Master 2 – Dynamique des fluideset énergétique
Reynald [email protected]
Cours 2 : Les relations fondamentales de la mécanique des fluideset les équations de Navier-StokesClassification des écoulementsParamètres de similitude
Modélisation des écoulements
hypothèse de milieu continu 0vquandvm →→→→δδδδρρρρ→→→→
δδδδδδδδ
fausse à la limite car le gaz est constitué de molécul es
effet caractérisé par le nombre de Knudsen
LKn
λλλλ====
L longueur du véhicule
λλλλ libre parcours moléculaire moyen
Les équations générales de conservation
Modélisation des écoulements
nombre de KnudsenL
Kn
λλλλ====
régime continu et régime moléculaire
entre les deux régime transitionnel
1Kn <<<<<<<< régime continu
équations de Navier-Stokes
)1(OKn régime moléculaire
simulation directe type Monte-Carlo (DSMC)
Les équations générales de conservation
Modélisation des écoulements
libre parcours moléculaire moyen
2pD2KT
ππππ====λλλλ
K : constante de Boltzmann T : température p : p ression D : diamètre des molécules
Altitude (km) λλλλ (m)20 10-6
70 10-3
110 1150 10
Les équations générales de conservation
Les équations générales de conservation
Les équations de Navier-Stokes
Henri Navier (1785-1836)
Lois de l'équilibre et du mouvement descorps solides élastiques, 1821
Sir Georges Gabriel Stokes (1819-1903)
Les équations générales de conservation
Volume de contrôle pour l'application du principede conservation de la masse
On considère la masse fluide contenue dans le volume (υυυυ) fixe délimitépar la surface (S). Le volume ( υυυυ) ne contient aucun obstacle
normale unitaire(((( ))))S
(((( ))))V
dS
V�
ρρρρn�
Conservation de la masse
La variation de la masse contenue dans le volume ( υυυυ) fixe est égale au flux de masse à travers la surface (S) limitant ( υυυυ) :
dSnVdt S
�
�
.)()( ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ−−−−====
υυυυρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
υυυυ
0dSnVdt S
====ρρρρ++++υυυυ∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυ
�
�
.)()(
application du théorème de la divergence
(((( )))) 0dVdivt
====υυυυ
ρρρρ++++∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυ
�
)(
en notations tensorielles et en système de coordonnée s orthonormé
(((( ))))0
xu
t i
i ====∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++
∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
pour un écoulement incompressible
0Vdiv ====�
0xu
i
i ====∂∂∂∂∂∂∂∂
le champ de vitesse est dit solénoïdal
vrai quel que soit le volume ( υυυυ) fixe équation locale
(((( )))) 0Vdivt
====ρρρρ++++∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂ �
Conservation de la masse
(convention de l’indice répété pour indiquer la sommat ion)
Les équations générales de conservation
Volume de contrôle pour l'application de l'équationfondamentale de la mécanique
normale unitaire
tensionvecteurP�
VnV�
�
�
).(ρρρρ
(((( ))))S
(((( ))))V
dS
n�
On considère la masse fluide contenue dans le volume (υυυυ) fixe délimitépar la surface (S). Le volume ( υυυυ) ne contient aucun obstacle
Les équations générales de conservation
Équation fondamentale de la mécanique
pour un système à masse variable
(((( ))))VMdtd
F��
====
terme de quantité de mouvement
(((( )))) dsVn.VdvVt
dvVdtd
)S()v()v( ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ++++
ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂====
ρρρρ
�
�
���
γγγγ====�
�
MFLoi de Newton
Équation fondamentale de la mécanique
Bilan des forces appliquées au système
P�
est le vecteur tension exprimant les actions de conta ctau sein d'un fluide
actions à distance ou forces massiques (pesanteur, fo rcesélectromagnétiques)
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρ)V(
dvf�
forces de contact s'exerçant sur la frontière (S)
∫∫∫∫∫∫∫∫−−−−)(S
dsP�
(((( )))) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυυυυυυυυυρρρρ++++−−−−====ρρρρ++++
υυυυρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
)()()()(. dfdSPdSVnVdV
t SS
���
�
��
Le vecteur est le produit contracté du tenseur des contraintespar le vecteur unitaire normal à l'élément de surface d S
P�
T
théorème de la divergence et notations tensorielles équation locale
(((( )))) (((( )))) ij
ijji
j
i fx
Tuu
xtu ρρρρ++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
====ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
expression du vecteur tension
pour un fluide Newtonien nTP�
�
.−−−−====
Équation fondamentale de la mécanique
calculer ou nécessite une loi de comporte ment pour le fluideconsidéré
P�
T
expression pour le tenseur des contraintes en variables tensorielles
ijijij pT ττττ++++δδδδ−−−−====
ijp δδδδ−−−− tenseur sphérique - p : pression, δδδδij tenseur unité
tenseur symé trique : tenseur des contraintes visqueuses ijττττ
l'action de contact se décompose en :dSP�
une force normale à dS ou force de pression
une force tangente à dS ou force de frottement
Équation fondamentale de la mécanique
expression pour le tenseur des contraintes visqueuses
∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ++++δδδδ
∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ====ττττ
i
j
j
iij
k
kij x
u
xu
xu
λλλλ et µµµµ : coefficients de viscosité de Lamé
hypothèse de Stokes : 3 λλλλ + 2µµµµ = 0
k
k
xu
∂∂∂∂∂∂∂∂
divergence de la vitesse
∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂
i
j
j
i
x
u
xu
tenseur des déformations
Équation fondamentale de la mécanique
∂∂∂∂∂∂∂∂δδδδ−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ====ττττ
k
kij
i
j
j
iij x
u32
x
u
xu
expression pour le tenseur des contraintes visqueuses
µµµµ : viscosité moléculaire, donnée par la formule deSutherland dans le cas de l'air
)MKSsystème()s/m/kg(4,110T
T10454,1
2/36
++++××××====µµµµ −−−−
Équation fondamentale de la mécanique
Loi de viscosité moléculaire pour l'air
viscosité (système MKS)
formule de Sutherland
température (K)
Équation fondamentale de la mécanique
Les équations générales de conservation
Équation de l'énergie ou premier principe
expression de la variation de l'énergie totale de la m asse contenuedans le volume ( υυυυ)
la variation de E T résulte de processus thermodynamiques interneset de variations de la vitesse V ainsi que du flux d 'énergie à travers lasurface (S) délimitant ( υυυυ)
où eT est l'énergie totale spécifique (par unité de masse)
2V
ee2
T ++++====
variation de E T pendant le temps δδδδt
tt
EE T
T δδδδ∂∂∂∂
∂∂∂∂====δδδδ
énergie totale ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυυυυυ
++++ρρρρ====
)(d
2V
eE2
T
td2V
et
E2
1T δδδδ
υυυυ
++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫υυυυ)(
)(terme de volume
tdSnV2V
eES
2
2T δδδδ
++++ρρρρ====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫
�
�
.)()(
terme de flux
(((( ))))2T1TT E)E(E δδδδ++++δδδδ====δδδδ
tdSn.V2V
ed2V
et )S(
2
)(
2
δδδδ
++++ρρρρ++++υυυυ
++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫υυυυ
�
�
Équation de l'énergie ou premier principe
premier principe de la thermodynamique
QWET δδδδ++++δδδδ====δδδδ
δδδδW et δδδδQ : travail et chaleur reçus par le système pendant l e temps δδδδt
Évaluation de la chaleur reçue
tdSn.qQ)S(
δδδδ
−−−−====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫
��
flux de chaleur : énergie reçue par unité de
temps et de surface (W/m 2)
q�
Équation de l'énergie ou premier principe
Évaluation du travail reçu
travail des forces de contact sur (S)
tdSV.PW)S(1 δδδδ
−−−−====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫
��
travail des forces de masse dans ( υυυυ)
tdVfW2 δδδδ
υυυυρρρρ====δδδδ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ υυυυ
��
.)(
Équation de l'énergie ou premier principe
puissance/unité de surface
dSnqdVfdSVP
dSnV2V
ed2V
et
SS
S
22
��
���
�
�
...
.
)()( )(
)()(
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
−−−−υυυυρρρρ++++−−−−
====
++++ρρρρ++++υυυυ
++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
υυυυ
υυυυ
Équation de l'énergie ou premier principe
(((( )))) (((( ))))iijjii
iii
2
ii
2
quxx
puuf
2V
eux2
Ve
t
−−−−ττττ∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−ρρρρ
====
++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
en exprimant le tenseur T ij
théorème de la divergence et notations tensorielles équation locale
(((( ))))iijji
ii
2
ii
2
qTux
uf2V
eux2
Ve
t−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂++++ρρρρ====
++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
Équation de l'énergie ou premier principe
dans un écoulement stationnaire, sans forces de masse ,non visqueux et adiabatique, l'enthalpie totale se conserve
enthalpie totale spécifique :
enthalpie spécifique :ρρρρ
++++==== peh
2Vp
eh2
T ++++ρρρρ
++++====
(((( )))) (((( )))) (((( )))) iiiijji
Tii
T ufquxt
phu
xh
tρρρρ++++−−−−ττττ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂équation écrite avec l'enthalpie totale
(((( )))) iiiijji
T ufquxt
pdt
dh ρρρρ++++−−−−ττττ∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====ρρρρ 0
dtdhT ====
Équation de l'énergie ou premier principe
iii
iji
i
iii uf
xu
xpu
dtdu
udtVd
V ++++∂∂∂∂ττττ∂∂∂∂
ρρρρ++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
ρρρρ−−−−====≡≡≡≡
�
�
.
équation du mouvement
2
(((( )))) iiiijji
T ufquxt
pdt
dh ρρρρ++++−−−−ττττ∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====
équation pour l'enthalpie totale
3
1
dtVd
Vdtdp1
dtdh
dtds
T T
�
�
.−−−−ρρρρ
−−−−====
thermodynamique
ρρρρ++++==== dp
TdsdhdtVd
Vdtdp1
dtds
Tdt
dh T
�
�
.++++ρρρρ
++++====
Équation de l'énergie ou premier principe
équation écrite avec l'entropie
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
ττττρρρρ
====i
i
i
jij x
qx
u1dtds
T
facteurs de production d'entropie :viscosité, flux de chaleur
combinaison simple de 1 2 3
Équation de l'énergie ou premier principe
Les équations générales de conservation
Récapitulation : les équations de Navier-Stokes
continuité
mouvement
énergie
(((( ))))0
xu
t i
i ====∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++
∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
(((( )))) (((( )))) ij
ij
iji
j
i fxx
puu
xtu ρρρρ++++
∂∂∂∂ττττ∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
(((( )))) (((( )))) (((( )))) iiiijji
Tii
T ufquxt
phu
xh
tρρρρ++++−−−−ττττ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
continuité une équation scalaire
mouvement trois équations scalaires
énergie une équation scalaire
Les équations de Navier-Stokes
les équations de Navier-Stokes doivent être complété es pardes lois de comportement pour le fluide
∂∂∂∂∂∂∂∂δδδδ−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ====ττττ
k
kij
i
j
j
iij x
u32
x
u
xucontraintes visqueuses
ii x
Tq
∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−====
flux de chaleur(loi de Fourier)
λλλλ : conductibilitéthermique
TMRp ====
ρρρρéquation d'état pourun gaz parfait
R : constante des gaz parfait
M : masse molaire du gaz
Les conditions aux limites sur un obstacle
conditions sur la température
adhérence vitesse/obstacle nulle
Vp = 0 ou u = v = w = 0 ou (u i)p=0
conditions sur la vitesse
soit, température imposée : T = T p
soit, flux de chaleur nul (paroi adiabatique) : 0nT
p
====
∂∂∂∂∂∂∂∂
Les équations de Navier-Stokes
flux de chaleur à la paroi en résulte
ppp n
Tq
∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−==== refroidissement
chauffage
flux de chaleur nul
pT
Les conditions aux limites sur un obstacle
en résulte
nV T
pT
0nT
p
====
∂∂∂∂∂∂∂∂
nn
T
vitesse température
adhérence températureimposée
flux nul : casadiabatique
Les équations générales de conservation
Équations de Navier-Stokes sous forme intrinsèque
(((( ))))
∇∇∇∇++++∇∇∇∇µµµµ++++
∇∇∇∇µµµµ++++−−−−====T
VVIV32
pT���
. Tq ∇∇∇∇λλλλ−−−−====�
lois de comportement
(((( )))) 0V.t
====ρρρρ∇∇∇∇++++∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂ �
continuité
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] 0TVVtV ====∇∇∇∇−−−−⊗⊗⊗⊗ρρρρ∇∇∇∇++++
∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
..��
�
mouvement
(((( )))) (((( )))) (((( )))) 0TVqVete
TT ====∇∇∇∇−−−−∇∇∇∇++++ρρρρ∇∇∇∇++++
∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
....�
�
�
énergie
Classification des écoulements
Écoulement incompressible et écoulement compressible
si nombre de Mach et variations de vitesse modérés, la masse volumique peut être considérée comme constante, même si le fluide est en fait compressible !
nombre de Mach M
variation de la masse volumiqueMM
M2 δδδδ−−−−====ρρρρδρδρδρδρ
si nombre de Mach pas trop élevéVV
MM δδδδ≈≈≈≈δδδδ
VV
M2 δδδδ−−−−≈≈≈≈ρρρρδρδρδρδρ
limite 5,03,0M −−−−≈≈≈≈
Les équations générales de conservation
Classification des écoulements
à grands nombres de Reynolds, les effets de la viscosi té sont confinés dans des régions de faible dimension relat ive sauf en cas de décollement massif
hypothèse du fluide non visqueux ou parfait
écoulement non visqueux
écoulement visqueux∞∞∞∞V�
∞∞∞∞V�
Écoulement non visqueux et écoulement visqueux
Classification des écoulements
Effets visqueux sur un profil transsonique
incidence : 0° incidence : 9°
résolution des équations de Navier-Stokes par code Onera elsA
Classification des écoulements
Effets visqueux sur un profil transsonique
mise en incidence du profil (Mach amont égal à 0,7)résolution des équations de Navier-Stokes par code Onera elsA
∂∂∂∂∂∂∂∂δδδδ−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ====ττττ
k
kij
i
j
j
iij x
u32
x
u
xu
tenseur de viscosité ou termes visqueux
si µµµµ (viscosité) faible et dérivées petites j
i
xu
∂∂∂∂∂∂∂∂
les termes visqueux peuvent être négligés
approximation dite du fluide parfait (terme impropre)
équations de Navier-Stokes équations d'Euler
Classification des écoulements
Écoulement non visqueux et écoulement visqueux
Les équations d'Euler
(((( ))))0
xu
t i
i ====∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++
∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
continuité
(((( )))) (((( ))))i
jij
i
xp
uuxt
u∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂
mouvement
(((( )))) (((( ))))tp
hux
ht Ti
iT ∂∂∂∂
∂∂∂∂====ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂++++ρρρρ
∂∂∂∂∂∂∂∂
énergie
système différentiel hyperbolique pseudo-linéaire
ordre abaissé à un perte de conditions aux limites
Écoulement non visqueux et écoulement visqueux
glissement à la paroi pas de condition
0V.n ====�
�
n
vitesse température
n
Navier-Stokes
Euler
Navier-Stokes
Les équations d'Euler
Écoulement non visqueux et écoulement visqueux
Rotationnel ou vecteur tourbillon
expression de l'accélération
rotationnel ou vecteur tourbillon ou vorticité
Vrotω�
�
====
kyu
xv
jxw
zu
izv
yw
ωVrot���
�
�
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂====≡≡≡≡
en coordonnées cartésiennes
VrotVV
gradtV
dtVd ��
��
⊗⊗⊗⊗−−−−++++∂∂∂∂∂∂∂∂====
2
2
1
Relation importante entre rotationnel et entropie
Rotationnel ou vecteur tourbillon
kyu
xv
z
�
�
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂====ωωωω
en écoulement plan le rotationnel a une seule compos ante
il est perpendiculaire au plan de l'écoulement
cette propriété est :
écoulement irrotationnel rotationnel nu l
soit locale (dans une région)
soit globale (partout)
Relation importante entre rotationnel et entropie
Relation de Crocco
2
2VhhT ++++====enthalpie totale spécifique
thermodynamique
mouvement (non visqueux)
2
2Vgradhgradhgrad T ++++====2
pgradρ
sgradThgrad1++++====3
pgradρdt
Vd 1−−−−====�
4
Relation importante entre rotationnel et entropie
Relation de Crocco
si entropie constante dans un écoulement
vecteur rotationnel aligné avec vecteur vitesse
vecteur rotationnel nul
combinaison des relations
VrotVsgradThgrad T
��
⊗⊗⊗⊗++++====
1 2 3 4
écoulement isenthalpique
Relation importante entre rotationnel et entropie
0====⊗⊗⊗⊗++++ VrotVsgradT��
Relation de Crocco
sources d'entropie dans un écoulement
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
ττττρρρρ
====i
i
i
jij x
qx
u1dtds
T
effets visqueux (couches limites, ondes de choc)
il existe de larges domaines où ces termes sont nulsou négligeables
les écoulements irrotationnels ne sont pas rares
échanges thermiques
Relation importante entre rotationnel et entropie
écoulement amont uniforme isentropique
seule source d’entropie : les couches limites
l’écoulement est presque partout isentropique,
donc irrotationnel justiciable d’une modéli sation
plus simple (équation du potentiel)
profil subsonique
n’est plus vrai en cas de décollement massif
la couche limite crée de l’entropie
Régions rotationnelles et irrotationnelles
Régions rotationnelles et irrotationnelles
onde de choc courbe
poche supersoniqueécoulement nonvisqueuxmais rotationnel
couche limite
écoulement visqueux, donc rotationnel sillage
M∞∞∞∞
M > 1
profil transsonique écoulement irrotatio nnel sauf couches limites, sillage, aval du choc courbe
le choc crée de l’entropie
la couche limite crée de l’entropie
le véhicule immobile P émet des perturbations qui sepropagent à la vitesse du son a 0
P
0V ====∞∞∞∞
�
P
Classification des écoulements
Écoulement subsonique et écoulement supersonique
le véhicule immobile P émet des perturbations qui sepropagent à la vitesse du son a 0
0V ====∞∞∞∞
�
ta0 ∆∆∆∆
Écoulement subsonique et écoulement supersonique
écoulement subsonique 0aV <<<<∞∞∞∞
�
∞∞∞∞V�
1tV ∆∆∆∆∞∞∞∞
2tV ∆∆∆∆∞∞∞∞
P
Écoulement subsonique et écoulement supersonique
∞∞∞∞V�
écoulement supersonique 0aV >>>>∞∞∞∞
�
angle de Mach
∞∞∞∞
====ααααVa
sin 0
1tV ∆∆∆∆∞∞∞∞
2tV ∆∆∆∆∞∞∞∞
αααααααα
P
cone de Mach
Écoulement subsonique et écoulement supersonique
Classification des écoulements
écoulement subsonique
écoulement supersoniqueécoulement transsonique
2,1M1 <<<<<<<< ∞∞∞∞
1M <<<<écoulement transsonique
8,07,0M −−−−≈≈≈≈∞∞∞∞
1M >>>>
Les équations générales de conservation
Classification des écoulements
Profil transsonique
variation du nombre de Mach amontrésolution des équations de Navier-Stokes par code Onera elsA
Classification physique des écoulements
fluide réel visqueuxéquations de Navier-Stokes
simulation directe
régime moléculaire régime continu
fluide non visqueuxéquations d'Euler
fluide incompressible
fluide compressible
Classification mathématique des écoulements
écoulement instationnaire écoulement stationnaire
(X,Y,Z,t) tridimensionnel (X,Y,Z)
(X,Y,t) bidimensionnel (X,Y)
(X,t) monodimensionnel (X)
complète linéarisée stationnaire
frottement, flux de chaleur
Equations moyennées (RANS)
instationnaire
théorie des profils minces et de la ligne
portante
Simulation des grosses structures (LES)
Simulation numérique directe (DNS)
Les méthodes de prévision en aérodynamique classiqu e
LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT
APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX
Cas général : Equations d'Euler
Ecoulement irrotationnel
Equation du potentielMonodimensionnel Bidimensionnel
Supersonique : Méthode des caractéristiques
Transsonique, Supersonique : Méthodes numériques
Tridimensionnel : Méthodes numériques
Ecoulement incompressibleEquation de Laplace
Solutions analytiquesMéthode des singularités
PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX
L'approximation de couche limite
Problème completRésolution numérique des
équations de Navier -StokesEquations d'Euler :modèles non
visqueux
Méthode de couplage :fluide parfait - fluide
visqueux
ESSAIS EN SOUFFLERIE
EQUATIONS DE NAVIER-STOKES
Paramètres de similitude
Équations de Navier-Stokes (sans forces massiques)
continuité
mouvement
énergie
continuité une équation scalaire
mouvement trois équations scalaires
énergie une équation scalaire
( )i
i
u0
t x
∂ ρ∂ρ + =∂ ∂
( ) ( )i j iji
j j
uuu pxt x xi
∂ ρ ∂τ∂ ρ ∂+ = − +∂∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )T i T ij ij i
i i i
e u e puu q
t x x x
∂ ρ ∂ ρ ∂∂+ = τ − −∂ ∂ ∂ ∂
Paramètres de similitude
Équations de Navier-Stokes sans dimensions
continuité
mouvement
énergie
( ) ( ) ( ) ( )2 2
T i T j ij T ii i i i i
1 Ve u e u e p u
t x Re x RePr x x 2 x
∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ρ + ρ = τ + γ − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )i i j ijj i j
p 1u u u
t x x Re x∂ ∂ ∂ ∂ρ + ρ = − + τ
∂ ∂ ∂ ∂
( )∂ρ ∂+ ρ =∂ ∂ i
i
u 0t x
V LRe ∞ ∞
∞
ρ=µ
pCPr
µ=
λ
nombre de Reynolds
nombre de Prandtl
1883 : définition du nombre de Reynolds publié dans
« An Experimental Investigation of the Circumstances W hichDetermine Whether the Motion of Water in Parallel Chan nelsShall Be Direct or Sinuous and of the Law of Resistan ce in Parallel Channels »
étude sur les écoulementsdans les rivières
Osborne Reynolds (1842 – 1912)
Paramètres de similitude
A quoi servent les souffleries ?
Selon certains : c'est un moyen coûteux, bruyant et dangereuxde résoudre les équations de Navier-Stokes !
Certes ! Mais sait-on résoudre les équations de Navier-Stokes ?
Toutefois, la résolution des équations de Navier-S tokes complètesest encore hors de portée sur une forme aussi complexe qu'un avion
Il faut simplifier ces équations, en particulier, en modélisantla turbulence
D'où un manque de précision faisant que la confiance dans lescalculs est encore limitée
Oui, dans un certain nombre de cas grâce à la puissance descalculateurs et aux progrès des méthodes numériques
A quoi servent les souffleries ?
La soufflerie est un moyen de prévision du comporteme nt d'unvéhicule en réalisant une simulation expérimentale sur unemaquette en général à échelle réduite
L'expérience fournira les performances (portance, traînée ,moments…) transposables au véhicule réel si des règles desimilitude sont satisfaites
La soufflerie permet aussi de constituer des cas tests pour valider(ou invalider !) les calculs : les conditions de sim ilitude sont alorssecondaires
L’expérimentation en soufflerie permet d’analyser cert ainsphénomènes dangereux survenant dans des conditionsextrêmes : décollement massif, instabilités, tremblement…
Que réalise une soufflerie ?
Les essais sont exécutés dans une enceinte - ou vein e d'essais -constituant un espace confiné effets des parois
Les mesures sont exécutées sur une maquette tenue par unsupport risque de perturbations
L'écoulement arrivant sur la maquette doit être représentatif dela réalité absence de perturbations ou tourbillons,faible niveau de bruit…
Un essai en soufflerie est beaucoup moins coûteux et moinsdangereux (!) qu'un essai en vol. Il permet en outre d'effectuerun grand nombre de mesures autour de la maquette
Les véhicules - aussi bien aériens que terrestres - font l'objetde très nombreux essais en soufflerie avant leur mise en service
Principales conditions de similitude en aérodynamique classique
mêmes propriétésthermodynamiques
effets de compressibilité
similitude de la géométrieconditions aux limitessur les parois
phénomènes d’ondes(choc, compression,détente)
identité des nombresde Mach
effets visqueux (couchelimites, sillages…)
égalité des nombresde Reynolds
+ bien d’autres conditions en hypersonique, en aéroth ermique…
Classification des souffleries
Subsoniques : de 0 à 200 m/s - écoulement incompressib le
Transsoniques : 0,7 < Mach < 1,3
Supersoniques : 1,6 < Mach < 4
Hypersoniques : Mach > 5
véhicules terrestres, avions en phase de décollageou d'atterrissage, génie civil, énergétique…
avions de transport civils (Boeing, Airbus, Dassault …),avions de combat : secteur stratégique
avions de transport supersoniques, avions de combat,missiles
véhicules hypersoniques (Navette Spatiale), corpsde rentrée dans l’atmosphère, sondes
Souffleries transsoniques
objectif
produire des écoulements dont le nombre de Mach est pro che de 1pour étudier des dispositifs fonctionnant dans le dom ainetranssonique où des régions supersoniques se forment sur l'avion
difficultés techniques
l'effet de confinement dû aux parois de la veine devi entdéterminant la diminution de section produ ite par lamaquette fait col sonique : effet de blocage
les perturbations supersoniques se propagent selon desdirections presque normales à la maquette (angle de Ma chproche de 90°) elles se réfléchissent sur les paroiset retombent sur la maquette
Sources des écarts avec la réalité
qualité de l'écoulement amont
respect du nombre de Mach
respect du nombre de Reynolds
interactions avec les parois
interactions avec les supports
Effet de blocage sonique produit par la maquette
subsonique supersonique
ligne sonique
1M0 ≈≈≈≈
1002,1009,1021,1038,1A/A
195,09,085,08,0M
c
loi des aires minimum très plat près de M = 1
transsonique
εεεε++++==== 1M0
Interactions avec les parois en bas supersonique
les réflexions sur les parois retombent sur la maquett e
inclinaison des perturbations °°°°≈≈≈≈
≅≅≅≅αααα 90
M1
sinArc0
Solutions pour les souffleries transsoniques
le déblocage de l'écoulement est assuré en agissant sur les parois(haute et basse) de la veine augmenter le débit passant auniveau de la maquette pour éviter la formation d'un co l sonique
parois perforées comportant des trous d'aspiration
parois à fentes (même action)
parois adaptables leur forme est ajustéepour reproduire la ligne de courant de l'écoulementen atmosphère infinie
Parois ventilés (perforées ou à fentes)
modélisation difficile des conditions aux limites
principe : une partie du débit de la soufflerie cont ourne la veine d'essais
suppression du blocage sonique au niveau de la maque tte
reconstitution naturelle des lignes de courant
inconvénients corrections résiduelles à eff ectuer
Parois adaptables
principe donner aux parois une forme telle q u'elles soientdes lignes de courant pour un écoulement tendant vers un étatuniforme à l'infini
écoulement intérieur : essai
aux parois :pression mesurée = pression calculée
écoulement extérieur : calcul
potentiel , Euler
processus itératif
déformation des parois jusqu’à ceque cette condition soit satisfaite
Veine à parois adaptables de la soufflerie S3Ch de l'On era-Meudon
vérins
parois déformables mm800≈≈≈≈
capteurs de déplacement
section : 0,76 m x 0,80 m, longueur : 2,20 mparois rigides pleines, perforées ou auto-adaptablesparois latérales équipées de hublots
nombre de Mach : 0,6 < M < 1,35 pression génératrice : pression atmosphériquetempérature génératrice : 290 K < T i0 < 330 K
Une soufflerie transsonique typique : la soufflerie S3 Ch de l’Onera
installation continue à retour
veine guidée à parois interchangeables
réglage précis du nombre de Mach par col aval sonique réglable
0M
0AcA
(((( ))))0c
0 MAA ΣΣΣΣ====
1M >>>>
choc
1M <<<<
La soufflerie S3Ch du Centre Onera de Meudon
diamètre 3m diamètre 2m
section 4,2 ××××4,2m2
section 0,8 ××××0,8m2
24 mètres
5 mètres
moteur3500 kW
réfrigérant
veine d'essais
collecteur diffuseur
filtres
ventilateur àpas variable
balance pourmesure dela traînée
profil d'aile
Veine de la soufflerie S3Ch avec maquette de profil supercritique
paroi latérale gauche démontée
mât support et alimentation du jet arrière-corps
tuyère propulsive
support de sondes
sondes
Veine de la soufflerie S3Ch avec maquette d'arrière-co rpsd'avion de combat et simulation du jet du réacteur
Une très grande soufflerie transsonique : la soufflerie S1MAdu Centre Onera de Modane-Avrieux (Haute-Savoie)
Comment restituer le nombre de Reynoldssur des maquettes à échelle réduite ?
∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞∞∞
µµµµρρρρ==== LV
R
entraîne aussi une augmentation de la pression dynam ique
22 Mp2
V21
q ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞γγγγ====ρρρρ====
donc des efforts aérodynamiques sur la maquette
problèmes de tenue mécanique, risques de déformation :il y a une limite à l'augmentation de la pression
augmenter la pression soufflerie pressurisée
augmenter la masse volumiquerTp====ρρρρ
Effort de portance sur une maquette
Conditions de la soufflerie S1Ma de l’Onera
Nombre de Mach 1M0 ====
Pression génératrice Pa10p 5i ====
Surface de l’aile de la maquette 2m2S ====
Coefficient de portance 5,0Cz ====
Force de portancez
200z CSMp
2F
γγγγ====
tonnes7,3N37000Fz ====≅≅≅≅
Comment restituer le nombre de Reynoldssur des maquettes à échelle réduite ?
entraîne aussi une diminution de la viscosité de l'a ir
la pression dynamique ne dépend pas de la température
les efforts aérodynamiques sont constants
diminuer la température soufflerie cryogénique
on gagne sur deux tableaux
22 Mp2
V21
q ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞γγγγ====ρρρρ====
4,110TT 2/3
++++∝∝∝∝µµµµ∞∞∞∞
augmenter la masse volumique rTp====ρρρρ
European Transonic Wind tunnel (ETW) à Cologne
compresseur
injection LN 2
veine d'essais
veine d'essais : 2,4 m ×××× 2m pression : 1,25 à 4,5 bars
nombre de Mach : 0,15 à 1,3 température : 90 à 313 K
nombre de Reynolds max. : 230 ×××× 106 /m
nombre de Reynolds
efforts
température, K
valeurs relativement àla température ambiante
puissance
origine : soufflerie ETW - Cologne
Soufflerie transsonique cryogénique ETW
Evolution du nombre de Reynolds
Soufflerie transsonique cryogénique ETW
Enveloppe nombre de Mach - nombre de Reynolds
n
Full Models
Half Models
90
80
70
0
60
10
20
30
40
50
Cruise Range of current and future Transport Aircraft
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Take-off and Landing
nombre de Mach
Other European Wind Tunnels
nombredeReynolds
610−−−−××××(1/2 cordemoyenne)
origine : soufflerie ETW - Cologne