APÉNDICE : COORDENADAS CURVILÍNEAS
rr
Chantal Ferrer Roca 2008
Las coordenadas esféricas se utilizaban en el siglo IV-III a.C., tanto para la determinaciónde posiciones estelares (por ejemplo, catalogación estelar de Hiparco) como de longitud y latitud sobre la superficie terrestre (por ejemplo, Geografía Física de Eratóstenes)
ρ
φ
P(ρ,φ)
coordenadas polares
P(x,y)
INTRODUCCIÓN A LAS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES
coordenadas cartesianas
xur
yur A
r
yyxx uAuAA rrr+= φφρρ uAuAA
rrr+=
vectores unitarios base
⊥ a las líneas de x cte.sentido: incremento de x
xur
x ctey
x
⊥ a las lineas de y cte.sentido: incremento de y
yur
y cte
y
x
22 yx +=ρ
xytg 1−=φ
φρ sin=yφρ cos=x
⊥ a las líneas de φ cte.sentido: incremento de φ
φur
y
x
φ cte
?
ρurφu
r Ar
⊥ a las líneas de ρ cte.sentido: incremento de ρ
ρury
xρ cte
ρur
φur
Q
En todos los puntos los vectores unitarios tienen la misma dirección En cada punto los vectores unitarios tienen
dirección diferente
Chantal Ferrer Roca 2008
Ejemplos 2
ρ
φ
P(ρ,φ)
coordenadas polares
P(x,y)
INTRODUCCIÓN A LAS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES
coordenadas cartesianas
xur
yur A
r
ρurφu
r Arρu
r
φur
Q
En todos los puntos los vectores unitarios tienen la misma dirección
En cada punto los vectores unitarios tienen dirección diferente
)2,0(A =r
En el punto (1,0) en cartesianas
ρurx
yAr
φ== u2)2,0(A rrEn polares
ρurφur
)1,1(A −=r
En el punto (1,1) en cartesianas
Ar
φ−=−= u2)2,0(A rrEn polares
)2,0(A −=r
En el punto (1,π ) en polares
ρurφur
Ar
j2)2,0(Arr
== En cartesianas
y
x− x)0,1( )1,1(x
y
φur (1,π )
Chantal Ferrer Roca 2008
INTRODUCCIÓN A LAS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES
xur
yur
coordenadas cartesianas
Ar
P(x,y)
yyxxcar uAuAArrr
+=
yxpol u)cosAsinA(u)sinAcosA(A rrrφ+φ+φ−φ= φρφρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
y
x
AA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ
ρ
AA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
φφφφ
cossinsincos
T-1 = TT
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛φφ−φφ
=φ
ρ
uu
cossinsincos
T r
r
pol1
car ATArr −= carpol ATA
rr=
ρ
φ
coordenadas polares
Ar
φ
yx usinucosu rrrφ+φ=ρφπ
+2
yx ucosusinu rrrφ+φ−=φ
Chantal Ferrer Roca 2008
yx usinucos rrφ+φ yx ucosusin rr
φ+φ−
ρurφur
φφρρ += uAuAApolrrr
INTRODUCCIÓN A LAS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES
Ejemplo 3:
φφ
ρ −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= u2
20
22
11
1111
22
AA
º45cosº45sinº45sinº45cos
AA
y
x rrpolA
El vector (1,-1) está aplicado en el punto (1,1), ambos en cartesianas. Escribid el vector en coordenadas polares
)1y,1x(P ==
º451tgxytg 11 ===φ −−
2yx 22 =+=ρ
)1,1(
)1,1(A −=r
ρurφur
(Problema 1.1 b) boletín)
Chantal Ferrer Roca 2008
Geométricamente: es fácil ver que en el punto P (1,1) el vector (1,-1) tiene dirección uφ (y sentido opuesto), sin realizar una transformación de las coordenadas.
INTRODUCCIÓN A LAS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES
φρφφρφ
u)ucosusin(d
rdyx
rrrr
=+−=
variación de φy
x
φur
rr
φφφρφ drd
drd1
drd1u
r
r
rr
==
Obtención analítica de los vectores unitarios
ρρρρ drd
drd1
drdu
r
r
rr
==
ρφφρ
uusinucosd
rdyx
rrrr
=+=
variación de ρy
xρur
rr
ρh
yxyx usinucosuyux)y,x(rrrrr
φρφρ +=+==carrφur
ρur
ρ=rr
φ
rr
ρρρ u)0,(rr
==polr
vector de posición del punto P(x,y,z)
elemento de trayectoria (geométricamente)
yx udyudxrrr
+=carrd
mismos resultados usando la matriz T
φρ φρρ ududrrr
+=polrd
rdr
dρρdφ
variación de la distancia radial
variación del elemento de arco
φh
Chantal Ferrer Roca 2008
COORDENADAS CURVILÍNEAS- GENERALIZACIÓN
Curvilíneas q1, q2, q3
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3
2
1
uuu
Tr
r
r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
)q,q,q(fz)q,q,q(fy)q,q,q(fx
3213
3212
3211
vectores unitarios
;qr;
qr
h1
iii ∂∂
=∂∂
=rr
rii hu
matriz de transformación cart-curv
333222111 udqhudqhudqh rrrr++=rd
φρ sin=yφρ cos=x
Ejemplo: coordenadas polares
sistema de coordenadas
elemento de línea
ρ=1qφ=2q
φφ=
φρ=φ d
rddrd
1d
rd1ur
r
rr
φh
ρρ=
ρ=ρ d
rddrd
1d
rdur
r
rr
ρh
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛φφ−φφ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
φ
ρ
cossinsincos
uu
T r
r
φρ φρ+ρ= udud rrrrd
• Si la coordenada qi es una distancia, hi =1
• Si la coordenada qi es un ángulo, hi es la cantidad que lo transforma en una distancia de arco hi dqi .
Chantal Ferrer Roca 2008
COORDENADAS CILÍNDRICAS
vectores unitarios
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
zuuu
1000cossin0sincos
r
r
r
φ
ρ
φφφφ
cilT
222
z
)dz()d()d(
;udzudud
++=
++=
φρρ
φρρ φρ
ds
rdrrrr
dρdz ρ dφ
zuzu rrr+ρ= ρr
φ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
zsin
cos
zyx
φρφρ
ρ
z
φur
zur
rr
P
zxytg
yx
1
22
=
=
+=
−
z
φ
ρ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=
=
1
1
zh
h
h
ρφ
ρ
P
z
x
yρur
Chantal Ferrer Roca 2008
Problema 1.1, 1.3 boletín Cuestiones 1.4, 1.9
φur
cte=φ.sup
θur
cte=θ.sup
rur
cter =.sup
COORDENADAS ESFÉRICASz
x
y
φ
θP
r sinθ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
θφθφθ
cosrsinsinrcossinr
zyx
[ ] [ ]πφπθφθ 2,0,,0;cos 11
222
∈∈==
++=
−−
xytg
rz
zyxr ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
===
θφ
θsinr
r1
hhhr
rurrr=r
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
−−
φθ
φφθφθφθ
θφθφθ
uu
ru
0cossinsinsincoscoscos
cossinsincossin
r
r
r
esfTvectores unitarios
;)dsinr()rd()dr(
;udsinrudrrudr
222 φθθ
φφθθθ
++=
++=
ds
rdrrrr
drrdθ
rsinθ dφ
P
rurhacia "arriba"
φur
hacia el "este"
θur
hacia el "sur"
Problema 1.2, 1.3 boletín
Chantal Ferrer Roca 2008
Cuestiones 5, 6
Elementos de línea, superficie y volumen
∫ ⋅=C
rdEC rr
rdr
dx
dy
dz
kdzjdyidxrdrrrr
++=
kdSjdSidSSd zyx
rrrr++= ∫ ⋅=Φ
S
SdErr
∫ ⋅=V
dVM ρ
∫ ⋅∇=ΦV
dVE)(rr
CARTESIANAS
dzdydxdV ⋅⋅= dV
dzdy
idydzr
=
dx
dz
jdxdzr
+
dydx
kdxdyr
+
Chantal Ferrer Roca 2008
CILÍNDRICASzudzudud rrrr
++= φρ φρρrd
dzdddV φρρ=
;zz udSudSudS rrrr++= φφρρSd
ρφρ= udzd r
dρ
dz
ρ dφ
dV
rdrdz
ρ dφ dρ
dρ
dz
ρ dφ
;udd zr
ρφρ+dρ
dz
ρ dφ
φρ+ udzd r
Ejemplo: calcular el flujo a través de una superfície circular de radio a del campo vectorial
z22 u)yx(A rr
+=
Chantal Ferrer Roca 2008
Elementos de línea, superficie y volumen
;sin φθ φθθ udrudrudrrd rrrrr
++=
φφθθ ++= udSudSudSSd rrrrrr
ESFÉRICAS
φθ+ uddrr r
drr sin θ dφ
rdθ
drr sin θ dφ
rdθ
drr sin θ dφ
rdθ
dVφθθ dddrrdV sin2=
Ωd Elemento de ángulo sólido
Ángulo sólido de una esfera: ∫∫ ==Ωππ
πφθθ2
00
4sin dd
Superficie de una esfera: 22 4 adadSS r ∫∫ =Ω== π
drP
rdθ
rsinθ dφ
ruddsinr2 rφθθ= θφθ+ uddrsinr r
rdr
Ejemplo : calcular la carga de una esfera de radio a centrada en el origen, cuya densidad volúmica es
222 zyx)r( ++=ρr
Chantal Ferrer Roca 2008Problema del Boletín: 6.6
Elementos de línea, superficie y volumen
Operadores en cilíndricas
2
2
2
2
2
zzz
z
z
z1)(1LAPLACIANO
uA
)A(r1uA
zA
uz
AA1AROTACIONAL
zAA1)A(1AADIVERGENCI
uz
u1uGRADIENTE
∂ψ∂
+∂φ
ψ∂ρ
+∂ρ∂ψ
ρ∂ρ∂
ρ=ψ∆
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂φ
∂−ρ
∂ρ∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ρ
∂−
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂φ∂
ρ=×∇
∂∂
+∂φ
∂ρ
+ρ∂ρ∂
ρ=⋅∇
∂∂ψ+
∂φ∂ψ
ρ+
∂ρ∂ψ=ψ∇
ρφφ
ρρ
φ
φρ
φρ
rrrrr
rr
rrrr
Chantal Ferrer Roca 2008Problema del Boletín: 6.7
Operadores expresados en coordenadas curvilíneas
Operadores en esféricas
2
2
2222
2
rr
r
r2
2
r
sinr1)(sin
sinr1)
rr(
rr1LAPLACIANO
uA)rA(rr
1u)rA(r
sinAsinr1
uA)sinA(sinr1AROTACIONAL
Asinr1)sinA(
sinr1)Ar(
rr1AADIVERGENCI
usinr1u
r1u
rGRADIENTE
∂φψ∂
θ+
∂θ∂ψ
θ∂θ∂
θ+
∂∂ψ
∂∂
=ψ∆
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂θ∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
θ−∂φ
∂θ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂φ
∂−θ
∂θ∂
θ=×∇
∂φ∂
θ+θ
∂θ∂
θ+
∂∂
=⋅∇
∂φ∂ψ
θ+
∂θ∂ψ
+∂∂ψ
=ψ∇
φθθφ
θφ
φθ
φθ
rr
rrr
rr
rrrr
Chantal Ferrer Roca 2008
Problema del Boletín: 6.7Ejercicios del Cuestionario: 68
Operadores expresados en coordenadas curvilíneas
Coordenadas generalizadas
( ) ( ) ( )( )
volumendeelementodqdqdqhhherfíciesupde.eudqdqhhudqdqhhudqdqhh
arcodeelementodqhdqhdqhrd
líneadeelementoudqhudqhudqh
321321
321212313113232
21233
222
211
333222111
=++=
++==
++=
dVSd
ds
rd
rrrr
r
rrrr
Operadores
( ) ( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=×∇
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=⋅∇
++=∇
33
21
322
13
211
32
1321
332211321
332211
321
3
321
2
231
1
132
321
33
3
22
2
11
1
1
1
1
qhhh
qqhhh
qqhhh
qhhh
LAPLACIANOAhAhAhqqq
uhuhuh
hhhAROTACIONAL
qAhh
qAhh
qAhh
hhhAADIVERGENCI
qhu
qhu
qhuGRADIENTE
∂∂ψ
∂∂
∂∂ψ
∂∂
∂∂ψ
∂∂ψ∆
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ψ
∂∂ψ
∂∂ψψ
rrr
rr
rr
rrrr
elementos
Chantal Ferrer Roca 2008
Operadores y elementos de línea, superficie y volumen