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Stanislas Antczak

PHYSIQUE

Préparation au double cursus Architecte-Ingénieur

2020-2021

L2PREMIÈRE PARTIE

MÉCANIQUE – THERMODYNAMIQUE

Version complète

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czakIntroduction

Présentation du cours

Le cours de physique qui suit a été écrit par moi, Stanislas Antczak, pour la deuxième année de la préparationau double-cursus Architecte-Ingénieur à l’École nationale supérieure d’architecture de Lyon. Il a bénéficié descorrections et suggestions de Clarisse Guichardant, qui assure les TD.

La durée totale de l’enseignement, temps d’examen compris, est de cinquante heures, réparties en deuxsemestres. Ce document n’est qu’une première partie pour la L2.

Comme en première année, l’objectif de ce cours est en premier lieu d’acquérir des bases en physique générale,tant au niveau des méthodes que du contenu.

Dans ce cours du premier semestre

Cette année seront poursuivies les études de la mécanique générale et de la thermodynamique, au traversdes chapitres suivants :

— les changements de référentiel permettent de sortir du cadre un peu contraignant des études méca-niques dans les référentiels galiléens ;

— les oscillations mécaniques libres puis forcées prennent la suite de la mécanique de première année,en introduisant les équations différentielles d’ordre deux ;

— enfin, le chapitre sur la diffusion thermique donne une première approche des méthodes d’établissementd’équations aux dérivées partielles spatio-temporelles, omniprésentes en physique.

La suite de l’année sera consacrée à la physique ondulatoire, avec de petites incursions en dynamiquedes fluides.

Mode d’emploi

Ce document est un cours à trous. La version complète, destinée à s’assurer que l’on a bien pris le cours ouà le remplir en cas d’absence, est disponible en ligne sur

http://santczak.free.fr/ensal/cours_l21_2021.pdf

Chaque chapitre contient un ou deux exercices résolus qui sont destinés à acquérir en autonomie les bonnespratiques. Les autres exercices seront, pour certains, corrigés en classe.

À toutes fins utiles, les corrigés de tous les exercices se trouvent également en ligne sur

http://santczak.free.fr/ensal/corriges_l21.pdf

Toute suggestion, remarque, demande d’aide, pourra être adressée à

[email protected] [email protected]

Toute reproduction totale ou partielle de ce document n’est pas autorisée à moins d’un accord de l’auteur.J’ai composé ce document en LATEX sous Linux Ubuntu, logiciels libres.

Stanislas Antczak

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czakTable des matières

1 Changements de référentiel 5I Vecteur rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II Cas particulier des référentiels en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6III Cas particulier de la rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8IV Statique des fluides en référentiels non galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Oscillateurs mécaniques libres 17I Un oscillateur harmonique : le pendule élastique horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II Oscillateurs mécaniques amortis avec frottement visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21III Énergie des oscillateurs libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Oscillations mécaniques forcées 31I Systèmes oscillants en régime forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II Étude des solutions pour le déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34III Solutions pour la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Diffusion thermique 41I Densité de courant thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42II Établissement de l’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III Résolution en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44IV Isolation d’un tuyau de chauffage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45V Ondes de chaleur dans un milieu homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47VI Température au toucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A Changements de référentiel 59

B Équadifs linéaires d’ordre deux 63

C Diffusion de particules 67

3

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czakChapitre 1

Changements de référentiel

On le sait depuis la classe de seconde, un référentiel est un solide que l’on prend comme référence pourobserver un mouvement. Pour repérer des coordonnées d’un point, on a besoin de munir ce référentiel d’unrepère, c’est-à-dire une origine, point fixe dans le référentiel, et une base de vecteurs unitaires, le plussouvent orthonormée.

On peut choisir plusieurs référentiels pour décrire le même phénomène, en fonction des besoins et de ladifficulté. Mais on garde à l’esprit qu’à priori, tout dépend du référentiel : coordonnées des points et desvecteurs, et même la dérivée par rapport au temps d’un vecteur, comme on va le voir ci-dessous.

Dans le cadre de la mécanique classique, en revanche, le temps est absolu et ne dépend pas du référentield’étude. Ce n’est pas le cas dans le cadre de la mécanique relativiste, mais on n’en fera pas ici.

Les lois de la mécanique ne sont pas les mêmes dans tous les référentiels : il existe des référentiels particuliersappelés référentiels galiléens. Mais ils ne sont pas toujours les référentiels les plus simples pour l’étude, d’oùl’intérêt de savoir traduire les relations d’un référentiel à l’autre.

On verra donc les lois de composition des vitesses et des accélérations, limitées ici aux cas simples de latranslation ou de la rotaton autour d’un axe fixe. Les formules générales sont démontrées en annexe.

Et on les appliquera à quelques cas simples de statique du solide ou statique du fluide dans desréférentiels non galiléens.

Les sensations offertes par les montagnes russes viennent du caractère non galiléen du référentiel du wagonnet.

Source : Wikimedia commons

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1. Changements de référentiel Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021

I Vecteur rotation

1 Dérivée d’un vecteur dans deux référentiels

Considérons un référentiel R muni d’une base orthonormée (−→i ,

−→j ,

−→k ). Soit un vecteur

−→Q dont les coordon-

nées dans cette base sont (x, y, z) : on peut donc écrire−→Q = x

−→i + y

−→j + z

−→k

Ce vecteur est quelconque : ses coordonnées x, y et z sont donc des fonctions du temps. La dérivée par

rapport au temps de ce vecteur dans le référentiel R, où les vecteurs−→i ,

−→j et

−→k sont fixes, est

d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R

=dxdt

−→i +

dydt

−→j +

dzdt

−→k

Considérons à présent un autre référentiel R′ que l’on peut choisir d’utiliser pour décrire les phénomènes

physiques. On peut le munir également d’une base orthonormée (−→i′ ,

−→j′ ,

−→k′ ). Dans cette base, on peut appeler

(x′, y′, z′) les coordonnées du vecteur−→Q : ce sont des fonctions du temps à priori différentes de x, y, z. On a

−→Q = x′

−→i′ + y′

−→j′ + z′

−→k′ et sa dérivée dans R′

d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R′

=dx′

dt

−→i′ +

dy′

dt

−→j′ +

dz′

dt

−→k′

Ce vecteur dérivée est un vecteur en général différent du vecteur « dérivée temporelle de−→Q dans R ».

2 Relation entre les dérivations de vecteurs dans les deux référentiels

On peut montrer qu’il existe un vecteur vitesse de rotation instantanée d’un référentiel par rapport à

un autre. On notera−→Ω(R′/R) le vecteur rotation instantané du référentiel R′ par rapport au référentiel R. Ce

vecteur permet de relier les dérivées du vecteur−→Q dans chacun des référentiels par la relation suivante :

d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R

=d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R′

+−→Ω(R′/R) ∧ −→

Q

Cette relation est appelée formule de Bour ou relation de dérivation dans une base mobile. Souvent eneffet, on dissymétrise le problème en considérant R comme le référentiel fixe et R′ comme le référentiel mobile.Pour une démonstration générale, on consultera l’annexe A.

Remarque : de cette relation découle immédiatement que−→Ω(R′/R) = −−→

Ω(R/R′).

II Cas particulier des référentiels en translation

1 Vecteur rotation

Si le référentiel R′ est en translation par rapport au référentiel R, alors le vecteur rotation est nul :−→Ω(R′/R) =

−→0

On peut choisir des bases identiques pour R′ et R : on prend donc−→i′ =

−→i ,

−→j′ =

−→j et

−→k′ =

−→k . En revanche,

les origines des repères O et O′ sont différentes.

−→j

−→k

−→i

O

−→j

−→k

−→i

O′

Puisque le vecteur rotation est nul, alors la dérivation par rapport au temps est identique dans R et R′.

2 Vecteur position

On étudie le mouvement du point matériel M.

Le vecteur position dans R est−−→OM, le vecteur position dans R′ est

−−→O′M. Par simple relation de Chasles,

−−→OM =

−−→OO′ +

−−→O′M

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021 1. Changements de référentiel

3 Composition des vitesses

Exprimons la vitesse de M dans R en utilisant la relation de Chasles ci-dessus :

−→v (M/R) =d−−→OMdt

∣∣∣∣∣∣R

=d−−→OO′

dt

∣∣∣∣∣∣R︸︷︷︸

terme ①

+d−−→O′Mdt

∣∣∣∣∣∣R ou R′︸︷︷︸

terme ②

Le terme ① est la vitesse de O′ dans le référentiel R. C’est ce que l’on appelle la vitessed’entraînement du référentiel R′ par rapport au référentiel R.

Comme les dérivées dans les deux référentiels sont identiques, le terme ② est également la

dérivée de−−→O′M dans R′, c’est-à-dire la vitesse du point M par rapport au référentiel R′. C’est

ce que l’on appelle la vitesse relative.Ainsi, on a la loi de composition des vitesses pour des référentiels en translation :

−→v (M/R) = −→v (O′/R) + −→v (M/R′)

soit vitesse « absolue » = vitesse d’entraînement + vitesse relative

4 Composition des accélérations

Dérivons une fois de plus la relation ci-dessus, pour obtenir l’accélération de M dans R :

−→a (M/R) =d−→v (M/R)

dt

∣∣∣∣∣R

=d−→v (O′/R)

dt

∣∣∣∣∣R︸︷︷︸

terme ①

+d−→v (M/R′)

dt

∣∣∣∣∣R ou R′︸︷︷︸

terme ②

Le terme ① est l’accélération de O′ dans le référentiel R. C’est l’accélération d’entraîne-ment du référentiel R′ par rapport au référentiel R.

Le terme ②, lui, est l’accélération du point M dans le référentiel R′, appelée accélérationrelative.

Voici donc la loi de composition des accélérations pour des référentiels en translation :−→a (M/R) = −→a (O′/R) + −→a (M/R′)

soit accélération « absolue » = accélération d’entraînement + accélération relative

5 Lois de la dynamique

On étudie un point matériel M de masse m. On considère deux référentiels d’étude :— le référentiel R, supposé galiléen ;— le référentiel R′, en translation quelconque par rapport à R.On appellera −→ae l’accélération d’entraînement de R′ par rapport à R.On notera

−→F la somme de toutes les forces subies par M.

La deuxième loi de Newton dans le référentiel galiléen R s’écrit, comme d’habitude,

m −→a (M/R) =−→F

En utilisant la loi de composition des accélérations −→a (M/R) = −→ae + −→a (M/R′), elle devient

m −→ae + m −→a (M/R′) =−→F que l’on peut écrire m −→a (M/R′) =

−→F − m −→ae

On reconnaît une relation du type masse fois accélération égale somme des forces... mais ilfaut ajouter un terme du côté des forces. Ce terme est appelé force d’inertie d’entraînement :

−→Fie = −m −→ae

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L’expression de la deuxième loi de Newton dans un référentiel en translation parrapport à un référentiel galiléen est donc

m −→a (M/R′) =−→F +

−→Fie avec

−→Fie = −m −→ae

masse × accélération relative = somme des forces + force d’inertie d’entraînementLa force d’inertie d’entraînement est une pseudo-force, dans le sens où ce n’est pas la modélisation de

l’action d’un objet extérieur sur le système étudié, mais un artifice de calcul, un vecteur dont la norme s’exprimeen newtons et qui apparaît quand on cherche à écrire la deuxième loi de Newton dans un référentiel en translationpar rapport à un référentiel galiléen.

Remarque : dans le cas particulier d’une translation rectiligne et uniforme, la vitesse d’entraînementest un vecteur constant. Donc l’accélération d’entraînement est nulle. On peut donc conclure que l’accélérationde M est la même dans tous les référentiels en translation rectiligne et uniforme les uns par rapportaux autres.

La deuxième loi de Newton est donc la même dans tous ces référentiels. Et en particulier, tous les référentielsgaliléens sont en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres. Exercices 1 à 6, exercice résolu 1

III Cas particulier de la rotation autour d’un axe fixe

1 Vecteur rotation dans le cas particulier de la rotation autour d’un axe fixe

Prenons le cas particulier d’un référentiel R′ en rotation par rapport à R autour d’un axe ∆ fixe dans R.

Choisissons (O−→k ) = ∆ : l’axe de rotation est l’axe des z. Alors les deux axes (O

−→k ) et (O

−→k′ ) sont identiques.

−→k

−→i

−→j

−→j′

−→i′

O

∆

θ

θ

③

perspective

θ

θ

−→i

−→i′

−→j−→

j′

O

plan (O,−→i ,

−→j )

On va mettre en évidence−→Ω . Pour cela, on exprime

−→i′ = cos θ

−→i + sin θ

−→j

−→j′ = − sin θ

−→i + cos θ

−→j

Puis on dérive ces vecteurs dans R :

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= −θ sin θ−→i + θ cos θ

−→j

d−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= −θ cos θ−→i − θ sin θ

−→j

qui s’écrit

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= θ−→j′

d−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= −θ−→i′

Or,−→j′ =

−→k ∧

−→i′ et

−→i′ = −−→

k ∧−→j′ puisque la base (O,

−→i′ ,

−→j′ ,

−→k ) est orthonormée directe.

On peut donc écrire

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= θ−→k ∧

−→i′

d−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= θ−→k ∧

−→j′

soit, en posant−→Ω = θ

−→k ,

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

=−→Ω ∧

−→i′

d−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

=−→Ω ∧

−→j′

Par ailleurs, comme le vecteur−→k est un vecteur constant à la fois dans R et dans R′, sa

dérivée par rapport au temps dans ces deux référentiels est nulle. Or,−→Ω ∧ −→

k est également unvecteur nul puisque

−→Ω et

−→k sont colinéaires. On peut donc bien également écrire

d−→k

dt

∣∣∣∣∣∣R

=−→Ω ∧ −→

k

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Le vecteur rotation−→Ω a pour expression dans ce cas

−→Ω = θ

−→k ou, en posant ω = θ,

−→Ω = ω

−→k

La norme de−→Ω est

∣∣∣θ∣∣∣ = |ω|, en radians par seconde : c’est une vitesse angulaire.

La direction de−→Ω est

−→k , c’est-à-dire l’axe de rotation ∆.

On a démontré ici la formule de dérivation dans une base mobile dans le cas particulier du mouvement

autour d’un axe fixe, seulement pour les vecteurs unitaires−→i′ ,

−→j′ et

−→k . Resterait à la démontrer pour tout

vecteur−→Q. C’est ce qui est fait en annexe A. Ici, on l’admettra.


Dérivons le vecteur position−−→OM dans R et utilisons la formule de dérivation dans la base

mobile :


∣∣∣∣∣∣R

=d−−→OMdt

∣∣∣∣∣∣R′︸︷︷︸

vitesse relative

+−→Ω ∧ −−→

OM︸︷︷︸vitesse d’entraînement

On trouve ainsi, comme précédemment, la loi de composition des vitesses pour desréférentiels en rotation autour d’un axe fixe :

−→v (M/R) = −→v (M/R′) + −→ve avec −→ve =−→Ω ∧ −−→

OM

3 Composition des accélérations pour une rotation uniforme

On se placera ici dans le cas particulier où la rotation autour de l’axe fixe est uniforme, donc−→Ω est un vecteur constant dans R et R′

Pour obtenir la loi de composition des accélérations, dérivons la loi de composition des vitesses dans R :

−→a (M/R) =d−→v (M/R)

dt

∣∣∣∣∣R

=d−→v (M/R′)

dt

∣∣∣∣∣R︸︷︷︸

terme ①

+d(

−→Ω ∧ −−→

OM)dt

∣∣∣∣∣R︸︷︷︸

terme ②

Regardons les deux termes un par un.

Terme ①d−→v (M/R′)

dt

∣∣∣∣∣R

=d−→v (M/R′)

dt

∣∣∣∣∣R′

+−→Ω ∧ −→v (M/R′)

On reconnaît l’accélération −→a (M/R′) dans le premier terme du membre de droite.

Et terme ②d(

−→Ω ∧ −−→

OM)dt

∣∣∣∣∣R

=d−→Ω

dt

∣∣∣∣∣R

∧ −−→OM +

−→Ω ∧ d

−−→OMdt

∣∣∣∣∣R

Or,−→Ω est constant dans ces référentiels, donc sa dérivée est nulle. Et dans le deuxième terme du membre

de gauche apparaît −→v (M/R) que l’on peut exprimer à l’aide de la loi de composition des vitesses. Il vient doncpour le terme ②

d(−→Ω ∧ −−→

OM)dt

∣∣∣∣∣R

=−→Ω ∧

[−→v (M/R′) +−→Ω ∧ −−→

OM]

=−→Ω ∧ −→v (M/R′) +

−→Ω ∧

(−→Ω ∧ −−→

OM)

Tout ceci mis ensemble donne la loi de composition des accélérations

−→a (M/R) = −→a (M/R′)︸︷︷︸terme ①

+ 2−→Ω ∧ −→v (M/R′)︸︷︷︸

terme ②

+−→Ω ∧

(−→Ω ∧ −−→

OM)

︸︷︷︸terme ③

Il y a cette fois-ci trois termes :— le terme ① est l’accélération relative, accélération de M dans le référentiel R′ ;— le terme ② est appelé accélération de Coriolis ;— le terme ③ est l’accélération d’entraînement.

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4 Cas particulier où le point étudié est fixe dans le référentiel en rotation uniforme

Si M est fixe dans R′, alors la vitesse relative −→v (M/R′) est nulle et l’accélération relative−→a (M/R′) est nulle. La relation précédente devient

−→a (M/R) =−→Ω ∧

(−→Ω ∧ −−→

OM)

En utilisant des coordonnées cylindriques, on a−−→OM = r −→ur + z

−→k et

−→Ω = ω

−→k , d’où

−→a (M/R) = ω−→k ∧

[ω

−→k ∧ (r −→ur + z

−→k )]

= ω−→k ∧ ω r −→uθ = −r ω2 −→ur

On retrouve l’expression de l’accélération obtenue au chapitre de cinématique dans le casd’un mouvement circulaire uniforme à distance constante de l’axe.

En notant H le projeté orthogonal de M sur l’axe de rotation ∆,on peut écrire ceci

−→a (M/R) = −ω2−−→HM •M

•H

ω

5 Loi de la statique dans un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixedans un référentiel galiléen

On étudie un point matériel M de masse m. On considère deux référentiels :— le référentiel R est supposé galiléen ;— le référentiel R′ est en rotation uniforme autour d’un axe fixe du référentiel R.Soit

−→F la somme des forces subies par le système. La deuxième loi de Newton dans R s’écrit

m −→a (M/R) =−→F

Or, on vient de voir que −→a (M/R) = −ω2−−→HM avec les notations ci-dessus. On peut écrire

−m ω2−−→HM =

−→F ou bien

−→F + m ω2

−−→HM =

−→0

On obtient bien une relation du type première loi de Newton : somme des forces égale vecteurnul... mais en ajoutant une force

−→Fie = m ω2

−−→HM nommée force d’inertie d’entraînement.

Comme cette force est colinéaire à−−→HM et de même sens, certains l’appellent parfois force

centrifuge (qui fuit le centre). Mais c’est une pseudo-force, un simple artifice de calcul. Exercices 7 à 12, exercice résolu 2

IV Statique des fluides en référentiels non galiléens

Section à faire après avoir traité le chapitre de statique des fluides.En mécanique des fluides, on procède exactement comme en mécanique du point sauf que ce sont des forces

volumiques d’inertie qui s’additionnent aux autres forces. Puisque la force d’inertie d’entraînement s’écrit−m−→ae , la force volumique d’inertie d’entraînement est −ρ−→ae , où ρ est la masse volumique du fluide.

Ainsi, dans le cas d’un fluide à l’équilibre soumis uniquement à la pesanteur, la relation fondamentale de la

statique des fluides, qui s’écrivait dans un référentiel galiléen R −−→grad p = ρ−→g , s’écrit dans R′ :

−−→grad p = ρ−→g − ρ−→ae

On rappelle qu’en coordonnées cartésiennes,−−→grad p =

∂p

∂x∂p

∂y∂p

∂z

.

Exercices 13 à 16

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czakExercices résolus

Énoncé

1 On démarre

Un chargement est posé sur la plate-forme d’un camion. Le camion démarre et accélère avec une accélérationhorizontale. Le coefficient de frottement statique entre le chargement et la plate-forme est µ0.

Exprimer en fonction de µ0 et g l’accélération maximale que le conducteur peut donner au camion s’il veutéviter le glissement du chargement. (Photo Wikimedia Commons.)

2 Un anneau sur un cerceau

Un cerceau est placé dans un plan vertical et on le fait tourner autour d’un axe vertical passant par soncentre, à la vitesse angulaire constante ω.

O

ω

M

θ

Un anneau de masse m peut coulisser sans frottements sur le cerceau. Déterminer ses positions d’équilibre.

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Corrigé

1 On démarre

On étudie le chargement dans le référentiel du camion, non galiléen.

Il subit son poids−→P = m−→g , la réaction normale du support

−→N et les frottements solides

−→F .

−→P

−→N

−→F

Tant que le chargement est à l’équilibre, la première loi de Newton s’écrit

−→0 =

−→P +

−→N +

−→F −m−→a

En projection horizontale, cela donne F = ma. En projection verticale, N = mg.Il n’y a pas de glissement tant que F 6 µ0 N, c’est-à-dire tant que a 6 µ0 g.

2 Un anneau sur un cerceau

On étudie l’anneau dans le référentiel tournant, non galiléen.

Il subit son poids−→P = m−→g et la réaction normale du cerceau

−→N.

O

ω

M

θ

−→P

−→N

❯

−→ur

−→uθH

−→i

−→j

L’accélération d’entraînement est axifuge : −→ae = −ω2−−→HM, avec HM = R sin θ.

Puisque l’on ne s’intéresse qu’à l’équilibre, appliquons la première loi de Newton dans le référentiel d’étude :

−→0 =

−→P +

−→N −m−→ae

ce qui donne, en projection,

sur−→i : 0 = −N sin θ +mω2 R sin θ et sur

−→j : 0 = N cos θ −mg

Si sin θ = 0, alors N = mg : il y a toujours deux positions d’équilibre possibles, pour θ = 0 ou θ = π.

Et si sin θ 6= 0, on a N =mg

cos θet N = mR ω2

qui fournit la conditionmg

cos θ= mR ω2 d’où l’on extrait cos θ =

g

R ω2

Ceci donne une troisième position d’équilibre possible, à condition que le membre de droite puisse être lecosinus d’un angle, c’est-à-dire s’il est inférieur à 1. La troisième position d’équilibre n’existe donc que si

g

R ω2< 1 soit ω >

√g

Ret alors θ = Arccos

g

R ω2

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czakExercices

Référentiels en translation

1 Dans un ascenseur

Un étudiant en architecture soucieux de sa ligne ne se déplace jamais sans son pèse-personne. Il monte dessusà tout propos, même dans l’ascenseur. (Son ascenseur a une accélération et une décélération de 1,0 m.s−2.)

Dire ce qu’indiquera la balance :

a. au début d’une ascension ;

b. à la fin d’une ascension ;

c. au début d’une descente ;

d. à la fin d’une descente ;

e. lorsque le câble est rompu et l’ascenseur est en chute libre.

S’il est si soucieux de sa ligne, pourquoi l’étudiant prend-il l’ascenseur ?

2 Pendule dans une voiture

Déterminer l’angle que fait avec la verticale un pendule dans une voiture :

a. qui va de 0 à 100 km.h−1 en 12 s ;

b. lancée à 100 km.h−1 qui s’arrête en une distance de 100 m.

Les accélérations seront supposées constantes.

3 Traverser la rivière

Une rivière de largeur L = 10 m coule à la vitesse vr = 3,0 m.s−1. Un bateau veut la traverser et peut allerà une vitesse de norme vb = 5,0 m.s−1 par rapport à l’eau. Déterminer quel cap il faut choisir, c’est-à-dire avecquel angle α incliner −→vb par rapport au rivage, pour :

a. minimiser la durée de traversée (déterminer alors où le bateau accoste) ;

b. accoster en face du point de départ (déterminer alors la durée de traversée).

4 Décollement

Un plateau horizontal oscille verticalement à la fréquence f avec l’amplitude z0 = 4,0 cm : son mouvementpeut être repéré par sa coordonnée verticale ascendante z(t) = z0 cos(2π f t).

Un point matériel de masse m est posé sur le plateau. Déterminer une condition sur f et z0 pour que lepoint ne décolle pas.

5 Le plan qui bouge

Un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale est animé d’un mouvement horizontal uniformémentaccéléré (l’accélération du plan est dans le plan vertical contenant la ligne de plus grande pente).

Déterminer le mouvement d’un point matériel posé sur le plan, initialement immobile dans le référentiel duplan, si son déplacement se fait sans frottements. Discuter des différents cas possibles.

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6 Tir en accéléré

Déterminer les équations horaires du mouvement d’un projectile dans un référentiel en translation unifor-mément accélérée avec une accélération horizontale contenue dans le plan de tir, dans le sens de l’axe de tir.

En déduire la portée du tir et déterminer l’angle de tir pour lequel elle est maximale.

Référentiels en rotation uniforme autour d’un axe fixe

7 Virage d’un train

Un train aborde à la vitesse v un virage de rayon r dans lequel lestraverses des rails sont inclinées d’un angle α par rapport à l’horizontale.

On considère qu’un passager immobile dans le train ressent le plusde confort lorsqu’il ne subit, de la part du sol, aucune force tangentielle.

Déterminer une relation entre r, v, α et g permettant le confort dupassager.

Calculer α pour v = 250 km.h−1 et r = 5,0 km.

Source : Wikimedia commons

8 Verticale sur un manège

Sur un manège en rotation uniforme de vitesse angulaire ω, on suspend à une distance r0 de l’axe un pendulede longueur L. Le pendule fait un angle α avec la verticale.

Exprimer ω en fonction de g, r0, α et L.

Application : évaluer la vitesse de rotation du manège de la photo ci-après et en déduire une évaluation dela durée d’un tour.

Source : pixabay.com

9 Ramasser les tickets sur un manège

Le propriétaire d’un manège en rotation uniforme de vitesse angulaire ω se trouve à la distance r de l’axede rotation du manège.

Déterminer la force qu’il doit exercer sur le sol pour rester en place.

10 Sur un tourne-disque

Une souris a posé un morceau de fromage sur le plateau d’un tourne-disque, à une certaine distance ducentre. Elle fait tourner le tourne-disque à une vitesse angulaire contrôlée.

Elle constate que pour une certaine vitesse angulaire, le fromage se met à glisser. Comment utilise-t-elle cecipour mesurer le coefficient de frottement fromage-plateau ?

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11 Pesanteur et gravitation

Le champ de gravitation prend en compte l’attraction gravitationnelle terrestre seule. Le champ de pesanteur−→g , lui, prend également en compte la rotation de la Terre sur elle-même.

a. Faire un schéma introduisant les différentes grandeurs utiles.

b. Écrire les coordonnées du vecteur −→g en fonction de ω, vitesse de rotation de la Terre sur elle-même, R rayonde la Terre (R = 6,38 × 103 km), M masse de la Terre (M = 5,98 × 1024 kg), G constante de la gravitationuniverselle (G = 6,67 × 10−11 m3.s−2.kg−1) et la latitude λ (angle par rapport à l’équateur).

c. On dit parfois que si la Terre tournait dix-sept fois plus vite, on serait en impesanteur à l’équateur. Justifiercette affirmation.

d. Déterminer l’angle entre −→g et le champ de gravitation, en fonction de λ et des autres paramètres. À quellelatitude est-il maximal ? Le calculer à cet endroit.(On pourra utiliser l’approximation des petits angles ou la relation des sinus : dans un triangle quelconque ABC,

on aBC

sin A=

AC

sin B=

AB

sin C.)

12 Le retour de l’anneau sur le cerceau

On reprend l’exercice résolu « Un anneau sur un cerceau », mais avec un axe de rotation vertical qui nepasse pas par le centre du cerceau mais à une certaine distance horizontale de celui-ci.

Déterminer une relation donnant les positions d’équilibre de l’anneau.Le rayon du cerceau est R = 0,50 m, la distance horizontale entre l’axe de rotation et le centre de l’anneau

est d = 30 cm et on constate que l’anneau s’écarte de la position verticale sous le centre du cerceau de θ = 30.Déterminer ω.

O

ω

M

θ

Statique des fluides en référentiels non galiléens

Dans les exercices qui suivent, la surface de l’eau est déterminée comme le lieu où la pression dans l’eau estégale à P0, pression atmosphérique de l’air.

13 Camion-citerne

Déterminer l’inclinaison de la surface du liquide dans une citerne lorsque le camion qui la porte accélère.

14 Surface de l’eau

Un bécher contenant de l’eau tourne sur lui-même autour de son axe fixe, à vitesse de rotation ω constante.

a. Déterminer la forme de la surface de l’eau.

b. Exprimer en fonction de ω, g et du rayon du bécher, la différence de hauteur d’eau au centre lorsque çatourne par rapport au cas immobile.

15 Un tube coudé qui tourne

Un tube coudé plonge dans l’eau et tourne à vitesse constante.Déterminer la pression dans l’air de la branche horizontale du tuyau, puis en déduire h.Application numérique : ω = 50 tours.s−1, ℓ = 10 cm.

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h

ℓ

ω

16 Tube en U tournant

Un tube en U carré tourne autour d’un axe décentré à une vitesse constante. Il contient une certainequantité d’eau, dont on repère la position grâce à l’ordonnée z par rapport à la position d’équilibre en l’absencede rotation.

ω

h

a

D

z

Exprimer ω2 en fonction de z. On distinguera plusieurs cas, suivant que les deux surfaces libres du liquidesont dans les branches verticales ou non.

Le tracé de z en fonction de ω2 est donné ci-dessous. Interpréter la courbe obtenue en décrivant ce qui sepasse lorsqu’on augmente progressivement ω, puis lorsqu’on le rediminue.

0 500 1000 1500 2000 2500

omega^2 (rad^2.s^-2)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

z (

m)

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czakChapitre 2

Oscillateurs mécaniques libres

Les vents me sont moins qu’à vous redoutables.

Je plie, et ne romps pas. Le roseau, cité par Jean de la Fontaine, Le Chêne et le Roseau

Qu’elles soient macroscopiques et dues au vent ou aux séismes, ou microscopiques (acoustiques) et liées aufonctionnement des appareils, les vibrations mécaniques sont partout dans les bâtiments.

Elles sont la plupart du temps indésirables, aussi cherche-t-on à les prévoir pour les éviter. Mais il fauttrouver un compromis : un bâtiment souple bouge sous l’effet du vent, certes (au sommet d’une haute tour, lesdéplacements par vent violent peuvent atteindre plusieurs mètres), mais un bâtiment trop rigide peut rompre.

Ce chapitre étudie divers aspects des oscillateurs mécaniques libres.

À gauche, en haut : la tour Taipei 101, à Taiwan, par C. Y. Lee andpartners Architects, 2004. 509 m de haut, 101 étages.Ci-dessus : schéma du pendule d’amortissement des vibrations installéau sommet.À gauche, en bas : photo dudit pendule de 660 tonnes.

Source : Wikipedia.

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2. Oscillateurs mécaniques libres Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021

I Un oscillateur harmonique : le pendule élastique horizontal

1 Oscillateurs mécaniques : définitions

Un oscillateur mécanique est un système mécanique connaissant des mouvements de va-et-vient autourd’une position d’équilibre. On parle d’oscillateur non amorti ou oscillateur harmonique lorsque sonmouvement a une amplitude constante et peut être décrit par une fonction sinusoïdale du temps.

2 Position du problème

Soit un solide de masse m pouvant glisser sans frottements sur un plan horizontal. Il est attaché à un ressortde raideur k et de longueur à vide ℓ0, vérifiant la loi de Hooke. Le solide peut se déplacer sur un axe (Ox).Toute action de l’air est négligée.

On écarte le solide de sa position d’équilibre en allongeant le ressort d’une longueur x0, puis, à un instantchoisi comme origine des dates, on le lâche sans vitesse initiale.

Déterminer son mouvement ultérieur.

3 Obtention de l’équation différentielle du mouvement

ℓ0

−→i x

O

x

G

ℓ−→F

−→P

−→N

On étudie le solide ramené à son centre d’inertieG dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Il subit son poids−→P , la réaction normale du

support−→N et la force de rappel du ressort

−→F .

Celle-ci s’écrit−→F = −k (ℓ − ℓ0)

−→i

Or, si l’on choisit l’origine O de l’axe (Ox) comme la position d’équilibre (qui est aussi laposition où le ressort n’est pas étiré), l’élongation ℓ − ℓ0 est précisément égale à la position x.

D’où−→F = −k x

−→i . La deuxième loi de Newton, qui s’écrit

m −→a =−→P +

−→N +

−→F devient, sur

−→i , m x = −k x

On pose ω0 =

√k

m. L’équation devient

x = −ω02 x ou x + ω0

2 x = 0

On appelle cette équation différentielle équation harmonique.

4 L’équation harmonique

Une équation harmonique est l’équation générale des oscillateurs mécaniques non amortis. C’est uneéquation différentielle de la forme

x = −ω02 x ou x+ ω0

2 x = 0

où la fonction inconnue est x(t) et le paramètre ω0 est appelé pulsation propre de l’oscillateur harmonique.Ses solutions sont de la forme

x(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) ou x(t) = C cos(ω0 t+ ϕ)

où les constantes A et B, ou C et ϕ, s’obtiennent en général à l’aide de la connaissance des conditions initialessur x et x.

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021 2. Oscillateurs mécaniques libres

5 Résolution du problème

On cherche les solutions sous la forme

x(t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t avec ω0 =

√k

m

de dérivée x(t) = −A ω0 sin ω0 t + B ω0 cos ω0 t

Les conditions initiales du problème posé sont :— élongation initiale de x0 dans le sens de l’étirement : x(0) = x0 ;— mobile lâché sans vitesse initiale : x(0) = 0.

Cela s’écrit A = x0 et B ω0 = 0 d’où B = 0

La solution est donc x(t) = x0 cos ω0 t

Autre forme possible : x(t) = C cos(ω0 t + ϕ), de dérivée x(t) = −C ω0 sin(ω0 t + ϕ).Les conditions initiales donnent C cos ϕ = x0 et −C ω0 sin ϕ = 0.La deuxième équation impose, comme C 6= 0 et ω0 6= 0, que sin ϕ = 0, ce qui, sur [0, 2 π[,

donne deux possibilités : ϕ = 0 ou ϕ = π.— Si ϕ = 0, la première condition donne C = x0, d’où finalement x(t) = x0 cos ω0 t.— Si ϕ = π, la première condition donne C = −x0, d’où x(t) = −x0 cos(ω0 t + π). Comme

cos(θ + π) = − cos θ quel que soit θ, on retrouve bien la même chose.

6 Étude de la solution

x

t

x0

−x0

T0

x

t

x0 ω0

−x0 ω0

T0

Ci-contre on a tracé

x(t) = x0 cos ω0 t et x(t) = −x0 ω0 sin ω0 t

La période du mouvement T0 est appelée pé-riode propre de l’oscillateur harmonique. Pour laconnaître, on cherche la plus petite valeur de T0 vé-rifiant pour tout t, x(t + T0) = x(t), soit

cos(ω0 t + ω0 T0) = cos ω0 t

La fonction cosinus étant 2 π-périodique, la pluspetite valeur de T0 permettant cette égalité vérifieω0 T0 = 2 π, donc la période propre est

T0 =2 π

ω0

= 2 π√

m

k

D’où la fréquence propre f0 =1

T0

=ω0

2 π=

12 π

√k

m

Analyse dimensionnelle :

[k] =[F]L

=M.L.T−2

L= M.T−2 et [m] = M

donc[√

m

k

]=

√M

M.T−2= T ce qu’il fallait démontrer

Exercices 1 à 3

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7 Variante : le pendule élastique vertical

Un solide de masse m pend verticalement, accroché à un ressort de longueur à vide ℓ0 et de raideur k. Onnégligera toute influence de l’air.

À l’instant initial, le solide est écarté de sa position d’équilibre d’une longueur x0, vers le bas, et lâché sansvitesse initiale. On cherche son mouvement ultérieur.

x

−→i

GxO

−→P

−→F

On étudie le solide ramené à son centre d’inertie G, dans le référentielterrestre supposé galiléen. Il subit son poids

−→P = m −→g et la force de rappel

du ressort−→F .

En munissant l’espace d’un axe (Ox) vertical vers le bas, on peut écrire−→P = m g

−→i et

−→F = −k (ℓ − ℓ0)

−→i , où ℓ est la longueur du ressort pour une

position donnée.

La deuxième loi de Newton s’écrit

m −→a =−→F +

−→P soit, en projection sur

−→i , m x = m g − k (ℓ − ℓ0)

Deux chemins sont possibles à partir de là, en fonction du choix de la position de O.

Origine de l’axe à la position d’équilibreChoisissons O à la position d’équilibre de G. À cette position, le ressort est déjà étiré, sa

longueur est ℓéq différente de ℓ0. Et la coordonnée x est l’écart à cette position, x = ℓ − ℓéq.Cette longueur à l’équilibre se connaît à l’aide de la deuxième loi de Newton lorsque x = 0 :

elle vérifie donc

0 = m g − k (ℓéq − ℓ0) d’où ℓéq = ℓ0 +m g

k

On en déduit que ℓ = x + ℓéq = x + ℓ0 +m g

k, donc l’équation différentielle devient

m x = m g − k(

x + ℓ0 +m g

k− ℓ0

)soit m x = −k x

On retrouve bien l’équation harmonique obtenue précédemment avec le pendule élastiquehorizontal, x + ω0

2 x = 0, avec ω20 = k/m. La suite est identique.

Origine de l’axe à la position à videSi maintenant O est la position de G lorsque le ressort est à vide, on a directement x = ℓ−ℓ0,

mais la position x = 0 n’est pas la position d’équilibre. L’équation différentielle devient

m x = m g − k x ou encore x + ω02 x = g avec ω0 =

√k

m

Première méthode : utilisation de la solution particulièreLa solution générale de cette équation différentielle non homogène est la somme de la solution

générale de l’équation homogène et de la solution particulière xpart =g

ω02

=m g

k: on

applique les conditions initiales avec

x = A cos ω0 t + B sin ω0 t +m g

k

Il faut prendre garde, car x(0) n’est pas x0 ici : x(0) = x0 + m g/k.Deuxième méthode : changement de fonctionOn écrit l’équation différentielle à l’équilibre : elle devient ω0

2 xéq = g. Puis on soustraitmembre à membre l’équation différentielle avec ceci : cela donne

x + ω02 (x − xéq) = 0 qui donne y + ω0

2 y = 0 en posant y = x − xéq

On retrouve l’équation différentielle homogène. Exercices 4 à 9

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II Oscillateurs mécaniques amortis avec frottement visqueux

On consultera avec profit l’Annexe B pour tous les détails mathématiques.

1 Équation différentielle d’un oscillateur amorti

Reprenons le système solide-ressort, mais cette fois considérons une force de frottements fluides avec modèle

de Stokes :−→f = −λ −→v , où λ est le coefficient de frottement fluide et −→v la vitesse du solide.

−→i x

O

x

ℓ−→F

−→f

−→P

−→N

On étudie le solide ramené à son centre d’inertieG dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Comme précédemment, on choisit un axe (Ox)d’origine la position d’équilibre de G.

Le solide subit comme précédemment son poids−→P , la réaction normale du support

−→N et la force de

rappel du ressort−→F . Celle-ci s’écrit

−→F = −k x

−→i .

En plus, il subit également la force de frottements fluides−→f = −λ −→v = −λ x

−→i .

La deuxième loi de Newton, qui s’écrit m −→a =−→P +

−→N +

−→F +

−→f donne, sur

−→i ,

m x = −k x − λ x soit x +λ

mx +

k

mx = 0

ou x +1τ

x + ω02 x = 0 en posant τ =

m

λet ω0 =

√k

m

2 Exemple de résolution dans le cas faiblement amorti (régime pseudo-périodique)

C’est le cas où τ est assez grand pour que le discriminant ∆ de l’équation caractéristique soit négatif (voirl’Annexe B).

Prenons le cas où le mobile est lâché sans vitesse initiale, d’un allongement x0 positif.

On cherche les solutions sous la forme

x(t) = e −t/(2 τ) (A cos ωp t + B sin ωp t) avec ωp =

√

ω02 − 1

4 τ 2

de dérivée x(t) = e −t/(2 τ)

((− A

2 τ+ B ωp

)cos ωp t +

(−A ωp − B

2 τ

)sin ωp t

)

Les conditions initiales x(0) = x0 et x(0) = 0 donnent

A = x0 et − A2 τ

+ B ωp = 0 d’où B =A

2 ωp τ=

x0

2 ωp τ

La solution est donc, avec ces conditions initiales,

x(t) = x0 e −t/(2 τ)

(cos ωp t +

12 ωp τ

sin ωp t

)

Remarque : si l’amortissement est vraiment très faible, donc τ très grand devant 1/ω0, onpeut écrire que ωp ≃ ω0 et que ωp τ ≪ 1, donc la solution est simplement

x(t) = x0 e −t/(2 τ) cos ω0 t

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3 Caractéristiques d’un oscillateur libre faiblement amorti

On parle de régime pseudo-périodique ou de régime sinusoïdal amorti. Voici une courbe typique :

t (s)

x (m)

— La pulsation propre de l’oscillateur est ω0 =

√k

m: c’est la pulsation des oscillations sans frottements.

— De même, la fréquence propre de l’oscillateur est f0 = ω0/(2π) et sa période propre est T0 = 2π/ω0.

— La constante de temps de l’oscillateur τ =m

λdétermine la rapidité de l’amortissement : plus τ est

petite, plus l’amortissement est rapide.— Le facteur de qualité de l’oscillateur est Q = ω0 τ . C’est un nombre sans dimension caractérisant le

taux d’amortissement de l’oscillateur. Dans le cas de l’oscillateur faiblement amorti donnant lieu à unrégime pseudo-périodique, Q est supérieur à 1/2.

— La pseudo-pulsation de l’oscillateur amorti est ωp = ω0

√1 − 1

4 Q2=

√ω0

2 − 14 τ2

.

— On définit également la pseudo-période de l’oscillateur amorti comme Tp =2πωp

. On utilise le qualificatif

de « pseudo » car le régime n’est pas périodique. De même, la pseudo-fréquence est fp = ω/(2π).— Si l’amortissement est faible (Q très grand devant 1/2 ou τ très grande devant 1/ω0), alors le régime est

presque périodique et ωp est très proche de ω0 (et Tp très proche de T0 = 2π/ω0).

Exercices 11 à 14

III Énergie des oscillateurs libres

Ci-après sont représentées les courbes de position x(t), de vitesse vx(t) et d’énergies de quelques oscillateurslibres faiblement amortis. On a considéré des pendules élastiques horizontaux ou verticaux, éventuellementamortis avec frottement fluide de Stokes. La position x est comptée par rapport à la position d’équilibre dupendule, la vitesse vx évaluée dans le référentiel terrestre. Les énergies sont :

— l’énergie cinétique Ec =12mx2 ;

— l’énergie potentielle élastique Epé =12k x2 ;

— l’énergie potentielle de pesanteur Epp = −mg x, qui ne varie que pour le pendule vertical, et dont laréférence est la position d’équilibre du pendule (il y a un signe moins car l’axe x est compté positif dansle sens de l’allongement du pendule, donc vers le bas pour un pendule élastique vertical) ;

— l’énergie mécanique Em = Ec + Epé + Epp, constante lorsque l’amortissement est nul.

Exemples d’expressions de l’énergie pour un pendule élastique horizontal sans frottements :on se place dans le cas d’un pendule élastique de raideur k, de masse m, étiré à l’instant initial de la longueurx0 et lâché sans vitesse initiale. On a montré les expressions de sa position et de sa vitesse :

x(t) = x0 cosω0 t et x(t) = −x0 ω0 sinω0 t

On en déduit les expressions de son énergie cinétique et de son énergie potentielle élastique :

Ec =12mx2 =

12mx0

2 ω02 sin2 ω0 t et Epé =

12k x2 =

12k x0

2 cos2 ω0 t

L’énergie potentielle de pesanteur étant constante pour un oscillateur horizontal, on en déduit l’expressionde l’énergie mécanique (sans oublier que ω0

2 = k/m, donc que mω02 = k) :

Em = Ec + Epé =12k x0

2 sin2 ω0 t+12k x0

2 cos2 ω0 t soit Em =12k x0

2

On constate bel et bien qu’en l’absence de frottements l’énergie mécanique est constante, égale à l’énergiedonnée par l’étirement initial du pendule.

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t

x

t

vx

t

EcEpéEppEm

t

x

t

vx

t

EcEpéEppEm

Oscillateur horizontal non amorti Oscillateur horizontal non amortix0 > 0 et x0 = 0 x0 = 0 et x0 > 0

t

x

t

vx

t

EcEpéEppEm

t

x

t

vx

t

EcEpéEppEm

Oscillateur horizontal non amorti Oscillateur vertical non amortix0 > 0 et x0 > 0 x0 > 0 et x0 = 0

23

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t

x

t

vx

t

EcEpéEppEm

t

x

t

vx

t

EcEpéEppEm

Oscillateur horizontal amorti Oscillateur horizontal amortix0 > 0 et x0 = 0 x0 > 0 et x0 < 0

t

x

t

vx

t

EcEpéEppEm

t

x

t

vx

t

EcEpéEppEm

Oscillateur vertical amorti, x0 > 0 et x0 < 0 Oscillateur vertical amorti, x0 < 0 et x0 = 0

Exercice 10

24

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czakExercice résolu

Énoncé

Un architecte épris des choses de la mer bâtit une maison étanche en forme de cube de côté a = 10,0 m,qu’il immerge dans l’océan.

La maison et tout l’équipement minimal qu’elle contient a une masse m = 100 tonnes. La masse volumiquede l’eau salée de l’océan est ρ = 1,07 × 103 kg.m−3. Tous les frottements éventuels seront supposés vérifier laloi de Stokes, quelle que soit la direction du mouvement ; le coefficient de proportionnalité entre la force et lavitesse est λ = 2,00 × 10−2 kg.s−1.

La maison est arrimée au fond de l’eau par l’intermédiaire du câble de raideur k = 9,00 × 105 N.m−1.Un gros poisson espiègle et curieux prend idée de jouer avec. La maison étant à sa position d’équilibre,

le gros poisson espiègle et curieux la pousse verticalement et vers le bas, en lui donnant une vitesse initialev0 = 5,00 m.s−1. La maison se met à osciller verticalement, le câble restant toujours tendu.

a. Déterminer l’équation différentielle du mouvement. L’écrire en faisant apparaître la constante de temps del’amortissement et la pulsation propre de l’oscillateur non amorti, dont on donnera les expressions.b. Calculer les valeurs de ces paramètres, ainsi que la période propre de l’oscillateur non amorti.c. Déterminer le mouvement de la maison et montrer que l’on peut considérer la pseudo-pulsation de l’oscillateuramorti comme égale à la pulsation propre de l’oscillateur non amorti.d. Calculer l’amplitude initiale du mouvement ainsi que la durée au bout de laquelle l’amplitude aura étédivisée par dix. Commenter ces valeurs du point de vue du confort de la maison.e. Parmi les courbes ci-dessous, déterminer celle qui peut représenter le mouvement de la maison et donner lesarguments qui éliminent les autres.

t

y

A

t

y

B

t

y

C

t

y

D

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. Ant

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Corrigé

a. On étudie la maison ramenée à son centre d’inertie G dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Onrepérera la position de G sur un axe (Ox) vertical vers le haut, d’origine sa position d’équilibre, muni d’un

vecteur unitaire−→i .

x

−→i

Gx

O −→F

−→P

−→Π−→

f

La maison subit :— son poids

−→P = m−→g ;

— la poussée d’Archimède−→Π = −ρ a3 −→g ;

— les frottements fluides−→f = −λ x−→

i ;

— la force de rappel du câble−→T = −k (ℓ− ℓ0)

−→i .

La deuxième loi de Newton s’écrit m−→a =−→P +

−→Π +

−→T +

−→f ou, en projection sur

−→i ,

mx = −mg + ρ a3 g − k (ℓ− ℓ0) − λ x

À l’équilibre, cette relation devient 0 = −mg + ρ a3 g − k (ℓéq − ℓ0)

où ℓéq est la longueur du câble à l’équilibre. En soustrayant les deux égalités membre à membre, il vient

mx = −k (ℓ− ℓéq) − λ x

Or, ℓ− ℓéq est la différence entre la longueur du câble et sa longueur à l’équilibre, donc c’est égal à x.On en déduit l’équation différentielle vérifiée par x :

mx = −k x− λ x qui s’écrit aussi x+1τx+ ω0

2 x = 0 en posant τ =m

λet ω0 =

√k

m

b. On calcule τ = 5,00 × 106 s et ω0 = 3,00 rad.s−1 puis T0 =2πω0

= 2,09 s.

c. On cherche les solutions sous la forme

x(t) = e −t/(2 τ) (A cosωp t+ B sinωp t) où ωp =

√ω0

2 − 14 τ2

En calculant ωp on constate que ωp = ω0 avec la précision disponible dans les données, donc on fera cetteapproximation légitime par la suite.Comme x(0) = 0, on a A = 0, donc

x(t) = B e −t/(2 τ) sinω0 t d’où x(t) = B e −t/(2 τ)

(ω0 cosω0 t− 1

2 τsinω0 t

)

La condition x(0) = −v0 (un moins car la vitesse initiale est vers le bas) donne −v0 = Bω0, d’où B = − v0

ω0.

Finalement on a x(t) = − v0

ω0e −t/(2 τ) sinω0 t

d. L’amplitude initiale du mouvement estv0

ω0= 1,67 m. C’est très grand et on doit avoir sacrément le mal de

mer dans cette maison.L’amplitude des oscillations est

v0

ω0e −t/(2 τ). Elle est divisée par dix lorsque e −t/(2 τ) est inférieur à 1/10, donc

lorsque t est supérieur à 2 τ ln 10 = 2,31 × 107 s, soit près de neuf mois... c’est absolument insupportable etinconfortable ; il faut absolument augmenter l’amortissement par un moyen ou un autre.

e. La position initiale est la position d’équilibre, ce qui élimine la courbe A.La vitesse initiale est vers le haut, donc x(0) est négative, ce qui élimine la courbe D.Le mouvement a un amortissement très faible, très long par rapport à la pseudo-période, donc sur quelquespseudo-périodes il ne se voit quasiment pas, ce qui élimine la courbe B.La bonne courbe est la courbe C.

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czakExercices

Oscillateurs harmoniques

1 Pendule élastique horizontal : autres conditions initiales

Reprendre l’étude du pendule élastique horizontal (étude mécanique, tracé de la solution) pour les conditionssuivantes :a. Le pendule est comprimé d’une longueur d et lâché sans vitesse initiale.b. Le pendule n’est pas comprimé et est lancé avec une vitesse de norme v0 dans le sens de l’étirement.c. Le pendule n’est pas comprimé et est lancé avec une vitesse de norme v0 dans le sens de la compression.d. Le pendule est étiré de x0 et est lancé avec une vitesse de norme v0 dans le sens de l’étirement.

2 Petites oscillations d’un pendule simple

Un point matériel de masse m est accroché à un fil inextensible de longueur L attaché à un point fixe à sonautre extrémité.

On négligera toute action de l’air et on considérera que les oscillations sont de petite amplitude (si θ estpetit et en radians, alors sin θ ≃ tan θ ≃ θ).

a. On écarte un peu ce pendule simple de la verticale d’un angle θ0 et on le laisse osciller.Déterminer le mouvement du point en traçant θ(t), angle entre le pendule et la verticale, au cours du temps.b. Faire de même dans le cas où le pendule est lancé, à partir de sa position d’équilibre, avec une vitessehorizontale de norme v0.

3 Taipei 101

L’oscillation d’un pendule de longueur L dans le champ de pesanteur de norme g a pour pulsation propre

ω0 =√g

L. L’immeuble Taipei 101, présenté en introduction, contient un pendule destiné à limiter les oscillations

du sommet de la tour. Pour être efficace, ce pendule doit avoir une période propre T0 = 6,8 s.Déterminer sa longueur.

4 Mouvement circulaire d’un satellite

Soit un satellite de masse m (ramené à son centre d’inertie G) en mouvement circulaire de rayon R autourd’un astre attracteur de masse M centré en O.

La force gravitationnelle exercée par l’astre sur le satellite s’écrit−→F = −G mM

R3

−−→OG, où G est la constante

de la gravitation universelle.

a. Déterminer l’équation différentielle vectorielle vérifiée par−−→OG, puis la résoudre sur chacun des axes.

b. Déterminer la période T du mouvement et la vitesse du satellite ; retrouver la troisième loi de Kepler.

5 Le bouchon

Un cylindre de masse m flotte à la surface d’une grande étendue d’eau. On notera S la superficie de la basedu cylindre, x la hauteur de cylindre immergée, ρ la masse volumique de l’eau. On supposera que l’axe ducylindre reste toujours vertical au cours du mouvement et que le cylindre n’est jamais totalement immergé nijamais hors de l’eau. On négligera tout frottement fluide.

À un instant donné, on enfonce le cylindre d’une hauteur h par rapport à sa position d’équilibre, puis on lelâche sans vitesse initiale. Déterminer l’expression de x(t).

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6 Et que ça saute

Un plateau horizontal de masse M est posé sur un ressort de raideur k et de longueur à vide ℓ0. Sur leplateau est posé un objet de masse m.

À un instant donné, on appuie sur le plateau pour comprimer le ressort d’une longueur x0, puis on le lâchesans vitesse initiale. On veut savoir à quelle condition il y a décollage de l’objet posé sur le plateau au cours dumouvement de celui-ci. On supposera que le mouvement du plateau reste vertical.

a. Étudier le mouvement du système plateau+objet en supposant que l’objet reste en permanence en contactavec le plateau : établir l’équation différentielle du mouvement puis la résoudre.b. Étudier ensuite le mouvement de l’objet seul lorsqu’il reste en contact avec le plateau, de manière à exprimerla norme N de la réaction du plateau.c. La condition de non-décollement s’écrit N > 0 : en déduire un majorant de x0.

7 Dans un tunnel

Une planète sphérique homogène de masse volumique ρ est percée d’un tunnel rectiligne ne passant pasforcément par son centre. À l’intérieur de la planète, à la distance r de son centre, le champ de gravitation,

radial et dirigé vers son centre, a pour norme g =43π ρG r.

Un objet glisse sans frottements dans le tunnel. On repère sa position sur un axe (Ox).

C

O x

a. Établir l’équation différentielle de la position de l’objet.b. Déterminer l’expression de la période de ses oscillations.c. La comparer à la période de révolution d’un satellite évoluant très près de la surface de la planète.

8 Une planche sur des cylindres tournants

Une planche est posée sur deux cylindres identiques horizontaux, en rotation à vitesse constante, en sensinverse l’un de l’autre. On supposera qu’il y a glissement de la planche en permanence sur les deux cylindres ; lecoefficient de frottement sera noté µ. On supposera que la planche ne bascule jamais. On notera 2 ℓ la distanceentre les axes des deux cylindres. On se place dans le cas où les deux rotations ont pour effet de ramener laplanche vers le centre.

2 ℓ

Gx

O

a. En introduisant les forces nécessaires, faire l’étude mécanique de la planche : écrire la deuxième loi de Newton,la loi de Coulomb de glissement pour les deux contacts et l’équilibre en rotation.b. En déduire l’équation différentielle vérifiée par la position x du centre de gravité de la planche.c. Montrer que celle-ci subit un mouvement oscillant de pulsation

√µ g/ℓ.

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9 Le funiculaire de Fourvière

Lyon a été la première ville au monde à se doter, en 1862, d’un funiculaire urbain, allant de la rue Terme àla Croix-Rousse, arrêté en 1967. On compta à Lyon jusqu’à cinq funiculaires ; il en reste deux aujourd’hui, sanscompter celui de la place Croix-Pâquet à la Croix-Rousse, transformé en métro C. Outre celui de la rue Terme,celui de Saint-Paul à Fourvière a également disparu. Il reste en fonctionnement le funiculaire de Saint-Jean àSaint-Just et le funiculaire de Saint-Jean à Fourvière, dont il est question ici.

Le funiculaire de Fourvière, reliant le Vieux-Lyon à la colline de Fourvière, présente une longueur de 427 mpour une déclivité totale de 116 m. La masse maximale de la voiture en exploitation est m = 13 tonnes, lamasse de la voiture à vide est m0 = 7,0 tonnes. On négligera tout frottement solide ou fluide.

Le câble de traction est en acier, de constante de raideur k = 2,3 × 105 N.m−1.

a. En supposant les rails rectilignes, déterminer leur inclinaison α par rapport à l’horizontale.b. La voiture est à la station basse, à l’équilibre, et les passagers y montent, jusqu’à atteindre la masse maximaleadmissible. Déterminer de quelle distance la position d’équilibre est déplacée.c. La voiture étant chargée à bloc, descend la pente et arrive à la station basse. En supposant qu’elle arrive à savitesse maximale v0 = 16 km.h−1, déterminer l’amplitude des oscillations qui résulteraient de son arrêt brutal.Conclure sur la nécessité d’un arrêt progressif.

10 Ça oscille dans l’ascenseur

Un ressort de longueur à vide ℓ0 et de raideur k est accroché au plafond d’un ascenseur. On y suspend unobjet de masse m. L’ascenseur démarre avec l’accélération de norme a1 constante vers le haut.

L’objet étant initialement immobile, déterminer son mouvement dans le référentiel de l’ascenseur.

11 Énergie d’un pendule pesant

Un pendule pesant est constitué par un point matériel de masse m fixé au bout d’une tige rigide sans massede longueur L pouvant pivoter sans frottement autour d’un point fixe. Toute action de l’air est négligée. Lependule est repéré par l’angle θ par rapport à l’horizontale.

a. Écrire l’expression en fonction de θ des énergies potentielle de pesanteur, cinétique et mécanique.b. Retrouver l’équation différentielle du mouvement en dérivant l’énergie mécanique par rapport au temps.c. Déterminer la vitesse à donner au pendule initialement à l’équilibre pour lui faire faire un quart de tour.Même question pour un demi-tour.d. Le pendule est lâché d’un angle θ0 sans vitesse initiale. Déterminer sa vitesse au passage à la positiond’équilibre.e. Tracer l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur en fonction de θ. En fonction des différentes valeursde l’énergie mécanique, déterminer les cas possibles.

Oscillateurs amortis

12 Pendule élastique amorti

Résoudre le problème du pendule élastique horizontal amorti avec les paramètres suivants : raideur du ressortk = 4,0 N.m−1, coefficient de frottement fluide λ = 0,010 kg.s−1, masse m = 6,0 kg.

À l’instant initial l’ensemble est à la position d’équilibre et est lancé avec une vitesse initiale v0 = 0,50 m.s−1

dans le sens de la compression du ressort.On donnera la position x(t) du pendule et on tracera la courbe.

13 Pendule pesant amorti

Une sphère de rayon r = 5,0 cm et de masse volumique ρ = 1,2×103 kg.m−3 est suspendue à une ficelle reliéeà un point fixe. L’ensemble constitue un pendule de longueur L = 1,0 m. On supposera le modèle de frottementsfluides de Stokes valide (coefficient de frottements égal à 6π η r, la viscosité de l’air étant η = 1,8 × 10−5 Pa.s).

À un instant choisi comme origine des dates, le pendule est écarté de sa position d’équilibre d’un angleθ0 = 10 et lâché sans vitesse initiale. On donne le volume d’une boule de rayon r : V = 4π r3/3.

a. Établir l’équation différentielle du mouvement en faisant l’approximation des petits angles.b. La résoudre littéralement et tracer θ(t) pour dix pseudo-périodes.c. Au bout de combien de temps l’amplitude des oscillations est-elle inférieure à 1 ?

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14 On s’accroche

En escaladant un toit, une étudiante maladroite tombe. Heureusement, elle était encordée et, après unehauteur ℓ0 de chute, la corde se tend.

On notera m la masse de l’étudiante, −→g le champ de pesanteur uniforme. Toute action de l’air sera négligée.

a. Montrer que la vitesse acquise par l’étudiante lorsque la corde se tend est v0 =√

2 g ℓ0.b. La corde d’escalade vérifie la loi de Hooke et peut être assimilée, lorsqu’elle est tendue, à un ressort de raideurk et de longueur à vide ℓ0. Les dissipations au sein de la corde seront modélisées par une force de frottementfluide supposée proportionnelle à la vitesse de l’étudiante et on notera λ le coefficient de proportionnalité.On notera ℓ la longueur de la corde au cours du mouvement de l’étudiante. Montrer qu’elle vérifie l’équation

différentielle md2ℓ

dt2= mg − k (ℓ− ℓ0) − λ

dℓdt

.

c. On pose y = ℓ − ℓéq, où ℓéq est la longueur de la corde à l’équilibre. Montrer que l’équation différentiellevérifiée par y est de la forme y + y/τ + ω0

2 y = 0, où l’on précisera les expressions de τ et ω0.d. On supposera que ω0 τ est suffisamment grand pour que l’on puisse rechercher les solutions, lorsque la cordeest tendue, sous la forme y(t) = e −t/(2 τ) (A cosω0 t+ B sinω0 t), où t = 0 s est l’instant où la corde se tend.En utilisant les conditions initiales, exprimer A et B.e. Dessiner l’allure de y(t) si l’on suppose que la corde reste toujours tendue.f. À quelle condition cette hypothèse est-elle vérifiée ? Vous paraît-elle réaliste ici ?

15 Décrément logarithmique

On considère un oscillateur amorti de faible amortissement, repéré par sa grandeur vibratoire x(t), vérifiant

l’équation différentielle x+1τx+ ω0

2 x = 0. Il est en régime pseudo-périodique de pseudo-période T.

On appelle décrément logarithmique la quantité δ = lnx(t)

x(t+ T).

a. Exprimer δ en fonction de ω0 et τ . Exprimer ensuite le facteur de qualité Q = ω0 τ en fonction de δ.b. Mesurer sur le graphe ci-dessous T et δ le plus précisément possible. En déduire Q, ω0 et τ pour cet oscillateur.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t (s)

−1

−0,5

0

0,5

1

x (

m)

16 Oscillateur amorti avec frottements solides

Un pendule élastique horizontal comporte un ressort de raideur k = 10 N.m−1 et de longueur à vide ℓ0,auquel est accroché d’un côté une masselotte de masse m = 50 g, glissant sur le support horizontal. On supposerales frottements fluides négligeables, mais pas les frottements solides. Le coefficient de frottement est µ = 0,50 (onsupposera que µ est à la fois le coefficient de frottement statique et le coefficient de frottement de glissement).

a. Établir l’équation différentielle du mouvement en distinguant deux cas, selon que le ressort voit sa longueurdiminuer ou augmenter. On fera apparaître d = µ g/ω0

2, où ω0 =√k/m est la pulsation propre du système.

b. À l’instant initial, on allonge le ressort de x0 = 20 cm et on lâche le tout sans vitesse initiale. Montrer quejusqu’à t = T0/2 (où T0 = 2π/ω0), l’élongation du ressort vérifie x = (x0 − d) cosω0 t+ d.Déterminer x(T0/2) en fonction de x0 et d, puis calculer sa valeur numérique.c. Déterminer de même x(t) pour T0/2 6 t 6 T0. En déduire x(T0).d. Faire de même pour T0 6 t 6 3 T0/2. Calculer x(3 T0/2). Puis pour 3 T0/2 6 t 6 2 T0 ; calculer x(2 T0).e. Calculer, à t = 2 T0, la norme de la force de frottements solides et la norme de la force de rappel du ressort.Expliquer pourquoi le mouvement s’arrête à ce moment-là.f. Tracer ainsi l’évolution de x(t).

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czakChapitre 3

Oscillations mécaniques forcées

Un oscillateur est en régime forcé si un excitateur force les oscillations de l’oscillateur à se produire àune fréquence imposée. Il peut en résulter un phénomène de résonance déjà évoqué pour les séismes.

Le Millenium bridge, passerelle pié-tonne franchissant la Tamise à Londres,a ouvert en 2000 et a été fermé troisjours après son utilisation.

En effet, il fut constaté que le pontse balançait latéralement et que les pié-tons, pour ne pas se casser la figure etaussi par adaptation naturelle au mou-vement, se mettaient à marcher avec lamême cadence que les oscillations. Celaconstituait un excitateur de la mêmefréquence que la fréquence propre dupont, conduisant à une amplification dumouvement.

Le pont a dû être fermé deux anspour travaux d’installation de lest et devérins hydrauliques.

Ci-dessus, le Millenium bridge aujourd’hui (Wikimedia Commons).Ci-dessous, le même lors de sa destruction par les mangemorts dans Harry Potter et le Prince de sang-

mêlé. Noter qu’en réalité, les vibrations constatées lors de la première ouverture n’étaient pas verticales maishorizontales.

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3. Oscillations mécaniques forcées Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021

I Systèmes oscillants en régime forcé

1 Équation différentielle d’un oscillateur forcé

−→i x

•O

x

vibreur

e(t)ℓ

−→F

−→f

−→P

−→N

On considère un pendule élastiquehorizontal amorti, mais l’extrémité duressort est reliée à un vibreur dont ledéplacement horizontal est e(t).

On étudie le solide ramené à soncentre d’inertie G dans le référentielterrestre supposé galiléen.

O est la position d’équilibre de G.Le solide subit son poids

−→P , la réaction normale du support

−→N, les frottements

−→f = −λ x

−→i

et la force de rappel du ressort−→F = −k (ℓ − ℓ0)

−→i .

La deuxième loi de Newton m −→a =−→P +

−→F +

−→N +

−→f s’écrit, en projection sur

−→i ,

m x = −k (ℓ − ℓ0) − λ x

La longueur ℓ du ressort pour une position quelconque est ℓ = ℓ0 + x − e. D’où

m x = −k x + k e − λ x ou encore x +1τ

x + ω02 x = ω0

2 e

où l’on a posé comme d’habitude τ =m

λet ω0 =

√k

m.

Plaçons-nous dans le cas où l’excitation est sinusoïdale, de pulsation ω imposée par l’opé-rateur : on pose e(t) = E cos ω t, où E est l’amplitude de l’excitation, également imposée parl’opérateur. L’équation à résoudre est donc

x +1τ

x + ω02 x = E ω0

2 cos ω t

2 Solutions de l’équation différentielle en régime permanent

Les solutions de l’équation différentielle homogène, c’est-à-dire de l’équation sans second membre

x+x

τ+ ω0

2 x = 0

sont, on l’a vu, toutes des solutions tendant vers zéro pour les temps très longs, et ce quelles que soient lesconditions initiales et quel que soit le régime envisagé. Une fois le régime transitoire terminé, ces solutionspropres ne se font plus sentir.

On admettra alors qu’une fois le régime transitoire terminé, l’oscillateur connaît une vibration de mêmepulsation que l’excitation, avec seulement un certain déphasage ϕ. L’amplitude X de cette solution, ainsique ϕ, dépendent de la pulsation excitatrice ω et sont à déterminer.

On cherche donc les solutions sous la forme

x(t) = X cos(ω t+ ϕ)

3 Résolution

En injectant cette forme de solution dans l’équation différentielle, il vient

−ω2 X cos(ω t+ ϕ) − ω

τX sin(ω t+ ϕ) + ω0

2 X cos(ω t+ ϕ) = Eω02 cosω t

soit (ω02 − ω2) X cos(ω t+ ϕ) − ω

τX sin(ω t+ ϕ) = Eω0

2 cosω t

Ceci est vrai pour tout t. On peut choisir en particulier ω t = −ϕ et ω t = −ϕ+π

2, ce qui donne les égalités

(ω02 − ω2) X = Eω0

2 cosϕ et −ω

τX = Eω0

2 sinϕ

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021 3. Oscillations mécaniques forcées

Ces deux conditions fournissent bien la même valeur de X si la phase ϕ satisfait à la relation obtenue en lesdivisant l’une par l’autre :

tanϕ =−ω

τω0

2 − ω2

Les amplitudes X et E étant, par convention, des quantités positives, la relation donnant sinϕ écrite ci-dessus nous indique que sinϕ est négatif. Parmi les solutions de l’équation avec tanϕ ci-dessus, nous devonsdonc choisir celles qui sont comprises entre −π et 0 : ainsi, sinϕ reste négatif (mais pas tanϕ).

Nous obtenons la valeur de l’amplitude X en élevant au carré les relations avec cosϕ et sinϕ ci-dessus, eten les additionnant membre à membre. Ainsi, ϕ disparaît car cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1. Cela donne

[(ω0

2 − ω2) X]2

+[−ω

τX]2

= E2 ω04

On en déduit X2 =E2 ω0

4

ω2

τ2+ (ω0

2 − ω2)2

d’où il vient X =Eω0

2

√ω2

τ2+ (ω0

2 − ω2)2

4 Autre résolution avec utilisation du formalisme complexe

On va « passer en complexes », c’est-à-dire remplacer la fonction inconnue réelle x(t) par lafonction inconnue complexe x(t), avec x(t) = Re (x(t)).

Comme cos ω t = Re (e i ω t), l’équadif vérifiée par la fonction complexe x est donc

x +1τ

x + ω02 x = E ω0

2 e i ω t

Au lieu de chercher des solutions en x(t) = X cos(ω t + ϕ), cherchons-les sous la forme

x(t) = X e i ω t où X = X e i ϕ

Les dérivées de x sont

x(t) = i ω X e i ω t et x(t) = −ω2 X e i ω t

En injectant ceci dans l’équation différentielle modifiée, il vient

−ω2 X e i ω t +1τ

i ω X e i ω t + ω02 X e i ω t = E ω0

2 e i ω t

qui donne X(

(ω02 − ω2) + i

ω

τ

)= E ω0

2

d’où l’amplitude complexe X =E ω0

2

(ω02 − ω2) + i

ω

τL’amplitude réelle est X = |X|, soit

X =E ω0

2

√

(ω02 − ω2)2 +

ω2

τ 2

Pour obtenir la phase ϕ = arg(X), il faut manipuler un peu : on a X de la forme

X =c

a + i bou encore X =

c (a − i b)a2 + b2

c’est-à-dire X =c a

a2 + b2+ i

−c b

a2 + b2

Or, X = X (cos ϕ + i sin ϕ) d’où X cos ϕ =c a

a2 + b2et X sin ϕ =

−c b

a2 + b2

ce qui donne tan ϕ = − b

asoit ici tan ϕ =

−ω

τω0

2 − ω2si ω 6= ω0

Si ω = ω0, a = 0 donc cos ϕ = 0, et b est positif donc sin ϕ est négatif. Donc ϕ = −π

2.

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II Étude des solutions pour le déplacement

1 Solutions pour le déplacement

On a montré que les solutions de l’équation différentielle d’un oscillateur forcé

x+1τx+ ω0

2 x = Eω02 cosω t

sont, en régime permanent, de la forme x(t) = X cos(ω t+ ϕ)

avec X =Eω0

2

√ω2

τ2+ (ω0

2 − ω2)2

et tanϕ =−ω

τω0

2 − ω2

On peut tout réécrire en faisant intervenir le facteur de qualité Q = ω0 τ et en faisant apparaître u =ω

ω0:

XE

=1√

u2

Q2+ (1 − u2)2

et tanϕ = − 1Q

11u

− u

2 Pulsation de résonance

X est maximale si la quantité figurant sous la racine carrée au dénominateur est minimale : X est maximale

si la quantité Y =ω2

τ2+ (ω0

2 − ω2)2 est minimale.

Dérivons cette quantité par rapport à ω2 pour savoir pour quelle valeur de ω2 elle est minimale :

dYdω2

=1τ2

− 2 (ω02 − ω2)

Cette dérivée est nulle si ω2 = ω02 − 1

2 τ2, donc l’amplitude X est maximale pour ω = ωr telle que

ωr =

√ω0

2 − 12 τ2

Réécrit avec le facteur de qualité Q = ω0 τ , ceci s’écrit

ωr = ω0

√1 − 1

2 Q2

C’est la pulsation pour laquelle l’amplitude X est maximale. Cette pulsation ωr est nommée pulsation derésonance. Si on excite un oscillateur à sa pulsation de résonance, son amplitude devient très élevée : c’est lephénomène de résonance.

Réonance pour un oscillateur non amorti

Pour un oscillateur non amorti, les frottements sont nuls donc τ est infini (ou Q est infini).Alors la résonance a lieu pour ωr = ω0 exactement. On constate que X, pour ω = ω0, devient infini dans

ce cas : si l’on excite un oscillateur non amorti à sa pulsation propre, l’amplitude des oscillations résultantesdevient infinie.

Ceci n’est en toute rigueur qu’une vue de l’esprit. En effet, d’une part les oscillateurs non amortis n’existentpas vraiment. Et d’autre part, si l’amplitude des oscillations devient trop grande, il est inévitable que les loislinéaires utilisées (comme la loi de Hooke dans le cas du système solide-ressort) ne sont pas valables.

Résonance pour un oscillateur très faiblement amorti

Pour un amortissement faible mais non nul, c’est-à-dire pour τ très élevé (ou Q très élevé), on constate belet bien que X devient très grand autour de la pulsation de résonance ωr, qui est voisine de la pulsation propreω0 de l’oscillateur.

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021 3. Oscillations mécaniques forcées

3 Amplitude maximale à la résonance

Pour ω = ωr =

√ω0

2 − 12 τ2

, l’amplitude des oscillations prend la valeur maximale

Xmax = X(ωr) =Eω0

2

√ωr

2

τ2+ (ω0

2 − ωr2)2

Plaçons-nous dans le cas où l’amortissement est très faible. Alors τ est très grand, Q est très grand et ωr

est environ égal à ω0. Il vient

Xmax = Eω0 τ ou encoreXmax

E= Q

On voit ici que le facteur de qualité est une mesure de la réponse maximale de l’oscillateur à la résonance.

4 Acuité de la résonance

En outre, on peut chercher à quel point la résonance est large, c’est-à-dire si le pic d’amplitude est fin oularge. Pour cela, calculons les valeurs de ω pour lesquelles X vaut une fraction de Xmax donnée. Par convention,on recherche ω pour lesquelles

X(ω) =Xmax√

2c’est-à-dire

Eω02

√ω2

τ2+ (ω0

2 − ω2)2

=Eω0 τ√

2

D’oùω2

τ2+ (ω0

2 − ω2)2 =2ω0

2

τ2ou encore ω4 + ω2

(1τ2

− 2ω02

)+ ω0

4 − 2ω0

2

τ2= 0

Cette équation du deuxième degré en ω2 a pour solutions

ω2 = ω02 − 1

τ2+

√1

4 τ2+ω0

2

τ2et ω2 = ω0

2 − 1τ2

−√

14 τ2

+ω0

2

τ2

Mais ceci peut se simplifier lorsqu’on suppose τ est très grand : les solutions approchées sont donc

ω2 = ω02 +

ω0

τet ω2 = ω0

2 − ω0

τ

qui s’écrit aussi ω2 = ω02

(1 +

1Q

)et ω2 = ω0

2

(1 − 1

Q

)

En prenant la racine carrée de ces deux solutions, et compte tenu du fait que Q est très grand, on faire ledéveloppement limité suivant :

ω = ω0

(1 +

12 Q

)et ω = ω0

(1 − 1

2 Q

)dont la différence est ∆ω =

ω0

Q

On peut ainsi en déduire une mesure de l’acuité de la résonance, d’autant plus grande que le pic derésonance est fin :

ω0

∆ω= Q

On le voit, dans le cas d’un oscillateur très faiblement amorti, on a montré que le facteur de qualité estune mesure de l’acuité de la résonance.

5 Phase

On l’a vu, tanϕ =−ω/τ

ω02 − ω2

et ϕ varie entre −π et 0.

Pour ω → 0, ϕ → 0− car tanϕ est alors négative. Pour les faibles pulsations excitatrices, la réponse dupendule est donc une oscillation de même amplitude que l’excitation (car X → E pour ω → 0) et en phase aveccelle-ci (car ϕ → 0).

Pour ω → +∞, ϕ → −π+ car tanϕ est alors positive. Comme par ailleurs X → 0, pour les très grandespulsations excitatrices, la réponse du pendule est donc une oscillation de très faible amplitude et en oppositionde phase avec l’excitation.

Pour ω = ω0, sa tangente devient infinie, donc ϕ est égale à −π/2. On en déduit qu’à la résonance, laréponse en amplitude de l’oscillateur est en quadrature de phase avec l’excitation (quand l’excitation est àun maximum, le pendule passe par l’équilibre, et vice-versa).

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czak


6 Courbes

Ci-après, les courbes de X/E et ϕ en fonction de ω/ω0 pour différentes valeurs de Q.

0,5 1 1,5 2

w/w00

2

4

6

8

10

X/EQ=0,6

Q=2

Q=4

Q=10

Q=1000

0,5 1 1,5 2

w/w0

3,14

1,57

,00phi

III Solutions pour la vitesse

On détermine de même en dérivant x(t) l’amplitude et la phase de la vitesse. En notant x = V cos(ω t+ψ),le calcul donne

V =Eω ω0

2

√ω2

τ2+ (ω0

2 − ω2)2

ouV

Eω0=

1√1

Q2+(

1u

− u

)2et tanψ =

ω02 − ω2

ω

τ

= Q(

1u

− u

)

La vitesse admet également une résonance (à ω = ω0 exactement) et est en avance de phase par rapport àla position : ψ = ϕ+ π/2. Ci-après, les courbes de V et ψ en fonction de ω/ω0 pour différentes valeurs de Q.

0,5 1 1,5 2

w/w0

V

Q=0,6

Q=2

Q=4

Q=10

Q=1000

0 0,5 1 1,5 2

w/w0

1,57

,00

1,57

psi

Exercices 1 à 4

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Énoncé

Les structures régulières de génie civil peuvent être modélisées par un modèle dit « de brochette ». Il consisteà réduire les structures à des masses concentrées, reliées entre elles par des éléments sans masse représentant larigidité latérale de la structure.

Ainsi, un immeuble, une tour, une cheminée, peuvent être modélisées en première approche comme illustréci-dessous, au repos et en déplacement latéral de valeur x (à gauche, un schéma des situations réelles pour unimmeuble, à droite la modélisation). Le but de l’exercice est d’étudier le comportement d’un tel oscillateur, enoscillations libres d’abord, puis en oscillations forcées sous l’effet d’un séisme.

m x

La masse équivalente sera notée m. Les effets de rigidité du bâtiment se manifestent par une force de rappelhorizontale que l’on considère comme proportionnelle au déplacement x ; sa norme est donc k |x|, où k est unesorte de constante de raideur dont la valeur dépend des matériaux utilisés et de la géométrie du bâtiment. Laréaction normale du sol sera modélisée par une force verticale.

1. On se place d’abord dans le cas fictif où aucun frottement ou amortissement ne s’exercerait.

a. Établir l’équation différentielle vérifiée par x(t). On exprimera ω0, pulsation propre du système.

b. Une rafale de vent donne, à un instant choisi comme origine des dates, une vitesse latérale de norme v0 aubâtiment qui était à sa position d’équilibre. Déterminer x(t) et tracer les allures de x(t) et x(t).

c. Soit un immeuble pour lequel m = 10 kilotonnes et k = 8,1 × 106 N.m−1. Déterminer sa période propre T0

et sa fréquence propre f0.

2. On complète à présent le modèle en tenant compte des frottements. Dans le modèle de brochette, tous lesfrottements fluides ou solides sont modélisés par un modèle de Stokes, c’est-à-dire une force horizontale opposéeau mouvement, proportionnelle à la vitesse dans le référentiel du sol x. Le coefficient de proportionnalité cdépend de la géométrie du bâtiment et des matériaux employés, entre autres.

a. Établir l’équation différentielle vérifiée par x(t). On exprimera τ , constante de temps de l’amortissement.

b. Déterminer x(t) dans le cas de la question 1.b ci-dessus, mais cette fois avec amortissement supposé faible(de sorte que le régime sera pseudo-périodique de pulsation presque égale à ω0).

3. Sous l’effet d’un séisme, le sol bouge horizontalement. On modélisera les déplacements horizontaux du solpar un déplacement u(t) = U cosω t du référentiel du sol par rapport au référentiel terrestre.

a. Montrer que l’équation différentielle du mouvement s’écrit x+ x/τ + ω02 x = Uω2 cosω t.

b. On écrit la solution réelle en régime permanent sous la forme x(t) = X cos(ω t + ϕ). Par une méthode devotre choix, déterminer les expressions de X et de tanϕ en fonction de ω, ω0, τ et U.

c. Tracer l’allure de X en fonction de ω.

d. Dans le cas d’un oscillateur non amorti, dire pour quelles pulsations d’excitation le bâtiment vibre enopposition de phase avec le sol.

e. Les fréquences courantes des séismes se situent entre 0 Hz et 35 Hz. Comment choisir les paramètres deconstruction du bâtiment ?

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Corrigé

1. a. On étudie la masse m représentant l’immeuble, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle subit la

force de rappel−→F horizontale, de norme k |x|, son poids

−→P et la réaction normale du sol

−→N, supposée verticale.

La deuxième loi de Newton s’écrit m−→a =−→F +

−→P +

−→N ce qui, en projection sur un axe horizontal, s’écrit

mx = −k x. On peut l’écrire x+ ω02 x = 0, en posant ω0 =

√k/m.

b. On cherche les solutions sous la forme x(t) = A cosω0 t+B sinω0 t. À l’instant initial t = 0 s, le déplacementest nul, donc x(0) = 0 = A. On a donc x(t) = B sinω0 t. La vitesse est x(t) = Bω0 cosω0 t. À l’instant initial,x(0) = v0, ce qui donne B = v0/ω0. La solution est donc finalement x(t) = (v0/ω0) sinω0 t.Les tracés de x(t) et x(t) peuvent être trouvés dans le cours du chapitre sur les oscillateurs libres, le deuxièmeensemble de courbes (oscillateur horizontal non amorti avec x0 = 0 et x0 > 0).

c. La période propre de l’oscillateur est T0 =2πω0

= 2π√m

k= 7,0 s.

La fréquence propre de l’oscillateur est f0 =1

T0= 0,14 Hz.

2. a. À l’étude ci-dessus, on ajoute une force supplémentaire−→f de frottements de Stokes. La deuxième loi de

Newton projetée horizontalement s’écrit à présent mx = −k x− c x. On en déduit l’équation différentielle

x+1τx+ ω0

2 x = 0 où l’on a posé τ =m

c

b. On cherche à présent les solutions sous la forme x(t) = e −t/(2 τ) (A cosω0 t+ B sinω0 t). Comme précédem-ment, la condition x(0) = 0 donne A = 0. On dérive ensuite pour obtenir la vitesse

x(t) = B e −t/(2 τ)

(− 1

2 τsinω0 t+ ω0 cosω0 t

)

et la condition initiale x(0) = v0 donne là aussi B = v0/ω0. On en déduit finalement que

x(t) =v0

ω0e −t/(2 τ) sinω0 t

3. a. Cette fois-ci le référentiel du sol n’est pas galiléen. Il subit une accélération d’entraînement u par rapportau référentiel terrestre. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l’expression de la deuxième loi de Newton

de l’étude ci-dessus reste valable : m−→a =−→P +

−→N +

−→F +

−→f . Mais cette fois-ci, en projection sur l’axe horizontal,

l’accélération ax dans le référentiel terrestre est égale à x (accélération dans le référentiel du sol non-galiléen)plus l’accélération d’entraînement u. En revanche, l’amortissement dépend de la vitesse relative x et pas de lavitesse absolue x+ u.

Cela donne m (x+ u) = −k x− c x d’où x+x

τ+ ω0

2 x = −u = Uω2 cosω t.

b. On passe en complexes pour rechercher x(t) sous la forme de la partie réelle de x(t) = X e i ω t. Alorsx = iωX e iω t et x = −ω2 X e i ω t.

L’équation différentielle devient(ω0

2 − ω2 + iω

τ

)X = Uω2

ce qui donne finalement X, puis

X = |X| =Uω2

√(ω0

2 − ω2)2 +ω2

τ2

et tanϕ = tan(arg X) =−ω

τω0

2 − ω2

c. Tracé de l’allure de X, voir le cours (ce n’est pas tout à fait l’allure du cours, car X → 0 quand ω → 0 etX → 1 quand ω → +∞, mais il y a une résonance voisine de ω = ω0).

d. Si l’oscillateur est non amorti, alors X est réel et vautUω2

ω02 − ω2

. Il y a opposition de phase entre x et u

lorsque X est réel négatif, donc quand ω > ω0, donc aux hautes fréquences.

e. Il faut choisir les paramètres de construction de manière à ne jamais atteindre la résonance, donc de sorteque ω0 soit loin des valeurs de ω correspondant à des fréquences de séismes.

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czakExercices

1 Principe d’un sismographe

Un sismographe est modélisé par une masse m, pendue à un ressort de raideur k et de longueur à vide ℓ0,lié à son extrémité haute à un bâti solidaire du sol. La masse tient le stylo qui écrit sur le papier enregistreur.On supposera que l’ensemble n’est soumis à aucun frottement.

Dans le référentiel terrestre, le sol et le bâti sont mis en mouvement sous l’effet d’un séisme. On noteraY(t) l’écart vertical entre la position du bâti et sa position d’équilibre. On modélise la vibration du sol parY(t) = Y0 cosω t.

On notera y(t) l’altitude du stylo au-dessus du sol.

a. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par y.

b. On note yéq la valeur de y à l’équilibre en l’absence de séisme. En posant z = y− yéq, déterminer l’équationdifférentielle vérifiée par z.

c. En notation complexe, on pose z = z0 e i ω t. Déterminer l’expression du module et de l’argument de z0.

d. Discuter de la meilleure manière de choisir les paramètres pour que ce dispositif fonctionne en sismographe.

2 Un jeu d’enfant

Un jeu de jardin d’enfants est constitué d’un rail en arc de cercle, sur lequel coulisse une planche où montel’enfant, qui peut ensuite s’agripper à un pilier vertical pour créer un mouvement. (photo C. Ursini 2016).

On notera R le rayon du rail, O le centre du cercle formé par le rail, m la masse de l’ensemble enfant+planche, qui sera ramené à un point M glissant sur le rail sans frottements solides. La position du point M serarepérée par l’angle θ entre (OM) et la verticale descendante.

On supposera dans un premier temps que tout frottement fluide est négligeable et que l’enfant n’a pas decontact avec le pilier vertical.

a. Faire un schéma de principe avec toutes les grandeurs utiles.

b. Établir l’équation différentielle vérifiée par θ. On fera l’approximation des petits angles tan θ ≃ sin θ ≃ θ enradians.Déterminer la période propre T0 pour R = 5,0 m.

c. En tentant d’entretenir son mouvement par contact avec le pilier vertical, l’enfant crée une force supplémen-taire ; il s’agit en fait d’un couple, mais on modélisera cela par une force orthoradiale de coordonnée orthoradialeF cosω t.Établir l’équation différentielle du mouvement dans ce cas.

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d. Déterminer l’expression de l’amplitude et de la phase du mouvement en régime permanent.

e. Que manque-t-il à cette modélisation pour être plus réaliste ?

3 Bateau sur l’eau

Un bateau sur la mer est modélisé par un parallélépipède de masse m, de section horizontale S et de hauteurH. On supposera que son mouvement reste vertical, la face de section S restant toujours horizontale. On noteraρ la masse volumique de l’eau. On repérera la position verticale du bateau par la profondeur y de sa faceinférieure, comptée par rapport à la surface de l’eau lorsque le temps est calme.

Lorsqu’il y a des vagues de pulsation ω, l’altitude de la surface de l’eau varie. On la repérera par sa hauteurz(t) = Z cosω t au-dessus de la surface de temps calme. Tout frottement sera négligé.

On supposera le parallélépipède toujours partiellement immergé.

a. Faire un schéma présentant toutes les grandeurs utiles.

b. Établir l’équation différentielle vérifiée par y.

c. La transformer par changement de variable au besoin, puis la résoudre en régime permanent.

d. Discuter sur la bonne manière de choisir les paramètres pour que le bateau soit bien stable sur l’eau.

e. Formuler des critiques sur le caractère réaliste des hypothèses formulées.

4 Le Salaire de la peur

Dans Le Salaire de la peur, film français de Henri-Georges Clouzot de 1953 (affiche source Allocine), deuxcamions de nitroglycérine sont conduits sur une route ondulée. Pour éviter l’explosion, les conducteurs dupremier camion décident de rouler très lentement, ceux du deuxième de rouler très vite. D’où un suspenshaletant : vont-ils se percuter avant la fin de la « tôle ondulée » ?

M

hk

O

au repos

M

hk

O

z0(t)

z(t)

en mouvement

On modélise un camion par une masse M reliée à une roue par l’intermédiaire d’un essieu. Celui-ci estmodélisé par un ressort de raideur k et un amortisseur à frottements fluides (modèle de Stokes, coefficient defrottement noté h). À tout instant l’ensemble reste vertical.

Le camion roule sur la route ondulée, ce qui fait que la roue oscille verticalement. On modélisera la routepar une surface d’altitude z0 = Z0 cos(2π x/λ), où λ est la longueur d’une oscillation de la route et Z0 sonamplitude.

On repérera la position verticale du centre d’inertie du camion par une coordonnée ascendante z, dontl’origine est positionnée à la hauteur d’équilibre du centre d’inertie (c’est-à-dire sa hauteur lorsque le camionroule sur une route non ondulée).

a. Exprimer l’ordonnée z0 de la roue en fonction de t lorsque le camion roule à la vitesse v sur la route.

b. Montrer que la force de frottements fluides à laquelle est soumis le camion est−→f = −h (z− z0)

−→j , où

−→j est

un vecteur unitaire vertical ascendant.

c. En déduire l’équation différentielle vérifiée par z.

d. Déterminer l’amplitude du mouvement en régime permanent.

e. Expliquer les choix faits par les conducteurs des camions dans Le Salaire de la peur.

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czakChapitre 4

Diffusion thermique

Pour que la thermodynamique soit réellement de la thermodynamique et non de la thermostatique, ilconvient de prendre en compte le facteur temps, ce qu’on n’a pas vraiment fait jusqu’à présent dans le cadre dece cours. Les échanges thermiques mettent du temps à se faire, on l’expérimente tout le temps.

Cette question est délicate est on doit à Joseph Fourier (1768–1830) l’invention de techniques mathéma-tiques nouvelles pour en faire l’étude. L’analyse de Fourier, la transformation de Fourier, sont aujourd’huiutilisées dans tous les domaines de la physique.

On fera dans ce chapitre l’établissement de l’équation de la chaleur, qui appartient à un type d’équationsdifférentielles nommées équations de diffusion et qui régit de nombreux phénomènes diffusifs du même type :diffusion de particules (vu en annexe), diffusion de quantité de mouvement dans les fluides visqueux, diffusionde charges électriques dans les conducteurs, etc.

La résolution de l’équation de la chaleur ne sera étudiée en détails qu’au travers du cas particulier du régimestationnaire. Trois cas particuliers intéressant le bâtiment seront également étudiés : l’isolation d’un tuyau dechauffage, les ondes de chaleur dans un matériau et la température ressentie au toucher.

On pourra également consulter l’Annexe C, qui présente la question de la diffusion de particules, vasteet centrale et où apparaît une équation de même forme.

Un toit mal isolé... Source : Wikimedia Commons

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4. Diffusion thermique Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021

I Densité de courant thermique

1 Puissance, flux, courant thermiques

Une puissance thermique P, en watts (W), est un transfert thermique échangé par unité de temps entre

deux systèmes : P =δQdt

.

Un flux thermique Φ n’est rien d’autre qu’une puissance thermique échangée à travers une surface decontrôle donnée.

Le vecteur densité de courant thermique−→j est une puissance surfacique échangée ; ce vecteur est orienté

dans la direction et le sens du transfert.Pour une surface orientée

−→dS, le flux élémentaire traversant la surface est donc dΦ =

−→j · −→

dS.

La norme de−→j est en watts par mètre carré. Si

−→j est uniforme sur toute la surface S, alors Φ = j S.

2 Loi de Fourier

Soit un milieu repéré par les coordonnées cartésiennes d’espace x, y et z et par le temps t. Le champ detempérature T(x, y, z, t) dans ce milieu n’est à priori ni uniforme ni constant. On introduit le vecteur gradient

de température−−→grad T, qui représente les variations spatiales de T sur chacune des coordonnées.

−−→grad T =

∂T∂x

∂T∂y

∂T∂z

Dans ce milieu s’établit un champ vectoriel de densité de courant thermique−→j (x, y, z, t), qui n’est pas à

priori non plus constant ou uniforme.La loi de Fourier est une loi phénoménologique (c’est-à-dire issue de l’expérience) reliant le courant ther-

mique−→j à sa cause, l’inhomogénéité de température

−−→grad T. C’est une loi linéaire au premier ordre, valable

dans les cas courants mais non valable pour les forts gradients. Elle s’écrit

−→j = −λ

−−→grad T soit

jx = −λ∂T∂x

jy = −λ∂T∂y

jz = −λ∂T∂z

Le signe moins rend compte du fait que la chaleur va du chaud vers le froid.Le coefficient λ est la conductivité thermique du milieu, en

Matériau Acier Cuivre Béton Bois sec Neige PSE Verre Laine de verre Paille

λ en W.m−1.K−1 50 399 1,1 0,1 0,11 0,033 0,87 0,046 0,04

II Établissement de l’équation de la chaleur

1 Bilan thermique dans un milieu à une dimension

Soit une barre solide de section S parfaitement isolée sur ses côtés.

Considérons un système constitué par unetranche de barre entre x et x + h, l’épaisseurh étant aussi petite que nécessaire.

Faisons un bilan thermique sur ce systèmeentre la date t et la date t+τ , la durée τ étantaussi petite que nécessaire.

x

−→i

x x + h

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Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021 4. Diffusion thermique

On considérera que toutes les grandeurs sont homogènes sur une section de la barre, donc laseule variable d’espace à prendre en compte est x. La température est donc T(x, t) et le vecteur

densité de courant thermique−→j (x, t) = jx(x, t)

−→i .

Puisque τ est petite, on peut considérer que jx varie peu pendant l’expérience, aussi letransfert thermique par conduction sur la paroi de gauche est jx(x, t) S τ .

De même, ce qui sort à droite est jx(x + h, t) S τ .La variation d’énergie interne du système pendant l’expérience est donc

∆U = jx(x, t) S τ − jx(x + h, t) S τ

Comme h est petite, on peut considérer la température comme à peu près homogène sur labarre, aussi cette variation d’énergie interne peut-elle s’écrire

∆U = m c (T(x, t + τ) − T(x, t))

où c est la capacité thermique massique de la barre et m est la masse du système. En introduisantρ, masse volumique de la barre, on peut écrire m = ρ S h.

On en déduit l’égalité

ρ c S h (T(x, t + τ) − T(x, t)) = −S τ (jx(x + h, t) − jx(x, t))

ou ρ cT(x, t + τ) − T(x, t)

τ= −jx(x + h, t) − jx(x, t)

h

Par passage aux limites τ → 0 et h → 0, on reconnaît à gauche une dérivée temporelle, àdroite une dérivée spatiale. Il vient

ρ c∂T∂t

(x, t) = −∂jx

∂x(x, t)

2 À la manière du physicien

Le physicien, au lieu de considérer une tranche d’épaisseur finie pendant une durée finie, puis de passer àla limite en zéro, sait à l’avance qu’il va passer à la limite et considère directement une tranche d’épaisseurinfinitésimale dx pendant une durée infinitésimale dt. Alors il écrit directement

dU = ρS dx c (T(x, t+ dt) − T(x, t)) et dU = S jx(x, t) dt− S jx(x+ dx, t) dt

d’où ρ cT(x, t+ dt) − T(x, t)

dt= −jx(x+ dx, t) − jx(x, t)

dx

Les quotients de cette égalité sont déjà des dérivées, puisque les éléments dx et dt sont infinitésimaux. Celarevient donc bien à écrire

ρ c∂T∂t

(x, t) = −∂jx

∂x(x, t)

3 Équation de la chaleur

Si l’on ajoute à cela la loi de Fourier

jx(x, t) = −λ∂T∂x

(x, t) il vient ρ c∂T∂t

(x, t) = −∂

(−λ

∂T∂x

)

∂x(x, t)

d’où ρ c∂T∂t

(x, t) = λ∂2T∂x2

(x, t) ou∂T∂t

=λ

ρ c

∂2T∂x2

C’est l’équation de la chaleur, ou équation de diffusion thermique à une dimension.C’est une équation aux dérivées partielles, linéaire, à coefficients constants.

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4 Coefficient de diffusion thermique

On appelle coefficient de diffusion thermique ou diffusivité thermique le coefficient

D =λ

ρ c

Alors l’équation de la chaleur est∂T∂t

= D∂2T∂x2

où D est en m2.s−1

Matériau Cuivre Verre Béton Liège PVC Laine de verre

Masse volumique ρ en 103 kg.m−3 8,93 2,48 2,4 0,19 1,38 0,12

Capacité thermique massique c en kJ.K−1.kg−1 0,382 0,70 0,88 1,88 0,96 0,66

Conductivité thermique λ en W.K−1.m−1 399 0,87 1,1 0,041 0,15 0,046

Diffusivité thermique en 10−6 m2.s−1 117 0,50 0,54 0,115 0,11 0,58

III Résolution en régime stationnaire

1 Profil de température

En régime stationnaire, toutes les fonctions sont indépendantes du temps. Donc∂T∂t

= 0.

L’équation de la chaleur devientd2Tdx2

= 0

dont les solutions sont de la forme T(x) = a x + b

Les constantes d’intégration a et b s’obtiennent à l’aide des conditions aux limites. Si parexemple la barre de longueur e a ses extrémités maintenues à T1 et T2, alors en x = 0, T = T1

et en x = e, T = T2. Cela donne

T1 = b et T2 = a e + b d’où a =T2 − T1

e

D’où le profil de température T(x) =T2 − T1

ex + T1

2 Résistance thermique d’une paroi plane

Une paroi plane de grande superficie S se comporte comme une barre calorifugée puisqueseule une dimension x de profondeur dans la paroi est à prendre en compte.

Le flux surfacique à travers la paroi est jx = −λdTdx

= −λT2 − T1

e.

Le flux total est Φ = jx S =λ Se

(T1 − T2). Si T1 > T2, Φ est positif.

On définit alors la résistance thermique d’une paroi plane, Rth, par la relation

T1 − T2 = Rth Φ d’où Rth =T1 − T2

Φoù T1 et T2 sont les températures de surface de la paroi (avec T1 > T2) et Φ est le fluxtraversant compté positif.

C’est une grandeur positive, en K.W−1. Elle s’exprime par Rth =e

λ S, où e est l’épaisseur

de la paroi, S sa superficie et λ la conductivité thermique du matériau qui la compose.

Exercices 1 à 11

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IV Isolation d’un tuyau de chauffage

1 Position du problème et hypothèses de travail

On considère un tuyau de chauffage dans lequel circule de l’eau, qui sort à une température constante T1

d’une chaudière, puis est véhiculée jusqu’aux installations (radiateurs, robinets).On se pose la question de savoir comment varie la température de l’eau dans le tuyau au cours de son

transport, du fait des pertes thermiques par les parois du tuyau. On veut en particulier étudier l’influence, surla chute de température à une distance donnée de la chaudière, de l’isolation du tuyau par une gaine.

On se placera en régime permanent, la circulation de l’eau chaude produite en permanence par la chaudièregarantissant ce régime.

0 x

T1a

b

x x+ dx

r

a

b

r

On considérera un tuyau rectiligne, de section circulaire, de rayon intérieur a et de rayon extérieur b. Onrepérera la position le long du tuyau par l’abscisse x et on cherche la température de l’eau T(x). L’abscissex = 0 est la sortie de la chaudière, là où la température est T(0) = T1.

On notera v la vitesse de l’eau, supposée constante et uniforme tout au long du trajet. On négligera laconduction thermique dans l’eau : en effet, il y a bien transferts de chaleur au sein de l’eau, mais c’est avanttout la circulation de l’eau qui en est responsable, pas la conduction. La masse volumique de l’eau est notée ρ. Ledébit massique de l’eau est donc ρ v π a2, en kilogramme d’eau par seconde. On notera c la capacité thermiquemassique de l’eau.

La conduction dans la paroi du tuyau, elle, est en revanche à prendre en compte, car c’est elle qui estresponsable des pertes sur les côtés. On notera λ la conductivité thermique dans le tuyau. On considérera que latempérature extérieure au tuyau est constante et uniforme, de valeur T0. On négligera tout transfert convectifaux surfaces intérieures et extérieures au tuyau.

2 Établissement de l’équation différentielle vérifiée par la température de l’eau

Considérons une tranche d’eau dans le tuyau, entre les abscisses x et x+ dx. Ce système est ouvert : il entrede l’eau en x et en sort en x+ dx.

Pendant la durée dt, il entre dans la tranche considérée une masse dm d’eau à l’abscisse x, cette eau ayantla température T(x). L’apport énergétique correspondant est dmcT(x). À l’abscisse x + dx, il sort la mêmemasse dm d’eau, à la température T(x+ dx). La perte énergétique correspondante est dmcT(x+ dx).

Et par ailleurs, le système perd de l’énergie par conduction à travers la gaine. En notant j(r) le courantthermique sortant à une distance r de l’axe du tuyau, on peut écrire que le flux sortant du système par la paroiest dΦ = j(a) 2π adx. Pendant la durée dt, cela fait une perte énergétique dΦ dt = j(a) 2π adxdt.

En régime permanent, l’énergie interne de ce système est constante, donc le transfert thermique entrant estégal au transfert thermique sortant. Cela donne l’égalité

dmcT(x) = dmcT(x+ dx) + j(a) 2π adxdt

Or, pendant la durée dt, la masse dm d’eau qui entre ou sort de la tranche est ρ v π a2 dt d’après l’expressiondu débit massique écrite plus haut. La relation devient

ρ v π a2 dt c (T(x+ dx) − T(x)) = −j(a) 2π adxdt

En divisant par dx, on reconnaît à gauche la dérivée spatiale de T. En simplifiant, il vient donc

ρ v a cdTdx

= −2 j(a)

3 Flux thermique à travers la paroi

Pour poursuivre l’établissement de l’équation différentielle vérifiée par la température de l’eau, il faut àprésent connaître j, le courant thermique à travers la paroi. Considérons une tranche de tuyau, d’épaisseur dxégalement, dans laquelle la chaleur est conduite.

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Tout le flux thermique venant de l’eau en r = a se retrouve à la sortie en r = b. En fait, le flux sortant dΦne dépend pas de r. On peut donc écrire que j(r) 2π r dx est indépendant de r, valant donc j(a) 2π adx. Celas’écrit donc

j(r) =a j(a)r

Or, la loi de Fourier est vérifiée dans la gaine :−→j = −λ −−→

grad θ, où on a noté θ(r) la température dans lagaine à la distance r de l’axe (pour la distinguer de T(x) température de l’eau à l’abscisse x).

Le gradient n’a ici qu’une coordonnée radiale, ce qui permet d’écrire l’égalité

j(r) = −λ dθdr

On obtient donc la relation

−λ dθdr

=a j(a)r

soitdθdr

= −a j(a)λ

1r

Ceci s’intègre en θ(r) = −a j(a)λ

ln r + K

Or, en r = a, la température de la gaine est supposée égale à celle de l’eau : θ(a) = T. Cela donne

K = T +a j(a)λ

ln a d’où θ(r) = T +a j(a)λ

lna

r

À la surface extérieure de la paroi du tuyau, on suppose que θ(b) = T0. Cela donne la contrainte supplé-mentaire

T +a j(a)λ

lna

b= T0 ce qui donne j(a) =

λ

a lnb

a

(T − T0)

Ceci est une relation du type « T1 − T2 = Rth Φ », que l’on a utilisée pour définir une résistance thermique.

4 Retour à l’équation différentielle vérifiée par la température de l’eau

Cette équation s’écrit donc ainsi

ρ v a cdTdx

= −2λ

a lnb

a

(T − T0) ou encoredTdx

= −k (T − T0) en posant k =2λ

ρ v a2 c lnb

a

Les solutions sont de la forme

T(x) = T0 + A e −k x avec T(0) = T1, donc A = T1 − T0 donc T(x) = T0 + (T1 − T0) e −k x

Il y a bien une décroissance de la température, exponentielle.

5 Chute de température

Considérons un tuyau de longueur L = 50 m, dans lequel l’eau circule à la vitesse v = 1,0 m.s−1. La capacitéthermique massique de l’eau est c = 4,18 kJ.kg−1.K−1, sa masse volumique est ρ = 1,0 × 103 kg.m−3.

En considérant que la température de l’eau à la sortie de la chaudière est T1 = 60 C et que la températureextérieure du tuyau est T0 = 20 C, voici quelques valeurs de la chute de température T1 − T(L), où T(L) =T0 + (T1 − T0) e −k L, pour plusieurs valeurs de λ.

On a choisi pour le tuyau de cuivre et le tuyau de PVC un diamètre intérieur a = 1,0 cm et un diamètreextérieur b = 1,2 cm. Pour les tuyaux de cuivre isolés, on a choisi a = 1,0 cm et b = 2,0 cm pour le tuyau 1, soitune épaisseur d’isolant de b− a = 1,0 cm, et b = 3,0 cm pour le tuyau 2, soit une épaisseur d’isolant de 2,0 cm.L’isolant est de la laine de verre, et le calcul a été fait sans tenir compte de la conduction dans le cuivre, donccomme si l’isolant était le seul constituant de la paroi du tuyau.

Matériau cuivre PVC cuivre isolé 1 cuivre isolé 2

λ en W.m−1.K−1 399 0,15 0,046 0,046

T1 − T(L) en C 40 7 1 0,4

On constate que le cuivre laisse tout passer, puisque la chute est égale au maximum possible. Mais en l’isolantun peu avec de la laine de verre, la chute est minime.

Exercice 9

46

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V Ondes de chaleur dans un milieu homogène


Soit un milieu semi-infini homogène, à l’extrémité duquel il y a une condition aux limites oscillante.Cela peut être le sol, dont la température de surface oscille sous l’effet des variations jour-nuit, ou sous l’effet

de l’alternance des saisons.On peut par exemple se poser la question suivante : on désire construire une cave enterrée pour y conserver

du vin, de telle sorte que la température y soit constante au degré près.À quelle profondeur minimale doit-on la placer ?

On dispose, pour le sol, du coefficient de diffusionλ

ρ c= 7,5 × 10−7 m2.s−1.

2 Mise en place de la résolution

On considérera que l’espace est découpé en deux parties, l’unique coordonnée étant x. Le demi-espace x < 0est l’air, le demi-espace x > 0 est le sol. Et x désigne la profondeur dans le sol.

La température en profondeur du sol va varier sous l’effet des variations de la température de surface. Orcelle-ci va grosso-modo osciller en fonction de la position du Soleil lors de sa course quotidienne d’une part, enfonction des saisons d’autre part.

On va donc modéliser la température de surface comme

T(0, t) = T0 + θ0 cosωt

où T0 est une température moyenne, θ0 l’amplitude des variations et ω la pulsation. Ces trois paramètrespourront être différents selon que l’on étudie l’influence des variations sur la journée ou sur l’année.

Reste à connaître T(x, t) pour x > 0, où x est la profondeur dans le sol. D’après la méthode vue dans le casdes oscillations forcées, on est conduit à supposer que les oscillations de T(x, t) seront de forme sinusoïdales, depulsation ω imposée par la condition aux limites.

3 Recherche des solutions

On cherchera donc les solutions avec un formalisme complexe : on posera T = Re (T) et on cherchera T sousla forme

T(x, t) = T0 + θ(x) e i ω t

L’équation de la chaleur s’écrit

λ∂2T∂x2

= ρ c∂T∂t

ou D∂2T∂x2

=∂T∂t

en posant D =λ

ρ c

En injectant la forme proposée dans cette équation, il vient

Dd2θ

dx2= iω θ ou encore

d2θ

dx2− iω

Dθ = 0

On reconnaît une équation différentielle linéaire du deuxième ordre, dont la fonction inconnue est θ, devariable x. La solution générale est de forme exponentielle : on cherchera donc les solutions sous la forme

θ(x) = A e r x

4 Équation caractéristique

Ceci, mis dans l’équation différentielle, donne l’équation caractéristique

r2 − iωD

= 0 ou encore r2 =iωD

Pour trouver la « racine carrée de i », on remarque que i = e i π/2, et donc que i1/2 = ± e i π/4. On en déduitdonc les deux solutions possibles de l’équation caractéristique

r = e i π/4

√ω

Det r = −e i π/4

√ω

D

ou encore r = (1 + i)√

ω

2 Det r = −(1 + i)

√ω

2 D

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5 Retour au réel

Finalement, la température complexe s’écrit sous la forme

T(x, t) = A e (1+i) k x e i ω t + B e −(1+i) k x e i ω t

où on a posé k =√

ω

2 Det où A et B désignent des constantes d’intégration, à déterminer à l’aide des conditions

aux limites, initiales ou asymptotiques. En réarrangeant les termes, on peut écrire

T(x, t) = T0 + A e k x e i (ω t+k x) + B e −k x e i (ω t−k x)

dont la partie réelle est T(x, t) = T0 + A e k x cos(ω t+ k x) + B e −k x cos(ω t− k x)

6 Conditions aux limites et conditions asymptotiques

On dispose d’une condition asymptotique : si x tend vers +∞, la température ne diverge pas. Cette dernièrecondition impose nécessairement que A = 0. La solution avec l’exponentielle croissante est donc une solutionau problème mathématique posé par l’équation différentielle, mais pas une solution au problème physique.

Et par ailleurs on dispose de la condition aux limites en x = 0 : pour tout t, T(0, t) = T0 + θ0 cos(ω t). Celadonne B = θ0. D’où finalement la solution

T(x, t) = T0 + θ0 e −k x cos(ω t− k x) avec k =√

ω

2 D

7 Étude des solutions et réponse au problème

On cherche alors la profondeur x pour laquelle les variations de température sont inférieures au degré Celsius,donc on cherche les x tels que

θ0 e −k x < ∆θ = 1 C soit x >1k

lnθ0

∆θ

Alternance jour-nuit

La période de la condition aux limites est un jour, donc ω =2π

1 jour=

2π86 400 s

= 7,27 × 10−5 rad.s−1.

On considère une amplitude de variation à la surface θ0 = 10 C. Le calcul donne x > 0,3 m.

Alternance hiver-été

La période de la condition aux limites est une année, donc ω =2π

1 an=

2π365 × 86 400 s

= 1,99×10−7 rad.s−1.

En moyenne entre hiver et été, la variation moyenne de température est également θ0 ≃ 10 C. Le calculdonne donc x > 6 m.

Courbes

Ci-dessous, des courbes obtenues pour différentes dates (en jours) dans le cas de l’alternance des saisons. Lescourbes ont la même forme pour le problème avec alternance jour-nuit, mais les échelles de temps et d’espacene sont pas les mêmes.

0 2 4 6 8 10 12

x (m)

5

10

15

20

25

T (

°C

)

10

40

120

240

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VI Température au toucher


On souhaite savoir, entre divers matériaux, lequel apparaît le plus chaud au toucher à température identique.Pour cela, on considérera la situation suivante.

L’espace est séparé en deux parties, x < 0 pour la main initialement à la température T1, x > 0 pour lematériau touché, initialement à T2, et on considérera qu’une température stationnaire T0, appelée températureapparente, est immédiatement établie au contact des matériaux.

Pour x → −∞, on considérera que la température est en permanence égale à T1, et de même elle vaut T2

pour x → +∞.

2 Forme des solutions

On déterminera dans chaque demi-espace le profil de température sous la forme

T(x, t) = a+ b f(x, t) où f(x, t) = Erf(αx√t

)

La fonction Erf, nommée fonction erreur, est

Erf(u) =2√π

∫ u

0

e −y2

dy avec ici u =αx√t

Le coefficient α est à exprimer en fonction des paramètres physiques du milieu.Noter que Erf(+∞) = 1 et Erf(−∞) = −1.

3 Équation de la chaleur

La température vérifie, dans chacun des deux milieux, l’équation de la chaleur

∂T∂t

=λ

ρ c

∂2T∂x2

Par la suite, les indices 1 et 2 désigneront respectivement les milieux de gauche (la main) et de droite (lematériau). La forme proposée pour T(x, t) impose que f(x, t) soit solution de l’équation de la chaleur :

∂f

∂t=

λ

ρ c

∂2f

∂x2

La première chose à faire est de déterminer α pour que ceci soit vérifié. On calcule

∂f

∂t=∂f

∂u

∂u

∂t=

2√π

e −u2

(−1

2

)αx

t3/2= − 1√

πe −α2 x2/t αx

t3/2

et∂f

∂x=∂f

∂u

∂u

∂x=

2√π

e −u2 α√t

=2√π

e −α2 x2/t α√t

puis∂2f

∂x2= − 2α√

π te −α2 x2/t 2α2 x

t

On constate que∂2f

∂x2= 4α2 ∂f

∂t

ce qui impose que 4α2 =ρ c

λdonc que α =

√ρ c

4λ

4 Conditions aux limites en température

Déterminons ensuite les coefficients a et b pour chaque milieu. La condition aux limites en x = 0 s’écritT(0, t) = T0 pour les deux côtés, ce qui donne a1 = a2 = T0 puisque f(0, t) = 0.

La condition aux limites en x → −∞ s’écrit T(−∞, t) = T1, ce qui donne a1 − b1 = T1, d’où l’on déduitb1 = T0 − T1. Et la condition aux limites en t → +∞ donne b2 = T2 − T0. On a donc

T(x, t)=T0 + (T0 − T1) f1(x, t) pour x 6 0T(x, t)=T0 + (T2 − T0) f2(x, t) pour x > 0

On vérifie au passage que T(x, 0) vaut bien T1 pour x < 0 et T2 pour x > 0.

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5 Continuité du flux thermique

Pour déterminer T0, il faut étudier ce qui se passe à l’interface. Il est temps pour cela d’écrire la continuité

du flux thermique en calculant j = −λ ∂T∂x

de chaque côté :

j(x, t)=−λ1 (T0 − T1)1√π t

e −α12 x2/t

√ρ1 c1

λ1pour x 6 0

j(x, t)=−λ2 (T2 − T0)1√π t

e −α22 x2/t

√ρ2 c2

λ2pour x > 0

La continuité en x = 0 impose

(T0 − T1)√ρ1 c1 λ1 = (T2 − T0)

√ρ2 c2 λ2

soit, en posant E =√λ ρ c pour chaque milieu, la relation

T0 =E1 T1 + E2 T2

E1 + E2

6 Effusivité thermique

On a fait apparaître ci-dessus le coefficient d’effusivité thermique E =√λ ρ c, dont les valeurs sont données

ci-dessous pour divers matériaux.

Matériau acier béton bois plastique alvéolaire peau

E en U.S. I. 1,4 × 104 2,0 × 103 6,5 × 102 30 4,0 × 102

7 Température apparente

On l’a vu, la température apparente est la moyenne des températures asymptotiques des deux matériaux,pondérées par l’effusivité thermique de chaque matériau.

T0 =E1 T1 + E2 T2

E1 + E2

On calcule les températures apparentes suivantes pour les interfaces main-matériau, en considérant la maininitialement à T1 = 37 C et le matériau à T2 = 20 C. C’est évidemment l’acier qui paraît le plus froid.

Matériau acier béton bois plastique alvéolaire

T0 en C 20,5 22,8 26,5 30,9

8 Courbes

Ci-dessous, pour plusieurs dates (en secondes), le profil de température pour un contact main-bois. Lamodélisation ci-dessus n’est pas réaliste car la main n’est pas un matériau inerte : le sang qui circule constitueun apport thermique qui permet en réalité de maintenir la température de la main jusqu’à des positions les plusextérieures.

0,01 0,005 0 0,005 0,01

x (m)

20

25

40T (°C)

1

20

200

1000

50

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Énoncé

Une vitre qui absorbe la lumière

On considère une vitre plane d’épaisseur e et de superficie S, en verre de conductivité thermique λ, de capacitéthermique massique c et de masse volumique ρ. L’une de ses faces est à la température de l’air extérieur, Text ;l’autre à la température de l’air intérieur, Tint.

Les maçons et tailleurs de pierre, vitrail (absorbant) de la cathédrale de Chartres (cathedrale-chartres.fr)

Cette vitre est éclairée par le soleil, uniformément, et reçoit la puissance surfacique solaire p par rayonnement.Elle ne laisse pas tout passer et en absorbe une proportion α, uniformément, de sorte que la puissance reçuepar la vitre par unité de volume est αp/e.

On considérera la vitre suffisamment grande pour que la température en son sein ne dépende que de laprofondeur dans la vitre et du temps. On définit la coordonnée x, profondeur dans la vitre. La paroi extérieureest x = 0, la paroi intérieure x = e. On notera T(x, t) la température dans la vitre en x et à t. On définit jx(x, t)la coordonnée sur l’axe x du flux thermique surfacique en x à t, comptée positive dans le sens des x croissants.On considérera comme valide la loi de Fourier.

e = 5,0 mm, Text = 10 C, Tint = 20 C, p = 300 W.m−2, S = 4,0 m2, λ = 0,83 W.m−1.K−1, α = 0,50.

a. Montrer que l’équation de la chaleur dans la vitre s’écrit

ρ c∂T∂t

= λ∂2T∂x2

+αp

e

b. Déterminer l’expression de T(x) en régime permanent.c. En déduire que le flux surfacique reçu par conduction à l’intérieur est

jx(e) = −λ Tint − Text

e+αp

2

d. Écrire l’expression de la résistance thermique Rth de la vitre avec la définition habituelle ne tenant pascompte de l’absorption des rayonnements.e. Calculer le flux total reçu à l’intérieur de la pièce, en additionnant le flux reçu par conduction Φc et le fluxreçu par rayonnement (1 − α) pS. Le comparer à la valeur que l’on obtiendrait si la vitre n’absorbait pas.

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Corrigé

a. Considérons une tranche de verre entre x et x+ dx, lors d’une expérience entre t et t+ dt. La variation del’énergie interne de ce système est

dU = ρS dx c (T(x, t+ dt) − T(x, t)) soit dU = ρS dx c∂T∂t

dt

Ce système reçoit de la partie de la vitre avant x la puissance jx(x, t) S, cède à la partie de la vitre après x+ dxla puissance jx(x+dx, t) S et reçoit par rayonnement la puissance S dxα p/e. Sa variation d’énergie interne peutdonc également s’écrire

dU = dt (jx(x, t) S − jx(x+ dx, t) S + S dxα p/e) ou encore dU = S dt(

−∂jx

∂xdx+ dx

α p

e

)

Ceci donne ρS dx c∂T∂t

dt = S dt(

−∂jx

∂xdx+ dx

α p

e

)soit ρ c

∂T∂t

= −∂jx

∂x+αp

e

D’après la loi de Fourier, jx = −λ ∂T∂x

donc finalement ρ c∂T∂t

= λ∂2T∂x2

+αp

e

b. En régime permanent cela donned2Tdx2

= −αp

λ e. On en déduit que la température T est de la forme

T(x) = − αp

2λ ex2 + Ax+ B

où A et B sont des constantes déterminées à l’aide des conditions aux limites.Ces conditions sont T(0) = Text, qui donne B = Text, et

T(e) = Tint qui donne Tint = − αp

2λ ee2 + A e+ Text d’où A =

Tint − Text

e+αp

2λ

Il vient donc T(x) = − αp

2λ ex2 +

(Tint − Text

e+αp

2λ

)x+ Text

c. Le flux surfacique conductif est

jx(x) = −λ dTdx

=αp

ex− λ

Tint − Text

e− αp

2qui vaut, en x = e, jx(e) = −λ Tint − Text

e+αp

2

d. L’expression de la résistance thermique de la vitre est

Rth =Tint − Text

Φ0=

e

λS

où Φ0 est le flux conductif ne tenant pas compte de l’absorption des rayonnements.

e. Le flux total reçu à l’intérieur est

Φ = jx(e) S + (1 − α) pS = −λSTint − Text

e+ pS

(1 − α

2

)= −5,74 kW

Si la vitre n’absorbait pas, le flux total reçu à l’intérieur serait

pS − Tint − Text

Rthsoit −λS

Tint − Text

e+ pS = −5,44 kW

En diminuant le flux entrant par rayonnement, le fait que la vitre absorbe rend la vitre encore moins résistanteque sans absorption.

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czakExercices

Résistances thermiques

1 Les maisons des trois petits cochons

La Réglementation thermique 2012 (RT2012) impose aux nouveaux logements une consommation maximalede 50 kWh par an et par mètre carré habitable.

Considérons les maisons des trois petits cochons, supposées carrées de 10 m × 10 m × 3,0 m, sans fenêtreset parfaitement isolées au sol et au plafond. Elles sont installées dans un pays où il fait constamment 10 C àl’extérieur et les cochons sont au mieux de leur confort à 20 C à l’intérieur.

a. Déterminer l’épaisseur que doivent avoir les murs de leurs maisons, respectivement en paille, bois et brique.

b. Le grand méchant loup, lui, a une maison en cuivre. Faire le même calcul.

Conductivités thermiques en W.m−1.K−1 : paille compressée 0,080, bois 0,15, brique 0,84, cuivre 390.

2 Association de résistances thermiques

a. Soit une paroi composée de plusieurs couches de résistances thermiques R1, R2, R3... accolées. Déterminerla résistance thermique équivalente Réq (association de résistances thermiques en série).

b. Soit une paroi d’une épaisseur, mais composée d’un patchwork de matériaux différents, chacun des élé-ments de paroi ayant la résistance thermique R1, R2, R3... Déterminer la résistance thermique équivalente Réq

(association de résistances thermiques en parallèle).

3 Une paroi (à faire après avoir fait le précédent)

Soit une paroi d’un appartement donnant sur l’extérieur, de longueur L = 5,0 m et de hauteur h = 3,0 m.Calculer la résistance thermique totale de la paroi dans les cas suivants. (Voir les valeurs de λ dans le cours.)

a. La paroi entière est en béton nu d’épaisseur e1 = 15,0 cm.

b. La paroi précédente comporte une fenêtre bouchée par un simple vitrage d’épaisseur e2 = 12,0 mm et desuperficie S2 = 2,5 m2.

c. La configuration est la même que la précédente, mais la fenêtre est à double-vitrage d’épaisseurs e3 = 4,0 mmet e4 = 8,0 mm, séparées par une épaisseur d’air e5 = 1,0 cm. L’air enfermé sera considéré comme immobile etvérifiant la loi de Fourier, avec une conductivité thermique λair = 0,026 2 W.m−1.K−1.

d. On ferme cette fois-ci toute la paroi avec une baie à double-vitrage de mêmes caractéristiques qu’à laconfiguration précédente.

e. Reprendre la configuration c en collant au mur en béton une épaisseur e6 = 1,0 cm de polystyrène expansé.

4 Murs en bois ou en béton

La conductivité thermique du bois est λ1 = 0,20 W.m−1.K−1, celle du béton λ2 = 1,7 W.m−1.K−1.On réalise une paroi en béton de superficie S = 10 m2 et d’épaisseur e2 = 20 cm. La température intérieure

est maintenue à T1 = 20 C, alors que la température extérieure est T2 = 14 C.

a. Déterminer le flux thermique à travers cette paroi.

b. Déterminer l’épaisseur e1 d’une paroi de bois qui donnerait le même flux.

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5 Résistance thermique d’une paroi

La Réglementation thermique 2012 (RT2012) impose aux nouveaux logements une consommation maximalede 50 kWh par an et par mètre carré habitable. Pour cela, la RT2012 impose des valeurs minimales pour lesrésistances thermiques surfaciques des murs, des combles, etc.

Ainsi, pour une habitation à moins de 800 m d’altitude, la résistance thermique surfacique minimale d’unmur extérieur est 2,3 m2.K.W−1.

a. Déterminer le lien entre la résistance thermique surfacique rth d’une paroi et sa résistance thermique Rth etsa superficie S.

b. Une salle de superficie S = 27 m2 est chauffée à l’aide de deux radiateurs électriques de puissance P = 1,0 kWchacun. Avant chauffage, la pièce est à T1 = 17 C.Les radiateurs fonctionnent pendant 2 h et 30 min, ce qui monte la température de la pièce à T2 = 22 C. Enattendant encore 2 h et 30 min après extinction des radiateurs, on constate que la température est retombée àT1 = 17 C.Cette pièce respecte-t-elle la RT2012 ?

c. Deux murs donnant sur l’extérieur font 25 m2 en tout. On mesure à travers ces murs un flux thermique de100 W lorsque la température intérieure est 20 C et la température extérieure 8 C.Cette paroi respecte-t-elle la RT2012 ?

6 Pertes dans un thermos

Avant de partir en randonnée, un randonneur se demande si son thermos pourra conserver son thé chaud letemps d’arriver à la pause de midi. Pour cela, il réalise quelques expériences.

Il se trouve dans une pièce où la température est T0 = 25,0 C, qu’il suppose constante et homogène. Ilpèse m = 500,0 g d’eau à la température T1 = 90,0 C, et les introduit dans le thermos. Il homogénéise trèsrapidement et mesure la température T2 = 84,8 C. Dix minutes plus tard, la température est T3 = 83,9 C.

Capacité thermique massique de l’eau (indépendante de la température) : c = 4,18 kJ.K−1.kg−1.

a. Expliquer sans calcul la baisse de température de T1 à T2, puis celle de T2 à T3.

b. Déterminer la capacité thermique du thermos, notée Ccal.

c. En supposant que le flux thermique à travers les parois du thermos, noté Φ0, est constant pendant les dixpremières minutes, et en définissant cette résistance thermique Rth, supposée constante, avec la même relationque pour une paroi plane, déterminer Rth.

d. En réalité, le flux thermique à travers les parois du thermos n’est pas constant car la température de l’eaune l’est pas. On notera T(t) la température de l’eau, supposée homogène, U(t) l’énergie interne de l’eau et duthermos, et Φ(t) le flux thermique à travers les parois du thermos.

① Montrer qu’il est possible d’écrire

dUdt

(t) = CdTdt

(t)

en notant C la capacité thermique globale de l’ensemble eau-thermos.

② Exprimer d’autre part Φ(t) en fonction de Rth, T(t) et T0 en supposant Rth constante.

③ En déduire qu’il est possible d’écrire

dTdt

(t) = −T(t) − T0

Rth C

④ Vérifier que la fonction T(t) = T0+k e −t/(Rth C) est solution de l’équation différentielle donnée à la questionprécédente, quelle que soit la valeur de k.

⑤ Exprimer ensuite k en fonction de T0 et T2.

⑥ Tracer T(t) pour t allant jusqu’à dix heures.

e. Le randonneur veut que son demi-litre de thé initialement à 90 C avant d’être mis dans le thermos, aitencore au bout de sept heures de randonnée une température supérieure à 50 C. Est-ce le cas ?Aurait-il conclu de même s’il avait supposé le flux thermique égal à Φ0 pendant toute cette durée ?

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Équation de la chaleur

7 Barre calorifugée

On maintient les extrémités d’une barre calorifugée à températures fixes. La barre est conductrice du courantélectrique et a pour résistivité ρ. Elle est parcourue par un courant d’intensité I.

Donnée : un conducteur ohmique de section S et de longueur ℓ construit dans un matériau de résistivité ρa la résistance R = ρ ℓ/S. Puissance dissipée par effet Joule pour un courant d’intensité I : P = R I2.

a. Établir l’équation de la chaleur tenant compte de l’effet Joule dans le conducteur ohmique.

b. Déterminer, en régime permanent, le profil de température dans la barre T(x).

c. À quelle condition y a-t-il un maximum de température à l’intérieur de la barre ?

8 Croissance d’une couche de glace sur un lac

C’est l’hiver, il fait froid. La température de l’air est Ta = −10,0 C. Un lac de grand volume, de superficieS, où l’eau est à température uniforme Te = 0,0 C, se couvre progressivement de glace. On note ℓ(t) l’épaisseurde la glace sur le lac. On note T0(t) la température de surface de la glace, différente de Ta du fait des échangesthermiques conducto-convectifs à la surface.

a. À l’aide de l’équation de la chaleur en régime permanent, déterminer à tout instant le profil en températuredans la glace, supposé atteint instantanément. En déduire une expression du flux thermique Φ à travers la glace.

b. Par convection, il se produit à la surface de la glace en contact avec l’air un échange thermique conducto-convectif vérifiant la loi de Newton : la puissance surfacique dissipée à l’interface glace-air est h (T0(t) − Ta) oùh = 41,8 W.m−2.K−1.Déterminer une autre expression de Φ.

c. À l’interface glace-eau, pendant dt, il se produit une épaisseur dℓ de glace.En déduire une autre expression de Φ.

d. À l’aide des trois expressions de Φ, éliminer T0(t) et déterminer une équation différentielle vérifiée par ℓ(t).

e. Intégrer cette équation différentielle. En combien de temps atteint-on 10 cm de glace ?

On donne :— masse volumique de la glace ρ = 9 × 102 kg.m−3 ;— conductivité thermique de la glace λ = 2,1 W.m−1.K−1 ;— chaleur latente massique de fusion L = 334 kJ.kg−1 ;— capacité calorifique de la glace à peu près nulle ;

9 Température de fonte d’un câble gainé

Un câble électrique en cuivre de résistivité électrique ρ et de rayon r1 est protégé par une gaine isolante deconductivité thermique λ, de rayon extérieur r2.

Pour ne pas fondre, le fil ne doit pas dépasser la température T1 lorsque la température extérieure est T2.Donnée : un conducteur ohmique de section S et de longueur ℓ construit dans un matériau de résistivité ρ a

la résistance R = ρ ℓ/S. La puissance Joule dissipée par un conducteur ohmique de résistance R parcouru parun courant électrique d’intensité I est P = R I2.

L’opérateur gradient en coordonnées cylindriques s’écrit−−→grad = −→ur

∂

∂r+ −→uθ

1r

∂

∂θ+

−→k

∂

∂z.

a. En régime permanent, le flux thermique sortant à travers la gaine est le même sur un cylindre quel que soitson rayon r. En déduire que la norme j du courant thermique dans la gaine est proportionnelle à 1/r.

b. Déterminer le profil en température dans la gaine, T(r), en fonction de T1, T2, r1 et r2.

c. Calculer la résistance électrique R d’une longueur ℓ de fil de cuivre, puis la puissance dissipée par effet Joule.

d. En déduire j(r1), puis exprimer l’intensité I maximale pour éviter la fonte du cuivre. Exprimer égalementl’intensité surfacique du courant électrique.

e. Faire les applications numériques. La section de cuivre est 2,5 mm2, le rayon extérieur est R2 = 3,2 mm,ρ = 1,7 × 10−8 Ω.m, λ = 3,5 × 10−3 W.m−1.K−1 ; T1 = 50 C et T2 = 20 C.

55

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10 Refroidissement d’une plaque par une ailette

Une plaque métallique chaude, de température Tm, est refroidie par une longue ailette métallique cylindrique,de rayon a = 1,0 mm, fixée perpendiculairement à la plaque. Autour de l’ailette se trouve de l’air à températuresupposée constante et uniforme, T0.

La conduction thermique du métal est λ = 300 W.m−1.K−1. Les échanges convectifs entre un métal à latempérature T et l’air à la température T0 sont caractérisés par la puissance thermique surfacique h (T − T0),où h = 15 W.m−2.K−1.

a. Établir l’équation de la chaleur dans l’ailette.

b. La résoudre en régime permanent, en considérant l’ailette semi-infinie (T → T0 quand x → +∞).

c. Exprimer le courant thermique sortant de la plaque dans l’ailette, j0.

d. En imaginant qu’on a placé n ailettes de cette sorte sur une plaque de superficie totale S, exprimer l’efficacitédu dispositif (quotient de la puissance évacuée avec ailettes par la puissance qui serait évacuée sans ailette).

e. Commenter le fonctionnement de ce radiateur, utilisé par exemple pour refroidir certains appareils électriques,ou les microprocesseurs d’ordinateur.

11 Radiateur de microprocesseur

Un radiateur visant à refroidir un microprocesseur est constitué d’ailettes en aluminium de formes variables,nombreuses, sortant d’une plaque fixée sur le microprocesseur.

Source : pixelinformatique.fr ; dimensions du radiateur 52 mm × 52 mm × 26 mm

L’ensemble est souvent complété par un ventilateur forçant la circulation d’air dans le radiateur.Données :— densité de l’aluminium d = 2,7 ;— capacité thermique massique de l’aluminium c = 897 J.kg−1.K−1 ;— conductivité thermique de l’aluminium λ = 237 W.m−1.K−1 ;— échanges conducto-convectifs entre une paroi à Tp et l’air à Ta : la puissance surfacique échangée est, en

valeur absolue, h |Ta − Tp|, où h est un coefficient d’échange ;— coefficient d’échange conducto-convectif avec l’air : entre 5 et 25 W.m−2.K−1 si l’air est immobile ; entre

10 et 500 W.m−2.K−1 en convection forcée.On notera T0 la température de l’air, T1 la température du microprocesseur (donc de la base de l’ailette),

x la coordonnée d’espace telle que x = 0 est la base de l’ailette et x = L son extrémité. On notera T(x, t) latempérature dans l’ailette en x à la date t, jx(x, t) le flux thermique surfacique.

a. Évaluer la longueur L, l’épaisseur e et la largeur ℓ de chaque ailette.

b. Montrer que l’équation de la chaleur dans une ailette s’écrit

ρ c∂T∂t

= λ∂2T∂x2

− 2he

(T − T0)

c. En déduire l’équation différentielle vérifiée par T(x) en régime permanent. On posera δ =

√λ e

2h.

d. On cherchera les solutions sous la forme T(x) = T0 + A e x/δ + B e −x/δ.Écrire et exploiter la condition à la limite x = 0.

e. La condition aux limites en x = L est une condition de continuité du flux surfacique : montrer qu’elle s’écritjx(L) = h (T(L) − T0) et l’exploiter pour donner finalement l’expression de T(x).

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Annexes

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czak

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czakAnnexe A

Changements de référentiel

I Vecteur vitesse de rotation instantané

Pour fixer les idées, dans la suite, on dira que le référentiel R est « fixe » et que le référentiel R′ est « mobile ».Mais ça n’a pas de sens absolu de faire cette dissymétrie, il n’existe pas de référentiel plus absolu ou plus légitimequ’un autre. C’est simplement un raccourci.

L’objectif des démonstrations fastidieuses qui suivent est l’établissement de la formule de dérivation dansune base mobile dans le cas général et de l’existence du vecteur rotation. On reprend pour cela le cadre énoncédans le cours du chapitre correspondant.

1 Dérivée des vecteurs unitaires mobiles

Les vecteurs mobiles−→i′ ,

−→j′ et

−→k′ sont des vecteurs mobiles dans R. Ils ont donc chacun une dérivée temporelle

dans R, qui est un vecteur. Ce vecteur a des coordonnées, que l’on peut exprimer dans R ou dans R′, commepour tout vecteur. On pose ci-dessous des noms pour les coordonnées dans R′ des dérivées par rapport au tempsdans R des vecteurs unitaires mobiles :

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= a1

−→i′ + a2

−→j′ + a3

−→k′

d−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= b1

−→i′ + b2

−→j′ + b3

−→k′

d−→k′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= c1

−→i′ + c2

−→j′ + c3

−→k′

Or, ces coordonnées a1, a2, etc., ne sont pas quelconques et ont des relations entre elles.

2 Utilisation du caractère unitaire des vecteurs mobiles

Chaque vecteur−→i′ ,

−→j′ et

−→k′ est unitaire, c’est-à-dire que sa norme est 1. On peut ainsi écrire que

−→i′

2

= 1.

Puisque−→i′

2

est une constante, sa dérivée par rapport au temps dans R est nulle :

d−→i′

2

dt= 2

−→i′ · d

−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= 0

On voit ainsi qued−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

est orthogonal à−→i′ puisque leur produit scalaire est nul. Donc la coordonnée de

ce vecteur sur−→i′ est nulle : a1 = 0.

On montre de même que b2 = 0 et c3 = 0. Il reste alors

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= a2

−→j′ + a3

−→k′ et

d−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= b1

−→i′ + b3

−→k′ et

d−→k′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= c1

−→i′ + c2

−→j′

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czak

A. Changements de référentiel Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021

3 Utilisation du caractère orthonormé de la base mobile

Comme la base (−→i′ ,

−→j′ ,

−→k′ ) a été choisie orthonormée, alors

−→i′ est orthogonal à

−→j′ et à

−→k′ , et

−→j′ est orthogonal

à−→k′ . Par conséquent :

−→i′ ·

−→j′ = 0 et

−→i′ ·

−→k′ = 0 et

−→j′ ·

−→k′ = 0.

Dérivons ces égalités par rapport au temps. La première donne

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

·−→j′ +

−→i′ · d

−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= 0 soit a2 + b1 = 0 donc b1 = −a2

De même, les deux autres égalités donnent a3 = −c1 et c2 = −b3. Il ne reste plus que trois paramètres surles neuf initiaux. Posons pour simplifier b3 = α, c1 = β et γ = a2. On a ainsi

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= γ−→j′ − β

−→k′ et

d−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= −γ−→i′ + α

−→k′ et

d−→k′

dt

∣∣∣∣∣∣R

= β−→i′ − α

−→j′

4 Apparition du vecteur vitesse de rotation instantanée

Si l’on pose−→Ω = α

−→i′ + β

−→j′ + γ

−→k′

alors on remarque que−→Ω ∧

−→i′ =

(α

−→i′ + β

−→j′ + γ

−→k′

)∧

−→i′ = γ

−→j′ − β

−→k′

donc que−→Ω ∧

−→i′ =

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

et de même pour−→j′ et

−→k′ .

5 Démonstration de la formule de dérivation en base mobile

Revenons à notre vecteur−→Q quelconque du début. On avait écrit ses coordonnées dans R et R′

−→Q = x

−→i + y

−→j + z

−→k et

−→Q = x′

−→i′ + y′

−→j′ + z′

−→k′

Et on avait écrit les dérivées par rapport au temps de ce vecteur dans les deux référentiels :

d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R

=dxdt

−→i +

dydt

−→j +

dzdt

−→k et

d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R′

=dx′

dt

−→i′ +

dy′

dt

−→j′ +

dz′

dt

−→k′

Calculons à présent la dérivée par rapport au temps de−→Q dans R en utilisant les coordonnées dans R′ :

d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R

=d(x′

−→i′ + y′

−→j′ + z′

−→k′ )

dt

∣∣∣∣∣∣R

=dx′

dt

−→i′ + x′

d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

+dy′

dt

−→j′ + y′

d−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

+dz′

dt

−→k′ + z′

d−→k′

dt

∣∣∣∣∣∣R

=dx′

dt

−→i′ +

dy′

dt

−→j′ +

dz′

dt

−→k′

︸︷︷︸terme ①

+x′d−→i′

dt

∣∣∣∣∣∣R

+ y′d−→j′

dt

∣∣∣∣∣∣R

+ z′d−→k′

dt

∣∣∣∣∣∣R︸︷︷︸

terme ②

Le terme ① est la dérivée de−→Q dans R′. Et les éléments du terme ② peuvent être réécrits en utilisant le

vecteur−→Ω comme on l’a montré plus haut. Cela donne

d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R

=d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R′

+ x′−→Ω ∧

−→i′ + y′

−→Ω ∧

−→j′ + z′

−→Ω ∧

−→k′

=d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R′

+−→Ω ∧

(x′

−→i′ + y′

−→j′ + z′

−→k′

)=

d−→Q

dt

∣∣∣∣∣R′

+−→Ω ∧ −→

Q

On retrouve bien la formule de dérivation dans une base mobile donnée dans le cours.

60

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czak

Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021 A. Changements de référentiel

II Relations générales de composition des vitesses et des accéléra-tions


Vitesse dans deux référentiels

Soit un point M en mouvement dans le référentiel R. On appellera −→v (M/R) sa vitesse dans ce référentiel.Soit un point O fixe dans R. On peut alors écrire


∣∣∣∣∣R

Soit un référentiel R′ en mouvement par rapport à R. On notera O′ un point fixe dans R′. Ce référentiel

peut être en mouvement quelconque par rapport à R : il peut y avoir translation (auquel cas−−→OO′ n’est pas

un vecteur constant) et rotation (auquel cas−→Ω(R′/R) n’est pas un vecteur nul).

La vitesse de M dans le référentiel R′, appelée parfois vitesse relative, est

−→v (M/R′) =d−−→O′Mdt

∣∣∣∣∣∣R′

Loi de composition des vitesses

En utilisant une relation de Chasles, on peut écrire

d−−→OMdt

∣∣∣∣∣R

=d−−→OO′

dt

∣∣∣∣∣∣R

+d−−→O′Mdt

∣∣∣∣∣∣R

En utilisant la relation de dérivation dans une base mobile, on a ensuite

d−−→OMdt

∣∣∣∣∣R

=d−−→OO′

dt

∣∣∣∣∣∣R

+d−−→O′Mdt

∣∣∣∣∣∣R′

+−→Ω(R′/R) ∧

−−→O′M

Dans les trois termes de droite, on reconnaît d’abord la vitesse de O′ dans R, puis la vitesse de M dans R′,vitesse relative. Le troisième terme traduit les rotations d’un référentiel par rapport à l’autre. Ceci se réécrit :

−→v (M/R) = −→v (M/R′) + −→v (O′/R) +−→Ω(R′/R) ∧

−−→O′M

Les deux derniers termes sont regroupés sous le vocabulaire vitesse d’entraînement, tenant compte à lafois de la translation d’un référentiel par rapport à l’autre et de la rotation.

On écrit −→v (M/R) = −→v (M/R′) + −→ve en posant −→ve = −→v (O′/R) +−→Ω(R′/R) ∧

−−→O′M

2 Composition des accélérations

On définit de même l’accélération dans les deux référentiels :

−→a (M/R) =d−→v (M/R)

dt

∣∣∣∣∣R

et −→a (M/R′) =d−→v (M/R′)

dt

∣∣∣∣∣R′

Pour alléger un peu on écrira dans la suite−→Ω tout court et pas

−→Ω(R′/R), c’est déjà bien assez compliqué.

En dérivant dans R la relation obtenue pour la composition des vitesses, cela donne

−→a (M/R) =d−→v (M/R′)

dt

∣∣∣∣∣R︸︷︷︸

①

+d−→v (O′/R′)

dt

∣∣∣∣∣R︸︷︷︸

②

+d−→Ω

dt

∣∣∣∣∣R

∧−−→O′M

︸︷︷︸③

+−→Ω ∧ d

−−→O′Mdt

∣∣∣∣∣∣R︸︷︷︸

④

Réécrivons les termes du membre de droite.

①d−→v (M/R′)

dt

∣∣∣∣∣R

=d−→v (M/R′)

dt

∣∣∣∣∣R′

+−→Ω ∧ −→v (M/R′) = −→a (M/R′) +

−→Ω ∧ −→v (M/R′)

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A. Changements de référentiel Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021

②d−→v (O′/R)

dt

∣∣∣∣∣R

= −→a (O′/R)

③d−→Ω

dt

∣∣∣∣∣R

∧−−→O′M, on n’y touche pas

④−→Ω ∧ d

−−→O′Mdt

∣∣∣∣∣∣R

=−→Ω ∧

d

−−→O′Mdt

∣∣∣∣∣∣R′

+−→Ω ∧

−−→O′M

=

−→Ω ∧ −→v (M/R′) +

−→Ω ∧

(−→Ω ∧

−−→O′M

)

On obtient alors

−→a (M/R) = −→a (M/R′) + −→a (O′/R) +d−→Ω

dt

∣∣∣∣∣R

∧−−→O′M +

−→Ω ∧

(−→Ω ∧

−−→O′M

)+ 2

−→Ω ∧ −→v (M/R′)

Le premier terme −→a (M/R′) est l’accélération de M dans le référentiel R′, appelée parfois accélérationrelative. Les trois suivants mis ensemble sont appelés accélération d’entraînement. Le dernier terme, quiest nul lorsque M est immobile dans R′ (entre autres), est appelé accélération de Coriolis ou accélérationcomplémentaire. On peut donc écrire

−→a (M/R) = −→a (M/R′) + −→ae + −→aC

en notant −→ae = −→a (O′/R) +d−→Ω

dt

∣∣∣∣∣R

∧−−→O′M +

−→Ω ∧

(−→Ω ∧

−−→O′M

)et −→aC = 2

−→Ω ∧ −→v (M/R′)

III Dynamique du point dans un référentiel non galiléen

1 Deuxième loi de Newton en référentiel non galiléen

Soit un système réductible à un point matériel M de masse m. On peut l’étudier dans un référentiel galiléen

R, comme d’habitude. Il est soumis à des forces extérieures (−→Fi) et la deuxième loi de Newton s’écrit

m−→a (M/R) =∑i

−→Fi

Il peut être plus commode de l’étudier dans un référentiel non galiléen R′. Soit donc un tel référentiel, enmouvement quelconque dans R. En utilisant les lois de composition des accélérations écrites plus haut, celadonne une autre expression de la deuxième loi de Newton :

m−→a (M/R′) +m−→ae +m−→aC =∑i

−→Fi que l’on peut réécrire en m−→a (M/R′) =

∑i

−→Fi −m−→ae −m−→aC

On a donc obtenu une relation du type « masse fois accélération égale somme des forces », mais avec uneaccélération prise par rapport à un référentiel non-galiléen. C’est l’expression de la deuxième loi de Newton enréférentiel non-galiléen.

2 Forces d’inertie

Il faut ajouter aux forces dont on a fait le bilan comme d’habitude, deux termes, −m−→ae et −m−→aC, qui sontbien homogènes à des forces et qu’on a coutume de nommer forces d’inertie :

— la force d’inertie d’entraînement, aussi appelée parfois force centrifuge, est−→Fie = −m−→ae ;

— la force d’inertie de Coriolis, nulle quand le point est immobile dans R′, est−→FiC = −m−→aC.

Ce ne sont pas des forces au sens où on l’entend habituellement en mécanique classique, c’est-à-dire desmodélisations d’actions extérieures. Il n’y a aucun objet qui exerce la force d’inertie sur le système étudié.

La force d’inertie d’entraînement est connue dans le langage « auto-école » sous le nom de force centrifuge.En effet, quand une voiture prend un virage, le passager se sent projeté vers l’extérieur du virage, d’où lequalificatif de centrifuge, qui fuit le centre.

Mais ce n’est qu’un raccourci de calcul ! Il n’y a aucune force qui s’exerce sur le passager et qui le poussevers l’extérieur du virage. Au contraire, la réaction du support sur lequel il est assis, la tension exercée par saceinture de sécurité, sont des forces qui le ramènent vers l’intérieur du virage, donc centripètes.

Mais comme le mouvement naturel du passager est le mouvement rectiligne et uniforme, il tend à le conserver.Comme la voiture, elle, tourne, et que le passager continuerait volontiers à aller tout droit, il se sent projetévers l’extérieur du virage.

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czakAnnexe B

Équadifs linéaires d’ordre deux

I Équations différentielles linéaires homogènes du deuxième ordre

1 Forme générale

La forme générale d’une équation différentielle linéaire homogène du deuxième ordre vérifiée par x(t) est

x+1τx+ ω0

2 x = 0

où τ (homogène à une durée) sera appelée constante de temps et ω0 (homogène à l’inverse d’une durée,souvent exprimée en radians par seconde) sera appelée pulsation propre. Dans la suite ces deux grandeursseront considérées comme des nombres réels positifs, ce qui est souvent le cas en physique.

Note : le terme homogène signifie que le second membre de l’équation est nul. Si c’est un terme constantnon nul, on peut, par changement de variable x, se ramener à une équation homogène. On verra plus tard cequi se passe dans le cas où il y a un terme variable.

2 Équation caractéristique

Les équations différentielles linéaires en général ont pour solution des fonctions exponentielles. On re-cherchera donc les solutions sous la forme

x(t) = A e r t

où r est un nombre réel ou complexe (homogène à l’inverse d’une durée) dépendant de l’équation différentielleet A une amplitude non nulle homogène à x. En injectant cette solution dans l’équation différentielle, il vient

r2 A e r t +r

τA e r t + ω0

2 A e r t = 0

En divisant par A e r t, non nul, on obtient l’équation caractéristique vérifiée par r :

r2 +1τr + ω0

2 = 0

Cette équation du deuxième degré admet divers régimes de solutions suivant le signe de son discriminant :

∆ =1τ2

− 4ω02

3 Forme canonique

Il arrive aussi que l’on mette les équations différentielles linéaires du deuxième ordre sous leur forme ca-nonique, en introduisant un autre facteur nommé facteur de qualité et noté Q. Son expression est Q = ω0 τ(on verra pourquoi) et c’est un nombre positif sans dimension. L’équation différentielle devient alors

x+ω0

Qx+ ω0

2 x = 0 et l’équation caractéristique r2 +ω0

Qr + ω0

2 = 0

Le discriminant s’écrit alors ∆ =(ω0

Q

)2

− 4ω02 ou ∆ = ω0

2

(1

Q2− 4)

Dire que ∆ > 0 revient donc à dire que Q <12

. Cette grandeur Q est une mesure du taux d’amortissement

de l’oscillateur, et prendra du sens lors de l’étude des oscillateurs forcés.

63

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. Ant

czak

B. Équadifs linéaires d’ordre deux Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021

II Cas des régimes fortement amortis

1 Solution générale

Quand ∆ est strictement positif, c’est-à-dire1τ2

> 4ω02 ou ω0 <

12 τ

ou τ <1

2ω0

l’équation caractéristique admet deux racines réelles :

r1 =− 1τ

+√

∆

2et r2 =

− 1τ

−√

∆

2

qui s’écrivent aussi r1 = − 12 τ

+√

1(2 τ)2

− ω02 et r2 = − 1

2 τ−√

1(2 τ)2

− ω02

La solution de l’équation différentielle sera donc de la forme

x(t) = A1 e r1 t + A2 e r2 t

où les constantes réelles A1 et A2 sont déterminées en général par les conditions initiales du problème physiqueconsidéré, c’est-à-dire la donnée de x(0) et x(0).

En posant β =√

1(2 τ)2

− ω02, on peut écrire aussi la solution de la manière suivante :

x(t) = e −t/(2 τ)(A1 e β t + A2 e −β t

)

de dérivée x(t) = e −t/(2 τ)

([− 1

2 τ+ β

]A1 e β t +

[− 1

2 τ− β

]A2 e −β t

)

Note : on peut aussi réécrire ceci en utilisant le facteur de qualité Q avec τ =Qω0

et β = ω0

√1

4 Q2− 1.

2 Exemple

Mettons que l’on ait affaire à un pendule élastique amorti avec un frottement visqueux de Stokes. Alorsx(t) est l’élongation du ressort. Mettons que le pendule soit à l’instant initial écarté de sa position d’équilibrede x0 positif et qu’il soit lâché sans vitesse initiale. Donc les conditions initiales s’écrivent x(0) = x0 et x(0) = 0.Compte tenu des formes écrites précédemment, ceci donne

A1 + A2 = x0 et[− 1

2 τ+ β

]A1 +

[− 1

2 τ− β

]A2 = 0

La résolution de ce système fournit ainsi A1 et A2 :

A1 =x0

2

(1 +

12β τ

)et A2 =

x0

2

(1 − 1

2β τ

)

D’où x(t) =x0

2e −t/(2 τ)

([1 +

12β τ

]e β t +

[1 − 1

2β τ

]e −β t

)

Ceci peut aussi s’exprimer (mais ce n’est pas du tout obligé !) à l’aide des fonctions cosinus hyperbolique

ch u =e u + e −u

2et sinus hyperbolique sh u =

e u − e −u

2:

x(t) = x0 e −t/(2 τ)

(ch β t+

12β τ

sh β t

)

Ci-après, x(t) et la dérivée x(t) pour une telle situation, avec un facteur de qualité Q = 0,3.

t

x

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czak

Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021 B. Équadifs linéaires d’ordre deux

III Régime critique

Le régime critique est obtenu pour ∆ = 0 ou Q = 1/2. L’équation caractéristique admet une racine double

r = − 12 τ

ou r = −ω0. Alors la solution générale est de la forme

x(t) = e −t/(2 τ) (A1 t+ A2)

Les constantes d’intégration A1 et A2 s’obtiennent à l’aide des conditions initiales.Les courbes ressemblent beaucoup à celles du régime apériodique et, de plus, ce régime est quasiment

impossible à observer en pratique (cependant il a une grande importance théorique et pratique).

IV Cas des régimes faiblement amortis (régimes pseudo-périodiques)

1 Solution générale

Quand ∆ est strictement négatif, c’est-à-dire1τ2

< 4ω02 ou ω0 >

12 τ

ou τ >1

2ω0

l’équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées

r1 =− 1τ

+ i√

−∆

2et r2 =

− 1τ

− i√

−∆

2

qui s’écrivent aussi r1 = − 12 τ

+ i√ω0

2 − 1(2 τ)2

et r2 = − 12 τ

− i√ω0

2 − 1(2 τ)2

En posant ωp =√ω0

2 − 1(2 τ)2

, la solution de l’équation différentielle sera donc de la forme

x(t) = e −t/(2 τ)(A1 e i ωp t + A2 e −i ωp t

)

où les constantes A1 et A2 sont déterminées grâce aux conditions initiales. Ces constantes sont a priori complexes.

2 Caractère réel de la solution générale

Contrairement aux apparences, les constantes A1 et A2 assureront nécessairement que x(t) soit une fonctionà valeurs réelles. Pour en avoir le cœur net, mettons que l’on dispose des conditions initiales, à savoir de ladonnée de x(0), que l’on notera x0, et de la donnée de x(0), que l’on notera x0. Ces deux nombres sont réels.

Dérivons d’abord x(t) pour obtenir x(t) :

x(t) = e −t/(2 τ)

(A1 e i ωp t

(− 1

2 τ+ iωp

)+ A2 e −i ωp t

(− 1

2 τ− iωp

))

Les conditions initiales x(0) = x0 et x(0) = x0 imposent donc

A1 + A2 = x0 et A1

(− 1

2 τ+ iωp

)+ A2

(− 1

2 τ− iωp

)= x0

On voit tout de suite que puisque A1 + A2 est un nombre réel, alors A1 et A2 sont forcément des complexesconjugués. La résolution de ce système donne

A1 =x0

2+

12 iωp

(x0 +

x0

2 τ

)et A2 =

x0

2− 1

2 iωp

(x0 +

x0

2 τ

)

La solution peut donc s’écrire

x(t) = e −t/(2 τ)

([x0

2+

12 iωp

(x0 +

x0

2 τ

)]e i ωp t +

[x0

2− 1

2 iωp

(x0 +

x0

2 τ

)]e −i ωp t

)

En regroupant les termes, cela donne

x(t) = e −t/(2 τ)

(x0

e i ωp t + e −i ωp t

2+

1ωp

(x0 +

x0

2 τ

) e i ωp t − e −i ωp t

2 i

)

On reconnaît ainsi les expressions complexes de cosωp t et sinωp t, ce qui donne finalement la fonctionréelle :

x(t) = e −t/(2 τ)

(x0 cosωp t+

(x0

ωp+

x0

2 τ ωp

)sinωp t

)

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. Ant

czak

B. Équadifs linéaires d’ordre deux Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021

3 Autres formes de la solution générale

Constatant ce qui précède, on peut également rechercher les solutions sous les formes équivalentes suivantes :

x(t) = e −t/(2 τ) (A cosωp t+ B sinωp t) ou x(t) = C e −t/(2 τ) cos(ωp t+ ϕ)

En effet, comme on l’a montré ci-dessus, on a directement A = x0 et B =x0

ωp+

x0

2 τ ωp.

Pour la deuxième forme, il faut remarquer que cos(ωp t+ ϕ) = cosωp t cosϕ− sinωp t sinϕ, ce qui donne

A = C cosϕ et B = −C sinϕ

ou, dans l’autre sens C =√

A2 + B2 et ϕ = Arctan−BA

si A 6= 0

En pratique, on fait à chaque fois la recherche des constantes d’intégration sous l’une ou l’autre des troisformes possibles et on ne retient pas du tout la forme générale donnée à la section précédente.

Note : on peut aussi réécrire tout ceci en utilisant le facteur de qualité Q avec τ =Qω0

et ωp = ω0

√1 − 1

4 Q2.

4 Exemple

En prenant l’exemple du pendule élastique amorti avec frottement visqueux, avec Q = 5, on obtient lescourbes d’élongation et de vitesse ci-après.

t

x

t

v

5 Cas non amorti

Lorsque l’amortissement est nul ou négligeable, l’équation différentielle devient x + ω02 x = 0, appelée

équation harmonique, dont la solution générale est

x(t) = A1 e i ω0 t + A2 e −i ω0 t ou x(t) = A cosω0 t+ B sinω0 t ou x(t) = C cos(ω0 t+ ϕ)

V Équation non homogène

Soit une l’équation différentielle linéaire d’ordre deux est non homogène, de la forme x+1τx+ ω0

2 x = K.

On a vu ci-dessus comment traiter l’équation homogène. Pour résoudre cette équation non-homogène, ilsuffit d’ajouter à la solution générale de l’équation homogène (c’est-à-dire avant prise en compte des conditions

initiales) la solution particulière : xpart =Kω0

2. Il faut ensuite utiliser les conditions initiales.

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. Ant

czakAnnexe C

Diffusion de particules

En complément du chapitre sur la diffusion thermique, on va ici aborder la question de la diffusion departicules. Il s’agit d’étudier comment des particules sont diffusées à travers un milieu sous l’effet de leuragitation thermique, entre autres. Le contexte peut être très varié : diffusion d’un polluant à travers un sol, devapeur d’eau dans l’air, d’un pigment dans un enduit, de dioxygène dissous dans l’eau, etc.

I Équation de diffusion de particules

On n’abordera ici la question que de manière élémentaire, en une dimension cartésienne d’espace, repéréepar la coordonnée x. Dans toute la suite, on utilisera les notations suivantes :

— la densité de particules n(x, t) en nombre de particules par mètre cube (attention, ce n’est pas unequantité de matière même si l’usage fait qu’on utilise la même notation) ;

— la densité de courant de particules dans le sens des x croissants jx(x, t), en nombre de particulesqui passent par mètre carré de surface à travers laquelle elles passent et par seconde.

1 Équation de conservation

Soit un milieu de section S, à une dimension danslequel la densité de particules est inhomogène et danslequel ces particules se déplacent.

Considérons un système infinitésimal constituépar une tranche entre x et x+ dx.

x

−→i

x x+ dx

Faisons un bilan de particules sur ce système entre la date t et la date t+ dt.Le volume du système étant S dx, le nombre de particules à la date t dans le système est n(x, t) S dx ; le

nombre de particules à t+ dt est n(x, t+ dt) S dx.Le nombre de particules qui entrent en x entre t et t+dt est jx(x, t) S dt ; le nombre de particules qui sortent

en x+ dx entre t et t+ dt est jx(x+ dx, t) S dt.Écrire la conservation du nombre de particules revient à dire que la variation du nombre de particules

contenues dans le système est égale aux entrées moins les sorties, soit

n(x, t+ dt) S dx− n(x, t) S dx = jx(x, t) S dt− jx(x+ dx, t) S dt

En divisant par S dxdt, on reconnaît les dérivées temporelle et spatiale et on obtient l’équation de conser-vation de particules suivante :

∂n

∂t= −∂jx

∂x

2 Loi de Fick

Comme la loi de Fourier relie la cause (inhomogénéité de température) à la conséquence (courant thermique),la loi de Fick relie l’inhomogénéité de densité particulaire au courant de particules. Elle s’écrit, en une dimension :

jx = −D∂n

∂x

Le coefficient de diffusion D, en m2.s−1, est une caractéristique du type de particule et du type de milieu.Pour la diffusion d’un gaz dans un gaz, son ordre de grandeur est 10−5 m2.s−1, pour la diffusion d’un solutédans un liquide ce sera plutôt 10−9 m2.s−1, pour la diffusion d’un solide dans un solide 10−30 m2.s−1.

Comme pour la loi de Fourier, le signe moins traduit l’irréversibilité du processus d’homogénéisation.

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C. Diffusion de particules Stanislas Antczak – ÉNSAL, DCAI2 2020-2021

3 Équation de diffusion

On a∂n

∂t= −∂jx

∂xet jx = −D

∂n

∂xd’où

∂n

∂t= −

∂

(−D

∂n

∂x

)

∂x

d’où l’équation de diffusion∂n

∂t= D

∂2n

∂x2

En régime permanent, cela donned2n

dx2= 0, donc n est une fonction affine de x.

II Exemple : évaporation

1 Énoncé

Un tube initialement rempli d’une hauteur h0 = 15 cm d’eau a une hauteur totale L = 20 cm.Déterminer la durée nécessaire à l’évaporation de toute l’eau.Données : masse molaire de l’eau M = 18,0 g.mol−1 ; masse volumique de l’eau ρ = 1 000 kg.m−3 ; co-

efficient de diffusion de la vapeur d’eau dans l’air à 20 C : D = 2,6 × 10−5 m2.s−1. La pression de vapeursaturante Ps de la vapeur d’eau à 20 C est Ps = 23,4 hPa : c’est la pression de la vapeur d’eau au voisinage dela surface de l’eau liquide. La constante d’Avogadro est NA = 6,022 × 1023 mol−1, la constante des gaz parfaitsR = 8,314 J.K−1.mol−1.

2 Résolution

Appelons h(t) la hauteur d’eau dans le tube.La densité volumique de particules de vapeur d’eau dans l’air surmontant le liquide dans le

tube est notée n(z, t), où z est un axe vertical ascendant d’origine le bas du tube.Supposons que la convection en haut du tube fait que la vapeur est chassée. On a donc en

permanence n(L) = 0 m−3.0

h(t)

Lz

En supposant que la durée caractéristique de diffusion de particules est courte devant la durée caractéristiquede la variation de la hauteur h, on peut dire qu’un régime quasi-permanent est établi. On peut donc dire quen est indépendant du temps, donc n(z) = a z + b, avec n(L) = 0, ce qui donne n(z) = a (z − L). Le coefficient adépend lentement du temps.

Au voisinage de h, la pression de vapeur d’eau dans le gaz est égale à Ps. On peut donc écrire que

Ps =n(h) R T

NAoù NA est la constante d’Avogadro

Cela donne n(h) =Ps NA

R T= a (h− L) d’où a =

Ps NA

R T (h− L), puis n(z) =

Ps NA

R Tz − Lh− L

Le flux sortant de particules est j = −D S∂n

∂zd’après la loi de Fick, avec S la section du tube. On obtient

j = −D SPs NA

R T1

h− L

Ce flux est égal àdNdt

, où dN est le nombre de particule s’évaporant pendant dt. On peut écrire

dN = −S dh ρNA

Mce qui donne finalement −D S

Ps NA

R T1

h− L= −S ρNA

Mdhdt

Cela donnedhdt

(h− L) =D M Ps

ρR Tqui s’intègre en

12h2 − Lh =

D M Ps

ρR Tt+

12h0

2 − Lh0

La durée tf d’évaporation totale s’obtient pour h = 0 m, ce qui donne

tf =ρR T

D M Ps

(Lh0 − 1

2h0

2

)

Le calcul donne tf = 4,2 × 107 s, soit près de cinq cents jours.

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Alphabet grec

Minuscule Majuscule Équivalent français Nom Utilisation usuelle

α A a alpha angle, 42He, nombre

β B b bêta angle, particules, nombre

γ Γ g gamma angle, conductivité, accélération, nombre

δ ∆ d delta distance, variation

ε E é epsilon petite quantité, distance

ζ Z z dzéta petite quantité

η H è êta rendement, quotient, petite quantité

θ Θ th thêta angle, température en C

ι I i iota

κ K k kappa

λ Λ l lambda longueur d’onde, probabilité, conductivité

µ M m mu micro-, masse volumique...

ν N n nu fréquence

ξ Ξ x ksi petite quantité, avancement

o O o omicron

π Π p pi 3,14..., produit, poussée d’Archimède (maj.)

ρ P r rhô masse volumique, résistivité

σ, ς Σ s sigma conductivité, somme (maj.)

τ T t tau durée, quotient, taux

υ Υ u upsilon

φ, ϕ Φ f phi angle, phase, flux (maj.)

χ X kh chi ou khi électronégativité, susceptibilité magnétique

ψ Ψ ps psi angle, phase

ω Ω o oméga vitesse angulaire, pulsation, Ohm (maj.)

Six dimensions de base du système international d’unités

Grandeur Longueur Masse Durée Intensité* Température Quantité de matière

Notation de la dimension L M T I Θ n

Unité internationale m kg s A K mol

* Intensité est là pour intensité d’un courant électrique

Préfixes à connaître

Nom déca hecto kilo méga giga téra déci centi milli micro nano pico

Symbole da h k M G T d c m µ n p

Valeur 101 102 103 106 109 1012 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12

De rayon R...

Périmètre du cercle Aire du disque Aire de la sphère Volume de la boule

2πR πR2 4πR2 43πR3

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« Il faut que les formes qui dessineront l’ouvrage expriment le cheminement des efforts, la façon dont les

charges – qui sont considérables – passent du tablier dans les piles et les fondations, en passant, quand la

portée l’exige, par des câbles ou des haubans.

« La fantaisie gratuite doit être proscrite, de même que les formes qui se justifieraient par des discours

ronflants. L’élégance doit venir de la structure elle-même, de la façon dont les efforts ont été organisés,

dominés, canalisés. La beauté d’un pont vient de l’évidence de son apparente simplicité. »

Michel Virlogeux

Huffington post, « Notre ancêtre le Pont du Gard », octobre 2013

Un gros résonateur mécanique, le viaduc de Millau, par Michel Virlogeux et Norman Foster, 2004Photo C. Ursini