Copulas undKorrelationsasymmetrien
Theorie und empirische Analyse am DAX 3008. Mai 2008
Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK
Gruppe Methoden
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Inhalt
Einführung in die Copulatheorie
Korrelationsmaße und Copulas Lineare Korrelation Spearman‘sche Rangkorrelation
Bedingte Korrelationen
Korrelations-Asymmetrietest
Empirische Untersuchungen der Abhängigkeiten im DAX 30
Betrachtung der Abhängigkeitsunterschiede zwischen dem Bullen- und Bärenmarkt
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Empirische DAX 30 BeispieleTägliche Log-Renditen vom 02.03.1992-01.03.2002
Kennzahlen Allianz AG BASF AG Münchner Rück AG
Mittelwerte .00038 .00062 .00064
Standardabw. .01854 .01645 .01905
Minimum -.1568 -.0871 -.1719
Maximum .1380 .1009 .1653
Schiefe -.0772 -.0570 .1212
Kurtosis 10.5352 5.3732 10.2293
3.8360 5.2276 2.9979MLE
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Allianz AG vs. Münchner Rück AG
58.0ˆ 66.0ˆ SPBP
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Allianz AG vs. BASF AG
47.0ˆ 45.0ˆ SPBP
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Sklar‘s Seperationstheorem (1959)Sklar‘s Seperationstheorem (1959)
FX(x1,…,xd)
C(u1,…, ud) F1(x1),…, Fd(xd)
FX(x1,…,xd)=C(F1(x1),…, Fd(xd))
C(u1,…, ud)=FX(F-11(u1),…, F-1
d(ud))
C(u1,…, ud) G1(x1),…, Gd(xd)
G(x1,…,xd)
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Copula
Sie ist eine Abbildung C: [0,1]d → [0,1], mit:
1. Für jedes u [0,1]d gilt C(u)=0, falls mindestens eine Koordinate von u gleich Null ist.
2. Falls alle Koordinaten, mit Ausnahme von ui , gleich 1 sind, gilt C(u)= ui.
3. Für alle a=(a1,…,ad) und b=(b1,…,bd) mit ai≤bi, i=1,…,d, gilt VC([a, b])≥0.
→ D.h. eine d-dimensionale Verteilungsfunktion auf [0,1]d mit uniformen univariaten Randverteilungen
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Ist die Copula C d-mal partiell differenzierbar, so gilt
Besitzt FX die Dichte fX , so gilt:
→
d
d
d uu
Cuuc
...
u,...,
11
Copuladichte
d
iiXdXXd xfxFxFcxxf
id1
11X ,,,,1
d
iiXX
dXXd
uFf
uFuFfuuc
ii
d
1
1
11
1
1
,,,, 1
X
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Spezielle Copulas
iX
11X ,, FdomxxFxxF i
d
iiXd i
]1,0[,,1
1
i
d
iid uuuuC
dd
d
iii xFxFFdxF ,,min0,1max 11
1
xX
uuu dd
d
ii
d MuuCduW
,,min0,1max 11
Die Unabhängigkeitscopula
Die Fréchet-Hoeffding Schranken
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Bivariate logistische Verteilung
Rxxxx
xxF
2121
21X , expexp1
1,
2121
212
121
1121 ,,
uuuu
uuuFuFFuuC
X
i
iii u
uuF
1ln1 iii x
xF
exp1
1
22112211
221121, xFxFxFxF
xFxFxxF
X
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Neue bivariate Verteilungsfunktion G
.4,3,0,0,exp1; ixxxF iiii
;,;;, 443343 xFxFCxxG
44334433
4433
xFxFxFxF
xFxF
1exp
1exp1exp
43
43
xx
xx
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5024.0ˆ BP 2863.0ˆ BP
4851.0ˆ SP
4851.0ˆ SP 4851.0ˆ SP
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Spezielle Copulaklassen
Sei φ:[0,1]→[0,∞), so dass
für i=1,…,d und t [0,∞), mit φ(1)=0 und φ(0)=∞ gilt,
dann ist:
eine Archimedische Copula.
01 1 tdt
di
ii
d
iiuC
1
1u
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1. Clayton Copulafamilie
2. Gumbel Copulafamilie
1
1
1;u
d
ii duC
1
1
lnexp;ud
iiuC
01; , tt
1ln; , tt
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Elliptische Copulaklasse
1. Gauss Copula
2. tν,R-Copula
dd uuC 11
11RR ,,u
d
u
d
udxdxC
d 11T
2
1
2
R xRx2
1exp
R2
1u
111
11
dvv ututtC 11
1R,R, ,,u
d
dv
ut
d
utdxdx
v
dv
Cd 1
21-T
2
1
2
R, xRx1
1R
2
2u
111
11
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Allianz AG vs. Münchner Rück. AG
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222
111
ˆˆ
ˆˆ
uxF
uxF
Allianz AG vs. Münchner Rück. AG
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Korrelationsmaße und Copulas
Vorteile : Kompakte Darstellung der Abhängigkeit Leichte Interpretierbarkeit Einfache weiterführende Modelleinbindung
Nachteile : Enormer Informationsverlust Bezifferung nur einer Art von Abhängigkeit.
Missinterpretationen sind möglich Oft nur globale Korrelationsaussagen In einigen Fällen nicht definiert
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Linearer Korrelationskoeffizient nach Bravais Pearson ρBP
1,0
min1
2
2122
XVar
bXaXEBP
Anwendbar nur bei metrisch skalierten Daten
Benötigt die Existenz der Varianzen
|ρBP| misst die Stärke des linearen Zusammenhangs
)var()var(
),cov(
21
21
XX
XXBP
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2
121
11
1
0
1
0
2121
21
21221121X21
,varvar
1
,),cov(
udFudFuuuuCXX
dxdxxFxFxxFXX
BP
2121 ,, XXXXT BPBP
Nicht Randverteilungsfrei
Zulässiger Wertebereich i. A. [-1,1]
Nicht invariant bzgl. monotonen Transformationen
],[ maxminBPBP
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Bivariate Farlie Gumbel Morgenstern Familie
Die FGM Verteilung besitzt die Form (|α|<1):
Der lineare Korrelationskoeffizient liegt bei normalen Randverteilungen bei
bei exponentiellen Randverteilungen bei
und bei uniformen Randverteilungen bei
2211221121 111;, xFxFxFxFxxFX
3
1BP
BP
4
BP
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Spearman‘sche Rangkorrelation
Definition:
Interpretationen:
1
0
1
0 212´121 3,12, duduuuCXXSP
21212121 124
112, UEUEUUEUUEXXSP
2211
2211
21
2121
,,,12
XFVarXFVar
XFXFCov
UVarUVar
UUCovUUCov
2211 , XFXFBP
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Spearman‘sche Korrelation als Distanzmaß
41
31
41
,
121
41
,
,22 ]1,0[
2121
]1,0[
2121
21
uudCuuuudCuu
XXSP
2 2
2 2
]1,0[
21
]1,0[
212121
]1,0[
21
]1,0[
212121
,min
,
duduuududuuu
duduuududuuuC
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Schlußfolgerungen
Existent und Randverteilungsfrei
Da nur von der Copula bestimmt, robust und Invariant bzgl. wachsenden monotonen Transformationen
Mit den meisten Parameter der bivariaten Copulas in Verbindung
C
MC
WC
SPBP
SPBPBP
SPBPBP
00
1
1max
min
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Einige Schätzfunktionen
n
ii
n
ii
n
iii
SP
uuuu
uuuu
1
2
2,21
2
1,1
12,21,1
3
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
4
1ˆˆ
112
1,2,1
)2(n
iiiSP uu
n
n
i
n
jnSP n
j
n
iC
n 1 12
)1(
4
1,ˆ1
12
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Asymptotischer Copula-Prozess
GC ist ein zentrierter Gauss-Prozess
BC ist eine d-dimensionale Brown‘sche Brücke
uGuCuCn Cw
n ˆ
vCuCvuCvBuBE
uBuCDuBuG
CC
d
i
iCiCC
,min1
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Asymptotische Normalität der Schätzfunktion
9-fache vierdimensionale Integralauswertung notwendig
Aber: Die Bootstrap-Schätzfunktion
konvergiert gegen die selbe Zufallsvariable Z !
SPB
SPn 2
CNZn dSPSP
22 ,0~
vdudvGuGEC CC2 21,0 1,0
2 12
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Bedingte Korrelationen
Allianz AG vs. BASF AG
LA
UA
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pHypGxyxAL11 ,:,
,,:, LL AYXyYxXPyxF
Die gemeinsame Verteilung von (X,Y) sei mit F und ihre Randverteilungen mit G und H notiert
Der untere Eckbereich sei:
Die bedingte gemeinsame Verteilungen ist
ppC
pHxHpGxGC
,
,min,,min
11
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vHuGFvuC
yHxGCyxF
LLLL
LLLL
11 ,,
,,
1
0
1
03,12
,,
dudvvuC
AYXYHXGCorrp
L
LLLL
Die bedingten Randverteilungen sind:
Sklar‘s Seperationstheorem bzgl. bedingter Verteilungen
Definition der bedingten Korrelation nach Spearman:
LL AYXxXPxG ,
LL AYXyYPxH ,
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YVaRYXVaRXYX
pHYpGXYXp
ppSP
SPL
,,
,, 11
Es gilt:
Die bedingte Korrelation ρL nach Spearman ist die globale Korrelation ρSP der bedingten Zufallsvariablen.
Es gelten somit alle Aussagen bezüglich des globalen Rangkorrelationskoeffizienten und seiner Schätz-funktionen
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x
iXn
xGn
in
1
11ˆ
y
iYn
xHn
in
1
11ˆ
pHypGxyxA nnL11 ˆ,ˆ:,:ˆ
UULL AnAn ˆ: ,ˆ:
LA
Ii L
inL
L
inL
LnL n
Yr
n
Xr
nˆ
312
ˆ ,,,
Nichtparametrische Schätzfunktion
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2
,
2,
,0ˆ
,0ˆ
Ud
UnUU
Ld
LnLL
Nn
Nn
UL
UL
H
H
:
:
1
0
UL
UL
H
H
:
:
1
0
UL
UL
H
H
:
:
1
0
Asymptotische Normalität der Schätzfunktion
Korrelations-Asymmetrietest
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1. Berechne und aus den Beobachtungen inund
2. Erzeuge jeweils NB Bootstrap-Stichproben aus und und errechne die zugehörigen Schätzer der asymptotischen Varianzen für und , in Notation
und , der bedingten Korrelationskoeffizienten nach Spearman
3. Überprüfe die jeweilige Nullhypothese Verwerfe falls
nL, nU ,UALA
Algorithmus:
LA
UA2L 2
U2ˆL 2ˆU
ULH :0
21
ˆˆ
ˆˆ1
22
,,
U
U
L
L
nUnL
nn
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Verwerfe falls
und
verwerfe falls
gilt, mit α>0 als die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art und Φ als Standardnormalverteilung.
1
22
,,
ˆˆ
ˆˆ
U
U
L
L
nUnL
nn
1ˆˆ
ˆˆ1
22
,,
U
U
L
L
nUnL
nn
ULH :0
ULH :0
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8 0882.5294.0ˆ
98
10.0
L
Ln
p
1125.2602.0ˆ
79
10.0
U
Ln
q
Allianz AG vs. BASF AG
47.0ˆ SP
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Variable Schwellenwerte (p=q)
Allianz AG vs. BASF AG
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Variable Schwellenwerte (p=q)
Allianz AG vs. Münchner Rück. AG
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Teststatistiken (p=q)
Allianz AG vs. BASF AG
Allianz AG vs. Münch. Re. AG
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p=q 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
.3609 .3009 .3149 .3387 .3479
.2685 .2409 .2400 .2571 .2749
.1528 .0891 .0829 .0840 .0754
α H0: ρL ≤ ρU vs. H1: ρL > ρU
0.10 55 61 94 136 148
0.05 35 32 67 89 107
0.01 11 4 30 42 50
170 173 196 218 217
Gesamt DAX 30 Untersuchung
UL ˆˆ
L
U
UL ˆˆ
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H0: ρL ≥ ρU vs. H1: ρL < ρU
α\p 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
0.10 9 7 3 0 0
0.05 2 2 0 0 0
0.01 1 0 0 0 0
61 58 35 13 14UL ˆˆ
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Zeitliche BetrachtungBullen- vs. Bärenumfeld
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Literaturhinweise
Dobrić, Frahm, Schmid (2008), „Dependence of Stock Returns in Bull and Bear Markets“, to appear in Computational Statistics & Data Analysis.
Nelsen (2006), „An Introduction to Copulas“, Springer.
Embrechts, McNeil und Strautmann (2002), „Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls“, Cambrige University Press.
Juri, Wüthrich (2002), „Copula convergence theorems for tail events“, Insurance: Mathematics and Economics.
McNeil, Frey, Embrechts (2005), „Quantitative Risk Management“, Princeton University Press.
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Danke für Ihre Aufmerksamkeit !
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Backup
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Monte Carlo – Power Simulationsstudie
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Theoretische- vs. Kerndichte Vergleich
Recommended
