ Γ¨ lβ angolo di manovella che corrisponde allβ
apertura della valvola di mandata. Nellβ implementazione Matlab si Γ¨ usata questβ ultima condizione; per ricavare πΌπΌππ si puΓ² utilizzare lβ equazione di compressione dal punto 1 al punto 2:
ππ1ππ01ππ = ππ2ππ1
1ππ
dove ππ1 = ππππ + ππππ e il volume generico dβaria contenuto nel compressore si puΓ² esprimere come noto:
ππ(πΌπΌ) = ππ οΏ½ππ + πΈπΈ β ππ cosπΌπΌ β πΈπΈοΏ½1 β ππ2
ππ2(sinπΌπΌ)2οΏ½ + ππππ
Quindi dallβequazione:
ππ1ππ01ππ = ππ2ππ1
1ππ
si ricava:
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππ
=ππππ + ππππ
ππππ + ππ(πΌπΌππ) =ππππ + ππππ
ππππ + ππ οΏ½ππ + πΈπΈ β ππ cosπΌπΌππ β πΈπΈοΏ½1 β ππ2πΈπΈ2 (sinπΌπΌππ)2οΏ½
da cui si puΓ² ricavare lβangolo πΌπΌππ del volume ππ2 con qualche passaggio algebrico. Si perviene a:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 72
πΌπΌππ = πΈπΈππππππππππ
β
βββββββππ2 β πΈπΈ2 +
β©βͺβ¨
βͺβ§ππ + πΈπΈ β 2ππ
β£β’β’β’β‘β ππππππππ
+1 + ππππ
ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ¦β₯β₯β₯β€
ββͺβ¬
βͺβ«2
2ππ
β©βͺβ¨
βͺβ§ππ + πΈπΈ β 2ππ
β£β’β’β’β‘βππππππππ
+1 + ππππ
ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ¦β₯β₯β₯β€
ββͺβ¬
βͺβ«
β
βββββββ
Successivamente, dal tempo ππ β₯ ππβπΌπΌππ
ππ fino al tempo ππ = ππ
ππ, la pressione
rimane costante pari alla pressione di mandata: ππ(ππ) = ππ1. Poi, per ππ β οΏ½ππ
ππ, ππ+πΌπΌππ
πποΏ½, cioΓ¨ da ππ3 fino a ππ4, la pressione ππ(ππ) varia secondo la
legge: ππ1ππ3 = ππ1ππππ = ππ(ππ)ππ(ππ)ππ, la quale, dato che ππ(ππ) = οΏ½π₯π₯ οΏ½πππποΏ½ β π₯π₯(ππ)οΏ½ ππ,
porta a esprimere ππ(ππ) come:
ππ(ππ) = ππ1 οΏ½ππππ
[π₯π₯ οΏ½πππποΏ½ β π₯π₯(ππ)]ππ + πππποΏ½
ππ
Con πΌπΌππ si Γ¨ indicato lβ angolo di apertura della valvola di aspirazione; analogamente a quanto visto per lβ angolo di espulsione πΌπΌππ Γ¨ possibile calcolare πΌπΌππ con un procedimento simile; si puΓ² utilizzare lβ equazione di espansione dal punto 3 al punto 4: ππ4ππ0
1ππ = ππ3ππ1
1ππ
dove ππ3 = ππππ e il volume dβaria ππ4 contenuto nel compressore si puΓ² esprimere come noto:
ππ4 = ππ(πΌπΌππ) = ππ οΏ½ππ + πΈπΈ β ππ cosπΌπΌππ β πΈπΈοΏ½1 β ππ2
ππ2(sinπΌπΌππ)2οΏ½ + ππππ
Quindi dallβequazione:
ππ4ππ01ππ = ππ3ππ1
1ππ
si ricava:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 73
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππ
=ππ οΏ½ππ + πΈπΈ β ππ cosπΌπΌππ β πΈπΈοΏ½1 β ππ2
πΈπΈ2 (sinπΌπΌππ)2οΏ½ + ππππ
ππππ
da cui si puΓ² ricavare lβangolo πΌπΌππ del volume ππ4 con qualche passaggio algebrico. Si perviene a:
πΌπΌππ = πΈπΈππππππππππ
β
βββββππ2 β πΈπΈ2 + οΏ½ππ+ πΈπΈ β 2ππ πππΈπΈππππ
οΏ½οΏ½ππ1ππ0οΏ½
1πΈπΈβ 1οΏ½οΏ½
2
2πποΏ½ππ+ πΈπΈ β 2πππππΈπΈπππποΏ½οΏ½ππ1ππ0οΏ½
1πΈπΈβ 1οΏ½οΏ½
β
βββββ
Infine, per ππ β οΏ½ππ+πΌπΌππ
ππ, 2πππποΏ½, cioΓ¨ da ππ4 fino a ππ1, la pressione ππ(ππ) rimane
costante pari al valore ππ0 fino allβ inizio del nuovo ciclo. Sono dunque state viste le equazioni; ora si vedranno i grafici con lβ ausilio di Matlab che scaturiscono dallβ implementazione algoritmica di quanto detto. Verranno plottati i grafici per un numero di cicli pari a 10, cioΓ¨ 10 rotazioni complete di manovella.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 74
Andamento della posizione del pistone:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 75
Andamento della pressione nel cilindro:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 76
Andamento della coppia motrice:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 77
Andamento della potenza richiesta al motore:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 78
Andamento della potenza a vuoto (senza considerare la compressione dellβ aria):
Andamento della coppia a vuoto:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 79
Diagramma ππ β ππ:
Coppia richiesta massima e minima in funzione della velocitΓ angolare:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 80
Potenza elettrica richiesta massima e minima in funzione della velocitΓ angolare:
Come si puΓ² notare dai grafici, gli andamenti delle grandezze: potenza, coppia, pressione, posizione del pistone sono periodiche, con periodo pari al ciclo di manovella 2ππ
ππ.
Il diagramma ππ β ππ conferma ovviamente quanto detto nei primi paragrafi. La potenza richiesta al motore raggiunge un valore massimo pari a circa 23 ππππ e un valore minimo di circa β5 ππππ (in base al valore numerico scelto come visto precedentemente per i vari parametri). Il segno meno Γ¨ dovuto al fatto che in certi istanti di tempo, e quindi in certe posizioni angolari di manovella, la coppia si oppone in verso alla velocitΓ angolare; ciΓ² Γ¨ necessario per mantenere la velocitΓ angolare costante, altrimenti ci sarebbero delle accelerazioni. Per cui servirΓ sicuramente un motore elettrico con potenza nominale uguale o superiore a 23 ππππ. La caratteristica meccanica della coppia richiesta (grafico ππ(ππ) βππ) , mostra che la coppia puΓ² oscillare nel tempo tra un valore massimo (circa 1850 πππΈπΈ) e un valore minimo (circa β395 πππΈπΈ), per qualsiasi valore della velocitΓ angolare di manovella. PoichΓ© allβ albero di manovella deve valere che la coppia richiesta dal manovellismo, riferita perΓ² alla velocitΓ di rotazione dellβ albero motore, sia uguale alla coppia erogata dal motore per mantenere la velocitΓ angolare costante, serve un motore elettrico con una curva caratteristica il piΓΉ possibile
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 81
verticale, in modo che al variare nel tempo della coppia richiesta ππ(ππ), il motore risponda con una coppia uguale, con velocitΓ angolare che rimane in un range molto limitato (in generale non rimarrΓ esattamente costante, ma la sua variazione deve risultare molto limitata). Ovviamente, tra albero motore e albero di manovella deve essere presente un riduttore di velocitΓ , che permetta il trasferimento di potenza tra il primo ed il secondo. La curva caratteristica di un motore asincrono trifase ha un andamento che soddisfa i requisiti richiesti:
In figura Γ¨ rappresentata la curva caratteristica di un motore asincrono trifase e la coppia massima e minima richiesta dal manovellismo. Si vede che le intersezioni fra le curve di coppia comportano delle variazioni di velocitΓ angolare del motore ππ che sono limitate. In conclusione, in questo paragrafo Γ¨ stata quindi ricavata la potenza elettrica nominale che deve avere il motore elettrico, che per i valori numerici dei parametri scelti risulta pari (almeno) a 23 ππππ. Questo dato verrΓ utilizzato in seguito per la valutazione di convenienza economica.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 82
Si riportano nel seguito gli script di Matlab utilizzati, per completezza: close all clear clc %N.B: parametro alpha_zero non modificabile (pari a pi greco) per come %Eβ stato implementato l'algoritmo omega=12; %velocitΓ angolare manovella eta_el=0.95; %rendimento di conversione motore elettrico P0=0.5; %pressione di aspirazione P1=3; %pressione di mandata r=0.1; %lunghezza di manovella l=0.8; %lunghezza di biella S=0.1; %superficie pistone s=0.001; %spessore pistone ro=2700; %densitΓ alluminio a=0.005; %larghezza di biella b=0.015; %spessore di biella delta_l=0.2; mb=ro*a*b*(l-delta_l); %massa biella (di lunghezza fittizia l-delta_l) [M,t,alpha,x,P,m,~] = momento_man(r,l,S,s,ro,omega,pi,a,b,P0, P1,9.81); figure(1) plot(t,M) w=xlabel('tempo (s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('coppia sulla manovella (Nm)'); set(y,'FontSize',18) figure(2) plot(t,M*omega/eta_el/1000) w=xlabel('tempo (s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('potenza elettrica (kW)'); set(y,'FontSize',18) figure(3) plot(alpha*180/pi,M*omega/eta_el/1000) w=xlabel('angolo di manovella ( Β°)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('potenza elettrica (kW)'); set(y,'FontSize',18) figure(4) subplot(1,2,1) plot(alpha*180/pi,x) w=xlabel('angolo di manovella ( Β°)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('posizione manovella (m)'); set(y,'FontSize',18)
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 83
subplot(1,2,2) plot(t,x) w=xlabel('tempo (s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('posizione manovella (m)'); set(y,'FontSize',18) %Eβ interessante notare il comportamento della curva di coppia/potenza %al variare di omega. Al di sotto di una certa velocitΓ (3.5 rad/s), %la curva perde una sinusoide; ciΓ² Γ¨ dovuto alla diminuzione di momento %angolare (o impulso angolare) del sistema %aggiunta della pressione dell'aria al modello figure(5) plot(alpha*180/pi,P) w=xlabel('angolo di manovella ( Β°)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('pressione linearizzata (bar)'); set(y,'FontSize',18) figure(6) plot(t,P) w=xlabel('tempo (s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('pressione linearizzata (bar)'); set(y,'FontSize',18) Pa=1; %pressione ambiente g=9.81+(P-Pa)*S/(m+mb)*10^5; [M,t,alpha,x,~,m,P_re] = momento_man(r,l,S,s,ro,omega,pi,a,b,P0, P1,g); figure(7) plot(t,M) w=xlabel('tempo (s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('coppia totale sulla manovella (Nm)'); set(y,'FontSize',18) figure(8) plot(t,M*omega/eta_el/1000) w=xlabel('tempo (s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('potenza elettrica totale (kW)'); set(y,'FontSize',18) figure(9) plot(alpha*180/pi,M*omega/eta_el/1000) w=xlabel('angolo di manovella ( Β°)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('potenza elettrica totale (kW)'); set(y,'FontSize',18) figure(10)
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 84
subplot(1,2,1) plot(alpha*180/pi,x) w=xlabel('angolo di manovella ( Β°)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('posizione manovella totale (m)'); set(y,'FontSize',18) subplot(1,2,2) plot(t,x) w=xlabel('tempo (s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('posizione manovella totale (m)'); set(y,'FontSize',18) %calcolo pressione non linearizzata figure(11) plot(alpha*180/pi,P_re) w=xlabel('angolo di manovella ( Β°)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('pressione reale (bar)'); set(y,'FontSize',18) %potenza elettrica reale (considerando la pressione vera dell'aria) g=9.81+(P_re-Pa)*S/(m+mb)*10^5; [M,~,alpha,x,~,~,P_re] = momento_man(r,l,S,s,ro,omega,pi,a,b,P0, P1,g); figure(12) plot(alpha*180/pi,M*omega/eta_el/1000) w=xlabel('angolo di manovella ( Β°)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('potenza elettrica reale (kW)'); set(y,'FontSize',18) figure(13) plot(alpha*180/pi,M) w=xlabel('angolo di manovella ( Β°)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('coppia reale sulla manovella (Nm)'); set(y,'FontSize',18) Sn=0.06*S*2*r; figure(14) plot((max(x)-x+Sn)*S,P_re) w=xlabel('Volume (m^3)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('pressione reale (bar)'); set(y,'FontSize',18) %caratteristica resistente omega_max=25; omega_min=0.5;
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 85
Pmax=linspace(omega_min,omega_max,200); Pmin=linspace(omega_min,omega_max,200); Mmax=linspace(omega_min,omega_max,200); Mmin=linspace(omega_min,omega_max,200); omega=linspace(omega_min,omega_max,200); omega_single=omega_min; [~,~,~,~,~,~,P_re] = momento_man(r,l,S,s,ro,omega_min,pi,a,b,P0,P1,g); i=1; while omega_single <= omega_max g=9.81+(P_re-Pa)*S/(m+mb)*10^5; [M,t,alpha,x,P,m,P_re] = momento_man(r,l,S,s,ro,omega_single,pi,a,b,P0,P1,g); Pmax(i)=max(M*omega_single/eta_el/1000); Pmin(i)=min(M*omega_single/eta_el/1000); Mmax(i)=max(M); Mmin(i)=min(M); omega(i)=omega_single; i=i+1; omega_single=omega_single+(omega_max-omega_min)/(length(Pmax)-1); end figure(15) plot(omega,Pmax) w=xlabel('omega (rad/s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('potenza res. max e min (kW)'); set(y,'FontSize',18) hold on plot(omega,Pmin) figure(16) plot(omega,Mmax) w=xlabel('omega (rad/s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('coppia res. sup e inf (kW)'); set(y,'FontSize',18) hold on plot(omega,Mmin)
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 86
Function utilizzata nello script sopra riportato: %N.B:parametro alpha_zero non modificabile (pari a pi greco) per come %Γ¨ stato implementato lβ algoritmo
function [M,t,alpha,x,P,m,P_re] = momento_man(r,l,S,s,ro,omega,alpha_zero,a,b,P0,P1,g) t=linspace(0,2*pi/omega*10,10000); alpha=alpha_zero-omega*t; m=ro*S*s; %massa pistone delta_l=0.2*l; mb=ro*a*b*(l-delta_l); J=((l-delta_l)^2/12+b^2/12)*mb; mm=ro*a*b*r; %massa manovella beta=asin((r/l)*sin(alpha)); beta_punto=-((r/l)*omega*cos(alpha))./(1-(r/l)^2*sin(alpha).^2).^(1/2); beta_duepunti=-((r/l)*omega^2*sin(alpha))./(1-(r/l)^2*sin(alpha).^2).^(1/2)+(omega^2*(r/l)^3*sin(alpha).*cos(alpha).^2)./(1-(r/l)^2*sin(alpha).^2).^(3/2); x_duepunti=-(r*omega^2*cos(alpha)+r*sin(alpha).*beta_duepunti +l*cos(beta).^(1/2).*beta_punto.^2); a1=(m+mb)*(x_duepunti+g)+mb*beta_punto.^2*(l/2).*cos(beta)-mb*beta_duepunti*(l/2).*sin(beta); a2=J*beta_duepunti+mb*beta_duepunti*(l/2)^2-mb*(x_duepunti+9.81)*(l/2).*sin(beta); tan_gamma=(l*a1.*sin(beta)+a2)./(a1.*cos(beta)*l); M=a1.*(sin(alpha)+cos(alpha).*tan_gamma)*r+mm*9.81*(l/2)*sin(alpha); x=r*cos(alpha)+l*cos(beta); %aggiunta della pressione dell'aria al modello t_primo=ones(1,length(t)); P=ones(1,length(t)); k=1; for i=1:length(t) if t(i) <= pi/omega t_primo(i) = t(i); P(i)=P0+t_primo(i)/(pi/omega)*(P1-P0); a=i; else t_primo(i) = t_primo(k); if k<=a P(i)=P1-t_primo(i)/(pi/omega)*(P1-P0);
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 87
end k=k+1; end end s=1; for i=1:length(t) if P(i)==1 P(i)=P(s); s=s+1; end end %pressione reale P_re=ones(1,length(t)); k=1.4; eta_ic=0.85; n=1/(1-log(1+((P1/P0)^((k-1)/k)-1)/eta_ic)/log(P1/P0)); s_=0.06; Sn=0.06*S*2*r; if (g==9.81) fprintf('lo spazio nocivo nominale Γ¨: %f m^3 \n',Sn) end ae=acos((r^2-l^2+(r+l-2*r*(-s_+(1+s_)/(P1/P0)^(1/n)))^2)/(2*r*(r+l-2*r*(-s_+(1+s_)/(P1/P0)^(1/n))))); z=find(t>=(pi-ae)/omega-0.00001 & t<=(pi-ae)/omega+0.00001); i=0.001; if numel(z)==0 while numel(z)==0 z=find(t>=(pi-ae)/omega-0.00001-i & t<=(pi-ae)/omega+0.00001+i); i=i*2; end end for i=1:z(1) P_re(i)=P0*((max(x)-x(1)+Sn/S)/(max(x)-x(i)+Sn/S))^(n); end d=find(alpha>=-0.001 & alpha<=+0.001); for i=z(1)+1:d(1) P_re(i)=P1;
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 88
end aa=acos((r^2-l^2+(r+l-2*r*s_*((P1/P0)^(1/n)-1))^2)/(2*r*(r+l-2*r*s_*((P1/P0)^(1/n)-1)))); e=find(t>=(pi+aa)/omega-0.001 & t<=(pi+aa)/omega+0.001); i=0.001; if numel(e)==0 while numel(e)==0 e=find(t>=(pi+aa)/omega-0.001-i & t<=(pi+aa)/omega+0.001+i); i=i*2; end end i=d(1)+1; while i<=e(1) %P1*((Sn/S)/(max(x)-x(i)+Sn/S))^(n) >= P0 P_re(i)=P1*((Sn/S)/(max(x)-x(i)+Sn/S))^(n); i=i+1; end h=i; f=find(x>=min(x)-0.000001 & x<=min(x)+0.000001); for i=h:f(2) P_re(i)=P0; end k=1; for i=f(2)+1:length(t) P_re(i)=P_re(k); k=k+1; end end
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 89
5.2 Scelta del motorino elettrico per la variazione del volume nocivo e di altre componenti del sistema
Serve ora valutare la potenza nominale che deve avere il motorino elettrico (πππΈπΈ). In particolare, in questo paragrafo verrΓ ricavata la coppia di spunto minima che deve avere il motorino, dalla quale poi nel paragrafo 5.3 si ricaverΓ la potenza nominale da catalogo. Ricordando quanto visto nel paragrafo 4.1, si erano ricavate le seguenti equazioni per il modello matematico di πππΈπΈ, relative alla applicazione della legge delle maglie di Kirchhoff e del principio di conservazione dellβ energia:
β©βͺβͺβͺβ¨
βͺβͺβͺβ§ ππ(ππ) β ππππ β ππ(ππ)β πΏπΏ β
ππππ(ππ)ππππ β πΎπΎΞ©(ππ) = 0
ππ(ππ) =(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2
πππππΎπΎππΞ©(ππ)ππππ
ππ(ππ) = ππ(ππ)βπππ π πππππππππππΎπΎ
βπππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎ
ππ(ππ) = ππ(ππ) β πππππππ π πππππππππππΎπΎ
β πππππππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎ
le quali riscritte eliminando ππ(ππ) e ππ(ππ):
β©β¨
β§ ππ(ππ) β ππππ β ππ(ππ)β πΏπΏ βππππ(ππ)ππππ β πΎπΎΞ©(ππ) = 0
ππ(ππ) =(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2
πππππΎπΎππΞ©(ππ)ππππ
+πππ π πππππππππππΎπΎ
+πππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎ
La prima di tali equazioni, corrispondente alla legge delle maglie, come giΓ accennato nel paragrafo 4.1, vale per un motore a corrente continua ad eccitazione indipendente, mentre la seconda equazione, quella delle potenze, Γ¨ generale; le relazioni che si otterranno in questo paragrafo saranno generali, poichΓ© faranno uso di questβ ultima. Per valutare la potenza a regime e conseguentemente la potenza minima nominale che deve avere il motorino πππΈπΈ, nelle espressioni non si considerano i transitori (ce ne sono due: dovuti uno allβ azionamento del freno, mentre lβ altro allβ inserimento dellβ innesto), i quali come si vedrΓ in seguito sempre in questo paragrafo, sono molto brevi. Per non considerarli si
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 90
azzerano le derivate rispetto al tempo e si ottiene quindi, ponendo ππΞ©(ππ)ππππ
=
0 πΈπΈ ππππ(ππ)ππππ
= 0:
οΏ½ππ β ππππ β ππ β πΎπΎΞ© = 0
ππ =πππ π πππππππππππΎπΎ
+πππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎ
Si trascura inoltre lβ attrito volvente rispetto a quello radente, per ottenere:
οΏ½ππ β ππππ β ππ β πΎπΎΞ© = 0
ππ =πππ π πππππππππππΎπΎ
Si sa poi che: Ξ© = 1
π π ππππ(ππ)ππππ
, la quale a regime si puΓ² scrivere (π₯π₯(ππ) Γ¨ lineare nel
tempo a regime poichΓ© Ξ© Γ¨ costante): Ξ© = 1π π ππ(ππππ)βππ(0)
ππππ, con ππππ tempo di regime
e 0 istante in cui inizia il regime. Eβ noto inoltre che: [π₯π₯(ππππ) β π₯π₯(0)]π΄π΄ππ = ππβ²ππ(ππππ) β ππβ²ππ(0), dove con π΄π΄ππ si Γ¨ indicata lβ area di base del blocchetto di massa ππ trascinato dal motorino elettrico πππΈπΈ. Per cui:
πΈπΈ = πΎπΎΞ© =πΎπΎπ΄π΄ππππ
ππβ²ππ(ππππ) β ππβ²ππ(0) ππππ
La potenza elettrica ππππ richiesta al motorino a regime si puΓ² quindi esprimere indifferentemente nei tre modi seguenti: 1)ππππ = πΈπΈππ = πΎπΎ
π΄π΄πππ π ππβ²ππ(ππππ)βππβ²ππ(0)
ππππ
πππ π πππππ π πππππΎπΎ
= πππ π ππππ[ππβ²ππ(ππππ)βππβ²ππ(0)]πππππ΄π΄ππππππ
2)ππππ = πππ π ππππ[ππ(ππππ)βππ(0)]ππππππππ
3)ππππ = πππ π πππππ π Ξ©ππππ
Tali modi, rappresentano la relazione intuitiva che ci deve essere tra potenza motrice (elettrica) e potenza resistente (dovuta allβ attrito radente), valida non solo per motori a corrente continua ad eccitazione indipendente, ma come detto in generale, per qualsiasi tipo di motore.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 91
La potenza elettrica nominale ππππ del motorino dovrΓ essere superiore a quella di regime ππππ:
ππππ β₯ ππππ =πππ π ππππ[ππβ²ππ(ππππ) β ππβ²ππ(0)]
πππππ΄π΄ππππππ=πππ π ππππ[ππβ²ππ(ππππππππππ) β ππβ²ππ(0)]
πππππ΄π΄ππππππππππππ=πππ π ππππΞππβ²ππππππππ
πππππ΄π΄ππππππ
dove ππππ ,essendo il tempo di regime, rappresenta lβ intervallo di tempo in cui il blocchetto si sposta esclusi i transitori; nellβ ultima relazione (ππππ = πππ π ππππΞππβ²ππππππππ
πππππ΄π΄ππππππ
)
invece si considera il fatto che, la variazione massima di volume nocivo βππππππππππβ² deve avvenire in un tempo ππππ al massimo pari a ππππππππππ = ππ
ππ (si
potrebbe scegliere in linea di principio ππππππππππ < ππππ
, ma per minimizzare la potenza richiesta a regime conviene porsi nella condizione ππππππππππ = ππ
ππ); infatti
ππππ deve essere tale che il volume nocivo venga modificato in un tempo minore o uguale al tempo che passa tra lβ inizio della aspirazione e lβ inizio della compressione: ππ
ππ (la durata della fase di aspirazione Γ¨ in realtΓ pari a: ππβπΌπΌππ
ππ,
con πΌπΌππ angolo visto nel paragrafo 5.1; tuttavia, dato che Γ¨ di solito un angolo piccolo lo si trascura per non complicare i calcoli). Quindi si puΓ² prendere ππππππππππ = ππ
ππ nel caso di spostamento massimo,
ricordando che il volume nocivo viene modificato soltanto nellβ intervallo che va dallβ inizio della aspirazione fino allβ inizio della compressione, mentre non viene modificato durante la compressione. Quindi, implicitamente, si considera il tempo di regime ππππ variabile, in funzione della variazione di spazio nocivo che si vuole avere in quel ciclo. Successivamente in questo paragrafo si vedrΓ come calcolare in generale tale tempo ππππ. Lβ unica incognita della relazione che esprime la potenza a regime Γ¨ la massa del blocchetto ππ, la quale si puΓ² calcolare considerando che deve valere lβ equilibrio delle forze sullo stesso blocchetto in fase di compressione, poichΓ© il volume nocivo non deve essere modificato in tale fase, per evitare di dover sovradimensionare il motorino elettrico πππΈπΈ. Si suppone che, durante la compressione, lβ albero del motore elettrico sia collegato tramite lβ innesto allβ albero delle ruote, in modo da generare una forza (e coppia) resistente che si oppone, insieme alla forza di attrito statico, alla spinta della pressione. Come detto, il volume nocivo in tale fase non deve variare, quindi lβ albero del motorino e quello delle ruote devono rimanere in quiete. In tale condizione il motorino elettrico genera la coppia di spunto πππ π . Si possono scrivere due equazioni: una relativa allβ equilibrio delle forze o dei momenti che si deve avere in compressione, in funzione della coppia di spunto πππ π e della massa ππ, lβ altra relativa al transitorio di
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 92
avviamento, anche essa funzione di ππ, πππ π ed inoltre della potenza a regime ππππ; aggiungendo a queste due equazioni quella che esprime ππππ in funzione di ππ ricavata in precedenza Γ¨ possibile ricavare la massa del blocchetto, la coppia di spunto minima che deve avere il motorino, la quale Γ¨ un parametro noto da catalogo, e la potenza a regime. Partendo dal transitorio di avviamento, si puΓ² scrivere, a partire dalle equazioni viste nel paragrafo 4.1 e riprese allβ inizio di questo paragrafo:
ππππ(ππ) = πΈπΈ(ππ)ππ(ππ) = πΎπΎΞ©(ππ) οΏ½(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2
πππππΎπΎππΞ©(ππ)ππππ
+πππ π πππππππππππΎπΎ
+πππ£π£(πΈπΈππππ + πΈπΈ)ππππ
πππππΎπΎοΏ½ β
β(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2Ξ©(ππ)
ππππππΞ©(ππ)ππππ
+πππ π ππππππΞ©(ππ)
ππππ
Nellβ equazione si Γ¨ trascurato lβ attrito volvente; inoltre, integrandola sul tempo di avviamento πππππ£π£π£π£ si ha:
οΏ½ ππππ(ππ)πππππππππ£π£π£π£
0= οΏ½
(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2Ξ©ππππ
ππΩΩ
0+ οΏ½
πππ π ππππππΞ©(ππ)ππππ
πππππππππ£π£π£π£
0
Dato che si vuole un tempo di avviamento piccolo, si puΓ² imporre: πππππ£π£π£π£ =0.05 ππ; cosΓ¬ facendo, nellβ intervallo [0, πππππ£π£π£π£], si possono linearizzare le funzioni variabili nel tempo Ξ©(ππ) ed ππ(ππ); con Ξ© si indica il valore a regime di Ξ©(ππ), mentre con ππ(ππ) la coppia erogata dal motore sapendo che deve valere:
ππππ(ππ) = ππ(ππ)Ξ©(ππ) ππ(ππ) varia tra il suo valore iniziale, pari alla coppia di spunto πππ π al tempo zero, e il suo valore a regime ππππ = ππππ
Ξ© al tempo πππππ£π£π£π£, quindi si puΓ² scrivere:
ππ(ππ) = πππ π β (πππ π βππππ) ππ
πππππ£π£π£π£ 0 β€ ππ β€ πππππ£π£π£π£
Ξ©(ππ) varia dal valore iniziale nullo fino a raggiungere il suo valore di regime Ξ© al tempo πππππ£π£π£π£, quindi si puΓ² scrivere: Ξ©(ππ) = Ξ© ππ
πππππ£π£π£π£ 0 β€ ππ β€ πππππ£π£π£π£
Gli integrali ora si possono calcolare:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 93
οΏ½ ππππ(ππ)πππππππππ£π£π£π£
0= οΏ½ ππ(ππ)Ξ©(ππ)ππππ
πππππ£π£π£π£
0= οΏ½ οΏ½πππ π β (πππ π βππππ)
πππππππ£π£π£π£
οΏ½Ξ©ππ
πππππ£π£π£π£ππππ
πππππ£π£π£π£
0=
= οΏ½ οΏ½πππ π Ξ©ππ
πππππ£π£π£π£β (πππ π βππππ)Ξ©οΏ½
πππππππ£π£π£π£
οΏ½2οΏ½ ππππ
πππππ£π£π£π£
0= πππ π Ξ©
πππππ£π£π£π£2 β οΏ½πππ π β
ππππΞ©οΏ½
Ξ©πππππ£π£π£π£
3
οΏ½(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2Ξ©
ππππππΞ©
Ξ©
0+ οΏ½
πππ π ππππππΞ©(ππ)ππππ
πππππππππ£π£π£π£
0=
=(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2Ξ©2
2ππππ+πππ π ππππππΞ©πππππ£π£π£π£
2ππππ
quindi complessivamente si ottiene:
πππ π Ξ©πππππ£π£π£π£
2 β οΏ½πππ π βππππΞ©οΏ½
Ξ©πππππ£π£π£π£
3 β(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2Ξ©2
2ππππ+πππ π ππππππΞ©πππππ£π£π£π£
2ππππ
Per quanto riguarda lβ equilibrio delle forze in fase di compressione sul sistema πππΈπΈππππππβπΈπΈππππππ + πΈπΈπππππππππππΈπΈππ πππΈπΈ, il problema sarebbe tridimensionale ma per simmetria si puΓ² considerare il sistema piano; tale simmetria in generale non sarΓ perfetta dato che le rette dβ azione delle forze che agiscono sui denti delle ruote dentate dovrebbero essere esattamente sulla mezzerΓ¬a del blocchetto, cosa che non Γ¨ possibile perchΓ© ci sono due ingranaggi montati a folle sullβ albero secondario, quindi solo uno dei due potrebbe, in linea di principio, avere la retta dβ azione sulla mezzerΓ¬a. Rese il piΓΉ possibile trascurabili con un opportuno montaggio tali asimmetrie si puΓ² quindi schematizzare il sistema con il seguente disegno sul piano:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 94
Sul blocchetto di massa ππ, in direzione orizzontale, agiscono la forza dovuta alla pressione dellβ aria: (ππ1 β ππππ)π΄π΄ππ e lβ attrito statico fra guida orizzontale e blocchetto): ππππππππππ (si suppone di essere in condizione di attrito statico massimo, per necessitare di una minore coppia di spunto per tenere fermo il blocchetto e quindi per poter sottodimensionare il motorino). In generale queste due forze non saranno equilibrate, poichΓ© prevale la spinta dellβ aria, quindi per equilibrare il blocchetto deve nascere una forza πΉπΉ in direzione opposta alla spinta dellβ aria. Tale forza, per il terzo principio della dinamica, agirΓ con stesso modulo e direzione, ma verso opposto, sul motorino πππΈπΈ. Sul motorino poi agiscono: una forza dovuta al contatto tra le ruote dentate dellβ albero del motorino e quello secondario delle ruote, che forma un angolo πΌπΌ con la direzione orizzontale, chiamato angolo di pressione; la componente di tale forza lungo la direzione orizzontale Γ¨ indicata con ππ nel disegno, mentre la componente verticale si scarica sul vincolo, il quale Γ¨ dato dalla pavimentazione a contatto con le ruote del motorino. Tale pavimentazione non Γ¨ detto che debba per forza essere quella della guida orizzontale; infatti, il motorino πππΈπΈ potrebbe essere pensato anche esterno ad essa. Unβ altra forza che si scarica sui vincoli Γ¨ la forza peso del motorino, non disegnata in figura poichΓ© non sarΓ rilevante nel seguito; stesse considerazioni per la forza peso agente nel baricentro del blocchetto di massa ππ. Lβ ultima forza da considerare agente sul motorino, Γ¨ quella di attrito statico fra ruote e pavimentazione; essa agirebbe su tutte e quattro le ruote, ma come detto, per simmetria si considera il problema piano, quindi in tal caso Γ¨ come se agisse solo su due ruote. Complessivamente, la risultante di tale forza Γ¨: ππππ(πΈπΈ + πΈπΈππππ)ππ, con ππππ coefficiente di attrito statico tra ruote e
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 95
pavimentazione, ma essendoci, come detto, simmetria agisce su ciascuna ruota con intesitΓ pari alla metΓ della risultante: ππππ(πΈπΈ + πΈπΈππππ)ππ 1
2 ed ha
direzione e verso mostrate in figura. Considerando lβ equilibrio dei momenti, per quanto riguarda il blocchetto di massa ππ, le forze mostrate nel disegno generano un momento che viene equilibrato dal momento delle reazioni vincolari a loro volta generate dalla guida orizzontale; per quanto riguarda il motorino, le forze che generano momento sono la forza πΉπΉ, la forza di attrito ππππ(πΈπΈ + πΈπΈππππ)ππ e la forza ππ. Chiamando ππ la distanza della forza πΉπΉ dal centro della ruota motrice del motorino (quella appartenente allβ albero secondario su cui sono montate a folle le ruote dentate con rapporti di trasmissione + o β 1; in figura Γ¨ la ruota che reagisce alla componente verticale della forza dovuta al contatto tra le ruote dentate dellβ albero del motorino e quello secondario delle ruote) e πΈπΈ la distanza della forza ππ dal centro della stessa ruota, si puΓ² scrivere lβ equilibrio dei momenti rispetto al centro della ruota:
πΈπΈππ = ππππππ(πΈπΈ + πΈπΈππππ)ππ + πππΉπΉ Ma dato che πΈπΈππ Γ¨ la coppia dovuta al motore in condizioni di velocitΓ angolare nulla, tale coppia Γ¨ uguale a quella di spunto. Quindi:
πππ π = πΈπΈππ e dunque:
πππ π = ππππππ(πΈπΈ + πΈπΈππππ)ππ + πππΉπΉ Si sono cosΓ¬ ricavate le due equazioni:
οΏ½πππ π Ξ©πππππ£π£π£π£
2 β οΏ½πππ π βππππΞ©οΏ½
Ξ©πππππ£π£π£π£
3 β(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2Ξ©2
2ππππ+πππ π ππππππΞ©πππππ£π£π£π£
2πππππππ π = ππππππ(πΈπΈ + πΈπΈππππ)ππ + πππΉπΉ
La forza πΉπΉ, per lβ equilibrio delle forze in direzione orizzontale sul blocchetto deve valere:
πΉπΉ = (ππ1 β ππππ)π΄π΄ππ β ππππππππππ quindi le due equazioni diventano:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 96
οΏ½πππ π Ξ©πππππ£π£π£π£
2 β οΏ½πππ π βππππΞ©οΏ½
Ξ©πππππ£π£π£π£
3 β(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2Ξ©2
2ππππ+πππ π ππππππΞ©πππππ£π£π£π£
2πππππππ π = ππππππ(πΈπΈ + πΈπΈππππ)ππ + ππ[(ππ1 β ππππ)π΄π΄ππ β ππππππππππ]
ed aggiungendo lβ equazione della potenza ππππ si ha:
β©βͺβ¨
βͺβ§πππ π Ξ©
πππππ£π£π£π£2 β οΏ½πππ π β
ππππΞ©οΏ½
Ξ©πππππ£π£π£π£
3 β(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2Ξ©2
2ππππ+πππ π ππππππΞ©πππππ£π£π£π£
2πππππππ π = ππππππ(πΈπΈ + πΈπΈππππ)ππ + ππ[(ππ1 β ππππ)π΄π΄ππ β ππππππππππ]
ππππ =πππ π ππππππΞ©
ππππ
Fissando i parametri: πΈπΈππππ ,πΈπΈ,ππ,Ξ©,ππππππ , πππ π ,ππππ , ππππ , ππ,π΄π΄ππ ,ππ1,ππππ,ππ si possono ricavare le tre incognite: πππ π , ππ e ππππ (πππππ£π£π£π£ si Γ¨ giΓ fissato pari a 0.05 ππ). Dato perΓ² che la massa ππ Γ¨ meglio averla quanto piΓΉ piccola possibile per ridurre la coppia di spunto e la potenza a regime, conviene fissare ππ e prendere come altra incognita il braccio ππ, il quale dipende semplicemente dal montaggio dellβ asta che collega il blocchetto al motorino πππΈπΈ. Quindi le incognite sono: πππ π , ππ e ππππ. La pressione ππ1 Γ¨ nota da paragrafo 5.1, pari a 3 πππΈπΈππ, ππππ Γ¨ la pressione ambiente (1 πππΈπΈππ), mentre ππ Γ¨ lβ accelerazione di gravitΓ (9.81 πΈπΈ/ππ2). Per fissare i valori delle masse πΈπΈππππ e πΈπΈ, come per il caso di ππ, conviene che siano piΓΉ piccole possibili, per minimizzare la coppia di spunto. πΈπΈ Γ¨ la massa delle ruote del motorino, la quale, dato che come si vedrΓ piΓΉ avanti in questo paragrafo il raggio delle ruote verrΓ fissato pari a 5.1 πππΈπΈ, rendendole di dimensione abbastanza ridotta, puΓ² essere presa piccola, per esempio pari a 0.05 ππππ. La massa πΈπΈππππ invece, dato che contiene il freno, lβ innesto e il motorino elettrico, soprattutto per questβ ultimo dovrebbe essere abbastanza maggiore; tuttavia, si puΓ² pensare che il motorino elettrico sia fisso ed esterno al blocco denominato πππΈπΈ nella prima figura del paragrafo 4.1, per esempio facendo ingranare lβ albero del motore elettrico con una cremagliera, la quale a sua volta ingrana con lβ albero (mobile) da inserire nel blocco denominato πππΈπΈ, che infine ingrana con lβ albero secondario delle ruote.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 97
Quindi si puΓ² schematizzare quanto detto nel seguente modo:
In figura viene specificato che il motorino elettrico Γ¨ trifase perchΓ¨ insieme a quello del compressore, nel paragrafo 5.3 verrΓ scelto da catalogo appunto come motore trifase. Lβ asse mobile in figura, come detto, poi viene posizionato nel blocco πππΈπΈ, ed Γ¨ lo stesso asse (chiamato βasse di πππΈπΈβ) che si vede nella seconda figura del paragrafo 4.1. Il vantaggio che si ha quindi collocando il motorino esternamente Γ¨ che la massa πΈπΈππππ cala notevolmente, poichΓ© non Γ¨ piΓΉ presente lβ inerzia del motorino trifase allβ interno di πππΈπΈ e quindi non deve piΓΉ essere spostata, necessitando di coppie di spunto notevolmente maggiori e quindi un sovradimensionamento del motorino. Lβ asse mobile Γ¨ quindi solidale ad πππΈπΈ e si sposta con esso mentre lβ asse del motorino trifase, il quale Γ¨ fisso, ingrana con la cremagliera. Riducendo opportunamente le dimensioni degli alberi e degli ingranaggi contenuti in πππΈπΈ, si supporrΓ in seguito che sia possibile ottenere ad esempio un valore per la massa πΈπΈππππ pari ad 0.05 ππππ (massa comprensiva dellβ albero mobile, della cremagliera, degli ingranaggi e del freno; tali elementi devono essere resi piΓΉ leggeri possibile e sufficientemente resistenti). Anche la massa ππ la si prenderΓ pari a 0.05 ππππ. Per la superficie π΄π΄ππ, dato che dipende dalla lunghezza del pistone in direzione parallela alla guida orizzontale e dal volume nocivo, si puΓ² considerare la relazione: π΄π΄ππ β
ππππβππ
, la quale risulta approssimata ed Γ¨ comunque una scelta per capire lβ ordine di grandezza di π΄π΄ππ.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 98
Con i parametri visti al paragrafo 5.1 e prendendo il volume nocivo nominale pari al 6% della cilindrata: ππππ = 0.06ππππ = 0.06 β 2ππ β ππ = 0.06 β 2 β 0.1 β 0.1 =0.0012 πΈπΈ3 e ππ = 0.1 πΈπΈ2, risulta: π΄π΄ππ β
0.0012β0.1
= 0.0038 πΈπΈ2. Dato che il motorino elettrico trifase che verrΓ scelto avrΓ due coppie di poli, la sua velocitΓ di sincronismo alle frequenze di rete sarΓ pari a 1500 πππππΈπΈ; la velocitΓ a regime Ξ© sarΓ compresa tra 1400 e 1500 πππππΈπΈ siccome la potenza richiesta a regime, come si vedrΓ , sarΓ abbastanza minore della potenza nominale che necessita il motore. Quindi nel diagramma di πππππππππππΈπΈ βπππΈπΈπΈπΈππππππππΓ πΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ ci si troverΓ nella zona vicina al sincronismo. Per i calcoli si considererΓ un valore intermedio di Ξ©, pari a 1450 πππππΈπΈ. Per quanto riguarda i coefficienti di attrito: ππππππ , πππ π ,ππππ, per fissarli bisogna scegliere i materiali o le superfici della guida orizzontale lungo cui puΓ² traslare il blocchetto, della pavimentazione a contatto con le ruote e della massa ππ. Conviene avere delle superfici quanto piΓΉ liscie/lubrificate possibili, per ridurre la coppia di spunto e la potenza nominale. Si prenderanno dei valori pari a: ππππππ = 0.2 ,πππ π = 0.1. Per il coefficiente di attrito tra ruote e pavimentazione ππππ, senza specificare i materiali, si prenderΓ un valore di 1, maggiore dei precedenti perchΓ© bisogna garantire una ottima aderenza delle ruote sulla pavimentazione. Infine, per il rendimento ππππ di conversione elettromeccanica del motorino, si prenderΓ un valore pari al 95%. Ricapitolando i valori scelti per i parametri si ha:
πΈπΈππππ = 0.05 ππππ πΈπΈ = 0.05 ππππ ππ = 0.05 ππππ ππ = 5.1 πππΈπΈ
Ξ© = 1450 rpm πππ π = 0.2 ππππππ = 0.1 ππππ = 1
ππππ = 0.95 π΄π΄ππ = 0.0038 πΈπΈ2 ππ1 = 3 πππΈπΈππ ππππ = 1 πππΈπΈππ
ππ = 9.81 πΈπΈ/ππ2 Risolvendo ora il sistema:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 99
β©βͺβ¨
βͺβ§πππ π Ξ©
πππππ£π£π£π£2 β οΏ½πππ π β
ππππΞ©οΏ½
Ξ©πππππ£π£π£π£
3 β(πΈπΈππππ + πΈπΈ + ππ)ππ2Ξ©2
2ππππ+πππ π ππππππΞ©πππππ£π£π£π£
2πππππππ π = ππππππ(πΈπΈ + πΈπΈππππ)ππ + ππ[(ππ1 β ππππ)π΄π΄ππ β ππππππππππ]
ππππ =πππ π ππππππΞ©
ππππ
si ricava:
πππ π β 3.8 πππΈπΈ ππ β 0.50 πππΈπΈ ππππ β 0.40 ππ
Se si volesse calcolare la potenza a regime che deve avere il motorino con la formula vista in precedenza: ππππ = πππ π ππππΞππβ²ππππππππ
πππππ΄π΄ππππππ
, si otterrebbe lo stesso risultato,
infatti:
ππππ =πππ π ππππΞππβ²ππππππππ
πππππ΄π΄ππππππ
=
πππ π ππππ
β£β’β’β’β‘
ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1
β 0.04ππππ
β¦β₯β₯β₯β€
πππππ΄π΄ππππππ
=
0.1 β 0.05 β 9.81
β£β’β’β’β‘
2 β 0.1 β 0.1
οΏ½ 30.5οΏ½
11.4789
β 1
β 0.04 β 2 β 0.1 β 0.1
β¦β₯β₯β₯β€
0.95 β 0.0038 β ππ12=
= 0.40 ππ Dato che si ha una coppia di spunto non estremamente bassa, si vedrΓ nel paragrafo 5.3 che sarΓ necessario scegliere una potenza nominale maggiore di tale potenza a regime. Per quanto riguarda il braccio ππ della forza πΉπΉ, Γ¨ positivo che risulti pari ad un valore piccolo (0.5 πππΈπΈ), poichΓ© consente di limitare le dimensioni e quindi la massa degli ingranaggi, dato che ππ Γ¨ pari al raggio della circonferenza primitiva dellβ ingranaggio montato a folle sullβ albero secondario. Il materiale del blocchetto lo si puΓ² scegliere sapendo che deve valere allβ incirca: ππ β ππππππππππππβπππππππππ΄π΄ππβππ, perchΓ© il blocchetto deve poter spaziare il volume nocivo lungo la direzione orizzontale del pistone pari a circa βππ, che quindi deve essere dello stesso ordine di grandezza della lunghezza del blocchetto. CosΓ¬ si puΓ² quindi determinare lβ ordine di grandezza della densitΓ del blocchetto: ππππππππππππβππππππππ β
πππ΄π΄ππβππ
. La densitΓ del blocchetto deve essere quindi, uguale o minore a:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 100
ππππππππππππβππππππππ =ππ
βπππ΄π΄ππ=
0.05β0.1 β 0.0038
β 41.6 ππππ/πΈπΈ3
Tale densitΓ Γ¨ perΓ² troppo bassa per i materiali comunemente utilizzati. Si puΓ² pensare allora di risolvere il problema utilizzando un blocchetto delle stesse dimensioni perΓ² cavo allβ interno, asportando una certa quantitΓ di volume ππ, potendo cosΓ¬ scegliere un materiale di densitΓ maggiore. Un materiale con ottime proprietΓ meccaniche e con bassa densitΓ Γ¨ lβ alluminio, quindi scelto lβ alluminio per il blocchetto si ha: πππ΄π΄πππππ’π’ππππππππππ =2700 ππππ/πΈπΈ3. Si puΓ² ricavare allora il volume da asportare dal blocchetto eguagliando la massa nel caso in cui si abbia un blocchetto pieno, di lunghezza βππ , area di base π΄π΄ππ e densitΓ pari a ππππππππππππβππππππππ, alla massa nel caso in cui si abbia un blocchetto cavo di alluminio:
ππ = ππππππππππππβππππππππβπππ΄π΄ππ = πππ΄π΄πππππ’π’πππππππππποΏ½βπππ΄π΄ππ β πποΏ½ Risolvendo per ππ si ottiene:
ππ =πππ΄π΄πππππ’π’ππππππππππ β ππππππππππππβππππππππ
πππ΄π΄πππππ’π’ππππππππππβπππ΄π΄ππ β
2700 β 632700 β0.1 β 0.0038 β 11.8 β 10β4πΈπΈ3
Per cui, il blocchetto dovrΓ essere del tipo:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 101
Per lavorarne la parte interna si puΓ² pensare di asportare materiale da due metΓ separatamente e poi saldarle ad esempio. Per i valori numerici ottenuti si riportano anche gli script di matlab per il calcolo della potenza a regime ππππ, per il braccio ππ e per la coppia di spunto πππ π , anche se non strettamente necessari in quanto i conti non contengono alcuna difficoltΓ . %calcolo di Ms, Pr, b clear clc R=0.051; etae=0.95; Ab=0.0038; mME=0.05; m=0.05; tavv=0.05; fad=0.2; %superfici lubrificate fs=0.1; g=9.81; P1=3; Pa=1; omega=152; %1450 rpm roAl=2700; fr=1; %attrito ruota-pavimentazione M=0.05; %risoluzione del sistema lineare A=[0,omega*tavv/6,tavv/3;fad*M*g-(P1-Pa)*Ab*10^5,1,0;0,0,1]; b=[(fad*M*g*R*omega+(m+mME+M)*R^2*omega^2)/(2*etae);R*fr*(m+mME)*g;fs*M*g*R*omega/etae]; x=A\b; b=x(1); Ms=x(2); Pr=x(3); fprintf('il braccio b Γ¨: %f m\n',b) fprintf('la coppia di spunto Ms Γ¨: %f Nm\n',Ms) fprintf('la potenza a regime Pr Γ¨: %f W\n',Pr) S=0.1; ro=M/(Ab*sqrt(S)); V=(roAl-ro)*Ab*sqrt(S)/roAl; fprintf('la densitΓ che dovrebbe avere il blocchetto pieno sarebbe: %f kg/m^3\n',ro) fprintf('il volume da asportare per poter scegliere l alluminio Γ¨: %f m^3\n',V)
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 102
Qualora si desideri che il motorino elettrico non intervenga durante la fase di compressione, cioΓ¨ che non eroghi la coppia di spunto, per poterlo sottodimensionare, ciΓ² non si riuscirebbe a fare. Questo perchΓ© in tal caso la forza di attrito statico che la guida orizzontale esercita sul blocchetto da sola deve vincere la massima spinta dovuta alla pressione, cioΓ¨ quando appunto la pressione Γ¨ pari a quella di mandata. Deve valere quindi: ππππππππππ β₯ (ππ1 β ππππ)π΄π΄ππ. Conviene prendere il segno di uguale per minimizzare la massa del blocchetto, cioΓ¨ porsi nelle condizioni di attrito statico massimo; in tale condizione si ottiene:
ππ =(ππ1 β ππππ)π΄π΄ππ
ππππππππ
I valori dei parametri ora sono noti e si puΓ² calcolare ππ:
ππ =(3 β 1) β 105 β 0.0038
0.2 β 9.81 β 387 ππππ Come si puΓ² vedere, la massa ππ dovrebbe essere eccessiva e il sistema avrebbe inoltre grossi problemi dovuti allβ inerzia del blocchetto. Pertanto, il motorino elettrico deve intervenire nella fase di compressione e lβ innesto deve essere inserito. Per quanto riguarda il freno automatico invece, la scelta deve essere basata su due parametri importanti: uno Γ¨ il momento frenante ππππ che il freno deve essere in grado di generare (lo si considererΓ costante), lβ altro Γ¨ la forza assiale πΉπΉ che deve essere applicata al freno per mantenerlo a contatto con la ghiera cilindrica collegata tramite filettatura allβ albero delle ruote, accoppiate al motorino elettrico πππΈπΈ. Per il calcolo di ππππ, si puΓ² applicare lβ equazione dellβ energia come vista nel paragrafo 4.1:
ππππ(ππ) β ππππ(ππ) =ππππ(ππ)ππππ
Lβ equazione verrΓ applicata alla ghiera a contatto con il freno; la rappresentazione grafica della ghiera Γ¨ la seguente:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 103
Quando interviene il freno, lβ innesto viene disinserito, per cui non agisce piΓΉ la potenza motrice del motorino elettrico sullβ albero secondario, e quindi lβ equazione dellβ energia si puΓ² scrivere:
ππππ(ππ)β ππππ(ππ) = 0 β ππππ(ππ) =ππππππ οΏ½
12οΏ½ππππ2πππΈπΈοΏ½
Lβ integrale Γ¨ valutato sulla massa πΈπΈππ della ghiera e ππππ Γ¨ la velocitΓ di un punto ππ qualsiasi della ghiera. La velocitΓ Ξ©(ππ) dellβ albero durante la frenatura, parte dal valore Ξ© raggiunto dopo lβ inserimento dellβ innesto e raggiunge il valore 0 alla fine della frenatura. La massa πΈπΈππ della ghiera vale:
πΈπΈππ = πππππποΏ½ππ22 β ππ12οΏ½ππ con ππππ densitΓ della ghiera e ππ il suo spessore. Sviluppando lβ equazione dellβ energia si ha:
βππππ(ππ) = βππππΞ©(ππ) =ππππππ οΏ½
12οΏ½ππππ2πππΈπΈοΏ½ =
ππππππ οΏ½
12οΏ½
(Ξ©(ππ) β ππ)2πππΈπΈοΏ½ =
=ππππππ οΏ½
12οΏ½Ξ©(ππ)2 β ππ2ππππ ππ β πππππππππποΏ½ =
ππππππ οΏ½
12οΏ½ οΏ½ Ξ©(ππ)2 β ππ3ππππ
2ππ
0
π π 2
π π 1πππππππππποΏ½ =
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 104
=12πππππποΏ½ Ξ©(ππ)2 β ππ3ππππ
π π 2
π π 1ππππππ β 2ππ = Ξ©(ππ)Ξ©Μ(ππ)
ππ23 β ππ13
3 ππππππ β 2ππ
quindi:
ππππ = βΞ©Μ(ππ)ππ23 β ππ13
3 ππππππ β 2ππ = βΞ©Μ(ππ)23ππ23 β ππ13
ππ22 β ππ12πΈπΈππ
Dato che ππππ Γ¨ costante, Ξ©Μ(ππ) Γ¨ a sua volta costante per cui:
Ξ©Μ(ππ) = ππππππππ β οΏ½ Ξ©Μ(ππ)0
Ξ©ππππ = πππππππποΏ½ ππππ
ππππ
0β ππππππππ =
βΞ©ππππ
= Ξ©Μ(ππ)
con ππππ tempo di frenatura. ππππ vale quindi:
ππππ =Ξ©ππππ
23ππ23 β ππ13
ππ22 β ππ12πΈπΈππ
Una volta fissato il tempo di frenatura che si vuole avere, le dimensioni e i materiali della ghiera, si ricava il momento frenante che il freno deve erogare (piΓΉ avanti nel paragrafo, si sceglieranno tali parametri per il calcolo di ππππ). Come giΓ detto, la modifica dello spazio nocivo avviene durante la discesa del pistone dopo la compressione, fino allβ inizio della successiva compressione. Per prima cosa si ha lβ innesto del cambio a due ingranaggi; poi in un tempo molto breve, pari al massimo a πππππ£π£π£π£ = 0.05 ππ per il valore scelto della coppia di spunto del motorino e degli altri parametri, la velocitΓ delle ruote accoppiate al motorino raggiunge il valore di regime (in pratica istantaneamente), dato che il motorino alla modifica del volume nocivo parte da fermo, essendo il suo albero fermo nella fase di compressione per opporsi come visto, assieme allβ attrito tra guida orizzontale e blocchetto, alla spinta dellβ aria per mantenere fermo il blocchetto. DopodichΓ©, del tempo di discesa, pari a ππ
ππ, una prima frazione viene utilizzata per spostare il blocchetto di
massa ππ a velocitΓ costante, ed unβ altra frazione viene usata per frenarlo (piΓΉ avanti si vedrΓ come calcolare tali frazioni). Noto il momento frenante ππππ, Γ¨ immediato risalire alla forza assiale πΉπΉ che deve essere applicata al freno per mantenerlo a contatto con la ghiera cilindrica. Eβ possibile dimostrare infatti, utilizzando lβ β²πππππππππΈπΈππππ πππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈβ² (vedi
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 105
πΉπΉπΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈππ,πππΈπΈπππππππππππΈπΈ,πππΈπΈπΈπΈπΈπΈππβπΈπΈππππππ βπΏπΏπΈπΈπ π πππππΈπΈππ ππππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ π΄π΄πππππΈπΈπππππΈπΈπππΈπΈ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππππβπππΈπΈπΈπΈ πππππππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈ: πΉπΉπππΈπΈπππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ ππππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ πππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππππβπππΈπΈπΈπΈβ, pag. 73-75, Prima Edizione, oppure vedi π·π·πππππππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ ππππ βπππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈππ π΄π΄π π πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππβπππΈπΈπΈπΈ ππππππππ. πππΈπΈππ. πππΈπΈππππππ πππππππΈπΈππππππππππ, πππΈπΈπππππππππΈπΈππ πππΈπΈππ πππππΈπΈπΈπΈππ), che il legame fra πΉπΉ ed ππππ Γ¨ il seguente:
ππππ = πππΉπΉππ1 + ππ2
2 da cui:
πΉπΉ =2ππππ
(ππ1 + ππ2)ππ =2
(ππ1 + ππ2)ππΞ©ππππ
23ππ23 β ππ13
ππ22 β ππ12πΈπΈππ
dove ππ Γ¨ il coefficiente di attrito tra ghiera e freno. Il freno quindi deve avere le caratteristiche appena viste: deve poter erogare la coppia ππππ e la forza πΉπΉ per fermare il blocchetto in un tempo ππππ; inoltre, come giΓ detto, deve essere comandato elettronicamente, in modo da venire azionato al tempo opportuno (come giΓ accennato, si vedrΓ nel seguito come valutare tale tempo opportuno), durante la discesa del pistone. Dato che il cambio automatico ad ingranaggi, il quale rende solidali lβ albero del motorino elettrico allβ albero delle ruote ad esso accoppiate, ha rapporti di trasmissione +1 o β1, la velocitΓ Ξ© (Ξ© Γ¨ da intendersi positiva) delle ruote coincide con quella dellβ albero del motorino elettrico in valore assoluto (il segno β indica la variazione del senso di rotazione), la quale risulta fissata; bisogna fissare perΓ² anche: il raggio delle ruote ππ (precedentemente si era utilizzato un valore pari a 5.1 πππΈπΈ, il quale verrΓ giustificato nelle pagine seguenti), il tempo ππππ misurato a partire da punto morto superiore (cioΓ¨ a partire dallβ inserimento dellβ innesto) a cui si deve attivare il freno (e contemporaneamente disinserire lβ innesto), e il tempo di frenatura ππππ. Dato che il momento frenante lo si considera costante, la decelerazione angolare delle ruote Γ¨ a sua volta costante e quindi anche il tempo di frenatura ππππ deve essere costante, come visto pari a:
βΞ©ππππ
= Ξ©Μ β ππππ =βΩΩΜ
= ππππππππ
Per poter raggiungere, a partire da un certo spazio nocivo iniziale ππππππ (che puΓ² essere un valore qualsiasi fra quelli ammissibili), un qualsiasi spazio nocivo desiderato πππππππππ π (sempre ovviamente fra i valori ammissibili) , Γ¨ necessario variare, come si vedrΓ tra poco, il tempo ππππ in funzione di πππππππππ π e
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 106
ππππππ. Si supporrΓ nel seguito che, a partire dallβ inserimento dellβ innesto, le ruote raggiungano istantaneamente il loro valore di regime Ξ©. Quindi si trascura il primo transitorio (il quale comunque Γ¨ piccolo poichΓ© come visto Γ¨ di durata pari a πππππ£π£π£π£ = 0.05 ππ), ma verrΓ invece considerato il transitorio di frenatura. Come si vedrΓ dai calcoli inoltre, nel caso di spostamento massimo del blocchetto pari a:
|πππππππππ π β ππππ0|ππππππ = Ξππππππππππ ππππ sarΓ trascurabile rispetto a ππππ, essendo in tal caso ππππ β« ππππ. Per vedere in un grafico i tempi ππππ, ππππ e gli spazi nocivi, durante il passaggio da uno spazio nocivo precedente ad uno spazio nocivo successivo, si sΓ che in un primo tratto nel tempo ππππ la velocitΓ delle ruote Γ¨ quella di regime Ξ©, potendo quindi scrivere:
οΏ½ΜοΏ½πππ(ππ) = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ© ππ β [0, ππππ] mentre in un secondo tratto, a partire dal tempo ππππ, fino al tempo ππππ + ππππ, si ha una decelerazione angolare costante, quindi una velocitΓ che descresce linearmente dal valore Ξ© fino a 0, potendo quindi scrivere:
οΏ½ΜοΏ½πππ(ππ) = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ©οΏ½ππππ + ππππ β ππ
πππποΏ½ ππ β [ππππ , ππππ + ππππ]
Integrando le relazioni:
οΏ½οΏ½ΜοΏ½πππ(ππ) = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ© ππ β [0, ππππ]
οΏ½ΜοΏ½πππ(ππ) = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ©οΏ½ππππ + ππππ β ππ
πππποΏ½ ππ β [ππππ , ππππ + ππππ]
fra il tempo 0 πΈπΈ ππππ, si perviene a:
οΏ½ππππ(ππππ) β ππππ0 = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ©ππππ ππ β [0, ππππ]
πππππππππ π β ππππ(ππππ) = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ©ππππ2 ππ β [ππππ , ππππ + ππππ]
Un grafico possibile, nel caso πππππππππ π > ππππ0 puΓ² essere allora il seguente:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 107
Il primo tratto di salita Γ¨ lineare poichΓ© οΏ½ΜοΏ½πππ(ππ) era costante, mentre il secondo Γ¨ parabolico poichΓ© οΏ½ΜοΏ½πππ(ππ) era lineare. Qualora invece si abbia πππππππππ π < ππππ0:
La variabile nel problema Γ¨ ππππ, poichΓ© ππππ Γ¨ costante e quindi non modificabile; variando ππππ, quindi variando il tempo di permanenza a regime, si puΓ² ottenere un qualsiasi spazio nocivo a partire da un altro:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 108
Dal grafico sopra si vede che, ad esempio diminuendo il tempo ππππ dal valore ππππ al valore ππππππππ, diminuisce (in valore assoluto) la differenza πππππππππ π β ππππ0 fra il valore desiderato (o successivo) del volume nocivo e il valore iniziale (o precedente). Quindi variando ππππ si possono ottenere tutte le configurazioni per i valori del volume nocivo, o per meglio dire quasi tutte. In realtΓ infatti, qualora vengano richieste variazioni molto piccole dello spazio nocivo, si commette un errore costante che Γ¨ tanto piΓΉ piccolo quanto Γ¨ piΓΉ piccolo il tempo di frenatura. Tale errore Γ¨ costante poichΓ© Γ¨ dato dalla differenza degli estremi dellβ arco di parabola (πππππππππ π e ππππ(ππππ)), la quale Γ¨ indipendente da ππππ ma dipendente solo da ππππ:
πππππππππ π β ππππ(ππππ) = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ©ππππ2 β |πππππππππ π β ππππ(ππππ)| = π΄π΄ππππΞ©
ππππ2
Lβ errore in valore assoluto Γ¨ dato da |πππππππππ π β ππππ(ππππ)|; dato che per i parametri scelti nel paragrafo 5.1, lo spazio nocivo minimo risulta circa 0.0008 πΈπΈ3, e quello massimo 0.0081 πΈπΈ3, un errore trascurabile potrebbe essere scelto pari a 0.0001 πΈπΈ3. Quindi si ha:
0.0001 πΈπΈ3 = π΄π΄ππππΞ©ππππ2
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 109
equazione che mette in relazione due incognite: il raggio delle ruote ππ e il tempo di frenatura. Servono altre due equazioni per poter ricavare le tre incognite complessive: ππ, ππππ , ππππ. Unβ altra equazione la si puΓ² ricavare sapendo che il tempo complessivo (ππππ + ππππ) che occorre per variare lo spazio nocivo non deve essere superiore al tempo di aspirazione ππ
ππ:
ππππ + ππππ β€ππππ
Dato che ππππ Γ¨ variabile, si puΓ² porre:
ππππ + ππππππππππ =ππππ
ricavando cosΓ¬ unβ altra equazione che deve essere soddisfatta. Lβ ultima equazione la si ricava dal sistema:
οΏ½ππππ(ππππ) β ππππ0 = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ©ππππ ππ β [0, ππππ]
πππππππππ π β ππππ(ππππ) = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ©ππππ2 ππ β [ππππ , ππππ + ππππ]
Infatti, eliminando ππππ(ππππ), si ricava:
πππππππππ π β ππππ0 = πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ)π΄π΄ππππΞ©οΏ½ππππ2 + πππποΏ½
che si puΓ² scrivere anche:
|πππππππππ π β ππππ0| = π΄π΄ππππΞ©οΏ½ππππ2 + πππποΏ½
da cui:
|πππππππππ π β ππππ0|ππππππ = Ξππππππππππ = π΄π΄ππππΞ©οΏ½ππππ2 + πππππππππποΏ½
Quindi il sistema da risolvere Γ¨:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 110
β©βͺβ¨
βͺβ§ 0.0001 πΈπΈ3 = π΄π΄ππππΞ©
ππππ2
ππππ + ππππππππππ =ππππ
Ξππππππππππ = π΄π΄ππππΞ©οΏ½ππππ2 + πππππππππποΏ½
Le uniche incognite sono: ππππ, ππππππππππ ,ππ. Si sostituiscono i seguenti valori numerici, noti dal paragrafo 5.1 ma riportati qui per maggiore chiarezza:
π΄π΄ππ βππππβππ
=0.06ππππβππ
=0.06 β ππ β 2ππ
βππ=
0.06 β 0.1 β 2 β 0.1β0.1
β 0.0038 πΈπΈ2
βππππππππππβ² = ππππππππβ² β ππππππππ
β² =ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππ β 1
β 0.04ππππ =2 β 0.1 β 0.1
οΏ½ 30.5οΏ½
11.4789 β 1
β 0.04(2 β 0.1 β 0.1) = 0.0077 πΈπΈ3
ππ = 12 πππΈπΈππ/ππ
Come detto, per il fatto che il motorino elettrico Γ¨ un motore trifase a due coppie di poli, la velocitΓ di sincronismo del motore sarΓ pari a 1500 πππππΈπΈ, per cui la velocitΓ a regime non potrΓ essere troppo diversa da 1500 πππππΈπΈ. Per i calcoli verrΓ preso un valore di Ξ© pari a 1450 πππππΈπΈ. Risolvendo il sistema si ottiene:
R β 5.1 πππΈπΈ ππππ β 0.0067 ππ ππππππππππ β 0.25 ππ
Lo script di Matlab utilizzato per risolvere il sistema Γ¨ il seguente: %calcolo di 1/R, tf, trmax clear clc format long OMEGA=152; %1450 rpm omega=12; Ab=0.0038; deltaSnmax=0.0077;
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 111
%risoluzione con sistema lineare A=[0.0001,-Ab*OMEGA/2,0; 0,1,1; deltaSnmax,-Ab*OMEGA/2,-Ab*OMEGA]; b=[0; pi/omega; 0]; x=A\b; R=1/x(1) tf=x(2) trmax=x(3) Noto ππππππππππ , ππππ quindi dovrΓ variare tra 0 πππΈπΈπππππΈπΈππππ e ππππππππππ πππΈπΈπππππΈπΈππππ. La sua espressione generale si ricava da:
|πππππππππ π β ππππ0| = π΄π΄ππππΞ©οΏ½ππππ2 + πππποΏ½
da cui:
ππππ =|πππππππππ π β ππππ0|
π΄π΄ππππΞ©βππππ2
Ecco quindi la dipendenza del tempo di permanenza a regime ππππ dal tempo di frenatura ππππ (costante), dal raggio ππ delle ruote (costante), dallβ area di base π΄π΄ππ del blocchetto di massa ππ e dalla velocitΓ Ξ© del motorino elettrico πππΈπΈ (entrambe costanti) ed in particolare dalla differenza tra spazio nocivo desiderato πππππππππ π e spazio nocivo di partenza ππππ0, variabile, poichΓ© possono variare sia πππππππππ π che ππππ0. Quindi il freno viene attivato dopo tale tempo ππππ , variabile in generale ad ogni ciclo, misurato a partire dallβ inserimento dellβ innesto sincronizzatore. Lβ innesto invece viene attivato in base al segno della differenza tra spazio nocivo desiderato πππππππππ π e spazio nocivo di partenza ππππ0: πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ), per sapere se il rapporto di trasmissione desiderato Γ¨ +1 oppure β 1. Eβ possibile fare in modo che, qualora πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ) = +1, cioΓ¨ πππππππππ π β ππππππ > 0, si abbia corrispondenza con il valore +1 del rapporto di trasmissione, e , qualora πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ) = β1, cioΓ¨ πππππππππ π β ππππππ < 0, si abbia corrispondenza con il valore β1 del rapporto di trasmissione, ma si potrebbe anche fare il viceversa, ossΓ¬a: qualora πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ) = +1, cioΓ¨ πππππππππ π β ππππππ > 0, si abbia corrispondenza con il valore β1 del rapporto di trasmissione, e , qualora πππππΈπΈ(πππππππππ π β ππππππ) = β1, cioΓ¨ πππππππππ π β ππππππ < 0, si abbia corrispondenza con il valore +1 del rapporto di trasmissione; tutto ciΓ² dipende dal verso di rotazione del motorino elettrico πππΈπΈ: qualora ruoti in senso orario (il senso di rotazione Γ¨ da intendere riferito ad un osservatore che vede il sistema πππππΈπΈπππππΈπΈπππππππππΈπΈ + πππΈπΈππππππβπΈπΈππππππ + πΈπΈπππππππππππΈπΈππ come nella prima
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 112
figura del paragrafo 4.1) ci si ritroverebbe nella prima situazione, viceversa nella seconda. Ora che si Γ¨ ricavato il tempo di frenatura ππππ, Γ¨ possibile calcolare il momento frenante ππππ visto precedentemente:
οΏ½ππππ =
Ξ©ππππ
23ππ23 β ππ13
ππ22 β ππ12πΈπΈππ
πΈπΈππ = πππππποΏ½ππ22 β ππ12οΏ½ππ
Preso lβ acciaio per il materiale della ghiera si ha: ππππ = 8000 ππππ/πΈπΈ3. Presi inoltre: raggio esterno della ghiera ππ2 = 3 πππΈπΈ, raggio interno ππ1 = 2 πππΈπΈ, spessore della ghiera ππππ = 3 πππΈπΈ, svolgendo i calcoli si ottiene:
ππππ =Ξ©ππππ
23ππ23 β ππ13
ππ22 β ππ12πΈπΈππ =
Ξ©ππππ
23οΏ½ππ23 β ππ13οΏ½ππππππππππ =
2ππ β 145060
0.006723
(0.033 β 0.023)8000 β ππ β 0.03 β 216 πππΈπΈ
Dallβ espressione del momento frenante ππππ, si vede che esso risulta inversamente proporzionale al tempo di frenatura ππππ; per questo motivo non si Γ¨ potuto trascurare ππππ considerandolo pari a zero, poichΓ© altrimenti sarebbe servito un momento frenante illimitato. Inoltre, seppur ππππ sia piccolo, ππππ non risulta elevato poichΓ© la differenza fra i raggi della ghiera elevati alla terza potenza ππ23 β ππ13 e lo spessore ππππ della ghiera sono altrettanto piccoli, tanto da abbassare notevolmente ππππ. Il tempo di frenatura lo si puΓ² trascurare come detto nel caso di spostamento massimo; questo perchΓ© il tempo complessivo in cui si sposta il motorino Γ¨ pari a ππππ + ππππ, ed essendo nel caso di spostamento massimo |πππππππππ π βππππ0|ππππππ = Ξππππππππππ il tempo ππππ pari al suo valore massimo ππππππππππ β 0.25 ππ β ππ
ππ e
ππππ β 0.0067 ππ, ππππ Γ¨ trascurabile rispetto a ππππππππππ e il moto si puΓ² considerare solamente composto dal tratto lineare a velocitΓ costante. Per cui, lβ espressione della potenza nominale, come visto in questo paragrafo pari a:
ππππ =πππ π ππππβππππππππππ
πππππ΄π΄ππππππ
Γ¨ praticamente esatta, nonostante unβ espressione piΓΉ precisa sarebbe:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 113
ππππ =πππ π ππππβππππππππππ
πππππ΄π΄ππ οΏ½ππππ β πππποΏ½
poichΓ© vale ππππππππππ = ππ
ππβ ππππ e non ππππππππππ = ππ
ππ, ma dato il piccolo valore che
assume ππππ rispetto a ππππππππππ, le due relazioni in pratica coincidono; unβ altra approssimazione Γ¨ data dallβ aver trascurato il transitorio iniziale dopo lβ inserimento dellβ innesto, dovuto allβ avviamento del motorino durante la fase di aspirazione, ma come detto anche tale tempo Γ¨ molto breve (0.05 ππ). Unβ ulteriore stima del raggio delle ruote ππ, puΓ² essere fatta considerando lβ espressione della velocitΓ del motorino utilizzata verso lβ inizio di questo paragrafo:
Ξ© β1ππβπ₯π₯(ππ)βππ
=1π΄π΄ππππ
βππβ²ππππππππ βππ
da cui:
R β1π΄π΄ππΞ©
βππβ²ππππππππ ππππ
=1π΄π΄ππΞ©
2ππππ
οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππβ 1
β 0.04(2ππππ)
ππππ
=
=1
0.06(2 β 0.1 β 0.1)β0.1
β 2ππ β 145060
2 β 0.1 β 0.1
οΏ½ 30.5οΏ½
11.4789 β 1
β 0.04(2 β 0.1 β 0.1)
ππ12
β 0.0507 πΈπΈ = 5.07 πππΈπΈ
Il valore trovato (5.07 πππΈπΈ) Γ¨ praticamente uguale a quello ricavato considerando anche il transitorio di frenata (5.1 πππΈπΈ), a conferma della bontΓ dei risultati ottenuti. Eβ da notare che, qualora il cambio automatico si fosse comportato da riduttore (rapporti di trasmissione minori di 1), la velocitΓ Ξ© delle ruote sarebbe stata minore e di conseguenza, il raggio R sarebbe stato maggiore, con maggiore ingombro. Per esempio, con una velocitΓ delle ruote di 300 πππππΈπΈ, si sarebbe ottenuto un raggio:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 114
ππ =1
0.06(2 β 0.1 β 0.1)β0.1
β 2ππ β 30060
2 β 0.1 β 0.1
οΏ½ 30.5οΏ½
11.4789 β 1
β 0.04(2 β 0.1 β 0.1)
ππ12
β 0.25 πΈπΈ = 25 πππΈπΈ
Ricapitolando, in questo paragrafo si Γ¨ dimensionato cosΓ¬ il motorino elettrico scegliendo la potenza a regime che deve avere e la sua coppia di spunto; si Γ¨ dimensionato poi il blocchetto, si sono scelti i materiali del blocchetto e determinato il raggio delle ruote accoppiate al motorino. Inoltre si Γ¨ dimensionato il freno, scegliendo il momento frenante, il tempo di frenatura e il tempo, misurato a partire dallβ inserimento dellβ innesto, a cui bisogna attivare il freno stesso (e contemporaneamente disinserire lβ innesto). Infine, per quanto concerne lβ innesto e lβ albero delle ruote (albero secondario), essi devono essere scelti in modo tale da minimizzare il transitorio in cui si ha strisciamento fra lβ innesto e la ruota dentata montata a folle sullβ albero secondario, allβ inizio della fase di compressione; infatti, in tale fase viene inserito lβ innesto, il quale agisce da freno perchΓ© deve decelerare lβ albero del motore elettrico fino al valore nullo di velocitΓ di rotazione, dato che il blocchetto non deve spostarsi e il motorino deve generare la coppia di spunto πππ π . Il transitorio sarΓ tanto piΓΉ breve quanto maggiore sarΓ la coppia frenante ππππ prodotta dallβ innesto, che viene trasmessa al motorino per mezzo della ruota dentata calettata sullβ albero motore, e quanto minore sarΓ la coppia resistente ππππ generata dal motorino per opporsi al trascinamento, poichΓ© come noto deve valere la relazione (seconda equazione cardinale della dinamica applicata al motorino dopo lβ inserimento dellβ innesto allβ inizio della fase di compressione):
ππππ β ππππ = π½π½Ξ©Μ con π½π½ momento di inerzia del motorino rispetto allβ asse di rotazione. Quindi, piΓΉ ππππ Γ¨ grande e ππππ piccola, ed anche quanto piΓΉ piccolo il momento di inerzia π½π½ del motorino rispetto al proprio asse di rotazione, maggiore sarΓ la variazione di velocitΓ Ξ©Μ, e quindi la condizione di aderenza verrΓ raggiunta piΓΉ velocemente, poichΓ© la velocitΓ parte dal valore Ξ© di regime quando il motorino Γ¨ in rotazione e, dopo lβ azionamento, inizia a diminuire, tendendo a raggiungere la velocitΓ nulla dellβ albero secondario, tanto piΓΉ velocemente quanto maggiore Γ¨ la decelerazione Ξ©Μ. Quindi anche lβ innesto puΓ² essere scelto in base al momento frenante (ππππ) come Γ¨ stato fatto per il freno, calcolabile come visto per questβ ultimo, una volta imposto un tempo di frenatura e le dimensioni dellβ innesto.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 115
Quando lβ innesto invece viene inserito durante la fase di aspirazione, sia lβ albero motore che quello secondario partono da una condizione di quiete, quindi non si hanno transitori in tale fase. Completati i dimensionamenti del motore elettrico del compressore e del motorino πππΈπΈ, avendo valutato la potenza minima nominale che deve avere il motore elettrico del compressore e la coppia di spunto che deve avere il motorino, si vedrΓ nel prossimo paragrafo come queste influiranno sui costi ed in particolare si valuterΓ il risparmio che si ottiene aggiungendo il sistema di controllo del volume nocivo; si considereranno motori elettrici asincroni trifase sia per il motore del compressore che per il motorino che varia il volume nocivo.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 116
5.3 Analisi del risparmio economico Per fare una valutazione del risparmio economico che si ha con lβ introduzione del sistema di controllo Γ¨ necessario essere in grado di trattare le variazioni dei costi e ricavi nel tempo. In generale, qualora si voglia realizzare un impianto (nel caso in esame impianto per lβ aria compressa), viene richiesto un prestito alla banca. Il danaro preso a prestito dovrΓ essere restituito (in πΈπΈ periodi rateali, solitamente anni) come quota capitale con un piano di ammortamento, in piΓΉ va aggiunta anche una quota interessi, il cui tasso di interesse ππ viene fissato dal creditore, cioΓ¨ la banca. Sia ππππ lβ investimento iniziale, capitale preso a prestito dalla banca. Per la maturazione di interessi ππ, dopo un periodo rateale il danaro da restituire sarΓ : ππππ + ππππππ=ππππ(1 + ππ), dopo due periodi rateali: ππππ(1 + ππ)+ππππππ(1 + ππ)= ππππ(1 + ππ)2, dopo πΈπΈ periodi: ππππ(1 + ππ)ππ. Per cui, si puΓ² dire che 1 unitΓ di moneta al periodo 0 non avrΓ piΓΉ un valore pari a 1 al periodo πΈπΈ, ma pari a 1
(1+ππ)ππ ;
La rata di ammortamento di restituzione del capitale: ππ =ππππ0 (πππππΈπΈ ππ πππΈπΈπππππΈπΈ ππππ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ) supposta costante, come nella maggioranza dei casi, e riferita al periodo 0, Γ¨ tale che, tenendo conto della diminuzione del valore del danaro al passare del tempo: al primo periodo rateale viene restituita la quota πππππ π
(1+ππ), al secondo periodo
πππππ π (1+ππ)2
, al periodo πΈπΈ πππππ π (1+ππ)ππ
. Deve quindi valere la relazione:
οΏ½ππππππ
(1 + ππ)ππ
ππ
ππ=1
= ππππ
per restituire il capitale con aggiunta degli interessi. Con ππ, come detto, si definisce la quota di ammortamento:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 117
ππ =1
β 1(1 + ππ)ππ
ππππ=1
=ππ(1 + ππ)ππ
(1 + ππ)ππ β 1
Per fare una valutazione economica nel tempo in generale, siano: πΈπΈππππ il ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ utile del ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ periodo rateale πΆπΆππππ il ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ costo del ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ periodo rateale Sia ππ il numero di utili, πΈπΈ il numero di costi (supposti costanti al variare di ππ) e ππ0 lβ investimento iniziale, lβ utile netto πΈπΈππ complessivo allβ πΈπΈ β πΈπΈπππππΈπΈππ periodo si puΓ² calcolare nel seguente modo:
πΈπΈππ = οΏ½οΏ½πΈπΈππππ
(1 + ππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
βοΏ½οΏ½πΆπΆππππ
(1 + ππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
β ππ0
Inoltre, πΈπΈππππ πΈπΈ πΆπΆππππ sono esprimibili in funzione di πΈπΈππ0 πΈπΈ πΆπΆππ0, cioΓ¨ gli utili e i costi al periodo 0. Infatti, tenendo conto di un indice β (medio) di variazione dei prezzi (βπ’π’ππ indice del ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ utile, βππππ indice del ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ costo), si puΓ² scrivere:
πΈπΈππππ = πΈπΈππππβ1(1 + βπ’π’ππ) = πΈπΈππππβ2(1 + βπ’π’ππ)2 = β― = πΈπΈππ0(1 + βπ’π’ππ)ππ πΆπΆππππ = πΆπΆππππβ1(1 + βππππ) = πΆπΆππππβ2(1 + βππππ)2 = β― = πΆπΆππ0(1 + βππππ)ππ
e quindi lβ utile netto:
πΈπΈππ = οΏ½οΏ½πΈπΈππ0(1 + βπ’π’ππ)ππ
(1 + ππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
βοΏ½οΏ½πΆπΆππ0(1 + βππππ)ππ
(1 + ππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
β ππ0
= οΏ½πΈπΈππ0οΏ½(1 + βπ’π’ππ)ππ
(1 + ππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
βοΏ½πΆπΆππ0οΏ½(1 + βππππ)ππ
(1 + ππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
β ππ0
Lβ interesse ππ tiene conto sia della variazione dei prezzi (inflazione o deflazione), che dellβ interesse reale. Si puΓ² scrivere:
(1 + ππ) = (1 + βπ’π’ππ)(1 + πΈπΈπ’π’ππ) = (1 + βππππ)(1 + πΈπΈππππ) dove πΈπΈπ’π’ππ, πΈπΈππππ rappresentano rispettivamente lβ interesse reale sullβ utile ππ βπΈπΈπππππΈπΈππ (β ππ = 1, β¦ , ππ) e lβ interesse reale sul costo ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ (β ππ = 1, β¦ ,πΈπΈ).
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 118
Le ultime relazioni possono essere giustificate considerando il seguente esempio: sia π΅π΅π π il valore monetario di un bene al periodo ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ che deve essere restituito al creditore con tasso di interesse pari a ππ. π΅π΅π π sarΓ uguale a: π΅π΅π π = π΅π΅0(1 + ππ)π π . Ragionando in termini di incremento di valore monetario dovuto allβ interesse reale, il valore π΅π΅0 al periodo ππ β πΈπΈπππππΈπΈππ (π΅π΅π π _πππππππππππππ π π π ππ_ππππππππππ) sarΓ aumentato, e sarΓ pari a: π΅π΅π π _πππππππππππππ π π π ππ_ππππππππππ = π΅π΅0(1 + πΈπΈππππ)π π . Lβ incremento di valore monetario dovuto allβ inflazione va calcolato su π΅π΅π π _πππππππππππππ π π π ππ_ππππππππππ e vale quindi: π΅π΅π π = π΅π΅π π _πππππππππππππ π π π ππ_ππππππππππ(1 + βππππ)π π = π΅π΅0(1 + πΈπΈππππ)π π (1 + βππππ)π π , ottenendo cosΓ¬ lβ uguaglianza: (1 + ππ) = (1 + βππππ)(1 + πΈπΈππππ). Per cui, lβ utile netto si puΓ² anche esprimere come:
πΈπΈππ = οΏ½πΈπΈππ0οΏ½(1 + βπ’π’ππ)ππ
(1 + ππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
βοΏ½πΆπΆππ0οΏ½(1 + βππππ)ππ
(1 + ππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
β ππ0
= οΏ½πΈπΈππ0οΏ½1
(1 + πΈπΈπ’π’ππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
βοΏ½πΆπΆππ0οΏ½1
(1 + πΈπΈππππ)ππ
ππ
ππ=1
ππ
ππ=1
β ππ0
Dallβ ultima espressione si puΓ² notare come i termini β 1
(1+πππ’π’ππ)ππππππ=1 πΈπΈ β 1
(1+ππππππ)ππππππ=1 assomiglino al reciproco della quota di
ammortamento ππ = 1β 1
(1+ππ)ππππππ=1
.
Vengono quindi definite come tassi di ammortamento effettivi, le espressioni:
οΏ½1
(1 + πΈπΈπ’π’ππ)ππ
ππ
ππ=1
=1πππππ’π’ππ
οΏ½1
(1 + πΈπΈππππ)ππ
ππ
ππ=1
=1ππππππππ
La serie storica degli indici βππππ, βπ’π’ππ, Γ¨ ricavabile dallβ πππππππππππΈπΈππππ πππΈπΈπ π πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ ππππ πππππΈπΈπππππππππππππΈπΈ (πππππππ΄π΄ππ), da cui si possono prevedere i valori futuri e, noto il tasso di interesse ππ, Γ¨ possibile ricavare πΈπΈππππ, πΈπΈπ’π’ππ e quindi i tassi di ammortamento effettivi 1
ππππππππ e 1
πππππ’π’ππ.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 119
La formula:
πΈπΈππ = οΏ½πΈπΈππ0πππππ’π’ππ
ππ
ππ=1
βοΏ½πΆπΆππ0ππππππππ
ππ
ππ=1
β ππ0
verrΓ ora utilizzata nellβ analisi della convenienza economica dellβ impianto dotato di sistema di controllo visto nel paragrafo 4. Lβ utile netto πΈπΈππ per lβ impianto ad aria compressa con sistema di controllo per la variazione del volume nocivo, Γ¨ dato dal risparmio sugli avviamenti del motore del compressore meno il costo di investimento per il motorino elettrico, meno il costo di investimento per il cambio automatico a due ingranaggi, meno il costo di investimento per il freno, meno i costi di esercizio del motorino elettrico (gli ultimi sono costi variabili nel tempo, perchΓ© vanno sostenuti ogni anno, mentre i costi di investimento vengono sostenuti al periodo iniziale, per cui non gravano interessi su di essi). Gli oneri relativi a cremagliera, guida orizzontale e blocchetto si considereranno compresi nei costi di investimento per il freno e/o per lβ innesto per semplicitΓ . Bisogna aggiungere che anche il motorino elettrico πππΈπΈ Γ¨ soggetto ad avviamenti, poichΓ© durante la compressione eroga la coppia di spunto alla velocitΓ angolare nulla come visto e in aspirazione gira alla velocitΓ di regime, ma data la sua piccola taglia rispetto a quella del motore elettrico del compressore, come si vedrΓ non si dovranno considerare oneri aggiuntivi dovuti a tali avviamenti. Il risparmio sugli avviamenti del compressore πΈπΈππ, sarΓ ragionevolmente uguale al costo del compressore ππππ moltiplicato per il rapporto tra il numero di avviamenti orari effettivi nel caso di impianto senza sistema di controllo πΈπΈππππ e tra il numero di avviamenti orari massimi indicati a catalogo πΈπΈππππππππππ, cioΓ¨: πΈπΈππ = ππππππ
ππππππππππππππππ .
Per una verifica qualitativa di tale formula, qualora avvenga che πΈπΈππππ >πΈπΈππππππππππ, il risparmio πΈπΈππ risulterebbe maggiore del costo del motore ππππ; infatti, se πΈπΈππππ > πΈπΈππππππππππ di motore ne serve piΓΉ di uno, poichΓ© uno solo non sarebbe in grado di reggere un numero superiore a πΈπΈππππππππππ di avviamenti orari, mentre se πΈπΈππππ < πΈπΈππππππππππ di motore ne basta uno, infatti πΈπΈππ risulta minore del costo del motore ππππ in tal caso. Il costo totale del motore ππππ puΓ² essere espresso approssimativamente come un costo ππππππ al ππππ di potenza elettrica, moltiplicato per la potenza elettrica ππππ nominale espressa in ππππ del motore: ππππ = ππππππππππ.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 120
Lβ approssimazione risulta utile per poter poter stimare lβ utile netto in modo semplice, linearizzando la dipendenza del costo del motore dalla potenza nominale; qualora tuttavia si abbia a disposizione il listino prezzi dellβ azienda venditrice, Γ¨ noto direttamente il costo ππππ. Lβ onere dovuto al costo totale del motorino elettrico πππΈπΈ, pari a ππππππ, si puΓ² esprimere analogamente al caso del motore elettrico del compressore come: ππππππ = ππππππππππππ, con ππππππ potenza elettrica espressa in ππππ del motorino. I costi di esercizio del motorino elettrico πΆπΆππππππ possono essere posti uguali ai costi al ππππβ di funzionamento ππππππβ moltiplicati per i ππππβ dati dal prodotto della potenza elettrica ππππππ con il tempo di funzionamento a periodo rateale ππ (tempo di funzionamento in un anno):
πΆπΆππππππ = ππππππβππππππππ Infine, si hanno i costi di investimento ππππππππππππππ+ππππππππππ dellβ insieme πππΈπΈπΈπΈππππππ + πππππΈπΈπΈπΈππ (in cui sono inclusi come detto, gli oneri relativi alla cremagliera, alla guida orizzontale, al blocchetto e in generale tutti gli eventuali costi aggiuntivi). Lβ utile netto allora si puΓ² esprimere, tenendo conto anche dei tassi di ammortamento effettivi:
πΈπΈππ = οΏ½πΈπΈππ0πππππ’π’ππ
ππ
ππ=1
βοΏ½πΆπΆππ0ππππππππ
ππ
ππ=1
β ππ0 = πΈπΈππ βπΆπΆππππππ
ππππππππβ ππππππ β ππππππππππππππ+ππππππππππ =
=πΈπΈππππ
πΈπΈππππππππππππππππππππ β
ππππππβππππππππππππππππ
β ππππππππππππ β ππππππππππππππ+ππππππππππ
Tale formula puΓ² essere usata per stimare lβ utile netto, il quale, qualora risultasse positivo rappresenterebbe effettivamente un utile o guadagno, mentre qualora risultasse negativo rappresenterebbe in realtΓ una perdita. CiΓ² che si desidera Γ¨ che ovviamente lβ utile netto sia positivo. Il risultato dipende inoltre da πΈπΈ, cioΓ¨ dal numero di periodi rateali (anni) su cui si esegue la valutazione economica, poichΓ© il tasso di ammortamento effettivo ππππππππ Γ¨ una funzione di πΈπΈ. In generale, al crescere di πΈπΈ il tasso di ammortamento diminuisce; ciΓ² puΓ² essere visto dalla sua espressione generale:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 121
οΏ½1
(1 + πΈπΈππ)ππ
ππ
ππ=1
=1ππππππ
Infatti, per πΈπΈ crescenti 1
ππππππ aumenta perchΓ© si sommano tra loro tutti termini
positivi e al limite per πΈπΈ β β, si ottiene lβ espressione di una serie geometrica: β 1
(1+ππππ)ππβππ=1 , poichΓ© la somma ha ragione minore di uno, quindi converge ad
un valore massimo asintotico. Quindi se 1
ππππππ aumenta il tasso di ammortamento ππππππ diminuisce e
conseguentemente lβ utile netto in questo caso diminuisce (poichΓ© il costo di esercizio ππππππβππππππππ
ππππππππ dovuto al funzionamento del motorino elettrico aumenta).
Inoltre, per semplificare il conto, nel seguito verrΓ considerato un indice di variazione del costo dellβ energia pari a zero, quindi:
ππππππππ =1
β 1(1 + πΈπΈππ)ππ
ππππ=1
=1
β (1 + βππ)ππ(1 + ππ)ππ
ππππ=1
=1
β (1 + 0)ππ(1 + ππ)ππ
ππππ=1
==ππ(1 + ππ)ππ
(1 + ππ)ππ β 1 = ππ
Come costo al ππππβ (ππππππβ), si puΓ² prendere un valore di 0.10 β¬
ππππβ, che in
generale varierΓ in base alle tariffe del fornitore, ma Γ¨ un valore comunque ragionevole. Per quanto riguarda i costi del motore elettrico del compressore ππππ = ππππππππππ e del motorino elettrico πππΈπΈ ππππππ = ππππππππππππ, si considererΓ un costo medio al ππππ ππππππ dei motori elettrici pari a 70 β¬/ππππ. Il tasso di interesse ππ verrΓ considerato pari al 10 %, mentre bisogna calcolare il numero di avviamenti orari massimi del motore elettrico del compressore: πΈπΈππππππππππ. Per eseguire tale calcolo, si puΓ² utilizzare una formula empirica (vedi πΉπΉπΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈππ,πππΈπΈπππππππππππΈπΈ,πππΈπΈπΈπΈπΈπΈππβπΈπΈππππππ βπΏπΏπΈπΈπ π πππππΈπΈππ ππππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ π΄π΄πππππΈπΈπππππΈπΈπππΈπΈ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππππβπππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈπππΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈ: πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ ππππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈππ π΄π΄π π πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππβ, πππΈπΈππ. 171, Prima Edizione, ristampa del 2014):
πΈπΈππππππππ = π π 01 β ππππ
πππππππ£π£π£π£
1 + π½π½πππ π πππ½π½0
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 122
dove π π 0 Γ¨ il numero di avviamenti orari massimi a vuoto, ππππ la coppia resistente riferita allβ albero motore, πππππππ£π£π£π£ la coppia media di avviamento, che viene presa di solito pari a circa 0.85 πππ π , con πππ π coppia di spunto, fornita dal catalogo (Γ¨ stata calcolata quella minima necessaria nel caso del motorino πππΈπΈ), π½π½πππ π ππ il momento di inerzia del carico riferito allβ albero motore, π½π½0 il momento di inerzia del motore elettrico noto da catalogo. Ci si riferirΓ in seguito ad un catalogo preso dallβ azienda ππππππππππ β πππππππππππππππΈπΈππππππππππ, riportato qui di seguito:
Per calcolare quindi il numero di avviamenti orari massimi del motore elettrico del compressore πΈπΈππππππππππ, bisogna prima scegliere il motore; risulta, dato che la potenza nominale deve essere almeno 23 ππππ, che la scelta debba ricadere sul motore 200πΏπΏ4, con potenza nominale di 30 ππππ. La coppia media di avviamento, come detto viene calcolata: πππππππ£π£π£π£ = 0.85 πππ π , con πππ π da catalogo pari a 2.4ππππ, con ππππ coppia nominale, e risulta: πππππππ£π£π£π£ = 0.85 πππ π = πππππππ£π£π£π£ = 0.85 β 2.4ππππ = 0.85 β 2.4 β 195 πππΈπΈ β 397.8 πππΈπΈ.
La coppia resistente, come visto, riferita alla velocitΓ angolare di manovella, oscilla periodicamente tra i valori +1850 πππΈπΈ e β395 πππΈπΈ. Considerato che la coppia Γ¨ variabile nel tempo, per effettuare delle valutazioni semplici, conviene porsi in condizioni critiche, ossΓ¬a considerare una coppia costante pari a+1850 πππΈπΈ.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 123
Per la velocitΓ a regime del motore del compressore si puΓ² prendere un valore di circa 1450 πππππΈπΈ poichΓ© non si Γ¨ lontani dalla velocitΓ di sincronismo nel diagramma ππ βππ, come nel caso del motorino elettrico. Quindi la coppia resistente ππππ riferita allβ albero motore Γ¨:
ππππ = 1850πππΈπΈ12 πππΈπΈππ/ππ
1450 2ππ60 πππΈπΈππ/ππ
β 146.2 πππΈπΈ
π½π½0 da catalogo Γ¨ pari a 0.2 πππππΈπΈ2 e π π 0 a 400 πΈπΈππππ/β mentre π½π½πππ π ππ si puΓ² ricavare considerando lβ energia cinetica complessiva del sistema (πΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ +πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ + πππππππππππΈπΈπΈπΈ + πππππππΈπΈπππππππππΈπΈ) e ridurla poi allβalbero motore (in generale π½π½πππ π ππ risulterΓ variabile nel tempo, per cui si prenderΓ il valore massimo del caso critico):
πππ π πππ π ππππππππ(ππ) =12 π½π½πππ π ππ(ππ)Ξ©ππ
2 dove Ξ©ππ Γ¨ la velocitΓ angolare dellβ albero motore. Per calcolare πππ π πππ π ππππππππ(ππ):
πππ π πππ π ππππππππ(ππ) = πππππππππππ£π£ππππππππ + ππππππππππππππ(ππ) + πππππππ π ππππππππ(ππ) + πππππππππ’π’ππππππππππ =
=12πΈπΈππππ2 + ππππππππππππππ(ππ) +
12πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)2 +
12 π½π½ππππππΞ©ππ
2 Per lβ energia cinetica della biella ππππππππππππππ(ππ) serve fare qualche calcolo in piΓΉ; indicando con πΈπΈππ la massa della biella, con π΅π΅ il punto della biella solidale (per mezzo della coppia rotoidale) al pistone, con ππ un punto generico della biella e con πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β la velocitΓ angolare della biella, si puΓ² scrivere:
ππππππππππππππ(ππ) = οΏ½12ππππ(ππ)2πππΈπΈ = οΏ½
12 οΏ½πππ΅π΅οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β
(ππ) + πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)βπ΅π΅πποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)οΏ½2πππΈπΈ =
= οΏ½12 οΏ½πππ΅π΅οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β
(ππ) + πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)βπ΅π΅πποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)οΏ½ β οΏ½πππ΅π΅οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ) + πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)βπ΅π΅πποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)οΏ½πππΈπΈ =
= οΏ½12 οΏ½πππ΅π΅(ππ)2 + οΏ½πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)βπ΅π΅πποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)οΏ½
2+ 2πππ΅π΅οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ) β πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)βπ΅π΅πποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)οΏ½πππΈπΈ =
=12πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)2 +
12οΏ½οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 π΅π΅ππ(ππ)2πππΈπΈ + πππ΅π΅οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ) β πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)βοΏ½π΅π΅πποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)πππΈπΈ =
=12πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)2 +
12οΏ½οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 π΅π΅ππ(ππ)2πππΈπΈ + πππ΅π΅οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ) β πππποΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)βπ΅π΅πΊπΊοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)πΈπΈππ
=12πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)2 +
12 οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2 οΏ½π΅π΅ππ(ππ)2πππΈπΈ + πΈπΈππ|οΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)|οΏ½οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)οΏ½ οΏ½π΅π΅πΊπΊοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (ππ)οΏ½ cosοΏ½
ππ2 + π½π½(ππ)οΏ½ =
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 124
=12πΈπΈπποΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)2 +
12 οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2π½π½π΅π΅ β πΈπΈππ|οΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)|οΏ½οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)οΏ½
πΈπΈ2 sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½
I parametri: πΈπΈππ, οΏ½ΜοΏ½π₯(ππ), οΏ½ΜοΏ½π½(ππ), π½π½π΅π΅, πΈπΈ, π½π½(ππ) sono tutti noti dal paragrafo 5.1 Si ha quindi:
πππ π πππ π ππππππππ(ππ) =12πΈπΈππππ2 +
12 (πΈπΈππ + πΈπΈππ)οΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)2 +
12 οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2π½π½π΅π΅
β πΈπΈππ|οΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)|οΏ½οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)οΏ½πΈπΈ2 sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½ +
12 π½π½ππππππΞ©ππ
2 Tale formula deve essere anche uguale a:
πππ π πππ π ππππππππ(ππ) =12 π½π½πππ π ππ(ππ)Ξ©ππ
2 per riferire lβ energia cinetica allβ albero del motore elettrico del compressore. Quindi:
π½π½πππ π ππ(ππ) = πΈπΈππππ2
Ξ©ππ2 + (πΈπΈππ + πΈπΈππ)οΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)2
Ξ©ππ2 +οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)2
Ξ©ππ2 π½π½ β 2πΈπΈππ|οΏ½ΜοΏ½π₯(ππ)|οΏ½οΏ½ΜοΏ½π½(ππ)οΏ½
Ξ©ππ2πΈπΈ2
sinοΏ½π½π½(ππ)οΏ½ + π½π½ππππππ
Per il momento di inerzia del riduttore, si puΓ² prendere un valore dello stesso ordine di grandezza del momento di inerzia del motore, ma inferiore, per esempio pari a 0.1 πππππΈπΈ2; anche qui la scelta andrebbe fatta da catalogo per conti piΓΉ precisi, ma dato che lβ obiettivo Γ¨ la valutazione economica dellβ aggiunta del sistema di controllo, sarebbe eccessivo considerare anche di scegliere il riduttore del motore elettrico del compressore. Calcolandolo con Matlab, π½π½πππ π ππ(ππ) risulta:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 125
con valore massimo con ottima approssimazione pari a 0.1 πππππΈπΈ2, dato che, come si vede dalla figura, le oscillazioni sono molto piccole ed in pratica coincidente con il valore scelto per π½π½ππππππ . Allo script di matlab della βπππΈπΈπΈπΈπππππππππΈπΈβ utilizzata nel paragrafo 5.1 Γ¨ bastato aggiungere un paio di semplici righe di codice: %calcolo momento di inerzia J_est if(g == 9.81) %questo if permette di eseguire una sola volta le istruzioni %successive, infatti g=9.81 solo alla prima chiamata della %funzione omega_=12; omega_mot=156; %1490 rpm %mb=ro*l*a*b; x_punto=r*omega_*sin(alpha)-l*beta_punto.*sin(beta); J_rid=0.1; Jb=((l-delta_l)^2/3+b^2/12)*mb; J_est=mm*(omega_/omega_mot)^2+(m+mb)*x_punto.^2/omega_mot^2+beta_punto.^2/omega_mot^2*Jb-2*mb*abs(x_punto).*abs(beta_punto)/omega_mot^2*(l/2).*sin(beta)+J_rid; figure(17) plot(t,J_est) w=xlabel('t (s)'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('J_e_s_t (Kg*m^2)'); set(y,'FontSize',18)
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 126
fprintf('J_est medio Γ¨: %f kg*m^2', mean(J_est)) end Ora si hanno tutti i dati per stimare il numero di avviamenti massimi del motore elettrico del compressore:
πΈπΈππππππππππ = π π 01 β ππππ
πππππππ£π£π£π£
1 + π½π½πππ π πππ½π½0
= 4001 β 146.2
397.81 + 0.1
0.2β 168 πΈπΈππππ/β
Il risultato, 168 πΈπΈπππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ πΈπΈπΈπΈπΈπΈβ²πππππΈπΈ, Γ¨ inferiore rispetto alla frequenza di stacchi e riattacchi nel sistema senza sistema di controllo, la quale risultava pari a 17 πΈπΈπππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ πππππΈπΈππ 100 πππΈπΈπππππΈπΈππππ (612 πΈπΈππππ/β) con i parametri utilizzati per la simulazione (paragrafo 4.4); tuttavia dal paragrafo 5.1 sono stati introdotti altri parametri, perciΓ² la simulazione necessita di essere rieseguita con tali parametri. Qui di seguito si riportano le modifiche effettuate (si tiene conto anche dei ritardi introdotti nel paragrafo 4.6). Si sono modificati quindi i parametri della simulazione e si sono posti uguali a quelli introdotti nel paragrafo 5.1. Si Γ¨ mantenuta anche la stessa pressione di riferimento al comparatore ππππππππ = 1.5 πππΈπΈππ mentre il volume del serbatoio di accumulo deve essere ricalcolato con la formula vista nel paragrafo 3:
ππ =ππ1Ξππ οΏ½
ππ0ππ1οΏ½1ππ
[ππππ + ππππ β οΏ½ππ1ππ0οΏ½1ππππππ]
considerando lo spazio nocivo fisso, pari al valore nominale e un aumento di pressione nel serbatoio pari a Ξππ (si considerano, come giΓ detto, le utenze chiuse, ossΓ¬a πππ’π’ = 0 πΈπΈ3 ππβ ). Scegliendo Ξππ pari a 0.2 πππΈπΈππ, risulta:
ππ =3
0.2 οΏ½0.53 οΏ½
11.4789
οΏ½0.02 + 0.0012 β οΏ½3
0.5οΏ½1
1.47890.0012οΏ½ = 0.077 πΈπΈ3
La velocitΓ angolare con i parametri modificati, con un tempo di simulazione pari a 100 ππ risulta la seguente:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 127
Dalla figura si nota che la velocitΓ non fa nemmeno in tempo a raggiungere il suo valore di regime (12 πππΈπΈππ/ππ) che il pressostato dice al compressore di
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 128
spegnersi quando Γ¨ a circa 5.5 πππΈπΈππ/ππ ed il numero di avviamenti effettivi πΈπΈππππ Γ¨ pari a 10 πππΈπΈ 100 πππΈπΈπππππΈπΈππππ βΆ
πΈπΈππππ =10 πΈπΈππππ100 ππ =
10 πΈπΈππππ
100 β3600
β 360 πΈπΈππππ/β
Le ultime incognite rimaste da fissare per la valutazione dellβ utile netto con la formula:
πΈπΈππ =πΈπΈππππ
πΈπΈππππππππππππππππππππ β
ππππππβππππππππππ β ππππππππππππ β ππππππππππππππ+ππππππππππ
sono il costo di investimento ππππππππππππππ+ππππππππππ per il freno e per il cambio a due ingranaggi, il tempo di funzionamento annuo del compressore ππ, e la potenza nominale del motorino elettrico πππΈπΈ. Per il tempo di funzionamento annuo, si puΓ² considerare un numero pari a circa 238 πππππππππΈπΈππ πΈπΈπΈπΈπππππππΈπΈππππππππ πΈπΈπΈπΈπΈπΈβ²πΈπΈπΈπΈπΈπΈππ e 8 πππππΈπΈ ππππ πππΈπΈπΈπΈπ π πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ πππππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπππΈπΈ. Quindi:
ππ = 238 β 8πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππ = 1904
πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππ
Per la scelta del motorino elettrico πππΈπΈ, si sa che la potenza nominale ππππππ deve essere maggiore di circa 0.4 ππ e che la coppia di spunto deve essere almeno uguale a 3.8 πππΈπΈ; quindi, dal catalogo dei motori visto sopra, la scelta puΓ² ricadere sul motore 63πΆπΆ4, con potenza nominale di 0.25 ππππ, a cui corrisponde una coppia di spunto circa pari a 4.6 πππΈπΈ. Dato che tale motorino Γ¨ soggetto a basse coppie e potenze resistenti, il suo numero di avviamenti massimi sarΓ circa pari al numero di avviamenti a vuoto, noti da catalogo: 10000 πππ£π£π£π£
ββ 2.77 πππ£π£π£π£
π π . Il numero di avviamenti effettivi
Γ¨ pari ad 1 πΈπΈπππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ πππππΈπΈππ 2ππππ
πππΈπΈπππππΈπΈππππ (ππ = 12 πππΈπΈππ/ππ), quindi circa 2 πΈπΈπππππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ πΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈππππ. Pertanto, il motorino Γ¨ in grado di operare in tali condizioni. Per quanto riguarda ππππππππππππππ+ππππππππππ, Γ¨ di difficile stima in quanto i costi possono variare per una miriade di fattori, fra i quali: materiali utilizzati, tipo di freno, rendimento degli ingranaggi, fornitori, ecc. Allora, Γ¨ utile rigirare lβ equazione:
πΈπΈππ =πΈπΈππππ
πΈπΈππππππππππππππππππππ β
ππππππβππππππππππ β ππππππππππππ β ππππππππππππππ+ππππππππππ
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 129
ponendo πΈπΈππ > 0, dato che Γ¨ ciΓ² che si vuole, trovando una condizione su ππππππππππππππ+ππππππππππ, che ne limita il valore massimo. Si ha infatti:
πΈπΈππππ πΈπΈππππππππππ
ππππππππππ βππππππβππππππππ
ππ β ππππππππππππ β ππππππππππππππ+ππππππππππ > 0
e cioè:
ππππππππππππππ+ππππππππππ <πΈπΈππππ
πΈπΈππππππππππππππππππππ β
ππππππβππππππππππ β ππππππππππππ = ππππππππππππ
Conviene quindi plottare un grafico di ππππππππππππ al variare del numero di anni πΈπΈ (si ricorda che πΈπΈ rappresenta il numero di periodi rateali, da cui dipende la quota di ammortamento ππ); tutti i punti di ordinata positiva che soggiaciono alla curva ππππππππππππ, sono punti in cui πΈπΈππ > 0 e viceversa per punti soprastanti alla curva ππππππππππππ. Per cui, si vuole avere ππππππππππππππ+ππππππππππ πΈπΈπππΈπΈπππππΈπΈ πππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈ ππππππππππππ: una volta noto dai fornitori quanto viene a costare il sistema πππΈπΈπΈπΈππππππ πΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπΈπΈππππππππ πΈπΈππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈππππππ + πππππΈπΈπΈπΈππ si puΓ² valutare dal diagramma la convenienza economica. Si graficherΓ ora con Matlab lβ andamento della curva limite al variare di πΈπΈ:
ππππππππππππ =πΈπΈππππ
πΈπΈππππππππππππππππππππ β ππππππβππππππππ β
1ππ β ππππππππππππ =
=360 πΈπΈππππβ168 πΈπΈππππβ
β 70β¬ππππ
β 30ππππ β 0.10β¬
ππππβ0.25 ππππ β 1904
βπΈπΈπΈπΈπΈπΈππ
β οΏ½(1 + 0.1)ππ β 1(1 + 0.1)ππ0.1
οΏ½ β πΈπΈπΈπΈπΈπΈππ β 70β¬ππππ
β 0.25ππππ
Il plot di tale funzione risulta:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 130
Si nota che la curva limite varia da un massimo, per πΈπΈ = 0 (quando ππ = 0), pari a 4482 β¬, ad un minimo, che viene effettivamente raggiunto quando πΈπΈ ββ, cioΓ¨ lim
ππββππ(πΈπΈ) = lim
ππββ
(1+0.1)πΈπΈ0.1
(1+0.1)πΈπΈβ1= 0.1, e sostituendo nella formula:
ππππππππππππ =
360 πΈπΈππππ/β 168 πΈπΈππππ/β
β 70β¬ππππ
β 30ππππ β 0.10β¬
ππππβ0.25 ππππ β 1904
βπΈπΈπΈπΈπΈπΈππ
β1
0.1β πΈπΈπΈπΈπΈπΈππ β 70
β¬ππππ
β 0.25ππππ
si ottiene circa ππππππππππππ = 4006β¬ . Quindi, non si ha un calo particolarmente elevato di utile netto. Dunque, ciΓ² significa che per risparmiare qualsiasi sia il numero di anni, lβ insieme πππΈπΈπΈπΈππππππ + πππππΈπΈπΈπΈππ deve venire a costare meno di 4006β¬, mentre per risparmiare nei primi 5 anni deve costare meno di 4302β¬ e nei primi 10 4190β¬, costi che, qualsiasi sia il tipo di freno e cambio, sono difficili da raggiungere. Per cui, con i parametri utilizzati dal paragrafo 5.1 in poi, nonostante lβ approssimazione delle formule utilizzate nel paragrafo 5.3, le quali comunque sono state utilizzate ponendosi nei casi piΓΉ critici, si evince che Γ¨ piΓΉ che probabile la convenienza di investire per lβ aggiunta del sistema di controllo.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 131
Script utilizzato per il plot di ππππππππππππ: %risparmio energetico close all clear clc n_ac=360; %avviamenti effettivi del motore elettrico del compressore n_ac_max=168;%avviamenti massimi del motore elettrico del compressore c_kW=70; %costo al kW Pc=30; %potenza motore elettrico compressore [kW] c_kWh=0.10; %costo al kWh P_ME=0.25; %potenza motorino elettrico ME [kW] T=1904; %ore/anno di funzionamento del motorino elettrico i=0.1; %tasso di interesse per l' ammortamento n=linspace(0,100,10000); Ic=c_kW*Pc; I_ME=c_kW*P_ME; Icfmax=n_ac/n_ac_max*Ic-c_kWh*P_ME*T.*((1+i).^n-1)./((1+i).^n*i)-I_ME; plot(n, Icfmax) w=xlabel('anni'); set(w,'FontSize',18) y=ylabel('costo massimo di cambio+freno (euro)'); set(y,'FontSize',18)
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 132
6) Soluzione alternativa per il sistema di controllo del volume nocivo Si mostra brevemente in questo paragrafo, unβ altra possibile scelta del sistema di controllo atto alla variazione del volume nocivo. Finora si Γ¨ descritto, dimensionato nelle sue componenti principali e valutato il vantaggio economico, del sistema di controllo introdotto a partire dal paragrafo 4.1. Come si Γ¨ visto, nella fase di compressione il motorino doveva erogare una coppia di spunto per mantenere in equilibrio il blocco di massa ππ, essendo in tale fase lβ albero del motorino in quiete. In aspirazione invece il motorino girava alla sua velocitΓ di regime (esclusi i transitori di frenatura) permettendo lo spostamento del blocchetto di massa ππ. Queste variazioni di velocitΓ angolare del motorino non sono vantaggiose poichΓ© sono di fatto degli avviamenti; dato perΓ² che il motorino Γ¨ di piccola taglia e non soggetto a sforzi eccessivi, tali avviamenti non gravano come quelli del motore elettrico del compressore. Un ulteriore modo di progettare il sistema di controllo puΓ² essere il seguente:
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 133
Lβ albero del motore elettrico πππΈπΈ, trasmette potenza allβ albero secondario qualora venga inserito lβ innesto, il quale Γ¨ schematizzato insieme al freno ed al cambio a due ingranaggi come nello schema di controllo precedente, quindi con due marce con rapporto di trasmissione +1 o β1. Le ruote dentate che costituiscono gli ingranaggi delle due marce, come nello schema precedente, sono calettate sullβ albero motore mentre sono montate a folle sullβ albero secondario. Questa volta perΓ², lβ albero secondario non Γ¨ collegato alle ruote del motorino, ma ingrana a sua volta con una cremagliera, sulla quale Γ¨ fissato il blocchetto di massa ππ. Per βfissatoβ si puΓ² intendere βsaldatoβ o montato per ostacolo, lβ importante Γ¨ che il blocchetto sia solidale alla cremagliera. Tale blocchetto poi dovrΓ modificare il volume nocivo del cilindro del compressore, pensando che possa traslare lungo una guida chiusa in contatto con il cilindro (come nello schema precedente). In pratica si ottiene cosΓ¬ un sistema di controllo che svolge lo stesso compito di quello precedente (la variazione del volume nocivo) con annesse analogie: infatti, il motore ha velocitΓ angolare pari a quella di regime (esclusi i transitori di frenatura) durante la fase di aspirazione poichΓ© Γ¨ in tale fase che si modifica il volume nocivo e velocitΓ angolare nulla durante la fase di compressione, poichΓ¨ il blocchetto solidale alla cremagliera necessita della coppia di spunto del motorino per vincere la spinta dellβ aria, dato che le forze dovute alla spinta dellβ aria causerebbero una traslazione della cremagliera e quindi comporterebbero una modifica non voluta dello spazio nocivo. Conviene quindi sempre pensare che il sistema di controllo modifichi il volume nocivo durante lβ aspirazione, per poter sottodimensionare il motorino e che il freno e lβ innesto svolgano esattamente gli stessi compiti del sistema precedente, quindi il loro dimensionamento si esegue nello stesso modo visto nel paragrafo 5.2. Essendo vantaggioso dal punto di vista economico il sistema precedente, risulterΓ vantaggioso anche il sistema introdotto in questo paragrafo. Inoltre, i risultati Simulink visti per il sistema di controllo precedente, rimangono ovviamente gli stessi per il sistema di controllo introdotti in questo paragrafo, essendo i due sistemi equivalenti dal punto di vista funzionale.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 134
7) Conclusioni In questo lavoro di tesi Γ¨ stato presentato un generale impianto ad aria compressa ed Γ¨ stato proposto un miglioramento del suo funzionamento modificando lo spazio nocivo del compressore volumetrico alternativo. Come evidenziato nella parte introduttiva, i compressori di questo genere di impianti possono essere rotativi o volumetrici, i quali a loro volta si suddividono in varie sottocategorie: i compressori volumetrici possono essere infatti alternativi, a palette, a lobi, a vite, ecc, mentre i compressori rotativi possono essere centrifughi, assiali, ecc. Nella presente tesi si sono considerati compressori volumetrici alternativi, i quali tuttavia non rappresentano un caso particolare dato che sono fra i piΓΉ diffusi. La modifica dello spazio nocivo del compressore, Γ¨ stata resa possibile installando una guida orizzontale, posta a contatto con lo spazio nocivo nominale del compressore, lungo la quale aveva la possibilitΓ di traslare un blocchetto di massa ππ trascinato da motorino elettrico accoppiato a 4 ruote tramite un cambio a due ingranaggi e dotato di un freno. Il motorino elettrico rimaneva sempre acceso, ma mentre nella fase di compressione erogava la coppia di spunto a velocitΓ angolare nulla per fare in modo che il blocchetto rimanesse fermo, durante la fase di aspirazione trasmetteva il moto alle ruote qualora lβ innesto del cambio a due ingranaggi era inserito e le ruote potevano ruotare in un verso o nellβ altro a seconda del segnale di retroazione. Il segnale di retroazione proveniva dalla misura della portata richiesta dallβ utenza, la quale, imponeva univocamente il nuovo volume nocivo, da ottenere per mezzo del moto del blocchetto di massa ππ accoppiato al motorino elettrico πππΈπΈ. Il moto del blocchetto dipendeva, come visto, non solamente dal volume nocivo che si voleva ottenere al ciclo successivo (imposto come detto dalla misura della portata richiesta dallβ utenza, utilizzando la relazione vista nel paragrafo 4.3.3), ma anche dal volume nocivo di quel momento; in base al segno della differenza fra i due volumi nocivi, lβ innesto veniva inserito sulla prima o sulla seconda marcia, le quali imponevano il rapporto di trasmissione degli ingranaggi ad un valore +1 o β1, permettendo la rotazione delle ruote accoppiate al motorino in un verso o nellβ altro. Infine agiva il freno, in modo da fermare le ruote accoppiate al motorino e quindi il blocchetto di massa ππ nella posizione che corrispondeva al volume nocivo desiderato. Il sistema atto a modificare lo spazio nocivo, Γ¨ stato fasato in modo tale che la modifica avvenisse durante la fase di aspirazione del compressore, cosΓ¬ da
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 135
poter sottodimensionare il motorino elettrico πππΈπΈ, perchΓ© in tale fase esso non deve compiere ulteriore lavoro per vincere le forze dovute alla pressione dellβ aria, la quale raggiunge i suoi valori massimi in compressione e non in aspirazione; durante la compressione, come detto, il motorino eroga la coppia di spunto avendo il suo albero velocitΓ nulla, in modo che il blocchetto rimanga fermo, altrimenti, qualora non intervenisse il motorino la massa del blocchetto dovrebbe essere eccessiva come visto nel paragrafo 5.2 e ciΓ² comporterebbe di dover sovradimensionare eccessivamente il motorino per mantenere piccoli i transitori. Il sistema di controllo Γ¨ stato testato con Simulink, insieme allβ impianto senza sistema di controllo, fissando i valori numerici dei parametri. Si Γ¨ visto che la pressione nel serbatoio rimaneva costante con sistema di controllo, mentre oscillava nellβ impianto senza tale sistema, con annessi svantaggi. Il numero di avviamenti del motore elettrico del compressore senza sistema di controllo risultava elevato, mentre il sistema di controllo permetteva di abbassarlo notevolmente (rimaneva infatti il solo avviamento iniziale, mentre per il resto della simulazione il compressore rimaneva sempre in funzione). Infine, Γ¨ stato valutato il risparmio economico con lβ introduzione del sistema di modifica dello spazio nocivo: πΈπΈπππππππππππΈπΈππ πΈπΈπΈπΈπΈπΈππππππππππππ + πππΈπΈπΈπΈππππππ πΈπΈ πππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπΈπΈππππππ + πππππΈπΈπΈπΈππ. Prima di calcolarlo perΓ², sono stati dimensionati i motori elettrici del motorino e del compressore, valutando la potenza nominale minima che essi dovevano avere per garantire il funzionamento del sistema, la quale Γ¨ stata poi utilizzata per la valutazione economica. Inoltre sono state dimensionate anche le ruote del motorino, il blocchetto di massa ππ, scelti i materiali di blocchetto, pistone, biella, manovella e scelto il freno (in particolare si Γ¨ calcolata la coppia richiesta e il tempo ππππ, misurato a partire dallβ inserimento dellβ innesto, al quale doveva essere attivato il freno; tale tempo risultava dipendente dallo spazio nocivo del ciclo precedente e successivo, quindi in generale variabile ad ogni ciclo). Per valutare il risparmio economico, sono stati considerati i vari termini che
lo componevano: Γ¨ stato visto infatti che lβ utile netto πΈπΈππ per lβ impianto ad aria compressa con sistema di controllo per la variazione del volume nocivo, era dato dal risparmio sugli avviamenti del motore del compressore meno il costo di investimento per il motorino elettrico, meno il costo di investimento per il cambio automatico a due ingranaggi, meno il costo di investimento per il freno, meno i costi di esercizio del motorino elettrico. Gli oneri relativi a cremagliera e guida orizzontale sono stati considerati compresi nei costi di investimento per il freno e/o per lβ innesto per semplicitΓ . Anche il motorino elettrico πππΈπΈ era soggetto ad avviamenti, poichΓ© durante la
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 136
compressione erogava la coppia di spunto alla velocitΓ angolare nulla come visto e in aspirazione girava alla velocitΓ di regime, ma data la sua piccola taglia rispetto a quella del motore elettrico del compressore, non si sono dovuti considerare oneri aggiuntivi dovuti a tali avviamenti. Sono stati valutati tutti i termini per mezzo di espressioni ricavate nel paragrafo 5.3, e si Γ¨ visto che si aveva effettivamente un risparmio qualora il costo dellβ insieme πππΈπΈπΈπΈππππππ + πππππΈπΈπΈπΈππ fosse risultato inferiore a circa 4302β¬ nei primi 5 anni, 4190β¬ nei primi 10, e 4006β¬ per un qualsiasi numero di anni. Per cui in conclusione, con buona probabilitΓ ,si risparmia con lβ aggiunta del sistema di controllo, dato che i costi di cambio e freno difficilmente raggiungono tali valori. Infine, nel paragrafo 6 si Γ¨ visto un modo alternativo di progettare il sistema di controllo descritto dal paragrafo 4.1 in poi; tale modo alternativo dal punto di vista funzionale svolgeva esattamente lo stesso compito del sistema visto in precedenza.
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 137
πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈπππΈπΈππππ β πππΈπΈππππ ππππ πΏπΏπΈπΈπΈπΈπππΈπΈπΈπΈ 138
8) Bibliografia π·π·πππππππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ ππππ βπΆπΆπππΈπΈπππππππΈπΈπΈπΈππ π΄π΄πΈπΈπππππΈπΈπΈπΈππππππππβ πππΈπΈπΈπΈ ππππππππ. πππΈπΈππ.πππΈπΈπππππΈπΈππ πΉπΉπΈπΈπΈπΈπ π ππ πππΈπΈππππππ πΊπΊπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈπππΈπΈππ β πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈππππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈππππππ-πππππππΈπΈπππππππΈπΈ πΈπΈπππππππππππππΈπΈ π΅π΅πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈ-πΈπΈπππππ π πππππΈπΈπΈπΈ 1999 πΉπΉπΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈππ,πππΈπΈπππππππππππΈπΈ,πππΈπΈπΈπΈπΈπΈππβπΈπΈππππππ-πΏπΏπΈπΈπ π πππππΈπΈππ ππππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ π΄π΄πππππΈπΈπππππΈπΈπππΈπΈ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππππβπππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈπππΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈ: πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ ππππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈππ π΄π΄π π πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ-ππΓ πππππππΈπΈ πΈπΈπππππππππππΈπΈ-πΈπΈπππππ π πππππΈπΈπΈπΈ 2009 πΉπΉπΈπΈπΈπΈπΈπΈπππππΈπΈππ,πππΈπΈπππππππππππΈπΈ,πππΈπΈπΈπΈπΈπΈππβπΈπΈππππππ-πΏπΏπΈπΈπ π πππππΈπΈππ ππππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ π΄π΄πππππΈπΈπππππΈπΈπππΈπΈ πΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππππβπππΈπΈπΈπΈ πππππππΈπΈπΈπΈ πππΈπΈπππππΈπΈ: πΉπΉπππΈπΈπππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππ ππππ πππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ πππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈ πππΈπΈππππβπππΈπΈπΈπΈ-ππΓ πππππππΈπΈ πΈπΈπππππππππππΈπΈ-πΈπΈπππππ π πππππΈπΈπΈπΈ 2008 βππππππππ://ππππ.πππππππππππΈπΈπππππΈπΈ. ππππππ/ππππππππ/πΉπΉπππΈπΈπΈπΈ: ππππβπΈπΈπΈπΈπΈπΈ_πππππΈπΈπππππΈπΈπππππππππΈπΈ. ππππππg πΆπΆπΈπΈπππΈπΈπΈπΈππππππ ππππππππππ β πππππππππππππππΈπΈππππππππππ, estratto dalle πππππππππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ ππππ βπππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈππ π΄π΄π π πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππβ πππΈπΈπΈπΈ ππππππππ. πππΈπΈππ.πππΈπΈππππππ πππππππΈπΈππππππππππ π·π·πππππππΈπΈπΈπΈπππΈπΈ ππππ βπππΈπΈπππππΈπΈπΈπΈπππππΈπΈ πππΈπΈπππΈπΈππ π΄π΄π π πππππΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈπΈππππβ πππΈπΈπΈπΈ ππππππππ. πππΈπΈππ.πππΈπΈππππππ πππππππΈπΈππππππππππi
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