C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SPrie I, p. 511-514, 1998 Analyse num&ique/Numerical Analysis

Convergence d’un schhma it&atif explicite

Mohamed Rachid LAY DI

-

R&urn& Une mCthode iterative est proposCe pour le calcul de solutions de problkmes variationnels par la mCthode des 6lt5ments finis. Ce calcul peut s’effectuer Clement par ClCment d’une manikre totalement expiicite. Nous appliquons cette mtthode B un schCma nodal pour la rCsolution de problkmeh de diffusion. et nous donnons des r&ultats de convergence. 0 Academic des Sciences/Elsevier. Paris.

Nous pr&entons, dans la premikre section, un ulgorithrne g6zc’rnl de Gtzuss-&i&l pour la m6thode des ClCments finis, fortement Ii6 aux nzcffhodes de correcrion par sous-espace.s (voir [I], [2]), et nous donnons une condition ru5xssaire et .sujjT,santr pour :<a convergence.

L’application. dans la seconde section. concerne un problgme nodal de diffusion pour lequel l’algorithme review 2 utiliser la nktlwde de sous-r1onzctinr.s .san.s recouvrement de [4], dans un cadre discret, donl. chaque ClCment de la triangulation est un sous-domaine. Une condition suffisante pour la convergence est &on&e et une estimation du rayon spectral est donnCe. Les avantages pratiques sont : coQt en mCmoire tr& faible; le calcul s’effectue 6lCment par 6lCment d’une man&e totalement explicite; facilitC de l’implementation numCrique : plus besoin de recourir g une programmation ou stockage particuliers (stockage de la matrice en bande variable, renumCrotation des nceuds....) ; rapidit d’exicution : nous l’avons cornparke avec la mCthode de rCsolution directe de Gauss. il en ressort que l’on peut obtenir un gain de temps de calcul pour une c( bonne B pricision (erreur relative en norme du max < 0.1%). (Pour des Cnonds plus pr&is, v&r [7].)

1. PrCsentation de la mbthode

ConsidCrons le problkme :

trouver ‘7~~~ E Vrl . vCritiant : w, (‘lb,, ‘wI ) = ,I’,, (2‘,, ) pour tout ‘71~~ E V,, , (1)

Note prkentke par Roland GLOWINSKI.

0764.4442/98/1)32605 I I Cc AcxWnie de\ Science~/Elsevier. Pans 51 1

M.R. Laydi

oti li’fl est un espace d’elkments finis.

(21, (.: .) est une forme bilinkaire symktrique dCfinie positive sur V,:,, . (2) ,[I, (’ ) est une forme lintaire sur V,, 0)

On lui associe deux sous-espaces I/t:/,. PI, de VI,, tels que V,, soit somme directe de WI, et ?f,, et on se donne une forme bilinkaire symCtrique lt,, (., .) sur V,, ,

semi-dkfinie positive sur L’,, et dCfinie positive sur Wn. (4)

Alors. notre mtthode consiste h approcher la solution ‘!bj, = ~31, + l)t,, ‘WJ, E W,, , pl, E PI',, , du problirme (I), par :

1

en partant de ,I,: E V,, . trouver .!I;:” := UJ;:+’ + I,;:+’ t/ ‘~1 E N :

on calcule d’abord ,I,:;:+’ E ‘iv,, vkrifiant :

X,,h,, (w;;+’ - ,w;; ; ‘C’/< ) = j,, (‘C’/, ) - a/, (71’;; ) ‘/‘/, ) tjlli, E I&,, , (5)

on calcule ensuite ;o;:+’ E Ff,, vCrifiant :

(I,,, (P,, “+l. ‘V,)) = .f,,(v,,) - (/,,( w;~flJ~,,) vu,, E P,,,.

pour un scalaire positif Xl,, tel que :

(7)

Plus prkcistment. on a :

THCORCME I. - Soit VI, un espace de dimension jnie, muni d’un produit scrrlcCre b,l (., .), t’t soient W,, et P,, des sous-espaces tels que V,, wit somme directe de ‘iv,, et P,, Alors, .sous les hypothPses (2). (3), (4) et (6). la suite de solutions {u;: } du problPme (5) converge vers la solution du prohr’t?me (I) lorsque II, tend vers 1 ‘infini.

Remarque 1. - Ce rksultat est optimal. Pour s’en assurer, il suffit de prendre p,‘,, et W,, orthogonaux pour le produit scalaire (~1, (., .). La condition (6) clevient alors nkcessaire pour bl, (.. .) = a,,(., .).

Remarque 2. - La condition (6) est satisfaite lorsque I),,(.. .) = (61, (.. .) et XI, = 1. Dans ce cas, cet algorithme revient simplement 2 utiliser la mkthode de Gauss-Seidel par blocs.

Remarque 3. - L’algorithme (6) est done totalement explicite, dans le cas oh : I) l’ensemble V,, est l’espace des fonctions de base noties d,,, % = 1: . N. N >> 1, et M;,,

et ‘P,, sont des sous-espaces engendrk respectivement par 4~~. . tn . 9 / ,,l et ciJ,,,+.~, . . ,d\i, pour un certain 71) E N, 1 < 7~). < N :

2) le produit scalaire o,,(,. .) est dCtini par : l,,

b,, (‘VI,. ‘W,,) = c I+(,/,,, ) LI;~(lUjl) vii:,,, 11’1, E v,,. (8) A.= 1

oti I’ opkrateur C, dksigne la forme associke 2 la fonction de base $, :

L,(d,,) = n;.; vi.j = I,. ,fV.

3) les fonctions de base de I’espace P,, sent ti supports deux-kdeux disjoints, c’est-h-dire

a~, (4, , Q, ) = 0 Vi, ;j = ‘rrd + 1, . . , N. tel que % # ,j.

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Convergence d’un schema itbratif explicite

2. Application

On considere la resolution, par une methode nodale, du problbme :

i

trouver u E H;(Q). solution de :

- div( DV*u) + CT~I = .f dans 11, 71, = 0 sur X1, (9)

oti 12 est un domaine polygonal borne darts Iw ‘, de front&e ilb2. avec les donnees generales n E L’“(Q), D(z) > d > 0, IT E L2(62), ff(:c) 2 0 et f E L2(11).

Pour cela, soit h > 0 un parametre de discretisation et soit z, une triangulation reguliere de R, composee de rectangles h;, de diametre inferieur a I/.. La methode nodale du plus bas ordre con&e a chercher une fonction ~1,) ~LI,,~ E P, := { 1. :rr. 3:~. XT, x;}, verifiant :

- div( DV,,,o,,, ) + F ut, = 7 dans 12, [Ill,] = 0 sur At, ) ;izt, = 0 sur i)Af, 1 (10)

ou V,, (.)I~ := V(,‘.) V(h; E Z,. i)Al, et At, designent respectivement l’ensemble des a&es du maillage contenues dans 312 et dans 12, et oti [u] designe le saut de la trace de 11 sur y. Les fonctions F et Z sent. definies par :

oti 131 et ]h:] sont les mesures respectives de y et K. En fait, la methode utilisee est equivalente a la methode d’elements finis mixtes de Raviart-Thomas

d’ordre le plus bas (voir [9]) et s’etend a la dimension 3 ainsi que sur divers types de maillages (voir [7]). On pourra consulter 1.51, [6] pour la convergence et [Sl pour la superconvergence.

Algorithme de r&olution. - On associe a I’espace I’,,. l’ensemble des degres de liberd C, constitue de la moyenne a l’interieur de K et des moyennes le long de ses a&es. On se place dam le cas (voir remarque 3) oti :

Les fonctions 41, et $K designent respectivement les fonctions de base dans Vt, associees a la moyenne sur y et a la moyenne sur h‘ :

- {

1 sur 1. == 4, =

1 sur K.!

0 ailleurs, 4% =

{ 0 ailleurs.

Compte tenu de ces notations, I’algorithme (5) revient simplement a calculer la solution ‘w, = EYEA,, n+& + C,rl,, u,&, du probltme (IO), par :

I

en partant de IL” E I/’ tr +,, on determine u,, “I + l E vt, ) II E N :

on calcule d’abord u:+’ sur y E At, : ,!I:+’ = ur] - rrT 02 . .[- ,I on calcule ensuite uz+l sur h E TS par : -D~u~~+~ + Cr ,~c+l = r, 7

ou ny est le vecteur normal a I’arete ;f E hl, exterieur B K.

(I.?)

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Formulation vuriationnelle du probkme nodal. -- Introduisons les formes :

et h,,(l/Q>, /I/,) := 1 ~o.,,~,,. (15)

5EAJ Alors :

PROPOSITION 1. - (i) Unefimction ‘~1, E VI, est solution unique du probl&ne nodal (10) si et seulement si elle est solution du problPme ( I ) at’ec a,, (‘~ .) et j’f, donne’es par (I 4).

(ii) Le probkme (13) s’krit, d’une mani2re e’quivalente, .sous la ,fkwme (5) avec b,,(., .) don& par (15).

PROPOSITION 2. - Supposons de plus yue

le maillage est ,formi e.rclusi\ ement de rectangles carrks. (16)

Alors, 1 ‘ine’galitk :

h, 2 ; ;‘,‘t; P(:r:)( (17)

est une condition sufjsunte pour la convergence du problPme ite’rat!f ( 13).

Estimation du rayon spectral. - Notons HA la matrice gouvernant I’algorithme ( 13), et supposons que :

Alors :

TH~OR~ME 2. - Sous les hypothRses .supplr’mentaires (16), (18) et l’hypoth6se A,, = 7d. le rayon spectral de lu mutrice HA satisjkzit ?I l’itkgalitr p( fix) < $.

Remerciements. L’auteur remercie M. Laghsal pour tliffkrentea remarques fructeuses

Rdfkences bibliograpbiques

[I ] Bramble J.H.. Pahclah J.E.. W~lng J.. Xu J.. Convergence estimates for ptoduct iterative methods with applications to domain

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