Transcript
  • Capitolul 13

    Spatiul Rk

    Stim de la algebra ca spatiul Rk are structura de spatiu liniar.R1 = R se reprezinta geometric prin axa numerelor reale.R2 se reprezinta prin multimea punctelor unui plan raportate la un sistem de axe or-

    togonale,R3 se reprezinta prin multimea punctelor din spatiu raportate la un sistem de axe

    ortogonale,R4,R5, ... nu mai sunt posibile asemenea reprezentari spatiale, acestea ntelegandu-se

    prin generalizare.

    Ordinea din Rk

    Definitia 13.1 Vom spune ca pentru x, y Rk are loc relatia x y, daca si numai dacax1 y1, x2 y2, ..., xk yk.Vom spune ca pentru x, y Rk are loc relatia x < y, daca si numai dacax1 < y1, x2 < y2, ..., xk < yk.

    Interpretare. Fie n R2 elementul x0 = (x01, x02) , Figura 13.1.

    Figura 13.1.Atunci toate elementele (punctele) care satisfac x x0 sunt n partea hasurata. Toate

    punctele care satisfac x x0 sunt n partea punctata. Celelalte puncte nu sunt comparabileprin relatia de ordine definita n raport cu x0.

    155

  • 156 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    Aceasta relatie de ordine definita are proprietatile O1O3, O5, O6 enuntate la multimeanumerelor reale. Nu are proprietatea O4, deoarece nu orice doua elemente din Rk pot fi nrelatia definita. Avem astfel definita o ordine partiala.

    13.1 Marginire n Rk

    Teoria marginirii este n Rk este analoga cu cea prezentata n R.

    Multimi majorate

    Definitia 13.2 O multime A nevida din Rk se numeste majorata daca exista un b =(b1, b2, ..., bk) Rk astfel ncat

    xi bi,i = 1, k,x = (x1, x2, ..., xk) A.

    Elementul b = (b1, b2, ..., bk) se numeste majorant. Orice element care depaseste pe beste, de asemenea majorant.

    In R2 interpretarea geometrica pentru multimea majorantilor este cea din Figura 13.2,

    Figura 13.2adica multimea A se afla n unghiul din figura cu laturile paralele cu axele de coordonate.In multimea majorantilor exista unul care este cel mai mic, b si care se numeste margine

    superioara a multimii. Este evident ca elementul b este dat de b =b1, b2, ..., bk

    unde b1

    este marginea superioara a multimii coordonatelor x1 corespunzatoare punctelor din A, b2este marginea superioara a multimii coordonatelor x2 corespunzatoare punctelor din A etc.

    Multimi minorate

    Definitia 13.3 O multime A nevida din Rk se numeste minorata daca exista un a =(a1, a2, ..., ak) Rk astfel ncat

    ai xi, i = 1, k, x = (x1, x2, ..., xk) A.

    Elementul a = (a1, a2, ..., ak) se numeste minorant.In R2 interpretarea geometrica pentru multimea minorantilor este cea din Figura 13. 3,

  • 13.1. MARGINIRE IN RK 157

    Figuar 13.3.In multimea minorantilor exista unul care este cel mai mare, a si care se numeste margine

    inferioara a multimii. Este evident ca elementul a este dat de a= (a1, a2, ..., ak) unde a1este marginea inferioara a multimii coordonatelor x1 corespunzatoare punctelor din A, a2este marginea inferioara a multimii coordonatelor x2 corespunzatoare punctelor din A etc.

    Multimi marginite

    Definitia 13.4 O multime A nevida din Rk se numeste marginita daca este minorata simajorata, deci daca exista doua elemente a, b Rk astfel ncat

    a x b,x A.

    In R2 interpretarea geometrica pentru multimea marginita este: o multime A estemarginita daca si numai daca ea poate fi cuprinsa ntr-un dreptunghi.

    Figura 13.4.In R3 interpretarile conduc la includerea multimii n paralelipipede dreptunghice cu

    fetele paralele cu planele de coordonate..Intervale. In Rk definim intervalul nchis astfel:[a, b] =

    x = (x1, x2, ..., xk) Rk|ai xi bi, i = 1, 2, .., k

    .

    iar intervalul deschis(a, b) =

    x = (x1, x2, ..., xk) Rk|ai < xi < bi, i = 1, 2, .., k

    .

    Intervale simetrice. Daca x0 Rk, iar 0 < = (1, 2, ..., k) Rk atunci inter-valul [x0 , x0 + ] se numeste nterval simetric nchis intervalul nchis centrat n x0, iar

  • 158 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    intervalul (x0 , x0 + ) se numeste interval simetric deschis intervalul deschis centrat nx0. In R2 intervalele sunt dreptunghiuri cu laturile paralele cu axele de coordonate. Dacaintervalul este nchis, atunci dreptunghiul include laturile sale, daca este deschis, atuncidreptunghiul nu cuprinde laturile. Daca are componentele egale aceste intervale suntpatrate cu centrul n x0.

    Figuar 13.5

    13.2 Structura de spatiu normat al lui Rk

    Definitia 13.5 Aplicatia kk : Rn R care satisface axiomele:(N1) kxk = 0 x = Rn ,(N2) R,x Rn : kxk = || kxk ,(N3) x, y Rn : kxk+ kyk kx+ yk .se numeste norma iar perechea ordonata

    Rk, kk se numeste spatiu normat.

    Exemple de norme definite pe Rk.kxk2 =

    px21 + x22 + ...+ x2k norma euclidiana,

    kxk1 = |x1|+ |x2|+ ...+ |xk| ,kxk = max

    1ik|xi| norma maximum.

    In teoria pe care o vom dezvolta n continuare vom utiliza norma euclidiana. Vom notan cele ce urmeaza kxk2 = kxk .In R1 kxk = |x| , n R2 kxk = px21 + x22 si reprezinta lungimea segmentului ce uneste

    punctul = (0, 0) cu punctul x = (x1, x2).

    Definitia 13.6 Fie a Rk, r R+. Multimea S(a, r) = {x X| kx ak < r} se numestesfera deschisa de centru a si raza r. Multimea S (a, r) = {x X| kx ak r} se numestesfera nchisa de centru a si raza r.

    Exemplul 13.1 In R, S(a, r) = {x R| |x a| < r} este un interval deschis de lungime 2rsi cu centrul n a. In R2, S(a, r) =

    x R2|

    q(x1 a1)2 + (x2 a2)2 < r

    este multimea

    punctelor din interiorul cercului cu centrul n a = (a1, a2) si raza r, fara punctele de pecircumferinta. In R3 interpretarile se fac cu ajutorul sferelor.

    Cu ajutorul sferelor putem da o interpretare simpla si utila multimilor marginite.

  • 13.2. STRUCTURA DE SPATIU NORMAT AL LUI RK 159

    Teorema 13.1 Conditia necesara si suficienta pentru ca o submultime A nevida din Rk safie marginita este ca ea sa fie inclusa ntr-o sfera.

    Demonstratie. Pentru simplitate dam demonstratia n R2.Necesitatea. Daca multimea este marginita, atunci ea este inclusa ntr-un dreptunghi,

    acesta la randul sau este inclus n cercul circumscris dreptunghiului.Suficienta. Daca multimea este inclusa ntr-un cerc, atunci ea este inclusa si n patratul

    circumscris cercului si cu laturile paralele cu axele de coordonate, deci multimea estemarginita.

    Definitia 13.7 Fie x0 Rk. Se numeste vecinatate a lui x0 orice supramultime a uneisfere deschise cu centrul n x0.

    Figura 13.6.O vecinatate a lui x0 se noteaza Vx0 sau V, daca nu exista pericol de confuzie. Multimea

    vecinatatilor lui x0 se noteaza V(x0) si se numeste sistemul vecinatatilor lui x0.Observatia 13.1 Sferele deschise sau nchise centrate n x0 sunt vecinatati ale lui x0.

    Proprietati ale vecinatatilor

    1. Daca V este o vecinatate a lui x0 atunci x0 V.Afirmatia rezulta din faptul ca x0 se gaseste n orice sfera deschisa centrata n x0.

    2. Intersectia a doua vecinatati ale lui x0 este vecinatate a lui x0, adica daca V1, V2 V(x0) V1 V2 V(x0).Din definitia vecinatatilor rezulta ca exista o sfera deschisa S(x0, r1) V1 si S(x0, r2) V2. Daca r = max {r1, r2} S(x0, r) V1 V2 V1 V2 V(x0).

    3. Daca V este o vecinatate a lui x0 si V W atunci si W este o vecinatate a lui x0.Rezulta din faptul x0 S(x0, r1) V W.

    4. Daca x si y sunt doua elemente ale lui Rk atunci exista o vecinatate V1 a lui x si V2a lui y astfel ncat V1 V2 = .Deoarece x 6= y d = kx yk > 0; sferele S(x, d

    3) si S(y, d

    3) care sunt vecinatati

    ale lui x si y nu au puncte comune, deoarece daca ar exista z S(x, d3) S(y, d

    3) ar

    rezulta ca d = kx yk = kx z + z yk kx zk+ kz yk < d3+ d

    3= 2d

    3, fals.

  • 160 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    13.3 Puncte de acumulare

    Definitia 13.8 Un punct x0 Rk se numeste punct de acumulare al multimii A Rkdaca orice vecinatate a punctului x0 contine puncte din A, diferite de x0. Cu alte cuvinteV V(x0) V (A\ {x0}) 6= .

    Intuitiv, un punct x0 este punct de acumulare pentru o multime daca exista puncte dinacea multime diferite de x0, oricat de aproape de x0. Calitatea unui punct de a fi punct deacumulare pentru o multime nu se schimba daca punctul respectiv se adauga sau se scoatedin multime. In general, un punct de acumulare poate sa apartina sau sa nu apartinamultimii respective.

    Teorema 13.2 Un punct x0 este punct de acumulare pentru o multime A Rk daca sinumai daca exista un sir de puncte din A, diferite de x0, convergent la x0.

    Demonstratie. Necesitatea. Fie x0 un punct de acumulare. Conform definitiei, n oricevecinatate a punctului x0 exista puncte din A, diferite de x0, n particular acest lucru sentampla si daca luam drept vecinatati sfere deschise centrate n x0. Deci pentru > 0exista un element x A\ {x0} astfel ncat kx x0k < . In particular, luand = 1n,gasim un element pe care l notam xn, astfel ncat xn A\ {x0} si kxn x0k < 1n. Sirul(xn) astfel construit converge la x0 (datorita criteriului majorarii) si este format din elementeale multimii A, diferite de x0.Suficienta. Daca exista un sir (xn)nN de elemente din A, diferite de x0, convergent la

    x0, rezulta din definitia limitei unui sir ca orice vecinatate a punctului x0 contine elementedin A\ {x0} (contine toti termenii sirului cu exceptia cel mult a unui numar finit, termenicare, prin ipoteza, sunt elemente din A\ {x0}). Rezulta ca x0 este punct de acumulare.

    Definitia 13.9 Un punct x0 se numeste punct izolat daca nu este punct de acumulare.

    Consecinta 13.1 Multimile finite nu au puncte de acumulare.

    Definitia 13.10 O multime A Rk se numeste nchisa daca si contine toate punctelede acumulare.

    Sferele nchise sunt multimi nchise. Intervalele nchise sunt multimi nchise.

    13.4 Convergenta n Rk, k 2Elementele spatiului Rk sunt K-upuri de numere reale. Daca punem n evidenta acest lucrupentru elementele unui sir (xn)nN din Rk si scriem acest sir pe coloana (deoarece este maiconvenabil decat sa-l scriem pe linie) avem

    x1 =x11, x21, ..., xk1

  • 13.4. CONVERGENTA IN RK ,K 2 161

    x2 =x12, x22, ..., xk2

    ...xn =

    x1n, x2n, ..., xkn

    ...

    se observa ca sirul (xn)nN din Rk se descompune mergand pe coloane n k siruri de numerereale

    x11, x12, ..., x1n, .. sirul coordonatelor de rang 1,x21, x22, ..., x2n, .. sirul coordonatelor de rang 2,...xk1, xk2, ..., xkn, .. sirul coordonatelor de rang k.Este natural sa ne ntrebam n ce masura anumite proprietati ale sirului (xn)nN se

    rasfrang asupra sirurilor coordonate. Astfel, sirul (xn)nN este marginit daca si numai dacacele k siruri de coordonate sunt marginite, deorece am vazut ca marginirea n Rk se reducela marginirea dupa coordonate.Tinand seama de ordinea din Rk, rezulta ca un sir (xn)nN din Rk este crescator (re-

    spectiv descrescator) daca si numai daca sirurile de coordonate sunt crescatoare (respectivdescrescatoare).

    Observatia 13.2 Monotonia sirurilor coordonate nu implica monotonia sirului (xn)nNdecat daca toate cele k siruri sunt monotone de acelasi sens.

    Definitia 13.11 Spunem ca sirul (xn)nN converge la elementul x0 daca pentru oricevecinatate V a lui x0, exista nV N astfel ncat pentru n nV xn V.

    Se noteaza limn

    xn = x0.Observam ca afirmatia exista nV N astfel ncat pentru n nV este echivalenta cu

    afirmatia: n afara vecinatatii V ramane cel mult un numar finit de termeni ai sirului. Maimult, deoarece n afara vecinatatii V nu pot fi decat cel mult termenii pana la rangul nV(nu nseamna ca pana la rangul nV toti sunt n afara, unii din ei se pot afla tot n V ) decin numar finit.

    Teorema 13.3 (Teorema de caracterizare a sirurilor convergente) limn

    xn = x0daca si numai daca > 0 exista n N astfel ncat pentru n n kxn x0k < .

    Relativ la convergenta, avem o teorema de caracterizare a convergentei unui sir deelemente din Rk care are avantajul de a reduce convergenta unui sir de elemente din Rk laconvergenta unui sistem de k siruri de numere reale.

    Teorema 13.4 Conditia necesara si suficienta ca un sir (xn)nN din Rk sa fie convergenteste ca sirurile reale ale coordonatelor, (xin)nN sa convearga pentru fiecare i = 1, k. Limitasirului (xn)nN este k-uplul format din limitele celor k siruri reale ale coordonatelor.

  • 162 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    Demonstratie. Are loc inegalitatea evidenta:

    x =x1, x2, ..., xk

    Rk,

    xi kxk x1+ x2+ ...+ xk ,i = 1, k.

    (13.1)

    Necesitatea. Daca limn

    xn = x0 n Rk, rezulta ca kxn x0k 0 si nlocuind n stangainegalitatii (13.1) x = xn x0 si xi = xin xi0, obtinem|xin xi0| kxn x0k ,i = 1, k, de unde, conform criteriului majorarii, rezulta ca

    xin xi0, i = 1, k.Suficienta. Daca (xin)nN sunt siruri convergente si x

    in xi0, atunci notand x0 =

    x10, x20, ..., xk0 Rk, din partea dreapta a inegalitatii (13.1), pentru x = xn x0 obtinem

    kxn x0k |x1n x10|+ |x2n x20|+ ...+xkn xk0

    .

    Se observa ca fiecare sir din partea dreapta a acestei inegalitati converge la zero, deci sisuma lor converge la zero, de unde prin acelati criteriu al majorarii, rezulta kxn x0k 0,adica lim

    nxn = x0 n Rk.

    Rezultatele de la siruri de numere reale se extind n cazul sirurilr din Rk datorita Teo-remei 13.4.

    Teorema 13.5 Un sir crescator si majorat de elemente din Rk este convergent. Limita saeste marginea superioara a multimii valorilor sirului.

    Teorema 13.6 Un sir descrescator si minorat de elemente din Rk este convergent. Limitasa este marginea inferioara a multimii valorilor sirului.

    Lema intervalelor nchise se nlocuieste cu lema sferelor nchise care se includ.

    Teorema 13.7 Fie un sir de sfere nchise din Rk care se includS(x1, r1) S(x2, r2) ... S(xn, rn) S(xn+1, rn+1) ...cu sirul razelor convergent la zero,limn

    rn = 0.Atunci exista un punct unic comun tuturor sferelor.

    Teorema 13.8 (Lema Bolzano-Cesaro) Orice sir marginit de elemente din Rk continesubsiruri convergente.

    Demonstratie. Discutam acest rezultat n cazul sirurilor din R2. Fie (xn)nN un sirmarginit din R2. Tinand seama ca elementele sale sunt perechi de numere reale, xn =(x1n, x2n) , sirul (xn) se descompune n sirurile reale

    x11, x12, ..., x1n, ..x21, x22, ..., x2n, .. .Aceste siruri sunt ambele marginite deoarece (xn)nN este un sir marginit din R2. Stim

    de la siruri de numere reale, Lema lui Bolzano-Cesaro, ca sirul (x1n)nN contine un subsir

    convergent, fie acestax1nppN

    . Luand termenii corespunzatori siruluix1nppN

    din sirul

  • 13.5. NOTIUNEA DE LIMITA DE FUNCTII 163

    (x2n)nN obtinem subsirulx2nppN

    care este deasemenea marginit. El va contine un subsir

    convergent. Fie acestax2npq

    qN

    . Sirul corespunzatorx1npq

    qN

    este convergent fiind un

    subsir al unui sir convergent. Daca consideram sirulxnpq

    qN el este un subsir al sirului

    initial, iar sirurile de pe coordonate sunt comvergente. Astfel teorema este justificata.Prin analogie se introduce si notiunea de sir Cauchy.

    Definitia 13.12 Un sir de elemente din Rk, (xn)nN se numeste sir Cauchy sau sir fun-damental daca

    > 0,n N astfel ncat n,m n, kxm xnk < , (13.2)

    13.5 Notiunea de limita de functii

    Ne vom ocupa cu functii definite pe multimi dintr-un spatiu oarecare Rk cu valori ntr-unspatiu oarecare Rp. Vom defini notiunile de limita si continuitate pentru asemenea functii.Cazuri particulare.I. Fie X,Y R. O functie f : X Y se numeste functie reala de o variabila reala.

    Cazul a fost tratat n liceu. Vom reaminti unele rezultate.II. Fie X R, Y Rp. O functie f : X Y defineste f(x) = (f1(x), .., fp(x)) ,

    p-uplu ordonat de numere reale. Avem n acest caz functii vectoriale. In cazul p = 2,f(x) = (f1(x), f2(x)) reprezinta un singur punct din plan de coordonate (f1(x), f2(x)) .Pentru x X se obtine o multime de puncte din plan.III. Fie X Rk. O functie f : X R se numeste functie reala de k variabile reale,

    y = f(x1, .., xk) si reprezinta cazul campurilor scalare. In cazul p = 2 daca se ia un punct(x1, x2) X se poate construi terna ordonata de numere reale (x1, x2, f(x1, x2)) careia icorespunde un singur punct din spatiu. Daca (x1, x2) parcurge multimea X, n anumiteconditii, se obtine o suprafata.Fie X Rk, Y Rp, k, p N, f : X Y si x0 un punct de acumulare pentru X,

    care poate sa apartina sau nu multimii X. Deoarece x0 este punct de acumulare pentru X,exista n X puncte diferite de x0, oricat de aproape de x0. Ne ntrebam ce se ntampla cuvalorile functiei f(x).Daca x se apropie tot mai mult de x0, valorile functiei se apropie oricat de mult de un

    punct l Y. Daca o asemenea situatie are loc, se spune ca functia are ca limita n x0 pe l.Pentru a ne asigura ca valorile functiei se apropie oricat de mult de l, trebuie sa cerem caoricare ar fi vecinatatea lui l, n aceasta vecinatate sa intre valorile functiei care provin dinpuncte x destul de apropiate de x0.

    Definitia 13.13 (Definitia limitei cu vecinatati ) Fie f : X Y si x0 punct deacumulare al multimii X. Spunem ca l este limita lui f n x0 si se scrie l = lim

    xx0,xXf(x),

    daca pentru orice vecinatate Vl (V vecinatate a lui l) exista o vecinatate Ux0 (U vecinatatea lui x0) astfel ncat f (Ux0 X) Vl.

  • 164 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    Figura 13.7

    Teorema 13.9 (Caracterizarea notiunii de limita) Fie Fie f : X Y si x0 punct deacumulare al multimii X. Sunt echivalente afirmatiile:(a) l = lim

    xx0,xXf(x) (Definitia limitei cu vecinatati );

    (b) > 0, () > 0 astfel ncat x X\ {x0} , kx x0k < () kf(x) lk < (definitia cu );(c) pentru orice sir convergent de puncte din X\ {x0} , xn n X x0, rezulta f(xn) n Y l

    (definitia cu siruri).

    Aceste trei definitii sunt echivalente.Demonstratie. (a) (b). Presupunem ca l = lim

    xx0,xXf(x). Fie > 0 fixat. Con-

    sideram vecinatatea V ca fiind sfera deschisa cu centrul n l si raza , V = S(l, ) ={f(x) Y | kf(x) lk < } si conform definitiei limitei cu vecinatati rezulta ca exista ovecinatate Ux0 astfel ncat f(Ux0X) V. Dar atunci exista o sfera deschisa cu centrul n x0si de raza () > 0 astfel ncat S(x0, ()) Ux0 , deci f(S(x0, ())X) f(Ux0X) V,de unde rezulta (b).(b) (c) Presupunem ca f este satisface conditia (b) relativ la x0 si fie xn n X x0. avem

    de aratat ca f(xn)n Y l. Pentru aceasta fixam > 0 arbitrar. Conform ipotezei (b) exista

    () > 0 astfel ncat ori de cate ori kx x0k < () kf(x) lk < . Cum xn n X x0,exista un rang N astfel ncat daca kxn x0k < () , n N kf(xn) lk < , n N f(xn) n Y l.(c) (a) Rationam prin reducere la absurd. Presupunem ca desi are loc conditia (c),

    exista o vecinatate Vl a lui l astfel ncat oricare ar fi vecinatatea Ux0 sa avem f(Ux0X) " Vl.Pentru orice n 1 natural luam Ux0 = S(x0, 1n). Cum f

    S(x0, 1n) X

    " Vl, exista

    xn S(x0, 1n) astfel ncat f(xn) / Vl. Deoarece kxn x0k < 1n rezulta xnn X x0. Conform

    ipotezei (c) rezulta ca f(xn)n Y l, deci de la un rang ncolo f(xn) Vl, absurd.

    Afirmatiile (a), (b) si (c) fiind logic echivalente, oricare din ele poate fi luata ca definitiea limitei unei functii ntr-un punct. Trebuie remarcat ca daca exista, atunci limita esteunica, conform (c).

    Observatia 13.3 In definitia limitei se considera numai valorile functiei care sunt calculaten punctele x 6= x0. Daca x0 nu apartine multimii de definitie, atunci aceasta conditie esteautomat satisfacuta. Punctul x0 trebuie sa fie neaparat punct de acumulare.

  • 13.5. NOTIUNEA DE LIMITA DE FUNCTII 165

    Corolarul 13.1 In conditiile teoremei 13.9, functia f nu are limita n x0 n cazul n careexista dou siruri (x0n) si (x00n) , x0n x0, x00n x0 din X\ {x0} si fie unul din sirurile (f(x0n))si (f(x00n)) nu este convergent, fie ca aceste siruri sunt convergente dar nu au aceeasi limita.Acest fapt rezulta din punctul (c) al teoremei 13.9. (a se vedea exercitiul 13.8).

    Teorema 13.10 Fie f : X Y si g : Y Z doua aplicatii definite pe spatii normate.Fie x0 punct de acumulare al multimii X si lim

    xx0,xXf(x) = y0, y0 punct de acumulare al

    multimii Y . Daca f(x) 6= y0 pentru x 6= x0 si daca limyy0

    g(y) = z0, atunci functia compusa

    g(f(x)), x X are limita n punctul x0 silim

    xx0,xXg(f(x)) = z0.

    Demonstratie. Folosim teorema 13.9, (c). Functia f(x) avand limita y0 n punctul x0,rezulta ca pentru orice sir convergent (xn) x0 avem (f(xn)) y0. Functia g(y) avandlimita z0 n punctul y0, rezulta ca pentru orice sir convergent yn y0 (g(yn)) z0, deci(g(f(xn))) z0.

    Exemplul 13.2 limx0

    ln(1 + sinx) = lnlimx0(1 + sinx)

    = ln 1 = 0.

    13.5.1 Functii definite pe multimi n RTeorema 13.11 (Unicitatea limitei unei functii) Daca l1 si l2 sunt doua limite alefunctiei f : X R n punctul de acumulare x0 atunci l1 = l2.

    Demonstratie. Fie xn X, xn 6= x0, xn x0. Atunci limxnx0

    f(xn) = l1, limxnx0

    f(xn) = l2.

    Cum limita unui sir este unica, rezulta ca l1 = l2.In definitia limitei am considerat x0 si l finite. In cazul n care unul sau amandoua

    numere sunt infinite avem urmatoarele definitii:

    Definitia 13.14 Functia f are limita n punctul x0 finit daca pentru orice numar Aexista un numar (A) > 0 astfel ncat sa avem f(x) > A daca |x x0| < (A) si se scrielim

    xx0,xXf(x) =.

    Definitia 13.15 Functia f are limita l finita cand x daca pentru orice numar > 0exista un numar B() > 0 astfel ncat sa avem |f(x) l| < daca x > B() si se scrielimx

    f(x) = l.

    Definitia 13.16 Functia f are limita n punctul x0 finit daca pentru orice numar Aexista un numar (A) > 0 astfel ncat sa avem f(x) < A daca |x x0| < (A) si se scrielim

    xx0,xXf(x) = .

    Definitia 13.17 Functia f are limita cand x daca pentru orice numar A exista unnumar B(A) > 0 astfel ncat sa avem f(x) > A daca x > B(A) si se scrie lim

    xf(x) =.

  • 166 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    Definitia 13.18 Functia f are limita cand x daca pentru orice numar A existaun numar B(A) > 0 astfel ncat sa avem f(x) < A daca x > B(A) si se scrie lim

    xf(x) =

    .

    Definitia 13.19 Functia f are limita cand x daca pentru orice numar A existaun numar B(A) > 0 astfel ncat sa avem f(x) > A daca x < B(A) si se scrie lim

    xf(x) =

    .

    Definitia 13.20 Functia f are limita - cand x daca pentru orice numar Aexista un numar B(A) > 0 astfel ncat sa avem f(x) < A daca x < B(A) si se scrielim

    xf(x) = .

    Limite laterale

    Daca X R, avem notiunea de limita la dreapta si de limita la stanga care se definesc usorfolosind definitia cu siruri.

    Definitia 13.21 Fie f : X Y si x0 punct de acumulare al multimii X. Spunem cafunctia f are n punctul x0 limita la stanga ls daca pentru orice sir crescator (xn) x0, xn 6=x0, sirul f(xn)

    n Y ls. Se noteaza limx%x0

    f(x) = limxx0,xx0f(x) = f(x0 + 0) = ld.

    Teorema 13.12 (Teorema de caracterizare a limitei unei functii ntr-un punct de acu-mulare cu ajutorul limitelor laterale) Fie X R, Y Rp, p N, f : X Y si x0 unpunct de acumulare pentru X. Functia f are limita l Y n punctul x0 daca si numaidaca exista limita la stanga n x0, f(x0 0), exista limita la dreapta n x0, f(x0 + 0) sif(x0 0) = f(x0 + 0) = l.

    Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca exista limxx0,xX

    f(x) = l. Atunci n aceasta

    limita putem alege numai punctele x x0, x < x0 si rezulta existenta limx%x0

    f(x) =

    limxx0,xx0

    f(x) = f(x0 + 0) = l ls =ld = l.Suficienta. Presupunem ca exista limita la stanga n x0, f(x0 0) = ls, exista limita la

    dreapta n x0, f(x0+0) = ld si f(x0 0) = f(x0+0) si deomonstram ca limxx0,xX

    f(x) = l,

    unde l este valoarea comuna ls = ld = l. Folosind caracterizarea limitei unei functii cu avem

    > 0,0 () > 0 : 0 < x0 x < 0 () kf(x) ldk = kf(x) lk < , > 0,00 () > 0 : 0 < x x0 < 00 () kf(x) lsk = kf(x) lk < .

    Daca () = min {0 () , 00 ()} si x X atunci pentru |x x0| < () kf(x) lk < .

  • 13.5. NOTIUNEA DE LIMITA DE FUNCTII 167

    Exemplul 13.3 Functia f : R {1, 1} definita prin:f(x) =

    1 daca x Q1 daca x / Q

    unde Q este multimea numerelor rationale, se numeste functia lui Dirichlet si are graficuldin figura 13.8

    Figura 13.8Functia nu are n nici-un punct nici limita la stanga si nici limita la dreapta.

    Exemplul 13.4 Functia f : R Z definita prin f(x) = [x] , unde [x] = n daca n x 0.

    In punctul x = 0 exista limita la stanga si este egala cu 1, dar nu exista limita ladreapta.

    Deoarece am putut defini limita unei functii cu ajutorul limitei de siruri, o parte dinproprietatile limitelor de siruri sunt valabile si pentru limitele de functii.Fie x0 un punct de acumulare al multimii X si f si g doua functii definite pe aceeasi

    multime X, care au limite n punctul x0, finite sau nu.

  • 168 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    1. Daca suma limitelor are sens, functia f + g are limita n x0 si

    limxx0,xX

    (f(x) + g(x)) = limxx0,xX

    f(x) + limxx0,xX

    g(x).

    Fac exceptie cazurile

    a) limxx0,xX

    f(x) = si limxx0,xX

    g(x) = ,

    b) limxx0,xX

    f(x) = si limxx0,xX

    g(x) =.

    2. Daca diferenta limitelor are sens, functia f g are limita n x0 silim

    xx0,xX(f(x) g(x)) = lim

    xx0,xXf(x) lim

    xx0,xXg(x).

    Fac exceptie cazurile

    a) limxx0,xX

    f(x) = si limxx0,xX

    g(x) =,

    b) limxx0,xX

    f(x) = si limxx0,xX

    g(x) = .

    3. Daca produsul limitelor are sens, functia f g are limita n x0 silim

    xx0,xX(f(x) g(x)) = lim

    xx0,xXf(x) lim

    xx0,xXg(x).

    Fac exceptie cazurile

    a) limxx0,xX

    f(x) = 0 si limxx0,xX

    g(x) = ,b) lim

    xx0,xXf(x) = si lim

    xx0,xXg(x) = 0.

    4. Daca catul limitelor are sens, functiafgare limita n x0 si

    limxx0,xX

    f(x)g(x)

    =lim

    xx0,xXf(x)

    limxx0,xX

    g(x).

    Fac exceptie cazurile

    a) limxx0,xX

    f(x) = 0 si limxx0,xX

    g(x) = 0,

    b) limxx0,xX

    f(x) = si limxx0,xX

    g(x) = .

    5. Daca functia f g are limita n x0 si

    limxx0,xX

    f(x)g(x) = limxx0,xX

    f(x)lim

    xx0,xXg(x)

    .

    Fac exceptie cazurile

    a) limxx0,xX

    f(x) = 0 si limxx0,xX

    g(x) = 0,

    b) limxx0,xX

    f(x) = 1 si limxx0,xX

    g(x) = ,

  • 13.5. NOTIUNEA DE LIMITA DE FUNCTII 169

    c) limxx0,xX

    f(x) = si limxx0,xX

    g(x) = 0.

    6. (Trecerea la limita n inegalitati) Fie f, g : X R. Daca functiile f, g aulimita n punctul x0 si daca exista o vecinatate V a punctului x0 astfel ncat sa avemf(x) g(x),x X V, x 6= x0 atunci lim

    xx0,xXf(x) lim

    xx0,xXg(x).

    Demonstratie. Fie xn X,xn 6= x0, xn x0. Atunci f(xn) g(xn),n. Tinandseama de trecerea la limita n inegalitati pentru siruri, rezulta ca

    limxnx0

    f(xn) limxnx0

    g(xn).

    7. (Criteriul majorarii) Fie f, g : X R doua functii si x0 un punct de acumulare alui X si V V(x0). Daca |f(x) l| g(x),x V X,x 6= x0 si daca lim

    xx0g(x) = 0,

    atunci limxx0

    f(x) = l.

    Demonstratie. Fie xn X, xn 6= x0, xn x0. Daca |f(xn) l| g(xn), g(xn) 0 siaplicand criteriul majorarii de la siruri rezulta ca lim

    xnx0f(xn) = l..

    Exemplul 13.6 Pentru functia f(x) = sinx, definita pe R, avem:

    limxx0

    sinx = sinx0.

    Intr-adevar, |sinx sinx0| = 2cos

    x+ x02

    sin

    x x02

    2sin

    x x02

    2

    x x02

    |x x0| . Deoarece |x x0| 0 daca x x0 rezulta

    ca limxx0

    sinx = sinx0.

    8. Daca functiile g si h definite pe X au limite egale n x0 si daca exista o vecinatate Va lui x0 astfel ncat pentru orice x X V, x 6= x0 sa avem g(x) f(x) h(x) silim

    xx0,xXf(x) = lim

    xx0,xXh(x) = l atunci lim

    xx0,xXg(x) = l.

    Demonstratie. Fie xn X, xn 6= x0, xn x0. Daca g(xn) f(xn) h(xn) si aplicandlema clestelui pentru siruri deducem ca lim

    xx0,xXg(x) = l.

    Exemplul 13.7 Pentru x 0,2

    avem inegalitatea

    sinx < x < tg x sau

    1 0 daca limxa

    u(x) = 0.

    13.5.2 Functii definite pe multimi din Rk

    Daca Y Rp, calculul limitei se reduce la limita pe componente. Mai precis, dacaf : X Y Rp atunci f(x) = (f1(x), .., fp(x)) , unde f1, .., fp : X R sunt compo-

    nentele lui f . Atunci exista l = limxx0,xX

    f(x) daca si numai daca exista lk = limxx0,xX

    fk(x)

    si n plus l = limxx0,xX

    f(x) = (l1, ..., lp) . Justificarea rezulta folosind definitia limitei cu

    siruri si caracterizarea pe componente a convergentei sirurilor n Rp.Daca X Rk, f : X Y si x0 punct de acumulare al multimii X atunci pentru

    orice vector v 6= din Rk se poate defini limita lui f n punctul x0 dupa directia lui v,si anume lim

    t0f(x0 + tv). In acest caz existenta limitei n x0 implica existenta limitei dupa

    orice directie.

    Exemplul 13.8 Fie f : R2\ {(0, 0)} R si f(x, y) = x2 y2x2 + y2

    . Limita lim(x,y)(0,0)

    x2 y2x2 + y2

    nu exista deoarece daca luam siruri

    1

    n,n

    (0, 0), R, avem f

    1

    n,n

    =1 21 + 2

    si limn

    f1

    n,n

    =1 21 + 2

    si depinde de , adica de directia dupa care ne apropiem de

    origine.

  • 13.5. NOTIUNEA DE LIMITA DE FUNCTII 171

    Daca consideram functia f : R2\ {(0, 0)} R si f(x, y) = x3

    x2 + y2observam ca

    lim(x,y)(0,0)

    x3

    x2 + y2

    = 0 deoarece

    x3

    x2 + y2

    |x| (x2 + y2 x2 1

    x2 + y2 1

    x2

    |x3|x2 + y2

    |x3|x2) si rezulta ca 0 lim

    (x,y)(0,0)

    x3

    x2 + y2

    lim

    (x,y)(0,0)|x| = 0, pentru orice

    (x, y) 6= (0, 0).

    Exemplul 13.9 Fie functia f : R2\ {(0, 0)} R si f(x, y) = x4 2x2y + y2x4 + y2

    are limita

    n punctul (0, 0) pe orice directie deoarece limt0

    f((0, 0) + t(h1, h2)) = limt0

    f(t(h1, h2)) =

    limt0

    t4h41 2t3h21h2 + t2h22t4h41 + t2h22

    = 1 dar limita lim(x,y)(0,0)

    f(x, y) nu exista asa cum se observa

    luand sirurile

    1

    n,1

    n2

    , f

    1

    n,1

    n2

    =

    1n4 2

    1n4 +

    1n4

    1n4 +

    1n4

    = 0, iar pentru sirul1

    n,2

    n2

    ,

    f1

    n,2

    n2

    =

    1n4 4

    1n4 +

    4n4

    1n4 +

    4n4

    =1

    5.

    Exemplul 13.10 Sa se calculeze lim(x,y)(1,0)

    ln(x+ ey)p(x 1)2 + y2

    . Luam punctul (x, y) pe un

    disc cu centrul n (1, 0) si raza . Obtinem reprezentarea parametrica a cercului x =1 + cos , y = sin , [0, 2) .

    lim(x,y)(1,0)

    ln(x+ ey)p(x 1)2 + y2

    = lim0

    ln(1 + cos + e sin )q( cos )2 + ( sin )2

    = lim0

    ln(1 + cos + e sin )

    =

    .

    Limite iterate

    Fie f(x1, x2, ..., xk) o functie vectoriala de k variabile reale, f : X Rk R. Dacan f consideram, de exemplu, x2, ..., xk fixe, f devine functie de o variabila, anume x1.In modula acesta putem considera pe f functie de orice variabila xi, celelalte variabilex1, ..., xi1, xi+1, ..., xk fiind considerate fixe.Daca consideram limitalimxiai

    f(x1, x2, ..., xk) = f (x1, ..., xi1, ai, xi+1, ..., xk)

    atunci valoarea limitei f (x1, ..., xi1, ai, xi+1, ..., xk) este functie de cele n 1 variabile,considerate fixe. Pentru functia f putem considera limita

    limxjaj

    f (x1, ..., xi1, ai, xi+1, ..., xk) = limxjaj

    limxiai

    f(x1, x2, ..., xk),

    valoarea limitei este o functie de n 2 variabile; se numeste limita iterata a functiei f nordinea xi, xj. Operatia se poate continua cu toate variabilele lui f.

    Exemplul 13.11 Fie f(x, y) = x2 + y2; limx0

    f(x, y) = y2, limy0

    limx0

    f(x, y) = 0.

  • 172 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    Teorema 13.13 Fie f : X Rk Rp si x0 =x10, ..., xk0

    un punct de acumulare a lui X.

    Daca exista limita functiei f n punctul x0 cat si una din limitele iterate n acest punct,atunci acele doua limite sunt egale.

    Demonstratie. Din faptul ca f are limita n punctul x0 deducem ca oricum ar tindepunctul x catre x0, limita lui f este aceeasi, deci daca limita iterata exista, ea este egalacu limita lui f n punctul x = x0.

    Observatia 13.4 Daca limitele iterate ntr-un punct exista si sunt egale, nu rezulta caexista limita functiei n punctul respectiv.

    Exemplul 13.12 Fie f : R2\ {(0, 0)} R si f(x, y) = x2y

    x4 + y2. Limitele iterate ale aceste

    functii n (0, 0) sunt egale cu 0 deoarecelimx0

    f(x, y) = 0, limy0

    limx0

    f(x, y) = 0,

    limy0

    f(x, y) = 0, limx0

    limy0

    f(x, y) = 0.

    Consideram parabola x2 = my si trecand la limita pe aaceasta parabola obtinem

    lim(x,y)(0,0)

    x2yx4 + y2

    = limy0

    my2

    (m2 + 1)y2=

    mm2 + 1

    ,

    limita depinde de m, deci nu exista.

    13.6 Notiunea de continuitate

    O alta situatie este urmatoarea: daca x0 X si limxx0

    f(x) = f(x0). Daca asa ceva se

    ntampla, nseamna ca daca x X se apropie din ce n ce mai mult de x0 X, atuncivalorile functiei f(x) se apropie din ce n ce mai mult de f(x0). In acest caz spunem cafunctia este continua n x0.Proprietatile functiilor continue ne obliga ca n punctele izolate ale multimii de definitie

    functia sa fie considerata prin definitie continua.Observam ca definitia continuitatii se obtin din definitia limitei, daca x0 X si nu se

    mai pune conditia x 6= x0.Fie X Rk, Y Rp; k, p N, f : X Y.

    Definitia 13.23 (Definitia continuitatii ntr-un punct cu ajutorul vecinatatilor)Fie f : X Y si x0 X. Spunem ca f este continua n x0 si se scrie f(x0) = lim

    xx0f(x),

    daca pentru orice vecinatate Vf(x0) (V vecinatate a lui f(x0)) exista o vecinatate Ux0 (Uvecinatate a lui x0) astfel ncat f (Ux0 X) Vf(x0).

    Definitia 13.24 O functie este continua pe o multime daca este continua n fiecarepunct al ei.

  • 13.6. NOTIUNEA DE CONTINUITATE 173

    Teorema 13.14 (Caracterizarea notiunii de continuitate ntr-un punct) Fie Fief : X Y si x X. Sunt echivalente afirmatiile:(a) f(x0) = lim

    xx0f(x) (definitia continuitatii cu vecinatati );

    (b) > 0, () > 0 astfel ncat x X, kx x0k < kf(x) f(x0)k < (definitiacu );(c) pentru orice sir convergent de puncte din X, xn

    n X x0, rezulta f(xn) n Y f(x0)(definitia cu siruri).

    Demonstratia urmeaza ndeaproape pe cea a teoremei 13.9.

    Teorema 13.15 (Continuitatea aplicatiilor compuse ntr-un punct) Fie f : X Ysi g : Y Z doua aplicatii definite pe spatii normate.Daca f este continua n x0 si g este continua n f(x0), atunci compunerea g f este

    contiua n x0. In particular daca f este continua pe X si g este continua pe Y, atunci g feste continua pe X.

    limxx0

    g(f(x)) = limyy0

    g(y) = z0.

    Demonstratie. Folosim teorema 13.14, (c). Functia f(x) fiind continua n punctul x0,rezulta ca pentru orice sir convergent (xn)

    n X x0 avem (f(xn)) n Y f(x0). Functia g fiindcontinua n f(x0), rezulta ca (g(f(xn)))

    n Z g(f(x0)) deci (g f)(xn))) n Z (g f)(x0).

    13.6.1 Functii definite pe multimi n RContinuitate laterala ntr-un punct din X RDacaX R, avem notiunea de continuitate la dreapta si de limita la stanga care se definescusor folosind definitia cu siruri.

    Definitia 13.25 Fie f : X Y si x0 X. Spunem ca functia f este continua la stangan punctul x0 daca pentru orice sir crescator (xn) x0, xn 6= x0, sirul f(xn) n Y f(x0). Senoteaza lim

    x%x0f(x) = f(x0 0) = f(x0).

    Definitia 13.26 Fie f : X Y si x X. Spunem ca functia f este continua la dreaptan punctul x0 daca pentru orice sir descrescator (xn) x0, xn 6= x0, sirul f(xn) n Y f(x0).Se noteaza lim

    x&x0f(x) = f(x0 + 0) = f(x0).

    Teorema 13.16 (Caracterizarea continuitatii ntr-un punct cu ajutorul conti-nuitatii laterale) Fie f : X Y,X R si x0 X. Functia f este continua n x0 dacasi numai daca f este continua la dreapta si la stanga n punctul x0.

    Observatia 13.5 O functie continua pe un interval nchis [a, b] este continua n fiecarepunct al intervalului (a, b) . In punctele a respectiv b se considera functia ca fiind continua.

  • 174 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    Teorema 13.17 Fie f, g : X R doua functii continue n x0. Atunci:a) , R, functia f + g este continua n x0;b) f g este continua n x0;c)

    fgeste continua n x0 (g(x0) 6= 0);

    d) |f | este continua n x0;e) max (f, g) ,min (f, g) sunt continue n x0.

    In mod similar se pot stabili afirmatii care se refera la continuitatea pe o multime.

    Teorema 13.18 Fie f, g : X R doua functii continue n pe A X. Atunci:a) , R, functia f + g este continua pe A;b) f g este continua pe A;c)

    fgeste continua pe A (g(x) 6= 0, x A);

    d) |f | este continua pe A;e) max (f, g) ,min (f, g) sunt continue pe A.

    Definitia 13.27 Fie f : X Y. Daca x0 X nu este punct de continuitate pen-tru f, spunem ca functia f este discontinua n punctul x0 iar x0 se numeste punct dediscontinuitate.

    Definitia 13.28 Fie x0 un punct de discontinuitate pentru functia f. daca limitele lateralen x0 exista si sunt finite, se spune ca x0 este punct de discontinuitate de speta ntai.Exercitiul 13.1 Functia f : R N, f(x) = [x] nu este continua pentru x Z. Toatepunctele ntregi sunt puncte de discontinuitate de speta ntai. Intr-adevar [x+ 0] = x = [x] ,[x 0] = x 1.Definitia 13.29 Orice punct de discontinuitate care nu este de speta ntai se spune ca estede speta a doua.

    Exercitiul 13.2 Functia f : R R, f(x) =( 1

    x, x 6= 00, x = 0

    are punct de discontinuitate de

    speta a doua n x = 0 deoarece f(x 0) = ls(0) = limx%0

    f(x) = , iar f(x+ 0) = ld(0) =limx&0

    f(x) =.

    Prelungirea prin continuitate

    Fie f : X R si x0 un punct de acumulare a lui X, x0 / X, n care functia are limitafinita y0. Functia f nu este definita n x0, deci nu se poate vorbi despre continuitatea saudiscontinuitatea n acest punct.

    Definitia 13.30 Functia f : X {x0} R definita astfelf(x) =

    f(x) daca x 6= x0, x X,y0 daca x = x0.

    se numeste prelungirea functiei f prin continuitate n punctul x0 deoarecelimxx0

    f(x) = limxx0

    f(x) = y0 = f(x0).

  • 13.6. NOTIUNEA DE CONTINUITATE 175

    Proprietati locale ale functiilor continue

    Teorema 13.19 Fie f : X Y. Daca f este continua n punctul x0 si daca f(x0) 6= 0,exista o vecinatate U a lui x0 astfel ncat pentru orice x U X avem f(x) f(x0) > 0.Demonstratie. Presupunem ca f(x0) > 0. Demonstam ca gasim o vecinatate U a lui

    x0 astfel ncat daca x U X valoarea f(x) sa aiba acelasi semn cu f(x0). Din definitiacontinuitatii avem

    > 0, () > 0 astfel ncat x X, |x x0| < () |f(x) f(x0)| < .Dar |f(x) f(x0)| < f(x0) < f(x) < f(x0) + . Inmultim relatia cu f(x0) si

    obtinem f2(x0) f(x0) < f(x)f(x0) < f2(x0) + f(x0) si luam = 12f(x0) > 0 deci0 < 1

    2f2(x0) < f(x)f(x0) < 32f

    2(x0), deci f(x)f(x0) > 0 daca luam pentru U intervalul(x0 , x0 + ) unde corespunde lui = 12f(x0) > 0.Daca f(x0) < 0 sensul inegalitatilorse schimba si se ia = 12 |f(x0)| .Din demonstratia acestei teoreme rezulta

    Teorema 13.20 Daca f este continua n punctul x0 exista o vecinatate a punctului x0 pecare f este marginita.

    Teorema 13.21 Daca o functie continua pe un interval nchis si marginit ia valori desemne contrare n capetele intervalului, atunci exista cel putin un punct n interval n carefunctia se anuleaza.

    Teorema 13.22 O functie continua pe un interval nchis si marginit [a, b] este marginitape [a, b] .

    Demonstratie. Fie f : [a, b] R continua pe [a, b] . daca f este marginita, rezulta ca|f(x)| M,x [a, b] . Presupunem ca f nu este marginita. Rezulta ca pentru orice numarM > 0 exista un punct xM [a, b] astfel ncat |f(xM)| > M.Daca luamM = n(n = 1, 2, ...),rezulta ca pentru orice n N exista xn [a, b] astfel ncat

    |f(xn)| > n. (13.3)

    Intervalul [a, b] fiind nchis si marginit, din sirul x1, x2, ..., xn, ..., conform lemei luiBolzano-Cesaro, se poate extrage un subsir xn1, xn2 , ..., xnp, ... convergent catre x0 [a, b] .Functia f fiind continua pe [a, b] , este continua si n punctul x0, deci f(xnp)

    p f(x0) sau|f(x0)| n () .

    Din inegalitatea (13.3) rezulta caf(xnp)

    > np |f(x0)| ceea ce este o

    contradictie deoarece este fix si f(x0) finit.

    Observatia 13.6 Teorema ramane adevarata si pe multimi compacte oarecare de numerereale si se demonstreaza n mod asemanator.

    Teorema 13.23 (Teorema lui Weierstrass)O functie continua pe un interval nchis simarginit [a, b] si atinge marginile pe [a, b] .

  • 176 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    Demonstratie. Am vazut ca f continua pe [a, b] este marginita, deci exista doua numerereale m si M astfel ncat m f(x) M, unde m este marginea inferioara si M estemarginea superioara a functiei f pe [a, b] . Sa aratam ca exista un punct [a, b] astfelncat f() = m si un punct 0 [a, b] astfel ncat f(0) =M.Sa presupunem ca nu exista punctul pentru care avem f() = m. Din definitia marginii

    inferioare functia (x) = f(x)m,x [a, b] este continua si strict pozitiva pe [a, b] , deci sifunctia F (x) =

    1

    f(x)m este continua si strict pozitiva pe [a, b] , deci, conform teoremeiprecedecte, F (x) este marginita

    1

    f(x)m M1 > 0sau

    f(x) m+ 1M1

    si m nu ar mai fi marginea inferioara a functiei f pe [a, b] . Ipoteza facuta ne-a dus la ocontradictie, deci exista un punct [a, b] astfel ncat f() = m.Existenta lui 0 [a, b] astfel ncat f(0) =M se demonstreaza n mod asemanator.

    Observatia 13.7 Daca conditiile din teorema nu sunt satisfacute se poate ca proprietateasa nu aiba loc. Functia f(x) = x3, x (0, 1] este marginita pe intervalul (0, 1] dar nu siatinge marginea inferioara m = 0 deoarece intervalul (0, 1] nu este nchis.

    Observatia 13.8 Teorema 13.23 ramane adevarata si pe multimi compacte oarecare denumere reale.

    13.6.2 Functii definite pe multimi din Rk

    Definitia 13.31 O submultime A Rk se numeste compacta daca este orice sir deelemente din A contine un subsir convergent la un element tot din multimea A.

    Teorema 13.24 O conditie necesara si suficienta ca o multime A Rk sa fie compactaeste ca ea sa fie marginita si nchisa.

    Consecinta 13.2 Multimile finite sunt compacte.

    Consecinta 13.3 Sferele nchise si intervalele nchise sunt multimi compacte.

    Teorema 13.25 Fie f : X Y,X Rk, f functie continua pe X. Functia f duce oricemultime compacta din X ntr-o multime compacta n Y .

    Demonstratie. Fie A o multime compacta n X. Demonstram ca f(A) este o multimecompacta n Y.Fie (yn)nN f(A) (xn)nN A astfel ncat yn = f(xn), n N. Deaorece A este

    o multime compacta, rezulta ca este marginita si nchisa, deci sirul (xn)nN este marginit,

  • 13.6. NOTIUNEA DE CONTINUITATE 177

    conform Lemei Bolzano-Cesaro exista un subsir (xnk)kN convergent la un element x A,limk

    xnk = x.Deoarece f este continua, are loc caracterizarea continuitatii cu siruri si decilimk

    f(xnk) = f(x).

    Rezulta ca sirul yn = f(xn) Y admite un subsir convergent (f(xnk)) catre un elementf(x) f(A) (deoarece x A). Deci f(A) este compacta.

    Teorema 13.26 Fie f : X R,X Rk, f functie continua pe X. O functie continua peun compact A X si atinge marginile.

    Demonstratie. Deoarece A este o multime compacta si f este o functie continua, conformteoremei 13.25 rezulta ca f(A) este o multime compacta n R, adica marginita si nchisa.Deoarece f(A) este marginita, rezulta ca f este marginita. Fie m = inf

    xAf(x) si M =

    supxA

    f(x). m,M sunt puncte de acumulare pentru f(A) si cum f(A) = f(A) rezulta ca

    m,M f(A).

    Exemplul 13.13 Functia f(x, y) = (x2 + y2)2 definita pe multimea care cuprinde interi-orul si pe cercul x2 + y2 = 2 este continua pe multimea de definitie. Minimul functiei esteatins n (0, 0) unde f(0, 0) = 0. Maximul lui f este atins n orice punct situat pe cerculx2 + y2 = 2 si are vaoarea 4.

    Se introduce notiunea de continuitate partiala.Fie f(x1, x2, ..., xk) o functie vectoriala de k variabile reale, f : X Rk R. Daca

    n f consideram, de exemplu, x2, ..., xk fixe, f devine functie de o variabila, anume x1.In modul acesta putem considera pe f functie de orice variabila xi, celelalte variabilex1, ..., xi1, xi+1, ..., xk fiind considerate fixe.Daca consideram limitalimxiai

    f(x1, x2, ..., xk) = f (x1, ..., xi1, ai, xi+1, ..., xk) , a = (a1, ..., ak)

    atunci spunem ca functia f este continua partial n raport cu variabila xi.

    Teorema 13.27 Daca o functie f este continua ntr-un punct a = (a1, ..., ak) atunci eaeste continua n acest punct n raport cu fiecare variabila.

    Reciproca acestei teoreme nu este n general adevarata.

    Exemplul 13.14 Fie functia

    f(x, y) =

    3xy2

    2x2 + 9y4, (x, y) 6= (0, 0) ,

    0, (x, y) = (0, 0) ,nu are limita n origine deoarece daca consideram y2 = 2px si (x, y) (0, 0) pe aceastacurba, atunci

  • 178 CAPITOLUL 13. SPATIUL RK

    lim(x,y)(0,0)

    f(x, y) = limx0

    3px2

    2x2 + 9p2x2=

    3p2 + 9p2

    ,

    limita depinde de parametrul p, deci nu este unica, prin urmare functia f(x, y) nu are limitan origine, deci nu este continua n origine.Functia este continua n raport cu fiecare variabila n parte, de exemplu lim

    y0limx0

    f(x, y) =

    limy0

    0 = 0.